Решебник алгебры: ГДЗ по алгебре 8 класс Мордкович, Николаев Задачник углубленный 2016

Содержание

ГДЗ по алгебре 8 класс Мордкович, Николаев Задачник углубленный 2016

Если школьник чувствует, что перестал справляться с домашними заданиями, то ему пора обратиться за помощью к «ГДЗ по алгебре за 8 класс Мордкович, Николаев Учебник и Задачник ФГОС Углубленный уровень (Мнемозина)», а не запускать ситуацию, чтобы дальнейшее изучение предмета не превратилось в невыполнимую миссию. В решебнике ученик найдет много полезного и ценного для себя. Все это обязательно ему пригодится для успешного освоения курса.

Алгебра в 8 классе

Рабочая программа в новом учебном году сложна и многообразна. Чтобы справиться со всеми нагрузками, для начала нужно вникнуть в суть следующих тем:

  1. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями.
  2. Рациональные выражения.
  3. Степень с отрицательным показателем.
  4. Арифметический квадратный корень.
  5. Виды чисел.
  6. Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями.

После каждого раздела учеников ждет контрольный опрос. Иногда учителя будут устраивать внеплановые проверки знаний. Это значит лишь одно. Подросток должен приходить на уроки хорошо подготовленным с правильно выполненными домашними заданиями. Ну а если у него появятся вопросы при решении какого-либо практического номера из учебника, то он всегда может обратиться за помощью к ГДЗ.

Кому пригодится онлайн-справочник

Изначально данный методический комплекс разрабатывался только для школьников, но со временем он стал пользоваться спросом среди:

  • преподавателей;
  • студентов;
  • частных репетиторов;
  • родителей учеников.

Сведения, представленные в «ГДЗ по алгебре за 8 класс Мордкович, Николаев Учебник и Задачник», понадобятся педагогам для написания специальных карточек-шпаргалок для занятий. Репетиторы, благодаря сборнику верных ответов, разработают собственную методику обучения. Студенты вспомнят все то, что проходили в школе, а родители примут полноценное участие в учебном процессе подростков.

Преимущества решебника по алгебре за 8 класс от Мордковича

Данный комплекс обладает целым рядом плюсов. Среди них хотелось бы отметить самые значимые. Во-первых, издание находится в электронном доступе. Воспользоваться книгой можно в любое время, находясь где угодно. Во-вторых, помимо верных ответов на различные вопросы в рамках программы, ученики найдут в справочнике и решенные тесты, и исчерпывающие авторские комментарии, и заметки методистов. В-третьих, информация в пособии изложена настолько просто и понятно, что в ней сумеет каждый разобраться.

▶▷▶▷ гдз 8 класс номер 976

▶▷▶▷ гдз 8 класс номер 976
ИнтерфейсРусский/Английский
Тип лицензияFree
Кол-во просмотров257
Кол-во загрузок132 раз
Обновление:02-09-2019

гдз 8 класс номер 976 — ГДЗ по алгебре для 8 класса ЮН Макарычев — номер 976 reshebamegdzalgebra 8 -klassmakarychevnomer- 976 Cached Подробное решение номер 976 по алгебре для учащихся 8 класса, авторов ЮН Макарычев, НГ Номер 976 — ГДЗ по Математике 5 класс: Мерзляк АГ gdzputinainfomatematikamerzlyaknomer- 976 Cached ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Номер 976 по учебнику Математика 5 класс Гдз 8 Класс Номер 976 — Image Results More Гдз 8 Класс Номер 976 images Номер задания 976 — ГДЗ по Алгебре 8 класс: Макарычев ЮН gdzputinainforeshebniki 8 -klassalgebra Cached Назад к содержанию Ответ на Номер задания 976 из ГДЗ по Алгебре 8 класс : Макарычев ЮН ГДЗ 976 номер алгебра 7 класс А — gdzru gdzruclass-7algebramerzlyak-polonskij 976 -nom Cached Подробное решение номер 976 по алгебре для учащихся 7 класса , авторов А Г Мерзляк, В Б Номер 976 — гдз по алгебре 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков gdzplusme 8 -klassalgebramakarychevzadacha- 976 Cached ГДЗ 8 класс Алгебра Макарычев, Миндюк, Нешков Номер 976 8 класс Задача 976 , ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Макарычева бесплатно Номер 976 — гдз по математике за 5 класс Дорофеев, Шарыгин gdzplusmedorofeev-sharyginnomer- 976 Cached ГДЗ по математике за 5 класс к учебнику Дорофеева номер 976 Ответы к задачам онлайн 976 Алгебра 8 класс Степени, степени чисел, отрицательная wwwyoutubecom watch?v2jXrEWpU1xQ Cached ГДЗ по Алгебре 8 класс Макарычев номер 976 Степень с целым показателем Решебник Номер 976 Геометрия 7 9 класс Атанасян — YouTube wwwyoutubecom watch?vZGSg0BVcR0U Cached Номер 976 Геометрия 7 9 класс Атанасян алгебра УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 класс Номер 1086 Задача 976 ГДЗ решебник: Алгебра 8 класс Макарычев wwwmathcomuagdz-reshebnikalgebra- 8 -klass Cached ГДЗ (решебники)- 8 класс — ЮН Макарычев Алгебра 8 класс ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задача 976 Номер 976 — ГДЗ по математике 6 класс Виленкин uchimorggdzpo-matematike-6-klass-vilenkin975 Cached Решение задания номер 976 ГДЗ по математике 6 класс Виленкин поможет в выполнении и проверке Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 29,200

  • ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев номер 976 ответ. 2011-2016 УРОКУ.НЕТ — Бесплатные ГДЗ решебники, ответ
  • ы, онлайн решения задач. Тогда введите номер задания здесь: ГДЗ бесплатно по всем предметам. Вы открыли задание номер 976 из решебника на uchim.org. ГДЗ по математике 10 класс Л.А. Латотин номер 976
  • рыли задание номер 976 из решебника на uchim.org. ГДЗ по математике 10 класс Л.А. Латотин номер 976. Английский язык 10 класс Юхнель. Авторы: Н.В. Юхнель, Е.Г. Наумова, Н.В. Демченко. Ответ на задачу можно найти в бесплатном решебнике по алгебре для 8 класса, автор Макарычев, номер 976. Другие ГДЗ. Домашние задание по математике для учебника за 6 класс: Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова и др. — онлайн гдз для номера 976 — решебник. Введите номер ГДЗ: ГДЗ по математике 6 класс Виленкин. Поставьте вместо знак так, чтобы получилось верное неравенство: Решение задачи 976: Каждый номер в решебнике соответствует учебнику, поэтому необходимое задание найдёте без проблем. Родители могут при помощи ГДЗ проконтролировать своего школьника и проверить его знания. ГДЗ по Геометрии для 8 класса Атанасян Л.С. 7-9 класс. Номер задания. Copyright 2002-2017 По всем вопросам обращаться на эту почту: adminna5.ru. ГДЗ 8 класс Алгебра Ю.Н. Макарычев. Номера задач. 2016 megaresheba.ru infomegaresheba.ru. Официальные ГДЗ России. Конечно же они ищут решебник к данному учебнику, но на многих сайтах, таким образом распространяется вирус, а также просят отправить сообщение на номер.

таким образом распространяется вирус

автор Макарычев

  • отрицательная wwwyoutubecom watch?v2jXrEWpU1xQ Cached ГДЗ по Алгебре 8 класс Макарычев номер 976 Степень с целым показателем Решебник Номер 976 Геометрия 7 9 класс Атанасян — YouTube wwwyoutubecom watch?vZGSg0BVcR0U Cached Номер 976 Геометрия 7 9 класс Атанасян алгебра УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 класс Номер 1086 Задача 976 ГДЗ решебник: Алгебра 8 класс Макарычев wwwmathcomuagdz-reshebnikalgebra- 8 -klass Cached ГДЗ (решебники)- 8 класс — ЮН Макарычев Алгебра 8 класс ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задача 976 Номер 976 — ГДЗ по математике 6 класс Виленкин uchimorggdzpo-matematike-6-klass-vilenkin975 Cached Решение задания номер 976 ГДЗ по математике 6 класс Виленкин поможет в выполнении и проверке Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
  • НГ Номер 976 — ГДЗ по Математике 5 класс: Мерзляк АГ gdzputinainfomatematikamerzlyaknomer- 976 Cached ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Номер 976 по учебнику Математика 5 класс Гдз 8 Класс Номер 976 — Image Results More Гдз 8 Класс Номер 976 images Номер задания 976 — ГДЗ по Алгебре 8 класс: Макарычев ЮН gdzputinainforeshebniki 8 -klassalgebra Cached Назад к содержанию Ответ на Номер задания 976 из ГДЗ по Алгебре 8 класс : Макарычев ЮН ГДЗ 976 номер алгебра 7 класс А — gdzru gdzruclass-7algebramerzlyak-polonskij 976 -nom Cached Подробное решение номер 976 по алгебре для учащихся 7 класса
  • Миндюк

Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд гдз класс номер Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты ГДЗ по алгебре класс ЮН Макарычев номер https gdz ru class algebra no Подробное решение номер по алгебре для учащихся класса , авторов ЮН Макарычев, НГ Миндюк, Задача ГДЗ решебник Алгебра класс Макарычев wwwmathcomua gdz klass Решение номера из учебника по алгебре класс Макарычев Номер задания ГДЗ по Алгебре класс Макарычев https gdz putinainfo klass nomer ГДЗ готовое домашние задание из решебника на Номер задания по учебнику Алгебра класс учебник Номер Решебник по алгебре класс Макарычев gdz po klass Решение задания номер Решебник по алгебре класс Макарычев поможет в выполнении и проверке ГДЗ номер алгебра класс ЮН Макарычев, НГ Миндюк class подробное решение номер по алгебре для учащихся класса , авторов юн макарычев, нг миндюк, ки нешков, сб суворова Номер ГДЗ по Алгебре класс Макарычев Где Гдз gdz ru klass nomer Номер из решебника ГДЗ на учебник по Алгебре класса от авторов ЮН Макарычев, НГ Миндюк, КИ ГДЗ по алгебре класс Макарычев, Миндюк номер https gdz fiveru gdz _ class Решение задачизадания номер к учебнику по алгебре за класс авторов Макарычев, Миндюк Номер гдз по алгебре класс Макарычев, Миндюк https gdz plusme klass zadacha Разбор задания по алгебре за класс Макарычев, Миндюк Алгебра Макарычев класс Рамблеркласс https class ramblerru gdz algebra Ответы на вопрос Алгебра Макарычев класс читайте на Рамблер класс Алгебра класс Степени, степени чисел YouTube мар ГДЗ по Алгебре класс Макарычев номер Степень с целым показателем Решебник myoutubecom ГДЗ по алгебре для класса ЮН Макарычев номер gdz klass nome Подробное решение номер по алгебре для учащихся класса , авторов ЮН Макарычев, НГ Миндюк, КИ ГДЗ по алгебре для класса ЮН Макарычев номер gdz klass Подробное решение номер по алгебре для учащихся класса , ГДЗ по алгебре класс ЮН Макарычев Углубленный уровень номер Найдите значение выражения ГДЗ и решебники от gdz com klass zadanie по учебнику Ю Н Макарычев, Н Г Миндюк, К И Нешков, С Б Суворова Учебник по алгебре класса ГДЗ номер , список задач по алгебре класс Макарычев gdz algebra ГДЗ , готовое домашнее задание по алгебре класс , автор учебника Макарычев ЮН На Решунове ты ГДЗ по алгебре класс Макарычев, Миндюк, Нешков eurokiorg gdz _ klass Решебник по алгебре за класс авторы Макарычев, Миндюк, Нешков издательство Просвещение Задание Задание ГДЗ по алгебре класс Макарычев gdz netzadanie algebra Задание ГДЗ по алгебре класс Макарычев Задание Алгебра класс Макарычев Другие номера Определение степени с целым отрицательным Алгебре класс Учебник для общеобразовательных otvetmobi gdz klass Бесплатное решение задания задачи , Алгебре класс Учебник для ГДЗ класс Алгебра Математика класс Мерзляк, Полонский, Якир Номер klass Выполните деление , ,; , ,; ,; , ,; ,; , ,; , Решение номера Алгебра класс Макарычев ГДЗ https gdz otvetyru klass makarychev? На странице представлено онлайн решение номера по учебнику Алгебра класс Макарычев Если вы ГДЗ Макарычев ЮН класс Алгебра, Номера задач https klassgdz ru class _ klass Макарычев ЮН, задание текст упражнения, параграфа, задачи, контрольного вопроса Алгебра, класс Картинки по запросу гдз класс номер ГДЗ по алгебре, Алгебра класс Макарычев Готовое wwwmy gdz comalgebra klass ГДЗ по алгебре, Алгебра класс Макарычев Готовое домашнее задание mygdzcom Решебник по Алгебре за класс ЮН Макарычев, НГ class makarychev Данное пособие содержит решебник ГДЗ по Алгебре за класс Номера задач ГДЗ Алгебра класс ЮН Макарычев, НГ VipGDZru gdz ru klass yun Восьмой класс является одним из самых сложных этапов школьного обучения Все дело в том, что на данный ГДЗ по геометрии для классов Атанасян ЛС Номер godozru gdz klass nomer Физика Химия ГДЗ по геометрии для классов Атанасян ЛС Номер ГДЗ онлайн Godozru Задание Сборник задач по Физике, класс domashkasu gdz klass fizika Задание Сборник задач по Физике, класс , Рымкевич АП ГДЗ Сборник задач по Физике, класс , ГДЗ по алгебре класс Мордкович, Мишустина, Тульчинская гдз класс ГДЗ по алгебре класс Мордкович, Мишустина, Тульчинская задачник г онлайн Примеры номер Алгебра класс гдз medcentrmonrorualgebra klass gdz ГДЗ готовое домашние задание из решебника на Номер по учебнику Алгебра класс Подробное ГДЗ решебник по алгебре класс Макарычев, Миндюк reshatorru klass algebramakarychev Подробный разбор задач по алгебре за класс из учебника Макарычева, Миндюк, Нешкова Номер ГДЗ Математика Никольский учебник класс ξ super gdz ru class matematika Решение номера Решение для Номер Математика Никольский учебник класс Номер задания ГДЗ Алгебра класс ЮН Макарычев Моя домашка mydomashkaru gdz klass jun Скачать ГДЗ Алгебра класс ЮН Макарычев вы можете на mydomashkaru Самые правильные ответы вы Алгебра класс Степени, степени чисел мар ГДЗ по Алгебре класс Макарычев номер Степень с целым показателем Решебник mandroidmafiaru ГДЗ по Математика класс Никольский, Потапов номер gdz otvethtml Подробное решение номер ГДЗ Математика класс Никольский, Потапов номер Решебник Лучшие Мегарешеба ГДЗ по Алгебре за класс ЮН Макарычев, Н gdz class ГДЗ к рабочей тетради по алгебре за класс Миндюк НГ можно посмотреть тут Номера задач ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Решение упражнение номер по Алгебре за класс ГВ gdz rureshebniki klass nmr Подробное решение упражнение номер , онлайн учебник по Алгебре для Гдз рабочая тетрадь по Алгебре за класс можно найти тут; Гдз Задание Алгебра Класс Макарычев Скачать mp бесплатно алгебр Скачать бесплатно mp Задание Алгебра Класс Макарычев Размер Алгебра класс Степени степени чисел отрицательная степень гдз алгебра класс Макарычев Номер Геометрия класс Атанасян Алгебра класс Степени, степени чисел, отрицательная ГДЗ по Алгебре класс Макарычев номер Степень с целым показателем Решебник Решебник ГДЗ по алгебре класс Макарычев _ klass Готовые домашние задания по алгебре за класс авторов ЮН Макарычев, НГ Номера задач ГДЗ по алгебре для класса ЮН Макарычев https gdz putinaru klass makaryche ГДЗ к рабочей тетради по алгебре за класс Миндюк НГ можно скачать здесь Номера задач ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Гдз по алгебре класс Макарычев ЮН Илюха решает клас Гдз по алгебре за класс автор Макарычев ЮН с решениями всех номеров , заданий и упражнений ГДЗ по алгебре класс автор Макарычев ЮН gdz rualgebra klass ГДЗ класс Макарычев ЮН помогут ребенку самостоятельно ознакомиться с любой темой и разобрать её в Номер ГДЗ , решебники и учебники онлайн https gdz ireshebnikicom no Unit Free Time Read for Pleasure Сторінка Сторінка Сторінка Сторінка Сторінка Сторінка Сторінка Сторінка Сторінка Математика класс Виленкин, Жохов, Чесноков Номер gdz klass Поставьте вместо знак так, чтобы получилось верное неравенство а , ,; б ,; в , ГДЗ ЮН Макарычев класс по Алгебре ФГОС на gdz class ГДЗ и Решебник за класс по Алгебре поможет Вам найти верный ответ на самый Номера задач ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Найдите координаты точки пересечения прямых x y ГДЗ к Найдите координаты точки пересечения прямых x y и х у решение и ответ Завдання ГДЗ Математика клас р Рівкінд Ф М m gdz ometrbybookresh Добавьте решебник в свои книги для быстрого доступа в следующий раз Математика клас р ГДЗ Завдання ГДЗ Математика клас р Богданович m gdz ometrbybookresh Математика клас р ГДЗ Богданович М В, Лишенко Г П Каталог Содержание Завдання ГДЗ по алгебре класс Макарычев номер klass com GDZ html Макарычев ГДЗ алгебра класс решение задания под номером ГДЗ по алгебре класс Макарычев решебники на Gdz life https gdz life klass algebramakarichev Рейтинг голосов Подробное ГДЗ по алгебре класса к учебнику Ю Н Макарычев, Н Г Миндюк, К И Нешков и др Домашние ГДЗ по математике класс Зубарева ИИ, Мордокович АГ времени решить упражнение по наукеМатематика за класс автора Зубарева Номера примеров В ответ на официальный запрос мы удалили некоторые результаты с этой страницы Вы можете ознакомиться с запросом на сайте LumenDatabaseorg Запросы, похожие на гдз класс номер алгебра класс номер алгебра класс номер алгебра класс номер алгебра класс номер алгебра класс номер алгебра класс номер След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка

ГДЗ Алгебра 8 класс Макарычев номер 976 ответ. 2011-2016 УРОКУ.НЕТ — Бесплатные ГДЗ решебники, ответы, онлайн решения задач. Тогда введите номер задания здесь: ГДЗ бесплатно по всем предметам. Вы открыли задание номер 976 из решебника на uchim.org. ГДЗ по математике 10 класс Л.А. Латотин номер 976. Английский язык 10 класс Юхнель. Авторы: Н.В. Юхнель, Е.Г. Наумова, Н.В. Демченко. Ответ на задачу можно найти в бесплатном решебнике по алгебре для 8 класса, автор Макарычев, номер 976. Другие ГДЗ. Домашние задание по математике для учебника за 6 класс: Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова и др. — онлайн гдз для номера 976 — решебник. Введите номер ГДЗ: ГДЗ по математике 6 класс Виленкин. Поставьте вместо знак так, чтобы получилось верное неравенство: Решение задачи 976: Каждый номер в решебнике соответствует учебнику, поэтому необходимое задание найдёте без проблем. Родители могут при помощи ГДЗ проконтролировать своего школьника и проверить его знания. ГДЗ по Геометрии для 8 класса Атанасян Л.С. 7-9 класс. Номер задания. Copyright 2002-2017 По всем вопросам обращаться на эту почту: adminna5.ru. ГДЗ 8 класс Алгебра Ю.Н. Макарычев. Номера задач. 2016 megaresheba.ru infomegaresheba.ru. Официальные ГДЗ России. Конечно же они ищут решебник к данному учебнику, но на многих сайтах, таким образом распространяется вирус, а также просят отправить сообщение на номер.

Решебник и ГДЗ по алгебре, матиматике


ГДЗ и решебник по алгебре и математике

     Каждый начинающий интернет-школьник хоть однажды побывал на одном из сайтов, предлагающих скачать гдз по алгебре. Алгебра преподается в средних и старших классах школы, приходя на смену простейшей математике. Ученики сразу начинают чувствовать разницу, сложность выполнения заданий возрастает в разы. Для многих выполнить их самостоятельно в домашних условиях не представляется возможным. Но не опускать руки раньше времени: ресурс megazoobrila.ru предлагает своим пользователям решебник по алгебре.

     Используя сервис megazoobrila.ru можно будет найти решения на абсолютно все примеры, вне зависимости от того, какой учебник используется. ГДЗ по алгебре, размещенные на сайте обновляются вместе с выпуском новых учебников. Когда происходит смена не только методики преподавания, но и всех заданий. Не исключено, что это делается специально для затруднения процесса списывания учениками готовых решений и ответов. Но смысла в этом нет, все равно они будут способы для получения доступа к решениям. Наиболее приемлемой возможностью видится разрешить скачивать решебник на телефон, но объяснить при этом, что школьник должен сделать все возможно для самостоятельного решения задачи или примера только после этого в качестве проверки правильности своих действий использовать скаченные с сайта megazoobrila.ru материалы. Теперь делать домашнюю работу совсем не грустно. Их аналоги свободно продаются в виде печатных сборников. Если человек пользуется нашим сервисом, то он уже достаточно умен для того, чтобы хорошо успевать по любому предмету, в том числе, и алгебре, поскольку, умение находить нужную информацию – это основа получения успешного образования.     Они помогут существенно упростить жизнь учащегося и не испытывать повышенного уровня моральной ответственности. Определенный процент школьников вообще бояться посещать этот предмет, поскольку уровень знаний не позволяет свободно ориентироваться в сложных уравнениях и задачах. Но выхода нет, чтобы получить аттестат необходимо сдать экзамен по этому предмету. Решебник по алгебре за 8 класс сможет стать наглядным пособием, которое при этом еще сможет в случае необходимости оказать неоценимую помощь и позволить списать готовое решение. Выполняя определенный минимум, можно будет довольно весело проходить сложную школьную программу по алгебре, что станет гарантией удовлетворительной оценки. Невозможно предъявлять претензии к ученику, который старается и выполняет домашние задания.

     Современные школьники, безусловно, намного более подкованные в техническом отношении у них есть возможность получить доступ к любой информации, посредством сети интернет. ГДЗ по алгебре для всех классов наглядное тому подтверждение. Теперь не нужно приставать к уставшим родителям и просить их решить тот или иной пример. Ребенок с раннего возраста будет самостоятельно принимать решения, и отвечать за свои поступки, что поможет ему в течение всей жизни. И в этом неоценимую помощь окажет сервис megazoobrila.ru, помогающий разбираться в хитросплетениях алгебры и других предметов. Решебник по алгебре поможет поступить в институт без особых проблем.

     Какие решебники мы можем посоветовать? Если Ваш профильный уровень — математика, то, конечно же, самыми известными являются решебник по алгебре Мордковича и Макарычева для 7,8,9,10,11 классов.

Задание 12 ОГЭ по математике. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Задание 12 ОГЭ по математике – это задача на арифметическую и геометрическую прогрессии. Надо знать определение и все необходимые формулы.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел  (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа d (разности прогрессии), т.е.

или .

Любой (n-й) член арифметической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по одной из двух формул:

, если известно значение ,

, если неизвестно значение .

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии и разность .

Приступим к решению задач.

Пример 1. Дана арифметическая прогрессия: −75; −40; −5; … Найдите её девятый член.

Решение.

Определимся с тем, что нам дали в условии задачи. Итак, −75 — это первый член прогрессии, т.е. . Далее необходимо узнать, чему равна разность прогрессии . Можно её найти, например, так: или

Для нахождения используем формулу общего члена .

Отсюда получаем, .

Ответ: 205.

Пример 2. Дана арифметическая прогрессия (), разность которой равна 1,1,=−7. Найдите сумму первых 8 её членов.

Решение. Для нахождения суммы имеются две формулы. Какую из них удобнее использовать в данной задаче? Конечно, вторую, т.к. неизвестно.

Итак,

Ответ:

Пример 3. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; ….

Решение. По условию . Тогда разность

Найдём последний положительный член арифметической прогрессии и его номер:

Т.к. , то решим неравенство . Отсюда а значит,

Тогда .

Осталось вычислить сумму. Используем формулу для известного значения .

Ответ: .

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается как результат умножения предыдущего на постоянное число (знаменатель прогрессии), т.е.

или .

Любой (n-й) член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Сумма первых членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

, если .

Замечание. Практически в любой задаче для успешного её решения необходимо знать два числа: первый член прогрессии и знаменатель .

Приступим к решению задач.

Пример 4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

…; 3; X; 75; −375; …

Найдите X.

Решение. В условии этой задачи нет конкретного значения , но при этом можно найти знаменатель прогрессии: . Теперь можно найти Х:

Ответ: −15.

Пример 5. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −196; 392; −784; … Найдите её пятый член.

Решение. Здесь , а .

Тогда найдём пятый член геометрической прогрессии, используя формулу общего члена:

Ответ: 3136.

Пример 6. Дана геометрическая прогрессия (), знаменатель которой равен 5, а . Найдите сумму первых шести её членов.

Решение. Используем формулу . Подставим все известные значения:

Ответ: .

Решим задачу посложнее.

Пример 7. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 150, а сумма второго и третьего членов равна 75. Найдите первые три члена этой прогрессии. В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Решение. Запишем условие задачи в виде системы уравнений и решим её, применяя формулу общего члена:

Итак, , , .

Не забудем требование задачи: в ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Ответ: 1005025

Больше объяснений и задач:

Арифметическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/arifmeticheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/

Геометрическая прогрессия на ОГЭ по математике https://ege-study.ru/geometricheskaya-progressiya-v-zadachax-oge-po-matematike/

Решайте уравнения, упрощайте выражения с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Алгебра

Раздел алгебры QuickMath позволяет вам манипулировать математическими выражениями всевозможными полезными способами. На данный момент QuickMath может расширять, разлагать на множители или упрощать практически любое выражение, отменять общие множители в дробях, разбивать дроби на более мелкие («частичные») дроби и объединять две или более дроби в одну дробь. На подходе более специализированные команды.

Что такое алгебра?
Термин «алгебра» используется для многих вещей в математике, но в этом разделе мы будем говорить только о том виде алгебры, с которым вы сталкиваетесь в старшей школе.

Алгебра — это раздел элементарной математики, в котором символы используются для обозначения неизвестных величин. В более общем смысле он состоит из решения уравнений или манипулирования выражениями, которые содержат символы (обычно буквы, такие как x, y или z), а также числа и функции. Хотя решение уравнений на самом деле является частью алгебры, это настолько большая область, что для нее есть отдельный раздел в QuickMath.

Эта часть QuickMath имеет дело только с алгебраическими выражениями. Это математические утверждения, которые содержат буквы, числа и функции, но не содержат знаков равенства. Вот несколько примеров простых алгебраических выражений:

х 2 -1

х 2 -2x + 1

ab 2 + 3a 3 b-5ab

х 3 +1

Развернуть

Команда расширения используется в основном для перезаписи многочленов с умножением всех скобок и целых числовых степеней, а также собранных вместе всех подобных терминов.В расширенном разделе у вас также есть возможность развернуть тригонометрические функции, развернуть по модулю любого целого числа и оставить нетронутыми определенные части выражения, а остальные развернуть.

Перейти на страницу «Развернуть»

Фактор

Команда factor попытается переписать выражение как произведение меньших выражений. Он заботится о таких вещах, как вычитание общих множителей, факторизация по парам, квадратичные трехчлены, разности двух квадратов, суммы и разности двух кубов и многое другое.Расширенный раздел включает в себя варианты факторизации тригонометрических функций, факторизации по модулю любого целого числа, факторизации по полю гауссовских целых чисел (как раз то, что нужно для этих сложных сумм квадратов) и даже расширения поля, по которому факторизация происходит с вашими собственными расширениями.

Перейти на страницу Фактора

Упростить

Упрощение, пожалуй, самая сложная из всех команд для описания. Способ выполнения упрощения в QuickMath заключается в рассмотрении множества различных комбинаций преобразований выражения и выборе того, которое имеет наименьшее количество частей.Помимо прочего, команда «Упростить» позаботится об отмене общих множителей сверху и снизу дроби и сборе похожих терминов. Расширенные параметры позволяют упростить тригонометрические функции или указать QuickMath усерднее пытаться найти упрощенное выражение.

Перейти на страницу упрощения

Отмена

Команда отмены позволяет исключить общие множители в знаменателе и числителе любой дроби, встречающейся в выражении.Эта команда отменяет наибольший общий делитель знаменателя и числителя.

Перейти на страницу отмены

Неполные дроби

Команда частичных дробей позволяет разделить рациональную функцию на сумму или разность дробей. Рациональная функция — это просто частное двух многочленов. Любую рациональную функцию можно записать в виде суммы дробей, где знаменатели дробей являются степенями множителей знаменателя исходного выражения.Эта команда особенно полезна, если вам нужно интегрировать рациональную функцию. Разделив его сначала на частичные фракции, часто можно значительно упростить интеграцию.

Перейти на страницу с неполными дробями

Объединить дроби

Команда объединения дробей по существу выполняет обратную операцию по сравнению с командой частичных дробей. Он перепишет ряд дробей, которые будут добавлены или вычтены как одна дробь. Знаменателем этой единственной дроби обычно будет наименьшее общее кратное знаменателей всех добавляемых или вычитаемых дробей.Все общие множители в числителе и знаменателе ответа автоматически исключаются.

Перейти на страницу Объединить фракции

Понятие корреспонденции часто встречается в повседневной жизни. Для Например, каждой книге в библиотеке соответствует количество страниц в книга. Другой пример: каждому человеку соответствует дата рождения. К приведите третий пример, если температура воздуха регистрируется на протяжении всего день, то в каждый момент времени есть соответствующая температура.

Приведенные нами примеры соответствий включают два множества X и Y. В нашем первом примере X обозначает набор книг в библиотеке, а Y — набор положительные целые числа. Каждой книге x в X соответствует положительное целое число y, а именно количество страниц в книге. Во втором примере, если мы положим X обозначить множество всех людей и Y множество всех возможных дат, затем каждому человеку x в X соответствует дата рождения y.

Иногда мы представляем соответствия диаграммами типа, показанного на Фигура 1.17, где множества X и Y представлены точками внутри регионов в самолет. Изогнутая стрелка указывает, что элемент y из Y соответствует элемент x из X. Мы изобразили X и Y как разные множества. Однако X и Y могут имеют общие элементы. Фактически, мы часто имеем X = Y.

Наши примеры показывают, что каждому x в X соответствует один и только один у в Y; то есть y уникален для данного x. Однако тот же элемент Y может соответствуют различным элементам X.Например, две разные книги могут иметь одинаковое количество страниц, два разных человека могут иметь один и тот же день рождения, и скоро.

В большей части нашей работы X и Y будут наборами действительных чисел. Для иллюстрации пусть X и Y оба обозначают множество R действительных чисел, и для каждого действительного числа x обозначим назначьте его квадрат x 2 . Таким образом, к 3 мы присваиваем 9, к — 5 мы назначаем 25, и скоро. Это дает нам соответствие от R до R. Все примеры Приведенные нами соответствия являются функциями, как определено ниже.

Определение

Функция f из множества X в множество Y — это соответствие, которое присваивается каждому element x of X уникальный элемент y из Y. Элемент y называется изображением x. под f и обозначается f (x). Множество X называется областью определения функции. Диапазон функции состоит из всех изображений элементов X.

Ранее мы ввели обозначение f (x) для элемента Y, который соответствует x. Обычно это читается как «е из х». Мы также называем f (x) значением f в x.С точки зрения графического представления, данного ранее, теперь мы можем набросайте диаграмму, как на рисунке 1.18. Изогнутые стрелки указывают на то, что элементы f (x), f (w), f (z) и f (a) из Y соответствуют элементам x, y, z и a из X. Повторим тот важный факт, что каждому x из X соответствует ровно одно изображение f (x) в Y; однако различные элементы X, такие как w и z на рисунке 1.18 может иметь такое же изображение в Y.

Начинающих студентов иногда путают символы f и f (x).Помнить что f используется для представления функции. Его нет ни в X, ни в Y. Однако f (x) — это элемент Y, а именно элемент, который f присваивает x. Две функции Говорят, что f и g от X до Y равны, записывается

для каждого x в X.

Пример 1 Пусть f будет функцией с областью определения R, такой что f (x) = x 2 для каждого x в R. Найдите f (-6) и f (a), где a — любое действительное число. Что это диапазон f?

Решение Значения f (или изображения под f) можно найти, заменив x в уравнение f (x) = x 2 .Таким образом:

Если T обозначает отключенный диапазон, то по предыдущему определению T состоит из всех числа вида f (a), где a находится в R . Следовательно, T — это множество всех квадраты 2 , где а — действительное число. Поскольку квадрат любого реального число неотрицательно. T содержится во множестве всех неотрицательных действительных числа. Более того, каждое неотрицательное действительное число c является изображением под символом f, так как . Следовательно, диапазон f — это набор всех неотрицательных действительных чисел.

Если функция определена, как в предыдущем примере, символ, используемый для переменная несущественна; то есть такие выражения, как:

и так далее, все определяют одну и ту же функцию.Это правда, потому что если a есть число в области f, то получается такое же изображение a 2 no имеет значение, какое выражение используется.

Пример 2 Пусть X обозначает набор неотрицательных действительных чисел и пусть f будет функция от X до R , определяемая для каждого x из X. Найдите f (4) и f (пи). Если b и c находятся в X, найдите f (b + c) и f (b) + f (c).

Решение Как и в примере 1, поиск изображений под f — это просто вопрос подставив соответствующее число вместо x в выражение для f (x).Таким образом:

Многие формулы, встречающиеся в математике и естественных науках, определяют функции. В качестве иллюстрации формула A = pi * r 2 для площади A круга радиуса r присваивает каждому положительному действительному числу r уникальное значение A. Это определяет функцию f, где f (r) = pi * r 2 , и мы можем написать А = f (r). Буква r, которая представляет собой произвольное число из выключенного домена, часто называют независимой переменной. Буква А, обозначающая число из диапазона off, называется зависимой переменной, так как ее значение зависит от номер, присвоенный tor.Когда две переменные r и A связаны таким образом, принято использовать фразу A — это функция от r. Приведу еще один пример: если автомобиль едет со скоростью 50 миль в час, то расстояние d (мили), пройденное за время t (часы), определяется как d = 50t и, следовательно, расстояние d зависит от времени t.

Мы видели, что разные элементы в области определения функции могут иметь тот же образ. Если изображения всегда разные, то, как в следующем определении, функция называется однозначной.

Разложите многочлен или выражение на множители с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений более высокой степени. Фактически, процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, выходящей за рамки этого пункта, может быть достигнуто без понимания этого.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами .Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение находится в факторизованной форме , только если все выражение является указанным продуктом.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны рассматривать все выражение целиком. Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс изменения выражения суммы или разности членов на произведение факторов.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не изменяется — изменяется только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите, какие факторы являются общими для всех терминов в выражении.
  2. Фактор общие множители.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5 (2x + 1), чтобы получить 10x + 5. В общем случае факторинг «отменит» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет 5 как множитель, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители путем удаления общих множителей, действуйте, как в примере 1.

3x — наибольший общий делитель всех трех членов.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и найдите наибольший из них.Это самый общий фактор. В этом случае наибольший общий делитель равен 3x.

Поставьте 3x перед круглыми скобками.

Термины в круглых скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Обратите внимание, что это свойство распределения. Это процесс, обратный тому, что мы использовали до сих пор.

Исходное выражение теперь преобразовано в факторизованную форму.Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, это должно быть правдой. Умножьте, чтобы убедиться, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано. Другими словами, «Удали ли мы все общие факторы? Можем ли мы использовать дополнительные факторы?»

Если бы мы только удалили множитель «3» из 3x 2 + 6xy + 9xy 2 , ответ был бы

3 (х 2 + 2xy + 3xy 2 ).

Перемножая для проверки, мы обнаруживаем, что ответ фактически совпадает с исходным выражением. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не учитывается полностью.

Это выражение факторизовано, но не полностью.

Чтобы факторинг был правильным, решение должно соответствовать двум критериям:

  1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
  2. F Выражение должно быть полностью разложено на .

Пример 2 Фактор 12x 3 + 6x 2 + 18x.

Решение

На этом этапе нет необходимости перечислять факторы каждого семестра. Вы должны уметь мысленно определить наиболее общий фактор. Хорошая процедура для подражания — думать об элементах по отдельности. Другими словами, не пытайтесь получить все общие множители сразу, а получите сначала число, а затем каждую задействованную букву.Например, 6 — множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Следовательно, 12x 3 + 6x 2 + 18x = 6x (2x 2 + x + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в круглых скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Скажите себе: «Каков наибольший общий делитель 12, 6 и 18?»
Затем «Какой наибольший общий делитель x 3 , x 2 и x?»
Помните, что это проверка, чтобы убедиться в правильности факторинга.

Опять же, умножаем как чек.

Снова найдите наибольший общий делитель чисел и каждой буквы отдельно.

Если выражение не может быть разложено на множители, оно считается простым .

Помните, что 1 всегда является множителем любого выражения.

РАЗРАБОТКА ПО ГРУППАМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Факторные выражения, когда общий множитель включает более одного члена.
  2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, применяется к методу факторинга, который называется группировка .

Прежде всего, мы должны отметить, что общий фактор не обязательно должен быть одним членом. Например, в выражении 2y (x + 3) + 5 (x + 3) есть два члена. Это 2y (x + 3) и 5 ​​(x + 3). В каждом из этих терминов есть множитель (x + 3), состоящий из членов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда есть четыре или более терминов, мы должны вставить промежуточный шаг или два, чтобы разложить их на множители.

Решение

Прежде всего отметьте, что не все четыре члена в выражении имеют общий множитель, но некоторые из них имеют. Например, мы можем умножить на 3 первые два члена, получив 3 (ax + 2y). Если мы вычленим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Выражение теперь 3 (ax + 2y) + a (ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), и мы можем разложить на множители как (ax + 2y) (3 + a). Умножая (ax + 2y) (3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a 2 x + 2ay и видим, что факторизация верна.

Это пример факторинга путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Умножьте (x — y) (a + 2) и посмотрите, получите ли вы исходное выражение.
Опять умножаем как чек.

Иногда термины необходимо сначала переставить, прежде чем можно будет выполнить факторинг по группировке.

Пример 7 Фактор 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего множителя, но первое и третье члены имеют, поэтому мы перегруппируем члены, поместив третий член после первого.Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором можно было бы расположить термины.

Во всех случаях важно быть уверенным, что факторы, указанные в скобках, абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Помните, свойство коммутативности позволяет нам переставлять эти члены.
Умножение как проверка.

Пример 8 Фактор ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что когда мы множим a из первых двух членов, мы получаем a (x — y).Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 даст 2 (-x + y), а разложение на множители «-2» даст -2 (x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому поступаем таким же образом.

ФАКТОРИНГ ТРИНОМИАЛОВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Мысленно перемножьте два бинома.
  2. Разложите на множители трехчлена с коэффициентом первого члена, равным 1.
  3. Найдите множители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих задач будет включать факторизацию трехчленов как произведения двух биномов. В предыдущей главе вы узнали, как умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух биномов и разработать образец для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

Из примера (2x + 3) (3x — 4) = 6x 2 + x — 12, обратите внимание, что первый член ответа (6x 2 ) был получен из произведения двух первых членов множителей. , то есть (2x) (3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) произошел от произведения вторых членов множителей, то есть (+ 3) (-4).

Теперь у нас есть следующая часть узора:

Теперь, снова посмотрев на пример, мы видим, что средний член (+ x) получен из суммы двух произведений (2x) (-4) и (3) (3x).

Теперь у нас есть четыре произведения для любых двух биномов:

  1. Первый семестр за первый семестр
  2. Внешние условия
  3. Внутренние условия
  4. Последний семестр к последнему семестру

Эти продукты показаны этим шаблоном.

Когда произведения внешних и внутренних терминов дают одинаковые термины, их можно комбинировать, и решение является трехчленом.

Этот метод умножения двух биномов иногда называют методом FOIL.
FOIL расшифровывается как First, Outer, Inner, Last.

Это сокращенный метод умножения двух биномов, и его полезность станет очевидной, когда мы разложим на множители трехчлены.

Вы должны запомнить этот образец.

Опять же, возможно, вам поможет запоминание слова FOIL.

Не только этот образец должен быть запомнен, но ученик должен также научиться переходить от проблемы к ответу без каких-либо письменных шагов.Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Выполняя следующие упражнения, попытайтесь прийти к правильному ответу, не записывая ничего, кроме ответа. Чем больше вы будете практиковать этот процесс, тем лучше вы будете в факторинге.

Теперь, когда мы установили образец умножения двух биномов, мы готовы разложить на множители трехчлены. Сначала мы рассмотрим факторизацию только тех трехчленов с коэффициентом первого члена, равным 1.

Решение

Так как это трехчлен и не имеет общего множителя, мы будем использовать шаблон умножения для факторизации.

Фактически мы будем работать в обратном порядке, как в предыдущем наборе упражнений.

Сначала укажите проблему в круглых скобках.

Теперь мы хотим заполнить члены так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x) (x) = x 2 .

Помните, произведение первых двух членов бинома дает первый член трехчлена.

Теперь мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих слов будут правильные первый и последний член.

Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение —

Этот метод факторинга называется проб и ошибок — по понятным причинам.

Здесь могут быть полезны некоторые числовые факты из арифметики.
  1. Произведение двух нечетных чисел является нечетным.
  2. Произведение двух четных чисел является четным.
  3. Произведение четного и нечетного числа — четное.
  4. Сумма двух нечетных чисел четная.
  5. Сумма двух четных чисел четная.
  6. Сумма нечетного и четного числа нечетная.
Следовательно, когда мы разлагаем на множители такое выражение, как x 2 + 11x + 24, мы знаем, что произведение двух последних членов в биномах должно быть 24, что является четным, и их сумма должна быть 11, что является нечетным.
Таким образом, будут работать только нечетное и четное число. Нам даже не нужно пробовать такие комбинации, как 6 и 4 или 2 и 12 и так далее.

Решение

Здесь проблема лишь немного в другом. Мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить — 11. Вы всегда должны помнить об этой схеме. Последний член получается строго умножением, а средний член, в конце концов, получается из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

Решение

Здесь мы столкнулись с отрицательным числом для третьего члена, и это немного усложняет задачу.Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, и поскольку средний член должен происходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить категориями разницы. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Порядок коэффициентов несущественный.

по коммутативному закону умножения.

Следующие пункты помогут при факторизации трехчленов:

  1. Когда знак третьего члена положительный, оба знака в множителях должны быть одинаковыми — и они должны быть похожи на знак среднего члена.
  2. Если знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть похож на знак среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых членов был равен 1.Когда коэффициент при первом члене не равен 1, проблема факторинга намного сложнее, потому что количество возможностей значительно увеличивается.

Выполнив предыдущий набор упражнений, теперь вы готовы попробовать еще несколько сложных трехчленов.

Обратите внимание, что существует двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один имеет 17x в качестве среднего члена.

Конечно, вы можете попробовать каждый из них мысленно, вместо того, чтобы записывать их.

Есть только один способ получить все три условия:

В этом примере верна одна из двенадцати возможностей. Таким образом, проб и ошибок может занять очень много времени.

Несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «обоснованное предположение», в котором мы применяем все наши знания о числах и много упражняемся в мысленной арифметике. В предыдущем примере мы сразу отбросили бы многие комбинации.Поскольку мы ищем 17x как средний термин, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12, и так далее, поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетное, мы знаем, что это сумма четного и нечетного числа. Все это помогает уменьшить количество возможностей попробовать.

Сначала найдите числа, которые дают правильные первый и последний члены трехчлена. Затем добавьте внешний и внутренний продукт, чтобы проверить правильность среднего срока.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

  1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
  2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
  3. Множители 6×2: x, 2x, 3x, 6x. Множители 15: 1, 3, 5, 15.
  4. Исключите как слишком большое произведение 15 с 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.
Это автоматически даст слишком большой средний член.

Посмотрите, как сокращается количество возможностей.

Решение

Анализировать:

  1. Последний член отрицательный, поэтому не похож на знаки.
  2. Мы должны найти продукты, которые отличаются на 5 с большим отрицательным числом.
  3. Мы исключаем произведение 4х и 6 как вероятно слишком большое.
  4. Попробуйте несколько комбинаций.
Помните, попробуйте мысленно различные возможные комбинации, которые являются разумными.Это процесс факторинга «методом проб и ошибок». Практикуясь, вы научитесь лучше справляться с этим процессом.

(4x — 3) (x + 2): здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принимать это как решение, но поменяйте знаки так, чтобы больший продукт соответствовал знаку со средним условием.

К тому времени, когда вы закончите следующий набор упражнений, вы почувствуете себя гораздо более комфортно при факторинге трехчлена.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ФАКТОРИНГА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите и разложите на множители двух полных квадратов.
  2. Определите и разложите на множители трехчлен полного квадрата.

В этом разделе мы хотим изучить некоторые частные случаи факторинга, которые часто возникают в задачах. Если признать эти особые случаи, факторинг значительно упростится.

Первый частный случай, который мы обсудим, — это разность двух полных квадратов .

Напомним, что при умножении двух биномов на образец средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если эти два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

Когда сумма двух чисел равна нулю, одно из чисел называется , аддитивно инверсным другого.
Например: (+ 3) + (-3) = 0, поэтому + 3 является аддитивным обратным значением — 3, также -3 — аддитивным обратным значением +3.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два бинома умножаются, чтобы получить бином (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Правило можно записать как = (a — b) (a + b). Это форма, которую вы найдете наиболее полезной при факторинге.

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема, которую нужно разложить на множители, и если она имеет форму, то множители будут (a — b) (a + b).

Решение

Здесь оба члена представляют собой полные квадраты и разделены знаком минус.

Особые случаи действительно облегчают факторинг, но не забывайте осознавать, что особый случай — это просто особенный случай. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разница двух полных квадратов».

Сумма двух квадратов не разложима.

Вы также должны быть осторожны при распознавании идеальных квадратов.Помните, что точные квадратные числа — это числа, у которых квадратные корни являются целыми числами. Кроме того, показатели полного квадрата четны.

Студенты часто упускают из виду тот факт, что (1) — это идеальный квадрат. Таким образом, такое выражение, как x 2 — 1, представляет собой разность двух полных квадратов и может быть разложено на множители этим методом.

Другой частный случай факторизации — это трехчлен полного квадрата. Обратите внимание, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы признаем этот случай по его особенностям. Очевидны три вещи.

  1. Первый член представляет собой полный квадрат.
  2. Третий член представляет собой полный квадрат.
  3. Средний член — это дважды произведение квадратного корня из первого и третьего членов.
Для факторинга более полезно записать отчет как

Решение

  1. 25x 2 — квадратный корень с главным квадратом = 5x.
  2. 4 представляет собой полный квадратный корень из главного квадрата = 2.
  3. 20x — это дважды произведение квадратных корней 25x 2 и
  4. 20x = 2 (5x) (2).

Для разложения трехчлена полного квадрата на множители сформируйте бином с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого бинома.

Таким образом, 25x 2 + 20x + 4 = (5x + 2) 2

Всегда возводите двучлен в квадрат для проверки правильности среднего члена.

Не частный случай трехчлена полного квадрата.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЯРЛЫКИ К ИСПЫТАНИЯМ И ФАКТОРИНГУ ОШИБОК

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Найдите ключевое число трехчлена.
  2. Используйте ключевое число для разложения трехчлена на множители.

В этом разделе мы хотим обсудить несколько сокращений для факторинга методом проб и ошибок. Это необязательно по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти ярлыки не всегда практичны для большого количества людей.Однако они повысят скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первым шагом в использовании этих ярлыков является поиск номера ключа . После того, как вы нашли ключевой номер, его можно использовать более чем одним способом.

В трехчлене, подлежащем разложению, ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов.


Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».

Первое использование ключевого числа показано в примере 3.

Решение
Шаг 1 Найдите ключевой номер. В этом примере (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые будут складываться, чтобы получить коэффициент среднего члена (+ 3). В этом случае (+ 8) (-5) = -40 и (+ 8) + (-5) = +3.
Шаг 3 Коэффициенты (+ 8) и (- 5) будут перекрестными произведениями в шаблоне умножения.


Произведение этих двух чисел и есть «ключевой номер».»

Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые будут умножаться, чтобы получить произведение. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые будут умножаться, чтобы дать + 8x. Это 4x от 4×2 и (+ 2) от (-10).
Поместите эти множители в первую и последнюю позиции в шаблоне

Есть только один способ сделать это правильно.

Шаг 5 Забудьте на этом этапе номер ключа и посмотрите на исходную проблему.Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.

Опять же, это можно сделать только одним способом.

Мы знаем, что произведение двух первых членов должно давать 4x 2 и 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме x.

Обратите внимание, что на шаге 4 мы могли бы начать с внутреннего продукта вместо внешнего продукта. Мы получили бы те же множители.Самое главное — иметь систематический процесс факторинга.

Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10), а (+ 2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме (- 5).
Помните, что если трехчлен факторизуем, существует только один возможный набор факторов.

Если не удается найти множители ключевого числа, сумма которых является коэффициентом средних членов, то трехчлен является простым и не множится.

Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг по группировке. Работает как в примере 5.

Решение
Шаг 1 Найдите номер ключа (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители (- 40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+3).

Шаги 1 и 2 в этом методе такие же, как и в предыдущем методе.

Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, найденные на шаге 2.8x — 5x = 3x, поэтому мы можем написать

Step 4 Разложите эту проблему на множители, начиная с шага 3, с помощью метода группировки, изученного в разделе 8-2


Теперь это становится обычным факторингом путем группировки.

Следовательно,
Опять же, есть только одна возможная пара множителей, которая может быть получена из данного трехчлена.

Помните, что если шаг 2 невозможен, трехчлен прост и не может быть разложен на множители.

ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете разложить на множители трехчлен, выполнив следующие два шага:

  1. Первый взгляд на общие факторы.
  2. Разложите оставшийся трехчлен на множители, применяя методы этой главы.

Теперь мы изучили все обычные методы факторизации в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов.Помните, что есть две проверки правильности факторинга.

  1. Умножатся ли множители, чтобы получить исходную задачу?
  2. Все ли факторы просты?
После того, как общий множитель был найден, вы должны проверить, можно ли разложить полученный трехчлен на факторизацию.

Если у трехчлена есть общие множители, обычно проще, если они сначала разложены на множители.

Хорошая процедура факторинга — всегда сначала удалять наибольший общий множитель, а затем, если возможно, разложить на множители оставшиеся.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

  • Выражение в факторизованной форме, только если все выражение является указанным продуктом.
  • Факторинг — это процесс, который изменяет сумму или разность условий на произведение факторов.
  • Простое выражение не может быть разложено на множители.
  • Наибольший общий множитель — наибольший общий множитель для всех членов.
  • Выражение полностью разложено на множители , когда дальнейшее разложение на множители невозможно.
  • Возможность разложения на множители путем группировки существует, когда выражение содержит четыре или более терминов.
  • Метод FOIL можно использовать для умножения двух биномов.
  • Частные случаи факторизации включают разность двух квадратов и трехчленов полного квадрата .
  • Ключевой номер является произведением коэффициентов первого и третьего членов трехчлена.

Процедуры

  • Чтобы удалить общие множители, найдите наибольший общий делитель и разделите на него каждый член.
  • Триномы можно разложить на множители методом проб и ошибок. При этом используется шаблон умножения, чтобы найти факторы, которые дадут исходный трехчлен.
  • Чтобы разложить на множитель разность двух квадратов, используйте правило
  • Чтобы разложить на множители полный квадрат трехчлена, сформировать двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и указать квадрат этого бинома.
  • Используйте ключевое число как вспомогательное средство для определения факторов, сумма которых является коэффициентом среднего члена трехчлена.

144 Калькуляторы, разделенные по уровню квалификации и типу

Воспользуйтесь нашим бесплатным калькулятором

Мы стали партнерами Mathway, чтобы предложить бесплатный онлайн-калькулятор алгебры. Обширный список других инструментов алгебры расположен ниже.

Содержание

Обзор

Как отмечает Академия Хана, алгебра — это математика-привратник. Перед тем, как приступить к изучению математики и естествознания более высокого уровня, важно хорошо это понимать.

В Интернете доступно множество калькуляторов алгебры. Может быть сложно просмотреть их все, чтобы найти то, что лучше всего соответствует вашим потребностям. Ниже представлена ​​коллекция из 144 калькуляторов алгебры, разделенных по уровню и типу навыков.

ЧАСТЬ I — 54 Калькуляторы базовой алгебры

Решатели 11 уравнений

Как объясняет MathIsFun.com, уравнения показывают, что две вещи равны. Часто цель уравнения — найти неизвестную переменную.Ниже приведен набор средств решения уравнений, которые помогут вам в этом:

Алгебраический калькулятор

Symbolab.com — этот калькулятор имеет чистый, простой в использовании дизайн и включает в себя примеры уравнений, которые показывают пошаговые объяснения того, как их решать.

Алгебраический калькулятор MathPapa.com — этот калькулятор прост в использовании. Подключите свое уравнение, и оно предоставит решение вместе с пошаговым объяснением того, как было решено уравнение.

AlgebraHelp.com’s Equation Calculator and Solver — Этот калькулятор предоставляет «Краткое руководство» с учебной информацией по решению уравнений.Он также показывает свою работу, когда решает уравнение, чтобы вы могли видеть шаги, предпринятые для получения результата.

Tiger-Algebra.com — решатель алгебры, упрощение и вычислитель — этот калькулятор прост в использовании. Он также предоставляет пошаговое объяснение того, как находятся результаты.

Программа

Algebra.com’s Algebra Solver и Math Simplifier — этот калькулятор, специализирующийся на решении алгебраических уравнений средней школы, дает подробное объяснение того, как он решал ваше уравнение, включая анимацию, которая проведет вас через каждый шаг.

Алгебраический калькулятор Mathway.com Этот калькулятор имеет простой дизайн. Нажмите кнопку «Справка», чтобы увидеть примеры нескольких различных типов задач алгебры.

Бесплатная математическая программа

Algebra-Class.com Как объясняется в этом калькуляторе, это отличный инструмент для проверки ответов на домашнее задание. Он работает с несколькими навыками алгебры, такими как выражения, уравнения, неравенства, функции и многое другое.

Система вычислительных знаний WolframAlpha.com Этот калькулятор быстр и прост в использовании.Введите свое уравнение в поле, и калькулятор предоставит решение вместе с другой информацией, такой как графики или визуальное представление уравнения.

Marble Software Solutions Online Algebra Solver Этот калькулятор прост в использовании и предоставляет простые для понимания, пошаговые решения проблем. Помимо уравнений, калькулятор также решает выражения, системы уравнений и матрицы.

Калькулятор Cymath.com Этот калькулятор имеет чистый, простой в использовании дизайн и предоставляет пошаговые объяснения того, как были решены проблемы.

Калькулятор для решения уравнений SolveMyMath.com С помощью этого калькулятора вы сможете найти решения одним щелчком мыши. Когда у вас есть решение, нажмите «Показать график», чтобы увидеть графическое представление вашего уравнения.

Калькулятор 13 экспонент

Как объясняет PurpleMath, экспоненты — это «сокращение для многократного умножения одного и того же самого на себя». Ниже представлена ​​подборка калькуляторов экспонент, которые помогут вам лучше понять, как с ними работать:

Калькулятор Суп.com — эти калькуляторы включают учебную информацию вместе с примерами. Калькулятор «Показателей» отлично подходит для тех, кто имеет базовые представления об экспонентах. Калькулятор «Дробные экспоненты» и «Расчет показателей» помогут тем, у кого более глубокое понимание экспонент.

Калькулятор экспонент

RapidTables.com — этот калькулятор четко спроектирован, прост в использовании и предоставляет в качестве справки законы и правила показателей.

WebMath.com: Упростите алгебраический термин, включающий экспоненты и / или степени. Если у вас есть базовый уровень понимания экспонент, этот калькулятор станет для вас отличным инструментом.

Калькулятор экспонент

Calculator.net — этот калькулятор включает в себя базовое объяснение экспонент и предоставляет в качестве справки основные законы экспонент.

Калькулятор экспонент TutorVista.com — этот калькулятор предоставляет отличную учебную информацию, а также цветовую разбивку того, как решать экспоненты.

Калькулятор показателей EndMemo.com Этот калькулятор быстр и прост в использовании.

EndMemo.com’s Exponents with Fractions Calculator Для тех, кто хорошо разбирается в показателях, этот калькулятор предоставляет некоторую учебную информацию и несколько примеров, чтобы показать пользователям, какие числа им следует вводить и где при работе с показателями степени с дробями.

EndMemo.com’s Exponents Solver Этот простой в использовании калькулятор помогает пользователям найти неизвестную экспоненту.

Free-Online-Calculator-Use.com Калькулятор экспонент Этот калькулятор предоставляет учебную информацию, объясняющую показатели степени и отрицательные показатели. Наряду с вашим решением он предоставляет серию умножения, используемую для получения ответа.

Калькулятор показателей WolframAlpha.com Этот калькулятор прост в использовании.Просто введите базовое число и показатель степени в соответствующие поля.

Калькулятор показателей MiniWebTool.com Этот калькулятор прост в использовании и предоставляет пользователям некоторую учебную информацию по возведению в степень для пользователей.

Калькуляторы 13 полиномов

Как объясняет MathIsFun.com, полиномы возникают, когда три или более членов, которые могут включать в себя константы, переменные или показатели степени, соединяются путем сложения, вычитания, умножения и деления.Ниже представлена ​​коллекция решателей полиномиальных уравнений:

EasyCalculation.com — Эти калькуляторы упрощают ввод чисел для решения полиномиальных уравнений для пользователей, разбирающихся в полиномах.

Полиномы умножения WolframAlpha.com Наряду с решением этот калькулятор показывает «возможные промежуточные шаги», которые можно использовать для его получения.

Программа для решения полиномиальных уравнений

MathPortal.org — этот калькулятор включает примеры, показывающие, как вводить данные.Он также включает учебный раздел, который включает в себя четырехэтапное объяснение того, как решить многочлен.

Калькулятор полиномиальных уравнений

Symbolab.com — этот простой в использовании калькулятор предоставляет пошаговые объяснения того, как решать введенные полиномы.

Полиномиальные калькуляторы SolveMyMath.com — получайте быстрые результаты с помощью этих калькуляторов, которые выполняют основные операции — сложение, вычитание, умножение и деление:

Калькулятор полиномиального деления в длину от WebGraphing.com Для тех, кто изучает полиномиальное деление, наряду с результатом, этот калькулятор показывает шаги, необходимые для его получения.

Калькулятор длинного деления многочленов на Calc101.com

— Следуйте инструкциям этого калькулятора, чтобы увидеть, соответствует ли ваш ответ его решениям.

HVKS.com’s Polynomial Root Finder — этот калькулятор дает быстрые результаты и может стать отличным инструментом для перепроверки ваших собственных ответов.

Калькулятор полиномиального корня

Tiger-Algebra.com — Наряду с решениями, этот калькулятор предоставляет подробную информацию о том, как он получил свои результаты.

Алгебра.com’s Polynomial Calculator — Этот калькулятор складывает, вычитает и умножает многочлены. Он предоставляет пошаговые объяснения того, как он получает результаты, включая анимацию, которая проведет вас через каждый шаг.

Калькулятор 10 радикалов

Если выражение, над которым вы работаете, включает символ квадратного корня, «√», то это радикал. Ниже представлена ​​коллекция калькуляторов, которые помогут упростить и решить радикальные уравнения.

Калькулятор радикальных уравнений

Symbolab.com — этот калькулятор с четким дизайном и простотой использования содержит примеры с пошаговыми пояснениями того, как решаются проблемы.

MathPortal.org — Эти калькуляторы содержат инструкции по их использованию. Просто замените радикальный знак буквой «r» в радикальных выражениях, и он готов помочь.

CalculatorSoup.com — эти калькуляторы объясняют, на что они способны, и предназначены для быстрого и легкого ввода данных.

WebMath.com’s Simplify a Term Under a Radical Sign — Этот калькулятор дает пошаговое объяснение того, как он упрощает вводимые термины.

RapidTables.com Калькулятор радикалов и корней — этот калькулятор быстр и прост в использовании, а также упрощает ввод данных.

Калькулятор упрощающих радикальных выражений EasyCalculation.com Этот калькулятор прост в использовании. Для тех, кто нуждается в дополнительной помощи, он также предоставляет примеры типов данных, которые вы будете вводить — переменные, значения и выражения.

Калькулятор радикальных уравнений WolframAlpha.com Этот калькулятор удобен для перепроверки собственных результатов, быстр и прост в использовании, но не показывает этапов решения.

Калькулятор упрощения радикальных выражений MathCelebrity.com Этот калькулятор предоставляет подробные, простые для понимания инструкции о том, как решить вашу проблему.

7 Калькуляторы пропорций и пропорций

Как объясняет MathPlanet.com, отношения сравнивают два числа, а пропорции — это уравнения, которые «говорят, что два отношения эквивалентны». Ниже приведен набор калькуляторов, которые помогут вам узнать больше о соотношениях и пропорциях:

Калькулятор пропорций AlgebraHelp.com Этот калькулятор прост в использовании и включает пример пропорции, который поможет вам начать работу.Он предоставляет пошаговое объяснение вместе с его результатами.

Калькулятор пропорций

Basic-Mathematics.com — этот калькулятор прост в использовании и предлагает пример в стиле задачи, чтобы облегчить понимание пропорций.

Справка

WebMath.com с калькулятором пропорций — этот калькулятор включает в себя учебную информацию о соотношениях и пропорциях. Он также дает объяснение своим результатам.

Калькулятор пропорций TutorVista.com — здесь представлены два калькулятора: один для поиска неизвестной переменной в пропорции, а другой для проверки равенства соотношений.Также предоставляется учебная информация о соотношениях и пропорциях.

Калькулятор пропорций MiniWebTool.com — Этот калькулятор быстр и прост в использовании. Просто введите три числа, чтобы найти неизвестную переменную.

Калькулятор коэффициентов TutorVista.com Этот калькулятор помогает упростить коэффициенты и предоставляет краткую учебную информацию.

CalculatorSoup.com’s Ratio Calculator — этот калькулятор также вычисляет пропорции. Он может найти пропущенное значение или оценить, является ли соотношение или пропорция истинным или ложным.

ЧАСТЬ II — 50 промежуточных калькуляторов

Теперь, когда вы знаете основы, пришло время заняться более сложными уравнениями, узнать о факторинге и познакомиться с миром неравенства.

10 Решатели алгебры 2 уравнений

В промежуточной алгебре уравнения становятся немного сложнее. Ниже представлена ​​коллекция калькуляторов, которые помогут решать системы уравнений и другие более сложные выражения.

WebMath.com Калькуляторы алгебры — Если вы только начинаете изучать алгебру 2, этот калькулятор прост в использовании и помогает с различными типами двухуровневых уравнений алгебры.

SolveMyMath.com для решения систем уравнений Этот калькулятор является большим подспорьем при решении сложных систем уравнений.

Алгебраические калькуляторы

QuickMath.com — Этот набор калькуляторов упрощает работу с алгебраическими выражениями. Он предоставляет учебную информацию по алгебре и концепциям расширения, разложения, упрощения и отмены при работе с выражениями.Он также предоставляет информацию о дробях, связанных с этими выражениями. Каждый калькулятор имеет базовый, средний и расширенный режимы.

  • Expand (базовый, средний, продвинутый)
  • Фактор
  • (базовый, средний, продвинутый)
  • Упрощение (базовый, средний, продвинутый)
  • Отмена (базовый, средний, продвинутый)
  • Частичные дроби (базовый, продвинутый)
  • Соединение дробей (базовый, средний, продвинутый)

EasyCalculation.com’s Solve Algebra Transposition Calculator Этот калькулятор поможет вам отделить неизвестную переменную до одной из сторон уравнения, чтобы упростить решение.

13 Калькуляторы комбинаций и перестановок

Комбинации и Перестановки используются для группировки объектов. Как объясняет факультет математики Университета Иллинойса в Урбана-Шампейн, «в перестановках порядок имеет значение, а в комбинациях порядок не имеет значения». Ниже приводится коллекция калькуляторов, которые помогут вам узнать больше о комбинациях и перестановках:

MathIsFun.Комбинации и перестановки com. Этот калькулятор отлично подходит для тех, кто только начинает изучать эту концепцию. Он включает объяснения комбинаций и правил перестановок.

Калькулятор комбинаций и перестановок StatTrek.com Помимо простоты использования, этот калькулятор предоставляет обучающую информацию о комбинациях и перестановках, а также примеры проблем с объяснениями для каждого шага.

Калькулятор комбинаций и перестановок EasyCalculation.com С помощью этого калькулятора вводить данные очень просто.Он также предоставляет базовую учебную информацию о комбинациях и перестановках.

Калькулятор комбинаций и перестановок TutorVista.com — этот калькулятор предоставляет пошаговые вычисления и четко объясняет примеры проблем, чтобы помочь вам лучше понять эту концепцию.

Калькуляторы комбинаций и перестановок

CalculatorSoup.com — каждый из этих калькуляторов предоставляет подробную учебную информацию и необходимые формулы.

Калькулятор комбинаций и перестановок

CalcTool.org — этот калькулятор предоставляет некоторую учебную информацию.Он не дает пошаговых объяснений того, как он получает результаты, но является отличным инструментом для двойной проверки результатов ваших собственных расчетов.

StatisticsHowTo.com Калькулятор комбинаций и перестановок — этот калькулятор предоставляет простую для понимания учебную информацию, объясняющую разницу между комбинациями и перестановками и предоставляющую необходимые формулы.

Калькулятор комбинаций и перестановок

NCalculators.com — этот калькулятор не показывает шаги для получения результатов, но предоставляет простую для понимания учебную информацию.

Калькулятор комбинаций и перестановок CSGNetwork.com — ввод данных в этот калькулятор выполняется быстро и легко. Он предоставляет некоторую учебную информацию и формулы, используемые для решения комбинаций и перестановок.

Калькулятор комбинаций и перестановок на сайте

PlanetCalc.com — этот калькулятор предоставляет дополнительную информацию для тех, кто плохо знаком с этим математическим навыком или возвращается к нему.

Генераторы комбинаций и перестановок

TextMechanic.com — эти генераторы забавны и просты в использовании.Каждый из них содержит подробные инструкции о том, как заполнить ваши данные, и каждый дает четкие результаты:

8 Факторинговых калькуляторов

Как объясняет MathIsFun.com, в своей основе факторинг — это просто нахождение факторов выражения. В промежуточной алгебре вас попросят разложить на множители более сложные выражения. Ниже представлен набор калькуляторов, которые помогут упростить факторинг:

Калькулятор факторинга AlgebraHelp.com Этот калькулятор предлагает краткое руководство для пользователей с объяснениями, как лучше всего вводить их выражения.

Калькулятор полиномиального разложения на MathPortal.org Этот калькулятор содержит примеры, упрощающие использование калькулятора. Он также показывает его работу, чтобы пользователи могли лучше понять, как было найдено решение.

Калькулятор факторинга SolveMyMath.com Этот калькулятор прост в использовании и дает четкие и краткие результаты. Он предлагает примеры, чтобы упростить ввод данных.

Факторинговый калькулятор WolframAlpha.com С этим калькулятором нет наворотов.Просто введите свои данные, и вы получите результат.

Калькулятор факторинговых трехчленов MathWorksheetsGo.com Этот калькулятор отлично подходит для тех, кто занимается более сложным факторингом с трехчленами.

Калькулятор факторинга

CalculatorSoup.com — этот калькулятор прост в использовании и предоставляет обучающую информацию о том, как выполнить факторизацию.

Калькулятор факторинга

QuickMath.com — этот калькулятор имеет базовый, средний и расширенный режимы. Он предоставляет некоторые, но не все шаги, используемые для получения результатов.

Калькулятор коэффициентов

Symbolab.com — этот калькулятор прост в использовании и содержит примеры с пошаговыми пояснениями того, как работает факторинг.

7 Калькуляторов неравенств

В неравенствах вы решаете, чтобы узнать, больше ли переменная (ы), меньше, больше или равна или меньше или равна значению. Как отмечает MathIsFun.com, цель состоит в том, чтобы переменная «сама по себе» оказалась в левой части неравенства. Ниже представлена ​​коллекция калькуляторов неравенств, которые помогут вам решить проблемы неравенства:

Symbolab.com’s Inequalities Calculator — Этот калькулятор аккуратно спроектирован и прост в использовании. Он также включает примеры с пошаговыми объяснениями того, как решаются проблемы.

WebMath.com’s Solve an Inequality Calculator — Этот калькулятор быстр и прост в использовании.

Калькуляторы неравенств

QuickMath.com — этот калькулятор может работать на базовом, среднем или продвинутом уровне.

Калькулятор неравенств TutorVista.com — этот калькулятор включает инструкции о том, как подойти к решению проблемы, и примеры, которые показывают пошаговые объяснения того, как калькулятор пришел к решению.

Программа для решения неравенств и уравнений WolframAlpha.com — этот калькулятор чист и прост в использовании. Он может предоставить решения для простых и сложных неравенств.

Калькулятор решения линейных неравенств EasyCalculation.com Этот калькулятор предоставляет некоторую учебную информацию, чтобы помочь пользователям лучше понять линейные неравенства. Для дальнейшего объяснения он также предоставляет свойства неравенств для сложения, вычитания, умножения и деления.

Калькулятор абсолютных неравенств EndMemo.com Этот калькулятор предоставляет вам пример функции, которая поможет вам начать работу.

Калькуляторы с 12 квадратными уравнениями

Квадратные уравнения выглядят как ax2 + bx + c = 0. Как объясняет MathIsFun.com, квадратные уравнения могут быть решены путем факторизации, завершения квадрата или использования формулы квадратичного уравнения. Ниже приведен набор калькуляторов, которые помогут вам узнать больше о квадратных уравнениях:

MathPortal.Квадратное уравнение org — этот калькулятор прост в использовании и включает в себя учебную информацию, объясняющую два метода решения квадратных уравнений.

Калькулятор квадратного уравнения

Symbolab.com — этот калькулятор прост в использовании. Он включает в себя примеры с пошаговыми пояснениями того, как решаются уравнения.

MathIsFun.com’s Quadratic Equation Solver — Этот калькулятор предоставляет учебную информацию для тех, кто только начинает изучать квадратные уравнения. Он также имеет функцию графика, которая отображает результаты вашего уравнения.

WebMath.com: «Решите квадратное уравнение с помощью факторинга» — этот калькулятор объясняет, как решать квадратные уравнения с помощью факторинга.

Калькулятор квадратного уравнения

Algebra.com — этот калькулятор предоставляет подробные объяснения того, как он решил введенное уравнение. Он также отображает введенное уравнение.

CalculatorSoup.com Калькулятор квадратного уравнения (многочлен 2-го порядка) Воспользуйтесь этим калькулятором, чтобы помочь решить многочлен с порядком 2.

SolveMyMath.com для решения квадратного уравнения Этот калькулятор прост в использовании и предоставляет пошаговые объяснения того, как он решает каждое уравнение.

Программа для решения квадратного уравнения EndMemo.com Этот калькулятор выполняет вычисления по мере ввода данных, поэтому результаты будут мгновенными.

Калькулятор квадратичных уравнений и неравенств MathCelebrity.com — этот калькулятор предлагает подробные пошаговые объяснения того, как находить решения. Он также может решить проблемы неравенства.

Калькуляторы квадратного уравнения EasyCalculation.com — эти калькуляторы просты в использовании и выполняют определенные функции для решения квадратных уравнений:

ЧАСТЬ III — 40 продвинутых калькуляторов

По мере того, как вы расширяете свои знания алгебры, вы начнете узнавать о более сложных элементах алгебры, таких как логарифмы, комплексные числа и многое другое.

Калькуляторы 5 биномов

Как объясняет образовательный портал, биномы — это выражения с двумя членами.В продвинутой алгебре вас попросят комбинировать, расширять и выполнять другие действия с биномами. Вы также узнаете о биномиальной теореме. Ниже приведен набор калькуляторов, которые помогут вам лучше понять и работать с биномами:

Калькулятор биномиального умножения MathCelebrity.com При предоставлении решений этот калькулятор показывает, как он использовал метод FOIL (First-Outside-Inside-Last) для получения результатов.

Калькулятор умножения биномов MathWorksheetsGo.com В этот калькулятор можно легко и быстро ввести данные.Он также предоставляет пошаговое объяснение того, как было получено решение с использованием метода FOIL.

Калькулятор биномиального расширения от WolframAlpha.com. Наряду с решением, этот калькулятор шаг за шагом показывает, как он получил результаты.

Калькулятор биномиальной теоремы CalCul.com Этот калькулятор использует биномиальную теорему для вычисления разложения бинома.

Калькулятор биномиальной теоремы Kusashi.com — этот калькулятор также использует биномиальную теорему. Он расширит бином до восьми членов.

Калькулятор 8 комплексных чисел

Как объясняет MathIsFun.com, комплексные числа возникают, когда вы объединяете действительное число и мнимое число, которые являются отрицательными в квадрате. Ниже представлена ​​подборка калькуляторов, которые помогут вам работать с комплексными числами:

Калькулятор комплексных чисел MathIsFun.com Этот калькулятор прост в использовании и предоставляет краткие пошаговые инструкции о том, как он нашел решение.

Калькуляторы комплексных чисел MathPortal.org — для тех, кто хорошо разбирается в алгебре 2, MathPortal предоставляет три калькулятора, которые можно использовать в качестве инструментов при работе с комплексными числами.

Калькулятор комплексных чисел MathWorksheetsGo.com — быстро и легко ввести свои данные в этот калькулятор. Он также показывает каждый сделанный шаг, когда он обеспечивает решение.

Калькулятор комплексных чисел WolframAlpha.com — этот калькулятор предоставляет ваш основной результат наряду с другими итерациями, включая десятичную форму, полярные координаты, положение в комплексной плоскости и альтернативную форму.

Калькулятор комплексных чисел 1728.org — этот калькулятор умножает и делит комплексные числа.Ввод данных выполняется быстро и легко, и это отличный способ перепроверить собственные результаты.

Калькулятор комплексных чисел SolveMyMath.com — этот калькулятор выполняет основные операции для вычисления комплексных чисел, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Он не показывает свои шаги, но является отличным инструментом для перепроверки ваших собственных расчетов.

Калькулятор комплексных чисел

EasyCalculation.com — этот калькулятор умножает, делит и находит квадратный корень введенного выражения.Он рассчитывает, когда вы вводите данные, поэтому результаты получаются мгновенно. Для упрощения сложных выражений используйте этот калькулятор.

Калькуляторы комплексных чисел

EndMemo.com — На этой странице представлены специальные калькуляторы для определенных операций. Представленные калькуляторы можно использовать для сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. На странице также есть учебная информация и формулы комплексных чисел.

Калькуляторы 8 логарифмов

В алгебре I вы узнали об экспонентах.Как объясняет PurpleMath.com, логарифмы — это «противоположность» экспонент. Ниже представлена ​​подборка калькуляторов, которые помогут вам работать с логарифмами:

Калькулятор логарифмов

RapidTables.com — этот калькулятор включает в себя правила логарифмирования для руководства и предназначен для быстрого и легкого ввода данных.

Калькулятор логарифмических уравнений Symbolab.com — Этот простой в использовании калькулятор предоставляет примеры логарифмирования, которые помогут вам начать работу. Он также предоставляет пошаговые объяснения того, как он находит свои решения.

Калькулятор логарифмов 1728.org — этот калькулятор предоставляет подробные инструкции о том, как вводить данные, чтобы гарантировать получение четких результатов.

NCalculators.com’s Logarithm Log Calculator — Этот калькулятор предоставляет учебную информацию по логарифмам и примеры расчетов журнала.

Калькулятор журнала MiniWebTool.com — этот калькулятор предоставляет учебную информацию и формулы, относящиеся к логарифмам. Ввод данных выполняется быстро и легко.

Rechneronline.Калькулятор логарифма де — это простой калькулятор логарифма без каких-либо наворотов. Ввод данных выполняется быстро и легко.

Калькулятор логарифмов TutorVista.com — этот калькулятор предоставляет некоторую учебную информацию и необходимые формулы.

Калькулятор логарифмов A-Calculator.com — Этот калькулятор прост в использовании. Он также предоставляет подробное объяснение того, как найти натуральный логарифм без использования калькулятора.

14 Матричных калькуляторов

Как объясняет Академия Хана, матрицы — это «способы упорядочивания чисел.»Ниже приведены калькуляторы, которые помогут вам больше работать с матрицами:

Матричный калькулятор

MathIsFun.com — этот калькулятор упрощает ввод данных и может выполнять базовые операции с матрицами, такие как сложение, вычитание и умножение.

Матричные калькуляторы MathPortal.org — Эти матричные калькуляторы от MathPortal выполняют множество функций. Он включает в себя базовый калькулятор матриц, калькулятор значений Elgenvalues ​​и Elgenvectors и калькулятор разложения матриц и позволяет пользователям копировать и вставлять данные из электронной таблицы Excel.

Матричный калькулятор

MatrixCalc.org — Этот калькулятор служит отличным универсальным калькулятором для работы с матрицами. Он включает инструкции по вводу данных в калькулятор.

EasyCalculation.com’s Calculation on MATRIX Math — EasyCalculation.com предоставляет множество матричных калькуляторов для выполнения определенных функций, от базовых операций, таких как сложение и вычитание, до более сложных функций, таких как LU Decomposition.

Матричный калькулятор Symbolab.com — этот калькулятор имеет аккуратный дизайн и прост в использовании.Он включает примеры с пошаговыми пояснениями того, как решаются матричные операции.

Матричный калькулятор

Meta-Calculator.com Использовать этот калькулятор быстро и легко. Ввод данных прост и выполняет такие операции, как сложение, вычитание, умножение и другие.

Калькулятор матриц SolveMyMath.com Используйте этот калькулятор для решения таких аспектов матрицы, как определитель, инверсия, трассировка и норма.

SolveMyMath.Калькулятор умножения, сложения и вычитания матриц com Этот калькулятор прост в использовании для умножения, сложения и вычитания матриц.

Калькуляторы матриц

QuickMath.com Этот калькулятор предоставляет обучающую информацию по матрицам и аспектам матрицы, таким как определитель и обратный. Для каждого аспекта существуют определенные версии калькулятора.

Калькулятор матриц

Math.uh.edu — Разработанный факультетом математики Университета Хьюстона, ввод данных в этот калькулятор очень прост.Он выполняет основные матричные операции, такие как сложение, вычитание и умножение.

Матричные калькуляторы

EndMemo.com EndMemo.com предоставляет калькуляторы для определенных операций. Вводить данные в эти калькуляторы очень просто, и они дают четкие результаты:

Калькуляторы 5 рациональных выражений

Как объясняет MathIsFun.com, рациональное выражение представляет собой «соотношение двух многочленов».

Калькуляторы упрощающих рациональных выражений на MathPortal.org — в этом калькуляторе есть вкладка «Основные выражения» и вкладка «Расширенные выражения.Решения, представленные калькулятором «Основные выражения», также предоставляют пошаговое объяснение того, как было упрощено выражение.

Калькуляторы рациональных выражений от WolframAlpha.com — на этом сайте представлены три простых в использовании калькулятора для выполнения конкретных вычислений рациональных выражений:

Калькуляторы упрощения рациональных выражений

QuickMath.com — эти калькуляторы обеспечивают простые, но быстрые результаты. Есть базовый, средний и расширенный режимы.

решатель алгебры, калькулятор алгебры, математический решатель, математический калькулятор

Примеры решений

Пример 1:

Фактор: 45x 5 y 2 — 125xy 4 .

решение:

Это выражение представляет собой разницу двух терминов, но ни одно из кажутся идеальными квадратами. Однако отказываться от этого не стоит. проблема сразу, потому что мы действительно не применили общая стратегия.

Итак, сначала проверьте общие мономиальные множители. Ты это видишь оба термина имеют множители 5, x и y 2 . Таким образом,

45x 5 y 2 — 125xy 4 = 5xy 2 (9x 4 — 25 лет 2 )

Теперь, выполнив шаг (i) общей стратегии, мы можем проверьте оставшуюся часть исходного выражения,

9x 4 — 25 лет 2 ,

против специальных шаблонов, перечисленных для шага (ii).Но теперь мы действительно есть разница в два полных квадрата:

9x 4 — 25 лет 2 = (3x 2 ) 2 — (5 лет) 2

и так

9x 4 — 25 лет 2 = (3x 2 + 5лет) (3x 2 — 5лет)

Таким образом, наше исходное выражение теперь можно записать как

45x 5 y 2 — 125xy 4 = 5xy 2 (9x 4 — 25лет 2 )

= 5xy 2 (3x 2 + 5y) (3x 2 — 5лет)

Прежде чем сделать вывод, что наша работа сделана, нам нужно посмотреть кратко для каждого немономиального множителя: (3x 2 + 5y) и (3х 2 — 5л).Ни содержат мономиальных множителей, поскольку они уже изолированы для общего выражение. Тогда

  • (3x 2 + 5y) представляет собой сумму двух членов, и мы имеем нет формулы для этого шаблона

и

  • (3x 2 — 5y) — это разница двух терминов, но ни один из них не является идеальным квадратом

Таким образом, дальнейшая факторизация невозможна, и поэтому наш окончательный ответ здесь

45x 5 y 2 — 125xy 4 = 5xy 2 (3x 2 + 5лет) (3x 2 — 5лет)

(Чтобы убедиться, что это правильный ответ, вам, вероятно, следует потратьте минуту, чтобы умножить правую часть, чтобы удалить все кронштейны.Вы должны найти, что действительно исходное выражение на левой стороне восстанавливается, подтверждая, что два выражения действительно математически эквивалентны.)

Пример 22:

Фактор: 4x 3 y + 8x 2 y + 28xy.

решение:

Все три члена этого выражения имеют мономиальные множители 4, х и у. Таким образом,

4x 3 y + 8x 2 y + 28xy = 4xy (x 2 + 2x + 7)

После удаления общих мономиальных множителей остается трехчлен в x:

х 2 + 2х + 7

Когда мы пытаемся найти целые числа a и b, которые позволяют нам запишем этот трехчлен как произведение вида (x + a) (x + b), мы обнаруживаем, что таких значений нет.(Нам понадобится ab = 7 и a + b = 2, и легко проверить, что ни одна из пар целых числа, которые умножаются, чтобы дать 7, также складываются, чтобы дать 2.) Это означает, что трехчлен нельзя разложить на множители, и поэтому большинство полная факторизация исходного выражения — это факторизация уже указана выше:

. 4x 3 y + 8x 2 y + 28xy = 4xy (x 2 + 2x + 7)


Калькулятор алгебры с шагами — Open Omnia

Упростить, расширить, множить

Используйте клавиатуру ниже, чтобы ввести выражение.
См. Примеры

ПОМОЩЬ

Используйте предоставленную клавиатуру для ввода алгебраического выражения.

Вот несколько примеров того, что вы можете ввести. Нажмите «РЕШИТЬ», чтобы обработать введенное вами выражение.

Вот как вы используете кнопки

долл. США
РЕШЕНИЕ Обрабатывает введенное выражение.
ПРОЗРАЧНЫЙ Удаляет весь текст в текстовом поле.
DEL Удаляет последний элемент перед курсором.
а-я Показывает алфавит.
триг Показывает тригонометрические функции.
Переместите курсор влево.
Переместите курсор вправо.{□} {□} N-й корень.
(□) Скобка.
журнал База 10.
пер. Натуральное бревно (база д).
| $ □ $ | Абсолютное значение.

Решатель алгебры — пусть этот решатель решит ваши математические задачи

Этот решатель алгебры решит за вас множество математических задач.Он покажет вам, как решить задачу с пошаговой работой и пояснениями

Кто стоит за этим математическим решателем?

Я здесь единственный инженер-программист со следующими полномочиями:

по специальности математика из Массачусетского университета в Бостоне.

Магистр математики и информатики Университета Французской Вест-Индии и Гвианы.

Десятилетний опыт преподавания алгебры, геометрии, алгебры 2 и математического анализа.

Как мне проверить этот математический решатель?

Я включил бесплатную тему, чтобы вы могли увидеть, как это работает.

Добавление дробей и добавление целых чисел бесплатно.Просто посмотрите выше, и вы увидите что-то, что гласит: Free Sample

Нажмите на это и введите любые проблемы с дробями в формате a / b + c / d

Или введите любые целочисленные проблемы с форматом a + b, a и b могут быть положительным или отрицательным

Затем нажмите Показать шаги

Для полного доступа ко всем доступным темам потребуется подписка за умеренную плату.

Решает ли он все математические задачи в моем учебнике?

Нет, не работает. Такого математического решателя не существует, и я не думаю, что он когда-либо будет

Он решит те, которые вы видите прямо сейчас

Моя цель — добавлять темы ежедневно, так что со временем он будет становиться все более и более исчерпывающим

Ожидайте этого чтобы показать вам, как решать широкий спектр важных математических задач

Кому нужен этот математический решатель?

Вы учитесь в школе, и вам нужен помощник по домашнему заданию

Вы пытаетесь выучить математику самостоятельно, и вам нужны кристально четкие объяснения

Вы хотите пройти тест по математике

Вы учитель и хотите учащимся, чтобы получить дополнительную практику по математике

Вы — родитель, и вам нужны некоторые рекомендации, чтобы помочь своим детям

Вам нужно повторить математику

Большинство людей извлекут пользу из этого решателя алгебры

Как мне вводить математические задачи?

Щелкните ссылку с надписью «Важные инструкции»

Введите проблемы точно так, как показано в меню тем

Избегайте предложений

Если вы не уверены, просто введите что-нибудь, и в некоторых случаях это поможет вам

Наконец, вы всегда можете связаться со мной с любыми вопросами, которые у вас есть

Решатель уравнений и систем — MATLAB решает

  • Если решает не может найти решение и ReturnConditions — это false , решить функция внутренне вызывает числовой решатель vpasolve , который пытается найти числовое решение.Для полинома уравнения и системы без символьных параметров, числовой решатель возвращает все решения. Для неполиномиальных уравнений и систем без символических параметров числовой решатель возвращает только одно решение (если решение существует).

  • Если решить не может найти решение и ReturnConditions — это true , решить возвращает пустое решение с предупреждением. Если нет решений существует, решить возвращает пустое решение без предупреждения.

  • Если решение содержит параметры и ReturnConditions равно true , решение возвращает параметры в решении и условия, при которых решения верны. Если ReturnConditions равно false , функция решает либо выбирает значения параметры и возвращает соответствующие результаты или возвращает параметризованные решения без выбора конкретных значений. В последнем случае решает также выдает предупреждение с указанием значений параметров в возвращенном решения.

  • Если параметр не отображается ни при каких условиях, он означает, что параметр может принимать любое комплексное значение.

  • Результат решения может содержать параметры из входных уравнений в дополнение к введенным параметрам по решите .

  • Параметры, введенные решить сделать не появляются в рабочем пространстве MATLAB. Доступ к ним должен осуществляться с помощью выходной аргумент, который их содержит. В качестве альтернативы можно использовать параметры в рабочем пространстве MATLAB используют syms для инициализировать параметр.Например, если параметр равен k , используйте syms k .

  • Имена переменных параметры и условия являются не допускается в качестве входных данных для решить .

  • Для решения дифференциальных уравнений используйте функцию dsolve .

  • При решении системы уравнений всегда присваивайте результат для вывода аргументов. Выходные аргументы позволяют получить доступ к значения решений системы.

  • MaxDegree принимает только положительные целые числа меньше 5, потому что, как правило, нет явных выражения для корней многочленов степени выше 4.

  • Выходные переменные y1, ..., yN не определяют переменные для который решает решает уравнения или системы. Если y1, ..., yN — переменные, которые появляются в eqns , то нет гарантии, что resolve (eqns) назначит решения для у1 ,..., yN в правильном порядке. Таким образом, когда вы бежите [b, a] = resolve (eqns) , вы можете получить решения для a присвоено b и наоборот.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.