Онлайн урок: Свойства действий с рациональными числами по предмету Математика 6 класс
Свойства арифметических действий с рациональными числами — это правила, по которым можно обращаться с рациональными числами.
Часто для упрощения математических задач применяют основные свойства арифметических действий.
Все свойства действий с рациональными числами основываются на свойствах действий с целыми числами.
Мы выяснили, что рациональные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.
Но также нам известно, что на множестве рациональных чисел действие вычитание задается как обратное сложению, а действие деления как обратное умножению.
Таким образом, для рациональных чисел остается два основных арифметических действия: сложение и умножение. Свойства, касающиеся вычитания и деления легко выводятся по аналогичным принципам из свойств сложения и умножения, их мы сейчас рассмотрим.
Пусть числа a, b, c, d — некоторые рациональные числа.
Рассмотрим основные свойства действий с этими числами.
Свойства сложения рациональных чисел:
1. Переместительное свойство
При сложении рациональных чисел неважно в каком порядке идут слагаемые.
От перестановки слагаемых местами сумма не меняется.
Пример:Определим значение выражения а + b, если а = 0,5, b = 2,15
Подставим числовые значения а и b в заданное выражение, получим
а + b = 0,5 + 2,15 = 2,65
В заданном выражении а + b поменяем местами слагаемые, в результате
b+ a = 2,15 + 0,5 = 2,65.
Ответ: при перестановке слагаемых сумма выражения осталась прежней, равной 2,65.
2. Сочетательное свойство
Если выражение содержит только действия сложения чисел, то выполнять сложения этих чисел можно в любом порядке.
Эти правила позволяют упрощать вычисления.
Если соединить переместительное и сочетательное свойства сложения, то складывать числа и их группировать можно в любом порядке.
Пример:
Найдите значения выражения а + (b + с), если
а = 7,5
b = 1,2
с = 3,3
Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим
а + (b+ с)
= 7,5 + (1,2 + 3,3) = 7,5 + 4,5 = 12В заданном выражении а + (b+ с) поменяем порядок действий, заключив в скобки первое и второе слагаемые, в результате получим
(а + b) + с = (7,5 + 1,2) + 3,3 = 8,7 + 3,3 = 12
Ответ: при изменении порядка действий в выражении значение суммы осталось прежнее — равное 12.
Свойства умножения рациональных чисел:
Умножение, как и сложение, обладает переместительным и сочетательным свойством
1. Переместительное свойство
При умножении рациональных чисел неважно в каком порядке идут множители.
От перестановки множителей местами произведение не изменяется.
Определим значение выражения \(\mathbf{a \cdot b}\), если а = 0,5, b = 2,1
Подставим числовые значения а и b в заданное выражение, получим
\(\mathbf{a \cdot b = 0,5 \cdot 2,1 = 1,05}\)
В заданном выражении \(\mathbf{a \cdot b}\) поменяем местами множители, в результате
\(\mathbf{b \cdot a = 2,1 \cdot 0,5 = 1,05}\)
Ответ: при перестановке множителей местами произведение осталось прежним, равным 1,05
2. Сочетательное свойство
Если выражение содержит только действия умножения чисел, то выполнять умножение этих чисел можно в любом порядке.
Таким образом, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего множителя.Переместительное и сочетательное свойство умножения позволяют в произведении переставлять и группировать множители в любом порядке, тем самым упрощая математическое выражение.
Пример:
Найдите значения выражения \(\mathbf{a \cdot (b \cdot c)}\), если
\(\mathbf{a = \frac{1}{2}}\)
\(\mathbf{b = \frac{3}{4}}\)
\(\mathbf{c = -\frac{1}{2}}\)
Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим
\(\mathbf{a \cdot (b \cdot c) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{8}) = -\frac{3}{16}}\)
В заданном выражении \(\mathbf{a \cdot (b \cdot c)}\) поменяем порядок действий, заключив в скобки первый и второй множитель, в результате
\(\mathbf{(a \cdot b) \cdot c = (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{16}}\)
Ответ: при изменении порядка действий в выражении значение произведения осталось прежним, равным \(\mathbf{-\frac{3}{16}}\)
Распределительное свойство относительно сложения
Рассмотрим свойство, объединяющее сложение и умножение рациональных чисел.
Для того, чтобы умножить сумму на число, можно сначала умножить первое слагаемое на это число, потом второе слагаемое на это число, а затем полученные результаты сложить.
В буквенном выражении это правило выглядит так:
Правую часть равенства называют правилом раскрытия скобок.
Левую часть данного равенства называют правилом вынесения общего множителя за скобки.
Пример:
Найдите значение выражения \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\), если
\(\mathbf{a = \frac{1}{2}}\)
\(\mathbf{b = \frac{3}{4}}\)
\(\mathbf{c = -\frac{1}{2}}\)
Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим
\(\mathbf{(a + b) \cdot c = (\frac{1}{2} + \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{8}}\)
Применим к данному выражению \(\mathbf{(a \cdot b) \cdot c}\) распределительное свойство умножения относительно сложения.
Раскроем скобки в выражении \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\), умножив первое и второе слагаемое на число с, затем, сложив полученные результаты, получаем выражение вида:
\(\mathbf{a \cdot c + b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} + (-\frac{3}{8}) = -\frac{2}{8} + (-\frac{3}{8}) = -\frac{5}{8}}\)
В нашем примере значение выражения \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\) и значение выражения \(\mathbf{a \cdot c + b \cdot c}\) равны \(\mathbf{-\frac{5}{8}}\), т.е. справедливо равенство \(\mathbf{(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c = -\frac{5}{8}}\)
Середина урока | Начать урок я хочу с вопроса к вам. Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (выслушиваются варианты ответов учеников). (приложение 2) «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». Ал – Бируни. Пусть эти слова станут девизом нашего урока. А сегодня на уроке нам предстоит повторить умения применять свойства умножения. ПОМНИ: Ошибиться не стыдно, стыдно лениться! Товарищу помоги: все, что понял – объясни! На уроке не зевай, чаще руку поднимай! Повторим свайства переместительного и сочетательного свойства умножения рациональных чисел Мини- исследование: (приложение 3) Какими способами можно найти значение произведения?:
Способ 1: Последовательно умножая числа Способ 2: Группируя множители таким образом, чтобы их произведения были целыми числами. — изменилось ли значение произведения? Каким способом удобнее? Повторим свайства переместительного и сочетательного свойства умножения рациональных чисел. (приложение 4) 1)От перестановки множителей значение произведения не меняется а·в=в·а 2)Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. (а·в)·с=а·(в·с) 3)Числовой множитель в алгебраическом выражении называют коэффициентом. (приложение 5) «Карусель» 1 группа 1.Выполните умножение и сделайте вывод: -4·(-0,6) ·25 2. Определите знак произведения и сравните с нулем:
при х = — 7.
х: (- )= — 3,5
(-1,2)+ (-1,2)+ (-1,2)+ (-1,2)+ (-1,2)+ (-1,2) (-1,2) 2 группа 1.Выполните умножение и сделайте вывод: -0,7·9 ·(-100) 2. Определите знак произведения и сравните с нулем —
при х = -8.
х:= -2,5
(-1,9)+ (-1,9)+ (-1,9)+ (-1,9)+ (-1,-9)+ (-1,9) (-1,9) 3 группа 1.Выполните умножение и сделайте вывод: (-2)* (-0,6) ·0,5 2. Определите знак произведения и сравните с нулем:
при х = — 6.
х: (- )= — 4,5
(-1,3)+ (-1,3)+ (-1,3)+ (-1,3)+ (-1,3)+ (-1,3) (-1,3) 4 группа 1.Выполните умножение и сделайте вывод: (-4)* (-0,11) ·0,5 2. Определите знак произведения и сравните с нулем: 3. Найдите значение выражения х3 при х = — 5.
х: (- )= -1,5
(-1,1)+ (-1,1)+ (-1,1)+ (-1,1)+ (-1,1)+ (-1,1) (-1,1) Дескриптор: могут выполнить умножение делая выводы могут сравнить рациональное число и нуль знают правила умножения отрицательных чисел могут находить корень уравнения могут применить свойства умножения рациональных чисел Индивидуальная работа. Для закрепления и оценки усвоения пройденного материала предложить задания(разноуровневые). Каждый выбирает задание по уровню сложности, выполняет самостоятельно. Приложение 6 Выполнить умножение дробей. После окончания выполнения, попросить обменяться тетрадями и проверить у товарища результат. Взаимопроверка по ключу. Собрать информацию о выполнении. Разобрать примеры в которых обнаружились ошибки. А. (-2)+(-2)+(-2)= В. (-9,2)+5,4-0,8= С. (-4/3)+(-4/3)+(-4/3)+(-4/3)+(-4/3)+(-4/3)= Дескриптор: Знают правила раскрытия скобок Могут применить правила сложения отрицательных чисел | Презентация Приложения 2 Презентация Приложения 3 Презентация Приложения 4 Презентация Приложения 5 Учебник. Рабочая тетрадь. Интерактивная доска. Раздаточный материал. Постер, маркеры, Карандаши . Карточки Презентация Приложения 6 Карточки | Конец урока | Домашнее задание Цель:личностное развитие ребёнка, стимулирования интереса к учению, формирование творческого мышления
8. Рефлексия «Все в твоих руках». На листе бумаги обводят левую руку. Каждый палец – это какая-то позиция, по которой надо высказать свое мнение. Цель:учить учащихся объективно оценивать собственную деятельность и деятельность ученика, работающего в паре Действие учителя:побуждать учащихся к рефлексии Действие ученика:фронтально отвечают на вопросы; при ответе учитывать данные, внесенные в лист ответов Оценивание: самооценивание, взаимооценивание, устное оценивание учителя Описание: — Оцените свою деятельность на уроке: М (мизинец) – мыслительный процесс. Какие знания, опыт я сегодня получил(а)? Б (безымянный палец) – близость цели. Что я сегодня сделал(а) и чего достиг(ла)? С (средний палец) – состояние духа. Каким было сегодня мое преобладающее настроение, состояние духа? У (указательный палец) – услуга, помощь. Чем я сегодня помог(ла) и кому? Чем и кого порадовал(а)?Б (большой палец) – бодрость, физическая форма. Каким было мое физическое состояние сегодня? Что я сделал(а) для своего здоровья? — Оцените деятельность ученика, работавшего с вами на уроке в паре. — Молодцы. Вы хорошо поработали на уроке. Спасибо! Урок окончен | На уроке предусмотрена дифференциация в виде работы в разнородных группах (разного уровня обучаемости). Ученики, распределяя в группе задания, самостоятельно выбирают уровень сложности. Дифференциация может быть выражена в подборе заданий, в ожидаемом результате от конкретного ученика, в оказании индивидуальной поддержки учащемуся, в подборе учебного материала и ресурсов с учетом индивидуальных способностей учащихся (Теория множественного интеллекта по Гарднеру). | Предусмотрена взаимопроверка по ключу, в ходе которой оценивается умение учеников применять теоретические знания. В ходе групповой деятельности при выполнении задании оцениваются умение находить результат, а также решать задания на нахождение произведения, опираясь на понятие увеличения или уменьшения величин.
| Мы считали – и устали, Дружно все мы тихо встали. Ручками похлопали, раз, два, три. Ножками потопали, раз, два, три. Сели, встали, встали, сели И друг друга не задели. Мы немножко отдохнем И опять считать начнем. Выше руки! Шире плечи! Раз, два, три! Дыши ровней! От зарядки станешь крепче, Станешь крепче и сильней.
|
Сочетательное и распределительное свойства умножения
Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.
Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3. Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3) * 4.
Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4).
Подсчет клеток на рисунке 143 двумя способами иллюстрирует сочетательное свойство умножения для чисел 5, 3 и 4. Имеем: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
В буквенном виде это свойство записывают так:
(ab)c = a(bc)
Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений.
Например, верны равенства:
abc = cba,
17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3) * (2 * 5).
На рисунке 144 отрезок AB делит рассмотренный выше прямоугольник на прямоугольник и квадрат.
Подсчитаем количество квадратов со стороной 1 см двумя способами.
С одной стороны, в образовавшемся квадрате их содержится 3 * 3, а в прямоугольнике − 3 * 2. Всего получим 3 * 3 + 3 * 2 квадратов. С другой стороны, в каждой из трех строчек данного прямоугольника находится 3 + 2 квадрата. Тогда их общее количество равно 3 * (3 + 2).
Равенсто 3 * (3 + 2) = 3 * 3 + 3 * 2 иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения.
Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
В буквенном виде это свойство записывают так:
a(b + c) = ab + ac
Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что
ab + ac = a(b + c).
Это равенство позволяет формулу P = 2a + 2b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:
P = 2(a + b).
Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:
a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.
Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то
a(b − c) = ab − ac
Пример 1. Вычислите удобным способом:
1) 25 * 867 * 4;
2) 329 * 75 + 329 * 246.
Решение.
1) Используем переместительное, а затме сочетательное свойства умножения:
25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4) = 867 * 100 = 86 700.
2) Имеем:
329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246) = 329 * 1 000 = 329 000.
Пример 2. Упростите выражение:
1) 4a * 3b;
2) 18m − 13m.
Решение.
1) Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получаем:
4a * 3b = (4 * 3) * ab = 12ab.
2) Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получаем:
18m − 13m = m(18 − 13) = m * 5 = 5m.
Пример 3. Запишите выражение 5(2m + 7) так, чтобы оно не содержало скобок.
Решение.
Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения имеем:
5(2m + 7) = 5 * 2m + 5 * 7 = 10m + 35.
Такое преобразование называют раскрытием скобок.
Пример 4. Вычислите удобным способом значение выражения 125 * 24 * 283.
Решение. Имеем:
125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8) * (3 * 283) = 1 000 * 849 = 849 000.
Пример 5. Выполните умножение: 3 сут 18 ч * 6.
Решение. Имеем:
3 сут 18 ч * 6 = 18 сут 108 ч = 22 сут 12 ч.
При решении примера было использовано распределительное свойство умножения относительно сложения:
3 сут 18 ч * 6 = (3 сут + 18 ч) * 6 = 3 сут * 6 + 18 ч * 6 = 18 сут + 108 ч = 18 сут + 96 ч + 12 ч = 18 сут + 4 сут + 12 ч = 22 сут 12 ч.
Свойства умножения рациональных чисел
Есть некоторые свойства умножения рациональных чисел, такие как замыкание, коммутативность, ассоциативность, тождественность и дистрибутивность.
Закрытие собственности
Произведение двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Следовательно, Q замкнуто относительно умножения.
Если a / b и c / d — любые два рациональных числа,
, тогда (a / b) x (c / d) = ac / bd также является рациональным числом.
Пример:
5/9 x 2/9 = 10/81 — рациональное число.
Коммутативная собственность
Умножение рациональных чисел коммутативно.
Если a / b и c / d — любые два рациональных числа,
, тогда (a / b) x (c / d) = (c / d) x (a / b).
5/9 x 2/9 = 10/81
2/9 x 5/9 = 10/81
Следовательно, 5/9 x 2/9 = 2/9 x 5/9
Следовательно, Коммутативность верна для умножения.
Ассоциативная собственность
Умножение рациональных чисел ассоциативно.
Если a / b, c / d и e / f — любые три рациональных числа,
, тогда a / bx (c / dxe / f) = (a / bxc / d) xe / f
Пример:
2/9 x (4/9 x 1/9) = 2/9 x 4/81 = 8/729
(2/9 x 4/9) x 1/9 = 8/81 x 1 / 9 = 8/729
Следовательно, 2/9 x (4/9 x 1/9) = (2/9 x 4/9) x 1/9
Следовательно, свойство ассоциативности верно для умножения.
Мультипликативная идентичность
Произведение любого рационального числа на 1 и есть само рациональное число. «Единица» — это мультипликативное тождество рациональных чисел.
Если a / b — любое рациональное число,
, тогда a / b x 1 = 1 x a / b = a / b
Пример:
5/7 x 1 = 1x 5/7 = 5/7
Распределительная собственность
(i) Распределительное свойство умножения над сложением:
Умножение рациональных чисел является распределительным над сложением.
Если a / b, c / d и e / f — любые три рациональных числа,
, тогда a / bx (c / d + e / f) = a / bxc / d + a / bxe / f
Пример:
1/3 x (2/5 + 1/5) = 1/3 x 3/5 = 1/5
1/3 x (2/5 + 1/5) = 1/3 x 2/5 + 1/3 x 1/5 = (2 + 1) / 15 = 1/5
Следовательно, 1/3 x (2/5 + 1/5) = 1/3 x 2/5 + 1 / 3 x 1/5
Следовательно, умножение является распределительным по сравнению с сложением.
(ii) Распределительное свойство умножения над вычитанием:
Умножение рациональных чисел является распределительным над вычитанием.
Если a / b, c / d и e / f — любые три рациональных числа,
, тогда a / bx (c / d — e / f) = a / bxc / d — a / bxe / f
Пример:
1/3 x (2/5 — 1/5) = 1/3 x 1/5 = 1/15
1/3 x (2/5 — 1/5) = 1/3 x 2/5 — 1/3 x 1/5 = (2 — 1) / 15 = 1/15
Следовательно, 1/3 x (2/5 — 1/5) = 1/3 x 2/5 — 1 / 3 x 1/5
Следовательно, умножение является распределительным по сравнению с вычитанием.
Кроме того, что описано в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.
Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:
Мы всегда ценим ваши отзывы.
Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.
ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ
Задачи со словами HCF и LCM
Задачи со словами на простых уравнениях
Задачи со словами на линейных уравнениях
Задачи со словами на квадратных уравнениях
Алгебраные задачи на 4 слова
Проблемы со словами в поездах
Проблемы со словами по площади и периметру
Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям
Проблемы со словами по цене за единицу
Проблемы со словами по цене за единицу
Word задачи по сравнению ставок
Преобразование общепринятых единиц в текстовые задачи
Преобразование в метрические единицы в текстовых задачах
Word задачи по простому проценту
Word по сложным процентам
Word по типам ngles
Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах
Проблемы со словами с двойными фактами
Проблемы со словами в тригонометрии
Проблемы со словами в процентах
Проблемы со словами о прибылях и убытках
Разметка и разметка Задачи
Задачи с десятичными словами
Задачи со словами о дробях
Задачи со словами о смешанных фракциях
Одношаговые задачи с уравнениями со словами
Проблемы со словами о линейных неравенствах
Соотношение и пропорции Задачи со словами
Проблемы со временем и рабочими словами
Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна
Проблемы со словами на возрастах
Проблемы со словами по теореме Пифагора
Процент числового слова pr проблемы
Проблемы со словами при постоянной скорости
Проблемы со словами при средней скорости
Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов
ДРУГИЕ ТЕМЫ
Сокращения прибылей и убытков
Сокращение в процентах
Сокращение в таблице времен
Сокращение времени, скорости и расстояния
Сокращение соотношения и пропорции
Домен и диапазон рациональных функций
Домен и диапазон рациональных функций функции с отверстиями
График рациональных функций
График рациональных функций с отверстиями
Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби
Десятичное представление рациональных чисел
Нахождение квадратного корня с помощью long di зрение
L.Метод CM для решения временных и рабочих задач
Преобразование задач со словами в алгебраические выражения
Остаток при делении 2 в степени 256 на 17
Остаток при делении 17 в степени 23 на 16
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8
Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4
Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами
Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3
Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6
Свойства вычитания рациональных чисел
Есть некоторые свойства вычитания рациональных чисел, такие как замыкание, коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.
Закрытие собственности
Разница между любыми двумя рациональными числами всегда является рациональным числом.
Следовательно, Q закрывается при вычитании.
Если a / b и c / d — любые два рациональных числа, то (a / b) — (c / d) также является рациональным числом.
Пример:
5/9 — 2/9 = 3/9 = 1/3 — рациональное число.
Коммутативная собственность
Вычитание двух рациональных чисел не коммутативно.
Если a / b и c / d — любые два рациональных числа,
, тогда (a / b) — (c / d) ≠ (c / d) — (a / b)
Пример:
5/9 — 2/9 = 3/9 = 1/3
2/9 — 5/9 = -3/9 = -1/3
Следовательно, 5/9 — 2/9 ≠ 2/9 — 5/9
Следовательно, свойство коммутативности неверно для вычитания.
Ассоциативная собственность
Вычитание рациональных чисел не ассоциативно.
Если a / b, c / d и e / f — любые три рациональных числа,
, тогда a / b — (c / d — e / f) ≠ (a / b — c / d) — e / f
Пример:
2/9 — (4/9 — 1/9) = 2/9 — 3/9 = -1/9
(2/9 — 4/9) — 1/9 = -2/9 — 1/9 = -3/9
Следовательно, 2/9 — (4/9 — 1/9) ≠ (2/9 — 4/9) — 1/9
Следовательно, ассоциативный свойство не верно для вычитания.
Распределительная собственность
Распределительное свойство умножения над вычитанием:
Умножение рациональных чисел является распределительным над вычитанием.
Если a / b, c / d и e / f — любые три рациональных числа,
, тогда a / bx (c / d — e / f) = a / bxc / d — a / bxe / f
Пример:
1/3 x (2/5 — 1/5) = 1/3 x 1/5 = 1/15
1/3 x (2/5 — 1/5) = 1/3 x 2/5 — 1/3 x 1/5 = (2 — 1) / 15 = 1/15
Следовательно, 1/3 x (2/5 — 1/5) = 1/3 x 2/5 — 1 / 3 x 1/5
Следовательно, умножение является распределительным по сравнению с вычитанием.
Кроме того, что описано в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.
Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:
Мы всегда ценим ваши отзывы.
Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.
ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ
Задачи со словами HCF и LCM
Задачи со словами на простых уравнениях
Задачи со словами на линейных уравнениях
Задачи со словами на квадратных уравнениях
Алгебраные задачи на 4 слова
Проблемы со словами в поездах
Проблемы со словами по площади и периметру
Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям
Проблемы со словами по цене за единицу
Проблемы со словами по цене за единицу
Word задачи по сравнению ставок
Преобразование общепринятых единиц в текстовые задачи
Преобразование в метрические единицы в текстовых задачах
Word задачи по простому проценту
Word по сложным процентам
Word по типам ngles
Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах
Проблемы со словами с двойными фактами
Проблемы со словами в тригонометрии
Проблемы со словами в процентах
Проблемы со словами о прибылях и убытках
Разметка и разметка Задачи
Задачи с десятичными словами
Задачи со словами о дробях
Задачи со словами о смешанных фракциях
Одношаговые задачи с уравнениями со словами
Проблемы со словами о линейных неравенствах
Соотношение и пропорции Задачи со словами
Проблемы со временем и рабочими словами
Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна
Проблемы со словами на возрастах
Проблемы со словами по теореме Пифагора
Процент числового слова pr проблемы
Проблемы со словами при постоянной скорости
Проблемы со словами при средней скорости
Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов
ДРУГИЕ ТЕМЫ
Сокращения прибылей и убытков
Сокращение в процентах
Сокращение в таблице времен
Сокращение времени, скорости и расстояния
Сокращение соотношения и пропорции
Домен и диапазон рациональных функций
Домен и диапазон рациональных функций функции с отверстиями
График рациональных функций
График рациональных функций с отверстиями
Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби
Десятичное представление рациональных чисел
Нахождение квадратного корня с помощью long di зрение
L.Метод CM для решения временных и рабочих задач
Преобразование задач со словами в алгебраические выражения
Остаток при делении 2 в степени 256 на 17
Остаток при делении 17 в степени 23 на 16
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8
Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4
Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами
Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3
Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6
3.4 Умножение и деление рациональных чисел
3.1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
3.1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА На предыдущих курсах вы научились работать (выполнять сложение, вычитание, умножение и деление) над рациональными числами (дробями).Рациональные числа
Дополнительная информацияОтрицательные целые показатели
7.7 Отрицательные целые показатели 7.7 ЗАДАЧИ. Определите нулевую экспоненту 2. Используйте определение отрицательной экспоненты, чтобы упростить выражение 3. Используйте свойства экспоненты, чтобы упростить выражения
Дополнительная информацияУпрощение алгебраических дробей
5.Упрощение алгебраических дробей 5. ЦЕЛИ. Найдите GCF для двух одночленов и упростите дробь 2. Найдите GCF для двух многочленов и упростите дробь Большая часть нашей работы с алгебраическими дробями
Дополнительная информацияФинансовая математика
Финансовая математика В течение следующих нескольких недель мы будем изучать математику финансов. Помимо базовой арифметики, финансовая математика, вероятно, является наиболее практичной математикой, которую вы изучаете.практично в
Дополнительная информацияРаздел 4.1 Правила экспонентов
Раздел 4.1. Правила экспонент ЗНАЧЕНИЕ ЭКСПОНЕНТЫ Показатель — это сокращение от повторного умножения. Повторяющееся число называется фактором. x n означает n факторов x. Показатель показывает
Дополнительная информацияГлава 4 — Десятичные дроби
Глава 4 — Десятичные знаки $ 34.99 десятичное представление пр. Стоимость объекта. напр. Остаток на вашем банковском счете ex. Сумма задолженности ex. Налог на покупку. Так же, как значение места целых чисел — 1,23456789
Дополнительная информация47 Числитель Знаменатель
JH WEEKLIES ВЫПУСК № 22 2012-2013 Математика Дроби Математикам часто приходится иметь дело с числами, которые не являются целыми числами (1, 2, 3 и т. Д.). Предпочтительный способ представления этих частичных чисел (рациональное число
Дополнительная информацияДобро пожаловать в раздел «Базовые математические навыки»!
Базовые математические навыки Добро пожаловать в базовые математические навыки! Большинство студентов считают математические разделы самыми сложными.Базовые навыки математики были разработаны, чтобы освежить в памяти основы математики. Есть лоты
Дополнительная информацияЕвклидов алгоритм
Алгоритм Евклида МЕТОД НАЙТИ НАИЛУЧШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ДВУХ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Чтобы добиться успеха при использовании этого метода, вы должны знать, как делить. Если это то что у вас
Дополнительная информацияВведение в дроби
Раздел 0.6 Содержание: Словарь дробей A Дробь как деление Неопределенные значения Первые правила дробей Эквивалентные дроби Построение дробей СЛОВАРЬ дробей Упрощение умножения дробей
Дополнительная информацияПолезные системы счисления
Полезные системы счисления Десятичное основание = 10-значный набор = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} двоичное основание = 2-значный набор = {0, 1} восьмеричное основание = 8 = 2 3 Набор цифр = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Шестнадцатеричное основание = 16 = 2
Дополнительная информацияГлава 11 Теория чисел
Глава 11 Теория чисел Теория чисел — один из старейших разделов математики.Многие годы люди, изучавшие теорию чисел, восхищались ее чистой природой, потому что практических приложений было мало
Дополнительная информацияУПРОЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФРАКЦИЙ
Общественный колледж Таллахасси 5 УПРОЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ Дробей В арифметике вы узнали, что дробь имеет простейшую форму, если наибольший общий множитель (GCF) числителя и знаменателя равен
Дополнительная информацияГлава 5.Рациональные выражения
5 .. Упростите рациональные выражения Стандарты KYOTE: CR; CA 7 Глава 5. Определение рациональных выражений. Рациональное выражение — это частное P Q двух многочленов P и Q от одной или нескольких переменных, где
Дополнительная информацияФакторинг целых чисел
2.2 Разложение целых чисел на множители 2.2 ЗАДАЧИ 1. Найдите делители целого числа 2. Найдите разложение на простые множители для любого числа 3.Найдите наибольший общий делитель (GCF) двух чисел 4. Найдите GCF для
Дополнительная информацияПредварительная математика
Предварительная математика Цель этого документа — дать вам освежить некоторые темы, которые будут важны для того, что мы делаем в этом классе. Мы начнем с дробей, десятичных знаков и
. Дополнительная информацияРуководство по арифметике Accuplacer
Руководство для изучения арифметики Accuplacer Раздел первый: Числитель терминов: число в верхней части дроби, которое показывает, сколько частей у вас есть.Знаменатель: число в нижней части дроби, указывающее, как
Дополнительная информацияВВЕДЕНИЕ В ФРАКЦИИ
Колледж Таллахасси 16 ВВЕДЕНИЕ В ФРАКЦИИ Рисунок A (Используйте для 1 5) 1. Сколько частей в этом круге ?. Сколько частей круга заштриховано ?. Какая дробная часть круга
Дополнительная информацияДроби в десятичные дроби
Рабочий лист.4 Раздел «Дроби и десятичные дроби» Дроби в десятичные дроби Наиболее распространенный метод преобразования дробей в десятичные — использование калькулятора. Дробь представляет собой деление, поэтому это еще один способ
Дополнительная информацияМОДУЛЬ ФРАКЦИЙ Часть I
МОДУЛЬ ДРОБЕЙ Часть I I. Основы дробей II. Переписывание дробей с наименьшими значениями III. Превратите неправильную дробь в смешанное число IV. Измените смешанное число на BMR неправильной дроби.Дроби
Дополнительная информацияMATH-0910 Обзор концепций (Haugen)
Раздел 1 Целые числа и дроби MATH-0910 Обзор концепций (Haugen) Экзамен 1 Разделы 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 и 2.5 Деление целых чисел Эквивалентные способы выражения деления: a b,
Дополнительная информацияРадикалы — рациональные экспоненты
8.Радикалы — рациональные экспоненты Цель: преобразовать радикальную нотацию в экспоненциальную и упростить выражения с рациональными показателями, используя свойства показателей. Когда мы упрощаем
Дополнительная информацияПакет компетенций фракции
Пакет компетенций Fraction Разработан: Нэнси Туфо Пересмотрено 00: Центр поддержки студентов Шэрин Суини Общественный колледж Северного берега Чтобы использовать этот буклет, просмотрите глоссарий, изучите примеры, затем работайте
Дополнительная информацияЭто в ваших интересах
СТУДЕНЧЕСКИЙ МОДУЛЬ 7.2 ПОЛУЧЕНИЕ ДЕНЕГ СТРАНИЦА 1 Стандарт 7: Учащийся определит процедуры и проанализирует обязанности по заимствованию денег. Это в ваших интересах Джейсон не понимал, как это
Дополнительная информацияРешение рациональных уравнений
Урок M Урок: Результаты учащихся Учащиеся решают рациональные уравнения, наблюдая за созданием посторонних решений. Примечания к уроку На предыдущих уроках учащиеся научились складывать, вычитать, умножать
Дополнительная информацияУПРОЩЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ
40 (8-8) Глава 8 Силы и корни 8.УПРОЩЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ В этом разделе Использование правила произведения Рационализация упрощенной формы квадратного корня знаменателем В разделе 8 вы научились упрощать
Дополнительная информацияc сигма и CEMTL
c sigma и CEMTL Предисловие Региональный центр передового опыта в области преподавания и обучения математике (CEMTL) является результатом сотрудничества партнеров консорциума Шеннон: Университет Лимерика, Технологический институт,
Дополнительная информацияУмножение десятичных знаков
4.3 Умножение десятичных знаков 4.3 ЗАДАЧИ 1. Умножение двух или более десятичных знаков 2. Используйте умножение десятичных знаков для решения прикладных задач 3. Умножайте десятичную дробь на степень десяти 4. Используйте умножение на
Дополнительная информацияМАТЕМАТИКА 90 ГЛАВА 1 Имя :.
МАТЕМАТИКА 90 ГЛАВА 1 Имя :. 1.1 Введение в алгебру Необходимо знать, что такое алгебраические выражения? Перевод выражений уравнений Что такое алгебра? Они говорят, что единственное, что остается неизменным, — это изменения.
Дополнительная информацияПакет фракций. Содержание
Дроби Содержание пакета Введение в дроби .. страница Уменьшение дробей .. страница Сортировка дробей страница Умножение и деление дробей страница Сложение и вычитание дробей .. страница Ключи ответов ..
Дополнительная информацияВременная стоимость денег 1
Временная стоимость денег 1 Эта тема знакомит вас с анализом компромиссов во времени.Финансовые решения связаны с расходами и выгодами, распределенными во времени. Лица, принимающие финансовые решения в домохозяйствах
Дополнительная информацияД-р Брайан Бодри стр. 1
Умножение десятичной дроби Имя: Умножение десятичной дроби на целое число может быть представлено моделью повторного сложения. Например, 3 0,14 означает трижды сложить 0,14, перегруппировать и упростить
. Дополнительная информацияЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ.Уильям Столлингс
СИСТЕМЫ ЧИСЛОВ Уильям Сталлингс Десятичная система … Двоичная система … 3 Преобразование между двоичной и десятичной системой … 3 Целые числа … 4 Дроби … 5 Шестнадцатеричное представление … 6 Этот документ доступен на WilliamStallings.com/ StudentSupport.html
Дополнительная информацияОценка инвестиций ВВЕДЕНИЕ
8 Оценка инвестиций ВВЕДЕНИЕ После прочтения главы вы должны: понять, что подразумевается под временной стоимостью денег; уметь проводить анализ дисконтированных денежных потоков для оценки жизнеспособности
Дополнительная информацияГрафическое отображение рациональных функций
Графическое изображение рациональных функций Здесь рациональная функция определяется как функция, которая равна отношению двух многочленов p (x) / q (x), таких, что степень q (x) равна не менее 1.Примеры: — рациональная функция
Дополнительная информация1.6 Деление целых чисел
1.6 Деление целых чисел 1.6 ЗАДАЧИ 1. Используйте повторное вычитание для деления целых чисел 2. Проверьте результаты задачи деления 3. Разделите целые числа с помощью длинного деления 4. Оцените частное
Дополнительная информация1. Ложка дегтя
Возвращение к арифметике. Урок 5: Десятичные дроби или расширенное разрядное значение. Часть 5: Деление десятичных дробей. Часть 2.Ложка дегтя Значение, скажем, 2 не зависит от того, представляем ли мы
. Дополнительная информацияФРАКЦИИ ОПЕРАЦИИ
Операции с дробями Резюме 1. Элементы дроби … 1. Эквивалентные дроби … 1. Упрощение дроби … 4. Правила сложения и вычитания дробей … 5. Правило умножения двух дробей …
Дополнительная информацияРациональные числа
Рациональное число можно получить путем деления двух целых чисел.
(Целое число — это число без дробной части.)
Пример:
1,5 — рациональное число , потому что 1,5 = 3/2 (3 и 2 — целые числа)
Большинство чисел, которые мы используем в повседневной жизни, — это рациональные числа.
Вот еще несколько примеров:
| Номер | В виде фракции | Рационально? |
|---|---|---|
| 5 | 1/5 | Есть |
| 1.75 | 7/4 | Есть |
| 0,001 | 1/1000 | Есть |
| -0,1 | -1/10 | Есть |
| 0,111 … | 1/9 | Есть |
| √2 (корень квадратный из 2) | ? | НЕТ! |
Ой! Квадратный корень из 2 нельзя записать простой дробью! И таких чисел намного больше, и поскольку они нерациональны, их называют иррациональными.
Еще одно известное иррациональное число — это Пи (π):
.Формальное определение рационального числа
Более формально мы говорим:
Рациональное число — это число, которое может иметь форму p / q
, где p и q — целые числа, а q не равно нулю.
Итак, рациональное число может быть:
Где q не равно нулю
Примеры:
| п | q | п / д | = |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1/1 | 1 |
| 1 | 2 | 1/2 | 0.5 |
| 55 | 100 | 55/100 | 0,55 |
| 1 | 1000 | 1/1000 | 0,001 |
| 253 | 10 | 253/10 | 25,3 |
| 7 | 0 | 7/0 | Нет! «q» не может быть нулем! |
Просто помните: q не может быть нулем
Использование рациональных чисел
Интересные факты….
Древнегреческий математик Пифагор считал, что все числа рациональны, но один из его учеников Гиппас доказал (считается, используя геометрию), что можно записать квадратный корень из 2 как , а не дробь, и так было иррационально .
Но последователи Пифагора не могли согласиться с существованием иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас был утоплен в море в наказание богов!
Комплексные числа
Комплексный номер
Комплексное число — это комбинация действительного числа
и мнимого числа
Реальные числа — это числа вроде:
| 1 | 12.38 | -0,8625 | 3/4 | √2 | 1998 |
Практически любое число, которое вы можете придумать, является действительным числом!
Мнимые числа, когда возводят в квадрат , дают отрицательный результат .
Обычно этого не происходит, потому что:
Но только представьте, что такие числа существуют, потому что они нам нужны.
Давайте поговорим еще о мнимых числах …
«Единичное» мнимое число (например, 1 для действительных чисел) — это i, который является квадратным корнем из −1
Потому что, возводя i в квадрат, мы получаем −1
я 2 = -1
Примеры воображаемых чисел:
| 3i | 1.04i | −2,8i | 3i / 4 | (√2) я | 1998i |
И мы оставляем там маленькое «i», чтобы напоминать нам, что нам нужно умножить на √ − 1
Комплексные числа
Когда мы объединяем действительное число и мнимое число, мы получаем комплексное число :
Примеры:
| 1 + я | 39 + 3i | 0,8 — 2,2i | −2 + πi | √2 + я / 2 |
Может ли число быть комбинацией двух чисел?
Можем ли мы составить одно из двух других чисел? Мы можем точно!
Мы постоянно используем дроби.Дробь 3 / 8 — это число, состоящее из 3 и 8. Мы знаем, что это означает «3 из 8 равных частей».
Ну, комплексное число — это всего лишь , два числа, сложенные вместе (действительное и мнимое число).
Любая часть может быть нулевой
Итак, комплексное число имеет действительную и мнимую части.
Но любая часть может быть 0 , поэтому все действительные числа и мнимые числа также являются комплексными числами.
| Комплексное число | Реальная часть | Воображаемая часть | |
|---|---|---|---|
| 3 + 2i | 3 | 2 | |
| 5 | 5 | 0 | Чисто Настоящее |
| −6i | 0 | −6 | Чисто воображаемое |
Сложно?
Сложный не означает , а не означает сложный.
Это означает, что два типа чисел, действительные и мнимые, вместе образуют комплекс , точно так же, как комплекс зданий (здания, соединенные вместе).
A Визуальное объяснение
Вы знаете, как идет числовая прямая слева направо ?
Что ж, пусть воображаемые числа идут вверх-вниз :
И получаем сложный самолет
Теперь можно отображать комплексное число в виде точки:
Комплекс №3 + 4 и
Добавление
Чтобы сложить два комплексных числа, складываем каждую часть отдельно:
(a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i
Пример: сложите комплексные числа 3 + 2 i и 1 + 7 i
- сложите действительные числа и
- сложите мнимые числа:
(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 7) i
= 4 + 9i
Попробуем еще:
Пример: сложите комплексные числа 3 + 5 i и 4 — 3 i
(3 + 5 i ) + (4 — 3 i )
= 3 + 4 + (5 — 3) i
= 7 + 2 i
В комплексной плоскости это:
Умножение
Для умножения комплексных чисел:
Каждая часть первого комплексного числа умножается на
каждая часть второго комплексного числа
Просто используйте «FOIL», что означает « F irsts, O uters, I nners, L assts» (см. Биномиальное умножение для более подробной информации):
| |
(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2 | |
Как это:
Пример: (3 + 2i) (1 + 7i)
(3 + 2i) (1 + 7i) = 3 × 1 + 3 × 7i + 2i × 1 + 2i × 7i
= 3 + 21i + 2i + 14i 2
= 3 + 21i + 2i — 14 (потому что i 2 = −1)
= −11 + 23i
А это:
Пример: (1 + i) 2
(1 + я) (1 + я) = 1 × 1 + 1 × я + 1 × я + я 2
= 1 + 2i — 1 (потому что i 2 = −1)
= 0 + 2i
Но есть способ быстрее!
Используйте это правило:
(a + b i ) (c + d i ) = (ac − bd) + (ad + bc) i
Пример: (3 + 2i) (1 + 7i) = (3 × 1 — 2 × 7) + (3 × 7 + 2 × 1) i = −11 + 23i
Комплексные числа: умножение
Комплексные числа: умножениеУмножение производится алгебраически.
Сложное умножение — сложная операция для понимания с алгебраической или геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически, а для умножения возьмем определенные комплексные числа, например 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом есть два члена, поэтому, когда мы их умножим, мы получим четыре члена: (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) = 3 + 12 i + 2 i + 8 i 2 .Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, конечно.А как насчет 8 i 2 ? Помните, что мы ввели i как сокращение для √ – 1, квадратного корня из –1. Другими словами, i — это то, что имеет квадрат –1. Таким образом, 8 i 2 равно –8. Следовательно, произведение (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) равно –5 + 14 i.
Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения
Помните, что ( xu — yv ), действительная часть продукта, является произведением реальных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ) мнимая часть произведение, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.
Давайте посмотрим на некоторые частные случаи умножения.
Умножение комплексного числа на действительное
В приведенной выше формуле умножения, если v равно нулю, вы получите формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе: ( x + yi ) u = xu + yu i .Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число.Например, 2 умножить на 3 + i будет просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваиваете расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и z. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C на коэффициент 2 от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C в сторону 0.
Умножение и абсолютное значение.
Несмотря на то, что мы сделали только один случай умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (т.е. расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение ш. Это было тогда, когда w было действительным числом u чуть выше. На самом деле это так в целом:Проверка этого тождества — это упражнение по алгебре.Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не придется иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | zw | 2 = | z | 2 | w | 2 . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда по формуле умножения zw равно ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i. Вспомните из раздела об абсолютных величинах, что
| z | 2 = x 2 + y 2Аналогично имеем
| w | 2 = u 2 + v 2и, поскольку zw = ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i,
| wz | 2 = ( xu — yv ) 2 + ( xv + yu ) 2Итак, чтобы показать | zw | 2 = | z | 2 | w | 2 , все, что вам нужно сделать, это показать, что
( xu — yv ) 2 + ( xv + yu ) 2 = ( x 2 + y 2 ) ( u 925290 + v 2 )и это простое упражнение по алгебре.
Полномочия i.
В следующем частном случае умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i 2 = –1. А как насчет i 3 ? Это всего лишь i 2 умноженное на i , то есть –1 умноженное на i. Следовательно, i 3 = — i. Это интересно: куб i — это собственное отрицание.Затем рассмотрим i 4 . Это квадрат i 2 , то есть квадрат –1. Итак, i 4 = 1. Другими словами, i — это корень четвертой степени из 1. Вы можете показать, что — i — это еще один корень четвертой степени из 1. И поскольку и –1, и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, –1 и — i. Это наблюдение связано с фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z 4 = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.Более высокие степени i теперь легко найти, когда мы знаем i 4 = 1. Например, i 5 равно i умножить на i 4 , и это всего лишь i. . Вы можете уменьшить степень i на 4 и не изменять результат. Другой пример: i 11 = i 7 = i 3 = — i.
Как насчет отрицательной степени i ? Что является обратным для i, то есть i –1 ? По той же причине, что вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i –1 = i 3 = — i. Таким образом, величина, обратная i — i. Представьте себе — число, обратное значение которого есть собственное отрицание! Конечно, легко проверить, что i раз — i равно 1, поэтому, конечно, i и — i являются обратными величинами.
Корни единства.
Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, по Фундаментальной теореме алгебры количество n корней -й степени из единицы равно n, , поскольку существует n корней уравнения n -й степени z u — 1 = 0.Квадратные корни из единицы равны 1 и –1. Корни четвертой степени равны ± 1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе, посвященном абсолютным значениям. Кроме того, в этом разделе было упомянуто, что ± √2 / 2 ± i √2 / 2 были квадратными корнями из i и — i, и теперь с формулой умножения, которую легко проверить. Следовательно, восемь корней восьми из единицы равны ± 1, ± i, и ± √2 / 2 ± i √2 / 2. Обратите внимание на то, как эти восемь корней единицы равномерно расположены по единичной окружности. Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте их немного подождем.
Умножение комплексного числа на i.
В нашей цели по поиску геометрической интерпретации комплексного умножения, давайте теперь рассмотрим умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i. z i = ( x + yi ) i = — y + xi .Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на x единиц справа от мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z i расположена на y единиц слева и x единиц выше. Произошло то, что умножение на i повернулось в точку z на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат до точки z i. Короче говоря, умножение на i дает поворот на 90 ° против часовой стрелки на 0.
Вы можете проанализировать, что умножение на — i делает таким же образом. Вы обнаружите, что умножение на — i дает поворот на 90 ° по часовой стрелке вокруг 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, которое подразумевается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на — i дает поворот на –90 ° вокруг 0 или, если хотите, поворот на 270 ° вокруг 0.
Геометрическая интерпретация умножения.
Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока посмотрим на результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения: один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, другой на и , что приводит к вращению. Общий случай — это комбинация масштабирования и вращения.Пусть z и w — точки на комплексной плоскости C .Проведите линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих строк — абсолютные значения | z | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | zw | что равно | z | | Вт |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг затенен.) Чего мы не знаем, так это направления линии от 0 до zw.
Ответ: «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z под определенным углом, называемым аргументом из z , иногда обозначаемым arg ( z ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — прямая от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg ( w ).Тогда произведение zw будет иметь угол, который является суммой углов arg ( z ) + arg ( w ). (На диаграмме arg ( z ) составляет около 20 °, а arg ( w ) составляет около 45 °, поэтому arg ( zw ) должно быть около 65 °.