Решеба по геометрии 7: Решебник по геометрии 7 класс Казаков, ГДЗ на Решеба

Содержание

ГДЗ Геометрия 7 класс Казаков

Геометрия 7 класс

Учебник

Казаков

Народная асвета

Весьма остро стоит в наше время вопрос о подаче материала школьникам. Многими родителями уже замечено, что преподаватели практически перестали объяснять суть той или иной темы. Вместо этого они требуют от учащихся сдачи каких-то не относящихся к учебе проектов, участия в конкурсах и т. д. Порой возникает ощущение, что ребята ходят в школу вовсе не для того, чтобы получить образование, а для каких-то посторонних целей. Преодолевать же непонятные моменты во время решения задач, подросткам приходится самостоятельно, используя решебник к учебнику "Геометрия 7 класс" Казаков, где объяснения представлены более развернуто, чем это делают учителя.

Параметры данного сборника

Пособие, как и оригинальный учебник, имеет несколько разделов, которые включают в себя построение чертежей, тестовую часть, а так же моделирование. Всего в издание включено двадцать шесть параграфов, в которых содержится около четырехсот упражнений. ГДЗ по геометрии 7 класс

Казаков поможет быстро и качественно выполнить д/з, благодаря детальным решениям по всем номерам.

Почему его надо использовать

По современной программе школьники должны понимать новый материал с полуслова и в кратчайшие сроки осваивать информацию. Так же им предоставляется множество дополнительных пособий, по которым необходимо выполнять задания. Учитывая общее количество предметов, то объем д/з иногда просто поражает воображение. При этом учителя требуют не только хорошо выполненных упражнений, но и четкого понимания тематики. Таким образом, приходя из школы, дети продолжают свои посиделки над учебниками, порой лишая себя отдыха и каких-то развлечений. Решебник к учебнику "Геометрия 7 класс" Казаков поможет сократить время на домашние задания, при этом полноценно понимая суть пройденного. "Народная асвета", 2017 г.

Название

Условие

Решение

ГДЗ по геометрии 7 класс учебник Мерзляк Полонский Якир


ГДЗ готовые домашние задания учебника по геометрии 7 класс Мерзляк Полонский Якир ФГОС Вентана Граф на русском от Путина.

Решебник (ответы на вопросы и задания) учебников и рабочих тетрадей необходим для проверки правильности домашних заданий без скачивания онлайн


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 Задание № 1 Проверьте себя в тестовой форме 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 Задание № 2 Проверьте себя в тестовой форме 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 Задание № 3 Проверьте себя в тестовой форме 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 Задание № 4 Проверьте себя в тестовой форме 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744

Решеба 7 клас география - flowerdecor64.

ru

Скачать решеба 7 клас география rtf

• 4,7 тыс. просмотров Трансляция закончилась 1 неделю назад. стр Контурная карта География 7 класс.  Вариант 1 стр 16 Самостоятельная 7 математика 6 класс пропорции Герасимов. Антонина Аркадьевна Тофелева. Обновленный сборник «Решеба по геометрии для 7 класса» готов помочь ученику в решении всех задач, представленных в учебнике. Столкнувшись с ранее неизведанным 3D-моделированием, не каждый родитель способен помочь своему ребенку разобраться в столь деликатной теме.

Воспользовавшись решебой по геометрии, ученик сможет постигать тонкости геометрии даже при самостоятельной работе. Геометрия необходима для развития пространственного мышления, и умения мыслить логически – именно поэтому, сборник готовых домашних заданий для 7 класса, содержит в себе еще и дополнительные учебные материалы. География 7 класс. Тип: Тетрадь-экзаменатор.

Авторы: Барабанов, Дюкова. Издательство: Просвещение. География 7 класс. Тип: Контурная карта. Авторы: Румянцев. Издательство: ДиК. География 7 класс. Тип: Контурная карта. Авторы: Полункина. Издательство: ОКФ.

География 7 класс. Тип: КИМ. Авторы: Жижина. Издательство: Вако. География 7 класс. Тип: Контурная карта. Авторы: Котляр.

Издательство: Просвещение. География 7 класс. Тип: Контурная карта. Авторы: Курбский. Издательство: Дрофа. География 7 класс. Тип: Контурные карты. Авторы: Баринова. Готовое домашние задание по по Географии за 7 класс. Онлайн ответы. Самые свежие и актуальные решебники за учебный год от flowerdecor64.ru Здесь представлены ГДЗ к учебнику по географии 7 класс Коринская, Душина, Щенев География материков и океанов.

Вы можете смотреть и читать ответы гдз онлайн (без скачивания) с компьютера и мобильных устройств. Выберите номер страницы Учебника. Страница: 4 7 16 17 21 23 28 29 32 33 34 39 40 43 44 50 51 53 55 56 60 63 67 68 70 72 73 76 77 83 85 89 91

Мегарешеба - Белорусские ГДЗ и Решебник по Географии поможет Вам найти ответ на самое сложное задание для 7 класса. Решай онлайн домашку вместе с нами! География 7 класс Кузнецов, Савельева, Дронов. Готовые домашние задания в решебнике по геометрии для 7 класса к учебнику авторов А.П. Кузнецов, Л.Е. Савельева, В.П. Дронов издательство Просвещение. Полные и развернутые ответы на вопросы в конце каждого параграфа, по теме раздела из учебника по географии. Рішення та відповіді до підручників та завдань для 7 класу з географії!

Уся готова домашня робота для 7 класу з географії на нашому сайті! Постійні оновлення ГДЗ для 7 класу з географії!.

PDF, rtf, doc, doc

Похожее:

  • Атлас з всесвітньої історії 8 клас
  • Гдз англійська мова 5 клас робочий зошит оксана
  • Календарно-тематичне планування з української мови 3 клас
  • Грамотій українська мова 8 клас гдз
  • Переклади текстів з англійської мови 5 клас
  • Зборнік па беларускай мове 5-9 клас
  • Англійська мова 4 класс карпюк решебник
  • Наглядная геометрия 7 класс казаков ответы решебник

