Графический способ решения систем уравнений 7 класс: 6.9.1. Решение систем линейных уравнений графическим способом.

Содержание

6.9.1. Решение систем линейных уравнений графическим способом.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 9.8k. Опубликовано

  • Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
  •  Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет 
    бесконечное
     множество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5).

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

Ответ: (-2; 5).

 

Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

Данная разработка предназначена для учеников 7 класса и для тех, кто, в своё время, пропустил эту тему. В теоретической части изложена суть графического способа решения систем, алгоритм этого способа, приведены примеры с графиками. В практической части содержатся задания для закрепления знаний и умений.

Просмотр содержимого документа
«Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными.»

Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

Приступаем к рассмотрению способов решения линейных уравнений с двумя переменными. В школьном курсе алгебры изучаются три способа решения систем.

  1. Графический способ (с помощью графиков).

  2. Способ подстановки.

  3. Способ сложения.

Разбираем каждый из них подробно. В этой теме внимание уделено графическому способу. Название говорит само за себя: нужно строить графики. Мы уже выяснили, что линейное уравнение с двумя переменными легко преобразуется в линейную функцию путём выражения переменной у через переменную х (используя правила переноса и деления/умножения на одно и то же число). Преобразовав таким образом каждое уравнение, входящее в систему, и, построив графики, можно визуально определить решение системы, т.е. точку пересечения этих графиков. Останется только лишь как можно более точно выяснить координаты этой точки. Это и есть решение системы.

При решении системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом, необходимо:

  • в каждом уравнении выразить переменную у через переменную х;

  • на одной системе координат построить график каждой полученной функции;

  • найти общие точки построенных прямых;

  • определить, если это возможно, координаты общих точек прямых. Они и есть решение системы.

Например, решить графическим способом систему

Выразим переменную у через переменную х.

Описываем функции.

линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки

линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки

На одной системе координат строим графики описанных функций.

Находим координаты точки А – точки пересечения прямых. .

Значит, система имеет единственное решение

У графического способа решения систем есть существенный недостаток. Найденное решение не всегда бывает точным, т.к. на системе координат иногда невозможно выбрать такой единичный отрезок, чтобы чётко определить координаты точки пересечения. Зачастую решение является приближённым.

  1. Решить систему уравнений графическим способом:

  1. Составьте системы уравнений, графики которых изображены на рисунках, и найдите по рисунку их решения.

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

  1. Используя графический способ, определите, имеет ли решения система уравнений:

  1. Решить графически систему уравнений. Выяснить, проходит ли третья прямая через точку пересечения первых двух.

  1. Решить графически систему уравнений:

3

урок "Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными" | Презентация урока для интерактивной доски по алгебре (7 класс) по теме:

Слайд 1

«Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными« 7 класс Абраменкова Валентина Борисовна МОУ «СОШ № 21 с УИОП» г. Ухта, Республика Коми 2014 год

Слайд 2

Цель урока: Научить решать систему уравнений с двумя переменными графическим методом. Рассмотреть частные случаи решения системы линейных уравнений.

Слайд 3

1. у = 5 х – 3 2 . у = – 0,2 х + 7 3. у = х + 1,3 Назовите угловые коэффициенты линейных функций. Что является графиком линейной функции? Какие прямые образуют с осью Х острый угол? Тупой угол? От чего это зависит? Назовите координаты точки пересечения первой прямой с осью У . Найдите значение второй функции в точке с абсциссой 5.

Слайд 4

Что называют системой уравнений ? Рассмотрим два линейных уравнения: 1) y – 2 x = – 3 2) x + y = 3 Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно. y – 2 x = – 3 x + y = 3

Слайд 5

Решить систему уравнений - значит найти все её решения или установить, что их нет. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы.

Слайд 6

Способы решения линейных уравнений

Слайд 7

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом 1 . Приводим оба уравнения к виду линейной функции y = k x + m . 2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции. 3. Строим графики функций в одной координатной плоскости. 4. Определяем число решений: Если прямые пересекаются, то одно решение пара чисел ( х ; у) – координаты точки пересечения; Если прямые параллельны, то нет решений; Если прямые совпадают, то бесконечно много решений. 5. Записываем ответ.

Слайд 8

1 0 1 2 10 x 4 6 10 -2 y y=10 - x y=x+2 у – х = 2, у + х = 10; у = х + 2, у = 10 – х ; Построим график первого уравнения х у 0 2 -2 0 у = х + 2 Построим график второго уравнения у = 10 – х х у 0 10 10 0 Ответ: (4; 6) Решение системы графическим способом Выразим у через х

Слайд 9

у = 3 – x у = 2x – 3 x y 0 3 x y 0 3 3 0 – 3 3 A(0;3) B(3;0) C(0; – 3) D(3;3) M(2;1) X=2 у =1 Ответ: (2; 1) Графический метод решения системы x + y = 3 y – 2 x = – 3

Слайд 10

Y=0,5x-1 Y=0,5x+2 x x y y 0 2 2 3 0 -1 2 0 A(0;2) B(2;3) C(0;-1) D(2;0) Решим систему уравнений : Y= 0 ,5 x+2 Y= 0,5x-1 Графики функций параллельны и не пересекаются. Ответ: Система не имеет решений.

Слайд 11

Y=x+3 Y=x + 3 x y 0 - 3 x y 1 -1 3 0 4 2 A(0;3) B( - 3;0) C( -1 ; 2 ) D( 1 ; 4 ) Система Y=x+3 Y=x+3 Графики функций совпадают. Ответ: система имеет бесконечное множество решений

Слайд 12

Прямые Общие точки Система имеет О системе говорят Одна общая точка Одно решение Имеет решение Нет общих точек Не имеет решений несовместна Много общих точек Много решений неопределена

Слайд 13

Частные случаи пересечения графиков линейных функций (памятка)

Слайд 14

Решите систему уравнений графическим способом (памятка) Х 0 2 У у = 3 х + 4 у = 3 х - 2 х 0 -2 у у = 3 х - 2 у = 3 х + 4

Слайд 15

1 вариант Решите систему уравнений графическим способом у = 2 х - 3 у = - х + 3 2 вариант у = 0,5 х + 1 у = 3 х - 4

Слайд 16

вывод: 1) угловые коэффициенты не равны , 2) прямые пересекаются. у х х у . . . . А(2;1) . . . . . . В(2;2) У = 2х - 3 У = - х + 3 У = 0,5 х + 1 У = 3 х - 4 Ответ: А ( 2; 1) Ответ: В ( 2; 2)

Слайд 17

Найдём координаты точек пересечения графиков 2х – 3 = - х + 3, 2х + х = 3 + 3, 3х = 6, х = 2, у = 2 • 2 - 3, у = 1. Ответ: А ( 2; 1). 3х – 4 = 0,5х + 1, 3х – 0,5х = 1 + 4, 2,5х = 5, х = 2, у = 3 • 2 – 4, у = 2. Ответ: В ( 2; 2).

Слайд 18

Решите систему уравнений графическим способом Х 0 2 У у = 3 х + 4 у = 3 х - 2 х 0 -2 у у = 3 х - 2 у = 3 х + 4

Слайд 19

Домашнее задание: 1. Решите с помощью графиков систему уравнений: 2 . Подберите если возможно, такое значение к , при котором данная система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений: а) б) в)

Слайд 20

3 4 1 2 Научился ли я решать систему графическим методом; понял ли я алгоритм решения систем линейных уравнений графическим методом; смогу ли я использовать при решении частные случаи; могу ли я по виду системы узнать о количестве решений системы.

Слайд 21

Спасибо за урок

Самостоятельная работа по теме системы уравнений графический способ решения

Задания по теме Системы уравнений.7 класс

Выполняем каждый свой вариант, на какую цифру заканчивается ваш порядковый номер (в дневнике ру), такой вариант выполняем. Решение подробное в тетради. Фотографируем, присылаем на почту.

Вариант 1

1

Р ешить графически систему уравнений:

2

Я вляется решением систем уравнений пара чисел (1,2)

3

П ри каких значениях а не имеет решений система уравнений

Вариант 2

1

Р ешить графически систему уравнений:

2

Я вляется решением систем уравнений пара чисел (5,8)

3

При каких значениях а имеет бесконечно много решений система уравнений


Вариант 3

1

Р ешить графически систему уравнений:

2

Я вляется решением систем уравнений пара чисел (9,9)

3

При каких значениях а имеет бесконечно много решений система уравнений


Вариант 4

1

Р ешить графически систему уравнений:

2

Я вляется решением систем уравнений пара чисел (0,6)

3

При каких значениях а не имеет решений система уравнений


Вариант 5

1

Р ешить графически систему уравнений:

2

Я вляется решением систем уравнений пара чисел (0,6)

3

При каких значениях а не имеет решений система уравнений


Вариант 6

1

Р ешить графически систему уравнений:

2

Я вляется решением систем уравнений пара чисел (1,3)

3

При каких значениях а не имеет решений система уравнений


Вариант 7

1

Р ешить графически систему уравнений:

2

Я вляется решением систем уравнений пара чисел (1,4)

3

При каких значениях а имеет бесконечно много решений система уравнений


Вариант 8

1

Р ешить графически систему уравнений:

2

Я вляется решением систем уравнений пара чисел (1,3)

3

При каких значениях а имеет бесконечно много решений система уравнений


Вариант 9

1

Р ешить графически систему уравнений:

2

Я вляется решением систем уравнений пара чисел (2,4)

3

При каких значениях а не имеет решений система уравнений

Вариант 0

1

Р ешить графически систему уравнений:

2

Я вляется решением систем уравнений пара чисел (1,3)

3

При каких значениях а имеет бесконечно много решений система уравнений

Конспект урока по Алгебре "Графический способ решения систем уравнений"

Тема урока: Графический способ решения систем уравнений

Тип урока: Урок изучения нового материала

Цели урока:

Образовательные: Сформировать умение решать системы уравнений с двумя переменными графическим способом.

Развивающие: Развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности; развивать познавательный интерес, культуру речи, любознательность.

Воспитательные: Воспитать дисциплинированность, ответственность, настойчивость в учебе.

Средства обучения: компьютер, мультипроектор.

Структура урока: 1. Постановка темы, цели и задач урока.

2. Повторение. Подготовка к изучению нового материала.

3. Изучение нового материала.

4. Первичное осмысление и применение изученного способа решения

систем уравнений.

5. Постановка домашнего задания.

6. Подведение итогов урока.

Ход урока:

  1. Постановка темы, целей и задач урока. (1-2 слайды ).

Учитель сообщает классу о том, что на уроке будет изучаться и ставит задачу научиться решать системы уравнений с двумя переменными графическим способом.

  1. Повторение. Подготовка к изучению нового материала (3-12 слайды).

Организуется беседа по пройденному материалу, делаются обобщения, ответы подкрепляются наглядными рисунками.

Вопросы для повторения:

    1. Какие виды функций вы знаете?

    1. Что называется графиком функции?

    1. Какой формулой задается линейная функция?

    1. Что является графиком линейной функции?

    1. Какой формулой задается обратная пропорциональность?

    1. Что является графиком обратной пропорциональности?

    1. Каким уравнением задается окружность?

    1. Какая функция называется квадратичной?

    1. Что является графиком квадратичной функции?

    1. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

Организуется знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике и их графиками

(строфоидой, Лемнискатой Бернулли, астроидой, кардиоидой).

Рассказ учителя сопровождается показом слайдов с данными графиками.

  1. Изучение нового материала. (13-15 слайды).

Изучение нового материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений): x2 + y2 = 25,

y = - x2 + 2x +5

Постановка наводящих вопросов по данному слайду:

- Что является графиком уравнения x2 + y2 = 25?

- Что является графиком уравнения y = -x2 + 2x +5?

Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x2 + y2 = 25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = -x2 + 2x + 5.

- Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?

- Сколько точек пересечения у данных графиков?

- Сколько решений имеет данная система уравнений?

- Назвать эти решения.

- Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?

Сначала на последний вопрос отвечают учащиеся, затем на экран выводится алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя переменными, с предупреждением о наиболее типичных ошибках.

  1. Первичное осмысление и применение изученного способа решения систем уравнений.(16-21 слайды).

Осуществляется проверка правильного понимания учащимися изученного материала. Выполняются упражнения по выработке умений графически решать системы уравнений.

Задание: Решить графически систему уравнений: x y = 3,

3x – y = 0.

Постановка наводящих вопросов:

1. Что является графиком уравнения x y = 3?

2. Что является графиком уравнения 3x – y = 0?

3. Сколько точек пересечения имеют данные графики?

4. Сколько решений имеет данная система уравнений?

  1. Назвать решения данной системы уравнений.

(Ответы учащихся подкрепляются демонстрацией графиков на экране)

Аналогичная беседа проводится по 17 слайду.

Задания 18-21 слайдов выполняются учащимися самостоятельно, ответы проверяются.

Задания постепенно усложняются, но являются доступными.

Организуется дальнейшее закрепление изученного материала через задания, которые учащиеся должны полностью выполнить самостоятельно.

Задание: Решить графически системы уравнений а) y – x2 = 0, б) x2 + y2 = 25,

2x – y + 3 = 0. y = -x2 – 6.

Задания выполняются учащимися в тетрадях. Решения проверяются.

5.Постановка домашнего задания: П12, 236(а), 237(а), 238(а,б).

.

  1. Подведение итогов урока.

Вопросы для беседы:

- Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

- С каким способом решения систем уравнений с двумя переменными мы познакомились?

- В чем заключается его суть?

- Дает ли данный способ точные результаты?

- В каком случае система не будет иметь решений?

Демонстрируется 22 слайд, урок заканчивается.

7 класс. Алгебра. Системы двух уравнений с двумя переменными. - Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Комментарии преподавателя

Метод подстановки.

Су­ще­ству­ет несколь­ко ме­то­дов ре­ше­ния си­стем. Один из них метод под­ста­нов­ки. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 1:

Суть ме­то­да под­ста­нов­ки за­клю­ча­ет­ся в том, что в одном из урав­не­ний нужно вы­ра­зить одну пе­ре­мен­ную через вто­рую и под­ста­вить по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние.

В дан­ном слу­чае удоб­но вы­ра­зить х во вто­ром урав­не­нии:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние:

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

,

 ,

 ,

 

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние во вто­рое урав­не­ние:

, ,

 

По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее ре­ше­ние си­сте­мы:

При­мер 2:

В дан­ном слу­чае неко­то­рая слож­ность за­клю­ча­ет­ся в том, что ис­ход­ную си­сте­му нужно пре­об­ра­зо­вать, чтобы была воз­мож­ность удоб­но и без оши­бок при­ме­нить метод под­ста­нов­ки. Для этого умно­жим оба урав­не­ния на шесть:

Вы­ра­зим у из пер­во­го урав­не­ния:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние и вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

, ,

 ,

 

 

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние:

По­лу­ча­ем един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­мы, пара чисел:

Вывод:

на дан­ном уроке мы озна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем си­сте­мы двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми и одним из ме­то­дов ее ре­ше­ния – спо­со­бом под­ста­нов­ки. Мы ре­ши­ли при­ме­ры для по­ни­ма­ния и за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/osnovnye-ponyatiya-metod-podstanovki?konspekt&chapter_id=10

Метод сложения.

Рассмотрим еще один способ решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными – способ алгебраического сложения. Мы решим несколько различных примеров для закрепления техники.

Метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, как и метод под­ста­нов­ки, за­клю­ча­ет­ся в том, что из­на­чаль­но из двух урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми нужно по­лу­чить одно урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной. Рас­смот­рим метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния на при­ме­ре:

При­мер 1:

 

За­да­на си­сте­ма двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми, и нужно найти такую пару х и у, чтобы при под­ста­нов­ке ее в урав­не­ния по­лу­чи­лись вер­ные чис­ло­вые ра­вен­ства.

Неслож­но за­ме­тить, что в пер­вом урав­не­нии у стоит с ми­ну­сом, а во вто­ром – с плю­сом, и если сло­жить эти урав­не­ния, то у уни­что­жит­ся, и мы по­лу­чим одно урав­не­ние с одной неиз­вест­ной:

+

По­лу­ча­ем:

Най­дем зна­че­ние х:

Под­ста­вим зна­че­ние х во вто­рое урав­не­ние и най­дем у:

Ответ: (2,4; 2,2)

 

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что мы рас­смат­ри­ва­ем метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, зна­чит, урав­не­ния можно не толь­ко скла­ды­вать, но и вы­чи­тать. Рас­смот­рим при­мер:

При­мер 

При сло­же­нии урав­не­ний по­лу­чим:

По­про­бу­ем вы­честь урав­не­ния, при­чем, вы­чтем пер­вое из вто­ро­го:

Ответ: (5,5; 0,5)

 

Вывод:

на дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли новый метод ре­ше­ния си­стем двух ли­ней­ных урав­не­ний – метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния. Мы ре­ши­ли несколь­ко при­ме­ров для за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

 

  • Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
  •  Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5).

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

Ответ: (-2; 5).

 

Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/metod-algebraicheskogo-slozheniya?konspekt&chapter_id=10

http://www.mathematics-repetition.com/6-klass-mathematics/6-9-1-reshenie-sistem-lineynh-uravneniy-grafitcheskim-sposobom.html

 

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=VltC62A-Tt4

Алгебра, 7 класс «системы линейных уравнений и способы их решения»

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Алгебра, 7 класс «Системы линейных уравнений и способы их решения»

Слайд 2

Знаете ли вы?
1. Какую математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными? 2. Что является решением системы уравнений с двумя переменными? 3. Что значит решить систему уравнений?

Слайд 3

Способы решения систем уравнений
1. Графический способ. 2. Способ подстановки. 3. Способ сложения.

Слайд 4

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

Слайд 5

Решить систему уравнений
Рассмотрим первое уравнение
Выразим из этого уравнения y через x .
Для построения графика найдем две точки.

Слайд 6

Построим график

Слайд 7


Рассмотрим второе уравнение
Выразим из этого уравнения y через x .

Слайд 8

Построим график второй функции

Слайд 9

Найдем координаты точки пересечения прямых

Слайд 10


Координаты точки пересечения прямых ― это решение системы
В этом случае говорят, что система решена графически

Слайд 11

Три случая взаимного расположения двух прямых
1. Прямые пересекаются.
То есть имеют одну общую точку.
Тогда система уравнений имеет единственное решение.
Например, как в рассмотренной системе

Слайд 12

Три случая взаимного расположения двух прямых
2. Прямые параллельны.
То есть не имеют общих точек.
Тогда система уравнений решений не имеет.
Например:

Слайд 13

Три случая взаимного расположения двух прямых
3. Прямые совпадают.
Например:
Тогда система уравнений имеет бесконечно много решений.

Слайд 14

Но
при графическом способе решения системы уравнений обычно получается приближенное решение

Слайд 15

Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки

Слайд 16


Способ подстановки
Этот способ удобен тогда, когда хотя бы один из коэффициентов при x или y равен 1 или -1.
Дана система уравнений
Рассмотрим каждое уравнение в отдельности.
1) Выразим одно из неизвестных через другое неизвестное из любого уравнения.

Слайд 17


Способ подстановки
Вернемся в систему:
2) Полученное для y выражение подставим вместо данной неизвестной во второе уравнение.
Получилось уравнение с одной неизвестной

Слайд 18


Способ подстановки
3) Решаем уравнение с одной неизвестной:
Возвращаемся к системе:

Слайд 19


Способ подстановки
Возвращаемся к системе:
4) Подставим найденное значение x в первое уравнение и найдем вторую неизвестную
Запишем ответ.
Ответ:

Слайд 20

Алгоритм решения системы уравнений способом сложения

Слайд 21

Способ сложения
Задача 1. Решить систему уравнений
В тех случаях, когда в обоих линейных уравнениях системы при каком-либо из неизвестных коэффициентами являются противоположные числа, удобно применять способ алгебраического сложения уравнений.

Слайд 22

Способ сложения
Сложим эти равенства почленно. В результате получим тоже верное равенство
+

Слайд 23

Способ сложения
Вернемся в систему, записав одно из исходных уравнений и полученное значение x.
Подставим найденное значение x во второе уравнение, найдем вторую неизвестную.
Тогда пара чисел (5; 4) и будет решением системы.
Ответ:

Слайд 24

Способ сложения
Задача 2. Решить систему уравнений
1) Выберем неизвестную (например x).
уравняем коэффициенты умножением на соответствующие числа.
2) Вычтем одно уравнение из другого.
3) Решим полученное уравнение с одним неизвестным

Слайд 25

Способ сложения
4) Вернемся в систему, записав одно из исходных уравнений и полученное значение y
5)  Подставим найденное значение y в первое уравнение, найдем вторую неизвестную.
Тогда пара чисел (-3; 1) и будет решением системы.
Ответ:

Слайд 26

Решите следующие системы уравнений:

Слайд 27

Урок закончен.
Спасибо за внимание.

Решение систем линейных уравнений

А система линейные уравнения представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных ( Икс и у ) , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

  • Линии пересекаются в нулевых точках.(Линии параллельны.)
  • Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
  • Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек. (Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)

Нулевые решения:

у знак равно - 2 Икс + 4 у знак равно - 2 Икс - 3

Одно решение:

у знак равно 0.5 Икс + 2 у знак равно - 2 Икс - 3

Бесконечно много решений:

у знак равно - 2 Икс - 4 у + 4 знак равно - 2 Икс

Существует несколько различных методов решения систем линейных уравнений:

  1. Графический метод . Это полезно, когда вам просто нужен приблизительный ответ или вы уверены, что пересечение происходит в целочисленных координатах. Просто нарисуйте две линии и посмотрите, где они пересекаются!
  2. См. Второй график выше. Решение - это место пересечения двух линий, точка ( - 2 , 1 ) .

  3. Метод замены . Сначала решите одно линейное уравнение для у с точки зрения Икс . Затем замените это выражение на у в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в Икс . Решите это, и у вас будет Икс -координата перекрестка. Затем подключите Икс к любому уравнению, чтобы найти соответствующее у -координат.(Если это проще, вы можете начать с решения уравнения для Икс с точки зрения у , тоже - такая же разница!)
  4. Пример 1:

    Решите систему { 3 Икс + 2 у знак равно 16 7 Икс + у знак равно 19

      Решите второе уравнение относительно у .

      у знак равно 19 - 7 Икс

      Заменять 19 - 7 Икс для у в первом уравнении и решить для Икс .

      3 Икс + 2 ( 19 - 7 Икс ) знак равно 16 3 Икс + 38 - 14 Икс знак равно 16 - 11 Икс знак равно - 22 Икс знак равно 2

      Заменять 2 для Икс в у знак равно 19 - 7 Икс и решить для у .

      у знак равно 19 - 7 ( 2 ) у знак равно 5

      Решение ( 2 , 5 ) .

  5. Метод линейной комбинации , иначе Метод сложения , иначе Метод исключения. Сложить (или вычесть) одно уравнение, кратное другому уравнению (или из него), таким образом, чтобы либо Икс -термы или у -условия аннулируются.Затем решите для Икс (или у , в зависимости от того, что осталось) и подставьте обратно, чтобы получить другую координату.
  6. Пример 2:

    Решите систему { 4 Икс + 3 у знак равно - 2 8 Икс - 2 у знак равно 12

      Умножьте первое уравнение на - 2 и добавьте результат ко второму уравнению.

      - 8 Икс - 6 у знак равно 4 8 Икс - 2 у знак равно 12 _ - 8 у знак равно 16

      Решить для у .

      у знак равно - 2

      Замена для у в любом из исходных уравнений и решите относительно Икс .

      4 Икс + 3 ( - 2 ) знак равно - 2 4 Икс - 6 знак равно - 2 4 Икс знак равно 4 Икс знак равно 1

      Решение ( 1 , - 2 ) .

  7. Матричный метод . На самом деле это просто метод линейной комбинации, упрощенный за счет сокращения записи.

3. Графическое решение системы линейных уравнений

Система уравнений `2 × 2` представляет собой набор из 2 уравнения с двумя неизвестными, которые необходимо решить одновременно (вместе), так что решения верны в оба уравнения.

Мы можем решить такую ​​систему уравнений графически . То есть рисуем график из 2-х линий и смотрим, где линии пересекаются. Точка пересечения дает нам решение.

Пример 1

Решите графически систему уравнений

2 x + 3 y = 5

x - 3 y = 7

Ответ

Рисуем 2 линии следующим образом.

2 x + 3 y = 5 зеленого цвета.

x - 3 y = 7 - пурпурный.

123456789-1-2-3-4123-1-2-3-4-5xy

`x-3y = 7`

`2x + 3y = 5`

Графики y = (-2x-5) / 3 и y = (x + 7) / 3.

Мы видим, что точка (4, −1) находится на , обе строки на график. Мы говорим, что (4, −1) - это решение для набора одновременные уравнения.

Это означает, что решениями являются `x = 4`,` y = -1`.

Обратите внимание, что эти значения верны в и уравнениях, как показано ниже.

2 (4) + 3 (−1) = 8 - 3 = 5 [ОК]

(4) - 3 (−1) = 4 + 3 = 7 [OK]

Итак, мы видим, что точка пересечения двух линий действительно дает нам решение для системы.

Виды решений

Система линейных уравнений 2 × 2 может иметь три возможных решения.

1. Пересечение в одной точке, поэтому только одно решение

График линейных уравнений `y = x + 3` и` y = -2x + 13`.

2. Параллельны, поэтому пересечения нет

График линейных уравнений `y = -x + 3` и` y = -x + 7`.

3. Идентичны, поэтому пересекаются везде на линии

График линейных уравнений `x + y = 6` и` 2x + 2y = 12`.

Пример 2

Решить графически систему:

6 x -3 y = −12

−2 x + y = 4

Ответ

Еще раз, мы наносим на график 2 линии, и точка пересечения дает решение для одновременные уравнения.

6 x - 3 y = −12 имеет x -перехват `-2`, и y - перехват `4`.

−2 x + y = 4 имеет x -перехват `-2`, и y - перехват `4`.

График выглядит следующим образом:

2468-2-42468xy

`6x-3y = -12`

`-2x + y = 4`

График линейных уравнений `6x-3y = -12` и` -2x + y = 4`.

Мы видим, что линии идентичны. Итак, решение для системы (из графика):

"все значения ( x , y ) в строке` 2x-y = -4` ".

(Обычно мы пишем уравнения в нормальной форме с положительным знаком перед членом x .)

Пример 3

Решить графически систему:

2 x -3 y = −6

x + y = 7

Ответ

Еще раз, мы наносим на график 2 линии, и точка пересечения дает решение для одновременные уравнения.

2 x -3 y = −6 имеет x -перехват `-3`, и y -перехват `2`.

x + y = 7 имеет x -перехват `7` и имеет y -перехват `7`.

График выглядит следующим образом:

123456789-1-2-3-412345678910-1-2xy (3,4)

`2x - 3y = -6`

`x + y = 7`

Графики y = (2x + 6) / 3 и y = -x + 7.

Итак, мы видим, что существует одно решение для системы (из графика), и это `(3, 4)`.

Пример 4

Решить графически систему:

x -5 y = −10

x -5 y = 7

Ответ

Для этой системы у нас:

x - 5 y = −10 имеет x -перехват `-10`, и y -перехват `2`.

x - 5 y = 7 имеет x -перехват `7` и имеет y -перехват `-7 / 5 = -1,4`.

График выглядит следующим образом:

2468-2-4-6-8-10246-2-4xy

` x - 5y = -10`

x - 5y = 7`

График линейных уравнений x - 5 y = −10 и x - 5y = 7.

Мы видим, что нет решений для системы, так как линии параллельны.


Промежуточная алгебра
Урок 19: Решение систем линейных уравнений
в двух переменных


WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня

Цели обучения


По завершении этого руководства вы сможете:
  1. Узнайте, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений в две переменные или нет.
  2. Решите систему линейных уравнений от двух переменных с помощью построения графиков.
  3. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными заменой метод.
  4. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными методом исключения метод.

Введение



В этом уроке мы будем специально рассматривать системы, которые имеют два уравнения и две неизвестные. Урок 20: Решение систем Линейный Уравнения в трех переменных будут охватывать системы, которые имеют три уравнения и три неизвестных. Мы рассмотрим их решение трех разных способы: построение графиков, метод подстановки и метод исключения. Это приведет нас к решению проблем со словами с системами, которые быть показано в Урок 21: Системы линейных уравнений и задачи Решение . Вот где мы должны ответить на печально известный вопрос, когда мы будем использовать это? Но сначала мы должны научиться работать с системами в Общая. Вот почему на этом этапе мы используем общие переменные, такие как x и y . Если вы знаете, как это решить в целом, тогда, когда у вас есть конкретный проблема что вы решаете, где переменные принимают значение, такое как время или Деньги (две вещи, которых нам, кажется, никогда не бывает достаточно), вы будете готовы к идти. Итак, давайте посмотрим на системы в целом, чтобы подготовить нас к решению предстоящих проблем из нас.

Учебник




Система линейных уравнений

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнения, которые решаются одновременно.

В этом руководстве мы рассмотрим системы, которые имеют только два линейных уравнения и две неизвестные.




В общем, решение системы двух переменных заказанный пара, которая делает ОБЕИХ уравнениями истинными.

Другими словами, здесь пересекаются два графика, что у них есть в общем. Итак, если упорядоченная пара является решением одного уравнения, но не другой, то это НЕ решение системы.

Согласованная система - это система, в которой хотя бы одно решение.

Несогласованная система - это система, которая имеет нет решения .

Уравнения системы зависимы , если ВСЕ решения одного уравнения являются решениями другого уравнения. В Другой словами, они заканчиваются тем, что и та же строка .

Уравнения системы независимы , если они не делятся ВСЕ решения . У них может быть одна общая черта, только не все их.




Одно решение
Если система с двумя переменными имеет одно решение, это заказанный пара, которая является решением ОБЕИХ уравнений. Другими словами, когда вы вставляете значения упорядоченной пары, она делает ОБА уравнения ИСТИННЫЙ.

Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали «последовательный», похлопайте себя по плечу!

Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали независимый, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных у которого есть одно решение:


Нет решения
Если две линии параллельны друг другу, они будут никогда не пересекаются. Значит, у них нет ничего общего. В этом ситуация у вас не будет решения.

Если вы не получили решения для окончательного ответа, - это эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали «непоследовательно», вы правы!

Если вы не получите окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали независимый, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных без решения:


Бесконечный Решения
Если две линии в конечном итоге лежат друг на друге, тогда есть бесконечное количество решений. В этой ситуации они было бы в конечном итоге будут одной и той же строкой, поэтому любое решение, которое будет работать в одном уравнение будет работать в другом.

Если вы получите бесконечное количество решений для Ваш окончательный ответ, я с эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали "последовательный", вы правы!

Если вы получите бесконечное количество решений для ваш окончательный ответ, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали иждивенец, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных имеющий бесконечное количество решений:


Пример 1 : Определите, является ли каждая упорядоченная пара решением из система.
(3, -1) и (0, 2)

Давайте проверим заказанную пару (3, -1) в первом уравнение:



* Вставка 3 для x и -1 для y

* Истинное утверждение


Пока все хорошо, (3, -1) является решением первое уравнение x + y = 2.

Теперь давайте проверим (3, -1) во втором уравнении:



* Вставка 3 для x и -1 для y

* Истинное утверждение


Эй, мы закончили с еще одним верным утверждением, которое означает, что (3, -1) является также решение второго уравнения x - y = 4.

Вот большой вопрос, является ли (3, -1) решением данная система ?????
Поскольку это было решение ОБЕИХ уравнений в системе, Затем это это решение всей системы.

Теперь давайте подставим (0, 2) в первое уравнение:



* Вставка 0 для x и 2 для y
* Истинное заявление


Это истинное утверждение, поэтому (0, 2) является решением первое уравнение x + y = 2.

Наконец, поместим (0,2) во второе уравнение:



* Вставка 0 для x и 2 для y
* Ложное заявление


На этот раз мы получили ложное заявление, вы знаете, что это означает. (0, 2) НЕ является решением второго уравнения x - y = 4.

Вот большой вопрос, является ли (0, 2) решением данная система ?????
Поскольку это не было решением ОБЕИХ уравнений в система, то это не решение всей системы.



Три способа Решение систем линейных
Уравнений с двумя переменными



Шаг 1. Постройте первое уравнение.



Шаг 2: Изобразите второе уравнение на та же координата система как первая.


Вы изобразите второе уравнение так же, как и любое другое. уравнение. Обратитесь к первому шагу, если вам нужно рассмотреть различные способы график линия.

Отличие в том, что на такой же ставишь система координат как первый. Это как две задачи с графиком в одной.


Шаг 3. Найдите решение.


Если две линии пересекаются в одном месте , то точка перекресток - решение системы.

Если две линии параллельны , то они никогда не пересекаются, так что нет решения.

Если две линии лежат друг на друге , то они та же строка , и у вас есть бесконечное количество решений. . В этом случае вы можете записать любое уравнение как решение указывать это одна и та же линия.


Шаг 4: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБА уравнения.


Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения. Если это делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы один из них станет ложным, вам нужно перейти назад и повторить эта проблема.



Пример 2 : Решите систему уравнений, построив график.




* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept


Перехват x равен (3, 0).

y - перехват



* Вставка 0 для x для y -int
* y -intercept


Перехват и равен (0, 3).

Найди другого решение, положив x = 1.



* Вставка 1 для x

Другое решение (1, 2).

Решения:

х y (х, у)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:






* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept


Перехват x равен (1, 0).

Y-перехват



* Вставка 0 для x для y -int

* Инверсная по отношению к мульт. на -1 - это div. по -1

* y - перехват


Перехват и равен (0, -1).

Найди другого решение, положив x = 2.



* Вставить 2 для x
* Сумма 2, обратная добавлению, является вспомогательной. 2

* Инверсная по отношению к мульт. на -1 это div по -1


Другое решение (2, 1).

Решения:

х y (х, у)
1 0 (1, 0)
0 -1 (0, -1)
2 1 (2, 1)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:



Мы должны спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где?

Ответ - да, они пересекаются в (2, 1).



Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (2, 1) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из них.

Решение этой системы - (2, 1).




Пример 3 : Решите систему уравнений, построив график.




* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept


Перехват x равен (5, 0).

y - перехват



* Вставка 0 для x для y -int

* y - перехват


Перехват и равен (0, 5).

Найди другого решение, положив x = 1.



* Вставить 1 для x
* Сумма, обратная добавлению 1, является вспомогательной. 1


Другое решение (1, 4).

Решения:

х y (х, у)
5 0 (5, 0)
0 5 (0, 5)
1 4 (1, 4)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:





* Подключаемый модуль 0 для y для x -int
* Сумма, обратная сумме 3, является вспомогательной.3

* Инверсная по отношению к мульт. на -1 - это div. по -1

* x - интервал


Перехват x равен (3, 0).

y - перехват



* Вставка 0 для x для y -int
* y -intercept


Перехват и равен (0, 3).

Найди другого решение, положив x = 1.



* Вставка 1 для x


Другое решение (1, 2).

Решения:

х y (х, у)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:



Мы должны спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где?

Ответ - нет, они не пересекаются.Мы иметь два параллельных линий.



Нет заказанных пар для проверки.

Ответ - нет решения.



Решить методом подстановки

Шаг 1. При необходимости упростите.


Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций.

Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

Для удаления дробей: поскольку дроби - это еще один способ написать деление, а обратное деление - умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.


Шаг 2: Решите одно уравнение для любая переменная.


Неважно, какое уравнение вы используете или какое переменная, которую вы выбираете решить для.

Вы хотите сделать это как можно проще.Если один уравнений уже решено для одной из переменных, это быстро и легко способ идти.

Если вам нужно найти переменную, попробуйте выбрать тот, у которого есть 1 как коэффициент. Таким образом, когда вы идете решать это, вы не будет делить на число и рисковать работать с доля (фу !!).


Шаг 3. Замените то, что вы получаете шаг 2 в другое уравнение.


Вот почему он называется методом замещения. Убедитесь что вы подставляете выражение в ДРУГОЕ уравнение, то, которое вы не сделал использовать на шаге 2.

Это даст вам одно уравнение с одним неизвестным.


Шаг 4. Решите для оставшаяся переменная.



Шаг 5: Решить для секунды Переменная.


Если вы нашли значение переменной на шаге 4, что означает два уравнения имеют одно решение. Вставьте значение, найденное в шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого Переменная.

Если ваша переменная выпадает и вы получаете ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение.

Если ваша переменная выпадает и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ - бесконечные решения, которые были бы уравнением линия.


Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБЕ исходные уравнения.


Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения. Если это делает ОБЕИЕ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы один из них станет ложным, вам нужно перейти назад и повторить эта проблема.





Пример 4 : Решите систему уравнений заменой метод.


Оба эти уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь.



Обратите внимание, как второе уравнение уже решено для y . Мы можем использовать его на этом этапе.

Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение для. Но в ваших интересах, чтобы это было так просто, как возможно.

Второе уравнение, решенное относительно y :


* Решено для y



Подставьте выражение 2 x + 4 вместо y в первое уравнение и решите относительно x :
(когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете в номере вашей переменной)



* Под.2 x + 4 дюйма для y
* Расст. От -5 до ()
* Объединить похожие термины

* Обратное от sub. 20 добавлено 20

* Значение, обратное div. by -7 есть мульт. по -7



Вставка -5 для x в уравнение в шаг 2, чтобы найти значение y .



* Вставка -5 для x



Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (-5, -6) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из их.

(-5, -6) - это решение для нашей системы.





Пример 5 : Решите систему уравнений заменой метод.


Оба эти уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь.



На этот раз проблема была не так уж и хороша для нас, мы придется проделайте небольшую работу, чтобы решить одно уравнение для одной из наших переменных.

Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение для.Просто будьте проще.

Так как x в первом уравнение имеет коэффициент 1, это означало бы, что нам не нужно было бы делить на номер решить эту проблему и рискнуть работать с дробями (УРА !!) Самый простой способ - решить первое уравнение для x , и мы определенно хотим выбрать легкий путь. Ты бы не был неправильно чтобы выбрать другое уравнение и / или решить для y, снова вы хотите чтобы сделать его максимально простым.

Решая первое уравнение для x , получаем:



* Обратное от sub. 2 y добавлено 2 y

* Решено для x



Подставьте выражение 5 + 2 y вместо x во второе уравнение и решите относительно y :
(когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете в номере вашей переменной)



* Под.5 + 2 y для x

* Переменная выпала И ложь


Погодите, а где наш переменная go ????

Как упоминалось выше, если ваша переменная выпадает и вы иметь оператор FALSE, тогда решения нет. Если бы мы изобразили эти два графика, они будут параллельны друг другу.



Поскольку мы не получили значение для y , там здесь нечего подключать.



Нет заказанных пар для проверки.

Ответ - нет решения.



Решить методом исключения

Этот метод также известен как сложение или исключение добавлением метод.


Шаг 1: Упростите и поместите оба уравнения в виде A x + B y = C, если необходимо.


Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций.

Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

Для удаления дробей: поскольку дроби - это еще один способ написать деление, а обратное деление - умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.


Шаг 2: Умножьте один или оба уравнения по числу который при необходимости создаст противоположные коэффициенты для x или y .


Забегая вперед, мы добавим эти два уравнения вместе . В этом процессе нам нужно убедиться, что одна из переменных падает вне, оставив нам одно уравнение и одно неизвестное. Единственный способ, которым мы можем гарантия, что если мы добавляем противоположности . Сумма противоположности равно 0.

Если ни одна из переменных не выпадает, то мы застреваем с уравнение с две неизвестные, которые неразрешимы.

Неважно, какую переменную вы выберете для удаления вне. Вы хотите, чтобы это было как можно проще. Если переменная уже имеет противоположные коэффициенты, чем при добавлении двух уравнений все вместе. В противном случае вам нужно умножить одно или оба уравнения на число. тот создаст противоположные коэффициенты в одной из ваших переменных.Ты может думайте об этом как о ЖК-дисплее. Подумайте, какой номер оригинал коэффициенты оба входят и соответственно умножают каждое отдельное уравнение. Делать убедитесь, что одна переменная положительна, а другая отрицательна, прежде чем вы добавлять.

Например, если у вас есть 2 x в одном уравнении и 3 x в другом уравнении, мы могли бы умножать первое уравнение на 3 и получаем 6 x и то второе уравнение на -2, чтобы получить -6 x . Так когда вы собираетесь сложить эти два вместе, они выпадут.



Сложите два уравнения вместе.

Переменная с противоположными коэффициентами будет выпадать из этого шаг, и у вас останется одно уравнение с одним неизвестным.


Шаг 4: Найдите оставшуюся переменную.


Решите уравнение, найденное на шаге 3 для переменной что осталось.

Если вам нужен обзор по этому поводу, перейдите к руководству 7: Линейные уравнения с одной переменной.

Если выпадают обе переменные и вы получаете ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение.

Если выпадают обе переменные и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ - бесконечные решения, которые были бы уравнением линия.


Шаг 5: Найдите вторую переменную.


Если вы нашли значение переменной на шаге 4, что означает два уравнения имеют одно решение. Вставьте значение, найденное в шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого Переменная.


Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБЕ исходные уравнения.


Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения.Если это делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы один из них станет ложным, вам нужно перейти назад и повторить эта проблема.




Пример 6 : Решите систему уравнений методом исключения метод.



В этом уравнении полно неприятных дробей. Мы можем упростить оба уравнения, умножив каждое в отдельности на ЖК-дисплей, как вы можете сделать это, когда работаете с одним уравнением. До тех пор, как вы проделайте то же самое с обеими сторонами уравнения, оставив обе стороны равны друг другу.

Умножая каждое уравнение на соответствующий ЖК-дисплей, мы получить:



* Мног. по ЖК 15

* Мульт. по ЖК из 6




Опять же, вы хотите сделать это так просто, как возможно.Обратите внимание, как коэффициенты на обоих и 's равны 3. Мы должны иметь противоположности, поэтому, если один из них равен 3, а другой -3, Они будут взаимно отменять друг друга, когда мы перейдем к их добавлению.

Если бы мы сложили их вместе, как сейчас, мы бы закончить с одно уравнение и две переменные, ничего бы не выпало. И мы было бы не смогу ее решить.

Предлагаю умножить второе уравнение на -1, это будет создайте -3 перед x , и мы будем имеют наши противоположности.

Обратите внимание, что мы могли бы так же легко умножить первое уравнение на -1 а не второй. В любом случае работа будет выполнена.

Умножая второе уравнение на -1, получаем:



* Мног.обе стороны 2-го ур. по -1

* л х иметь противоположное коэффициенты




* Обратите внимание, что y 's выпал




* Инверсная по отношению к мульт.на 3 - div. по 3



Вы можете выбрать любое уравнение, используемое в этой задаче, вставьте найденное значение x .

Я решил подключить 11 для x в первое упрощенное уравнение (найдено на шаге 1), чтобы найти y ’s стоимость.



* Вставка 11 для x

* Сумма, обратная сумме 55, является вспомогательной.55

* Инверсная по отношению к мульт. на 3 - div. по 3



Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (11, -25/3) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из их.

(11, -25/3) - это решение для нашей системы.





Пример 7 : Решите систему уравнений методом исключения метод.



Эта задача уже упрощена.Однако второй уравнение не записывается в виде Ax + By = C. Другими словами, нам нужно написать это в этой форме, чтобы все было готово к работе, когда мы добавим два уравнения вместе.

Переписывая второе уравнение, получаем:



* Инверсия сложения 6 x - sub.6 х

* Все в порядке



Обратите внимание, что если мы умножим первое уравнение на 2, то Мы будем иметь -6 x , что является противоположностью 6 x , найденным во втором уравнении.

Умножая первое уравнение на 2, получаем:


* Мног.1-й экв. по 2

* x имеют противоположные коэффициенты



* Переменные выпали И истинно



Эй, откуда у нас переменные идти??

Как упоминалось выше, если переменная выпадает И мы иметь ИСТИННОЕ заявление, тогда когда есть бесконечное количество решений.Они в конечном итоге та же линия.



Здесь нет никакой ценности для подключения.



Здесь нет никакой ценности для подключения.

Когда они оказываются в одном уравнении, у вас есть бесконечное число решений.Вы можете написать свой ответ, написав либо уравнение, чтобы указать, что это одно и то же уравнение.

Два способа написать ответ: {( x , y ) | 3 x - 2 y = 1} OR {( x , y ) | 4 y = 6 x - 2}.



Практические задачи


Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практика Задача 1a: Решите систему, построив график.

Практика Задача 2а: Решите систему подстановкой метод.

Практика Задача 3a: Решите систему метод устранения.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?





Последняя редакция 10 июля 2011 г. Ким Сьюард.
Авторские права на все содержание (C) 2001 - 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Системы линейных уравнений


Линейное уравнение - это уравнение для линии .

Линейное уравнение не всегда имеет вид y = 3,5 - 0,5x ,

Это также может быть как y = 0,5 (7 - x)

Или как y + 0,5x = 3,5

Или как y + 0.5x - 3,5 = 0 и более.

(Примечание: это одно и то же линейное уравнение!)

A Система линейных уравнений - это когда у нас есть два или более линейных уравнения , работающих вместе.

Пример: Вот два линейных уравнения:

Вместе они представляют собой систему линейных уравнений.

Сможете ли вы сами определить значения x и y ? (Просто попробуйте, поиграйте с ними немного.)

Попробуем построить и решить реальный пример:

Пример: вы против лошади

Это гонка!

Можно запустить 0.2 км каждую минуту.

Лошадь может бежать 0,5 км каждую минуту. Но оседлать лошадь нужно за 6 минут.

Как далеко вы можете уйти, прежде чем лошадь вас поймает?

Мы можем составить два уравнения ( d = расстояние в км, t = время в минутах)

  • Вы бежите со скоростью 0,2 км каждую минуту, поэтому d = 0,2 т
  • Лошадь бежит со скоростью 0,5 км в минуту, но мы снимаем с ее времени 6: d = 0.5 (т − 6)

Итак, у нас есть система уравнений ( линейных ):

Решаем на графике:

Вы видите, как лошадь стартует через 6 минут, а потом бежит быстрее?

Кажется, тебя поймают через 10 минут ... Тебе всего 2 км.

В следующий раз беги быстрее.

Итак, теперь вы знаете, что такое система линейных уравнений.

Давайте продолжим узнавать о них больше....

Решение

Существует множество способов решения линейных уравнений!

Давайте посмотрим на другой пример:

Пример: Решите эти два уравнения:

На этом графике показаны два уравнения:

Наша задача - найти место пересечения двух линий.

Ну, мы видим, где они пересекаются, так что это уже решено графически.

А теперь давайте решим это с помощью алгебры!

Хммм... как это решить? Способов может быть много! В этом случае в обоих уравнениях есть «y», поэтому давайте попробуем вычесть все второе уравнение из первого:

х + у - (-3x + у) = 6-2

А теперь упростим:

х + у + 3х - у = 6-2

4x = 4

х = 1

Итак, теперь мы знаем, что линии пересекаются в точке x = 1 .

И мы можем найти совпадающее значение y , используя любое из двух исходных уравнений (потому что мы знаем, что они имеют одинаковое значение при x = 1).Воспользуемся первым (второй можете попробовать сами):

х + у = 6

1 + у = 6

г = 5

И решение:

x = 1 и y = 5

И график показывает, что мы правы!

Линейные уравнения

В линейных уравнениях допускаются только простые переменные. Нет x 2 , y 3 , √x и т. Д. :


Линейные и нелинейные

Размеры

A Linear Equation может иметь 2 измерения...
(например, x и y )
... или в 3-х измерениях ...
(делает самолет)
... или 4 размера ...
... или больше!

Общие переменные

Чтобы уравнения «работали вместе», они разделяют одну или несколько переменных:

Система уравнений состоит из двух или более уравнений в одной или нескольких переменных

Множество переменных

Таким образом, Система уравнений может иметь многих, уравнений и многих, переменных.

Пример: 3 уравнения с 3 переменными

2x + л 2z = 3
х л z = 0
х + л + 3z = 12

Может быть любая комбинация:

  • 2 уравнения с 3 переменными,
  • 6 уравнений с 4 переменными,
  • 9000 уравнений в 567 переменных,
  • и др.

Решения

Когда количество уравнений равно , то же , что и количество переменных, , вероятно, будет решением. Не гарантировано, но вероятно.

На самом деле есть только три возможных случая:

  • Нет раствор
  • Одно решение
  • Бесконечно много решений

Когда нет решения , уравнения называются «несовместимыми» .

Один или бесконечно много решений называются «согласованными»

Вот диаграмма для 2 уравнения с 2 переменными :

Независимая

«Независимый» означает, что каждое уравнение дает новую информацию.
В противном случае они «Зависимые» .

Также называется «линейная независимость» и «линейная зависимость»

Пример:

Эти уравнения - «Зависимые» , потому что на самом деле это то же уравнение , только умноженное на 2.

Итак, второе уравнение не дало новой информации .

Истинные уравнения

Уловка состоит в том, чтобы найти, где все уравнений являются истинными одновременно .

Верно? Что это значит?

Пример: вы против лошади

Линия «ты» истинна по всей ее длине (но больше нигде).

В любом месте этой строки d равно 0.2т

  • при t = 5 и d = 1 уравнение истинно (d = 0,2t? Да, поскольку 1 = 0,2 × 5 верно)
  • при t = 5 и d = 3, уравнение неверно (Является ли d = 0,2t? Нет, поскольку 3 = 0,2 × 5 неверно )

Точно так же линия «коня» также истинна по всей своей длине (но больше нигде).

Но только в точке, где они пересекают (при t = 10, d = 2), они оба являются истинными .

Значит, они должны быть правдой одновременно ...

... поэтому некоторые люди называют их "Одновременные линейные уравнения"

Решить с помощью алгебры

Для их решения принято использовать алгебру.

Вот пример "Лошади", решенный с помощью алгебры:

Пример: вы против лошади

Система уравнений:

В этом случае кажется, что проще всего установить их равными друг другу:

д = 0.2т = 0,5 (т − 6)

Начать с : 0,2t = 0,5 (t - 6)

Расширить 0,5 (t − 6) : 0,2t = 0,5t - 3

Вычтем 0,5t с обеих сторон: −0,3t = −3

Разделим обе части на −0,3 : t = −3 / −0,3 = 10 минут

Теперь мы знаем , когда тебя поймают!

Зная t , можно вычислить d : d = 0,2t = 0,2 × 10 = 2 км

И наше решение:

t = 10 минут и d = 2 км

Алгебра против графиков

Зачем использовать алгебру, если графики настолько просты? Потому что:

Более 2 переменных не могут быть решены с помощью простого графика.

Итак, алгебра приходит на помощь двумя популярными методами:

  • Решение заменой
  • Решение методом исключения

Мы увидим каждую с примерами по 2 переменным и 3 переменным. Вот и ...

Решение заменой

Это шаги:

  • Напишите одно из уравнений в стиле "переменная = ..."
  • Заменить (т.е. заменить) эту переменную в другое уравнение (а).
  • Решите другое уравнение (а)
  • (при необходимости повторить)

Вот пример с 2 уравнениями с 2 переменными :

Пример:

Мы можем начать с любого уравнения и любой переменной .

Воспользуемся вторым уравнением и переменной «y» (это выглядит как простейшее уравнение).

Напишите одно из уравнений в стиле "переменная ="... ":

Мы можем вычесть x из обеих частей x + y = 8, чтобы получить y = 8 - x . Теперь наши уравнения выглядят так:

Теперь замените «y» на «8 - x» в другом уравнении:

  • 3x + 2 (8 - x) = 19
  • у = 8 - х

Решите, используя обычные методы алгебры:

Развернуть 2 (8 − x) :

  • 3x + 16 - 2x = 19
  • у = 8 - х

Тогда 3x − 2x = x :

И на последок 19−16 = 3

Теперь, когда мы знаем, что такое x , мы можем поместить его в уравнение y = 8 - x :

И ответ:

х = 3
у = 5

Примечание: поскольку - это решение , уравнения «непротиворечивы»

Проверка: почему бы вам не проверить, работают ли x = 3 и y = 5 в обоих уравнениях?

Решение подстановкой: 3 уравнения с 3 переменными

ОК! Давайте перейдем к более длинному примеру : 3 уравнения с 3 переменными .

Это несложно, сделать ... просто занимает много времени !

Пример:

  • х + г = 6
  • г - 3у = 7
  • 2x + y + 3z = 15

Мы должны аккуратно выровнять переменные, иначе мы потеряем из виду, что делаем:

х + z = 6
3 года + z = 7
2x + л + 3z = 15

WeI может начать с любого уравнения и любой переменной.Воспользуемся первым уравнением и переменной «x».

Напишите одно из уравнений в стиле "переменная = ...":

x = 6 - z
3 года + z = 7
2x + л + 3z = 15

Теперь замените «x» на «6 - z» в других уравнениях:

(К счастью, есть только одно уравнение с x в нем)

х = 6 - z
3 года + z = 7
2 (6-z) + л + 3z = 15

Решите, используя обычные методы алгебры:

2 (6 − z) + y + 3z = 15 упрощается до y + z = 3 :

х = 6 - z
3 года + z = 7
л + z = 3

Хорошо.Мы добились некоторого прогресса, но пока не достигли этого.

Теперь повторите процесс , но только для последних 2 уравнений.

Напишите одно из уравнений в стиле "переменная = ...":

Выберем последнее уравнение и переменную z:

х = 6 - z
3 года + z = 7
z = 3 - х лет

Теперь замените "z" на "3 - y" в другом уравнении:

х = 6 - z
3 года + 3 - х лет = 7
z = 3-й год

Решите, используя обычные методы алгебры:

−3y + (3 − y) = 7 упрощается до −4y = 4 , или, другими словами, y = −1

х = 6 - z
y = -1
z = 3-й год

Почти готово!

Зная, что y = −1 , мы можем вычислить, что z = 3 − y = 4 :

х = 6 - z
л = -1
z = 4

И зная, что z = 4 , мы можем вычислить, что x = 6 − z = 2 :

x = 2
л = -1
z = 4

И ответ:

х = 2
у = -1
г = 4

Проверка: проверьте сами.

Мы можем использовать этот метод для 4 или более уравнений и переменных ... просто повторяйте одни и те же шаги снова и снова, пока она не будет решена.

Заключение: Замена работает хорошо, но требует много времени.

Решение путем исключения

Уничтожение может быть быстрее ... но должно быть аккуратным.

«Исключить» означает удалить : этот метод работает путем удаления переменных до тех пор, пока не останется только одна.

По идее, мы можем спокойно :

  • умножить уравнение на константу (кроме нуля),
  • прибавить (или вычесть) уравнение к другому уравнению

Как в этих примерах:

ПОЧЕМУ мы можем складывать уравнения друг в друга?

Представьте себе два действительно простых уравнения:

х - 5 = 3
5 = 5

Мы можем добавить «5 = 5» к «x - 5 = 3»:

х - 5 + 5 = 3 + 5
х = 8

Попробуйте сами, но используйте 5 = 3 + 2 в качестве второго уравнения

Он все равно будет работать нормально, потому что обе стороны равны (это то, для чего стоит знак =!)

Мы также можем поменять местами уравнения, чтобы первое могло стать вторым и т. Д., Если это поможет.

Хорошо, время для полного примера. Давайте использовать 2 уравнения с 2 переменными, пример из предыдущего:

Пример:

Очень важно, чтобы все было в порядке:

3x + 2 года = 19
х + л = 8

Сейчас... наша цель - исключить переменную из уравнения.

Сначала мы видим, что есть «2y» и «y», так что давайте поработаем над этим.

Умножим второе уравнение на 2:

3x + 2 года = 19
2 x + 2 л = 16

Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

x = 3
2x + 2 года = 16

Ура! Теперь мы знаем, что такое x!

Затем мы видим, что во втором уравнении есть «2x», поэтому давайте уменьшим его вдвое, а затем вычтем «x»:

Умножьте второе уравнение на ½ (т. Е.е. разделить на 2):

х = 3
x + y = 8

Вычтем первое уравнение из второго уравнения:

х = 3
y = 5

Готово!

И ответ:

х = 3 и у = 5

А вот график:

Синяя линия - это место, где 3x + 2y = 19 истинно

Красная линия - это место, где x + y = 8 верно

При x = 3, y = 5 (где линии пересекаются) они равны , оба значения истинны. Этот и есть ответ.

Вот еще один пример:

Пример:

  • 2x - y = 4
  • 6x - 3y = 3

Разложите аккуратно:

2x л = 4
6x 3 года = 3

Умножьте первое уравнение на 3:

6x 3 года = 12
6x 3 года = 3

Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

0 0 = 9
6x 3 года = 3

0-0 = 9 ???

Что здесь происходит?

Все просто, решения нет.

На самом деле это параллельные линии:

И на последок:

Пример:

  • 2x - y = 4
  • 6x - 3y = 12

Аккуратно:

2x л = 4
6x 3 года = 12

Умножьте первое уравнение на 3:

6x 3 года = 12
6x 3 года = 12

Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

0 0 = 0
6x 3 года = 3

0 - 0 = 0

Ну, это на самом деле ИСТИНА! Ноль действительно равен нулю...

... это потому, что на самом деле это одно и то же уравнение ...

... значит существует бесконечное количество решений

Это та же строка:

Итак, теперь мы рассмотрели пример каждого из трех возможных случаев:

  • Нет раствор
  • Одно решение
  • Бесконечно много решений

Решение методом исключения: 3 уравнения с 3 переменными

Прежде чем мы начнем со следующего примера, давайте рассмотрим улучшенный способ решения задач.

Следуйте этому методу, и мы с меньшей вероятностью ошибемся.

Прежде всего, удалите переменные в порядке :

.
  • Сначала удалите x с (из уравнений 2 и 3, по порядку)
  • , затем исключите y (из уравнения 3)

Вот как мы их устраняем:

У нас есть "форма треугольника":

Теперь начните снизу и вернитесь к исходному состоянию (так называемая «обратная подстановка»)
(введите z , чтобы найти y , затем z и y , чтобы найти x ):

И решаемся:

ТАКЖЕ, мы обнаружим, что проще выполнить некоторые вычислений в уме или на бумаге для заметок, чем всегда работать в рамках системы уравнений:

Пример:

  • х + у + г = 6
  • 2y + 5z = −4
  • 2x + 5y - z = 27

Аккуратно написано:

х + л + z = 6
2 года + 5z = −4
2x + 5лет z = 27

Сначала удалите x из 2-го и 3-го уравнения.

Во втором уравнении нет x ... переходите к третьему уравнению:

Вычтите 2 раза 1-е уравнение из 3-го уравнения (просто проделайте это в уме или на бумаге для заметок):

И получаем:

х + л + z = 6
2 года + 5z = −4
3 года 3z = 15

Затем удалите y из 3-го уравнения.

Мы, , могли бы вычесть 1½ раза 2-е уравнение из 3-го уравнения (потому что 1½, умноженное на 2, будет 3) ...

... но мы можем избежать дробей , если мы:

  • умножьте третье уравнение на 2 и
  • умножьте 2-е уравнение на 3

и , затем выполняют вычитание ... вот так:

И в итоге получаем:

х + л + z = 6
2 года + 5z = −4
z = -2

Теперь у нас есть "треугольная форма"!

Теперь вернемся снова вверх "с ​​обратной заменой":

Мы знаем z , поэтому 2y + 5z = −4 становится 2y − 10 = −4 , затем 2y = 6 , поэтому y = 3 :

х + л + z = 6
y = 3
z = −2

Тогда x + y + z = 6 становится x + 3−2 = 6 , поэтому x = 6−3 + 2 = 5

x = 5
л = 3
z = −2

И ответ:

х = 5
у = 3
г = -2

Проверка: проверьте сами.

Общий совет

Когда вы привыкнете к методу исключения, он станет проще, чем замена, потому что вы просто выполняете шаги, и ответы появляются.

Но иногда замена может дать более быстрый результат.

  • Замена часто проще для небольших случаев (например, 2 уравнения, а иногда и 3 уравнения)
  • Устранение проще для больших ящиков

И всегда полезно сначала просмотреть уравнения, чтобы увидеть, есть ли простой ярлык... так что опыт помогает.

система уравнений: графический метод

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Графический метод используется для нахождения решения линейных уравнений с двумя переменными.


Пример решения уравнения графическим методом
x - y = 1
2x + y = 8
Сначала решите каждое уравнение для «y =» или измените каждое уравнение в форме y = mx + b.

x - y = 1
- x = -x
--------------
-y - x + 1
------- = - -------
-1-1
y = x - 1
Наклон = m = 1
пересечение y = -1
2x + y = 8
-2x = - 2x
----- ------------
y = - 2x + 8
Slope = m = -2
y intercept = 8

После преобразования уравнений в форму y = mx + b подготовьте таблица функций. Возьмите любые значения x, поместите эти значения одно за другим в данное уравнение и найдите значение y.Отсюда мы получаем координаты (x, y). 90 131

Теперь нарисуйте точки (x, y) для заданных линий и соедините их.Точка пересечения этих двух линий и будет решением.

x y = x-1 (x, y) x y = -2x + 8 (x, y)
0 y = 0-1
= -1
(0, -1) 0 y = -2 (0) + 8
= 8
(0,8)
1 y = 1-1
= 0
(1,0) 1 y = -2 (1) + 8
= -2 + 8 = 6
(1 , 6)
-1 y = -1 -1
= -2
(-1, -2) -1 y = -2 (-1) + 8
= 2 + 8 = 10
(-1,10)
3 y = 3-1
= 2
(3,2) 3 y = -2 (3) + 8
= - 6 + 8 = 2
(3,2)
Проверить: Поскольку две линии пересекаются в точке (3,2), решение - x = 3 и y = 2. Проверка этих значений показывает, что это правильный ответ. Подставьте эти значения в ОРИГИНАЛЬНЫЕ уравнения и получите истинный результат.

x - y = 1 2x + y = 8
( 3 ) - 2 = 1 2 ( 3 ) + 2 = 8
1 = 1 (проверить) 6 + 2 = 8
8 = 8 (проверить)


Линейное уравнение с двумя переменными

• Решение линейного уравнения графическим методом.
• Метод замещения.
• Решение системы уравнений методом исключения
• Метод перекрестного умножения или правило Крамера

Home

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Системы линейных уравнений: определения

Системы линейных уравнений: определения (стр. 1 из 7)

Разделы: определения, решения путем построения графиков, подстановки, исключения / добавления, исключения Гаусса.

А «система» уравнения - это набор или набор уравнений, с которыми вы работаете вместе однажды. Линейные уравнения (те, которые отображаются в виде прямых линий) проще чем нелинейные уравнения, и простейшая линейная система - это система с два уравнения и две переменные.

Вспомните линейные уравнения. Например, рассмотрим линейное уравнение y = 3 x - 5.Решение" к этому уравнению была любая точка x , y , которая "работала" в уравнении. Итак (2, 1) было решением, потому что, подключение 2 для x :

С другой стороны, (1, 2) не было решением, потому что, подключение 1 для x :

... что не равнялось y (что было 2, для этого пункта).Конечно, в практическом плане решений вы не нашли в уравнение, выбирая случайные точки, вставляя их и проверяя чтобы увидеть, «работают» ли они в уравнении. Вместо этого вы выбрали значения x . а затем вычислили соответствующие значения y . И вы использовали ту же процедуру для построения графика уравнение. Этот указывает на важный факт: каждая точка на графике была решением к уравнению, и любое решение уравнения отмечалось точкой на графике.

Теперь рассмотрим следующее двухпараметрическая система линейных уравнений:


С два приведенных выше уравнения составляют систему, мы решаем их вместе в то же время. В частности, мы можем изобразить их вместе на та же система осей, например:



Решением для единственного уравнения является любая точка, лежащая на линии этого уравнения.А решение для системы уравнений - это любая точка, лежащая на каждой строке системы. Например, красная точка справа не является решением системы, потому что его нет ни в одной строке:



В синяя точка справа не является решением системы, потому что она лежит только на одной из линий, а не на на обеих из них:



В фиолетовая точка справа - это решение системы, потому что она лежит по обеим линиям:


В частности, это фиолетовый точка отмечает пересечение двух линий.Поскольку эта точка находится на обе строки, таким образом, он решает оба уравнения, поэтому он решает всю систему уравнения. И это соотношение всегда верно: для систем уравнений «решения» - это «пересечения». Вы можете подтвердить решение, подставив его в систему уравнений и подтвердив, что решение работает в каждом уравнении.


    Проверить данное возможно решения, я просто подключаю x - и y - координаты в уравнения и проверьте, работают ли они. авторское право © Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

    Поскольку данная точка работает в каждом уравнении, это решение системы. Теперь проверю другой пункт (который мы уже знаем, глядя на график, это не решение):

    Итак, решение работает в одном из уравнений. Но чтобы решить систему, она должна работать в обоих уравнениях.Продолжая чек:

    Но –2 не равно –6, так что это "решение" не проверяет. Тогда ответ:

      только точка (–1, –5) - это решение системы

Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Возвращение к указателю Вперед >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Системы линейных уравнений: определения». Purplemath . Доступна с
https://www.purplemath.com/modules/systlin1.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Решение систем уравнений с помощью графических листов

Рабочие листы на этой странице содержат четыре координатных плоскости и системные уравнения в форме пересечения наклона, которые учащиеся составляют в виде графика для решения, и включают ключ ответа, показывающий правильный график.

Графические системы уравнений


Что такое системы уравнений?

Два или более связанных линейных уравнения называются системой уравнений . Построение графиков систем уравнений включает построение графиков каждого отдельного линейного уравнения в системе. Места пересечения линий представляют собой решения, в которых два или более линейных уравнения имеют общее решение, и эта точка рассматривается как решение всей системы.

Вы можете решить систему уравнений, построив линии на графике и посмотрев, где они пересекаются.Это называется «решение с помощью построения графиков» и является допустимым подходом для линейных уравнений с относительно простыми значениями наклона и точки пересечения по оси Y. Таблицы графических систем уравнений на этой странице соответствуют этим критериям и являются хорошей практикой для построения визуальной интуиции процесса решения.

На практике линейные уравнения в системе более сложны, и попытки определить точное решение с помощью построения графиков ограничены тем, насколько легко читаемы на каждой оси. Как правило, эти решения следует рассматривать как приближенные, за исключением случаев, когда наклоны и пересечения в уравнениях представляют собой малые целые числа и решение, очевидно, является правильным для обоих уравнений.Даже в этом случае ручная проверка решения алгебраически все еще является надежной проверкой.

На практике чаще всего решают системы уравнений методом подстановки. Обычно ваша система уравнений будет включать два уравнения в форме пересечения наклона, причем оба уравнения представляют собой значение y, вычисляемое через x. Решение с помощью подстановки включает объединение двух уравнений в одну функцию, которая дает координату x или y. Вы можете легко сделать это, заменив сторону y в одном из уравнений выражением mx + b из другого (так, «mx + b = mx + b») и решив для x.Это даст вам значение x, которое затем можно подставить в любое из исходных уравнений для вычисления соответствующей координаты y. Результирующие значения x и y составляют координату решения обоих уравнений и, следовательно, решение объединенной системы уравнений.

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Вы можете решать системы уравнений с помощью построения графиков, выполнив следующие шаги:

  1. Для каждого из них уравнение построит линию. Щелкните здесь, если вам нужна помощь или вы попрактикуетесь в построении графиков линейных уравнений.
  2. Если прямые не пересекаются (они параллельны), то система уравнений не имеет решения.
  3. Если линии пересекаются, найдите координаты точки пересечения линий из каждого уравнения.
  4. Точка пересечения является общим решением обоих уравнений и, следовательно, решением всей системы уравнений.

Хотя этот подход, возможно, более интуитивно понятен по сравнению с решением с помощью подстановки, он также может быть менее точным.Опять же, рекомендуется, чтобы учащиеся проверяли решения, полученные в результате решения уравнений системы, путем построения графиков, вставляя координату x из решения в каждое уравнение и проверяя, что вычисленное значение y из каждого уравнения в системе оказывается одинаковым.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *