Решение систем линейных уравнений методом подстановки: Решите систему методом подстановки x+y=5 3x+y=7

Решение системы линейных уравнений методом подстановки: алгоритм, правило, примеры

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки

Например: ${\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 \\ y-x = 1 \end{array} \right.}$

Шаг 1

Из второго уравнения выражаем y:

y = x+1

Шаг 2

Подставляем выражение для y в первое уравнение:

3x+(x+1) = 5

Шаг 3 Решаем первое уравнение:

4x = 5-1

x = 1

Шаг 4

Подставляем значение x в выражение для y:

y = 1+1

Шаг 5

Находим y:

y = 2

Шаг 6

Записываем ответ:

(1;2)

В последовательной записи:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 \\ y-x = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3x+y = 5 \\ y = x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3x+(x+1) = 5 \\ y = x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 4x = 5-1 \\ y = x+1 \end{array} \right. } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = x+1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 2\end{array} \right.} $$

Ответ: (1;2)

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом подстановки:

$ а) {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = 3 \\ 2x-3y = 4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = 3 \\ x = \frac{3y+4}{2} = 1,5y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5(1,5y+2)-4y = 3 \\ x = 1,5y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow $

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7,5y+10-4y = 3 \\ x=1,5y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3,5y = -7 \\ x = 1,5y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = -2 \\ x = 1,5y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -1 \\ y = -2\end{array} \right.} $

Ответ: (-1;-2)

$ б) {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3y = 7 \\ 3x-4y = 0 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3y = 7 \\ y = \frac{3}{4} x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3\cdot \frac{3}{4} x = 7 \\ y = \frac{3}{4} x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} (4- \frac{9}{4})x = 7 \\ y = \frac{3}{4} x \end{array} \right.} \Rightarrow $

$\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 7 \cdot \frac{4}{7} = 4 \\ y = \frac{3}{4} x = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}x = 4 \\ y = 3 \end{array} \right.} $

Ответ: (4;3)

$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 5a-4b = 9 \\ 2a+3b = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5a-4b = 9 \\ a = \frac{-3b-1}{2} = -1,5b-0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5(-1,5b-0,5)-4b = 9 \\ a = -1,5b-0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow $

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -7,5b-2,5-4b = 9 \\ a = -1,5b-0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}-11,5b = 11,5 \\ a = -1,5b-0,5 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = -1 \end{array} \right.} $

Ответ: (1;-1)

$ г) {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ b = \frac{-3a+1}{2} = -1,5a+0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4(-1,5a+0,5) = 5 \\ b = -1,5a+0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow $

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7a-6a+2 = 5 \\ b = -1,5a+0,5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 3 \\ b = -1,5\cdot3+0,5 = -4 \end{array} \right.} $

Ответ: (3;-4)

Пример 2. Найдите решение системы уравнений:

$а) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{4}-y = 7 | \times 4 \\ 3x+ \frac{y}{2} = 9 | \times 2\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x-4y = 28 \\ 6x+y = 18 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 4y+28 = 4(y+7) \\ 6 \cdot 4(y+7)+y = 18 \end{array} \right.} \Rightarrow $

$\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 4(y+7) \\ 24y+168+y = 18 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 4(y+7) \\ 25y = -150 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}x = 4(-6+7) = 4 \\ y = -6 \end{array} \right.}$

Ответ: (4;-6)

$б) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{2}+ \frac{y}{3} = \frac{1}{6} |\times 6 \\ \frac{x}{3}+ \frac{y}{2} = -\frac{1}{6}| \times 6 \end{array} \right.}\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y = 1 \\ 2x+3y = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = \frac{-3x+1}{2} = -1,5x+0,5 \\ 2x+3(-1,5x+0,5) = -1\end{array} \right.} \Rightarrow$

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = -1,5x+0,5 \\ 2x-4,5x+1,5 = -1\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = -1,5x+0,5 \\ -2,5x = -2,5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = -1 \end{array} \right.} $

Ответ: (1;-1)

$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \\ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 15x-3y+14 = 5x+5y \\ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 \end{array} \right. } \Rightarrow $

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 10x-8y = -14 |:2 \\ x+8y = 25 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = -7 \\ x = -8y+25 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5(-8y+25)-4y = -7 \\ x = -8y+25 \end{array} \right.} \Rightarrow $

$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -40y+125-4y = -7 \\ x = -8y+25 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -44y = -132 \\ x = -8y+25 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 3 \end{array} \right.} $

Ответ: (1;3)

$ г) {\left\{ \begin{array}{c} 5-3(2x+7y) = x+y-52 \\ 4+3(7x+2y) = 23x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5-6x-21y = x+y-52 \\ 4+21x+6y = 23x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ 2x-6y = 4 |:2 \end{array} \right.}$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ x-3y = 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+22y = 57 \\ x = 3y+2 \end{array} \right. } \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7(3y+2)+22y = 57 \\ x = 3y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 21y+14+22y = 57 \\ x = 3y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 43y = 43 \\ x = 3y+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 5 \\ y = 1 \end{array} \right.}$$

Ответ: (5;1)

Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:

$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{3}{2x-5y} + \frac{8}{x+y} = 5 \\ \frac{12}{x+y} — \frac{1}{2x-5y} = 2 \end{array} \right.} $

Введём новые переменные: $ {\left\{ \begin{array}{c} a = \frac{1}{2x-5y} \\ b = \frac{1}{x+y} \end{array} \right.} $

Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3a+8b = 5 \\ 12b-a = 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3(12b-2)+8b = 5 \\ a = 12b-2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 36b-6+8b = 5 \\ a = 12b-2 \end{array} \right. } \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 44b = 11 \\ a = 12b-2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \\ b = \frac{1}{4} \end{array} \right.} $$

Получаем:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 2x-5y = \frac{1}{a} = 1 \\ x+y = \frac{1}{b} = 4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2x-5(4-x) = 1 \\ y = 4-x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2x-20+5x = 1 \\ y = 4-x \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x = 21 \\ y = 4-x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 3 \\ y = 1 \end{array} \right.} $$

Ответ: (3;1)

Решение СЛАУ методами подстановки и сложения

• Понятие системы линейных уравнений
• Решение систем линейных уравнений методом подстановки
• Решение систем линейных уравнений методом сложения

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Например, уравнение

—

линейное, а уравнения и не являются линейными.

В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:

. (1)

Числа
 
называются коэффициентами при переменных, а
 —
свободными членами.

Совокупность чисел

называется решением системы (1) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

Изучение систем линейных уравнений начинается в средней школе. В школьном курсе рассматриваются в основном системы двух линейных уравнений с двумя переменными и два метода их решения — метод подстановки и метод сложения. Эти методы являются основой изучаемого в курсе высшей математике метода Гаусса. (Принципиально иной метод — метод Крамера — основан на использовании определителей).

Чтобы последовательно двигаться от простому к ещё более простому (сложному), повторим два школьных метода.

Решение. При решении системы линейный уравнений методом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую (другие, если неизвестных больше двух). Полученное выражение подставляют в другие уравнения, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Затем находят соответствующее значение второй (и третьей, если она есть) переменной.

Начнём со вполне школьного примера системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Выразим из первого уравнения данной системы y через x (можно и наоборот) и получим:

Подставив во второе уравнение данной системы вместо y выражение , получим систему

Данная и полученная системы равносильны. В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:

Соответствующее значение y найдём, подставив вместо x число -5 в выражение , откуда

Пара (-5; 2) является решением системы линейных уравнений.

Методом подстановки можно решать и системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из третьего уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы:

.

Произведём преобразования и выразим из этого уравнения :

Полученные выражения для и подставим в первое уравнение системы и получим

.

Вместо можно вновь подставить его выражение, тогда получим уравнение с одним неизвестным:

откуда

.

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из первого уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы, после чего выполним преобразования и получим:

Из третьего уравнения выразим :

Полученное выражение для подставим в преобразованное второе уравнение системы и получим уравнение с одним неизвестным:

.

Произведём преобразования и найдём :

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

При решении систем линейных уравнений методом сложения уравнения системы почленно складывают, причём одно или оба (несколько) уравнений могут быть умножены на различные числа. В результате приходят к эквивалентной (равносильной) системе линейных уравнений, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. В уравнениях данной системы в этом примере системы коэффициенты при y — противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

, или , .

Заменим одно из уравнений исходной системы, например, первое, уравнением . Получим систему

Решим полученную систему. Подставив значение в уравнение , получим уравнение с одной переменной y:

Пара (2; 1) является решением полученной системы линейных уравнений. Она является также решением исходной системы, так как эти две системы линейных уравнений равносильны.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом сложения

Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения на -3, а второго уравнения на 2, то коэффициенты при x в полученных уравнениях будут противоположными числами:

Почленное сложение уравнений полученной в результате преобразований системы приводит к уравнению с одной переменной: . Из этого уравнения находим, что . Получили

Решением полученной системы, а следовательно и исходной системы линейных уравнений является пара чисел (-3; 0).

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. Для упрощения решения произведём замену переменных:

, .

Приходим к системе линейных уравнений:

или

Умножим второе уравнение полученной системы на -2 и сложим с первым уравнением, получим , . Тогда .

Следовательно, имеем систему уравнений

или

Умножим второе уравнение полученной системы на 3 и сложим с первым уравнением. Получим

.

Решив задачи из примеров на решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения, мы научились производить элементарные преобразования, необходимые для решениях систем линейных уравнений в курсе высшей математики.

Назад

Листать

Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Продолжение темы «Системы уравнений и неравенств»

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы)

Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Начало темы «Линейная алгебра»

Определители

Матрицы

Поделиться с друзьями

Решение системы уравнений подстановкой

Решение системы уравнений методом подстановки полезно для решения системы уравнений. Это наиболее легко применимо к системам линейных уравнений. В этой статье мы рассмотрим метод замены. Мы обсудим, что такое метод подстановки и как решить систему уравнений подстановкой. Кроме того, мы решим несколько примеров. Это поможет лучшему пониманию. Итак, приступим к обсуждению.

Что такое решение системы уравнений путем замены?

Метод решения систем линейных уравнений подстановкой. Подстановка подразумевает подстановку одного уравнения в другое в качестве замены переменной. Подставляем одну переменную найденным значением для решения задачи.

Метод подстановки очень полезен в таких темах, как линейная алгебра, компьютерное программирование и т. д. Примечательно, что решение систем уравнений методом подстановки очень несложно.

Прежде чем обсуждать, как решить систему уравнений подстановкой, давайте кратко рассмотрим систему уравнений.

Система линейных уравнений

Это набор из двух или более линейных уравнений.

Для двух переменных (x и y) график системы двух линейных уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Здесь у нас есть три возможности:

• Прямые параллельны. Они будут пересекаться в нулевых точках.
• Линии пересекаются в одной точке.
• Линии пересекаются в бесконечных точках. Это означает, что два уравнения представляют аналогичную прямую.

Системы уравнений представляют собой математические задачи, включающие два или более уравнений.

Решения системы уравнений

В общем случае решение системы уравнений с двумя переменными представляет собой упорядоченную пару. Такое решение делает оба уравнения верными.

• Система, имеющая хотя бы одно решение, является непротиворечивым решением
• Система, не имеющая решения, является несогласованным решением.
• Когда все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения, уравнения являются зависимыми. (Это означает, что они оба представляют одну и ту же линию.)
• Иногда уравнения в системе не имеют общих решений. Такие уравнения системы независимы.

Решение системы уравнений методом подстановки даст один из следующих результатов: 

(i) Только одно значение для каждой переменной в системе, т. е. одно решение решения

(iii) Истинное утверждение, т. е. бесконечные решения

Как решить систему уравнений путем замены

Рассмотрим следующие уравнения:

y = 2x

x + y = 12

Здесь 1-е уравнение показывает, что y равно 2x. Это означает, что мы можем поставить это значение вместо y. Итак, давайте подставим значение y во 2-е уравнение.

При таком значении y все уравнение будет включать одну переменную. Когда уравнение имеет одну переменную, мы можем легко найти его решение.

Подставляя значение y во второе уравнение,

x + 2x = 12

3x = 12

x = 12 / 3             

x = 4

Итак, теперь у нас есть конкретное значение x. Но не забывайте, вам нужно значение y. Нам нужно найти конкретное значение y. Для этого подставим значение x в 1-е уравнение.

y = 2x

y = 2(4) (подставив 4 вместо x)

y = 8

Итак, решив систему уравнений подстановкой, мы получили наше решение.

Решением данной системы уравнений является (4,8).

Лучше проверить эти решения. Для этого мы должны подставить решения обратно в систему уравнений.

1-е уравнение: y = 2x

Подстановка значений

8 = 2(4)

8 = 8

2-е уравнение: x + y = 12

Подстановка значений 1 + 2

3 9

12 = 12

Приведенная выше система уравнений является основным примером. Таким образом, вы можете легко понять концепцию.

Пойдем дальше.

Нахождение переменной перед использованием метода подстановки

Обычно, будучи учеником старшей школы, вы не получите уже приравненное значение x или y. Готового значения для замены не будет. Скорее, вы получите задачу в виде пары линейных уравнений для решения.

Рассмотрим систему уравнений:

3x + 4y = -5

2x – 3y = 8

Здесь мы можем заметить, что ни одно из приведенных выше уравнений еще не решено. Нет значения ни для x, ни для y, доступного для замены. Итак, мы должны сначала решить для x или y. Потом будем делать замену.

Как это сделать? Давайте обсудим.

Для решения систем линейных уравнений путем подстановки необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Выберите одно уравнение из пары линейных уравнений.

Шаг 2: Теперь мы должны решить его для любой из его переменных (скажем, x или y).

Шаг 3: Подставьте значение переменной (решенное на шаге 2) в другое уравнение.

Шаг 4: Решите второе уравнение, чтобы найти значение другой переменной.

Шаг 5: Проверьте решения. Мы можем сделать это, подставив их в любое из исходных уравнений. Такое уравнение должно включать обе переменные.

Когда мы решаем системы линейных уравнений путем замены, как правило, одно уравнение и одна из переменных прокладывают путь к решению быстрее, чем другое. Чтобы хорошо это понять, давайте решим несколько примеров.

Решенные примеры

Пример 1

3x + 4y = -5

2x – 3y = 8

Теперь попробуем решить систему уравнений подстановкой.

Здесь мы решим, выбрав переменную x и второе уравнение.

Сначала решим x для второго уравнения.

2x — 3y = 8

2x = 3y + 8

x = 3y / 2 + 4 (3 -е уравнение)

Далее мы заменим значение x, то есть 3Y / 2 + 4, в 1-е уравнение.

3x + 4y = -5

3(3y / 2 + 4) + 4y = -5

Теперь решим это уравнение.

9y / 2 + 12 + 4y = -5

17y / 2 = -5 – 12

17y / 2 = -17

y = -2

Здесь мы подставим значение y в любое уравнение у которого есть обе переменные x и y.

Подстановка значения y, т. е. y = -2, в 3-е уравнение.

x = 3y / 2 + 4

x = 3(-2) / 2 + 4

x = -6 / 2 + 4

x = -3 + 4

x = 1

Также учащиеся могут проверить свои решения, подставив найденные значения в оба исходных уравнения.

Подстановка значений обеих переменных x и y в 1-е уравнение.

3x + 4y = -5

3(1) + 4(-2) = -5

3-8 = -5

-5 = -5

2x – 3y = 8

2(1 ) – 3(-2) = 8

2 + 6 = 8

8 = 8

Левая и правая стороны равны.

Следовательно, решения x = 1 и y = –2 верны.

Факт, который следует учитывать: При решении систем линейных уравнений методом подстановки, если полученное решение верно, то при проверке оно будет 0 = 0 (или LHS = RHS). Это показывает, что система зависима. Любое из исходных уравнений является решением. Однако, если метод подстановки приводит к неправильному решению, это не приведет к тому, что LHS = RHS (например, 0 = 4). Это показывает, что система несовместима. Для этой системы нет решения.

Пример 2

-7x – 2y = -13

x – 2y = 11

Как и ранее, мы решим второе уравнение, выбрав второе уравнение.

x = 11 + 2y

Теперь мы подставим это значение x в 1-е уравнение.

-7x – 2y = -13

-7(11 + 2y) – 2y = -13

-77 – 14y – 2y = -13

-77 – 16y = -13

-16y = -13 + 77

-16 лет = 64 

 y = -4             (при делении 64 на 12)

Теперь нам нужно найти x. Для этого подставьте значение y в 1-е уравнение.

x = 11 + 2y

x = 11+ 2(-4)

x = 11 – 8

x =  3

Следовательно, решением этой системы уравнений является (3, -4).

Проверка решений:

-7x – 2y = -13

-7(3) – 2(-4) = -13

-21 + 8 = -13

-13 = -13

x = 11 + 2 года

3 = 11 + 2(-4)

3 = 11 – 8

3 = 3

Доказывает, что значения или решения верны.

Прикладная задача

1. Периметр прямоугольника равен 60 м. Длина этого прямоугольника на 10 м больше его ширины. Вычислите размеры прямоугольника методом подстановки.

Пусть l — длина, а b — ширина.

Преобразование вышеуказанной информации в систему уравнений:

2 (l + b) = 60

l = b + 10

(Здесь переменные l и b вместо x и y)

On Подставляя значение l в первое уравнение,

2 [(b + 10) + b] = 60

2 [2b + 10] = 60

4b + 20 = 60

4b = 60 — 20

4b = 40

B = 10 (при разделении 20 на 4)

Теперь, чтобы найти L:

Ввод значения b во второе уравнение.

л = b + 10

л = 10 + 10

л = 20

Проверка обоих решений:

Подстановка значений в первое уравнение,

2 (l + b) = 60

2 (20 + 10) = 60

2 (30) = 60

900 902 600 = 60 Подставляя значения во второе уравнение,

l = b + 10

20 = 10 + 10

20 = 20

Это доказывает правильность решения.

Значит, длина прямоугольника 20 м, а ширина 10 м.

Учащиеся могут обратиться к приведенным выше примерам, чтобы узнать, как решать систему уравнений путем замены соответствующих математических задач.

Краткий обзор

Метод подстановки можно суммировать в три шага:

1. Решите любое уравнение для одной из его переменных.
2. Подставить найденное значение в другое уравнение и решить его.
3. Подставить/подставить решение для одной переменной в исходное уравнение, чтобы найти другую переменную.

Решение системы уравнений методом подстановки является эффективным способом решения алгебраических и геометрических задач.

Часто задаваемые вопросы

1. Как решать уравнения методом подстановки?

Решение уравнения методом подстановки очень похоже на решение уравнений методом сложения и вычитания, но его немного легче понять. Если у вас есть уравнение типа 3x — 4 = 7, и вы хотите решить его с помощью метода подстановки, вам просто нужно найти два числа, которые в сумме дают 7, но кратны 3. В данном случае это числа 2 и 4. — так:

3x – 4 = 7

В приведенном выше примере мы пытаемся найти x, поэтому мы можем подставить эти два числа в исходное уравнение и посмотреть, что получится:

3x – 4 = 7

2 + 4 = 6 (значит, что x = 6

2. Как решить систему уравнений?

Первое, что нужно сделать, это записать уравнения, а затем разделить их по переменным.

Далее использовать алгебраические методы для нахождения неизвестных значений

После этого подставьте каждое значение в каждое уравнение и найдите другое неизвестное значение

3.

Как решить каждую систему подстановкой?

Чтобы решить систему уравнений, вам нужно заменить одно уравнение на другое. Для этого вам нужно знать, с какой переменной вы работаете. Это неизвестное или уже известное число? Если переменная неизвестна, вы захотите заменить ее на эту переменную. Если переменная уже известна, вам нужно заменить ее на эту переменную, а другую оставить как есть.

4. Как решить систему с помощью подстановки?

Решением системы уравнений является точка пересечения всех линий. Чтобы найти эту точку, нам нужно решить для всех переменных. Чтобы решить для всех переменных, мы подставляем одну переменную в каждое из уравнений.

5. Как использовать подстановку при решении системы уравнений?

В системе уравнений две или более переменных.

Чтобы решить систему уравнений, вам нужно, чтобы одна переменная была равна другой переменной (переменным).

Проще всего это сделать с помощью подстановки.

Подстановка — это замена одной переменной другим значением.

Методы подстановки и сложения

Результаты обучения

• Используйте метод подстановки, чтобы найти решение(я) системы двух линейных уравнений.
• Используйте метод сложения, чтобы найти решение(я) системы линейных уравнений.

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью графика хорошо работает, когда решение состоит из целых чисел, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод. Рассмотрим еще два метода решения система линейных уравнений более точная, чем графическая. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение для решения второй переменной. Напомним, что мы можем решать только для одной переменной за раз, поэтому метод подстановки ценен и практичен.

Как: Имея систему из двух уравнений с двумя переменными, решите ее методом подстановки.

1. Решите одно из двух уравнений для одной из переменных относительно другой.
2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.
3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
4. Проверьте решение обоих уравнений.

Пример. Решение системы уравнений с двумя переменными путем замены

Решите следующую систему уравнений путем замены.

[латекс]\begin{align}-x+y&=-5 \\ 2x-5y&=1 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Вы можете использовать онлайн-инструмент для построения графиков, который поможет вам решить систему уравнений путем замены. Мы будем использовать следующую систему, чтобы показать вам, как это сделать:

[латекс]\begin{align}x&=y+3 \\ 4&=3x — 2y \end{align}[/latex]

Сначала решите оба уравнения для y:

[латекс]\begin{align}y&=x-3 \\ y&=\frac{3}{2}x — 2 \end{align}[/latex]

Теперь введите [latex]x-3=\frac{3}{2}x — 2[/latex] в Desmos. Вы увидите, что Desmos предоставил вам [latex]x = -2[/latex].

Теперь вы можете подставить [латекс]х = -2[/латекс] в оба уравнения. Если вы получите одинаковый результат для обоих, вы нашли решение упорядоченной пары. Попробуйте.

Показать раствор

Вопросы и ответы

Можно ли использовать метод подстановки для решения любой линейной системы с двумя переменными?

Да, но метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Следующее видео длится около 10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений. Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы обобщить решение для каждого примера.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третьим методом решения систем линейных уравнений является метод сложения , этот метод также называют метод устранения . В этом методе мы добавляем два слагаемых с одной и той же переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не во всех системах два члена одной переменной имеют противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения путем умножения, чтобы исключить одну переменную путем сложения.

Как: Имея систему уравнений, решить ее методом сложения.

1. Напишите оба уравнения с размером x – и – переменные слева от знака равенства и константы справа.
2. Напишите одно уравнение над другим, выстраивая соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет противоположный коэффициент той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную.
5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример: Решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений методом сложения.

[латекс]\begin{align}x+2y&=-1 \\ -x+y&=3 \end{align}[/latex]

Показать решение

Ключевые выводы

Пример: Использование метода сложения при необходимости умножения одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс]\begin{align}3x+5y&=-11 \\ x — 2y&=11 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс]\begin{align}2x — 7y&=2\\ 3x+y&=-20\end{align}[/latex]

Показать решение

Пример: Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.

[латекс]\begin{align}2x+3y&=-16 \\ 5x — 10y&=30\end{align}[/latex]

Показать решение

Пример: Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.

[латекс]\begin{align}\frac{x}{3}+\frac{y}{6}&=3 \\[1 мм] \frac{x}{2}-\frac{y}{ 4}&=1 \end{выравнивание}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс]\begin{align}2x+3y&=8\\ 3x+5y&=10\end{align}[/latex]

Показать решение

в следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.