Номер (задание) 1598 — гдз по математике 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков
Условие / глава 2 / § 8 / тема 40 / 1598
1598. Запишите в виде процентов десятичные дроби 6,51; 2,3; 0,095.
Решебник №1 / глава 2 / § 8 / тема 40 / 1598
youtube.com/embed/rbhkCxG2_E0?start=12808″ allow=»cross-origin-isolated» frameborder=»0″ allowfullscreen=»»>
Решебник №3 / глава 2 / § 8 / тема 40 / 1598
ГДЗ Математика 5 класс Виленкин Учебник 1, 2 часть
Авторы: Виленкин Н.
Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Издательство: Мнемозина
Тип: Учебник
В средней школе программа резко усложняется, из-за чего многим ученикам пригодится ГДЗ по математике для 5 класса Виленкина. Если учитель недостаточно хорошо объясняет материал, изучать его приходится дома в разы больше. Многие родители слишком устают на работе и уже недостаточно хорошо помнят правила по математике, чтобы в нужной мере объяснить непонятные темы своим детям. Из-за этого ребятам приходится самостоятельно решать проблемы.
Выберите страницу учебника:
Главным помощником в борьбе с непонятным предметом будет решебник, в котором содержится подробный разбор домашней работы, а также заданий для контрольных и самостоятельных работ. Он поможет справиться с такими разделами, как:
- натуральные числа и начало геометрии;
- правила сложения и вычитания, умножения и деления натуральных чисел;
- дробные числа;
- построение.
Чаще всего в школах отдают предпочтение издательству Мнемозина, поскольку оно выпускает учебники по стандарту ФГОС с известным авторским коллективом, в который входят Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд.
Эти пособия используются уже более сорока лет, проводя регулярные редакции. Многие преподаватели считают, что именно этот учебник является номером 1 для пятиклассников.
Благодаря ответам к учебнику Виленкина, каждый ребенок может разобраться в теме, имея перед глазами наглядные примеры решения сложных задач. Упрощение учебного процесса способствует повышению интереса к математике в 5 классе. Потому что благодаря решебнику приходить на занятия будет уже нестрашно. В тетради всегда будет выполненная домашняя работа.
Если ребенок пропустил несколько уроков из-за болезни, решебник к учебнику автора Виленкина поможет ознакомиться с пройденным материалам. Не придется писать и звонить одноклассникам, которые даже могли ошибиться, переписывая в тетрадь задачу с доски.
Используя 1 часть и 2 часть ГДЗ, учеников замечают, что их успеваемость становится лучше. Благодаря тому, что возможность повторить пройденные темы есть в любой момент, подготовка к контрольным становится намного проще.
Авторы, готовившие решение для ГДЗ, внимательно разбирали каждое задание, которых в пособии содержится практически две тысячи. Каждый из них имеет глубокие познание в области математики, так что в достоверности ответов сомневаться не придется. Пошаговое решение поможет ученику разобраться в теме и найти ошибки в собственных записях, которые не попадаются на глаза.
Математика 5 класс — Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б.
Аннотация
Пример из учебника
Каждая глава заканчивается разделом под названием Чему вы научились. Там описаны основные знания и умения, которыми вы должны овладеть при изучении этой главы, и приведены задания, позволяющие это проверить.
Обратите внимание: это задания обязательного уровня. Их необходимо уметь выполнять, чтобы обеспечивать себе возможность двигаться дальше. А те, кому интересно, конечно же, будут знать и уметь больше.
Содержание
Предисловие 3
Глава 1. Линии
1.1. Разнообразный мир линий 5
1.2. Прямая. Части прямой. Ломаная 9
1.3. Длина линии 13
1.4. Окружность 17
Чему вы научились 22
Глава 2. Натуральные числа
2.1. Как записывают и читают натуральные числа 23
2.2. Натуральный ряд. Сравнение натуральных чисел 29
2.3. Числа и точки на прямой 34
2.4. Округление натуральных чисел 37
2.5. Решение комбинаторных задач 42
Чему вы научились 48
Глава 3. Действия с натуральными числами
3.1. Сложение и вычитание 49
3.2. Умножение и деление 54
3.3. Порядок действий в вычислениях 60
3.4. Степень числа 66
3.5. Задачи на движение 71
Чему вы научились 78
Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях
4.1.
4.2. Распределительное свойство 85
4.3. Задачи на части 89
4.4. Задачи на уравнивание 93
Чему вы научились 96
Глава 5. Углы и многоугольники
5.1. Как обозначают и сравнивают углы 97
5.2. Измерение углов 101
5.3. Ломаные и многоугольники 105
Чему вы научились 109
Глава 6. Делимость чисел
6.1. Делители и кратные 111
6.2. Простые и составные числа 116
6.3. Свойства делимости 120
6.4. Признаки делимости 124
6.5. Деление с остатком 128
Чему вы научились 134
Глава 7. Треугольники и четырёхугольники
7.1. Треугольники и их виды 136
7.2. Прямоугольники 140
7.3. Равенство фигур 144
7.4. Площадь прямоугольника 148
Чему вы научились 156
Глава 8. Дроби
8.1. Доли 158
8.2. Что такое дробь 162
8.3. Основное свойство дроби 170
8.4. Приведение дробей к общему знаменателю 176
8.5. Сравнение дробей 180
8.6. Натуральные числа и дроби 185
Чему вы научились 190
Глава 9.
Действия с дробями9.1. Сложение и вычитание дробей 192
9.2. Смешанные дроби 197
9.3. Сложение и вычитание смешанных дробей 201
9.4. Умножение дробей 206
9.5. Деление дробей 212
9.6. Нахождение части целого и целого по его части 218
9.7. Задачи на совместную работу 224
Чему вы научились 229
Глава 10. Многогранники
10.1. Геометрические тела и их изображение 231
10.2. Параллелепипед 237
10.3. Объём параллелепипеда 244
10.4. Пирамида 250
Чему вы научились 254
Глава 11. Таблицы и диаграммы
11.1. Чтение и составление таблиц 256
11.2. Диаграммы 265
11.3. Опрос общественного мнения 269
Чему вы научились 274
Ответы 276
Справочный материал 282
Предметный указатель 284
Для комфортного и реалистичного чтения учебника в онлайн режиме, встроен простой и мощный 3D плагин. Вы можете скачать учебник в PDF формате по прямой ссылке.
