Сочетательное свойство умножения 5 класс: Сочетательное свойство умножения – примеры, правила (5 класс, математика)

Сочетательное свойство умножения – примеры, правила (5 класс, математика)

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 165.

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 165.

Сочетательный и переместительный законы умножения о многом похожи на свойства сложения. Возможно поэтому, ученики 5 классов часто путают свойства, из-за чего допускают в теоретических вопросах. Чтобы избежать таких проблем в дальнейшем и окончательно разобраться в вопросе рассмотрим данную тему подробнее.

Умножение

На самом деле, схожесть свойств сложения и умножения появилась не на пустом месте. Умножение это сокращенный вариант сложения, где первый множитель указывает на число, которое складывалось само с собой. Второй множитель показывает количество слагаемых. На практике это выглядит так:

3*4=3+3+3+3 – число 3 складывалось с самим собой 4 раза.

Свойства умножения

Вспомнит свойства сложения. Их всего два:

• От перемены мест слагаемых сумма не меняется – переместительное свойство.
• Если складывается несколько чисел, то можно сложить два числа, результат сложить с третьим и так далее – сочетательное свойство.

В математике два основных раздела: алгебра и геометрия. В алгебре понятия свойства и закона довольно схожи, особенно на школьном уровне математики. Поэтому свойства сложения иногда зовутся законами. Та же ситуация присутствует и в умножении. Но принято говорить свойства сложения и законы умножения, хотя назвать законы умножения свойствами можно. Это не будет являться ошибкой.

По аналогии с свойствами сложения выделяют два свойства умножения:

• Переместительный закон: от перемены мест множителей произведение не меняется. Действительно, если подумать, то нет никакой разницы, сложить 3 раза число 4 или сложить 4 раза число 3. Результат от этого не поменяется.
• Сочетательный закон: если в произведении больше 2 множителей, то можно перемножить 2 числа, а результат использовать дальше в качестве множителя. Например: 3*4*5=12*5=60

К этим двум законам добавляется третий: распределительный. Распределительный закон умножения относительно сложения гласит, что если число умножается на сумму, то можно умножить это число на каждое из слагаемых, а результаты сложить. Распределительный закон в математике часто используют для раскрытия скобок.

Сочетательный закон умножения

Сочетательное свойство умножения необходимо для больших вычислений.

Сочетательный закон сложения можно использовать вместе с переместительным для ускорения расчетов. С умножением все не так просто, зачастую лучше умножать числа в том виде, в каком они записаны. Исключение из этого правила только одно: если ученик уверен, что какое-то произведение точно даст число 10 или любое из его степеней, то есть числа 100, 1000 и так далее, то нужно в первую очередь перемножить эти числа.

Приведем небольшой пример сочетательного свойства умножения.

15*3*4*5+1*2*3*4*5*6 – в первом слагаемом есть возможность немного упростить расчет, во втором такой возможности нет. Вычислим каждое из слагаемых по очереди, а потом сложим результаты.

15*3*4*5=(15*3)*(4*5)=45*20=900 – за счет правильной группировки множителей получилось немного облегчить расчет. Никаких правил здесь нет, все решает только опыт. Именно для приобретения навыков правильной группировки чисел и нужно выполнять огромное количество примеров.

1*2*3*4*5*6=2*3*4*5*6=6*4*5*6=24*5*6=120*6=720

Выполним сложение и получим результат: 900+720=1620

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое умножение. Провели аналогии со сложением и выделили три свойства умножения. Отдельно поговорили о сочетательном законе умножения, а также привели пример его использования.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Игорь Сайфутдинов

  8/10

• Вика Бохонова

  10/10

Оценка статьи

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 165.

---

А какая ваша оценка?

§ Свойства умножения и деления

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Скрыть меню

---

На главную страницу

---

Войти при помощи

---

Темы уроков

---

Начальная школа

---

• Геометрия: начальная школа
• Действия в столбик
• Деление с остатком
• Законы арифметики
• Периметр
• Порядок действий
• Разряды и классы. Разрядные слагаемые
• Счет в пределах 10 и 20

---

Математика 5 класс

---

• Взаимно обратные числа и дроби
• Десятичные дроби
• Натуральные числа
• Нахождение НОД и НОК
• Обыкновенные дроби
• Округление чисел
• Перевод обыкновенной дроби в десятичную
• Площадь
• Проценты
• Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
• Среднее арифметическое
• Упрощение выражений
• Уравнения 5 класс
• Числовые и буквенные выражения

---

Математика 6 класс

---

• Масштаб
• Модуль числа
• Окружность. Площадь круга
• Отношение чисел
• Отрицательные и положительные числа
• Периодическая дробь
• Признаки делимости
• Пропорции
• Рациональные числа
• Система координат
• Целые числа

---

Алгебра 7 класс

---

• Алгебраические дроби
• Как применять формулы сокращённого умножения
• Многочлены
• Одночлены
• Системы уравнений
• Степени
• Уравнения
• Формулы сокращённого умножения
• Функция в математике

---

Геометрия 7 класс

---

• Точка, прямая и отрезок
• Что такое аксиома и теорема

---

Алгебра 8 класс

---

• Квадратичная функция. Парабола
• Квадратные неравенства
• Квадратные уравнения
• Квадратный корень
• Неравенства
• Системы неравенств
• Стандартный вид числа
• Теорема Виета

---

Алгебра 9 класс

---

• Возрастание и убывание функции
• Нули функции
• Область определения функции
• Отрицательная степень
• Среднее
  геометрическое
• Чётные и нечётные функции

---

Алгебра 10 класс

---

• Иррациональные числа

---

Алгебра 11 класс

---

• Факториал

---

Что есть лучшего? — Сравнив прошедшее, свести его с настоящим. Козьма Прутков

на главную

Введите тему

Поддержать сайт

Свойства сложения и вычитания Свойства умножения и деления

Свойства умножения

Переместительное свойство умножения

Запомните!

От перестановки множителей произведение не меняется.

a · b = b · a

Сочетательное свойство умножения

Запомните!

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

a · (b · c) = (a · b) · c

Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют сформулировать правило преобразования произведений.

Запомните!

При умножении нескольких чисел, их можно как угодно переставлять и объединять в группы.

Свойство нуля при умножении

Запомните!

Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.

a · 0 = 0

0 · a · b · c = 0

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Запомните!

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

(a + b) · c = a · c + b · c

Это свойство справедливо для любого количества слагаемых.

(a + b + с + d) · k = a · k + b · k + c · k + d · k

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Запомните!

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

В буквенном виде свойство записывается так:

(a − b) · c = a · c − b · c

Запомните!

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Свойства деления

• Ни одно число нельзя делить на ноль.
• При делении нуля на число получается ноль.

  0 : a = 0

• При делении любого числа на 1 получается это же число.

  b : 1 = b

Запомните!

Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.

a : b = (a · k) : (b · k)

, где «k» — любое натуральное число.

Обратите внимание, что именно свойство деления выше позволяет нам сокращать дроби.

Использование всех рассмотренных выше свойств позволяет нам выполнять упрощение выражений.

Свойства сложения и вычитания Свойства умножения и деления

Ассоциативное свойство умножения? Определение, примеры

Умножение — одно из самых основных элементарных арифметических действий, которым учащиеся учат в процессе взросления. В элементарной математике умножение — это более сложный способ многократного сложения числа. Сама основа умножения лежит в концепции многократного сложения, и, следовательно, операция умножения обладает теми же свойствами, что и оператор сложения. Одним из таких свойств является ассоциативное свойство умножения.

Что такое ассоциативное свойство умножения?

«Ассоциировать» означает соединиться или присоединиться к чему-либо. Ассоциативное свойство умножения говорит о том, что при умножении трех чисел, независимо от способа группировки чисел, конечный результат всегда будет одним и тем же.
Попробуем понять ассоциативность умножения на примере:

Попробуем умножить числа 2, 3 и 5.

Теперь мы можем умножать эти числа по-разному.

Мы могли бы сначала умножить 2 и 3, а затем умножить их произведение на 5.

Или мы могли бы сначала умножить 3 и 5, а затем умножить произведение этих двух чисел на 

2.

Как мы видим, произведение в обоих случаях одинаково. Это свойство, при котором порядок умножения трех чисел не влияет на результат, называется ассоциативным свойством умножения.

Поскольку сложение лежит в основе умножения, за ассоциативным свойством следуют только сложение и умножение. Закон ассоциативности не распространяется на операции вычитания и деления.

Связанные игры

Решенные примеры

Пример 1. Решите выражение $6 \times 7 \times 8$ двумя разными способами.

Решение:

Группировка первых двух членов выражения

Группировка двух вторых членов в выражении0003

$= 336$

Пример 2: Проявляет ли данное уравнение ассоциативность умножения?

              $2 х 3 х 4 = 3 х 2 х 4$ Данное уравнение представляет собой умножение 3, 2 и 4. Порядок чисел в обратном порядке дает тот же ответ, то есть 24. Таким образом, оно демонстрирует ассоциативное свойство.

Пример 3. Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы найти a и b в уравнении,

$(3 x a) x 9 = 3 x (4 x b)$
Решение: If уравнение следует ассоциативному свойству умножения, хотя и сгруппировано по-разному, три члена по обе стороны уравнения должны быть одинаковыми. 3 присутствует с обеих сторон. Отсюда следует, что $a = 4$ и $9 = 6$.

Связанные рабочие листы

Практические задачи

1

Что из следующего не демонстрирует ассоциативного свойства умножения?

$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

$(p \times q) \times r = a \times (b \times c)$

$( c \times e) \times d = c \times (e \times d)$

$(m \times n) \times o = m \times (n \times o)$

Правильный ответ: $( p \times q) \times r = a \times (b \times c)$
Члены слева не совпадают с членами справа от уравнения. Ассоциативное свойство допустимо только для группировки терминов.

2

Учитывая, что $(10 \times m) \times 2 = 10 \times (5 \times 2)$, при каком значении m уравнение будет верным?

20

10

5

100

Правильный ответ: 5
Чтобы уравнение было верным, оно должно следовать ассоциативному свойству умножения. Три члена слева — это 10, m и 2, а справа — 10, 5 и 2. Отсюда ясно, что $m = 5$.

3

Если следующее уравнение следует ассоциативному свойству умножения, найдите p и q. $(8 \times p) \times 6 = 8 \times (11 \times q)

$p = 11, q = 6$

$p = 6, q = 11$

$p = 8, q = 11$

$p = 11, q = 8$

Правильный ответ: $p = 11, q = 6$
Если уравнение следует ассоциативному свойству умножения, хотя и сгруппировано по-разному, три члена с обеих сторон уравнения должны быть одинаковыми. 8 присутствует с обеих сторон. Отсюда естественным образом следует, что $p = 11$ и $q = 6$, чтобы гарантировать наличие 8, 11 и 6 с обеих сторон.

4

Что из нижеперечисленного не обладает свойством ассоциативности?

Сложение

Умножение

Вычитание

Ничего из вышеперечисленного

Правильный ответ: Вычитание
Ассоциативное свойство применимо к сложению и умножению, но не к вычитанию и делению. Группировка трех или более терминов, умноженных или добавленных, не влияет на результат.

Часто задаваемые вопросы

В чем преимущество использования ассоциативного свойства умножения?

Ассоциативное свойство умножения помогает быстрее умножать числа. Вместо того, чтобы умножать список чисел в том порядке, в котором они написаны, сгруппируйте их иначе, чтобы умножать в удобном для вас порядке. В выражении $5 \times 5 \times (8)$ было бы разумно умножить 5 и 8, чтобы получить 40, а затем умножить 5, чтобы получить 200.

$(5 \times 5) \times (8)$

$= (5 \times 8) \times (5)$

$= 40 \times 5$

$= 200$

Отдельно из ассоциативного свойства, за какими другими свойствами следует умножение?

Арифметическая операция умножения следует двум другим свойствам, в том числе коммутативности и дистрибутивности.

В чем разница между коммутативным и ассоциативным свойством умножения?

Коммутативное свойство связано с порядком чисел, тогда как ассоциативное свойство связано с группировкой чисел. В обоих случаях на результат не влияет.

Коммутативный: $4 \times 5 = 5 \times 4$

Ассоциативный: $2 \times (4 \times 5) = 5 \times (4 \times 2)$

Свойство коммутативности можно применить к двум терминам. Поскольку для группировки требуется более двух чисел, для применения свойства ассоциативности должны присутствовать три или более члена.

Ассоциативное свойство умножения — формула, примеры, часто задаваемые вопросы

Ассоциативное свойство умножения утверждает, что способ группировки чисел в задаче на умножение не влияет на произведение этих чисел и не изменяет его. Другими словами, произведение трех и более чисел остается неизменным независимо от того, как они сгруппированы. Давайте узнаем больше об ассоциативном свойстве умножения в этой статье.

1.	Что такое ассоциативное свойство умножения?
2.	Ассоциативное свойство формулы умножения
3.	Ассоциативное свойство умножения и сложения
4.	Часто задаваемые вопросы об ассоциативном свойстве умножения

Что такое ассоциативное свойство умножения?

В соответствии с ассоциативным свойством умножения , если умножить три или более чисел, мы получим один и тот же результат независимо от того, как эти три числа сгруппированы. Здесь под группировкой понимается способ расстановки скобок в данном выражении умножения. Обратите внимание на следующий пример, чтобы понять концепцию ассоциативного свойства умножения. Выражение в левой части показывает, что 6 и 5 сгруппированы вместе, тогда как выражение в правой части группирует 5 и 7 вместе. Однако, когда мы, наконец, умножаем все числа, получается одно и то же.

Ассоциативное свойство формулы умножения

Формула ассоциативности умножения: (a × b) × c = a × (b × c). Эта формула говорит нам, что независимо от того, как расставлены скобки в выражении умножения, произведение чисел остается одним и тем же. Группировка чисел с помощью скобок помогает создавать более мелкие компоненты, что упрощает вычисление умножения. Обратите внимание на следующую формулу ассоциативного свойства умножения.

Давайте поймем формулу, используя числа. Например, умножим 2 × 3 × 4 и посмотрим, как доказывается формула ассоциативности умножения с помощью следующих шагов:

• Шаг 1: Сгруппируем 2 и 3 вместе, составив (2 × 3) × 4. Если мы найдем произведение этого выражения, мы получим 6 × 4, что равно 24.
• Шаг 2: Теперь давайте сгруппируем 3 и 4 вместе, чтобы получилось 2 × (3 × 4). Если умножить это выражение, получится 2 × 12, что снова дает произведение 24,9.0234
• Шаг 3: Это означает, что независимо от того, как мы группируем числа в выражении умножения, произведение остается одним и тем же.

Ассоциативное свойство умножения и сложения

Ассоциативное свойство утверждает, что умножение и сложение чисел могут выполняться независимо от того, как они сгруппированы. Например, чтобы добавить 7, 6 и 3, если мы сгруппируем их как 7 + (6 + 3), сумма, которую мы получим, равна 16. Теперь давайте сгруппируем это как (7 + 6) + 3, и мы увидим что сумма снова равна 16. Это ассоциативное свойство сложения, которое применимо и к умножению. Например, давайте умножим 7, 6 и 3 и сгруппируем числа как 7 × (6 × 3). Произведение этих чисел равно 126. Теперь, если мы сгруппируем числа как (7 × 6) × 3, мы получим то же самое произведение, то есть 126. Обратите внимание на следующий рисунок, который показывает ассоциативное свойство умножения и сложения.

Советы по ассоциативному свойству умножения:

Вот несколько важных моментов, связанных с ассоциативным свойством умножения:

• Ассоциативное свойство всегда применяется к 3 или более числам.
• Ассоциативное свойство существует при сложении и умножении и не может быть применено к вычитанию и делению.

☛ Похожие статьи

• Коммутативное свойство умножения
• Свойство мультипликативной идентичности
• Распределительное свойство умножения
• Нулевое свойство умножения
• Ассоциативное свойство дополнения
• Распределительная собственность
• Свойство аддитивной идентификации

 

Примеры ассоциативного свойства умножения

1. Пример 1: Какое из двух выражений эквивалентно 8 × 3 × 4?

   а. ) (8 × 3) × 4

   B.) 24 × 4

   с.) 11 × 4

   Решение:

   Продукт данной 8 × 3 × 4 = 96. Теперь давайте проверим произведение следующих выражений.

   a.) Произведение (8 × 3) × 4 равно 96.

   b.) Произведение 24 × 4 равно 96.

   c.) Произведение 11 × 4 равно 44.

   Следовательно, первые два выражения эквивалентны 8 × 3 × 4. Для первого выражения мы использовали ассоциативное свойство умножения, чтобы сгруппировать вместе 8 и 3, а второй вариант является упрощенной формой первого варианта. Итак, оба верны.

2. Пример 2: Выберите правильное число, чтобы заполнить пробел в выражении: 5 × (4 × 3) = (5 ×___) × 3
   а.) 3
   б.) 4
   c.) 5

   Решение:

   Ассоциативное свойство умножения утверждает, что a × (b × c) = (a × b) × c. Итак, подставив данное уравнение в эту формулу, мы получим в качестве ответа 4. Правильный вариант (b) 4 означает, что произведение обеих сторон будет равно 60, если мы поместим 4 в пропуск.

3. Пример 3: Вставьте пропущенное число в поле.
   10 × (8 × 7) = (10 × 8) × ___
   Решение:

   Согласно ассоциативному свойству умножения: a × (b × c) = (a × b) × c. Подставляя значения в формулу: 10 × (8 × 7) = (10 × 8) × 7

   Следовательно, пропущенное число будет 7, так как произведение обоих выражений равно 560.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по ассоциативному свойству умножения

 

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об ассоциативном свойстве умножения

Что такое ассоциативное свойство умножения в математике?

Ассоциативное свойство умножения гласит, что произведение трех или более чисел остается одним и тем же независимо от того, как числа сгруппированы. Например, 3 × (5 × 6) = (3 × 5) × 6. Здесь, как бы ни группировались числа, произведение обоих выражений остается равным 90.

Что такое ассоциативное свойство формулы умножения?

Формула ассоциативного свойства умножения записывается как a × (b × c) = (a × b) × c. Это означает, что группировка любых трех и более чисел не влияет на их произведение.

Что такое ассоциативное свойство умножения и сложения?

Свойство ассоциативности применяется к сложению и умножению, что означает, что сложение и умножение чисел могут выполняться независимо от того, как они сгруппированы. Ассоциативное свойство сложения записывается как: a + (b + c) = (a + b) + c, что означает, что сумма любых трех или более чисел не изменится, даже если изменить группировку чисел. Точно так же ассоциативное свойство умножения записывается как: a × (b × c) = (a × b) × c, что означает, что произведение любых трех или более чисел остается неизменным даже после того, как они были сгруппированы в разные группы. способ.

Приведите пример ассоциативного свойства умножения.

Ассоциативность умножения можно понять на примере любых трех чисел. Если мы умножим (4 × 2) × 10, мы получим произведение как 8 × 10 = 80. Теперь, если мы сгруппируем эти числа как 4 × (2 × 10), мы все равно получим произведение как 4 × 20 = 80. Это доказывает ассоциативность умножения.

Что такое ассоциативное свойство умножения целых чисел?

Ассоциативное свойство умножения целых чисел говорит о том, что произведение трех и более целых чисел не меняется, даже если числа сгруппированы по-разному. Например, 11 × (5 × 2) = (11 × 5) × 2. Здесь произведение обоих выражений равно 110,9.0003

В чем разница между коммутативным и ассоциативным свойством умножения?

Коммутативное свойство умножения гласит, что изменение порядка чисел не меняет произведения заданных чисел. Например, 6 × 8 = 8 × 6 = 48. Ассоциативное свойство умножения гласит, что изменение группировки чисел не меняет произведение данных чисел.