Алгебра 7 класс макарычев миндюк нешков суворова: Номер задания №130 — ГДЗ по Алгебре 7 класс: Макарычев Ю.Н.

Содержание

Возведение в степень, правила, примеры. Подробно о степени и возведении в степень Возведение в степень в 4 степени

Продолжая разговор о степени числа, логично разобраться, как найти значение степени. Этот процесс получил название возведение в степень … В этой статье мы просто изучим, как выполняется возведение в степень, при этом коснувшись всех возможных показателей — натуральных, целых, рациональных и иррациональных. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.

Навигация по страницам.

Что означает «возведение в степень»?

Вы должны начать с объяснения того, что называется возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Определение.

Возведение в степень — это нахождение значения степени числа.

Таким образом, найти значение степени числа a с показателем r и возвести число a в степень r — одно и то же. Например, если задача «вычислить значение степени (0,5) 5», то ее можно переформулировать так: «Возвести число 0,5 в степень 5».

Теперь можно перейти непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень

На практике равенство по основанию обычно применяется в виде. То есть при возведении числа а в дробную степень m/n сначала извлекается корень n-й степени числа а, после чего результат возводится в целую степень m.

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Пример.

Вычислить значение экспоненты.

Раствор.

Мы покажем два способа ее решения.

Первый способ. По определению, дробный показатель. Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .

Второй способ. По определению степени с дробным показателем и исходя из свойств корней верны равенства… Теперь извлекаем корень окончательно, возводим в целую степень.

Очевидно, полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.

Ответ:

Обратите внимание, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего произвести возведение в степень.

Пример.

Рассчитать (44,89) 2.5.

Раствор.

Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости см. статью): … Теперь выполняем дробное возведение в степень:

Ответ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Также следует сказать, что возведение чисел в рациональные степени — довольно трудоемкий процесс (особенно при наличии достаточно больших чисел в числителе и знаменателе дробного показателя степени), который обычно осуществляется с помощью компьютерной техники.

В заключение остановимся на возведении числа ноль в дробную степень. Дробной степени нуля формы мы придали следующий смысл: ибо имеем , а в нуле в степени m/n не определена. Итак, ноль в дробной положительной степени равен нулю, например,… А ноль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, например, выражения и 0 -4,3 не имеют смысла.

Иррациональное возведение в степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. В этом случае для практических целей обычно достаточно получить значение степени с точностью до определенного знака. Сразу отметим, что эта величина вычисляется на практике с помощью электронно-вычислительных машин, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приблизительное значение степени числа a с иррациональным показателем степени, берется некоторая десятичная аппроксимация показателя степени и вычисляется значение показателя степени. Это значение является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем. Чем точнее будет взята изначально десятичная аппроксимация числа, тем точнее получится в результате значение степени.

В качестве примера рассчитаем приблизительное значение степени числа 2 1,174367 …. Возьмем следующую десятичную аппроксимацию иррационального показателя степени:. Теперь возводим 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈ 2,250116.

Таким образом, 2 1,174367… ≈2 1,17 ≈2,250116 … Если мы возьмем более точную десятичную аппроксимацию иррационального показателя, например, мы получим более точное значение исходного показателя степени: 2 1,174367… ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Библиография.

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник математикиЖ для 5 класса. образовательные учреждения.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9й класс. образовательные учреждения.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и другие. Алгебра и начало анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для абитуриентов техникумов).

можно найти с помощью умножения. Например: 5+5+5+5+5+5=5х6. Про такое выражение говорят, что сумма равных слагаемых складывается в произведение. И наоборот, если мы прочитаем это равенство справа налево, то получим, что разложили сумму равных слагаемых. Точно так же можно свернуть произведение нескольких равных множителей 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 5 6 и говорят «пять в шестой степени».

Выражение 5 6 является степенью числа, где:

5 — основание степени ;

6 — показатель степени.

Действия, посредством которых произведение равных множителей возводится в степень, называются возведением в степень.

В общем случае степень с основанием «а» и показателем «n» записывается следующим образом

Возведение числа а в степень n означает нахождение произведения n множителей, каждый из которых равен

Если основание степени «а» равно 1, то значение степени для любого натурального n будет равно 1. Например, 1 5 = 1, 1 256 = 1

Если число «а» увеличить до первой степени , то получаем само число а: а 1 = а

Если любое число возвести в нулевой степени , то в результате вычислений получим единицу. a 0 = 1

Особыми считаются вторая и третья степени числа. Им придумали названия: вторая степень называется на квадрат числа , третий — куб на это число.

Любое число можно возвести в степень — положительную, отрицательную или ноль. В этом случае не используются следующие правила:

Нахождение степени положительного числа дает положительное число.

При расчете нуля в натуральной степени получаем ноль.

x m X n = x m + n

например: 7 1,7 7 — 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 — 0,9= 7 0,8

К разбиваем градусы с теми же основаниями основание не меняем, а вычитаем показатели степени: ,

например: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

При вычислении возведения в степень мы не меняем основание, а умножаем показатели степени друг на друга.

(для м ) п = у м n

например: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(NS · y) n = x n · в м ,

например: (2 3) 3 = 2 n 3 m,

При выполнении вычислений по возведение в степень возводим числитель и знаменатель дроби в эту степень

(х/у) n = x n / y n

например: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3,

Последовательность выполнения вычислений при работе с выражениями, содержащими степень.

При выполнении вычислений выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь выполняется возведение в степень, затем действия умножения и деления и только потом операции сложения и вычитания.

Если необходимо вычислить выражение, содержащее скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а затем остальные действия в том же порядке слева направо.

Очень широко в практических расчетах используются готовые таблицы степеней для упрощения расчетов.

Степенные формулы применяются в процессе приведения и упрощения сложных выражений, при решении уравнений и неравенств.

Число c есть n -я степень числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием, их показатели складываются:

а м Ан = а м + н.

2. При делении степеней с одинаковым основанием вычитаются их показатели:

3. Степень произведения 2-х и более факторов равна произведению степеней этих факторов:

(abc…)n = a n b n c n…

4. Степень дроби равна отношению степеней делимого и делителя:

(a/b)n = a n/ б н.

5. При возведении степени в степень умножаются показатели степени:

(а м) н = а м н.

Каждая из приведенных выше формул верна слева направо и наоборот.

Например, . (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4 .

Корневые операции.

1. Корень произведения нескольких множителей равен произведению корней этих множителей:

2. Корень отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень достаточно число корня возвести в эту степень:

4. Если степень корня в n увеличить один раз и одновременно построить в n -я степень корня числа, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в n извлечь корень один раз и при этом n -я степень подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Степень с отрицательным показателем. Степень числа с неположительным (целым) показателем степени определяется как единица деления на степень того же числа с показателем степени, равным абсолютному значению неположительного показателя степени:

Формула а м : a n = a m — n можно использовать не только для m > n , но и для m n.

Например, . а 4: а 7 = а 4 — 7 = а -3 .

Чтобы формула a m : a n = a m — n стала справедливой при m = n , необходимо наличие нулевой степени.

Нулевой класс. Степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем степени равна единице.

Например, . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Дробная экспонента. Чтобы возвести действительное число а в степень м/п , нужно извлечь корень н -я степень м -я степень этого числа а .

Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и действительные). Показатель степени также может быть целым или действительным, а также как положительным, так и отрицательным. Следует помнить, что нецелое возведение в степень не определено для отрицательных чисел и поэтому калькулятор сообщит об ошибке, если вы все же попытаетесь это сделать.

Калькулятор градусов

Возведение в степень

Показатель степени: 94722

Какова натуральная степень числа?

Число р называется n-й степенью числа а, если р равно числу а, умноженному само на себя n раз: а- базовая степень .

Как возвести число в натуральную степень?

Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1 … Возведите число три в четвертую степень. То есть необходимо вычислить 3 4
Решение : как было сказано выше, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Ответ : 3 4 = 81 .

Пример 2 … Возведите число пять в пятую степень. То есть надо вычислить 5 5
Решение : аналогично 5 5 = 5 5 5 5 5 5 = 3125.
Ответ : 5 5 = 3125 .

Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, нужно просто умножить его само на себя n раз.

Какова отрицательная степень числа?

Отрицательная степень -n числа a равна единице, деленной на a в степени n: a -n =.

В этом случае отрицательная степень существует только для ненулевых чисел, так как в противном случае произошло бы деление на ноль.

Как возвести число в отрицательную целую степень?

Чтобы возвести ненулевое число в отрицательную степень, вам нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на результат.

Пример 1 … Возведите число два в минус четвертую степень. То есть надо вычислить 2 -4

Решение : как было сказано выше, 2 -4 = = = 0,0625.

Ответ : 2 -4 = 0,0625.

Готовые рецепты (Скотт Келби). Цифровая фотография

21
март
2016

ISBN: 978-5-8459-1960-1, 978-0-133-85688-0
Формат: PDF, OCR без ошибок
Скотт Келби
Переводчик: В. Гинзбург
Год выпуска: 2015
Жанр: Основы цифровой фотографии
Издательство: Williams
Серия: Voices That Matter
Русский язык
Количество страниц: 232

Описание:

25
но я
2007

Цифровая фотография. Практическое руководство.

Жанр: Хобби
Автор: Николай Надеждин
Издательство: Санкт-Петербург — «БХВ-Петербург»
Страна Россия
Год выпуска: 2003
Количество страниц: 370
Описание: Книга подробно рассказывает об устройстве, областях использование и особенности цифровой фототехники. Последовательно описаны светочувствительные матрицы, оптические схемы, затворы, управляющие ЖК-дисплеи, встроенные фотовспышки, электронная память цифровых фотоаппаратов и аксессуары к ним. Представлены устройства для хранения информации большой емкости, устройства для оцифровки изображений, а также компьютеры для цифровой…

12
сен
2015

Цифровая фотография.

Том 4 (Скотт Келби)

ISBN: 978-5-8459-1982-3

Скотт Келби
Переводчики: В. Иващенко, В. Гинзбург
Год выпуска: 2015
Жанр: Основы цифровой фотографии
Издательство: Williams
Серия: Voices That Matter
Русский язык
Количество страниц: 240
Описание: Скотт Келби, автор супербестселлера «Цифровая фотография» (самая продаваемая книга о цифровой фотографии всех времен), написал очередной том серии, продолжив с того места, на котором остановился. off in Volume 3. Книга раскрывает секреты профессиональных фотографов, дает пошаговые инструкции и рассказывает о том, как получать шедевральные снимки. …

05
Апрель
2015

Цифровая пейзажная фотография. Секреты мастерства (Карл Хейлман)

ISBN: 978-5-98124-543-5
Формат: PDF, Отсканированные страницы
Автор: Karl Heilman
Год выпуска: 2011
Жанр: Фотография, хобби
Издательство: Good Book
Русский язык
Количество страниц: 176
Описание: Эта книга научит вас находить интересные сцены, природные и рукотворные объекты для съемки, воссоздавать на снимке и передавать зрителю атмосферу места, в котором была сделана фотография; Постройте яркую, убедительную композицию и делайте отличные снимки даже на самую обычную камеру, правильно подобрав ракурс, кадрирование, освещение и момент съемки. Вы научитесь редактировать и улучшать…

03
март
2012 г.

Цифровая фотография. В 3-х томах (Скотт Келби)

ISBN: 978-5-8459-1648-8, 978-5-8459-1465-1, 978-5-8459-1627-3
Формат: PDF, отсканированные страницы
Скотт Келби
Год выпуска: 2011
Жанр: Учебное пособие
Издательство: Williams
Русский язык
Количество книг: 3
Описание: Вот как сам Скотт описывает идею книги
Келби: «Представь, что мы пошли с тобой снимать и ты спрашиваешь:» Скотт, как сфотографировать цветок, чтобы на фото он получился четким, а фон размытым? «В ответ я не буду читать вам длинную лекцию по теории фотографии, а просто дам подсказку: «Используйте зум-объектив, выберите значение диафрагмы f/2,8, фокусируйтесь на цвете…

28
фев
2010

Рецепты для девичника. Спецвыпуск газеты «Лучшие рецепты наших читателей» №4/2010

Формат: PDF, отсканированные страницы
Год выпуска: 2010
Автор: Коллектив авторов
Издательство: ЗАО Издательство «Газетный Мир»
Жанр: Кулинария
Язык интерфейса: Русский
Количество страниц: 18 (двойной)
Описание: В номере собраны рецепты блюд, которые можно приготовить к любому праздничному ужину, а особенно они подойдут для компании дам, которые хотели бы провести время за беседой и за идеально накрытым столом, полным вкусной и здоровой пищи.
Доп. информация: Для просмотра лога рекомендуется использовать программу Adobe Acrobat Reader, которая умеет открывать файлы *.pdf…

27
июнь
2015

Excel — готовые решения (Николай Павлов)

ISBN: 978-5-519-01837-1

Автор: Николай Павлов
Год выпуска: 2014
Жанр: Компьютерная литература
Издательство: Book on Demand
Русский язык
Количество страниц: 382
Описание: Эта книга полное собрание готовых решений наиболее распространенных проблем и задач, с которыми пользователи Microsoft Excel сталкиваются в своей повседневной работе. Материал книги охватывает все основные области и темы: работа с текстом и датами, форматирование, расчеты с использованием формул и функций, обработка больших массивов данных и создание для них аналога…

17
июль
2007

Windows Server 2003. Секреты хакеров, готовые решения…

Жанр: Учебное пособие
Джоэл Скембрей, Стюарт Макклар
Издательство: Williams
Страна: США
Год выпуска: 2004
Количество страниц: 514
Описание: Windows Server 2003. Секреты хакеров, готовые решения…
Качество: Отсканированные страницы
Формат: DjVu

08
январь
2008

Год выпуска: 2007
Жанр: Разработчик: Triada
Издательство: Triada
Системные требования: Компьютер, Алкоголь 120%
Описание: Диск также содержит ссылки на сайты, программы (с лицензией) и собственно решение.
Доп. Информация: СПИСОК УЧЕБНИКОВ
Алгебра: Алгебра 7 класс, Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е., 2000 Алгебра 7 класс, Макарычев Ю.А., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б., 19 лет97 Алгебра 8 класс, Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. 2000 Алгебра 8 класс, Макарычев Ю.А., 1997 Алгебра 9 класс, Алимов Ш.А., 2000 Алгебра 9 класс, Макарычев Ю.А., 1999…

11
июнь
2007

Дэн Браун — Цифровая крепость CD2

Тип: аудиокнига
Жанр: Детектив
Дэн Браун
Издательство: ООО «Аудиокнига»
Год выпуска: 2006
Читает: А. Андриенко
Аудио: MP3
Описание: Автор супербестселлера десятилетия приглашает Вам предстоит взломать еще один код — чрезвычайно сложный, таящий в себе опасность и угрозу для всего мира! Но… кто придумал этот код?! Чего он добивается?! Зачем он вступил в беспощадную игру с Агентством национальной безопасности США?! Оружие таинственного врага — это всего лишь набор символов и букв. Сьюзен Флетчер, лучший криптограф Америки, берется за расшифровку. И то, что он обнаруживает, угрожает не только критическим…

11
фев
2008

Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение

ISBN: 978-0-7153-3012-8, 978-5-404-00137-2
Формат: PDF, Отсканированные страницы
Автор: Тони Воробек
Переводчик: А. Жовинский
Год выпуска: 2010
Жанр: Фотография , цифровая обработка изображений, хобби
Издательство: Арт-Родник
Русский язык
Количество страниц: 144
Описание: Полное и вдохновляющее руководство по цифровой зеркальной фотосъемке ночью и в условиях низкой освещенности. Тони Воробик предоставляет всю необходимую информацию для получения качественных снимков в условиях низкой освещенности, включая профессиональные советы по выбору оборудования и настроек камеры, а также …

05
март
2017

Эмоциональная фотография (Кларк Т. (ред.))

Жанр: Графика
Ли Фрост
Издательство: АртРодник
Год выпуска: 2000
Количество страниц: 161
Описание: Незаменимый справочник по всем аспектам современной фотографии. Полное объяснение более 70 технических приемов. Более 200 интересных фотографий — как цветных, так и черно-белых.
Формат: PDF

30
янв
2009

Портретная фотография

ISBN: 5-699-10059-8
Формат: PDF, Отсканированные страницы
Год выпуска: 2005
Автор: Clayhorn M.
Жанр: Энциклопедия
Издательство: Эксмо
Количество страниц: 144
Описание: Портретная фотография не только престижная съемка VIP-персон на обложках модных журналов, это непростая работа профессионала, требующая большого внимания к заказчику и уверенного владения оборудованием и вспомогательными средствами. В съемке важно все — поза, жест, направление взгляда, выбранный ракурс, правильное освещение. Управление светом является приоритетом при работе над портретом. Правильно поставленный, он подчеркивает …

14
Август
2018

Реальное фото (Мальцев Олег, Самсонов Алексей)

ISBN: 78-617-7696-32-1
Формат: PDF, eBook (изначально компьютерный)
Автор: Мальцев Олег, Самсонов Алексей
Год выпуска: 2018
Жанр: Кинофотография
Издательство: Днепр «Середняк Т.К.»
Русский язык
Количество страниц: 107
Описание: Эта книга представляет собой определенную логику фотографии. С одной стороны, это про фотографию, а с другой — про память и глубинную психологию. В этой книге мы предоставим вам модель, в которой человеческий разум приравнивается к пленочной камере. Эта книга может стать прочным фундаментом для тех, кто…

ISBN: 978-5-8459-1648-8, 978-5-8459-1465-1, 978-5-8459-1627-3
Формат: PDF, отсканированные страницы
Скотт Келби
3 Год Выпуск: 2011
Жанр: Учебник
Издательство: Williams
Язык: Русский
Количество книг: 3