Контрольная работа номер 3 тема умножение дробей: Математика 6 Виленкин Контрольная 3 + ОТВЕТЫ

Содержание

Математика 6 Виленкин Контрольная 3 + ОТВЕТЫ

Контрольная работа по математике 6 класс Виленкин с ответами «Умножение дробей. Нахождение дроби от числа» (4 варианта). Цитаты из пособия «Дидактические материалы по математике 6 класс к учебнику Н.Я. Виленкина и др. «Математика 6 класс» ФГОС (к новому учебнику) / М.А. Попов — М.: Издательство «Экзамен», 2017» использованы в учебных целях. Математика 6 Виленкин Контрольная 3. Проверочные работы ориентированы на школьный учебник Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд «Математика 6 класс». Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.

Математика 6 класс (Виленкин)
Контрольная работа № 3

Умножение дробей. Нахождение дроби от числа.
Применение распределительного свойства умножения. Взаимно обратные числа

КР-03. Вариант 3 (транскрипт)

1. Выполните умножение: a) 3/5 • 4/9; б) 2/9 • 18/25.
2. Выполните действия: 2/5 • (13/14 — 4/1).
3. Найдите значение выражения: (2/3 + 5/7) • 42.
4. Токарь выточил за час работы 15 деталей, что составило 1/4 плана. За второй час он выточил 2/3 от оставшейся части плана, за третий час — оставшуюся часть плана. Сколько деталей выточил токарь за первый и третий часы работы?

5. Найдите значение выражения:
6. Найдите сумму всех трехзначных чисел, одновременно кратных 53 и 11.

КР-03. Вариант 4 (транскрипт)

1. Выполните умножение: a) 3/10 • 5/8; б) 5/6 • 3/11.
2. Выполните действия 2/7 • (5/8 — 3/16).
3. Найдите значение выражения: (2/9 — 1/7) • 63.
4. За первый час автобус проехал 2/5 маршрута, за второй час — 1/3 оставшейся части маршрута. В конце третьего часа автобус прибыл в пункт назначения. Сколько процентов маршрута проехал автобус за третий час?
5. Найдите значение выражения:
6. Найдите сумму всех трехзначных чисел, одновременно кратных 43 и 11.

 

ОТВЕТЫ на контрольную работу

 


Вы смотрели: Контрольная работа по математике 6 класс Виленкин «Умножение дробей. Нахождение дроби от числа» с ответами (4 варианта). Цитаты из пособия «Дидактические материалы по математике 6 класс к учебнику Н.Я. Виленкина и др. «Математика 6 класс» (к новому учебнику) / М.А. Попов — М.: Издательство «Экзамен», 2017» использованы в учебных целях. Математика 6 Виленкин Контрольная 3. Проверочные работы ориентированы на школьный учебник Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд «Математика 6 класс».

Вернуться к Списку контрольных работ по математике в 6 классе по УМК Виленкин и др.

 

Математика 6 Мерзляк Контрольная работа 3

Математика 6 Мерзляк Контрольная работа 3

Математика 6 Мерзляк Контрольная работа 3 «Умножение дробей» + Ответы. Решения вопросов и задач из учебного пособия «Дидактические материалы по математике 6 класс», которое используется в комплекте с учебником «Математика. 6 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир). Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.

 


Вариант 1. ВОПРОСЫ:
  1. Выполните умножение: 1) 5/8 • 4/15; 2) 6 ¾ • 1 11/45; 3) 11/18 • 36.
  2. В классе 24 учащихся, из них 3/8 составляют мальчики. Сколько мальчиков учится в классе?
  3. Найдите значение выражения (4 – 11/33 • 1 1/21) • 5 5/8.
  4. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 10 2/3 см, его длина в 1 7/8 раза больше ширины, а высота составляет 15 % длины. Вычислите объём параллелепипеда.
  5. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом: 3 3/8 • 3 1/5 + 3 1/5 • 1 5/12 – 4 1/6 • 3 1/5.
  6. Между тремя школами распределили деньги на приобретение компьютеров. Первая школа получила 5/18 всей суммы, вторая – 6/13 оставшейся части денег, а третья – остальное. Какая из школ получила большую сумму денег?
Вариант 2. ВОПРОСЫ:
  1. Выполните умножение: 1) 4/27 • 9/16; 2) 5 3/5 • 1 4/21; 3) 13/16 • 32.
  2. Вика купила 56 тетрадей, из них 4/7 составили тетради в клетку. Сколько тетрадей в клетку купила Вика?
  3. Найдите значение выражения (3 – 15/28 • 1 1/6) • 2 2/19.
  4. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 6 2/3 см, его длина в 2 1/4 раза больше высоты, а ширина составляет 20 % длины. Вычислите объём параллелепипеда.
  5. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом: 1 1/2 • 2 10/13 + 2 3/4 • 2 10/13 – 2 10/13 • 3 1/6.
  1. Яблони составляют 7/24 деревьев, растущих в саду, вишни – 9/17 оставшихся деревьев, а остальные деревья – груши. Каких деревьев в саду растёт больше всего?

 

Ответы на контрольную работу

КР-03. Вариант 1. ОТВЕТЫ:

№1.  
№2.   Ответ: 9 мальчиков
№3.   Ответ: 20
№4.   Ответ: 640 см3
№5.   Ответ: 2
№6.   Ответ: 3-я школа (получила больше)


КР-03. Вариант 2. ОТВЕТЫ:

№1.  
№2.   Ответ: 32 тетради
№3.   Ответ: 5
№4.   Ответ: 300 см3
№5.   Ответ: 3
№6.   Ответ: вишни (больше)

 


Вы смотрели: Математика 6 Мерзляк Контрольная работа 3 «Умножение дробей» + Ответы. Выберите дальнейшие действия:


Контрольная работа по теме "Умножение и деление дробей" для 5 класса

4.     Если в ответе обыкновенная дробь, то запишите её в несократимом виде через черту / (например, 2/3). Если в ответе смешанная дробь, то запишите

Контрольная работа №7 (5 класс)                                целую часть через пробел от дробной: 5 1/2 *

Тема "Умножение и деление обыкновенных дробей" * Обязательно

1.          Фамилия, Имя, класс (например, Иванов Петя, 5"Е" класс) *

                                                                                                                           2. Выполните действия:

1.        Вычислите:     5.             Если в ответе обыкновенная дробь, то запишите её в несократимом виде

через черту / (например, 2/3). Если в ответе смешанная дробь, то запишите

2.       


Если в ответе обыкновенная дробь, то запишите её в несократимом виде                целую часть через пробел от дробной: 5 1/2 * через черту / (например, 2/3). Если в ответе смешанная дробь, то запишите целую часть через пробел от дробной: 5 1/2 *              

                                                                                                                           2. Выполните действия:

1. Вычислите:

6.  Если в ответе обыкновенная дробь, то запишите её в несократимом виде через черту / (например, 2/3). Если в ответе смешанная дробь, то запишите 3. Если в ответе обыкновенная дробь, то запишите её в несократимом виде     целую часть через пробел от дробной: 5 1/2 * через черту / (например, 2/3). Если в ответе смешанная дробь, то запишите целую часть через пробел от дробной: 5 1/2 *           

                                                                                                                          Решите задачу:

1. Вычислите:                                                                                                                                                                     7.      В ответ запишите только число. *

Решите задачу:

Выполните задание:

9.     Если в ответе обыкновенная дробь, то запишите её в несократимом виде через черту / (например, 2/3). Если в ответе смешанная дробь, то запишите целую часть через пробел от дробной: 5 1/2 *

Компания Google не имеет никакого отношения к этому контенту.

 

Тест с ответами на тему: “Умножение дробей”

1. Чтобы умножить дробь на дробь, надо:
а) найти произведение числителей и знаменателей этих дробей +

б) найти сумму числителей этих дробей, а знаменатели перемножить
в) найти сумму числителей и знаменателей дробей

2. Вычислите 4/5 х 3/4:
а) 3/15
б) 3/5 +
в) 12/5

3. Выполните умножение 2/3 х 4/7:
а) 6/10
б) 26/21
в) 8/21 +

4. Вычислите 2/5 х 2 1/2:
а) 1 +
б) 11
в) 3

5. Выполните умножение 3/11 х 3:
а) 3/33
б) 6/11
в) 9/11 +

6. Вычислите 3/8 х 3:
а) 3/24
б) 1 1/8 +
в) 9/24

7. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо:
а) ее числитель и знаменатель умножить на это число
б) ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения
в) ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения +

8. Вычислите 2/5 х 4/7:
а) 8/35 +
б) 2/35
в) 2/12

9. Выполните умножение 1/6 х 3/5:
а) 3/30
б) 4/11
в) 1/10 +

10. Вычислите 10 х 1/2:
а) 10/2
б) 5 +
в) 20

11. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 1/3 м и 2/5 м:
а) 2/15 кв. м +
б) 3/8 кв. м
в) 2/15 м

12. Вычислите 1/4 х 1/3:
а) 2/12
б) 1/12 +
в) 1/7

13. Найдите периметр квадрата со стороной 4/23 см:
а) 16/23 см +
б) 16/23 кв. см
в) 8/23 кв. см

14. Вычислите 1 1/3 х 1 1/4 х 1 3/5:
а) 2 2/6
б) 2 1/3
в) 2 2/3 +

15. Выполните умножение (3/8) х 2:
а) 3/4 +
б) 6
в) 3/16

16. Вычислите 7/15 х 5:
а) 7/75
б) 2 1/3 +
в) 35/3

17. Один фильм длится 1/2 ч. Сколько часов длятся 4 фильма:
а) 1/8 ч
б) 8 ч
в) 2 ч +

18. Вычислите 4 х 1/9:
а) 1/36
б) 4/9 +
в) 4/36

19. Длина прямоугольника равна 1/7 см, а ширина 14 см. Чему равна площадь прямоугольника:
а) 1/98 см
б) 1/2 см
в) 2 см +

20. Чтобы умножить дробь на дробь, надо:
а) числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби
б) числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби +
в) оба варианта верны
г) нет верного ответа

21. Как можно записать эту запись в виде умножения дробей 3/4 + 3/4 + 3/4 + 3/4:
а) (3/4) х 4 +
б) (3/4) х (1/4)
в) (3/4) х (4/3)

22. Чтобы умножить дробь на дробь, надо:
а) знаменатель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби

б) знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби +
в) оба варианта верны
г) нет верного ответа

23. Найдите произведение дробей (35/18) х (9/42):
а) 7/12
б) 315/756
в) 5/12 +

24. Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения:
а) десятичных дробей
б) обыкновенных дробей +
в) смешанных дробей

25. Найти площадь квадрата со стороной 3/4 см:
а) 3/16
б) 9/4
в) 9/16 +

26. Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число:
а) числитель изменить
б) числитель оставить прежним +
в) зависит от задачи

27. Чему равно произведение дроби 4/5 на 10:
а) 40/5 +
б) 40/50
в) 4/50

28. При выполнении умножения по возможности следует:
а) растягивать
б) зависит от задачи
в) сокращать +

29. Вычислите 14/15 х 3/7:
а) 2/5 +
б) 2/15
в) 3/5

30. Числитель с числителем и знаменатель со знаменателем:

а) можно сокращать
б) сокращать нельзя +
в) зависит от задачи

Действия с дробями

Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой. В принципе, всё что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

  1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
  2. Сложение дробей с разными знаменателями.

Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Например, слóжим дроби    и  . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к   пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:


Пример 2. Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь .  Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:


Пример 3. Сложить дроби    и  .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:


Пример 4. Найти значение выражения 

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к  пиццы прибавить  пиццы и ещё прибавить  пиццы, то получится 1 целая и ещё  пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби   и  сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби    и    сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Сложим дроби  и 

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям  и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается.  К  прибавить  получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к  пиццы прибавить  пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби  и  к общему знаменателю, мы получили дроби  и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь  (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь  (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем  (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили  (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби?«.

Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

  1. Найти НОК знаменателей дробей;
  2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
  3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
  4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
  5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ


Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

  1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, найдём значение выражения  . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от  пиццы отрезать   пиццы, то получится  пиццы:


Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от  пиццы отрезать   пиццы, то получится  пиццы:


Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в  ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, от дроби  можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей  одинаковые знаменатели. А вот от дроби  нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям  и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от  пиццы отрезать  пиццы, то получится  пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей  и  к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби  и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь  (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь  (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь  и описывает эти пять кусочков.


Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли  к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби  на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ


Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Умножить дробь  на число 1.

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится  пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется  пиццы:


Пример 2. Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение  можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если  пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается сокращать, если они имеют общий делитель, бóльший единицы.

Например, выражение можно вычислить двумя способами.

Первый способ. Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:

Второй способ. Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4, поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:

Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:

Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:

А вот к примеру выражение можно вычислить только первым способом — умножить число 7 на числитель дроби , а знаменатель оставить без изменений:

Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.

Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:

Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением деление выполнено только в числителе, поскольку записать  это всё равно, что записать . Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.


Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение  можно понимать, как взятие  пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится  пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения  равно 


Пример 2. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:


Пример 3. Найти значение выражения 

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15


Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как  . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение    означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:


Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Примеры:

  • обратным числа 2 является дробь
  • обратным  числа 3 является дробь
  • обратным числа 4 является дробь

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Примеры:


Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет  пиццы. Значит каждому достанется по  пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь  на число 2. Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь  на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить  на 

Получили ответ . Значит при делении половины на две части получается четверть.

Попробуем понять механизм этого правила. Для этого рассмотрим следующий простейший пример. Пусть у нас имеется одна целая пицца:

Умножим её на 2. То есть повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:

Теперь угостим этими пиццами двоих друзей. То есть разделим две пиццы на 2. Тогда каждому достанется по одной пицце:

Разделить две пиццы на 2 это всё равно, что взять половину от этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь 

В обоих случаях получился один и тот же результат.

Тоже самое происходило, когда мы делили половину пиццы на две части. Чтобы разделить  на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. А обратное делителю 2 это дробь 


Пример 2. Найти значение выражения 

Умножим первую дробь на число, обратное делителю:

Допустим, имеется четверть пиццы и нужно разделить её на двоих:

Если разделить эту четверть на две части, то каждая получившаяся часть будет одной восьмой частью целой пиццы:


Заменять деление умножением можно не только при работе с дробями, но и с обычными числами. Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5

10 : 2 = 5

Заменим в этом примере деление умножением. Чтобы разделить число 10 на число 2, можно умножить число 10 на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь 

Как видно результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.

Можно сделать вывод, что деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему число.

Пример 3. Найти значение выражения

Умножим первую дробь на число, обратное делителю. Обратное делителю число это дробь 

Допустим, имелось пиццы:

Как разделить такую пиццу на шестерых? Если каждый из трех кусков разделить пополам, то можно получить 6 равных кусков

Эти шесть кусков являются шестью кусками из двенадцати. А один из этих кусков составляет . Поэтому при делении  на 6 получается 


Деление числа на дробь

Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 1 на .

Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби  это дробь 

Выражение  можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза

 


Пример 2. Найти значение выражение 

Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь 

Допустим, у нас имеются две целые пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:


Деление дробей

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Например, разделим  на 

Чтобы разделить  на , нужно  умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби  это дробь 

Допустим, имеется половина пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине», то ответом будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы два раза:


Пример 1. Найти значение выражения 

Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:


Пример 2. Найти значение выражения

Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:


Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.

Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому нужно тренироваться.

Задания для самостоятельного решения:

Задание 1. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 2. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 6. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 7. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 8. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 11. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 12. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 13. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 14. Найдите значение выражения:

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Рабочий лист десятичного умножения для 5-го класса

Добро пожаловать в нашу коллекцию таблиц десятичного умножения.

Здесь вы найдете нашу коллекцию листов умножения для 5-го класса, который поможет вашему ребенку научиться умножать десятичные дроби с двумя десятичными знаками на одну цифру.

Существуют также листы с умножением суммы денег на однозначное число.

Здесь вы найдете нашу подборку рабочих листов по умножению для пятого класса. разработан, чтобы помочь вашему ребенку улучшить свою способность умножать ряд чисел с двумя десятичными знаками (2dp) одной цифрой.

Листы отсортированы таким образом, чтобы самые легкие находились вверху.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

  • умножьте диапазон десятичных знаков до 2dp на одну цифру;
  • умножьте диапазон различных денежных сумм на одну цифру.

Взгляните на еще несколько наших рабочих листов, похожих на эти.

Вам нужно быстро и легко создать свои собственные длинные или короткие таблицы умножения?

Наш генератор таблиц длинного (и короткого) умножения позволит вам создать свой собственный рабочие листы для распечатки с ответами.

Здесь вы найдете ряд бесплатных распечатываемых листов умножения для 5-х классов.

В следующих таблицах используется математика для 5-го класса. навыки умножения и решения задач умножения.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

  • расширяют свои знания умножения до десятичных дробей;
  • используют свои таблицы умножения, чтобы ответить на связанные факты, включая десятичные дроби;
  • умножает диапазон десятичных знаков с точностью до 2 десятичных знаков (2dp) на целое число;
  • Умножьте разные денежные суммы на целое число.

Все бесплатные рабочие листы по математике для 5-х классов в этом разделе Контрольные показатели по элементарной математике для 5-го класса.

Здесь вы найдете ряд бесплатных распечатываемых рабочих листов по геометрии для 5-х классов.

В пятом классе дети учатся измерять углы в градусах. Они знают о различных свойствах углов, например о прямых углах. и углы по прямой. Они умеют строить и использовать сети, и познать пять правильных "Платоновых" тел.

Они также могут вычислять площадь фигур, составленных из треугольников, и они могут интерпретировать и наносить точки на координатную плоскость.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

  • умеют находить недостающие углы в различных ситуациях;
  • узнать количество градусов в прямом угле, прямой, вокруг точки и в треугольнике;
  • умеют рассчитывать площадь треугольника;
  • умеет вычислять площадь ряда четырехугольников.
  • узнать формулы для вычисления площади треугольников и некоторых четырехугольников;
  • запишите и начертите координаты в первом квадранте.

Все листы в этом разделе поддерживают элементарные математические тесты.

Здесь вы найдете ряд распечатанных заданий по умственной математике для 5-го класса, которые понравятся вашему ребенку.

Каждый рабочий лист проверяет детей по ряду математических тем, от числовых фактов до ментальной арифметики. к вопросам геометрии, дроби и меры.

Отличный способ пересмотреть темы или использовать в качестве еженедельной викторины по математике!

Здесь вы найдете ряд бесплатных печатных игр на умножение. чтобы помочь детям узнать факты умножения.

Использование этих игр поможет вашему ребенку научиться умножать факты до 5x5 или 10x10, а также для развития их памяти и навыки стратегического мышления.

Саламандры-математики надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике. и все другие наши математические игры и ресурсы.

Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочие листы в поле комментариев Facebook внизу каждой страницы.


Рабочий лист 2-значного умножения

Добро пожаловать на нашу страницу рабочих листов для двузначного умножения.

На этой странице есть много рабочих листов, которые помогут вам попрактиковаться в умножении двузначных чисел. на 1 или 2 цифры.

Мы разделили рабочие листы на этой странице на два раздела:

  • 2-значное умножение на 1 разряд (3-й класс)
  • 2-значное умножение на 2-значное число (4-й класс)

Каждый раздел заканчивается более сложными листами заданий для более способных учеников.

В каждом разделе листы тщательно сортируются, сначала выбираются самые простые.

Эти листы предназначены для учащихся 3-х классов.

Листы с 1 по 4 состоит из 15 задач; листы 5 и 6 состоят из 20 задач.

Таблицы 1 и 2 включают умножение двухзначных чисел на 2, 3, 4 или 5.

Листы с 3 по 6 включают умножение двузначного числа на однозначное и поиск возрастающих более сложных продуктов.

Эти 2-значные рабочие листы умножения были разработаны для более способных учеников, которым нужна дополнительная задача!

Эти листы предназначены для учеников 4-х классов.

Лист 1 включает 2-значное умножение на 2-значное с меньшими числами и ответами до 1000.

На листах 2–4 сложнее перемножить двузначные числа и ответы, которые обычно больше 1000.

Эти 2-значные рабочие листы умножения были разработаны для более способных учеников, которым нужна дополнительная задача!

У нас есть больше рабочих листов для 2-значного умножения, в том числе задачи умножения 2 x 3 цифры на этой странице.

Взгляните на еще несколько наших рабочих листов, похожих на эти.

Вам нужно быстро и легко создать свои собственные длинные или короткие таблицы умножения?

Наш генератор рабочих таблиц умножения позволит вам создать свой собственный рабочие листы для распечатки с ответами.

Здесь вы найдете ряд таблиц умножения, которые помогут вам стать более плавным и точным с таблицами.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

  • узнать свои таблицы умножения до 10 х 10;
  • понимают и используют различные модели умножения;
  • решает ряд задач умножения.

Все бесплатные задания по математике для 3-го класса в этом разделе Контрольные показатели по элементарной математике для 3-го класса.

Здесь вы найдете ряд бесплатных печатных игр на умножение. чтобы помочь детям узнать факты умножения.

Использование этих игр поможет вашему ребенку научиться умножать факты до 5x5 или 10x10, а также для развития их памяти и навыки стратегического мышления.

Саламандры-математики надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике. и все другие наши математические игры и ресурсы.

Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочие листы в поле комментариев Facebook внизу каждой страницы.


Умножение матриц

| Ресурсы Wyzant

Умножение матрицы на скалярную константу

Матрицы могут быть умножены на скалярные константы аналогично умножению любое количество переменных скалярной константой. Скалярная константа относится к любому числу; реальные или мнимые; положительное или отрицательное; целые или дробные, но не переменные.

Когда матрица умножается на скалярную константу, константа умножается каждые запись в матрице равно, например, для матрицы A

найти x A , где x - скалярная константа

раствор:

Как вы можете видеть в приведенном выше примере, x умножается во всей матрице A затрагивает все записи в A

Например: для данной матрицы M найти

раствор:

Помимо умножения на скалярные константы, матрицы также можно умножать другими матрицами.Однако умножение матриц не так просто, как регулярное умножение, должны соблюдаться определенные правила и определенные условия быть встреченным.

Свойства умножения матриц

  • Первое правило, которое вы должны знать, это то, что умножение матриц является коммутативным НЕ , т.е.

    Для двух матриц A и B

    Мы увидим причину этого немного позже.

  • Умножение матриц ассоциативно; например, даны 3 матрицы A , B и C , всегда верно следующее тождество

    Но поскольку мы уже говорили, что умножение матриц не коммутативно, следующее НЕ верно

    или любая другая подобная перестановка.Матрицы должны сохранять свой порядок.

  • Умножение матриц распределяется по сложению

    Обратите внимание, однако, что порядок все еще имеет значение, приведенное выше не совпадает с

    Сказанное выше неверно, но верно следующее

  • Умножение скалярной константы на матричное умножение коммутативно в следующая форма;

Есть еще несколько свойств умножения матриц, и мы увидим их. Через некоторое время.

Правило умножения матриц

Две матрицы A и B могут быть умножены только в форме A B тогда и только тогда, когда их размеры принимают следующий вид:

Матрица A имеет размер n x m, а матрица B имеет размер m x x

Другими словами, при умножении матриц количество столбцов в матрице на слева должно быть равно количеству строк в матрице справа.

Например; учитывая, что матрица A является матрицей 3 x 3, для матричного умножения A B , чтобы было возможно, матрица B должна иметь размер 3 x m, где m может быть любым количеством столбцов. Это, как мы вскоре увидим, связано с тем, как матрицы умножаются. Это правило является причиной того, что умножение матриц невозможно. коммутативный.

Аккуратный способ проверить, можно ли перемножить 2 матрицы, чтобы увидеть их размеры бок о бок.Например, учитывая, что вам предлагается перемножить матрицы A и B , где A имеет размер n x m, а B имеет размер p x q

.

Чтобы A B было возможно, поместите размеры рядом следующим образом и соблюдать

если вы видите, что m = p , то вы можете сделать вывод, что A B возможно и приступим к умножению.Если это не так, тогда не беспокойтесь с этим, просто сказать, что это невозможно. Через мгновение мы увидим, что в результате матрица от умножения A и B имеет размер n x q

Для возможности B A разместите размеры рядом следующим образом и соблюдать

аналогично, если вы видите, что q = n , тогда вы можете сделать вывод, что B A можно и приступить к умножению.Если это не так, тогда не возиться с этим, просто сказать, что это невозможно. Результирующая матрица в этом случае будет быть размером p x m.

Алгоритм умножения матриц

Умножение матриц выполняется по тому же алгоритму, что и умножение векторов. Отзыв что вектор может быть строкой или столбцом, например

где D - вектор-столбец, а E - вектор-строка.

Теперь, когда мы это установили, вы также можете думать о D и E как о матрицы, где D - матрица размера 4 x 1, а E - матрица размера 1 x 4. Если это так, то давайте попробуем перемножить D и E .

D - это матрица 4 x 1, а E - матрица 1 x 4, поэтому по правилу, которое мы установили выше возможны следующие продукты:

  • D E , потому что количество столбцов в D равно количеству рядов в E
  • E D , потому что количество столбцов в E равно количеству рядов в D

Теперь, когда мы убедились, что возможны как D E , так и E D , Давайте перейдем к фактическому выполнению вычислений.

Всегда начинайте с расстановки матриц по мере необходимости, не перепутайте их порядок. Тогда возникает вопрос, что делать дальше!

Умножение матриц выполняется путем умножения строк на столбцы. В этом случае мы только есть одна строка, но у нас четыре столбца.

Мы делаем это путем умножения всех строк на все столбцы как таковые:

Мы добавляем, потому что каждая запись в результирующей матрице является суммой умножения записи в строке и столбце для этой позиции.Для приведенного выше примера полученный размер матрицы 1 x 1.

Теперь вы должны заметить, что это то же самое, что и количество строк в E и количество столбиков в D . Таким образом, теперь мы можем сказать, как правило, когда вы умножьте две матрицы, их произведение будет иметь такое же количество строк, как и матрица слева и такое же количество столбцов, что и в матрице справа.

Например, если A B = C , где A имеет размер n x m и B имеет размер p x q, тогда C будет иметь размер n x q. Это всегда правда для любого матричного умножения.

Вернемся к умножению D и E . Мы уже видели E D , Итак, теперь давайте посмотрим на D E

Итак, теперь у нас есть четыре строки и четыре столбца.Взгляните на размеры D и E

мы видим, что итоговая матрица должна иметь размер 4 х 4.

Каждая строка умножает каждый столбец, и это дает одну запись, которая соответствует этому должность. Увидев результаты D E и E D вы должен увидеть причину, по которой умножение матриц не коммутативно, как указано в первое свойство: результат не тот!

Давайте теперь рассмотрим другой пример, чтобы проиллюстрировать умножение матриц:

Даны матрицы A и B , где

и

Поскольку A и B удовлетворяют правилу матричного умножения, произведение A B можно найти следующим образом.

Матрица A B - это матрица 2 x 2.

Из двух приведенных выше примеров мы можем наблюдать следующее для матричного умножения A B = C

Чтобы привыкнуть ко всему процессу умножения матриц, нужно время, но Уловка состоит в том, чтобы сделать как можно больше примеров.Ниже приведены несколько отработанных примеров.

Примеры умножения матриц

Пример 1

Найдите C , учитывая, что A B = C и что

Шаг 1

Первый шаг - посмотреть на размеры A и B , чтобы проверить, их можно перемножить, а также определить размер C

из приведенного выше вы можете видеть, что A B возможен и что размер C

Далее выполняем собственно умножение

Шаг 3

Пример 2

Найдите A 2 , учитывая, что

Шаг 1

Поскольку A - это матрица 2 x 2, возможно A A , и результат будет также быть 2 x 2

Шаг 2

Шаг 3

Пример 3

Найдите B A , учитывая, что

.

Шаг 1

Из размеров A и B видно, что получившаяся матрица AB будет размером 3 x 3

Шаг 2

Пример 4

Найдите A B C , учитывая, что

Шаг 1

Этот конкретный вопрос включает в себя умножение матриц более одного раза, поэтому нам нужно чтобы разбить его на две части, но мы должны сохранить порядок матриц.

Сначала мы умножаем A и B , затем умножаем их произведение AB на C до ABC

Перед выполнением вычислений нам необходимо сравнить их размеры, чтобы выяснить, действительно возможно умножение:

Шаг 2

Затем мы выполняем вычисление, сначала умножая A и B , затем умножение полученной матрицы на C

Шаг 3

Шаг 4

Шаг 5

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *