Математика 5 класс перспектива учебник ответы: Номер (задание) 39 — гдз по математике 5 класс Дорофеев, Шарыгин

4.2.4. Практическое обучение как универсальная образовательная концепция

Мотивация преподавателей математики возникает в результате знакомства с новым опытом практического обучения. В настоящее время зарегистрировано много сотен обучающих проектов, охватывающих широкий круг тем. Кроме того, всегда происходит обучение тонким действиям, которое никогда не документируется. Из тех проектов, которые доступны в Журнале бакалавриата по математическому моделированию: один + два (UJMM) [44], очевидно, что практически во всех областях можно использовать практическое обучение.Есть проекты, посвященные очень специфическим отраслям инженерии, например, биомедицинским нанотехнологиям. Есть также много других проектов, помимо «собственно инженерной мысли», например, связанных с музыкой или даже образованием. Другие — это кросс-полевые типы, которые не поддаются четкой категоризации. Типы мостов часто представляют особый интерес. Это мотивирует преподавателей увидеть, что входит в смесь и какие области могут быть связаны посредством практического обучения. Это междисциплинарные особенности, желательные для всех учебных программ (в «вселенной учебных программ», то есть в образовании).Некоторые подробности доступны на главном веб-сайте Mathematics Umbrella Group (см. Центр промышленной и междисциплинарной математики). В журнале представлена ​​избранная подгруппа из более чем 2400 студенческих проектов, представленных с 2000 года. Признак разнообразия тематики проектов и участников студенческих работ очевиден из разнообразия тем, рассматриваемых в последних изданиях UJMM ([44], v. , 1-2): «Применение простых гармоник для моделирования толчка» Кая Раймонда, «Силы, действующие на парусник» Келли Стукбауэр, «Оптимизация топливного элемента» Эдуардо Гинеса, «Анализ осадков в Тампе» Эми Полен, «Аппроксимация площади поверхности колеблющихся липидных листочков с использованием взвешенной сеточной мозаики» Анаф Сиддики, «Рудиментарная модель реакции глюкозы на стресс» Нашей Риос-Гусман, «Органический сельскохозяйственный анализ: эффективность общепринятой практики» Брэдли Биега, «Использование Баланс скорости энтропии для определения теплопередачи и работы во внутренне обратимом, политрофическом, установившемся процессе потока »Саванна Гриффин,« Модельная функция улучшения мирового рекорда женщин на 1500 м с течением времени »Энни Аллмарк , «Максимальная мощность солнечного модуля из поликристаллического кремния» Джейнил Патель, «Оптимизация реакции сдвига водяного газа» Али Албулуши и «Волны цунами» Саманты Пеннино.

Помимо множества опубликованных проектов бакалавриата, существуют «сценарии практического обучения», которые можно рассматривать как совокупность различных практических занятий. Этот смешанный опыт имеет несколько идеалистических проблем. Проблемы можно считать типичными для того, что может рассматриваться в проекте , а не реальными примерами. Эти сценарии мотивируют преподавателя математики включать практическое обучение в обычный теоретический курс.Этим опытом, вероятно, поделятся любые преподаватели математики, занимающие аналогичные должности в математическом образовании. Непосредственной мотивацией здесь является расширение нашего понимания взаимосвязи между теорией математики и решением актуальных проблем в реальном мире.

5. Мотивирующие вопросы как основное средство изучения математики

5.1. Вопросы как орудия обучения

Вопросы обычно становятся более сложными по мере взросления учащихся.Преподаватели на всех уровнях математического образования используют знания и опыт, чтобы ответить на вопросы. Желательны конкретные и уверенные ответы, при этом иногда (как правило, на более высоких уровнях) вопросы могут потребовать дополнительных размышлений перед их изложением. В контексте постановки проблем и их решения важно различать два типа вопросов, которые могут быть сформулированы так, чтобы стать проблемой: вопросы, требующие информации, и вопросы, требующие объяснения полученной информации [60].Подобно двум типам знаков — символам первого порядка и символике второго порядка [61] — можно относиться к вопросам, ищущим информацию, как к вопросам первого порядка, а к тем, требующим объяснения, как к вопросам второго порядка [46]. В то время как на вопросы первого порядка можно ответить, используя разные методы, похоже, что не все методы могут быть использованы для объяснения того, что было получено при поиске информации, то есть для предоставления ответа на вопрос второго порядка. Часто просьба о объяснении является разумным размышлением о методе предоставления информации.

Что означает, что учителя должны обладать «глубоким пониманием» математики? Зачем им нужно такое понимание? У будущих учителей есть несколько причин, по которым они должны быть тщательно подготовлены к математике, чтобы иметь положительное влияние на успеваемость молодых изучающих математику. Во-первых, в современном классе математики ожидается, что ученики всех возрастов будут задавать вопросы, и их даже поощряют. В Соединенных Штатах национальные стандарты уже для классов до K-2 предполагают, что «необходимо воспитывать естественную склонность учащихся задавать вопросы… [даже] когда ответы не сразу очевидны» ([19], с.109). Это предложение подтверждается следующим комментарием кандидата в учителя начальной школы: «Не зная ответа на вопрос — это нормально, но нельзя оставлять этот вопрос без ответа». Кандидат описывает себя как «тот педагог, который всегда будет побуждать моих учеников задавать себе одни и те же вопросы, которые позволят им участвовать в глубоком размышлении».

5.2. Международный характер обучения с помощью вопросов

На границе с США министерство образования Онтарио в Канаде в рамках своей учебной программы по математике для младших классов ожидает, что учителя будут иметь возможность «задавать учащимся открытые вопросы … поощряйте студентов задавать себе подобные вопросы… [и] моделируйте способы, которыми можно ответить на различные вопросы »([62], с.17). Для развития такого мастерства «учителя должны знать способы использования математических рисунков, диаграмм, материалов для манипуляций и других инструментов для освещения, обсуждения и объяснения математических идей и процедур» ([63], с. 33). В Чили учителя математики должны «использовать представления, опираться на предварительные знания, задавать хорошие вопросы и стимулировать любознательное отношение и рассуждение учащихся» ([64], с. 37). В Австралии учителя математики знают, как мотивировать «любопытство, бросить вызов мышлению учащихся, обсудить математический смысл и моделировать математическое мышление и рассуждения» ([65], с.4). Репертуар возможностей обучения, которые преподаватели предлагают своим ученикам, включает постоянный поиск альтернативных подходов к решению проблем, а также помощь ученикам в изучении конкретной стратегии решения проблем, с которой они боролись. В национальной учебной программе по математике в Англии используются такие термины, как «практика со все более сложными задачами с течением времени… [и] может решать задачи… с возрастающей степенью сложности» ([66], стр. 1). С этой целью учителя должны быть готовы иметь дело с ситуациями, когда естественный поиск вопросов приводит учащихся к этой изощренности и усложнению математических идей.Необходимость такой подготовки учителей подтверждается кандидатом в учителя, который сформулировал это следующим образом: «Если ученик спрашивает, почему, а учитель не может объяснить, как что-то произошло, ученик теряет всякую веру и интерес к предмету и уважение к учителю ».

На уровне бакалавриата часто обсуждаются вопросы второго порядка. Преподаватели математики знают, что такие вопросы могут быть полезны для стимулирования дальнейших исследований. Возможно, правда, что математика, с которой приходится сталкиваться на уровне начальной и средней школы, должна быть безупречно понята преподавателями математики и что учащиеся могут быть «уверены» в том, что им преподают.Когда мы начинаем заниматься, скажем, теорией множеств или двумерной / трехмерной геометрией, могут быть загадочные результаты, которые действительно побуждают учащихся задуматься об изучении высшей математики. Любопытство математики — это то, что учащиеся, вероятно, сочтут привлекательным. Конечно, преподавателю математики полезно иметь глубокое понимание темы; однако в ответе могут быть детали, которые не поддаются немедленному описанию. В некоторых редких случаях ответ даже не доступен. Ожидается, что зрелость студентов позволит им признать, что на более высоких уровнях математики они не должны терять веру и уважение к преподавателю, если объяснение откладывается.На более ранних этапах математического образования учащиеся верят, что математика идеальна. Однако математика так же несовершенна, как и все остальное, изобретенное людьми. Студенты должны это знать.

6. Компьютерная сигнатурная педагогика и модель обучения и преподавания 3P

Любопытство и мотивация также могут поддерживаться использованием цифровых инструментов в качестве инструментов практического обучения. Как было показано на примерах из дошкольного математического образования, компьютеры могут способствовать переходу с одного познавательного уровня на другой (более высокий).Это согласуется с современным использованием компьютеров в математических исследованиях, когда новые результаты возникают в результате вычислительных экспериментов. Например, радость перехода от визуального к символическому, когда двухсторонние счетчики были предложены как средство рекурсивного построения чисел Фибоначчи, которые затем можно было смоделировать в электронной таблице, где, возможно, благодаря интуиции, определился определенный образец в поведении соотношений могут быть обнаружены два последовательных члена. Это открытие мотивирует формальное объяснение того, почему отношения ведут себя определенным образом.Точно так же переход от числового описания прямоугольников с точки зрения периметра и площади приводит к их формальному представлению. В то время как прямоугольник с отверстием был обнаружен путем мышления «нестандартно», наличие цифрового инструмента облегчает переход от визуального к символическому с последующим использованием последнего представления в ситуации математического моделирования.

Мощь вычислительного моделирования может служить мотивацией для разработки и последующего исследования более сложных рекуррентных соотношений, чем у чисел Фибоначчи.Как обсуждалось в [58], использование моделирования электронных таблиц может быть применено в контексте исследования болезни Альцгеймера для изучения популяции трансгенных мышей с упором на финансовую осуществимость покупки двух родительских мышей (самца и самку) и выращивания популяции мышей определенного размер. Эффективный подход к этой проблеме включает теорию рекуррентных соотношений, которые первоначально были введены на вторичном уровне через числа Фибоначчи. Результаты, полученные с помощью моделирования в электронной таблице, затем могут быть использованы для проверки теоретических результатов.Подробнее об этом проекте см. [55].

Все это приводит к понятию компьютерной сигнатурной педагогики (CASP), когда побуждает размышлять и поддерживать анализ действий, предпринятых учеником в контексте практического обучения, обеспечивает CASP глубинную (а не поверхностную) структуру обучения [67] нанят учителем как «более знающий друг». Точно так же в более ранней публикации Биггс [15] проводил различие между поверхностной и глубинной структурой подходов студентов к обучению , описывая первый подход в терминах студента, «вкладывающего минимальное время и усилия в соответствии с видимостью соответствия требованиям… [ тогда как последний подход] основан на интересе к предмету задачи; стратегия максимального понимания »(стр.6). Адаптировав модель обучения в классе, предложенную Данкином и Биддлом [68], Биггс [15] представил теперь известную 3P модель обучения студентов, основанную на представлениях студентов об обучении в целом и их текущей учебной среде (прогноз), подход студента к обучению (процессу) и результат обучения студента (продукт). Исследование того, как первый P модели влияет на второй P и, как следствие, на третий P, было проведено Лиццио, Уилсоном и Саймонсом [69], которые выдвинули семь теоретических положений.Одно из этих предположений было основано на аргументе о том, что если студенты университетов воспринимают преподавание курсов их профессорами как надежное, то они с большей вероятностью выберут глубокий подход к обучению. Авторы пришли к выводу, что этот аргумент верен не только для учебных курсов по высшей математике, но и для курсов по методам математики для будущих школьных учителей. В современном преподавании математики правильное использование технологий является важной характеристикой учебной среды.В частности, в контексте студенческого подхода к обучению в глубокой структуре под эгидой CASP, можно расширить использование одного цифрового инструмента, такого как электронная таблица, другими современными технологиями, такими как Wolfram Alpha. С этой целью CASP, структурированный на основе глубоких подходов к преподаванию и обучению, может включать использование так называемых интегрированных электронных таблиц [70], которые поддерживают преподавание математики на всех образовательных уровнях с вычислительной надежностью обучения учащихся.

7.Проблемы и догадки, которые вдохновляют и мотивируют

Студент, изучающий математику (на любом уровне образования), скорее всего, столкнется с «тщетностью» математического совершенства. В математике есть легко выражаемые вопросы (предположения), на которые нет ответа (доказательство). Это похоже на принцип неопределенности Гейзенберга, где есть «пределы точности», например, при нахождении как положения, так и импульса. Важное понятие состоит в том, что не всегда есть «стандартные» решения математических задач.Зная это, учащиеся могут продолжить изучение математики для решения некоторых задач. В этих случаях действует «нестандартное» обучение действиям. Первоначальные размышления носят в основном теоретический характер, но в конечном итоге приложение будет вызвано. Заметьте, что проблему даже не нужно решать, многое предстоит узнать в этой попытке. Это мотивационный процесс. Кроме того, размышления привносят конкретность в концепции проблемы и относятся к общей «природе» проблем и решению проблем.

Реальные приложения математики в значительной степени стимулируют различные виды исследований в предметной области, в которых участвуют как профессиональные математики, так и студенты разных специальностей. Это не означает, что прикладная математика является единственным значимым источником развития математической мысли. Действительно, в самой математике есть много проблем, которые раньше мотивировали и продолжают мотивировать тех, кто стремится получить полное представление о математике как о фундаментальной науке.Некоторые из этих задач (иногда называемых предположениями) можно рекомендовать для включения в учебную программу по математике для не математических специальностей, а также для кандидатов в учителя. Опыт авторов показывает, что теоремы и предположения, берущие начало как в чистой, так и в прикладной математике, могут запустить воображение и мыслительный процесс тех, чей ум открыт для оспаривания.

Например, формулировки и исторические подробности таких захватывающих проблем, как Великая теорема Ферма, доказанная Эндрю Уайлсом [71], и гипотеза Бибербаха, доказанная Де Бранжем [72] (см. Также [73]), могут быть включены в некоторые базовые курсы математики. для нематематических специальностей.Доказательства этих теорем требуют не только элементарных средств, но и чрезвычайно сложны. Однако, как заметил Стюарт [74], «тот факт, что доказательство важно для профессионального математика, не означает, что преподавание математики данной аудитории должно ограничиваться идеями, доказательства которых доступны этой аудитории» (стр. 187). . Давайте посмотрим на них.

Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений для x, y и z, когда .В частности, эта теорема может быть представлена ​​различным группам студентов-математиков как способ ответить на вопрос: Можно ли расширить интерпретацию троек Пифагора как разбиение квадрата на сумму двух квадратов, чтобы включить аналогичные представления для более высоких степеней ? Как подробно описано в [75], использование электронной таблицы со второстепенными кандидатами в учителя позволяет визуализировать Великую теорему Ферма путем моделирования несуществующих решений вышеуказанного уравнения для почти таким же образом, как и для.Точно так же вполне возможно, что с помощью технологий или других средств естественный мост между утверждением Великой теоремы Ферма и некоторыми геометрическими свойствами модульных эллиптических кривых в доказательстве Уайлса станет доступным для будущих студентов-математиков.

Гипотеза Бибербаха утверждает, что для каждой аналитической функции, взаимно однозначной в единичном круге, неравенство выполняется. Один только этот легендарный результат с его ошеломляющими данными (см., Например, [76]) может вызвать у студентов интерес к изучению таких важных математических понятий, как взаимно однозначные функции, степенные ряды, сходимость и коэффициенты Тейлора, которые, в частности, являются целесообразно обсудить с инженерами-майорами.Здесь также стоит упомянуть о глубоких геометрических корнях гипотезы Бибербаха. Например, его доказательство для основано на представлении плоской заданной области как контурного интеграла и, таким образом, доступно для нематематических специальностей, зачисленных на курс исчисления верхнего уровня.

Существует также известная гипотеза Гольдбаха [77], которая утверждает, что каждое четное число больше двух может быть записано как сумма двух простых чисел (возможно, более чем одним способом). Было бы чудом, если бы эта гипотеза оказалась ложной.Пока встречных примеров не найдено. Хотя поиск противоположного примера кажется бесплодным, эмпирически было показано, что гипотеза Гольдбаха верна для всех четных чисел больше двух и меньше некоторого известного числа, состоящего из 17 цифр.

Еще одна известная, но легкая для понимания проблема — это гипотеза палиндрома [78]. Он имеет дело со свойством палиндромов (т. Е. Целых чисел, которые читаются так же, как вперед и назад) привлекать целые числа в соответствии со следующей процедурой: начать с любого целого числа, перевернуть его цифры и сложить два числа; повторите процесс с суммой и продолжайте видеть, что это приводит к палиндрому.Примечательно, что эта «игра с числами» недавно была упомянута как одна из двенадцати нерешенных проблем современной математики [79]. Именно эта проблема и, как отмечено в Принципах и стандартах школьной математики [19], ее образовательный потенциал для учащихся средних школ «ценить истинную красоту математики» (стр. 21) побудили кандидата в учителя средней школы работать с один из авторов по разработке вычислительных обучающих сред для учебных презентаций и экспериментов с большим классом развлекательных задач, как решенных, так и нерешенных [80].Как выразился Гаусс, «в арифметике самые элегантные теоремы часто возникают экспериментально в результате более или менее неожиданной удачи, а их доказательства лежат настолько глубоко погруженными в темноту, что опровергают самые острые вопросы» (цитируется в [81]. ], стр. 112).

Похоже, что использование технологий для значимых экспериментов с числами под эгидой CASP может вдохновить и мотивировать студентов уже на уровне дошкольного образования к новым открытиям в элементарной теории чисел.Каким-либо образом расширяя наше понимание математики, мы потенциально расширяем нашу способность «процветать». Это неотъемлемая ценность и мотивация для обучения действиям. Предполагается, что вся математика может иметь приложения. Нам нужно только иметь мотивацию для разработки этих приложений.

8. Заключение

В этой статье, используя опыт авторов в преподавании математики и надзоре за применением предмета в практике государственных школ и промышленности, представлена ​​структура совместного использования практического обучения и концептуальной мотивации в контексте К-20 математического образования.Были представлены различные примеры практического обучения — индивидуальная работа над реальной проблемой с последующим размышлением под наблюдением «более знающего другого». Такое руководство может включать в себя «дуэт других» — классного учителя и кандидата в учителя в школе K-12, а также преподавателя математики и советника по предметной области в университете. В статье показано, что практическое изучение математики идет рука об руку с концептуальной мотивацией — методикой обучения, при которой введение математических концепций мотивируется (соответствующими классу) реальными приложениями, которые могут включать в себя действия учащихся над объектами, приводящие к формальному описанию этого. действие через символику математики.Этот подход основан на важных рекомендациях математиков [5, 16, 17] и педагогических психологов [1, 25, 26, 61].

Главный вывод статьи состоит в том, что за счет многократного использования концептуальной мотивации и практического обучения на всех уровнях математического образования общий успех учащихся имеет большой потенциал для улучшения. Это сообщение подкрепляется примерами творческого мышления молодых учащихся в классе, основанного на всестороннем сотрудничестве школьных учителей и преподавателей университета (в духе Группы Холмса [82]).Точно так же это сообщение было подкреплено примерами интереса студентов к изучению математического анализа посредством практического обучения в реальной жизни. Похоже, что растущий интерес студентов к математике связан с практическим обучением и концептуальной мотивацией, которые использовались для исправления широко распространенного формализма в преподавании математики, который, в частности, стал препятствием на пути к успеху STEM-образования [4, 7, 8] . Когда учащиеся имеют опыт практического изучения математики в школьные годы, они, вероятно, продолжат изучение предмета в том же духе, тем самым избежав многих препятствий на пути перехода от среднего образования к высшему.Как упоминалось в разделе 4.2.3, исследование по внедрению практического обучения инженерному исчислению с участием тысяч студентов Университета Южной Флориды [4, 59] показывает, что, хотя интерес студентов к практическому обучению может быть пропорционален индивидуальному опыту в этом случае их результаты обучения демонстрируют академическое превосходство практического обучения над другими педагогическими средствами проведения расчетов.

В начале формального математического образования школьники должны начать знакомство с педагогикой практического обучения и концептуальной мотивации, усиленной, в зависимости от обстоятельств, задаванием вопросов и ответами на них, а также обучением использованию технологий.Как было показано в документе, не только учебные программы по математике K-12 во многих странах поддерживают обучение учащихся, задавая вопросы, но и их будущие учителя ценят такое математическое обучение. Аналогичным образом, компьютерная педагогика сигнатур [37] может использоваться для максимального понимания учащимися математики и поощрения их глубокого подхода к обучению [15]. У студентов университетов больше мотивации, чем у школьников, чтобы справляться с обязанностями взрослой жизни. Тем не менее, обе группы студентов все еще могут быть мотивированы их естественным «бросающим вызов возрасту» любопытством.В этом отношении стимулирующие вопросы, склонность к использованию компьютеров и известные классические задачи являются важными инструментами мотивации при изучении математики. Объединение всей учебной программы по математике K-20 в единую систему возможно, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом образовательном спектре. Наконец, очевидно, что есть прагматическая причина для того, чтобы знакомить учеников с радугой обучения действием, и это потому, что среди сегодняшних учеников есть завтрашние учителя.Процесс должен и дальше развиваться.

Доступность данных

Данные, использованные для подтверждения результатов этого исследования, включены в статью.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Что работает лучше, чем традиционные инструкции по математике

Стандарт 7: Ищите и используйте структуру

Связь с практикой в ​​классе

1 класс

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.Молодые студенты, например, могут заметить, что еще три и семь — это столько же, сколько еще семь и три, или они могут отсортировать набор фигур в зависимости от того, сколько сторон у этих фигур.

Лиз О’Нил работает со своими первоклассниками, вовлекая их в составление и разложение чисел в пределах двадцати, уделяя особое внимание способам объединения чисел в другие числа. Она начинает с того, что ученики переименовывают «целевое» число в своей книге математических сообщений как можно большим количеством способов.Затем им дается 2-секундный быстрый просмотр 3-х десяти кадров и просят определить это число (23) мысленно. Используя фреймы предложений, учащиеся рассказывают своему партнеру, какое число они видели и как они его видели. После того, как каждый имел возможность поделиться со своим партнером, вся группа обсудила различные способы. Основным занятием урока является игра «Сколько скрываются?» Студенческим парам был вручен пакет с 10 кубиками, бумажная тарелка и «Лист записи о том, сколько человек скрывается». Кроме того, на доске были вывешены рамки предложений, чтобы студенты могли использовать академический язык, используя структурированный студенческий разговор, и убеждать своих партнеров устным обоснованием.Один из партнеров берет несколько кубиков и «прячет» их под тарелкой. Остальные кладем сверху. Второй партнер использует фреймы предложений, чтобы ответить на вопросы «Какое число вы видите?», «Сколько человек прячется?», «Откуда вы знаете, что __ прячутся»? Кроме того, ответы записываются. Затем роли меняются местами. Партнерская игра дает студентам возможность попрактиковаться в составлении и разложении чисел в пределах десяти.

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(части 1-4)

3 класс

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Ученики 3-го класса Мии Бульян отстаивают свое мышление в числовой беседе. Студенты работают с Бульяном, чтобы объединить идеи «перехода от сложения, сложения, сложения, сложения, сложения к размышлениям об умножении». Бульян соединяет и противопоставляет подходы двух студентов, чтобы помочь выявить различные модели для решения проблем.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы.

После того, как ее ученики 3-го класса индивидуально поработают над различными проблемами, Бульян предлагает своим ученикам определить на доске карточку, которая представляет проблему, над которой они работали.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

4 класс

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру. Молодые студенты, например, могут заметить, что еще три и семь — это столько же, сколько еще семь и три, или они могут отсортировать набор фигур в зависимости от того, сколько сторон у этих фигур.

Бекка Шерман работает с учениками 4-го класса в «числовой беседе», чтобы связать основные компоненты Сингапурской гистограммы с оригинальным мышлением учеников, таким образом, предварительно загружая учеников несколькими приложениями гистограммы как представления равных частей. В задаче исследования слова «три раза» становятся проблемой деления или проблемой пропущенного фактора. Промежуточный этап рисования «математической картины» или модели задачи представляет собой проблему для многих студентов, которые ограниченно знакомы с моделями.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Во второй день учебного сегмента ученики Мишель Макинсон возвращаются к своим вводным словам и листам для обсуждения. Они изучают свою работу в поисках набора карточек, которым они сопоставили особенно веское обоснование, которое они могут «защитить на уровне спасения планеты». Затем пары делятся своими обоснованиями со всем классом, и Мишель призывает своих учеников точно общаться и оценивать свои собственные оправдания.Она использует стратегию «повернуться и поговорить», чтобы генерировать предложения по повышению ясности обоснования. Она моделирует академический язык: «Есть ли у кого-нибудь другая стратегия усиления обоснования?» Учащиеся рассматривают свои собственные карточки обоснования для внесения улучшений: «Все ли доказательства, которые вам нужны? Если нет, добавьте его ». К этому же зажиму относится и стандарт 6 (уделите внимание точности).

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Мишель Макинсон представляет новую карточку, контекстное или словесное представление проблемы. Она начинает с того, что ученики создают визуальное представление, соответствующее контекстуализированному представлению, и словесное представление, определяющее математические величины. Она подчеркивает важность дискуссии между учениками, подтверждающей совпадение карточек. Она ходит по классу, вовлекая пары в обсуждение их обсуждения и их представлений.Учащиеся используют петли на обратной стороне карточек, чтобы при необходимости переставлять их. Она объясняет важность того, чтобы студенты обсуждали и обсуждали свои представления. Они участвуют в выявлении паттернов, структур и связей между репрезентациями.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Учащиеся продолжают создавать наборы карточек, которые соответствуют друг другу (зеленый: набор или модель области, белый: словесное представление, темно-синий: контекстная / словесная проблема, желтый: обоснование).Мишель Макинсон просит пары объяснить связи между картами. Она бросает вызов студентов упорствовать в борется со сценарием работы с 22/12. Класс работает с неполными наборами из 12 и неполными целыми, признавая, что учащиеся стремятся установить связи с реальной жизнью и не понимают, как неправильная дробь работает в действительности. Учащиеся создают связи между представлениями на основе своих наблюдений за образцами и структурами. К этому же зажиму относится и стандарт 6 (уделите внимание точности).

Смотрите это видео в контексте всего урока.

5 класс

Учащиеся со знанием математики… внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Эрика Исомура начинает свой урок с вовлечения учеников 4–5 классов в разговор о терминах «целое» и «часть», активизируя их предыдущие знания о работе с проблемами «цепочки» наставника, прося учеников определить части и целые в каждой из них. сценарий.

Затем ее ученики работают над новыми задачами, сортируя и описывая различия и сходства между новыми задачами и теми, которые они выполняли раньше:

«Похожа ли какая-либо из этих проблем на проблему Иисуса, когда он уже знает свои части или свои части, но ему нужна вся сумма? И какая из этих проблем похожа на проблему Камилы, где ей нужны части, потому что у нее уже есть целое? »

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(Часть урока 1)

Учащиеся со знанием математики… внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Пока ее ученики 4-го и 5-го классов работают над описанием и классификацией своих проблем, определяя, какие из них больше похожи на проблему Иисуса (умножение дробных величин), а какие — на проблему Камилы (нахождение доли от целого), Эрика Исомура ходит вокруг в классе, задавая им вопросы и исследуя их понимание. Две задачи, которые она дала своим ученикам, не имеют визуального представления; она предлагает своим ученикам создавать рисунки этих задач, если это будет полезно в их процессе.

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(часть урока 2A)

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Мишель Киус работает со своими учениками 5-го класса над пониманием множественных представлений смешанных чисел. В этом ролике пара учеников подводит итоги своей репрезентации, замечая, что 6/12 — это то же самое, что ½.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы.

Мишель Киус работает со своими учениками 5-го класса над пониманием множественных представлений смешанных чисел. В этом ролике она признает, что некоторые пары студентов, возможно, изменили свои подходы в результате разговоров, и призывает их отмечать эти изменения в своих документах для совместного использования.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру….Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы.

Ученики Эрики Исомуры продолжают парную работу над задачами, защищая свои мысли друг перед другом. Они используют корни предложений, которые дала им Эрика (например, «Я думаю ____, потому что» «Это проще для нашего мозга, потому что ______», «Что ты думаешь?» «Как ты относишься к этой проблеме?» «Я». знал, что это был этот ответ, потому что думал о нулях »).

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(День 1, урок, часть C)

Учащиеся с математическими навыками внимательно присматриваются, чтобы различить образец или структуру…. Они также могут отступить, чтобы сделать обзор и изменить перспективу.

Во второй день этого учебного сегмента Эрика Исомура начинает с числового разговора со своими учениками 5-го класса, замечая, как и почему делители становятся меньше.

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(День 2, Урок, часть A)

Учащиеся со знанием математики… также могут сделать шаг назад, чтобы сделать обзор и сменить точку зрения.

Ученики 5-го класса Эрики Исомуры работают в парах, классифицируя, сортируя и склеивая десятичные представления в числовом порядке. Эрика предлагает своим ученикам объяснять и защищать свое мышление. Этот клип также относится к стандарту 3 (построение жизнеспособных аргументов и критика рассуждений других).

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(День 2, Урок, Часть B)

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру….Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы.

Ученики 5-го класса Эрики Исомуры продолжают работать в парах, классифицируя, сортируя и склеивая десятичные представления в числовом порядке. Эрика ходит по классу, побуждая учеников делиться своими мыслями. Она говорит одной паре: «Это может быть наш прототип. Это наш тестовый прогон. Мы как бы над этим работаем, думаем. После того, как у нас появятся новые идеи и, возможно, мы лучше поймем, что делаем, мы всегда можем вернуться к этому.Хорошо?» Этот клип также относится к стандарту 3 (построение жизнеспособных аргументов и критика рассуждений других) и стандарту 6 (внимание к точности).

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(День 2, Урок, Часть D)

Учащиеся со знанием математики … могут видеть сложные вещи … как отдельные объекты или состоящие из нескольких объектов.

Ученики 5-го класса Эрики Исомуры продолжают работать в парах, классифицируя, сортируя и склеивая десятичные представления в числовом порядке.Эрика предлагает своим ученикам сравнить свою работу с их работой на предмет предшествующих исследований и других проблем. Она напоминает каждому партнеру, чтобы они вносили равный вклад в парную работу. Она спрашивает: «Как ты это понял? Можете показать мне это на картинке или с цифрами? » Она призывает партнеров внести свой вклад в совместную работу их пары: «Убедитесь, что он вам это доказывает. Не позволяй ему просто говорить об этом ». Когда партнеры заканчивают свою работу, Эрика предлагает им совершить «прогулку по галерее» работ других партнеров, чтобы проверить и сравнить их работу.Этот клип также относится к стандарту 1 (разбираться в проблемах и настойчиво их решать), стандарту 3 (составлять жизнеспособные аргументы и критиковать рассуждения других) и стандарту 6 (уделять внимание точности).

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(День 2, Часть E)

5-6 классы

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру. Молодые студенты, например, могут заметить, что еще три и семь — это столько же, сколько еще семь и три, или они могут отсортировать набор фигур в зависимости от того, сколько сторон у этих фигур.Позже учащиеся увидят, что 7 × 8 равно хорошо запоминающимся 7 × 5 + 7 × 3, при подготовке к изучению свойства распределения.

В завершающей части разговора с числами Фрэн Дикинсон работает со своими учениками 5-6 классов, чтобы определить множество различных способов представления правила: x3 — 3, умножить на 3 минус 3, 3x — 3. Учащиеся обсуждают правило и лучший способ изобразить это, установив связи со своим учебником математики в их беседах. Этот клип также свидетельствует о стандарте 3 (построение жизнеспособных аргументов и критика рассуждений других), стандарте 6 (внимание к точности) и стандарте 8 (ищите и выражайте регулярность в повторяющихся рассуждениях).

Смотрите это видео в контексте всего урока.

8 класс

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Антуанетта Вильярэн начинает свой урок построения графиков постоянных темпов изменения, рассматривая цели обучения и математические методы, называя «Стандарты математической практики 1, 3, 6 и 7». Она отмечает, что важно, чтобы ее ученики понимали, как строить математические методы. аргумент, и она делится фреймами предложений и ключевой лексикой, которую студенты будут использовать при построении своих аргументов.

Антуанетта представляет модель двух бутылок, прикрепленных друг к другу, так что жидкость может течь между ними, и просит своих учеников разобраться в проблеме, описывая происходящее.

Студенты рассказывают, что по мере уменьшения количества жидкости в верхнем контейнере / призме количество жидкости в нижнем контейнере / призме увеличивается.

Этот клип также относится к стандарту 1 (разбираться в проблемах и настойчиво их решать), стандарту 3 (составлять жизнеспособные аргументы и критиковать рассуждения других), стандарту 4 (модель с математикой) и стандарту 6 (уделять внимание точности). .

Смотрите это видео в контексте всего урока.

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Антуанетта Вилларен просит пары учеников поделиться своими обсуждениями со всей группой. Она моделирует академический язык — ограничения, скорость изменений, начальную ценность, начальную ситуацию — которые, как она ожидает, будут использовать ее ученики.

После того, как пара учеников поделится информацией, Антуанетта просит большую группу добавить дополнительные детали, которые помогли бы им определить совпадающую пару графиков, показывающих поток жидкости между данной парой контейнеров.

Антуанетта обращается к своей якорной таблице лексики урока и рамок предложений, которые, как она ожидает, будут использовать учащиеся, а также называет и усиливает использование учащимися академического языка.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

9–10 классы

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Кэти Хамфрис ведет расширенное исследование доказательства свойств четырехугольника, помогая студентам научиться исследовать, формулировать, предполагать, обосновывать и в конечном итоге доказывать математические теоремы.В этих клипах студенты участвуют в первом из двух блочных исследований своих доказательств. Хамфрис замечает: «Квадрат, прямоугольник и ромб казались ученикам наиболее простыми. Математически, если две диагонали образуют прямые углы, то по крайней мере пара сторон четырехугольника будет одинаковой длины. Если диагонали пересекаются в середине обеих диагоналей, то образованная фигура будет неким параллелограммом. Для того, чтобы две диагонали образовали трапецию, не равнобедренную, должны выполняться следующие соотношения: если AB — одна диагональ, а DE — другая диагональ, то трапеция ADBE образуется только в том случае, если диагонали пересекаются в точке P, которая не является средняя точка и AP / PB = DP / PE.Студентам было довольно сложно исследовать и заключить эти отношения. Студенты не выбрали измерение диагоналей линейками и поэтому не усвоили пропорциональные аспекты диагоналей неравнобедренной трапеции ». Этот клип также свидетельствует о стандарте 1 (разбираться в проблемах и настойчиво их решать), стандарте 3 (составлять жизнеспособные аргументы и критиковать рассуждения других) и стандарте 6 (уделять внимание точности).

Смотрите это видео в контексте всего урока.
(части A – D)

Посмотрите, как компетенции SEL и математические практики работают вместе в этом классе.
(Описание идеального класса, приложение)

Студенты, разбирающиеся в математике, внимательно приглядываются, чтобы различить образец или структуру.

Завершая групповую работу в первый день, Хамфрис отсылает своих учеников к идее «друзей-математиков». Это понятие пришло из книги «Математическое мышление» Бертона и Мейсона, посвященной решению математических задач, в которой авторы говорят об иерархии достоверности при попытке написать убедительный аргумент.Убедите себя (самый простой способ), убедите друга [математика] и, наконец, убедите скептика. Скептическое мышление и отказ от поспешных выводов — еще одна отличительная черта хорошего математического мышления. Хамфрис просит встретиться со студентами, которые играют роль «фасилитаторов» в своих группах, чтобы обеспечить соблюдение структуры аргументации Бертона и Мейсона. Этот клип также свидетельствует о стандарте 3 (построение жизнеспособных аргументов и критика рассуждений других), стандарте 6 (внимание к точности) и стандарте 8 (ищите и выражайте регулярность в повторяющихся рассуждениях).

Смотрите это видео в контексте всего урока.

9–12 классы

Математически опытные учащиеся внимательно смотрят, чтобы различить узор или структуру … Они осознают значение существующей линии в геометрической фигуре и могут использовать стратегию рисования вспомогательной линии для решения задач. Они также могут сделать шаг назад для обзора и изменения перспективы.

Карлос Кабана работает со своими учениками средней школы, изучающими английский язык, над алгебраическими рассуждениями и множественными представлениями вокруг парабол.В этом клипе его ученики работают вместе в группе, разъясняя процесс и мышление друг друга. Ученицы объясняют ученикам точные шаги. Они обсуждают, как использовать пересечения по осям x и y для поддержки своего процесса. Они отступают и спрашивают себя, чего они ищут в своей работе.

Смотрите это видео в контексте всего урока.

5 причин преподавать математическое моделирование

Когда одна из моих дочерей училась в старшей школе, ученица математического класса встала с отвращением и воскликнула: «Почему мы должны изучать математику в течение 12 лет, если мы никогда не будем использовать ее? этого? » Вы можете подумать, что меня как преподавателя математики расстроило бы это утверждение.Вместо этого вопрос студентки заставил меня задуматься о том факте, что она не видела связи между математикой и своим будущим, хотя ее учебная программа была полна задач по рассказам, которые в то время я бы назвал «задачами реального мира». Каждый математик, наверное, сталкивался с признанием «я не люблю математику». Выберите любой предмет, и вы, вероятно, найдете кого-то, кто его не любит или не хочет его практиковать. Но когда я разговаривал с незнакомцами о своем опыте преподавания английского языка, магазинов, истории и физического воспитания, я редко (если вообще когда-либо) сталкивался с отрицательной реакцией.Поскольку математика может быть дорогой ко многим карьерам, кажется, что эту проблему важно решить.

Математика в чистом виде обладает невероятной силой и красотой. Новая математика — ключ к инновациям в большинстве областей науки, технологий, инженерии и математики (STEM). Часто в то время, когда изобретают новую математику, мы еще не знаем, как она соотносится с другими идеями и влияет на мир. Разработчики математических моделей используют идеи из математики (а также вычислительные алгоритмы и методы из статистики и исследования операций) для решения больших, беспорядочных, реальных проблем.Модели часто оптимизируют ограниченный ресурс, такой как время, деньги, энергия, расстояние, безопасность или здоровье. Но вместо того, чтобы найти идеальный ответ, решения «достаточно хороши» для реальных требований. Эти проблемы могут быть мотивацией для студентов-математиков, которые могут относиться к математике, которая решает важные для них задачи.

Для решения проблем моделирования математики делают предположения, выбирают математический подход, получают решение, оценивают решение на предмет полезности и точности, а затем переделывают и корректируют модель по мере необходимости, пока она не обеспечит точное и достаточно предсказуемое понимание ситуации.Изложение модели и ее последствий в ясной и убедительной форме может иметь такое же важное значение для успеха модели, как и само решение. Математическим моделированием могут заниматься даже очень молодые студенты. Например, вы можете спросить учащихся любого возраста, как решить, какую пищу выбрать в кафетерии, а затем математизировать этот процесс принятия решения, выбрав, какие характеристики пищи важны, а затем оценив продукты в кафетерии по этим стандартам. Национальный совет учителей математики (NCTM) обеспечивает руководство в разъяснении учителям, ученикам и родителям того, как математическое моделирование выглядит на уровнях K – 12.В выпуске журнала NCTM «Преподавание математики в средней школе » за 2015 год будет рассказано о математическом моделировании, а в «Ежегодных перспективах математического образования » за 2016 год также будет уделено внимание этой теме.

Как математическое моделирование может улучшить математический опыт таких учеников, как ученик моей дочери?

Школьная математика часто представлена ​​как набор шагов, которые нужно выполнять в определенном порядке. Студенты могут выполнять процедуры, не понимая (и, возможно, не заботясь о понимании), как связаны эти шаги и почему они работают.Тогда они могут справедливо рассматривать это действие без понимания как бесполезный навык, хотя правильное применение процедур может привести к успеху во многих стандартизированных тестах, разработанных для получения предсказуемых, стандартных и простых для оценки ответов. Напротив, проблемы математического моделирования большие, беспорядочные, реальные и неограниченные. При моделировании учащиеся должны сделать правильный выбор в отношении того, что является важным, решить, какую математику применить, и определить, полезно ли их решение. Моделирование дает учащимся возможность развивать и практиковать математические навыки, а затем сообщать о своем понимании и интерпретации проблемы.