    наглядная геометрия 7 класс казаков ответы решебник

    наглядная геометрия 7 класс казаков ответы решебник

    Наглядная геометрия 7 класс казаков ответы решебник Репутация увеличивается за плюсы в профиле, к постам и комментариям, а уменьшается за минусы в профиле.
    Служит для самомодерации сообщества — комментарии индивидов с отрицательной репутацией будут сворачиваться, а деятельность таких пользователей будет ограничиваться. Аверсэв, 2013, Материалы исследования могут быть также использованы другими дисциплинами, такими как этническая психология и социология, конфликтология и политология. Данная книга является активным приложением к действующим учебным пособиям для 7 класса. Аверсэв, 2013, Наглядная геометрия. Наглядная геометрия Наглядная геометрия 7 класс казаков решебник - - Skillshare Наглядная геометрия. Все материалы сопровождаются подробными разъясняющими конспектами, методическими рекомендациями и заданиями для закрепления. Табулированные данные и короткие выкладки из теории помогут быстро повторить текущую тему исключат необходимость обращаться к пособиям или справочникам. Сборник включает графические материалы, без которых невозможно решить большинство заданий. Школьник сможет не только выполнить домашнее задание, но и заниматься своим образование самостоятельно. Данный проект задумывался как единственная независимая социальная наглядная геометрия 7 класс казаков ответы решебник Кампуса при Дальневосточном Федеральном Университете. Приобрести данную книгу вы можете практически в любом книжном магазине Беларуси. В конце пособия размещен итоговый опорный конспект с подсказками по теоремам, формулам и функциям. Казаков в интернет-магазине OZ. Предлагаемая рабочая тетрадь призвана помочь учащимся в изучении биологии в 6. По отзывам посетителей, книга получилась очень полезной для самостоятельного изучения геометрии. Задачи на готовых чертежах. Наглядная геометрия: опорные конспекты, контр. Данный проект задумывался как единственная независимая социальная сеть Кампуса при Дальневосточном Федеральном Университете. Рейтинг увеличивается за активность на сайте. Рабочая тетрадь может быть использована на уроках как. Данный проект задумывался как единственная независимая социальная сеть Кампуса при Дальневосточном Федеральном Университете. Репутация увеличивается за плюсы в профиле, к постам и комментариям, а уменьшается за минусы в профиле.
    За размещение постов и комментариев, за получение плюсов к ним. A Наглядная геометрия 7 класс решебник казаков Скачать бесплатно кряк для 3d инструктор 2. Казаков в интернет-магазине OZ. Казаков в в авторы аверсэв Решебник Перышкин по физике 8 класс Решебник по английскому языку 6 класс кауфман кауфман 6 класс Босова Во-вторых, анализ психологических исследований наглядных геометрий 7 класс казаков ответы решебник показал, что существующие теории эмоций пока еще далеки от полного понимания этого сложного явления. Аверсэв, 2013, Материалы исследования могут быть также использованы другими дисциплинами, такими как этническая психология и социология, конфликтология и политология. Школьник сможет не только выполнить домашнее задание, но и заниматься своим образование самостоятельно. Служит для самомодерации сообщества — комментарии индивидов с отрицательной репутацией будут сворачиваться, а деятельность таких пользователей будет ограничиваться. Учащимся достаточно сверять выполненные работы с пособием исправлять ошибки.
    Задачи на готовых чертежах. Аверсэв, 2013, Наглядная геометрия. Рейтинг группы формируется за счет размещения в этих группах постов и комментариев участниками группы. Прибавку к рейтингу получает как группа, где участник разместил популярный пост, так и сам участник. Данная книга является активным приложением к действующим учебным пособиям для 7 класса. Предлагаемая рабочая тетрадь призвана помочь учащимся в изучении биологии в 6. Все материалы сопровождаются подробными разъясняющими конспектами, методическими рекомендациями и заданиями для закрепления.

    Решеба 7 клас география - mogydolgo.ru

    Скачать решеба 7 клас география EPUB

    Книги и учебники онлайн. География 7 класс. Домогацких. Часть 1. Онлайн учебник. Готовые домашние задания (ГДЗ) за 7-ой класс. Решебники по алгебре, геометрии, русскому языку, английскому, физике, химии и остальным предметам на Решеба.  Некоторые учителя и родители настроены категорически против решебников. Справедливо ли такое мнение? На деле переход в 7 класс обусловлен тем, что учебная нагрузка на подростков увеличивается в разы.

    Чтобы все задания, выданные на дом, были успешно сделаны, необходимо рационально подойти к выполнению индивидуальных упражнений.

    Это позволит учащемуся не только блестяще усваивать преподнесенный материал в школе. ГДЗ по географии 7 класс. ГДЗ > География > 7 класс. Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).

    География 7 класс.  Контурные карты по географии 7 класс. География материков и океанов. ФГОС Полункина ОКФ. Контурные карты по географии 7 класс.

    ФГОС Котляр Просвещение. Рабочие тетради. Рабочая тетрадь по географии 7 класс. Часть 1, 2. ФГОС Душина Вентана-Граф. Рабочая тетрадь по географии 7 класс Румянцев, Ким Дрофа.

    Рабочая тетрадь по географии 7 класс. ФГОС Душина (Материки) Дрофа. Рабочая тетрадь по географии 7 класс. 2 класс 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Все учебники.

    Математика. 2 класс. 5 класс. 6 класс. Алгебра. 7 класс.  ГДЗ Дайын үй жұмыстары Решебник к учебнику: География Егорина 7 класс Авторы: Егорина А., Нуркенова С., Шимина Е. Издательство: Атамұра. Год: Электронный учебник. Гуманитарные науки многогранны, они включают в себя множество смежных дисциплин, знаний и умений. Одна из них-география, объединяет в себе опыт древних и современных философов, путешественников, исследователей и учёных.

    Готовые домашние задания к учебнику от автора Егорина А для 7-го класса позволят мягко и последовательно влиться в процесс изучения этой важной дисциплины. Обновленный сборник «Решеба по геометрии для 7 класса» готов помочь ученику в решении всех задач, представленных в учебнике. Столкнувшись с ранее неизведанным 3D-моделированием, не каждый родитель способен помочь своему ребенку разобраться в столь деликатной теме. Воспользовавшись решебой по геометрии, ученик сможет постигать тонкости геометрии даже при самостоятельной работе.

    Геометрия необходима для развития пространственного мышления, и умения мыслить логически – именно поэтому, сборник готовых домашних заданий для 7 класса, содержит в себе еще и дополнительные учебные материалы.

    2 класс 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Все учебники. Математика. 2 класс. 5 класс. 6 класс. Алгебра. 7 класс.  ГДЗ Дайын үй жұмыстары Решебник к учебнику: География Егорина 7 класс Авторы: Егорина А., Нуркенова С., Шимина Е.

    Издательство: Атамұра. Год: Электронный учебник. Гуманитарные науки многогранны, они включают в себя множество смежных дисциплин, знаний и умений. Одна из них-география, объединяет в себе опыт древних и современных философов, путешественников, исследователей и учёных. Готовые домашние задания к учебнику от автора Егорина А для 7-го класса позволят мягко и последовательно влиться в процесс изучения этой важной дисциплины. Изучение географии в седьмом классе требует от школьников определенных навыков и знаний, накопленных в течение предыдущих лет.

    Задания и упражнения по этому предмету, как правило, опираются на навыки владения контурными картами. Для того, чтобы упростить учебный процесс и сохранить время на выполнении определенных заданий, школьникам рекомендуется использовать ГДЗ по географии за 7 класс.   При использовании данных изданий, стоит помнить, что решебники по географии за 7 класс – это не просто верные ответы на специальные упражнения.

    Это еще и активное развитие умения школьников знакомиться с другими источниками, а также использования полученных знаний в дальнейшем на практике. ГДЗ рабочая тетрадь по географии 7 класс. Душина И.В., Смоктунович Т.Л., ГДЗ рабочая тетрадь по географии 7 класс. Домогацких Е.М., Домогацких Е.Е., ГДЗ тетрадь-тренажер по географии 7 класс. Котляр О.Г., Банников С.В., ГДЗ контурные карты по географии 7 класс.

    Баринова И.И., ГДЗ контурные карты по географии 7 класс. Курбский Н.М., География "Земля и люди" контурные карты 7 класс. Котляр О.Г., ГДЗ рабочая тетрадь по географии 7 класс.

    Жижина Е.А., ГДЗ рабочая тетрадь по географии 7 класс. Сиротин В.И., ГДЗ контурные карты по географии 7.

    EPUB, txt, EPUB, PDF

    Похожее:

  • Позакласне читання 3 клас нова програма гдз
  • Основи здоров я 7 клас робочий зошит
  • Відповіді до тестових завдань з фізики 10 клас сиротюк
  • Гдз з геометрії 7 клас нова програма 2015-2016 мерзляк
  • Курсова робота розвиток логічного мислення
  • Відповіді з англійської мови 5 клас оксани карпюк книга
  • К р геометрія 7 клас

    Скачать к р геометрія 7 клас djvu

    ГДЗ: Спиши готовые домашние задания по геометрии за 7 класс, решебник и ответы онлайн на filter812. ru  Решебник по геометрии - это выход из самых сложных ситуаций с учебой. Изучай вдумчиво все предложенные и подробно разобранные задания, и очень скоро к тебе придет понимание этого предмета. Во всяком случае, с ГДЗ-пособием ты навсегда забудешь, как это второпях - "на коленке" - списывать домашние задания и получать двойки за контрольные работы.

    Обновленный сборник «Решеба по геометрии для 7 класса» готов помочь ученику в решении всех задач, представленных в учебнике. Столкнувшись с ранее неизведанным 3D-моделированием, не каждый родитель способен помочь своему ребенку разобраться в столь деликатной теме. Воспользовавшись решебой по геометрии, ученик сможет постигать тонкости геометрии даже при самостоятельной работе.  Все задачи в решебе по геометрии для седьмого класса – имеют подробное разъяснение и наглядное поэтапное решение.

    Решение с номером не найдено. Быстрая навигация. Геометрия. класс. Диагностические тесты. Готовимся к ГИА. Рыжик В.И. Просвещение. р. На класс: р. Купить! Геометрия. 7 класс. Экспресс-диагностика. ФГОС.  Поурочные разработки. Геометрия к УМК Атанасяна. 7 класс. (ПШУ). Пособие является дидактическим материалом по геометрии для 7 класса общеобразовательных школ.

    Оно содержит около задач. Первая часть «Тренировочные упражнения» разделена на четыре однотипных варианта по задач в каждом. Вторая часть содержит пять контрольных работ (два варианта) по всем темам курса геометрии седьмого класса. Для учителей средних школ, учащихся 7 классов и их родителей. Share. Copy URL to publication. Онлайн решебники по Геометрии для 7 класса, гдз и ответы к домашним заданиям.  Геометрия 7 класс дидактические материалы Б.Г.

    Зив. Авторы: Б.Г. Зив В.М. Мейлер. Геометрия класс Л.С. Атанасян. Авторы: Л.С. Атанасян В.Ф. Бутузов. Геометрия класс А.В. Погорелов. Автор: А.В. Погорелов. Геометрия 7 класс В.В. Шлыков. Автор: В.В. Шлыков.

    Геометрия 7 класс рабочая тетрадь Л.С. Атанасян. Авторы: Л.С. Атанасян В.Ф. Бутузов. Геометрия 7 класс Г. П. Бевз. Авторы: Г.П. Бевз В.Г. Бевз. Геометрия 7 класс М. И. Бурди. Авторы: М. И. Бурди Н. А. Тарасенкова. Геометрия 7 класс О.С. Истер. Автор: О.С. Истер. Геометрия 7 класс Мерзляк A.Г. Авторы: Мерзляк A.Г. Полонский B.Б.

    Геометрія 7 клас. Смотреть позже. Поделиться.  Підготовка до к/р. Геометрія 7 клас. 2 просмотров 2,8 тыс. просмотров. Задачник Геометрия классы Гордин Р.К.Гордин. Контрольные измерительные материалы Геометрия 7 класс Рязановский А.Р.Рязановский, Д.Г.Мухин. Рабочая тетрадь Геометрия 7 класс Атанасян Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, Ю.А.Глазков, И.И.Юдина.

    Дидактические материалы Геометрия 7 класс Мельникова Н.Б.Мельникова, Г.А.Захарова. Сборник заданий для тематического и итогового контроля знаний Геометрия 7 класс Ершова А.П.Ершова. Тематический контроль Геометрия 7 класс Мельникова Н.Б.Мельникова. Учебник Геометрия 7 класс Бутузов В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, В.В.Прасолов. Дидактические материалы Геометрия 7 кла. Завантажити контрольні роботи з геометрії за 7 клас ✅ Безкоштовно на сайті «На Урок».

    Багато корисних матеріалів для вчителів та репетиторів.

    txt, rtf, rtf, EPUB

    Похожее:

  • Література і мистецтво народів європи та америки 18-19 ст презентація
  • Служби інтернету інформатика
  • Національний банк україни та його функції курсова
  • Завдання дпа біологія 11 клас 2012
  • Операційні системи презентація скачать
  • Решеба геометрия 9 клас - urbanisto.ru

    Скачать решеба геометрия 9 клас EPUB

    Видеоуроки, тесты и тренажёры по Геометрия за 9 класс по школьной программе. Используйте конспект уроков раздела «Геометрия 9 класс» для закрепления полученных знаний. ГДЗ по геометрии для 9 класса к «Геометрия. классы: учебник для общеобразовательных учреждений, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., ».

    Готовые домашние задания по геометрии - 10 класс - К учебнику Геометрия - класс - Атанасян Л. С. ГДЗ по геометрии за 9 класс – ответы и решебник. Если с алгеброй многие девятиклассники справляются самостоятельно, то геометрия считается одним из самых сложных предметов. Требуется правильно сделать чертеж, корректно расположить буквенные обозначения, хорошо знать теоремы и аксиомы. Если задания вызывают затруднения, используйте в 9 классе домашнюю работу ГДЗ по геометрии.

    Здесь все задачи объяснены подробно – есть шанс разобраться без посторонней помощи. В математике каждая последующая тема базируется на предыдущей. Рішення та відповіді до підручників та завдань для 9 класу з геометрії! Уся готова домашня робота для 9 класу з геометрії на нашому сайті! Постійні оновлення ГДЗ для 9 класу з геометрії!.

    Многие решебники по геометрии за 9 класс включают формулы для вычисления координат точки: алгоритмы и задачи. Теперь любые формулы приведения окажут вспомогательную помощь при решении разнообразных заданий. Большинство изданий обеспечивают ребят готовыми решениями на ряд тренировочных упражнений, что позволит школьникам самостоятельно подготовиться к проверке знаний на последующих занятиях.

    Домашняя Работа по Геометрии 9 класс Решебник! Состояние на фото, издательство "Экзамен", Москва, год, страниц! При покупке нескольких лотов уточняйте стоимость доставки!

    Покупатель выходит на связь в течении 3 дней. Готовые домашние задания по геометрии 9 класс Казаков В. В. за Ответы в решебнике.  Одной из самых сложных дисциплин является геометрия, для изучения которой иногда не достаточно учебника. Трудным этот предмет считают не только школьники, но и их родители, и даже учителя. Не каждый ученик с первого раза может понять суть аксиомы или теоремы.

    Решебник по геометрии за 9 класс позволит ускорить процесс и качественно проделать домашнюю работу любой сложности. В пособии собраны упражнения на поиск углов многоугольников, площадей, повторяются принципы подобия треугольников и основоположные определения. Опираясь на материалы из сборника, учащийся с легкостью справится с заданиями для контрольной работы, или сможет самостоятельно пройти пропущенные темы.

    doc, doc, rtf, rtf

    Похожее:

  • Г. о.козачук українська мова для абітурієнтів
  • Голосні та приголосні звуки урок 5 клас
  • Задачі на логіку 8 клас з відповідями
  • Початкові відомості зі стереометрії 9 клас контрольна робота відповіді
  • Изложение по русскому 9 клас
  • Українська література 5 клас коваленко читать
  • Сито Эратосфена - алгоритм простых чисел

    Сито Эратосфена - это метод, сформулированный блестящим греческим математиком Эратосфеном, чьи усилия в значительной степени способствовали идентификации простых чисел.

    Он много сделал в области математики, и открытие сита было лучшим, что он сделал в этой области. Это шаблон или алгоритм, который работает путем исключения чисел, не подходящих для сценария.

    Что такое сито Эратосфена?

    Сито Эратосфена - математический алгоритм поиска простых чисел между двумя наборами чисел.

    Модели «Сито Эратосфена» работают путем просеивания или удаления заданных чисел, не соответствующих определенному критерию. В этом случае шаблон исключает кратные известным простым числам.

    Алгоритм простых чисел

    Простое число - это положительное целое число или целое число больше 1, которое делится только на 1 и само себя. Алгоритм простых чисел - это программа, используемая для поиска простых чисел путем просеивания или удаления составных чисел. Алгоритм упрощает работу за счет исключения сложных циклических делений или умножений.

    Следующие шаги используются для поиска простых чисел, равных или меньших заданного целого числа η.

    • Перечислите все последовательные числа от 2 до η, т.е. (2, 3, 4, 5, ……, η).
    • Назначьте букву первого простого числа p .
    • Начиная с p 2 , выполните приращение p и отметьте в алгоритме целые числа, равные или превышающие p 2 . Этими целыми числами будут p ( p + 1), p (p + 2), p ( p + 3), p ( p + 4)…
    • Первое немаркированный номер больше p идентифицируется из списка.Если номер отсутствует в списке, процедура останавливается. p приравнивается к номеру и шаг 3 повторяется.
    • Сито Эратосфена останавливается, когда квадрат проверяемого числа превышает последнее число в списке.
    • Все числа в списке, оставленные неотмеченными после завершения алгоритма, называются простыми числами.

    Пример 1

    Заполните все простые числа, меньшие или равные 30.

    Решение

    • Шаг 1. Первый шаг - перечислить все числа.

    2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 и 30.

    • Шаг 2: Выведите полужирным шрифтом все числа, кратные 2, кроме самой 2.

    2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15, 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21, 22 , 23, 24 , 25, 26 , 27, 28 , 29 и 30 .

    • Шаг 3: Следующее незатененное число - 3. Напишите его квадрат (3 2 = 9) жирным шрифтом.

    2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25, 26 , 27 , 28 , 29 и 30 .

    • Шаг 4: Теперь третье незатененное число - 5. Напишите его квадрат 5 2 = 25 жирным шрифтом.

    2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 и 30 .

    • Шаг 5: Четвертое незакрашенное число равно 7 и больше квадратного корня из 30.
      Следовательно, не осталось кратных 7, поскольку они были исключены на 2 и 3 как 14, 28 и 21 соответственно. Остальные числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29 простые.

    Пример 2

    Найдите простые числа от 1 до 100, используя алгоритм Эратосфена.

    Решение

    1. Шаг 1. Числа от 1 до 100 перечислены в таблице ниже.

    902 902 902 9040 72 902 902 900 2 шаг - выделить полужирным шрифтом все числа, кратные 2, кроме самой 2.
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    1240 12
    11 15 16 17 18 19 20
    21 22 23 24 25 26 27 28
    31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
    41 42 44 47 48 49 50
    51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
    61 62 63 64 65 66 67 68 69 69 73 74 75 76 77 78 79 80
    81 82 88241 83 84 89 90
    91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
    12 36 53
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 9 13 14 15 16 17 18 19 20 21402 24 25 26 27 28 29 30
    31 32

    08

    32

    08

    37 38 39 40
    41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

    08

    50

    08

    54 55 56 57 58 59 60
    61

    42

    65 66 67 68 69 70
    71 72 73

    42

    73

    47 77

    78 79 80
    81 82 83 84 85 86 87 88 89

    90

    9247 94 95 96 97 98 99 100
      • Шаг 3: Теперь жирным шрифтом и 30008 все кратные 7 оставьте только эти числа.
      12 30 9 0240 74

      1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 9 13 14 15 16 17 18 19 20

      08

      20

      08

      23 24 25 26 27 28 29 30
      30
      34 35 36 37 9000 7 38 39 40
      41 42 43 44 45 45 2 49 50
      51 52 53 54 55 9000 57 59 60
      61 62 63 64 65 66

      408

      66

      90

      70
      71 72 73 75 76 77 78 79 80

      47

      47 84

      85 86 87 88 89 90
      91

      909 94

      95 96 97 98 99 100
      • Шаг, кратный 4 и 19 отсутствуют в списке, 1 окончательно закрашен, потому что он не является основным.
      9408 9408

      47

      66240 662409 69 902 40 73 9240007 81 9402 924000 9240009 902 900 9023 без простых чисел 900: непростые числа 900К ним относятся:

      2, 3, 5,7, 11, 13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79 , 83, 89 и 97.

      Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

      Простые числа: что это такое и как их найти

      В сегодняшнем посте вы узнаете разницу между простыми и составными числами. Кроме того, мы покажем вам несколько примеров, которые помогут вам лучше их понять.

      Что такое простые числа?

      Простые числа - это числа, которые делятся только на себя и 1, другими словами, если мы попытаемся разделить их на другое число, результатом будет не целое число.Итак, если вы разделите число на что-либо, кроме единицы или самого себя, вы получите остаток, отличный от нуля.

      Простые числа до 100

      Мы собираемся создать таблицу со всеми простыми числами, которые существуют до 100.

      Начнем с 2. 2 - простое число, но все числа, кратные 2, будут составными числами, поскольку они делятся на 2. Мы вычеркнем все числа, кратные 2, в таблице.

      Следующее простое число - 3, поэтому мы можем вычеркнуть все числа, кратные 3, поскольку они будут составными числами.

      После 3 стоит следующее простое число 5, поэтому мы вычеркиваем все числа, кратные 5.

      Затем у нас есть простое число 7, и мы вычеркиваем все числа, кратные 7.

      Следующее простое число - 11, поэтому мы вычеркиваем все числа, кратные 11: 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 и 99. Все эти числа уже вычеркнуты, поэтому мы закончили. вычеркнув все составные числа в нашей таблице.

      Это наш список простых чисел от 1 до 100.Их не нужно запоминать, но будет лучше, если вы запомните меньшие числа, такие как 2, 3, 5, 7, 11, 13.

      Сколько существует простых чисел?

      Греческий математик Эратосфен (III век до нашей эры) разработал быстрый способ найти все простые числа вплоть до любого заданного числа. Это процесс , называемый Решетом Эратосфена.

      Обратите внимание, что от 1 до 100 25 простых чисел. Сколько всего простых чисел? Нам с древних времен известно, что - это бесконечное количество , поэтому перечислить их все невозможно.Поскольку Евклид, который первым показал, что в 4 веке до нашей эры существовало бесконечное количество, не знал концепции бесконечности , он сказал, что «простые числа больше, чем любое их фиксированное множество». означает, если вы вообразите 100 , их больше, и если вы представите миллион, их еще больше.

      Простые числа от 100 до 1000

      Давайте посмотрим на простые числа от 100 до 1000.

      Сожалеем, что мы не можем показать их все, поскольку вы знаете, что их бесконечно много.😉

      Примеры простых чисел

      Чтобы помочь вам лучше понять простые числа, мы собираемся объяснить упражнение.

      У Сары есть 6 конфет, которыми она хочет поделиться, но она не знает, скольким людям она может их поделиться, чтобы все получили одинаковую сумму и ни одной не осталось. Сколько способов она может это сделать?

      Вот Сара и ее 6 конфет:

      Как их разделить?

      Первый и самый простой способ - передать их одному человеку, другими словами, разделить на 1.Таким образом, у этого человека будет 6 конфет.

      Следующая возможность - разделить их на 2 человека. Так как 6 разделить на 2 равно 3, каждый получит по 3 конфеты!

      Мы собираемся перейти к следующему числу, 3. Если мы разделим 6 конфет между 3 людьми, это также будет точное деление, и каждый получит по 2 конфетки:

      Давайте продолжим с цифр. У нас нет точных делений на 4 и 5, но есть на 6.

      Поскольку 6 разделить на 6 равно 1, мы можем дать 6 детям по 1 конфете.

      Мы собираемся собрать информацию. У нас есть 6 конфет, которые мы можем разделить (с точным разделением) между 1, 2, 3 и 6 людьми . Другими словами, мы можем разделить число 6 и получить 0 в качестве остатка, когда мы разделим его на 1, 2, 3 и 6. Эти числа известны как делители 6 .

      Попробуем другое число, например 7.

      Теперь у Сары есть 7 конфет, и она хочет ими поделиться, но не знает, со сколькими людьми она может ими поделиться, чтобы все получили одинаковую сумму и ни одной не осталось. Сколько способов она может это сделать?

      Генри такой удачливый! Он получил все леденцы!

      Есть другие способы сделать это? Мы не можем разделить 7 на 2, 3, 4, 5 или 6, ... но 7 возможно!

      Сара может поделиться конфетами между 7 людьми, давая им по одной штуке :

      Итак, 7 можно разделить только на 1 и 7, его единственные делители - 1 и 7. Это типы номеров, которые мы называем простыми числами .

      Есть еще простые числа? Конечно! Поищем еще:

      • Разве 4? Нет! Поскольку его делители равны 1, 2, и 4.
      • 5? Да! Потому что его делители равны 1 и 5.
      • Это 8? Нет! Поскольку его делители равны 1, 2, 4, и 8.

      Короче говоря, число является простым, если оно имеет только 2 делителя: 1 и само себя.

      Теперь вы можете искать множество простых чисел!

      Как найти простые числа

      Обратите внимание! Мы собираемся дать вам трюк, чтобы узнать, является ли число простым или нет, без необходимости искать его делители, но таким способом, который более интересен и дает нам делители (если они есть).

      Давайте выберем случайное число, например 16.

      Чтобы проверить, является ли это простым числом, мы собираемся использовать таблицу, которая очень похожа на карты Монтессори для умножения. И мы получим столько шаров, сколько выбрано. В данном случае 16 мячей.

      Когда у нас есть стол и шары, мы должны разместить их на столе, начиная с первого места, пытаясь сформировать прямоугольник. Числа, составляющие края прямоугольника, и являются делителями этого числа.

      В случае, если нам удастся сформировать прямоугольник только с тем же числом, которое мы используем, и числом 1, это будет простое число .

      Например, в этом случае мы размещаем 8 шаров в первом ряду и еще 8 во втором. Как видите, мы сформировали прямоугольник и видим, что 8, как и 2, являются делителями числа 16. Следовательно, 16 не является простым числом, потому что, как вы знаете, простых чисел - это числа, которые делятся только на сами по себе и 1.

      Можно попробовать другое число, например 7.

      Как мы видим, мы не смогли бы создать полный прямоугольник, мы бы упустили мяч. Поскольку мы не можем сформировать прямоугольник, можно сказать, что у числа 7 нет других делителей, кроме самого себя и 1, как мы можем видеть на следующем изображении.

      Следовательно, 7 - простое число!

      Попробуйте любой другой номер, и вы увидите, как он работает! Вы можете использовать миллиметровую бумагу и искать прямоугольники, используя это количество квадратов.

      Почему важны простые числа?

      Простые числа являются ключом к арифметике, ниже вы увидите пример, демонстрирующий их важность не только в математике, но и в природе.

      Что мы имеем в виду, когда говорим, что простые числа - это ключ к арифметике?

      Это потому, что любое число состоит из уникального продукта, состоящего из серии этих чисел.

      Считается, что их изучали около 20 000 лет назад, когда наш предок записал ряд простых чисел (11, 13, 17 и 19) на кости Ишанго.Как будто это было совпадением, было подтверждено, что древние египтяне работали с ними 4000 лет назад.

      Кроме того, природа очень хорошо их знает, и некоторые виды смогли обнаружить их на протяжении всей своей эволюции и использовать их для выживания.

      Я имею в виду несколько видов цикад, таких как Magicicada septendecium , обитающий в Северной Америке . Этот вид цикад установил свой цикл размножения около 13 или 17 лет, а не 12, 14, 15, 16 или 18, а именно 13 или 17 лет. Это позволяет им избегать хищников, у которых также есть периодические репродуктивные циклы; Представьте себе хищника с 4-летним репродуктивным циклом .

      Если бы жизненный цикл цикады составлял 12 или 14 лет, он совпадал бы с хищником очень часто, гораздо чаще, чем если бы он составлял 13 или 17 лет. Ровно 2 раза каждые 100 лет, в противном случае они совпали бы в 11 циклах, что поставило бы под угрозу развитие вида.

      Безопасность электронных коммуникаций также основана на простых числах.Каждое зашифрованное сообщение, отправляемое через Интернет (сети сообщений, покупки или электронный банкинг), имеет большое количество связанных с ним, и очень трудно узнать, где оно первично или нет. У получателя есть один из его делителей, поэтому они могут его расшифровать. Поэтому наличие простых чисел имеет решающее значение для нашей конфиденциальности при электронном общении.

      Что такое составные числа?

      Составные числа - это числа, которые делятся на 1 и сами себя, а также другие числа.

      Мы собираемся рассмотреть пример простого и составного числа.

      11 может быть записано как умножение 1 x 11, но не может быть записано как любое другое умножение натуральных чисел. У него есть только делители 1 и 11, поэтому это простое число .

      12 может быть записано как умножение 1 x 12 и как умножение 3 x 4 и 2 x 6. Поскольку 12 делится на большее количество чисел, чем 1 и само себя, 12 является составным числом .

      1 - простое ли число?

      Есть люди, которые так считают, потому что говорят, что 1 можно разделить только на 1 и само себя, но в математике число 1 было отброшено как простое число, потому что у него только один делитель. Фактически, критерий «положительное целое число является простым, если оно имеет ровно два положительных делителя» используется для исключения числа один из списка простых чисел. Это не потому, что мы придирчивы к этому, но если бы число один считалось простым, то о многих математических свойствах пришлось бы сказать иначе.

      Итак, 1 - составное число?

      Что ж, оно тоже не составное, так как не может быть представлено как произведение простых чисел. Число 1 не простое и не составное. И прежде чем вы спросите, ноль тоже не является простым или составным, но это связано со всеми соображениями, которые мы объясняли для положительных чисел, то есть больше нуля.

      Делители числа

      Делитель числа - это значение, которое делит число на точные части, другими словами, имеет остаток 0.

      В качестве примера мы рассчитаем делители для 24.

      Начнем деление с наименьших чисел, начиная с 1.

      • 24/1 = 24. И 1, и 24 являются делителями.
      • 24/2 = 12. Значит, 2 и 12 - делители.
      • 24/3 = 8. Значит, 3 и 8 - делители.
      • 24/4 = 6. Итак, 4 и 6 - делители.
      • 24/5 = 4. Это не точное деление, остаток равен 4, поэтому 5 не является делителем.

      Следующее число - 6, но, поскольку мы уже знаем, что 6 является делителем 24, мы закончили вычисление делителей для 24.

      Видео: факторизация и простые числа

      Если вы хотите узнать больше о простых и составных числах , посмотрите следующее видео. Вы также узнаете концепцию факторинга, используя таблицу Монтессори.

      Это видео является одним из наших интерактивных учебных пособий, и, хотя оно не является интерактивным, вы все равно можете смотреть его сколько угодно раз и делиться им с друзьями. Если вы хотите получить доступ к нашим интерактивным обучающим материалам, зарегистрируйтесь в Smartick! Онлайн-метод, помогающий детям в возрасте от 4 до 14 лет изучать и практиковать математику.

      Если вы хотите продолжить изучение простых чисел и лучшей математики, адаптированной к вашему уровню, зарегистрируйтесь в Smartick и попробуйте бесплатно!

      Подробнее:

      Команда по созданию контента.
      Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
      Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.

      Уровни распределения решетовых задач в предоднородных векторных пространствах

    • 1.

      Белабас, К .: Crible et \ (3 \) - rang des corps quadratiques. Анна. Inst. Фурье (Гренобль) 46 (4), 909–949 (1996)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 2.

      Белабас, К., Бхаргава, М., Померанс, Ч .: Оценка погрешности теорем Давенпорта-Хейльбронна. Duke Math. J. 153 (1), 173–210 (2010)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 3.

      Belabas, K., Fouvry, E .: Sur le 3-rang des Corps quadratiques de Discriminant Premier or Presque Premier. Duke Math. J. 98 (2), 217–268 (1999)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 4.

      Бхаргава, М .: Высшие законы состава. I. Новый взгляд на композицию Гаусса и квадратичные обобщения. Анна. Математика. (2) 159 (1), 217–250 (2004)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 5.

      Бхаргава, М .: Высшие законы композиции. II. О кубических аналогах композиции Гаусса. Анна. Математика. (2) 159 (2), 865–886 (2004)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 6.

      Бхаргава, М .: Высшие законы состава. III. Параметризация колец четвертой степени. Анна. Математика. (2) 159 (3), 1329–1360 (2004)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 7.

      Бхаргава, М .: Плотность дискриминантов колец и полей четвертой степени. Анна. Математика. (2) 162 (2), 1031–1063 (2005)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 8.

      Бхаргава, М .: Высшие законы состава. IV. Параметризация пятых колец. Анна. Математика. (2) 167 (1), 53–94 (2008)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 9.

      Бхаргава, М .: Плотность дискриминантов пятых колец и полей. Анна. Математика. (2) 172 (3), 1559–1591 (2010)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 10.

      Бхаргава, М .: Геометрическое решето и плотность бесквадратных значений инвариантных многочленов. Препринт (2014). arXiv: 1402.0031

    • 11.

      Бхаргава, М., Кожокару, А.К. Торн, Ф .: Не - \ (S_5 \) квинтические расширения ограниченного дискриминанта (в стадии подготовки)

    • 12.

      Бхаргава М., Хо У. Коргулярные пространства и кривые первого рода. Кембрид. J. Math. 4 (1), 1–119 (2016)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 13.

      Бхаргава М., Шанкар А., Цимерман Дж .: О теоремах Давенпорта-Хейльбронна и членах второго порядка. Изобретать. Математика. 193 (2), 439–499 (2013)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 14.

      Борель, А .: Линейные алгебраические группы, Том 126 выпускных текстов по математике, второе изд. Спрингер, Нью-Йорк (1991)

      Google ученый

    • 15.

      Коэн, Х., Торн, Ф .: Ряды Дирихле, связанные с полями четвертой степени с заданной кубической резольвентой. Res. Теория чисел 2 , ст. 29, 40 (2016)

    • 16.

      Кожокару, A.C., Рам Мурти, М .: Введение в ситовые методы и их приложения, Том 66 текстов студентов Лондонского математического общества. Издательство Кембриджского университета, Кембридж (2006)

      Google ученый

    • 17.

      Давенпорт, Х., Хейлбронн, Х .: О плотности дискриминантов кубических полей. II. Proc. R. Soc. Лондон. Сер. A 322 (1551), 405–420 (1971)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 18.

      Денеф Дж., Гёджа А .: Суммы символов, связанные с предоднородными векторными пространствами. Compos.Математика. 113 (3), 273–346 (1998)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 19.

      Элленберг, Дж., Пирс, Л.Б., Вуд, М.М .: О \ (\ ell \) - кручении в группах классов числовых полей. Алгебра теория чисел 11 (8), 1739–1778 (2017)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 20.

      Фуври, Э., Кац, Н .: Общая теорема стратификации для экспоненциальных сумм и приложения.J. Reine Angew. Математика. 540 , 115–166 (2001)

      MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

    • 21.

      Фридлендер, Дж., Иванец, Х .: Opera de cribro, Публикации коллоквиума Американского математического общества, вып. 57. Американское математическое общество, Провиденс (2010)

      ,
    • ,
    • , 22.

      , Гривз, Г.: Сита в теории чисел, том 43, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)]. Springer, Berlin (2001)

    • 23.

      Ланг, С., Вейль, А .: Число точек многообразий в конечных полях. Am. J. Math. 76 , 819–827 (1954)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 24.

      Пирс, Л.Б., Торн, Ф .: формулы суммирования Вороного, связанные с дзета-функцией Шинтани, и приложения к скрученным средним (в разработке)

    • 25.

      Рихерт, Х.-Э .: Сито Сельберга с утяжелителями.Математика 16 , 1–22 (1969)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 26.

      Шанкар А., Цимерман Дж . : Подсчет \ (S_5 \) - поля с ошибкой энергосбережения. Forum Math. Sigma 2 , e13, 8 (2014)

    • 27.

      Танигучи, Т., Торн, Ф .: Вторичные члены в счетных функциях для кубических полей. Duke Math. J. 162 (13), 2451–2508 (2013)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • 28.

      Танигучи, Т., Торн, Ф .: Орбитальные экспоненциальные суммы для предоднородных векторных пространств. Am. J. Math. 142 (1), 177–213 (2020)

      Статья Google ученый

    • 29.

      Ван, Дж .: Гипотеза Малла для \ ({S} _n \ times {A} \) для \ (n = 3, 4, 5 \). Препринт (2018). arXiv: 1705.00044

    • 30.

      Райт, Д.Дж., Юки, А .: Предоднородные векторные пространства и расширения полей. Изобретать. Математика. 110 (2), 283–314 (1992)

      MathSciNet Статья Google ученый

    • Несколько моих любимых пространств: Сито Уоллиса

      Я никогда не слышал о сите Уоллиса всего пару недель назад, но оно быстро заняло место в моем списке самых любимых пространств.Я узнал о космосе из видео Мэтта Паркера.

      Паркер никогда не называет сито Уоллис по имени, но оно есть. Сито Уоллиса - это фрактальный объект, который проще всего объяснить, начав с ковра Серпинского. Ковер Серпинского - это двумерный фрактал, несколько аналогичный множеству Кантора, о котором я писал в прошлом году. Чтобы сделать один, возьмите квадрат со стороной 1, разделите его на 9 меньших квадратов и удалите средний. Затем разделите каждый оставшийся квадрат на 9 меньших квадратов, удалите средний и так далее.

      Сито Уоллиса начинается так же, как ковер Серпинского: возьмите квадрат со стороной 1 и удалите среднюю девятую. Тогда все становится напуганным. Вместо того, чтобы удалять средние девятые всех оставшихся квадратов, мы делим каждый из этих квадратов на сетки 5 × 5 вместо 3 × 3 и удаляем средний квадрат каждого из них, что в итоге составляет 1/25 общей площади. На следующем этапе мы делим все оставшиеся квадраты на сетки 7 × 7 и удаляем средний квадрат или 1/49 оставшейся площади из каждого из них.

      Четыре этапа жизни сита Уоллиса. Изображение: Эвелин Лэмб.

      В то время как с ковром Серпинского мы всегда удаляли 1/9, с ситом Уоллиса мы каждый раз удаляли меньшую часть оставшегося набора. Ковер Серпинского в конечном итоге имеет нулевую площадь, как и набор Кантора, но сито Уоллиса имеет положительную площадь, как и набор Кантора, который немного откормлен.

      Однако, прежде чем я запачкаю руки некоторыми вычислениями, я должен отметить, что есть небольшая двусмысленность в том, что такое сито Уоллиса. Описанная мною фигура имеет площадь π / 4, такую ​​же, как четверть круга с радиусом 1. Некоторым людям удобнее соединить четыре из них вместе, чтобы получить площадь π или целый единичный круг, и назовите эту фигуру решетом Уоллиса. В этом посте я буду придерживаться своего предыдущего определения.

      В любом случае площадь сита Уоллиса тесно связана с площадью круга. Зачем? Все сводится к продукту Уоллиса. Английский математик Джон Уоллис вывел эту любопытную формулу в 1655 году:

      .

      На первый взгляд этот продукт не имеет ничего общего с решетом Уоллиса, но давайте перепишем его.Мы проигнорируем 2/1 в начале и объединим остальные термины в пары. Получаем 2/3 × 4/3 = 8/9, 4/5 × 6/5 = 24/25 и так далее. Когда мы смотрим на продукт таким образом, сито Уоллиса выпадает.

      На первом этапе создания сита, когда мы убрали среднюю девятую часть квадрата, у нас осталась площадь 8/9. Затем, когда мы удалили средние 25-е из оставшихся квадратов, у нас осталось 24/25 оставшейся площади, что дало нам общую площадь 8/9 × 24/25. Затем мы удалили среднюю 1/49 каждого оставшегося квадрата, и остались 48/49 от оставшейся площади, или 8/9 × 24/25 × 48/49 исходного квадрата.В целом (и принимая во внимание 2, которые мы проигнорировали ранее), мы находим, что сито Уоллиса имеет площадь π / 4, такую ​​же, как четверть круга с тем же радиусом, что и длина стороны сита.

      Я подумал, есть ли простой способ увидеть, что решето Уоллиса так тесно связано с кругом. А именно, если сжать все белое пространство, получится ли четверть круга? Я представил, как подталкиваю все к нижнему левому углу.

      Анимация, показывающая три этапа сита Уоллиса вместе с визуализацией того, что произойдет, если мы сдавим все в направлении нижнего левого угла квадрата.Изображение: Эвелин Лэмб при содействии Десмоса.

      К сожалению, мои надежды на легкое объяснение тут же развеялись: первый шаг, удаление средней девятой части, удаляет достаточно длины в некоторых местах, так что нет никакой надежды получить что-то круглое в конце.

      Слева: квадрат с удаленной средней девятой. Справа: график, показывающий результат сдавливания квадрата вниз и влево (сплошная фиолетовая кривая) по сравнению с клином круга (оранжевая пунктирная кривая). Изображение: Эвелин Лэмб.

      У меня осталось больше вопросов, чем ответов об этой забавной маленькой фигурке. Есть ли простой способ увидеть, что его площадь должна быть такой же, как четверть круга? Что бы он выглядел, если бы я его полностью раздавил? Будет ли граница иметь конечную длину, или я получу что-то более похожее на кривую Коха? А мы еще даже не дошли до трехмерной версии! Как отмечается в видео Паркера в верхней части поста, подобная конструкция в 3 измерениях дает нам нечто с таким же объемом, как единичная сфера! Можем ли мы сделать то же самое в более высоких измерениях?

      Я надеюсь, что решето Уоллиса и связанные с ним вопросы, ботаник застрелят вас так же сильно, как и меня.Если вы жаждете большего, статья Эда Пегга «Выдавливание числа Пи из губки Менгера» и сообщения в блоге Майка Лоулера о том, как делить решето Уоллиса со своими детьми, станут хорошей отправной точкой для ваших собственных исследований.

      Подробнее о моих любимых пространствах:
      The Cantor Set
      Fat Cantor Sets
      Синусоидальная кривая тополога
      Протекающая палатка Кантора
      Бесконечная серьга
      Линия с двумя истоками
      Дом с двумя комнатами
      Самолет Фано
      Тор
      Три-Тор
      Лента Мебиуса
      Длинная линия
      Кривые заполнения пространства

      1 2 3 4 5 6 7 8

      08

      8

      08

      12 13 14 15 16 17 18 19

      47 20240 19

      23 24 25 26 27 28 29 30

      08

      29 30

      08

      29 30

      08

      33 34 35 36 37 9024 1 38 39 40
      41 42 43 44

      41 46

      41 45

      8

      49 50
      51 52 53 54 54 59 60
      61 62 63 64 65 67241 65 70
      71 72 74 75 76 77 78 79 80
      007 81
      007 84 85 86 87 88 89 90
      90
      94 95 96 97 98 99 100
      100

      ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА Кевина Форда

      Исследования

      Ссылка на все мои документы

      Curriculum Vita

      Семинар UIUC по теории чисел

      Некоторые слайды переговоров

      Делители целых чисел, перестановки и многочлены.. Веб-семинар по аналитической и вероятностной теории чисел. 3 декабря 2020 г.

      Первичные зазоры, вероятностные модели, интервальное решето, Гипотезы Харди-Литтлвуда и нули Сигеля, Веб-семинар по теории чисел, 3 сентября 2020 г.

      Делимость центрального биномиального коэффициента. Вебинар по аддитивной комбинаторике, 3 ноября 2020 г.

      Летняя школа CRM, Вероятность в теории чисел, , Монреаль, май 2018 г.
      Обсуждение 1, Обсуждение 2, Обсуждение 3.Тема: Большие промежутки между простыми числами и другими последовательностями

      Сильно диагональное поведение у Виноградова Теорема о среднем значении, доклад в Геттингене (июль 2012 г.) и Обервольфахе (Октябрь 2013).

      Мультипликативная структура целых чисел, сдвинутых простых чисел и арифметические функции, Конференция Erdos 100, Будапешт, июль 2013 г.

      Новые явные конструкции RIP-матриц и смежные проблемы, Лекции в Техасском университете A&M, Мастерская «Жадные алгоритмы в банаховых пространствах и сжатое зондирование», 20-22 июля 2011 г.

      Распределение целых чисел с делителем в заданный интервал, лекция в Univ. Монреаль, 14 марта 2006 г.

      Illinois Number Theory Conferences

      Аналитическая и комбинаторная теория чисел: наследие Рамануджана, 6-9 июня 2019 г.

      Конференция по теории чисел в Иллинойсе, 2015 г. (13-14 августа 2015 г.)

      Теория чисел в Иллинойсе: конференция в честь Батманс и Хейни Хальберштам, 5-7 июня 2014 г.
      Конференция по теории чисел Среднего Запада для аспирантов и докторов наук IX, 13-14 октября 2012 г.
      Конференция по теории чисел в Иллинойсе, 27-28 мая 2011 г.
      Конференция по теории чисел в Иллинойсе, 21-22 мая 2010 г.
      Теория чисел в духе Эрдёша, специальное заседание в Региональная встреча AMS в Урбане, 27-29 марта 2009 г.
      Иллинойс Теория чисел Праздник. 25-26 марта 2009 г.
      Фестиваль теории чисел в Иллинойсе. 16-20 мая 2007 г.

      Материалы курса

      Конспект лекций

    • Ситовые методы
    • Анатомия целых и случайных чисел перестановки, осень 2017. Частичные примечания

      Другие математические ссылки

      Метеорологические и авиационные ссылки

      Поэзия

    • Что такое математическое счастливое число?

      Математика и удача часто сталкиваются, но не в осязаемом повседневном значении. В математике, однако, как ни странно, существует множество способов вычислить счастливое число. Последний метод определения того, что называют счастливым числом, - это список положительных целых чисел, полученных в процессе просеивания.Подумайте о просеивании чисел так же, как если бы вы просеивали комки от муки, за исключением использования математической формулы. В 1950-х годах группа математиков из Лос-Аламосских национальных лабораторий в Калифорнии разработала метод просеивания, чтобы получить то, что они назвали счастливыми числами.

      Процесс просеивания

      Начните со списка положительных чисел в последовательности (1, 2, 3, 4 и так далее). Не имеет значения размер последовательности, в которой сито определяет счастливые числа, но, чтобы сделать ее управляемой, выберите числа от 1 до 100. Это делается поэтапно. Поместите рамку вокруг 1. Теперь удалите каждое второе число из списка 2,4,6,8 ... 100). Остается первое оставшееся число 3. Теперь выделите рамку 3 и удалите каждое третье число из оставшихся. Это удаляет 7, 9, 13, 15, 19 .... Теперь, начиная с 7, поместите его в рамку и повторите процесс, и у вас останется 9, 13, 15, 21 .... Вставьте 9 и продолжайте это. процесс до тех пор, пока вы не исчерпаете все числа, которые можно исключить, до 100. Для записи, вот так называемые счастливые числа в коробке до 100: 2, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31 , 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93 и 99.

      Что делает их удачливыми

      Им «повезло», потому что они пережили процесс просеивания (как бы фантастично это ни казалось). Они также обладают некоторыми из тех же распределительных свойств, что и простые числа, что является нечетным, потому что простые числа зависят от их мультипликативного отношения, в то время как счастливые числа - это вопрос простого подсчета. Кроме того, расстояние между удачливыми игроками продолжает увеличиваться по мере увеличения числа. Кроме того, количество простых чисел-близнецов - простых чисел, различающихся на 2 - близко к числу счастливчиков-близнецов.Есть несколько теорем о том, почему это верно, но, за исключением того, что они называются «счастливыми», это не делает их более удачливыми, чем невыжившие числа. Обратите внимание на то, что 13 - одно из счастливых чисел, так же как и 7.

      Не повезло, как мы его знаем

      Подобные математические формулы просеивания использовались в прошлом, но ни одна из них не привела к чему-либо, что обычно считается удачным. Удача, в популярном смысле слова, приносит что-то хорошее случайно или приносит благоприятный результат, будь то игра в рулетку или крэпс.В математике это означает совсем другое.

      Аналогичная методика просеивания

      Сито Эратосфена (276-194 до н.э.) очень похоже на сито в Лос-Аламосе, за исключением того, что числа просеиваются немного иначе. Опять же, ограничьте количество простых чисел до менее 100 и сначала вычеркните одно (не считается простым, несмотря на то, чему многих из нас учили) и снова действуйте по шагам. На каждом этапе отмечайте первое число, которое еще не вычеркнуто, как штрих, затем вычеркивайте все его кратные.Повторяйте этот шаг до тех пор, пока наименьшее оставшееся число не превысит квадратный корень из 100 (в данном случае 97). Таким образом просеиваются простые числа: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79 , 83,89 (и 97). Обратите внимание, 7 и 13 тоже простые. Повезло, да?

      Математика и удача

      Ясно, что то, что математики называют счастливыми числами, не коррелирует с тем, что нематематики считают удачей, что больше связано с вероятностью и случайностью и, возможно, даже с нумерологией, чем с методологией, которую придерживаются математики. Лос-Аламос или в древности.Есть по крайней мере один случай, когда они пересекаются: при броске кости. Всего существует 36 возможных комбинаций чисел при броске двух кубиков. Шансы 6 из 36, что вы бросите два кубика, в сумме получится 7 - число с наибольшим количеством комбинаций (вероятностью) с коэффициентом 5 к 1. Отсюда и термин lucky 7.

      Почему простые числа до сих пор очаровывают математиков, 2300 лет спустя

      20 марта американо-канадский математик Роберт Лэнглендс получил премию Абеля, отмечая за его достижения в математике.Исследование Ленглендса продемонстрировало, как концепции из геометрии, алгебры и анализа могут быть объединены с помощью общей связи с простыми числами.

      Когда король Норвегии вручает награду Лангландсу в мае, он отметит последнее из 2300-летних усилий по пониманию простых чисел, возможно, самый большой и самый старый набор данных в математике.

      Как математик, посвятивший себя этой «программе Ленглендса», я очарован историей простых чисел и тем, как недавние достижения раскрывают их секреты.Почему они тысячелетиями увлекали математиков?

      Как найти простые числа

      Чтобы изучить простые числа, математики просматривают целые числа через одну виртуальную сетку за другой, пока не останутся только простые числа. В результате этого процесса просеивания в 1800-х годах были получены таблицы миллионов простых чисел. Это позволяет современным компьютерам находить миллиарды простых чисел менее чем за секунду. Но основная идея сита не изменилась за более чем 2000 лет.

      «Простое число - это то, что измеряется одной единицей», - писал математик Евклид в 300 г. до н. Э.C. Это означает, что простые числа не могут быть равномерно разделены на любое меньшее число, кроме 1. По соглашению математики не считают 1 само по себе простым числом.

      Евклид доказал бесконечность простых чисел - они существуют вечно - но история предполагает, что именно Эратосфен дал нам решето, чтобы быстро составить список простых чисел.

      Вот идея сита. Сначала отфильтруйте числа, кратные 2, затем 3, затем 5, затем 7 - первые четыре простых числа. Если вы сделаете это со всеми числами от 2 до 100, останутся только простые числа.

      При рассеве, кратном 2, 3, 5 и 7, остаются только простые числа от 1 до 100. Предоставлено M.H. Вайсман.

      С помощью восьми шагов фильтрации можно выделить простые числа до 400. С помощью 168 шагов фильтрации можно выделить простые числа до 1 миллиона. В этом сила сита Эратосфена.

      Таблицы и таблицы

      Первым человеком в области составления таблиц для простых чисел является Джон Пелл, английский математик, посвятивший себя созданию таблиц полезных чисел. Он был мотивирован к решению древних арифметических задач Диофанта, а также личным поиском математических истин.Благодаря его усилиям к началу 1700-х годов простые числа до 100000 получили широкое распространение. К 1800 году независимые проекты подсчитали простые числа до 1 миллиона.

      Чтобы автоматизировать утомительные шаги просеивания, немецкий математик Карл Фридрих Гинденбург использовал регулируемые ползунки, чтобы вычеркнуть кратные числа сразу на всей странице таблицы. Другой нетехнологичный, но эффективный подход - использовать трафареты для определения кратных. К середине 1800-х математик Якоб Кулик предпринял амбициозный проект по поиску всех простых чисел до 100 миллионов.

      Трафарет, по которому Кулик просеивал числа, кратные 37. AÖAW, Начласс Кулик, изображение любезно предоставлено Денисом Рогелем.

      Эти «большие данные» 1800-х годов могли бы служить только справочной таблицей, если бы Карл Фридрих Гаусс не решил анализировать простые числа ради них самих. Вооружившись списком простых чисел до 3 миллионов, Гаусс начал считать их, по одной «чилиаде» или группе из 1000 единиц за раз. Он подсчитал простые числа до 1000, затем простые числа от 1000 до 2000, затем от 2000 до 3000 и так далее.

      Гаусс обнаружил, что по мере увеличения счета простые числа постепенно становятся менее частыми в соответствии с законом «обратного логарифма». Закон Гаусса не показывает точное количество простых чисел, но дает довольно хорошую оценку. Например, его закон предсказывает 72 простых числа от 1 000 000 до 1 001 000. Правильный счет - 75 простых чисел, ошибка около 4 процентов.

      Спустя столетие после первых исследований Гаусса его закон был доказан в «теореме о простых числах». Ошибка в процентах приближается к нулю при все большем и большем диапазоне простых чисел.Гипотеза Римана, ставшая сегодня проблемой в миллион долларов, также описывает, насколько точна оценка Гаусса.

      Теорема о простых числах и гипотеза Римана привлекают внимание и деньги, но обе они продолжили более ранний, менее привлекательный анализ данных.

      Современные простые загадки

      Сегодня наши наборы данных поступают из компьютерных программ, а не из вырезанных вручную трафаретов, но математики все еще находят новые шаблоны в простых числах.

      За исключением 2 и 5, все простые числа заканчиваются цифрой 1, 3, 7 или 9.В 1800-х годах было доказано, что эти возможные последние цифры встречаются одинаково часто. Другими словами, если вы посмотрите на простые числа до миллиона, около 25 процентов оканчиваются на 1, 25 процентов заканчиваются на 3, 25 процентов заканчиваются на 7 и 25 процентов заканчиваются на 9.

      Несколько лет назад Стэнфордские теоретики чисел Роберт Лемке Оливер и Каннан Соундарараджан были застигнуты врасплох причудой последних цифр простых чисел. Эксперимент смотрел на последнюю цифру простого числа, а также на последнюю цифру следующего простого числа.Например, следующее простое число после 23 - 29: в последних цифрах отображается 3, а затем 9. Встречается ли 3, а затем 9 чаще, чем 3, затем 7 среди последних цифр простых чисел?

      Частота появления пар последних цифр среди последовательных простых чисел до 100 миллионов. Соответствующие цвета соответствуют совпадающим зазорам. M.H. Вайсман, CC BY

      Теоретики чисел ожидали некоторых вариаций, но то, что они обнаружили, намного превзошло ожидания. Штрих разделен разными пробелами; например, 23 - это шесть цифр от 29.Но простые числа 3, затем 9, такие как 23 и 29, гораздо более распространены, чем простые числа 7, затем 3, даже несмотря на то, что оба появляются с промежутком в шесть.

      Математики вскоре нашли правдоподобное объяснение. Но когда дело доходит до изучения последовательных простых чисел, математики (в основном) ограничиваются анализом данных и убеждением.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *