Самостоятельная работа решение линейных уравнений 7 класс: Самостоятельная работа «Линейные уравнения» (7 класс)

1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение в системе.
2. Определить, верны ли утверждения в результате замены в обоих уравнениях; если да, то упорядоченная пара является решением.

Пример. Определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определить, является ли упорядоченная пара [латекс]\влево(5,1\вправо)[/латекс] решением данной системы уравнений.

[латекс]\begin{align}x+3y&=8\\ 2x-9&=y \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс]\левый(8,5\правый)[/латекс] решением следующей системы.

[латекс]\begin{align}5x-4y&=20\\ 2x+1&=3y\end{align}[/latex]

Показать решение

Решение систем уравнений с помощью графика

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, изобразив систему уравнений на одном и том же наборе осей.

Пример. Решение системы уравнений с двумя переменными с помощью графика

Решите следующую систему уравнений с помощью графика. Определите тип системы.

[латекс]\begin{align}2x+y&=-8\\ x-y&=-1\end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с помощью графика.

[латекс]\begin{gathered}2x — 5y=-25 \\ -4x+5y=35 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Вопросы и ответы

Можно ли использовать графики, если система непоследовательна или зависима?

Да, в обоих случаях мы все еще можем построить график системы, чтобы определить тип системы и решения. Если две прямые параллельны, то система не имеет решений и несовместна. Если две линии идентичны, система имеет бесконечные решения и является зависимой системой.

Попробуйте

Постройте график трех различных систем с помощью графического онлайн-инструмента. Классифицируйте каждое решение как последовательное или непоследовательное. Если система непротиворечива, определите, зависима она или независима. Возможно, вам будет проще построить каждую систему по отдельности, а затем очистить свои записи, прежде чем строить следующую.
1)
[латекс]5x-3y = -19[/латекс]
[латекс]x=2y-1[/латекс]

2)
[латекс]4x+y=11[/латекс]
[латекс ]-2y=-25+8x[/latex]

3)
[латекс]y = -3x+6[/latex]
[латекс]-\frac{1}{3}y+2=x[/ латекс]

Показать решение

Решение систем уравнений путем подстановки

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью графика хорошо работает, когда решение состоит из целых чисел, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод. Рассмотрим еще два метода решения система линейных уравнений более точная, чем графическая. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение для решения второй переменной. Напомним, что мы можем решать только для одной переменной за раз, поэтому метод подстановки ценен и практичен.

Как: Имея систему из двух уравнений с двумя переменными, решите ее методом подстановки.

1. Решите одно из двух уравнений для одной из переменных относительно другой.
2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.
3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
4. Проверьте решение обоих уравнений.

Пример. Решение системы уравнений с двумя переменными путем замены

Решите следующую систему уравнений путем замены.

[латекс]\begin{align}-x+y&=-5 \\ 2x-5y&=1 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений путем замены.

[латекс]\begin{align}x&=y+3 \\ 4&=3x — 2y \end{align}[/latex]

Показать решение

Вопросы и ответы

Можно ли использовать метод подстановки для решения любой линейной системы с двумя переменными?

Да, но метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Следующее видео длится около 10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений. Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы обобщить решение для каждого примера.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений — это метод сложения, этот метод также называется методом исключения . В этом методе мы добавляем два слагаемых с одной и той же переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не во всех системах два члена одной переменной имеют противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения путем умножения, чтобы исключить одну переменную путем сложения.

Как: Имея систему уравнений, решить, используя метод сложения.

1. Запишите оба уравнения с x – и y – переменными слева от знака равенства и константами справа.
2. Напишите одно уравнение над другим, выстраивая соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет противоположный коэффициент той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную.
5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример: Решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений методом сложения.

[латекс]\begin{align}x+2y&=-1 \\ -x+y&=3 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте IT

Пример: Использование метода сложения при необходимости умножения одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс]\begin{align}3x+5y&=-11 \\ x — 2y&=11 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс]\begin{align}2x — 7y&=2\\ 3x+y&=-20\end{align}[/latex]

Показать решение

Пример: Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.

[латекс]\begin{align}2x+3y&=-16 \\ 5x — 10y&=30\end{align}[/latex]

Показать решение

Пример: Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.

[латекс]\begin{align}\frac{x}{3}+\frac{y}{6}&=3 \\[1 мм] \frac{x}{2}-\frac{y}{ 4}&=1 \end{выравнивание}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс]\begin{align}2x+3y&=8\\ 3x+5y&=10\end{align}[/latex]

Показать решение

в следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.

Классификация решений систем

Теперь, когда у нас есть несколько методов решения систем уравнений, мы можем использовать эти методы для выявления несовместимых систем. Напомним, что несогласованная система состоит из параллельных линий, имеющих одинаковый наклон, но разные [latex]y[/latex] -перехваты. Они никогда не пересекутся. При поиске решения для несогласованной системы мы придем к ложному утверждению, например [латекс]12=0[/латекс].

Пример. Решение противоречивой системы уравнений

Решите следующую систему уравнений.

[латекс]\begin{gathered}&x=9 — 2y \\ &x+2y=13 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс]\begin{gathered}2y — 2x=2\\ 2y — 2x=6\end{gathered}[/latex]

Показать решение

Выражение решения системы зависимых уравнений с двумя переменными

Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными — это система, в которой два уравнения представляют одну и ту же прямую. Зависимые системы имеют бесконечное число решений, потому что все точки на одной прямой находятся также и на другой прямой. После использования подстановки или сложения результирующее уравнение будет тождеством, например [латекс]0=0[/латекс].

Пример: поиск решения зависимой системы линейных уравнений

Найдите решение системы уравнений методом сложения .

[латекс]\begin{gathered}x+3y=2\\ 3x+9y=6\end{gathered}[/latex]

Показать решение

Написание общего решения

В предыдущем примере мы представили анализ решения следующей системы уравнений:

[латекс]\begin{gathered}x+3y=2\\ 3x+9y=6\ конец {собрано}[/латекс]

После недолгих вычислений мы обнаружили, что эти два уравнения совершенно одинаковы. Затем мы записали общее решение как [латекс]\влево(х, -\фракция{1}{3}х+\фракция{2}{3}\право)[/латекс]. Почему мы должны писать решение таким образом? В некотором смысле это представление говорит нам о многом. Он говорит нам, что x может быть чем угодно, x — это x . Это также говорит нам, что y будет зависеть от x , точно так же, как когда мы пишем функциональное правило. В этом случае, в зависимости от того, что вы положили на x , y будет определено через x как [латекс]-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}[/latex].

Другими словами, существует бесконечно много ( x , y ) пар, удовлетворяющих этой системе уравнений, и все они попадают на прямую [latex]f(x)-\frac{1}{3 }x+\frac{2}{3}[/latex].

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс]\begin{собранный}y — 2x=5 \\ -3y+6x=-15 \end{собранный}[/latex]

Показать решение

Используя то, что мы узнали о системах уравнений, мы можем вернуться к проблеме производства скейтбордов в начале раздела. Функция дохода производителя скейтбордов — это функция, используемая для расчета суммы денег, поступающей в бизнес. Его можно представить уравнением [латекс]R=xp[/латекс], где [латекс]х=[/латекс] количество и [латекс]р=[/латекс] цена. Функция дохода показана оранжевым цветом на графике ниже.

Функция затрат — это функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса. Он включает постоянные затраты, такие как арендная плата и заработная плата, и переменные затраты, такие как коммунальные услуги. Функция стоимости показана синим цветом на графике ниже. Ось x представляет количество в сотнях единиц. Ось y представляет либо стоимость, либо доход в сотнях долларов.

Точка, в которой пересекаются две линии, называется точкой безубыточности . Из графика видно, что при производстве 700 единиц стоимость составляет 3300 долларов, а выручка также составляет 3300 долларов. Другими словами, компания безубыточна, даже если она произведет и продаст 700 единиц. Они не зарабатывают и не теряют деньги.

Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, при которых компания получает прибыль. Заштрихованная область слева представляет объемы, по которым компания несет убытки. Функция прибыли представляет собой функцию дохода минус функция затрат, записанную как [латекс]Р\влево(х\вправо)=R\влево(х\вправо)-С\влево(х\вправо)[/латекс]. Очевидно, что знание количества, при котором затраты равны выручке, имеет большое значение для бизнеса.

Пример: нахождение точки безубыточности и функции прибыли с помощью подстановки

Учитывая функцию затрат [латекс]C\влево(х\вправо)=0,85x+35{,}000[/латекс] и функцию дохода [латекс]R\влево(х\вправо)=1,55x[/ латекс], найти точку безубыточности и функцию прибыли.

Показать решение

Написание системы линейных уравнений с учетом ситуации

Редко можно получить уравнения, которые точно моделируют поведение, с которым вы сталкиваетесь в бизнесе, скорее, вы столкнетесь с ситуацией, для которой вам известна ключевая информация, как в примере выше. Ниже мы суммируем три ключевых фактора, которые помогут вам преобразовать ситуацию в систему.

Как сделать: Дана ситуация, представляющая систему линейных уравнений, напишите систему уравнений и найдите решение.

1. Определите вход и выход каждой линейной модели.
2. Определите наклон и y — точку пересечения каждой линейной модели.
3. Найдите решение, установив две линейные функции равными другой и найдя x , или найдите точку пересечения на графике.

Теперь давайте попрактикуемся в применении этих ключевых факторов. В следующем примере мы определяем, сколько различных типов билетов продано, учитывая информацию об общем доходе и количестве билетов, проданных на мероприятие.

Пример: Написание и решение системы уравнений с двумя переменными

Стоимость билета в цирк составляет 25 долларов США для детей и 50 долларов США для взрослых. В определенный день посещаемость цирка составляет 2000 человек, а общий доход от продажи билетов составляет 70 000 долларов. Сколько детей и сколько взрослых купили билеты?

Показать решение

Попробуйте

Билеты в цирк стоят 4 доллара для детей и 12 долларов для взрослых. Если было куплено 1650 талонов на питание на общую сумму 14 200 долларов, сколько детей и сколько взрослых купили талоны на питание?

Показать решение

Иногда решение может принимать система уравнений. В нашем следующем примере мы помогаем ответить на вопрос: «Какая компания по аренде грузовиков даст наибольшую ценность?»

Пример: построение системы линейных моделей для выбора компании по аренде грузовиков

Джамал выбирает между двумя компаниями по аренде грузовиков. Первый, Keep on Trucking, Inc., взимает авансовый платеж в размере 20 долларов, а затем 59 центов за милю. Второй, Move It Your Way, взимает авансовый платеж в размере 16 долларов, а затем 63 цента за милю. ^[1] Когда компания Keep on Trucking, Inc. станет лучшим выбором для Джамала?

Показать решение

Применение систем кажется почти бесконечным, но мы покажем еще одно. В следующем примере мы определяем количество 80% раствора метана, которое нужно добавить к 50% раствору, чтобы получить окончательный раствор 60%.

Пример. Решение задачи о химической смеси

У химика есть 70 мл 50%-го раствора метана. Какое количество 80%-ного раствора она должна добавить, чтобы конечный раствор состоял из 60%-ного метана?

Показать решение

Try IT

Ключевые понятия

• Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
• Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо.
• Системы уравнений классифицируются как независимые с одним решением, зависимые с бесконечным числом решений или несовместные без решения.
• Одним из методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными является построение графика. В этом методе мы наносим уравнения на один и тот же набор осей.
• Другой метод решения системы линейных уравнений — подстановка. В этом методе мы находим одну переменную в одном уравнении и подставляем результат во второе уравнение.
• Третий метод решения системы линейных уравнений — сложение, в котором мы можем исключить переменную, добавляя противоположные коэффициенты соответствующих переменных.
• Часто бывает необходимо умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы облегчить исключение переменной при сложении двух уравнений.
• Любой метод решения системы уравнений приводит к ложному утверждению для несовместных систем, поскольку они состоят из параллельных линий, которые никогда не пересекаются.
• Решение системы зависимых уравнений всегда будет истинным, поскольку оба уравнения описывают одну и ту же прямую.
• Системы уравнений можно использовать для решения реальных задач, включающих более одной переменной, например связанных с доходом, затратами и прибылью.

Глоссарий

метод сложения алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором уравнения складываются таким образом, что исключается одна переменная, что позволяет решить полученное уравнение для оставшейся переменной; Затем подстановка используется для определения первой переменной

точки безубыточности точки, в которой функция затрат пересекает функцию дохода; где прибыль равна нулю

непротиворечивая система система, для которой существует единственное решение всех уравнений в системе, и это независимая система, или если существует бесконечное число решений, и это зависимая система

функция стоимости функция, используемая для расчета затраты на ведение бизнеса; обычно состоит из двух частей: постоянных затрат и переменных затрат

зависимая система система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют одну и ту же прямую; существует бесконечное число решений зависимой системы

несовместная система система линейных уравнений, не имеющая общего решения, поскольку они представляют собой параллельные прямые, не имеющие общих точек и прямых

независимая система система линейных уравнений, имеющая ровно одно решение, пара [латекс]\слева (x,y\right)[/latex]

функция прибыли функция прибыли записывается как [latex]P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\ справа)[/latex], доход минус стоимость

функция дохода функция, используемая для расчета дохода, просто записывается как [latex]R=xp[/latex], где [latex]x=[/latex] количество и [latex]p=[/latex] цена

замена метод алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором одно из двух уравнений решается для одной переменной, а затем подставляется во второе уравнение для решения второй переменной

система линейных уравнений набор из двух или несколько уравнений с двумя или более переменными, которые необходимо рассматривать одновременно.