Геометрия — Infourok
Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРазговоры о важномРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое
Выберите класс: Все классы7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс
Выберите
учебник:
Все учебники»Геометрия», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.»Геометрия», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.»Геометрия», Погорелов А.
«БИНОМ. Лаборатория знаний»)», Глейзер Г.Д.»Геометрия (изд. «БИНОМ. Лаборатория знаний»)», Глейзер Г.Д.»Геометрия (изд. «Просвещение»)», Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.»Геометрия (изд. «Просвещение»)», Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.»Геометрия (изд. «Просвещение»)», Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.»Геометрия. 7-9 класс», Волович М.Б., Атанасян Л.С.»Геометрия. Базовый и углубленный уровни», Нелин Е.П., Лазарев В.А.»Геометрия. Базовый уровень», Шарыгин И.Ф.»Геометрия. Учебник 10-11 класс «, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.»Математика (базовый уровень)», Мордкович А.Г., Смирнова И.М.»Математика (базовый уровень) «, Мордкович А.Г., Смирнова И.М.»Математика (базовый уровень)», Мордкович А.Г., Смирнова И.М.»Математика. 10 класс. (базовый уровень)», Мордкович А.Г., Смирнова И.М.»Математика. Арифметика. Геометрия», Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.»Математика: алгебра и геометрия», Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.
С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.»Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни)», Смирнова И.М., Смирнов В.А.»Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)», Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.»Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)», Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.»Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)», Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.Выберите тему: Все темы
ГДЗ По Геометрии 7 9 Класс Колягин – Telegraph
>>> ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ <<<
ГДЗ По Геометрии 7 9 Класс Колягин
ГДЗ по геометрии 7 -9 класс Атанасян, Бутузов, Кадомцев . Удобным способом использования решебника по геометрии Атанасяна выступает наш сайт . На нем достаточно кликнуть номер задания на странице соответствующего решебника – и система выведет правильный вариант .
.
ГДЗ : готовые ответы по геометрии за 7 ‐9 класс, решебник Атанасян, ФГОС, онлайн решения на GDZ .RU . По какой причине всем так нравится именно эта книга по геометрии за 7 -9 класс Атанасян . Учебно-методическое пособие по геометрии для 7 -9 классов от Л . С . Атанасяна . .
Геометрия — сложная, но очень важная и нужная учебная дисциплина . Хорошие знания по ней нужны не только для высоких отметок в дневнике . Они пригодятся и при вступлении в техникум, ВУЗ, и в профессиональной деятельности, и в повседневной жизни .
Ш .А . Алимов, Ю .М . Колягин , Ю .В . Сидоров . Решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 7 (седьмой) класс авторы: Алимов, Колягин, Сидоров издательство Просвещение, год .
ГДЗ (решебник) по Геометрии 7 класс Казаков . Авторы: Казаков В . В . Обновленный сборник «Решеба по геометрии для 7 класса » готов помочь ученику в решении всех задач, представленных в учебнике .
Представляем вам подробные готовые домашние задания Геометрия 7 -9 класc — Учебникза авторством Атанасян, Бутузов .
Решения к этому учебному к пособию Геометрия 7 -9 класc — Учебник всегда доступны онлайн и бесплатно . Авторы решений постарались сделать ответы . .
Геометрия . ГДЗ алгебра 9 класс Колягин, Ткачева, Фёдорова Просвещение . Работать по ГДЗ следует, опираясь на такие ведущие принципы грамотной работы: — системность подхода — нужен четкий план, учитывающий базовый уровень алгебраических знаний девятиклассника . .
Кроме того, в ГДЗ по геометрии 7 -9 класс Атанасян включены многочисленные графики и чертежи, наглядно демонстрирующие решение некоторых задач . В чем поможет ГДЗ . На нашем сайте собрано несколько вариантов решебников, в которых вы можете найти разнообразные . .
Авторский ГДЗ Колягин Ткачева 7 класс построен так, чтобы ученик мог его использовать как во время занятия алгебры, так и при . . В 7 класе математика делится на алгебру и геометрию . В новом учебном году многие школы перешли на учебник Колягина Ткачева 7 класс по алгебре . .
ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Ю .
М . Тип: Учебник . Авторы: Колягин Ю .М ., Ткачева М .В ., Федорова Н .Е ., Шабунин М .И . Издательство: Просвещение . В седьмом классе школьникам непросто, так как у них добавляются новые дисциплины, в основном, математические .
Подробный решебник по геометрии для 9 класса автора Казакова, издания 2020 года . ГДЗ онлайн и ответы ко всем заданиям учебника на Решеба . Данный материал позволит каждому школьнику досконально разобраться в программе геометрии 9 класса, а родители смогут . .
ГДЗ по алгебре 7 -9 класс Атанасян, Бутузов, Кадомцев учебник . Любая математическая наука является довольно интересной и Как показывает практика, иногда гдз по геометрии 7 -9 класс Атанасян приносит гораздо больше пользы детям, чем в привычный учебник, поскольку в . .
При помощи гдз по геометрии за 7 -9 класс , ученики получают навыки вычисления и решения геометрических задач . Решебник по геометрии Атанасян Л .С . 7 -9 класс описывает вычисление площади различных фигур, дает знания о синусе, косинусе, тангенсе, котангенсе .
Убедись в правильности решения задачи вместе с ГДЗ по Алгебре за 9 класс Ю .М . Колягин, М .В . Ткачева, Н .Е . Федорова, М .И . Шабунин . ГДЗ к тематическим тестам по алгебре за 9 класс Ткачёва М .В . можно посмотреть тут . быстрый поиск . Упражнения 1-802 .
В седьмом классе дети начинают изучать вместо математики алгебру и геометрию . Теперь программа становится сложнее, каждый раздел изучается намного А есть и такие, кто просто пользуется «ГДЗ по Алгебре 9 класс Учебник Колягин, Ткачева, Фёдорова (Просвещение)» .
ГДЗ по геометрии 7 -9 класс Атанасян, Бутузов, Кадомцев . Удобным способом использования решебника по геометрии Атанасяна выступает наш сайт . На нем достаточно кликнуть номер задания на странице соответствующего решебника – и система выведет правильный вариант . .
ГДЗ : готовые ответы по геометрии за 7 ‐9 класс, решебник Атанасян, ФГОС, онлайн решения на GDZ .RU . По какой причине всем так нравится именно эта книга по геометрии за 7 -9 класс Атанасян .
Учебно-методическое пособие по геометрии для 7 -9 классов от Л . С . Атанасяна . .
Геометрия — сложная, но очень важная и нужная учебная дисциплина . Хорошие знания по ней нужны не только для высоких отметок в дневнике . Они пригодятся и при вступлении в техникум, ВУЗ, и в профессиональной деятельности, и в повседневной жизни .
Ш .А . Алимов, Ю .М . Колягин , Ю .В . Сидоров . Решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 7 (седьмой) класс авторы: Алимов, Колягин, Сидоров издательство Просвещение, год .
ГДЗ (решебник) по Геометрии 7 класс Казаков . Авторы: Казаков В . В . Обновленный сборник «Решеба по геометрии для 7 класса » готов помочь ученику в решении всех задач, представленных в учебнике .
Представляем вам подробные готовые домашние задания Геометрия 7 -9 класc — Учебникза авторством Атанасян, Бутузов . Решения к этому учебному к пособию Геометрия 7 -9 класc — Учебник всегда доступны онлайн и бесплатно . Авторы решений постарались сделать ответы . .
Геометрия . ГДЗ алгебра 9 класс Колягин, Ткачева, Фёдорова Просвещение .
Работать по ГДЗ следует, опираясь на такие ведущие принципы грамотной работы: — системность подхода — нужен четкий план, учитывающий базовый уровень алгебраических знаний девятиклассника . .
Кроме того, в ГДЗ по геометрии 7 -9 класс Атанасян включены многочисленные графики и чертежи, наглядно демонстрирующие решение некоторых задач . В чем поможет ГДЗ . На нашем сайте собрано несколько вариантов решебников, в которых вы можете найти разнообразные . .
Авторский ГДЗ Колягин Ткачева 7 класс построен так, чтобы ученик мог его использовать как во время занятия алгебры, так и при . . В 7 класе математика делится на алгебру и геометрию . В новом учебном году многие школы перешли на учебник Колягина Ткачева 7 класс по алгебре . .
ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Ю .М . Тип: Учебник . Авторы: Колягин Ю .М ., Ткачева М .В ., Федорова Н .Е ., Шабунин М .И . Издательство: Просвещение . В седьмом классе школьникам непросто, так как у них добавляются новые дисциплины, в основном, математические .
Подробный решебник по геометрии для 9 класса автора Казакова, издания 2020 года . ГДЗ онлайн и ответы ко всем заданиям учебника на Решеба . Данный материал позволит каждому школьнику досконально разобраться в программе геометрии 9 класса, а родители смогут . .
ГДЗ по алгебре 7 -9 класс Атанасян, Бутузов, Кадомцев учебник . Любая математическая наука является довольно интересной и Как показывает практика, иногда гдз по геометрии 7 -9 класс Атанасян приносит гораздо больше пользы детям, чем в привычный учебник, поскольку в . .
При помощи гдз по геометрии за 7 -9 класс , ученики получают навыки вычисления и решения геометрических задач . Решебник по геометрии Атанасян Л .С . 7 -9 класс описывает вычисление площади различных фигур, дает знания о синусе, косинусе, тангенсе, котангенсе .
Убедись в правильности решения задачи вместе с ГДЗ по Алгебре за 9 класс Ю .М . Колягин, М .В . Ткачева, Н .Е . Федорова, М .И . Шабунин . ГДЗ к тематическим тестам по алгебре за 9 класс Ткачёва М .
В . можно посмотреть тут . быстрый поиск . Упражнения 1-802 .
В седьмом классе дети начинают изучать вместо математики алгебру и геометрию . Теперь программа становится сложнее, каждый раздел изучается намного А есть и такие, кто просто пользуется «ГДЗ по Алгебре 9 класс Учебник Колягин, Ткачева, Фёдорова (Просвещение)» .
Геометрия 9 Класс Атанасян ГДЗ Ответы
ГДЗ 7 Класс Русский Язык Пименова Еремеева
ГДЗ По Русскому 2 Класс Репкин
ГДЗ Упр 129 2 Класс
ГДЗ По Английскому Эванс Дули Учебник
ГДЗ По Дидактические Материалы Чесноков 6
Spotlight 4 Класс ГДЗ 2 Часть
Задача По Физике Решебник Рымкевич 10
ГДЗ По Всемирной Истории 11
ГДЗ Демченко 6 Класс
ГДЗ По Русскому 3 Класс Бунеев Бунеева
ГДЗ Афанасьева 4 Класс Рабочая Тетрадь 1
ГДЗ Английский Язык 2 Класс Forward
Решебник По Математике 1 Моро Волкова
ГДЗ По Математике 5 Класс Якин
ГДЗ Практикум 9 Класс
ГДЗ По Англ Яз 7 Класс Лапа
ГДЗ 11 Спотлайт Учебник
ГДЗ По Литературе 6 Класс Гс Меркин
ГДЗ По Математике 5 Класс 68
Решебник По Бел Мове 9 Клас
ГДЗ По Английский 7 Класс Комарова Учебник
ГДЗ По Класс Афанасьева
Драбкина Субботин Огэ 2020 ГДЗ
ГДЗ По Истории России 2020
ГДЗ По Русскому Языку Страница 20
ГДЗ Контурные Карты 9 Класс Матвеев
ГДЗ Химия 10 Класс Тетрадь
Мерзляк Полонский 5 Класс Учебник Решебник
ГДЗ По Математике Номер 24
Задачи По Алгебре 8 Класс ГДЗ
Литературное Чтение 3 Класс Свиридова Решебник
Математический Решебник 6 Класс
История России 10 Класс Учебник Торкунов ГДЗ
ГДЗ По Биологии Рабочая Тетрадь Тихонова
Английский 5 Класс Дули Решебник
ГДЗ По Русскому Седьмой Класс Рыбченкова Учебник
Литературное Чтение 4 Класс 2020 Год ГДЗ
ГДЗ По Геометрии 7 11 Класс
ГДЗ По Геометрии 8 Класс Просвещение Атанасян
ГДЗ По Английскому Unit 6
ГДЗ По Русскому Языку 2 Класс Шклярова
ГДЗ Атанасян Седьмой Класс
ГДЗ По Алгебре 9 1990
Решебник Дидактические 7 Класс Звавич
Скачать ГДЗ 10 Класс Атанасян
Решебник По Английскому 7 Класс Workbook
ГДЗ Русский Язык 6 Класс Зеленый Учебник
ГДЗ По Математике 1класса Рабочая Тетрадь
ГДЗ По Русскому Языку 7 Пименова Еремеева
ГДЗ Барашкова 4 Класс Рабочая Тетрадь
ГДЗ По Русскому Языку 8 Класс Колягин
Гдз Комарова 9 Учебник
ГДЗ Габриелян 11 Класс Углубленный Уровень
ГДЗ Душина 7 Класс Рабочая Тетрадь
Типы многочленов.
Многочлен, его стандартный вид, степени и коэффициенты при членах— многочлены . В этой статье мы представим всю начальную и необходимую информацию о многочленах. К ним относятся, во-первых, определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных им терминов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим им соответствующее определение и приведем примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и поговорим о коэффициентах при членах многочлена.
Навигация по страницам.
Многочлен и его члены – определения и примеры
В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как многочлен определение дается в терминах одночленов. Дадим это определение, объясняющее, что такое многочлен.
Определение.
Многочлен — сумма одночленов; моном считается частным случаем многочлена.
Написанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов.
Любой из мономов 5 , 0 , −1 , x , 5 a b 3 , x 2 0,6 x (−2) y 12 и т. д. является полиномом. Также по определению 1+x , a 2 +b 2 и являются полиномами.
Для удобства описания многочленов вводится определение полиномиального члена.
Определение.
Полиномиальные члены — это мономы, из которых состоит полином.
Например, многочлен 3 x 4 −2 x y+3−y 3 имеет четыре члена: 3 x 4 , −2 x y , 3 и −y 3 . Одночленом считается многочлен, состоящий из одного члена.
Определение.
Многочлены, состоящие из двух и трех членов, имеют специальные имена — биномиальное и трехчленное соответственно.
Итак, x+y — двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b — трехчлен.
В школе чаще всего приходится работать с линейным биномом a x+b , где a и b некоторые числа, а x переменная, и с квадратным трехчленом a x 2 +b x+c , где a , b и c — некоторые числа, а x — переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1, x 7,2−4, а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3 x−5 и .
Многочлены в своих обозначениях могут иметь сходные члены. Например, в полиноме 1+5x−3+y+2x похожими членами являются 1 и −3, а также 5x и 2x. У них есть свое специальное название — подобные члены многочлена.
Определение.
Подобные члены многочлена
В предыдущем примере 1 и −3 , а также пара 5 x и 2 x подобны членам многочлена. В многочленах с похожими членами можно выполнить сокращение подобных членов, чтобы упростить их форму.
Стандартная форма многочлена
Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемая стандартная форма. Озвучим соответствующее определение.
На основании этого определения можно привести примеры полиномов стандартной формы. Итак, многочлены 3 x 2 −x y+1 и записаны в стандартной форме. А выражения 5+3 x 2 −x 2 +2 x z и x+x y 3 x z 2 +3 z не являются полиномами стандартного вида, так как первое из них содержит аналогичные члены 3 x 2 и −x 2 , а в второй — моном x · y 3 · x · z 2 , форма которого отличается от стандартной.
Учтите, что при необходимости всегда можно привести полином к стандартному виду.
К многочленам стандартной формы относится еще одно понятие — понятие свободного члена многочлена.
Определение.
Свободный член полинома Назовите член полинома стандартной формы без буквенной части.
Другими словами, если есть число в стандартной форме полинома, то оно называется свободным членом. Например, 5 является свободным членом многочлена x 2 z+5 , а многочлен 7 a+4 a b+b 3 не имеет свободного члена.
Степень многочлена — как ее найти?
Другим важным родственным определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень полинома стандартного вида, это определение основано на степенях мономов, входящих в его состав.
Определение.
Степень полинома стандартной формы является наибольшей из степеней мономов, входящих в его запись.
Приведем примеры. Степень полинома 5 х 3 −4 равна 3, так как входящие в него мономы 5 х 3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел равно 3, что и является степенью полинома по определению.
Теперь давайте узнаем, как найти степень многочлена произвольной формы.
Определение.
Степень полинома произвольного вида есть степень соответствующего полинома стандартного вида.
Итак, если многочлен записан не в стандартной форме, а вы хотите найти его степень, то вам необходимо привести исходный многочлен к стандартной форме, и найти степень полученного многочлена — она и будет искомой . Рассмотрим пример решения.
Пример.
Найти степень полинома 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.
Решение.
Сначала нужно представить полином в стандартной форме:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2 (a a) (b b) (c c)+y 2 z 2 = = −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.
Полученный многочлен стандартной формы включает два монома −2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 .
Библиография.
- Алгебра: учебник на 7 кл. общеобразовательные учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7-й класс. В 14 ч. Ч. 1. Учебник для студентов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 17-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2013. – 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Алгебра и начало математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовые и профильные. уровней / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. — 3-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 368 с.
: больной. — ISBN 978-5-09-022771-1. - Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для абитуриентов техникумов): Учеб. пособие.- М.; Высшая школа, 1984.-351 с., ил.
: больной. — ISBN 978-5-09-022771-1.Понятие многочлена
Определение многочлена: Многочлен – это сумма одночленов. Пример полинома:
здесь мы видим сумму двух одночленов, а это и есть многочлен, т.е. сумма одночленов.
Члены полинома называются его членами.
Является ли разность мономов полиномом? Да, потому что разность легко сводится к сумме, например: 5а — 2б = 5а + (-2б).
Одночлены также считаются полиномами. Но в мономе нет суммы, тогда почему он считается полиномом? А к нему можно добавить ноль и получить его сумму с нулевым мономом. Итак, моном — это частный случай многочлена, он состоит из одного члена.
Число ноль является нулевым полиномом.
Стандартная форма полинома
Что такое полином стандартной формы? Многочлен представляет собой сумму одночленов, и если все эти одночлены, составляющие многочлен, записать в стандартной форме, кроме того, среди них не должно быть подобных, то многочлен записывается в стандартной форме.
Пример многочлена в стандартной форме:
здесь многочлен состоит из 2 мономов, каждый из которых имеет стандартный вид, среди одночленов нет подобных.
Теперь пример полинома, не имеющего стандартной формы:
вот два монома: 2а и 4а подобны. Нам нужно их сложить, тогда полином примет стандартный вид:
Другой пример:
Этот полином приведен к стандартному виду? Нет, его второй член не записывается в стандартной форме. Записав его в стандартной форме, мы получим полином стандартной формы:
Степень многочлена
Что такое степень многочлена?
Определение степени многочлена:
Степенью многочлена называется наибольшая степень, которую имеют мономы, составляющие заданный многочлен стандартной формы.
Пример. Какова степень многочлена 5h? Степень полинома 5h равна единице, так как этот многочлен содержит только один моном и его степень равна единице.
Другой пример. Какова степень многочлена 5a 2 h 3 s 4 +1? Степень полинома 5a 2 h 3 s 4 + 1 равна девяти, так как этот многочлен включает в себя два монома, первый моном 5a 2 h 3 s 4 имеет высшую степень, и его степень равна 9.
Другой пример. Какова степень многочлена 5? Степень многочлена 5 равна нулю. Итак, степень многочлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.
Последний пример. Какова степень нулевого полинома, т.е. нуль? Степень нулевого многочлена не определена.
Изучив мономы, перейдем к полиномам. Эта статья расскажет вам обо всей необходимой информации, необходимой для выполнения над ними действий. Определим многочлен с сопутствующими определениями полиномиального члена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся его находить, работать с его коэффициентами.
Яндекс.РТБ Р-А-339285-1
Многочлен и его члены — определения и примеры
Определение многочлена нужно было в 7 класс после изучения мономов. Давайте посмотрим на его полное определение.
Определение 1
полином рассматривается сумма мономов, а сам моном является частным случаем полинома.
Из определения следует, что примеры многочленов могут быть разными: 5 , 0 , − 1 , x , 5 a b 3 , x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , — 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z и так далее.
Из определения имеем, что 1+x , a 2 + b 2 и выражение x 2 — 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются полиномами.
Давайте рассмотрим еще несколько определений.
Определение 2
Члены полинома , составляющие его мономы, называются.
Рассмотрим этот пример, где у нас есть многочлен 3 x 4 — 2 x y + 3 — y 3 , состоящий из 4 членов: 3 x 4 , — 2 x y , 3 и — у 3 . Таким мономом можно считать полином, состоящий из одного члена.
Определение 3
Многочлены, имеющие в своем составе 2, 3 трехчлена, имеют соответствующие названия — двучлен и трехчлен .
Отсюда следует, что выражение вида x+y – является двучленом, а выражение 2 x 3 q − q x x + 7 b – трехчленом.
По школьной программе работали с линейным двучленом вида а х + b, где а и b — некоторые числа, а х — переменная. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 — 3 x + 11 .
Для преобразования и решения необходимо найти и привести подобные термины. Например, многочлен вида 1 + 5 x — 3 + y + 2 x имеет одинаковые члены 1 и — 3, 5 x и 2 x. Они подразделяются на особую группу, называемую подобными членами многочлена.
Определение 4
Подобные члены многочлена подобны членам многочлена.
В приведенном выше примере мы имеем, что 1 и — 3 , 5 x и 2 x являются подобными членами многочлена или подобными членами. Чтобы упростить выражение, найдите и сократите подобные члены.
Полином стандартной формы
Все мономы и полиномы имеют свои собственные имена.
Определение 5
Многочлен стандартной формы Называется многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартной формы и не содержит подобных членов.
Из определения видно, что можно привести многочлены стандартного вида, например, 3 x 2 − x y + 1 и __formula__, а запись в стандартной форме. Выражения 5 + 3 x 2 — x 2 + 2 x z и 5 + 3 x 2 — x 2 + 2 x z не являются полиномами стандартного вида, так как первое из них имеет аналогичные члены в виде 3 x 2 и − x2 , а второй содержит моном вида x · y 3 · x · z 2 , отличный от стандартного многочлена.
Если того требуют обстоятельства, то иногда многочлен приводят к стандартной форме. Понятие свободного члена многочлена также считается многочленом стандартной формы.
Определение 6
Свободный член многочлена является многочленом стандартной формы без буквенной части.
Другими словами, когда обозначение многочлена в стандартной форме имеет число, он называется свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 не имеет свободных членов.
Степень многочлена — как ее найти?
Определение степени полинома основано на определении полинома стандартной формы и на степенях мономов, являющихся его компонентами.
Определение 7
Степень полинома стандартной формы назовите наибольшую из степеней, входящих в его обозначение.
Давайте рассмотрим пример. Степень полинома 5 x 3 − 4 равна 3, так как мономы, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0, а наибольший из них равен 3 соответственно.
Определение степени из полинома 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x равно наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 и 1, поэтому 5.
Необходимо выяснить, как находится сама степень.
Определение 8
Степень полинома произвольного числа – это степень соответствующего полинома в стандартной форме.
Когда многочлен записан не в стандартном виде, а нужно найти его степень, нужно привести его к стандартному виду, а затем найти нужную степень.
Пример 1
Найти степень многочлена 3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 .
Решение
Сначала приведем полином в стандартной форме. Получаем выражение вида:
3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 (a a) (b b) ( c c) + y 2 z 2 = = − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2
При получении многочлена стандартного вида находим, что два из них четко различаются — 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Чтобы найти степени, мы вычисляем и получаем, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4.
Видно, что наибольшее из них равно 6. Из определения следует, что ровно 6 является степенью полинома − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, поэтому исходное значение .
Ответ : 6 .
Коэффициенты при членах многочлена
Определение 9
Когда все члены многочлена являются мономами стандартной формы, то в этом случае они имеют название коэффициентов при членах многочлена. Другими словами, их можно назвать коэффициентами полинома.
При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 имеет в своем составе 4 полинома: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x и 7 с их соответствующие коэффициенты 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Следовательно, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов данного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При конвертации важно обращать внимание на коэффициенты перед переменными. 9(м)), где
С помощью многочлена выводятся понятия «алгебраическое уравнение» и «алгебраическая функция».
Исследование и применение[ | ]
Изучение полиномиальных уравнений и их решений было едва ли не главным предметом «классической алгебры».
С изучением многочленов связан ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нулевых, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальные функции в анализе.
Техническая простота вычислений с полиномами по сравнению с более сложными классами функций, а также плотность множества полиномов в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационную теорему Вейерштрасса) способствовали к развитию методов разложения рядов и полиномиальной интерполяции в исчислении.
Полиномы также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектами которой являются множества, определяемые как решения систем полиномов. 9(i_ (n))) называется целым числом | я | знак равно я 1 + я 2 + ⋯ + я п (\ displaystyle | I | = i_ (1) + i_ (2) + \ точки + i_ (n)).
(\displaystyle Р.)Полиномиальные функции[ | ]
Пусть A (\displaystyle A) существует алгебра над кольцом R (\displaystyle R). Произвольный многочлен p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R) определяет полиномиальную функцию
p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\to A).
Наиболее часто рассматриваемый случай A = R (\displaystyle A=R). 9(2)) из Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)[x]) определяют тождественно равные функции Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \ mathbb (Z) _ (2)).
Полиномиальная функция одной действительной переменной называется целой рациональной функцией.
Типы многочленов[ | ]
Свойства [ | ]
Делимость [ | ]
Роль неприводимых полиномов в кольце полиномов аналогична роли простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение многочленов pq (\displaystyle pq) делится на неприводимый многочлен, то 9(4)-2), неприводимое в области рациональных чисел, распадается на три множителя в области действительных чисел и на четыре множителя в области комплексных чисел.
Вообще говоря, всякий многочлен от одной переменной x (\displaystyle x) разлагается в области действительных чисел на множители первой и второй степени, в области комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебра).
Для двух или более переменных это больше не может быть установлено. Над любым полем для любого n > 2 (\displaystyle n>2) существуют полиномы от n (\displaystyle n) переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми. 92 + 4) не является полиномом, поскольку не является суммой мономов. Многочлен иногда также называют многочленом, а мономы, которые являются частью многочлена, являются членами многочлена или мономов.
Комплексное понятие многочлена
Если многочлен состоит из двух членов, то он называется двучленом, если состоит из трех — трехчленом. Названия четырехчленный, пятичленный и другие не употребляются, и в таких случаях говорят просто, полиномиальный. Такие названия в зависимости от количества терминов расставляют все по своим местам.
И термин моном становится интуитивно понятным. С точки зрения математики моном является частным случаем многочлена. Одночлен – это многочлен, который имеет только один член.
Как и моном, многочлен имеет свою стандартную форму. Стандартная форма многочлена — это такое обозначение многочлена, при котором все мономы, входящие в него в качестве членов, записаны в стандартной форме и даны подобные им члены.
Стандартная форма полинома
Процедура приведения полинома к стандартной форме заключается в приведении к стандартной форме каждого из мономов, а затем сложении всех таких мономов вместе. Сложение подобных членов многочлена называется сокращением подобных членов. 92) является пятым.
№123 — Видео ГДЗ по геометрии 7 класс Учебник Полонского
Видео Аудиторное задание №123 по геометрии 7 класс Учебник Полонского. Подробное видео Объяснение задач смотрите на ГДЗ.Видео.
Видео Аудиторное задание №123 по геометрии 7 класс Учебник Полонского. Подробное видео Объяснение задач смотрите на ГДЗ.Видео.
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №103
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №104
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №105
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №106
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №107
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №108
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №109
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №110
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №111
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №112
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №113
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №114
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №115
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №116
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №117
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №118
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №119
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №120
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №121
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №122
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №123
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №124
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №125
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №126
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №127
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №128
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №129
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №130
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №131
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №132
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №133
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №134
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №135
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №136
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №137
Геометрия 7 класс Мерзляк Полонский Якир №138
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №139
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №140
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №141
Geometry 7 class Merzlyak Polonsky Yakir №142
Рекомендуемые видеоотчеты
Алгебра 7 класс Макарычев
Геометрия 7-9 класс Атанасяна
Геометрия 7-9 класс Погорелова
Physics 7 класс Pyryshkin
Геометрия класса 7 Atanasyan Workbook
Геометрия 7 класс Merzlyak Polon ' S Workbook
Algebra 7 ClasseAk
Algebra 7 Classelak
Algebra 7 Classek
.