Правила по математике за 6 класс виленкин – Математика 6 класс: все темы, правила и формулы

Математика 6 класс: все темы, правила и формулы

Математика 6 класс: все темы, правила и формулы.
Краткий курс математики за 6 класс.

«Математика 6 класс: все темы, правила и формулы» — это краткое повторение математики за 6 класс (основные понятия, формулы и определения). Вся информация, самое главное и всё, что нужно знать вкратце. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского) — М.: Просвещение, 2014.

Делимость чисел

1. Пусть а и b — натуральные числа и при делении а на b в частном получается q и в остатке r. Тогда а = bq + r, где q и r — натуральные числа или нули, причём r < b. Например:

2. Если натуральное число а делится на натуральное число b, то а называют кратным b, а b — делителем а. Это означает, что а = bq, где q — натуральное число. Например, 62 кратно 31, 31 — делитель 62, так как 62 = 31 • 2.
3. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя — единицу и само это число. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Например, числа 2, 7, 43, 109 — простые, а числа 4, 12, 35 — составные. Число 1 не является ни простым, ни составным. Всякое составное число можно разложить на простые множители, и притом единственным способом. Например, 630 = 2 • 32 • 5 • 7.

4. Чтобы найти наименьшее общее кратное
   (НОК) нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим показателем. Например, 72 = 2⁸ • 3²; 180 = 2² • 3² • 5 и 600 = 2⁸ • 3 • 5². Наименьшее общее кратное чисел 72, 180 и 600 равно 2⁸ • 3² • 5² = 1800.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем. Например, наибольший общий делитель чисел 72, 180 и 600 равен 2² • 3, т. е. числу 12.

5. Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то оно делится на 5. Если число оканчивается любой другой цифрой, то оно не делится на 5.

• Если число оканчивается чётной цифрой, то оно делится на 2. Если число оканчивается нечётной цифрой, то оно но делится на 2.
• Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр числа не делится на 3, то число не делится на 3.
• Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Обыкновенные дроби

6. Правильной дробью называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной дробью называется дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.
7. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
8. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей; вычислить дополнительные множители, разделив наименьшее общее кратное на каждый знаменатель; умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. Например, приведём к наименьшему общему знаменателю дроби 1/6, 7/12, 5/18. Наименьший общий знаменатель равен 36:

9. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель. Например,

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями сначала их приводят к общему знаменателю.

10. Чтобы перемножить две дроби, надо перемножить отдельно их числители и знаменатели; первое произведение сделать числителем, а второе — знаменателем. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Например, 

 

Десятичные дроби

11. При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра 5, б, 7, 8 или 9, то к последней оставшейся цифре прибавляют 1. Если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.

Например, 4,376 ≈ 4,4;   2,8195 ≈ 2,820;   10,1425 ≈ 10,14.

12. Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно. При этом дроби записывают одну под другой так, чтобы запятая оказалась под запятой.

Например: 

13. Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить занятой справа столько цифр, сколько их стоит после занятой в обоих множителях вместе.

• Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо в делимом и делителе перенести запятые вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Например: 

14. Чтобы умножить десятичную дробь на 10ⁿ, надо в этой дроби перенести запятую на n цифр вправо. Чтобы разделить десятичную дробь на 10ⁿ, надо в этой дроби перенести запятую на n цифр влево.

Например, 8,373 • 100 = 837,3;   3,4 : 1000 = 0,0034.

Положительные и отрицательные числа

15. Модулем положительного числа и нуля называется само это число. Модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Модуль числа а обозначают |а|. Например, |3,6| = 3,6; |0| = 0;   |–2,8| = 2,8.
16. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак «минус».

• Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
• Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Например, –3,4+ (–1,8) = –5,2;    2,5 + (–4,1) = –1,6;    –3,6 + 3,6 = 0.

17. Чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Например, –5 – 1,9 = –5 + (–1,9) = –6,9.

18. Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули. Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить их модули и перед полученным результатом поставить знак «минус».

Например, –1,2 • (–8) = 9,6, –3 • 1,2 = –3,6.

19. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя. Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным результатом поставить знак «минус».

Например, –4,8 : (–2,4) = 2, 5,5 : (–5) = –1,1.

20. Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Пропорции

21. Равенство двух отношений называют пропорцией. Например, равенство 2,5 : 5 = 3,5 : 7 — пропорция. Числа 2,5 и 7 — крайние члены пропорции. Числа 5 и 3,5 — средние члены пропорции. Если пропорция верна, то произведение её крайних членов равно произведению средних членов. В пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены.
22. Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

• Если величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

23. Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

• Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной из величин равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Свойства действий над числами

24. Переместительное свойство сложения. От перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.

Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Переместительное свойство умножения. От перестановки множителей значение произведения не изменяется.

Сочетательное свойство умножения. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Распределительное свойство умножения. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить ото число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

Преобразование выражений

25. Слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми.
26. Для того чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Например, 5а – 7а + 4а = 2а.

27. Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.

Например, 3х + (2а – у) = 3х + 2а – у.

28. Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.

Например, 5а – (2х – 3у) = 5а – 2х + 3у.

---

«Математика 6 класс: все темы, правила и формулы» — это краткое повторение алгебры за 6 класс (основные понятия, формулы и определения). Краткий курс: вся информация, самое главное и всё, что нужно знать вкратце.

uchitel.pro

Определения и формулы метематика 6 класс Виленкин

Просмотр содержимого документа
«Определения и формулы метематика 6 класс Виленкин»

Делимость чисел

1. Делителем натурального числа «а» называют натуральное число , на которое «а» делится без остатка.

2. Кратным натурального числа «а» называют натуральное число , которое делится без остатка на «а» .

3. Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Признаки делимости на 10 , на 5 и на 2.

1. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 , то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно не делится без остатка на 10.

2. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5 , то это число делится без остатка на 5. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно не делится без остатка на 5.

3. Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой , то это число делится без остатка на 2. Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой , то это число нечетно.

Признаки делимости на 3 на 9.

1. Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 ;

2. Если сумма цифр числа делится на 3 , то и число делится на 3 ; если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 ;

Простые и составные числа

1. Натуральное число называют простым , если оно имеет только два делителя : единицу и само это число.

2. Натуральное число называют составным , если оно имеет более двух делителей.

3. Число 1 имеет только один делитель : само это число .Поэтому его не относят ни к составным , ни кпростым.

4. Всякое составное число можно разложить на множители. При любом способе получается одно и то же разложение , если не учитывать порядка записи множителей.

Наибольший общий делитель . Взаимно простые числа.

1. Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка числа а и б , называют наибольшим общим делителем этих чисел.

2. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1.

3. Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо: 1) состав разложения одного из этих чисел, вычеркнуть те , которые не входят в разложение других чисел; 3) найти произведение оставшихся множителей.

Наименьшее общее кратное (НОК)

1. Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и б называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а и б.

2. Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел , надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители , входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

1. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь.

2. Деление числителя и знаменателя на их обший делитель , отличный от единицы , называют сокращение дроби.

3. Наибольшее число , на которое можно сократить дробь , — это НОД ее числителя и знаменателя.

4. Дробь называется несократимой – если числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

5. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , надо: 1) найти НОК знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить НОЗ на знаменатели данных дробей , т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

6. Чтобы сравнить ( сложить , вычесть) дроби с разными знаменателями , надо: 1) привести данные дроби к НОЗ; 2) сравнить ( сложить , вычесть ) полученные дроби.

7. Чтобы сложить смешанные числа , надо: 1) привести дробные части этих чисел к НОЗ; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

8. Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , надо: 1) привести дробные части этих чисел к НОЗ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть;2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Умножение и деление обыкновенных дробей.

1. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения.

2. Чтобы умножить смешанное число на натуральное число , можно: 1) умножить целую часть на натуральное число; 2) умножить дробную часть на это натуральное число; 3) сложить полученные результаты.

3. Чтобы умножить дробь на дробь ,надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем , а второе – знаменателем.

4. Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел , надо их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Нахождение дроби от числа.

1. Чтобы найти дробь от числа , нужно умножить число на эту дробь.

Нахождение числа по его дроби.

1. Чтобы найти число по данному значению его дроби , надо это значение разделить на дробь.

Взаимно обратные числа.

1. Два числа , произведение которых равно единице , называют взаимно обратными.

Деление.

1) Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на число , обратное делителю.

Дробные выражения.

1. Частное двух чисел или выражений , в котором знак деления обозначен чертой , называют дробным выражением. Выражение , стоящее над чертой , называют числителем , а выражение стоящее под чертой – знаменателем дробного выражения.

Отношения и пропорции.

1. Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает , во сколько раз первое число больше второго , или какую часть первое число составляет от второго.

2. Равенство двух отношений называют пропорцией.

3. В пропорции а/в=с/д числа а и д называют крайними членами пропорции , числа в и с –средними членами пропорции.

4. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних .

5. Если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции , то пропорция верна. Это свойство называют основным свойством пропорции.

6. Две величины называют прямо пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз.

7. Две величины называют обратно пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая уменьшается ( увеличивается ) во столько же раз.

8. Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

Длина окружности и площадь круга.

1. Замкнутая линия все точки которой лежат на одинаковом расстоянии от одной точки «О»,называется окружностью.

2. Ту часть плоскости , которая лежит внутри окружности ( вместе с самой окружностью), называют кругом.

3. Точку «О» называют центром окружности и круга.

4. Отрезок соединяющий точку окружности с центром называют радиусом. Все радиусы одной окружности равны.

5. Отрезок соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , поэтому диаметр окружности в 2 раза длиннее ее радиуса.

6. Диаметр делит круг на 2 полукруга , а окружность – на 2 полуокружности.

7. Часть окружности между двумя точками называют дугой окружности.

8. Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой П— пи . Формула длины окружности: С=п d или C=2пr. П= 3,1416…..

9. Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара.

10. Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с центром ,называют радиусом шара.

11. Отрезок , соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара.

12. Диаметр шара равен двум радиусам.

13. Поверхность шара называют сферой.

Рациональные числа.

Положительные и отрицательные числа.

1. Числа со знаком + называют положительными.

2. Числа со знаком – называют отрицательными.

3. Прямую с выбранными на ней началом отсчета , единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

4. Число, показывающее положение точки на прямой , называют координатой этой точки.

5. Два числа , отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

6. Натуральные числа , противоположные числа и нуль называют целыми числами.

7. Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

8. Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу.

9. Противоположные числа имеют равные модули.

Сравнение чисел.

1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

2. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

3. Нуль больше любого отрицательного числа , но меньше любого положительного числа.

4. На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

1. Любое число от прибавления положительного числа увеличивается , а от прибавления отрицательного числа уменьшается.

2. Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

3. Чтобы сложить два отрицательных числа , надо: а)сложить их модули; б) поставить перед полученным числом знак — .

4. Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: а) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; б) поставить перед полученным числом знак того слагаемого , модуль которого больше.

5. Чтобы из данного вычесть другое ,надо к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому: а-б=а+(-б)

6. Любое выражение содержащее лишь знаки сложения и вычитания , можно рассматривать как сумму.

7. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой ,надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

1. Чтобы перемножить два числа с разными знаками , надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак — .

2. Чтобы перемножить два отрицательных числа , надо перемножить их модули.

3. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное , надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

4. При делении чисел с разными знаками , надо: а) разделить модуль делимого на модуль делителя; б) поставить перед полученным числом знак — .

Рациональные числа.

1. Число , которое можно записать в виде отношения а/н , где а-целое число , а н-натуральное число , называют рациональным числом.

2. Любое целое число является рациональным.

3. Сумма , разность и произведение рациональных чисел тоже рациональные числа.

4. Если делитель отличен от нуля , то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.

5. Любое рациональное число можно записать либо в сиде десятичной дроби ( в частности целого числа ) , либо в виде периодической дроби.

6. Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.

7. Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами.

8. Произведение может быть равно нулю лишь в том случае , когда хотя бы один из множителей равен нулю.

9. Умножение рациональных чисел обладает распределительным свойством относительно сложения.

Решение уравнений.

1. Если перед скобками стоит знак + , то можно опустить скобки и этот знак + , сохранив знаки слагаемых , стоящих в скобках.Если первое слагаемое записано без знака , то его надо записать со знаком + .

2. Чтобы раскрыть скобки перед которыми стоит знак — , надо заменить этот знак на + , поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные , а потом раскрыть скобки.

Подобные слагаемые.

1. Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв , то это число называют числовым коэффициентом ( или просто коэффициентом ).

2. Слагаемые , имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

3. Чтобы сложить ( или говорят : привести ) подобные слагаемые , надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Решение уравнений.

1. Корни уравнения не изменяются , если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю.

2. Корни уравнения не изменяются , если какое –нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак.

3. Уравнение , которое можно привести к виду ах=в с помощью переноса слагаемых и приведения подобных , называют линейным уравнением с одним неизвестным.

Координаты на плоскости.

1. Две прямые , образующие при пересечении прямые углы , называют перпендикулярными.

2. Отрезки ( или лучи) , лежащие на перпендикулярных прямых , называют перпендикулярными отрезками ( или лучами).

3. Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.

4. Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей , то они параллельны.

5. Через каждую точку плоскости , не лежащую на данной прямой , можно провести только одну прямую , параллельную данной прямой.

6. Отрезки ( или лучи) , лежащие на параллельных прямых , называют параллельными отрезками ( или лучами).

7. Системой координат на плоскости называют две перпендикулярные координатные прямые- х и у , которые пересекаются в начале отсчета – точке О. Тока О называется началом координат.

8. Плоскость на которой выбрана система координат , называют координатной плоскостью.

9. Координатную прямую х называют осью абсцисс , а у – осью ординат.

multiurok.ru

Правила математики из курса 5-6 классов — Сайт учителя математики Косыхиной Н.В.

1.Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной:

Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель (или на одно и то же натуральное число), то получим дробь, равную данной:

2.Сокращение дробей

• Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.
• Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют несократимой.
• Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь.

3.Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1. найти наименьший общий знаменатель данных дробей;
2. найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее до­полнительный множитель.

4. Целые числа. Рациональные числа

• Все натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами.
• Натуральные числа называют целыми положительными числами. Числа -1, -2, -3, … называют целыми отрицательными числами.
• Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулем, получим целые числа.
• Объединив целые числа с дробными, получим рациональные числа:

5. Модуль числа

• Модулем числа a называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.
• Модуль числа а обозначают так: | а | (читают: «модуль а»).
• Модуль положительного числа равен этому числу; модуль отри­цательного числа равен числу, противоположному данному;

| 0 | = 0.

• Модуль числа принимает только неотрицательные значения.
• Модули противоположных чисел равны: | а | = | -а |.

6. Сложение. Свойства сложения

• Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а результат сложения — суммой.
• От перестановки слагаемых сумма не изменяется:

а + b = b + а — переместительное свойство сложения.

• Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел:

(a+ b) + с = а + (b + с) — сочетательное свойство сложения.

7. Вычитание. Свойства вычитания

• Из числа а число b — значит найти такое число, которое в сумме с числом b дает число а.
• Равенство а-b = с верно, если верно равенство b + с = а.
• В равенстве а-b = с число а называют уменьшаемым, b — вы­читаемым, с — разностью.
• Разность а-b показывает, на сколько число а больше чис­ла b или на сколько число b меньше числа а.
• Для любого числа а верны равенства:

а-0= а, а-а = 0

8. Сложение и вычитание дробей

• Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
• Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменате­лями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычи­таемого, а знаменатель оставить тот же.
• Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а потом применить пра­вило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

9. Сложение рациональных чисел

• Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

1. найти модули слагаемых;

2. из большего модуля вычесть меньший модуль;

3. перед полученным числом поставить знак слагаемого с боль­шим модулем.

• Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:

1. найти модули слагаемых;
2. сложить модули слагаемых;
3. перед полученным числом поставить знак «-».

• Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Для любого рационального числа а:

а + 0 = 0 + а = а.

10. Вычитание рациональных чисел

• Чтобы найти разность двух чисел, можно к уменьшаемому при­бавить число, противоположное вычитаемому.

11. Умножение. Свойства умножения

• Произведением числа а на натуральное число b не равное 1, называют сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно а:

 

• Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю:

• Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю:

•  Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
• От перестановки множителей произведение не изменяется:

аb = bа — переместительное свойство умножения.

• Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, мож­но первое число умножить на произведение второго и третьего чисел:

(аb)с = а(bс) — сочетательное свойство умножения.

• Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить: а (b + с) = аb + ас — распределительное свойство умножения относительно сложения.
• Чтобы число умножить на разность двух чисел, можно это число умножить на уменьшаемое, отдельно на вычитаемое и  полученные произведения вычесть: а (b — с) = аb — ас — распределительное свойство умножения относительно вычитания.

 

12. Умножение обыкновенных дробей

• Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения:

Считают, что .

• Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

• Чтобы умножить смешанные числа, надо сначала записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

13. Умножение рациональных чисел

• Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «-».
• Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.
• Для любого рационального числа а:

• Если произведение аb — положительное, то числа а и b имеют одинаковые знаки;

          если произведение аb — отрицательное, то числа а и b имеют раз­ные знаки.

14. Деление. Свойства деления

• Разделить число а на число b — значит найти такое число, про­изведение которого с числом b равно а.
• Равенство а:b=с верно, если верно равенство bс = а.
• В равенстве а:b = с число а называют делимым, число b — де­лителем, число с — частным.
• При любых значениях а верно равенство

     a : 1 = а.

