непрерывный poset в nLab
Пропустить навигационные ссылки | Домашняя страница | Все страницы | Последние версии | Обсудить эту страницу |
Непрерывные позыКонтекст
(0,1)(0,1)-категория теория
(0,1)-категория теория : логика, теория порядка
(0,1)-категория
3
связь между предзаказами и (0,1)-категориями
proset, частично упорядоченный набор (направленный набор, общий порядок, линейный порядок)
верх, правда,
нижняя, ложная
монотонная функция
следствие
фильтр, интервал
решетка, полурешетка
встречаются, логическое соединение и
соединение, логическое разделение или
компактный элемент
решетка подобъектов
полная решетка, алгебраическая решетка
дистрибутивная решетка, полностью дистрибутивная решетка, каноническое расширение
- первый порядок, логический, когерентный, тройной
(0,1)-топос
Алгебра Гейтинга
обычный элемент
Булева алгебра
- Фрейм
, локаль
Теоремы
- Каменная двойственность
- Определения
- Элементарное определение
- Совместная характеристика
- Морфизмы
- Свойства
- Примеры
- Связанные страницы
- Каталожные номера
Определения
Пусть PP — частично упорядоченное множество с направленными соединениями.
Элементарное определение
Определение
Для a,b∈Pa, b \in P мы говорим, что aa на намного меньше bb, и пишем a≪ba \ll b, если всякий раз, когда S⊆PS \subseteq P является направленным подмножеством и b≤⋁Sb \leq \bigvee S (где ⋁S\bigvee S обозначает объединение SS), то существует s∈Ss \in S с a≤sa \leq s.
Определение
Мы говорим, что PP является непрерывным , если для каждого a∈Pa\in P подмножество
⇓(a)≔{b∈P|b≪a} \Downarrow (a) \coloneqq \{ б \в П | b \ ll a \}
направлен и имеет соединение aa.
Если PP также имеет конечные соединения, следовательно, является надрешеткой, то ⇓(a)\Downarrow(a) автоматически направлена, поэтому условие сводится к ⋁(⇓(a))=a\bigvee (\Downarrow(a)) = а; в этом случае PP называется непрерывной решеткой .
Присоединенная характеризация
Пусть Idl(P)Idl(P) обозначает частичное множество идеалов в PP, т. е. подмножества, замкнутые вниз и направленные вверх.
Предложение
Частичное множество PP имеет направленные соединения тогда и только тогда, когда отображение главного идеала ↓:P→Idl(P)\downarrow : P \to Idl(P), определенное равенством
↓(a)≔{b∈P|b≤a}, \downarrow(a) \coloneqq \{ b \in P | b \leq a \} ,
имеет левое сопряжение, которое должно быть ⋁\bigvee.
Теорема
Частичное множество PP с направленными соединениями непрерывно тогда и только тогда, когда ⋁:Idl(P)→P\bigvee: Idl(P) \to P имеет свой собственный левый сопряженный элемент, который должен быть ⇓\Downarrow.
Эта характеристика непосредственно обобщается на понятие непрерывной категории.
Морфизмы
Поскольку непрерывное ч.у.множество должно иметь направленные соединения, очевидными морфизмами в категории, объектами которой являются непрерывные ч.у.множества, будут функции, непрерывные по Скотту, то есть те, которые сохраняют направленные соединения. (Они всегда сохраняют порядок, т. е. являются монотонными функциями.
)
Между непрерывными решетками мы можем использовать одни и те же морфизмы; или, в более общем смысле, мы можем использовать те непрерывные по Скотту функции, которые сохраняют полурешетчатую структуру финитарных соединений, другими словами, надрешеточные морфизмы, сохраняющие все соединения. Однако, поскольку надрешетка является полной решеткой, другим распространенным выбором является использование функций, непрерывных по Скотту, которые также являются инфляционными морфизмами, то есть такими, которые также сохраняют все пересечения. Другим выбором могут быть морфизмы полной решетки, которые сохраняют все пересечения и все соединения.
Свойства
Непрерывные решетки — это такие полные решетки, для которых взятие супремумов направленных подмножеств коммутирует с взятием инфимумов произвольных подмножеств.
Забывающий функтор UU из категории непрерывных решеток в категорию множеств является монадическим, если мы используем непрерывные по Скотту инфляционные морфизмы.
Здесь левый сопряженный к UU переводит множество XX в решетку фильтров на XX (то есть фильтров в булевой алгебре степенного множества PXP X). Подробнее см. в монаде фильтра.
Категория непрерывных решеток является декартово замкнутой, если мы используем все функции, непрерывные по Скотту. Дана Скотт использовала эту категорию для построения моделей нетипизированного лямбда-исчисления.
Каждая непрерывная решетка является решеткой Бэра.
Примеры
Во Фрейде08 в конструктивной математике коалгебра интервалов — это непрерывное частичное множество, а единичный интервал — коалгебра терминальных интервалов.
Локаль называется локально компактной только тогда, когда соответствующая шкала представляет собой непрерывную решетку. Это эквивалентно экспоненте в категории локалей. Непрерывное отображение между такими локалями является правильным тогда и только тогда, когда его функция прямого образа (которая всегда является инфляционным морфизмом) непрерывна по Скотту.
Как следствие, решетка открытых подмножеств топологического пространства является непрерывной решеткой тогда и только тогда, когда собрификация топологического пространства локально компактна (т. е. топология имеет базис компактных окрестностей).
Связанные страницы
непрерывная категория
локально компактная локаль
Непрерывные частично-упорядоченные множества могут быть обобщены на непрерывные алгебры для любой нестрогой идемпотентной 2-монады.
Каталожные номера
Рудольф-Э. Хоффманн, Непрерывные чусеты и присоединенные последовательности , Semigroup Forum 18 (1979), стр. 173–188. (гдз)
Карл Х. Хофманн, Заметка о бэровских пространствах и непрерывных решетках 1980. Бюллетень Австралийского математического общества, 21(2), стр. 265-279.
См. раздел 30 из
- Питер Фрейд, Алгебраический вещественный анализ , Теория и приложения категорий, Vol. 20, 2008, № 10, стр. 215-306 (tac: 20-10)
20, 2008, № 10, стр. 215-306 (tac: 20-10)Последняя редакция: 17 октября 2022 г., 16:49:48. См. историю этой страницы для получения списка всех вкладов в нее.
РедактироватьОбсудитьПредыдущая редакцияИзменения по сравнению с предыдущей редакциейИстория (14 редакций) Цитировать Распечатать Источник
|
Почти все (0,1)-матрицы примитивны. — _Джеффри Критцер_, 20 июля 2022 г.