«Космология для любопытных» Делии Перлов
Мне потребовалось время, чтобы пройти «Космология для любопытных» .
На обложке он описывается как «нетехнический, но концептуально строгий отчет о современных космологических идеях». Он подходит для использования в качестве учебника на уровне колледжа для не относящихся к естествознанию специальностей. «Нетехнический» в данном случае означает отсутствие математики за пределами школьной алгебры, хотя кое-что из этого есть. К счастью, я достаточно хорошо разбираюсь в алгебре, чтобы читать и понимать смысл уравнений и способы их преобразования, в том числе с помощью подстановок.Тем не менее, я никогда не задумывался над вопросами космологии сколько-нибудь глубоко, поэтому многое из того, с чем я столкнулся, было новым, что замедляло процесс.Некоторое время я искал книгу, в которой рассматривалась бы тема на должном уровне. Я читал другие книги, посвященные этому вопросу на уровне новичков — «Ну и дела, разве Вселенная не велика и не таинственна!» подход авторов-популистов, таких как Карл Саган и Нил де Грасс Тайсон, изобилует множеством красивых изображений звезд и галактик. Очень хорошо, но я был готов к большему.
Cosmology for the Curious удовлетворила эту потребность. Есть ли книги получше того же уровня? Наверное, но я понятия не имею, что это такое. Между тем, теперь, когда я прошел через это от корки до корки по несколько страниц за раз, моя голова полна новых концепций и сопутствующей терминологии. Тем временем я обнаружил, что на YouTube есть множество видеолекций людей с любым уровнем знаний (от Ричарда Фейнмана до различных крикунов), с помощью которых я могу погрузиться в дополнительные объяснения бесчисленных отдельных идей.И я продолжаю этим заниматься, добавляя к различным лекциям по математике, поскольку космологическая физика теперь стала одним из моих интересов.
И пока я читал (и смотрел), я пришел к пониманию (как я и подозревал), что большая часть того, что известно о космологии, в том числе о происхождении Вселенной, образовании элементов периодической таблицы, образовании о планетах, солнечных системах, галактиках и скоплениях галактик, неизвестно и является спекулятивным. Нельзя сказать, что все это ерунда. (Учитывая, что все еще есть люди, которые искренне утверждают, что Земля плоская, неудивительно, что есть те, кто сопротивляется наблюдаемым и подтвержденным данным, собранным физиками-экспериментаторами.Было бы ошибкой отказываться от всего преследования только потому, что нужно знать гораздо больше, потому что некоторые вещи известны, а другие сильно подозреваются, но еще предстоит наблюдать. И поэтому я беспристрастно с интересом слежу за развитием того, что известно.
Вместе рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Вещественное число, такое как квадратный корень из 3, представляет собой точку на оси «действительной прямой». Геометрические представления некоторых действительных чисел изображены на следующем рисунке с использованием теоремы Пифагора:Можно представить реальные числа на «реальной» числовой строке как «точки», которые заполняют все доступные позиции на этой строке.Но не все позиции, как мы увидим, в трансцендентных числах в следующем разделе этого сайта.
Когда много веков спустя кто-то приходит к вопросу о том, как правильно или рационально обращаться с иррациональным, можно сказать, что в рамках общей концепции того, что такое число, вопрос приобретает совершенно иной оттенок. Оказывается, например, что между любой парой рациональных, какими бы близкими они ни были, существует бесконечное множество иррациональных.
Возникает вопрос, каково решение уравнения X 3 — 5 = 0? Возможно, самый простой способ ответить — указать, что, например, 1.7099 не является решением. Действительно, мы знаем это без вычисление, так как 1.70998 — рациональное число, и никакое рациональное число не является решением этого уравнения. Вы можете сказать, что решение — X = 5 1/3 . Если так, то это замкнутый круг. Поэтому для практических целей X = 1,70998 действительно является решением.
Иррациональное число очаровывало греков, которых интересовала также геометрическая интерпретация чисел, например квадратный корень из 2.В настоящее время квадратный корень из 2 применяется для оценки реального пройденного расстояния через города от точки A до другого места B, для которого расстояние AB = d измеряется с карты города.
На приведенном выше рисунке показано применение квадратного корня из 2 для оценки реального расстояния между двумя точками в современных городах с расстоянием (d), измеренным на карте.
В качестве еще одного применения квадратного корня из 2 рассмотрим широко используемые международные метрические стандартные размеры бумаги (IMSPS), такие как A4.В системе размеров бумаги IMSPS все страницы имеют отношение высоты к ширине, равное квадратному корню из двух. Это; Длина длинной стороны бумаги, деленная на длину ее более короткой стороны, всегда равна квадратному корню из двух.
Эта характеристика особенно удобна. Например, когда мы помещаем две страницы формата A4 рядом друг с другом, в результате получается страница формата A3 с таким же соотношением высоты и ширины, как показано на рисунке выше.
Один из моих посетителей любезно написал мне: «Недавно я прочитал в Интернете вашу статью о числе ноль, которая показалась мне очень интересной.Есть ряд аномальных элементов, которые, возможно, вы могли бы объяснить. Число ноль, разделенное на числовой строке, обозначается вещественным e. грамм. … 1.2 … 0 …- 1 …- 2 … потому что значения между целыми числами включены в числовую строку. Однако, когда 0 разделен в коллекции целых чисел, например 1,2.0, -1, -2 (согласно той же публикации), теперь он является членом счетных чисел Z. Где находится 0 по отношению к Бертрану Расселу. теория типов. Возможно, ноль находится на пересечении действительных числовых множеств, и Z содержит ли это множество, предположительно содержащее ноль, самого себя, что является фундаментальной заповедью множеств в парадоксе Рассела.Возможно, это то, что статистики действительно подразумевают под пустым или нулевым множеством. Как вы, наверное, уже догадались, я не профессиональный математик, и математика уровня A пока что выходит за рамки моей компетенции. Мы будем благодарны за любые ваши комментарии, а также за любые исправления неправильно понятых концепций. Пожалуйста, не отвечайте с полным объяснением теории типов (я этого не пойму, мой уровень ясности в математических доказательствах примерно такой, что корень 2 не является реальным).Спасибо за то, что прочитали это сообщение, и мы будем признательны за ответ на непрофессиональном уровне «.
Что ж, Бертран Рассел был литератором, но не академическим математиком. К сожалению, он мыслил во многих неверных направлениях и создавал множество парадоксов, полезных только ему самому. Он занимался собственной математической логикой, о которой мечтали, например, чтобы доказать ему «Почему я не христианин». Он смешивал область человеческих убеждений с областью рациональных мыслей.Это кажется странным, но это не моя вина. Это вкратце логика Рассела. Похоже, он был слишком хорошим математиком, чтобы не знать точно, когда закончились столетия. За шесть часов до полуночи в последний день 1900 года он написал своей американской подруге Хелен Томас письмо, которое позже назвал бы «хвастливым», в котором он объявил то, что, по его мнению, было завершением его «Основ математики». «Слава богу, через шесть часов начнется новая эра. […] В октябре я изобрел новый предмет, которым оказалась вся математика, впервые рассматриваемая по существу.С тех пор я написал 200 000 слов, и я думаю, что все они лучше, чем все, что я написал раньше ».
Два числа, которые любит природа больше всего, обозначаются буквами p и e. Первый имеет отношение к движению планет вокруг Солнца, а второй связан с ростом населения различных видов.Что такое р? Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсоидной траектории с большим и малым диаметром, обозначенными 2a и 2b соответственно, тогда области, в которых они перемещаются, равны p.а.б. Для круга a = b = r радиус круга, следовательно, площадь равна p.r 2 , а длина его окружности равна 2 p.r. Следовательно, p — это отношение длины окружности ЛЮБОГО круга к длине его диаметра. То есть, чтобы иметь представление о численном значении p, возьмите мантию любого размера и сделайте круг, тогда окружность / диаметр — это p. Используя такой геометрический аргумент, Аль-Бируни в 11 веке предположил, что p должно быть иррациональным числом.
Приятно отметить, что производная площади круга: A = p r 2 , равна длине окружности C = 2 p r. Аналогично, для сферы поверхность равна S = 4 p r 2 , что является производной от объема V = 4/3 p r 3 .
Помимо того, что p — это число, это также измерение угла в радианах. радиан — это угол, образуемый в центре окружности дугой, длина которой равна радиусу.Следовательно:
180 градусов = p радианВ обоих случаях p безразмерно, это просто число с двумя связанными приложениями.
Что такое е? Рост популяции каждого вида следует экспоненциальному закону . Размер популяции по прошествии времени t лет составит P.e rt , где P — начальный размер популяции, а r — скорость роста конкретного вида. Скорость роста человеческой популяции составляет около r = 0.019 со времен Второй мировой войны.
В чем разница между накоплением 1000 долларов, инвестированных по заданной ставке (r), если проценты начисляются ежедневно по сравнению с годовыми?
Предположим, вы инвестируете 1000 долларов в течение периода t-лет с годовой (фиксированной) процентной ставкой r, если проценты добавляются n раз в год в конце каждого периода, то ваши комбинированные инвестиции составляют 1000 долларов США (1 + r / п) нт .
Теперь предположим, что банкир добавляет проценты в конце каждого дня, а затем ваши инвестиции растут быстрее 1000 (1 + r / 365) 365t , что очень близко к 1000e rt , что является непрерывным сложным капиталовложением.
Фактически, увеличение количества временных интервалов, например дни в полдня, это приближение становится намного лучше, о чем свидетельствует следующий ограничивающий результат, когда длина каждого периода становится все меньше и меньше:
Число e было открыто Джоном Нэпиром, и оно является основой для так называемого натурального логарифма, потому что это число часто встречается в природе. Обратите внимание, что явная функция y = Ln (x), x> 0, по определению эквивалентна неявной функции x = e y .Кроме того, первая и вторая функции обычно называются логарифмической (Ln), и экспоненциальной (Exp) функциями соответственно.
Точные числовые значения этих констант неизвестны, однако они уже доступны с точностью до 2 миллионов цифр после десятичной точки: Pi = p = 3,141592654 …. и e = 2,718281828 .. Например, e можно аппроксимировать следующими рядами:
е = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! +……Вместо вышеуказанного ряда можно использовать ряд для e 1/2 , который сходится быстрее, и вам нужно только возвести его сумму в квадрат.
а для p — в пределах одной шестой одного процента, сложив квадратный корень из 2 и квадратный корень из 3. Или используя,
p 2 = 6 {1/1 2 + 1/2 2 + 1/3 2 + 1/4 2 + à ¢ €¦.}или аппроксимируя p напрямую:
2 х 2 х 4 х 4 х 6 х 6…(2) ——————————
3 х 3 х 5 х 5 х 7 х 7 …
или, напрямую используя формулу Эндрю Джона Уайлса:
Космология для любопытных — Продукт
Эта книга — нежное введение для всех, кто хочет узнать о современных взглядах на космос. Наша Вселенная возникла в результате большого взрыва — большого взрыва. В течение почти столетия космологи изучали последствия этого взрыва: как Вселенная расширялась и охлаждалась, и как галактики постепенно собирались под действием силы тяжести.Природа самой челки стала предметом внимания лишь относительно недавно. Это предмет теории космической инфляции, которая была разработана в последние несколько десятилетий и привела к радикально новому глобальному взгляду на Вселенную.
Студенты и другие заинтересованные читатели найдут здесь нетехнический, но концептуально строгий отчет о современных космологических идеях, описывающий то, что мы знаем, и то, как мы это знаем. Одна из центральных тем книги — научные поиски ответов на главные космические вопросы: конечна или бесконечна Вселенная? Он существовал вечно? Если нет, то когда и как он появился? Это когда-нибудь закончится?
Книга основана на курсе бакалавриата, который преподавал Алекс Виленкин в Университете Тафтса.Он не предполагает никаких предварительных знаний по физике или математике, кроме математики в начальной школе. Необходимый физический фон вводится по мере необходимости. Каждая глава включает в себя список вопросов и упражнений разной степени сложности.
Перлов, Делия
Виленкин Алексей
«Каким бы поразительным ни было качество науки, издатели дали нам столько цвета, сколько нужно, и столько уравнений (в основном в приложениях, ориентированных на математические вычисления) по цене хорошего обеда (без вина).Я заплатил за свой экземпляр (по сниженной цене для редактора Springer и автора) и воспользуюсь им, если мой отдел когда-нибудь снова разрешит мне преподавать один из тех забавных курсов «Космология для поэтов» »(Вирджиния Тримбл, Обсерватория, том 138 (1267), декабрь 2018 г.)
«Это знакомит вас с современным состоянием космологии, это познавательная информация, и вы еще больше цените работу гениальных ученых, закладывающих основы для решения загадки человечества. … «должно быть» для любопытных. Математическое приложение и указатель безупречны.»(Иоахим Дж. Кер, Журнал космических операций и коммуникатор, том 15 (1), 2018)
« Космология для любопытных »предлагает отличный обзор ключевых идей космологии. Это также четко отделяет наше эмпирически определенное понимание от более спекулятивных областей текущих исследований. В настоящее время я использую его на вводном курсе космологии ». (Приямвада Натараджан, Physics Today, апрель 2018 г.)
« Это вводный учебник, предназначенный для студентов-первокурсников физики, со знакомыми функциями учебника, такими как вопросы, на которые нужно ответить в конце. каждой главы…. Идеальный рынок для этой книги — это … студент, собирающийся начать изучать курс физики в университете, который хочет, чтобы его освоение было более удобным. Следует поздравить Делию Перлов и Алекса Виленкина с тем, что они сделали большой шаг к доступности в такой книге ». (Popular Science, popsciencebooks.blogspot.de, октябрь 2017 г.)
математических образований — Чему мы должны научить студентов, изучающих гуманитарные науки, которые будут изучать только один математический курс?
Изучая другие ответы на сегодняшний день, кажется, что многие люди предположили, что, не предполагая исчисления, самое большее, на что мы можем надеяться в обучении студентов бакалавриата, — это вероятность, статистика, дроби / проценты, головоломки и головоломки.
Разве мы не стреляем слишком низко?
В качестве крайнего примера того, насколько далеко мы могли бы продвинуться в таком курсе, рассмотрим цитату Арнольда в Об обучении математике :
Кстати, в 60-е годы я преподавал теорию групп московским школьникам. Избегая всей аксиоматики и максимально приближаясь к физике, я за полгода дошел до теоремы Абеля о неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах (попутно обучив школьников комплексным числам, римановым поверхностям, фундаментальным группы и группы монодромии алгебраических функций).Этот курс впоследствии был опубликован одним из слушателей, В. Алексеевым, в виде книги «Теорема Абеля в задачах».
Не говоря уже о том, что эта средняя школа, которая и так гораздо более специализирована, чем средние школы США, была одной из ведущих математических / физических школ в России. Скорее, обратите внимание на то, что первые 220 страниц книги Алексеева самодостаточны и никаких расчетов не требуется.
Также подумайте об идее годичного курса по Пенроузу Road to Reality .Показывать людям роль математики в разгадывании тайн Вселенной всегда казалось мне намного круче, чем другие тактики для вдохновения.
Позвольте мне прояснить, что я считаю, что необходимость в прохождении такого курса, как у Арнольда, слишком оптимистична. Однако я думаю, что выбор тем такого курса, отражающих то, что математики обычно ценят, может иметь большое значение для обеспечения как культурного признания современной математики (как хотелось бы Локхарту в Плачу), так и возможности строго мыслить сначала о простых объектах (группах), а затем о более сложных, но визуальных объектах (римановы поверхности).
Если люди пессимистично настроены по поводу того, что «гуманитарным специальностям» нечего думать о теории групп, то я бы предпочел иметь курс истории математики, который следует за чем-то вроде Стилвелла «Математика и ее история », оставляя студентов с впечатление, что математика имеет богатую философскую подоплеку, чем утомляет их бессмысленным поиском теории графов, вероятностей и шведского стола, казалось бы, не связанных между собой тем.
Похоже, что среди многих преобладает идея, что мы должны убедиться, что у нас есть базовые навыки счета и что это работа математического факультета.Я не думаю, что неграмотность — проблема школьной системы в ее нынешнем виде. Люди просто забывают математику в средней и старшей школе, потому что для них математика — это скучный мертвый предмет. Давай изменим это.
% PDF-1.4 % 609 0 объект > эндобдж xref 609 137 0000000016 00000 н. 0000005423 00000 н. 0000005562 00000 н. 0000005818 00000 н. 0000005862 00000 н. 0000006015 00000 н. 0000006480 00000 н. 0000007570 00000 н. 0000007769 00000 н. 0000008830 00000 н. 0000009908 00000 н. 0000010097 00000 п. 0000011177 00000 п. 0000011370 00000 п. 0000012460 00000 п. 0000013547 00000 п. 0000014635 00000 п. 0000015737 00000 п. 0000016830 00000 н. 0000017927 00000 н. 0000019006 00000 п. 0000020097 00000 н. 0000021179 00000 п. 0000022259 00000 п. 0000023331 00000 п. 0000024424 00000 п. 0000025507 00000 п. 0000026593 00000 п. 0000027673 00000 п. 0000028760 00000 п. 0000029835 00000 п. 0000030904 00000 п. 0000032000 00000 н. 0000033085 00000 п. 0000034181 00000 п. 0000035257 00000 п. 0000036339 00000 п. 0000037417 00000 п. 0000038507 00000 п. 0000039586 00000 п. 0000039608 00000 п. 0000044353 00000 п. 0000044553 00000 п. 0000044576 00000 п. 0000072708 00000 п. 0000072891 00000 п. 0000072914 00000 п. 0000105592 00000 н. 0000105795 00000 н. 0000105818 00000 н. 0000112136 00000 н. 0000112324 00000 н. 0000112346 00000 н. 0000115909 00000 н. 0000116109 00000 н. 0000116132 00000 н. 0000124979 00000 п. 0000125178 00000 н. 0000125201 00000 н. 0000130140 00000 н. 0000130350 00000 н. 0000130373 00000 п. 0000163033 00000 н. 0000163241 00000 н. 0000163264 00000 н. 0000167848 00000 н. 0000168052 00000 н. 0000168074 00000 н. 0000172348 00000 н. 0000172544 00000 н. 0000172566 00000 н. 0000176559 00000 н. 0000176755 00000 н. 0000176778 00000 н. 0000189482 00000 н. 0000189674 00000 н. 0000189697 00000 н. 0000206301 00000 н. 0000206495 00000 н. 0000206517 00000 н. 0000210477 00000 н. 0000210662 00000 п. 0000210685 00000 н. 0000219637 00000 н. 0000219845 00000 н. 0000219867 00000 н. 0000225080 00000 н. 0000225276 00000 н. 0000225299 00000 н. 0000236858 00000 н. 0000237062 00000 н. 0000237085 00000 п. 0000254163 00000 н. 0000254345 00000 н. 0000254368 00000 н. 0000261443 00000 н. 0000261635 00000 н. 0000261658 00000 н. 0000275062 00000 н. 0000275251 00000 н. @? + NMP7nr \ 9iZ’L0 \ J1S] gtH, N7N] @ Q / t) EXEA \ [sD7C + @ h Т-͢H9Oi.9 ~ -ނ4 b0Sq ~ V _. @ IE6 ޥ 9ΡUIuÁ7v]] Gϵ’wT
Почему математика скучна | Кафе n-Category
Уважаемый профессор Баэз,
Меня зовут Паоло Биццарри, и я следую вашему приглашению на поделитесь своим мнением по теме «Почему математика скучна?»
Разрешите представиться: мне 37 лет, я дипломированный специалист по компьютерам. Естествознание в 1994 году. Последние четыре-пять лет я начал учиться математика для развлечения и увлечения.
Поскольку моя работа отличается от других, у меня есть ограниченное время, чтобы посвятить страсть.Даже если я нахожу математику чрезвычайно интересной, у меня часто находил изучение математики скучным, трудным и трудным для себя. Так что я немного поразмышлял над тем, почему мне сложно и скучно то, к чему я все равно испытываю страсть.
Мои выводы следующие:
- математика преподается неестественным образом;
- математика — практическая дисциплина, но преподается как абстрактная один;
- есть много неявных знаний, которые недоступны через книги.
Я постараюсь расширить каждое из этих предложений следующим образом.
Математика преподается неестественным образом.
Моя точка зрения здесь в основном относится к учебникам и их типичным структура определения / леммы / теоремы / определения.
В чем проблема? Проблема в том, что такой подход неестественен. Не таким образом математики рассуждают и производят свои Работа.
Если вы видите демонстрацию, она настолько краткая и важная, насколько это необходимо. быть.Каждый отрывок прекрасно связан с предыдущими отрывками. Каждая гипотеза делается именно тогда, когда это было необходимо, и это абсолютно минимальный.
Вопрос (мой вопрос) был: да, все работает отлично, но это не наука. Это больше похоже на голливудский фильм, где все происходит по определенной причине.
Но математики так не работают (по крайней мере, это моя понимание). Настоящая проблема математики часто не в том, чтобы продемонстрировать теорему: найти хороший объект для изучения.В определение приходит ПОСЛЕ того, как была продемонстрирована теорема. В сама демонстрация многократно уточняется, чтобы получить «Отлично», демонстрация по учебнику. Это единственная демонстрация вам видите, и я нашел их совершенно неестественными именно потому, что они были идеально.
Дело в том, что учебник математики должен обеспечивать контекст, причина, ПОЧЕМУ они что-то изучают, и что они собой представляют пытаюсь учиться. Это подводит нас ко второму пункту.
Математика — практическая дисциплина, но преподается как абстрактная.
Опять же, это основано на моем ограниченном опыте и может быть довольно типично итальянский. Но, в любом случае, это единственный опыт, который я могу предоставлять.
Один из главных аспектов математики — то, что она «абстрактна», «Чистый», не привязанный к какой-либо практической проблеме.
Что неверно с исторической точки зрения. Но это тоже ложь по более конкретному, повседневному, практическому вопросу.
Математика скучна для математиков, не работающих полный рабочий день, потому что они не знать «инструменты торговли».Они не используются для манипулирования умственными такие объекты, как группы или векторные пространства. Когда я прочитал в первый раз время о группах, мне было трудно понять многие вещи о них и их важности. Когда я начал видеть, как их используют, они стали мне намного понятнее.
Возможно, математики не очень-то чувствуют эту проблему, потому что они используются для работы с абстрактными объектами. Это та же проблема, что и непрофессионала в области информационных технологий, когда ему приходится использовать компьютерную программу, ИТ-специалист.
Это разделение является сильным еще и потому, что вы не должны использовать инструменты, которые вы изучаете сами: демонстрации уже предоставлены, и вам не нужно их улучшать (все равно вы бы не смогли…). Вы должны использовать их в некоторых сфабрикованных ситуациях, но, опять же, есть мало понимания, что это делается по определенной причине. Который Подведите нас к третьему и, возможно, последнему аргументу.
Существует множество неявных знаний, недоступных из книг.
Это одна из самых поразительных вещей, которые я видел: здесь много вещь о математике, которая явно не выражена в учебники по математике.
Один — это то, что вся математика называет «элегантностью». Это нечеткое понятие, но это принципиально. Я не видел ни одной явной ссылки на это (кроме, пожалуй, разделов по алгебре). Но это фундаментальный критерий для создания и оценки математических теорий, а также сильное руководство о том, какую структуру вы ожидаете.
Второй касается «стилей» демонстрации, которые вы применяете.Учитывая определенного домена довольно часто можно увидеть демонстрации, в которых используется ограниченный набор методов, которые должны быть выполнены, но эти методы никогда не явно назначены или указаны.
Но без имени трудно эффективно обучить этим вещи. Мы даже не можем о них толком говорить.
Выводы.
Хорошо. Если вам не показались скучными эти мои сочинения, я должен вам пицца в Пизе, если вы когда-нибудь приедете в мой город.
С уважением.
Паоло Биззарри
Прочтите разделы «Математическое моделирование в Интернете» К.K. Tung
ТЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ТЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
KK TUNG
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
0005000500050004, разрешение на получение разрешения в Princeton Kit, Oxford Kit для воспроизведения материалов этой работы следует направить в Permissions, Princeton University PressИздательство Princeton University Press, 41 William Street, Princeton, New Jersey 08540
В Великобритании: Princeton University Press, 3 Market Place, Woodstock, Oxfordshire OX20 1SY
Все права защищены
Контрольный номер Библиотеки Конгресса: 2006939425
ISBN-13: 978-0-691-11642-6 (ткань)
ISBN-10: 0-691-11642-3 (ткань)
Доступны данные каталогизации в публикации Британской библиотеки
Эта книга составлена в ITC Stone
Напечатана на бескислотной бумаге.∞
pup.princeton.edu
Напечатано в Соединенных Штатах Америки
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1Моим родителям,
Дэвид и Лили Тунг
Содержание
Предисловие Эта книга основана на моих конспектах лекций для второго / младшего курсов по математическому моделированию. Я разработал этот курс при частичном финансировании из гранта VIGRE Национального научного фонда Вашингтонского университета и развил его в виде книги, когда я шесть раз преподавал ее студентам бакалавриата по нашей программе прикладной и вычислительной математики, для которой этот курс Требовалось обзора
прикладной математики.Стиль книги — это организованный сборник примеров моделирования на математическую тему. Учебное пособие предназначено для студентов, владеющих математическим анализом и некоторыми обыкновенными дифференциальными уравнениями. Опрошенным нами учащимся понравилось видеть, как математика применяется в реальных жизненных ситуациях, и они были удивлены тем, что изученная ими простая математика уже может быть полезной. Тем не менее, они в подавляющем большинстве выразили мнение, что их не интересуют традиционные темы моделирования, такие как маятники и пружины, или сколько времени нужно, чтобы приготовить индейку, — это мнение, которое я частично разделяю.Я также согласен с тем, что дедуктивный предмет , такой как классическая механика, вероятно, не должен входить в курс моделирования . Для меня важным процессом моделирования является извлечение из эмпирических данных концептуальной модели и количественная оценка концептуальной модели с помощью набора управляющих математических уравнений. Для модели классической механики
нам, вероятно, придется сделать вид, что мы вернулись в 16 или 17 век. Однако, если темы расширяются от физических наук к другим развивающимся областям, существуют интересные прикладные математические проблемы, которые (а) могут быть схвачены и решены с помощью простой математики и (б) являются текущими исследовательскими проблемами, решения которых имеют важное социальное воздействие.Сложность состоит в том, чтобы найти такие проблемы моделирования и представить их в связном контексте, в то же время сохранив некоторую историческую перспективу. В этом стремлении мне очень помогли мои коллеги, которые указали мне на интересные исследовательские работы в различных источниках в областях, далеких от моей. Я особенно хотел бы поблагодарить профессора Джеймса Д. Мюррея, FRS, чьи энциклопедические знания исторических случаев и последних достижений в математической биологии являются ценным источником информации.Как и его книга «Математическая биология». Профессор Марк Кот читал аналогичный курс, и его конспекты лекций очень помогли мне в обучении. Если бы его супруга разрешила ему написать еще одну книгу! , вероятно, он был бы моим соавтором в этом проекте. Его недавняя монография Elements of Mathematical Ecology, дает более интересные примеры. Мой бывший коллега и председатель, профессор Фредерик Ван, положил начало традиции преподавания на нашем факультете курса моделирования.Я использовал его учебник «Математические модели и их анализ», как курс для выпускников с тем же названием. Эта книга также использовалась другими на уровне бакалавриата. В начале своей академической карьеры в качестве доцента я читал курс моделирования с профессором университета CC Lin для второкурсников Массачусетского технологического института, используя книгу CC Lin и LA Segal, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, который, на мой взгляд, опередил свое время, когда он был опубликован в 1974 году.Мне очень помогли труды и философия всех моих коллег и учителей. Я глубоко им признателен.
Прекрасно освежающая новая книга, Моделирование дифференциальных уравнений в биологии , написанная К. Х. Таубсом из Гарварда, представляет собой сборник текущих исследовательских статей в биологической литературе и краткие комментарии к каждой из них. Я счел полезным при проведении нашего курса дополнять свои конспекты лекций материалами для чтения из книги Таубса, когда затрагиваемые темы связаны с биологией.Что касается более традиционных тем, то текст 1983 года Брауна, Коулмана и Дрю, Модели дифференциальных уравнений , по-прежнему остается классикой. Математические модели Ричарда Хабермана: механические колебания, динамика населения и транспортный поток стал Classic
в серии SIAM Classics. Недавно я с радостью наткнулся на новую книгу, «Математическое моделирование с тематическими исследованиями», «Подход дифференциальных уравнений с использованием клена», Б. Барнса и Дж. Фулфорда. Он содержит гораздо больше хороших примеров взаимодействующих популяций, чем я включил в эту книгу.
Комментарий к педагогике — хотя каждая глава является независимой и может преподаваться в произвольном порядке, математические темы прогрессируют: от линейных к нелинейным задачам, от разностных к дифференциальным уравнениям, от простых к связанным уравнениям, а затем к частным. дифференциальные уравнения. Некоторые главы не являются существенными для этого развития математических методов. Преподаватель может их пропустить, если курс сосредоточен больше на математических инструментах. Однако в этих главах представлены интересные явления, которые можно смоделировать, и они мне больше всего нравятся.Исчисление является обязательным условием для прохождения этого курса. Если студенты, проходящие этот курс, не знакомы с обыкновенными дифференциальными уравнениями, преподавателю может потребоваться больше времени, просматривая «Приложение A : Дифференциальные уравнения и их решения». В противном случае это приложение (и главу 3) можно пропустить. Студенты моего класса должны написать курсовую работу по выбранной ими теме, которую они должны сдать в конце семестра. Статья может быть посвящена моделированию явления или критическому обзору существующих работ в литературе.Поскольку, скорее всего, это будет первый раз, когда студент пишет научный отчет, будет полезно, если преподаватель прочитает одну лекцию о том, чего от него ждут.
Эта книга основана на моих конспектах лекций по курсу, посвященному непрерывному моделированию . Хотя я попытался добавить отдельных тем моделирования , я, вероятно, не отдал должное разнообразию методов и явлений в этой области. В нынешнем виде книга содержит более чем достаточно материала для семестрового курса математического моделирования и дает некоторое введение как в дискретные, так и в непрерывные темы.Книга написана таким образом, что в разных главах мало перекрестных ссылок на темы. Каждая глава независима. Преподаватель может выбрать интересующие его темы для своего класса, чтобы они соответствовали подготовке студентов и вписывались в расписание на квартал или семестр.
Я глубоко признателен Фрэнсис Чен, которая терпеливо и умело напечатала бесчисленные версии конспектов лекций, которые в конечном итоге стали настоящим учебником. Я благодарен студентам моего класса моделирования, инструкторам, которые вели этот класс, используя мои конспекты лекций для исправления моих ошибок и опечаток и давая мне обратную связь, а также Уильяму Дикенсону за наброски некоторых фигур.И наконец, что не менее важно, это дружелюбных и профессиональных людей, которых я хотел бы поблагодарить в Princeton University Press: старшего редактора Вики Кирн, которая впервые связалась со мной в декабре 2001 года по поводу написания этой книги и поддержала меня в течение следующих пяти лет, за ее огромное терпение. , энтузиазм и постоянную поддержку, а также ее помощницу Сару Пахнер за ее ценную помощь в получении авторских прав на рисунки; и Линни Шенк, моего редактора по производству, и Бет Галлахер, моего редактора, за их отличную работу и гибкость.Спасибо!
ТЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1Числа Фибоначчи, золотое сечение и законы природы?
Требуется математика:
старшая школа алгебры, геометрии и тригонометрии; понятие пределов от предварительного вычисления
В математике:
разностных уравнений с постоянными коэффициентами и их решения; рациональное приближение к иррациональным числам; непрерывные дроби
1.1Леонардо Фибоначчи Леонардо Пизанский (1175–1250), более известный поздним итальянским математикам как Фибоначчи ( рис. 1.1), родился в Пизе, Италия, а в 1192 году уехал жить в Северную Африку (Буджа, Алжир). с отцом, таможенником Пизанской торговой колонии. Его отец организовал обучение сына вычислительной технике, намереваясь, чтобы Леонардо стал торговцем. Леонардо выучил индуистско-арабские цифры (рис. 1.2) у одного из своих превосходных
арабских инструкторов.Он еще больше расширил свой математический кругозор в командировках в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс. Фибоначчи вернулся в Пизу в 1200 году и опубликовал в 1202 году книгу под названием Liber Abaci ( Книга счётов ), которая содержит компиляцию математики, известную со времен греков. Книга начинается с первого введения в западный деловой мир десятичной системы счисления:
Это девять цифр индейцев: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.С помощью этих девяти цифр и знака 0, который по-арабски называется зефирум, можно написать любое число, как будет показано ниже.
Рисунок 1.1. Статуя Фибоначчи на кладбище в Пизе. (Фотография Криса Тунга)
Рисунок 1.2. Индо-арабские цифры.
Поскольку у нас десять пальцев на руках и десять пальцев рук, можно подумать, что не должно быть ничего более естественного, чем счет десятками, но в то время в Европе этого не было. Сам Фибоначчи проводил вычисления, используя вавилонскую систему с основанием 60! (Это не так странно, как кажется; остатки шестидесятеричной системы исчисления все еще можно найти в наших измерениях углов и времени.)
Третий раздел Liber Abaci содержит головоломку:
Некий человек поместил пару кроликов в место, окруженное со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов можно произвести из этой пары в год, если предполагается, что каждый месяц каждая пара порождает новую пару, которая со второго месяца становится продуктивной?
При решении этой задачи возникает последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…, как мы сейчас покажем. Эта последовательность теперь известна как последовательность Фибоначчи.
Вышеупомянутая проблема, связанная с кроликами-кровосмесителями, по общему признанию, нереальна, но аналогичные проблемы можно сформулировать в более правдоподобном контексте: растение (дерево) должно вырасти за два месяца, прежде чем оно разветвляется, а затем оно разветвляется каждый месяц. Новый побег также должен расти в течение двух месяцев, прежде чем он разветвляется (см. Рисунок 1.3). Количество ветвей, включая исходный ствол, если считать снизу с интервалами роста в один месяц: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…. Растение Achillea ptarmica , чихастник ,
растет по этой схеме.
Рисунок 1.3. Разветвление растения каждый месяц после двухмесячного возраста побега.
Последовательность Фибоначчи также встречается в генеалогическом древе медоносных пчел. Самец пчелы, называемый трутнем, развивается из неоплодотворенного яйца пчелиной матки. Кроме королевы, пчелы-самки не размножаются. Это рабочие пчелы. Пчелы-самки появляются, когда матка спаривается с трутнями. Пчелиная матка развивается, когда самку кормят маточным молочком, особой формой меда. Таким образом, у пчелы-самца есть только один родитель, мать, а у пчелы-самки, будь то матка или рабочая пчела, есть и мать, и отец.Если мы посчитаем количество родителей, бабушек и дедушек, прабабушек и дедушек и т. Д. У самца пчелы, мы получим 1, 1, 2, 3, 5, 8,… последовательность Фибоначчи.
Давайте вернемся к исходной математической проблеме, поставленной Фибоначчи, которую мы еще не совсем решили. На самом деле мы хотим решить эту задачу в более общем плане, чтобы найти количество пар кроликов n месяц после того, как первая пара была введена. Обозначим эту величину как Fn . Мы предполагаем, что первоначальной паре кроликов один месяц, и что мы считаем кроликов непосредственно перед появлением новорожденных.
Один из способов продолжения — это просто перечислить , таким образом генерируя последовательность чисел. Как только у нас будет достаточно длинная последовательность, мы, будем надеяться, сможем увидеть теперь известный паттерн Фибоначчи (, рис. 1.4).
Рисунок 1.4. Кролики в головоломке Фибоначчи. Маленькие кролики непродуктивны; большие кролики продуктивны.
Через месяц первая пара достигает двухмесячного возраста и готова к воспроизводству, но перепись проводится до рождения.Итак, F 1 = 1, но F 2 = 2; к моменту их подсчета новорожденным уже исполняется месяц. Родители готовы снова рожать, но месячное потомство слишком молодо для воспроизводства. Таким образом, F 3 = 3. По истечении трех месяцев как исходная пара, так и ее потомство являются продуктивными, хотя роды учитываются в следующем периоде. Таким образом, F 4 = 5. Через месяц появляется дополнительная пара. Три продуктивные пары добавляют к популяции три новые пары потомства.Таким образом, F 5 = 8. Через пять месяцев получается пять продуктивных пар: родители в первом поколении, четыре взрослых во втором поколении и одна пара в третьем поколении, родившаяся во втором месяце. Таким образом, F 6 = 13. Теперь становится труднее отслеживать всех кроликов, но можно использовать таблицу для учета возраста потомства. С некоторыми трудностями получаем следующую последовательность для количества пар кроликов через n месяцев, для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,…: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,….
Это последовательность, впервые сгенерированная Фибоначчи. Ответ на его первоначальный вопрос: F 12 = 233.
Если бы мы решили считать кроликов после появления новорожденных, а не раньше, нам пришлось бы иметь дело с тремя типами кроликов: новорожденные, месячные и и зрелые (двухмесячные и старше) кролики. В этом случае последовательность Фибоначчи сместилась бы на единицу: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…. Первоначальная 1 отсутствует, но ее можно добавить обратно, если предположить, что первая введенная пара — новорожденная.Затем им требуется два месяца, чтобы стать продуктивными. Приведенное ниже обсуждение работает с любым соглашением.
Чтобы найти Fn для общего положительного целого числа n , мы надеемся, что сможем увидеть закономерность в уже найденной последовательности чисел. Теперь зоркий глаз может определить, что любое число в последовательности всегда является суммой двух предшествующих ему чисел. То есть
Второй способ достижения той же повторяющейся связи более предпочтителен, потому что он не зависит от нашей способности обнаруживать закономерность из частичного списка ответов:
Пусть Fn ( k ) будет количество пар кроликов k -месячного возраста на момент времени n .Они станут ( k + 1) -месячными в момент времени n + 1. Итак,
Общее количество пар в момент времени n + 2 равно числу в n + 1 плюс пары новорожденных в точке n + 2:
Число новорожденных в точке n + 2 равно количеству пар возрастом не менее одного месяца в точке n + 1, и поэтому:
Следовательно ,
, что аналогично Eq. (1.1). Это рекуррентное уравнение также называется уравнением восстановления.Он использует информацию о настоящем и прошлом, чтобы предсказывать будущее. Математически это разностное уравнение второго порядка.
Для решения Ур. (1.1) мы попробуем, как мы обычно делаем для линейных разностных уравнений, коэффициенты которых не зависят от n ,
для некоторой еще не определенной постоянной λ. Когда мы подставляем пробное решение в Eq. (1.1) получаем
Сокращая λ n , получаем квадратное уравнение
, которое имеет два корня (решения):
.По принципу линейной суперпозиции общее решение —
, где a и b — произвольные константы. Если у вас есть сомнения в справедливости используемого принципа суперпозиции, я рекомендую вам включить это общее решение обратно в Eq. (1.1) и убедитесь, что оно удовлетворяет этому уравнению независимо от того, какие значения a и b вы используете. Конечно, эти константы должны определяться начальными условиями. Нам понадобятся два таких вспомогательных условия, поскольку у нас есть две неизвестные константы.Это F 0 = 1 и F 1 = 1. Первое требует, чтобы a + b = 1, а второе подразумевает, что λ1 a + λ2 b = 1. Вместе они однозначно определяют две константы. Наконец, мы находим:
в выражении, удивительно, что Eq. (1.4) всегда будет давать целые числа, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, когда n идет от 0, 1, 2, 3, 4, 5,…, но вы можете проверить, что удивительно, что это так.
1.2 Золотое сечениеизвестно как золотое сечение . Его также называют Золотым Сечением (в книге Мартина Ома 1835 года), а с 16 века — Божественной Пропорцией . Считается, что он отражает идеальные пропорции природы и даже обладает некоторыми мистическими способностями. Это иррациональное число, теперь обозначаемое греческим символом Φ:
.