Прямоугольник. Ось симметрии фигуры
Давайте представим себе такую историю.
– Саша, чем ты занимаешься? – поинтересовался у друга Паша.
– Папа научил меня делать самолётик оригами! – восхищался Саша. – Посмотри, как круто летает такой самолётик!
– Да… его полёт завораживает! – наблюдал за самолётиком Паша. – Только вот я бы уточнил, что искусство создания бумажных самолётиков называется аэрогами или бумажная авиация. Это одна из техник оригами, при которой необходимо не только сложить красивую фигурку, похожую на оригинал, но и предусмотреть её лётные характеристики. Самолёты из бумаги были известны более 2000 лет назад. Однако тогда это были не самолётики, а птички.
Датой создания бумажного самолётика считается 1909 год, но более популярной датой является 1930 год. Тогда основатель известной компании по аэродинамике Lockheed
– А зачем этому человеку нужны были бумажные самолётики? – поинтересовался Паша.
– Изобретатель хотел протестировать на бумажных самолётах свои новые идеи, – продолжил Паша. – Использование бумажной подделки в воздухе помогало правильно подбирать форму для будущих летательных аппаратов.
– Как же это интересно! – с восторгом сказал Саша.
– И это ещё не всё! – продолжил Паша. – В наши дни бумажная авиация, или аэрогами, получила мировую известность. Каждый человек знает, как сложить элементарный самолётик и запустить его. Но на сегодняшний день это уже не просто забава, а серьёзное увлечение, по которому проводят соревнования по всему миру.
– Вот бы мне побывать на таких соревнованиях, – сказал Саша.
– Обязательно побываешь! – подбодрил друга Паша. – Главное верить в свою мечту! Ну и, конечно же, тебе ещё будет полезным познакомиться с условиями создания и схемами бумажных самолётиков. Одними из главных условий создания самолётика являются использование бумаги прямоугольной или квадратной формы и чёткое соблюдение симметрии.
– Ого! – задумался Саша. – Вот про прямоугольные и квадратные формы я всё знаю, а про симметрию совсем ничего, – расстроился он.
– А давай спросим у Электроши, – предложил Паша. – Он точно всё знает!
– Ребята, прежде чем я вам расскажу о прямоугольниках и симметрии, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.
– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!
– А теперь поговорим о прямоугольниках, – предложил Электроша. – И сразу начнём с вопроса: как вы понимаете, что такое прямоугольник?
– Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые, – ответил Паша.
– Молодец! – похвалил Пашу Электроша. – Посмотрите: на листе изображён прямоугольник ABCD. Вы уже знакомы с элементами многоугольников. Назовите элементы нашего прямоугольника.
– Прямоугольник ABCD имеет 4 вершины: А, B, C и D, 4 одноимённых угла и 4 стороны: AB, BC, CD и DA – ответил Саша.
– Всё верно! – подтвердил Электроша. – Посмотрите: стороны AB и BC имеют общую вершину B. Такие стороны называют соседними сторонами прямоугольника ABCD. Также соседними сторонами будут стороны BC и CD с общей вершиной C, CD и DA с общей вершиной D, DA и AB с общей вершиной А.
Соседние стороны прямоугольника являются его измерениями, и их называют длиной и шириной.
– А что вы можете сказать о сторонах, например, AB и CD нашего прямоугольника ABCD? – спросил у ребят Электроша.
– Стороны AB и CD не имеют общих вершин, – ответили мальчишки.
– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Такие стороны называют противолежащими сторонами прямоугольника ABCD. Также противолежащими будут стороны BC и AD. Запомните! Противолежащие стороны прямоугольника равны.
– А теперь посмотрите: на листке изображён прямоугольник ABCD, его противолежащие стороны равны. Если длину прямоугольника обозначить буквой а, а ширину – буквой b, то его периметр можно вычислить по формуле: P = 2a + 2b.
– Среди прямоугольников есть особые, – продолжил Электроша, – у которых все стороны имеют одну и ту же длину. Вы, конечно, помните, что такие прямоугольники называют квадратами. Если длину стороны квадрата обозначить буквой а, то его периметр можно вычислить по формуле: P = 4a.
– А теперь давайте проведём небольшой эксперимент. Возьмите лист бумаги прямоугольной формы и сложите его пополам так, чтобы противолежащие стороны совпали. Затем разверните этот лист. Что вы можете сказать о двух частях, получившихся в результате сгиба листа? – спросил у ребят Электроша.
– Видно, что две части нашего прямоугольного листа, лежащие по разные стороны от линии сгиба, совпадают.
– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Прямую, которую мы получили в результате сгибания листа, называют осью симметрии.
Запомните! Ось симметрии – это прямая (или воображаемая линия), которая делит геометрическую фигуру на две зеркально одинаковые фигуры. Фигуру, которая имеет ось симметрии, называют симметричной относительно прямой.
– Скажите, сколько осей симметрии имеет прямоугольник? – спросил Электроша.
– Так как у прямоугольника 2 пары противолежащих сторон, то через их середины можно провести 2 оси симметрии, – сказал Паша.
– Правильно! А, может, вы ещё сможете привести примеры симметричных фигур в геометрии?
– Например, квадрат, – начал Саша. – У квадрата тоже 2 пары противолежащих сторон, значит, через их середины можно провести 2 оси симметрии.
– Саша, ты чуть-чуть не досчитался! – сказал Электроша. – Вы уже знакомы с таким понятием, как диагональ. Напомню, что диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Если лист квадратной формы сложить пополам по диагоналям, то заметим, что и эти пары частей совпадут относительно линий сгиба.
– Значит, у квадрата 4 оси симметрии? – уточнил Саша.
– Верно! – ответил Электроша – Квадрат имеет 4 оси симметрии: 2 оси симметрии проходят через середины противолежащих сторон и 2 – через диагонали квадрата.
Также осями симметрии обладают и некоторые треугольники. Так, например, в равнобедренном треугольнике можно провести 1 ось симметрии, а в равностороннем – 3.
– С симметрией вы очень часто встречаетесь и в жизни. Люди с давних времён используют симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, архитектуре, искусстве.
Даже многие буквы нашего алфавита обладают симметрией.
Однако больше всего восхищает симметрия в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, окраске и расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел.
В порхающей бабочке и сказочной зимней снежинке.
Объекты, которые обладают осью симметрии, всегда легко воспринимаются и приятны для глаза. Недаром в Древней Греции слово «симметрия» служило синонимом слов «гармония», «красота». Симметрия означает соразмерность, наличие определённого порядка в расположении частей.
– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.
Задание первое: боксёрский ринг – это площадка квадратной формы со стороной 7 м. Ринг огорожен тройным канатом. Сколько метров каната нужно для одного ринга?
Решение: чтобы узнать, сколько понадобится метров каната для ринга, нужно знать периметр ринга. Мы знаем, что ринг имеет форму квадрата со стороной 7 м. Применяя формулу для вычисления периметра квадрата, получаем, что наш ринг имеет периметр 28 м. Так как ринг огорожен тройным канатом, то для одного ринга понадобится 84 метра каната.
Следующее задание: сколько осей симметрии имеет шестиугольник с равными сторонами?
Решение: так как, по условию, шестиугольник имеет равные стороны, а их 6, значит, можно провести 3 оси симметрии через середины противолежащих сторон. Также можно провести ещё 3 оси симметрии через диагонали шестиугольника. Тогда всего получим 6 осей симметрии.
Фигуру, которая имеет ось симметрии, называют симметричной относительно прямой.
У прямоугольника 2 оси симметрии, у квадрата – 4, у равнобедренного треугольника – 1, а у равностороннего – 3.
«Прямоугольник. Ось симметрии фигуры»
Открытый урок по теме:
« Прямоугольник. Ось симметрии фигуры»
Учитель математики Габдракипова Г.Х.
Цель урока: создание условий для развития умений распознавать, строить прямоугольник и квадрат, находить периметр; распознавать фигуры, тела имеющие ось симметрии.
Задачи урока: создать условия для развития умений распознавать, строить прямоугольник и квадрат, находить их периметр; находить на рисунках фигуры имеющие ось симметрии, находить в окружающем мире объекты, имеющие ось симметрии.
Планируемые результаты:
Предметные: закрепить навыки распознавания, построения прямоугольника и квадрата, навыки вычислять периметр данных фигур, находить объекты имеющие ось симметрии в окружающем мире.
Личностные: формировать умение контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности, быть толерантным к чужим ошибкам и другому мнению.
Метапредметные (развиваем познавательные, регулятивные и коммуникативные УУД):
— ориентироваться на разнообразие способов решения задач;
— учитывать правило в планировании и контроле способа решения;
— учитывать разные мнения и стремления к координации различных позиций в сотрудничестве.
СОДЕРЖАНИЕ УРОКА
Организационный момент
Здравствуйте ребята. Сегодня я шла на работу и наблюдала за природой. Первый снег, легкий морозец. Я думаю, что вы тоже любовались красивой природой и у вас хорошее настроение. Давайте улыбнемся друг другу. И от этих улыбок мы будем добрее, счастливее, веселее. И с удовольствием будем работать на уроке.
2. Устный счет Начнем урок с устного счета.
3. Постановка темы урока.
Сегодня на уроке я вам хочу рассказать увлекательную историю. Внимательно слушайте, потому что в этой истории услышите подсказку для следующего задания.
Жила на свете фигура. Ей безумно нравилось, как она замечательно выглядит. Кого ни встретит на своем пути, всем хвалится: «Посмотрите, какой у меня вид: стороны противолежащие равны, углы прямые. Если перегнусь по вертикальной прямой соединяющей середины сторон, то противолежащие стороны мои сольются, и углы один на другой точь-в-точь наложатся. Если перегнусь я по горизонтальной прямой соединяющей середины сторон, опять углы мои и противолежащие стороны сравняются. Красивее нет меня фигуры на свете».
-Как же зовут тебя? – спрашивали прохожие.
— А зовут меня просто ………(прямоугольник)
Ходил прямоугольник по свету и стало ему грустно и одиноко: ни побеседовать задушевно не с кем, ни потрудиться в дружной и хорошей компанией не приходится. А уж, какое веселье одному! Весело бывает только с друзьями или родственниками. И решил прямоугольник искать родственников. Если встречу родственника, то я его сразу узнаю, — думал прямоугольник, ведь он на меня должен быть чем-то похож.
И вот однажды встречает он интересную фигуру, приглядывается к ней и замечает что-то знакомое и родное в этой фигуре.
— Как зовут тебя, приятель? Мы не родственники с тобой?– спрашивает прямоугольник.
— Я бы тоже был рад узнать об этом. Правда, по размерам я от тебя отличаюсь, у меня все стороны равны, а у тебя нет – говорит фигура
— А зовут меня …….. (квадрат)
— Давай так, если у нас найдутся четыре сходных признака, то мы с тобой из одного рода и у нас имеется общее название.
Стали они искать, и нашли четыре признака сходства.
— Какие это признаки?
(На столах у учащихся карточки, заполняют, работая в парах, затем озвучивают результат)
КвадратЛиния сравнения
Прямоугольник
Количество вершин
Количество сторон, углов
Величина углов
Длина противоположных сторон
Количество диагонали
Обрадовались прямоугольник и квадрат, что нашли друг друга. Стали они теперь вдвоем жить – поживать, вместе трудится, вместе веселиться, вместе по белу свету шагать.
А теперь давайте вспомним фигуры, которые мы с вами изучали с начала этого года.
А теперь отгадаем ребус (презентация).
Ребята, а вы когда то слышали про симметрию? Как думаете, что она означает?
Посмотрите вокруг, что вы видите на рисунках, и как думаете, чем они похожи?
В древности слово «симметрия» употреблялось как «красота», «гармония». Термин «гармония» в переводе с греческого означает «соразмерность, одинаковость в расположении частей». Известный немецкий математик нашего столетия Герман Вейль дал определение симметрии таким образом: «Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».
И так ребята продолжим работу над какой темой ? Откроем тетради и запишем число и классная работа. Тема «Прямоугольник. Ось симметрии»
Давайте вспомним про прямоугольник и квадрат. Что мы про них знаем? Что мы можем найти? Как?
Как вы думаете, как еще можно назвать две стороны, которые исходят из одной вершины? Давайте подумаем вместе.
Теперь возьмите рисунки, которые у вас находятся на столах. Чего у них не хватает? А что можно сделать? А как? Давайте попробуем дорисовать его другую половину, что у нас получится?
4. Работа по теме.
Возьмите прямоугольники, которые находятся у вас на столах.
Исследовательская работа
. Давайте попробуем найти у него оси симметрии.
— Сложим его пополам и четко обозначим линию сгиба.
— Что мы получили? Покажите!
— Обведём цветным карандашом получившуюся прямую. Это 1 ось симметрии.
— Давайте попробуем сложить прямоугольник вновь пополам, но по-другому.
— Что получили?
— Покажите!
— Так сколько же осей симметрии у прямоугольника? (2)
Физкультминутка
(Ученики повторяют движения за учителем)
Мы все вместе улыбнемся,
Подмигнем слегка друг другу,
Вправо, влево повернемся
И кивнем затем по кругу.
Все идеи победили,
Вверх взметнулись наши руки.
Груз забот с себя стряхнули
И продолжим путь науки.
Найти у фигур оси симметрии путем перегиба листа (круг, равнобедренный и разносторонний треугольники, семиугольник)
-сколько осей симметрии могут иметь разные фигуры ?
— Мы выяснили, что симметрия в математике существует, но не у всех фигур. Только ли в этой науке она может быть?
— Оказывается, все в мире построено по принципу симметрии. Чуть позже родолжим нашу исследовательскую работу.
А теперь откроем свои учебники стр. и решим №
— Вам нужно провести исследование каждой группе — в своей области. Доказать, или опровергнуть наличие симметричности.
— Каждая группа получает свое задание.
-Время работы – 5 минут.
1 группа. Симметрия в мире животных.
На белой бумаге перед вами – контур бабочки. Проведите ось симметрии, раскрасьте бабочку в соответствии с правилами симметрии.
2 группа. Симметрия в мире растений.
Перед вами – одна половинка известного всем растения, вторая его половинка рассыпалась в виде мозаики. Склейте растение и проведите оси симметрии.
3 группа. Симметрия в мире архитектуры.
4 группа. Симметрия в русском языке.
Выпишите симметричные буквы.
Если знаете симметричные слова — палиндромы (читаемые слева направо и справа налево одинаково), то запишите их.
ЗАЩИТА ПРОЕКТОВ.
-Руководителя группы, которая работала над этой темой, прошу приступить к защите. Итак, тема вашего проекта
ВЫВОД:
Симметрия может встречаться не только в математике, но и в окружающей нас действительности.
5. Повторение
Откройте учебники на странице 161 № 382. Прочитайте задание. Что нужно сделать?
6. Рефлексия
Нарисуйте смайлики.
7. Домашнее задание : п. 15 №383
НАБОР ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Маршрутный лист
1 группа. Симметрия в мире животных.
На белой бумаге перед вами – контур бабочки. Проведите ось симметрии, раскрасьте бабочку в соответствии с правилами симметрии.
Определить оси симметрии у данных животных.
Правила работы в группе
1.Соответствует ли результат теме проекта.
2. Сотрудничество.
3. Аккуратность выполнения.
4. Защита проекта (умение донести информацию до аудитории).
Маршрутный лист
2 группа. Симметрия в мире растений.
Перед вами – одна половинка известного всем растения, вторая его половинка рассыпалась в виде мозаики. Склейте растение и проведите оси симметрии.
Определить оси симметрии у данных растений.
Правила работы в группе
1.Соответствует ли результат теме проекта.
2. Сотрудничество.
3. Аккуратность выполнения.
4. Защита проекта (умение донести информацию до аудитории).
Маршрутный лист
3 группа. Симметрия в мире архитектуры.
Построить с учетом воображаемой линии симметрии необычный замок, в котором вам хотелось бы жить.
Определить оси симметрии у данных памятников архитектуры.
Правила работы в группе
Прямоугольник. Ось симметрии фигуры
Технологическая карта урока – Прямоугольник. Ось симметрии фигуры.
Предмет: математика
Класс: 5
Тип урока: комбинированный
УМК: А.М. Мерзляк
Учитель: Санаева И.В.
Цели урока:
Предметные: закрепить навыки распознавания, построения прямоугольника и квадрата, нахождение их периметров, научить учащихся находить на рисунках фигуры, имеющие ось симметрии, и в окружающем мире объекты, имеющие ось симметрии.
Личностные: формировать умение корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией.
Метапредметные: развивать познавательный интерес к математике, умение использовать приобретенные знания в практической деятельности.
Образовательные ресурсы: учебники, мультимедийная презентация, раздаточный материал
Применяемая технология: технология системно-деятельностного метода обучения
Методы обучения:
— словесные методы (беседа, чтение),
— наглядные (демонстрация презентации),
— проблемно-поисковый,
— метод рефлексивной самоорганизации (деятельностный метод).
Средства обучения:
— компьютерная презентация,
— карточки с заданиями,
— карточки оценки работы на уроке,
— карточки с практическими заданиями по новой теме.
Формы организации познавательной деятельности:
— групповая,
— коллективная (фронтальная),
— индивидуальная.
Технологическая карта урока:
ПриветствиеНачинается урок
Он пройдёт ребятам впрок
Постарайтесь всё понять
Учитесь тайны открывать
Ответы полные давайте
И на уроке не зевайте.
Мы сегодня будем снова на раскрывать тайны математики
Готовы?
А какое открытие сделает каждый из вас сегодня, поделитесь в конце урока!.
Приветствует обучающихся, проверяет их готовность к уроку
Приветствуют учителя проверяют свою готовность к уроку
2. Актуализация знаний.
(5-7 мин)
постановка темы урока
1. Устный счет:
-Что изучали на прошлом уроке? (вопросы по теме «Прямоугольник, квадрат»)
-Вопросы по домашней работе?
А если фигура будет уже дана, как найти площадь и периметр?
(конверт)
Возьмём прямоугольник соединим его противоположные вершины, свернём. Что получим?
Соединим его середины противоположных сторон. Что получим?
Такие фигуры называют симметричными, а прямую, разъединяющую фигуры – осью симметрии. Если согнуть лист по этой прямой, то эти фигуры полностью совпадут, и мы будем видеть одну фигуру (продемонстрировать данное утверждение).
*перегиб листа, вырезание нарисованной на одной стороне фигуры;
*разглаживание линии сгиба и демонстрация всем, что получилось
*как расположились фигуры относительно линии сгиба
Итак, тема нашего урока: Прямоугольник . Симметричные фигуры. Ось симметрии фугуры.
Давайте подумаем, о чем будет наш урок?
-Какую цель мы поставим?
-Сегодня мы будем работать по плану.
(составление плана)
Что такое симметрия.
Что такое ось симметрии
Где встречается симметрия в окружающем нас мире.
В древности слово «симметрия» употреблялось как «красота», «гармония». Термин «гармония» в переводе с греческого означает «соразмерность, одинаковость в расположении частей». Известный немецкий математик нашего столетия Герман Вейль дал определение симметрии таким образом: «Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».
Активизировать мыслительные операции, внимание, память и т.д., стимулировать к активной работе
Учитель цитирует слова великого математика
-актуализируют знания прошлых уроков
-работают над понятиями
Учащиеся осмысливают сказанное
3. «Открытие» нового знания
(8 мин)
Посмотрим внимательно на рисунки (рис. 1 и 2). Что вы на них увидели?
Такие фигуры называют симметричными, а прямую, разъединяющую фигуры – осью симметрии. Если согнуть лист по этой прямой, то эти фигуры полностью совпадут, и мы будем видеть одну фигуру (продемонстрировать данное утверждение).
*перегиб листа,вырезание нарисованной на одной стороне фигуры;
*разглаживание линии сгиба и демонстрация всем, что получилось
*как расположились фигуры относительно линии сгиба
Построить процесс осознанного представления об осевой симметрии
— перегибают лист бумаги,вырезают-3
-наблюдение над фигурами относительно линии сгиба
Исследовательская работа
— У вас на столе лежат конверты №1.
Достаньте квадрат. Давайте попробуем найти у него оси симметрии.
— Сложим его пополам и четко обозначим линию сгиба.
— Что мы получили? Покажите!
— Обведём цветным карандашом получившуюся прямую. Это 1 ось симметрии.
— Давайте попробуем сложить квадрат вновь пополам, но по-другому.
— Что получили?
— Покажите!
— Как еще можно сложить квадрат?
— Так сколько же осей симметрии у квадрата? (4)
Комментирует , привлекает учащихся найти ось симметрии
Активная работа н уроке 1 бал
Находят ось симметрии
4. Первичное закрепление
Практическая работа.
Цель: усвоение нового способа действий
Практическая работа
Найти у фигур оси симметрии и заполнить таблицу (на столах лежат конверты(прямоугольник, квадрат, круг, равнобедренный и разносторонний треугольники, семиугольник)
-сколько осей симметрии могут иметь разные фигуры ?
Контролирует выполнение работы, оказывает помощь
Все правильно – 3 бала
Есть 2- 3 ошибки – 2 бала
Есть 4-5 ошибок – 1 бал
работают в парах, извлекают информацию
-принимают решение о возможности или невозможности проведения оси симметрии
-заполняют таблицу
5. Включение в систему знаний и повторение
Цель: включение «открытия» в систему знаний, повторения и закрепление ранее изученного
— Мы выяснили, что симметрия в математике существует, но не у всех фигур.
Только ли в этой науке она может быть?
Увас на столах имеются конверты. Вам нужно провести исследование каждой группе — в своей области. Доказать, или опровергнуть наличие симметричности и, конечно же, сделать выводы о проделанной работе.
ВЫВОД:
Симметрия может встречаться не только в указанных группах, но и в другой окружающей нас действительности.
Просмотр видео
— Оказывается, все в мире построено по принципу симметрии. Продолжим нашу исследовательскую работу.
—Посмотрите, сколько областей жизни, и где только не встречается симметрия!
Знакомство с симметрией вокруг нас.
Организует исследовательскую работу
бала – работал активнее всех, предлагал интересные идеи.
2 бала – принимал активное участие в группе
1 бал – работал по мере необходимости
По ходу работы учитель составляет таблицу на доске:
(прикрепляют возле стрелочек свои проекты, некоторые стрелочки остаются пустыми.)
-Давайте сделаем вывод (по таблице).
-выполнение задания, основанного на ранее изученном
Выполняют исследовательскую работу в группе.
6.Самостоятельная работа
РТ № 161
Покажите ребята свои рисунки. Итак, ребята, оцените себя:
3 бала – достроили все рисунки
2 бала- достроено 4 рисунка
1 бал – достроено 2 рисунка.
Создает ситуации успеха
3бала – работа оригинальная, аккуратная
2 бала – работа аккуратная, но рисунок простой
1 бал – работа не аккуратная
-взаимопроверка
8. Рефлексия
(2 мин)
1.на уроке я работал…. активно/пассивно
2.своей работой на уроке я доволен /не доволен
3.Урок для меня показался… интересен/скучен
4.За урок я… не устал/устал
5.мое настроение… стало лучше/ хуже
6.материал урока мне был… понятен/не понятен
Мотивирует рефлексии.
-учащиеся оценивают свою деятельность
-обозначают проблемные места
9.Домашнее задание
П. 15, №364, нарисовать фигуры имеющие ось симметрии (1,2 и более)
Поясняет д.з.
Слушают, записывают
10.Итоги урока
Какое открытие мы сделали на уроке?
— На следующем уроке мы будем учиться строить с вами симметричные геометрические фигуры относительно оси симметрии при помощи чертежных инструментов.
Что сегодня нового вы узнали? Что такое ось симметрии?
Сколько осей симметрии может иметь фигура?
Выставление оценок.
8-9 балов – оценка 5
6-7 балов – оценка 4
4-5 балов оценка 3
Задает вопросы, корректирует ответы
8-9 балов – оценка 5
6-7 балов – оценка 4
4-5 балов оценка 3
Отвечают на вопросы
НАБОР ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Маршрутный лист
1 группа. Симметрия в мире животных.
На белой бумаге перед вами – контур бабочки. Проведите ось симметрии, раскрасьте бабочку в соответствии с правилами симметрии.
Определить оси симметрии у данных животных.
Правила работы в группе
1.Соответствует ли результат теме проекта.
2. Сотрудничество.
3. Аккуратность выполнения.
4. Защита проекта (умение донести информацию до аудитории).
Маршрутный лист
2 группа. Симметрия в мире растений.
Перед вами – одна половинка известного всем растения, вторая его половинка рассыпалась в виде мозаики. Склейте растение и проведите оси симметрии.
Определить оси симметрии у данных растений.
Правила работы в группе
1.Соответствует ли результат теме проекта.
2. Сотрудничество.
3. Аккуратность выполнения.
4. Защита проекта (умение донести информацию до аудитории).
Маршрутный лист
3 группа. Симметрия в мире архитектуры.
Построить с учетом воображаемой линии симметрии необычный замок, в котором вам хотелось бы жить.
Определить оси симметрии у данных памятников архитектуры.
Правила работы в группе
Мерзляк 5 класс — § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры
Вопросы к параграфу
1. Какой четырёхугольник называют прямоугольником?
Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые.
2. Какие стороны прямоугольника называют соседними? Противолежащими?
- соседние стороны прямоугольника — это стороны, которые имеют общую вершину
- противолежащие стороны прямоугольника — это стороны, которые не имеют общих вершин
3. Что называют длиной и шириной прямоугольника?
Длиной и шириной прямоугольника называют соседние стороны прямоугольника.
4. Каким свойством обладают противолежащие стороны прямоугольника?
Противолежащие стороны прямоугольника равны.
5. Какую фигуру называют квадратом?
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
6. Объясните, какие фигуры называют симметричными относительно прямой.
Фигуру называют симметричной, относительно прямой, если при сгибе по этой прямой противоположные части фигуры совпадают друг с другом.
7. Как называют прямую, относительно которой симметрична фигура?
Ось симметрии.
8. Какие вы знаете фигуры, имеющие ось симметрии?
Круг, равнобедренный и равносторонний треугольник, квадрат, прямоугольник.
9. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник, отличный от квадрата? Квадрат? Равносторонний треугольник?
- Прямоугольник, отличный от квадрата, имеет 2 оси симметрии.
- Квадрат имеет 4 оси симметрии.
- Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии.
Решаем устно
1. Каждая сторона треугольника равна 12 см. Как называют такой треугольник? Чему равен его периметр?
Такой треугольник называют равносторонним. Его периметр равен P = 3a = 3 • 12 = 36 см.
Ответ: равносторонний, 36 см.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, а одна из его сторон — 12 см. Найдите длины двух других сторон треугольника. Сколько решений имеет задача?
Задача может иметь 2 решения.
Решение 1.
Пусть 12 см — это длина основания равнобедренного треугольника. Тогда, при периметре 32 см, боковые стороны этого треугольника будут равны:
(32 — 12) : 2 = 20 : 2 = 10 (см) — длина каждой из боковых сторон треугольника.
Ответ: двумя другими сторонами будут две боковые стороны: 10 см и 10 см.
Решение 2:
Пусть 12 см — это длина одной из боковых сторон равнобедренного треугольника. Тогда вторая боковая сторона этого треугольника также равна 12 см, а основание, при периметре треугольника 32 см, будет равно:
32 — 12 • 2 = 32 — 24 = 8 (см) — длина основания треугольника.
Ответ: двумя другими сторонами будут: основание — 8 см и вторая боковая сторона — 12 см.
3. Найдите сторону равностороннего треугольника, если она меньше его периметра на 10 см.
У равностороннего треугольника все три стороны равны, а периметр — это сумма все сторон треугольника.
Если одна сторона равностороннего треугольника меньше периметра на 10 см, значит сумма двух оставшихся сторон равна 10 см.
10 : 2 = 5 (см) — длина стороны равностороннего треугольника.
Ответ: 5 см.
4. Вычислите значение у по формуле у = х • х + 12, если:
1) х = 1
у = 1 • 1 + 12 = 1 + 12 = 13
Ответ: у = 13
2) х= 10
у = 10 • 10 + 12 = 100 + 12 = 112
Ответ: у = 112
Упражнения
359. Постройте:
1) прямоугольник, соседние стороны которого равны 4 см и 2 см
AB = DC = 4 см
AD = BC = 2 см
2) квадрат со стороной 3 см
AB = BC = CD = DA = 3 см
360. Постройте прямоугольник, соседние стороны которого равны 25 мм и 35 мм.
AB = DC = 35 мм
AD = BC = 5 мм
361. Вычислите периметр:
1) прямоугольника, соседние стороны которого равны 42 см и 23 см
P = 2a + 2b = 2 • 42 + 2 • 23 = 84 + 46 = 130 (см)
Ответ: P = 130 см.
2) квадрата со стороной 8 дм
P = 4a = 4 • 8 = 32 (дм)
Ответ: P = 32 дм.
362. Найдите периметр прямоугольника, соседние стороны которого равны 13 мм и 17 мм.
P = 2a + 2b = 2 • 13 + 2 • 17 = 26 + 34 = 60 (мм)
60 мм = 6 см
Ответ: P = 6 см.
363. Какие из букв, изображённых на рисунке 135, имеют ось симметрии?
Ось симметрии имеют в данном случае буквы А, В, Е, Т.
364. Сколько осей симметрии имеет многоугольник, изображённый на рисунке 136?
- а) робм — 2 оси симметрии
- б) правильный пятиугольник — 5 осей симметрии
- в) правильный шестиугольник — 6 осей симметрии
365. 1) Длина одной из сторон прямоугольника равна 14 см, что на 5 см больше длины соседней стороны. Найдите периметр прямоугольника.
1) 14 — 5 = 9 (см) — длина соседней стороны прямоугольника
P = 2a + 2b
2) 2 • 14 + 2 • 9 = 28 + 18 = 46 (см)
Ответ: P = 46 см.
2) Периметр прямоугольника равен 34 см, а одна из его сторон — 12 см. Найдите длину соседней стороны прямоугольника.
1) 12 • 2 = 24 (см) — сумма длин двух противоположных сторон прямоугольника
2) 34 — 24 = 10 (см) — сумма длин двух других, соседних им, противоположных сторон треугольника.
3) 10 : 2 = 5 (см) — длина соседней стороны прямоугольника.
Ответ: 5 см.
366. Одна сторона прямоугольника равна 8 см, а соседняя — в 4 раза больше. Найдите периметр прямоугольника.
1) 8 • 4 = 32 (см) — длина соседней стороны прямоугольника.
P = 2a + 2b
2) 2 • 8 + 2 • 32 = 16 + 64 = 80 (см)
Ответ: P = 80 см.
367. Квадрат со стороной 12 см и прямоугольник, одна из сторон которого равна 8 см, имеют равные периметры. Найдите неизвестную сторону прямоугольника.
1) 12 • 4 = 48 (см) — периметр квадрата.
2) 8 • 2 = 16 (см) — сумма двух противоположных сторон прямоугольника.
3) 48 — 16 = 32 (см) — сумма длин двух других, соседних им, противоположных сторон треугольника.
4) 32 : 2 = 16 см (см) — длина соседней стороны прямоугольника.
Ответ: 16 см.
368. Прямоугольник, соседние стороны которого равны 42 см и 14 см, и квадрат имеют равные периметры. Найдите длину стороны квадрата.
1) 2 • 42 + 2 • 14 = 84 + 28 = 112 (см) — периметр прямоугольника.
2) 112 : 4 = 28 (см) — длина стороны квадрата.
Ответ: 28 см.
369. Сколько квадратов изображено на рисунке 137?
- а) На рисунке изображено 14 квадратов (9 маленьких + 4 средних + 1 большой).
- б) На рисунке изображено 13 квадратов (4 очень маленьких + 4 маленьких + 4 средних + 1 большой).
370. Из куска проволоки сделали модель пятиугольника (рис. 138).
Какие из моделей перечисленных фигур, длины сторон которых выражаются натуральным числом сантиметров, можно сделать из этого куска проволоки: 1) квадрат; 2) пятиугольник, все стороны которого равны; 3) равносторонний треугольник?
1) 5 + 3 + 2 + 4 + 6 = 20 (см) — проволоки потребовалось для изготовления первоначальной модели.
2) 20 : 4 = 5 (см) — длина стороны квадрата, сделанного из этого куска проволоки.
3) 20 : 5 = 4 (см) — длина стороны пятиугольника, сделанного из этого куска проволоки.
4) 20 : 3 ≠ натуральному числу. Значит из этого куска проволоки нельзя изготовить равносторонний треугольник, длины сторон которого выражаются натуральным числом.
Ответ: квадрат и пятиугольник.
371. Прямоугольник ABCD разрезали на квадраты так, как показано на рисунке 139. Сторона наименьшего из квадратов равна 4 см. Найдите длины сторон прямоугольника ABCD.
- На рисунки мы видим три вида квадратов: большие, средние и маленькие.
- По условию, сторона маленького квадрата равна 4 см. По рисунку видно, что сторона большого квадрата соответствует трём длинам сторон маленьких квадратов:
1) 4 • 3 = 12 (см) — длина стороны большого квадрата.
- Вдоль стороны AD прямоугольника ABCD расположено два больших квадрата и один маленький. Значит:
2) AD = 12 + 12 + 2 = 24 + 4 = 28 (см) — длина нижней стороны прямоугольника ABCD.
- У прямоугольника противоположные стороны равны. Значит:
3) AD = BC = 28 (см) — длина верхней стороны прямоугольника ABCD.
- Вдоль верхней стороны прямоугольника ABCD расположено 4 средних квадрата. Значит:
4) 28 : 4 = 7 (см) — длина стороны среднего квадрата.
- Вдоль боковой стороны AB прямоугольника ABCD расположен один большой квадрат и один средний квадрат. Значит:
5) AB = 12 + 7 = 19 (см) — длина боковой стороны прямоугольника ABCD
- У прямоугольника противоположные стороны равны. Значит:
6) AB = CD = 19 (см) — длина противоположной боковой стороны прямоугольника ABCD
Ответ: у прямоугольника ABCD две стороны по 19 см и дву стороны по 28 см.
372. Начертите прямоугольник, соседние стороны которого равны 3 см и 6 см. Разделите его на три равных прямоугольника. Вычислите периметр каждого из полученных прямоугольников. Сколько решений имеет задача?
Задача имеет 2 решения.
Решение 1.
ABGE = EGHF = FHCD
a = AB = EG = FH = DC = 6 (см) — длина стороны малого прямоугольника.
b = AE = EF = FD = BG = GH = HC = 3 : 3 = 1 (см) — длина соседней стороны малого прямоугольника.
P = 2a + 2b = 2 • 6 + 2 • 1 = 12 + 2 = 14 (см) — периметр малого прямоугольника.
Ответ: P = 14 см.
Решение 2.
AKMD = KLNM = LBCN
a = AD = KM = LN = BC = 3 (см) — длина стороны малого прямоугольника.
b = AK = KL = LB = DM = MN = NC = 6 : 3 = 2 (см) — длина соседней стороны малого прямоугольника.
P = 2a + 2b = 2 • 3 + 2 • 2 = 6 + 4 = 10 (см) — периметр малого прямоугольника.
Ответ: P = 10 см.
373. Существует ли среди прямоугольников с периметром 12 см такой, который можно разделить на два равных квадрата? В случае положительного ответа выполните рисунок и вычислите периметр каждого из полученных квадратов.
Да, такой прямоугольник существует. Например, прямоугольник ABCD со сторонами AB = DC= 4 см и AD = BC = 2 см. Его периметр P = 12 см (2 • 4 + 2 • 2 = 8 + 4 = 12) и его можно разделить на 2 равных квадрата со сторонами 2 см. Это квадраты AMLD и MBCL.
Вычислим периметр полученных квадратов (так как квадраты равные, то и их периметры тоже равны):
P = 4а = 4 • 2 = 8 (см).
Ответ: Да, возможно. Периметр каждого из образованных квадратов AMLD и MBCL равен 8 см.
374. Как надо разрезать квадрат на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить два квадрата?
375. Как надо разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить квадрат?
376. Как надо разрезать прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см на четыре части, чтобы из них можно было сложить квадрат?
377. Как надо разрезать квадрат на треугольник и четырёхугольник, чтобы из них можно было сложить треугольник?
378. Как надо разрезать квадрат со стороной 6 см на две части по ломаной, состоящей из трёх звеньев, чтобы из полученных частей можно было сложить прямоугольник?
Упражнения для повторения
379. Проведите прямую МК, луч PS и отрезок АВ так, чтобы луч PS пересекал отрезок АВ и прямую МК, а прямая МК не пересекала отрезок АВ.
380. В магазине имеются лимоны, апельсины и мандарины, всего 740 кг. Если бы продали 55 кг лимонов, 36 кг апельсинов и 34 кг мандаринов, то оставшиеся массы лимонов, апельсинов и мандаринов оказались бы равными. Сколько килограммов фруктов каждого вида имеется в магазине?
- Предположим, что в магазине продали 55 кг лимонов 36 кг апельсинов и 34 кг мандаринов. Тогда можно найти массу фруктов оставшихся в магазине:
1) 740 — (55 + 36 + 34) = 740 — (55 + 70) = 740 — 125 = 615 (кг) — фруктов осталось в магазине после продажи.
- По условию задачи в магазине остались равные массы лимонов, апельсинов и мандарины. Узнаем сколько килограммов каждого вида фруктов осталось:
2) 615 : 3 = 205 (кг) — масса каждого вида фруктов осталось в магазине.
- Теперь найдём какова масса фруктов изначально:
3) 205 + 55 = 260 (кг) — лимонов было в магазине изначально.
4) 205 + 36 = 241 (кг) — апельсинов было в магазине изначально.
5) 205 + 34 = 239 (кг) — мандаринов было в магазине изначально.
Ответ: лимонов — 260 кг, апельсинов — 241 кг, мандаринов — 239 кг.
381. От дома до дачи можно доехать на автобусе, или на электропоезде, или на маршрутном такси. В таблице указано время, которое надо затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Каким видом транспорта при этом надо воспользоваться?
1) 10 мин + 1 ч 15 мин + 5 мин = 1 ч 30 мин — потребуется для поездки на автобусе.
2) 8 мин + 56 мин + 10 мин = 74 мин = 1 ч 14 мин — потребуется для поездки на электропоезде.
3) 7 мин + 1 ч 5 мин + 8 мин = 1 ч 20 мин — потребуется для поездки на маршрутном такси.
Ответ: наименьшее время на дорогу — 1 ч 14 мин, для этого надо воспользоваться электропоездом.
382. Найдите сумму корней уравнений:
Задача от мудрой совы
383. Как с помощью пятилитрового бидона и трёхлитровой банки набрать на берегу реки 4 л воды?
- Наливаем из реки полный 5-литровый бидон.
- Переливаем 3 литра в 3-х литровую банку. В 5-ти литровом бидоне останется 2 литра воды.
- Выливаем из 3-х литровой банки воду обратно в реку.
- Переливаем остаток воды из 5-литрового бидона (2 литра) в 3-литровую банку.
- Наливаем из реки полный 5-литровый бидон.
- Переливаем воду из 5-литрового бидона в 3-литровую банку.
При последнем действии мы сможем вылить в банку только 1 литр воды, так как в ней уже есть 2 литра воды. То есть в 5-литровом бидоне останется искомые 4 литра воды (5 — 1 = 4).
Конспект урока в 5 классе Прямоугольник. Ось симметрии | План-конспект урока по математике (5 класс):
Тема урока «Прямоугольник. Ось симметрии фигуры.
Цель: создание условий для формирования понятия «симметрия», умений определять и моделировать симметричные фигуры
Предмет: математика
Класс: 5б
Тип урока: урок – изучение нового материала
Учитель: Астахова А.Г.
Целеполагание для ученика:
- Узнать, что такое симметрия.
- Извлечь информацию об осевой симметрии.
- Наблюдать за симметричными фигурами в окружающем нас мире.
- Научиться строить и находить ось симметрии фигуры.
Целеполагание для учителя (управленческие задачи)
- Предметные: закрепить навыки распознавания, построения прямоугольника и квадрата, нахождение их периметров, научить учащихся находить на рисунках фигуры, имеющие ось симметрии, и в окружающем мире объекты, имеющие ось симметрии.
- Личностные: формировать умение корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией,
- Метапредметные: развивать познавательный интерес к математике, умение использовать приобретенные знания в практической деятельности.
Планируемый результат:
Личностные: осознание симметричности предметов в пространстве.
Познавательные: осмысление понятия «симметрия» на предметно-конкретном уровне.
Коммуникативные: выполнение осознанных речевых действий с использованием математических терминов, работать в парах.
Опорные понятия, термины: периметр, треугольник, прямоугольник, квадрат, многоугольник.
Новые понятия, термины: симметрия, ось симметрии.
Образовательные ресурсы: учебники, мультимедийная презентация, раздаточный материал, магниты.
Ход урока.
1.Огр.момент (2 мин)
Приветствие
Эпиграф урока
«О сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…».
Учитель: Здравствуйте ребята. Сегодня я шла на работу и наблюдала за природой. Первый снег, легкий морозец. Я думаю, что вы тоже любовались красивой природой и у вас хорошее настроение. Давайте улыбнемся друг другу. И от этих улыбок мы будем добрее, счастливее, веселее. И с удовольствием будем работать на уроке.
Учитель: Садитесь ребята. Открываем тетрадь и записываем число и классная работа.
У каждого из вас имеется дневник ученика, в котором вы сегодня будете выставлять баллы и в конце урока поставите себе оценки.
2. Повторение (3 минуты)
Учитель: Посмотрите на экран, какое задание я предлагаю вам сейчас?
Ученики предлагают свои ответ, и придя к правильному, выполняют в тетрадях.
Учитель: Найти периметр фигуры. Выберите рисунок по уровню сложности.
Учитель: предлагаю желающим выйти к доске и написать решение для самопроверки.
Ученики поднимают руки, кого вызвал учитель выходит к доске и пишет решение, остальные проверяют и в дневнике ученика выставляют за правильное решение — 2 -3 балла.
3. Актуализация знаний. Постановка целей урока (4 мин).
Учитель: Ребята посмотрите на доску и назовите геометрические фигуры, изображённые на доске и дайте определения:
Луч – фигура, имеющая начало, но не имеющая конца.
Отрезок – фигура, имеющая начало и конец.
Угол – фигура, образованная двумя лучами, имеющие общее начало, вершину угла.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.
Учитель: Отлично! Посмотрите на следующий слайд. Что вам предлагается сделать? (Отгадать ребус)
Симметрия
Учитель: Как вы думаете, какая тема сегодняшнего урока?
Какая цель урока?
Какие задачи мы ставим себе на урок?
Дети отвечают на вопросы учителя. Ученики не могут точно сформулировать тему.
Учитель: К более точной формулировке темы мы придём, выполнив некоторые задания.
4. «Открытие» нового знания (10 мин)
Учитель: «Симметрия есть идея, с помощью которой человек пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство» немецкий математик Г.Вейль.
Учащиеся осмысливают сказанное.
Эксперимент (работа в группе).
Помощник раздает конверты, в конвертах заготовки.
Ученики работают по группам. Каждая группа выполняет свое задание. После выполнения, один ученик выходит к доске, и рассказывает результат эксперимента и объясняет.
1 конверт: в конверте лист бумаги с фигурой, ножницы.
*перегиб листа, вырезание нарисованной на одной стороне фигуры треугольника;
*разглаживание линии сгиба и демонстрация всем, что получилось
*как расположились фигуры относительно линии сгиба (симметрично)
*как называется линия перегиба (линия симметрии)
1 конверт: Определение. Существует прямая, проходящая, через середины противоположных сторон прямоугольника. Такая прямая называется осью симметрии фигуры. Если свернуть фигуру пополам и она совпадет при наложении, такая прямая называется осью симметрии фигуры.
В конверте: квадрат, равносторонний треугольник, прямоугольник, круг.
*сколько осей симметрии у прямоугольника? 2
*сколько осей симметрии у квадрата? 4
*сколько осей симметрии у равностороннего треугольник? 3
1 конверт: Какие картинки имеют симметрию? (необходимо разбить на группы и объяснить, почему так разбили).
После ответов каждый выставляет баллы в дневник ученика.
5. Постановка темы урока (1 минута)
Учитель: Предлагаю вам ребята, опираясь на полученные знания, вывести тему урока.
6. Первичное закрепление нового материала. (7 минут)
Работа в тетради – я познаю новое
1)Начертить прямоугольник со сторонами 4 и 6 см,
2) Начертить квадрат со стороной 5 см,
3) Треугольник, где две стороны равны по 6 см и указать на фигурах оси симметрии.
Работаю в тетрадях, по одному учащемуся работают на доске.
7.Физминутка (1 минута)
8. Закрепление полученных знаний (8 минут)
Я могу — работа с учебником — взаимопроверка
№364 (начертить и ответить)
№367
Ученики работают в тетрадях.
После выполнения каждого задания, производится взаимопроверка (в парах).
9. Задача от мудрой совы (3 минуты)
Учитель: Предлагаю вам ребята решить задачу от мудрой совы, тем самым заработать 5 баллов и повысить оценку за урок.
Задача: Рост Буратино-1 метр, длина его носа раньше была 9 см.Каждый раз, когда Буратино врал, длина его носа удваивалась. Как только нос стал длиннее самого Буратино, тот перестал врать. Сколько раз Буратино соврал?(4раза)
10.Домашнее задание (1 минута).
1) Параграф 15, №373, 382;
2) Найти оси симметрии фигур на карточках;
3) Найти высказывания выдающихся людей о симметрии.
10.Итоги урока (2 минуты).
Учитель: Что сегодня нового вы узнали?
Достигли мы поставленной цели?
Учитель: Предлагаю выставить оценки, передать дневники мне.
11. Рефлексия (3 минуты)
Сегодня я узнал…
Было интересно…
Я понял, что…
Теперь я могу…
Я научился…
У меня получилось…
Я попробую….
Меня удивило…
Мне захотелось…
Учитель: Оцените себя на лестнице успеха (цветные карточки)
Этап урока | Содержание материала | Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
1.Огр.момент (1-2 мин) | Приветствие Эпиграф урока «О сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…»что значат слова «Я сделал открытие?» если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем либо, то это и есть его открытие. | Приветствует обучающихся, проверяет их готовность к уроку | Приветствуют учителя проверяют свою готовность к уроку |
2. Актуализация знаний. (5-7 мин) постановка темы урока | Я в листочке, я в кристалле, Я в живописи, архитектуре, Я в геометрии, я в человеке. Одним я нравлюсь, другие Находят меня скучной. Но все признают, что Я – элемент красоты. Итак, тема нашего урока: Симметрия. Симметричные фигуры. Ось симметрии. Давайте подумаем, о чем будет наш урок? -Какую цель мы поставим? -Сегодня мы будем работать по плану. (составление плана)
В древности слово «симметрия» употреблялось как «красота», «гармония». Термин «гармония» в переводе с греческого означает «соразмерность, одинаковость в расположении частей». Известный немецкий математик нашего столетия Герман Вейль дал определение симметрии таким образом: «Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство». | Активизировать мыслительные операции, внимание, память и т.д., стимулировать к активной работе Учитель цитирует слова великого математика | -актуализируют знания прошлых уроков -работают над понятиями Учащиеся осмысливают сказанное |
3. «Открытие» нового знания (8 мин) | Посмотрим внимательно на рисунки (рис. 1 и 2). Что вы на них увидели? Такие фигуры называют симметричными, а прямую, разъединяющую фигуры – осью симметрии. Если согнуть лист по этой прямой, то эти фигуры полностью совпадут, и мы будем видеть одну фигуру (продемонстрировать данное утверждение). *перегиб листа,вырезание нарисованной на одной стороне фигуры; *разглаживание линии сгиба и демонстрация всем, что получилось *как расположились фигуры относительно линии сгиба | Построить процесс осознанного представления об осевой симметрии | — перегибают лист бумаги,вырезают-3 -наблюдение над фигурами относительно линии сгиба |
Исследовательская работа | — У вас на столе лежат конверты №1. Достаньте квадрат. Давайте попробуем найти у него оси симметрии. — Сложим его пополам и четко обозначим линию сгиба. — Что мы получили? Покажите! — Обведём цветным карандашом получившуюся прямую. Это 1 ось симметрии. — Давайте попробуем сложить квадрат вновь пополам, но по-другому. — Что получили? — Покажите! — Как еще можно сложить квадрат? — Так сколько же осей симметрии у квадрата? (4) | Комментирует , привлекает учащихся найти ось симметрии Активная работа н уроке 1 бал | Находят ось симметрии |
4. Первичное закрепление Практическая работа. Цель: усвоение нового способа действий | Практическая работа Найти у фигур оси симметрии и заполнить таблицу (на столах лежат конверты(прямоугольник, квадрат, круг, равнобедренный и разносторонний треугольники, семиугольник) -сколько осей симметрии могут иметь разные фигуры ? | Контролирует выполнение работы, оказывает помощь Все правильно – 3 бала Есть 2- 3 ошибки – 2 бала Есть 4-5 ошибок – 1 бал | работают в парах, извлекают информацию -принимают решение о возможности или невозможности проведения оси симметрии -заполняют таблицу |
5. Включение в систему знаний и повторение Цель: включение «открытия» в систему знаний, повторения и закрепление ранее изученного | — Мы выяснили, что симметрия в математике существует, но не у всех фигур. Только ли в этой науке она может быть? — Оказывается, все в мире построено по принципу симметрии. Продолжим нашу исследовательскую работу. — Вам нужно провести исследование каждой группе — в своей области. Доказать, или опровергнуть наличие симметричности и, конечно же, сделать выводы о проделанной работе. — Каждая группа получает свой маршрутный лист. К работе предъявлены следующие требования. 1. Соответствует ли результат теме проекта. -Возьмите в руки конверт №2. -Каждая группа, выполнив задания, приклеивает свою работу на лист А-3 и готовится к защите. -Темы вслух не оглашаются. -Выберем руководителя группы. Руководитель следит за выполнением, участием всех в проекте, организует работу группы. Не забудьте распределить роли в группе! -Время работы – 5 минут. Маршрутные листы: 1 группа. Симметрия в мире животных.
2 группа. Симметрия в мире растений.
3 группа. Симметрия в мире архитектуры.
4 группа. Симметрия в русском языке.
1 ось симметрии; 2 оси симметрии; нет осей симметрии. ЗАЩИТА ПРОЕКТОВ. -Руководителя группы, которая работала над этой темой, прошу приступить к защите. Итак, тема вашего проекта -Как вы считаете, справилась ли 1 группа с заданием? Аплодисменты! ВЫВОД: Симметрия может встречаться не только в указанных группах, но и в другой окружающей нас действительности. Просмотр видео —Посмотрите, сколько областей жизни, и где только не встречается симметрия! | Знакомство с симметрией вокруг нас. Организует исследовательскую работу 3бала – работал активнее всех, предлагал интересные идеи. 2 бала – принимал активное участие в группе 1 бал – работал по мере необходимости По ходу защиты учитель составляет таблицу на доске: (прикрепляют возле стрелочек свои проекты, некоторые стрелочки остаются пустыми.) -Давайте сделаем вывод (по таблице). | -выполнение задания, основанного на ранее изученном Выполняют исследовательскую работу в группе. |
6.Самостоятельная работа | РТ № 161 Покажите ребята свои рисунки. Итак, ребята, оцените себя: 3 бала – достроили все рисунки 2 бала- достроено 4 рисунка 1 бал – достроено 2 рисунка. | Создает ситуации успеха 3бала – работа оригинальная, аккуратная 2 бала – работа аккуратная, но рисунок простой 1 бал – работа не аккуратная | -взаимопроверка |
8. Рефлексия (2 мин) | 1.на уроке я работал…. активно/пассивно 2.своей работой на уроке я доволен /не доволен 3.Урок для меня показался… интересен/скучен 4.За урок я… не устал/устал 5.мое настроение… стало лучше/ хуже 6.материал урока мне был… понятен/не понятен | Мотивирует рефлексии. | -учащиеся оценивают свою деятельность -обозначают проблемные места |
9.Домашнее задание | П15 №364, нарисовать фигуры имеющие ось симметрии (1,2 и более) | Поясняет д.з. | Слушают, записывают |
10.Итоги урока | Какое открытие мы сделали на уроке? — На следующем уроке мы будем учиться строить с вами симметричные геометрические фигуры относительно оси симметрии при помощи чертежных инструментов. Что сегодня нового вы узнали? Что такое ось симметрии? Сколько осей симметрии может иметь фигура? Выставление оценок. 8-9 балов – оценка 5 6-7 балов – оценка 4 4-5 балов оценка 3 | Задает вопросы, корректирует ответы 8-9 балов – оценка 5 6-7 балов – оценка 4 4-5 балов оценка 3 | Отвечают на вопросы |
Этап урока | Содержание материала | Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
1. Огр.момент (1-2 мин) | Приветствие | Приветствует обучающихся, проверяет их готовность к уроку | Приветствуют учителя проверяют свою готовность к уроку |
2. Актуализация знаний. | Сегодня мы прикоснемся к удивительному математическому явлению, в древности оно обозначало «гармонию» и «красоту». | Активизировать мыслительные операции, внимание, память и т.д., стимулировать к активной работе | — актуализируют знания прошлых уроков |
3. «Открытие» нового знания (8 мин) | Что такое симметрия, мы узнали. | Построить процесс осознанного представления об осевой симметрии | — перегибают лист бумаги; — наблюдение над фигурами относительно линии сгиба. Находят оси симметрии |
4. Первичное закрепление | Практическая работа Ответ (ось симметрии имеют все фигуры, кроме параллелограмма и ноты) | Контролирует выполнение работы, оказывает помощь Все правильно – 3 балла | работают в парах, извлекают информацию — принимают решение о возможности или невозможности проведения оси симметрии |
Физкультминутка | «Симметричный рисунок» – улучшают зрительно-моторную координацию, облегчают процесс письма. |
|
|
5. Включение в систему знаний и повторение. | — Мы выяснили, что симметрия в математике существует, но не у всех фигур. Только ли в этой науке она может быть? | Знакомство с симметрией вокруг нас. | Выполнение задания, основанного на ранее изученном
Выполняют исследовательскую работу в группе. |
6. Самостоятельная работа | В физкультминутке мы строили дом, но он был одинаковый у всех. А я вам предлагаю продолжить свою работу и нарисовать симметричный дом, в котором вам бы хотелось жить, а возможно это будет сказочный дом, фантазируйте…. | Создает ситуации успеха 3 балла – работа оригинальная, аккуратная | — взаимопроверка |
8. Рефлексия (2 мин) | Мотивирует рефлексии. | — учащиеся оценивают свою деятельность | |
9. Домашнее задание | Параграф 15, №364, | Поясняет домашнее задание. | Слушают, записывают |
10. Итоги урока | Какое открытие мы сделали на уроке? | Задает вопросы, корректирует ответы: | Отвечают на вопросы |
Иллюстративная математика
Задача
Ниже представлены изображения четырех четырехугольников: квадрата, прямоугольника, трапеции и параллелограмма.
Для каждого четырехугольника найдите и проведите все линии симметрии.
Комментарий IM
Это задание дает студентам возможность поэкспериментировать с отражениями плоскости и их воздействием на определенные типы четырехугольников. Это оба Интересно и важно, что эти типы четырехугольников можно отличить по линиям симметрии.С этой точки зрения здесь отсутствуют только изображения ромба и общего четырехугольника, которые не попадают ни в одну из рассматриваемых здесь специальных категорий.
Это задание лучше всего подходит для обучения, хотя его можно адаптировать для оценивания. Если учащиеся еще не выучили терминологию для трапеций и параллелограммов, учитель может начать с объяснения значения этих терминов. В пункте 4.G.2 говорится, что учащиеся должны классифицировать фигуры на основе наличия или отсутствия параллельных и перпендикулярных линий, поэтому эта задача будет хорошо работать в подразделении, отвечающем всем стандартам кластера 4.Г.А.
Студенты должны сначала попытаться визуализировать линии симметрии, а затем они могут сделать или получить вырезы четырех четырехугольников или обвести их на кальке. Студентам полезно поэкспериментировать и увидеть, что идет не так, например, при отражении прямоугольника (который не является квадратом) по диагонали. Это упражнение помогает развить навыки визуализации, а также получить опыт работы с различными формами и их поведением при отражении.
Учащимся следует вернуться к этой задаче как в средней, так и в старшей школе, чтобы проанализировать ее с более сложной точки зрения по мере того, как они разрабатывают инструменты для этого.В восьмом классе четырехугольникам можно дать координаты, и ученики могут изучить свойства отражений в системе координат. В старших классах учащиеся могут использовать абстрактные определения отражений и различных четырехугольников, чтобы доказать, что эти четырехугольники на самом деле характеризуются количеством линий симметрии, которые у них есть.
Решение
Линии симметрии для каждого из четырех четырехугольников показаны ниже:
Когда геометрическая фигура складывается по линии симметрии, две половинки совпадают, поэтому, если у учащихся есть копии четырехугольников, они могут проверить линии симметрии, сложив их.Что касается квадрата, его можно сложить пополам по диагонали, горизонтальному сегменту, разрезающему квадрат пополам, или вертикальному сегменту, разрезающему квадрат пополам. Итак, квадрат имеет четыре линии симметрии. Прямоугольник их всего два, так как его можно сложить пополам по горизонтали или вертикали: учеников следует поощрять попытаться сложить прямоугольник пополам по диагонали, чтобы понять, почему это не работает. Трапеция имеет только вертикальную линию симметрии. У параллелограмма нет линий симметрии, и, как и в случае с прямоугольником, ученики должны поэкспериментировать со складыванием копии, чтобы увидеть, что происходит с линиями через диагонали, а также с горизонтальными и вертикальными линиями.
Указанные линии симметрии — единственные для фигур. Один из способов показать это — заметить, что для четырехугольника линия симметрии должна либо соответствовать двум вершинам на одной стороне линии с двумя вершинами на другой, либо проходить через две из вершин, а затем через две другие пары вершин. в сложенном виде по строчке. Это ограничивает количество возможных линий симметрии, и затем эксперименты покажут, что единственно возможными являются те, которые показаны на рисунках.
Симметрия | Типы симметрии
Симметрия определяется как пропорциональное и сбалансированное подобие, которое обнаруживается в двух половинах объекта, то есть одна половина является зеркальным отображением другой половины. Объект обладает симметрией, если его можно разделить на две одинаковые части. Воображаемая ось или линия, по которой можно сложить фигуру, чтобы получить симметричные половинки, называется линией симметрии.
Что такое симметрия в математике?
Определение симметрии
В математике симметрия означает, что одна фигура идентична другой, когда она перемещается, поворачивается или переворачивается.Когда объект имеет симметрию, мы говорим, что он симметричен. Если объект не имеет симметрии, мы говорим, что объект асимметричен. Понятие симметрии обычно встречается в геометрии.
Примеры симметрии
Например, когда вам говорят вырезать «сердечко» из листа бумаги, вы просто складываете бумагу, рисуете половину сердечка в сгибе и вырезаете ее, чтобы убедиться, что другая половина точно совпадает с первая половина. Вырезанное сердце — пример симметрии.Точно так же правильный пятиугольник, когда он разделен, как показано на изображении ниже, имеет одну часть, симметричную другой.
Определение симметрии в математике гласит, что «симметрия — это зеркальное отображение», т. Е. Когда изображение выглядит идентичным исходному изображению после поворота или зеркального отражения формы, это называется симметрией. Симметричность существует в паттернах. Это сбалансированное и пропорциональное подобие, обнаруженное в двух половинах объекта, что означает, что одна половина является зеркальным отображением другой половины.Симметричные объекты встречаются повсюду вокруг нас в повседневной жизни, в искусстве и архитектуре.
Линия симметрии
Линия симметрии — это линия, разделяющая объект на две идентичные части. Здесь у нас есть звезда, которую мы можем сложить на две равные половины. Когда фигура складывается пополам по линии симметрии, обе половинки точно совпадают. Эта линия симметрии называется осью симметрии.
Линия симметрии может быть классифицирована в зависимости от ее ориентации как:
- Вертикальная линия симметрии
- Горизонтальная линия симметрии
- Диагональная линия симметрии
Вертикальная линия симметрии
Вертикальная линия симметрии — это линия, которая проходит вертикально вниз и разделяет изображение на две идентичные половины.Например, следующую фигуру можно разделить на две одинаковые половины стоящей прямой линией. В этом случае линия симметрии вертикальна.
Горизонтальная линия симметрии
Горизонтальная линия симметрии делит фигуру на идентичные половины, если разделить ее по горизонтали, то есть разрезать справа налево или наоборот. Например, следующую форму можно разделить на две равные половины при горизонтальном разрезе. В таком случае линия симметрии горизонтальна.
Диагональная линия симметрии
Диагональная линия симметрии делит фигуру на идентичные половины при разделении по диагональным углам. Например, мы можем разделить следующую квадратную форму по углам, чтобы сформировать две идентичные половинки. В этом случае линия симметрии диагональна.
Линия симметрии — это ось, вдоль которой объект при разрезании будет иметь одинаковые половины. Эти объекты могут иметь одну, две или несколько линий симметрии.
- Одна линия симметрии
- Две линии симметрии
- Бесконечные линии симметрии
Одна линия симметрии
Фигуры с одной линией симметрии симметричны только относительно одной оси. Он может быть горизонтальным, вертикальным или диагональным. Например, буква «А» имеет одну линию симметрии, то есть вертикальную линию симметрии вдоль ее центра.
Две линии симметрии
Фигуры с двумя линиями симметрии симметричны только относительно двух линий.Линии могут быть вертикальными, горизонтальными или диагональными. Например, прямоугольник имеет две линии симметрии, вертикальную и горизонтальную.
Бесконечные линии симметрии
Фигуры с бесконечными линиями симметрии симметричны только относительно двух линий. Линии могут быть вертикальными, горизонтальными или диагональными. Например, прямоугольник имеет две линии симметрии, вертикальную и горизонтальную.
В следующей таблице показаны примеры различных форм с указанием количества линий симметрии, которые они имеют.
| Число линий симметрии | Примеры фигур |
|---|---|
| Отсутствие линии симметрии | Чешуйчатый треугольник |
| Ровно одна линия симметрии | Равнобедренный треугольник |
| Ровно две линии симметрии | Прямоугольник |
| Ровно три линии симметрии | Равносторонний треугольник |
Симметрию можно увидеть, когда вы переворачиваете, поворачиваете или сдвигаете объект.Существует четыре типа симметрии, которые могут наблюдаться в разных случаях.
- Трансляционная симметрия
- Вращательная симметрия
- Рефлексивная симметрия
- Симметрия скольжения
Симметрия трансляции
Если объект перемещается из одного положения в другое с одинаковой ориентацией при движении вперед и назад, это называется трансляционной симметрией. Другими словами, трансляционная симметрия определяется как скольжение объекта вокруг оси.Например, на следующем рисунке, где фигура перемещается вперед и назад в одной и той же ориентации, сохраняя фиксированную ось, изображена поступательная симметрия.
Симметрия вращения
Когда объект вращается в определенном направлении вокруг точки, это называется симметрией вращения, также известной как радиальная симметрия. Вращательная симметрия существует, когда форма поворачивается, и форма идентична исходной. Угол вращательной симметрии — это наименьший угол, на который фигура может быть повернута, чтобы совпадать с самой собой, а порядок симметрии — это то, как объект совпадает с самим собой, когда он находится во вращении.
В геометрии существует множество форм, которые изображают вращательную симметрию. Например, такие фигуры, как круг, квадрат, прямоугольник, изображают симметрию вращения. На следующем изображении показано, как структура морской звезды подчиняется вращательной симметрии. Если повернуть морскую звезду вокруг точки P, она будет выглядеть одинаково со всех сторон. Знаменитое колесо обозрения, Лондонский глаз, является примером симметрии вращения. В реальной жизни вы можете найти множество объектов, обладающих симметрией вращения, таких как колеса, ветряные мельницы, дорожные знаки, потолочные вентиляторы и так далее.
Рефлексивная симметрия
Отражательная симметрия, также называемая зеркальной симметрией, представляет собой тип симметрии, при которой одна половина объекта отражает другую половину объекта. Например, в целом человеческие лица идентичны слева и справа.
Симметрия скольжения
Симметрия скольжения — это комбинация трансляционных и отражающих преобразований. Скользящее отражение является коммутативным по своей природе, и изменение порядка комбинации не влияет на результат скользящего отражения.
Интересные факты о симметрии
- Внутри калейдоскопа есть зеркала, которые создают изображения с несколькими линиями симметрии. Угол между зеркалами определяет количество линий симметрии.
- Мы могли наблюдать несколько симметричных объектов в нашей повседневной жизни, таких как ранголис или коламы. Поразительный аспект симметрии можно наблюдать в рисунках ранголи. Эти узоры известны в Индии своими уникальными симметричными узорами. Они изображают красочную науку симметрии.
Что такое точечная симметрия?
Объект имеет точечную симметрию, если каждая часть объекта имеет соответствующую часть. Многие буквы английского алфавита имеют точечную симметрию. Точка O является центральной точкой, а совпадающие части находятся в противоположных направлениях.
Если объект выглядит так же, когда вы переворачиваете его вверх ногами, то говорят, что он обладает точечной симметрией. Форма и совпадающие части должны быть противоположными.
Важные примечания
Ниже приведены некоторые важные моменты, связанные с концепцией симметрии:
- Все правильные многоугольники симметричны по форме. Количество линий симметрии равно количеству сторон.
- Объект и его изображение симметричны относительно его зеркальной линии.
- Если фигура имеет вращательную симметрию 180º, то она имеет точечную симметрию.
Упражнение: Симметрия фигур
Тест складывания
Чтобы узнать, есть ли у фигуры линию симметрии, сложите ее .
Когда сложенная деталь идеально сидит наверху (все края совпадают), тогда линия сгиба представляет собой линию симметрии .
Вот я сложил прямоугольник в одну сторону, и не получилось .
Итак, это , а не Линия симметрии
Но когда я пробую таким образом, он действительно работает (сложенная часть идеально сидит сверху, все края совпадают):
Итак, этот является линией симметрии
Восьмиугольник
Попробуем восьмиугольник (8-гранная форма)
Это линия симметрии?
Попробуем сложить:
Да! В сложенном виде края идеально совпадают
Итак, давайте продолжим:
Я тоже нашел другой способ ::
| Пробовал | Работает! |
Так что продолжим:
Фактически я нашел 8 линий симметрии:
Треугольники
| Как насчет этого Треугольника? | |
| Я пробовал эту складку, но ничего не вышло: |
Можете ли вы найти любую линии симметрии в этом треугольнике? Я не мог.
А как насчет других типов треугольников?
Твоя очередь
Теперь ваша очередь … выберите фигуру и найдите ее линии симметрии.
На самом деле попробуйте их все! Посмотрите, что вы обнаружите.
Последняя нота: КругКак насчет круга Circle ? Вы нашли какие-нибудь линии симметрии? На самом деле в круге бесконечных линий симметрии, как насчет того! |
10.04.08: Установление соединений в симметрии
Симметрия всегда казалась второстепенной при обучении геометрии в младших классах. Мы всегда подчеркивали важность изучения различных типов многоугольников, не давая полного представления о том, как симметрия влияет на определение самих многоугольников. На самом деле, я рискну поспорить, что большинство учителей начальной школы сами не до конца понимают, как симметрия присуща разным видам четырехугольников.Когда я понял, что эти два элемента связаны, я подумал, что это будет прекрасная возможность для меня восполнить этот пробел в понимании с моими учениками.
Этот блок был создан с учетом учебной программы пятого класса, но я думаю, что он подойдет для третьего-шестого классов. Студентам необходимо иметь представление о свойствах четырехугольников, чтобы получить максимальную отдачу от этого модуля, но некоторые из упражнений могут быть подходящими для студентов, которые все еще изучают геометрию на более базовом уровне.В пятом классе мы восемь недель занимаемся геометрией. Большую часть времени мы исследуем полигоны и их свойства. Мы тратим много времени на изучение свойств четырехугольников и треугольников. Учащиеся смотрят, как диагонали многоугольника, а также его стороны и углы определяют его тип. Еще одна важная цель этого модуля — сделать и проверить гипотезы о треугольниках, четырехугольниках и других многоугольниках.
Я преподаю в начальной школе в Северной Каролине.В своих инструкциях я следую местному руководству по кардиостимуляции, которое предоставляется нашей школе школьным округом. Учебная программа основана на Стандартном курсе обучения Северной Каролины для пятого класса. Большинство студентов прибывают из домов, родители которых имеют высшее образование, а в некоторых случаях являются профессорами местного колледжа. По большей части студенты очень успешны и много работают каждый день. Я также обучаю студентов с особыми потребностями, поэтому стараюсь проводить уроки, которые позволяют студентам работать с физическими представлениями концепций, а также использовать множество примеров того, над чем мы работаем.Я также должен быть осторожен, чтобы сбалансировать это с работой, которая является достаточно сложной, чтобы стимулировать продвинутых учеников в моем классе. С помощью этого модуля я надеюсь предоставить своим ученикам оба этих вида возможностей обучения.
Симметрия везде. Это может показаться широким обобщением, но это правда. Люди видят отражения в зеркале каждое утро, узоры обоев, когда они сидят и едят утренние хлопья, дорожные знаки, такие как обычный восьмиугольный знак остановки и равносторонний треугольник, а также узоры фризов на зданиях по пути на работу.Учащиеся в моем классе видят одни и те же вещи и, вероятно, обращают больше внимания на то, как эти типы паттернов заставляют их думать о том, на что они смотрят, чем я. Использование естественного любопытства ребенка к окружающему миру и создание глубокой связи с его жизнью и тем, что они изучают в школе, — это мощная возможность обучения, которую, как мне кажется, нельзя упускать из виду. Этот модуль разработан, чтобы помочь установить такие связи с реальным миром, а также сделать предмет более связным.
Симметрия как основная идея казалась мне как учителю начальной школы очень простой. До участия в этом семинаре мои знания ограничивались «линейной и вращательной» симметрией. Однако я считаю, что мне невыгодно подходить к симметрии только таким образом с моими учениками. Узнав, как интегрированная симметрия связана не только с пониманием повседневного мира, но и с тем, как она связана с наукой, искусством и различными аспектами геометрии, я понял, что мне нужно улучшить свое базовое понимание этой предметной области, чтобы лучше служить моим студенты.Я также понял, что мне необходимо иметь представление о геометрии, поскольку она связана с точками и фигурами на плоскости.
Перед началом урока ученики будут работать с геометрией в течение нескольких недель. Я считаю, что за это время для них важно приобрести практические знания языка геометрии. Я видел много случаев в начальной школе, когда ученики изучали математические концепции, которым для понимания даются более понятные для детей названия.Это позволяет им работать с идеей, не понимая сложный язык, который может быть связан с ней. Я считаю, что это работает какое-то время, но когда ожидается, что ученики станут более искушенными в своем понимании, иногда эта разница в языке фактически мешает их пониманию. Для моих учеников пятый класс — подходящий год, чтобы они начали использовать более формальные математические термины.
Таким образом, я считаю, что в моем классе уместно поддерживать такой уровень ожидания, при котором студенты должны последовательно использовать стандартные математические термины.Поначалу некоторые из моих учеников опасаются этого, но со временем я обнаружил, что этот словарный запас становится для них естественным, и что ученики фактически начинают поправлять друг друга, когда их сверстники не используют более сложные слова. По моему опыту в классе, установка такого уровня ожидания не только помогает им лучше понять концепции, но и делает язык математики больше, чем просто уроком лексики.
Полигоны
Треугольники и четырехугольники — это плоские фигуры, с которыми мы будем работать в этом разделе.Треугольник — это фигура с тремя сторонами (отрезками), которые соединяются в трех вершинах. Вершина (форма множественного числа: вершины) — это точка пересечения двух сторон. Там, где стороны пересекаются, внутри треугольника образуется внутренний угол. Известный факт евклидовой геометрии состоит в том, что все три внутренних угла треугольника в сумме составляют 180 градусов. Правильный многоугольник — это фигура, у которой все стороны одинаковой длины и все углы одинаковы. Для треугольников равносторонний многоугольник.
Есть три типа треугольников, которые определяются длиной сторон треугольника.Равносторонний треугольник имеет три равные стороны и три равных угла, каждый из которых составляет 60 градусов. У равнобедренного треугольника как минимум две стороны равной длины (мы также можем назвать эти стороны конгруэнтными). Этот треугольник также будет иметь два внутренних угла, совпадающих по теореме о равнобедренном треугольнике. Эта теорема гласит: «Если две стороны треугольника равны, то углы, противоположные этим сторонам, совпадают». (1) У разностороннего треугольника нет двух сторон, конгруэнтных друг другу, и, следовательно, нет конгруэнтных внутренних углов.
Треугольник также может быть назван в соответствии с внутренними углами, которые он имеет. У острого треугольника все внутренние углы острые (мера меньше 90 градусов). Если треугольник имеет один тупой угол (угол больше 90 градусов, но меньше 180 градусов), то он называется тупым треугольником. Треугольник не может иметь более одного тупого угла, потому что сумма двух тупых углов даст более 180 градусов, а в треугольнике это невозможно, поскольку сумма всех трех углов составляет всего 180 градусов.Прямоугольный треугольник имеет один угол, равный 90 градусам (прямой угол).
У четырехугольника четыре стороны и четыре вершины. Две стороны заканчиваются в каждой вершине. Стороны не должны пересекаться друг с другом. Сумма внутренних углов четырехугольника составляет 360 градусов, что можно увидеть, разрезав четырехугольник на два треугольника с помощью диагонали. Есть несколько категорий четырехугольников, которые определяются такими факторами, как длина стороны и параллельность, а также перпендикуляры сторон.Различные виды четырехугольников — это параллелограммы, воздушные змеи и трапеции. Параллелограмм — это четырехугольник с двумя наборами противоположных параллельных сторон. Есть три особых вида параллелограммов: прямоугольник, квадрат и ромб. Прямоугольник — это параллелограмм, смежные стороны которого перпендикулярны друг другу. Ромб — это параллелограмм, все четыре стороны которого совпадают. Квадрат — это комбинация свойств обоих этих четырехугольников. У него четыре конгруэнтных стороны и четыре прямых угла.Квадрат — это правильный многоугольник для четырехугольников.
Воздушный змей — это четырехугольник, у которого две пары совпадающих смежных сторон. Трапеции имеют как минимум одну пару параллельных сторон. Есть несколько специфических видов трапеций. Правая трапеция имеет одну сторону, перпендикулярную двум параллельным сторонам. В результате образующиеся смежные углы составляют 90 градусов. ( Соседний описывает углы или стороны, которые находятся рядом друг с другом. Противоположные углы или стороны расположены напротив друг друга.)
Рисунок 1.1
Диагонали четырехугольника
Диагональ — это отрезок прямой, соединяющий пару противоположных вершин четырехугольника. Диагонали каждой из этих фигур можно использовать для обозначения четырехугольника. Изучая диагонали, мы можем посмотреть, как они пересекаются, а также совпадают ли они друг с другом. Например, у квадрата есть диагонали, которые конгруэнтны друг другу, делятся пополам (пополам означает, что они пересекаются в средней точке) и перпендикулярны (они пересекаются под углом 90 градусов).(см. рисунок 1.1)
Классификация изометрий внутри фигуры и симметрии треугольников и четырехугольников
Многоугольники можно преобразовывать в плоскости. Типы преобразований, которые мы обсудим, называются изометриями . «Изометрия» означает сохранение расстояния: преобразование каждого линейного сегмента изометрией будет иметь ту же длину, что и исходный сегмент. Есть два вида изометрий, которые могут быть симметрией ограниченной фигуры: вращения и отражения.
Фигура обладает симметрией вращения, когда ее можно вращать вокруг центральной точки и точно совпадать с самим собой до того, как она повернется на 360 градусов. Если фигура вращается и совпадает с собой только на 360 градусов, это называется идентичностью. Когда мы говорим о других симметриях вращения фигуры, мы называем их нетривиальными симметриями. Когда студентов спрашивают, имеет ли фигура вращательную симметрию, предполагается, что их спрашивают о нетривиальных симметриях.
Отражательная симметрия (также известная как «линейная симметрия») — это то, о чем студенты чаще всего думают, когда слышат о симметрии.Это вид симметрии, при котором одна сторона может отражаться относительно оси симметрии, создавая такое же изображение на другой стороне. По сути, если вы можете сложить изображение пополам и обе стороны точно совпадают, эта линия сгиба является осью симметрии фигуры.
Фигуры могут иметь как отражательную, так и вращательную симметрию. Фактически, если фигура имеет две линии симметрии отражения, она также будет иметь симметрию вращения. Это было то, чего я никогда не знал, но думаю, что это важно объяснить моим ученикам.Проиллюстрировав эту взаимосвязь, студенты могут установить больше связей в рамках изучаемого контента. Это можно проиллюстрировать, взглянув на прямоугольник. Прямоугольник имеет две симметрии отражения, поперек любой из линий, проходящих через центр, которые параллельны одной из пар противоположных сторон. Его также можно повернуть на 180 градусов, чтобы он соответствовал самому себе. Мы также можем использовать равносторонний треугольник, чтобы проиллюстрировать этот момент. Этот треугольник имеет три отражения и может быть повернут на 120 градусов и дважды совпадать с самим собой.
В области геометрии мы узнаем, что многоугольники можно классифицировать с помощью таких свойств, как количество сторон, длина сторон, измерение угла и диагонали. Выше мы приводили несколько примеров такого рода классификации. Треугольники и четырехугольники также можно идентифицировать по их симметрии. Мы можем не только идентифицировать треугольник, используя его симметрии, но также он конкретно определяется своими симметриями. Например, если мы смотрим на треугольник, который имеет только одну симметрию отражения и не имеет симметрии вращения, какой треугольник у нас должен быть? У нас не может быть разностороннего треугольника, потому что все стороны различаются по длине, поэтому ни один из них не совпадет при отражении.Мы не можем смотреть на равносторонний треугольник, потому что он имеет симметрию вращения и три линии отражения. Следовательно, у нас должен получиться равнобедренный треугольник. Почему это имеет смысл? Поскольку две стороны равны по длине, это будут единственные стороны, которые при отражении будут отражать друг друга. Таким образом, будет только одна линия отражения и не будет вращательной симметрии.
Здесь может быть важно отметить, что для привыкания к идее, что идентичность, как она считается симметрией, может потребоваться некоторое привыкание.Я знаю, что эта идея идет вразрез со всем, что меня учили о симметрии в детстве, и о том, как я научился преподавать ее своим ученикам. Я обнаружил, что лучшее объяснение этой идеи было дано Маркусом дю Сотуа, когда у него были те же любопытства по поводу этого свойства симметрии, и он сказал: «Но вскоре я увидел, что если симметрия означает что-то, что вы можете сделать с треугольником, который удерживает его внутри своего контура, тогда вообще не трогать его — или, что то же самое, поднимать и класть обратно в то же самое место — тоже было действием, которое нужно было включить.»(2)
У равностороннего треугольника все стороны равны, а все внутренние углы совпадают, поэтому у него будет три оси отражения, которые проходят через каждую вершину и середину противоположных сторон. Поскольку у такого треугольника более двух отражений симметрии, он также будет иметь симметрию вращения. В этом случае он имеет симметрию вращения каждые 120 градусов. Итак, в общей сложности каждый равносторонний треугольник будет иметь пять нетривиальных симметрий и идентичность, всего шесть.Поскольку у разностороннего треугольника нет равных сторон или углов, у него не будет нетривиальной симметрии.
Рисунок 1.2
Классы симметрии четырехугольника
Четырехугольная классификация также определяется симметрией фигур. Мы начнем с объяснения квадрата, поскольку это самый особенный вид четырехугольника. Поскольку квадрат имеет четыре равные стороны и углы, он будет иметь симметрию отражения по четырем осям. Две из этих осей симметрии проходят через противоположные вершины.(См. Рисунок 1.2). В квадрате ABCD эти оси обозначены отрезком линии AC и отрезком линии BD. Две другие оси проходят через середины противоположных сторон, как показано на отрезках bf и ge в квадрате ABCD. Поскольку существует более двух симметрий отражения, квадрат должен иметь симметрию вращения. Квадрат имеет вращательную симметрию под углом 90 градусов, таким образом, есть три нетривиальные вращательные симметрии. Включая идентичность, у каждого квадрата будет всего восемь симметрий.
Следующие наиболее симметричные четырехугольники — это прямоугольник и ромб.Обе фигуры будут иметь две оси отражательной симметрии. Оси прямоугольника проходят через середины противоположных сторон, а оси ромба — через противоположные вершины. Пожалуйста, обратитесь к прямоугольнику HIJK и ромбу QRST для визуального представления этих симметрий линий. Обе эти фигуры имеют симметрию вращения на 180 градусов. Итак, у каждой из этих фигур будет четыре симметрии, включая идентичность.
Последние три четырехугольника, подлежащие классификации, — это равнобедренная трапеция, воздушный змей и параллелограмм (не квадрат или прямоугольник).Каждый из них будет иметь одну нетривиальную симметрию вместе с идентичностью, всего две. Равнобедренная трапеция имеет один набор несовпадающих параллельных сторон и один набор конгруэнтных сторон, которые не параллельны друг другу. Эта фигура будет иметь только одну отражательную линию симметрии поперек оси, которая проходит через середины параллельных сторон и перпендикулярна им. (См. Рис. 1.2). Обозначается отрезком yz трапеции UVWX. У него не будет никакой вращательной симметрии, кроме тождества.Типичный кайт состоит из 2 пар смежных конгруэнтных сторон. Эта фигура будет иметь симметрию отражения относительно оси, проходящей через вершины, в которых пересекаются конгруэнтные стороны. (См. Рис. 1.2). Отрезок линии EG в кайте EFGH иллюстрирует эту ось отражения. У этой фигуры не будет вращательной симметрии, кроме тождества. Наконец, типичный параллелограмм не будет иметь отражающей симметрии, но будет иметь симметрию вращения на 180 градусов, а также идентичность.
Следует отметить еще несколько вещей, которые помогут доказать, что эти классификации симметрии верны. Во всех описанных здесь случаях, если четырехугольник имеет симметрии типа, принадлежащего данному классу четырехугольников, то он принадлежит этому классу. Во-первых, при повороте на 180 градусов линия всегда параллельна самой себе, если центр вращения лежит на этой линии. Этот факт можно использовать для объяснения вращательной симметрии параллелограммов. Поворот на 180 градусов параллелограмма вокруг его центра меняет местами пары противоположных сторон и, следовательно, также должен менять противоположные вершины.Центр вращения должен лежать на обеих диагоналях. Поскольку противоположные вершины меняются местами, они должны находиться на одинаковом расстоянии от центра вращения. Общий параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат обладают этой характеристикой симметрии. Еще одна вещь, которую стоит учесть, — это то, что вращательная симметрия также сохранит диагонали и точку пересечения двух диагоналей, вокруг которых вращается фигура. Если ваши ученики изучают диагонали четырехугольника, им стоит подумать об этом.Наконец, примите во внимание, что линия, которая отражается от себя через ось симметрии, должна пересекать эту ось под углом 90 градусов. Это показано в осях симметрии, которые проходят через середины сторон, в случаях трапеции, прямоугольника и квадрата.
Рисунок 1.3
Рисунок 1.4
Если трудно представить себе эти симметрии, сделайте то, что мы просим наших учеников; нарисуйте пример. Нарисовав пример исследуемой фигуры и пометив ее вершины, вы можете выполнить отражение и повороты, чтобы доказать себе, что они действительно возможны.Например, давайте посмотрим на отражения и вращения в равностороннем треугольнике.
Рисунок 1.3 иллюстрирует вращательную симметрию равностороннего треугольника. Вы можете видеть, что при повороте фигуры на 120 градусов по часовой стрелке форма и размер остаются прежними. Мы видим, что поворот произошел, потому что все точки A, B и C изменились. Обратите внимание, что когда исходный треугольник (Треугольник 0) поворачивается на 120 градусов по часовой стрелке, вершина с меткой A перемещается в точку B.Точка B перемещается туда, где была точка C, а точка C перемещается туда, где была точка A. Треугольник 3 показывает последний поворот, который является идентичностью фигуры. На рисунке 1.4 показана отражательная симметрия равностороннего треугольника. От каждой середины стороны до противоположной вершины проходит линия симметрии.
Изометрии плоских фигур
На ранних этапах преобразования многоугольников чаще всего называют «перевороты, повороты и скольжения». Опять же, я считаю, что для меня важно осознавать, что мои ученики, скорее всего, придут ко мне с этим предварительным знанием содержания, не будучи уверенными в использовании наиболее формального математического языка.Таким образом, моя работа состоит в том, чтобы связать стандартные математические термины с их предшествующими знаниями, а затем обязательно настаивать на том, чтобы они использовали правильные термины для этих различных преобразований.
Есть четыре типа изометрий, которые следует понимать как преобразования всей плоскости: смещения, вращения, отражения и отражения скольжения. В младших классах перевод обычно называют «слайдом». Когда объект перемещается, он перемещается на расстояние, сохраняя свою первоначальную форму, размер и ориентацию.Все изометрии сохраняют форму и размер. Особенность переводов заключается в том, что все линии перемещаются параллельно друг другу и с одинаковой ориентацией. Чтобы проиллюстрировать перевод, может быть полезно пометить стороны, чтобы было ясно видно, что объект не изменился в ориентации, а только что переместился по линейному пути. (см. рисунок 1.5)
Рисунок 1.5
Перевод
Отражение фигуры — это преобразование, которое создает отражательную симметрию при сохранении фигуры.В младших классах это обычно называют «переворотом». Отражение переворачивается по линии (называемой осью симметрии или линией отражения). После этого преобразования фигура сохранит тот же размер, форму и угол наклона. Лучше всего это проиллюстрировать примерами из реального мира, такими как изображение горы, отраженной в озере или другом водоеме. В отражении мы можем идентифицировать линию, по которой был сделан переворот. Это называется осью отражения. Каждая точка преобразованной фигуры будет на одинаковом расстоянии от линии отражения, но с противоположной стороны.(см. рисунок 1.6)
Рисунок 1.6
Отражение
Третье преобразование, охватываемое начальной учебной программой, — это то, что учащиеся назовут «поворотом». Эти повороты являются вращениями. Это те же самые вращения, которые определяют вращательную симметрию фигуры, но вместо того, чтобы вращать фигуру вокруг своего центра, она вращается вокруг другой фиксированной точки и может быть повернута на любой угол. Эта точка называется центром вращения. Наряду с центром вращения фигуре требуется величина и направление вращения.Фигурки можно вращать по часовой стрелке или против часовой стрелки на 360 градусов. (см. рисунок 1.7)
Рисунок 1.7
Вращение
Скользящее отражение обычно не входит в учебную программу начальной школы, но, поскольку ученики знакомы с тем, как оно выглядит, я думаю, что ученикам будет интересно узнать об этом. Скользящее отражение — это сочетание перевода и отражения. Поскольку фигура отражается, а затем перемещается, преобразованная фигура будет иметь противоположную ориентацию от оригинала.Лучшая иллюстрация отражения скольжения в реальной жизни — это изображение шагов на песке. Изображения ступней являются отражающими по своей природе (поскольку одна является зеркальным отображением другой), и при естественной походке два следа будут разделены. Каждый след — скользящее отражение предыдущего. Отражения скольжения также часто встречаются на декоративных бордюрах.
Рисунок 1.8
Отражение скольжения
Некоторые изометрии не меняют ориентацию фигуры.Например, при вращении положение точек на фигуре не меняется после того, как преобразование произошло. То же самое и с переводами. Подобные изометрии называются прямыми преобразованиями или сохранением ориентации. Если преобразование изменяет изображения точек на фигуре, как при отражении, то это называется противоположной изометрией или изменением ориентации. (3)
Журнал
Геометрия требует много нового словарного запаса для большинства студентов.Используя математический журнал, я хочу побудить своих учеников писать, запоминать и синтезировать новые слова, которые они выучат во время этого раздела. Журнал будет интерактивным, так как мы будем добавлять к нему ссылки и ссылаться на него во время блока. В большинстве случаев, когда ученики должны добавлять словарный запас в свои тетради, для них будет важно нарисовать диаграммы, чтобы проиллюстрировать значения, а также написать определения. Словарь, который будет включен в этот модуль, можно найти в разделе «Базовые знания».
Использование графических организаторов для классификации многоугольников
«Графические органайзеры — мощный способ помочь учащимся понять сложные идеи. Адаптируя и опираясь на базовые диаграммы Венна, вы можете выйти за рамки систем сравнения и классификации диаграмм, которые побуждают учащихся распознавать сложные взаимосвязи». (4) Этот вид документа будет в стадии разработки, поэтому, когда учащиеся узнают больше о характеристиках различных типов многоугольников, они смогут добавить больше деталей в свой графический органайзер.Это также предоставит им ресурс, на который они смогут ссылаться при самостоятельной работе над вопросами.
Первый вид графического организатора, который я буду использовать со своими учениками, — это диаграмма Венна. Диаграмма Венна используется, чтобы показать сходства и различия между информацией. В математике мы можем использовать диаграмму Венна, чтобы показать, как многоугольники имеют общие характеристики.
Когда я начну рисовать четырехугольные классификации, я начну с гигантского круга или овала, который будет охватывать все остальные круги внутри него.Он будет обозначен как «четырехугольник», так как все фигуры, которые мы поместим на диаграмму, будут четырехугольниками. В этом круге я собираюсь попросить учеников нарисовать несколько неспецифических четырехугольников. Затем мы пройдемся по каждой категории четырехугольников.
Я хочу начать с трапеций. Этот круг или овал не будет пересекаться с другими фигурами или кругами. Учащиеся нарисуют круг для трапеций и пометят его именем и определяющей характеристикой (один набор параллельных сторон).Учащиеся нарисуют три разных вида трапеций внутри круга и правильно пометят их. Должны быть равнобедренная трапеция, правая трапеция и общая трапеция, у которой нет равных сторон или прямого угла. Поскольку дальше мы перейдем к параллелограммам, я хотел бы на этот раз указать еще один способ, которым трапеции связаны с симметрией, а именно то, что каждая трапеция может быть получена путем разрезания параллелограмма пополам линией, проходящей через его центр. Созданные соответствующие трапеции будут совпадать при вращении вокруг центра параллелограмма.
Следующий раздел, который создадут учащиеся, предназначен для параллелограммов. Этот круг или овал должны быть довольно большого размера, потому что существует несколько различных видов параллелограммов. Следует пометить круг или овал, а под заголовком указать определяющую характеристику параллелограммов (два набора параллельных сторон). Затем ученики нарисуют пример общего параллелограмма, который не является прямоугольником или ромбом. В учебной программе, используемой в Северной Каролине, параллелограмм не считается трапецией.Для этого устройства, когда обсуждается трапеция, это считается четырехугольником только с одной парой параллельных сторон.
Внутри параллелограммов области учащиеся создадут еще два перекрывающихся овала. Один будет обозначен прямоугольником, а другой — ромбом. Определяющей характеристикой прямоугольника является то, что он имеет четыре прямых угла (или вы можете попросить учеников записать, что стороны перпендикулярны друг другу). У категории ромбов все стороны совпадают. Для каждого круга ученики нарисуют пример каждого из этих видов параллелограммов.На участке, где два круга перекрываются, находится квадрат. Его определяющие характеристики заключаются в том, что он олицетворяет как прямоугольную, так и ромбическую форму. Затем ученики нарисуют изображение квадрата, чтобы завершить этот раздел диаграммы Венна.
Последняя часть предназначена для воздушного змея. Эта часть должна перекрываться ромбом, так как воздушный змей с двумя наборами совпадающих смежных сторон также может быть ромбом. Учащиеся напишут, что воздушный змей определяется наличием двух наборов смежных сторон, совпадающих.Учащиеся нарисуют пример такого четырехугольника и завершат свою диаграмму Венна по классификации четырехугольника.
Диаграмма Венна, созданная учащимися, будет документом, который они будут использовать в этом модуле и в оставшейся части раздела геометрии. Учащиеся будут продолжать добавлять дополнительную информацию к своей диаграмме Венна, когда они исследуют различные диагонали каждой фигуры и то, как это определяет такой четырехугольник.
Учащиеся также будут использовать свои диаграммы для создания письменных соотношений между различными четырехугольниками.Учащиеся напишут предложения для сравнения, которые начинаются с начала предложения, например; «ромб подобен прямоугольнику, потому что ___». Они также будут делать правдивые и ложные утверждения о цифрах, чтобы поделиться со своими одноклассниками. Примером истинного или ложного утверждения, которое они могут создать, будет: «Все ромбы — квадраты». В этом случае студентам придется подтвердить или опровергнуть это утверждение. Рисуя пример ромба, который не является квадратом, другие студенты могут доказать, что это утверждение ложно.
Исследование студентов
Чтобы удовлетворить потребности всех учеников с различными способностями в моем классе, я люблю предлагать занятия, которые способствуют исследованию учащихся. Студенты работают с манипуляторами и в группах работают над проблемами. Я буду использовать этот подход при исследовании отражательной и вращательной симметрии четырехугольников.
После того, как ученики узнают, что значит вращательная или отражательная симметрия для фигуры, им будет предложено определить, сколько симметрий существует в различных четырехугольниках.Для выполнения этой задачи студенты будут работать в предварительно выбранных партнерах. Я считаю, что студентов следует объединять с кем-то, кто дополняет их стиль обучения. Для задания, которое носит исследовательский характер, ученикам не выгодно иметь партнера, который будет действовать слишком быстро или слишком медленно для них. В своих партнерских группах ученикам будет предоставлено несколько различных материалов для выполнения задания.
Каждая группа будет иметь строительные вырезы каждого типа четырехугольника (квадрат, прямоугольник, ромб, равнобедренная трапеция, воздушный змей и параллелограмм).Они также получат накладные листы с разной степенью круга. Они могут использовать эти накладные листы, чтобы рисовать свои фигуры для проверки симметрии вращения. Студенты будут работать вместе, чтобы доказать симметрии каждой фигуры и записать, откуда они это узнали. Когда группы закончат работу, они поделятся своими открытиями. Когда класс придет к соглашению о симметрии всех фигур, я поделюсь с ними диаграммой (см. Рис. 1.1), и они запишут информацию в свои журналы.
Использование технологий
Неотъемлемой частью моей математической программы является интеграция различных технологий. Для этого модуля я хочу включить использование компьютерной программы по геометрии. Sketchpad от Geometer — это лицензионная компьютерная программа, которая позволяет учащимся создавать геометрические фигуры, а также выполнять преобразования. (5) Если эта программа недоступна в вашей школе, как и в моей, вы можете загрузить бесплатную версию аналогичной программы под названием GeoGebra.(6) Мои ученики будут использовать эту программу для создания шаблонов симметрии с использованием четырехугольников.
Еще одна технология, доступная в моем классе, — это использование доски Promethean. (7) Мы будем использовать это, чтобы студенты делились тем, что они создали с помощью GeoGebra.
Цель
В этом упражнении учащиеся будут использовать компьютерную программу по геометрии для создания мозаики с использованием определенного четырехугольника в качестве фундаментальной области, а затем проанализируют симметричные свойства мозаики, чтобы определить, соответствуют ли эти свойства свойствам четырехугольника, из которого они были построены.
Процедуры
Перед этим уроком у студентов будет некоторое время, чтобы познакомиться с программой по геометрии. Поскольку в моей школе нет Sketchpad Geometer, я буду использовать программу, которую можно бесплатно скачать, под названием Geogebra. Несмотря на то, что до этого урока у студентов было некоторое время поработать с Geogebra, я предоставлю инструкцию, которая поможет им построить мозаику.
Рисунок 1.9
Каждому учащемуся будет назначен отдельный параллелограмм (прямоугольник, квадрат, ромб или типичный параллелограмм, не относящийся к более особым типам).Это будет фундаментальная область, которую они собираются создать для своей тесселяции. Это проиллюстрировано на рис. 1.9 прямоугольником с цифрой один. Затем с каждой стороны четырехугольника они построят квадрат (используя длину стороны как длину каждой стороны соответствующего квадрата). Это показано выше в областях, отмеченных двойкой. Затем, используя длины сторон квадратов, создайте еще один четырехугольник, чтобы заполнить оставшуюся область основной области, как показано областями, отмеченными тройкой.
После того, как они закончат конструирование, ученики встретятся с другими учениками, которые использовали тот же четырехугольник в качестве центра своей фундаментальной области, и обсудят следующие вопросы.
Какие симметрии определяют четырехугольник, с которого вы начали?
Что вы заметили в созданном фундаментальном домене?
Какова симметрия всего созданного вами изображения?
Можете ли вы связать симметрию четырехугольника, с которого вы начали, с фигурой, которую вы создали?
Используется ли этот созданный вами паттерн в вашей повседневной жизни? Где вы можете увидеть этот узор?
Учащиеся обсудят и запишут свои идеи относительно ответов на эти вопросы.Затем ученики сформируют группы, в которых все начинают с разных четырехугольников. Учащиеся поделятся своими паттернами и идеями, а затем обсудят, есть ли предположение, которое они могут придумать, объясняющее симметрию этих видов паттернов на основе четырехугольника, из которого они были созданы.
В качестве дополнения к этому упражнению предложите учащимся начать с любого произвольного четырехугольника. Затем попросите учащихся найти середины сторон и повернуть их на 180 o вокруг этих точек.Затем попросите учащихся использовать те же вопросы для изучения этой мозаики. В этом случае ученики обнаружат, что некоторые из созданных ими мозаик не дают четырехкратной симметрии вращения, как это делали параллелограммы.
Оценка
Студенты будут оцениваться по различным компонентам их работы в классе. Каждый ученик будет отвечать за создание шаблона (даже если они работали с партнерами на компьютере для этой части задания). Каждому ученику также необходимо будет записать свои идеи по вопросам, которые они обсуждали в своих группах.Выполняя домашнее задание, учащиеся будут искать подобные шаблоны в реальном мире. Чтобы найти примеры, они могут сфотографировать места в своем доме, в городе или в школе. Они также могут использовать Интернет, чтобы найти изображения такого рода узоров.
Цель
Ученики будут использовать свое понимание трансформаций для создания паттернов с использованием определенных движений своего тела.
Процедуры
Студентам будет дана задача использовать несколько ограниченных ресурсов для создания различных преобразований, которые они изучали.Студенты будут разделены на группы по три человека, которые будут определены учителем на основе схожих стилей обучения и темпа работы отдельных студентов. В моем классе такая групповая обстановка позволяет студентам работать вместе более эффективно, так что у всех студентов есть шанс принять участие и понять концепцию.
Каждой группе выдадут карандаши, линованную бумагу, белую плотную бумагу, большие куски мясной бумаги, моющуюся краску для плакатов и кисти.Поскольку это упражнение будет включать рисование и предоставит ученикам возможность запутаться, я обязательно попросю учеников одеться соответствующим образом, а также постараюсь выделить им место на улице для работы. Каждая группа также получит следующую информацию, представленную им для выполнения своей задачи.
Вы узнали о том, как точки могут трансформироваться на плоскости для создания различных узоров. Сегодня ваша задача — использовать свое тело, чтобы проиллюстрировать эти различные виды трансформаций.Чтобы создать свои выкройки, вы можете использовать свои руки и / или ноги в качестве штампов с предоставленной краской и бумагой. Перед тем, как сделать окончательный продукт, вы должны составить план, используя линованную бумагу и карандаши. Ваш план должен отвечать на следующие вопросы для каждого преобразования.
Как вы можете проиллюстрировать эту трансформацию руками или ногами? Где вы должны расположить руки или ноги? Нарисуйте набросок того, как, по вашему мнению, это должно выглядеть. Почему это иллюстрирует такую трансформацию? Как вы можете это оправдать? Обязательно используйте математические рассуждения, которые мы обсудили, в поддержку вашего аргумента.
Преобразования, которые вы должны проиллюстрировать, следующие: перемещение, отражение, вращение и скользящее отражение. Каждое преобразование нужно делать на отдельном листе строительной или мясной бумаги. Завершайте каждый вид трансформации столько раз, сколько хотите, но только в одном направлении. У вас должен получиться линейный путь преобразований для каждого из них.
Когда ученики закончат создавать свои преобразования, они переходят к другой группе, чтобы классифицировать изображения, сделанные этой группой.Наконец, мы закрепим узоры на стенах классной комнаты по типу симметрии, которую они представляют.
Оценка
Студенты будут оцениваться по их конечным продуктам, а также по письменным планам, которые использовались при создании их шаблонов. Я буду искать точность в конечном продукте, а также понимание того, как было создано преобразование. Наблюдение учителем за группами, обсуждающими другие модели, также будет использоваться в качестве инструмента оценки. В качестве домашнего задания учащихся попросят пойти домой и научить родителей или другого взрослого, как создать одно из преобразований, которые они создали в классе.Используя то, что им объяснил их ребенок, родители создадут свои собственные шаблоны, которыми ученики поделятся на следующий день в классе.
Цель
Студенты свяжут симметрию со своей жизнью, а также с приложениями из реального мира, используя предварительные знания и независимые исследования по теме. Студенты могут выбрать изучение симметрии в природе, архитектуре, науке, искусстве, дизайне одежды или рекламе. Студенты создадут конечный продукт, который объяснит своим одноклассникам, что они обнаружили в ходе своих исследований.
Процедуры
В качестве разогрева перед этим заданием у меня будут изображения различных симметричных предметов. Изображения симметричных предметов в природе, рисунки фризов на зданиях, симметричные произведения искусства, искусство, созданное М.С. Эшером, изображения симметрии в рекламе (например, дизайн логотипов), изображения симметрии в моде и т. Д. У меня также будут их изображения однотипные предметы, которые не являются симметричными.
Сначала ученики получат набор изображений предметов, обладающих симметрией, и предметов, которые не имеют симметрии, и обсудят с партнерами то, что они замечают в этих картинках.Они будут использовать наводящие вопросы, например: «Что вам нравится в этой картинке? Что вам не нравится? Что вы замечаете в изображении? Можете ли вы установить связь между любыми изображениями и рисунками? хотите изменить то, что изображено на картинке? »
После того, как студенты закончат эти вопросы для обсуждения, я попрошу их еще раз взглянуть на картинки и разделить их на две категории; предмет имеет симметричные свойства, а предмет не имеет (нетривиальной) симметрии.Затем партнеры обсудят, какую роль, по их мнению, играет симметрия в нашей повседневной жизни. В каких сферах нашей жизни мы видим симметрию? Была ли разница между тем, как вы себя чувствовали, когда смотрели на симметричные предметы, и на те, которые не имели симметрии?
Эта разминка предоставит учащимся возможность провести мозговой штурм в различных областях своей жизни, в которых они сталкиваются с симметрией. Вместе, как класс, мы составим список различных мест, где мы обнаруживаем симметрию, включая области, перечисленные в приведенной выше задаче.
Затем студентам будет предложено выбрать одну из этих областей для исследования. В процессе исследования они должны найти примеры, которыми можно поделиться с классом. Примерами могут быть сделанные ими фотографии предмета, сам предмет, картинки из книги, журнала или из Интернета. Они должны исследовать, как симметрия используется в выбранной ими конкретной области. Они также должны предоставить как минимум три примера симметрии и уметь определять, какой симметрии обладает предмет.Они будут нести ответственность за представление этой информации своим одноклассникам, используя метод по своему выбору (например, презентация PowerPoint, письменное эссе, брошюра, плакат, видео и т. Д.).
Оценка
Студенты будут оцениваться по окончательному продукту на основе проведенного исследования. Они будут оцениваться по точности их оценки типа симметрии объектов. Я также буду искать полное, вдумчивое исследование, используя рекомендации, которые были даны студентам для выполнения задания.Это включает в себя предоставление примеров, а также конечный продукт, с помощью которого они могут представить свои исследования своим коллегам.
Для этого раздела ученикам понадобится тетрадь на спирали, которую они будут вести как журнал по математике. Я предлагаю студентам использовать тетрадь с тремя предметами, чтобы у студентов был раздел для лексики, заметок и практических задач. Для исследования учащихся каждой группе учащихся необходимы вырезы из многоугольников, а также прозрачные пленки. Доступ к компьютеру необходим для первого действия.Каждому студенческому компьютеру потребуется геометрическая программа Geogebra, доступная в Интернете. Для задания 2 учащимся понадобится плотная бумага, мясная бумага и моющаяся краска. Для этой разминки потребуются изображения симметричных и несимметричных объектов, как объяснено в третьем упражнении.
Определение линии симметрии: определение и примеры — математический класс [видео 2021 года]
Что такое линия симметрии?
Ось или линия симметрии — это воображаемая линия, которая проходит через центр линии или формы, образуя две совершенно идентичные половины.В математике более высокого уровня вам будет предложено найти ось симметрии параболы.
Это парабола , U-образная линия на графике.
Определение линии симметрии графически
Мы можем определить линию симметрии графически, просто найдя самую дальнюю точку кривой параболы. Это называется вершиной , точкой, где соединяются две линии.Если бы парабола была холмом, самая высокая точка на этом холме представляла бы вершину параболы, или если бы парабола была долиной, самое низкое место в долине представляло бы вершину параболы.
Взгляните на этот график. Вы видите вершину? Это в точке (2, 3).
Хорошо, теперь посмотрим на этот график. 2 + bx + c , где a , b и c равны всем действительным числам.2 + bx + c . Это означает, что a = 2 и b = -4. Давайте подставим это в нашу формулу x = — b /2 a , что дает нам x = — (- 4/2 (2)). Теперь оцените уравнение. 2 x 2 = 4 и — (- 4) / 4 = 4/4 = 1. Итак, теперь у нас есть 1, что дает нам x = 1. Если бы мы изобразили это уравнение на графике, оно бы выглядело так.
Вы можете видеть, что линия симметрии проходит через вершину (1, -5).2 + 8
Это довольно просто. Мы знаем, что в формуле вершин x = h , а в этом уравнении h = 4, поэтому наша вершина равна x = 4. Почему ответ положительный 4, а не отрицательный 4? Помните, что перед h стоит отрицательный знак в уравнении вершины. Чтобы избежать ошибок в знаках, запомните этот простой трюк: представьте себе это число и любой знак, стоящий перед ним, как — h . Вы можете изобразить уравнение, чтобы увидеть, где находится вершина в точке (4, 8).2 + 4
Сначала идентифицируем — ч . Мы можем видеть в этом уравнении, что -h = 3. Это положительное число 3, поэтому теперь возьмите противоположное — h , что равно -3, и у вас есть линия симметрии: x = -3.
Взгляните на график этого уравнения. Видите линию симметрии, проходящую через вершину (-3, 4)?
Резюме урока
Сегодня вы узнали о линии симметрии, которая представляет собой воображаемую линию, проходящую через центр линии или фигуры, образующую две совершенно идентичные половинки.2 + к . где h = x и k = y . Определите, какое число в уравнении равно -h , а затем напишите противоположность -h для вашей линии симметрии.
Результаты обучения
К концу этого урока вы должны уметь:
- Определить линию симметрии в реальных примерах и на графиках
- Вычислить линию симметрии в квадратном уравнении
Mathematics_ (решения) для 6 класса по математике Глава 7
Стр. № 41:
Вопрос 1:
Нарисуйте оси симметрии каждой из фигур ниже.У какой из них более одной оси симметрии?
Ответ:
Ось симметрии фигуры делит фигуру на две равные части.
Фигуры (1), (2) и (4) имеют более одной оси симметрии.
Стр. № 41:
Вопрос 2:
Напишите в блокноте заглавные буквы английского алфавита.Попробуйте нарисовать их оси симметрии. Какие из них имеют ось симметрии? Какие из них имеют более одной оси симметрии?
Ответ:
Буквы с осью симметрии:
A, B, C, D, E, H, I, K, M, O, T, U, V, W, X, Y
Буквы у которых более одной оси симметрии:
H, I, O, X
Стр. № 41:
Вопрос 3:
Используйте цвет, нитку и сложенную бумагу, чтобы нарисовать симметричные формы.
Стр. № 41:
Вопрос 4:
Наблюдайте за различными обычно видимыми объектами, такими как листья деревьев, летящие птицы, изображения исторических зданий и т. Д. Найдите среди них симметричные формы и составьте их коллекцию.
Стр. № 42:
Вопрос 1:
Вдоль каждого рисунка, показанного ниже, проведена линия l .Завершите симметричные фигуры, нарисовав фигуру на другой стороне так, чтобы линия -1 стала линией симметрии.
Ответ:
Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 6
полигонов — пояснения и примеры
Вы слышали о многоугольнике? Что ж, полигонов нас окружают! Большинство обычных форм, которые вы видите или изучаете каждый день, — это многоугольники.Вы видите, что стена прямоугольной формы представляет собой многоугольник.
Вид спереди игральной кости, имеющей квадратную форму, представляет собой многоугольник. Кусочек пиццы имеет форму треугольника, а значит, и многоугольника.
Из этой статьи вы узнаете:
- Что такое многоугольники и как они выглядят.
- Различные типы полигонов.
Что такое многоугольник?
В математике многоугольник — это замкнутая двумерная фигура, состоящая из отрезков прямых, но не кривых.Термин «многоугольник» происходит от греческого слова «поли -», означающего «множество», и «- гон», что означает «углы».
Самыми распространенными примерами многоугольников являются треугольник, прямоугольник и квадрат. Проще говоря, многоугольники — это простые фигуры или фигуры, состоящие только из отрезков линий.
Примечание. Круги, трехмерные объекты, любые формы, которые включают кривые, и любые формы, которые не замкнуты, не являются многоугольниками.
Полигоны были известны человеку с древних времен. Греки изучали невыпуклый правильный многоугольник в 7 -м веке до нашей эры на кратере Аристофана. Томас Брэдвардайн был первым известным человеком, изучавшим невыпуклые многоугольники в 14 -х годах -го века. Концепция многоугольников была обобщена в 1952 году Джеффри Колином.
Теперь, когда вы поняли, что такое многоугольник, давайте исследуем различные многоугольники и то, как они выглядят.
Типы многоугольников
В зависимости от сторон и углов, многоугольников подразделяются на различных типов, а именно:
- Правильный многоугольник
- Неправильный многоугольник
- Выпуклый многоугольник
- Вогнутый многоугольник
04 Правильный многоугольник
Правильный многоугольник — это многоугольник, в котором все внутренние углы равны, а также все стороны равны.Есть разные типы правильных многоугольников.
Это:
- Треугольник : Равносторонний треугольник — это правильный многоугольник с тремя равными длинами сторон и тремя равными углами.
- Четырехугольник. Четырехугольник — это правильный многоугольник с четырьмя углами и четырьмя сторонами. Примеры четырехугольников:
a. Квадрат : Четырехугольник, у которого четыре стороны равны, а четыре угла равны 90 градусам каждый.
б. Прямоугольник:
c. Параллелограмм : Противоположные стороны параллельны, противоположные стороны равны по длине, противоположные углы равны
d. Воздушный змей : Две пары смежных сторон равной длины; форма имеет ось симметрии.
эл. Ромб : Особый тип параллелограмма, в котором все четыре стороны имеют одинаковую длину, как квадрат, сдавленный в стороны.
- Пентагон : многоугольник с 5 равными сторонами и углом
- Шестиугольник: Правильный многоугольник с 6 равными сторонами и 6 равными углами.
- Шестиугольник: Правильный многоугольник с 7 равными длинами сторон и 7 одинаковыми углами.
- Восьмиугольник: У восьмиугольника 8 равных сторон и 8 равных углов. Лучшим примером восьмиугольника из реальной жизни является дорожный знак STOP.
- Nonagon: Имеет 9 равных сторон и 9 одинаковых углов.
- Хендекагон: Имеет 11 равных сторон и 11 равных углов.
- Додекагон: правильный многоугольник с 12 равными сторонами и 12 одинаковыми углами
- Трехугольник: Имеет 13 равных сторон и 13 одинаковых углов.
- Tetrakaidecagon : имеет 14 равных сторон и 14 одинаковых углов.
- Пентадекагон: Пятиугольник — это правильный многоугольник с 15 равными сторонами и 15 одинаковыми углами.
- Hexakaidecagon : имеет 16 сторон и углов.
- Гептадекагон : Имеет 17 сторон и углов.
- Octakaidecagon: Имеет 18 сторон и углов
- Enneadecagon: 19 сторон и 19 углов.
- Икосагон: Имеет равные стороны и 20 равных углов
- Шестиугольник: Имеет 100 равных сторон и 100 равных углов.
- Chiliagon: Имеет 1000 сторон
- Myriagon: 10000 сторон.
- Мегагон: Один миллион сторон.
- n-угольник : имеет n равных сторон.
Неправильный многоугольник
Неправильный многоугольник — это многоугольник с разными углами и длинами сторон.
Примеры неправильных многоугольников:
Выпуклый многоугольник
Это тип многоугольника, все внутренние углы которого строго меньше 180 градусов. Вершина выпуклого многоугольника всегда направлена наружу от центра фигуры.
Вогнутый многоугольник
Если один или несколько внутренних углов многоугольника больше 180 градусов, он называется вогнутым многоугольником. Вогнутый многоугольник может иметь как минимум четыре стороны — вершина указывает внутрь многоугольника.
Ниже приведены несколько мнемоник, которые помогут запомнить названия некоторых многоугольников:
- У квадроцикла 4 колеса и, следовательно, четырехугольник.
- Вашингтон, округ Колумбия, в США имеет 5 сторон (Пентагон).
- A H онейкомб имеет 6 сторон ( H exagon).
- S эптагон имеет 7 сторон ( S даже).
- У осьминога 8 щупалец (восьмиугольник).
- Термины N, онагон и N начинаются с буквы N.
- A Десятиугольник имеет 10 сторон, так же как десятичная запятая D имеет 10 цифр.
Реальные приложения полигонов
Понимание форм важно в геометрии. Формы находят широкое применение в реальных приложениях.
Например:
- Плитки, по которым вы идете, имеют квадратную форму, что означает, что они представляют собой многоугольники.
- Ферма здания или моста, стены здания и т. Д., являются примерами многоугольников. Фермы имеют треугольную форму, а стены — прямоугольную.
- Прямоугольная часть стула, на которой вы сидите, является примером многоугольника.
- Прямоугольный экран вашего ноутбука, телевизора или мобильного телефона является примером многоугольника.
- Прямоугольное футбольное поле или игровая площадка является примером многоугольника.
- Бермудский треугольник треугольной формы представляет собой многоугольник.
- Пирамиды Египта также являются примером многоугольника (треугольника).
- Фигуры в форме звезды являются примерами многоугольника.
- Дорожные знаки также являются примером многоугольника.
Пример
У Джона есть прямоугольный лист бумаги. Он хочет разрезать бумагу так, чтобы получить еще два многоугольника (кроме прямоугольника) того же размера и формы. Подскажите возможные пути.
Решение
Есть два возможных способа вырезать прямоугольный лист бумаги таким образом, чтобы он получил еще два многоугольника (кроме прямоугольника) того же размера и формы:
- Он может вырезать прямоугольник лист бумаги ровно от центра по вертикали, чтобы получить два квадрата одинакового размера и формы.
- Он может разрезать прямоугольный лист бумаги по диагонали, чтобы получить два треугольника одинакового размера и формы.
Угадайте многоугольник:
- Я плоская фигура с 4 сторонами равной длины и углами 90 градусов по бокам.
- Я плоская фигура с двумя сторонами одинаковой длины и углами 90 градусов по бокам.
- Я — плоская фигура с 6 сторонами, и все внутренние углы превышают 90 градусов.
Ответы
- Квадрат
- Прямоугольник
- Шестиугольник