Математика 5 класс перспектива учебник ответы: Номер (задание) 39 — гдз по математике 5 класс Дорофеев, Шарыгин

Содержание

Контрольные работы по математике 5 класс к учебнику Г.В Дорофеев

Контрольные работы по математике 5 класс к учебнику Г.В. Дорофеева. И.Ф Шарыгина.

Ресурс.

Методический комплект. Контрольные работы. 5-6 классы: М34 пособие для учителей общеобразоват. организаций/(Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др.)

. Издательство» Просвещение».-8-е изд.-М.:Просвещение,2013.

Контрольная работа №1 по теме

« Натуральные числа».

Контрольная работа №1 по теме

« Натуральные числа».


Контрольная работа №1 по теме

« Натуральные числа».


Контрольная работа № 2 по теме «Действия с натуральными числами».

Контрольная работа № 2 по теме «Действия с натуральными числами».


Контрольная работа № 3 по теме « Использование свойств действий при вычислениях».

Контрольная работа № 3 по теме « Использование свойств действий при вычислениях».


Контрольная работа №4 по теме «Делимость чисел».


Контрольная работа №4 по теме «Делимость чисел».


Контрольная работа № 5 по теме «Обыкновенные дроби».

Контрольная работа № 5 по теме «Обыкновенные дроби»

Контрольная работа № 5 по теме «Обыкновенные дроби».

Контрольная работа № 6 по теме « Сложение и вычитание дробей».

Контрольная работа № 6 по теме « Сложение и вычитание дробей».


Контрольная работа № 6 по теме « Сложение и вычитание дробей».


Контрольная работа № 7 по теме « Умножение и деление дробей».

Контрольная работа № 7 по теме « Умножение и деление дробей».


Контрольная работа № 7 по теме « Умножение и деление дробей».


Контрольная работа № 7 по теме « Умножение и деление дробей».


Итоговая контрольная работа № 8

Итоговая контрольная работа № 8


Критерии оценивания контрольных


Критерии оценивания контрольных


Организация дистанционного обучения

29 апреля 2020 года
Уроки музыки с Яндекс.Учебником
Открытый микрофон: Школа будущего — в настоящем. Из опыта работы 

Ведущие: Александр Михайлович Кондаков — генеральный директор компании «Мобильное Электронное Образование», доктор педагогических наук, член-корреспондент РАО; Инна Валентиновна Тяпугина — директор ОГАУ ОК «Алгоритм успеха», Почетный работник общего образования Российской Федерации

 Марафон вебинаров «Горячая линия КИПК@ONLINE» — с 16 по 28 апреля 2020 года

День 1 Часть 1. Руководителю РМО и учителю: Как подготовить к ГИА по математике в дистанционном формате? На каких платформах лучше запустить отработку по решению заданий для подготовки к ГИА? Как организовать живое общение с учениками? Часть 2.Директору и учителю: Как идёт дистанционное обучение в «Школе “Летово”»?

День 2 Часть 1.Родителям: Психологическая поддержка родителей при реализации практики дистанционного обучения: как остаться здоровым?

            Часть 2.Директору и учителю: Как помочь школе организовать образовательный процесс в условиях карантина?

День 3 Директору и учителю: Как определить объём заданий для детей в дистанционном обучении? «Техники снижения стресса» — Как поддержать себя в условиях самоизоляции и перехода на дистант?

День 4 Как организовать дистанционное обучение в школе-интернате?

День 5 Конкретные ответы на конкретные вопросы: как помочь ребенку учиться дома самостоятельно? Практики коллективного обучения отвечают учителям и родителям

День 6 Конкретные ответы на конкретные вопросы: как помочь ребенку учиться дома самостоятельно? Практики семейного образования отвечают родителям

День 7 Часть 1. Как сохранить здоровье школьника в условиях изоляции и дистанционного обучения? Часть 2.Как идёт дистанционное обучение в «Школе “Летово”»?

День 8 Как помочь младшему школьнику сохранить успешность при дистанционном обучении?

День 9 Как поддержать чтение ребенка в условиях самоизоляции?

27 апреля 2020 года

Школа лидеров отцовских проектов «STARTПАП» — проект для неравнодушных отцов, у которых есть идеи, как улучшить мир для детей и их окружения.

Минпросвещения: Телеуроки охватят до пяти миллионов школьников. Расписание трансляций публикуется в специальном разделе на сайте Министерства просвещения. Инструкцию по настройке просмотра канала можно скачать здесь.

25 апреля 2020 года

Office 365 для образовательных учреждений

Минпросвещения опубликовало рекомендации по организации дистанционного обучения

23 апреля 2020 года Стань прогрессивным учителем с интерактивными тетрадями

Интерактивная тетрадь с материалами, входящими в федеральный перечень учебников, рекомендованных для программ общего образования 1-11 классов, доступна бесплатно для всех российских школьников с 6 апреля — начала новой учебной четверти.

В интерактивной тетради собраны задания по основным школьным предметам: математика (в том числе алгебра и геометрия для средних и старших классов), русский язык, обществознание, английский язык.  А также задания для подготовки к ЕГЭ.

14 апреля 2020 года Министерство просвещения поддержало инициативу компании Google подключить образовательные учреждения к бесплатному контенту

Компания Google готова подключить образовательные учреждения к сервису G-Suite for Education и предоставить бесплатный 90-дневный доступ к расширенному функционалу платформы. В образовательном процессе педагоги смогут использовать платформу Google Класс, позволяющую организовывать уроки, размещать необходимые материалы, давать домашние задания, проверять их выполнение и выставлять оценки, организовывать совместную работу с коллегами и эффективное взаимодействие с учениками.

Ссылка на проект Google «Учим из дома».

11 апреля 2020 года National Geographic запустил образовательный ресурс для детей.

Медиабренд National Geographic запустил образовательный ресурс для детей всех возрастов. Новая платформа [email protected] призвана помочь родителям и педагогам восполнить пробелы в знаниях детей о природе и животных. Дошкольники, а также учащиеся младших, средних и старших классов смогут бесплатно изучить видеоуроки, статьи, фильмы и прочие материалы, размещенные на платформе.

10 апреля 2020 года Российское движение школьников проводит просветительские и развлекательные онлайн-мероприятия для детей: присоединяйтесь.

Российское движение школьников (РДШ) организует разнообразные образовательные и досуговые онлайн-мероприятия, которые позволят школьникам, находящимся дома в условиях сложившейся эпидемиологической ситуации, интересно и с пользой провести время, пополнить знания и проявить себя.

Официальная группа РДШ в социальной сети «ВКонтакте».

9 апреля 2020 года Роспотребнадзор: рекомендации, как правильно организовать рабочее место школьника дома
8 апреля 2020 года Минпросвещения запустило онлайн-платформу для дистанционного обучения школьников

С 7 апреля 2020 года начала работать платформа «Моя школа в online», которая позволит школьникам по всей России, в том числе не имеющим доступ к высокоскоростному интернету, пройти общеобразовательную программу в дистанционном режиме.

 Новая платформа позволит учителям и ученикам 1–11-х классов пользоваться качественными учебными материалами для самостоятельного обучения на дому. Материалы разработаны на базе учебников, входящих в федеральный перечень и соответствующих федеральному образовательному стандарту. Также предусмотрены обратная связь и круглосуточная методическая поддержка учителей, родителей и школьников.

Бесплатный доступ к ресурсам Нового диска

7 апреля 2020 года

Онлайн-конференция Министра просвещения Российской Федерации Сергея КРАВЦОВА

Цифровая грамотность: базовый курс по развитию компетенций XXI века

5 апреля 2020 года Сергей Кравцов: «Главное сейчас – спокойно учиться и готовиться к проведению экзаменов
2 апреля 2020 года

Высшая школа экономики опубликовала экспресс-анализ цифровых образовательных ресурсов и сервисов для организации учебного процесса школ в дистанционной форме

Советы педагогам и родителям о домашнем обучении детей с особыми образовательными потребностями собраны на одном ресурсе

1 апреля 2020 года

Яндекс запустил бесплатную онлайн школу

  • Яндекс. Уроки — видеоуроки по 15 предметам для 5–11 классов от ведущих учителей России.
  • Яндекс.Учебник — задания по русскому, математике и окружающему миру для 1-5 классов и видеоуроки.
  • Яндекс.Репетитор — задания для подготовки к экзаменам: ЕГЭ и ОГЭ.
  • Я Учитель — ресурсы для дистанционного обучения учителей.

Расписание онлайн уроков от Российского учебника

Национальная родительская ассоциация предложила рекомендации для родителей по обучению на дому

30 марта 2020 года

Для российских учителей подготовили бесплатный курс по дистанционному обучению

Учи.ру запустил онлайн-уроки для 5–8 классов

Минпросвещения считает необходимым усилить психолого-педагогическую поддержку учителей, школьников и их родителей 

27 марта 2020 года Материалы для организации двигательной активности в дистанционном режиме
26 марта 2020 года

«Открытая школа» предоставляет полный бесплатный доступ для школ края

Об особенностях использования дистанционных форм обучения

25 марта 2020 года

Как организовать онлайн-обучение в Одноклассниках

Яндекс. Учебник подготовил методичесикие рекомендации по переходу на дистанционное обучение

23 марта 2020 года Учи.Ру. Онлайн уроки для 1-4 классов 

Страница не найдена

Новости

4 мар

Депутат Госдумы Елена Строкова предложила отменить Всероссийские проверочные работы (ВПР), которые с марта по май должны писать школьники 4, 5, 6 и 11-го классов общеобразовательных организаций всей страны. Копия письма на имя вице-премьера Татьяны Голиковой имеется в распоряжении RT.

3 мар

Законопроект о школьной медицине могут рассмотреть в Госдуме в весеннюю сессию. Об этом заявил один из авторов документа, председатель комитета по охране здоровья Дмитрий Морозов.

3 мар

Депутаты нижней палаты парламента России завершают работу над законопроектом о повышении роли медработников в школах, заявил один из инициаторов документа, глава комитета Госдумы по охране здоровья Дмитрий Морозов.

3 мар

Следователи в Красноярске обнаружили возможный источник отравления более 90 учеников 25 школ в возрасте от семи до 14 лет, сообщили в региональном главке Следственного комитета России.

3 мар

Основной период сдачи Единого госэкзамена в этом году продлится с 31 мая по 2 июля. Проект расписания и регламента проведения ЕГЭ и ОГЭ подготовили Министерство просвещения и Рособрнадзор. Согласно опубликованному документу, в первый день выпускники будут сдавать географию, литературу и химию. Экзамены по русскому языку состоятся 3 и 4 июня, а по профильной математике — 7-го числа. В соответствии с подписанным ранее постановлением правительства итоговая аттестация в 2021 году пройдёт по упрощённым правилам. Так, девятиклассникам и ученикам 11-х классов, которые не планируют поступать в вуз, предстоит сдать только обязательные экзамены по русскому языку и математике.

2 мар

Уполномоченный при президенте России по правам ребёнка Анна Кузнецова оценила последствия дистанционного обучения в школах.

2 мар

Директор фонда «Национальные ресурсы образования» Татьяна Половкова прокомментировала предложение спикера Совфеда Валентины Матвиенко перевести все школы на пятидневку.

Взгляд учителя третьего класса на Eureka Math

Джессика Даути преподает в сельской школе Title One в округе Дэвисс, штат Кентукки, где 52% учащихся получают бесплатный завтрак и обед. В наступающем учебном году она перейдет в роль инструктора.

Это первый год внедрения Eureka Math в моей школе — начальной школе Уайтсвилля. Мы обсуждали, следует ли нам развертывать его медленно, начиная с начальных классов и затем переходя к промежуточным в последующие годы; Однако в конечном итоге сотрудники решили сразу погрузиться в изучение того, что предлагала эта учебная программа. Теперь, когда я заканчиваю первый год обучения, вот что я заметил в учебной программе и некоторых уникальных мероприятиях, которые мои коллеги и я сделали, чтобы программа работала для наших студентов.

В рамках стандартов определенно уделяется больше внимания, и это отражено в учебной программе Eureka , в которой больше времени уделяется основной работе уровня. Модули привязаны к стандартам уровня класса, которые преподаются на каждом уроке, поэтому я могу быстро увидеть основные области. Я также вижу элементы строгости, изложенные в каждом уроке.Например, я ценю ежедневные уроки беглости, которые встроены в начало каждого дня. Это обычная практика для студентов, и они привыкли к этой практике — развитие беглости речи стало регулярной частью каждого дня. Уроки беглости требуют много повторений, что позволяет со временем укреплять уверенность. В моем классе мы также добавили несколько песен «Count By» к этому времени беглости. Я нашел несколько видеороликов г-на ДеМайо, созданных учителем (например, это — кавер на «Uptown Funk», чтобы помочь отработать таблицу умножения на 3), которые помогли повысить уровень вовлеченности в это время беглости. Он создает каверы на многие популярные песни, которые знакомы детям, со счетом на 3, 4, 6 и так далее.

Каждый день также дает студентам концептуальное время для изучения, чтобы глубже изучить стандарт, который мы изучаем. Это время, когда я действительно поощрял командную работу в моем классе. В тексте не указывается, как различать потребности разных учеников, но я сгруппировал своих учеников так, чтобы у них были ученические тренеры, разбросанные по всей комнате.Я подхожу к этому обучению с менталитетом «обучения», и студенты действительно любят работать друг с другом.

Кроме того, ежедневная работа с приложениями осуществляется с помощью текстовых задач. В моем классе у нас есть тетради по математике для каждой из этих задач — студентам предлагается сначала попытаться решить задачу самостоятельно. По прошествии отведенного количества времени ученики начинают делиться своими ответами, и мы собираем ответы учеников на доске, чтобы проанализировать различные ответы и подсчитать, сколько учеников дали каждый отдельный ответ. (Это стратегии, которые я добавил самостоятельно, но не предусмотренные в инструкциях для учителей.) Учебная программа поощряет процесс, называемый RDW, для решения и моделирования этих задач (чтение, рисование, запись-уравнение, предложения). Это когда они добавляют в свои записные книжки путь миссис Даути, чтобы сравнить свой ответ с моим на предмет сходств и различий. Мне нравится эта часть урока, потому что, когда мы с учениками получаем один и тот же ответ, но применяем разные подходы, чтобы добраться до него, это действительно демонстрирует, что не существует единственного правильного способа прийти к решению.Это также дает обратную связь об их мышлении, но также подталкивает их к тому, чтобы они стали независимыми мыслителями.

С точки зрения согласованности, хотя я не сел специально с другими уровнями обучения, чтобы рассматривать каждый модуль в целом, я чувствую, что у меня есть уникальное видение, поскольку я не только преподаю в школе, но и являюсь родителем двух учеников. которые посещают школу. Мой старший сын учится в 5-м классе, а младший — в 1-м. Я был поражен согласованностью, которую я увидел в их работе и тому, чему я учу в своем третьем классе.Так много из того, что приносит домой мой первоклассник, волнует меня из-за того, что ждет его впереди. Этот учебный план представляет стратегии на раннем этапе детского сада, такие как числовые связи, ленточные диаграммы и так далее, которые они повторяют снова и снова на протяжении многих лет. Язык становится общим для детей и родителей. Я предсказываю значительный рост со временем и использованием.

Мне не приходилось переставлять контент, чтобы он был более связным. Во время нашего первоначального обучения было настоятельно рекомендовано дать возможность модулям разыгрываться в определенном порядке, в котором они были представлены.Идея состоит в том, что обучение будет происходить как рассказ в течение года, и я обнаружил, что это очень правда. Пока мы работаем над нашим последним модулем, я вижу, как модули до этого так сплоченно связаны с работой в этом модуле.

Точно так же я не обнаружил необходимости дополнять какую-либо часть этой учебной программы другими ресурсами. Я включил стратегию под названием «Мое любимое нет», чтобы использовать мои выходные бланки как возможность для более глубокого обучения.В этом упражнении все ученики отвечают на один и тот же вопрос, я сортирую ответы по стопкам «да» и «нет» — правильные и неправильные ответы. Затем я выбираю свое любимое «нет», и мы вместе смотрим на процесс, используемый для решения проблемы. Этой стратегией мне поделились до того, как я начал преподавать с Eureka Math, и я обнаружил, что она очень эффективна и полезна с выходными билетами, предоставленными в этом учебнике. Если вам нужна дополнительная информация об этой стратегии, перейдите по этой ссылке на обучающем канале: https: // www.youtube.com/watch?v=srJWx7P6uLE

Eureka Math написан для учителя и предвосхищает ответы учеников, что очень полезно для изучения заранее. Это упрощает изучение каждого модуля и упрощает понимание того, что от него ожидается. Хотя некоторые учителя могут найти это немного ограничивающим, вы можете сделать это по своему усмотрению, построив отношения в классе для поддержки разнообразных учащихся в вашей среде. В учебной программе не так много строительных лесов, что позволяет учителю определять некоторые передовые практические стратегии для выполнения каждого урока.Еще один простой плюс к составленному по сценарию плану урока заключается в том, что когда вам нужно составить план для замещающего учителя, он очень четко определяет, что он должен говорить и делать.

В целом, я более чем впечатлен программой Eureka Math как основной учебной программой для преподавания с учетом сдвигов общего ядра. Очевидно, что материал был написан для того, чтобы бросить вызов и заинтересовать учащихся на всех уровнях, и встроенные строительные леса становятся очевидными по мере того, как дети постепенно продвигаются по каждому уроку модулей.Я ожидаю, что наша школа и дальше будет двигаться в направлении согласования наших целей со стандартами подготовки к колледжу и карьере, и с нетерпением жду возможности увидеть, чего наши ученики могут достичь со временем.

10 РАЗВИТИЕ УРОВНЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ | Сложим: помощь детям в изучении математики

Кэмпбелл, П.Ф. (1996). Расширение прав и возможностей детей и учителей в классах начальной математики городских школ. Городское образование , 30 , 449–475.

Карпентер, Т. (1988). Обучение как решение проблем. В Р. И. Чарльз и Э. А. Сильвер (ред.), Обучение и оценка решения математических задач (стр. 187–202). Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики.

Карпентер, Т.П., Феннема, Э., и Франке, М.Л. (1996). Когнитивно управляемое обучение: база знаний для реформы начального обучения математике. Журнал начальной школы , 97 , 3–20.

Карпентер, Т.П., Феннема, Э., Франке, М.Л., Эмпсон, С.Б., и Леви, Л.В. (1999). Детская математика: познавательное обучение . Портсмут, Нью-Хэмпшир: Heinemann.

Карпентер, Т. П., Феннема, Э., Петерсон, П.Л., Чанг, К.П., и Лоэф, М. (1989). Использование знаний о математическом мышлении детей в классе: экспериментальное исследование. Американский журнал исследований в области образования , 26 , 499–531.

Карпентер, Т.П., и Леви, Л. (1999, апрель). Развитие представлений об алгебраическом мышлении в начальных классах. Документ, представленный на заседании Американской ассоциации исследований в области образования, Монреаль.

Clark, C.M., & Peterson, P.L. (1986). Мыслительные процессы учителей. В M.C.Wittrock (Ed.), Справочник по исследованиям по обучению (3-е изд., Стр. 225–296). Нью-Йорк: Макмиллан.

Кобб, П., Вуд, Т., Якель, Э. Николлс, Дж., Уитли, Г., Тригатти, Б., И Перлвиц, М. (1991). Оценка проблемно-ориентированного математического проекта для второго класса. Журнал исследований в области математического образования , 22 , 3–29.

Коэн, Д.К., и Болл, Д.Л. (1999). Обучение, возможности и улучшение (Отчет об исследовании CPRE № RR-043). Филадельфия: Университет Пенсильвании, Консорциум исследований политики в области образования.

Коэн, Д.К., и Болл, Д.Л. (2000, апрель). Инструктивное нововведение: переосмысление истории.Документ, представленный на заседании Американской ассоциации исследований в области образования, Новый Орлеан.

Конференция Совета математических наук. (2000, сентябрь). Проект отчета по проекту «Математическое образование учителей CBMS» [On-line]. Доступно: http://www.maa.org/cbms/metdraft/index.htm. [3 января 2001 г.].


Давенпорт, Л. (в печати). Учебные планы элементарной математики как инструмент реформы математического образования: проблемы внедрения и последствия для профессионального развития.В P.Smith, A.Morse и L.Davenport (Eds.), Обучение учителей и реализация учебной программы . Ньютон, Массачусетс: Центр развития образования, Центр развития обучения.


Эрлвангер, С., и Берлангер, М. (1983). Интерпретации знака равенства у младших школьников. В J.C.Bergeron & N.Herscovics (Eds.), Proceedings of the Fifth Annual Meeting of the North American Chapter of International Group for the Psychology of Mathematics Education (vol.1. С. 250–258). Монреаль: Монреальский университет. (Услуга размножения документов ERIC № ED 289 688).


Фолкнер, К.П., Леви, Л., и Карпентер, Т. (1999). Детское понимание равенства: основа алгебры. Обучение детей математике , 6, 232–236.

Феннема, Э., Карпентер, Т.П., Франке, М.Л., Леви, Л., Якобс, В., и Эмпсон, Б. (1996). Продольное исследование обучения использованию детского мышления при обучении математике. Журнал исследований в области математического образования , 27 , 403–434.

«Проблемы — естественная часть математики» (Мнение)

(Это первая публикация из серии, состоящей из двух частей)

Новый «вопрос недели»:

Что учителя математики считают своими самыми большими проблемами и как они могут решить эту проблему? ответить на них?


Все мы, преподаватели, сталкиваемся с трудностями. В этой серии статей мы узнаем, с чем конкретно сталкиваются учителя математики.

Возможно, вам будет интересна предыдущая серия статей о том, что учителя естественных наук считают своими основными проблемами.

Сегодня свои ответы представили Македа Бром, Пиа Хансен, Линда Годжак, Мэриан Смолл, Кеннет Баум и Дэвид Крулвич. Вы можете послушать 10-минутный разговор, который у меня был с Македой и Пией на моем БАМе! Радиопередача. Вы также можете найти здесь список предыдущих выставок и ссылки на них.

Ответ от Македы Бром

Македа Бром — учитель математики в средней школе и заведующий кафедрой Академии Линкольн-Парк в Форт.Пирс, штат Флорида. Она также является научным сотрудником преподавателей Флориды в Университете Флориды и в партнерстве с Центром качества преподавания:

Наша тема — продуктивная борьба, решение повседневных проблем и видение закономерностей в окружающем нас мире. Задачи — естественная часть математики. Как учителя, мы должны поставить перед собой цель преодолеть трудности в классе, чтобы наши ученики учились. Хотя учителя математики считают множество самых серьезных проблем, есть три, на которые мы можем лучше всего ответить.Время — это вызов, который мы не можем изменить, так что я считаю тремя самыми большими проблемами, кроме времени? Это необходимые навыки, образ мышления учащихся и ресурсы.

Необходимые навыки

Большинство учителей математики согласятся с тем, что ученикам не хватает и / или не запоминаются необходимые навыки для своих математических курсов. «Летний слайд» вносит свой вклад — отсутствие практики математических навыков более 2 месяцев между предыдущим курсом и новым курсом бесполезно для студента.Большинство учебных программ начинается так, как если бы студент закончил свой последний курс накануне. Итак, что могут делать учителя? Мы можем предложить родителям и учащимся возможность не упасть с этой горки летом, 1) предоставив список предварительных навыков, которые должны быть профессионально освоены учащимися, чтобы начать следующий курс на уровне. и 2) определить ресурсы, которые родители и ученики могут использовать для отработки этих навыков (например, Khan Academy, веб-сайты, наборы задач).

Мышление учеников

Мышление учеников относительно математики, как правило, фиксировано.Они либо верят, что родились со способностями к математике, либо нет. Когда вы объединяете эту установку на данность с отсутствием и / или незнанием необходимых навыков, обучение математике может стать еще более сложной задачей. Чтобы бороться с этим, мы, как учителя, должны сначала оценить свое собственное отношение к математике. У нас должна быть установка на рост в математике. Если у нас есть установка на данность, ученики это поймут, и наш класс станет смесью тех, кто «может», и тех, кто «не может».«Есть много ресурсов об установке на рост (мышление, Кэрол Двек). Существуют даже специальные ресурсы о математическом мышлении, предназначенные для родителей, учеников и учителей. Профессор и автор Стэнфордского университета Джо Болер написала книгу «Математические установки мышления» и даже предлагает бесплатный онлайн-курс под названием «Как изучать математику: для студентов». Курс разделен на две основные части: изучение мозга и математики и стратегии достижения успеха.

Ресурсы

И последнее, но не менее важное — это ресурсы.Внедрение Общих основных стандартов на национальном уровне заставило учителей изменить способ преподавания и представления математики на протяжении десятилетий. Студенты должны знать больше, чем просто беглость процедур или как решить задачу, просто выполняя шаги как можно быстрее и эффективнее. Прошли те времена, когда учителя просто следовали учебнику. Common Core Math требует строгости, глубины, согласованности между классами и применения в реальных жизненных обстоятельствах. Большинство учебников не полностью адаптированы к этим изменениям.

Новизна стандартов, их значения и внешнего вида еще не дошла до создателей учебников. На данный момент ни один учебник не соответствует стандартам на 100%. Обладая этими знаниями, учителя должны стать ищущими. Использование ресурсов Google и конкретных стандартов может привести к появлению множества ресурсов, в том числе действий, для стандартов. В EngageNY есть планы уроков, видео, задания и т. Д., Которые учителя могут использовать в качестве отправной точки. NCTM Illuminations, Illustrative Mathematics и Learn Zillion — это еще несколько сайтов с отличными ресурсами.Я искренне верю, что если вы будете искать, вы найдете, но может потребоваться некоторая работа, чтобы найти то, что вам нужно.


Ответ от Пиа Хансен

Пиа М. Хансен работает классным учителем в течение двадцати семи лет, преподает от дошкольного до уровня колледжа. Она является соавтором Задания и рубрики для начальной элементарной математики: соответствие строгим стандартам и оценкам с Шарлоттой Дэниэлсон, опубликованных Routledge, и учебной программы для 3-го класса Bridges in Mathematics, , опубликованной Math Learning Center .Пиа продолжает работать с учителями над передовым опытом в качестве директора по профессиональному развитию Центра обучения математике:

Учителя математики сталкиваются с тремя основными проблемами: их убеждения в преподавании и обучении, их содержание и педагогические знания и время для размышлений.

1. Убеждения относительно преподавания и изучения математики: Многие исследователи сходятся во мнении о важности изменения убеждений учителей, но все же существуют разногласия по поводу того, что меняет убеждения и практику.Некоторые утверждают, что, поскольку убеждения влияют на восприятие мира, убеждения должны измениться, прежде чем человек сможет ощутить изменения, которые должны произойти (Pajares). С другой стороны, Гаски предлагает альтернативную модель, утверждая, что «значительные изменения в убеждениях и взглядах учителей могут произойти только после того, как станут очевидными изменения в результатах обучения учащихся». Проведя обзор многих исследований о взаимосвязи между изменениями в убеждениях и изменениями в действиях, Филипп (2007) приводит доводы в пользу диалектического подхода к этому очевидному противоречию, указывая на то, что эти двое работают вместе, чтобы способствовать обучению и росту учителей.Он пишет: «Определение того, какие изменения происходят в первую очередь, менее важно, чем поддержка учителей в изменении их убеждений и практик в тандеме, и размышления являются решающим фактором для поддержки меняющихся убеждений и практик учителей». Учителя могут ответить на этот вызов, рассматривая свои убеждения лично. Во что я верю относительно преподавания и преподавания математики? Каковы наиболее эффективные модели, стратегии и практики для развития математического мышления всех моих учеников? Как школьные / районные / государственные / национальные инициативы отражают мой собственный опыт в классе? Что я хочу изменить в своей практике?

2.Неглубокое содержание и педагогические знания: Более половины выпускников средней школы в первый год обучения в колледже проходят курс коррекционной математики. Некоторые молодые люди предпочитают преподавать, потому что не верят, что могут заниматься математикой. Они могут стать учителями, не обладая необходимыми знаниями математического содержания, чтобы научить их концептуальному пониманию. Они могут знать механические процедуры и придерживаться правил, которые они запомнили, вместо того, чтобы исследовать математические отношения и приветствовать многочисленные модели и стратегии. Их задача — справиться с очень реальной фобией и узнать больше о математике как минимум за 2 года до того места, где они преподают, что позволит им эффективно дифференцировать обучение своих учеников.

Другие ученики могли быстро справляться с математическими упражнениями и хорошо запоминать алгоритмы. Они решили преподавать математику, потому что им это давалось легко. У них есть содержательные знания, возможно, без педагогики. Их задача — развить установку на рост, веру в то, что все дети могут заниматься важной математикой.Визуализация, рассуждение и обоснование, решение проблем и совместная групповая работа — отличительные черты классных комнат по математике 21 века. Этих практик может не хватать в классе, где ценится скорость и запоминание.

Некоторые рекомендации по повышению как содержания, так и педагогики включают участие в изучении книги, связанной с практиками или моделями и стратегиями, создание группы по изучению с коллегами для предстоящего подразделения или участие в онлайн-курсах или курсах местного университета. Этот опыт повысит вовлеченность и успеваемость учащихся, а также создаст культуру, в которой будет принята задача усердно работать над самым важным.

3. Время для размышлений: По словам Джона Дьюи, «дело не в том, что они делают; это размышления о действии «. Профессиональные учебные сообщества, изучение уроков, формальное и неформальное наставничество и отношения коучинга могут обеспечить это отражение. Когда учителя наблюдают за другими учителями и их учениками, делятся множеством точек зрения и формируют концептуальное понимание на основе обсуждения идей учеников Что касается математики, они развивают компетентность и уверенность в себе.Почти каждая модель оценки учителей включает в себя некоторый элемент саморефлексии, и все же немногие учителя имеют и находят время для размышлений. Помимо знаний об учениках, математических стандартах и ​​учебной программе, содержании и педагогике, учителя должны знать самих себя.

(Некоторые идеи в этом посте исходили из личной переписки с Карен Пригодич, основанной на ее диссертации, в процессе. )


Ответ Линды Годжак

Линда Годжак — бывший президент Национального совета учителей математики и Национального совета наблюдателей математики.Она проработала 28 лет в качестве специалиста по элементарной математике, преподавая все классы с 5 по 8 и работая с учителями K-8 в своей школе. В течение последних 15 лет она предоставляла возможности профессионального обучения учителям математики K-8 по всей стране. Она является автором The Common Core Companion K-2 и 3-5, What’s Your Math Problem? и Пути к решению проблем:

Я хотел бы поговорить с инструктором по математике K-8, поскольку он включает в себя уровни моего опыта и работы.

Это отличный вопрос, и я часто слышу следующее беспокойство от учителей, с которыми я работаю.

a) Содержание математических знаний не только на уровне преподавания, но и на всех уровнях обучения, является важной информацией, поскольку учитель планирует обучение для своего класса. Это беспокоит многих учителей. Поскольку предметные знания являются главной проблемой, многие учителя не чувствуют себя комфортно при обучении математике. Учителя должны знать, откуда приходят их ученики и куда они собираются по математике.Слишком часто слишком много ценного учебного времени тратится на повторное обучение концепции из предыдущего (или нескольких предыдущих) уровня обучения. Это означает, что все учителя должны глубоко понимать содержание (а многие учителя прошли только 1 или 2 курса, чтобы подготовить их к более глубокому пониманию. Этого вряд ли достаточно). Как учителя реагируют? Посещение семинаров по профессиональному обучению, посвященных содержанию и педагогике, предлагаемых надежными фасилитаторами или организациями, а также поощрение администрации в их округах к предоставлению таких возможностей, которые сосредоточены на содержании математики и педагогике.Школы, в которых есть тренеры по математике, должны быть уверены, что учителя могут использовать свой опыт, чтобы помочь им глубже понять содержание и проанализировать мышление учащихся.

b) Хотя я считаю, что новые стандарты в математике меняют преподавание, некоторые учителя не понимают, что они влекут за собой. Наши стандарты больше не являются контрольным списком навыков, которые учащиеся должны «освоить» к концу класса; скорее, они требуют глубокого понимания того, как выглядит строгость в классе, то есть баланса концептуального понимания, процедурных навыков и возможностей применять математику в различных ситуациях.Кроме того, практики или процессы описывают, как ученик, разбирающийся в математике, думает о математике и занимается ею. Использование тренеров по математике для поддержки классных учителей, особенно учителей, которые несут ответственность за преподавание четырех или более различных предметов в день, является одним из способов помочь учителям лучше понимать и преподавать математику в соответствии со стандартами штата. Профессиональное обучение, включая изучение книг и выделение учителям времени для совместной работы над обсуждением, планированием и проверкой работы учащихся, поможет всем учителям лучше понять глубину и прогресс своих стандартов.


Ответ от Мэриан Смолл

Мэриан Смолл — бывший декан образования Университета Нью-Брансуика в Канаде и написала около 100 ресурсов для учителей и учащихся по математике K-12. Большая часть работы, которую она делает, заключается в различении обучения и вопросов учителя:

Было время, не так давно, когда в учебнике математики было смоделировано, как правильно выполнять все виды задач, которые нужно выучить.Учитель мог поделиться теми моделями, которые ему или ему даже не нужно было создавать, и попросить учеников ответить на множество вопросов, где ответы можно было проверить на заднем плане. Учителя были в полной безопасности, и им приходилось принимать очень мало решений.

Но теперь мы просим учителей преподавать математику так, чтобы она имела смысл для ВСЕХ учеников, а не только для старшеклассников. Это означает, что учителя должны по-разному преподавать идеи разным ученикам; для этого необходимо решить, какой способ лучше подходит для разных учеников.Ой, учителя должны сейчас принимать решения.

Теперь мы также хотим, чтобы учителя заставляли учеников решать проблемы по-своему, а ученики защищали свои процессы. Что, если ученик решает проблему так, как учитель не может следовать? Куда делась теперь вся безопасность учителя?

Несмотря на всю эту неуверенность в том, что правильно, а что нет, и какие решения принимать, учителя испытывают давление, требующее, чтобы каждый из их учеников хорошо сдал «стандартизированные», часто с высокими ставками, тесты.Как может учитель, изучавший математику очень традиционным способом, помочь ученикам решить, является ли аргумент хорошим или нет, при подготовке к тому, чтобы ученики судили аргумент на стандартном тесте?

Вдобавок ко всему, мы живем в мире без особого терпения. В то время как раньше студенты были готовы спокойно высидеть относительно скучные математические «речи», у студентов в нашем мире нет на это терпения, и, вдобавок ко всему, они ожидают, что их образ мышления будет подтвержден, а не отвергнут.

Я думаю, что лучше всего ответить:


  1. Начни узнавать больше. Мы живем в эпоху Интернета. Google помогает учителям узнавать то, чего они раньше не знали. Так что, возможно, учитель обязан лучше понимать основы преподавания математики, а не просто жить на переднем плане.

  2. Займы у других лиц . Опять же, благодаря Интернету, существует культура обмена, которая предоставляет множество ресурсов, из которых учителя могут бесплатно выбирать, чтобы сделать свои уроки более интересными и значимыми.Учителя могут просто найти то, что им нужно, и это будет!

  3. Рискуйте. Мы просим студентов рисковать каждый раз, когда мы даем им тест или задаем им вопрос. Но слишком многие учителя не склонны к риску. Вы не сможете быть эффективным учителем, если не рискуете. Это означает, что учителям необходимо пробовать новые подходы и стратегии и делать все возможное.

  4. Слушай внимательно. Учителя привыкли говорить, а не слушать.Лучший способ расти как учитель — это что-то выложить и слушать, что говорят ученики. Но учителя должны слушать внимательно и непредвзято.

  5. Задавайте открытые вопросы , где может участвовать МНОГО студентов, от самых слабых до самых сильных, и можно услышать и оценить множество мнений; в наши дни дети должны быть услышаны, а их интересные идеи, даже если они нетипичны, должны быть оценены.


Ответ Кеннета Баума и Дэвида Крулиджа

Кеннет Баум и Дэвид Крулвич, соответственно, бывшие и нынешние директора Школы прикладной математики и естественных наук Городской Ассамблеи, государственной школы в Бронксе, Нью-Йорк, обслуживающей с 6 по 12 классы.Они являются соавторами новой книги The Artisan Teaching Model for Instruction Leadership (ASCD 2016):

«Для чего это полезно?» Этот извечный вопрос — самая большая жалоба, которую учителя математики слышат от своих учеников, и источник большого беспокойства учителей математики. Педагоги математики совсем недавно пытались решить эту проблему, подчеркнув «математику реального мира» в государственных стандартах, учебниках и учебных программах. Взгляните практически на любой учебник, написанный за последние 10 лет, и вы увидите значки «реального мира», отображаемые почти в каждом наборе задач.Так почему же со всеми этими ресурсами учителям все еще трудно по-настоящему привлечь учеников? Учителя могут сделать четыре важных вещи.

Во-первых, не попадайтесь в ловушку следования учебнику вместо использования планов уроков, основанных на мышлении более высокого порядка. Когда учитель, по сути, использует учебник как основу урока, обучение обычно становится механическим, потому что именно так организовано большинство учебников — даже в эпоху общего ядра.В наборах упражнений есть масса простых задач типа «включи и пей», а проблемы с мышлением более высокого порядка отодвинуты на второй план.

В классе, если вы дадите студентам 20 механических задач, скажем, о теореме Пифагора, а затем 21-я задача — это словесная задача о ракете, ученики не только скучают, но и насыщаются, по сути, одной техникой. . Накачанные своей единственной техникой, ученики затем пытаются решить задачу со словом почти без учета контекста и совершенно без необходимости выбора и подхода.Это не решение проблемы — это условность. Хотя этот подход будет постоянно генерировать обманчиво ложные данные о «выходных проблесках», он не поможет учащимся лучше решать проблемы или лучше мыслить. Учебники могут быть ценным ресурсом, но не предназначены для замены хорошо составленных планов уроков.

Во-вторых, учителям нужно не обращать внимания на блеск цветных фотографий своих ресурсов и определять, какое мышление нужно проявлять детям для решения проблемы или проекта. В частности, учителя должны «проверять» каждый учебный ресурс на предмет того, насколько он порождает и требует мышления более высокого порядка.Многие «реальные» проблемы, представленные в дорогих текстах, на самом деле вовсе не являются проблемами; то есть это простые задачи, «украшенные» красивыми картинками, чтобы выглядеть привлекательно, но на самом деле они лишены критического, контекстного мышления.

В-третьих, не думайте, что только потому, что математическая задача имеет «реальную» связь, она будет «по-настоящему интересовать» детей. Слишком часто в учебниках и учебных программах «реальные» проблемы, которые ставятся перед учащимися, кажутся скучными.

ПРИМЕР. Обычное применение экспоненциального роста — расчет пенсионных сбережений на основе сложных процентов.Конечно, пенсионные сбережения вполне реальны для 35-летнего учителя, но немногие 15-летние могут иметь отношение к пенсионным сбережениям. Сейчас мир подростков — это гораздо более увлекательное приложение экспоненциального роста к вирусному распространению видео на YouTube

В-четвертых, планируйте свои уроки и проекты вместе с другим учителем в вашей школе, который преподает тот же курс похожие группы студентов. Если в вашей школе такого учителя нет, возьмите на себя ответственность за свое профессиональное обучение, отстаивая ценность наличия кого-то, с кем можно действительно совместно планировать.

Спасибо Македе, Пиа, Линде, Мэриан, Кеннету и Дэвиду за их вклад!

Пожалуйста, не стесняйтесь оставлять комментарии со своей реакцией на тему или непосредственно на все, что было сказано в этом сообщении.

Вы можете задать вопрос, ответ на который будет опубликован в следующей публикации. Вы можете отправить его мне по адресу [email protected] Когда вы отправите его, сообщите мне, могу ли я использовать ваше настоящее имя, если оно выбрано, или если вы предпочитаете оставаться анонимным и иметь в виду псевдоним.

Вы также можете связаться со мной в Twitter по адресу @Larryferlazzo.

Любой, чей вопрос выбран для этой еженедельной колонки, может выбрать одну бесплатную книгу от ряда издателей образовательных учреждений.

Education Week опубликовала коллекцию сообщений из этого блога, а также новые материалы в форме электронной книги. Он называется «Вопросы и ответы по управлению классом: экспертные стратегии преподавания».

Напоминаем, что вы можете подписаться и получать обновления этого блога по электронной почте или через RSS Reader.И, если вы пропустили какие-либо основные моменты первых пяти лет ведения этого блога, вы можете увидеть список по категориям ниже. В них нет ответов текущего года, но вы можете найти их, нажав на категорию «ответы» на боковой панели.

Самые популярные вопросы и ответы в этом году!

Консультации по управлению классом

Мотивация учеников и социальное эмоциональное обучение

Реализация Common Core

Проблемы расы и пола

00 90 Лучшие способы окончания учебного года134

Обучение на основе мозга

Преподавание социальных наук

Обучение на основе проектов

Использование технологий в классе

Взаимодействие с родителями 9134

Изучающие язык

Оценка учащихся

Чтение инструкций

Письменные инструкции

Вопросы политики в области образования

M
Дифференциальное обучение
ath Instruction

Science Instruction

Профессиональное развитие

Лидерство учителей

Руководство администратора

Отношения

Автор Интервью

Я также создаю список Твиттера, включающий всех участников этой колонки.

Ищите вторую часть через несколько дней …

Сэкономьте

Преподавание математики с помощью концептуальной мотивации и практического обучения

Это практический концептуальный документ, описывающий избранные средства для практического обучения и концептуальной мотивации на всех уровнях математического образования. В нем подробно описан подход, используемый авторами для разработки идей для практиков преподавания математики. В статье показано, что такой подход в математическом образовании, основанный на практическом обучении в сочетании с естественной мотивацией, проистекающей из здравого смысла, является эффективным.Кроме того, стимулирующие вопросы, компьютерный анализ (включая поиск в Интернете) и классические известные задачи являются важными инструментами мотивации в математике, которые особенно полезны в рамках практического обучения. Авторы утверждают, что вся учебная программа по математике K-20 под единым зонтом возможна, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом широком спектре. Этот аргумент подтверждается различными примерами, которые могут быть полезны на практике школьным учителям и преподавателям вузов.Авторы нашли прагматическую причину для практического обучения в рамках математического образования практически на любом этапе академической жизни учащихся.

1. Введение

В настоящее время студентам требуется как познавательный, так и практический опыт на протяжении всего их математического образования, чтобы быть продуктивными гражданами 21 века. Происхождение этого утверждения можно проследить до работ Джона Дьюи, который подчеркивал важность образовательной деятельности, которая включает «развитие любого рода художественных способностей, особых научных способностей, эффективных гражданственности, а также профессиональных и деловых качеств». профессий »([1], с.307). Совсем недавно Биллетт [2], основываясь на своих исследованиях интеграции опыта обучения студентов высших учебных заведений в дисциплинах, связанных с сестринским уходом и подобными услугами в поддержку человеческих потребностей, предположил, что «возможно, можно полностью интегрировать практический опыт в совокупность опыта высшего образования, которая способствует развитию прочных и критических профессиональных знаний »(стр. 840). Главный аргумент данной статьи состоит в том, что в контексте математического образования практическое обучение (концепция, представленная в разделе 3) — это сам процесс передачи этого опыта в сочетании с концептуальной мотивацией (термин, введенный в разделе 2) при обучении математике. по всей учебной программе K-20.С этой целью в этом концептуальном документе, основанном на практических примерах, подробно описывается подход, использованный авторами для разработки идей для практикующих преподавателей математики, предлагается обзор избранных средств практического обучения в рамках формального континуума математического образования. В определенной степени эта статья продвигает идею обучения на практике [3] в контексте математического образования. Представлены аргументы, подтверждающие ценность практического обучения для всех вовлеченных лиц (на уровне колледжа, добавление к дуэту студента и преподавателя математики третьего сообщества или университетского профессионала, не являющегося математиком) (разделы 2–4).Также рассматривается интеграция компьютерной педагогики подписи (CASP) и нецифровой технологии, а также эффективное опросы с обучением действием (разделы 5 и 6).

Студенты могут с радостью получать формальное математическое образование в течение двадцати и более лет, и они могут быть мотивированы повсюду с помощью обширных учебных программ по математике. Практическое обучение в математическом образовании в сочетании с механической теорией переносит математические темы в реальный мир. Естественно, что примеры начального уровня имеют основополагающее значение, и это подкрепляется практическим обучением на вторичном уровне (разделы 4.1.1 и 4.1.2). Открытые проблемы математики часто могут быть представлены учащимся начальных, средних и высших учебных заведений (Раздел 7). Традиционно классические результаты и открытые задачи мотивируют не только студентов, но и самих педагогов. Поскольку необходимы эффективные учителя математики, практическое обучение следует использовать на всех уровнях математического образования, зная, что будущие преподаватели входят в число нынешних учащихся. Конечно, возможность участвовать в открытиях очень мотивирует всех, включая студентов и учителей математики, по крайней мере.

2. Любопытство и мотивация

Хотя необходимость изучения математики в начальной, средней и высшей школе общеизвестна, вопрос о том, как преподавать математику, является спорным. Как более подробно описано в [4] со ссылками на [5–10], разногласия связаны с неоднородностью программ подготовки учителей, разногласиями между формализмом и смыслом между преподавателями математики и различными взглядами на использование технологий. Мы считаем, что надлежащий способ преподавания математики на всех уровнях — это делать это через приложения, а не использовать традиционные лекции, подчеркивая формализм математического аппарата.Реальные приложения поддерживают мотивацию заинтересованных людей при изучении математики. Эту естественную мотивацию можно рассматривать как зависящий от возраста процесс, простирающийся от естественного детского любопытства в начальной школе до истинного интеллектуального любопытства на уровне высшего образования. Независимо от возраста учащихся, любопытство можно рассматривать как мотивацию «приобретать или преобразовывать информацию в обстоятельствах, которые не представляют немедленной адаптивной ценности для такой деятельности» ([11], с. 76). То есть любопытство и мотивация — тесно связанные психологические черты.

Большинство исследований по развитию любознательности касается начального образования. Однако эти исследования могут помочь нам понять, как любопытство превращается в мотивацию стать высококлассным профессионалом. Например, Видлер [12] проводил различие между эпистемическим и перцептивным любопытством, которые проявляются, соответственно, «исследованием знания» и проявляются, например, когда ребенок ломает голову над какой-то научной проблемой, с которой он столкнулся… [и] повышенное внимание дается объектам в ближайшем окружении ребенка, например, когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не на симметричную фигуру на экране »(стр.18). Точно так же взрослые учащиеся на высшем уровне могут быть мотивированы призывом своего учителя математики задать вопросы, касающимся информации, которой они поделились, или их опытом общения с окружающим миром, когда они пытаются интерпретировать «ткань мира … [используя] какую-то причину максимум и минимум »(Эйлер, цит. по [13], с. 121).

Связанный с высшим уровнем, Видлер [14] определил мотивацию достижения как «образец… действий… связанных со стремлением достичь некоего усвоенного стандарта качества» (стр.67). Есть также взрослые ученики, которые «заинтересованы в совершенстве ради него самого, а не ради вознаграждения, которое оно приносит» ([14], с. 69). Биггс [15] допускает, что внутренняя мотивация в изучении математики связана с «интеллектуальным удовольствием от решения проблем независимо от каких-либо вознаграждений, которые могут быть вовлечены… [предполагая, что] цели глубокого обучения и мотивации достижений в конечном итоге расходятся» (стр. 62). Классическим примером в поддержку этого предположения является решение гипотезы Пуанкаре (столетней давности), выполненное геометром Григорием Перельманом, который после почти десятилетия «глубокого обучения» отказался от нескольких международных наград за свою работу, включая медаль Филдса («Медаль Филдса»). Нобелевская премия ») и (1 миллион долларов) Clay Millennium Prize (https: // www.Claymath.org/).

Поскольку любопытство является источником мотивации к обучению, Мандельброт [16] в пленарной лекции по экспериментальной геометрии и фракталам на 7-м Международном конгрессе по математическому образованию посоветовал аудитории, состоящей в основном из дошкольных преподавателей математики, как использовать любопытство, когда преподавание математики: «Мотивируйте студентов тем, что увлекательно, и надейтесь, что возникающий энтузиазм создаст достаточный импульс, чтобы продвинуть их через то, что не весело, но необходимо» (стр.86). Именно такую ​​мотивацию авторы называют концептуальной мотивацией. Более конкретно, в этой статье термин «мотивация концепции» означает стратегию обучения, с помощью которой, используя любопытство учащихся в качестве стержня, введение новой концепции оправдывается за счет ее использования в качестве инструмента в приложениях для решения реальных проблем. Например, операция сложения может быть мотивирована необходимостью регистрации увеличения большого количества объектов другой такой величиной, концепция иррационального числа может быть мотивирована необходимостью измерения периметров многоугольных ограждений на плоскости решетки ( называется геодиской на начальном уровне), или концепция интеграла может быть мотивирована необходимостью найти области криволинейных плоских фигур.

Еще один математически значимый инструмент мотивации — конкретность. Согласно Дэвиду Гильберту, математика начинается с постановки задач в контексте конкретных действий, «подсказываемых миром внешних явлений» ([17], с. 440). Мы считаем, что «конкретность» является подходящим синонимом мотивации в отношении математического образования. Сам термин бетон указывает на то, что различные ингредиенты объединяются и синтезируются. Цель изучения математики — конкретизировать как теоретические, так и прикладные понятия.Полезно иметь четкое понимание чего-либо. Люди по своей природе хотят иметь «полное» знание определенных вещей. Зная детали и конкретизируя идеи, мы уменьшаем беспокойство, связанное с описанием и использованием этих идей. Конкретность мотивирует все стороны, участвующие в математическом образовании. Даже на административном уровне существует понимание того, что «основная учебная программа FKL [Основы знаний и обучения] предоставит вам возможность изучить множество жизненно важных областей обучения, сделав вас более осведомленными и вовлеченными в понимание проблем, которые глобальные реальности требуют »([18], курсив, добавлено), где мы делаем упор на« реальности ».Это мотивация для всех, поскольку все мы хотели бы использовать математическую теорию или, по крайней мере, увидеть ее применение. Следовательно, мотивация у взрослых учеников пропорционально выше, чем у детей, которые могут не видеть «полезности» в математике. В Университете Южной Флориды преподавателей определенных курсов (например, последовательности исчисления) просят включить утверждение FKL в свои учебные планы.

До недавнего времени термины «производственный» и «технический» имели довольно уничижительный оттенок в математическом образовании.Традиционное формальное чтение лекций по-прежнему преобладает в большинстве классных комнат. Однако при изучении математической теории часто используется некоторая «отрасль» или «техника», поэтому эти два понятия не дополняют друг друга. Трудно выделить часть огромного объема учебных программ по математике K-20, которая исключает использование теории или возможного практического применения. Кроме того, теория неявно включена в образование в области STEM из-за ее научного компонента.

В контексте подготовки учителей математики акцент на приложениях дает будущим учителям очень важную способность наглядно демонстрировать математические идеи.Затем эту способность можно передать своим ученикам. На уровне дошкольного образования можно понять, что математические знания возникают из необходимости разрешать реальные жизненные ситуации разной степени сложности. Принцип учебной программы, выдвинутый Национальным советом учителей математики [19], включает в себя представление о том, что всем учащимся на этом уровне следует предлагать опыт, «чтобы увидеть, что математика имеет мощное применение в моделировании и прогнозировании явлений реального мира» (стр. 15 -16). Этот акцент на приложениях выходит за рамки дошкольного уровня.Действительно, математика сильно развивалась и проникала во все сферы жизни, делая университетское математическое образование необходимым, но неоднозначным элементом современной культуры.

3. Обучение действиям

Многие люди прагматичны, делая то, что работает. Когда что-то не работает, человек вынужден задавать вопросы, как заставить это работать. Начиная с 1940-х годов Реджинальд Реванс начал разрабатывать концепцию обучения действием, метод решения проблем, характеризующийся действием и размышлением о результатах, в качестве педагогической педагогики для развития бизнеса и решения проблем [20, 21].С тех пор обучение действием стало описывать различные формы, которые оно может принимать, и контексты, в которых его можно наблюдать. В контексте достижения высокого качества университетского обучения «целью практического обучения является обучение отдельного учителя» ([22], с. 7). В общем контексте повышения профессиональной результативности Дилворт [23] утверждает, что практическое обучение начинается с исследования реальной проблемы, поэтому независимо от того, является ли проблема «тактической или стратегической… [процесс] обучения является стратегическим» (стр.36). Практическое обучение в математическом образовании можно определить как обучение через индивидуальную работу учащихся над реальной проблемой с последующим размышлением над этой работой. В большинстве случаев эту работу поддерживает «более знающий друг».

В математическом образовании практическое обучение, зародившееся в раннем детстве, имеет естественный уровень зрелости. Прежде чем мы займемся повседневными обязанностями, связанными с взрослой жизнью, мы можем свободно рассмотреть практическое обучение в игровой форме.Наша страсть к играм и изучению выигрышных стратегий переносится в более позднюю жизнь как средство развлечения и как инструмент для обучения следующего поколения детей. Мотивация к практическому обучению в математическом образовании постепенно меняется от выигрыша в играх к успеху в реальных предприятиях. Залог успеха — умение решать проблемы. Исследования показывают, что любопытство можно охарактеризовать как волнение по поводу необычных наблюдений и неожиданных явлений [24].Кроме того, «то, что будет интересно детям, во многом зависит от природы окружающего их мира и их предыдущего опыта» ([12], с. 33). Учащиеся на всех уровнях образования стремятся к конкретности, естественно интересуются реальным миром и пользуются преимуществами практического обучения, особенно когда они неоднократно используют его в математическом образовании. В частности, в программе послесреднего математического образования для нематематических специальностей проблемы должны иметь применимость к реальности. Интересно, что мы, кажется, возвращаемся к «играм», когда имеем дело с чистой теорией, поскольку мы можем искать абстрактное решение ради самого решения.

Макс Вертхаймер, один из основателей гештальт-психологии, утверждал, что для многих детей «имеет большое значение, есть ли реальный смысл вообще ставить проблему» ([25], с. 273). Он привел пример 9-летней девочки, которая не училась в школе. В частности, она не могла решать простые задачи, требующие использования элементарной арифметики. Однако, когда ей давали проблему, которая возникла из конкретной ситуации, с которой она была знакома и решение которой «требовалось ситуацией, она не сталкивалась с необычными трудностями, часто проявляя превосходный смысл» ([25], с.273-274). Другими словами, лучшая стратегия развития у студентов интереса к предмету — это сосредоточить преподавание на темах, которые находятся в их сфере интереса. Как сказал Уильям Джеймс, классик американской психологии, который первым применил ее к обучению учителей, «Любой объект, не интересный сам по себе, может стать интересным, если ассоциируется с объектом, к которому интерес уже существует» ( [26], стр. 62). Интерес также можно использовать для развития мотивации в образовании, поскольку он «относится к модели выбора среди альтернатив — моделей, которые демонстрируют некоторую стабильность во времени и которые, по-видимому, не являются результатом внешнего давления» ([27], с.132).

Отражение так же важно, как и действие. Способность размышлять о выполняемых действиях составляет так называемый внутренний контроль, когда люди считают себя ответственными за собственное поведение, что отличается от внешнего контроля, когда они видят, что другие или обстоятельства являются основной мотивацией индивидуального поведения [28 ]. Процесс практического обучения при решении реальной проблемы обычно начинается с трех основных вопросов. Мы спрашиваем: во-первых, что должно происходить? Во-вторых, что нам мешает это сделать? В-третьих, что мы можем сделать?

Практическое обучение (часто называемое в академических кругах практическим исследованием [29, 30]) традиционно использовалось для обучения управлению бизнесом и социальным наукам [31, 32], проведению научных исследований [33] и повышению квалификации учителей [22, 34–36].В математическом образовании [4, 37] практическое обучение как метод обучения было принято как педагогика, ориентированная на самостоятельное решение реальных проблем с последующей рефлексией. Обучение — это основная цель, даже если решение проблем реально и важно. Обучение облегчается за счет отказа от устоявшихся мировоззрений, тем самым создавая несколько незнакомую обстановку для проблемы. Теперь у нас есть методика практического обучения с использованием технологий для преподавания математики через реальные проблемы под руководством инструкторов STEM и специалистов сообщества, использующих компонент проекта [4].Цифровые технологии видны, по крайней мере, в рамках необходимой типологии рукописей. Конечно, он может пойти намного дальше и включать в себя важную утилиту (например, числовой интегратор, электронную таблицу или специализированное программное обеспечение). Наконец, действие action learning (берущее начало в бизнес-образовании [20, 21]) обеспечивает эффективный и четкий подход к математическому образованию. Этот подход был разработан на основе различных (и, как упоминалось в начале раздела 2, иногда спорных) активных методов обучения, которые повсеместно используются преподавателями математики в различных контекстах обучения, ориентированных на конструктивизм и ориентированных на учащихся [38–41 ].

4. Практическое обучение на практике математического образования

Наша команда USF-SUNY [4] установила, что практическое обучение является положительной педагогической чертой на всех уровнях обучения (K-20). Кто-то может возразить, что, поскольку многие люди учатся на протяжении всей жизни, некоторые из нас могут использовать практическое обучение (возможно, в качестве преподавателей математики) за пределами K-20. Наша мотивация к практическому изучению математики может дать молодым ученикам возможность познакомиться с интересным, что известно о математике. Основные концепции могут быть довольно сложными, и студенты могут вернуться к идеям и развить их дальше по мере накопления опыта.Примеры практического обучения представлены в подразделах ниже по уровням обучения. Эти примеры даны с акцентом на конкретность, что, в свою очередь, мотивирует учащихся. Использование компонента проекта делает модель зонтика математики «один + два» доступной на уровне высшего образования (раздел 4.2.2).

4.1. Мотивация и обучение действиям на уровне начальной и средней школы

На уровне начальной школы математические концепции можно мотивировать с помощью надлежащим образом разработанных практических занятий, подкрепленных манипулятивными материалами.Такие действия должны объединять богатые математические идеи со знакомыми физическими инструментами. Как упоминалось выше, важным аспектом обучения действием является его ориентация на игру. Педагогической характеристикой игры в контексте обучения математике с помощью инструментов является «нестандартное мышление», то есть то, что в присутствии учителя как «более знающего другого» открывает окно для будущего обучения учащихся. Тем не менее, отсутствие опоры можно наблюдать, как выразился Видлер [12], «когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не на симметричную фигуру» (стр.18) интуитивно, через любопытство восприятия, осознавая, что устойчивость фигуры зависит от ее положения. То есть перцептивное любопытство в сочетании с творческим мышлением часто выходит за рамки деятельности, предназначенной для одного уровня, и сливается с изучением более продвинутых идей на более высоком когнитивном уровне. В следующих двух разделах показано, как использование двусторонних счетчиков и квадратных плиток, физических инструментов, обычно используемых в настоящее время в классе элементарной математики, может поддерживать, соответственно, введение чисел Фибоначчи, что позволяет с помощью вычислений открыть окно. к концепции золотого сечения и связать построение прямоугольников (из плиток) с обсуждением особых числовых соотношений между их периметрами и площадями.В обоих случаях переход от начального уровня к второстепенному может быть облегчен за счет использования цифровых технологий. То есть математические идеи, рожденные в контексте практического обучения с помощью физических инструментов, могут быть расширены на более высокий уровень с помощью вычислительных экспериментов, поддерживаемых цифровыми инструментами.

4.1.1. От двусторонних счетчиков к золотому сечению посредством обучения действием

Рассмотрим следующий сценарий обучения действиям:

Определите количество различных вариантов расположения одного, двух, трех, четырех и т. Д. На двусторонних (красных / желтых) счетчиках в котором не появляются две красные фишки подряд.

Экспериментально можно сделать вывод, что один счетчик можно расположить двумя способами, два счетчика — тремя способами, три счетчика — пятью и четыре счетчика — восемью (рис. 1). В частности, на рисунке 1 показано, что все комбинации с четырьмя счетчиками могут быть подсчитаны путем рекурсивного сложения 3 + 5 = 8, поскольку их можно разделить на две группы, так что в первой группе (с мощностью три) крайний правый счетчик равен красный, а во второй группе (мощность пять) крайняя правая фишка желтая.Реализуя эту идею под руководством учителя, молодой ученик может обнаружить, что следующая итерация (пять счетчиков — 13 способов, так как 13 = 5 + 8) согласуется с описанием на рисунке 1. Увеличение для единообразия последовательность 2, 3, 5, 8, 13 двумя единицами (при условии, что пустой набор счетчиков имеет только одно расположение) позволяет описать завершение вышеупомянутого сценария обучения действиям (то есть размышления о результатах воздействия на конкретный материалов согласно определенному правилу) через последовательность 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13,…, (в которой первые два числа равны единице, а каждое число, начинающееся с третьего, является суммой два предыдущих числа) — одна из самых известных числовых последовательностей во всей математике, названная в честь Фибоначчи (1270–1350), самого выдающегося итальянского математика своего времени.В рамках размышления над сценарием юным студентам можно сказать, что, какими бы эзотерическими ни казались числа Фибоначчи, они, вероятно, столкнутся с ними снова.


Действительно, на вторичном уровне числа Фибоначчи можно исследовать в терминах отношений двух последовательных членов,. С этой целью можно использовать электронную таблицу, чтобы продемонстрировать, что отношения приближаются к числу 1,61803 по мере увеличения n , независимо от первых двух членов последовательности, и. Точное значение, число, известное как золотое сечение.Это пример того, как использование компьютера может предоставить ученикам и их учителям неформальный мост, соединяющий более низкий когнитивный уровень с более высоким. Без простоты вычисления соотношений двух последовательных чисел Фибоначчи, представленных в электронной таблице, было бы гораздо труднее связать простую обучающую деятельность по конкретному расположению двусторонних счетчиков с когнитивно более сложной идеей сходимости отношения к числу, известному с древности как золотое сечение.Золотое сечение, мотивируемое компьютером, может быть обнаружено в контексте изучения специальной числовой последовательности, описывающей задачу обучения действиям, подходящую для маленьких детей. Другими словами, компьютер может естественным образом открыть окно для будущего практического обучения учащихся (см. Примечание об исследовании болезни Альцгеймера в Разделе 6 ниже).

В связи с использованием двусторонних счетчиков в контексте чисел Фибоначчи следует отметить, что многие кандидаты в учителя считают, что конкретные материалы можно использовать только на элементарном уровне, а выше этого уровня они бесполезны.Имея это в виду, авторы хотели бы утверждать, что, как и в случае с числами Фибоначчи, конкретные материалы могут использоваться для введения довольно сложных понятий, чтобы добавить фактор конкретности в изучение абстрактных идей. В частности, двусторонние счетчики могут служить воплощением двоичной арифметики во вводном курсе информатики. Более конкретно, если записать первые 16 натуральных чисел в двоичной форме, то при поддержке двусторонних счетчиков можно увидеть следующее.Есть два однозначных числа, в которых в ряду не появляются никакие единицы (без красных жетонов подряд), три двузначных числа без единиц, стоящих подряд, пять трехзначных чисел, в которых в ряду не появляются никакие единицы, и восемь четырехзначных чисел, в которых подряд не появляются единицы. Числа 2, 3, 5 и 8 — это последовательные числа Фибоначчи, которые, таким образом, могут быть использованы в качестве фрагментов предыдущих знаний учащихся при разработке новых идей посредством практического обучения. Более подробные исследования вторичного (и третичного) уровня с числами Фибоначчи см. В [43].

Очевидно, что мотивация связана с ожидаемым будущим успехом как следствие подросткового возраста. Теперь студенты стремятся к большей конкретизации понятий. Когда учащиеся средней школы имеют сильную мотивацию к практическому обучению, они могут создавать проекты уровня бакалавриата, как описано для студентов в Разделе 4.2 ниже. При «зрелой» проектной работе появляется постепенное чувство «серьезности». Прекрасные примеры практического обучения учащихся средних школ, выступающих на уровне колледжа, можно увидеть в проекте Publix Лорен Вудбридж «Pallet Physics» ([44], v.3, 2 (8)), проект квантовых вычислений Бо Муна «Проблема суммы подмножеств: уменьшение временной сложности NP-полноты с помощью квантового поиска» ([44], т. 4, 2 (2)), ракетный проект Логана Уайта « Моделирование полета ракеты в приближении низкого трения »([44], v. 6, 1 (5)), и проект Рошана Вармана по спиновым вычислениям« Spintronic Circuits: The Building Blocks of Spin-based Computing »([44] , т. 7, 1 (1)).

4.1.2. Креативность и обучение действиям

Люди творческие, когда они мотивированы, и можно проявить больше творчества после общей, формирующей конкретизации идей.Важно рано распознавать творческие способности студентов. Педагоги рассматривают творчество как «один из важнейших навыков 21 века… жизненно важный для индивидуального и организационного успеха» ([45], стр. 1). Способность учителей распознавать творческие способности своих учеников, которые могут быть скрыты за их незрелой успеваемостью в классе, имеет решающее значение для успешного обучения и продуктивного обучения. Если скрытые творческие способности учеников не признаются и не поддерживаются учителем, они, скорее всего, останутся бездействующими, если не исчезнут [46].Следующая история, взятая из класса второго класса, поддерживает идею о том, что учителя являются главными хранителями раскрытия творческого потенциала маленьких детей.

Кандидат в учителя начальной школы, работая индивидуально с учеником второго класса (под наблюдением классного руководителя), попросил его построить все возможные прямоугольники из десяти квадратных плиток (настоящая проблема для второго класса), ожидая, что ученик Постройте два прямоугольника, 1 на 10 и 2 на 5, каждый из которых представляет собой факт умножения числа 10, что будет изучено позже (в третьем классе).Кандидат в учителя был удивлен, увидев три прямоугольника, как показано на рисунке 2. Большое количество обучающих идей для практического обучения может быть связано с принятием прямоугольника с отверстием, которое демонстрирует скрытые творческие способности ребенка. Некоторые идеи могут быть связаны со вторичной математикой. Чтобы уточнить, подумайте о том, чтобы изучить взаимосвязь между площадью и периметром этого прямоугольника с отверстием, считая как внешний, так и внутренний периметры (размышление под руководством учителя о действиях ученика с использованием конкретных материалов).Видно, что площадь составляет 10 квадратных единиц, а периметр — 20 погонных единиц. То есть численно периметр в два раза больше площади. Сравнение площадей с периметрами прямоугольников известно еще со времен Пифагора [47]. В режиме обучения действием можно исследовать следующую ситуацию: существуют ли другие прямоугольники с прямоугольными отверстиями, у которых периметр в два раза больше площади? С этой целью на уровне средней школы можно ввести четыре переменные: a , b , c и d , как длину и ширину большего и меньшего прямоугольников.Отсюда следует соотношение ab cd = a + b + c + d . Используя Wolfram Alpha — вычислительную систему знаний, доступную бесплатно в Интернете, — можно попросить программу решить указанное выше уравнение над положительными целыми числами. Результат будет следующим:


Если задать a = b = 3, можно выбрать c = 1, откуда d = 1. Это дает нам квадрат с квадратным отверстием (рисунок 3).Этот пример показывает, как знание алгебры и возможности использования технологий могут помочь практикующим учителям в работе с маленькими детьми по развитию критического мышления и развитию творческих способностей. То есть, опять же, технологии служат неформальным мостом, мотивирующим связующим звеном между двумя разными классами учебной программы по математике. Принимая во внимание, что учитель может не обязательно видеть богатую среду обучения за нетрадиционным ответом ученика, сам факт того, что такой ответ был принят и одобрен, будет мотивировать этого и других учеников продолжать мыслить нестандартно.


В заключение этого раздела отметим, что тройку, ученика начальной школы, классного учителя и кандидата в учителя, можно сравнить в контексте практического обучения с учеником бакалавриата, математическим факультетом и предметом. Area Adviser, как описано ниже в Разделе 4.2.2. Сходство этих двух сред (с разницей в несколько лет) заключается в двойном наблюдении за учеником, изучающим математику, дуэтом «других более знающих».

4.2. Бакалавриат математики и практического обучения
4.2.1. Понимание абстрактности с обучением на практике

Язык математики абстрактный с большей абстракцией на более высоких уровнях. Традиционно университетская математика для нематематических специальностей преподается, дистанцируясь от реальности и не имея никакого отношения к профессиональным интересам студентов. В этом контексте многие будущие профессионалы не видят важности математики в своих перспективных областях [48]. Более того, абстрактность в обучении часто приводит к проблемам общения.Как отмечено в [49], в связи с преподаванием инженерной математики могут быть несоответствия между терминологией и идеями, используемыми математиком-лектором, и их интерпретацией студентами. Из-за того, что математическое образование на университетском уровне слишком теоретическое, оно становится неэффективным: нематематические специальности изучают предмет «потому что они должны». Альтернативный подход к математическому образованию основан на хорошо известном и прагматичном понятии «обучение на практике» (напр.g., [50–54]), что делает возможным конструктивное взаимодействие чистых и прикладных идей. Этот подход имеет большой потенциал для внедрения экспериментального обучения в математический анализ — базовую последовательность курсов в учебной программе по высшей математике.

4.2.2. Математика Umbrella Model

Вся университетская учебная программа по математике для нематематических специальностей может извлечь выгоду из практического обучения. Было обнаружено, что, особенно на университетском уровне, следует придерживаться «середины пути» в отношении относительных весов, придаваемых теории и применению.Математическая зонтичная группа (MUG) Университета Южной Флориды (USF), инициированная Аркадием Гриншпаном в 1999 году [55], занимает эту «позицию». Он устраняет разрыв между математическим образованием и приложениями, одновременно вдохновляя студентов STEM на приобретение математических навыков, необходимых для успеха в соответствующих дисциплинах. Эта инициатива привела к разработке модели «Зонтик математики» в образовании STEM, включающей сотни междисциплинарных (прикладных математических) студенческих проектов.За десять лет, прошедших с момента сообщения о том, что программа MUG была первой организацией, которая содействовала персонализированным математическим проектам, при поддержке консультантов по математике и предметным областям, для обучения нематематических дисциплин студентам STEM [56], MUG остался уникальным в этом отношении. Каждый проект выполняется под двойным контролем: консультант по математике (математический факультет) и консультант по предметной области (университетский или общественный специалист), который обычно предлагает проблему [4, 48, 55, 57–59].

Отличительной чертой MUG является его уловка, объединяющая одного студента бакалавриата как минимум с двумя профессионалами. Ситуация проиллюстрирована на Рисунке 4. В результате ученики получают доступ к более широкому кругу знаний, чем обычно предоставляется одному преподавателю математики.


Еще одной сильной стороной является наличие связей с сообществом, которые возможны, или междисциплинарные связи, которые, по крайней мере, имеют место за пределами математического факультета вуза.Практическое обучение привносит «реальность» в абстракции математики. Даже когда преподаватели математики пытаются решить задачи с помощью приложений, полезность не осознается из первых рук, пока студенты не начнут применять ее. Это мотивационный подход для всех участников трио. Позже студенты могут решить провести исследование в связи с их опытом работы в проекте. Кроме того, они, вероятно, сохранят задействованные концепции дольше, чем при подходе «чистой лекции».

4.2.3. Практическое обучение на курсах математического анализа верхнего уровня

Практическое обучение является сильным мотивирующим фактором для всех участников, участвующих в математической группе Umbrella. Этот фактор, кажется, является общей нитью во всем спектре практического обучения K-20. Интерес участников к практическому обучению может быть пропорционален индивидуальному опыту. Преподаватели математики потенциально могут получить наибольшую пользу, но от студентов ожидается, что они будут знать теорию достаточно, чтобы их можно было мотивировать. Что касается программ бакалавриата по математике, таких как математический анализ II и III, считается, что учащимся достаточно пройти несколько небольших тестов и домашних заданий, а затем направить свою энергию на практическое обучение, а не требовать от них успешной сдачи выпускного экзамена.В частности, эта педагогика практического обучения помогает студентам, которые «незначительно успешны», позволяя включать в их итоговые оценки компонент практического обучения, которому по праву придается значительный вес в общей оценке курса.

Чаще встречаются «успешные», которые могут быть очень продуктивными в своих проектах по обучению действиям. Есть вероятность, что работы студентов будут опубликованы или, возможно, даже отмечены [4, 57], как и многие студенты за последние два десятилетия.Это прекрасные мотиваторы для всех сторон, участвующих в практическом обучении. Поскольку действие проистекает из мотивации, важно осознавать роль «мотиваторов действия». Для студентов высших учебных заведений мощным мотиватором часто является изучение чего-то полезного и того, на чем можно построить или улучшить успешную карьеру.

Примечательно, что студенты естественным образом мотивированы успехом в изучении математики. Влияние практического обучения было проанализировано в Университете Южной Флориды на курсах инженерного расчета, в которых участвовали тысячи студентов, прошедших эти курсы и последующие курсы с весны 2003 г. по весну 2015 г. [59].Некоторые результаты (сгруппированные по расе и этнической принадлежности) представлены на Рисунке 5 [59]. На этом рисунке показан эффект обучения действием, параллельных разделов обучения без действия и исторических (традиционных) разделов. В этой части исследования участвовали 1589 студентов, изучающих действие, и 1405 студентов, обучающихся на курсах, не использующих элемент обучения действием. Наконец, еще 2316 человек были помечены как «исторические», что означает, что они прошли курс до весны 2003 г. (то есть до того, как было проведено различие в использовании или неиспользовании практического обучения в своих курсах).Исследователи тщательно включили доверительные интервалы в свои результаты. Очевидно, что в этой относительно большой подгруппе из более крупного исследования все четыре категории расы / этнической принадлежности предпочитают быть участниками обучения действием. Для размышления есть много информации из [59]. Во всяком случае, этот и другие результаты демонстрируют академическое превосходство в действии над обучением без действия. Прагматический вывод — обучение действиям, поскольку это работает.


4.2.4. Практическое обучение как универсальная образовательная концепция

Мотивация преподавателей математики возникает в результате знакомства с новым опытом практического обучения. В настоящее время зарегистрировано много сотен обучающих проектов, охватывающих широкий круг тем. Кроме того, всегда происходит обучение тонким действиям, которое никогда не документируется. Из тех проектов, которые доступны в Журнале бакалавриата по математическому моделированию: один + два (UJMM) [44], очевидно, что практически во всех областях можно использовать практическое обучение.Есть проекты, посвященные очень специфическим отраслям инженерии, например, биомедицинским нанотехнологиям. Есть также много других проектов, помимо «собственно инженерной мысли», например, связанных с музыкой или даже образованием. Другие — это кросс-полевые типы, которые не поддаются четкой категоризации. Типы мостов часто представляют особый интерес. Это мотивирует преподавателей увидеть, что входит в смесь и какие области могут быть связаны посредством практического обучения. Это междисциплинарные особенности, желательные для всех учебных программ (в «вселенной учебных программ», то есть в образовании).Некоторые подробности доступны на главном веб-сайте Mathematics Umbrella Group (см. Центр промышленной и междисциплинарной математики). В журнале представлена ​​избранная подгруппа из более чем 2400 студенческих проектов, представленных с 2000 года. Признак разнообразия тематики проектов и участников студенческих работ очевиден из разнообразия тем, рассматриваемых в последних изданиях UJMM ([44], v. , 1-2): «Применение простых гармоник для моделирования толчка» Кая Раймонда, «Силы, действующие на парусник» Келли Стукбауэр, «Оптимизация топливного элемента» Эдуардо Гинеса, «Анализ осадков в Тампе» Эми Полен, «Аппроксимация площади поверхности колеблющихся липидных листочков с использованием взвешенной сеточной мозаики» Анаф Сиддики, «Рудиментарная модель реакции глюкозы на стресс» Нашей Риос-Гусман, «Органический сельскохозяйственный анализ: эффективность общепринятой практики» Брэдли Биега, «Использование Баланс скорости энтропии для определения теплопередачи и работы во внутренне обратимом, политрофическом, установившемся процессе потока »Саванна Гриффин,« Модельная функция улучшения мирового рекорда женщин на 1500 м с течением времени »Энни Аллмарк , «Максимальная мощность солнечного модуля из поликристаллического кремния» Джейнил Патель, «Оптимизация реакции сдвига водяного газа» Али Албулуши и «Волны цунами» Саманты Пеннино.

Помимо множества опубликованных проектов бакалавриата, существуют «сценарии практического обучения», которые можно рассматривать как совокупность различных практических занятий. Этот смешанный опыт имеет несколько идеалистических проблем. Проблемы можно считать типичными для того, что может рассматриваться в проекте , а не реальными примерами. Эти сценарии мотивируют преподавателя математики включать практическое обучение в обычный теоретический курс.Этим опытом, вероятно, поделятся любые преподаватели математики, занимающие аналогичные должности в математическом образовании. Непосредственной мотивацией здесь является расширение нашего понимания взаимосвязи между теорией математики и решением актуальных проблем в реальном мире.

5. Мотивирующие вопросы как основное средство изучения математики
5.1. Вопросы как орудия обучения

Вопросы обычно становятся более сложными по мере взросления учащихся.Преподаватели на всех уровнях математического образования используют знания и опыт, чтобы ответить на вопросы. Желательны конкретные и уверенные ответы, при этом иногда (как правило, на более высоких уровнях) вопросы могут потребовать дополнительных размышлений перед их изложением. В контексте постановки проблем и их решения важно различать два типа вопросов, которые могут быть сформулированы так, чтобы стать проблемой: вопросы, требующие информации, и вопросы, требующие объяснения полученной информации [60].Подобно двум типам знаков — символам первого порядка и символике второго порядка [61] — можно относиться к вопросам, ищущим информацию, как к вопросам первого порядка, а к тем, требующим объяснения, как к вопросам второго порядка [46]. В то время как на вопросы первого порядка можно ответить, используя разные методы, похоже, что не все методы могут быть использованы для объяснения того, что было получено при поиске информации, то есть для предоставления ответа на вопрос второго порядка. Часто просьба о объяснении является разумным размышлением о методе предоставления информации.

Что означает, что учителя должны обладать «глубоким пониманием» математики? Зачем им нужно такое понимание? У будущих учителей есть несколько причин, по которым они должны быть тщательно подготовлены к математике, чтобы иметь положительное влияние на успеваемость молодых изучающих математику. Во-первых, в современном классе математики ожидается, что ученики всех возрастов будут задавать вопросы, и их даже поощряют. В Соединенных Штатах национальные стандарты уже для классов до K-2 предполагают, что «необходимо воспитывать естественную склонность учащихся задавать вопросы… [даже] когда ответы не сразу очевидны» ([19], с.109). Это предложение подтверждается следующим комментарием кандидата в учителя начальной школы: «Не зная ответа на вопрос — это нормально, но нельзя оставлять этот вопрос без ответа». Кандидат описывает себя как «тот педагог, который всегда будет побуждать моих учеников задавать себе одни и те же вопросы, которые позволят им участвовать в глубоком размышлении».

5.2. Международный характер обучения с помощью вопросов

На границе с США министерство образования Онтарио в Канаде в рамках своей учебной программы по математике для младших классов ожидает, что учителя будут иметь возможность «задавать учащимся открытые вопросы … поощряйте студентов задавать себе подобные вопросы… [и] моделируйте способы, которыми можно ответить на различные вопросы »([62], с.17). Для развития такого мастерства «учителя должны знать способы использования математических рисунков, диаграмм, материалов для манипуляций и других инструментов для освещения, обсуждения и объяснения математических идей и процедур» ([63], с. 33). В Чили учителя математики должны «использовать представления, опираться на предварительные знания, задавать хорошие вопросы и стимулировать любознательное отношение и рассуждение учащихся» ([64], с. 37). В Австралии учителя математики знают, как мотивировать «любопытство, бросить вызов мышлению учащихся, обсудить математический смысл и моделировать математическое мышление и рассуждения» ([65], с.4). Репертуар возможностей обучения, которые преподаватели предлагают своим ученикам, включает постоянный поиск альтернативных подходов к решению проблем, а также помощь ученикам в изучении конкретной стратегии решения проблем, с которой они боролись. В национальной учебной программе по математике в Англии используются такие термины, как «практика со все более сложными задачами с течением времени… [и] может решать задачи… с возрастающей степенью сложности» ([66], стр. 1). С этой целью учителя должны быть готовы иметь дело с ситуациями, когда естественный поиск вопросов приводит учащихся к этой изощренности и усложнению математических идей.Необходимость такой подготовки учителей подтверждается кандидатом в учителя, который сформулировал это следующим образом: «Если ученик спрашивает, почему, а учитель не может объяснить, как что-то произошло, ученик теряет всякую веру и интерес к предмету и уважение к учителю ».

На уровне бакалавриата часто обсуждаются вопросы второго порядка. Преподаватели математики знают, что такие вопросы могут быть полезны для стимулирования дальнейших исследований. Возможно, правда, что математика, с которой приходится сталкиваться на уровне начальной и средней школы, должна быть безупречно понята преподавателями математики и что учащиеся могут быть «уверены» в том, что им преподают.Когда мы начинаем заниматься, скажем, теорией множеств или двумерной / трехмерной геометрией, могут быть загадочные результаты, которые действительно побуждают учащихся задуматься об изучении высшей математики. Любопытство математики — это то, что учащиеся, вероятно, сочтут привлекательным. Конечно, преподавателю математики полезно иметь глубокое понимание темы; однако в ответе могут быть детали, которые не поддаются немедленному описанию. В некоторых редких случаях ответ даже не доступен. Ожидается, что зрелость студентов позволит им признать, что на более высоких уровнях математики они не должны терять веру и уважение к преподавателю, если объяснение откладывается.На более ранних этапах математического образования учащиеся верят, что математика идеальна. Однако математика так же несовершенна, как и все остальное, изобретенное людьми. Студенты должны это знать.

6. Компьютерная сигнатурная педагогика и модель обучения и преподавания 3P

Любопытство и мотивация также могут поддерживаться использованием цифровых инструментов в качестве инструментов практического обучения. Как было показано на примерах из дошкольного математического образования, компьютеры могут способствовать переходу с одного познавательного уровня на другой (более высокий).Это согласуется с современным использованием компьютеров в математических исследованиях, когда новые результаты возникают в результате вычислительных экспериментов. Например, радость перехода от визуального к символическому, когда двухсторонние счетчики были предложены как средство рекурсивного построения чисел Фибоначчи, которые затем можно было смоделировать в электронной таблице, где, возможно, благодаря интуиции, определился определенный образец в поведении соотношений могут быть обнаружены два последовательных члена. Это открытие мотивирует формальное объяснение того, почему отношения ведут себя определенным образом.Точно так же переход от числового описания прямоугольников с точки зрения периметра и площади приводит к их формальному представлению. В то время как прямоугольник с отверстием был обнаружен путем мышления «нестандартно», наличие цифрового инструмента облегчает переход от визуального к символическому с последующим использованием последнего представления в ситуации математического моделирования.

Мощь вычислительного моделирования может служить мотивацией для разработки и последующего исследования более сложных рекуррентных соотношений, чем у чисел Фибоначчи.Как обсуждалось в [58], использование моделирования электронных таблиц может быть применено в контексте исследования болезни Альцгеймера для изучения популяции трансгенных мышей с упором на финансовую осуществимость покупки двух родительских мышей (самца и самку) и выращивания популяции мышей определенного размер. Эффективный подход к этой проблеме включает теорию рекуррентных соотношений, которые первоначально были введены на вторичном уровне через числа Фибоначчи. Результаты, полученные с помощью моделирования в электронной таблице, затем могут быть использованы для проверки теоретических результатов.Подробнее об этом проекте см. [55].

Все это приводит к понятию компьютерной сигнатурной педагогики (CASP), когда побуждает размышлять и поддерживать анализ действий, предпринятых учеником в контексте практического обучения, обеспечивает CASP глубинную (а не поверхностную) структуру обучения [67] нанят учителем как «более знающий друг». Точно так же в более ранней публикации Биггс [15] проводил различие между поверхностной и глубинной структурой подходов студентов к обучению , описывая первый подход в терминах студента, «вкладывающего минимальное время и усилия в соответствии с видимостью соответствия требованиям… [ тогда как последний подход] основан на интересе к предмету задачи; стратегия максимального понимания »(стр.6). Адаптировав модель обучения в классе, предложенную Данкином и Биддлом [68], Биггс [15] представил теперь известную 3P модель обучения студентов, основанную на представлениях студентов об обучении в целом и их текущей учебной среде (прогноз), подход студента к обучению (процессу) и результат обучения студента (продукт). Исследование того, как первый P модели влияет на второй P и, как следствие, на третий P, было проведено Лиццио, Уилсоном и Саймонсом [69], которые выдвинули семь теоретических положений.Одно из этих предположений было основано на аргументе о том, что если студенты университетов воспринимают преподавание курсов их профессорами как надежное, то они с большей вероятностью выберут глубокий подход к обучению. Авторы пришли к выводу, что этот аргумент верен не только для учебных курсов по высшей математике, но и для курсов по методам математики для будущих школьных учителей. В современном преподавании математики правильное использование технологий является важной характеристикой учебной среды.В частности, в контексте студенческого подхода к обучению в глубокой структуре под эгидой CASP, можно расширить использование одного цифрового инструмента, такого как электронная таблица, другими современными технологиями, такими как Wolfram Alpha. С этой целью CASP, структурированный на основе глубоких подходов к преподаванию и обучению, может включать использование так называемых интегрированных электронных таблиц [70], которые поддерживают преподавание математики на всех образовательных уровнях с вычислительной надежностью обучения учащихся.

7.Проблемы и догадки, которые вдохновляют и мотивируют

Студент, изучающий математику (на любом уровне образования), скорее всего, столкнется с «тщетностью» математического совершенства. В математике есть легко выражаемые вопросы (предположения), на которые нет ответа (доказательство). Это похоже на принцип неопределенности Гейзенберга, где есть «пределы точности», например, при нахождении как положения, так и импульса. Важное понятие состоит в том, что не всегда есть «стандартные» решения математических задач.Зная это, учащиеся могут продолжить изучение математики для решения некоторых задач. В этих случаях действует «нестандартное» обучение действиям. Первоначальные размышления носят в основном теоретический характер, но в конечном итоге приложение будет вызвано. Заметьте, что проблему даже не нужно решать, многое предстоит узнать в этой попытке. Это мотивационный процесс. Кроме того, размышления привносят конкретность в концепции проблемы и относятся к общей «природе» проблем и решению проблем.

Реальные приложения математики в значительной степени стимулируют различные виды исследований в предметной области, в которых участвуют как профессиональные математики, так и студенты разных специальностей. Это не означает, что прикладная математика является единственным значимым источником развития математической мысли. Действительно, в самой математике есть много проблем, которые раньше мотивировали и продолжают мотивировать тех, кто стремится получить полное представление о математике как о фундаментальной науке.Некоторые из этих задач (иногда называемых предположениями) можно рекомендовать для включения в учебную программу по математике для не математических специальностей, а также для кандидатов в учителя. Опыт авторов показывает, что теоремы и предположения, берущие начало как в чистой, так и в прикладной математике, могут запустить воображение и мыслительный процесс тех, чей ум открыт для оспаривания.

Например, формулировки и исторические подробности таких захватывающих проблем, как Великая теорема Ферма, доказанная Эндрю Уайлсом [71], и гипотеза Бибербаха, доказанная Де Бранжем [72] (см. Также [73]), могут быть включены в некоторые базовые курсы математики. для нематематических специальностей.Доказательства этих теорем требуют не только элементарных средств, но и чрезвычайно сложны. Однако, как заметил Стюарт [74], «тот факт, что доказательство важно для профессионального математика, не означает, что преподавание математики данной аудитории должно ограничиваться идеями, доказательства которых доступны этой аудитории» (стр. 187). . Давайте посмотрим на них.

Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений для x, y и z, когда .В частности, эта теорема может быть представлена ​​различным группам студентов-математиков как способ ответить на вопрос: Можно ли расширить интерпретацию троек Пифагора как разбиение квадрата на сумму двух квадратов, чтобы включить аналогичные представления для более высоких степеней ? Как подробно описано в [75], использование электронной таблицы со второстепенными кандидатами в учителя позволяет визуализировать Великую теорему Ферма путем моделирования несуществующих решений вышеуказанного уравнения для почти таким же образом, как и для.Точно так же вполне возможно, что с помощью технологий или других средств естественный мост между утверждением Великой теоремы Ферма и некоторыми геометрическими свойствами модульных эллиптических кривых в доказательстве Уайлса станет доступным для будущих студентов-математиков.

Гипотеза Бибербаха утверждает, что для каждой аналитической функции, взаимно однозначной в единичном круге, неравенство выполняется. Один только этот легендарный результат с его ошеломляющими данными (см., Например, [76]) может вызвать у студентов интерес к изучению таких важных математических понятий, как взаимно однозначные функции, степенные ряды, сходимость и коэффициенты Тейлора, которые, в частности, являются целесообразно обсудить с инженерами-майорами.Здесь также стоит упомянуть о глубоких геометрических корнях гипотезы Бибербаха. Например, его доказательство для основано на представлении плоской заданной области как контурного интеграла и, таким образом, доступно для нематематических специальностей, зачисленных на курс исчисления верхнего уровня.

Существует также известная гипотеза Гольдбаха [77], которая утверждает, что каждое четное число больше двух может быть записано как сумма двух простых чисел (возможно, более чем одним способом). Было бы чудом, если бы эта гипотеза оказалась ложной.Пока встречных примеров не найдено. Хотя поиск противоположного примера кажется бесплодным, эмпирически было показано, что гипотеза Гольдбаха верна для всех четных чисел больше двух и меньше некоторого известного числа, состоящего из 17 цифр.

Еще одна известная, но легкая для понимания проблема — это гипотеза палиндрома [78]. Он имеет дело со свойством палиндромов (т. Е. Целых чисел, которые читаются так же, как вперед и назад) привлекать целые числа в соответствии со следующей процедурой: начать с любого целого числа, перевернуть его цифры и сложить два числа; повторите процесс с суммой и продолжайте видеть, что это приводит к палиндрому.Примечательно, что эта «игра с числами» недавно была упомянута как одна из двенадцати нерешенных проблем современной математики [79]. Именно эта проблема и, как отмечено в Принципах и стандартах школьной математики [19], ее образовательный потенциал для учащихся средних школ «ценить истинную красоту математики» (стр. 21) побудили кандидата в учителя средней школы работать с один из авторов по разработке вычислительных обучающих сред для учебных презентаций и экспериментов с большим классом развлекательных задач, как решенных, так и нерешенных [80].Как выразился Гаусс, «в арифметике самые элегантные теоремы часто возникают экспериментально в результате более или менее неожиданной удачи, а их доказательства лежат настолько глубоко погруженными в темноту, что опровергают самые острые вопросы» (цитируется в [81]. ], стр. 112).

Похоже, что использование технологий для значимых экспериментов с числами под эгидой CASP может вдохновить и мотивировать студентов уже на уровне дошкольного образования к новым открытиям в элементарной теории чисел.Каким-либо образом расширяя наше понимание математики, мы потенциально расширяем нашу способность «процветать». Это неотъемлемая ценность и мотивация для обучения действиям. Предполагается, что вся математика может иметь приложения. Нам нужно только иметь мотивацию для разработки этих приложений.

8. Заключение

В этой статье, используя опыт авторов в преподавании математики и надзоре за применением предмета в практике государственных школ и промышленности, представлена ​​структура совместного использования практического обучения и концептуальной мотивации в контексте К-20 математического образования.Были представлены различные примеры практического обучения — индивидуальная работа над реальной проблемой с последующим размышлением под наблюдением «более знающего другого». Такое руководство может включать в себя «дуэт других» — классного учителя и кандидата в учителя в школе K-12, а также преподавателя математики и советника по предметной области в университете. В статье показано, что практическое изучение математики идет рука об руку с концептуальной мотивацией — методикой обучения, при которой введение математических концепций мотивируется (соответствующими классу) реальными приложениями, которые могут включать в себя действия учащихся над объектами, приводящие к формальному описанию этого. действие через символику математики.Этот подход основан на важных рекомендациях математиков [5, 16, 17] и педагогических психологов [1, 25, 26, 61].

Главный вывод статьи состоит в том, что за счет многократного использования концептуальной мотивации и практического обучения на всех уровнях математического образования общий успех учащихся имеет большой потенциал для улучшения. Это сообщение подкрепляется примерами творческого мышления молодых учащихся в классе, основанного на всестороннем сотрудничестве школьных учителей и преподавателей университета (в духе Группы Холмса [82]).Точно так же это сообщение было подкреплено примерами интереса студентов к изучению математического анализа посредством практического обучения в реальной жизни. Похоже, что растущий интерес студентов к математике связан с практическим обучением и концептуальной мотивацией, которые использовались для исправления широко распространенного формализма в преподавании математики, который, в частности, стал препятствием на пути к успеху STEM-образования [4, 7, 8] . Когда учащиеся имеют опыт практического изучения математики в школьные годы, они, вероятно, продолжат изучение предмета в том же духе, тем самым избежав многих препятствий на пути перехода от среднего образования к высшему.Как упоминалось в разделе 4.2.3, исследование по внедрению практического обучения инженерному исчислению с участием тысяч студентов Университета Южной Флориды [4, 59] показывает, что, хотя интерес студентов к практическому обучению может быть пропорционален индивидуальному опыту в этом случае их результаты обучения демонстрируют академическое превосходство практического обучения над другими педагогическими средствами проведения расчетов.

В начале формального математического образования школьники должны начать знакомство с педагогикой практического обучения и концептуальной мотивации, усиленной, в зависимости от обстоятельств, задаванием вопросов и ответами на них, а также обучением использованию технологий.Как было показано в документе, не только учебные программы по математике K-12 во многих странах поддерживают обучение учащихся, задавая вопросы, но и их будущие учителя ценят такое математическое обучение. Аналогичным образом, компьютерная педагогика сигнатур [37] может использоваться для максимального понимания учащимися математики и поощрения их глубокого подхода к обучению [15]. У студентов университетов больше мотивации, чем у школьников, чтобы справляться с обязанностями взрослой жизни. Тем не менее, обе группы студентов все еще могут быть мотивированы их естественным «бросающим вызов возрасту» любопытством.В этом отношении стимулирующие вопросы, склонность к использованию компьютеров и известные классические задачи являются важными инструментами мотивации при изучении математики. Объединение всей учебной программы по математике K-20 в единую систему возможно, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом образовательном спектре. Наконец, очевидно, что есть прагматическая причина для того, чтобы знакомить учеников с радугой обучения действием, и это потому, что среди сегодняшних учеников есть завтрашние учителя.Процесс должен и дальше развиваться.

Доступность данных

Данные, использованные для подтверждения результатов этого исследования, включены в статью.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Что работает лучше, чем традиционные инструкции по математике

Из главы 9: «Как правильно сделать 3 Р»
из
Школы, которых заслуживают наши дети (Бостон: Houghton Mifflin, 1999)

Почему основы просто не складываются

Альфи Кон

Все еще доминирующая модель старой школы начинается с предположения, что детям в первую очередь необходимо усвоить «математические факты»: способность говорить «42», как только они слышат стимул «6 x 7», и знакомство с пошаговыми инструкциями. -шаговые процедуры (иногда называемые алгоритмами) для всех видов задач — перенос чисел при вычитании, вычитание при делении, приведение дробей к наименьшему общему знаменателю и т. д.

Когда объект определен таким образом, нет большой загадки относительно того, какая техника будет использоваться. «Когда процесс обучения арифметике задуман как простое приобретение отдельных независимых фактов, процесс обучения превращается в административное упражнение» [1]. Вы решаете одну задачу за другой, пока не решите ее. Это может заставить вас бояться всего предмета (и по возможности избегать его), но именно так это и нужно делать. Более того, математика на уроке алгебры в старшей школе почти такая же, как и на дополнительном уроке в первом классе.Учитель начинает с демонстрации правильного способа решения задачи, а затем дает бесчисленное количество примеров одной и той же задачи (за исключением с разными номерами), идея состоит в том, чтобы ученики имитировали метод, который им показали, а учитель при необходимости корректирует их усилия.

Если учащиеся не могут дать правильный ответ, это «рассматривается только как доказательство необходимости дальнейшего обучения» [2]. Как мы видели, именно это, как мы видели, именно так объясняется неудача прямого обучения фонетике: чем больше не работает, тем очевиднее вам это нужно.И, как и традиционные способы обучения детей чтению, большинство классов математики основывается на модели передачи: ученикам просто учитель и учебник дают фактов и процедур. Учебники по математике, по сути, часто рассматриваются как учениками, так и учителями как источник истины — «загадочный, но авторитетный документ», так что задача каждого состоит в том, чтобы выяснить, «что хочет от вас, чтобы вы сделали» [3].

Один урок математики, или учитель, отличается от следующего только относительно тривиальными вопросами: количеством задач, которые нужно решить за классной доской по сравнению с на своем месте по сравнению с дома, ясностью объяснений учителя или сложностью расчеты в каждой задаче.Решения, которые действительно имеют значение, уже приняты: рассматривать математику как набор истин «где-то там», которые нужно прививать учащимся посредством повторяющихся упражнений. Эти элементы присутствуют даже в классах, которые, по общему мнению, являются высококачественными, с уважаемыми учителями, внимательными учениками и хорошими результатами на стандартных тестах. [4] «Бездумная мимикрическая математика», как ее называет Национальный исследовательский совет [5], стала нормой в наших школах. Одно из последствий этого проявляется каждый раз, когда взрослый небрежно описывает себя ненавидящим математику и неспособным к ней.Поколения бывших студентов списали со счетов этот предмет, а также свою собственную компетентность, по крайней мере частично, в результате обучения старой школе.

Более 70 лет назад преподаватель математики по имени Уильям Браунелл заметил, что «интеллект не играет никакой роли» в этом стиле обучения. Даже сейчас большинство студентов по-прежнему обучаются математике «как рутинному навыку», — говорит Лорен Резник. «Они не развивают способности более высокого порядка для организации и интерпретации информации» [6]. Таким образом, студенты могут запомнить тот факт, что 0.4 = 4/10, или успешно следовать рецепту для решения x , но традиционный подход оставляет их в неведении относительно важности того, что они делают. Не чувствуя общей картины, они склонны подставлять числа механически, следуя методике, которой они научились. Их нельзя назвать «успешными в количественном мышлении», потому что для этого, как объяснил Браунелл, «нужен фонд значений, а не мириады« автоматических ответов ». . . . Дрель не развивает смыслов.Повторение не ведет к пониманию »[7].

В результате стандартного подхода к обучению математике учащиеся часто не могут применить методы, которым их учили, и применить их к задачам, даже немного отличающимся от тех, к которым они привыкли. Например, семилетняя девочка может отлично складывать числа, когда они расположены на странице вертикально, но затем поднимает руки, когда та же задача написана горизонтально. Или она может обладать «богатой неформальной базой знаний, полученной в результате работы с количествами в повседневных ситуациях» [8], которая позволяет ей выяснить, сколько печенек у нее было бы, если бы она начала с 16, а затем получила еще девять — но при этом учитывайте это понимание совершенно отдельно от того, как вы должны учиться в школе (где она вполне может получить неправильный ответ).[9]

Преподаватели математики постоянно находят примеры того, как дети могут выполнять вычисления, даже не зная, что они делают. Дети задали задачу

начал кропотливо складывать, а затем делить, упуская из виду тот факт, что им не нужно было беспокоиться — факт, который был бы очевиден, если бы они действительно понимали, что такое умножение и деление. [10] Один исследователь задал задачи типа 7 + 52 + 186 учащимся второго, третьего и четвертого классов и обнаружил, что те, кого учили обычным способом — с установленной процедурой переноса чисел с разряда единиц на разряды десятков, а затем от десятков до сотен — не просто делали ошибки: они допускали ошибки настолько диковинные, что предполагали полную неспособность уловить задействованные количества.Эти студенты ответили: 29, 30, 989 и 9308. [11] (Как мы увидим позже, ученики того же возраста, которых учили нетрадиционно — без учебников, рабочих листов или какой-либо презентации учителя о «правильном способе» сложения, — справились гораздо лучше.)

Еще один поразительный пример — это то, как 13-летние дети справились с проблемой, которая появилась в Национальной оценке успеваемости в образовании (NAEP). Вопрос был такой: «В армейском автобусе 36 солдат. Если к месту тренировок едут 1128 солдат, сколько потребуется автобусов? » Если разделить первое число на второе, получится 31 с остатком 12, что означает, что для перевозки всех солдат потребуется 32 автобуса.Большинство студентов правильно ответили на вопросы, но менее одного из четырех правильно ответили на вопрос. Наиболее частым ответом был «31 остаток 12». [12]

Этот вид роботизированных вычислений отражает не умственную неполноценность учащихся, а триумф модели обучения математике с возвратом к основам и навыками. И это мнение не только одного человека. Аналитики данных NAEP для Службы образовательного тестирования отметили, что учащиеся могут «декламировать правила», но часто не имеют «представления о том, разумны ли их ответы».«Нелепые ответы», которые часто получаются в результате, могут быть связаны с «общим чрезмерным акцентом в современных учебных программах на навыки, связанные с вычислениями, или с тенденцией преподавать навыки и знания до интеграции приложений и решения проблем в обучение» [13].

В некоторых случаях ученикам может быть полезно отработать какой-то навык — после они пришли к полному пониманию основной идеи. Но когда тренировка начинается слишком рано или занимает слишком много времени в классе, она приносит мало пользы уже успевающим ученикам [14] и абсолютно ничего не делает для тех, кто этого не делает, за исключением того, что заставляет их чувствовать себя еще более некомпетентными.В самом деле, — самое важное, что — избегать этого сценария для студентов, которым сложно понять, что происходит: чем больше им дают алгоритмов и говорят, что именно делать, тем дальше они отстают в понимании. . [15] К настоящему времени мы не должны удивляться, обнаружив, что школы США поступают наоборот, подвергая этих учеников, в частности, бесконечному режиму тренировок.

Стоит заниматься математикой

Все это заметили люди, которые зарабатывают на жизнь размышлениями о том, как следует преподавать математику.В нескольких документах по реформированию этой области, в том числе, в частности, в стандартах, распространенных в 1989 г. Национальным советом учителей математики (NCTM), говорится, что классы математики должны вращаться вокруг осмысления (как и в случае с нетрадиционными подходами к чтению и письму) и способствовать мышлению, а не запоминанию правил. Студентов следует поощрять писать и говорить о своих идеях, понимать основные концепции и уметь выразить их словами. Они должны потратить свое время

абстрагирование, применение, убеждение, классификация, вывод, организация, представление, изобретение, обобщение, специализация, сравнение, объяснение, формирование паттернов, проверка, доказательство, предположение, анализ, подсчет, измерение, синтез и упорядочивание [потому что] это виды деятельности, которая, как считается, характеризует работу математиков.[16]

Учащиеся в классах, где математическое мышление поощряется с самого раннего возраста, учатся оценивать и предсказывать. («Как вы думаете, сколько карандашей во всей школе? Есть ли способ узнать наверняка, не считая?») Они приобретают базовые навыки в процессе решения значимых проблем — часто со своими сверстниками. Они могут использовать калькуляторы, как это часто делают взрослые, чтобы они могли решать более сложные и увлекательные задачи, чем это было бы возможно, если бы им пришлось направить свою энергию на вычисления.В отличие от класса, основная деятельность которого заключается в том, чтобы слушать учителя и заполнять рабочие листы, такая учебная среда отличается тем, что учащиеся «сидят в группах, обсуждают идеи, проводят эксперименты, составляют диаграммы, используют конкретные объекты для проверки своих предположений, следуя слепому принципу». переулков, и время от времени испытывая удовлетворение от открытия чего-то, чего они не знали раньше »[17].

Некоторые особенности таких классных комнат уже должны показаться вам знакомыми.Во-первых, сотрудничество — важная часть обучения. Иногда дети решают задачи в парах с последующим обсуждением в классе. Учителя прилагают особые усилия для создания заботливого сообщества, чтобы несогласие с ответами друг друга не превратилось в соревнование и не побудило некоторых детей высказаться. Во-вторых, студенты более активны, больше сосредоточены на классе, чем в традиционной модели; их выбор имеет значение, и их голоса слышны.И, как и в случае с «Целым языком», в котором используются преимущества естественного употребления слов и идей, учителя математики всегда ищут реальные проблемы и действия, которые могут предложить «детям возможности участвовать в числовых рассуждениях». [18] Новости статьи из утренней газеты поднимают вопросы о вероятности; приготовление пищи обеспечивает подлинные проблемы фракций; можно использовать даже учет посещаемости («Какая часть нашего класса отсутствует?»).

Некоторым из нас все это сразу покажется привлекательным, возможно, потому, что мы видим в этом освежающий контраст с бессмысленной скукой , которую пришлось вынести на уроках математики в далеком прошлом.Но другие отвергнут это видение по той же причине: это не то, к чему они привыкли. Даже родители, готовые к убеждению в ценности целостного языка, могут скептически относиться к концептуальным подходам к математике. Идея чтения для понимания достаточно ясна (в конце концов, мало кто из взрослых тратит свое время на выделение тематических предложений или обводку гласных), но многие ли из нас имеют какой-либо опыт обучения математике, в котором подчеркивается понимание? [19] Мы думаем о математике как о предмет, на который вы набираете правильные или неправильные ответы, и мы можем опасаться, что что-либо, кроме обычных методов тренировки и умения, не позволит нашим детям дать правильные ответы, когда им придет время пройти стандартизированный тест .В самом деле, от людей многое требуется поддержать или даже разрешить перейти от чего-то, что они знают, к чему-то совершенно незнакомому.

Тем не менее, именно об этом просят нас большинство экспертов в данной области — и не без оснований. Как и в случае с любым из вопросов, обсуждаемых в этой книге, существует три основных способа убедить скептиков. Во-первых, есть теория: объяснение целей и причин, по которым нужно делать что-то по-другому. Это то, что я пытался сделать в этом и предыдущем разделе.Во-вторых, это исследование, которое будет рассмотрено в Приложении А [перепечатано ниже]. Наконец, есть примеры, идеально почерпнутые из непосредственного наблюдения за необычными классными комнатами — или, что еще лучше, описания, которые дают представление о том, как эти идеи выглядят на практике и как они сравниваются с обычными блюдами.

Представьте, что учитель говорит своим ученикам, что такое «коэффициент», ожидая, что они запомнят определение. А теперь представьте учителя, у которого первоклассники выясняют, сколько пластиковых звеньев, размещенных на одной стороне весов, эквивалентно одной металлической шайбе на другой стороне.Затем, обнаружив, что нужно снова добавить такое же количество звеньев, чтобы уравновесить дополнительную шайбу, дети начинают понимать концепцию соотношения для себя. Как вы думаете, какой подход приведет к более глубокому пониманию?

Представьте себе класс, в котором третьеклассники открывают свои учебники математики для надуманных «задач со словами» на странице 39. («Поезд отправляется из Вашингтона, округ Колумбия, движется на запад со скоростью 65 миль в час…»). Теперь представьте себе класс, где учеников просят сравнить вес двух кусков жевательной резинки (с сахаром и без него) до и после того, как каждый кусок был пережеван — прогнозирование, запись результатов, объяснение различий, все время сложение, вычитание, умножение, деление, а также использование десятичных дробей и процентов, учимся оценивать и экстраполировать.В каком классе они с большей вероятностью будут рассматривать математику как актуальную, привлекательную и что-то, в чем они могут добиться успеха?

Рассмотрим то же самое, полное задач на дроби для учащихся старших классов начальной школы: «1/2 + 1/3 = ___» и так далее. А теперь представьте, что вместо этого их просят объяснить, используя слова и числа: «Почему не равно 1/2 + 1/3 1/5?» Как вы думаете, какой вопрос поможет учителю лучше понять, как думает каждый ученик?

Наконец, рассмотрите — то есть запомните — обычную учебную программу по математике для средней или старшей школы.А теперь представьте класс, в котором ученики на протяжении года выполняют задание, изучая различные концепции, и вместе пишут учебник для учеников, которые займут свое место в той же аудитории в следующем году. Что более строго? Что вы хотите для своего ребенка? [20]

Факты об изобретении

Это довольно резкий контраст между математикой, определяемой в основном в терминах навыков, и математикой, определяемой в основном в терминах понимания. Но если нас убеждает конструктивистский подход к обучению, даже последнего недостаточно.Когда традиционалисты настаивают на том, что детям очень важно «знать свои математические факты», мы можем ответить не только оспаривая эти приоритеты, но и спросив, что имеется в виду под , знаю . Ключевой вопрос заключается в том, поглощается ли понимание пассивно или активно. В последнем случае математика фактически превращается в творческую деятельность.

В начале 1998 года в статье, опубликованной в газете New York Times , упоминалось о важности того, чтобы учащиеся разрабатывали и проводили свои собственные эксперименты по математике.«Только подумайте, — саркастически ответила женщина в письме редактору, — таким образом студенты могут заново изобрести теорему Пифагора». Она заключила: может быть, таким образом мы сможем «побороться за последнее место в следующем году» в международных сравнениях. [21] Неважно, что плохие результаты американских студентов в последних тестах, вероятно, были результатом того самого учебного плана, который предпочитал этот автор письма. (Ее можно простить за незнание этой детали, поскольку она не упоминалась практически во всех обсуждениях этих результатов в популярной прессе.Более интересным является ее убеждение в том, что было бы, очевидно, нелепо, если бы студенты заново изобрели математические законы.

По совпадению, тот же самый пример был предложен Пиаже несколькими десятилетиями ранее, чтобы аргументировать в пользу такого рода обучения. «Незнание теоремы Пифагора гарантирует свободное проявление личной силы рассуждений», — писал он. «Он заключается в том, чтобы заново открыть для себя его существование и его использование. Цель интеллектуального образования не в том, чтобы уметь повторять или сохранять готовые истины »; скорее, человек получает образование, «научившись самому постигать истину.[22] Когда детям не вручают линейки, а, по сути, их просят изобрести, когда они конструируют для себя идею соотношений, когда они воссоздают удивительно последовательную связь между тремя сторонами прямоугольного треугольника (и обнаруживают ее отношение к реальные проблемы дизайна), то они действительно учатся.

Обдумывая возможности, учащиеся придумывают собственные способы поиска решений. Им приходится изобретать свои собственные процедуры. То, что это означает на практике, столь же просто, как и парадоксально: учителя обычно воздерживаются от показа своим классам, как решать задачи .Вместо демонстрации «правильной» процедуры сложения двузначных чисел, например, учителя второго класса могут создать проблему, а затем позволить ученикам (индивидуально или парами) найти способы ее решения, побуждая их попробовать различные методы, дайте им достаточно времени, прежде чем снова созвать их для обсуждения, чтобы они могли объяснить, что они сделали, оспорить ответы друг друга (в дружеской и поддерживающей манере), задать вопросы, пересмотреть свои собственные подходы и выяснить, что работает и почему.

Этот подход был подробно описан Констанс Ками, ведущей ученицей Piaget, в серии из трех книг о том, как дети в первом, втором и третьем классе соответственно могут «заново изобрести арифметику». В конечном итоге, конечно, имеет значение, придумают ли студенты правильный ответ, но если они будут думать, что это все, что имеет значение, они вряд ли поймут, что происходит. Таким образом, говорит Камии, «если ребенок говорит, что 8 + 5 = 12, лучшей реакцией было бы воздержаться от исправления его и.. . спросите ребенка: «Как вы получили 12?» Дети часто поправляются, пытаясь объяснить свои рассуждения кому-то другому ». [23] Поскольку этот« кто-то другой »может быть сверстником, детям часто имеет смысл объяснять их рассуждения друг другу. Более того, как исправление неправильных ответов не особенно полезно, так и похвала за правильные ответы не приносит особой пользы. Опять же, важен сам процесс — или, точнее, понимание ребенком процесса, что может быть выявлено с помощью вопроса «Как вы получили 13 баллов?» [24]

У учителя в таком классе очень сложная работа.Ему приходится много прикусывать язык, а также воздерживаться от того, чтобы дети слишком рано записывали свои ответы на бумаге, поскольку это может помешать по-настоящему обдумать проблемы. Он должен знать, когда бросить вызов студентам: если все они придумают один и тот же метод и правильный ответ, он, вероятно, будет склонен спросить: «Это единственный способ сделать это?» (Качество обучения математике в любом классе можно почти измерить как функцию того, как часто задают этот вопрос.)

Я считаю, что весь этот подход имеет смысл по четырем причинам.Во-первых, это отражает суровую реальность того, что знания о числах и их соотношении нельзя научить (то есть дать) детям. Его нужно построить. Как комментирует Камии,

Педагоги находятся в иллюзии, что они преподают арифметику, когда все, что они на самом деле преподают, — это самые поверхностные аспекты, такие как конкретные суммы (4 + 4 = 8, 4 + 5 = 9…) и общепринятые значения письменных знаков (например, 4 и +). . . . Если ребенок не может построить отношения, тогда все объяснения в мире не позволят ему понять утверждения учителя.. . . Ребенок должен изменить неправильные идеи. Учитель не может их устранить. [25]

Даже если учитель ничего не делает, кроме как требует запоминания фактов и практики с процедурами, ученики обычно придумывают и используют свои собственные стратегии в любом случае — по сути, конструируя свой собственный смысл — иногда, притворяясь, что они решают проблемы так, как им сказали. для этого. [26]

Во-вторых, явное предложение детям составить свои собственные процедуры дает учителю гораздо лучшее представление о том, что они понимают и в чем им нужна помощь.Открытое приглашение к решению нового типа проблемы позволяет учителю увидеть, как они думают, могут ли они интегрировать более ранние концепции и где именно они застряли, — в отличие от того, чтобы судить только о том, получили ли они правильный ответ. Вспомните, что с конструктивистской точки зрения один из наиболее важных аспектов работы учителя — знать как можно больше о мышлении каждого ученика.

Третий аргумент в пользу этого подхода — то, что он действительно работает. Я представлю научное исследование позже, а пока давайте послушаем второклассную учительницу, которая объявила, что раздала 22 леденца на палочке из пакета 40.Она хотела знать, сколько осталось.

Я наблюдал за детьми, которые пытались мысленно решить проблему. Они были очень тихими. Некоторые из них пристально смотрели в космос, как будто решали задачу на невидимой доске. Остальные сидели, кивая головами, словно в ритме чисел. Некоторые манипулировали пальцами, а один ребенок закусил губу и выглядел весьма озадаченным.

По прошествии нескольких минут размышлений большинство детей подняли руку, чтобы сообщить мне, что у них есть ответ, которым они могут поделиться с группой.Предложенные ими ответы были 29, 22, 18, 28 и 12. Я написал каждый ответ на доске без комментариев, а затем спросил: «Есть ли здесь какие-то ответы, которые вас беспокоят?»

Дети сразу же начали обдумывать предложенные ответы. . . . Эллисон тихо сказала: «Я не думаю, что ответ может быть 29, но я не знаю, почему». Многие дети согласно кивали головами.

Стив, с другой стороны, не был столь осторожен. Он одновременно поднял руку, встал и начал говорить.«Потому что 29 — это слишком много», — настаивал он. Если взять 20 из 40, получится 20. Значит, 29 — это слишком много ».

Бен едва дождался, когда Стив остановится и переведет дух. Он указал на доску и авторитетно заявил: «40 минус 20 равно 4 минус 2 равняется 2. Итак, 40 минус 20 равно 20. Уберите еще 2». Это 28 ». . . Я надеялся, что кто-то из детей заметит ошибку и привлечет внимание Бена. Я не был разочарован.

Стив прокомментировал: «Я не согласен; 20 take away 2 не может быть больше 20, потому что вы забираете вещи.’

После дальнейшего обсуждения дети разбились на группы и использовали блоки (пример того, что педагоги называют «манипуляторами»), чтобы придать конкретную форму обсуждаемым ими идеям. В течение следующих нескольких недель они боролись с другими проблемами. В конечном итоге, сообщает учитель, «они заново изобрели перегруппировку». Они не только самостоятельно выяснили, как решать такие проблемы, но и поняли идею этого метода [27].

До тех пор, пока вы не увидите, как это работает, идея о том, чтобы доверять детям решать незнакомые задачи — более того, даже идея о том, что математика — это «творческое» предприятие, включающее «изобретение», может быть очень трудно принять.Иногда предполагается, что, если взрослый не вмешивается немедленно, чтобы сказать «правильно» или «нет, не совсем», детям дают понять, что все ответы одинаково приемлемы. На самом деле, однако, не только неверно утверждать, что конструктивистский математический класс основан на этой релятивистской предпосылке, но и верно прямо противоположное. Именно тот факт, что у «40 минус 22» есть только один правильный ответ, заставляет этот подход работать. «Дети в конечном итоге доберутся до истины, если они будут думать и спорить достаточно долго, потому что в [математике] нет абсолютно ничего произвольного», — говорит Камии.[28] Даже те ошибки, которые дети делают на пути к пониманию, отражают определенные предсказуемые закономерности, мало чем отличающиеся от их ранних орфографических ошибок. (Например, маленькие дети, пытающиеся вычислить, сколько чисел отделяют 3 от 8, часто начинают считать с 3, а не с 4, получая, таким образом, ответ, который отличается на единицу.)

Наряду с обвинением в релятивизме конструктивистов иногда обвиняют в том, что они верят в то, что дети просто автоматически усваивают математику, и учитель ничего не должен делать.Это, конечно, всего лишь еще одна версия ошибочного приравнивания прогрессивного образования к своего рода невмешательству романтизма: расслабьтесь, и дети будут учиться. Поскольку в сознании многих традиционалистов «обучение» приравнивается к прямому наставлению, отсутствие этого конкретного метода означает, что учитель вообще ничего не делает. К настоящему моменту мы понимаем, что учитель жизненно активен, органично вовлечен. Она настраивает вещи так, чтобы ученики могли играть с возможностями, обдумывать проблемы, разговаривать и исправлять.Это бесконечно труднее, чем выполнить образец задачи и раздать рабочие листы.

Но мы можем сказать больше, чем то, что этот подход эффективен. Окончательное оправдание такого обучения математике состоит в том, что традиционный метод передачи может нанести серьезный вред. Учитель (или родитель), для которого правильный ответ означает все, — это тот, кто, естественно, захочет рассказать ребенку, как наиболее эффективно получить этот правильный ответ. Это создает бессмысленность. Такая ученица, вооруженная алгоритмами, приобретает привычку смотреть на взрослого или на книгу, вместо того, чтобы думать об этом через себя.Она чувствует себя менее автономной, более зависимой. Застряв в середине проблемы, она не пытается понять, что заставляет делать следующий шаг ; она пытается вспомнить, что ей нужно сделать . [29] Короче говоря, это наследие традиционного образования.

*

Когда я читал литературу по нетрадиционному математическому образованию и наблюдал за таким обучением в действии, меня осенило, что здесь работает интересный парадокс. С одной стороны, важно подождать, пока дети научатся понимать концепцию, прежде чем вводить ее в заблуждение.Это предостережение следует из всех выводов Пиаже о качественных изменениях в детском мышлении. Вы можете попросить малышей запомнить слова «пятнадцать в квадрате — двести двадцать пять». В самом деле, у меня есть друзья, которые развлекают себя и своих гостей, заставляя своих детей повторять невероятно не по годам развитые фразы. Но с таким же успехом эти дети могут учить бессмысленные слоги. Родители часто удивляются тому, как рано их дети умеют считать (в том смысле, что они могут говорить «один, два, три, четыре…»), но вскоре понимают, что не понимают относительных величин, обозначаемых каждым числом.В этом случае очевидны ограничения в развитии. Но это не так просто увидеть — хотя и так же верно — в случае, если шестилетний ребенок выполняет сложение в две колонки. Он может следовать инструкциям, но почти наверняка не может понять значение разряда — то есть, как столбец десятков соотносится со столбцом единиц.

Такой традиционалист, как Э.Д. Хирш, по образованию профессор английского языка в колледже, кстати, не испытывает угрызений совести, утверждая, что «сообщаемые трудности, с которыми сталкиваются американские дети в возрасте до десяти лет в понимании значения места, очень вероятно из-за отсутствия последовательного обучения и практики арифметика.[30] Но правда в том, что вы можете заставить детей тренироваться, пока коровы не вернутся домой, и они все еще не поймут, что значит говорить о «десятках», пока они не будут готовы. [31] Таким образом, нет смысла заставлять их делать наизусть то, что для них не имеет смысла. Все, что им нужно, — это научить их рассматривать математику как нечто, что люди не могут понять от .

Парадокс заключается в том, что, хотя конструктивисты внимательно относятся к тому, что дети не могут делать, они также необычайно щедро уважают то, что дети способны делать — спонтанно и в очень раннем возрасте.«Обучение детей начинается задолго до того, как они пойдут в школу», — отметил известный российский психолог Лев Выготский. У них «своя собственная дошкольная арифметика, которую могут игнорировать только близорукие психологи». [32] На самом деле близорукость не обязательно, чтобы это пропустить: все, что вам нужно сделать, — это заставить детей запоминать факты и следовать рецептам. Учителя, которые тратят свое время на то, чтобы рассказывать, а не спрашивать, инструктировать, а не приглашать, могут годами стоять перед детьми, не имея представления о том, на что они способны.Учитель начальной школы-ветеран отражает:

Я никогда не считал детей достаточно умными, чтобы изобретать решения. Учителю потребовалось много дополнительных усилий, чтобы выслушать то, что они пытались сказать, и много самоконтроля, чтобы подавить побуждение воспользоваться быстрым и легким способом навязывания моих взрослых взглядов и методов. Но было так много всего, чему никогда не нужно было учить, потому что дети придумывали все, что даже не приходило мне в голову. Теперь, когда я занимаюсь математикой, я вижу на лицах детей волнение, энтузиазм и сосредоточенность.Я слышу голоса, исходящие от детей, которые уверены в себе, редко застенчивы и тихие только во время размышлений. Я задаюсь вопросом, как учителя могут продолжать работу в зависимости от рабочих тетрадей и заданий. Но я также вспоминаю, насколько скептически и неуверенно я был поначалу, не показывая детям, как решить проблему «правильным» способом [33].

Сказать, что обучение с конструктивистской точки зрения характеризуется парадоксом — не давать маленьким детям больше, чем они могут справиться, но дать им шанс показать вам, на что они способны, — значит сказать об этом положительно.Обратной стороной является то, что «старой школе» удается облажаться по обоим пунктам, одновременно не понимая ограничений развития детей («тренируйте их, пока они не достигнут») и не цените их умы («Используйте технику, которую я вам показал». ). Эта двойная ошибка — это то, что, возможно, имела в виду Лилиан Кац, когда говорила о педагогах, которые «переоценивают детей в учебе и недооценивают их интеллектуально» [34]. Нетрадиционные учителя стараются избегать обеих ловушек.


[из Приложения A]

Твердые доказательства: результаты математики

«Достаточно ли хорошо» учащихся в США по математике — это, конечно, вопрос для суждения. Но насколько бы мы ни были недовольны их профессионализмом, есть все основания полагать, что традиционная модель обучения несет большую часть ответственности.

В середине и конце 1990-х годов было проведено всеобъемлющее международное сравнение преподавания математики и естествознания, известное под аббревиатурой TIMSS, которое затем было опубликовано по частям.Часть исследования включала в себя серию обычных тестов, которые давались учащимся всего мира, эквивалентным четвертым, восьмым и двенадцатым классам. Учащиеся из США неплохо учились в четвертом классе, довольно плохо — в восьмом и ужасно — в двенадцатом, хотя были подняты вопросы о данных, лежащих в основе этих выводов.

Однако

TIMSS не ограничивался стандартизованными результатами испытаний; он также включал анализ учебных материалов и аудиторных практик. В одном из сегментов исследования Джеймс Стиглер и его коллеги сняли на видео более 200 учителей математики восьмого класса, чтобы пересмотреть их методы, а также распространили анкеты, чтобы получить представление о задачах учителей.Трое из пяти учителей в США заявили, что их больше всего интересует «развитие навыков». Только один из четырех японских учителей ответил так: подавляющее большинство заявили, что хотят, чтобы их ученики понимали определенную математическую концепцию. Эта цель побудила этих учителей включить дедуктивное мышление в свое обучение, которое сыграло свою роль в 62 процентах уроков японского и 0 процентах уроков в США. Японские учителя также изучали тонкости конкретных математических понятий со своими учениками, а не просто называли эти понятия американским стилем.В японских классах меньше математических задач рассматривалось более глубоко, и учащиеся активно участвовали в предложении различных способов решения этих задач. Кроме того, что интересно, домашние задания назначались редко. [35]

Общий вывод, к которому пришли исследователи TIMSS — который почему-то не попал в заголовки или даже в новости, когда были опубликованы результаты тестов — заключался в том, что традиционных формы обучения и акцент на основ , в значительной степени способствовала низкой репутации американских студентов старшего возраста .Еще до того, как была опубликована последняя фаза исследования (глядя на последний год средней школы и обнаруживая худшие результаты для студентов из США), авторы TIMSS писали: «Обучение в этой стране все еще кажется — по сравнению с обучением в некоторых других странах. — в большей степени ориентированы на студентов как на пассивных поглощателей знаний, а не как на активных участников, которые конструируют, трансформируют и интегрируют знания ».

Далее они предсказали, что «широко распространенный выбор сосредоточиться на« основах »в американских школах, вероятно, приведет к« соответствующим различиям в успеваемости учащихся, и эти различия должны быть кумулятивными, с U.Студенты S. все больше отстают по мере продвижения по классам »- что и произошло. Эти результаты нельзя объяснить с точки зрения «естественных различий» между учащимися, то есть врожденных способностей, или даже с точки зрения того, сколько усилий прикладывают учащиеся, из-за «различий в учебных программах. . . влияет на сколько студентов могут достичь даже трудясь «. Изучая данные со всего мира, исследователи обнаружили, что студенты, которым посчастливилось жить в странах, которые избегали подхода к обучению «назад к основам», «справлялись сравнительно лучше» в тестах на понимание.[36]

Напомним, что эти выводы в точности повторяют выводы Национальной оценки успеваемости (NAEP), основной оценки успеваемости учащихся в США с точки зрения обучения математике. Они также подтверждаются исследованием преподавания математики в старших классах начальной школы, которое показало, что «сильный упор на развитие навыков и небольшое внимание к концепциям и приложениям могут помочь объяснить относительно низкое положение Соединенных Штатов среди других стран в вопросе математики. -разрешающая способность студентов.»[37]

Другой вид поддержки был получен в 1998 году, когда исследователь сравнил использование учащимися компьютеров с их оценками по математике NAEP. Общий вывод, что достаточно удивительно, заключался в том, что чем больше времени ученики проводили за компьютерами в школе, тем хуже они сдавали экзамен. Но при ближайшем рассмотрении оказалось, что нетрадиционное использование компьютеров, например, для моделирования и обучающих игр, было полезным. Отрицательный эффект успеваемости был ограничен теми учениками, которые использовали компьютеры в основном для отработки базовых навыков.[38] Очевидно, даже использования новых технологий недостаточно для смягчения разрушительного воздействия старой педагогики.

Достаточно недавних данных о традиционных подходах к обучению математике. Что мы можем сказать об усилиях по внедрению более концептуальных и конструктивистских альтернатив? Исследования, проводимые по таким программам, были сосредоточены в начальных классах, и они указывают на результат, который можно резюмировать шестью словами: лучшее рассуждение без ущерба для вычислительных навыков — интересный отголосок того, что мы только что видели в нетрадиционных подход к обучению чтению (а именно, лучшее понимание прочитанного без ущерба для навыков декодирования).

В одном исследовании сорок учителей первого класса в Висконсине прошли специальную подготовку по тому, как сделать решение задач организационным центром обучения арифметике. Когда тесты успеваемости, сданные их учениками, были позже сравнены с тестами детей, обучающихся по традиции, результаты показали скромное, хотя и стабильное преимущество для первой группы. «Сосредоточение внимания на решении проблем не обязательно приводит к снижению производительности вычислительных навыков», — пишут авторы [39].

Несколько лет спустя некоторые исследователи из Делавэра попытались сделать нечто подобное с небольшой группой учителей второго класса.Дети в нетрадиционных классах решали намного меньше задач в течение года, но, по-видимому, с большей осознанностью и пониманием, потому что в конечном итоге они лучше справлялись с тестами, особенно когда им приходилось решать задачи, которых они раньше не видели [40]. Третье исследование подтвердило, что более концептуальный подход к обучению математике как на начальном, так и на среднем уровне не повлек за собой жертв в стандартизированных результатах тестов, даже при переходе от традиционного обучения.[41] Четвертый проект в Мэриленде показал, что такое обучение математике повысило успеваемость учащихся с низким доходом, в основном из числа меньшинств, хотя потребовалось несколько лет, чтобы эти преимущества достигли статистической значимости. [42]

Еще одна группа исследователей из Университета Пердью в Индиане разработала очень конкретную схему для обучения второклассников задачам местного школьного округа по математике. Детям были предложены задачи, над которыми они могли работать в парах, после чего весь класс собрался вместе, чтобы обсудить то, что они придумали.Не было ни оценок, ни похвалы за правильные ответы, ни учебников или рабочих листов, ни требований для решения определенного количества задач, ни демонстрации учителем «правильного» способа их решения. Учителя старались поощрять продуктивное сотрудничество и создавать благоприятную среду, в которой дети могли бы безопасно оспаривать идеи друг друга. [43]

После того, как пилотный класс был создан и проанализирован, исследователи были готовы сравнить эффекты своей модели с эффектами традиционных классов в трех школах.Практически не было разницы в том, насколько хорошо дети выполняли базовые вычисления, но те, кто учился в альтернативных классах, демонстрировали значительно более высокий уровень математических рассуждений. [44] Затем все студенты провели следующий год в обычных классах и снова прошли тестирование. Те, чей второй класс был нетрадиционным, были на , но все же на более продвинуты в концептуально сложных задачах [45].

Тем временем исследователи расширили свой проект на большее количество классных комнат для второклассников, а также на некоторые классы для третьих классов, что позволило им оценить эффект от проведения двух лет подряд в месте, где «закономерности, отношения и значения не имеют себе равных. образованный студентами », и где математический класс преобразован в« сообщество, в котором происходит взаимный обмен и всестороннее взаимодействие.«Дополнительный год в таких условиях действительно имел значение. Было протестировано множество различных видов математической компетентности, и хотя не все измерения показали статистически значимый эффект, ни один из них не показал лучших результатов у студентов с традиционными инструкциями, чем у тех, кто два года занимался альтернативной математикой. Последние студенты были гораздо более искусными в понимании задач, представленных в форматах, отличных от учебников, и они также лучше справлялись с базовыми вычислениями — даже после того, как они провели год в обычном классе.Те, кто проучился конструктивистской математикой всего один год, с большей вероятностью будут отброшены обратно на уровень обучающихся — не только по своим достижениям, но и по своим установкам: они пришли к выводу, что математика — это «решение задач». используя один метод »вместо того, чтобы полагать, как это было раньше, что речь идет о« попытке понять и выяснить для себя »[46].

В меньшем и более неформальном масштабе теоретик-конструктивист Констанс Ками проверила несколько элементарных классов, в которых дети решали все задачи самостоятельно, без каких-либо алгоритмов.В соответствии с другими исследованиями, она обнаружила, что два конструктивистских второклассника показали такие же результаты, как и два обычных класса, по стандартизированному тесту достижений, но показали лучшие результаты по критериям мышления. Последующее сравнение третьеклассников также показало, что «Группа конструктивистов использовала различные процедуры, получала более правильные ответы и делала более разумные ошибки, когда получали неправильные ответы. Группа сравнения в целом имела только один способ решения каждой проблемы — традиционный алгоритм — и, как правило, получала неправильные ответы, которые свидетельствовали о плохом понимании чисел.»[48]

И последний момент, который не так уж случаен: учительница, работающая с Камии, отметила, что после того, как она приняла нетрадиционный подход к обучению, ее классы «проявили любовь к математике, которую я не видел в течение моего первого десятилетия преподавания» [ 49]. Хотя нет достоверных данных, подтверждающих это впечатление (как в случае с Whole Language), оно определенно совпадает с тем, что исследователи Purdue наблюдали в своих экспериментальных классах. Они сообщили, что посетители «неизменно отмечали увлечение математикой, которое проявляли дети, когда они решали задания.Дети часто подпрыгивали, обнимали друг друга и бросались рассказывать учителю, когда они решают особенно сложную задачу ». Более того, они в необычной степени упорствовали в решении сложных проблем и радовались успехам друг друга [50]. Конечно, это, вероятно, связано с отсутствием наклеек, оценок, похвалы и других подкреплений, которые, как правило, мешают детям получать удовольствие от обучения. Но задачи должны быть достаточно увлекательными и открытыми, чтобы успех был потенциально восхитительным — что-то гораздо менее вероятно, когда дети просто пройдут через утвержденные шаги, чтобы получить правильные ответы на рабочем листе.

ПРИМЕЧАНИЯ

[Полные цитаты см. В справочном разделе «Школы, которых заслуживают наши дети». ]

  1. Brownell, 1928, стр. 197.
  2. Там же, стр. 200.
  3. Ламперт, 1986, стр. 340.
  4. Годовое интенсивное изучение преподавания и обучения в классе геометрии 10-го класса. . . в престижном пригородном школьном районе в северной части штата Нью-Йорк »дала именно такие результаты. В то время как «наблюдатель в классе, незнакомый с математикой, обязательно поставит классу высокие оценки», студенты в основном тратили год на копирование доказательств, а затем выполнение упражнений, «предназначенных для подтверждения владения относительно небольшими фрагментами предмета.(«В течение всего учебного года ни один из учеников любого из дюжины наблюдаемых нами классов не выполнял математические задачи, которые можно было бы серьезно назвать проблемами».) Действительно, этот образцовый учитель, помня о стандартизированном тесте, который ученики бы в конце концов придется принять, прокомментировал в какой-то момент: «Вам нужно знать все свои конструкции холодно, чтобы не тратить много времени на размышления о них» (Schoenfeld, 1988, стр. 145-46, 152, 159) .
  5. Цитата Национального исследовательского совета: Battista, 1999, p.427.
  6. Резник, 1987, стр. 14.
  7. Brownell, 1932, стр. 10. Он добавил: если арифметика каким-то образом становится «значимой, она становится таковой, несмотря на упражнения» (стр. 12).
  8. Putnam et al., 1990, стр. 85.
  9. Этот пример из реальной жизни взят от Пола Кобба через Гарднера, 1991, с. 164.
  10. Этот пример из книги Макса Вертхаймера Productive Thinking цитируется в Schoenfeld, p. 148.
  11. Камий, 1994, с. 36-40.
  12. Цитируется по Schoenfeld, p.150, среди других мест. Другой пример: поразительное количество маленьких детей, обучаемых в традиционных классах, дают ответ «36» на вопрос «На корабле 26 овец и 10 коз. Сколько лет капитану? » (Камий, 1989, с. 160).
  13. Dossey et al., 1988, стр. 67, 54.
  14. Поскольку по-настоящему одаренные студенты обычно быстро изучают символьные алгоритмы, кажется, что у них все хорошо, когда их успеваемость измеряется стандартными математическими тестами. Но более пристальный взгляд показывает, что и на них сильно влияет неправильное обучение математике в традиционных учебных программах.. . [заканчивая изучением, которое] только поверхностное »(Баттиста, стр. 426).
  15. Kamii (например, 1994, стр. 43, 46) особенно убедителен в этом отношении.
  16. Putnam et al., 1990, стр. 96.
  17. Джексон, 1997, стр. I: 1.
  18. Камий, 1985б, с. 3. Примеры случайных событий, которые могут дать возможность детям первого, второго и третьего классов задуматься о числовых концепциях, см. Kamii, 1985b, pp. 123-35; 1989, стр. 91–97; and 1994, pp. 92-98.Как и некоторые другие конструктивисты, Камии также клянется, что использует определенные игры — например, игры в кости или игровые деньги — в учебных целях. Однако все рассматриваемые игры являются соревновательными, что свидетельствует как об отсутствии знакомства с кооперативными играми (где часто требуются одни и те же числовые навыки), так и о недостатке восприимчивости к социальным и психологическим недостаткам противопоставления детей друг другу (см. , 1992а).
  19. Джозеф Кан из Университета Иллинойса в Чикаго подчеркивает это.Как правило, утверждает он, родители «не волнуются по поводу Whole Language, потому что знают, что их дети будут читать; их навыки грамотности не подвергаются угрозе »(личное сообщение, 1997). Тем не менее, это может недооценивать степень, в которой Whole Language отличается от школьного опыта большинства людей. Один писатель отмечает: «К сожалению, многие родители не вспоминают, что им давали возможность читать« настоящие книги »в их начальных классах, если (как в моем случае) это не было после того, как вся их« работа »была сделана.Таким образом, атаки на язык в целом, которые сосредоточены на литературе, частично проистекают из дискомфорта родителей по поводу того, что школьный опыт их детей не похож на их собственный »(Brinkley, 1998, p. 59). И это от другого писателя: «Когда вы убираете два школьных ритуала, которые понимают родители — математические факты и проверки правописания, — вы напугаете их до смерти» (Оганян, 1996a, с. 9).
  20. Урок стиральной машины описан в Brooks and Brooks, 1993, pp. 73-75. Урок жевательной резинки использовался Пэм Хайд и появился в Zemelman et al., 1998, pp. 85. Проблема дроби исходит от Джой Донлин и описана в Willis and Checkley, 1996, p. 7. Идея о том, чтобы студенты писали учебник, приписывается Биллу Эласки изданием Wood, 1992, p. 140.
  21. Кахраманидис, 1988.
  22. Piaget, 1973, стр. 106.
  23. Камий, 1985б, с. 46. ​​
  24. Другая, более практическая причина для того, чтобы задать тот же вопрос о правильном ответе, состоит в том, что в противном случае дети просто предположат: «Как вы это получили?» — это код учителя для слова «Нет, попробуйте еще раз.”
  25. Kamii, 1985b, pp. 25, 36. Ее конструктивистские предпосылки побудили Kamii предложить лишь частичное одобрение стандартов NCTM. Она утверждает, что, несмотря на акцент на более глубоком понимании математических истин, стандарты по-прежнему отражают эмпирическое представление о том, что эти истины имеют реальность, полностью независимую от знающего. Кроме того, хотя сотрудничество между студентами рекомендуется, Камии считает, что стандарты не отражают конструктивистское понимание необходимости понимания через разрешение конфликта между разрозненными идеями (см. Kamii, 1989, стр.59-62).
  26. Это было сделано Brownell, 1928, pp. 199, 208-9; а также Джин Лав, процитированный в Brown et al., 1989, p. 36. К сожалению, в этой ситуации учащимся не предлагается (со стороны учителя или других учеников) должным образом переосмыслить и улучшить свои первоначальные идеи, поэтому они, вероятно, не будут учиться так эффективно, как в нетрадиционном классе.
  27. Лестер, 1996, стр. 146-52. Описание другого учителя того, как и насколько хорошо работает этот подход, см. В Strachota, 1996, гл.3.
  28. Камий, 1994, с. 67.
  29. Не каждый преподаватель математики согласен с тем, что детям младших классов вообще не следует давать алгоритмы, но Камии приводит веские аргументы в пользу этой позиции. Роб Мэделл (1985, с. 20) также рекомендует не преподавать алгоритмы до конца третьего класса и не вводить общепринятые процедуры для работы с дробями до шестого класса (даже если учащиеся будут интенсивно изучать дроби не менее двух лет. до этого).
  30. Hirsch, 1996, стр.83.
  31. «Однако исследования показали, что большинство детей думают, что 1 из 16 означает один, до третьего или четвертого класса» (Kamii, 1989, стр. 15). «Даже в четвертых и пятых классах только половина опрошенных учеников продемонстрировала хорошее понимание отдельных цифр в двузначных числах» (Росс, 1989, стр. 50).
  32. Выготский, 1978, с. 84.
  33. Рассказ Линды Джозеф появляется в Kamii, 1989, p. 156. Почти идентичное свидетельство другого учителя — «Я преподавал все это время [пятнадцать лет] и никогда не знал, что второклассники так много разбираются в математике» — цитируется в другом обсуждении того, что значит стать учителем. учитель математики-конструктивист (Wood et al., 1991, с. 601).
  34. Кац, 1993, стр. 31. См. Также Katz and Chard, 1989, стр. 4-5.
  35. См. Stigler and Hiebert, 1997; и Lawton, 1997. Другие различия между обучением в США и Японии также могут влиять на результаты. Японские учителя регулярно встречаются в небольших группах, чтобы вместе оценить свое обучение и улучшить свое мастерство (Стиглер и Хиберт, стр. 20). Кроме того, Япония, как и многие другие страны, не отслеживает учащихся по предполагаемым способностям (Schmidt et al., 1998).
  36. Schmidt et al., 1998, стр. 10, 15, 18, 25-6.
  37. Портер, 1989, стр. 11.
  38. Мэтьюз, 1998b. В отчете, подготовленном Гарольдом Венглински из Службы образовательного тестирования, также обнаружено, что дети афроамериканского происхождения с особой вероятностью будут использовать компьютеры для обучения и повышения квалификации. И снова подход к обучению, основанный на принципах «возврата к основам», непропорционально используется для цветных детей — в ущерб им.
  39. Carpenter et al., 1989. Цитаты приведены на стр.525, 527.
  40. Hiebert and Wearne, 1993.
  41. Саймон и Шифтер, 1993.
  42. Кэмпбелл, 1996.
  43. Yackel et al., 1991.
  44. Cobb et al., 1991.
  45. Cobb et al., 1992.
  46. Wood and Sellers, 1996, 1997.
  47. Камий, 1989, с. 158-78.
  48. Камий, 1994, с. 205.
  49. Линда Джозеф, цитируется по Kamii, 1989, p. 155.
  50. Cobb et al., 1989, стр. 137, 139, 144.

Стандарт 7: Ищите и используйте структуру

Связь с практикой в ​​классе

1 класс

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.Молодые студенты, например, могут заметить, что еще три и семь — это столько же, сколько еще семь и три, или они могут отсортировать набор фигур в зависимости от того, сколько сторон у этих фигур.

Лиз О’Нил работает со своими первоклассниками, вовлекая их в составление и разложение чисел в пределах двадцати, уделяя особое внимание способам объединения чисел в другие числа. Она начинает с того, что ученики переименовывают «целевое» число в своей книге математических сообщений как можно большим количеством способов.Затем им дается 2-секундный быстрый просмотр 3-х десяти кадров и просят определить это число (23) мысленно. Используя фреймы предложений, учащиеся рассказывают своему партнеру, какое число они видели и как они его видели. После того, как каждый имел возможность поделиться со своим партнером, вся группа обсудила различные способы. Основным занятием урока является игра «Сколько скрываются?» Студенческим парам был вручен пакет с 10 кубиками, бумажная тарелка и «Лист записи о том, сколько человек скрывается». Кроме того, на доске были вывешены рамки предложений, чтобы студенты могли использовать академический язык, используя структурированный студенческий разговор, и убеждать своих партнеров устным обоснованием.Один из партнеров берет несколько кубиков и «прячет» их под тарелкой. Остальные кладем сверху. Второй партнер использует фреймы предложений, чтобы ответить на вопросы «Какое число вы видите?», «Сколько человек прячется?», «Откуда вы знаете, что __ прячутся»? Кроме того, ответы записываются. Затем роли меняются местами. Партнерская игра дает студентам возможность попрактиковаться в составлении и разложении чисел в пределах десяти.

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(части 1-4)

3 класс

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Ученики 3-го класса Мии Бульян отстаивают свое мышление в числовой беседе. Студенты работают с Бульяном, чтобы объединить идеи «перехода от сложения, сложения, сложения, сложения, сложения к размышлениям об умножении». Бульян соединяет и противопоставляет подходы двух студентов, чтобы помочь выявить различные модели для решения проблем.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы.

После того, как ее ученики 3-го класса индивидуально поработают над различными проблемами, Бульян предлагает своим ученикам определить на доске карточку, которая представляет проблему, над которой они работали.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

4 класс

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру. Молодые студенты, например, могут заметить, что еще три и семь — это столько же, сколько еще семь и три, или они могут отсортировать набор фигур в зависимости от того, сколько сторон у этих фигур.

Бекка Шерман работает с учениками 4-го класса в «числовой беседе», чтобы связать основные компоненты Сингапурской гистограммы с оригинальным мышлением учеников, таким образом, предварительно загружая учеников несколькими приложениями гистограммы как представления равных частей. В задаче исследования слова «три раза» становятся проблемой деления или проблемой пропущенного фактора. Промежуточный этап рисования «математической картины» или модели задачи представляет собой проблему для многих студентов, которые ограниченно знакомы с моделями.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Во второй день учебного сегмента ученики Мишель Макинсон возвращаются к своим вводным словам и листам для обсуждения. Они изучают свою работу в поисках набора карточек, которым они сопоставили особенно веское обоснование, которое они могут «защитить на уровне спасения планеты». Затем пары делятся своими обоснованиями со всем классом, и Мишель призывает своих учеников точно общаться и оценивать свои собственные оправдания.Она использует стратегию «повернуться и поговорить», чтобы генерировать предложения по повышению ясности обоснования. Она моделирует академический язык: «Есть ли у кого-нибудь другая стратегия усиления обоснования?» Учащиеся рассматривают свои собственные карточки обоснования для внесения улучшений: «Все ли доказательства, которые вам нужны? Если нет, добавьте его ». К этому же зажиму относится и стандарт 6 (уделите внимание точности).

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Мишель Макинсон представляет новую карточку, контекстное или словесное представление проблемы. Она начинает с того, что ученики создают визуальное представление, соответствующее контекстуализированному представлению, и словесное представление, определяющее математические величины. Она подчеркивает важность дискуссии между учениками, подтверждающей совпадение карточек. Она ходит по классу, вовлекая пары в обсуждение их обсуждения и их представлений.Учащиеся используют петли на обратной стороне карточек, чтобы при необходимости переставлять их. Она объясняет важность того, чтобы студенты обсуждали и обсуждали свои представления. Они участвуют в выявлении паттернов, структур и связей между репрезентациями.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Учащиеся продолжают создавать наборы карточек, которые соответствуют друг другу (зеленый: набор или модель области, белый: словесное представление, темно-синий: контекстная / словесная проблема, желтый: обоснование).Мишель Макинсон просит пары объяснить связи между картами. Она бросает вызов студентов упорствовать в борется со сценарием работы с 22/12. Класс работает с неполными наборами из 12 и неполными целыми, признавая, что учащиеся стремятся установить связи с реальной жизнью и не понимают, как неправильная дробь работает в действительности. Учащиеся создают связи между представлениями на основе своих наблюдений за образцами и структурами. К этому же зажиму относится и стандарт 6 (уделите внимание точности).

Смотрите это видео в контексте всего урока.

5 класс

Учащиеся со знанием математики… внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Эрика Исомура начинает свой урок с вовлечения учеников 4–5 классов в разговор о терминах «целое» и «часть», активизируя их предыдущие знания о работе с проблемами «цепочки» наставника, прося учеников определить части и целые в каждой из них. сценарий.

Затем ее ученики работают над новыми задачами, сортируя и описывая различия и сходства между новыми задачами и теми, которые они выполняли раньше:

«Похожа ли какая-либо из этих проблем на проблему Иисуса, когда он уже знает свои части или свои части, но ему нужна вся сумма? И какая из этих проблем похожа на проблему Камилы, где ей нужны части, потому что у нее уже есть целое? »

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(Часть урока 1)

Учащиеся со знанием математики… внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Пока ее ученики 4-го и 5-го классов работают над описанием и классификацией своих проблем, определяя, какие из них больше похожи на проблему Иисуса (умножение дробных величин), а какие — на проблему Камилы (нахождение доли от целого), Эрика Исомура ходит вокруг в классе, задавая им вопросы и исследуя их понимание. Две задачи, которые она дала своим ученикам, не имеют визуального представления; она предлагает своим ученикам создавать рисунки этих задач, если это будет полезно в их процессе.

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(часть урока 2A)

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Мишель Киус работает со своими учениками 5-го класса над пониманием множественных представлений смешанных чисел. В этом ролике пара учеников подводит итоги своей репрезентации, замечая, что 6/12 — это то же самое, что ½.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы.

Мишель Киус работает со своими учениками 5-го класса над пониманием множественных представлений смешанных чисел. В этом ролике она признает, что некоторые пары студентов, возможно, изменили свои подходы в результате разговоров, и призывает их отмечать эти изменения в своих документах для совместного использования.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру….Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы.

Ученики Эрики Исомуры продолжают парную работу над задачами, защищая свои мысли друг перед другом. Они используют корни предложений, которые дала им Эрика (например, «Я думаю ____, потому что» «Это проще для нашего мозга, потому что ______», «Что ты думаешь?» «Как ты относишься к этой проблеме?» «Я». знал, что это был этот ответ, потому что думал о нулях »).

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(День 1, урок, часть C)

Учащиеся с математическими навыками внимательно присматриваются, чтобы различить образец или структуру…. Они также могут отступить, чтобы сделать обзор и изменить перспективу.

Во второй день этого учебного сегмента Эрика Исомура начинает с числового разговора со своими учениками 5-го класса, замечая, как и почему делители становятся меньше.

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(День 2, Урок, часть A)

Учащиеся со знанием математики… также могут сделать шаг назад, чтобы сделать обзор и сменить точку зрения.

Ученики 5-го класса Эрики Исомуры работают в парах, классифицируя, сортируя и склеивая десятичные представления в числовом порядке. Эрика предлагает своим ученикам объяснять и защищать свое мышление. Этот клип также относится к стандарту 3 (построение жизнеспособных аргументов и критика рассуждений других).

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(День 2, Урок, Часть B)

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру….Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы.

Ученики 5-го класса Эрики Исомуры продолжают работать в парах, классифицируя, сортируя и склеивая десятичные представления в числовом порядке. Эрика ходит по классу, побуждая учеников делиться своими мыслями. Она говорит одной паре: «Это может быть наш прототип. Это наш тестовый прогон. Мы как бы над этим работаем, думаем. После того, как у нас появятся новые идеи и, возможно, мы лучше поймем, что делаем, мы всегда можем вернуться к этому.Хорошо?» Этот клип также относится к стандарту 3 (построение жизнеспособных аргументов и критика рассуждений других) и стандарту 6 (внимание к точности).

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(День 2, Урок, Часть D)

Учащиеся со знанием математики … могут видеть сложные вещи … как отдельные объекты или состоящие из нескольких объектов.

Ученики 5-го класса Эрики Исомуры продолжают работать в парах, классифицируя, сортируя и склеивая десятичные представления в числовом порядке.Эрика предлагает своим ученикам сравнить свою работу с их работой на предмет предшествующих исследований и других проблем. Она напоминает каждому партнеру, чтобы они вносили равный вклад в парную работу. Она спрашивает: «Как ты это понял? Можете показать мне это на картинке или с цифрами? » Она призывает партнеров внести свой вклад в совместную работу их пары: «Убедитесь, что он вам это доказывает. Не позволяй ему просто говорить об этом ». Когда партнеры заканчивают свою работу, Эрика предлагает им совершить «прогулку по галерее» работ других партнеров, чтобы проверить и сравнить их работу.Этот клип также относится к стандарту 1 (разбираться в проблемах и настойчиво их решать), стандарту 3 (составлять жизнеспособные аргументы и критиковать рассуждения других) и стандарту 6 (уделять внимание точности).

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(День 2, Часть E)

5-6 классы

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру. Молодые студенты, например, могут заметить, что еще три и семь — это столько же, сколько еще семь и три, или они могут отсортировать набор фигур в зависимости от того, сколько сторон у этих фигур.Позже учащиеся увидят, что 7 × 8 равно хорошо запоминающимся 7 × 5 + 7 × 3, при подготовке к изучению свойства распределения.

В завершающей части разговора с числами Фрэн Дикинсон работает со своими учениками 5-6 классов, чтобы определить множество различных способов представления правила: x3 — 3, умножить на 3 минус 3, 3x — 3. Учащиеся обсуждают правило и лучший способ изобразить это, установив связи со своим учебником математики в их беседах. Этот клип также свидетельствует о стандарте 3 (построение жизнеспособных аргументов и критика рассуждений других), стандарте 6 (внимание к точности) и стандарте 8 (ищите и выражайте регулярность в повторяющихся рассуждениях).

Смотрите это видео в контексте всего урока.

8 класс

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Антуанетта Вильярэн начинает свой урок построения графиков постоянных темпов изменения, рассматривая цели обучения и математические методы, называя «Стандарты математической практики 1, 3, 6 и 7». Она отмечает, что важно, чтобы ее ученики понимали, как строить математические методы. аргумент, и она делится фреймами предложений и ключевой лексикой, которую студенты будут использовать при построении своих аргументов.

Антуанетта представляет модель двух бутылок, прикрепленных друг к другу, так что жидкость может течь между ними, и просит своих учеников разобраться в проблеме, описывая происходящее.

Студенты рассказывают, что по мере уменьшения количества жидкости в верхнем контейнере / призме количество жидкости в нижнем контейнере / призме увеличивается.

Этот клип также относится к стандарту 1 (разбираться в проблемах и настойчиво их решать), стандарту 3 (составлять жизнеспособные аргументы и критиковать рассуждения других), стандарту 4 (модель с математикой) и стандарту 6 (уделять внимание точности). .

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Антуанетта Вилларен просит пары учеников поделиться своими обсуждениями со всей группой. Она моделирует академический язык — ограничения, скорость изменений, начальную ценность, начальную ситуацию — которые, как она ожидает, будут использовать ее ученики.

После того, как пара учеников поделится информацией, Антуанетта просит большую группу добавить дополнительные детали, которые помогли бы им определить совпадающую пару графиков, показывающих поток жидкости между данной парой контейнеров.

Антуанетта обращается к своей якорной таблице лексики урока и рамок предложений, которые, как она ожидает, будут использовать учащиеся, а также называет и усиливает использование учащимися академического языка.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

9–10 классы

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Кэти Хамфрис ведет расширенное исследование доказательства свойств четырехугольника, помогая студентам научиться исследовать, формулировать, предполагать, обосновывать и в конечном итоге доказывать математические теоремы.В этих клипах студенты участвуют в первом из двух блочных исследований своих доказательств. Хамфрис замечает: «Квадрат, прямоугольник и ромб казались ученикам наиболее простыми. Математически, если две диагонали образуют прямые углы, то по крайней мере пара сторон четырехугольника будет одинаковой длины. Если диагонали пересекаются в середине обеих диагоналей, то образованная фигура будет неким параллелограммом. Для того, чтобы две диагонали образовали трапецию, не равнобедренную, должны выполняться следующие соотношения: если AB — одна диагональ, а DE — другая диагональ, то трапеция ADBE образуется только в том случае, если диагонали пересекаются в точке P, которая не является средняя точка и AP / PB = DP / PE.Студентам было довольно сложно исследовать и заключить эти отношения. Студенты не выбрали измерение диагоналей линейками и поэтому не усвоили пропорциональные аспекты диагоналей неравнобедренной трапеции ». Этот клип также свидетельствует о стандарте 1 (разбираться в проблемах и настойчиво их решать), стандарте 3 (составлять жизнеспособные аргументы и критиковать рассуждения других) и стандарте 6 (уделять внимание точности).

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(части A – D)

Посмотрите, как компетенции SEL и математические практики работают вместе в этом классе.
(Описание идеального класса, приложение)

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Завершая групповую работу в первый день, Хамфрис отсылает своих учеников к идее «друзей-математиков». Это понятие пришло из книги «Математическое мышление» Бертона и Мейсона, посвященной решению математических задач, в которой авторы говорят об иерархии достоверности при попытке написать убедительный аргумент.Убедите себя (самый простой способ), убедите друга [математика] и, наконец, убедите скептика. Скептическое мышление и отказ от поспешных выводов — еще одна отличительная черта хорошего математического мышления. Хамфрис просит встретиться со студентами, которые играют роль «фасилитаторов» в своих группах, чтобы обеспечить соблюдение структуры аргументации Бертона и Мейсона. Этот клип также свидетельствует о стандарте 3 (построение жизнеспособных аргументов и критика рассуждений других), стандарте 6 (внимание к точности) и стандарте 8 (ищите и выражайте регулярность в повторяющихся рассуждениях).

Смотрите это видео в контексте всего урока.

9–12 классы

Математически опытные учащиеся внимательно смотрят, чтобы различить узор или структуру … Они осознают значение существующей линии в геометрической фигуре и могут использовать стратегию рисования вспомогательной линии для решения задач. Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы.

Карлос Кабана работает со своими учениками средней школы, изучающими английский язык, над алгебраическими рассуждениями и множественными представлениями вокруг парабол.В этом клипе его ученики работают вместе в группе, разъясняя процесс и мышление друг друга. Ученицы объясняют ученикам точные шаги. Они обсуждают, как использовать пересечения по осям x и y для поддержки своего процесса. Они отступают и спрашивают себя, чего они ищут в своей работе.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

5 причин преподавать математическое моделирование

Когда одна из моих дочерей училась в старшей школе, ученица математического класса встала с отвращением и воскликнула: «Почему мы должны изучать математику в течение 12 лет, если мы никогда не будем использовать ее? этого? » Вы можете подумать, что меня как преподавателя математики расстроило бы это утверждение.Вместо этого вопрос студентки заставил меня задуматься о том факте, что она не видела связи между математикой и своим будущим, хотя ее учебная программа была полна задач по рассказам, которые в то время я бы назвал «задачами реального мира». Каждый математик, наверное, сталкивался с признанием «я не люблю математику». Выберите любой предмет, и вы, вероятно, найдете кого-то, кто его не любит или не хочет его практиковать. Но когда я разговаривал с незнакомцами о своем опыте преподавания английского языка, магазинов, истории и физического воспитания, я редко (если вообще когда-либо) сталкивался с отрицательной реакцией.Поскольку математика может быть дорогой ко многим карьерам, кажется, что эту проблему важно решить.

Математика в чистом виде обладает невероятной силой и красотой. Новая математика — ключ к инновациям в большинстве областей науки, технологий, инженерии и математики (STEM). Часто в то время, когда изобретают новую математику, мы еще не знаем, как она соотносится с другими идеями и влияет на мир. Разработчики математических моделей используют идеи из математики (а также вычислительные алгоритмы и методы из статистики и исследования операций) для решения больших, беспорядочных, реальных проблем.Модели часто оптимизируют ограниченный ресурс, такой как время, деньги, энергия, расстояние, безопасность или здоровье. Но вместо того, чтобы найти идеальный ответ, решения «достаточно хороши» для реальных требований. Эти проблемы могут быть мотивацией для студентов-математиков, которые могут относиться к математике, которая решает важные для них задачи.

Для решения проблем моделирования математики делают предположения, выбирают математический подход, получают решение, оценивают решение на предмет полезности и точности, а затем переделывают и корректируют модель по мере необходимости, пока она не обеспечит точное и достаточно предсказуемое понимание ситуации.Изложение модели и ее последствий в ясной и убедительной форме может иметь такое же важное значение для успеха модели, как и само решение. Математическим моделированием могут заниматься даже очень молодые студенты. Например, вы можете спросить учащихся любого возраста, как решить, какую пищу выбрать в кафетерии, а затем математизировать этот процесс принятия решения, выбрав, какие характеристики пищи важны, а затем оценив продукты в кафетерии по этим стандартам. Национальный совет учителей математики (NCTM) обеспечивает руководство в разъяснении учителям, ученикам и родителям того, как математическое моделирование выглядит на уровнях K – 12.В выпуске журнала NCTM «Преподавание математики в средней школе » за 2015 год будет рассказано о математическом моделировании, а в «Ежегодных перспективах математического образования » за 2016 год также будет уделено внимание этой теме.

Как математическое моделирование может улучшить математический опыт таких учеников, как ученик моей дочери?

Школьная математика часто представлена ​​как набор шагов, которые нужно выполнять в определенном порядке. Студенты могут выполнять процедуры, не понимая (и, возможно, не заботясь о понимании), как связаны эти шаги и почему они работают.Тогда они могут справедливо рассматривать это действие без понимания как бесполезный навык, хотя правильное применение процедур может привести к успеху во многих стандартизированных тестах, разработанных для получения предсказуемых, стандартных и простых для оценки ответов. Напротив, проблемы математического моделирования большие, беспорядочные, реальные и неограниченные. При моделировании учащиеся должны сделать правильный выбор в отношении того, что является важным, решить, какую математику применить, и определить, полезно ли их решение. Моделирование дает учащимся возможность развивать и практиковать математические навыки, а затем сообщать о своем понимании и интерпретации проблемы.

Когда люди говорят, что им не нравится математика, я представляю, как они смотрят на лист бумаги с множеством X-меток на всей их работе. Подумайте о том, как мы оцениваем школьную математику: задачи в учебниках содержат правильную методологию, а руководства по решениям содержат правильные ответы. Задачи предназначены для облегчения выставления оценок, что может снизить внимание к творчеству, элегантности, эффективности и общению. Вместо этого задачи математического моделирования требуют ответов, которые не только используют правильные математические аргументы, но и имеют смысл в контексте.Хорошие модели обеспечивают убедительные приближения к решениям, которые нельзя точно найти, потому что проблема сложная, открытая и запутанная. Вы можете ознакомиться с примерами задач математического моделирования на Moody’s Mega Math Challenge или по моделированию . Конечно, одни модели лучше других, и обоснование решения является важным аспектом процесса.

То, как ученики обычно изучают математику в школе, не похоже на то, как это делает математик, или на то, как это практикуется в других областях, таких как бизнес, наука, вычисления и инженерия.Проблемы, которые задают неинтересные вопросы о реальных вещах, таких как яблоки, не улучшают ситуацию. Многие люди спрашивали меня: действительно ли нужно открыть для себя какую-нибудь новую математику? Информация в учебниках редко намекает на интересные вопросы, на которые нет ответов (например, Задачи тысячелетия ). Помимо интересных абстрактных вопросов, задачи математического моделирования обычно носят практический характер. Они касаются вопросов, которые нужно понять, или решений, которые нужно принять, например, когда лекарство достаточно безопасно и эффективно, чтобы сделать его доступным для широкой публики.Моделирование делает математику актуальной для решения реальных жизненных проблем.

Когда люди говорят вам, что они плохо разбираются в математике, они часто вспоминают момент, когда они уперлись в стену и сдались. Они вспоминают класс, учителя или тест и увековечивают идею о том, что если вы наткнетесь на стену в математике, у вас ничего не получится. Эта идея подкрепляется тем фактом, что в школе вам нужно выучить определенные идеи за определенный период времени, иначе вы проиграете. Но вот правда: каждый математик, даже если его называют гением, в какой-то момент наталкивается на стену.Иногда мы зацикливаемся на проблеме на долгие годы. Когда мы упираемся в стену, мы должны тренироваться усерднее и дольше. Мы получаем больше инструментов и информации. Общаемся с коллегами. И, как спортсмен, который промахивается или проигрывает игру, мы добиваемся успеха только в том случае, если пробуем новые стратегии и не сдаемся. Открытый характер задач математического моделирования может позволить студентам использовать математические инструменты, которые они предпочитают, а также практические навыки, которые им необходимо закрепить. Тот факт, что сам процесс включает в себя итерацию (оценку и переработку модели), ясно указывает на то, что прямой путь к успеху маловероятен.

Я бы сразу же потерял термин «гений», но если нам придется его использовать, вот как я его вижу. Гений — это тот, чей мозг щекочут и восхищают определенные идеи. Гений склонен думать об этих идеях гораздо больше, чем большинство других людей, и эта настойчивость позволяет им иногда думать об этих идеях по-новому. Они целеустремленные, творческие, трудолюбивые нарушители правил, которые ставят свою работу выше других занятий. Их работа признана исключительной и новаторской. Моя проблема с этим термином исходит из стереотипа гения (кто вам приходит на ум?).Предположения о характеристиках гения могут оказать негативное влияние на тех, кто не соответствует шаблону, с точки зрения признания их работы, приписывания своего успеха сообразительности (а также тяжелой работы) и их собственной борьбы с Самозванец . Гении считаются людьми, которым не нужна помощь или сотрудничество для достижения успеха. Но правда в том, что мы, математики, часто работаем с другими людьми и ведем социальную жизнь, как и все остальные. Те из нас, кто работает в одиночку, все еще читают и развивают идеи других.Реальные задачи математического моделирования настолько велики и запутаны, что для решения проблемы в разумно короткие сроки почти всегда полезен командный подход. Проблемы многогранны и открыты для различных подходов, поэтому учащиеся могут внести свой вклад в развитие своей команды, одновременно изучая подходы, применяемые другими. Каждый может помочь укрепить решение и общение.

Учителя математики работают над тем, чтобы математическое моделирование стало регулярной частью школьной программы по математике.Мы меняем наш взгляд на то, что можно назвать интересной «реальной проблемой». Как модельеры, студенты будут решать проблемы, важные для них и общества. Они будут решать, какая информация имеет отношение к делу, делать разумные приближения, разумно использовать соответствующие математические инструменты и сообщать четкие и убедительные результаты. В модельных командах учащиеся будут настойчиво преодолевать трудности и удивлять всех нас тем, как они могут использовать математику для улучшения мира. Я с нетерпением жду будущего, в котором я представлюсь математиком, и вместо того, чтобы говорить что-то негативное (или что-то о том, чем я отличаюсь от них и умнее их), люди рассказывают мне об интересной проблеме, которую они когда-то решали.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *