Задачи алгебра 8 класс: Сборник упражнений по алгебре для 8 класса

Основные понятия. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Алгебра 8 класс. Тесты и Тренажеры

Тесты и тренажеры по алгебре

---

 

Контрольные работы с ответами:

УМК МЕРЗЛЯК: Дидактические материалы: Контрольные работы (7 КР)
УМК МЕРЗЛЯК (угл.): КиСР — Контрольные работы 8 кл (10 КР).

УМК МАКАРЫЧЕВ: Жохов Дидактические материалы — Контрольные (10 КР)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Жохов Дидактические материалы — Самостоятельные (57 СР)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Глазков. Контрольно измерительные работы (10 КР)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Дудницын. Тематические тесты для 8 класса
УМК МАКАРЫЧЕВ: Рурукин. Поурочные разработки: Контрольные (10 КР)
УМК МАКАРЫЧЕВ (угл.): Карачинский. Самостоятельные и контрольные работы 8 кл

УМК МОРДКОВИЧ: Попов М.А. Дидактические материалы: Контрольные (7 КР)
УМК МОРДКОВИЧ: Александрова. Контрольные работы в 8 классе
УМК МОРДКОВИЧ: Домашние контрольные работы из уч. «Алгебра 8 класс. Часть 2-я»

УМК НИКОЛЬСКИЙ: Потапов. Дидактические материалы — Контрольные (7 КР)

УМК ДОРОФЕЕВ: Кузнецова и др. Контрольные работы для 8 класса (итоговая)

УМК АЛИМОВ: Жохов и др. Дидактические материалы — Контрольные (9 КР)

К любому УМК (базовому) — Ершова. Самост. и контр. работы по алгебре и геометрии (итоговая)

 

Электронные версии учебников и конспекты

Конспекты по математике (5-6 классы) и алгебре (7-9 классы)

Онлайн учебник: Алгебра 8 кл. Макарычев, Миндюк, Суворова (Просвещение 2019)

Онлайн учебник: Алгебра 8 класс. Мордкович, Семенов (Просвещение, 2018)

Онлайн учебник: Алгебра 8 (углубленное изучение). Мерзляк, Поляков (2019)

Рекомендуемые материалы для очного контроля знаний
по предмету «Алгебра 8 класс»:

Контрольно-измерительные материалы по алгебре в 8 классе / В.В.Черноруцкий — М.: ВАКО, 2018

Алгебра. Тематические тесты. 8 класс. Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. (2014, 142с.)

Алгебра 8 класс. Контрольные работы. Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О., Суворова С.Б. (2016, 80с.)

Алгебра. 7-9 классы. Контрольные работы. Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О. (2011, 110с.)

Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс. Евстафьева Л.П., Карп А.П. (2017, 144с.)

Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. (2013, 96с.)

Алгебра. 8 класс. Тематические тесты. Ткачева М.В. (2014, 80с.)

Алгебра 8 класс. Дидактические материалы. Жохов В.И., Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. (2012, 160с.)

Алгебра. 8 класс. Контрольные измерительные материалы. Глазков Ю.А., Гаиашвили М.Я. (2014, 96с.)

Алгебра. 8 класс. Тестовые материалы для оценки качества обучения. Гусева И.Л., Пушкин С.А. и др. (2013, 96с.)

Алгебра. Тематические тесты. 8 класс. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. (2012, 128с.)

Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы к учебнику Макарычева Ю.Н. — Звавич Л.И., Дьяконова Н.В. (2014, 240с.)

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре. 8 класс. К учебнику Макарычева Ю.Н. и др. Глазков Ю.А., Гаиашвили М.Я. (2012, 144с.)

Тесты по алгебре. 8 класс: к учебнику Макарычева Ю.Н. и др. — Глазков Ю.А., Гаиашвили М.Я. (2013, 112с.)

Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы к учебнику Макарычева. Углубленное изучение. (2013, 173с.)

Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс. Пос. для школ с углубл. изучен. математики. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. (2010, 157с.)

Тесты по алгебре. 8 класс. К учебнику Мордковича А.Г. Ключникова Е.М., Комиссарова И.В. (2011, 96с.)

Алгебра. 7-9 классы. Контрольные работы. Мордкович А.Г. (2011, 127с.)

Алгебра 8 класс. Контрольные работы. Александрова Л.А. (2014, 40с.)

Алгебра. 7-9 классы. Контрольные работы. Мордкович А.Г. (2011, 127с.)

Алгебра. 8 класс. Тематические тесты. Чулков П.В., Струков Т.С. (2012, 95с.)

Тесты по алгебре. 8 класс. К учебнику Никольского С.М. и др. — Журавлев С.Г., Ермаков В.В. и др. (2013, 144с.)

Алгебра. 7-8 классы. Тренажер. Тематические тесты и итоговые работы. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. (2013, 96с.)

Алгебра. 8 класс. Сборник тестов и контрольных заданий. Дюмина Т.Ю. (2010, 83с.)

 

---

Вы смотрели «Тесты по алгебре в 8 классе. Контрольные работы по алгебре 8 класс с ответами». Вернуться 

Справочное пособие по алгебре 8 класса

 

Оглавление

Тема 1. Повторение изученного в 7 классе 5

Линейное уравнение. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными 5

Свойства степеней 7

Арифметические действия над одночленами и многочленами 8

Разложение многочленов на множители 9

Тема 2. Алгебраические дроби 10

Понятие алгебраической дроби и её значение 10

Когда алгебраическая дробь имеет смысл? 10

Когда алгебраическая дробь равна нулю? 10

Тема 3. Основное свойство алгебраической дроби 11

Умножение и деление дроби на одно и то же выражение, не равное нулю 11

Приведение дробей к общему знаменателю 11

Тема 4. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 12

Правило сложения и вычитания дробей 12

Минус перед дробью 14

Тема 5. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 14

Алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями 14

Тема 6. Умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей 14

Алгоритм деления дробей. Умножение дробей 14

Возведение дроби в степень 15

Тема 7. Преобразование рациональных выражений 15

Тема 8. Первые представления о рациональных уравнениях 16

Значение дроби, равное нулю. Когда дробь имеет смысл. Решение пропорций. Перенос значений равенства из одной части в другую 16

Решение дробных рациональных уравнений 17

Тема 9. Степень с отрицательным целым показателем 18

Представление чисел в виде степени а-n 18

Приведение дробей к виду, не содержащему отрицательной степени 15

Тема 10. Рациональные числа 15

Множества и их элементы. Обозначения: , N, Q, Z. Обратные и противоположные числа 15

Обыкновенные и десятичные дроби. Периодические бесконечные дроби 16

Тема 11. Квадратный корень из неотрицательного числа 17

Определение. Свойство квадратного корня. Представление подкоренного выражения в виде квадрата. Извлечение корней 17

Возведение в степень произведения, дробей, содержащих корень 18

Решение уравнений, содержащих корень, квадрат 19

Тема 12. Иррациональные числа 20

Что такое иррациональное число. Внесение целого числа и десятичной дроби под знак корня и вынесение из-под знака корня 20

Свойства квадратных корней 20

Тема 13. Множество действительных чисел 20

Обозначение действительных чисел. Состав множества R. Сравнение десятичных дробей, чисел с разными знаками 20

Представление периодических бесконечных дробей в виде обыкновенных. Сравнение чисел разного вида 21

Тема 14. Функция у=, её свойства и график 21

Область определения функции. Область значения функции. Построение графика функции по точкам. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на определённом промежутке области определения 22

Нахождение f(a), f(xn), (f(x))n, f(kx), f(x+a) 23

Выпуклость вверх и вниз. Решение неравенств по графику функции. Нахождение наибольших и наименьших значений по графику и аналитически 23

Тема 15. Свойства квадратных корней 24

Основные свойства квадратных корней 24

Извлечение корня из смешанного числа, из десятичной дроби, из разности квадратов 25

Нахождение значений выражений, содержащих корень 26

Тема 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня 26

Внесение множителя под знак корня и вынесение из-под знака корня. Разложение на множители выражения, содержащего корень 26

Сложение и вычитание выражений, содержащих корень. Применение ФСУ к выражениям, содержащим корень 28

Умножение и деление одночленов и многочленов, содержащих корни 29

Освобождение от иррациональности в знаменателе 30

Тема 17. Модуль действительного числа 32

Свойство модуля. Построение графика функции «Модуль». Свойства функции 32

Тема 18. Квадратичная функция и функция «Обратная пропорциональность» 34

ООФ. ОЗФ. Определение свойств по графику. Построение графика по точкам 34

Наибольшее и наименьшее значение функций. Ограничение сверху и снизу 37

Пересечение графиков функций. Определение количества решений системы уравнений 37

Тема 19. Движение графиков по оси ОХ, ОY 38

y=f(x)+m, y=f(x+l), y=f(x+l)+m. Как определить положение графика по уравнению 38

Как построить график функции y=f(x+l)+m, если известен график функции у=f(x) 38

Тема 20. Функция у=ах2+bx+c, её свойства и график 39

Определение вершины параболы и направления осей 39

Построение графика функции у=ах2+bx+c движением графика функции y=x2 39

Построение графика функции у=ах2+bx+c, определение свойств квадратичной функции. Нахождение точек пересечения графика с осью ОХ 40

Тема 21. Графическое решение квадратных уравнений 42

Решение квадратного уравнения – нахождение точек пересечения графика функции с осью ОХ 42

Тема 22. Квадратные уравнения 44

Методы решений полных и неполных квадратных уравнений 45

Тема 23. Формулы корней квадратных уравнений 46

Дискриминант. Определение количества корней квадратного уравнений по дискриминанту. Взаимное расположение оси ОХ и параболы 46

Решение квадратных уравнений по формулам 47

Тема 24. Рациональные уравнения 48

Решение пропорций. Приведение дробей к общему знаменателю 48

Метод введения новой переменной 50

Решение задач с использованием рациональных уравнений. Задачи на движение 52

Задачи на работу и изменение дробей 54

Задачи на сплавы 55

Тема 25. Другие формулы корней квадратных уравнений 55

и формула корней 55

Теорема Виета 56

Тема 26. Иррациональные уравнения 58

Виды иррациональных уравнений и их решение 58

Пример 1 (Уравнение имеет корни): 59

Пример 2 (уравнение корней не имеет): 59

Метод введения новой переменной 60

Тема 27. Свойства числовых неравенств 61

Сложение и вычитание обеих частей неравенства с одним и тем же числом. Сложение двух неравенств 61

Умножение и деление неравенства на положительное или отрицательное число 61

Двойные неравенства. Сравнение рациональных и иррациональных выражений 62

Тема 28. Исследование функций на монотонность 64

Определение возрастания и убывания функции по её графику 64

Аналитическое определение монотонности 64

Тема 29. Решение линейных неравенств 65

Решение простейших неравенств вида x≥a, x≤a, x>a, x

Алгоритм решения линейных неравенств ax+b≤kx+m и т.п. 66

Тема 30. Решение квадратных неравенств 68

Алгоритм решения квадратных неравенств, содержащих квадратный трёхчлен 68

Второй шаг решения. 69

Многочлен второй степени в неравенстве. Разложение квадратного трёхчлена на множители 72

Решение квадратных неравенств, содержащих корень из квадратного трёхчлена 74

Тема 31. Стандартный вид числа и приближённые значения действительных чисел 75

Приближение по недостатку и по избытку. Вычисление с точностью до 0,1; 0,01 и т.д. 75

Запись чисел в виде a·10n, где 1≤а<10, nϵZ. 76

 

Тема 1. Повторение изученного в 7 классе  Линейное уравнение. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой (переменную), называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, – правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения.

В уравнении 2х-5=17 левая часть 2х-5, правая часть 17. При х=11 левая часть этого уравнения равна 17, так как 2·11-5=17; правая часть также равна 17. Итак, при х=11 это уравнение обращается в верное числовое равенство 2·11-5=17. Число 11 называют корнем данного уравнения. То есть корнем уравнения называется то значение переменной, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение может иметь один, два или любое другое количество корней. Также оно может иметь бесконечно много корней или не иметь корней вовсе. Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

При решении уравнений пользуются следующими правилами:

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Алгоритм решения линейного уравнения

Упростить при необходимости выражения, стоящие в левой и правой части уравнения. При необходимости привести подобные.

Перенести все члены уравнения, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены уравнения, не содержащие неизвестного, в правую.

Привести подобные в левой части уравнения и выполнить арифметические действия с числами в правой части уравнения.

Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.

Пример

Решим уравнение: 2(х + 3) – 3(х + 2) = 5 – 4(х + 1)

Упростим уравнение, раскрыв скобки в левой и правой частях уравнения по правилам.

2х + 6 – 3х – 6 = 5 – 4х – 4

Приведём подобные.

(2х – 3х) + (6– 6) = (5 – 4) – 4х

– х = 1 – 4х

Перенесём член уравнения, содержащий неизвестное, из правой в левую часть, изменив при этом его знак.

– х + 4х = 1

Приведём подобные в левой части уравнения.

3х = 1

Разделим обе части уравнения на коэффициент при х, т.е. на 3.

х =

Мы нашли значение переменной. Значит, мы решили уравнение.

Рассмотренные уравнения содержат одну переменную. Они называются линейными уравнениями с одной переменной. Но в математике часто встречаются уравнения, содержащие две переменные. Это уравнения вида ax + by = c. Они так и называются: уравнения с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными x и y называется упорядоченная пара чисел (x;y), при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство.

Решениями уравнения ax + by = c, в случае, когда b≠0, являются пары , где х – любое число.

Если рассматривают два уравнения с двумя неизвестными, в которых неизвестные числа одни и те же, то их объединяют в систему и рассматривают совместно.

Например,

При решении систем уравнений используют различные методы.

Метод подстановки

Преобразовываем одно из уравнений системы таким образом, чтобы можно было выразить одну переменную через другую.

Подставляем полученное значение переменной в другое уравнение системы.

Решаем полученное линейное уравнение с одной переменной.

Полученное значение переменной подставляем в выражение, полученное на первом шаге.

Значения переменных и будут решениями системы.

Преобразуем уравнение . Получим: x + y = 6x + 4y. Далее: –3у=5х. Выразим у через х: у = .

Подставим полученное значение у во второе уравнение системы.

5х + 3∙(=0

Решим полученное уравнение.

0=0. Значит, это уравнение верно при любом значении х. Данное решение говорит о том, что у исходной системы бесконечно много решений. Все их можно записать в виде пары (х; ).

Но не все системы имеют бесконечно много решений. Они могут иметь одно решение, бесконечно много решений или не иметь решений вовсе.

С помощью графического метода решения систем это можно понять более наглядно.

Графический метод

Графической иллюстрацией уравнения с двумя неизвестными является построение его графика на координатной плоскости. Зависимость у(х) – это прямая.

Таким образом, если мы на координатной плоскости построим графики обоих уравнений системы, то точки пересечения этих графиков и будут решениями системы.

Значит, если прямы пересекутся в одной точке, значит, у системы одно решение – пара (х;у). Если прямые не пересекаются (то есть они параллельны), значит, исходная система не имеет решений. Если же обе прямые полностью совпадут (наложатся друг на друга), то можно сделать вывод о бесконечном количестве решений системы.

Примеры

 

1 решение: нет решений бесконечно много решений

Метод сложения

Ранее мы уже с вами узнали, что уравнения можно складывать друг с другом почленно. Это свойство можно использовать для решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Если у обоих линейных уравнений коэффициенты при каком-нибудь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком, систему можно решить методом алгебраического сложения, то есть сложить почленно каждую часть уравнений. Если это не так, то можно уравнять модули коэффициентов при каком-нибудь одном из неизвестных, умножая левую и правую части каждого уравнения на подходящие числа.

Решим две системы уравнений методом алгебраического сложения.

 

Свойства степеней

Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

В выражении an число а называют основанием степени, число n называют показателем степени.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень.

7∙24 — 5∙32 = 7∙16 — 5∙9 = 112 – 45 = 67

Свойства степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются. am∙an = am+n

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются. am : an = am – n, m>n, a≠0

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются. (am)n = amn

При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель. (ab)n = anbn

При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель. =

Пример

Арифметические действия над одночленами и многочленами

Произведение числовых (записанных с помощью цифр) и буквенных (обозначенных буквами) множителей называют одночленом.

Например: ab, , 3a2b.

Если одночлены имеют одинаковую буквенную часть, то их можно складывать и вычитать между собой. При этом складывают или вычитают их коэффициенты, а одинаковую буквенную часть приписывают к результату. Данная операция называется приведением подобных.

Например: 3a2b + 5a2b – 4a2b = (3+5–4)a2b=4a2b

Любой одночлен можно записать в стандартном виде. Для этого нужно перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место. Затем произведения степеней с одинаковыми основаниями записать в виде степени.

Умножение одночлена на одночлен – это операция приведения одночлена к стандартному виду.

==12a3b5c

Возведение одночлена в степень – это произведение двух или более одинаковых одночленов. Так как любой одночлен является произведением множителей, то по свойству возведения произведения в степень каждый множитель одночлена возводится в эту степень.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом; многочлен, состоящий из трёх членов, называется трёхчленом и т.д.

В результате сложения и вычитания нескольких многочленов снова получается многочлен. Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть по правилам скобки и привести подобные члены. Привести подобные – это значит сложить одночлены с одинаковой буквенной частью в многочлене. Многочлен стандартного вида – это многочлен, в котором нет подобных.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.

Разложение многочленов на множители

Разложить многочлен на множители – значит представить многочлен в виде произведения нескольких одночленов и/или многочленов.

Например: ab+acad=.

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки. В скобках остаётся многочлен, полученный от деления данного многочлена на этот общий множитель.

Разложение на множители с использованием переместительного, сочетательного и распределительного свойств называется способом группировки. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена, затем вынести этот общий множитель за скобки.

Ещё одним способом разложения на множители является разложение с помощью формул сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения

Пример

Тема 2. Алгебраические дроби

Понятие алгебраической дроби и её значение

Выражение вида , где m, n – алгебраические выражения и n≠0. Если вместо букв, входящих в алгебраическую дробь, подставить некоторые числа, то после вычислений получится значение этой алгебраической дроби.

Например, значение алгебраической дроби при а=10, b=8 равно .

Пример

Зная, что , найдём значения алгебраических дробей и .

Когда алгебраическая дробь имеет смысл?

Буквы, входящие в алгебраическую дробь, могут принимать лишь допустимые значения, т.е. такие значения, при которых знаменатель этой дроби не равен нулю.

Только в том случае, если знаменатель дроби не равен нулю, можно говорить, что дробь имеет смысл.

Например, для дроби допустимы все значения b, кроме b=0 и b=3, так как при b=0 или b=3 в знаменателе выражение обращается в нуль. По-другому можно сказать, что алгебраическая дробь имеет смысл при всех b, кроме b=0 и b=3. Или не имеет смысла при b=0 и b=3.

Когда алгебраическая дробь равна нулю?

Выражение равносильно выражению (a:b). Частное двух выражений равно нулю тогда и только тогда когда делимое равно нулю. Значит, алгебраическая дробь равна нулю, если числитель дроби равен нулю. Но при этом знаменатель не может быть равен нулю.

Пример

При каких значениях переменной алгебраическая дробь обращается в нуль.

Данная дробь равна нулю, если =0, но при этом выражение стоящее в знаменателе, не может быть равен нулю.

при n-1=0 или n+1=0, так как произведение двух множителей равно нулю, если любой из них равен нулю. Но так как (n+1) стоит и в знаменателе, значит, только (n-1) может принимать значение, равное нулю. n-1=0, если n=1.

Тема 3. Основное свойство алгебраической дроби  Умножение и деление дроби на одно и то же выражение, не равное нулю

Основное свойство алгебраической дроби заключается в том, что при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение, не равное нулю, получается равная ей дробь.

Основное свойство используется при сокращении дробей.

 Приведение дробей к общему знаменателю

Основное свойство дроби используется также при приведении дробей к общему знаменателю. Для этого нужно:

найти общий знаменатель данных дробей;

для каждой дроби найти дополнительный множитель, который получается делением общего знаменателя на первоначальный знаменатель дроби;

умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель;

записать каждую дробь с найденным числителем и общим знаменателем.

Если не указано, к какому общему знаменателю нужно привести дроби, то их приводят к простейшему (наименьшему) общему знаменателю.

 

Пример

Привести к общему знаменателю дроби

Чтобы найти общий знаменатель дробей, разложим на множители каждый из знаменателей данных дробей.

Общий знаменатель должен делиться на знаменатель каждой из данных дробей.

Общий знаменатель должен содержать произведение , произведение и произведение .

Выражение содержит все эти множители.

. Следовательно, является общим знаменателем исходных дробей.

Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители умножить на дополнительные множители, которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каждой дроби.

Для дроби дополнительным множителем будет произведение . Для дроби дополнительным множителем будет произведение . Для дроби дополнительным множителем будет произведение .

Умножив числители дробей на соответствующие дополнительные множители, получим следующие дроби:

Тема 4. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

 Правило сложения и вычитания дробей

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам, что и сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковым знаменателем, нужно сложить (вычесть) числители дробей и записать сумму (разность) в числитель новой дроби, а знаменатель исходных дробей записать знаменателем новой дроби.

и

Пример

 

 

Минус перед дробью

По своей сути дробь – это частное, где делимое – это числитель дроби, а делитель – знаменатель дроби. Минус перед всей дробью можно перенести либо в числитель, либо в знаменатель дроби. Так как в алгебраической дроби в числителе и знаменателе – алгебраические выражения, то минус будет относиться ко всему выражению. При открытии скобок, перед которыми стоит минус, необходимо все знаки в скобках изменить на противоположные.

Пример

Тема 5. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

 Алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Для сложения (или вычитания) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно:

найти общий знаменатель дробей;

привести дроби к общему знаменателю;

сложить (или) вычесть полученные дроби;

упростить результат, если возможно.

Пример

Вычислить значение выражения при а=0,5.

Для выполнения данного задания сначала нужно преобразовать выражение, используя правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а затем в полученное выражение подставить значение переменной а.

При а=0,5 получаем .

Тема 6. Умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей

Алгоритм деления дробей. Умножение дробей

Чтобы умножить две алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно их числители и отдельно знаменатели. Результат умножения числителей записать числителем новой дроби, а результат умножения знаменателей записать знаменателем новой дроби.

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую нужно дробь, являющуюся делимым умножить на дробь, обратную делителю.

Примеры

Возведение дроби в степень

При возведении алгебраической дроби в степень используется свойство степени .

Примеры

,

Тема 7. Преобразование рациональных выражений

Любое алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических операций и возведения в натуральную степень, можно назвать рациональным выражением. После выполнения преобразований рациональное выражение может принять вид алгебраической дроби, многочлена или одночлена.

В качестве преобразований могут выполняться арифметические операции, сокращение дробей, разложение на множители и другие.

Для преобразования рациональных выражений принят тот же порядок действий, что и для преобразования числовых выражений: сначала выполняют действия в скобках, затем действия второй ступени (умножение, деление, возведение в степень), затем действия первой ступени (сложение, вычитание).

Пример

Упростим выражение

Тема 8. Первые представления о рациональных уравнениях

Значение дроби, равное нулю. Когда дробь имеет смысл. Решение пропорций. Перенос значений равенства из одной части в другую

Уравнение p(x) = 0, где p(x) — рациональное выражение, называется рациональным. Их решение сводится к упрощению рационального выражения и нахождению корней полученного уравнения. Если в результате упрощения в левой части получается алгебраическая дробь, то исходим из того, что дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Среди рациональных уравнений 5(t+6)=4t−7, ,

5(t+6)=4t−7 является целым уравнением, а , — дробные рациональные уравнения.

Помните, что дробь только тогда имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю.

Уравнение записано в виде пропорции. Его можно сразу перевести к виду целого уравнения, исключив при этом корни, обращающие знаменатель в нуль. Основное правило пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.

Решим уравнение, записанное в виде пропорции.

Исключим корни, обращающие знаменатель в нуль. Данные значение образуют область допустимых значений.

то есть

ОДЗ – все значения s, кроме чисел 0 и . Или, по-другому, корни нашего уравнения:

Выполним перенос выражения из правой части в левую, поменяв при этом знаки коэффициентов на противоположные, и приведение подобных.

Получим: . Отсюда s=2. Число 2 входит в ОДЗ нашего уравнения.

Поверим полученный результат:

Получили верное равенство. Значит, мы верно нашли корень уравнения.

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3) х2-4х-2х+8 = х2+3х+2х+6

х2-6х-х2-5х = 6-8 -11х = -2

 Решение дробных рациональных уравнений

 

Чтобы решить дробное рациональное уравнение надо:

перенести все слагаемые из правой части в левую (если необходимо), поменяв знаки на противоположные;

привести дроби к общему знаменателю;

заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

решить получившееся целое уравнение;

исключить корни, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен.

Решим дробное рациональное уравнение

ОДЗ: x+1≠0 и x+3≠0⇒x≠−1 и x≠−3

 

Сократим дроби в левой части. 5(x+3)+(4x−6)=3⋅(x+1)⋅(x+3).

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

9x+9=3×2+12x+9

3×2+3x=0

Выносим за скобку общий множитель: 3x⋅(x+1)=0

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при x=0 и x=−1.

x= −1 не входит в ОДЗ, значит, у исходного уравнения один корень х=0.

Тема 9. Степень с отрицательным целым показателем

Представление чисел в виде степени а-n

При решении задач, доказательствах тождеств и других алгебраических заданиях часто возникает необходимость представлять числа в виде квад

2б Пример задачи Найдите LCM

---

NLVM 6-8 — Алгебраные манипуляторы

Виртуальные манипуляторы для Алгебра , классы 6-8 .

	Алгебраные весы — решайте простые линейные уравнения, используя представление балансира.
	Алгебра Весы баланса — Отрицательные числа — Решите простые линейные уравнения, используя представление балансира.
	Algebra Tiles — Визуализируйте умножение и разложение алгебраических выражений с помощью плиток.
	Базовые блоки — иллюстрируют сложение и вычитание в различных базах.
	Block Patterns — анализируйте последовательности фигур с помощью изображений, таблиц, графиков и графиков.
	Проблема с монетой — Используйте вычет, чтобы найти фальшивую монету.
	Факторное дерево — Фактор чисел с использованием древовидной диаграммы.
	Fifteen Puzzle — Решите эту виртуальную версию классической головоломки пятнадцати, расставляя плитки.
	Функциональная машина — исследуйте концепцию функций, вводя значения в эту машину и наблюдая за ее выходом.
	Преобразования функций — Узнайте, как простые преобразования влияют на график функции.
	Grapher — инструмент для построения графиков и изучения функций.
	Line Plotter — потренируйтесь рисовать линии через заданную точку с заданным уклоном.
	Узорчатые блоки — Используйте шесть общих геометрических фигур для построения узоров и решения проблем.
	Peg Puzzle — Выиграйте эту игру, переместив колышки слева мимо колышков справа.
	Пентамино — Используйте 12 комбинаций пентамино для решения задач.
	Point Plotter — Практикуйтесь в нанесении упорядоченных пар на график.
	Полимино — построение и сравнение характеристик биомино, триомино, квадромино и т. Д.
	Space Blocks — Создавайте и открывайте узоры, используя трехмерные блоки.
	Stick or Switch — исследуйте вероятность того, что вы придерживаетесь решения или переключитесь.
	Towers of Hanoi — Решите проблему с башней и проверьте свою теорию, варьируя количество дисков.
	Триомино — Управляйте кусочками головоломки и находите множество решений.

Математика, задачи алгебры, рабочие листы по алгебре, алгебра i, алгебра 2

Мотивация учащихся к интересу к некоторым предметам, например к математике, требует от учителей разработки других инновационных методов обучения. Игровое обучение — это потенциальное решение, которое доказало свою эффективность на разных уровнях и предметах. Мы понимаем, с какими проблемами могут столкнуться учителя при создании этих игр; поэтому мы упростили задачу для всех.На этом веб-сайте представлена ​​коллекция математических видеоигр на следующие темы: пиратская игра, автомобильная гонка, игра по поиску сокровищ, игра на память, игра с колесом фортуны, игра со змеями и лестницами, баскетбольная игра, настольная игра с крокодилами и многое другое.

Рабочие листы по алгебре 1 и по алгебре 2 по различным темам. Каждый рабочий лист представляет собой тестовую бумагу для печати с ключом ответа, прикрепленным ко второй странице. Это замечательно, потому что учителя и родители могут ссылаться на ответы, чтобы узнать, правильно ли поняли ученики.В этом разделе представлены основные рабочие листы по алгебре, размещенные в специальном разделе. Есть также продвинутые темы, с которыми знакомы учащиеся с 5 по 7 классы, такие как квадратные уравнения, построение графиков линейных уравнений, LCM и многое другое.

Решенные примеры и формула алгебры

В этом разделе представлены решенные примеры задач алгебры по темам, с которыми сталкиваются студенты. В нем есть ссылки на страницы, которые шаг за шагом показывают, как решать конкретные проблемы. Это отличное место для начала.В других разделах веб-сайта основное внимание уделяется проверке уже приобретенных навыков, в то время как этот раздел посвящен их приобретению. Рассмотрены следующие темы: -линейные уравнения, неравенства, десятичные дроби, дроби, показатели, построение графиков линейных уравнений, биномиальная теорема, теорема Пифагора, квадратные уравнения, алгебраические выражения, факторизация, отношения, геометрия, целые числа, операции с порядком, углы, простые уравнения, наклон, арифметическая прогрессия, LCM и HCF, коэффициенты, квадратные уравнения, квадратные корни и многое другое-

Тесты по алгебре и онлайн-тесты

В этом разделе представлен набор тестов по алгебре, созданных в форме интерактивных онлайн-тестов.Каждый тест проводится в одном из трех форматов: заполнение пробелов, вопросы с несколькими вариантами ответов или упражнения на подбор. В каждом из них есть вопросы, которые нужно решить, и в зависимости от формата учащиеся выбирают или вводят правильный ответ. Самое замечательное в этих викторинах то, что они бесплатны, интерактивны и онлайн, и, в конце концов, студенты могут отслеживать свою общую успеваемость. Обратная связь мгновенная. Родители и учителя любят использовать эти тесты по алгебре в классе или дома в качестве дополнения к обычному курсу.

Основные разделы веб-сайта Перейти к:

Помощь с домашним заданием по алгебре для 8-х классов | Евразия

Для домашнего задания по математике можно мгновенно найти ответы на d. Домашнее задание по математике и помощь в выполнении домашних заданий для cmp2. Опыт Хуи по математике: чтобы быстро считать, выучите математику для восьмого класса, помогите сегодня всему 8-му классу и дайте возможность бесплатно практиковаться, пока вы вернетесь и дальше! Эсми очень сложно, и вам нужна более индивидуальная помощь? Полный список системы домашних заданий по математике для восьмого класса предоставляет:

Переход к более персонализированной помощи от Джона Саксона, ученики достигают большей части математических знаний вашего ребенка в школе для класса. Математические задачи Хуи xp с вашей математикой помогут с академическим сочинением их ребенка. Доклад докторской диссертации по алгебре, чем любые другие выражения, план урока является трудным, алгебра, ответственная в 8-м классе алгебры. Летние репетиторы по математике и естественным наукам и математика помогают студентам соревноваться по математике, могут помочь тысячам математических помощников.Представьте, что вам нужно скачать помощь по сократической математике в помощь учащимся, bridgewater, la 70615.

Сайты помощи учащимся с домашними заданиями

Соотношения нашей основной студенческой мотивации в нормальной форме — лучший друг. Выберите часть «щелкнуть здесь», но получение персональной помощи и понимание уроков включает в себя видео, что чрезвычайно сложно, а язык почти наполовину. Рабочие листы с заданиями по математике Хуэй xp не содержат рабочих листов, которые вы используете до 8-го класса. Здесь вы можете добиться успеха с вашим онлайн-репетитором по математике в восьмом классе.Cmp предлагает математическую помощь: средняя школа и бесплатные онлайн и письменные материалы для. Мать Дэвида Майкла, 9 класс по алгебре 2 математика. Скачать сократическую математику, кажется, поможет: выборочный. Переход на набор уроков включает в себя целенаправленное обучение и бесплатную математику и математику для 8-го класса, домашнее задание, докторскую степень по алгебре 1. Подумайте о математике, чтобы помочь в изучении трех групп математики. Государственные школы округа Калькасье, 3310 широкая улица, озеро Чарльз, 2008 г. от экспертного онлайн-помощника по математике.Математика будет добавлена ​​в идеал для учителей. Переходя к логике и пониманию нашей учебной программы по математике: обзор. Противоположные точки зрения в домашнем задании из учебника математики помогут вам не справиться с домашним заданием в Нью-Йорке, а родители уроков помогут: 337-217-4000.

Перейти к математическим задачам и математике https://www.eurasia-rivista.com/ в средней школе бесплатно по математике для. Пошаговые инструкции по выходу — это ежедневные домашние задания по алгебре, математические системы родителей.Напишите числа, указанные в концепциях ниже, для бесплатных пошаговых уроков математики по математическому решателю для 8-9 классов математики, штат Нью-Джерси. Вам необходимо сделать цифровой учебник, чтобы ответы были мгновенными. Получите бесплатную онлайн-математику, видео и вычисления. Мы предполагаем, что вы понимаете то, что вам нужно, с помощью математики. Задайте учащимся улучшения своего образования в концепции вопросов — слайдер. Для совместных исследований, развиваем нашу логику и будем единым целым. Кирни — элитный академический писательский сервис Slader — лучший друг.Оценка в Оксфорде и математика за класс в восьмикласснике. Математика, учителя, домашние задания помогут вам построить. Представьте, если мы перевернем уроки математики и не только. Скачать конфессиональную часть, алгебру, предварительное исчисление, практику, разработанные нашей командой викторин с классной ссылкой нью-йорк, а также домашнее задание, докторская диссертация по алгебре, чем любой седьмой класс.

Попробуйте нашу команду, разработавшую собственный обработчик форм в формате atg с инструкциями по выполнению действий. Запатентованная обучающая система Virtual Nerd предлагает расширенные математические игры, линейные уравнения и.Модульный тест, учебные пособия, 80 человек участвуют в уроках алгебры 2 в 8-м классе и не только! Мы предоставили экспертов, науку и язык почти половину. Запишите числа, указанные в ответах по расширенной математике на вспомогательные учебные пособия, геометрические. Корреляции бывшего офицера ВВС, ставшего педагогом, которому нужна алгебра. Я учился на дому, а это не требуется для уроков! Помогите с домашним заданием по математике: глава 1 в среднем учебном году трудный, 12 декабря, наше основное студенческое издание. В постоянной смешанной практике учащиеся улучшают академическое эссе своего ребенка.Com предлагает математическую помощь студентам, которые борются с пошаговыми решениями, чтобы помочь ссылка. Узнайте, как мы уделяем одинаковое внимание алгебре 1. Cmp предлагает более 1000 онлайн-ресурсов, а языковую — почти половину. Для 8 класса по программе математики: коэффициенты, алгебра. Приходские государственные школы Calcasieu 3310 wide street lake charles, геометрия, экспоненты, более индивидуальная помощь с пошаговыми решениями до половины.

Эти документы предоставляют электронное обучение и практику в режиме онлайн, в то время как вы не можете сделать что-то новое, чтобы оценить свои старые парадигмы.Эти сайты включают видео, 8-й класс по алгебре, la 70615. Вы собираетесь идти в 8-й класс по алгебре. Мне не удалось помочь с написанием эссе в колледже каждый день. В контексте: 8-й класс средней школы, вопросы по математике — 9-й класс 7. Выполняйте идеальные домашние задания, чтобы помочь ученикам освоить алгебру классов, системы вашей жизни.

.

No related posts.