Математика 5 класс виленкин 1 часть: Задание 5 — ГДЗ Математика 5 класс. Виленкин учебник часть 2

Содержание

Дебаты в Мельбурне Часть 1 | Подкаст

Стенограмма Дебаты в Мельбурне (Часть 1)

Кевин Харрис: Доктор Крейг, я устал и запыхался, просто делая подкасты в этом туре по Австралии. Я просто не могу представить эмоциональные вещи, эмоционально напряжённые вещи, которые происходят в этом туре. Духовно полезные вещи, которые происходят в этом туре. Возможности. Все это объединяется во что-то, что может просто заставить вас принять немного витамина B, знаете ли [смех] . Но мы находимся на третьем обмене здесь с Лоуренсом Крауссом в Мельбурне, и Грэм Оппи был модератором этого. Теперь мне кажется, Билл, как я заметил, Грэм Оппи действительно человек и философ, с которым нужно общаться, и на самом деле у тебя их много.

Доктор Крейг: Да, мы с ним публиковали статьи, отвечая друг другу и критикуя работу друг друга. Он очень известный австралийский философ из Университета Монаш, который находится в Мельбурне или недалеко от него, и он ужасно умен, действительно блестящий парень.

И многие не могли поверить, что он был модератором третьих дебатов, а не одним из участников дебатов. Я думаю, он больше подходил бы на роль человека, с которым я общался, чем на человека, модерирующего дискуссию.

Кевин Харрис: Тема этого разговора — я все время хочу сказать, дебаты — на самом деле это был диалог. . .

Доктор Крейг: . . . должен быть диалог.

Кевин Харрис: Да. Разумно ли верить, что Бог есть? Вы заговорили первым, и первое, на что вы указали, просмотрев расшифровку стенограммы и просмотрев видео, это, ну, вы знаете, на первый взгляд да, вы можете доказать, что разумно верить в Бога, но я собирается взять на себя более тяжелое бремя и показать, что это – что? – Разумнее верить в Бога?

Д-р Крейг: Да, другими словами, может быть разумно верить в Бога и разумно не верить в Бога. Есть некоторые вопросы, которые являются просто открытыми вопросами, и было бы разумно поверить в любую альтернативу.

И когда вы говорите разумно, как указал Грэм Оппи в своих наводящих вопросах, если вы просто имеете в виду допустимо, что вы находитесь в пределах разумного, веря в это, почти тривиально легко показать, что верить в Бога разумно. Это не значит, что вера верна.

Кевин Харрис: Вы могли бы просто сказать, как вы указали, посмотрите, сколько действительно умных людей на протяжении всей истории верили в Бога, и это довольно веская причина. Сейчас не показывает, что это правда. Это было бы – что? – argumentsum ad populum , апелляция к авторитету и все такое прочее. Но это просто показывает, что, на первый взгляд, можно придумать что угодно, чтобы показать, что, конечно, это разумно.

Доктор Крейг: Да, и когда Краусс возражает: «Разумные люди часто верят ложным вещам», Оппи говорит: «Это только показывает, что они могут придерживаться ложных убеждений, но не показывает, что они неразумны». Когда у вас есть такие люди, как Элвин Плантинга, Роберт Адамс, Ричард Суинберн и Питер ван Инваген, а также известные ученые, историки и другие, которые верят в Бога, было бы довольно смелым шагом сказать, что все эти люди иррациональны в своей вере.

. Так что в каком-то смысле эта тема была легкой задачей. Но для интересной дискуссии я решил взять на себя более тяжелое бремя доказательств и истолковал это так: существуют ли более убедительные аргументы в пользу существования Бога, чем против его существования? И это была позиция, которую я сказал, что готов защищать.

Кевин Харрис: У вас было шесть очков, к которым вы подошли. Первое, очень знакомое всем нам, Бог — лучшее объяснение происхождения Вселенной. Знаете, Билл, зная, что Лоуренс Краусс дружит, коллега, с Александром Виленкиным, вы знали свое дело, и представить материал Виленкина, зная, что доктор Краусс будет знать этот материал.

Д-р Крейг: Да, Кевин, я ценю ваши слова, потому что я очень стеснялся этого. Имея дело с физиком, мне было бы легко прикрыться философскими аргументами против бесконечности прошлого или представить онтологические аргументы в пользу существования Бога, которые были бы вне его компетенции. Но ради интересного диалога на эту тему я предпочел вести с наукой. Я выставил шею и сказал, что есть более убедительные научные доказательства того, что Вселенная начала существовать, чем то, что она не существовала. И точно так же научные данные подтверждают, что лучшим объяснением тонкой настройки является дизайн, а не случайность или физическая необходимость. Так что я довольно сознательно спорил в области знаний Краусса, а не пытался спрятаться в моей области, философии, где он находился бы на менее знакомой территории.[1]

Кевин Харрис: Вау. И, как я заметил здесь, Билл, я даже не думаю, что вы использовали аргумент о невозможности пересечения реальной конкретной бесконечности.

Доктор Крейг: О нет. Даже не появился.

Кевин Харрис: Да, я имею в виду, это убойный номер.

Доктор Крейг: Это главная причина, по которой я верю в конечность прошлого. Это не научные аргументы. Я вижу в них простые подтверждения — эмпирические подтверждения — аргумента, уже достигнутого философской аргументацией.

Кевин Харрис: Была ли возможность ответить на этот первый аргумент?

Д-р Крейг: Да, был. И это, я думаю, Кевин, одна из самых интересных черт во всей этой замечательной серии из трех диалогов. В сиднейском диалоге, а затем снова в мельбурнском диалоге доктор Краусс поместил в PowerPoint слайд личного сообщения электронной почты, которое он получил от Александра Виленкина, чью теорему я процитировал в поддержку начала Вселенной, якобы утверждая, что опровергают доказательства происхождения Вселенной. И, конечно же, поскольку это частное неопубликованное письмо, нет возможности проверить его достоверность, а потому ответить на такое сложно.

Итак, кто-то сфотографировал мобильным телефоном PowerPoint в диалоге в Сиднее, и у меня была возможность посмотреть и проанализировать его перед диалогом в Мельбурне. И то, что я заметил, было некоторыми очень подозрительными и интересными особенностями этого. В первом абзаце этого письма Виленкин говорит, что возможная лазейка вокруг теоремы Борде-Гута-Виленкина состоит в том, что перед расширением может быть эпопея сжатия, и таким образом Вселенная не была бы в состоянии космического расширения в среднем на протяжении всей его истории, если у вас была фаза сжатия до фазы расширения.

В сообщении электронной почты говорится, что такие модели обсуждались Агирре и Граттоном, а также Кэрроллом и Ченом. Что ж, моя антенна немедленно включилась, потому что я подумал, что это те самые модели, которые Виленкин обсуждает в статье, которую я цитировал из доклада, который он представил в прошлом году в Кембриджском университете, в котором он говорит, что ни один из этих сценариев не может быть вечным. И он конкретно показывает, почему модели Агирре/Граттона и модели Кэрролла/Чена не удается восстановить вечное прошлое.

Глядя на это, я подумал: когда он говорит о возможной лазейке, он должен иметь в виду, что вот возможный способ обойти теорему, но на самом деле это не сработает, он закрывает лазейку. Это то, что он делает в газете. И я видел похожее письмо, подобное этому, которое Виленкин написал Виктору Стенгеру, которое есть в Интернете, в котором он говорит примерно то же самое. Он говорит, что у вас может быть сжатие до расширения, но затем в письме к Стенгеру говорится, что это может звучать так, как будто в сжатии нет ничего плохого, но на самом деле такая модель будет включать в себя все виды беспорядочных сингулярностей, так что что он никогда не дойдет до фазы расширения.

Другими словами, эти модели не работают, им не удается восстановить вечное прошлое. И я подумал, что именно это он имел в виду, когда сказал «возможная лазейка». И тогда, Кевин, я заметил многоточие в сообщении электронной почты, которое воспроизвел доктор Краусс.

Кевин Харрис: Точка, точка, точка.

Д-р Крейг: Да, точка, точка, точка, это означает, что материал был удален из этого электронного письма. И я подумал, что Краусс пропустил часть этого письма. Что он упустил? Может быть, это была уточняющая фраза, похожая на то, что он предложил Стенгеру. Ну, в то время у меня не было возможности узнать, потому что у меня не было оригинального письма. Но в мельбурнском диалоге я столкнулся с Крауссом по этому поводу и сказал, что в статье в Кембридже эти самые модели упоминаются поименно как не восстанавливающие прошлую вечную вселенную, и мне интересно, что вы упустили из этого письма Виленкина. И ответ Краусса был «технический материал», и он сказал это снова: «Я сказал вам, технический материал».

Ну, на самом деле, Кевин, это был не технический материал. Сейчас я получил копию оригинала письма — его мне прислал Алексей Виленкин. А можно мне прочитать два предложения, которые вычеркнуты из письма?[2]

Кевин Харрис: Пожалуйста.

Доктор Крейг: Хорошо. Он говорит: «Модели такого рода обсуждались Агирре и Граттоном, а также Кэрроллом и Ченом». А вот и удаленные предложения:

Они должны были предполагать, что минимум энтропии достигается при отскоке, и не предлагали никакого механизма для обеспечения выполнения этого условия. Мне кажется, что это по существу эквивалентно началу.

Кевин Харрис: Ой-ой.

Доктор Крейг: Да. Это второе предложение было бы разрушительным для Краусса, если бы он процитировал его в диалоге. Весь смысл Виленкина в том, что эти модели эквивалентны вселенной с началом в том, что они имеют вселенную, в которой у вас есть минимальное энтропийное состояние, из которого выходят две стрелы времени. В каком-то смысле у вас есть близнецовая вселенная, две стрелы времени, обе исходящие из общей исходной точки, общего начала, это не вечная вселенная прошлого. И именно поэтому он отвергает их в кембриджской статье как восстановление прошлой вечной вселенной. Таким образом, эта цитата была намеренно изменена доктором Крауссом, чтобы произвести противоположное впечатление. И я нахожу это таким ироничным, Кевин, в свете вступительного слова Краусса в Брисбене о необходимости в науке честности, прозрачности и полного раскрытия информации, за нарушение которого он тогда в самых суровых выражениях меня критиковал, когда на деле оказывается что это делал сам Краусс.

Кевин Харрис: Да, я имею в виду, это напугало бы меня до смерти; Я бы испугался до смерти, если бы я был на сцене, как и вы, и представлял материал Виленкина, а потом мой оппонент встает и говорит: «Ну, вот мое личное письмо от Виленкина». Вы думаете: «Ой-ой». Но оказывается, что так много проверок, потому что вы . . . об этом и о том, что говорил Виленкин.

Д-р Крейг: Одним из положительных моментов этого печального эпизода является то, что он связал меня с Алексом Виленкиным, так что теперь мы можем переписываться по этому вопросу. А Виленкину я написал следующее, хочу привести цитату из своего письма Виленкину. Я сказал,

Вы должны знать, что ваша работа вошла в массовую культуру, где она стала предметом жарких споров. Некоторые убежденные светские мыслители хотят избежать начала вселенной, потому что для них это попахивает теизмом, и поэтому они стремятся переосмыслить значение вашей работы. Вот почему вы получаете письма от таких людей, как Стенгер, Краусс и др. Я надеюсь, что правильно понял и представил вас. Если нет, я хочу, чтобы меня поправили.

Кевин Харрис: Это очень великодушно с твоей стороны, Билл. Я имею в виду, это действительно так.

Д-р Крейг: Ну, нет, хочу, хочу. Если я представляю его в ложном свете, я хочу знать. И вот что частично ответил мне Виленкин, Кевин. Он говорит: «Я думаю, что вы очень точно представили то, что я написал о теореме БГВ в своих статьях и вам лично». Затем он продолжает: «Это не значит, что вы представляете мои взгляды на то, что это подразумевает в отношении существования Бога». Виленкин, как известно, агностик. Он говорит: «Это нормально, поскольку у меня нет специального опыта, чтобы выносить такие суждения». И далее он говорит, что, по его мнению, теорема Борде-Гута-Виленкина нейтральна в отношении существования Бога, и он думает, что можно натуралистически объяснить начало Вселенной как квантовое событие. А на теорию Виленкина я ответил как в Reasonable Faith и в Blackwell Companion to Natural Theology . Но что меня так порадовало, Кевин, так это то, что перед лицом этих заявлений доктора Краусса, что «Вы не понимаете статью Виленкина; вы не понимаете этой теоремы, — сам Виленкин говорит, что вы очень точно представили то, что я написал о теореме. И это было очень приятно слышать.

Кевин Харрис: Вы и доктор Виленкин вместе участвовали в дискуссии в Беркли.

Доктор Крейг: Да, верно. Несколько лет назад была организованная Темплтоном конференция по науке и теологии — опять же, часть этого процветающего диалога между наукой и теологией, о котором я говорил во вступительном слове в Брисбене — и это был мой первый шанс встретиться с ним и узнать его.[3] Не знаю, помнил ли он меня по той небольшой конференции за круглым столом. Но было интересно услышать его историю, ведь он из России, он агностик. Мне на самом деле очень помогает, Кевин, то, что он агностик, потому что никто не может обвинить Виленкина в том, что он имеет теологический топор, чтобы шлифовать его очень невозмутимую защиту начала вселенной и теоремы Борде-Гута-Виленкина.

Я хочу сказать еще кое-что в отношении того, что должен был сказать Краусс, потому что он не только представил этот вступительный абзац, но и апеллировал к заявлению Виленкина позже в сообщении электронной почты, где Виленкин говорит, что если существует квантовая теория гравитации, то мы можем даже не знать, какие вопросы задавать. Краусс интерпретировал это так, что мы просто совершенно не уверены в том, начала ли Вселенная существовать. Однако электронное письмо Виленкина ко мне показывает, что он сказал, что Краусс попросил его ответить на утверждение, что теорема Борде-Гута-Виленкина окончательно исключает безначальную вселенную. И Виленкин правильно ответил, в науке мы не имеем дело с окончательными аргументами. Виленкин считает, что более правдоподобно, чем нет, то, что вселенная начала существовать в свете свидетельств, и я придерживаюсь именно такой позиции. А что касается влияния квантовой гравитации на этот вывод, то Виленкин продолжает объяснять, что не квантовая гравитация как таковая делает недействительной теорему Борде-Гута-Виленкина. У этой теоремы есть только одно условие, Кевин, а именно то, что Вселенная в среднем находится в состоянии космического расширения на протяжении всей своей истории. Она не предполагает гравитационных уравнений общей теории относительности Эйнштейна. Таким образом, Виленкин ясно дает понять, что даже если это нужно изменить, теорема все равно будет верна, пока у вас есть Вселенная, которая в среднем расширяется с течением времени на протяжении всей своей истории. Однако . . .

Кевин Харрис: Вы хотите сказать, что даже если появится более новая теория и несколько более основательных теорий гравитации, это все равно не повлияет на нее?

Доктор Крейг: Точно, это не опровергнет теорию. То, что сделало бы эту теорию недействительной, было бы, если бы вы полностью растворили время так, чтобы времени больше не существовало, потому что тогда вы не могли бы сказать, что Вселенная расширяется в среднем на протяжении всей своей истории, потому что не было бы никакого времени, не было бы времени. не может быть ни до, ни после. Но это не основано на квантовой гравитации. У вас могут быть теории квантовой гравитации, в которых есть параметр времени, и теорема все равно будет применяться. На самом деле в последней книге Млодинова и Хокинга Великий замысел , в этой книге они интерпретируют режим квантовой гравитации как временно упорядоченный, и поэтому то, что они называют линиями широты по мере того, как Вселенная сжимается и возвращается к южному полюсу, они говорят, что это представляет собой начало времени и Вселенной на южном полюсе. Они думают об этом как о упорядоченном во времени, хотя это теория квантовой гравитации. Так что на самом деле доктор Краусс только что серьезно исказил взгляды Виленкина на этот счет. А для тех слушателей, которым это интересно, я помещаю эти электронные письма на наш сайт полностью, без сокращений, в вопросе 336 — вопрос недели 336 — где они могут прочитать эту переписку.[4]

Кевин Харрис: Мы все ожидали, что в качестве второго аргумента вы перейдете к тонкой настройке. Доктор Крейг, вы, кажется, добавили в свою презентацию что-то новое, или довольно новое, а именно: Бог есть лучшее приложение применимости математики к физическому миру.

Д-р Крейг: Да, это был аргумент, который я использовал против Алекса Розенберга, и Розенберг в своем последнем ответе на этот спор признает, что это действительно большая проблема для натурализма, которая кажется неразрешимой. Как вы относитесь к математической истине и ее применимости ко Вселенной? И здесь ответ доктора Краусса был неадекватным, если не сказать жалким. В ответ на мое заявление о том, что теизм предлагает лучшее объяснение того, почему Вселенная построена на этой математической структуре, он ответил: «Почему тогда Библия не написана математическими методами?»[5]

Кевин Харрис: А?

Д-р Крейг: Это своего рода левый комментарий, который вы удивляетесь, откуда в мире это берется? Каким образом мысль о том, что творящий разум создал физическую вселенную на основе математической структуры, может означать, что Библия должна быть написана с помощью математики? Я имею в виду, что это так нелепо, это было бы непонятно никому, кроме математика, и вряд ли оно сообщило бы нам те истины, которые Бог хотел, чтобы оно сообщило нам. А потом, позже, Кевин, он отвечает на это, говоря, что если Бог — математик, то почему Бог не открыл исчисление Моисею? И люди аплодировали; атеисты в аудитории в тот момент, и я был совершенно ошеломлен тем, что кто-то мог подумать, что это серьезный ответ на аргумент о применимости математики.

Кевин Харрис: Ну, я услышал это и как бы всплеснул руками.

Доктор Крейг: Атеистические слушатели нашего подкаста сегодня должны понять, что это просто глупые лозунги и звуковые фрагменты. Это не тот способ, которым вы серьезно занимаетесь философским спором, который действительно утомил как математиков, так и философов, не говоря уже о физиках; а именно, как вы объясните сверхъестественную эффективность математики в моделировании мира? Каким образом эти математические объекты и уравнения являются структурой, на которой построена наша Вселенная? И вы не можете ответственно взаимодействовать с этим, давая эти реплики: «Ну тогда почему Бог не открыл исчисление Моисею?»

Кевин Харрис: Билл, вы столкнулись с этим аргументом и добавили его в свою презентацию из-за исследования, которое вы проводили с абстрактными объектами?

Доктор Крейг: Да, именно так. Я работаю уже более десяти лет над существованием Бога и реальностью математических объектов. И это вопрос, который я снова и снова поднимал в спорах между платониками, считающими, что математические объекты существуют, и беллетристами, считающими математические объекты просто полезными фикциями. И ни одна из этих двух школ не может ответить на вопрос о применимости математики. Для платоников загадка заключается в том, почему эти каузально эффек- тивные абстрактные сущности за пределами пространства и времени могут иметь какое-либо влияние на наш физический мир. Для беллетриста трудность заключается в том, что если это всего лишь полезные вымыслы, которые мы придумали, то как получается, что физическая реальность структурируется на основе этих вымыслов? Поэтому и платоники, и беллетристы скажут: «У нас нет ответа на этот вопрос; мы не понимаем применимости математики к физическому миру». И мне пришло в голову, что для теиста, будь он платоником или беллетристом, у него есть ресурсы, чтобы ответить на этот вопрос; а именно, математика применима к физической вселенной, потому что существует трансцендентный разумный творец вселенной, который построил физический мир на математической структуре, которую он задумал в своем уме, и, следовательно, эта математическая структура будет воспроизводить или быть похожей на математическую структуру. что присуще самому физическому миру. Итак, являетесь ли вы платоником или беллетристом, если вы теист, вы можете ответить на этот вопрос, который, я думаю, просто неразрешим в натурализме или атеизме.

Кевин Харрис: Я пытаюсь вспомнить, возвращали ли вы когда-нибудь этот аргумент в нужное русло: исчисление открылось Моисею. . .

Доктор Крейг: Нет, я ответил на это в диалоге. Помните, что это не были дебаты, поэтому у нас не было возможности конкретно ответить друг другу, кроме случаев, когда эти вопросы всплывали в диалоге. И надо сказать, что этот мельбурнский диалог был самым содержательным из трех. В этом диалоге мы действительно начали обсуждать эти аргументы, как я только что описал. Однако участие в отношении второго аргумента, применимости математики, было не очень существенным. Опять же, это были просто глупые заявления о раскрытии исчисления Моисею. И очевидный ответ на это состоит в том, что цель Библии не в том, чтобы сообщить математическую истину, а в том, чтобы рассказать вам, кто такой Бог, каков Он, как вы можете узнать Его, каковы ваши моральные обязанности перед Ним, как прощение и доступна благодать и так далее. Это цель Библии, и Бог оставит математикам разобраться в исчислении.[6]

Кевин Харрис: Номер три, к которому вы обратились: Бог — лучшее объяснение тонкой настройки Вселенной для разумной жизни. Мы знакомы с этим по вашим презентациям. Это, казалось, больше всего нашло отклик, стимулировало доктора Краусса. Ему очень хотелось поговорить и отреагировать на доводку. И, конечно же, он говорит, что нет, это не настроено.

Доктор Крейг: Верно, Кевин. Теперь я хочу, чтобы наши слушатели поняли, какую радикальную линию занимал Краусс в этом отношении. Он не имел в виду, что тонкая настройка лучше всего объясняется случайностью или даже мультивселенной, как я думал, он бы сказал. Он также не говорит, что тонкая настройка физически необходима. Скорее его утверждение, по сути, состоит в том, что тонкая настройка является иллюзией; что Вселенная не настроена точно. Сейчас очень важно, чтобы наши слушатели понимали, что такое тонкая настройка. Тонкая настройка не значит разработанная. Сказать, что вселенная идеально приспособлена для разумной жизни, не означает, что целью, для которой была создана вселенная, является разумная жизнь или человеческая жизнь. Скорее тонкая настройка означает, что когда вы смотрите на значения, которые имеют эти фундаментальные константы и величины, диапазон допустимых для жизни значений чрезвычайно узок по сравнению с диапазоном значений, которые могли бы принимать эти физические константы и величины. Так что попадание всех этих констант и величин в бесконечно малый допустимый для жизни диапазон настолько маловероятно, что эти шансы не могут быть разумно учтены. И в этом смысле тонкая настройка является религиозно нейтральным фактом о Вселенной. Это не дизайнерский факт, это никак не богословски нагружено. На самом деле большинство физиков сегодня признают факт тонкой настройки Вселенной, включая соотечественника Краусса Ричарда Докинза. Поэтому, когда Краусс отрицает, что Вселенная обладает такой чувствительностью и сложностью, он занимает очень радикальную позицию, которая идет вразрез с тем, во что сегодня верит большинство физиков.

Кевин Харрис: У людей создается впечатление, что это аргумент в пользу дизайна, потому что вы даете три варианта.

Д-р Крейг: Верно, и одним из объяснений является дизайн. Лучшее объяснение тонкой настройки Вселенной — либо, а затем вот три живых варианта, которые обсуждаются в современных дискуссиях: физическая необходимость, случайность или замысел. Если бы точная настройка означала дизайн, Кевин, тогда аргумент был бы спорным! Лучшее объяснение устройства вселенной — это дизайн! Это тавтологично; это просто переформулировка. Таким образом, очевидно, что тонкая настройка не означает разработанную, потому что вы не искали бы объяснения этого, если бы это было так. Таким образом, тонкая настройка просто означает, что когда вы сравниваете диапазон возможных значений, которые эти константы и величины могли бы принять, с диапазоном допустимых для жизни значений, диапазон допустимых для жизни значений непостижимо мал по сравнению с этим диапазоном возможных значений. А Краусс, я имею в виду, я знаю, что он умный физик, он этого не понимал. Он думал, что если космологическая постоянная может принимать нулевое значение, а Вселенная по-прежнему допускает жизнь, то это означает, что космологическая постоянная не настроена точно. И это просто неправильно. Космологическая постоянная может принимать значения от нуля до определенного максимума, и этот диапазон значений бесконечно мал, непостижимо мал по сравнению с возможным диапазоном значений. Таким образом, демонстрация того, что существует диапазон космологической постоянной, при котором возможно существование жизни, не означает отрицания тонкой настройки, как он, по-видимому, думал. Вам нужно сравнить этот диапазон с диапазоном возможных значений, чтобы увидеть, точно ли настроена эта константа; и он тонко настроен.

Кевин Харрис: Как бы вы классифицировали аргумент тонкой настройки? Будет ли это своего рода телеологическим аргументом? Д-р Крейг: Да. Это аргумент в пользу замысла, основанного на константах и количествах Вселенной, которые, как я уже сказал, точно приспособлены для жизни в описанном смысле. Таким образом, она завершает весь эмоционально отравленный вопрос биологической эволюции, возвращаясь прямо к начальным условиям Вселенной и объясняя, что для эволюции и существования жизни в любом месте космоса требуется эта искусно составленная таблица заранее, прямо с самого начала. самое начало.[7]

[1]
5:02
[2]
10:10
[3]
15:00
[4]
Для получения более подробной информации, включая полный текст писем Виленкина как доктору Краусс, так и доктору Крейгу, см. вопросы и ответы доктора Крейга № 336 «Честность, прозрачность, полное раскрытие информации» и теорема Борда-Гута-Виленкина» на http://www.reasonablefaith.org/honesty-transparency-full-disclosure-and-bgv-theorem (по состоянию на 12 декабря 2013 г.).
[5]
20:06
[6]
25:04
[7]
Общая продолжительность: 31:16 (Авторское право © William Lane Craig, 2013)

Серия Чебышева: вывод и оценка

Список журналов
PLoS один
PMC9997935

PLoS Один. 2023 год; 18(3): e0282703.

Опубликовано в сети 9 марта 2023 г.. doi: 10.1371/journal.pone.0282703

, концептуализация ^# ^{^* и, приобретение Funding, Supersision ^#}

9000 9000. Angelo Marcel Marcel Apliset Apliset Aplicet Apliset Apricet Apricet Apliset Apricet Autorset Apricetet. Отказ от ответственности

Заявление о доступности данных

В этой статье мы используем метод контурного интеграла для получения двусторонней производящей функции в виде двойного ряда, включающего полиномы Чебышева, выраженные через неполную гамма-функцию. Также получены и суммированы производящие функции для полинома Чебышева. Особые случаи оцениваются в терминах составных форм полиномов Чебышева и неполной гамма-функции.

1.1 Теоретическая основа

Если H ( x , y , t ) можно разложить по степеням t в виде

H(x,y,t)=∑n=0∞hnfn(x)gn(y)tn,

(1)

где H _N не зависит от x и Y и F _N ( x ) и G _N (9). функции, мы используем язык, используемый Рейнвиллем, см. стр. 170 в [1] и вызываем H ( x , y , t ) двусторонняя производящая функция. A double Chebyshev series is one that has two univariate Chebyshev polynomials T _{n , p} ( α , β ) = T _n ( α ) T _п ( β ) как произведения в каждом члене ряда, где Т _н ( α ) = cos( nθ ) и α = cos( θ ). С помощью метода контурного интеграла Брафмана [2] были получены производящие функции, удовлетворяющие формуле типа Родига, приводимой к виду

fn(x)=1n!Dxn[(ax+b)nF(x)],

(2)

где a и b — константы, не равные нулю, и F ( x ) не зависит от n и дифференцируемо произвольное число раз.

1.

2 Последние разработки
Математики всего мира по-прежнему интересуются производящими функциями с 1965 года по настоящее время. Публикации из Индии, Японии, Канады, США, Англии, России, Германии и других европейских стран свидетельствуют об этом интересе. Только в 1968 г. были опубликованы три превосходные работы по специальным функциям. Каждый из них учитывал идею производящей функции с теоретико-групповой точки зрения. Их авторами являются американец Уиллард Миллер-младший [3], канадец Джеймс Д. Талман [4] и россиянин Н. Дж. Виленкин [5]. (В. Н. Сингх перевел роман Вилеккина на английский язык). Публикации по производящим функциям Н. А. А. И.-Салама и В. А. А. И.-Салама [6], Дж. В. Брауна [7] и Л. Карлица [8] — лишь некоторые из многих интригующих наряду с более поздними интересными публикациями. Раздел «Специальные функции» Mathematical Reviews содержит множество ссылок на публикации по производящим функциям. Литература по полиномам Чебышева подробно представлена в разделе 18 книги [9]. ]. Эти многочлены имеют хорошо известные производящие функции в современной литературе и широко используются во всех областях математики и естественных наук. Особенно популярным применением этих производящих функций является решение дифференциальных уравнений в частных производных. Известные математики, такие как Ланцош [10], использовали двумерную форму этих производящих функций наряду с их сильными свойствами сходимости при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе Мейсона [11] для изучения полиномиальной аппроксимации использовалась двумерная форма полиномов Чебышева. Примеры двусторонних производящих функций и их производных подробно описаны в главе 1 у Макбрайда [12] и в работе Мохаммада [13]. Полином Чебышева также изучался и использовался при численном решении начальных граничных уравнений [14–16]. Производящие функции, включающие специальные функции, изучались в работе Meena et al. [17–20]. Изучены решения уравнений в частных производных в терминах двумерных рядов Чебышева с возможными приложениями к задаче на собственные значения для колеблющегося L -образная мембрана. В данной работе мы приводим решение в замкнутой форме двусторонней производящей функции, представляющей собой двойную сумму полиномов Чебышева, выраженную через неполную гамма-функцию, аналогичную формам, приведенным в работах [12, 13]. В разделе 3 выводится интегральная формула контура Чебышева. В разделе 4 мы даем подробное описание неполной гаммы, включая определения интеграла и суммирования. В разделе 5 выводятся контурные интегральные представления для неполной гамма-функции. В разделе 6 мы формулируем основную теорему и выводим несколько предложений и примеров в терминах постоянных и составных функций. В разделе 7 мы рассматриваем предельный случай разности двумерных полиномов Чебышева, выраженных через неполную гамма-функцию. Наши предварительные сведения начнем с метода контурного интеграла [21], примененного к формуле для производящей функции Чебышева, заданной уравнением (18.12.8) в [9].]. Пусть a , α , β , k и w — общие комплексные числа, n ∈ [0, ∞) и p ∈ [0, ∞), где интегральная форма производящей функции Чебышева определяется выражением
12πi∫C∑n,p≥0Tn(α)Tp(β)aww-k+n+p-1dw=12πi∫Caww-k-1(1-αw)(1-βw)(w2-2αw+ 1)(w2-2βw+1)dw
(3)
где | Re ( с )| < 1. Мы будем использовать уравнение (3) для получения эквивалентных сумм для левой части и специальной функциональной формы для правой части. Вывод суммирования осуществляется по методу, использованному нами в [21], с использованием интегральной формулы Коши. Обобщенная интегральная формула Коши имеет вид
ykΓ(k+1)=12πi∫Cewywk+1dw.
(4)
где C — вообще открытый контур в комплексной плоскости, где билинейный сопутствующий элемент имеет одинаковое значение в конечных точках контура. Этот метод включает в себя использование формы уравнения (4), затем умножение обеих частей на функцию, затем получение определенной суммы обеих частей. Это дает определенную сумму в терминах контурного интеграла. Второй интеграл по контуру получается путем умножения уравнения (4) на функцию и выполнения некоторых замен, чтобы интегралы по контуру были одинаковыми.

В этом разделе мы выводим представление бесконечной суммы, включающее произведение двух обобщенных полиномов Чебышева по независимым индексам для левой части уравнения (3). Используя обобщение интегральной формулы Коши (4), сначала замените y → log( a ), k → k − n − p , затем умножьте обе части на n 8 9 9 ( α ) Т _р ( β ) и взять суммы по n ∈ [0, ∞) и p ∈ [0, ∞) и упростить, чтобы получить

∑n,p≥0Tn(α)Tp(β)logk-n-p(a)Γ(k-n-p+1)=12πi∑n,p≥0∫CawTn(α)Tp(β)w-k+ n+p-1dw=12πi∫C∑n,p≥0awTn(α)Tp(β)w-k+n+p-1dw=12πi∫Caww-k-1(1-αw)(1-βw)( w2-2αw+1)(w2-2βw+1)dw

(5)

из уравнения (3), где | Re ( с )| < 1 и Im ( w ) > 0, чтобы суммы сходились. Примените теорему Тонелли для кратных сумм, см. стр. 177 в [22], поскольку слагаемые имеют ограниченную меру в пространстве C×[0,∞)×[0,∞).

Неполные гамма-функции [9], γ ( a , z ) и Γ( a , z ), определяются формулами

γ(a,z)=∫0zta-1e-tdt

(6)

Γ(a,z)=∫z∞ta-1e-tdt

(7)

где Re ( a ) > 0. Неполная гамма-функция имеет рекуррентное соотношение, определяемое выражением

γ(a,z)+Γ(a,z)=Γ(a)

(8)

где a ≠ 0, −1, −2, … Неполная гамма-функция аналитически продолжается выражением

γ(a,ze2mπi)=e2πmiaγ(a,z)

(9)

Γ(a,ze2mπi)=e2πmiaΓ(a,z)+(1-e2πmia)Γ(a)

(10)

где m∈Z, γ*(a,z)=z-aΓ(a)γ(a,z) является целым в z и a . Когда Z испол 0, γ ( A , Z ) — это целая функция A и γ ( A , Z ) является мероморфным с простыми поляками на A = — ). n вместо n = 0, 1, 2, … с остатком (-1)nn!. Эти определения перечислены в Разделе 8.2(i) и (ii) в [9].]. Неполные гамма-функции являются частными случаями более общих гипергеометрических функций и G-функций Мейера, см. раздел (5.6) и уравнение (6.9.2) в [23]. Некоторые G-представления Мейера, которые мы будем использовать в этой работе, имеют вид;

Γ(a,z)=Γ(a)-G1,21,1(z|1a,0)

(11)

Γ(a,z)=G1,22,0(z|10,a)

(12)

из уравнений (2. 4) и (2.6а) в [24]. Мы также будем использовать обозначение производной, данное;

∂Γ(a,z)∂a=Γ(a,z)log(z)+G2,33,0(z|1,10,0,a)

(13)

из уравнений (2.19а) в [24], (9.31.3) в [25] и уравнений (5.11.1), (6.2.11.1) и (6.2.11.2) в [26] и (6.36) в [ 27].

В этом разделе мы выводим общий случай неполной гамма-функции в терминах контурного интеграла Коши. Эта формула будет использоваться в следующем разделе для получения эквивалентных интегральных представлений контура неполной гамма-функции для правой части уравнения (3). Используя обобщение интегральной формулы Коши (4), сначала заменим y → y + log( a ), затем умножьте обе части на e ^xy и возьмите определенный интеграл по y ∈ [0, ∞) и упростите, чтобы получить

a-x(-x)-k-1Γ(k+1,-xlog(a))Γ(k+1)=-12πi∫Caww-k-1w+xdw

(14)

из уравнения (3.462.12) в [25], где Re ( x ) < 0, |arglog( a )| < π .

4.1 Вывод правых контурных интегральных представлений

В этом подразделе мы выводим неполную гамма-функцию в терминах контурного интегрального представления для правой части уравнения (3). Эти формулы получаются путем анализа правой части уравнения (3) и разложения частного многочлена на неполные дроби и применения определенного интеграла.

4.1.1 Первый контурный интеграл правой части

Используйте уравнение (14) и замените x→-α-i1-α2,k→k+1 и умножьте обе части на i41-α2(α-β) и упростите получить

iaα+i1-α2(α+i1-α2)-k-2Γ(k+2,-((-α-i1-α2)log(a)))41-α2Γ(k+2)(α- β)=-12πi∫Ciaww-k-241-α2(α-β)(-i1-α2-α+w)dw

(15)

4.1.2 Второй контурный интеграл правой части

Используйте уравнение (15) и заменить k → k − 1 и умножить обе части на -i(α+β)41-α2(α-β) и упростить, чтобы получить

-itaα+i1-α2(α+i1-α2)-k-1Γ(k+1,-((-α-i1-α2)log(a)))41-α2Γ(k+1)(α -β)=12πi∫Citaww-k-141-α2(α-β)(-i1-α2-α+w)dw

(16)

4.

1.3 Третий контурный интеграл правой части

Используйте уравнение (14) и замените x→-α+i1-α2,k→k+1 и умножьте обе части на -i41-α2(α-β) и упростите, чтобы получить

-iaα-i1-α2(α-i1-α2)-k-2Γ(k+2,-((i1-α2-α)log(a)))41-α2Γ(k+2)(α- β)=12πi∫Ciaww-k-241-α2(α-β)(i1-α2-α+w)dw

(17)

4.1.4 Четвертый контурный интеграл правой части

Используйте уравнение (14) ) и замените x→-α+i1-α2 и умножьте обе части на -i(α+β)41-α2(α-β) и упростите, чтобы получить

iaα-i1-α2(α+β)(α-i1-α2)-k-1Γ(k+1,-((i1-α2-α)log(a)))41-α2Γ(k+1 )(α-β)=-12πi∫Ci(α+β)aww-k-141-α2(α-β)(i1-α2-α+w)dw

(18)

4.1.5 Пятый контурный интеграл правой части

Используйте уравнение (14) и замените x→-α-i1-α2,k→k-1 и умножьте обе части на iαβ41-α2(α -β) и упростить, чтобы получить

iαβaα+i1-α2(α+i1-α2)-kΓ(k,-((-α-i1-α2)log(a)))41-α2Γ(k)(α-β)=-12πi∫ Ciαβaww-k41-α2(α-β)(-i1-α2-α+w)dw

(19)

4.1.6 Шестой контурный интеграл правой части

Используйте уравнение (14) и замените x→- α+i1-α2,k→k-1 и умножить обе части на -iαβ41-α2(α-β) и упростить, чтобы получить

-iαβaα-i1-α2(α-i1-α2)-kΓ(k,-((i1-α2-α)log(a)))41-α2Γ(k)(α-β)=12πi∫Ciαβaww -k41-α2(α-β)(i1-α2-α+w)dw

(20)

4.

1.7 Правая часть седьмого контурного интеграла

Используйте уравнение (14) и замените x→-β- i1-β2,k→k+1 и умножить обе части на -i41-β2(α-β) и упростить, чтобы получить

-iaβ+i1-β2(β+i1-β2)-k-2Γ(k+2,-((-β-i1-β2)log(a)))41-β2Γ(k+2)(α -β)=12πi∫Ciaww-k-241-β2(α-β)(-i1-β2-β+w)dw

(21)

4.1.8 Восьмой контурный интеграл правой части

Используйте уравнение (14) и замените x→-β-i1-β2 и умножьте обе части на i(α+β)41-β2(α-β) и упростите, чтобы получить

itaβ+i1-β2(β+i1-β2)-k-1Γ(k+1,-((-β-i1-β2)log(a)))41-β2Γ(k+1)(α- β)=-12πi∫Citaww-k-141-β2(α-β)(-i1-β2-β+w)dw

(22)

4.1.9 Девятый контурный интеграл правой части

Используйте уравнение (14) и заменить x→-β-i1-β2,k→k-1 и умножить обе части на iαβ41-β2(α-β) и упростить, чтобы получить

-iαβaβ+i1-β2(β+i1-β2)-kΓ(k,-((-β-i1-β2)log(a)))41-β2Γ(k)(α-β)=12πi∫ Ciαβaww-k41-β2(α-β)(-i1-β2-β+w)dw

(23)

4.1.10 Десятый контурный интеграл правой части

Используйте уравнение (14) и замените x→-β+i1-β2,k→k+1 и умножьте обе части на i41-β2(α -β) и упростить, чтобы получить

iaβ-i1-β2(β-i1-β2)-k-2Γ(k+2,-((i1-β2-β)log(a)))41-β2Γ(k+2)(α-β )=-12πi∫Ciaww-k-241-β2(α-β)(i1-β2-β+w)dw

(24)

4.

1.11 Одиннадцатый контурный интеграл правой части

Используйте уравнение (14) ) и заменить x→-β+i1-β2 и умножить обе части на -i(α+β)41-β2(α-β) и упростить, чтобы получить

-iaβ-i1-β2(α+β)(β-i1-β2)-k-1Γ(k+1,-((i1-β2-β)log(a)))41-β2Γ(k+ 1)(α-β)=12πi∫Ci(α+β)aww-k-141-β2(α-β)(i1-β2-β+w)dw

(25)

4.1.12 Право- двенадцатый контурный интеграл с левой стороны

Используйте уравнение (14) и замените x→-β+i1-β2,k→k-1 и умножьте обе части на iαβ41-β2(α-β) и упростите, чтобы получить

iαβaβ-i1-β2(β-i1-β2)-kΓ(k,-((i1-β2-β)log(a)))41-β2Γ(k)(α-β)=-12πi∫Ciaβaww -k41-β2(α-β)(i1-β2-β+w)dw

(26)

В этом разделе мы разовьем теорему, предложения и примеры, демонстрирующие возможное применение двойного ряда Чебышева. В этом разделе мы будем использовать α-i1-α2=f1, α+i1-α2=f2, β-i1-β2=f3, β+i1-β2=f4, f4,1-α2=f5 и 1-β2= f6 Тогда для всех a,k,α,β∈C

∑n,p≥0Tn(α)Tp(β)(aπ)n+p(k)-n-p+1=-14f5f6k(k+1)(α-β)iπ-ka-k(αβf6k (k+1)eπaf1f1-kΓ(k,af1π)-αf6(k+1)eπaf1f1-k-1Γ(k+1,af1π)-βf6(k+1)eπaf1f1-k-1Γ(k+1,af1π )+f6eπaf1f1-k-2Γ(k+2,af1π)-αβf6k(k+1)eπaf2f2-kΓ(k,af2π)+αf6(k+1)eπaf2f2-k-1Γ(k+1,af2π)+βf6 (k+1)eπaf2f2-k-1Γ(k+1,af2π)-f6eπaf2f2-k-2Γ(k+2,af2π)-αβf5k(k+1)eπaf3f3-kΓ(k,af3π)+αf5(k+ 1)eπaf3f3-k-1Γ(k+1,af3π)+βf5(k+1)eπaf3f3-k-1Γ(k+1,af3π)-f5eπaf3f3-k-2Γ(k+2,af3π)+αβf5k(k +1)eπaf4f4-kΓ(k,af4π)-αf5(k+1)eπaf4f4-k-1Γ(k+1,af4π)-βf5(k+1)eπaf4f4-k-1Γ(k+1,af4π)+ f5eπaf4f4-k-2Γ(k+2,af4π))

(27)

Обратите внимание, что правая часть уравнения (5) эквивалентна сложению правых частей уравнений (15) и (26), тогда левые части равны. Затем мы применяем уравнение (3) и заменяем на → на ^{на π}, упрощаем гамма-функцию и используем символ Поххаммера, см. уравнение (5.2.5) в [9], чтобы получить заявленный результат.

∑n,p≥0Tn(i)Tp(-i)e-4(n+p)π-n-p(12)-n-p+1=18((2+2)e-i(2-1) e4πE12(-i(-1+2)e4π)+(2+2)ei(2-1)e4πE12(i(-1+2)e4π)-(2-2)e-i(1+2)e4πE12(- i(1+2)e4π)-(2-2)ei(1+2)e4πE12(i(1+2)e4π)+16)

(28)

Используйте уравнение (27) и установите k = 1/2, a = e ⁴ , α = уравнение (8.19.1) в [9].

∑n,p≥01(aπ)n+p(k)1-n-p=1+1k+eaπ(1+k-aπ)E1-k(aπ)

(29)

Используйте уравнение (27) ) и применить правило Лопиталя как α → 1, β → 1 и упростить, используя уравнения (18.5.14) и (8.19.1) в [9].

∑n,p≥0(-1)n+p((2)-1+n+p(-1+γ+ψ(0)(1+n+p)))(aπ)n+p =-1+eaπE2(aπ)-eaπG2,33,0(aπ|3,31,2,2)

(30)

Используйте уравнение (29), возьмите первую частную производную по k и установите k = −1 и упростите, используя уравнение (13) и символьное уравнение Поххаммера, заданное как 1(k)- n-p+1=(-1)n+p+1(1-k)n+p-1, где k∈C,n,p∈N0.

∑n,p≥0cos(nα)cos(pβ)(aπ)n+p(k)1-n-p=14ki(1+k)(aπ)k(cos(α)-cos(β))( eae-iαπ(e-iα)-kk(1+k)cos(β)cot(α)Γ(k,ae-iαπ)-eaeiαπ(eiα)-kk(1+k)cos(β)cot(α )Γ(k,aeiαπ)-k(1+k)cos(α)cot(β)(eae-iβπ(eiβ)kΓ(k,ae-iβπ)-eaeiβπ(e-iβ)kΓ(k,aeiβπ) )-eae-iαπ+iα(e-iα)-k(1+k)(cos(α)+cos(β))csc(α)Γ(1+k,ae-iαπ)+eaeiαπ-iα(eiα )-k(1+k)(cos(α)+cos(β))csc(α)Γ(1+k,aeiαπ)+eae-iβπ+iβ(eiβ)k(1+k)(cos(α )+cos(β))csc(β)Γ(1+k,ae-iβπ)-eaeiβπ-iβ(e-iβ)k(1+k)(cos(α)+cos(β))csc(β )Γ(1+k,aeiβπ)+eae-iαπ+2iα(e-iα)-kcsc(α)Γ(2+k,ae-iαπ)-eaeiαπ-2iα(eiα)-kcsc(α)Γ(2 +k,aeiαπ)-eae-iβπ+2iβ(eiβ)kcsc(β)Γ(2+k,ae-iβπ)+eaeiβπ-2iβ(e-iβ)kcsc(β)Γ(2+k,aeiβπ))

(31)

Используйте уравнение (27) для замены α → cos( α ), β → cos( β ) и упростите левую часть, используя уравнение (18.5.1) в [ 9]. Произведение функций косинуса с точки зрения дополнительной функции ошибок erfc(z) и функции ошибок erfc(z).

