Гдз по математике бунимович учебник: ГДЗ по математике для 5 класса Арифметика. Геометрия. Бунимович Сферы

Содержание

ГДЗ по алгебре для 7 класса Бунимович Сферы 1-11

В седьмом классе общеобразовательной школы происходит разделение математики на два отдельных предмета – алгебру и геометрию. Школьники сталкиваются с постепенным усложнением изучаемого материала: сначала степень натуральных чисел, затем одночлены и многочлены и действия с ними, до системы линейных уравнений с двумя переменными.

Для многих детей именно алгебра становится камнем преткновения – ведь неправильно понятый материал накапливается, ребенок начинает получать плохие оценки и сомневается в своих способностях. Для облегчения процесса подготовки к урокам существует ГДЗ по алгебре для 7 класса под авторством Бунимович Е.А.

Как правильно использовать решебник по алгебре 7 класс Бунимович и добиться максимального результата

Прежде всего, не стоит пользоваться пособием для банального списывания. В этом случае не получится улучшить знания, а ситуация может даже усугубиться. Родителям важно контролировать, как подросток пользуется предоставленными решениями заданий, и направлять действия ребенка. При правильном подходе преимуществ у решебника довольно много:

  • мамы и папы вряд ли вспомнят школьную рабочую программу и смогут объяснить ученику доступным языком проблемные темы. А сборник задач подскажет верную последовательность действий, правильный ответ, и всё в соответствии с требованиями ФГОС;
  • при самостоятельной подготовке домашнего задания учащийся может проверить свои знания и восполнить пробелы, освободить время для отдыха;
  • школьник сможет лучше готовиться к классным занятиям, и, за счет овладения навыком решения однотипных задач и уравнений, справляться с контрольными работами и тестами без дополнительных занятий у репетитора;
  • учителя могут составлять на основании сборника программу дополнительных занятий и различных проверочных работ.

Структура ГДЗ по алгебре за 7 класс Бунимович

На нашем сайте воспользоваться решебником по алгебре за 7 класс (авторы: Бунимович Е. А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С.) можно в любое время суток. Упражнения полностью соответствуют разделам учебника, номерам глав и параграфов, поэтому найти нужное не составит труда.

Войти на сайт можно как с компьютера, так и с любого мобильного устройства.

ГДЗ к задачнику-тренажёру по алгебре за 7 класс Бунимович Е.А. можно посмотреть здесь.

ГДЗ Задачник по математике 5 класс Бунимович на Решалка

Все больше стран отказываются от домашних заданий школьникам, аргументируя это тем, что ребенку нужно больше времени для всестороннего развития. И с этим нельзя не согласиться. Все родители хотят отправить детей на дополнительные занятия – в спортивные секции, на танцы, кружки рисования или рукоделия. Это прекрасно, когда у школьника есть хобби, он занимается тем, что ему приносит удовольствие и познает себя, свои таланты и интересы с ранних лет, так ему проще будет найти свое призвание в будущем. Но дело в том, что насыщенность школьной жизни не всегда позволяет ребенку делать все, что ему нравится, вне уроков. Объемы домашних заданий иногда впечатляют. А нередко на дом задают еще и то, что не успели пройти на уроке. Хорошо, если в младших классах родители могут сами объяснить ребенку некоторые темы. Но с каждым новым годом программа усложняется и уже в 5 классе не так легко решить задачку по математике. Если у Вас, как и у многих российских семей, есть сложности с задачником по математике за 5 класс Бунимовича, то сохраните наше ГДЗ в закладки и хоть немного упростите выполнение домашки.

Почему иногда полезно делать домашние задания с решебником

Мы не говорим о том, чтобы просто открыть ребенку готовые решения и дать списать ответы. Хотя даже такой подход лучше, чем просто невыполненная домашка, ведь так ребенок хоть что-то запомнит. Если Вы вместе со своим пятиклассником делаете уроки, то можете просто подсматривать в готовых домашних заданиях за 5 класс алгоритмы решения и на этих примерах разбираться, почему именно так, тренироваться выполнять аналогичные задачи. Это очень помогает в освоении сложных тем. Также при проверке домашних заданий, сделанных ребенком самостоятельно, Вам будет намного проще сверить ответы, чем вычитывать каждое задание и самому искать решения.

Точные ответы к учебнику за пятый класс автора Бунимовича

В отличие от печатных изданий, в нашем ГДЗ по математике за пятый класс все ответы гарантированно правильные. Мы вручную все проверяем и только после этого публикуем на сайте. Пользование ресурсом полностью бесплатное, а интерфейс удобный для быстрого поиска нужной информации.

 

ГДЗ по математике 6 класс Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О.

ГДЗ по математике за 6 класс Бунимович способствует лучшему пониманию предмета и приводит к высоким результатам обучения. Учебная программа по математике авторов Бунимовича и Кузнецовой предполагает интегрированное изучение алгебры, геометрии, арифметики, тригонометрии, основ математического анализа, и других направлений этой науки.

Шестиклассникам предстоит изучить следующие основные темы:

  1. Правила действий с дробями.
  2. Параллельность. Прямые в пространстве.
  3. Десятичная запись дробей. Сложение и вычитание десятичных дробей.
  4. Взаимное расположение прямой и окружности.
  5. Отношение чисел и величин.
  6. Построение фигур, симметричных относительно прямой.

На ресурсе, после каждой изученной темы предложен комплекс упражнений, направленный на лучшее понимания и усвоение теоретического материала, и тренировку навыков решения практических задач.

Характеристика онлайн-помощника по математике за 6 класс Бунимовича

Для продуктивного освоения дисциплины, и достижения наилучших результатов, необходимо самостоятельно разбирать и детально прорабатывать, предусмотренные школьной программой задания. Однако, для этого, многим ребятам недостаточно прочтения учебника и объяснений учителя. Для понимания сложного материала им требуется дополнительная информация, источником которой может стать решебник по математике за 6 класс Бунимовича.

С помощью решебника удастся повторить пройденные темы и приступить к изучению новых, проверить правильность собственных решений, выявить и восполнить пробелы в знаниях, понять последовательность выполнения задач, быстро и правильно выполнить домашнее задание, сэкономить на дорогостоящих репетиторах.

Родители с помощью решебника смогут контролировать учебную деятельность ребенка, своевременно проверять уроки, и давать необходимые подсказки.

ГДЗ – это сборник верных ответов на все вопросы учебника. Кроме того, в нем приводятся подробные пояснения и алгоритмы решения задач. Текст онлайн-решебника разделен по номерам вопросов и заданий к параграфам, упражнений и итоговых работ к главам. Благодаря такой структуре, каждый сможет быстро найти интересующие его решения. А воспользоваться ГДЗ можно в любое время суток.

Математика, 6 класс, Бунимович, Кузнецова

Решебник по математике 6 класс Бунимович

ГДЗ по математике 6 класс Бунимович – это тот источник знаний, который можно использовать для подготовки домашней работы. Задачник по математике полностью совпадает с учебником, в нём содержатся в том же порядке разделы и задачи, что и в учебнике. И родителя и школьникам не составит никакого труда разобраться в материале. Данный учебник помогает лучше освоить математику в 6 классе, разобраться в учебной программе и понять основы математики.

Все ответы на домашние задания собраны в решебнике по математике 6 класс Бунимович. Весь материал можно разделить по категориям: задачи, самостоятельные работы. В течении всего года обучения ребёнок должен самостоятельно постигать тонкости этой науки как Математика. Ведь недаром говорят, Математика – царица наук. А если человек знает математику, умеет обращаться с цифрами, то он может справится с любыми трудностями. Все решения подробно расписаны в задачнике, прописан ход решения и приведён ответ. Материал из ГДЗ по математике 6 класс Бунимович задачник окажет помощь не только школьникам и родителям. Они смогут самостоятельно проверять домашние задания ребёнка и подсказывать если решение не соответствует правильному.

Содержание решебника: задачи, примеры, самостоятельные работы, контрольные работы. Ценность данного решебника по математике Бунимовича это улучшение навыков самостоятельной работы и поднятие уровня знаний по предмету. Благодаря непосредственному участию коллектива авторов (Бунимович, Кузнецова) в процессе подготовке издания весь материал преподнесён легко и очень доходчиво. Даже у учеников, которые испытывают проблемы с успеваемостью, не должно остаться вопросов. Все знания по числовым последовательностям, арифметической прогрессии, геометрической прогрессии и другим разделами собраны воедино в решебнике по математике 6 класса Бунимовича.

Смотрите и списывайте ответы по Математике за 6 класс Бунимович.

В завершении хочется сказать, что если с точными науками у школьника всё в порядке, он не испытывает проблем при решении задач или примеров, значит сильнее развито рациональное мышление. Если же возникают определённые трудности с гуманитарными науками, например, русским языком, то советуем обратить внимание на русский 6 класс Баранов Ладыженская

ГДЗ за 6 класс по Математике Е.
А. Бунимович, Л. В. Кузнецова

gdz-bot.ru Найти

Навигация по гдз

1 класс Русский язык Математика Английский язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка Человек и мир 2 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка Технология Человек и мир 3 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка 4 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка Белорусский язык 5 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык История География Био

ГДЗ по Математике за 5 класс Арифметика. Геометрия. Е.А. Бунимович, Г.В. Дорофеев ФГОС 2015-2020

Решебники, ГДЗ

  • 11 Класс
    • Русский язык
    • Английский язык
    • Немецкий язык
    • Математика
    • Алгебра
    • Геометрия
    • Физика
    • Химия
    • Биология
    • История
    • География
    • Обществознание
    • Литература
    • ОБЖ
    • Информатика
    • Белорусский язык
    • Астрономия
    • Мед. подготовка
    • Испанский язык
    • Казахский язык
  • 10 Класс
    • Русский язык
    • Английский язык
    • Немецкий язык
    • Математика

100 вакансий по прикладной математике - Академические должности

Спонсируемый Кандидатские должности в области растениеводства

Международная исследовательская школа Макса Планка «Первичный метаболизм и рост растений» (IMPRS-PMPG) - это докторская программа в области современной науки о растениях в Институте молекулярной физиологии растений им. Макса Планка и Потсдамском университете, недалеко от Берлина, мультикультурной столицы...

Спонсируемый LabEx CIMI

Расположение: Toulouse cedex 9, Франция | Закрытие 12 марта.

Прием заявок - 2021-2022 учебный год

Подайте заявку на получение стипендии PhD, докторантуры или магистра! Открыт прием заявок на 2021-2022 учебный год.CIMI LabEx предлагает следующие возможности на следующий учебный год: Стипендии от 4 до 7 докторов наук От 4 до 7 постдокторских должностей Мастер...

Спонсируемый EUR MINT

Расположение: TOULOUSE Cedex 9, Франция | Закрытие 12 марта.

Магистерские и докторские стипендии 2021 г.

Магистратура На 2021-2022 год МИНТ также предлагает: 6 грантов на первый магистерский год M1ESR 9 грантов на второй год магистратуры M2RI (см. также предложение Mint PhD и тематически близкие предложения CIMI или ANITI - несколько приложений...

Спонсируемый Лектор / старший преподаватель / читатель

Университет Глазго Колледж науки и техники Школа математики и статистики Школа математики и статистики ищет активных кандидатов для присоединения к быстро и существенно растущей группе статистики и анализа данных, а также для дальнейшего развития...

2 дня спустя | Закрытие 20 января. Постдоки в MathDataLab Brummer & Partners

Королевский технологический институт KTH в Стокгольме превратился в один из ведущих технических и инженерных университетов Европы, а также в ключевой центр интеллектуальных талантов и инноваций.Мы - крупнейшее в Швеции научно-исследовательское и учебное заведение в области технических наук, в котором ...

3 дня назад | Закрытие 01 марта Аспирант - Департамент информационных технологий

Дата последней подачи заявки 01.03.2021 00:00 Департамент TW05 - Департамент информационных технологий Контракт Ограниченный срок Степень М.Sc. степень в области электротехники, фотоники или информатики, с большим интересом к математическим и численным методам. Вместимость ...

вводных курсов математики | Математика

Курсы многомерной математики

Кафедра предлагает 3 последовательности по многомерной математике.

Серия 50:

См. Подробный список тем.

Math 51- Линейная алгебра, многомерное исчисление и современные приложения (5 единиц) объединяет линейную алгебру и многомерное дифференциальное исчисление вместе с приложениями, относящимися ко многим количественным областям.Этот материал включает в себя базовую геометрию и алгебру векторов, матриц и линейных преобразований, а также методы оптимизации по любому количеству переменных (включая частные производные и множители Лагранжа).

Math 52- Интегральное исчисление нескольких переменных (5 единиц) охватывает многомерное интегрирование, в частности теорему Грина и теорему Стокса. При этом используется как линейная алгебра, так и материал, производный по матрице из Math 51.

Математика 53- Обычные дифференциальные уравнения с линейной алгеброй (5 единиц) объединяет дополнительные разделы линейной алгебры с обыкновенными дифференциальными уравнениями.Эти дополнительные темы включают использование собственных значений и собственных векторов для решения систем дифференциальных уравнений.

** Math 52 и Math 53 можно брать в любом порядке.

Эта серия предоставляет необходимые математические знания для специалистов по всем дисциплинам, особенно для естественных наук, математики, математических и вычислительных наук, экономики и инженерии.

Математика 51 Учебник

Оглавление и страница приложений рядом с началом текста курса предоставляют дополнительную информацию; текст курса доступен всем, у кого есть SUNetId.

Для тех, кто сильно интересуется математикой и предпочитает более концептуальное и теоретическое понимание, мы рекомендуем следующие две последовательности:

Серия 60 см

Математика 61CM-62CM-63CM- Современная математика: непрерывные методы (5 единиц в каждой) Эта ориентированная на доказательство трехчетвертная последовательность охватывает материал 51, 52, 53, а также дополнительные сложные вычисления, геометрию более высоких измерений, обыкновенные и дифференциальные уравнения в частных производных.Это обеспечивает единое рассмотрение многомерного исчисления, линейной алгебры и дифференциальных уравнений с другим порядком тем и акцентом по сравнению со стандартными курсами. Студенты должны очень хорошо знать исчисление с одной переменной и иметь интерес к теоретическому подходу к предмету.

Эта серия предоставляет необходимые математические основы для специалистов по всем дисциплинам, особенно для естественных наук, математики, математических и вычислительных наук, экономики и инженерии.

Серия 60DM

Математика 61DM-62DM-63DM- Современная математика: дискретные методы (по 5 единиц каждый) Эта ориентированная на доказательство последовательность из трех четвертей охватывает тот же материал по линейной алгебре, что и серия 60CM, но фокусируется на темах дискретной математики, а не на «Непрерывные» методы, как в сериях 50 и 60CM: они охватывают комбинаторику, вероятность, некоторые основы теории групп и теорию графов. Некоторые топологические идеи вводятся в Math 63DM для изучения проблем оптимизации и вероятности непрерывной переменной, включая некоторые основные понятия многомерного исчисления.

Эта серия предоставляет необходимые математические основы для специальностей в области компьютерных наук, математики, математических и вычислительных наук и многих других дисциплин, за исключением , если вы планируете специализироваться в естественных науках, экономике или инженерии (помимо компьютерных наук), тогда 60DM-серия вам не подходит.

Недедуктивные методы в математике (Стэнфордская энциклопедия философии)

Философские взгляды на онтологию математики основываются на гамма от платонизма (математика - это область абстрактных предметы), к художественной литературе (математика - это художественная литература, предмет которой материи не существует), формализму (математические утверждения бессмысленные строки, манипулируемые в соответствии с формальными правилами), без консенсус о том, какой из них правильный.Напротив, кажется справедливым сказать что существует философски обоснованный взгляд на основные методология математики. Грубо говоря, математики стремятся доказывать математические утверждения различного рода, и это доказательство состоит из логический вывод данного утверждения из аксиом. Этот вид имеет долгая история; таким образом, Декарт пишет в своих правилах направления разума (1627–28), что математическое предложение должно быть «выведенными из истинных и известных принципов с помощью непрерывных и непрерывное действие разума, который имеет четкое видение каждого шага в процесс »(47).Важным следствием этой точки зрения является то, что в математике нет места, по крайней мере в идеале, для недедуктивного методы. Фреге, например, утверждает, что «это в природе математика всегда предпочитает доказательство там, где оно возможно, любому подтверждение индукцией »(1884, 2). Берри (2016) предлагает больше недавняя защита доказательств как продвижение ключевых достоинств совместного исследования в математическом сообществе.

В философской литературе, пожалуй, самый известный вызов это принятое мнение исходило от Имре Лакатоша в его влиятельном (опубликовано посмертно) Книга 1976 г., Доказательства и Опровержения :

Евклидова методология выработала определенный обязательный стиль презентация.Я буду называть это дедуктивистским стиль'. Этот стиль начинается с тщательно составленного списка аксиомы, леммы и / или определения . Аксиомы и определения часто выглядят искусственно и загадочно сложными. Никогда не рассказывается, как возникли эти осложнения. Список аксиом и определениям следуют тщательно сформулированные теоремы . Они загружены тяжелыми условиями; кажется невозможным, что кто-нибудь должен был их догадаться. За теоремой следует пруф .
В дедуктивистском стиле все утверждения верны и все выводы действительный. Математика представлена ​​как постоянно увеличивающийся набор вечных, непреложные истины.
Дедуктивистский стиль скрывает борьбу, скрывает приключение. Целый история исчезает, последовательные предварительные формулировки теоремы в ходе процедуры доказательства обречены на забвение, в то время как конечный результат превозносится до священной непогрешимости (Lakatos 1976, 142).

Прежде чем продолжить, стоит сделать несколько различий в для того, чтобы сфокусировать темы последующего обсуждения.

1.1 Открытие против оправдания

Широкое утверждение о том, что существуют некоторые недедуктивные аспекты Mathematical Activity кажется относительно бесспорным. За это просто означает утверждение, что не все, что математики делают, когда они занимаются математикой, заключающейся в выводе заявления из других заявлений. Как выразился Джеймс Франклин:

Математика не может состоять только из домыслов, опровержений и доказательства. Гадать может любой, но какие из них стоит расследование? … Что может быть доказано методом в репертуар математика? … Что вряд ли дать ответ до следующего пересмотра срока полномочий? Математик должен ответить на эти вопросы, чтобы выделить свое время и усилия.(Франклин 1987, 2)

Один из способов сузить общее утверждение, чтобы сделать его более существенным использовать знакомые (хотя и не совсем беспроблемные) различие между «контекстом открытия» и «Контекст оправдания». С одной стороны, это различие может позволить традиционному дедуктивистскому взгляду быть несмотря на критику Лакатоша, утверждая, что то, на что указывает Лакатос, касается контекста открытия в математика. В контексте обоснования вывод результаты из аксиом могут по-прежнему быть правильной и полной историей.Несколько реакции математиков на взгляды Лакатоша характер, например, следующее замечание Морриса Клайна в письмо, написанное Лакатошу:

Я действительно считаю, что нам нужно гораздо больше литературы, подчеркивающей это открытие. сторона математики. Все акценты, как вы знаете и подразумеваете, о дедуктивной структуре математики и производит впечатление студентам заключается в том, что они делают новые выводы из старых ед. [1]

Также в произведении можно найти отрывки по схожим направлениям. Полиа, который оказал большое влияние на Лакатоша:

Изучая методы решения задач , мы воспринимаем другое лицо математики.Да, у математики два лица; это Строгая наука Евклида, но это еще и другое. Математика представленный евклидовым способом, появляется как систематический, дедуктивный наука, но математика в процессе создания кажется экспериментальный , индуктивная наука. (Pólya 1945, vii) [курсив в оригинале]

И наоборот, чтобы бросить вызов знакомым дедуктивистской позиции, встречный иск должен быть недедуктивным методы играют роль в обосновании математических результаты (Paseau 2015).Следовательно, это будет в первую очередь оправдательным контексты, на которых будет сосредоточено внимание в оставшейся части этого опрос. [2]

1.2 Учет и формализация

Здесь не место для подробного анализа дедукции. За настоящих целей, это понятие будет считаться справедливым прямолинейно, по крайней мере, в принципе. Дедукция - это любая последовательность утверждения, каждое из которых является производным от некоторого начального набора утверждения (предпосылки) или из предыдущего утверждения в последовательности.Однако один вопрос, который необходимо решить, - это отношения между дедукцией и формализацией (см., например, Azzouni 2013).

Аргумент может быть дедуктивным, но не формальным. Хотя парадигмальные случаи дедукции, как правило, встречаются в сильно формализованных систем, в этом нет необходимости. «Все четные числа больше 2 составные; 1058 больше 2; 1058 - четное; следовательно, 1058 - это композит »- отличный вывод, несмотря на то, что формализованный. Следовательно, вопреки тому, что иногда предполагается в обсуждение этих вопросов, неверно, что все неформальные аспекты математической практики , следовательно, недедуктивны.

С другой стороны, развитие формальной логики было пристально связаны с предоставлением ясного языка для презентации (и оценивая) дедуктивные математические рассуждения. Действительно, как Джон Берджесс утверждает в его (1992), современная классическая логика в значительной степени развивалась как основа для математических рассуждений, особенно доказательства. Увеличение строгость в математике в течение 19 -го века правильно рассматривать как причину, а не следствие логической революции началось с работы Фреге.Логика, по мнению Берджесса, описательный: его цель - построение математических моделей рассуждения. Классическая логика представляет собой идеализированное описание классическое математическое доказательство.

Также может быть важно различать неформальных элементов данное математическое доказательство из неформализуемых элементов (если есть такие вещи). [3] В разделе 4 этот вопрос будет рассмотрен в связи с использованием диаграмм в математических рассуждениях.

1.3 Дедуктивизм и фонды

Помимо развития формальной логики, еще один аспект дедуктивизм - это его упор на «основы». Причина для этого переход от аксиом к теореме прямолинейно, в принципе, поскольку это вопрос логики вывод. В действительности нет ничего чисто математического участвует в этом переходе. Следовательно, внимание переключается на отправная точка дедуктивного процесса, а именно аксиомы. И если эти аксиомы сами по себе являются теоремами какой-то более базовой теории, тогда это стремление к безопасной отправной точке может быть продолжено через иерархия все более фундаментальных математических теорий.

Нельзя отрицать, что проблемы в основаниях математики имеют была центральной заботой философов математики через большая часть 20 -го вв. Это, конечно, не потому, что фундаментальные области, такие как теория множеств, - единственные области математика, где философы думают, что дедукция имеет место, но скорее потому, что, как указывалось выше, упор на дедукцию уделяет особое внимание отправным пунктам доказательства. Даже те сочувствие к этому вниманию к фундаментальным вопросам, вероятно, признать, что многие области математической практики тем самым игнорируется.Вопрос в том, что из философских интерес теряется в процессе.

2.1 Аспекты неформальности

2.1.1 Полуформальные доказательства

Как упоминалось в п. 1.2 выше, одной из особенностей дедуктивистского стиля является что парадигматические математические доказательства полностью выражены в некоторых соответствующий формальный язык (например, логика предикатов первого порядка с тож). Это позволяет проверить достоверность данного доказательства. легко, даже механически, установить. Но, конечно, немногие, если таковые имеются, доказательств, распространенных и опубликованных математиками, форма.Что считается доказательством для работающих математиков, варьируется от от полностью неформального до подробного и точного, с каждым (или почти все) пробелы заполнены. Однако даже подробные и точные доказательства редко выражаются чисто на языке логики; скорее они смесь обычного языка, математических и логических символов и терминология.

Иногда философы, работающие в дедуктивистской традиции, делают это звучит так, как будто это довольно тривиальный момент; это просто вопрос математики, имеющие под рукой "схему перевода", но не записывать доказательство в чистой логике, чтобы сделать его более доступным и легче читать.На самом деле, зачастую далеко не очевидно, как переводить данное доказательство в формальную логику. Кроме того, это не ясно, что понятие «перевод» неформального доказательства на формальный язык - это обязательно правильный взгляд на ситуация. Стюарт Шапиро, по сути, представляет эту точку зрения на начало его книги 1991 г., Основания без Фундационализм , пишущий, что:

Языки полной логики, по крайней мере частично, являются математическими. модели фрагментов обычных естественных языков, таких как английский, или возможно, обычные языки дополнены выражениями, используемыми в математика.Последние можно назвать «естественными языками математика'. Для акцента или во избежание путаницы язык полной логики иногда называют «формальным языком».
В математической модели всегда есть разрыв между языком логика и ее аналог на естественном языке. Соответствие между моделями и смоделированные могут быть хорошими или плохими, полезными или вводящими в заблуждение, независимо от того, цель под рукой. (Шапиро 1991, 3)

Альтернативная картина заключается в том, что формальные и неформальные языки предлагают различные способы выражения математических теорем и доказательств.В формальный язык не используется для «перевода» и, следовательно, не нужно сравнивать с тем, что выражается в неформальной доказательство. Скорее, он предлагает свои собственные, возможно, лучшие ресурсы для выражая содержание математических утверждений в точном и строгие настройки, специально разработанные для этой цели. Какую бы картину отношения между формальным и неформальные изложения математики, осталось два пункта. Первый, дедуктивные математические аргументы - аргументы, которые производятся, переданные математиками и построенные на их основе - могут быть либо формальный или неформальный.Во-вторых, оценка таких аргументов как дедуктивно действительный или недействительный легче окончательно провести в контекст какой-то формальной системы.

Также стоит отметить, что Лакатош выступает за третью категорию доказательство, помимо формального и неформального, что он называет «Квазиформальный». Лакатош пишет, что:

предположить, что неформальное доказательство - это всего лишь неполное формальное доказательство мне кажется, что они совершают ту же ошибку, что и первые педагоги когда, полагая, что ребенок был просто взрослым в миниатюре, они пренебрегали прямым изучением поведения детей в пользу теоретизирования основанный на простых аналогиях с поведением взрослых.(Лакатош 1980, 63)
2.1.2 Пробелы в доказательствах

Вышеупомянутый разговор о том, что «каждый пробел заполняется» в переход к идеальному доказательству замалчивает тот факт, что понятие «пробел» в доказательстве сам требует дальнейшего разъяснение. Во-первых, самый простой способ определения пробел в доказательстве - как указано ниже - применим только к полностью формальные системы.

Пробел - это любая точка в доказательстве, где написанная строка не следуют из некоторого подмножества предыдущих строк (вместе с аксиомами) путем применения формально действительного - и явно заявлено - правило вывода для системы.

Причина, по которой любое правило должно быть явно указано Правило вывода для системы состоит в том, что мы хотим освободить место для пробивные, но действительные доказательства. Например, «2 + 2 = 4, следовательно, есть бесконечно много простых чисел »- веский аргумент, но очевидно, что это большой разрыв между его предпосылкой и его выводом. С другой стороны, несмотря на то, что определение выше работает только для формальных доказательств, пустота и формальность не всегда идут рука об руку. Таким образом традиционный силлогизм, такой как: «Все люди смертны; Сократ мужчина; следовательно, Сократ смертен »- это пример беззащитного неофициальное доказательство.Один из способов расширить понятие разрывов (и отсутствие пробелов) к неофициальным доказательствам через понятие базового математический вывод , другими словами, вывод, который «Принято математическим сообществом как пригодное для доказательства без каких-либо дополнительных аргументов »(Fallis 2003, 49).

Как бы мы ни характеризовали пробелы, несомненно, что в большинстве реальных доказательств, представленных математиками, есть пробелы. Дон Фаллис предлагает таксономию пробелов в доказательствах в своей работе (2003):

.
  1. Пробелы в выводе
    «Математик оставил пробелы в выводе всякий раз, когда последовательность предложений, которые математик имеет в виду (как доказательство) не является доказательством »(Fallis 2003, 53).
  2. Энтимематические промежутки
    «Математик оставляет энтимематический промежуток всякий раз, когда он этого не делает. явно указать конкретную последовательность предложений, которые он имеет в уме »(Fallis 2003, 54). [4]
  3. Неустраненные пробелы
    «Математик оставил непересеченный пробел всякий раз, когда он не пытался непосредственно проверить, что каждое предложение в последовательности предположения, которые он имеет в виду (как доказательство), следует из предыдущие предложения в последовательности основных математических вывод »(Fallis 2003, 56–7).

В дополнение к этой таксономической работе Фаллис также утверждает, что философский тезис о том, что пробелы в доказательствах не обязательно плохие предмет. Основываясь на (iii) выше, он вводит понятие универсально неразрешенный зазор , другими словами, зазор, не было переброшено ни одним членом математического сообщества. Fallis утверждает, что такие пробелы не являются чем-то необычным и что по крайней мере некоторые из содержащие их временные доказательства принимаются математиками в оправдательный контекст.Это мнение подтверждается в более поздних работах Андерсен (2018).

Одна из активных областей работы, которая привела к раскрытию До сих пор нераспознанные пробелы различного рода автоматизированы проверка. Специально разработанные компьютерные программы используются для проверки действительность доказательств, представленных в соответствующем формальном язык. До сих пор основное внимание уделялось не открытию новых результаты, но при проверке статуса доказательств уже установленных полученные результаты. Джордж Гонтье использовал этот подход для проверки доказательства теорема о четырех цветах (Gonthier 2008) и доказательство нечетного порядка Теорема в теории групп (Gonthier et al.2013), а Томас Хейлз проверил доказательство теоремы о кривой Жордана (Hales 2007). В каждом В этом случае был обнаружен и пройден ряд пробелов. Формальный проверка такого рода может также выявить другую информацию, скрытую в содержание обычных математических аргументов. Георг Крайзель описал этот общий процесс как «раскручивание доказательств», в то время как Ульрих Коленбах недавно ввел термин «доказательство добыча полезных ископаемых." В связи с описанными выше методами Avigad пишет, что

… Теоретические методы и идеи могут быть использованы … В области автоматизированных рассуждений и формальной проверки.С начала двадцатого века стало понятно, что обычные математические аргументы могут быть представлены в формальной аксиоматике. теории, по крайней мере, в принципе. Сложность даже в однако самые основные математические аргументы формализация на практике невозможна. Появление вычислительной Доказательство помощников начало менять это, делая возможным формализовать все более сложные математические доказательства. … [T] он методы также могут использоваться для более традиционной задачи проверки обычные математические доказательства, и особенно подходят для случаев где доказательства полагаются на вычисления, которые слишком обширны, чтобы проверить их рука.(Авигад 2007, стр. 7)

Однако Деларивьер и Ван Керхове (2017) отмечают, что компьютерные методы могут играть все более важную роль в доказательстве проверки, гораздо менее ясно, что такие методы могут сыграть соответственно центральная роль в продвижении математического понимания.

2.1.3 Диаграммы

Другой аспект неофициальных доказательств, который был предметом возобновленных внимание в современной философской литературе занимает роль диаграммы (Giaquinto 2007; Shin & Lemon 2008).Чего нет в спор в том, что доказательства - особенно в геометрии, но и в других области от анализа до теории групп - часто сопровождается диаграммами. Один вопрос заключается в том, играют ли такие диаграммы незаменимая роль в цепочке рассуждений, ведущих из предпосылки данного доказательства к его заключению. Prima facie , Казалось бы, возможны три ситуации:

  1. Диаграммы не играют существенной роли в доказательстве и служат просто как «иллюстрации» аспектов предмета с которым он имеет дело.
  2. На практике сложно (или даже невозможно) понять доказательство без использования диаграмм, но это незаменимость скорее психологическая, чем логическая.
  3. Диаграммы играют важную роль в логической структуре доказательство.

Первая волна философской работы над схематическим мышлением. сосредоточился на элементах Евклида, частично из-за центральность и историческое значение этой работы, и отчасти потому, что его так часто называют каноническим примером дедуктивного метода (см., д.г., Мумма 2010). Если некоторые или все диаграммы в Элементы подпадают под вариант (iii) выше, затем удаляются все диаграммы сделают многие доказательства недействительными. Это поднимает дальнейший вопрос о том, есть ли отчетливо схематическая форма рассуждения могут быть идентифицированы и проанализированы, и - если итак, можно ли это описать в чисто дедуктивной системе. Один трудность для любой предлагаемой строгости - это «обобщение проблема »: как может доказательство, связанное с конкретной диаграммой быть обобщенным на другие случаи? Это переплетается с проблемой формально различая существенное и случайные особенности данной диаграммы.

Более поздняя работа о роли диаграмм в доказательствах включала защита позиции, что схематические доказательства иногда могут быть полностью строгий (Azzouni, 2013) и изучение основанных на диаграммах рассуждения в областях математической практики, отличных от геометрии (de Тоффоли и Джардино, 2014; де Тоффоли, 2017).

2.2 Обоснование удержания

Даже если мы ограничим внимание контекстом оправдания, дедуктивное доказательство дает категорическое знание, только если оно исходит из безопасная отправная точка, и если правила вывода сохранение истины.Можем ли мы быть уверены, что эти два условия имеют место и обосноваться чисто дедуктивно? Эти условия будут рассматривается по очереди.

2.2.1 Обоснование правил

В каком-то смысле кажется довольно простым дать дедуктивную обоснование некоторого предпочтительного набора правил вывода. Это может быть показано, например, что если помещения приложения Modus Понены верны, значит, вывод также должен быть верным. Проблема в наименее потенциально заключается в том, что такие оправдания обычно используют само правило, которое они пытаются оправдать.В приведенном выше случае: если MP применительно к истинным предпосылкам заключение истинно; МП применяется к истинное помещение; отсюда вывод верный. Хаак (1976) и другие спорили о том, порочна ли здесь округлость. Один решающее значение имеет то, является ли аналогичный «Оправдания» могут быть даны для недействительных правил, для пример правил введения и исключения Priority для "Tonk", которые также имеют функцию использования правила для оправдать сам. [5] (Тесно связанный с этим вопрос можно проследить до Льюиса Кэрролла и его классическая (1895 г.) бумага.)

2.2.2 Статус аксиом

Итак, предположим, что идеализированное дедуктивное доказательство дает одно вид безопасности: прозрачность каждого шага гарантирует действительность аргумента в целом и, следовательно, гарантирует, что , если все предпосылки верны , тогда заключение должно быть верным. Но какие аксиомы внесены в начало доказательства процесс? Традиционный ответ на этот вопрос - утверждать, что истинность аксиом надежна, потому что аксиомы «Само собой разумеющееся».Это, безусловно, было общепринятый взгляд на аксиомы евклидовой геометрии, ибо пример. Однако такое отношение гораздо менее распространено в современном мире. математика по разным причинам. Во-первых, открытие Неевклидова геометрия начала 19 -го века показала эта очевидная самоочевидность, по крайней мере, в случае с Параллельным Постулат не является гарантией необходимой истины. Во-вторых, увеличивающийся диапазон и сложность математических теорий - и их аксиоматизации - сделали гораздо менее правдоподобным утверждение, что каждая отдельная аксиома была прозрачно верной.В-третьих, многие математические подполя стали в значительной степени абстрагированными из любых конкретных моделей, и это идет рука об руку с склонность по крайней мере некоторых математиков принять формалистический отношение к разрабатываемым теориям. Вместо того, чтобы выражать фундаментальные истины, с этой точки зрения аксиомы служат просто для обеспечения исходное положение для формальной игры.

Скольжение в сторону такого формалистического отношения к аксиомам также может можно проследить через логицизм Фреге.Программа логики искала показать, что математика сводится к логике, другими словами, что можно показать, что математические доказательства состоят из логических выводов из логически верные помещения. Для Фреге эти логически верные предпосылки таковы: определения терминов, которые в них встречаются. Но это снова поднимает вопрос о том, что отличает приемлемое от неприемлемого определения. Беспокойство здесь не только в том, верны ли наши аксиомы. но насколько они последовательны (ловушка, которая, как известно, Собственная система Фреге).И это проблема, если самоочевидность отказались от «золотого стандарта» аксиом, независимо от того, перейти отсюда к взглядам формалистов или логики. В обоих случаях, некоторые другие границы приемлемости аксиом-кандидатов должны быть предоставлена.

Есть ли золотая середина между высокими стандартами самоочевидность, с одной стороны, и «все идет» отношение к другому? Одна идея, версию которой можно проследить Бертрану Расселу, заключается в том, чтобы использовать версию вывода о лучшем объяснение.Точка зрения Рассела, достаточно правдоподобная, заключается в том, что предложения элементарной арифметики - «2 + 2 = 4», «7 - простое число» и т. Д. - гораздо более очевидны, чем аксиомы любой логической или теоретико-множественной системы с, чтобы заземлить их. Поэтому вместо того, чтобы рассматривать аксиомы как максимально само собой разумеющимся, мы должны вместо этого думать о них как о избранных на основы их (коллективной) способности систематизировать, выводить и объяснять основные арифметические факты. Другими словами, направление логическое следствие остается от аксиом к арифметическим фактам, но направление оправдания может пойти другим путем, по крайней мере, в случае очень простых, очевидных арифметических фактов.Получение «2 + 2 = 4 ”из наших теоретико-множественных аксиом не увеличивает уверенность в истинности «2 + 2 = 4», но тот факт, что мы можем вывести этот заранее известный факт (а не другие предположения, которые, как мы знаем, ложны) действительно увеличивает нашу уверенность в истинности аксиом.

Направление оправдания здесь отражает направление обоснование вывода о лучшем объяснении. Как только у нас будет степень уверенности в конкретном выборе аксиом, тогда направление оправдания может также течь в более традиционных направление, в соответствии с дедуктивными выводами доказательства.Это будет случиться, когда доказанная теорема не была той, истинность которой была ранее очевидно. Иасваран (2005 г.), Манкосу (2008 г.) и Шлимм (2013) разработали это основное объяснение выбора аксиомы в различных способами. Например, Манкосу утверждает, что аналогичный процесс может лежат в основе развития новых математических теорий, расширяющих область применения или онтологию предыдущих теорий. Изготовление дальнейший прогресс в анализе этого процесса будет зависеть от удовлетворительное изложение математического объяснения, и это стало область значительного интереса в недавней литературе по философия математики.

Другой подход, которого придерживалась Мэдди (1988, 1997, 2001, 2011), - смотреть более подробно в реальной практике математиков и причины, по которым они принимают или отклоняют другого кандидата аксиомы. Мэдди уделяет основное внимание аксиомам теории множеств, и она утверждает, что существуют различные теоретические достоинства без прямой связи к «самоочевидности», которой могут обладать аксиомы. Что это добродетели и то, как они соотносятся друг с другом, могут хорошо различаются в разных областях математики.Две основные добродетели которые Мэдди определяет для теоретико-множественных аксиом как UNIFY (т.е. они обеспечивают единую фундаментальную теорию для решения теоретико-множественных вопросы) и МАКСИМИЗИРОВАТЬ (т. е. чтобы они не ограничивали произвольно диапазон типов изоморфизма). Проблема выбора аксиомы в теории множеств также был поднят в недавней работе Lingamneni (2017) и Фонтанелла (2019).

2.3 Результаты Гёделя

Несомненно, самое известное из ограничений дедуктивного методы в математике - это те, которые происходят от Гёделя неполнота результатов.Хотя эти результаты относятся только к математические теории, достаточно сильные, чтобы включить арифметику, центральность натуральных чисел (и их продолжения в рациональные числа, действительные числа, комплексы и т. д.) как средоточие математической деятельности означает, что последствия широко распространены.

Не следует также говорить о точном значении работы Гёделя. завышен. Порядок квантификаторов важен. Что Гёдель показал, что для любого непротиворечивого, рекурсивно аксиоматизированного формального система F, достаточно сильная для арифметики, есть истины, выражаемые на чисто арифметическом языке, которые не доказываются в F.Он сделал не показывать, что есть недоказуемые арифметические истины любая формальная система . Тем не менее, результаты Гёделя забил несколько значительных гвоздей в гроб одной из версий дедуктивный идеал математики. Не может быть ни одного, рекурсивно аксиоматизируемая формальная система для всей математики, которая является (а) непротиворечивым, (б) чисто дедуктивным и (в) полным. Одна линия ответом на это затруднительное положение является изучение вариантов недедуктивного методы обоснования в математике.

3.1 Экспериментальная математика

Роль недедуктивных методов в эмпирической науке легко понять. очевидный и относительно бесспорный (, Карл Поппер). Действительно, канонический образец оправдания в науке - год. posteriori и индуктивная. Что делает эмпирическую науку эмпирической решающую роль играет наблюдение, и - в частное - экспериментальным путем. Поэтому естественная отправная точка в обзоре недедуктивных методов в математике стоит взглянуть на Возникновение жанра, известного как «экспериментальная математика».”The за последние 15 лет или около того появились журналы (например, The Journal of Experimental Mathematics ), институты (например, Институт экспериментальной математики Университета Эссен), коллоквиумы (например, коллоквиум по экспериментальной математике в г. Рутгерского университета) и книги (например, Borwein and Bailey 2003 и 2004), посвященный этой теме. Эти последние авторы также утверждают, что в Borwein и Bailey (2015) за важность экспериментальных математика в математической практике в целом, в то время как Соренсен (2016) предлагает более широкий исторический и социологический анализ экспериментальной математики.

