Решебник пишем грамотно 4 класс кузнецова: ГДЗ по русскому языку 4 класс рабочая тетрадь Кузнецова Пишем грамотно

ГДЗ Русский 4 класс Кузнецова Рабочая тетрадь

Авторы:Кузнецова

Тип:рабочая тетрадь

На какой странице твое задание?

стр. 3стр. 7стр. 8стр. 9стр. 10стр. 11стр. 12стр. 13стр. 14стр. 15стр. 16стр. 17стр. 18стр. 19стр. 20стр. 21стр. 22стр. 23стр. 25стр. 26

стр. 27стр. 28стр. 29стр. 30стр. 31стр. 32стр. 33стр. 34стр. 35стр. 36стр. 37стр. 38стр. 39стр. 40стр. 41стр. 42стр. 43стр. 44стр. 45стр. 46

стр. 47стр. 48стр. 49стр. 50стр. 51стр. 52стр. 53стр. 54стр. 55стр. 56стр. 57стр. 58стр. 59стр. 60стр. 63стр. 64стр. 65стр. 66стр. 67стр. 68

стр. 69стр. 70стр. 71стр. 72стр. 73стр. 74стр. 75стр. 76стр. 77стр. 78стр. 81стр. 82стр. 83стр. 84стр. 87стр. 88стр. 89стр. 90стр. 91стр. 92

стр. 93стр. 94стр. 95стр. 96стр. 61-62стр. 79-80стр. 85-86

Похожие решебники

• org/Book»>Учебник
• Тетрадь
• Тетрадь
• КИМ

Подробные решения по русскому языку за 4 класс авторы Кузнецова

Четвертый класс отличается от предыдущих трех тем, что является финальным в ходе получения начального образования. Ребенок постепенно усваивает все более сложную и обширную программу. Однако объем поставленной перед ним задачи требует больших усилий и времени. Тем более что далеко не у всех родителей есть возможность помочь с выполнением заданных домашних заданий. Как свидетельствует практика, среди изучаемых предметов русский язык вызывает наибольшее количество затруднений. Четверокласснику следует хорошо усвоить не только правописание, но и такие сложные темы как падежи и склонения имен существительных, виды и построение предложений, лексическое значение слов, а также сложные для понимания большинства учеников морфемы (корень, приставка, суффикс, окончание и т. п.). Поэтому с целью облегчения усвоения новых знаний разработаны гдз по русскому языку рабочая тетрадь за 4 класс Кузнецова, которые также способствуют улучшению уровня успеваемости.

Кому пригодятся решебники в первую очередь?

Подготовленный онлайн-помощник предназначен для использования широким кругом четвероклассников. И не только. При этом сборник ответов к рабочей тетради по русскому языку 4 класс автора Кузнецовой все же может стать особенно важным для:

• школьников, желающих иметь хорошую или отличную оценку по русскому языку;
• учеников, которые переведены на дистанционную форму обучения и не имеют непосредственного контакта с педагогом;
• четвероклассников, которые вынуждены пропускать уроки из-за участия в спортивных соревнованиях, творческих конкурсах или культурно-массовых мероприятиях;
• школьников, которые часто болеют и поэтому не имеют возможности полноценно усвоить пройденный материал;
• родителей учеников, для которых важным является контроль над успеваемостью их детей;
• школьных учителей, которые в кратчайшие строки могут проверить большое количество письменных работ по русскому языку.

Безусловные преимущества применения решебников в младших классах

Представленный на еуроки ГДЗ онлайн-помощник имеет огромное количество положительных сторон. Но все-таки онлайн решения к рабочей тетради по русскому языку для 4 класса Кузнецова имеют такие важные преимущества:

• информация подана в электронном формате, что находит отклик среди детей и подростков;
• качественно сделанный пользовательский интерфейс
• информация подана в максимально упрощенном для учеников четвертого класса виде;
• возможность для саморазвития и самоконтроля школьников;
• акцент на выполнение практических заданий;
• полное соответствие изложенной в решебнике информации требованиям Федерального государственного образовательного стандарта.

Таким образом, готовые домашние задания помогут одним махом решить значительное количество проблем. Среди них: плохая успеваемость и нехватка личного времени, возможность получить дополнительные знания и подготовиться к успешному написанию самостоятельных работ.

В целом, использование решебника позволяет лучше усвоить только пройденный материал и систематизировать уже давно прошедший.

▶▷▶ гдз по русскому языку 4 класс кузнецова 1 часть учебник ответы

▶▷▶ гдз по русскому языку 4 класс кузнецова 1 часть учебник ответы

гдз по русскому языку 4 класс кузнецова 1 часть учебник ответы — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download ГДЗ по русскому языку 4 класс учебник Иванов Кузнецова Петленко yagdzcom › 1 — 4 класс › Русский язык ГДЗ по русскому языку 4 класс учебник Иванов Кузнецова Петленко ГДЗ решебник к учебнику по русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова Петленко 1 , 2 часть ФГОС Просвещение ГДЗ решебник по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова gdzgoorg/ 1 — 4 -klass/508-russkij-yazyk/649-ivanov Cached Главная / 1 — 4 класс / Русский язык ГДЗ решебник по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова , Петленко ( учебник и рабочая тетрадь) ГДЗ по русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова Петленко 1, 2 gdz-putinainfo › … › Русский язык ГДЗ готовые домашние задания учебника и рабочей тетради по русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова Петленко 1 и 2 часть ФГОС от Путина ГДЗ Русский язык 4 класс Учебник Иванов СВ, Кузнецова МИ otlgdzonline › 4 КЛАСС ГДЗ Русский язык 4 класс Учебник Канакина В П, Горецкий В Г, 2014 ГДЗ Русский язык 4 класс Рабочая тетрадь Кузнецова МИ, 2014 ГДЗ по русскому языку 4 класс Бунеев Бунеева Пронина ГДЗ по русскому языку 4 класс Климанова Решебник и ГДЗ по Русскому языку за 4 класс , авторы СВ gdz-putinanet/ 4 -klass-russkij-yazyk-ivanov Cached ГДЗ по Русскому языку 4 класс авторы: СВ Иванов, МИ Кузнецова , ЛВ Петленко Решебник по русскому языку 4 класс СВ Иванов, МИ gdzguru › Русский язык ГДЗ к рабочей тетради по русскому языку за 4 класс Кузнецова МИ можно скачать здесь ГДЗ по русскому языку 3 класс учебник Иванов Кузнецова 1, 2 часть yagdzcom › 1 — 4 класс › Русский язык ГДЗ по русскому языку 3 класс Иванов Евдокимова Кузнецова ГДЗ решебник к учебнику по русскому языку 3 класс Иванов Евдокимова Кузнецова Петленко 1 , 2 часть ФГОС Просвещение Гдз по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова, Петленко reshebacom/gdz/russkij-jazyk/ 4 -klass/ivanov Cached Гдз рабочая тетрадь учусь писать без ошибок по Русскому языку за 4 класс можно найти тут Часть 1 Страницы учебника ГДЗ по Русскому языку 4 класс СВ Иванов, МИ Кузнецова, Л gdzputinacom/ 4 -klass/russkij-yazyk/ivanov Cached Подробный решебник и гдз по русскому языку для 4 класса, авторов СВ Иванов, МИ Кузнецова , ЛВ Петленко к часть 1 и 2 ГДЗ от Путина по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова gdz-putinacc › … › Русский язык Главная › 1 — 4 класс › Русский язык Наш сайт предоставляет вам свободный доступ к такому разделу, как ответы по русскому языку для 4 класса Иванов, Кузнецова , Петленко Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 34,400 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

гдз по русскому языку 4 класс кузнецова 1 часть учебник ответы — Все результаты ГДЗ (решебник) по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова reshatorru/4-klass/russkij-jazik/ivanov/ ГДЗ ( решебник ) по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова часть 1 , часть 2 ( учебник ) Иванов, Кузнецова «Вентана граф» 2017 год; Часть 1 ,2 ГДЗ по русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова — Ботанам нет › Решебники › 4 класс › Русский язык ГДЗ по русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова Петленко из учебника 1 и 2 часть по русскому языку за 4 класс авторов СВ Иванов, МИ Кузнецова , ГДЗ по русскому языку 4 класс учебник Иванов Кузнецова Петленко › 1-4 класс › Русский язык ГДЗ решебник к учебнику по русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова Петленко 1 , 2 часть ФГОС Просвещение Ответы на упражнения и задания на ГДЗ, Ответы по Русскому языку 4 класс Иванов СВ Кузнецова МИ 25 дек 2017 г — Программа по русскому , рассчитанная на 4 класс , совсем несложная, однако, её освоение не всегда легко даётся малышам ГДЗ по Русскому языку за 4 класс СВ Иванов, МИ Кузнецова, ЛВ › ГДЗ › 4 класс › Русский язык › СВ Иванов Похожие Подробный решебник ( ГДЗ ) по Русскому языку для 4 класса , часть 1 , 2 Авторы учебника : СВ Иванов, МИ Кузнецова , ЛВ Петленко Готовые ответы помогут разобраться в каждом упражнении и безошибочно выполнить ГДЗ по Русскому языку за 4 класс рабочая тетрадь, пишем › ГДЗ › 4 класс › Русский язык › рабочая тетрадь Кузнецова Подробный решебник ( ГДЗ ) по Русскому языку для 4 класса рабочая ГДЗ по русскому языку 4 класс рабочая тетрадь, пишем грамотно Кузнецова МИ часть 1 , 2 ГДЗ учебник русский язык 4 класс СВ Иванов Вопрос — ответ ГДЗ по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова Часть 1, 2 › Русский › 4 класс Решебник по русскому языку за 4 класс авторы Иванов, Кузнецова издательство Вентана-Граф ГДЗ по русскому языку за 4 класс рабочая тетрадь (пишем — GDZru › ГДЗ › 4 класс › Русский язык › рабочая тетрадь Кузнецова (пишем грамотно) по русскому языку за 4 класс , решебник Кузнецова МИ, ФГОС, часть 1 , часть 2 онлайн ответы на GDZ RU ГДЗ рабочая тетрадь ( пишем грамотно) по русскому языку 4 класс Кузнецова МИ ФГОС часть 1 , 2 ГДЗ по Русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова Петленко › 4 класс › Русский язык ГДЗ по русскому языку 4 класс к учебнику Иванов Кузнецова Петленко, онлайн Онлайн ответы из решебника по русскому языку за 4 класс авторов Урок 5: 1 2 Урок 6: 1 2345 Урок 7: 1 23 Урок 8: 1 234 Урок 9: 1 23 Урок 10-11: 1 ГДЗ по русскому языку 4 класс Иванов Категория: Русский язык 4 класс Учебник Иванов СВ, Кузнецова МИ, Ответы по русскому языку 4 класс Иванов: Часть 1 : Выберите номер урока: ГДЗ решебник по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова › 1-4 класс › Русский язык Рейтинг: 3,6 — ‎141 голос Решебник для 4 класса , составленный по учебнику русского языка авторов ГДЗ по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова , Петленко ( учебник и рабочая тетрадь Часть 2 1 Звезда 2 Звезды 3 Звезды 4 Звезды 5 Звезд Решебник (гдз) по Русскому языку для 4 класса СВ Иванов Решебник по Русскому языку для 4 класса СВ Иванов ГДЗ к рабочей тетради по русскому языку за 4 класс Кузнецова МИ можно скачать здесь Часть 1 Страницы учебника 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Решебник Русский язык Рабочая тетрадь Пишем грамотно gndakorg/gdz/4/54 Русский язык Рабочая тетрадь Пишем грамотно Кузнецова МИ 4 класс Русский язык Рабочая тетрадь Пишем грамотно Кузнецова МИ Задание не гдз по русскому языку 4 класс учебник иванова кузнецова петленко esareunioncom//gdz-po-russkomu-iazyku-4-klass-uchebnik-ivanova-kuznetsova-pe гдз по русскому языку 4 класс учебник иванова кузнецова петленко Кузнецова Петленко 1 , 2 часть ФГОС ГДЗ решебник по русскому языку 4 класс Видео 0:41 пишем грамотно 4 класс кузнецова решебник Михаил Батрутдинов YouTube — 1 июл 2017 г 4:32 Упражнение 1 — Русский язык 4 класс (Канакина, Горецкий) Часть 1 UrokiTV YouTube — 25 авг 2015 г 2:49 Упражнение 78 — Русский язык 4 класс (Канакина, Горецкий) Часть 2 UrokiTV YouTube — 3 февр 2016 г Все результаты ГДЗ по русскому языку 4 класс Кузнецова «Пишем грамотно newgdznet/gdz/4-klass/category/ivanov-rabochaya-tetrad-4 Ответы на домашние задания Пишем грамотно 4 класс Кузнецова на учебник по русскому языку Иванов часть смотреть онлайн Часть 1 , 2 Авторы: МИ Кузнецова Предмет: Русский язык Класс: 4 Выберите из списка ниже Решебник (ГДЗ) Русский язык, 4 класс (СВ Иванов, МИ Решебник ( ГДЗ ) по учебнику Русский язык , 4 класс (СВ Иванов, МИ Кузнецова , ЛВ Петленко) 2013, 2014 Точные науки: Математика 1 -6 класс ГДЗ от Путина по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова › 1-4 класс › Русский язык ГДЗ по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова , Петленко ( учебник и рабочая тетрадь как ответы по русскому языку для 4 класса Иванов, Кузнецова , Петленко Электронное тренировочное ГДЗ Часть 2 10 1 — 4 класс ГДЗ — Решебник Русский язык 4 класс Иванов СВ, Кузнецова МИ gdz-freeru/gdz/Ru4/2 Похожие Готовое Домашнее Задание ( ГДЗ ) Решебник по Русскому языку 4 класс за 4 класс ; ГДЗ ( решебник ) Русский язык 4 класс Иванов Кузнецова Петленко 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 и авторами обычного учебника , одобренного Минобразованием Группа Русский Язык 2 Класс Иванов Решебник — relizuafinance 15 янв 2018 г — Русский Язык 2 Класс Иванов Евдокимова Кузнецова Ответы Канакина, ВГ Русский язык 2класс учебник часть1 стр132 упр3автора Иванов по русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова Петленко 1 и 2 часть Лучшее ГДЗ по Русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова › ГДЗ › 4 класс › Русский язык Похожие Выберите номер: Часть 1 Урок №2 · Урок №3 · Урок № 4 · Урок №5 · Урок №6 · Урок №7 · Урок №8 · Урок №9 · Урок №10-11 · Урок №12 · Урок №13 · Урок ГДЗ по русскому языку 4 класс Соловейчик на ЛОЛ КЕК gdzkekorg/russkij-yazyk-4-klass-solovejchikhtml Учебник Соловейчик М С, Кузьменко Н С Ассоциация 21 век Дорогие родители Ответы по русскому языку 4 класс Соловейчик: Часть 1 : Русский язык 4 класс Кузнецова (рабочая тетрадь Пишем грамотно) Русский язык 4 Картинки по запросу гдз по русскому языку 4 класс кузнецова 1 часть учебник ответы «id»:»1YQXXxcCUQCF2M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:120,»oh»:501,»ou»:» «,»ow»:756,»pt»:»gdzputinaco/jpeg/own/ivanov-kuznetsova4/4-klass-i»,»rh»:»gdzputinaco»,»rid»:»ZfaCA1emPvSPpM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ от Путина — ВСЕ решебники и рабочие тетради»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRYptoJ7AZlomvM9ZskgGrwkmQWVTKnDMyHNkj7Wh3vZBCFR_CiRO904cw»,»tw»:136 «cb»:15,»cl»:9,»cr»:9,»ct»:9,»id»:»cwJZm8YMEZv8DM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:81,»oh»:768,»ou»:» «,»ow»:600,»pt»:»wwweurokiorg/system/books/covers/000/004/582/thu»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»5-AsfeB7eCFSxM»,»rt»:0,»ru»:» «,»th»:104,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTCgHlDE1Xo3GCK9PSEHyyOf6rLGqq9yJLjTwcMlP-WcLrbgg-2_OheIA»,»tw»:81 «id»:»-qw-nI-3-9uxXM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:85,»oh»:794,»ou»:» «,»ow»:748,»pt»:»gdzputinaco/jpeg/own/ivanov-kuznetsova4/4-klass-i»,»rh»:»gdzputinaco»,»rid»:»ZfaCA1emPvSPpM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ от Путина — ВСЕ решебники и рабочие тетради»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTbu4IRCqcVBIhxXF_MWFvGpCNr7Ui1BfetkPh0px8CV29SjwRvxWehSy8″,»tw»:85 «id»:»Udo0s1kE5pbb-M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:120,»oh»:524,»ou»:» «,»ow»:835,»pt»:»gdzputinaco/jpeg/own/ivanov-kuznetsova4/4-klass-i»,»rh»:»gdzputinaco»,»rid»:»ZfaCA1emPvSPpM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ от Путина — ВСЕ решебники и рабочие тетради»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRjcP3tEKyzAzDHYwTShBA48bxc6luz2czAJE_9c4p7C_WbPI2uTvi0iIqJ»,»tw»:143 «id»:»A5EloB1nHwQlUM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:52,»oh»:936,»ou»:» «,»ow»:541,»pt»:»gdzgoorg/putin/rus/4klass/ivanov/%D0%A7%D0%B0%D1%»,»rh»:»gdzgoorg»,»rid»:»8fLk1XM3Y94EzM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:110,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcS_rSbkiYEEa7Fh-0Y-ONUaoT36qyNeIEYWzxeJXLzBGRrw4g6gxLZevUI»,»tw»:63 «cb»:3,»cr»:6,»id»:»qkGzo-HrQ-C66M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:55,»oh»:1166,»ou»:» «,»ow»:700,»pt»:»gdzlolbiz/gdzimg/4klass/russian/kuznecova-tetrad/»,»rh»:»gdzlolbiz»,»rid»:»-gBvYETfPPHsTM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ГДЗ ЛОЛ»,»th»:108,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTFBGAK2hi9nmQ40yXnLpTOAn3rzpXO_2MRbWBiA0fWu4YN-W3ijzlgfA»,»tw»:64 «id»:»RDUo8R4xtwPE9M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:63,»oh»:774,»ou»:» «,»ow»:537,»pt»:»gdzgoorg/putin/rus/4klass/ivanov/%D0%A7%D0%B0%D1%»,»rh»:»gdzgoorg»,»rid»:»8fLk1XM3Y94EzM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSrFA6mximuZQHNsr8kduN1w6KQG3O_Fn8zj20TvrtsI47_xhNhr-4gXyA»,»tw»:69 Другие картинки по запросу «гдз по русскому языку 4 класс кузнецова 1 часть учебник ответы» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты ГДЗ по русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова Петленко › 1-4 класс › Русский язык Здесь представлены ответы к учебнику и рабочей тетради по русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова Петленко 1 и 2 часть Вы можете смотреть и Решебник (ГДЗ) Русский язык 4 класс СВ Иванов, МИ Кузнецова › Решебники за 4 класс › Русский язык Полный и качественный решебник ( ГДЗ ) Русский язык 4 класс СВ Иванов, М И Кузнецова , ЛВ Петленко, ВЮ Романова 2009 Часть 1 Доступно на ГДЗ решебник по Русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова gdzmonsternet › 4 класс › Русский язык ГДЗ решебник по Русскому языку 4 класс Иванов Кузнецова Петленко Часть 1 , 2 Авторы: Иванов СВ, Кузнецова МИ, Петленко ЛВ Класс: 4 Предмет: Русский язык 4 класс иванов кузнецова 1 часть читать | carloje Русский язык 4 класс иванов кузнецова 1 часть читать Similar Ideas Информатика в играх и задачах 4 класс часть 1 ответы горячёв задания Гдз для учебника английского языка автора афанасьева четвёртый год обучения Гдз по русскому языку 4 класс Иванов, Кузнецова, Петленко › ГДЗ › 4 класс › Русский язык › Иванов Похожие Подробный решебник и гдз к учебнику русского языка для 4 класса , авторов СВ Иванов, МИ Кузнецова , ЛВ Петленко в 2 частях на 2015-2016 ГДЗ по Русскому языку 4 класс СВ Иванов, МИ Кузнецова, ЛВ Похожие Русский язык 4 класс СВ Иванов учебник Подробный решебник и гдз по русскому языку для 4 класса , авторов СВ Иванов, МИ Кузнецова , ЛВ Петленко к часть 1 и 2 На 2015-2016 учебный год Решены все упражнения книги, ГДЗ по Русскому языку для 4 класса СВ Иванов, МИ Кузнецова, Л Решебник ( ГДЗ ) для 4 класса по русскому языку ФГОС Авторы учебника : СВ Иванов, МИ Кузнецова , ЛВ Петленко Содержит в себе полные и подробные ответы на все упражнения онлайн на пять ру Часть 1 Страницы учебника 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26 Решебник по Русскому языку 4 класс СВ Иванов, МИ Кузнецова Похожие ГДЗ по Русскому языку за 4 класс СВ Иванов, МИ Кузнецова Часть 1 Страницы учебника 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Решебник по Русскому языку 4 класс Алгоритм — ГДЗ от Путина › ГДЗ › 4 класс › Русский язык › СВ Иванов Решебник по Русскому языку для 4 класса , авторы учебника Алгоритм для 4 класса , авторов СВ Иванов, МИ Кузнецова , ЛВ Петленко к часть 1 и 2 Решебник по Русскому языку для 4 класса СВ Иванов ГДЗ ГДЗ ( Готовые домашние задания ) по Русскому языку 4 класс СВ Иванов, М И Кузнецова , ЛВ Петленко, решенные задания и онлайн ответы из Часть 1 Страницы учебника 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Решебник и ГДЗ по Русскому языку за 4 класс , авторы СВ Иванов Решебник и ГДЗ по Русскому языку для 4 класса , авторы учебника : СВ Иванов, задач и ГДЗ по Русскому языку 4 класс СВ Иванов, МИ Кузнецова , ЛВ Часть 1 Страницы учебника 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ГДЗ по Русскому языку за 4 класс СВ Иванов, МИ Кузнецова, ЛВ ГДЗ к рабочей тетради по русскому языку за 4 класс Кузнецова МИ можно скачать здесь Часть 1 Страницы учебника 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 СВ Иванов, МИ Кузнецова , ЛВ Петленко самые лучшие ответы от EGDZRU Классы 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс 5 класс Пояснения к фильтрации результатов Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше (50) Показать скрытые результаты В ответ на жалобы, поданные в соответствии с Законом США «Об авторском праве в цифровую эпоху», мы удалили некоторые результаты (2) с этой страницы Вы можете ознакомиться с жалобами на сайте LumenDatabaseorg : Жалоба , Жалоба Вместе с гдз по русскому языку 4 класс кузнецова 1 часть учебник ответы часто ищут гдз по русскому языку виноградова 4 класс igdz русский язык 4 класс иванов кузнецова петленко романова урок 82 русский язык 4 класс виноградова гдз путина гдз по впр 4 класс русский язык кузнецова гдз от путина 4 класс русский язык учебник виноградова гдз по русскому языку 4 класс н ф виноградова учебник часть 2 гдз по русскому языку вентана-граф гдз лол русский язык 4 класс кузнецова Ссылки в нижнем колонтитуле Россия — Подробнее… Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Google+ Переводчик Фото Ещё Документы Blogger Hangouts Google Keep Подборки Другие сервисы Google

На этой странице уравнения в частных производных. Уравнение Захарова–Кузнецова дробного порядка решается в качестве тестового примера, а дробные производные по времени описываются в смысле Капуто. Решения задачи вычисляются в виде быстро сходящихся рядов с легко вычисляемыми компонентами с помощью Mathematica. Надежность предлагаемого метода приведена в сравнении с другими методами, имеющимися в литературе. Полученные результаты показали, что метод является мощным и эффективным для определения решения многомерных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка.

1. Введение

Дробное исчисление — это просто расширение исчисления целочисленного порядка. В течение многих лет предполагалось, что дробное исчисление является чистой областью математики и не имеет подобных приложений в явлениях реального мира, но теперь эта концепция неверна из-за недавних применений дробного исчисления при моделировании распространения звуковых волн в твердых телах. пористые материалы [1], распространение ультразвуковых волн в губчатой ​​кости человека [2], вязкоупругие свойства мягких биологических тканей [3], задача отслеживания пути в автономных электромобилях [4] и др. Дифференциальные уравнения дробного порядка являются центральными внимания многих исследований в связи с их частым применением в областях электромагнетизма, электрохимии, акустики, материаловедения, физики, вязкоупругости и техники [5–9].]. Эти виды задач более сложны по сравнению с дифференциальными уравнениями целого порядка. Из-за сложности дробного исчисления большинство дифференциальных уравнений дробного порядка не имеют точных решений, и в качестве альтернативы для решения этих типов уравнений широко используются приближенные методы [10–14]. Некоторыми из недавних методов приближенных решений дифференциальных уравнений дробного порядка являются метод разложения Адомиана (ADM), метод гомотопических возмущений (HPM), метод вариационных итераций (VIM), метод гомотопического анализа (HAM) и т. д. [15–15]. 26].

Маринка и Херисану представили Оптимальный гомотопический асимптотический метод (OHAM) для решения нелинейных дифференциальных уравнений, который сделал методы теории возмущений независимыми от допущения о малых параметрах и огромных вычислительных затратах [27–31]. Этот метод был недавно расширен Sarwar et al. для решения дифференциальных уравнений дробного порядка [32–35].

В этой статье формулировка OHAM расширена до двумерных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка. В частности, расширенная формулировка демонстрируется на наглядных примерах следующей дробной версии уравнений Захарова–Кузнецова, кратко называемой ФЗК ():

В приведенном выше уравнении — параметр, описывающий теорию дробной производной, произвольные константы и целые числа, определяющие поведение слабо нелинейных ионно-звуковых волн в плазме, состоящей из холодных ионов и горячих изотермических электронов, в присутствии однородного магнитного поля. поле. Уравнение ФЗК решалось многими исследователями с использованием различных методов. Некоторые недавние хорошо известные методы [36–40].

Настоящий документ состоит из шести разделов. В разделе 2 даны некоторые основные определения и свойства дробного исчисления. Раздел 3 посвящен анализу ОГАМ для двумерных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка. В разделе 4 1 9Приведены приближенные решения уравнений ФЗК (2, 2, 2) и ФЗК (3, 3, 3), в которых дробные производные по времени описываются в смысле Капуто. В разделе 5 проведено сравнение результатов приближенного решения 1^{-го порядка} предложенным методом с вариационным итерационным методом 3-^{-го порядка} (VIM), алгоритмом возмущений-итераций (PIA) и методом рядов остаточной мощности (RPS). ) решения [36, 37]. Во всех случаях предложенный метод дает лучшие результаты.

2. Основные определения

В этом разделе приведены некоторые определения и результаты из литературы, которые имеют отношение к текущей работе. Риман-Лиувилль, Велиль, Рейзе, Компос и Капуто предложили множество определений.

Определение 1. Говорят, что действительная функция , находится в пространстве , , если существует действительное число , такое что  = , где и говорят, что оно находится в пространстве, если только если .

Определение 2. Оператор дробного интеграла Римана–Лиувилля порядка функции определяется как Когда мы формулируем модель реальных задач с дробным исчислением, оператор Римана–Лиувилля имеет определенные недостатки. Капуто предложил модифицированный дробный дифференциальный оператор в своей работе по теории вязкоупругости.

Определение 3. Дробная производная в смысле Капуто определяется как

Определение 4. Если и , то свойства оператора можно найти в литературе. Упомянем следующее:
Для . существует почти для каждого. . . .

3. Анализ OHAM для УЧП дробного порядка

В этом разделе вводится OHAM для уравнения в частных производных дробного порядка. Предлагаемый метод представлен в следующих шагах. Шаг 1: запишите общее дифференциальное уравнение в частных производных дробного порядка как  При условии начальных условий, В приведенных выше уравнениях, является оператором производной дроби Капуто или Римана-Лиувилля, является дифференциальным оператором, является неизвестной функцией и является известной аналитической функцией, является n-кортеж, который обозначает пространственные независимые переменные и представляет временную независимую переменную, соответственно. Шаг 2: построить оптимальную гомотопию для уравнения в частных производных дробного порядка, которая есть В уравнении (7) является параметром вложения и является вспомогательной функцией, которая удовлетворяет следующему соотношению:  для и . Решение быстро сходится к точному решению по мере увеличения значения на интервале . Эффективность OHAM зависит от построения и определения вспомогательной функции, контролирующей сходимость решения. Вспомогательная функция может быть записана в виде В приведенном выше уравнении , являются параметрами управления сходимостью и является функцией от . Шаг 3: разложив в ряд Тейлора о , имеем Примечания: из уравнения (9) видно) сходимость ряда зависит от вспомогательного управляющего параметра сходимости ^{-й порядок} , 2-й ^{-й порядок} и задачи высокого порядка:   Шаг 5: эти задачи содержат дробные производные по времени. Поэтому мы применяем оператор к вышеуказанным задачам и получаем ряд решений следующим образом: Подставляя приведенные выше решения в уравнение (12), можно получить приближенное решение . Остаток получается путем подстановки приближенного решения в уравнение (5). Шаг 6: параметры управления сходимостью можно найти либо методом Ритца, либо методом коллокации, либо методом Галеркина, либо методом наименьших квадратов. В данной презентации для расчета параметров управления сходимостью используется метод наименьших квадратов, в котором сначала строится функционал: А затем параметры управления сходимостью вычисляются путем решения следующей системы: Приближенное решение получается путем подстановки оптимальных значений параметры управления сходимостью в уравнении (10). Метод наименьших квадратов является мощным методом и использовался во многих других методах, таких как метод оптимального гомотопического возмущения (ОНРМ) и метод оптимальных вспомогательных функций (OAFM) ​​для вычисления оптимальных значений произвольных констант [41, 42].

4. Сходимость OHAM

Если ряд (10) сходится к , где производится задачей нулевого порядка и деформацией K-порядка, то является точным решением (5).

Доказательство. , так как ряд сходится, его можно записать в виде, и на самом деле выполняется следующее уравнение: Теперь мы имеем, что удовлетворяет.

5. Применение OHAM

5.1. Дробное время ФЗК (2, 2, 2)

Рассмотрим следующее уравнение FZK (2, 2, 2) с дробным временем с начальным условием

Точное решение уравнения (22) для ,где – произвольная константа.

Используя формулировку OHAM, обсуждавшуюся в разделе 3, мы имеем Задачу нулевого порядка: Задачу первого порядка:

Решения приведенных выше задач следующие: следующее выражение:

5.2. Дробное время ФЗК (3, 3, 3)

Рассмотрим следующее уравнение FZK (2, 2, 2) с дробным временем с начальным условием

Точное решение уравнения (22) для ,где – произвольная константа.

Используя формулировку OHAM, обсуждавшуюся в разделе 3, мы имеем Задачу нулевого порядка: Задачу первого порядка:

Решения приведенных выше задач следующие: следующее выражение:

6.

Результаты и обсуждение

Состав OHAM тестируется по формуле FZKequation. Mathematica 7 используется для большей части вычислительной работы.

В табл. 1 приведены оптимальные значения параметров контроля сходимости для уравнений ФЗК (2, 2, 2) и ФЗК (3, 3, 3) при различных значениях В табл. 2 и 3 приведены результаты, полученные по 1 ^ст Аппроксимация порядка предлагаемого метода для уравнения ФЗК (2, 2, 2) сравнивается с аппроксимацией порядка 3 ^rd алгоритма возмущений-итераций (PIA) и методом рядов остаточной мощности (RPS) при различных значениях . В таблицах 4 и 5 приведены результаты, полученные 1 ^{-й аппроксимации} -го порядка предлагаемого метода сравнивают с 3 ^{-й аппроксимации} -го порядка ВИМ для ФЗК (3, 3, 3) уравнения. На рисунках 1–4 показаны трехмерные графики точного и приближенного решения предложенным методом для уравнения ФЗК (2, 2, 2). На рисунках 1 и 2 показаны трехмерные графики точного и приближенного решения предложенным методом для уравнения ФЗК (3, 3, 3). На рис. 5 представлены двумерные графики приближенного решения предложенным методом уравнения ФЗК (2, 2, 2) при различных значениях . На рис. 6 представлены двумерные графики приближенного решения предложенным методом уравнения ФЗК (3, 3, 3) при различных значениях .

Из двумерных рисунков видно, что при увеличении значения до 1 приближенные решения приближаются к точным решениям.

7. Заключение

Решение OHAM 1^{-го порядка} дает более обнадеживающие результаты по сравнению с приближениями 3-^{-го порядка} PIA, RPS и VIM. Из полученных результатов делается вывод, что предложенный метод весьма эффективен и удобен для решения многомерных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка. Точность метода может быть дополнительно повышена за счет аппроксимации более высокого порядка.

Доступность данных

Во время исследования данные не собирались и не анализировались.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в связи с публикацией данной статьи.

Вклад авторов

Все авторы внесли одинаковый и значительный вклад в написание этой статьи. Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Благодарности

Авторы выражают признательность за помощь и поддержку отдела математики AWKUM для завершения этой работы.

Ссылки

1. ZEA Fellah, C. Depollier и M. Fellah, «Применение дробного исчисления к распространению звуковых волн в жестких пористых материалах: подтверждение с помощью ультразвуковых измерений», Acta Acustica United with Acustica , vol. 88, нет. 1, pp. 34–39, 2002.

   Просмотр по адресу:

   Google Scholar

2. Н. Себаа, З. Э. Феллах, В. Лорикс и К. Деполье, «Применение дробного исчисления к распространению ультразвуковых волн в организме человека». губчатая кость» Обработка сигналов — Приложения дробного исчисления в сигналах и системах , vol. 86, нет. 10, стр. 2668–2677, 2006.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Google Scholar

3. Ф. К. Мерал, Т. Дж. Ройстон и Р. Магин, «Дробное исчисление в вязкоупругости: экспериментальное исследование», Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation , vol. 15, нет. 4, стр. 939–945, 2010.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Академия Google

4. J. I. Suarez, B. M. Vinagre, A. J. Calder’on, C. A. Monje и Y. Q. Chen, «Использование дробного исчисления для бокового и продольного управления автономными транспортными средствами», в Lecture Notes in Computer Science , Springer, Berlin , Germany, 2004.

   Посмотреть по адресу:

   Google Scholar

5. K. B. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus , Academic Press, New York, NY, USA, 1974.

   9013chaers. Х.-П. Шеффлер и К. Таджеран, «Методы конечных разностей для двумерного дробного дисперсионного уравнения», Журнал вычислительной физики , том. 211, нет. 1, стр. 249–261, 2006 г.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Google Scholar

6. Р. Мецлер и Дж. Клафтер, «Ресторан в конце случайного блуждания: последние разработки в описании аномального переноса с помощью дробной динамики», Journal of Physic , vol. 37, стр. 161–208, 2004.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Google Scholar

7. И. Подлубного, Fractional Differential Equations , Academic Press, New York, NY, USA, 1999.

8. W. R. Schneider and W. Wyess, «Дробная диффузия и волновые уравнения», Journal of Mathematic and Physics , vol. 30, стр. 134–144, 1989.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Google Scholar

9. С. Момани, «Непертурбативные аналитические решения пространственно-временных дробных уравнений Бюргерса», Хаос, солитоны и фракталы , том. 28, нет. 4, стр. 930–937, 2006.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Google Scholar

10. З. М. Одибат и С. Момани, «Применение метода вариационной итерации к нелинейным дифференциальным уравнениям дробного порядка», Международный журнал нелинейных наук и численного моделирования , том. 7, нет. 1, стр. 15–27, 2006 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

11. С. Момани и З. Одибат, «Аналитическое решение уравнения Навье–Стокса с дробным временем с помощью метода разложения Адомиана», Прикладная математика и вычислительная техника , том. 177, нет. 2, стр. 488–494, 2006 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

12. С. Момани и З. Одибат, «Численное сравнение методов решения линейных дифференциальных уравнений дробного порядка», Chaos, Solitons & Fractals , vol. 31, нет. 5, стр. 1248–1255, 2007.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

13. З. М. Одибат и С. Момани, «Приближенные решения краевых задач волнового уравнения с дробным временем», Прикладная математика и вычисления , том. 181, нет. 1, стр. 767–774, 2006 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

14. С. С. Рэй, «Аналитическое решение уравнения пространственной дробной диффузии методом двухэтапного разложения Адомиана», Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation , vol. 14, нет. 4, стр. 1295–1306, 2009.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

15. Абдулазиз О. , Хашим И., Исмаил Э. С. Приближенное аналитическое решение дробно модифицированных уравнений КдФ, Математическое и компьютерное моделирование , вып. 49, нет. 1–2, стр. 136–145, 2009 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

16. С. Х. Хоссейнния, А. Ранджбар и С. Момани, «Использование расширенного метода гомотопического возмущения в дробных уравнениях путем деформации линейной части», Computers & Mathematics with Applications , vol. 56, нет. 12, стр. 3138–3149, 2008 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Академия Google

17. О. Абдулазиз, И. Хашим и С. Момани, «Решение систем дробных дифференциальных уравнений методом гомотопического возмущения», Physics Letters A , vol. 372, нет. 4, стр. 451–459, 2008 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

18. О. Абдулазиз, И. Хашим и С. Момани, «Применение метода гомотопического возмущения к дробным IVP», Journal of Computational and Applied Mathematics , vol. 216, нет. 2, стр. 574–584, 2008.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

19. Л. Сонг и Х. Чжан, «Применение метода гомотопического анализа к дробному уравнению КдФ-Бюргерса-Курамото», Physics Letters A , vol. 367, нет. 1–2, стр. 88–94, 2007 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

20. И. Хашим, О. Абдулазиз и С. Момани, «Метод гомотопического анализа для дробных IVP», Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation , том. 14, нет. 3, стр. 674–684, 2008 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

21. О. Абдулазиз, И. Хашим и А. Саиф, «Решения ряда дробных по времени УЧП методом гомотопического анализа», Дифференциальные уравнения и нелинейная механика , том. 2008 г., идентификатор статьи 686512, 16 страниц, 2008 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

22. О. Абдулазиз, И. Хашим, М. С. Х. Чоудхури и А. К. Зулки, «Оценка метода декомпозиции для линейных и нелинейных дробных дифференциальных уравнений», Дальневосточный журнал прикладной математики , вып. 28, pp. 95–112, 2007.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

23. А.С. уравнения», Acta Applicandae Mathematicae , vol. 105, нет. 2, стр. 189–198, 2009 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

24. Дж. Х. Хе, «Приближенные аналитические решения для фильтрационного потока с дробными производными в пористой среде», Компьютерные методы в прикладной механике и технике , том. 167, нет. 1–2, стр. 57–68, 1998.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

25. А. Нимати, Б. Агели и Р. Дарзи, «Вариационный итерационный метод и полиномы Хе для уравнений в частных производных с дробным временем», Progress in Fractional Differentiation and Applications , vol. 1, нет. 1, стр. 47–55, 2015.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

26. В. Маринка, Н. Херишану и И. Немеш, «Оптимальный гомотопический асимптотический метод с применением к тонкопленочному течению», Open Physics , vol. 6, нет. 3, стр. 648–653, 2008 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

27. В. Маринка и Н. Херисану, «Оптимальный гомотопический асимптотический метод для решения уравнения Блазиуса», Applied Mathematics and Computation , vol. 231, стр. 134–139, 2014.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Академия Google

28. В. Маринка, Н. Херисану и Г.Х. Мадеску, «Аналитический подход к нелинейной динамической модели синхронного генератора с постоянными магнитами», Wind Energy , vol. 18, нет. 9, стр. 1657–1670, 2015.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

29. В. Маринка и Н. Херисану, «Оптимальный гомотопический асимптотический метод для решения нелинейных уравнений, возникающих при теплопередаче», International Communications in Heat and Mass Transfer , том. 35, нет. 6, стр. 710–715, 2008 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

30. Н. Херисану, В. Маринка и Б. Маринка, «Оптимальный гомотопический асимптотический метод, примененный к установившемуся потоку жидкости четвертого класса мимо пористой пластины», Applied Mathematics Letters , vol. 22, нет. 2, стр. 245–251, 2009 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

31. С. Сарвар, С. Алхалаф, С. Икбал и М. А. Захид, «Заметка об оптимальном гомотопическом асимптотическом методе для решений тепловых и волновых дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка», Компьютеры и математика с приложениями , vol. 70, нет. 5, стр. 942–953, 2015.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

32. С. Сарвар, М. А. Захид и С. Икбал, «Математическое исследование модели биологической популяции дробного порядка с использованием оптимального гомотопического асимптотического метода», International Journal of Biomathematics , vol. 9, нет. 6, ID статьи 1650081, 2016.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Академия Google

33. С. Сарвар и М. М. Рашиди, «Приближенное решение двухчленных моделей диффузии дробного порядка, волновой диффузии и телеграфных моделей, возникающих в математической физике, с использованием оптимального гомотопического асимптотического метода», Waves in Random and Complex Media , vol. 26, нет. 3, стр. 365–382, 2016.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

34. С. Икбал, Ф. Сарвар, М. Р. Муфти и И. Сиддик, «Использование оптимального гомотопического асимптотического метода для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма дробного порядка», Science International , vol. 27, нет. 4, стр. 3033–3040, 2015.

    Просмотр по адресу:

    Google Scholar

35. С. Мехмет, М. Алкуран и Х. Д. Касмаи, «О сравнении алгоритма возмущения-итераций и метода рядов остаточной мощности для решить дробное уравнение Захарова-Кузнецова», Results in Physics , vol. 9, стр. 321–327, 2018.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

36. Моллик Р.Ю., Нурани М.С., Хашим И., Ахмад Р.Р. Приближенные решения дробных уравнений Захарова–Кузнецова с помощью ВИМ, Журнал вычислительной и прикладной математики , том. 233, нет. 2, стр. 103–108, 2009 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

37. Л. Фу и Х. Ян, «Применение (3 + 1)-мерной пространственно-временной дробной модели ZK для анализа сложных акустических волн пыли», Сложность , том. 2019 г., идентификатор статьи 2806724, 15 страниц, 2019 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

38. Q. Jin, T. Xia, and J. Wang, «Точное решение пространственно-временного уравнения Кдв-Захарова-Кузнецова с дробным изменением», Журнал прикладной математики и физики , том. 5, нет. 4, стр. 844–852, 2017 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

39. C. Li и J. Zhang, «Анализ симметрии Ли и точные решения обобщенных дробных уравнений Захарова-Кузнецова», Symmetry , vol. 11, нет. 5, 601 страница, 2019 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

40. Х. Табет и С. Кендре, «Модифицированный метод гомотопического возмущения методом наименьших квадратов для решения дробных дифференциальных уравнений в частных производных», Малый журнал математики , том. 6, нет. 2, стр. 420–427, 2018 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

41. Н. Херисану, В. Маринка, Г. Мадеску и Ф. Драган, «Динамический отклик синхронного генератора с постоянными магнитами на порыв ветра», Energies , vol. 12, нет. 5, с. 915, 2019.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

Copyright

Copyright © 2019 Rashid Nawaz et al. Это статья с открытым доступом, распространяемая в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего цитирования оригинальной работы.

Симметрия | Бесплатный полнотекстовый | Анализ симметрии Ли и точные решения обобщенных дробных уравнений Захарова-Кузнецова

1. Введение

Будучи одним из важных многомерных нелинейных эволюционных уравнений, уравнение Захарова-Кузнецова (ЗК) впервые было использовано для обсуждения эволюции распространения плоские волны в замагниченной плазме, содержащей холодные ионы и изотермические электроны [1].

Безразмерная форма уравнения ЗК в перенормированных переменных имеет следующий вид:

где u=u(t,x,y) — нормированный электрический потенциал. a,b,c — все нормированные константы по отношению к разным физическим значениям. Подробнее об этих коэффициентах см. [1,2]. Благодаря широкому применению в математике и физике изучение этого уравнения имело большое теоретическое и практическое значение. Имеются различные результаты об уравнении ЗК, подробнее см. [3,4,5,6,7,8,9,10,11].

В статье [12] Blaha et al. рассмотрен следующий модифицированный вариант уравнения ЗК.

где знаки представляют различные физические явления. Кроме того, Wazwaz [13] провел дальнейшее исследование модифицированного уравнения ZK (mZK) с нелинейной дисперсией следующим образом:

где n≥3 нечетно, а знак либо положительный, либо отрицательный.

Чтобы включить как можно больше физических приложений, во многих работах обсуждается обобщенное уравнение Захарова-Кузнецова следующего вида [14,15].

Обратите внимание, что статья [15] систематически иллюстрирует подробный алгоритм групповой классификации и процесс редукции путем обсуждения уравнения (4).

В последнее время многие важные явления в различных областях науки хорошо описываются дифференциальными уравнениями дробного порядка [16]. Из-за реалистического смысла большое внимание было уделено поиску решений дифференциальных уравнений дробного порядка (ДДУ). Для дробных УЧП применялись различные методы, такие как метод гомотопических возмущений (HPM) [17], метод вариационных итераций (VIM) [18] и метод гомотопического анализа (HAM) [19]. К сожалению, до сих пор не существует общих методов, достаточно эффективных для решения систем дробного порядка.

С помощью нового расширенного метода пробных уравнений авторы [20] рассмотрели точные решения обобщенных дробных уравнений Захарова-Кузнецова (ФЗК(p,q,r)) следующим образом:

где u=u(t,x,y) — потенциал электростатической волны в плазме, 0<α≤1 — порядок дробной производной. a,b,c — произвольные константы, а коэффициент a — нелинейный член, коэффициенты b и c характеризуют пространственные дисперсии в многомерном пространстве. p,q,r≠0 — целые числа. Они успешно построили несколько новых точных решений, т. е. эллиптических интегральных функций F,Π решений уравнения (5). В частности, важно отметить, что анализ симметрии (5) еще не рассматривался в [20].

Как один из наиболее эффективных и важных методов изучения дифференциальных уравнений, теория групп симметрии широко использовалась для рассмотрения свойств симметрии уравнений Захарова-Кузнецова, см. [21,22,23,24,25,26,27 ] Например. Кроме того, авторы [28] предоставили интересное Приложение о том, как действовать в анализе симметрии УЧП. Более того, есть отличные книги по анализу симметрии, можно сослаться на [29,30,31].

Однако, не так, как это было сделано в УЧП, метод группы Ли симметрии не так эффективно используется в дифференциальных уравнениях дробного порядка (ДДУ). Насколько нам известно, существует множество исследований групповых свойств ДДУ. В [32] авторы рассмотрели симметрии Ли одного класса дифференциальных уравнений дробного порядка с произвольным числом независимых переменных. В [33] рассмотрен анализ симметрий Ли с законами сохранения (3+1)-мерного дробного уравнения КдФ-Захарова-Кузнецова (мКдФ-ЗК). Некоторые другие результаты можно найти в [34,35,36,37].

Что касается дробных уравнений ZK, то анализ симметрии Ли, законы сохранения и точные решения для модифицированного дробного (2+1)-mZK уравнения были рассмотрены в статье [38]. Уравнение читается как

Обратите внимание, что уравнение (6) является частным случаем уравнения (5).

В связи с приведенным выше обсуждением мы имели в виду изучение групповых инвариантных свойств дробного уравнения ZK (5), изученного в [20]. Для удобства обсуждения систему (5) можно переписать в следующем виде

Остальная часть этой статьи организована следующим образом: В разделе 2 приведены некоторые предварительные результаты, необходимые в последующих разделах, а также некоторые обозначения и определения. В разделе 3 мы устанавливаем наши основные результаты о симметриях Ли для дробного уравнения ZK (5). В разделе 4 рассматриваются примеры групповых преобразований решений и строятся новые точные решения. В разделе 5 мы изучаем редукции симметрии к уравнению ZK с дробным временем. Наконец, мы представляем обсуждения и выводы.

2. Предварительные сведения

С точки зрения движения Брауна модифицированная производная Римана-Лиувилля(RL) определяется как

где n∈N, Iνf(t) — дробный интеграл RL порядка ν, т. е.

где Г(•) — гамма-функция.

Для функции u(t,x) дробная частная производная по времени Римана-Лиувилля порядка µ может быть определена следующим образом [35]:

В этой статье нам также понадобятся следующие обобщенные определения.

Согласно [32,39] обобщенный дробный дифференциальный оператор Эрдейи–Кобера определяется следующим образом:

куда

а обобщенный оператор дробного интеграла Эрдейи-Кобера имеет вид

Далее мы дадим краткое введение о том, как находить симметрии точек Ли систем дробного порядка. Для получения дополнительной информации можно обратиться к [30,31].

Рассмотрим теперь следующие ФДУ

с независимыми переменными t,x,y, зависимыми переменными u.

Согласно теории Ли, для некоторого группового параметра ε необходимо определить однопараметрическую группу Ли инфинитезимальных преобразований

Соответствующий бесконечно малый генератор определяется формулой

куда

Согласно критерию инфинитезимальной инвариантности [31], уравнение (13) допускает группу преобразований (14) тогда и только тогда, когда выполняется следующее уравнение

При сохранении существенных членов оператор pr(α,3)X принимает следующий вид

куда

Здесь оператор полной производной Di определяется выражением

и (x1,x2,x3)=(t,x,y),(u1)=(u). Мы видим, что явное выражение для приведенных выше может быть получено стандартной процедурой [31]. Кроме того, согласно [40] после вычисления, аналогичного [35], можно получить явное выражение для ϕα,t:

куда

Поскольку в нашей статье мы будем использовать FracSym [40] в качестве запроса, в дальнейшем мы будем рассматривать только симметрии, где ϕ линейна по u (предположим, что µtα=0), т. е.

Согласно (15), применяя операторы pr(α,3)X к уравнению (13), после расщепления полученных соотношений по независимым переменным получим систему линейных УЧП и ФДУ, приравняв эти коэффициенты нулю. Наконец, решая эту переопределенную систему, мы можем получить векторные поля X, допускаемые ФДУ (13).

3. Симметрии Ли для обобщенного дробного уравнения Захарова-Кузнецова

Применяя третье продолжение pr(α,3)X к (7), получаем

Подставив (17) в (22), с помощью пакета Maple [40,41] можно получить определяющие уравнения для группы симметрии. Для простоты мы опускаем длинные выражения определяющих уравнений. Кроме того, с помощью решателя PDE DESOLVII PDEsolv [42] получаем общее решение определяющих уравнений относительно τ,ξ,η,ϕ:

где ci(i=1,2,3,4) — произвольные константы.

Кроме того, в силу преобразования (14) для сохранения инвариантности оператора дробной производной RL необходимо

Действительно, преобразование (14) требуется, чтобы оставить нижний предел интеграла в выражении (8), и поэтому уравнение t=0 должно сохранять инвариантный вид при этом преобразовании.

Следовательно, окончательная симметрия уравнения ZK с дробным временем равна:

Наконец, группа симметрии уравнения ZK с дробным временем определяется следующими векторными полями

Из (26) можно найти генераторы симметрии. Они образуют замкнутую алгебру Ли, как показано в таблице 1.

Здесь запись в строке i и столбце j означает [Xi,Xj]. Это коммутатор для алгебры Ли, определяемой формулой

4. Примеры групповых преобразований решений

В этой части, решая следующие исходные задачи, мы можем получить группу симметрии Ли из связанных симметрий, чтобы получить некоторые новые точные решения из известных.

Следовательно, для инфинитезимального образующего X1=∂∂x соответствующая группа симметрии Ли является переносом вдоль оси x

где ε1 — произвольное действительное число. Группа g1 показывает пространственно-инвариантность уравнения вдоль оси x. Следовательно, если u=f(t,x,y) является решением (5), по группе g1 мы можем получить соответствующие новые решения (5), т. е.

Для X2=∂∂y соответствующая группа симметрии Ли является переносом вдоль оси y

где ε2 — произвольное действительное число. Группа g2 показывает пространственно-инвариантность уравнения вдоль оси y. Следовательно, если u=f(t,x,y) — решение (5), то по группе g2 мы можем получить соответствующие новые решения (5), т. е.

Кроме того, X3=(3p−q−2)t∂∂t−2uα∂∂u+(p−q)αx∂∂x+(p−r)αy∂∂y соответствует неоднородной скейлинговой группе

где ε3 — произвольное действительное число. Группа g3 — это известные скейлинговые преобразования. Следовательно, если u=f(t,x,y) — любое решение (5), то по группе g3 мы можем получить соответствующие новые решения (5), т. е.

Более того, приведенные выше преобразования масштабирования либо увеличивают, либо уменьшают размер не только независимых переменных, но и зависимых. Кроме того, преобразование масштабирования может предоставить способ связать поведение решения с разных точек зрения, например, решение с коротким временем с большими начальными значениями может быть преобразовано в решение с более длительным временем с малыми начальными значениями.

Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующий пример, рассмотренный в [20]:

Рассмотрим p=q=r=n в уравнении (5), т. е.

Автор [20] получил два точных решения (34):

Тогда, применяя группу (32), можно получить следующие два новых точных решения (34).

где Θ=1A(xe−α(p−q)ε3+ye−α(p−r)ε3−λ(te−(3p−q−2)ε3)αΓ(1+α)−η0). По сравнению с существующими решениями мы видим, что эти новые решения представляют собой расширение размеров не только независимых переменных, но и зависимых.

Для двух других групп симметрии новые инвариантные решения могут быть найдены с помощью существующих решений уравнения ZK с дробным временем. Возможно, более интересные с точки зрения физики решения можно найти, применяя к уравнению полную группу. Тем самым мы обогащаем предыдущие результаты работы [20].

5. Сокращения симметрии и точные решения уравнения ZK с дробным временем

В этом разделе мы в основном рассматриваем редукции симметрии к уравнению ZK с дробным временем.

(i)

Для генератора X1=∂∂x имеем инвариант

где τ=t,η=y — групповой инвариант. Подстановка его в (5) дает следующее сокращенное дробное ОДУ

Чтобы решить (38), нам понадобится преобразование Лапласа

После обратного преобразования к F(s) у нас есть решение, которое

где f4(η) — произвольная функция относительно η, C0 — постоянная.

Следовательно, для уравнения (5) мы даем следующее группово-инвариантное решение:

Обратите внимание, что это решение можно рассматривать как своего рода решение стоячей волны, и оно не зависит от пространственной переменной x. Кроме того, из-за 0<α<1 он затухает во времени. Это решение не появлялось в предыдущих статьях.

(ii)

Для генератора X2=∂∂y имеем инвариант

где τ=t,ξ=x — групповой инвариант. Подставляя его в (5), получаем следующее приведенное дробное дифференциальное уравнение

(iii)

Для генератора X3=(3p−q−2)t∂∂t−2uα∂∂u+(p−q)αx∂∂x+(p−r)αy∂∂y интегрированием условия инвариантности

мы получаем инвариант

где ξ=xt−(p−q)α3p−q−2, η=yt−(p−r)α3p−q−2 — групповые инварианты.

Здесь и далее для простоты будем отмечать a0=−(p−q)α3p−q−2,b0=−(p−r)α3p−q−2,c0=2α3p−q−2.

Подставляя (44) в (5), при 0<α<1 согласно определению дробной производной RL получаем

Пусть τ=ts, тогда ds=−tτ2dτ, тогда (45) можно переписать в виде

С помощью обобщенного оператора дробного интегрирования Эрдейи-Кобера из (46) имеем

Кроме того, с помощью обобщенного оператора дробного дифференциала Эрдейи–Кобера (47) принимает вид

Тогда с помощью (48) уравнение (5) сводится к следующему нелинейному дробному дифференциальному уравнению в частных производных

Для X1 мы обсудили сокращенное уравнение (38) и получили его решение (41). Для X3 также получено сокращенное уравнение (49). Однако это уравнение является нелинейным дробным дифференциальным уравнением в частных производных с обобщенным оператором дробного дифференциала Эрдейи-Кобера, и обсуждение этого FPDE затруднено.

Далее мы подробно изучим редукции симметрии и точные решения уравнения (43).

Если уравнение (43) инвариантно относительно точечных преобразований

с групповым параметром ϵ ассоциированная алгебра Ли натянута на

в котором τ¯(ξ,τ,g),ξ¯(ξ,τ,g),g¯(ξ,τ,g) подлежат определению.

Если приведенные выше векторные поля порождают симметрию (43), мы получаем следующее условие симметрии Ли

куда

Как и в случае аналогичного обсуждения, приведенного в предыдущих разделах, снова с помощью пакета Maple [31,40,41] мы можем иметь алгебру симметрии (43), которая натянута на следующие векторные поля

Для V1 получаем групповой инвариант

Подставив его в (43), мы получим следующее сокращенное дробное ОДУ

что указывает на то, что f5(τ)=C1τα−1, где C1 — константа. В результате получаем группово-инвариантное решение (5) вида

Это решение относится только к переменной времени. Кроме того, он также распадается во времени.

Для V2 у нас есть групповой инвариант

где ξ˜=ξτa0,τ=t,ξ=x.

Аналогично обсуждению в (iii), мы видим, что (43) можно свести к следующему уравнению дробного дифференциала

где D — дробный дифференциальный оператор Эрдейи–Кобера.

6. Выводы

В данной работе методом анализа симметрии Ли рассмотрены свойства инвариантности одного класса обобщенных дробных уравнений Захарова-Кузнецова. Выполняется симметрия точки Ли к этому уравнению. Получены алгебра Ли и симметрийные редукции этого дробного уравнения Захарова-Кузнецова. Наконец, были построены новые точные решения дробного уравнения Захарова-Кузнецова. Хотя было получено много результатов о симметрии уравнений Захарова-Кузнецова с дробным временем, все рассмотренные модели можно рассматривать как частные случаи модели, рассмотренной нами в этой статье. Таким образом, мы расширили некоторые существующие результаты. Однако, как мы видим, все коэффициенты a,b и c являются нормированными константами в соответствии с разным физическим смыслом. Поэтому, чтобы оставаться в рамках прежнего исследования и сохранить его конкретный физический смысл параметров, мы рассматриваем только дробное уравнение Захарова-Кузнецова с постоянными коэффициентами. Кроме того, отметим, что в [24] рассматривался класс обобщенных уравнений Захарова-Кузнецова с переменными коэффициентами. Возможно, мы обратим внимание на эту более обобщенную модель для будущих исследований.

Вклад авторов

Авторы внесли равный и значительный вклад в написание этой статьи. Оба автора прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Финансирование

Это исследование финансировалось Фондом научных исследований Департамента образования провинции Юньнань (грант № 2018JS752) и Национальным фондом естественных наук Китая (грант № 11801240, 10971185).

Благодарности

Авторы благодарны анонимным рецензентам за их конструктивные комментарии и предложения, которые значительно улучшили эту статью.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Ссылки

1. Захаров В.; Кузнецов, Е.А. Трехмерные солитоны. сов. физ. ЖЭТФ 1974 , 29, 594–597. [Google Scholar]
2. Эльвакил, С.А.; Эль-Шеви, EK; Абдельвахед, Х. Г. Решение возмущенного уравнения Захарова-Кузнецова (ЗК), описывающего электронно-акустические уединенные волны в замагниченной плазме. Подбородок. Дж. Физ. 2011 , 49, 732–744. [Академия Google]
3. Элбори, М.К. Вариационный подход, солитонные решения и сингулярные солитоны для новой связанной системы ZK. вычисл. Мат. заявл. 2015 , 70, 934–941. [Google Scholar] [CrossRef]
4. Фаминский А.В. Начально-краевая задача в полосе для двумерного уравнения Захарова-Кузнецова-Бюргерса. Нелинейная анальная теория. 2015 , 116, 132–144. [Google Scholar] [CrossRef]
5. Хан, К.; Акбар М.А. Точное и уединенное волновое решение уравнений Цицеки-Додда-Буллоу и модифицированного уравнения КдВ-Захарова-Кузнецова с использованием модифицированного метода простых уравнений. Айн Шамс, инженер. Дж. 2013 , 4, 903–909. [Google Scholar] [CrossRef]
6. Ли, Х.; Сан, Дж.; Цинь, М. Мультисимплектический метод для уравнения Захарова-Кузнецова. Доп. заявл. Мат. мех. 2015 , 7, 58–73. [Google Scholar] [CrossRef]
7. Mandal, P.K.; Гош, ООН; Чатерджи, П. Уравнение Захарова-Кузнестова-Бюргера для ионно-звуковых волн в цилиндрической геометрии. Земля Луна Планеты 2015 , 115, 45–58. [Google Scholar] [CrossRef]
8. Molinet, L.; Пилод, Д. Билинейные оценки Стрихарца для уравнения Захарова-Кузнецова и приложения. Анналы Института Анри Пуанкаре (C) Нелинейный анал. 2015 , 32, 347–371. [Google Scholar] [CrossRef]
9. Сабеткар, А.; Дорранян, Д. Роль сверхтермальности в пылевых акустических структурах в рамках модифицированного уравнения Захарова-Кузнецова в замагниченной пылевой плазме. физ. Скр. 2015 , 90, 035603. [Google Scholar] [CrossRef]
10. Yin, J.Y. Новые солитоноподобные комплексные решения бесконечной последовательности модифицированного (2+1)-мерного уравнения Захарова-Кузнецова равной ширины. Акта физ. Син.-Чин. Эд. 2014 , 63, 230202. [Google Scholar]
11. Ю, Дж.; Ван, Д.-С.; Солнце, Ю.; Ву, С. Модифицированный метод простейшего уравнения для получения точных решений уравнения Захарова-Кузнецова, модифицированного уравнения Захарова-Кузнецова и их обобщенных форм. Нелинейная динам. 2016 , 85, 2449–2465. [Google Scholar] [CrossRef]
12. Блаха Р.; Лаэдке, EW; Спачек, К.Х. Коллапсирующие состояния обобщенных уравнений Кортевега-де Фриза. Physica D 1989 , 40, 249–264. [Google Scholar] [CrossRef]
13. Вазваз, А.-М. Специальные типы нелинейно-дисперсионного уравнения Захарова–Кузнецова с компактонами, солитонами и периодическими решениями. Междунар. Дж. Вычисл. Мат. 2004 , 81, 1107–1119. [Google Scholar] [CrossRef]
14. Biazar, J.; Бадпейма, Ф.; Азими, Ф. Применение метода гомотопических возмущений к уравнениям Захарова – Кузнецова. вычисл. Мат. заявл. 2009 , 58, 2391–2394. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
15. Huang, D.-J.; Иванова, Н. Алгоритмическая основа группового анализа дифференциальных уравнений и ее применение к обобщенным уравнениям Захарова-Кузнецова. Дж. Дифференц. Экв. 2016 , 260, 2354–2382. [Академия Google] [CrossRef]
16. Кумар Д.; Сингх, Дж.; Кумар С. Численный расчет нелинейного дробного уравнения Захарова-Кузнецова, возникающего в ионно-звуковых волнах. Дж. Египет. Мат. соц. 2014 , 22, 373–378. [Google Scholar] [CrossRef]
17. Момани, С.; Одибат, З. Модифицированный гомотопический метод возмущения: приложение к квадратичному дифференциальному уравнению Риккати дробного порядка. Солитон Хаоса Фракт. 2008 , 36, 167–174. [Google Scholar]
18. Турут В.; Гюзель, Н. О решении дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка с использованием метода вариационных итераций и многомерного Паде. Евро. J. Pure Appl. Мат. 2013 , 6, 147–171. [Google Scholar]
19. Кумар, С.; Кумар, Д. Дробное моделирование уравнения ББМ-Бюргера с использованием нового метода преобразования гомотопического анализа. J. доц. Арабский ун-т. Базовое приложение науч. 2014 , 16, 16–20. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
20. Пандир Ю.; Гурефе Ю. Новые точные решения обобщенных дробных уравнений Захарова-Кузнецова. Жизнь наук. Дж. 2013 , 10, 2701–2705. [Google Scholar]
21. Лю, Х.; Ян, Ф .; Сюй, К. Анализ симметрии Ли и некоторые точные решения уравнения Захарова-Кузнецова (ЗК) и модифицированного уравнения ЗК. Дальний Восток Ж. Заявл. Мат. 2010 , 42, 81–112. [Google Scholar]
22. Адем, К.Р.; Халик, К.М. Точные решения и законы сохранения Захарова–Кузнецова модифицированного уравнения равной ширины со степенной нелинейностью. Нелинейный анализ. Реальное приложение. 2012 , 13, 1692–1702. [Google Scholar] [CrossRef]
23. Ali, M.N.; Сидави, А.Р.; Хуснин, С.М. Симметрии точек Ли, законы сохранения и точные решения (1+n)-мерного модифицированного уравнения Захарова-Кузнецова, описывающего волны в физике плазмы. Прамана 2018 , 91. [Google Scholar] [CrossRef]
24. Ян З.; Лю, X. Симметрия и подобия решений переменных коэффициентов обобщенного уравнения Захарова-Кузнецова. заявл. Мат. вычисл. 2006 , 180, 288–294. [Google Scholar] [CrossRef]
25. Саху, С.; Гарай, Г.; Рэй, С.С. Анализ симметрии Ли для уменьшения подобия и точные решения модифицированного уравнения КдФ-Захарова-Кузнецова. Нелинейный динам. 2017 , 87, 1995–2000 гг. [Академия Google] [CrossRef]
26. Адем, А.Р.; Muatjetjeja, B. Законы сохранения и точные решения для двумерного уравнения Захарова-Кузнецова. заявл. Мат. лат. 2015 , 48, 109–117. [Google Scholar] [CrossRef]
27. Наджафихах М.; Ахангари, Ф. Анализ симметрии и уменьшение подобия уравнения Кортевега-де Фриза-Захарова-Кузнецова. Азиатский евро. Дж. Матем. 2012 , 5, 1250006. [Google Scholar] [CrossRef]
28. Recio, E.; Анко, С.К. Законы сохранения и симметрии радиальных обобщенных нелинейных p-лапласианских эволюционных уравнений. Дж. Матем. Анальный. заявл. 2017 , 452, 1229–1261. [Google Scholar] [CrossRef]
29. «> Олвер П. Применение групп Ли к дифференциальным уравнениям; Springer: New York, NY, USA, 1986. [Google Scholar]
30. Ибрагимов Н. Элементарный групповой анализ Ли и обыкновенные дифференциальные уравнения; John Wiley and Sons: Chichester, UK, 1999. [Google Scholar]
31. Ибрагимов Н.К.; Ибрагимов, Р.Н. Приложения анализа группы Ли в геофизической гидродинамике; Higher Education Press: Пекин, Китай, 2011. [Google Scholar]
32. Лео, Р.А.; Сикуро, Г.; Темпеста, П. Общая теория симметрии Ли для дробных дифференциальных уравнений. arXiv 2014 , arXiv:1405.1017v2. [Google Scholar]
33. Саху, С.; Рэй, С.С. Анализ симметрий Ли с законами сохранения для (3+1)-мерного дробного по времени уравнения mKdV–ZK в ионно-звуковых волнах. Нелинейная динам. 2017 , 90, 1105–1113. [Google Scholar] [CrossRef]
34. Чен, К.; Цзян, Ю.Л. Метод группового анализа для двух классов дробных дифференциальных уравнений в частных производных. коммун. Нелинейный SCI 2015 , 26, 24–35. [Google Scholar] [CrossRef]
35. Huang, Q.; Жданов, Р. Симметрии и точные решения дробного по времени уравнения Гарри-Дима с производной Римана-Лиувилля. Physica A 2014 , 409, 110–118. [Google Scholar] [CrossRef]
36. Ван Г.; Лю, Х .; Чжан, Ю. Анализ симметрии Ли для дробного по времени обобщенного уравнения КдФ пятого порядка. коммун. Нелинейный SCI 2013 , 18, 2321–2326. [Google Scholar] [CrossRef]
37. Hashemi, MS; Балеану, Д. Об обобщенном уравнении Фишера с дробным временем: групповые сходства и аналитические решения. коммун. Теор. физ. 2016 , 65, 11–16. [Google Scholar] [CrossRef]
38. Балеануа, Д.; Инк, М.; Юсуф, А .; Алию, А.И. Анализ симметрии Ли, точные решения и законы сохранения для модифицированного уравнения Захарова–Кузнецова с дробным временем. Нелинейная Анал.-Модель. Контроль 2017 , 22, 861–876. [Google Scholar] [CrossRef]
39. Кирьякова В. Обобщенное дробное исчисление и приложения; Longman Scientific and Technical: Харлоу, Великобритания; John Wiley and Sons, Inc.: Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 19 лет.94. [Google Scholar]
40. Джефферсон Г.Ф.; Карминати, Дж. FracSym: Автоматическое символьное вычисление симметрии Ли дробных дифференциальных уравнений. вычисл. физ. коммун. 2014 , 185, 430–441. [Google Scholar] [CrossRef]
41. Джефферсон Г.Ф.; Карминати, Дж. ASP: Автоматическое символьное вычисление приближенных симметрий дифференциальных уравнений. вычисл. физ. коммун. 2013 , 184, 1045–1063. [Google Scholar] [CrossRef]
42. Ву, К.Т.; Джефферсон, Г.Ф.; Карминати, Дж. Нахождение обобщенных симметрий дифференциальных уравнений с использованием пакета MAPLE DESOLVII. вычисл. физ. коммун. 2012 , 183, 1044–1054. [Google Scholar] [CrossRef]

Таблица 1.