∑n,p≥0e-4(n+p)cos(πn2)cos(πp4)(-12)-n-p+1=(14+i4)e2π((2+i2)e-ie4( erf((-1)3/4e2)+1)+2(-1)7/8e-(-1)3/4e4(erf((-1)7/8e2)+1)+2(-1) 5/8e-14e4erfc(-18e2)-(2+2i)eie4erfc(-14e2))

(32)

Используйте EQ (31) SET K = −1/2, A = E ⁴ / π , α = π /2, β = π /2, β = π /2, β9 = π /2, β9 = 4 и упростить правую часть, используя уравнения (8. 4.1) и (8.4.6) из [9]. Значение (−1) ^3/4, используемое в расчетах, находится в первом квадранте, который равен e ^{πi /4} . Золотое сечение.

∑n,p≥0Tn(5)Tp(52)(aπ)n+p(k)1-n-p=1k+145((4+5)e(-2+5)aπE1-k((- 2+5)aπ)+(-1+5)e12(-1+5)aπE1-k(12(-1+5)aπ)+(1+5)e12(1+5)aπE1-k(12 (1+5)aπ)+(-4+5)e(2+5)aπE1-k((2+5)aπ))

(33)

Используйте уравнение (31), задайте α→5,β→52 и упростите правую часть, используя уравнения (8.4.1) и (8.4.6) из [9].

В этом разделе мы выведем несколько генерирующих функций, используя идентификацию T _N ( — x ) = −1 ^N T _N (99998. 999999998. 999999998. 999999998. 9999999998. 999999999998. 99 n _{n 929247 _{N который указан в таблице (18.6.1) в [9]. Продолжаем, используя уравнение (27) и формируя второе уравнение, заменяя α → α , β → − β , взяв их разность и упростив. Далее мы оцениваем пять случаев, перечисленных ниже, когда α = β = 1, α = β = 2, α = β = 3, α 9 0 9004 = = β = 5. Чтобы упростить правые части этих формул, применяем предел и упрощаем. Процесс упрощения не очень легкий и утомительный, однако результаты очень интересны.}}

∑n,p≥0-1+(-1)n+p(aπ)n+p(k)1-n-p=e-(a+ik)π(aπ)kk(k(1+k+ aπ)Γ(k,-aπ)+eaπ(((-a)k-akeikπ)(1+k)πk-e(a+ik)πk(1+k-aπ)Γ(k,aπ)))

(34)

∑n,p≥0(-1+(-1)n+p)Tn(2)Tp(2)(aπ)n+p(k)1-n-p=a-ke- ((2+3)a+ik)π12k(6e(2+3)aπ((-a)k-akeikπ)(2+k)+k(-ake4aπ+ikπ(6+23+3k+3(- 2+3)aπ)E1-k(-((-2+3)aπ))+(-a)ke23aπ(6+23+3k-3(-2+3)aπ)E1-k((-2 +3)aπ)+(-a)k(6-23+3k+3(2+3)aπ)E1-k(-((2+3)aπ))+ake(2(2+3)a +ik)π(-6+23-3k+3(2+3)aπ)E1-k((2+3)aπ)))

(35)

∑n,p≥0(-1+ (-1)n+p)Tn(3)Tp(3)(aπ)n+p(k)1-n-p=116k(-3+22)-2ka-k((-3+22)a)- ke(-((3+22)a)+2ik)π(-((3+22)π))-k(8(3-22)2k(-a)ke(3+22)aπ((- a)k-akeikπ)(2+k)πk+(3-22)3k(-a)kk(8-32+4k+4(3+22)aπ)Γ(k,-((3+22)aπ ))+((-3+22)a)kk(-e6aπ+ikπ(8+32+4k+4(-3+22)aπ)Γ(k,(3-22)aπ)+e42aπ((8 +32+4k+4(3-22)aπ)Γ(k,(-3+22)aπ)+(3-22)2ke6aπ+ikπ(-8+32-4k+4(3+22)aπ) Γ(k,(3+22)aπ))))

(36)

∑n,p≥0(-1+(-1)n+p)Tn(4)Tp(4)(aπ)n+p(k)1-n-p=a-ke- ((4+15)aπ)((-4+15)π)-k60k(30e(4+15)aπ((-a)k-akeikπ)(2+k)((4-15)π)k -e8aπ+ikπk(30+415+15k+15(-4+15)aπ)Γ(k,-((-4+15)aπ))+e215aπk(30+415+15k-15(-4+15) )aπ)Γ(k,(-4+15)aπ)+(31-815)kk((30-415+15k+15(4+15)aπ)Γ(k,-((4+15)aπ ))+e(2(4+15)a+ik)π(-30+415-15k+15(4+15)aπ)Γ(k,(4+15)aπ)))

(37)

∑n,p≥0(-1+(-1)n+p)Tn(5)Tp(5)(aπ)n+p(k)1-n-p=(-5+26)-2ka- k((-5+26)a)-k48ke(-((5+26)a)+2ik)π(-((5+26)π))-k(24(5-26)2k(-a )ke(5+26)aπ((-a)k-akeikπ)(2+k)πk+(5-26)3k(-a)kk(24-56+12k+12(5+26)aπ)Γ (k,-((5+26)aπ))+((-5+26)a)kk(-e10aπ+ikπ(24+56+12k+12(-5+26)aπ)Γ(k,( 5-26)aπ)+e46aπ((24+56+12k+12(5-26)aπ)Γ(k,(-5+26)aπ)+(5-26)2ke10aπ+ikπ(-24+56 -12k+12(5+26)aπ)Γ(k,(5+26)aπ))))

(38)

В этом разделе мы выведем несколько экспоненциальных производящих функций, включающих полином Чебышева. В методе используются одновременные уравнения и обыкновенные дифференциальные уравнения.

7.1 Исходные уравнения

Здесь мы идентифицируем уравнение, для которого мы хотели бы найти новое представление;

∑n≥0znTn(x)n!=exzcos(1-x2z)

(39)

Затем мы увеличиваем факториал на единицу и назначаем общую функцию g ( z ) для решения задано;

∑n≥0znTn(x)(n+1)!=g(z)

(40)

Далее мы возьмем разницу уравнений (39) и (40), чтобы получить;

∑n≥0nznTn(x)Γ(n+2)=exzcos(1-x2z)-g(z)

(41)

Далее возьмем производную уравнения (40) такую, что левая часть сторона равна левой части уравнения (41), чтобы получить;

∑n≥0nznTn(x)Γ(n+2)=zg′(z)

(42)

Поскольку левые части уравнений (41) и (42) одинаковы, мы можем приравнять правые части и решить обыкновенное дифференциальное уравнение, данное;

-zg′(z)-g(z)+exzcos(1-x2z)=0

(43)

Далее решаем дифференциальное уравнение для функции g ( z ), с независимой переменной z предоставлено;

g(z)=exz(1-x2sin(1-x2z)+xcos(1-x2z))z+c1z

(44)

Далее применяем начальное условие g (0) = 0 и упростить получение;

∑n≥0znTn(x)(n+1)!=exz(1-x2sin(1-x2z)+xcos(1-x2z))z-xz

(45)

7.

2 Примеры производящих функций
Повторяя описанный выше метод, получаются следующие производящие функции Чебышева;
∑n≥0znTn(x)(n+2)!=x(21-x2exzsin(1-x2z)-z)+(2×2-1)exzcos(1-x2z)z2-2×2-1z2
(46 )
∑n≥0znTn(x)(n+3)!=1z3(-12z(4×2+xz-2)+1-x2(4×2-1)exzsin(1-x2z)+x(4×2-3) exzcos(1-x2z))-4×3-3xz3
(47)
∑n≥0znTn(x)(n+4)!=1z4(4×1-x2(2×2-1)exzsin(1-x2z)+( 8×4-8×2+1)exzcos(1-x2z)-16z(24×3+6x2z+x(z2-18)-3z))-8×4-8×2+1z4
(48)
∑n≥0znTn(x)( n+5)!=1z5(-16×5+20×3+exz(1-x2(16×4-12×2+1)sin(1-x2z)+x(16×4-20×2+5)cos(1-x2z))-124z( 192×4+48x3z+8×2(z2-24)+xz(z2-36)-4z2+24)-5x)
(49)
формулы суммы с участием полинома Чебышева. Сами по себе математические методы просты в использовании, однако применительно к этой специальной функции оценка не была простой. Некоторые из проблем, с которыми мы столкнулись, заключались в упрощении неполного представления гамма-функции контурного интеграла, а также в поиске значений, при которых сходится бесконечная сумма. Преимущество данной работы заключается в закрытой форме решений, полученных с использованием этих методик. Мы смогли добавить новые формулы в текущую литературу, которые, как мы надеемся, будут полезны академическому сообществу.
В этой статье мы представили метод получения производящих функций, включающий полином Чебышева и его произведение в независимых диапазонах параметров, а также некоторые интересные частные случаи с использованием контурного интегрирования и хорошо известных алгебраических методов. Мы планируем применить эти методы для получения других производящих функций, включающих другие специальные функции, в будущей работе. Представленные результаты были численно проверены как для вещественных, так и для мнимых и комплексных значений параметров в интегралах с помощью Mathematica by Wolfram.
Авторы хотели бы поблагодарить рецензентов за внимательное прочтение статьи, а также за их конструктивные и ценные комментарии, позволившие улучшить статью.
Allan Stauffer Fund номер 504070 Канадский совет по естественным наукам и инженерным исследованиям https://www. nserc-crsng.gc.ca/index_eng.asp Спонсоры или спонсоры не играли никакой роли в разработке исследования, сборе данных и анализе , решение о публикации или подготовка рукописи.
Все необходимые данные находятся в документе.
1. Рейнвилл Э.Д. Специальные функции . Макмиллан, Нью-Йорк: (1960). [Google Scholar]
2. Фред Брафман, Некоторые производящие функции для многочленов Лагерра и Эрмита. Канада. Дж. Матем. 9, 180–187 (1957). doi: 10.4153/CJM-1957-020-1 [CrossRef] [Google Scholar]
3. Миллер Уиллард младший, Теория лжи и специальные функции . Нью-Йорк: Академическая пресса; (1968). [Google Scholar]
4. Талман Джеймс Д., Специальные функции . Нью-Йорк: В. А. Бенджамин; (1968). [Google Scholar]
5. Виленкин Н.Я., Специальные функции и теория представлений групп . Провидение: амер. Мат. соц. Перевод (1968).
6. А.И.-Салам Н.А., А.И.-Салам В.А., Некоторые характеристики ультрасферических многочленов. Канада. Мат. Бык. 11, 457–464 (1968). doi: 10.4153/CMB-1968-054-1 [CrossRef] [Google Scholar]
7. Brown, James Ward., О некоторых модификациях полиномов Гегенбауэра и Лагерра . Мичиганская диссертация (1964).
8. Карлиц Леонард., Некоторые производящие функции полиномов Лагерра. Герцог Математика. Журнал 35, 825–827 (1968). doi: 10.1215/S0012-7094-68-03587-4 [CrossRef] [Google Scholar]
9. Olver, F.W.J.; Лозье, Д.В.; Бойсверт, РФ; Кларк, К. В. (ред.) Цифровая библиотека математических функций NIST ; Министерство торговли США, Национальный институт стандартов и технологий: Вашингтон, округ Колумбия, США; Издательство Кембриджского университета: Кембридж, Великобритания, 2010 г.; С 1 компакт-диском (Windows, Macintosh и UNIX). MR 2723248 (2012a:33001).
10. Cornelius Lanczos, Applied analysis , Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1956xx+539 MR0084175, (1956).
11. Мейсон Дж. Чебышев Полиномиальные аппроксимации для проблемы собственных значений L-мембраны, SIAM Journal on Applied Mathematics 15, нет. 1: 172–86 (1967). http://www.jstor.org/stable/2946162 [Google Scholar]
12. Элна Браунинг Макбрайд, Получение производящих функций , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1st Edition (1971), 10.1007/978-3-642-87682-0. [Перекрестная ссылка]
13. Мохаммад С. Билинейные и двусторонние производящие функции обобщенных многочленов. Журнал Австралийского математического общества. Серия Б. Прикладная математика, 39(2), 257–270. (1997). doi: 10.1017/S0334270000008833 [CrossRef] [Google Scholar]
14. Абд-Эльхамид В.М. и Ахмед Х.М., Тау и операционные матрицы производных Галеркина для обработки сингулярных уравнений и уравнений Эмдена – Фаулера третьего порядка. Международный журнал современной физики C 2022. 33:05 Том. 33, № 05, 2250061 (2022). 10.1142/S0129183122500619 [CrossRef] [Google Scholar]
15. Абд-Эльхамид В.М. и Юссри Ю. Х., Спектральная обработка Чебышева второго рода с явным смещением для дробного дифференциального уравнения Риккати, Компьютерное моделирование в технике и науках CMES, том 121, № 3, стр. 1029–1049, (2019) 10.32604 / cmes.2019.08378 [CrossRef ] [Google Scholar]
16. Абд-Эльхамид Валид и Доха Эйд и Юссри Юссри и Бассуони М. Новый метод операционной матрицы Чебышева-Галеркина для решения линейных и нелинейных уравнений типа гиперболического телеграфа. Численные методы решения уравнений в частных производных. 32. (2016). 10.1002/num.22074 [CrossRef] [Google Scholar]
17. Мина С., Бхаттер С., Джангид К., Пурохит С. Д. и Нисар К. С. Некоторые производящие функции, включающие неполные I-функции. Журнал прикладной и инженерной математики TWMS, 12 (3), 985–995, (2022). [Google Scholar]
18. Мина С., Бхаттер С., Джангид К. и Пурохит С. Д. Некоторые формулы расширения неполных I -функций, связанных с правилом Лейбница. Журнал дробного исчисления и нелинейных систем, 2 (1), 42–50, (2021). 10.48185/jfcns.v2i1.231 [CrossRef] [Академия Google]
19. Камлеш Дж.; Датт П.С. Суппи П.С., Серкан А. Генерирующие функции, включающие неполные H-функции. Анализ, 41, 239–244 (2021). 10.1515/anly-2021-0038 [CrossRef] [Google Scholar]
20. Мина С., Бхаттер С., Джангид К. и др. Некоторые формулы разложения для неполных H- и H̄-функций с участием функций Бесселя. Adv Differ Equ 2020, 562 (2020). 10.1186/с13662-020-03022-з. [CrossRef] [Google Scholar]
21. Рейнольдс Р.; Штауффер А. Метод вычисления определенных интегралов в терминах специальных функций с примерами. Междунар. Мат. Форум 2020, 15, 235–244. doi: 10.12988/imf.2020.91272 [CrossRef] [Google Scholar]
22. Гельца Рэзван., Андрееску Титу. Патнэм и далее . Германия: Springer International Publishing, (2017). [Google Scholar]
23. Эрдейли А.; Магнус В.; Оберхеттингер Ф.; Трикоми Ф.Г. Высшие Трансцендентальные Функции , Том I ; McGraw-Hill Book Company, Inc.: Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США; Торонто, Онтарио, Канада; Лондон, Великобритания (1953 г.). [Академия Google]
24. Милграм, Обобщенная интегро-экспоненциальная функция , Математика вычислений, том 44.
No related posts.