Геометрия 9 класс атанасян бутузов кадомцев: Номер (задание) 631 — гдз по геометрии 7-9 класс Атанасян, Бутузов

Признаки подобия треугольников

II Признак подобия треугольникам

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

Доказательство:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

К 1

Признаки подобия треугольников

III Признак подобия треугольникам

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

Доказательство:

 ABC  A 1 B 1 К 1

Б 1

A 1

К 1

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — это линия, соединяющая середины двух сторон

Средняя линия треугольника

, параллельная одной из его сторон

и равная половине этой стороны

 ABC, MN — средняя линия

Prove:

MN  AC, MN = AC

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в соотношении 2: 1, считая от вершины

A 1

К 1

B 1

Применение подобия для решения проблем

Высота прямоугольного треугольника, начерченного из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

 ABC  ACD,

Применение подобия к доказательству теорем

1. Высота прямоугольного треугольника, начерченного из вершины прямого угла, является средней величиной, пропорциональной между сегментами, на которые делится гипотенуза, на эту высоту

Применение подобия к доказательству теорем

2. Сторона прямоугольного треугольника — это среднее значение, пропорциональное гипотенузе и отрезку гипотенузы, заключенному между стороной и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Данную презентацию можно использовать на любом этапе урока. Содержит элементы повторения пройденного материала, нового теоретического материала, решения задач.

Просмотр содержания документа

Геометрия, класс 8

Определение подобных треугольников

Задачи урока:

• Повторить понятие «отношение двух чисел»,

«Пропорция»; помню главное свойство

пропорций.

2. Представьте понятие пропорциональных сегментов и

подобных треугольников.

3. Закрепить полученные знания через решение задач

.

А теперь вспомните:

• Что называется отношением двух чисел?

Что показывает отношение?

2. Отношение AM к AC 2: 3. О чем это говорит?

Найдите соотношение 3: 2.

3. В треугольнике ABC AB: BC: AC = 1: 3: 2 его периметр равен 42 см.Найдите стороны треугольника ABC.

4. Что называется пропорцией? Верны ли пропорции?

1,2: 3,6 = 6: 18; 15: 3 = 4: 20?

Продолжение:

5. В пропорции a: b = c: d указать крайние

члена. Сформулируйте основное свойство пропорции.

6. Переставив средний и крайний элементы пропорции,

Сделайте правильные пропорции:

и). 14: 0,2 = 35: 0,5; б) АБ: МН = С Д: КР.

7. Найдите неизвестный член пропорции:

и). 2х: 3 = 16: 9; б) х: АВ = МН: КР.

Что называется соотношением сегментов?

Соотношение сегментов AB и CD называется отношением их длин, т.е. AB: C D.

AB: C D = 4 : 6 или AB : C D = 2: 3

Какие сегменты называются пропорциональными?

AB = 2 см, A 1 B 1 = 5 см

C 1 D 1 = 6 см

Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и

C 1 D 1 если

A 1 B 1 C 1 D 1.

Два треугольника называются подобно , если их углы равны соответственно и стороны один треугольник пропорционально аналогичным сторонам другой треугольник.

AB и A 1 In 1

связанные стороны

BC и B 1 C 1

CA и C 1 A 1

Итак, Δ ABC и Δ И 1 AT 1 С 1 аналогично, если выполняется условия :

k, где k — коэффициент

A 1 B 1 B 1 C 1 A 1 C 1

• Даны отрезки: AB = 12 см, CD = 8 см, EF = 15 см, KL = 30 см, MN = 16 см, PQ = 20 см.Найдите среди них пары пропорциональных отрезков.

EF 15 5 получил, что

MN 16 4 AB MN, затем сегменты AB и MN

PQ 20 5 EF PQ пропорционально

сегментов EF и PQ.

(Самостоятельно найти еще две пары пропорциональных отрезков)

• В таких треугольниках ABC и EDF стороны AB и AC, BC и DF подобны

жил. Найдите стороны AB и AC треугольника ABC, если ED = 3 см, EF = 7 см,

1.Зная значения одинаковых сторон BC и DF треугольников ABC и EDF, определите коэффициент подобия k.

2. Определим AB = k · ED и AC = k · EF.

Подержанные книги:

1.Гаврилова Н.Ф. Разрабатывающая работа по геометрии: 8 класс.: ВАКО, 2008.

2. Геометрия. Рабочая тетрадь 8 класса. Учебное пособие для учащихся общеобразовательных школ. Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, И. Юдина. М .: Просвещение, 2011

3.Геометрия, 7-9: учебник для общеобразовательных. учреждений / (Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.). М .: Просвещение, 2012.

«Геометрия« Подобные треугольники »» — Основное тригонометрическое тождество. Второй признак подобия треугольников. Синус, косинус и тангенс. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30 °, 45 °, 60 °. Подобные треугольники. Подобие прямоугольных треугольников. Продолжение сторон. Пропорциональные сегменты. Теорема о соотношении площадей таких треугольников.Значения синуса, косинуса и тангенса. Две стороны треугольника соединены отрезком, не параллельным третьему.

«Нахождение площади трапеции» — Результаты. Свойства прямоугольного треугольника. Найдите площадь трапеции. Сравните площадь. Обозначьте площадки. Задачи на самоконтроль. Площадь трапеции. Повторение пройденного материала. Ловушка. Запишите формулы. Сформируйте умение применять формулу. Найдите область.Площадь ячейки. Решение проблемы. Обобщить. Область.

«Четырёхугольники, их признаки и свойства» — Ромб. Четырехугольники, их признаки и свойства. Представьте типы четырехугольников. Прямоугольник. Свойства параллелограмма. Прямоугольник, у которого все стороны равны. Четырехугольник, вершины которого находятся посередине сторон. Диагонали. Виды четырехугольников. Тесты. Из каких двух равных треугольников можно сделать квадрат. Виды трапеции. Углы ромба. Квадратный. Знаки параллелограмма.Четырехугольники.

«Теорема о вписанном угле» — Радиус окружности 4 см. Отвечать. Острый угол. Обеспечение изученного материала. Обновление знаний студентов. Актуализация знаний. Изучение нового материала. Радиус круга. Как называется угол с вершиной в центре окружности. Найдите угол между хордами. Понятие вписанного угла. Треугольник. Найдите угол между ними. Решение. Попробуй себя. Правильный ответ. Круги пересекаются. Теорема о вписанном угле.

«Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника» — прямоугольный треугольник. Имя Пифагора. Сочетание двух противоречащих друг другу принципов. Геродот. Утверждение теоремы. Античные авторы. Пифагор Самосский. Монета с изображением Пифагора. Теорема Пифагора. Учение Пифагора.

«Понятие площади многоугольника» — Смежные стороны параллелограмма. Площадь треугольника. Математический диктант. Параллелограмм. Площадь ромба.Понятие о многоугольной области. Площадь прямоугольника. Площадь трапеции. Высоты. Площадь полигонов. Площадь прямоугольного треугольника. Теорема. Острый угол. Площадь параллелограмма. Вычислите площадь ромба. Найдите площадь прямоугольного треугольника. Треугольники. Единицы площади.

ПОДГОТОВКА БУДУЩИХ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ФОРМИРОВАНИЮ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ НАВЫКОВ СТУДЕНТОВ

% PDF-1.5 % 1 0 obj > эндобдж 6 0 obj / ModDate (D: 20200711101401 + 05’30 ‘) / CreationDate (D: 20171228141108 + 05’30 ‘) /Режиссер / Автор (ssp08485) >> эндобдж 2 0 obj > поток Microsoft® Word 2010; изменен с помощью iText® 5.1.3 © 2000-2011 1T3XT BVBA2020-07-11T10: 14: 01 + 05: 302017-12-28T14: 11: 08 + 05: 302020-07-11T10: 14: 01 + 05: 30 Microsoft® Word 2010uuid: 472228c7-0484 -4b95-ab16-8e330d0b5156uuid: 11c68e40-b90a-48ab-912e-6c06c41b307fapplication / pdf (C) 2020 Публикации и принтеры Granthaalayah 10.29121 / ijetmr.v4.i12.2017.130Granthaalayah ОБУЧЕНИЕ ПУБЛИКАЦИИ ОБУЧЕНИЯ ПЕРЕДАЧИ ПЕРЕДАЧИ ПУБЛИКАЦИИ НАВЫКИ СТУДЕНТОВ2020-02-07

Треугольники равны по двум углам и сторонам. Третий знак равенства треугольников

Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку»

«Новые» знаки равенства треугольников

Математика

9Б класс МБОУ «г. Брянск
лицей № 2»

Руководитель: Учитель математики

Брянск 2013.

1. Введение

2.Создание справочника основных задач для сборки с тиражом и линейкой

3. Сравнение исследуемых особенностей равенства треугольников и задач по построению треугольников. Представляем новый метод доказательства знаков равенства треугольников

4. Доказательство новых знаков равенства треугольников

5. Обобщение полученных результатов

6. Использование новых знаков равенства треугольников при решении задач

7. Заключение

И. Введение

«Если две стороны и угол между ними составляют один треугольник … ..». Узнал, как таблица умножения, признаки равенства треугольников. Мы сотни раз цитировали и применяли их при решении проблем. Казалось бы, что может быть проще? Мы знаем об этом все!

Однако остались вопросы, ответы на которые не дают нам покоя. Метод наложения, использованный для доказательства первого признака равенства, казался нам несколько искусственным.Поэтому мы никогда не использовали его при решении задач? Почему так мало знаков равенства треугольников? В 8 классе строили треугольники в одинаковые две стороны и угол между ними. Несчастный случай? Но в математике случайных совпадений не бывает.

Возможно, найдя связь между решением задач по построению треугольников и знаками равенства, мы получим новый метод Proof of PRT. «Вооружившись», они смогут доказать другие признаки равенства треугольников. Мы уверены, что их намного больше 3!

Чтобы убедиться, что ответы на эти вопросы волновали не только нас, мы провели социологический опрос учащихся и учителей лицеев (см. Приложение 3).

Наши предположения подтвердились. Большинству учеников известно всего 3 знака равенства треугольников. Метод верстки не пользуется большой популярностью. Строительные задачи тоже не кажутся интересной темой в геометрии. Этап исследования многие вообще считают лишним.

Таким образом, цель Наше исследование явилось поиском более понятного метода доказательства знаков равенства треугольников и новых знаков равенства треугольников.

Крайне важно было дополнить список простейших заданий по строительству, изучаемым в седьмом классе, другие элементарные постройки, которые мы прошли в восьмом и девятом классах. Всего 12 базовых конструкций (см. Приложение 1). В ходе дальнейших исследований мы будем неоднократно обращаться к этому списку.

Следует отметить, что все задачи мы решали по алгоритму: Dano-to build-analysis-building-proof-proof-research. Для простых задач и задач, решение которых известно, мы снизили анализ.

Наибольшее внимание было уделено последнему этапу — исследованию, именно он дал нам возможность найти новый метод доказательства.

Рисунки было решено выполнять в программе Paint, поэтому нужно было заранее научиться в ней работать.

II. Создание каталога основных задач по сборке с тиражом и линейкой

Большая часть нашей работы заключается в решении задач по построению треугольников, поэтому на первом этапе работы мы составили список простых построек.Это позволило сделать задачи с задачами короче и красивее.

Все задачи мы решили по плану: Dano — build — Building — Prove — Proof — Research. Особое внимание уделялось этапу обучения.

Основные конструкции решались в различных разделах геометрии 7 и 8 классов. Мы собрали их в едином каталоге.

1) построение отрезка, равного этому;

2) построение равного этому углу;

3) построение биссектрисы угла;

4) построение середины отрезка;

5) Построение перпендикуляра через точку, лежащую / не лежащую на этой линии;

6) построение параллельной этой прямой;

7) построение третьего угла по двум известным;

8) построение касательной к окружности, через точку не лежащую на этой окружности;

9) деление сегмента в указанном отношении;

10) деление сегмента на заданный период сегментов;

11) разделив отрезок на n равных отрезков.

Подробное решение этих задач представлено в Приложении 1.

III. Сравнение исследуемых признаков равенства треугольников и задания на построение треугольников. Закладываю новый метод доказательства знаков равенства треугольников.

Для поиска нового метода доказательства PRT мы сравнили состояние первого PRT с условием одной из задач построения. Они были такими же, и мы предположили, что это не случайно и решение конструкторской задачи приведет нас к поиску нового метода доказательства.

Построение треугольника с двух сторон и угол между ними

https://pandia.ru/text/78/103/images/image003_23.jpg «ширина =» 667 «высота =» 82 id = «>

Вывод: по уникальности конструкции все треугольники, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны указанным элементам, равны.

Построение треугольника сбоку и два установочных угла

https: // pandia.ru / text / 78/103 / images / image007_16.jpg «ширина =» 629 «высота =» 497 «>

PRT, доказанный при решении этой проблемы, звучит так: «Если две стороны и медиана, потраченная на третий, один треугольник, соответственно, равны двум сторонам и медиана, затраченная на третий, другой треугольник, то эти треугольники являются равный.»

Но не все задачи решались так просто. Например, задача постройки с двух сторон и угла, примыкающего к одной из сторон, нового знака равенства не давала.Однако это стоило нам небольших изменений, и был получен еще один PRT. Решение этой задачи было для нас особенно важным, потому что его состояние мы придумали сами.

https://pandia.ru/text/78/103/images/image010_3.png «ширина =» 630 «высота =» 340 id = «>

После решения этой задачи мы обратились к Интернет-ресурсам и узнали, что это утверждение иногда называют 4-м знаком равенства треугольников. Свое доказательство приводит профессор МГУ на сайте «Математика в школе», создателем которого является факультет педагогического образования им.Это доказательство принципиально отличается от предложенного. Полное доказательство вы найдете на http: // www. Школа. ***** ///.

V. Обобщение полученных результатов

Итак, мы нашли новый метод доказательства PRT. Если из трех элементов треугольник построен единственным, то соответствующее равенство этих элементов в двух треугольниках означает, что треугольники равны.

Этот метод позволил создать новые знаки равенства треугольников:

4 тр. На двух сторонах и в углу, напротив нескольких из них.

5 тр. Сбоку противоположный угол и высота, проведенная от вершины этого угла.

6 тр. Под двумя углами и высотой, ведется сверху третьего.

7 тр. По двум углам и периметру (два решения).

8 прет. На две стороны и медиана потрачена на третью.

9 трт. Три СМИ.

10 прет. Для двух углов и прилегающей к одному из них стороны.

Подробное подтверждение каждого из них представлено в Приложении 3.

Vi. Применение новых знаков равенства треугольников при решении задач

Возможно, кто-то не был полностью уверен в важности нашего исследования. Конечно, любое исследование важно само по себе, потому что это изучение проблемы, поиск ответов на вопросы … Но наша работа имеет более определенную практическую ценность, чем просто интерес.Ведь набор геометрических задач требует знания знаков равенства треугольников, и чем больше знаков, тем разнообразнее решение.

В учебнике «Геометрия 7-9» Атанасяна предусмотрено задание повышенной сложности № 000 *

Мы представляем его решение двумя способами.

1 метод. «Удвоение медианы»

Обоснование:

MD = AM, DOC

M1D1 = A1M1, D1 Вытолкнули A1M1

2) AM = MD и BM = MC => ABCD-параллелограмм (на основе)

3) A1M1 = M1D1 и B1M1 = M1C1 => A1B1C1D1-параллелограммы (по основанию)

4) DVS = DA1B1C1, потому что: AV = A1B1 (по условию)

Ad = 2am = 2a1m1 = A1D1

B1D1 = A1C1 = A1C1 = B1D1 (по свойству параллелограмма)

5) Из равенства DAVD и DA1B1D1 равенство углов должно быть равно углу = 180 ° C = 180 ° C1D1D1 = 180 ° C1O1D1D1 = 180 ° C

6) Рассмотрим DVS и DA1B1C1:

AV = A1B1; AC = A1C1, по условию; = Ða1, согласно проверенному => DA1B1C1 = DA1B1C1 с двух сторон и угол между ними.

2 метод. С приложением 7

Обоснование:

При условии AV = A1V1; Ac = a1c1; AM = A1M1. Следовательно, DAVS = DA1B1C1 на двух сторонах и медиана потрачена на третьей (7).

Очевидно, что 2-й путь намного короче.

VII. Вывод

Подведем итоги: мы нашли способ доказательства PRT, отличный от прикладного, доказали «новые» признаки равенства треугольников и решили задачи с использованием этих признаков.

Также мы позаботились о том, чтобы в самом простом, на первый взгляд, вопросе можно было скрыть много секретов. И задачи построения треугольников, казавшиеся нам скучными и ненужными, стали намного интереснее, и в их актуальности больше нет сомнений.

Мы нашли «инструмент», с помощью которого легко искать новые признаки равенства треугольников. Теперь при необходимости мы можем проверить, является ли набор из трех элементов признаком равенства треугольников. И, несомненно, процесс поиска первого метода доказательства протекает сначала доставив большое удовольствие, а впоследствии и открытие новых знаков равенства треугольников.Попутно освоили программу Paint.

Нельзя утверждать, что они первыми сделали эту задачу. И, скорее всего, этот метод доказательства PRT был нам известен. Возможно, мы что-то упустили в «нашем» методе не все гладко. Поэтому мы хотим представить нашу работу широкому кругу читателей. Их мнение очень важно для нас. Для этого исследование мы разместили на сайте «Виртуальный музей лицея № 2» (http: // www. ***** /) и завязали переписку с профессором.Мы связались с ним, чтобы оставить отзыв о нашей работе.

Студенты и преподаватели могут воспользоваться результатами наших исследований при подготовке к урокам и экзаменам. Например, использовать расширенный список основных задач для построения, открыть новый метод доказательства доказательства, самостоятельно доказать признаки равенства треугольников, а также воспользоваться преимуществами уже доказанных знаков. Очень важно, что удалось сократить время на решение задач по геометрии на контроле и экзаменах.

Библиография

1.и другие. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. 8-е изд.-М .: Просвещение, Москва Учебник, ООО, 2010.

2. «Это должен знать каждый Матчлинкер». Издание 5-е, стереотип. — М .: МЦНМО, 2008-56.

3. «Четвертый признак равенства треугольников», «Математика в школе» http: // www. Школа. ***** ///.

4. Сайт «Виртуальный лицей-музей №2» (http: // www. ***** /)

Приложение 1

Самые простые задачи по сборке

Основные конструкции с циркуляцией и линейкой

Исследование:

Здание единственное по уникальности каждой постройки.

Примечание: PQ. -Серый перпендикуляр к отрезку av

Приложение 2.

Задачи по построению треугольников

4. Постройте треугольник по двум углам и стороне, примыкающей к одному из этих углов.

5. Постройте треугольник сбоку, противоположный угол и высоту проведите под этим углом

(решу задачу метода геометрических мест точек)

6. Постройте треугольник по двум углам и по высоте проведите от третьего.

(решу задачу методом подобия)

7. Построение треугольника с двух сторон и угла, примыкающего к одной из этих сторон

Издавна и по сей день поиск признаков равенства фигур считается основной задачей, лежащей в основе геометрических рамок; Сотни теорем доказываются с использованием знаков равенства.Умение доказывать равенство и схожесть фигур — важная задача во всех сферах строительства.

Свяжитесь с

Приложение для практических навыков

Предположим, у нас есть фигура, нарисованная на листе бумаги. В то же время у нас есть линейка и транспорт, с помощью которого мы можем измерять длину отрезков и углы между ними. Как перенести на второй лист бумаги форму такого же размера или увеличить ее масштаб вдвое.

Мы знаем, что треугольник — это фигура, состоящая из трех отрезков, называемых образующими углами.Таким образом, есть шесть параметров — три стороны и три угла, которые определяют эту фигуру.

Однако, измерив величину всех трех сторон и углов, перенести эту форму на другую поверхность будет сложной задачей. Кроме того, есть смысл задать вопрос: а будет ли знание параметров двух сторон и одного угла, или только трех сторон.

Измеряя длину двух сторон и между ними, затем отложите этот угол на новом листе бумаги, чтобы мы могли полностью воссоздать треугольник.Давайте разберемся, как это сделать, узнаем, как доказать признаки, которые можно считать одинаковыми, и определим, как минимальное количество параметров достаточно знать, чтобы получить уверенность в том, что треугольники совпадают.

Важно! Фигуры называются одинаковыми, если отрезки, образующие их, и углы равны между собой. Таковы следующие фигуры, у которых стороны и углы пропорциональны. Таким образом, равенство есть подобие с коэффициентом пропорциональности 1.

Какие знаки равенства треугольников, дайте им определение:

• первый знак равенства: два треугольника можно считать одинаковыми, если они равны двум своим сторонам, а также углу между ними .
• второй признак равенства треугольников: два треугольника будут одинаковыми, если одинаковые два угла, а также соответствующая сторона между ними.
• третий знак равенства треугольников : Треугольники можно считать одинаковыми, если все их стороны имеют одинаковую длину.

Как доказать равенство треугольников. Приведем доказательство равенства треугольников.

Доказательство 1 знак

Долгое время среди первых математиков эта особенность считалась аксиомой, однако, как оказалось, ее можно геометрически доказать, опираясь на более основные аксиомы.

Рассмотрим два треугольника — kmn и k 1 m 1 n 1. Сторона CM имеет ту же длину, что и k 1 m 1, а Kn = k 1 n 1. И угол mkn. равны углам КМН и М 1 К 1 Н 1.

Если рассматривать Km и k 1 m 1, kn и k 1 n 1 как два луча, выходящие из одной точки, можно сказать, что между этими парами лучей одинаковые углы (это задается условие теоремы). Производят параллельный перенос Лучи k 1 m 1 и k 1 n 1 из точки K 1 в точку K. Благодаря такой передаче лучи K 1 m 1 и k 1 n 1 полностью совпадают. Отложим на пучке k 1 m 1 отрезок длины КМ, берущий начало в точке K. Поскольку по условию полученный отрезок и будет равен отрезку K 1 m 1, что точки M и M 1 совпадают.Аналогично с отрезками Kn и K 1 N 1. Таким образом, перенося K 1 m 1 n 1 так, чтобы точки K 1 и K совпадали, а две стороны накладывались друг на друга, мы получаем полное совпадение и сами фигуры.

Важно! Имеются доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу с помощью алгебраических и тригонометрических тождеств с числовыми значениями сторон и углов. Однако исторически и математически теорема была сформулирована задолго до алгебры и до тригонометрии.Для доказательства этой особенности теоремы использовать что-либо, кроме основных аксиом, некорректно.

Доказательство 2 признака

Докажем второй знак равенства на двух углах и на стороне, основываясь на первом.

Знак доказательства 2

Рассмотрим KMN и PRS. K равно P, n равно S. Сторона Kn имеет ту же длину, что и PS. Необходимо доказать, что KMN и PRS — это одно и то же.

Отразите точку M относительно балки KN. Получившуюся точку назовем L.В этом случае длина части КМ = CL. НКЛ — это ССН. КНЛ — это РСП.

Так как сумма углов равна 180 градусам, KLN равно PRS, что означает, что PRS и KLN — одинаковые (одинаковые) с обеих сторон и угла, согласно первому знаку.

Но, поскольку KNL равно KMN, то KMN и PRS — две идентичные цифры.

Доказательство 3 знака

Как установить равенство треугольников. Это непосредственно следует из доказательства второй особенности.

Длина Кн = ПС. Поскольку k = p, n = s, kl = km, при kn = ks, mn = ml, то:

Это означает, что обе цифры похожи друг на друга. Но поскольку партии у них одинаковые, значит, они тоже равны.

Из знаков равенства и сходства следует множество последствий. Один из них заключается в том, что для определения того, что два треугольника равны или нет, необходимо знать их свойства, одинаковы ли они:

• все три стороны;
• обе стороны и угол между ними;
• обоих углов и стороны между ними.

Использование знака равенства треугольников для решения задач

Последствия первого знака

В ходе доказательства можно прийти к ряду интересных и полезных следствий.

1. . Тот факт, что точка пересечения диагонального параллелограмма делит их на две одинаковые части, является следствием знаков равенства и вполне поддается доказательству. Факторы дополнительного треугольника (с зеркальной конструкцией, как в показании, которое мы выполнили) — это стороны основного (стороны параллелограмма).
2. Если есть два прямоугольных треугольника с одинаковыми острыми углами, то они похожи. Если при этом передний катет равен второму катету, то они равны. Понять это довольно просто — любые прямоугольные треугольники имеют прямой угол. Поэтому знаки равенства для них проще.
3. Два треугольника с прямыми углами, в которых две категории имеют одинаковую длину, можно считать одинаковыми. Это связано с тем, что между двумя категориями всегда есть 90 градусов.Следовательно, по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними) все треугольники с прямыми углами и одинаковыми категориями равны.
4. Если есть два прямоугольных треугольника, у которых один катат и гипотенуза равны, то треугольники совпадают.

Докажем эту простую теорему.

Есть два прямоугольных треугольника. С одной стороны A, B, C, где C — гипотенуза; А, Б — Картец. Во второй руке N, M, L, где L — гипотенуза; М, Н — Картец.

Согласно теореме Пифагора, один из катетов равен:

;

.

Таким образом, если n = a, l = c (равенство катеттов и гипотенуз) соответственно, вторые лодочки будут равны. Цифры, соответственно, будут равны в третьем базисе (по трем партиям).

Отметим еще одно важное следствие. Если есть два равных треугольника, и они подобны коэффициенту подобия K, то есть попарные отношения всех их сторон равны k, то отношение их площадей равно k2.

Первый признак равенства треугольников.Видеоурок по геометрии 7 класс

Геометрия 7 Первый знак равенства треугольников

Результат

Мы сочли, что эта тема поможет любому ученику лучше понять основные геометрические концепции и повысить свои навыки в самом интересном мире математики.

Знаки равенства треугольников

Равными называют треугольники, в которых соответствующие стороны равны.

Теорема (первый признак равенства треугольников).
Если две стороны и угол между ними заключены, один треугольник равен соответственно двум сторонам и углу, заключенному между ними, другой треугольник, то такие треугольники равны.

Теорема (второй знак равенства треугольников).
Если сторона и два прилегающих к ней угла, один треугольник, соответственно, равны стороне и два треугольных угла, прилегающих к ней, то такие треугольники равны.

Теорема (третий знак равенства треугольников).
Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки подобия треугольников

Такими треугольниками называются, у которых углы равны, а одинаковые стороны пропорциональны:, где — коэффициент подобия.

Подписываю треугольниками. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

II знак в виде треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

III знак в виде треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Подгорный Максим

Исследования по материалам Можно использовать для геометрических кругов 7 класса

Скачать:

Превью:

МБУ г. Ростова-на-Дону «Дворец творчества детей и юношества»

Донская Академия наук молодых исследователей.Ю. А. Жданова

Математика

Тема: «Нестандартные теоремы о равенстве треугольников»

Подгорный Максим, 7 кл.,

МБОУ СОШ № 3,

Руководитель:

Олейникова Людмила Александровна, 9000 учитель,

МБОУ СОШ № 3,

сальск, Ростовская область

ростов-на-Дону

2017 год

Введение ………………… ………………………………………….. …………. 3

Основная часть

Знаки равенства треугольников ……………………. …………………….. 4

Нестандартные признаки равенства треугольников …………. …………….. .7

Заключение ………………………. ………………………………………….. 10.

Список использованной литературы ……………………………………. ………………………. 11

заявка

Введение

Актуальность:

Треугольник — одна из основных фигур в планиметрия.Я много слышал от старшеклассников, что при подготовке к экзамену часто приходится доказывать равенство треугольников. И оказывается недостаточное знание основных примет. Я хотел узнать, можно ли доказать равенство треугольников по другим параметрам. В учебнике геометрии, по которому учатся ученики нашей школы (авторы Л.С. Танасян, В.Ф. Буцов и др. Геометрия 7-9), всего 3 знака равенства треугольников. Смотрела Учебно-методические комплекты других авторов.Но к изучению предлагается только три известные теоремы.

Гипотеза:

А можно ли сформулировать, кроме трех общеизвестных, другие признаки равенства треугольников?

Чтобы убедиться, что ответ на этот вопрос беспокоит не только меня, я провел социологический опрос среди учеников 7-11 классов, см. Приложение 1).

Мои предположения подтвердились. Большинству студентов известны только три знака равенства треугольников.

Таким образом, целью моего исследования было обнаружение новых знаков равенства треугольников.

Задачи:

Θ Закапайте литературу по изучаемой теме.

Необходимо использовать количество знаков равенства треугольников.

ΘУзнайте своих одноклассников и учеников нашей школы наличием других признаков равенства треугольников и возможностью их доказательства.

Объект исследования:

Исследование знаков равенства треугольников.

Предмет исследования. Треугольник, как одна из основных фигур в планиметрии.

Метод исследования: теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический (доказательство теорем).

Историческая справка

Треугольник — одна из центральных форм всей геометрии.

При решении задач используются самые разнообразные его свойства.

Свойства треугольника широко используются на практике: в архитектуре; При разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности, при проектировании различных деталей, при производстве строительных материалов, при строительстве морской и авиационной техники; в навигации для построения правильного и максимально точного маршрута; В астрологии и астрономии треугольник — очень важная фигура; Треугольники составляют надежные конструкции высоковольтных линий электропередач и железнодорожных мостов.

Кроме того, много других областей, где применяются различные свойства треугольников: начиная игру с бильярда, необходимо расположить шары в форме треугольника, для этого использовать специальные приспособления; Размещение бочонков в игре Боулинг также имеет форму равностороннего треугольника; Для составления красивого паркета используются треугольники; Устройство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух чисел, расположенных над ним (для обращения треугольника из трех чисел).Все элементарно, но сколько чудес зажигается! Компьютер треугольника Паскаля переведен на цветовой язык.

Тему треугольника можно продолжать бесконечно.

Каких треугольников нет на свете!

Есть и переносные значения этой цифры: например, правило «золотого треугольника» основано на психологии покупателя — найдя нужный товар, покупатель устремляется к кассиру. Задача продавцов — заставить его задержаться в магазине подольше, разместив нужный вам товар в вершинах воображаемого треугольника, то есть «навредить» покупателю.Чем больше квадратный треугольник, тем удачнее можно назвать макет магазина. В продуктовом магазине это гастрономия, молочные продукты, хлеб. На втором месте по значимости находится задняя торцевая стена торгового зала, и именно там целесообразнее иметь все товары-якоря — именно для того, чтобы заставить покупателя пройти весь периметр магазина.

Широко распространенный Бермудский треугольник — это район в Атлантическом океане, в котором происходит предполагаемое загадочное исчезновение морских и воздушных судов.Район ограничен линиями от Флориды до Бермудских островов, далее в Пуэрто-Рико и обратно во Флориду через Багамы.

Поэтому изучение треугольника и всех его свойств — очень актуальная тема.

Цель данной работы — рассказать о признаках равенства треугольников, что является одним из их важнейших свойств.

Признаки равенства треугольников — это теоремы, на основании которых можно доказать, что некоторые треугольники равный.

В геометрии используются три знака равенства треугольников.

Эта тема практически изучена, так как на сегодняшний день существует три признака равенства треугольников, доказанных соответствующими теоремами.

В глубокой древности вместе с астрономией возникла наука — тригонометрия. Слово «тригонометрия» произошло от греческих «треугольник» и «мера». Буквальное значение — «Наука измерения треугольников».

С помощью натянутых веревок в 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т. Д.

Художественное изображение предметов на плоскости с древних времен привлекает к себе внимание человека, нарисованного людьми на камнях, стенах, сосудах и других бытовых предметах, различных орнаментах, растениях, животных. Люди стремятся к тому, чтобы на изображении правильно отображалась естественная форма предмета.

Учение о подобии фигур, основанное на теории соотношений и пропорций, было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и продолжает развиваться. Например, очень много детских игрушек, похожих на предметы взрослого мира, обувь и одежда одного LEDO выпускаются разных размеров.Эти примеры можно продолжить. В конце концов, все люди похожи друг на друга и, согласно Библии, создали своего Бога по своему образу и подобию.

Знаки равенства треугольников имели важнейшее значение в геометрии, так как доказательство многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства некоторых треугольников. Доказательством знаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. Согласно прокляру, Эвдену Роудсу приписывается доказательство Фалеза Милецкого о равенстве двух треугольников, имеющих равную сторону и два прилегающих к нему угла (второй знак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских судов. Как использовали Фалес, точно не известно.

Знаки равенства треугольников.

Начнем с определения. Треугольники ABC и A1B1C1 называются равными, если их можно совместить с наложением.

Треугольник состоит из шести элементов: трех углов и трех сторон.

При этом возникает вопрос: «Какое наименьшее количество элементов треугольника нужно взять, чтобы установить равенство двух треугольников?»

Мы не сможем установить равенство двух треугольников на одном элементе, потому что неизвестно: «Будут ли другие элементы равны?»

Также невозможно установить равенство двух треугольников с помощью двух элементов из-за отсутствия информации для установления равенства.

Равенство двух треугольников можно установить с помощью трех элементов. Но возникает вопрос: «Какие именно три элемента нужно назвать, чтобы установить равенство треугольников?»

При изучении этого вопроса я просмотрел школьные учебники геометрии разных авторов, а также словари и справочники. В учебниках для седьмого класса предлагается всего три знака равенства треугольников.

Θ1 знак: Если две стороны и угол между ними составляют один треугольник, соответственно, равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.Рис.1

Доказательства. Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1, (рис.1) из которых AV = A1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1. Докажем, что ΔAbc = Δa1 B 1 C 1.

Поскольку ∠a = ∠a 1, то треугольник ABC можно применить к треугольнику A1 за 1 s 1 так, чтобы вершина A была согласована с вершиной a1 а стороны AB и AU положим на лучи и 1 в 1 и A 1 C 1. Поскольку AV = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, то сторона AV совместима со стороной A1 в 1.а сторона AC — со стороны a1 C 1.; В частности, точки in и in1, C и C 1. Следовательно, стороны Солнца и in1 C 1.. Итак, треугольники ABC и A1 за 1 с 1 полностью контролирует, значит они равны.

Но как в Древнем Египте применяли первый знак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), создателем также считается Фалез Милецкий, измеряющий высоту пирамиды: представьте, что мы стоим перед огромной пирамидой, как измерить ее высоту? Ведь измерительные приборы вы не прикрепляете! И тут на помощь Фалезу Милловскому приходит первый признак равенства треугольников: он дождался, когда тень от него точно совпадет с его ростом, применил теорему, оказалось, что высота пирамиды равна ее тени ( Инжир.2).

Рис. 2.

Θ2 Знак: Если сторона и два прилегающих к ней угла, соответственно один треугольник равны стороне и два прилегающих к ней угла треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Если в ABC и △ A1 за 1 с 1 произойдет следующее AB = A равенство 1 в 1, ∠bac = ∠b 1 A 1 C 1, ∠AVS = ∠A 1 в 1 с 1 . Включите друг в друга треугольники a1 в 1 s 1 и ABC так, чтобы равные стороны AB совпали 1 в 1. И углы, которые примыкают к ним.Как и в уже рассмотренном предыдущем примере, при необходимости треугольник А1 за 1 с 1 можно «перевернуть и прикрепить обратной стороной». Треугольники совпадают, поэтому их можно считать равными.

Θ3 знак: Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: Пусть для △ ABC и △ A1 B 1 C 1 справедливое равенство A.1 в 1 = AB, B 1 C 1 = Sun, C 1 A 1 = Sa. Переместите треугольник A.1 за 1 с 1 так, чтобы партия была 1 на 1.совпадает со стороной AV, а вершины b1 и B, A 1 и A совпадают. Возьмите круг с центром в A и радиусом AC, а второй круг с центром B и радиусом BC. Эти круги будут пересекаться в двух симметричных разговорах точек AB: точки C и точки C2. . Значит, C1 после переброски треугольника A1B1C1 должно совпадать либо с точками C, либо с C2. В любом случае это будет означать равенство △ ABC = △ A1 B 1 C 1, так как треугольники △ ABC = △ ABC2 равны (ведь эти треугольники симметричны относительно ab.

Это свойство треугольной жесткости — широко используется на практике. Для закрепления стойки в вертикальном положении ее ставят на подпорку; Тот же принцип используется при установке кронштейна.

Свойство жесткости треугольника широко используется на практике при строительстве металлических конструкций.

Из третьего знака равенства треугольников следует, что треугольник — сложная фигура. Потому что: вы можете представить себе две рельсы, два конца которых забиты гвоздями.Такая конструкция не является жесткой, однако, смещая или раздвигая свободные концы рек, мы можем изменять угол между ними. Теперь берем еще одну рейку и соскребаем ее концы со свободными концами первых двух пластин. Получившаяся конструкция представляет собой треугольник — он будет уже жестким. Его нельзя сдвинуть или сдвинуть с двух сторон, т.е. изменить угол невозможно. Действительно, если бы это удалось, мы бы получили новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен третьему

В Справочнике по элементарной математике М.Я. Выгодно нашел еще один знак.

Θ4 Знак: Если две стороны и угол, лежащий против большинства из них, составляют один треугольник, соответственно, равны двум сторонам и углу, лежащему против большинства из них другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажу эту особенность.

Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, AB = A1B1, AC = A1C1, ∠ B = ∠ B1

Докажите: ΔABC = A1B1C1.

Разместите треугольники, как на рисунке 1. Соедините B и B1, затем ΔAvv1

Equal, что означает 1 = ∠ 2.∠ 3 = ∠ 4 как остатки равных углов.

Получаем ΔВВВ1- является шаровидным, следовательно солнышко = B1c1. ΔАвс = ΔА1В1С1 в три стороны.

Также в школьном курсе учитываются 4 знака равенства прямоугольных треугольников:

Θ1. . Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны другим категориям, то такие треугольники равны.

Θ2. . Если катится и прилегает к нему острый угол одного прямоугольного треугольника, соответственно равный катету и острый угол другого, то такие треугольники равны.

Θ3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Θ4. Если гипотенуза и валки одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и питанию другого, то такие треугольники равны.

Я решил теоретическую базу по признакам равенства треугольников, расширив стороны и углы, используемые в классических знаках равенства треугольников, других составляющих: биссектрисы, медианы и высоты.

Нестандартные знаки подошв треугольников.

1) с двух сторон и по высоте, ведущей к одной из них.

Дано: AB = A1B1, BC = B1C1, AK = A1K1,

Докажите: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доказательство: ΔABK = ΔA1B1K1 по гипотенузе и катету, затем B = ∠ B1 и получаем ΔABC = ΔA1B1C1 по первому знаку.

2) на две стороны и медиана потрачена на одну из них

Дано: ab = a1b1, bc = b1c1, ak = a1k1, ak и a1k1 — медианы.

Докажите: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доказательство: ΔABK = ΔA1B1K1 для трех сторон, затем ∠ B = ∠ B1 и ΔABC = ΔA1B1C1 по первому основанию.

3) с двух сторон и по высоте, проведенной с третьего угла.

Данчед: ∠ B = ∠ B1, ∠ C = ∠ C1, AK = A1K1.

Докажите: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доказательство: ΔABK = ΔA1B1K1 на катете и остром углу, значит bk = b1k1,

Δack = ΔA1C1K1 на катете и остром углу, значит Kc = k1cABc = u003d, а значит, BcΔ1 u003d ΔA1B1C1 на втором основании.

4) сбоку и две высоты, проведенные из углов, примыкающих к этой стороне.

Дано: ac = a1c1, cm = C1m1, AK = A1K1.

Докажите: ΔCc = ΔA1B1C1.

Доказательство: ΔAmc = Δa1m1c1 на катете и гипотенузе, значит A = ∠ A1, а Δakc = δa1k1c1 на катете и гипотенузе, тогда C = ∠ C1.

Итак, ΔABC = ΔA1B1C1 по второму основанию.

5) по двум сторонам и высоте, третья сторона проводила.

Дано: AV = A1B1, Sun = B1C1, VK = B1K1.

Докажите: ΔABC = ΔA1B1C1.

Свидетельство: ΔABK = ΔA1B1K1 на гипотенузе и катетете, значит AK = A1K1,

ΔBKC = ΔB1K1C1 на катете и гипотенузе, значит KC = K1C1.

Итак, ΔABC = ΔA1B1C1 в трех сторонах.

6) сбоку, один из углов идущий в эту сторону и биссектрису этого угла.

Дано: ac = a1c1, ak = a1k1, ∠ A ∠ A1.

Докажите: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доказательство: ΔCax = ΔK1A1С1 по первому основанию, затем C = ∠ C1,

ΔABC = ΔA1B1C1 по второму основанию.

7) на двух высотах и ​​углу, от которого удерживается одна из высот.

Данчед: cm = C1m1, AK = A1K1, ∠ A ∠ A1.

Докажите: ΔABC = ΔA1B1C1.

Доказательство: ΔAmc = Δa1m1c1 на катете и остром углу, ΔCax = ΔK1A1С1 на катете и гипотенузе, ΔABC = ΔA1B1C1 по второму основанию.

Заключение.

В ходе исследования выяснил, что помимо трех основных признаков равенства треугольников можно указать еще много других.Я сформулировал и доказал равенство треугольников по медиане, высоте, биссектрисе треугольника в сочетании со сторонами и углами треугольника, придерживаясь наличия трех элементов. Теперь я могу сказать ученикам нашей школы, что есть и другие признаки равенства треугольников. Это позволит выпускникам школы применять результаты моих исследований при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ и легко решать геометрические задачи по использованию этих возможностей.

Результат моего исследования: Доказаны несколько признаков равенства треугольников, не изучаемых в школьном курсе геометрии.

Библиография

1. Доходный М.Я. Справочник по элементарной математике.
2. Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общего образования. Учреждения / Л.С. Атанасян, В.Ф. Буцов, С. Кадомцев и др. — 19 изд. — М .: Просвещение, 2009.
3. Погорелов А.В. Геометрия: этюд. Для 7-9 кл. общее образование. Учреждения. — 3-е издание. — М .: Просвещение, 2002.
4. . Энциклопедия «Аванта» по математике, Москва, 2004
5. 2. «Википедия» — бесплатная энциклопедия.
6. 3. Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, Просвещение, 1982
7. 4. Гусева Т.М. Признаки подобия треугольников.- Москва, первое сентября, приложение «Математика», 1999, №28
8. 5. Погорелов А.В. «Геометрия 7-9 классы», Москва, Просвещение, 2003

Приложение 1

1. Как вы думаете, сколько знаков равенства треугольников?

A) 3 b) более трех c) менее трех

2. Хотите узнать новые признаки равенства треугольников?

A) да б) нет

Dificultăți în studierea geometriei cu clasa a aptea.

Reshebnik pe geometrie pentru clasa 7-9 de Atanasyan — aceasta este o combinație de temă gata făcută, compilate de manualul de tiință autori autorizați — Атанасян Л.С., Букузова С.Б. și colab. Tutorialul este utilizat în Majoritatea colilor rusești. În acelai timp, mulți elevi și părinții lor au dificultăți serioase în pregătirea temelor pe planimetrie.

Gdz pe geometrie 7-9 Clasa Atanasyan, Bugouse, Kadomtsev

Geometria — tiința, care necesită o abilitate de a vizualiza in mod eficient sarcina.Utilizarea standard a formulelor tipice nu este de a face. Deoarece nu toți elevii pot asimila calitativ acest subiect.

Părinții încearcă să ajute copilul să angajeze tutori scumpi … Cu toate acestea, проблема поате Fi rezolvată cu costuri mai mici și costuri temporare. Este достаточно, чтобы сделать его folosiți GDZ pe geometrie pentru clasa de 7-9 din Atanasyan.

Ghidul de studiu oferă algoritmi pas cu pas pentru îndeplinirea sarcinilor geometrice cu comentarii și răspunsuri gata.Ca rezultat, elevii pot înțelege cu ușurință soluțiile de instance și sarcini pe cont propriu.

ntr-o modalitate, удобный для использования решебник по геометрии Атанасян, сайт-уль-ноструэст. Este suficient să faceți clic pe numărul de sarcini de pe pagina Reshebnik related — și sistemul va emite soluția corectă.

Контролировать удовлетворение утилизатора ресурсов prini, prin urmare, realizat:

• disponibilitatea răspunsurilor gata făcute de la un computer, phone, tabletă;
• актуализировать в моде, регулирующем базу реставраций la cele mai recnte versiuni.

Astfel de criterii pentru activitatea site-ului oferăconomii de timp și comoditate în obținerea de soluții gata făcute.

Решебник pe geometrie pentru 7-9 clase de Atanasyan, 2014-2019.

в 2014 г., редакция «Илюминизм» является выпуском альтернативного редакционного руководства по геометрии pentru clasa IX-a din Атанасян. Acesta включает mai mult de 130 de paragrafe împărțite на 4 capitole cheie:

• Fascicul, drept, segment și colț și caracteristici ale măsurătorilor lor;
• Triunghiuri, proprietățile, speciile, legile egalității și similitudinii;
• Paralelismul și perpendicularitatea directă i typeurilor de poligoane;
• Cerc și vectori.

Manualul este susținut de sarcinile de complexitate sporită; Информация, относящаяся к категории 7–8, является показателем существенного.

Manualul nu numai că garantează înțelegerea eficientă a algebrei, dar contribuie, de asemenea, să fie pregătită pentru Certificarea finală a statului.

Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев i alți autori au dezvoltat complex дидактика «Geometria 7-9 clase: un manual pentru organațiile de envățământ general».El a fost pregătit și publicat «iluminarea». Versiunile actale de astăzi sunt considerate ca cele 2014-2019. Acestea sunt prezentate pe această pagină a site-ului nostru.

Clasele de geometrie регулируют уход, используя онлайн-учебник для решения проблем, связанных с актуальными проблемами, которые могут быть вызваны спортом. Conținutul manualului соответсвует стандартному федеральному современному (GEF) i face parte din programme de lucru use in mod activ ale profesorilor de divercere ai Federației Ruse.

Care este GDZ-ul lui Atanasyan poate fi util pentru studenți de la 7 la 9 clase?

Metoda utilizată de temă terminată simpleifică preparatele pentru lecțiile i repetarea materialelor care au fost călătorite anterior, включая курс математики. Exerciiile bine selectate contribuie la cele mai bune regi, formule și circuit de lucru, tehnicile de rezolvare a sarcinilor și dovezile din teoreme. Cu un ghid pe geometrie pentru gradul 7 din Atanasyan, Bukuzova, Kadomtva nu va fi dificil de realizat successces, deoarece:

• Упражнения по уходу — это индивидуальный уход, требующий индивидуального ухода;
• răspunsurile sunt echipate cu explicații detaliate, precum și orientări valoroase;
• site-ul funcționează de la phone, tablete, laptop și computer personal, nu este atașat la sistemul de operare utilizat;
• sunt propuse diferite soluții, care extinde studioul elevilor i își sporesc interesul față de subiect.

GDZ va fi utilă pentru pregătirea pentru lucrările de control, testare, diagnostics și verificare. Acestea pot fi folosite pentru Educaăia independentă în absența oportunității de a vizita in mod regat instituția de învățământ general.

Ce teme sunt prezentate в решебнике Атанасян, Бутузов?

Datorită faptului că sarcinile au fost alese cu grijă i sortate, sunt foarte ușor de făcut în carte. Chiar dacă abilitatea unui elev de matematică frunze mult de dorit, puteți obține progrese semnificative din cauza zelului și a obiectivelor.Cursul discută următoarele domenii:

• cifre pe plan: triunghi, dreptunghi, pătrat, romb, trapeziu;
• teorema pythagoreo și utilizarea acestuia din urmă pentru numeroase calcule;
• conceptul de înălțime, bisector i median, precum și teoreme conexe;
• semne de similitudine și egalitate de triunghiuri;
• Introductionrea Conceptelor de sinus, cosinie și tangente de colțuri.

Geometria se referă la acele elemente basicale importante care vor face cu siguranță parte a viitorului members men al societății, deoarece îndeplinirea calculelor практика simple este necesară de fapt peste tot.Кроме того, это провокация геометрии на стороне НГЭ по математике. Prin urmare, colecția cu răspunsuri loiale este Recomandată masei largi de studenți, Precum și părinților lor pentru monitorizarea sistematică a performance copilului.

GDZ pe geometrie pentru clasa de 7-9 ani Atanasyan este o colecție de soluții gata făcute pentru toate sarcinile tutorialului tutorialului, compilate de echipa de autori ruși — L.S. Атанасян, В. Ф. Бутовев, С. Б. Кадомцев șи алțии. Reschebnik sa концентрат pe ajutorul părinților care doresc să-și ajute copiii in îndeplinirea temelor; I, de asemenea, pelevii care doresc să înțeleagă в моде, независимом в timpul deciziei de sarcini geometrice.

Решебник по геометрии pentru clasa 7-9 din Атанасян Л.С. — baza temelor de calitate

Exercițiile de atelier de geometrie nu sunt întotdeauna înțelese pentru părinții care îi ajută pe copii să facă temele. Elevii, uneori, nu au timp să înțeleagă algoritmul deerciții din cauza încărcărilor grele din școala medie i cea mai veche.

Iar aceștia și alții pot ajuta la reschebnik pe geometrie pentru clasa 7-9 din Atanasyan, care prezintă algoritmi pas cu pas pentru îndeplinirea sarcinilor și răspunsuri gata.

Если вы хотите использовать удобное руководство на веб-сайте, нажмите на ссылку:

• Периодически обновляйте свое решение в режиме онлайн, чтобы получить доступ к определенной программе;
• O căutare convabilă vă permite să Introductionți numărul deerciiu sau o parte a sarcinii din bara de căutare — se poate face din orice pagină a site-ului;
• Возможность визуализации информации о компьютере, планшете на смартфоне.

Astfel de mecanisme contribuie laconomisirea timpului. N plus, algoritmii pas cu pas fac posibilă evitarea angajării tutorelor costisitoare înțelegerea independentă a sarcinilor geometrice complexe.

GDZ pe geometrie pentru 7-9 Clasa Atanasyan, Butuzov, Kadomtsev — Curs de bază cu sarcini

Reschebnik, trimis pe site, este o colecție de sarcini efectuate, potrivitului de peasyat LSn, 2014. редактора «Илюминизм».Manualul включает тему 131 ухода за загаром в 4 capitole.

Руководство по введению элевий угля, основанного на концепции геометрической формы, ca:

• Fascicul, drept, segment i colț și caracteristici ale măsurătorilor lor;
• Triunghiuri, proprietățile, speciile, legile egalității și similitudinii;
• Paralelismul și perpendicularitatea directă și care rezultă din acestea;
• Tipuri de poligoane i proprietățile cheie ale acestora;
• Cerc și calculungimii, cercului și a zonei sale;
• Tipuri de vectori și acțiuni matematice cu ele.

Отдельно от части и вручную, представляющей сложную сложность, на примере частной репетиции материала студии в классической антериоаре.

Deoarece colecția de teme конечная включает в себя numai răspunsurile online la sarcinile i example cursului de geometrie pentru clasa 7-9, dar și un algoritm detaliat de soluție. O astfel de structură ajută nu numai în Performanța temelor, ci și contribuie la pregătirile pentru GIA i EGE.

Pregătit temele la manualul de geometrie pentru studenții de 7-9 clase, автор: L.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Кадомцев, де экс. Позняк, И. Юдина, publicarea iluminării pentru anul școlar 2015 — 2016.

Бээши, в град 7-9 раз исследуйте астрономический объект, интересный с геометрией. Pentru a nu avea проблема cu înțelegerea acestei lecții, este necesar să lucrăm din greu de la început.

În clasele anterioare, ați îndeplinit deja câteva forme geometrice. На лучшем шумихе, vei вымерли, acest minim de cunoștințe. Întregul curs este împărțit în două secțiuni: planimetrie și stereometru.În clasa a VIII-a, veți lua în considerare cifrele din avion — aceasta este o secțiune a planimului. Cln clasa IX-a proprietățile figurilor în spațiu — стереометрия.

Adesea, ситуационная ситуация — это то, что вам нужно, если вы работаете с лицом, воображаемым, притворным, с подробным описанием, которое может быть использовано как геометрическая модель, состоящая из нескольких элементов. Dacă Aveți Astfel de Dificultăți, atunci vă Recomandăm să utilizați GDZ-ul nostru pe geometria pentru 7-9 Clasa LS. Атанасян, care este Plasată mai jos.

GDZ Geometry Grad 7 Registrul de lucru Atanasyan poate descărca.

GDZ Geometry 8 Clasa de lucru Atanasyan poate fi descărcat.

GDZ Geometry Grad 9 Registrul de lucru Atanasyan poate descărca.

GDZ la materiale didactice pe geometrie pentru gradul 7 Ziv B.G. Poti descarca

Урок математики на тему «Построение круга» (2 класс). Разделение круга на любое количество равных частей Построение центра круга с помощью только циркуля

При изготовлении или обработке деревянных деталей в некоторых случаях требуется определить их геометрический центр.Если деталь имеет квадратную или прямоугольную форму, то сделать это несложно. Достаточно соединить противоположные углы диагоналями, которые будут пересекаться точно в центре нашей фигуры.
Для изделий, имеющих форму круга, это решение не подойдет, так как они не имеют углов, а значит, и диагоналей. В этом случае нужен другой подход, основанный на других принципах.

И они существуют, и во многих вариациях. Некоторые из них довольно сложны и требуют нескольких инструментов, другие легко реализовать, и для их реализации не требуется целый набор инструментов.
Теперь мы рассмотрим один из самых простых способов найти центр круга, используя обычную линейку и карандаш.

Последовательность поиска центра окружности:

В задачах строительства циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности, линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины, а компас может иметь произвольно большое или сколь угодно маленькое отверстие.

Допустимые конструкции. В строительных заданиях разрешены следующие операции:

1. Отметьте точку:

• произвольная точка плоскости;
• произвольная точка на заданной прямой;
• произвольная точка данной окружности;
• точка пересечения двух заданных прямых;
• точек пересечения / касания заданной прямой и заданной окружности;
• точек пересечения / касания двух указанных окружностей.

2.С помощью линейки можно построить прямую:

• произвольная прямая на плоскости;
• произвольная прямая линия, проходящая через заданную точку;
• прямая линия, проходящая через две заданные точки.

3. С помощью циркуля можно построить круг:

• произвольный круг на плоскости;
• произвольный круг с центром в данной точке;
• произвольный круг с радиусом, равным расстоянию между двумя указанными точками;
• круг с центром в указанной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя указанными точками.

Решение строительных проблем. Решение строительной задачи состоит из трех основных частей:

1. Описание метода построения желаемого объекта.
2. Доказательство того, что объект, созданный описанным способом, действительно является желаемым.
3. Анализ описанного метода построения на предмет его применимости к различным вариантам начальных условий, а также на единственность или неединственность решения, полученного описанным методом.

Нарисуйте отрезок прямой, равный заданному. Пусть есть луч с началом в точке $ O $ и отрезок $ AB $. Чтобы построить на луче отрезок $ OP = AB $, нужно построить окружность с центром в точке $ O $ радиуса $ AB $. Точка пересечения луча с окружностью и будет искомой точкой $ P $.

Строит угол, равный заданному. Пусть дан луч с началом в точке $ O $ и углом $ ABC $.С центром в точке $ B $ построим окружность произвольного радиуса $ r $. Обозначим точки пересечения окружности с лучами $ BA $ и $ BC $ соответственно $ A «$ и $ C» $.

Постройте окружность с центром в точке $ O $ радиуса $ r $. Точку пересечения окружности с лучом обозначим $ P $. Постройте круг с центром в точке $ P $ радиуса $ A «B» $. Точку пересечения окружностей обозначим через $ Q $.Нарисуйте луч $ OQ $.

Получаем угол $ POQ $ равный углу $ ABC $, поскольку треугольники $ POQ $ и $ ABC $ равны с трех сторон.

Создает среднюю точку, перпендикулярную отрезку линии. Постройте две пересекающиеся окружности произвольного радиуса с центрами на концах сегмента. Соединив две точки их пересечения, мы получим средний перпендикуляр.

Построение биссектрисы угла. Нарисуем круг произвольного радиуса с центром в вершине угла.Построим две пересекающиеся окружности произвольного радиуса с центрами в точках пересечения первой окружности со сторонами угла. Соединив вершину угла с любой из точек пересечения этих двух окружностей, мы получим биссектрису угла.

Построение суммы двух отрезков. Чтобы построить сегмент, равный сумме двух данных сегментов на данном луче, вам нужно применить метод построения сегмента, равного этому, дважды.

Построение суммы двух углов. Чтобы отложить от данного луча угол, равный сумме двух заданных углов, необходимо дважды применить метод построения угла, равного этому.

Нахождение средней точки линейного сегмента. Чтобы отметить середину данного сегмента, вам нужно построить середину перпендикуляра к сегменту и отметить точку пересечения перпендикуляра с самим сегментом.

Создает перпендикулярную линию через заданную точку. Пусть требуется построить прямую, перпендикулярную данной точке и проходящую через данную точку. Нарисуйте круг произвольного радиуса с центром в данной точке (независимо от того, лежит ли он на прямой линии или нет), пересекающий прямую линию в двух точках. Построим середину перпендикулярно отрезку с концами в точках пересечения окружности с прямой линией. Это будет желаемая перпендикулярная линия.

Проводит параллельную прямую линию через заданную точку. Пусть требуется построить прямую, параллельную данной и проходящую через данную точку вне прямой. Строим прямую, проходящую через заданную точку, перпендикулярную этой прямой. Затем строим прямую, проходящую через эту точку, перпендикулярную построенному перпендикуляру. Получившаяся прямая и будет желаемой.

Задачи:

Закрепить у студентов понятия «кружок», «кружок»; вывести понятие «радиус круга»; научитесь строить круги заданного радиуса; развивать способность рассуждать, анализировать.

Личный UUD:
для формирования положительного отношения к урокам математики;
интерес к предметно-исследовательской деятельности;

Метапредметные задачи

Нормативный UUD:
принять и сохранить учебное задание;
в сотрудничестве с учителем и классом найдем несколько вариантов решения;

Когнитивный UUD:
постановка и решение проблем:
самостоятельно выявить и сформулировать проблему;
общеобразовательные:
найти необходимую информацию в учебнике;
построить круг заданного радиуса с помощью циркуля;
головоломка:
образуют понятие «радиус»;
провести классификацию, сравнение;
самостоятельно формулируют выводы;

Коммуникативный УУД:
активно участвовать в коллективной работе, используя речевые средства;
аргументируйте свою точку зрения;

Предметные умения:
для выявления существенных признаков понятия «радиус окружности»;
построить круги с разным радиусом;
распознает радиусы на чертеже.

На занятиях

Мотивация к учебной деятельности

— Давайте проверим, все ли готовы к уроку?

«Эмоциональный вход в урок»:

Улыбайтесь как солнышки.

Хмуриться, как облака

Плакать, как дождь

Сюрприз, как если бы вы видели радугу

А теперь повторяйте за мной

Игра «Дружественное эхо»

2. Обновление знаний

Словесный счет

а) 60-40 36 + 12 10 + 20 58-12 90-50 31 + 13

Раскройте закономерность.Продолжайте ряд.

Ответ: 20, 48,30,46,40,44 50,42

б) Решите задачу:

1. В первый день в магазине было продано 42 кг фруктов, а во второй — еще 2 кг. Сколько килограммов было продано на второй день?

Что нужно изменить, чтобы задача решалась в 2 шага.

Шарики — 16 шт.

Веревка — 28 шт.

Найдите решение этой проблемы.

28–16 28 + 16

Измените вопрос так, чтобы проблема решалась вычитанием.

3. Постановка образовательной задачи

1. Назовите геометрические фигуры

Круг, круг, овальный шар,

Какая фигура лишняя?

Что общего у цифр? (Круг, круг, шар имеют одинаковую форму)

В чем разница?

2. В

Какие точки принадлежат кругу? Какие точки находятся за пределами круга?

Что означает точка О? (центр круга)

Как называется сегмент OB?

Сколько радиусов вы можете нарисовать в круге?

Какая линия не является радиусом? Почему?

Какой вывод можно сделать?

Вывод: все радиусы имеют одинаковую длину .

3. Сколько кругов на картинке?

Чем отличаются круги? (размер)

От чего зависит размер круга?

Какой вывод можно сделать?

Вывод: чем больше круг, тем больше его радиус.

Определите тему урока.

Тема: Создает круг заданного радиуса с помощью циркуля.

Какие задачи мы можем поставить перед собой на этом занятии?

4.Работа по теме

а) Построение круга.

Что нужно знать, чтобы нарисовать круг заданного размера?

Нарисуйте круг радиусом 3 см.

б) Подготовка к деятельности по проекту

1) Рассмотрим рисунок

Каковы формы бабочки? Круги с одинаковым радиусом?

2) Работаем парами.

Восстановить порядок этапов в проекте.

Презентация проекта или демонстрация

Концепция (сделать набросок)

Построить фигуры для реализации плана

Подумать, какой радиус должны иметь формы

c) Работа над проектом.

Работа в группах по составленному алгоритму

Окружность — это замкнутая изогнутая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от одной точки O, называемой центром.

Прямые, соединяющие любую точку окружности с ее центром, называются радиусами R.

Прямая AB, соединяющая две точки окружности и проходящая через ее центр O, называется диаметром D.

Части окружностей называются дугами .

Прямая линия CD, соединяющая две точки на окружности, называется хордой .

Прямая МN, имеющая только одну общую точку с окружностью, называется касательной .

Часть окружности, ограниченная хордой CD и дугой, называется сегментом .

Часть окружности, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором .

Две взаимно перпендикулярные горизонтальная и вертикальная линии, пересекающиеся в центре окружности, называются осями окружности .

Угол, образованный двумя радиусами KOA, называется центральным углом .

Два взаимно перпендикулярных радиуса составляют угол 90 0 и ограничивают 1/4 окружности.

Рисуем круг с горизонтальной и вертикальной осями, которые делят его на 4 равные части. Нарисованные циркулем или квадратом под углом 45 0 две взаимно перпендикулярные линии делят круг на 8 равных частей.

Деление круга на 3 и 6 равных частей (кратное 3 на три)

Чтобы разделить круг на 3, 6 и несколько из них, мы рисуем круг заданного радиуса и соответствующих осей.Деление может начинаться от точки пересечения горизонтальной или вертикальной оси с кругом. Заданный радиус круга наносится последовательно 6 раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шестиугольник. Соединение точек через одну дает равносторонний треугольник, а круг делит на три равные части.

Построение правильного пятиугольника выглядит следующим образом. Рисуем две взаимно перпендикулярные оси окружности, равные диаметру окружности.Правую половину горизонтального диаметра разделите пополам с помощью дуги R1. Из полученной точки «a» в середине этого отрезка с радиусом R2 проведите дугу окружности до пересечения с горизонтальным диаметром в точке «b». Радиусом R3 из точки «1» нарисуйте дугу окружности до пересечения с заданной окружностью (точка 5) и получите сторону правильного пятиугольника. Расстояние «b-O» дает сторону правильного десятиугольника.

Разделение круга на N-е количество одинаковых частей (построение правильного многоугольника с N сторон)

Осуществляется следующим образом.Рисуем горизонталь и вертикаль взаимно перпендикулярно оси круга. Из верхней точки «1» круга проведите прямую линию под произвольным углом к ​​вертикальной оси. На него укладываем равные отрезки произвольной длины, количество которых равно количеству частей, на которые мы делим данную окружность, например 9. Конец последнего отрезка соединяют с нижней точкой вертикального диаметра. . Проведем параллельные полученной линии от концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, тем самым разделив вертикальный диаметр данной окружности на заданное количество частей.С радиусом, равным диаметру круга, от нижней точки вертикальной оси проведите дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси круга. Из точек M и N проводим лучи через четные (или нечетные) точки деления вертикального диаметра, пока они не пересекутся с окружностью. Полученные отрезки круга будут нужными, так как точки 1, 2,…. 9 разделите круг на 9 (N) равных частей.

§ 1 Окружность. Основные понятия

В математике есть предложения, объясняющие значение определенного имени или выражения.Такие предложения называются определениями.

Определим понятие круга. Круг — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от заданной точки.

Эта точка, назовем ее точкой O, называется центром круга.

Отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности, называется радиусом окружности. Таких сегментов можно нарисовать очень много, например OA, OV, OS. Все они будут одинаковой длины.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. MN — хорда круга.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. AB — диаметр круга. Диаметр состоит из двух радиусов, что означает, что длина диаметра в два раза больше радиуса. Центр круга — это середина любого диаметра.

Любые две точки круга делят его на две части. Эти части называются дугами окружности.

АNВ и АМВ — дуги окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется окружностью.

Чтобы изобразить на рисунке круг, воспользуйтесь циркулем. Круг также можно нарисовать на земле. Для этого достаточно использовать веревку. Один конец веревки закрепите на вбитом в землю колышком, а другим концом опишите круг.

§ 2 Построения с помощью циркуля и линейки

В геометрии многие конструкции могут быть выполнены с использованием только циркуля и линейки без делений шкалы.

Используя только линейку, вы можете нарисовать произвольную линию, а также произвольную линию, проходящую через заданную точку, или прямую линию, проходящую через две заданные точки.

Компас позволяет нарисовать окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным этому сегменту.

По отдельности каждый из этих инструментов дает возможность строить простейшие конструкции, но с помощью этих двух инструментов уже можно выполнять более сложные операции, например,

решает строительные проблемы, такие как

Построить угол, равный заданному,

Построить треугольник с заданными сторонами,

Разделите сегмент пополам,

Через эту точку проведите прямую линию, перпендикулярную этой прямой, и т. Д.

Давайте рассмотрим проблему.

Задача: На данном луче от его начала проложить отрезок, равный данному.

Даны OS балки и сегмент AB. Необходимо построить отрезок OD, равный отрезку AB.

С помощью циркуля постройте окружность радиуса, равного длине отрезка AB, с центром в точке O. Эта окружность будет пересекать этот луч OS в некоторой точке D. Сегмент OD является требуемым отрезком.

Список использованной литературы:

1. Геометрия.7-9 классы: учеб. для общего образования. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Кадомцев и др. — М .: Просвещение, 2013. — 383 с .: ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Урок развития в 7 классе. — М .: «ВАКО», 2004. — 288с. — (В помощь школьному учителю).
3. О. Белицкая Геометрия. 7-й класс. Часть 1. Испытания. — Саратов: Лицей, 2014. — 64 с.

Как доказать, что стороны перпендикулярны. Перпендикулярные линии, условие перпендикулярности линий.Проведение перпендикулярной линии

В этом уроке мы подробнее рассмотрим понятие перпендикуляра к прямой и докажем важную теорему.

Напомним сначала определение перпендикулярных прямых. Далее сформулируем и докажем теорему о двух прямых, перпендикулярных третьей. Далее мы даем определение перпендикуляра к прямой, формулируем и доказываем важную теорему о том, что из любой произвольной точки можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой.

В итоге решим несколько задач по затронутой теме.

Для начала вспомним важный факт: две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Рисунок: 1. Перпендикулярные прямые

AC⊥BD, потому что четыре угла составляют 90 °. Напомним также, что при пересечении любых прямых линий образуются четыре угла: 2 равных друг другу вертикальных угла и пара равных вертикальных углов.а и б — смежные углы. И по теореме о соседнем угле a + b = 180 °.

Рисунок: 2. Пересечение прямых

В единственном случае a = b = 90 °. В этом случае прямые AC и BD называются перпендикулярными.

Теорема 1. Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Рисунок: 3. Изложение теоремы 1

Отсюда следует, что AA 1 и BB 1 не имеют общих точек. Прямые AA 1 и BB 1 можно продолжать бесконечно, но они не пересекаются.В этом смысл теоремы.

Определение: Пусть прямые AH и a перпендикулярны. Мы знаем, что для того, чтобы все четыре угла этих линий составляли 90 ° каждый, необходимо, чтобы одна из них была правильной. Отрезок линии AH называется перпендикуляром, проведенным от точки A к линии a, если прямые AH и перпендикуляр … В этом случае точка H называется основанием перпендикуляра.

Рисунок: 4. Чертеж определения перпендикуляра

В данном случае перпендикуляр — это отрезок прямой.Это означает, что перпендикуляр к прямой — это отрезок.

Теорема 2: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, причем только один.

Рисунок: 5. Рисунок для теоремы 2

Есть много точек, которые не лежат на прямой a. Из любой точки A, не лежащей на заданной линии, вы можете провести перпендикуляр к этой линии. Причем этот перпендикуляр единственный.

Дано: точка А не принадлежит линии а.

Докажите: есть только один отрезок AH, где AH.

Обоснование:

1. Нарисуйте 2 одинаковых угла. ∠ABS = ∠МВС или ∠1 = ∠2.

2. Можно накладывать одинаковые углы. В этом случае точка A перейдет в точку A 1. BA = BA 1 (изгиб по прямой BC).

3. Соединяем точки A и A 1. Получаем точку H. Углы ∠ВНА = ∠3, ∠ВНА 1 = ∠4.

4.

Следовательно, треугольники ВНА = ВНА 1 по первому знаку равенства треугольников, то есть по углу и двум смежным сторонам.ДО Н.Э. Мы доказали, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой a.

Рисунок: 6. Рисунок для доказательства теоремы 2 (1)

Единственность перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой, будет доказана от противного.

5. Предположим, что из точки A в линию a можно провести два разных перпендикуляра.

AH a, AH 1 ⊥ a.

Рисунок: 7. Чертеж для доказательства уникальности перпендикуляра

Это невозможно, так как 2 перпендикуляра проведены из разных точек прямой a, имеющих общую точку A.Мы получили противоречие, а это значит, что наше предположение неверно. От точки А до прямой можно провести только один перпендикуляр.

Пример 1: Точки A и C находятся на одной стороне от линии a. Перпендикуляры AB и CD к прямой a равны.

1. Докажите, что ABD = ∠CDB.

2. Найдите ABS, если ∠ADB = 44 °.

Дано: A) AB⊥ a, CD ⊥ a.

Докажите: ∠ADB = ∠CDB.

Обоснование:

Рисунок: 8.Чертеж для примера 1 (а)

Доказательство основано на концепции перпендикуляра от точки к прямой. Отсюда следует, что ADB = CDB, как и положено.

Дано: B) AB⊥ a, CD⊥ a. AB = CD, ∠ADB = 44 °. Найдите ∠ABS.

Обоснование:

Выполним пояснительный рисунок:

Рисунок: 9. Чертеж для примера 1 (b)

1. ∆ABD = ∆CDB. (AB = CD, BD — общее, ∠ABD = ∠CDB). Равенство треугольников означает равенство соответствующих им элементов.AD = CB.

2. ∠ADB = ∠CBD = 44 °. Поскольку эти углы противоположны равным сторонам AB и CD соответственно.

3.∠АВС = 90 ° — 44 ° = 46 °

Ответ: 46 °.

В сегодняшнем уроке мы рассмотрели понятие перпендикуляра к прямой и доказали теорему об этом перпендикуляре. На следующем уроке мы познакомимся с медианой, биссектрисой и высотой треугольника.

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.и другие. Геометрия 7. — М .: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и другие. Геометрия 7. 5-е изд. — М .: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С. Кадомцев, В. Прасолов, изд. Садовничий В.А. — М .: Просвещение, 2010.

1. Обобщающий урок геометрии в 7 классе ().
2. Прямая, отрезок ().

1. № 13 (б). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С. Кадомцев, В. Прасолов, изд. Садовничий В.А. — М .: Просвещение, 2010.

2. Один из соседних углов в 3 раза больше другого. Найдите эти углы.

3. Прямые BH и AH взаимно перпендикулярны и ∠BHM = ∠AHC. Докажите, что НМ⊥НС.

4. № 14 (d). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С. Кадомцев, В. Прасолов, изд. Садовничий В.А. — М .: Просвещение, 2010.

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, вы можете провести перпендикуляр к этой прямой.

Доказательства. Пусть A — точка, не лежащая на данной прямой a (рис. 56, a). Докажем, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой a. Согните мысленно плоскость по прямой a (рис. 56, б) так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, перекрывала другую полуплоскость. В этом случае точка A будет наложена на некоторую точку. Обозначим его буквой B.Разгибаем плоскость и проводим прямую через точки A и B.

Пусть H — точка пересечения прямых AB и a (рис. 56, в). Когда самолет снова изгибается по прямой, точка H останется на месте. Следовательно, луч HA будет перекрываться с лучом HB, а значит, угол 1 будет совпадать с углом 2. Таким образом, ∠1 = ∠2. Поскольку углы 1 и 2 смежные, их сумма равна 180 °, поэтому каждый из них прямой. Следовательно, отрезок AH перпендикулярен прямой a.Теорема доказана.

26. Докажите теорему о единственности перпендикуляра к прямой. (Рис. 57 в учебном пособии)

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, невозможно провести два перпендикуляра к этой прямой.

Доказательства. Пусть A — точка, не лежащая на данной прямой a (см. Рис. 56, a). Докажем, что невозможно провести два перпендикуляра от точки A к прямой a. Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a (рис.57). Мысленно изгибаем плоскость по прямой a так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, накладывалась на другую полуплоскость. При изгибе точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на какую-то точку. Обозначим его буквой B. В этом случае отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK.

Углы AHB и AKB развернуты, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Следовательно, точки A, H и B лежат на одной прямой, а точки A, K и B лежат на одной прямой.

Таким образом, мы получили, что две прямые AH и AK проходят через точки A и B. Но этого не может быть. Следовательно, наше предположение неверно, а это значит, что два перпендикуляра не могут быть проведены из точки A в линию a. Теорема доказана.

http://mthm.ru/geometry7/perpendicular

Перпендикулярные прямые линии встречаются почти в каждой геометрической задаче. Иногда перпендикулярность линий известна из условия, а в других случаях перпендикулярность линий должна быть доказана.Чтобы доказать перпендикулярность двух прямых, достаточно показать любыми геометрическими методами, что угол между прямыми равен девяноста градусам.

А как ответить на вопрос «перпендикулярны ли линии?», Если известны уравнения, определяющие эти линии на плоскости или в трехмерном пространстве?

Для этого используем необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых … Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен вектору направления прямой b .

Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении вектора направления прямой и на определении перпендикулярных прямых.

Добавим конкретики.

Пусть на плоскости Oxy введена прямоугольная декартова система координат и даны уравнения прямой линии на плоскости некоторой формы, которые определяют прямые a и b … Обозначим векторы направления прямых и и b , а также соответственно. Уравнениями прямых a и b можно определить координаты векторов направления этих прямых — получаем и. Тогда для перпендикулярности прямых a, и b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие перпендикулярности векторов и, то есть, чтобы скалярное произведение векторов и было равно нулю:.

Итак, a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид, где и — векторы направления прямых a и b соответственно.

Это условие удобно использовать, когда легко найти координаты векторов направлений прямых, а также когда прямые a и b соответствуют каноническим уравнениям прямой на плоскости или параметрическим уравнениям прямая линия на плоскости.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxy даны три точки. Перпендикулярны прямые AB и AS ?

Решение.

Векторы и являются векторами направлений прямых AB и AS … Ссылаясь на статью, координаты вектора по координатам точек его начала и конца, вычисляем … Векторы и являются перпендикулярно, т.к… Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности линий AB и AS … Следовательно, прямые AB и AS перпендикулярны.

Ответ:

да, прямые перпендикулярны.

Пример.

Прямые и перпендикулярные?

Решение.

Направляющий вектор прямой и является направляющим вектором прямой… Вычислим скалярное произведение векторов и: … Оно не равно нулю, следовательно, векторы направления линий не перпендикулярны. То есть не выполняется условие перпендикулярности линий, следовательно, исходные линии не перпендикулярны.

Ответ:

нет, прямые не перпендикулярны.

Аналогично, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве имеет вид где и — векторы направления прямых a и b соответственно.

Пример.

Прямоугольные линии перпендикулярны Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями и?

Решение.

Числа в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве являются соответствующими координатами направляющего вектора прямой. А координаты направляющего вектора прямой, который задается параметрическими уравнениями прямой в пространстве, являются коэффициентами при параметре.Таким образом, и — векторы направления заданных линий. Давайте выясним, перпендикулярны ли они: … Поскольку скалярное произведение равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Это означает, что условие перпендикулярности данных линий выполнено.

Ответ:

прямых перпендикулярны.

Для проверки перпендикулярности двух прямых на плоскости существуют другие необходимые и достаточные условия перпендикулярности.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали линии a был перпендикулярен вектору нормали b .

Озвученное условие перпендикулярности прямых удобно использовать, если координаты векторов нормалей прямых легко найти из приведенных уравнений прямых. Это утверждение соответствует общему уравнению прямой формы, уравнению прямой на отрезках и уравнению прямой с наклоном.

Пример.

Убедитесь, что они прямые и перпендикулярные.

Решение.

По уравнениям прямых легко найти координаты нормальных векторов этих прямых. Является ли вектор нормали линии … Перепишем уравнение в виде, откуда видны координаты вектора нормали этой линии :.

Векторы и перпендикулярны, поскольку их скалярное произведение равно нулю: … Таким образом, необходимое и достаточное условие перпендикулярности данных линий выполнено, то есть они действительно перпендикулярны.

В частности, если прямая а на плоскости определяет уравнение прямой с наклоном формы, а прямая b — формы, то векторы нормалей этих прямых имеют координаты и соответственно , а условие перпендикулярности этих линий сводится к следующему соотношению между коэффициентами наклона.

Пример.

Прямые и перпендикулярные?

Решение.

Наклон прямой такой же, а наклон прямой. Произведение уклонов равно минус единице, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ:

заданных прямых перпендикулярны.

Можно озвучить еще одно условие перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы вектор направления одной прямой и вектор нормали второй прямой были коллинеарны.

Очевидно, что это условие удобно использовать, когда легко найти координаты направляющего вектора одной прямой и координаты вектора нормали второй прямой, то есть когда одна прямая задается каноническим уравнением или параметрические уравнения прямой на плоскости, а второе — это либо общее уравнение прямой, либо уравнение прямой в отрезках, либо уравнение прямой с наклоном.

Пример.

Прямые и перпендикулярные?

Решение.

Очевидно, является нормальным вектором прямой и направляющим вектором прямой. Векторы и не коллинеарны, так как для них не выполняется условие коллинеарности двух векторов (нет такого действительного числа t , при котором). Следовательно, данные линии не перпендикулярны.

Ответ:

прямых не перпендикулярны.

21. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой определяется как расстояние от точки до точки. Покажем, как это делается.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве дана прямая a и точка M 1 не лежит на прямой a … Проведем через точку M 1 прямую b перпендикулярно прямой a … Обозначим точку пересечения прямых a и b как H 1 … Отрезок M 1 H 1 называется перпендикуляром , проведенным от точки M 1 к прямой a .

Определение.

Расстояние от точки M 1 до прямой a называется расстояние между точками M 1 и H 1 .

Однако чаще определяют расстояние от точки до прямой линии, на которой появляется длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до линии Длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до линии.

Обратите внимание, что расстояние от точки до линии — это наименьшее из расстояний от этой точки до точек на данной линии. Покажем это.

Возьмем на прямой точку Q , не совпадающую с точкой M 1 … Отрезок M 1 Q называется наклонным , проведенным от точки M 1 до прямого a … Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M 1 к прямой на меньше, чем любой наклон, проведенный из точки M 1 к прямой a … На самом деле это: треугольник M 1 QH 1 прямоугольник с гипотенузой M 1 Q , а длина гипотенузы всегда больше, чем длина любой из ног, поэтому.

22. Самолет в пространстве R3. Уравнение плоскости.

Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением, которое называется плоскостью общего уравнения , плоскостью.

Определение. Вектор перпендикулярен плоскости и называется нормальным вектором .

Если в прямоугольной системе координат известны координаты трех точек, не лежащих на одной прямой, то уравнение плоскости записывается в виде:.

Вычислив этот определитель, получаем общее уравнение плоскости.

Пример. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки.

Решение:

Уравнение плоскости :.

23. Исследование общего уравнения плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Любой вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Если известна фиксированная точка M 0 ( x 0, y 0, z 0), лежащая в данной плоскости, и вектор, перпендикулярный этой плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0, y 0, z 0), перпендикулярно вектору, имеет вид

A ( x-x 0) + B ( y-y 0) + C ( z-z 0) = 0.(3,22)

Покажем, что уравнение (3.22) является общим уравнением плоскости (3.21). Для этого расширяем скобки и помещаем в скобки свободный член:

. Ax + By + Cz + ( -Ax 0 — By -Cz 0) = 0

Обозначив D = -Ax 0 — By -Cz 0, мы получим уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Задача 1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A, перпендикулярно вектору, если A (4, -3, 1), B (1, 2, 3).

Решение. Найдите вектор нормали к плоскости:

Чтобы найти уравнение плоскости, воспользуемся уравнением (3.22):

Ответ: -3 x + 5 y + 2 z + 25 = 0.

Цель 2. Уравнять плоскость через точку M 0 (-1, 2, -1), перпендикулярную оси OZ .

Решение. В качестве вектора нормали к желаемой плоскости можно взять любой вектор, лежащий на оси OZ, например, тогда уравнение плоскости

Ответ: z + 1 = 0.

24. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости определяется через расстояние от точки до точки, одна из которых является данной точкой, а другая — проекцией данной точки на данную плоскость.

Пусть задана точка в трехмерном пространстве M 1 и плоскости. Проведем через точку M 1 прямую , перпендикулярную плоскости. Обозначим точку пересечения прямой a и плоскостей как H 1 … Отрезок M 1 H 1 называется перпендикуляром , падающим из точки M 1 на плоскость, а точка H 1 — основанием перпендикуляра .

Определение.

Расстояние от заданной точки до основания перпендикуляра, проведенного из заданной точки в заданную плоскость.

Наиболее распространенное определение — это расстояние от точки до плоскости в следующей форме.

Определение.

Расстояние от точки до плоскости Длина перпендикуляра, падающего из данной точки в данную плоскость.

Следует отметить, что расстояние от точки M 1 до плоскости, определяемое таким образом, является наименьшим из расстояний от данной точки M 1 до любой точки на плоскости. Действительно, пусть точка H 2 лежит в плоскости и отличается от точки H 1 … Очевидно, что треугольник M 2 H 1 H 2 прямоугольный, в нем M 1 H 1 — катет, и M 1 H 2 Это гипотенуза, поэтому … Кстати, отрезок M 1 H 2 называется косой , проведенной от точки M 1 к плоскости.Таким образом, перпендикуляр, падающий из данной точки в данную плоскость, всегда меньше наклонной линии, проведенной из той же точки в данную плоскость.

Если прямая проходит через две заданные точки , , затем ее уравнение записывается в виде :.

Определение. Вектор называется , направляющий вектор прямой линии, если он параллелен или принадлежит ему.

Пример. Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Решение: Используем общую формулу прямой, проходящей через две заданные точки: — каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и. Фото со стока — направляющий вектор прямой.

26. Взаимное расположение прямых в пространстве R3.

Перейдем к вариантам взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть иметь бесконечно много общих точек (не менее двух общих точек).

Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть иметь одну общую точку. В данном случае эти две прямые лежат в определенной плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми.

В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельны. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Рекомендуем изучить статью параллельность линий, параллельность линий.

После того, как мы дали определение параллельным прямым в пространстве, следует сказать, что они являются направляющими векторами прямой из-за их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, параллельной данному, будем называть направляющим вектором прямой. Вектор направления прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

Наконец, можно пересечь две прямые в трехмерном пространстве.Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между пересекающимися прямыми.

Особое практическое значение имеет случай, когда угол между пересекающимися или пересекающимися линиями в трехмерном пространстве равен девяноста градусам. Такие прямые называются перпендикулярными (см. Статью перпендикулярные линии, перпендикулярность линий).

27. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве R3.

Прямая линия может лежать на данной плоскости, быть параллельной данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. Следующие рисунки.

Если, то это значит что. А это возможно только тогда, когда прямая линия лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая линия лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой на плоскости, и координаты любой точки на прямой линии удовлетворяют уравнению плоскости.Поэтому достаточно проверить, лежит ли точка на плоскости. Если, то точка — лежит на плоскости, значит, сама линия лежит на плоскости.

Если, a, то точка на прямой не лежит на плоскости, что означает, что прямая линия параллельна плоскости.

Теорема доказана.

Прямая линия (отрезок прямой) обозначается двумя заглавными буквами латинского алфавита или одной строчной буквой. Точка обозначается только заглавной латинской буквой.

Линии не могут пересекаться, пересекаться или совпадать. Пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку, непересекающиеся прямые — не имеют общей точки, совпадающие прямые имеют все общие точки.

Определение. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямых (или их отрезков) обозначается знаком перпендикулярности «⊥».

Например:

Ваш AB и CD (рис.1) пересекаются в точке ПРО и ∠ AOC = ∠ VOS = ∠ AOD = ∠ BOD = 90 °, затем AB ⊥ CD .

Если AB ⊥ CD (рис.2) и пересекаются в точке AT , то ∠ ABC = ∠ ABD = 90 °

Свойства перпендикулярных линий

1. Через точки И (рис. 3) можно провести только одну перпендикулярную линию AB к прямой CD; остальные линии, проходящие через точки И и пересекающие CD , называются наклонными прямыми (рис.3, прямые AE и AF ).

2. Из точки A можно опустить перпендикуляр на прямую CD ; Длина перпендикуляра (длина сегмента AB ), проведенная из точки AND по прямой CD , является кратчайшим расстоянием от A до CD (рис. 3).

Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию.Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и дайте нам знать, если у вас возникнут вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация — это данные, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или для связи с ним.

Вас могут попросить предоставить вашу личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете запрос на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. Д.

Как мы используем вашу личную информацию:

• Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
• Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, например, для проведения аудитов, анализа данных и различных исследований с целью улучшения предоставляемых нами услуг и предоставления вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном рекламном мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае необходимости — в соответствии с законом, постановлением суда, в ходе судебного разбирательства и / или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть вашу персональная информация.Мы также можем раскрыть информацию о вас, если мы определим, что такое раскрытие необходимо или целесообразно по соображениям безопасности, правоохранительной деятельности или по другим социально важным причинам.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему третьему лицу — правопреемнику.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.