• Если а не равно 0, то справедливы такие равенства:

На нуль делить нельзя!

15. Делимость натуральных чисел

• Если натуральное число а делится нацело на натуральное чис­ло b, то число а называют кратным числа b, число b — делителем числа а.
• Для любого натурального числа а каждое из чисел  а • 1, а • 2, а • 3, а • 4, … является кратным числа а.
• Наименьшим делителем любого натурального числа а является число 1, а наибольшим — само число а.
• Среди чисел, кратных а, наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число а.
• Если каждое из чисел а и b делится нацело на число k, то и сумма а + k также делится нацело на число k.
• Если число а делится нацело на число к, а число b не делится на­цело на число к, то сумма а + b также не делится нацело на число к.
• Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само это число.
• Натуральное число, имеющее более двух делителей, называют составным.
• Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.
• Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.

16. Признаки делимости натуральных чисел

• Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.
• Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.
• Если натуральное число разделить на 10, то остаток равен числу, записанному последней цифрой этого числа.
• Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится нацело на 2.
• Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится нацело на 2.
• Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.

• Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от цифр 0 и 5, то это число не делится нацело на 5.
• Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.
• Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.
• Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.
• Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

17. Деление с остатком

• Остаток всегда меньше делителя.
• Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток.

а=bq +r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — оста­ток, r < b.

18. Деление обыкновенных дробей

• Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:

19. Деление рациональных чисел

• Чтобы найти частное двух чисел с разными знаками, надо мо­дуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «-».
• Чтобы найти частное двух отрицательных чисел, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

20. Нахождение дроби от числа

• Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.
• Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

21. Нахождение числа по его дроби

• Чтобы найти число по значению его дроби, можно это значение разделить на эту дробь.
• Чтобы найти число по его процентам, можно представить про­центы в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь.

22. Степень числа

• Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, на­зывают произведение п множителей, каждый из которых равен а:

Число а при этом называют основанием степени.

• Степенью числа а с показателем 1 называют само число a

• Вторую степень числа называют также квадратом числа. Напри­мер, запись  читают: «а в квадрате». Третью степень называют кубом числа, а запись  читают: «а в кубе».
• Если в числовое выражение входит степень, то сначала выпол­няют возведение в степень, а затем другие действия.

23. Числовые и буквенные выражения

• Запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называют числовым выражением.
• Запись, составленную из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, называют буквенным выражением.

24. Раскрытие скобок

• Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, изменить на противоположные.
• Если перед скобками стоит знак « + », тотпри раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, оставить без изменений.

25. Приведение подобных слагаемых

• Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффици­енты и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

26. Формулы

• Равенства вида у = 3x, Р=2(а + b)  называют формулами.
• Равенство  , где S — пройденный путь, V — скорость движе­ния,t — время, за которое пройден путь S, называют формулой пути.

27. Уравнения

• Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
• Решить уравнение — значит найти все его корни или убедить­ся, что их вообще нет. Поэтому корень часто называют решением уравнения.
• Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности при­бавить вычитаемое.
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
• Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение раз­делить на известный множитель.
• Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.
• Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

28. Свойства уравнений

• Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
• Если данное уравнение не имеет корней, то, прибавив к обе­им его частям одно и то же число, получим уравнение, тоже не имеющее корней.
• Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то по­лучим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
• Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

29. Отношения

• Частное двух чисел а и b, не равных нулю, еще называют от­ношением чисел а и b, или отношением числа а к числу b.
• Числа а и b называют членами отношения, число а — предыду­щим членом отношения, а число b — последующим.
• Отношение положительных чисел а и b показывает, во сколько раз число а больше числа b, или какую часть число а составляет от числа b.
• Отношение не изменится, если его члены умножить или раз­делить на одно и то же число, не равное нулю.

30. Пропорции

• Равенство двух отношений называют пропорцией. В буквенном виде пропорцию можно записать так:

  или 

Числа а и d называют крайними членами пропорции, а чис­ла b и с — средними членами пропорции.

31. Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

Если a, b, c и d числа, не равные нулю, и ab = cd, то отношение    и    и могут образовывать пропорцию

32. Процентное отношение двух чисел

• Процентное отношение двух чисел — это их отношение, вы­раженное в процентах. Оно показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.
• Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отно­шение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

33. Прямая пропорциональная зависимость

• Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
• Если величины у и х прямо пропорциональны, то их соответ­ствующие значения удовлетворяют равенству , где k -число, постоянное для данных величин.

Данная информация взята  из Учебника «Алгебра 7 класс» А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир

blackseaweb.ru

Напишите пожалуйста правила за 6 класс по математике

Делимость чисел

Делителем натурального числа «а» называют натуральное число , на которое «а» делится без остатка.
Кратным натурального числа «а» называют натуральное число , которое делится без остатка на «а» .
Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.
Признаки делимости на 10 , на 5 и на 2.
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 , то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно не делится без остатка на 10.
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5 , то это число делится без остатка на 5. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой , то оно не делится без остатка на 5.
Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой , то это число делится без остатка на 2. Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой , то это число нечетно.
Признаки делимости на 3 на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 ;

Если сумма цифр числа делится на 3 , то и число делится на 3 ; если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 ;

Простые и составные числа

Натуральное число называют простым , если оно имеет только два делителя : единицу и само это число.

Натуральное число называют составным , если оно имеет более двух делителей.

Число 1 имеет только один делитель : само это число .Поэтому его не относят ни к составным , ни кпростым.

Всякое составное число можно разложить на множители. При любом способе получается одно и то же разложение , если не учитывать порядка записи множителей.

Наибольший общий делитель . Взаимно простые числа.

Наибольшее натуральное число , на которое делятся без остатка числа а и б , называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо: 1) состав разложения одного из этих чисел, вычеркнуть те , которые не входят в разложение других чисел; 3) найти произведение оставшихся множителей.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и б называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а и б.

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел , надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители , входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число , то получится равная ей дробь.

Деление числителя и знаменателя на их обший делитель , отличный от единицы , называют сокращение дроби.

Наибольшее число , на которое можно сократить дробь , — это НОД ее числителя и знаменателя.

Дробь называется несократимой – если числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю , надо: 1) найти НОК знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить НОЗ на знаменатели данных дробей , т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Чтобы сравнить ( сложить , вычесть) дроби с разными знаменателями , надо: 1) привести данные дроби к НОЗ; 2) сравнить ( сложить , вычесть ) полученные дроби.

Чтобы сложить смешанные числа , надо: 1) привести дробные части этих чисел к НОЗ; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел , надо: 1) привести дробные части этих чисел к НОЗ; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь , уменьшив на единицу целую часть;2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Умножение и деление обыкновенных дробей.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число , а знаменатель оставить без изменения.

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число , можно: 1) умножить целую часть на натуральное число; 2) умножить дробную часть на это натуральное число; 3) сложить полученные результаты.

Чтобы умножить дробь на дробь ,надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем , а второе – знаменателем.

Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел , надо их записать в виде неправильных дробей , а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Нахождение дроби от числа.

Чтобы найти дробь от числа , нужно умножить число на эту дробь.

Нахождение числа по его дроби.

Чтобы найти число по данному значению его дроби , надо это значение разделить на дробь.

Взаимно обратные числа.

Два числа , произведение которых равно единице , называют взаимно обратными.

Деление.

1) Чтобы разделить одну дробь на другую , надо делимое умножить на число , обратное делителю.

Дробные выражения.

Частное двух чисел или выражений , в котором знак деления обозначен чертой , называют дробным выражением. Выражение , стоящее над чертой , называют числителем , а выражение стоящее под чертой – знаменателем дробного выражения.

Отношения и пропорции.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает , во сколько раз первое число больше второго , или какую часть первое число составляет от второго.

Равенство двух отношений называют пропорцией.

В пропорции а/в=с/д числа а и д называют крайними членами пропорции , числа в и с –средними членами пропорции.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних .

Если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции , то пропорция верна. Это свойство называют основным свойством пропорции.

Две величины называют прямо пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая увеличивается ( уменьшается ) во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными , если при увеличении ( уменьшении ) одной из них в несколько раз другая уменьшается ( увеличивается ) во столько же раз.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

Длина окружности и площадь круга.

Замкнутая линия все точки которой лежат на одинаковом расстоянии от одной точки «О»,называется окружностью.

Ту часть плоскости , которая лежит внутри окружности ( вместе с самой окружностью), называют кругом.

Точку «О» называют центром окружности и круга.

Отрезок соединяющий точку окружности с центром называют радиусом. Все радиусы одной окружности равны.

Отрезок соединяющий две точки окружности и проходящий через центр окружности называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , поэтому диаметр окружности в 2 раза длиннее ее радиуса.

Диаметр делит круг на 2 полукруга , а окружность – на 2 полуокружности.

Часть окружности между двумя точками называют дугой окружности.

Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой П- пи . Формула длины окружности: С=п d или C=2пr. П= 3,1416…..

Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара.

Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с центром ,называют радиусом шара.

Отрезок , соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара.

Диаметр шара равен двум радиусам.

Поверхность шара называют сферой.

Рациональные числа.

Положительные и отрицательные числа.

Числа со знаком + называют положительными.

Числа со знаком – называют отрицательными.

Прямую с выбранными на ней началом отсчета , единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Число, показывающее положение точки на прямой , называют координатой этой точки.

Два числа , отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Натуральные числа , противоположные числа и нуль называют целыми числами.

Модулем числа а называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу.

Противоположные числа имеют равные модули.

Сравнение чисел.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Нуль больше любого отрицательного числа , но меньше любого положительного числа.

На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

Любое число от прибавления положительного числа увеличивается , а от прибавления отрицательного числа уменьшается.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Чтобы сложить два отрицательных числа , надо: а)сложить их модули; б) поставить перед полученным числом знак — .

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: а) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; б) поставить перед полученным числом знак того слагаемого , модуль которого больше.

Чтобы из данного вычесть другое ,надо к уменьшаемому прибавить число , противоположное вычитаемому: а-б=а+(-б)
Любое выражение содержащее лишь знаки сложения и вычитания , можно рассматривать как сумму.
Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой ,надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

Чтобы перемножить два числа с разными знаками , надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак — .

Чтобы перемножить два отрицательных числа , надо перемножить их модули.

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное , надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

При делении чисел с разными знаками , надо: а) разделить модуль делимого на модуль делителя; б) поставить перед полученным числом знак — .

Рациональные числа.

Число , которое можно записать в виде отношения а/н , где а-целое число , а н-натуральное число , называют рациональным числом.

Любое целое число является рациональным.

Сумма , разность и произведение рациональных чисел тоже рациональные числа.

Если делитель отличен от нуля , то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.

Любое рациональное число можно записать либо в сиде десятичной дроби ( в частности целого числа ) , либо в виде периодической дроби.

Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Произведение может быть равно нулю лишь в том случае , когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Умножение рациональных чисел обладает распределительным свойством относительно сложения.

Решение уравнений.

Если перед скобками стоит знак + , то можно опустить скобки и этот знак + , сохранив знаки слагаемых , стоящих в скобках.Если первое слагаемое записано без знака , то его надо записать со знаком + .

Чтобы раскрыть скобки перед которыми стоит знак — , надо заменить этот знак на + , поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные , а потом раскрыть скобки.

Подобные слагаемые.

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв , то это число называют числовым коэффициентом ( или просто коэффициентом ).

Слагаемые , имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Чтобы сложить ( или говорят : привести ) подобные слагаемые , надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Решение уравнений.

Корни уравнения не изменяются , если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю.

Корни уравнения не изменяются , если какое –нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую , изменив при этом его знак.

Уравнение , которое можно привести к виду ах=в с помощью переноса слагаемых и приведения подобных , называют линейным уравнением с одним неизвестным.

Координаты на плоскости.

Две прямые , образующие при пересечении прямые углы , называют перпендикулярными.

Отрезки ( или лучи) , лежащие на перпендикулярных прямых , называют перпендикулярными отрезками ( или лучами).

Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.

Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей , то они параллельны.

Через каждую точку плоскости , не лежащую на данной прямой , можно провести только одну прямую , параллельную данной прямой.

Отрезки ( или лучи) , лежащие на параллельных прямых , называют параллельными отрезками ( или лучами).

Системой координат на плоскости называют две перпендикулярные координатные прямые- х и у , которые пересекаются в начале отсчета – точке О. Тока О называется началом координат.

Плоскость на которой выбрана система координат , называют координатной плоскостью.
Координатную прямую х называют осью абсцисс , а у – осью ординат.

gitun.com

Правила по математике 6 класс

Признаки делимости

Простое число – число, у которого имеются два делителя (единица и оно само)

Составное число – число, у которого больше двух делителей.

Сократить дробь, значит разделить числитель и знаменатель на одно и тоже число.

Чтобы умножить дроби, нужно 1. Посмотреть, можем ли мы что-то сократить, 2. Умножить числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.

Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо умножить дробь(часть) на число.

Взаимно обратные числа – числа, произведение которых равно единице.

Чтобы поделить две дроби, необходимо 1. Нужно первую дробь оставить, 2. Деление заменить умножением, 3. Вторую дробь перевернуть, 4. Посмотреть можем ли мы что-то сократить, 5. Умножить числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.

Отношение – это частное(деление) двух чисел.

Пропорция – это равенство (=) двух отношений.

Две переменные прямо пропорциональны – когда при увеличении(уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается(уменьшается) во столько же раз.

Две переменные обратно пропорциональны – когда при увеличении(уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Окружность – геометрическая фигура, состоящая из множества точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра.

Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Диаметр – отрезок, соединяющий две точки на окружности, проходящий через центр.

Связь радиуса и диаметра – диаметр равен двум радиусам.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности, не проходящий через центр.

Длина окружности –

Круг – это плоскость, ограниченная окружностью.

Площадь круга –

Целые числа (обозначается буквой Z) – натуральные числа, противоположные им числа и нуль.

Натуральные числа (обозначается буквой N) – числа, которые мы используем при счёте.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного.

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно 1) сложить их модули, 2) поставить перед полученным числом знак «—»

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший, 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a – b = a + (– b)

Например, –18 –14 = –18 + (–14)

+

+

+

+

̶

̶

̶

+

̶

̶

̶

+

30. Противоположные числа — два числа, отличающиеся друг от друга только знаками.

31. Координатная прямая – прямая с выбранными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением.

32. Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

33. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

34. Рациональные числа (обозначается буквой Q) – числа, которые можно записать в виде отношения , где a – целое число, а n – натуральное число.

35. Свойства действий с рациональными числами:

Переместительный: a + b = b + a

Сочетательный: a + (b + c) = (a + b) + c

Распределительный: (a + b) · c = a · c + b · c

Прибавление нуля: a + 0 = a

Умножение на нуль: a · 0 = 0

Умножение на 1: a · 1 = a

36. Модуль числа а – расстояние от начала координат до точки А (а).

37. Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.

38. Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.

39. Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

40. Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

41. Система координат на плоскости – это две перпендикулярные координатные прямые x и y, которые пересекаются в начале отсчёта – точке О.

42. Координатная плоскость – плоскость, на которой выбрана система координат.

43. Начало координат – точка О.

44. Прямая х – ось абсцисс. Прямая у – ось ординат.

45. Пусть М – некоторая точка координатной плоскости. Проведем через неё прямую МА, перпендикулярную координатной прямой х, и прямую МВ, перпендикулярную координатной прямой у. Точка А имеет координату 6, а В – координату -5, тогда точка М определяется парой чисел (6, -5). Эта пара чисел называется координаты точки М.

46. Произведение может быть равно нулю тогда, когда один из множителей равен нуль.

a · b = 0, a = 0 или b=0

47. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак « ̶ », нужно оставить знак перед скобками, а в скобках заменить знаки на противоположные.

48. Если выражение является произведение числа и одной/несколько букв, то это число называют коэффициентом.

49. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

50. Чтобы сложить подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

51. Корни уравнения не изменяются, если 1) обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, 2) какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

infourok.ru

Опорная таблица по курсу математики 6 класса

Опорная таблица по курсу математики 6 класса.

Делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое a делится без остатка. Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
Кратным натурального числа a называют натуральное число, делится без остатка на a. Первые пять чисел, кратных 8: 8, 16,24, 32, 40.
Признаки делимости На 2 Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число нечетно. На 3 Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. На 5 Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. На 9 Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9. На 10 Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.
Число, делящееся только на 1 и само на себя – простое число. Число, имеющее более двух делителей – составное число.
Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел (НОД). Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо: 1.)Разложить их на простые множители; 2.)Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел; 3.)Найти произведение оставшихся множителей. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b (НОК). Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо: 1.)Разложить их на простые множители; 2.)Выписать множители, входящие в разложение одного из этих чисел; 3.)Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4.)Найти произведение получившихся множителей.
	Основное свойство дроби Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
	Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.
и 60 = 2 · 2 · 3 · 5 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 Наименьший общий знаменатель: 2 · 2 · 2 · 3 · ·5 · 7 = 840	Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1.)Найти НОК знаменателей этих дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем; 2.)Разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели этих дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3.)Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1.)Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2.)Сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.
5	Чтобы сложить смешанные числа, надо: 1.)Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2.)Отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно – дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.
3	Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1.)Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2.)Отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.
	Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить это число, а знаменатель оставить без изменения. Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1.)Найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2.)Первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем. Чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.
	Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
	Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
	Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.
	Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.
	Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.
или a:b=c:d a·d=b·c	Равенство двух отношений называют пропорцией. Числа a и d – крайние члены пропорции; b и с – средние В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.
4 : 2 = 56 : 28 7 : 21 = 15 : 45 5 : 25 = 7 : 35	Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.
	Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Если две величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты. 1 : 100000 = – карта выполнена в масштабе одна стотысячная
C = 2·π·r	Длина окружности r – радиус окружности π = 3,14
S = π·r2	Площадь круга r – радиус окружности π = 3,14
	Прямую, с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой. Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.
2,6 и -2,6 и	Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами. Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами.
	Модулем числа a (|a|) называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а).
– 8,7 + (– 3,5) = – (8,7 + 3,5) = – 12,2	Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1.)Сложить их модули; 2.)Поставить перед полученным числом знак –.
6,1 + (– 4,2) = + (6,1 – 4,2) = 1,9 или 6,1 + (– 4,2) = 6,1 – 4,2 = 1,9	Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1.)Из большего модуля слагаемых вычесть меньший; 2.)Поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.
Если A(9) и В(– 5), то |AB|=9 – (– 5)= 14	Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.
(–1,2)·0,3 = –(1,2·0,3) = –0,36	Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак –.
(–3,2)·( –9) = |–3,2|·|–9|=3,2·9=28,8	Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.
(–12) : ( –4) = 12 : 4 = 3	Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.
3,6 : (–3) = –(3,6:3) = –1,2	При деление чисел с разными знаками, надо: 1.)Разделить модуль делимого на модуль делителя. 2.)Поставить перед полученным числом знак.
x =	Число x, которое можно записать в виде отношения , где a – целое число, а n – натуральное число, называют рациональным числом.
16–(10–18+12) = 16+(–(10–18+12))=16+(–10+18–12) = 16–10+18–12=12	Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак –, надо заменить этот знак на +, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.
0,3a·(–0,7b) = 0,3·a·(–0,7)·b = (0,3·(–0,7))·(a·b) = –0,21ab; –0,21 – коэффициент	Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом).
2m – 7m + 3m = m·(2–7+3) = –2m	Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми. Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Свойства уравнений 1.)Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. 2.)Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.
	Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными ().
	Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными (). Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
	– система координат на плоскости О – начало координат, x – ось абсцисс, y – ось ординат (3;5) – координаты точки А

studfile.net

Математика 6 класс Учебник Виленкин

it ‘»ir •I 1 f! 1.JL ■ ip- ir’T»; -p[ H. Я. ВИЛЕНКИН B. и. жохов А. С. ЧЕСНОКОВ C. И. ШВАРЦБУРД :! ■ I! : i; _ji I. 1,^:1 1П класс Учебник ДЛЯ общеобразовательных учреждений Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 30-е издание, стереотипное Москва 2013 г’1″ ■! ir’‘с:1 :i iDc-liI УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я721 В44 На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/626 от 14.10.2011) и Российской академии образования (№ 01-5/7д-708 от 24.10.2011) Виленкин Н. Я. Математика. 6 класс : учеб, для общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 30-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2013. — 288с. : ил. ISBN 978-5-346-02274-9 УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я721 Учебное издание Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович, Чесноков /Александр Семёнович, Шварцбурд Семён Исаакович МАТЕМАТИКА 6 класс Учебник для общеобразовательных учреждений 3 -30-е издания подготовил к печати В. И. Жохов Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная Главный редактор К. И. Куровский Редактор А. Н. Виленкин Оформление и художественное редактирование: Г. С. Богданова Технический редактор И. Л. Ткаченко Корректоры Л. В. Дъячкова, С. О. Никулаев Компьютерная вёрстка: А. А Горкин Формат 70×90 ^/\б. Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 21,06. Доп. тираж 50 000 экз. Заказ №8826 Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б. Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218. E-mail: [email protected] www.mnemozina.ru Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг, «КНИГА — ПОЧТОЙ», ИНТЕРНЕТ-магазин). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б. Тел./факс: 8 (495) 783 8284; тел.: 8 (495) 783 8285. E-mail: [email protected] www.shop.mnemozina.ru Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг). Тел./факс: 8 (495) 665 6031 (многоканальный). E-mail: [email protected] Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография», филиал «Ульяновский Дом печати». 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14. © «Мнемозина», 1996 © «Мнемозина», 2012, с изменениями © «Мнемозина»,2013 © Оформление. «Мнемозина», 2013 ISBN 978-5-346-02274-9 Все права защищены Дорогие ребята! в учебнике для 6-го класса, как и в учебнике для 5-го класса, применяются различные условные обозначения. Напомним, что они означают. — вопросы к объяснительному тексту учебника. — упражнения для работы в классе по теме данного пункта. упражнения для повторения ранее пройденного материала. Некоторые из этих упражнений имеют дополнительные номера: 1), 2), 3), 4) и т. д. Они предназначены для самостоятельной работы. При этом нечётные номера — это задания для 1-го варианта, а чётные — для 2-го варианта. — упражнения для домашней работы. ^ — упражнения для парной или групповой работы. — упражнения для поисковой, исследовательской работы. Л — ссылки на задания из учебного интерактивного пособия Ч В этой рубрике вы найдёте рассказы об истории возникновения и развития математики. Не зная прошлого развития науки, трудно понять её настояш;ее. По тому, как человек говорит, можно судить о его культуре и развитии, об умении думать. Поэтому учитесь говорить правильно — в этом вам помогут примеры и пояснения данной рубрики. Н. ^ Речь идёт об учебном интерактивном пособии на CD-диске к учебнику Я. Виленкина и др. «Математика-6*, подготовленном Информационно- методическим центром «Арсенал образования*. Глава I ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ §1. Делимость чисел 1. Делители и кратные 20 яблок можно разделить поровну между 4 ребятами. Каждый получит по 5 яблок. А если надо разделить (не разрезая) 20 яблок между 6 ребятами, то каждый получит по 3 яблока, а ещё 2 яблока останутся. Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20. I Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Число 1 является делителем любого натурального числа. Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 печений. Не раскрывая пачек, можно взять 8 печений, 16 печений, 24 печенья, а 18 печений так взять нельзя. Числа 8, 16, 24 делятся на 8, а 18 на 8 не делится. Говорят, что числа 8, 16, 24 кратны числу 8, а число 18 не кратно числу 8. ■ Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а. Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Например, первые пять чисел, кратных 8, такие: 8, 16, 24, 32, 40. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число. 0% Какое число называют делителем данного натурального числа? J Какое число называют кратным натуральному числу а? Какое число является делителем любого натурального числа? Какое число и кратно п, и является делителем л? 1. На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов? 2. В каждой коробке лежат 6 чайных ложек. Можно ли, не вскрывая коробок, взять: а) 42 ложки; б) 49 ложек? 3. Верно ли, что: а) 5 — делитель 45; г) 27 — кратное 3; б) 16 — делитель 8; д) 6 — кратное 12; в) 17 — делитель 152; е) 156 — кратное 13? Следите за верным употреблением слов кратно и кратное (в значении существительного). Кратно (какому числу?): — число пятнадцать кратно числу три Д. п. (или: пятнадцать кратно трём). д. п. Кратное (какого числа?): — число пятнадцать — кратное числа три р. п. (или: пятнадцать — кратное трёх). р. п. — числа девять, двенадцать, пятнадцать — кратные трёх. р. п. Слово делитель употребляется с родительным падежом зависимого слова: — число шесть — делитель числа тридцать р. п. (или: шесть — делитель тридцати). р. п. — делители одиннадцати — числа один и одиннадцать. р. п. Слова делится (без остатка) и кратно заменяют друг друга: — сорок пять делится на девять, — сорок пять кратно девяти. 4. Является ли число 15 делителем 105? Является ли делителем числа 105 частное 105 : 15? Мх «5. Выберите из чисел 15, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 те, которые являются: а) делителями 20; б) кратными 4; в) делителями 16 и кратными 4; г) кратными 3 и делителями 18. 6. Напишите все делители числа: а) 6; б) 18; в) 25; г) 19. 7. Напишите все двузначные числа, кратные числу: а) 8; б) 11; в) 48; г) 99. 8. в спортивном празднике участвовали 90 школьников. Могут ли они на заключительном параде построиться: в две одинаковые шеренги? в пять одинаковых шеренг? в одиннадцать одинаковых шеренг? в колонну по шесть человек в ряд? 9. Докажите, что число 70 525 кратно числу 217, а число 729 является делителем числа 225 261. 10. На координатном луче отмечено число а (рис. 1). Отметьте на этом луче четыре числа, кратных числу а. о а Рис. 1 11. Проверьте, что каждое из чисел 6, 28, 496 равно сумме всех его делителей, не считая самого числа. 12. Проверьте, что каждое из чисел 220 и 284 равно сумме делителей другого числа, не считая его самого. 13. Докажите, что произведение двух натуральных чисел кратно каждому из множителей. Рис. 2 М.Х ‘ 14. На рисунке 2 изображён в натуральную величину один кадр фотоплёнки. Каких размеров получится фотография при пятикратном увеличении? Уместится ли изображение этого кадра при десятикратном увеличении на листе бумаги, размер кото- рого 24 X 30 см? 15. Вычислите устно: а) 5 Ч- 0,8; б) 0,76 — 0,3; в) 0,2 • 4; г) 6 : 10; 0,23 + 7; 2,54 — 2; 2,1 • 3; 0,8 : 2; 0,48 -Ь 0,2; 0,82 — 0,02; 0,7 • 10; 2,1 : 7; 0,6 -Ь 0,34; 0,63 — 0,6; 0,5 • 2; 0,5 : 10 2,7 -Ь 1,12; 0,8 — 0,25; 0,25 • 4; 4,1 : 2. 16. Найдите пропущ;енные числа: 17. На координатном луче отмечены числа 1 и m (рис. 3). С помощью циркуля отметьте на луче числа: m + l;m-l;m + m. Рис. 3 18. Даны три числовых выражения и три программы вычисления их значений на микрокалькуляторе. Укажите, какая программа соответствует каждому из данных выражений: а) 16,2 • 0,8 -Ь 1,4; 1) 0,8 -h 1,4 X 16,2 = б) 16,2 -f 0,8 • 1,4; 2) 16,2 X 0,8 -ь 1,4 = в) 16,2 • (0,8 -Ь 1,4). 3) 0,8 X 1,4 + 16,2 = 19. Найдите неполное частное и остаток при делении: а) 243 на 15; б) 3629 на 12; в) 1075 на 29; г) 1632 на 51. 20. Найдите остаток от деления: а) 273 на 10; г) 4236 на 5; б) 3785 на 2; д) 100 на 3; в) 3843 на 5; е) 1000 на 9. Мх 21. При делении числа а на число Ь получили неполное частное с и остаток г. С помощью формулы а = Ьс + г заполните пустые клетки таблицы. LJ^ 22. Выполните действие: а) 3,4 -Ь 2,5; б) 5,7 — 1,3; 17,2 -Ь 2,8; 8 — 3,4; 5,9 + 3,7; 12,3 — 1,8; 4,587 -h 7,64; 10,273 — 5,49; а 458 273 Ъ 15 10 с 8 10 г 4 8 в) 2,4 • 3; 3,02 • 7; 2,6 • 3,7; 4,5 • 2,06; г) 3,5 : 7; 8,4 : 4; 60,8 : 1,9; 20,52 : 3,8. 23. Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или

uchebnik-skachatj-besplatno.com