На фоне традиционной дихотомии между математические и эмпирические пути к знаниям, сам термин «Экспериментальная математика» кажется в лучшем случае оксюморонной и худший прямо-таки парадоксальный. Одно естественное предположение состоит в том, что экспериментальная математика включает выполнение математических эксперименты , где термин «эксперимент» здесь истолковано настолько буквально, насколько это возможно. Это подход, принятый ван Бендегем (1998). По словам ван Бендегема, эксперимент предполагает: «Манипулирование объектами,… настройка процессов в «реальный» мир и… наблюдение возможных результатов этих процессов »(Van Bendegem 1998, 172).Его предложение это естественный способ получить первоначальное представление о том, что эксперимент может состоять в том, чтобы рассмотреть, как эксперимент в этом парадигматический смысл может иметь математические разветвления.

Один из примеров, который приводит ван Бендегем, восходит к работе, проделанной 19 -й век Бельгийский физик Плато на минимальной поверхности проблемы области. Создавая различные геометрические формы из проволоки и окунув эти проволочные каркасы в мыльный раствор, Плато смог ответить на конкретные вопросы о минимальной поверхности, ограничивающей различные определенные формы, и - в конечном итоге - сформулировать некоторые общие принципы, регулирующие конфигурации таких поверхности. [6] Один из способов понять, что происходит в этом примере, состоит в том, что физический эксперимент - окунание проволочного каркаса в мыло решение - дает результаты, которые имеют прямое отношение к определенный класс математических задач. Главный недостаток этого способа характеристики экспериментальной математики состоит в том, что она слишком ограничительный. Примеры того, что цитирует ван Бендегем, чрезвычайно редко, следовательно, влияние математических экспериментов такого рода на реальная математическая практика может быть в лучшем случае очень ограниченной.Более того, не только этот, буквальный смысл эксперимента математики имеют в виду, когда говорят о - и до - экспериментальная математика.

Вот и все для самого буквального прочтения «математической эксперимент ». Потенциально более плодотворный подход - подумать аналогичные или функциональные термины. Другими словами, возможно «Экспериментальная математика» используется для обозначения деятельности, которая функционирует в математике аналогично роль эксперимента в эмпирической науке.Таким образом, математические эксперименты может разделять одни особенности с буквальными экспериментами, но не другие особенности (Baker 2008; McEvoy 2008, 2013; Sorensen 2010; van Kerkhove 2008 г.). Прежде чем продолжить этот анализ, может быть полезно чтобы вкратце взглянуть на тематическое исследование.

Прекрасный пример текущей работы по экспериментальной математике представлен в одна из двух недавних книг Борвейна и Бейли (1995b, гл. 4). А действительное число считается нормальным в базе n , если каждая последовательность цифр для основания n (любой заданной длины) одинаково часто встречается в его base-n расширение.Число абсолютно нормальное , если оно нормально в каждой базе. Рассмотрим следующую гипотезу:

Гипотеза: всякое нерациональное алгебраическое число абсолютно нормально.

Борвейн и Бейли использовали компьютер для вычисления до 10 000 десятичных цифр. квадратные корни и кубические корни из натуральных чисел меньше, чем 1000, а затем они подвергли эти данные определенным статистическим тесты.

В этом примере есть несколько ярких особенностей, которые могут указать к более общей характеристике экспериментальной математики.Во-первых, путь от свидетельства к гипотезе лежит через перечисление. индукция. Во-вторых, это использование компьютеров. В чем Ниже мы рассмотрим эти две особенности по очереди.

3.2 Перечислительная индукция

В письме к Эйлеру, написанном в 1742 году, Кристиан Гольдбах предположил, что что все четные числа больше 2 выражаются как сумма двух простые числа. [7] В течение следующих двух с половиной столетий математики не может доказать гипотезу Гольдбаха.Однако это было проверено на многих миллиардах примеров, и, похоже, консенсус среди математиков о том, что эта гипотеза наиболее вероятна правда. Ниже приведен частичный список (по состоянию на октябрь 2007 г.), показывающий порядок величины, до которой все четные числа были проверены и показаны чтобы соответствовать GC.

Связанный Дата Автор
1 × 10 3 1742 Эйлер
1 × 10 4 1885 Desboves
1 × 10 5 1938 Кант
1 × 10 8 1965 Stein & Stein
2 × 10 10 1989 Гранвиль
1 × 10 14 1998 Десуиллер
1 × 10 18 2007 Оливейра и Сильва

Несмотря на огромное скопление отдельных положительных примеров GC, которому с начала 1960-х годов помогли введение - и последующие быстрое увеличение скорости - цифрового компьютера, никаких доказательств GC еще не найдено.Не только это, но и некоторые теоретики чисел оптимистично настроен на то, что в ближайшее время появятся какие-либо доказательства Медалист Филдса Алан Бейкер заявил в интервью 2000 года: «Маловероятно, что мы продвинуться дальше [в доказательстве GC] без большого прорыва. К сожалению, такой большой идеи на горизонте нет ». Также в В 2000 году издатели Faber и Faber предложили каждому приз в размере 1000000 долларов. которые доказали GC в период с 20 марта 2000 г. по 20 марта 2002 г., уверены, что их деньги были в относительной безопасности.

Что делает эту ситуацию особенно интересной, так это то, что математики давно уверены в истинности GC.Харди Еще в 1922 году Литтлвуд утверждал, что «не существует разумные сомнения в том, что теорема верна », и Эчеверриа, в недавней обзорной статье пишет, что «уверенность в математиков об истинности GC полно »(Echeverria 1996, 42). Более того, эта уверенность в истинности GC обычно прямо связаны с индуктивными доказательствами: например, G.H. Харди описал числовые свидетельства, подтверждающие истинность GC, как "Подавляющее". Таким образом, кажется разумным заключить, что Основанием для веры математиков в GC является перечисление индуктивное свидетельство.

Одна отличительная черта математического случая, которая может сделать Различие в оправдательной силе перечислительной индукции заключается в важность порядка. Примеры, подпадающие под данную математическую гипотезы (по крайней мере, в теории чисел) внутренне упорядочены, и кроме того, положение в этом порядке может иметь решающее значение для задействованные математические свойства. Как пишет Фреге, относительно математика:

[T] Заземление [является] неблагоприятным для индукции; здесь нет ни одного из единообразие, которое в других областях может дать методу высокую степень надежности.(Фреге, Основы арифметики )

Затем Фреге цитирует Лейбница, который утверждает, что разница в величина приводит ко всем видам других существенных различий между номера:

Четное число можно разделить на две равные части, нечетное число не могут; три и шесть - треугольные числа, четыре и девять - квадраты, восьмерка - это куб и т. д. (Фреге, Основы Арифметика )

Фреге также явно сравнивает математические и нематематические контексты для индукции:

В обычных индукциях мы часто пользуемся предложением, что каждая позиция в пространстве и каждый момент времени хороши сами по себе как и все остальные.… Положение в числовом ряду не имеет значения безразличия, как положение в пространстве. (Фреге, Основы Арифметика )

Как следует из замечаний Фреге, один из способов подкрепить аргумент против использования перечислительной индукции в математике через некоторые тип принцип неравномерности : в отсутствие доказательств мы не следует ожидать, что числа (в целом) поделятся любопытными свойства. Следовательно, устанавливая, что свойство выполнено для некоторого конкретное число не дает оснований думать, что второй произвольно выбранный номер также будет иметь это свойство. [8] Вместо принципа однородности, который предлагает Юм, является единственным способ заземления индукции, мы имеем почти противоположное принцип! Казалось бы, из этого принципа следует, что Перечислительная индукция неоправданна, так как не следует ожидать (конечные) выборки из совокупности натуральных чисел в качестве ориентировочных универсальных свойств.

Потенциально даже более серьезная проблема в случае GC и в целом в других случаях индукции в математике состоит в том, что образец, который мы глядя на смещен .Обратите внимание, что все известные экземпляры GC (и действительно все экземпляры, которые можно знать) являются - в важном смысле - маленькими.

В самом реальном смысле больших чисел не бывает: любое явное целое число. можно сказать, что они «маленькие». Действительно, сколько бы цифры или башни экспонент, которые вы записываете, есть только конечное много натуральных чисел меньше, чем ваш кандидат, и бесконечно много которые больше (Crandall and Pomerance 2001, 2).

Конечно, было бы неправильно просто жаловаться, что все экземпляры GC - это , конечные .В конце концов, каждое число конечно, поэтому если GC выполняется для всех конечных чисел, чем выполняется GC Симпликатор . [9] Но мы можем выделить более крайнее чувство малости, которое может быть называется minuteness .

Определение: положительное целое число, n , это минута только в case n находится в диапазоне чисел, которые мы можем записать, используя обычная десятичная система счисления, включая (не повторяющееся) возведение в степень.

Проверенные экземпляры GC на сегодняшний день не просто маленькие, они мельчайшие.А мелкость, хотя, по общему признанию, довольно расплывчато определенная, известна Сделать разницу. Рассмотрим, например, логарифмическую оценку простая плотность (т. е. доля чисел меньше заданного n , которые простые), что, как известно, стало заниженным для больших достаточно n . Пусть n * будет первым число, для которого логарифмическая оценка слишком мала. Если Риман Гипотеза верна, тогда можно доказать, что верхняя оценка для n * (первое число Skewes) равно 8 × 10 370 .Хотя впечатляюще большое число, это тем не менее, минута в соответствии с приведенным выше определением. Однако если Гипотеза Римана неверна, чем наша самая известная верхняя оценка для n * (второе число Скьюза) 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 3. [10] Необходимость изобретения здесь обозначения «стрелка», чтобы Представьте, что это число говорит нам, что это не минута. Вторая часть этого результата, поэтому, хотя, по общему признанию, зависит от результата что считается маловероятным (т.е.ложность RH) означает, что есть свойство, которое содержит все минутные числа, но не удерживайте для всех номеров. Мельчайшие детали могут иметь значение.

А как насчет кажущейся уверенности теоретиков чисел в правда GC? Эчеверрия (1996) обсуждает важную роль, которую играет Публикация Кантора в 1894 г. таблицы значений Статистическая сумма Гольдбаха, G ( n ), для n = от 2 до 1000 (Echeverria 1996,29–30). Статистическая сумма меры количество различных способов, которыми данное (четное) число может быть выражается как сумма двух простых чисел.Таким образом, G (4) = 1, G (6) = 1, G (8) = 1, G (10) = 2 и т. Д. Это смещение фокуса на статистическую сумму совпало с резким ростом уверенности математиков в GC. Из работы Кантора стало очевидно, что G ( n ) имеет тенденцию к увеличению по мере увеличения n . Обратите внимание, что в этом контексте GC сводится к тому, что G ( n ) никогда не принимает значение 0 (для любого четного n больше 2). Подавляющее впечатление , произведенное данными о функции раздела, заключается в том, что он очень маловероятно, что сборщик мусора откажет для некоторых больших n .За например, для чисел порядка 100 000 всегда есть как минимум 500 различных способов выразить каждое четное число как сумму двух простые числа!

Однако в нынешнем виде эти результаты чисто эвристические. Тридцать лет после публикации Кантором своей таблицы ценностей (описанный Эчеверрией как «период - гг.» исследования GC) видели многочисленные попытки найти аналитическое выражение для G ( n ). Если бы это можно было сделать, то предположительно сравнительно просто доказать, что эта аналитическая функция никогда не принимает значение 0 (Echeverria 1996, 31).Примерно к 1921 году пессимизм в отношении шансов найти такое выражение привел к изменение акцентов, и математики начали направлять свои внимание на попытку найти нижние оценки для G ( n ). Это тоже оказался безуспешным, по крайней мере, на сегодняшний день.

Таким образом, рассмотрение статистической суммы не привело к доказательству GC никак не ближе. Однако это позволяет нам дать интересный вернемся к аргументу из предыдущего раздела. График предполагает, что самые сложные тестовые примеры для GC, скорее всего, произойдут среди самых маленьких числа; следовательно, индуктивный образец для GC смещен на , но он смещено против шансов GC.Математиков уверенность в истинности GC не основана исключительно на перечислительных индукция. Значения, взятые статистической суммой, показывают, что выборка положительных примеров GC действительно смещена и смещена образцы, как правило, не оказывают большой поддержки гипотеза. Но в данном конкретном случае характер смещения заставляет доказательства сильнее, а не слабее. Так что можно утверждать, что перечислительная индукция неоправданна при одновременном согласии что математики рационально полагают GC на основе имеющиеся доказательства.(Обратите внимание, что существует тонкий баланс для поддержания здесь, потому что свидетельством поведения статистической суммы является сам по себе недедуктивный. Однако создается впечатление, что G ( n ) может быть ограничена снизу некоторой возрастающей аналитической функцией, не является на основе перечислительной индукции как таковой , поэтому обоснование - хотя и недедуктивное - не является круговым.)

Результат вышеупомянутого обсуждения, хотя и основан на одном случае исследования, заключается в том, что математики не должны - и в целом not - придайте вес перечислительной индукции как таковой в обоснование математических утверждений.(В какой мере перечислительные индукция играет роль в открытии новых гипотез или в выбор того, над чем решают работать математики, - это отдельный вопрос, который здесь не рассматривался.) Точнее, Диссертация состоит из двух частей:

  1. Числовая индукция не должна увеличиваться уверенность в универсальных математических обобщениях (в бесконечном домен).
  2. Перечислительная индукция не ведет (в общем) математики, чтобы быть более уверенными в истинности заключения такие обобщения.

3.3 Компьютерные пруфы

Отличительной чертой современных работ по экспериментальной математике является что это делается с помощью компьютеров . Это зависимость от сложные части электроники, что делает поле «Экспериментальный»? Если посмотреть, что публикуется в современные журналы, книги и конференции, посвященные экспериментальным математика, создается впечатление, что все предметы тесно связаны с компьютерами. Например, не видно ни одного статья, опубликованная в более чем десятилетних выпусках Экспериментальная математика , не использующая компьютеры.А как насчет примеров, к которым склонны математики? предложить как парадигмы экспериментальной математики? Здесь данные менее ясно. С одной стороны, неформальный опрос показывает, что большинство таких примеров действительно связано с явным использованием компьютеров. С другой стороны, математики нередко цитируют один или несколько исторических примеров, задолго до компьютерной эры, до проиллюстрировать предполагаемую родословную субдисциплины.

Самая большая практическая проблема приравнивания экспериментального математика с компьютерной математикой происходит от того, что самозваные экспериментальные математики говорят о своих зарождающихся дисциплина.Когда математики застенчиво задумываются о понятие экспериментальной математики, они склонны отвергать утверждение, что использование компьютера - необходимая функция. Например, редакторы журнала журнал Experimental Mathematics - в их «Философское изложение» относительно объема и характера журнала - сделать следующие пометки:

Слово «экспериментальный» понимается широко: многие математические эксперименты в наши дни проводятся на компьютерах, но другие по-прежнему являются результатом работы с карандашом и бумагой, а есть другие экспериментальные методы, такие как создание физических модели.(«Цели и сфера действия», Experimental Mathematics - см. Другие Интернет-ресурсы)

А вот еще один отрывок с похожим вкусом от математика. Дорон Зейлбергер:

[T] Традиционная экспериментальная математика… была проведена все великие и менее великие математики на протяжении веков, карандашом и бумагой. (Галлиан и Пирсон 2007, 14)

Будет справедливо сказать, что привязка экспериментальной математики к компьютеру использование хорошо сочетается с тем, что делают современные экспериментальные математики но не так хорошо с тем, что они сказать. [11]

Вторая проблема с предлагаемой характеристикой заключается в следующем. философский характер. Рассмотрим еще один широко цитируемый пример экспериментальная математика, возникающая в связи с Гипотеза Гольдбаха. По состоянию на апрель 2007 г. все четные числа до 10 18 были проверены на соответствие требованиям GC, и этот проект (под руководством Oliveira e Silva) продолжается. Этот массивный вычислительная задача обычно считается парадигмальным примером экспериментальная математика.И кажется очевидным, что компьютеры играют здесь существенную роль: ни математик, ни группа математики, могли бы надеяться повторить 10 18 расчетов рукой.

В текущем контексте главный вопрос заключается не в том, компьютерная математика является «экспериментальной», но это - по крайней мере иногда - без вычета . В одном смысл, конечно, все отдельные вычисления, выполненные компьютер дедуктивен, или, по крайней мере, они изоморфны операции чисто дедуктивной формальной системы.Когда компьютер проверяет экземпляр GC, эта проверка полностью дедуктивна. Затем мы можем выделить два разных вопроса. Во-первых, это вычисления, играющие недедуктивную роль в некоторых более крупных математических аргумент? А во-вторых, убеждения, которые мы формируем непосредственно из результаты компьютерных вычислений дедуктивно обоснованные убеждения? В первый из этих вопросов не включает ничего специфического для компьютеров, и, следовательно, возвращается к проблеме, обсуждаемой в Разделе 3 (B) выше по перечислительной индукции.Второй вопрос будет рассматриваются ниже.

Вызвано философское обсуждение статуса компьютерных доказательств. в значительной степени благодаря компьютерному доказательству Аппеля и Хакена Теорема о четырех цветах в 1976 г. В его (1979) Тимочко утверждает, спорно, что на основе математических знаний о компьютерных доказательствах по сути эмпирический характер. Это потому что такие доказательства не априори , не достоверны, не можно исследовать и не проверять математиками-людьми. Во всех этих уважает, по словам Тимочко, компьютерные доказательства не похожи на традиционные "карандашно-бумажные" корректуры.Что касается обзорность, Тимочко пишет:

Доказательство - это конструкция, которую можно просмотреть, просмотреть, проверить. рациональным агентом. Мы часто говорим, что доказательство должно быть наглядным, или возможность проверки вручную. Это выставка, вывод вывод, и ему не нужно ничего извне, чтобы быть убедительным. Математик исследует доказательство целиком и таким образом приходит к знать заключение. (Тимочко 1979, 59).

В качестве аргумента предположим, что компьютерное доказательство, о котором идет речь, является дедуктивно правильно, но также не поддается исследованию в указанном выше смысле.Делает наше решение полагаться на производительность компьютера здесь составляет недедуктивный метод ? Один из способов рассмотрения такого рода примеров это как вбивание клина между дедуктивным методом и нашим недедуктивным доступ к результатам этого метода. Сравните, например, когда эксперт сообщает конкретный математический результат математик (с хорошей репутацией). Это "Недедуктивный метод »? [12]

3.4 Вероятностные доказательства

Существует небольшое, но постоянно растущее подмножество математических методов, которые носят существенно вероятностный характер.В контексте обоснование, эти методы не подразумевают дедуктивного заключения а лучше установить, что есть некоторые (часто точно определяемые) высокая вероятность того, что вывод верен. Философская дискуссия из этих методов началось с Fallis (1997, 2002), в то время как Berry (2019) полезный недавний вклад в дискуссию.

Один из типов вероятностных методов ссылается на предыдущее обсуждение. экспериментальной математики, поскольку она включает в себя проведение экспериментов в самом буквальном смысле.Идея состоит в том, чтобы использовать вычислительную мощность ДНК для эффективного создания параллельного компьютера для решения некоторые иначе неразрешимые комбинаторные проблемы. Наиболее известный из них - проблема "коммивояжера", которая включает определение того, существует ли какой-либо возможный маршрут через узлы графа, соединенные однонаправленными стрелками, которые посещают каждый узел ровно один раз. Адлеман (1994) показывает, как можно закодировать проблему. с использованием цепей ДНК, которые затем можно сплайсировать и рекомбинировать с использованием различные химические реакции.Появление определенной более длинной ДНК прядей в конце процесса соответствует нахождению путь решения через граф. Приходят вероятностные соображения наиболее отчетливо в том случае, когда нити ДНК больше не обнаруживаются. Этот указывает, что нет пути через граф, но даже если эксперимент проведен правильно, поддержка здесь недостаточна полная уверенность. Потому что есть небольшой шанс, что есть решение но что он не может быть закодирован какой-либо цепью ДНК в начале эксперимент.

В математике есть также вероятностные методы, которые экспериментальный в указанном выше смысле. Например, есть свойства составные (т.е. непростые) числа, которые, как можно показать, выполняются в отношение примерно к половине чисел меньше, чем данный составной количество. Если выбраны различные числа меньше N в случайным образом и ни один из них не имеет отношения к N , то он Отсюда следует, что N почти наверняка простое число. Уровень вероятность здесь может быть точно рассчитана и может быть сделана по мере необходимости, выбирая больше «свидетелей» для проверки.

Обратите внимание, что такого рода вероятностные методы содержат множество чисто дедуктивное рассуждение. Действительно, во втором примере факт что вероятность того, что N будет простым, равна 0,99. чисто дедуктивно. Тем не менее, есть общий консенсус в отношении математическое сообщество, что такие методы неприемлемы заменяет дедуктивное доказательство заключения. Фаллис (1997, 2002) утверждает, что это отклонение необоснованно, потому что любое свойство вероятностные методы, которые можно назвать проблемными, разделяется некоторыми доказательствами, которые принимает математическое сообщество.Фаллис уделяет основное внимание установлению истины как ключевого эпистемологического цель математики. Однако кажется правдоподобным, что одна из основных причин за недовольство математиков вероятностными методами состоит в том, что они не объясняют , почему их выводы верны. Кроме того, Ишваран возражает против Фаллиса, что существует собственность, которую он называет «передаваемость», что нет вероятностных доказательств и есть приемлемые доказательства (Easwaran 2009; Джексон 2009). Fallis (2011) - ответ на некоторые из этих возражения.

С другой стороны, могут быть случаи, когда чистая правда или ложь претензии важно даже при отсутствии сопроводительного объяснение. Например, можно представить ситуацию, в которой важная и интересная гипотеза, - говорят Риман Гипотеза - рассматривается, вероятностный метод используется, чтобы показать, что какое-то число, скорее всего, является контрпримером. Интересно предположить, какова реакция математических сообщество может быть в этой ситуации.Будет работать над попыткой доказать RH прекратить? Будет ли это продолжаться до тех пор, пока не будет получено строгое дедуктивное доказательство контрпример построен?

Непонятно, почему следует ожидать различных недедуктивных методы, используемые в математике, чтобы разделить какие-либо существенные особенности, другие чем их недедуктивность. Философы смотрят на роль недедуктивные рассуждения в контексте открытия часто говорят как будто нужно найти какое-то единство (например, подзаголовок к Доказательства и опровержения Лакатоса - это «Логика Математическое открытие.«Более вероятно, что массив недедуктивные методы разнообразны и неоднородны. (Сравните Станислава Замечание Улама о том, что «изучение нелинейной физики как изучение биологии неслонов. »)

Работа современных философов математики продолжает подталкивать изучение недедуктивных математических методов по новым направлениям. Один область интересов - «математические естественные виды» и можно ли использовать такое понятие для обоснования использования аналогии в математические рассуждения (Corfield 2004 [Другие Интернет-ресурсы]).Еще одна исследуемая область - предполагаемая роль эвристического принципы математики. (Большая часть этой работы восходит к Pólya (1945).)

Предыстория всех этих дебатов касается степени который каждый конкретный недедуктивный метод играет важную роль в оправдательной практике математики. Этот вопрос возникает как на локальном, так и на глобальном уровне. На местном уровне конкретная аргументация для оправдания данного результата может быть неизбежно недедуктивный, но результат также может быть установлен некоторые другие, чисто дедуктивные рассуждения.На глобальном уровне возможно, наше единственное оправдание некоторых математических утверждений недедуктивно. Степень, в которой мы используем недедуктивные методы обусловлено ограничениями на практике, а не в принципе остается вопросом для дальнейшего расследования.

Курсы математики, механики, статистики

MAT-IN9240 - Численный анализ PDE (10 кредитов) 10
MAT-INF3600 - Математическая логика (10 кредитов) 10
MAT2000 - Проектная работа по математике (10 кредитов) 10
MAT2200 - Группы, кольца и поля (10 кредитов) 10
MAT2250 - Дискретная математика (10 кредитов) 10
MAT2400 - Реальный анализ (10 кредитов) 10
MAT2410 - Введение в комплексный анализ (10 кредитов) 10
MAT3100 - Линейная оптимизация (10 кредитов) 10
MAT3110 - Введение в численный анализ (10 кредитов) 10
MAT3360 - Введение в дифференциальные уравнения с частными производными (10 баллов) 10
MAT3400 - Линейный анализ с приложениями (10 баллов) 10
MAT3420 - Квантовые вычисления (10 кредитов) 10
MAT3440 - Динамические системы (10 баллов) 10
MAT3500 - Топология (10 кредитов) 10
MAT4110 - Введение в численный анализ (10 кредитов) 10
MAT4120 - Математическая оптимизация (10 кредитов) 10
MAT4130 - Численный анализ (10 кредитов) 10
MAT4160 - Темы геометрического моделирования (10 кредитов) 10
MAT4170 - Сплайн-методы (10 кредитов) 10
MAT4170 - Сплайновые методы (10 кредитов) 10
MAT4200 - Коммутативная алгебра (10 кредитов) 10
MAT4210 - Алгебраическая геометрия I (10 кредитов) 10
MAT4215 - Алгебраическая геометрия II (10 кредитов) 10
MAT4230 - Алгебраическая геометрия III (10 кредитов) 10
MAT4240 - Эллиптические кривые (10 баллов) 10
MAT4250 - Теория чисел (10 кредитов) 10
MAT4270 - Теория представлений (10 баллов) 10
MAT4301 - Уравнения в частных производных (10 баллов) 10
MAT4305 - Уравнения в частных производных и пространства Соболева I (10 баллов) 10
MAT4315 - Уравнения с частными производными и пространства Соболева II (10 кредитов) 10
MAT4380 - Нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными (10 баллов) 10
MAT4400 - Линейный анализ с приложениями (10 баллов) 10
MAT4410 - Расширенный линейный анализ (10 баллов) 10
MAT4450 - Расширенный функциональный анализ (10 баллов) 10
MAT4460 - C * -алгебры (10 кредитов) 10
MAT4500 - Топология (10 кредитов) 10
MAT4510 - Геометрические конструкции (10 кредитов) 10
MAT4520 - Коллекторы (10 баллов) 10
MAT4530 - Алгебраическая топология I (10 кредитов) 10
MAT4540 - Алгебраическая топология II (10 кредитов) 10
MAT4551 - Симплектическая геометрия (10 кредитов) 10
MAT4590 - Дифференциальная геометрия (10 баллов) 10
MAT4595 - Геометрия и анализ (10 кредитов) 10
MAT4630 - Теория вычислимости (10 баллов) 10
MAT4640 - Аксиоматическая теория множеств (10 кредитов) 10
MAT4720 - Стохастический анализ и стохастические дифференциальные уравнения (10 кредитов) 10
MAT4740 - Расчет Маллявэна и приложения к финансам (10 кредитов) 10
MAT4750 - Математические финансы: моделирование и управление рисками (10 кредитов) 10
MAT4760 - Высшие математические методы в финансах (10 кредитов) 10
MAT4770 - Стохастическое моделирование на энергетических и товарных рынках (10 кредитов) 10
MAT4790 - Стохастическая фильтрация (10 кредитов) 10
MAT4800 - Комплексный анализ (10 кредитов) 10
MAT4810 - Введение в несколько комплексных переменных (10 баллов) 10
MAT4820 - Комплексная динамика (10 кредитов) 10
MAT4830 - Темы комплексного анализа и динамики (10 кредитов) 10
MAT4930 - Исследования в аспирантуре (30 кредитов) 30
MAT9120 - математическая оптимизация (10 кредитов) 10
MAT9170 - Сплайновые методы (10 кредитов) 10
MAT9170 - Сплайновые методы (10 кредитов) 10
MAT9210 - Алгебраическая геометрия I (10 кредитов) 10
MAT9215 - Алгебраическая геометрия II (10 кредитов) 10
MAT9230 - Алгебраическая геометрия III (10 кредитов) 10
MAT9240 - Эллиптические кривые (10 баллов) 10
MAT9270 - Теория представлений (10 кредитов) 10
MAT9305 - Уравнения с частными производными и пространства Соболева I (10 кредитов) 10
MAT9315 - Уравнения с частными производными и пространства Соболева II (10 кредитов) 10
MAT9380 - Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных (10 баллов) 10
MAT9390 - Темы в операторных алгебрах (10 кредитов) 10
MAT9460 - C * -алгебры (10 кредитов) 10
MAT9520 - Коллекторы (10 баллов) 10
MAT9530 - Алгебраическая топология I (10 кредитов) 10
MAT9540 - Алгебраическая топология II (10 кредитов) 10
MAT9551 - Симплектическая геометрия (10 кредитов) 10
MAT9560 - Группы Ли (15 кредитов) 15
MAT9570 - Алгебраическая K-теория (10 кредитов) 10
MAT9580 - Алгебраическая топология III (10 кредитов) 10
MAT9580 - Алгебраическая топология III (10 кредитов) 10
MAT9590 - Дифференциальная геометрия (10 кредитов) 10
MAT9595 - Геометрия и анализ (10 кредитов) 10
MAT9640 - Аксиоматическая теория множеств (10 кредитов) 10
MAT9650 - Advanced Topics in Logic (10 кредитов) 10
MAT9720 - Стохастический анализ и стохастические дифференциальные уравнения (10 кредитов) 10
MAT9740 - Расчет Маллявэна и приложения к финансам (10 кредитов) 10
MAT9750 - Математические финансы: моделирование и управление рисками (10 кредитов) 10
MAT9760 - Расширенные математические методы в финансах (10 кредитов) 10
MAT9770 - Стохастическое моделирование на энергетических и товарных рынках (10 кредитов) 10
MAT9790 - Стохастическая фильтрация (10 кредитов) 10
MAT9800 - Комплексный анализ (10 кредитов) 10
MAT9810 - Введение в несколько сложных переменных (10 баллов) 10
MAT9820 - Комплексная динамика (10 кредитов) 10
MAT9830 - Темы комплексного анализа и динамики (10 кредитов) 10
MEK3200 - Проектные работы по механике (10 кредитов) 10
MEK3200 - Проектные работы по механике (10 кредитов) 10
MEK3570 - Вычислительная механика твердого тела (10 кредитов) 10
MEK4020 - Вязкие жидкости и эластичные материалы (10 баллов) 10
MEK4100 - Математические методы в механике (10 кредитов) 10
MEK4110 - Прикладная математика (10 кредитов) 10
MEK4250 - Методы конечных элементов в вычислительной механике (10 кредитов) 10
MEK4250 - Методы конечных элементов в вычислительной механике (10 кредитов) 10
MEK4300 - вязкий поток и турбулентность (10 баллов) 10
MEK4320 - Теория гидродинамических волн (10 кредитов) 10
MEK4330 - Теория и моделирование турбулентности (10 кредитов) 10
MEK4340 - Турбулентные потоки в технике (10 кредитов) 10
MEK4350 - Стохастические и нелинейные океанские волны (10 кредитов) 10
MEK4400 - Теория гидродинамической устойчивости (10 кредитов) 10
MEK4420 - Морская гидродинамика (10 баллов) 10
MEK4430 - многофазный поток (10 кредитов) 10
MEK4450 - Offshore Technology (10 кредитов) 10
MEK4460 - LES в морской гидродинамике и морской ветроэнергетике (5 баллов) 5
MEK4470 - Вычислительная механика жидкости (10 кредитов) 10
MEK4480 - Потоки свободной поверхности (10 баллов) 10
MEK4490 - Проект по механике жидкости (10 кредитов) 10
MEK4570 - Вычислительная механика твердого тела (10 кредитов) 10
MEK4600 - Экспериментальные методы в механике жидкости (10 кредитов) 10
MEK4930 - Исследования в области механики (30 кредитов) 30
MEK9110 - Прикладная математика (10 кредитов) 10
MEK9250 - Методы конечных элементов в вычислительной механике (10 кредитов) 10
MEK9250 - Методы конечных элементов в вычислительной механике (10 кредитов) 10
MEK9300 - вязкий поток и турбулентность (10 баллов) 10
MEK9310 - Сжимаемый поток и ударные волны (10 баллов) 10
MEK9320 - Теория гидродинамических волн (10 кредитов) 10
MEK9330 - Теория и моделирование турбулентности (10 кредитов) 10
MEK9340 - Турбулентные потоки в технике (10 баллов) 10
MEK9350 - Стохастические и нелинейные океанские волны (10 кредитов) 10
MEK9400 - Теория гидродинамической устойчивости (10 кредитов) 10
MEK9420 - Морская гидродинамика (10 баллов) 10
MEK9430 - многофазный поток (10 кредитов) 10
MEK9440 - Численная гидродинамика со свободной поверхностью (10 кредитов) 10
MEK9460 - LES в морской гидродинамике и морской ветроэнергетике (5 баллов) 5
MEK9470 - Вычислительная механика жидкости (10 кредитов) 10
MEK9480 - Потоки свободной поверхности (10 кредитов) 10
MEK9600 - Экспериментальные методы в механике жидкости (10 кредитов) 10
STK-IN4300 - Статистические методы обучения в науке о данных (10 кредитов) 10
STK-IN4355 - Стажировка в области науки о данных (10 кредитов) 10
STK-IN9300 - Статистические методы обучения в науке о данных (10 кредитов) 10
STK-INF3000 - Избранные темы науки о данных (10 кредитов) 10
STK-INF4000 - Избранные темы в области науки о данных (10 кредитов) 10
STK-MAT2011 - Проектная работа в области финансов, страхования, рисков и анализа данных (10 кредитов) 10
STK-MAT3700 - Введение в математические финансы и теорию инвестиций (10 кредитов) 10
STK-MAT3710 - Теория вероятностей (10 кредитов) 10
STK-MAT4700 - Введение в математические финансы и теорию инвестиций (10 кредитов) 10
STK-MAT4710 - Теория вероятностей (10 кредитов) 10
STK2100 - Машинное обучение и статистические методы для прогнозирования и классификации (10 кредитов) 10
STK2130 - Моделирование случайными процессами (10 кредитов) 10
STK3100 - Введение в обобщенные линейные модели (10 кредитов) 10
STK3405 - Введение в анализ рисков и надежности (10 баллов) 10
STK3505 - Проблемы и методы актуарной науки (10 кредитов) 10
STK4000 - Специальная программа и семинар (10 кредитов) 10
STK4011 - Теория статистического вывода (10 баллов) 10
STK4021 - Прикладной байесовский анализ (10 кредитов) 10
STK4051 - Вычислительная статистика (10 кредитов) 10
STK4060 - Временной ряд (10 кредитов) 10
STK4080 - Анализ выживаемости и истории событий (10 кредитов) 10
STK4080 - Анализ выживаемости и истории событий (10 кредитов) 10
STK4090 - Статистическая теория большой выборки (10 баллов) 10
STK4100 - Введение в обобщенные линейные модели (10 кредитов) 10
STK4150 - Экологическая и пространственная статистика (10 баллов) 10
STK4160 - Выбор статистической модели (10 баллов) 10
STK4160 - Выбор статистической модели (10 баллов) 10
STK4180 - Распределение уверенности (10 баллов) 10
STK4190 - Байесовские непараметрики (10 кредитов) 10
STK4205 - Краткий курс по избранным темам статистики (5 кредитов) 5
STK4290 - Избранные темы в расширенной статистике (10 кредитов) 10
STK4290 - Избранные темы в расширенной статистике (10 кредитов) 10
STK4400 - Анализ рисков и надежности (10 баллов) 10
STK4400 - Анализ рисков и надежности (10 баллов) 10
STK4405 - Введение в анализ рисков и надежности (10 баллов) 10
STK4500 - Страхование жизни и финансирование (10 кредитов) 10
STK4505 - Проблемы и методы актуарной науки (10 кредитов) 10
STK4530 - Моделирование процентной ставки с помощью SPDE (10 кредитов) 10
STK4540 - Математика страхования, кроме страхования жизни (10 кредитов) 10
STK4550 - Статистика экстремальных значений и большие отклонения (10 баллов) 10
STK4610 - Статистические методы для социальных наук: выборка обследования (10 баллов) 10
STK4900 - Статистические методы и приложения (10 баллов) 10
STK4930 - Исследования в области статистики (30 кредитов) 30
STK9011 - Теория статистического вывода (10 баллов) 10
STK9021 - Прикладной байесовский анализ (10 кредитов) 10
STK9051 - Вычислительная статистика (10 кредитов) 10
STK9060 - Временной ряд (10 кредитов) 10
STK9080 - Анализ выживаемости и истории событий (10 кредитов) 10
STK9080 - Анализ выживаемости и истории событий (10 кредитов) 10
STK9090 - Статистическая теория большой выборки (10 баллов) 10
STK9150 - Экологическая и пространственная статистика (10 кредитов) 10
STK9160 - Выбор статистической модели (10 баллов) 10
STK9160 - выбор статистической модели (10 кредитов) 10
STK9180 - Распределение уверенности (10 кредитов) 10
STK9190 - Байесовские непараметрики (10 кредитов) 10
STK9200 - Расширенные статистические методы (10 кредитов) 10
STK9200 - Расширенные статистические методы (10 кредитов) 10
STK9205 - Краткий курс по избранным темам статистики (5 кредитов) 5
STK9290 - Избранные темы в расширенной статистике (10 кредитов) 10
STK9290 - Избранные темы в расширенной статистике (10 кредитов) 10
STK9400 - Анализ рисков и надежности (10 баллов) 10
STK9400 - Анализ рисков и надежности (10 баллов) 10
STK9500 - Страхование жизни и финансирование (10 кредитов) 10
STK9530 - Моделирование процентной ставки с помощью SPDE (10 кредитов) 10
STK9550 - Статистика экстремальных значений и большие отклонения (10 баллов) 10
STK9610 - Статистические методы для социальных наук: выборка обследования (10 баллов) 10
STK9900 - Статистические методы и приложения (10 баллов) 10

Вводный курс математики - Стокгольмский университет

Перейти к основному содержанию
  • Образование
    • Прием
      • Как применить
      • Основные причины выбрать SU
      • Встреть нас
      • Студенты по обмену
      • Студенческая жизнь
      • Поддержка студентов
    • Новый студент
      • Плавный старт
      • Новое в Швеции
      • IT для студентов
      • Студенческое здоровье
      • Студенческая жизнь
      • Поддержка студентов
    • Во время учебы
      • Поддержка студентов
      • IT для студентов
      • Карьера
      • Студенческая жизнь
      • Студенческое здоровье
      • Выходить на международный уровень
    • Выпускной и не только
      • Градусы
      • Карьера
      • Выпускников
      • Новости
      • Календарь
      • Найти курсы и программы
      • Все предметы
      • Цифровые инструменты и услуги
  • Исследование
    • Исследование Стокгольмский университет проводит независимые фундаментальные исследования и беспристрастные прикладные исследования высокого уровня.Здесь вы можете получить представление о наших текущих исследованиях и текущих проектах.
    • Независимые исследования в международной среде Станьте исследователем Блоги в университете Инфраструктура исследований Исследование коронавируса Новости разговора
      • Новости

Аспирантура по математике | Аспирантура по математике

перейти к содержанию
  • Учеба в Кембридже
  • Об университете
  • Исследования в Кембридже
Поиск по сайту Главная
  • Учеба в Кембридже
  • Бакалавриат
    • Курсы
    • Применение
    • События и дни открытых дверей
    • Сборы и финансы
    • Студенческие блоги и видео
  • Выпускник
    • Почему Кембридж
    • Квалификация каталог
    • Как подать заявку
    • Сборы и финансирование
    • Часто задаваемые вопросы вопросы
  • Международный студенты
  • Продолжая образование
  • Исполнительное и профессиональное образование
  • Курсы в образовании
  • Об университете
  • Как Работа университетов и колледжей
  • История
  • Посещение университета
  • Срок действия и календари
  • карта
  • Для СМИ
  • Видео и аудио
  • Найдите эксперта
  • Публикации
  • Международный Кембридж
  • Новости
  • События
  • Общественное участие
  • Вакансии
  • Пожертвовать Кембриджу
  • Исследования в Кембридже
  • Для персонала
  • Для нынешних студентов
  • Для выпускников
  • Для бизнеса
  • Колледжи и факультеты
  • Библиотеки и объекты
  • Музеи и коллекции
  • Электронная почта и поиск по телефону
Факультет математики Авторизоваться
  • Дом
  • Covid 19
    • Обновления
  • Текущие студенты
    • Бакалавриат по математике
    • Часть III (MMath / MASt)
    • Аспирантура
      • Магистр
      • PhD
        • Справочник и практические правила
        • Проведение исследований и честность
        • Исследователь Развитие
          • Ожидания и отчеты
          • Факультет РДП
            • CSTP
            • Обучение супервизии
          • Возможности обучения
            • Языковая подготовка
        • Изменение обстоятельств
        • Time Away
          • Оценка рисков
        • Экзамен
        • Поддержка студентов
        • Информация для новых аспирантов
      • CCA
    • Списки лекций
    • NST Математика
    • Студенческое представительство
    • Карьера для математиков
    • Карьерные ресурсы
  • Перспективные студенты
    • Прием в бакалавриат
    • Дни открытых дверей для студентов
    • Часть III (MASt / MMath)
    • Аспирантура
      • День открытых дверей для аспирантов
      • MASt / MMath
      • миль в час
      • к.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *