Контрольная работа № 1 по теме «Натуральные числа» (5 класс, Мерзляк А.Г. и др.)
Контрольная работа № 1 по теме «Натуральные числа»
Вариант 1
1. Запишите цифрами число:
1) шестьдесят пять миллиардов сто двадцать три миллиона девятьсот сорок одна тысяча восемьсот тридцать семь;
2) восемьсот два миллиона пятьдесят четыре тысячи одиннадцать;
3) тридцать три миллиарда девять миллионов один.
2. Сравните числа:
1) 5 678 и 5 489; 2) 14 092 и 14 605.
3. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки, соответствующие числам 2, 5, 7, 9.
4. Начертите отрезок FK, длина которого равна 5 см 6 мм, отметьте на нём точку C. Запишите все отрезки, образовавшиеся на рисунке, и измерьте их длины.
5. Точка K принадлежит отрезку ME, MK = 19 см, отрезок KE на 17 см больше отрезка MK.
Найдите длину отрезка ME.
6. Запишите цифру, которую можно поставить вместо звёздочки, чтобы образовалось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):
1) 3 78* 5 872.
7. На отрезке CD длиной 40 см отметили точки P и Q так, что CP = 28 см,
QD = 26 см. Чему равна длина отрезка PQ?
8. Сравните: 1) 3 км и 2 974 м; 2) 912 кг и 8 ц.
Вариант 2
1. Запишите цифрами число:
1) семьдесят шесть миллиардов двести сорок два миллиона семьсот восемьдесят три тысячи сто девяносто пять;
2) четыреста три миллиона тридцать восемь тысяч сорок девять;
3) сорок восемь миллиардов семь миллионов два.
2. Сравните числа:
1) 6 894 и 6 983; 2) 12 471 и 12 324.
3. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки, соответствующие числам 3, 4, 6, 8.
4. Начертите отрезок AB, длина которого равна 4 см 8 мм, отметьте на нём точку D. Запишите все отрезки, образовавшиеся на рисунке, и измерьте их длины.
5. Точка T принадлежит отрезку MN, MT = 26 см, отрезок TN на 18 см меньше отрезка MT. Найдите длину отрезка MN.
6. Запишите цифру, которую можно поставить вместо звёздочки, чтобы образовалось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):
1) 2 *14 4 785.
7. На отрезке SK длиной 30 см отметили точки A и B так, что SA = 14 см,
BK = 19 см. Чему равна длина отрезка AB?
8. Сравните: 1) 3 986 г и 4 кг; 2) 586 см и 6 м.
Вариант 3
1. Запишите цифрами число:
1) сорок семь миллиардов двести девяносто три миллиона восемьсот пятьдесят шесть тысяч сто двадцать четыре;
2) триста семь миллионов семьдесят восемь тысяч двадцать три;
3) восемьдесят пять миллиардов шесть миллионов пять.
2. Сравните числа:
1) 7 356 и 7 421; 2) 17 534 и 17 435.
3. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки, соответствующие числам 2, 4, 6, 9.
4. Начертите отрезок MN, длина которого равна 6 см 4 мм, отметьте на нём точку A. Запишите все отрезки, образовавшиеся на рисунке, и измерьте их длины.
5. Точка E принадлежит отрезку CK, CE = 15 см, отрезок EK на 24 см больше отрезка CE. Найдите длину отрезка CK.
6. Запишите цифру, которую можно поставить вместо звёздочки, чтобы образовалось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):
1) 3 344 * 619.
7. На отрезке AC длиной 60 см отметили точки E и F так, что AE = 32 см,
FC = 34 см. Чему равна длина отрезка EF?
8. Сравните: 1) 6 т и 5 934 кг; 2) 4 м и 512 см.
Вариант 4
1.
Запишите цифрами число:
1) восемьдесят шесть миллиардов пятьсот сорок один миллион триста семьдесят две тысячи триста сорок два;
2) шестьсот пять миллионов восемьдесят три тысячи десять;
3) сорок четыре миллиарда девять миллионов три.
2. Сравните числа:
1) 9 561 и 9 516; 2) 18 249 и 18 394.
3. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки, соответствующие числам 2, 5, 8, 10.
4. Начертите отрезок AB, длина которого равна 7 см 8 мм, отметьте на нём точку D. Запишите все отрезки, образовавшиеся на рисунке, и измерьте их длины.
5. Точка A принадлежит отрезку BM, BA = 25 см, отрезок AM на 9 см меньше отрезка BA. Найдите длину отрезка BM.
6. Запишите цифру, которую можно поставить вместо звёздочки, чтобы образовалось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):
1) 5 64* 5 646; 2) 1 4*2
7.
На отрезке OP длиной 50 см отметили точки M и N так, что OM = 24 см,
NP = 38 см. Чему равна длина отрезка OP?
8. Сравните: 1) 8 км и 7 962 м; 2) 60 см и 602 мм.
Контрольная работа для 5 класса по теме: «Натуральные числа»
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение Лемешкинская средняя общеобразовательная школа
Руднянского муниципального района Волгоградской области.
Контрольная работа №1
по теме: «Натуральные числа»
в 5 классе по учебнику «Математика 5 класс»
Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Автор: учитель математики, информатики Бодылева Оксана Михайловна
Контрольная работа № 1 по теме: «Натуральные числа».
Вариант №1
1. Сравните: а) 9561 и 9500
б) 316 и 3106
в) 120 мин и 2 ч
г) 920 г и 1 кг
2.
Из каждой пары чисел выпишите то, которое на координатной прямой находится правее.
а) 21 и 10 в) 100 и 50 д) 237 и 137
б) 115 и 200 г) 999 и 1001 е) 3025 и 2025
3. Округлите: а) до десятков: 57, 93, 216, 381;
б) до сотен: 538, 763, 2882, 3129;
в) до миллионов: 6 756 000, 25 367 750.
4. Найдите неизвестное число:
а) 241 – а = 108; в) с – 247 = 450; д) х : 16 = 31;
б) 181 + х = 279; г) 81 * а = 891; е) 535 : у = 5.
5. Яблоко и груша весят 320 г, а яблоко и 2 груши – 470 г. Сколько весит яблоко и сколько весит груша?
6*. В столовой ложке вмещается 25 г муки, а в стакане – 130 г муки. Сколько примерно столовых ложек муки вмещает стакан?
7. Электровоз прошёл 720 км, причём 6 ч он шёл со скоростью 80 км/ч, а оставшийся путь – со скоростью 60 км/ч.
Какое время электровоз был в пути?
Решение.
Вариант №1
1. Сравните: а) 9561 > 9500
б) 316
в) 120 мин = 2 ч
г) 920 г
2. Из каждой пары чисел выпишите то, которое на координатной прямой находится правее.
а) 21 и 10 в) 100 и 50 д) 237 и 137
б) 115 и 200 г) 999 и 1001 е) 3025 и 2025
3. Округлите: а) до десятков: 60, 90, 220, 380;
б) до сотен: 500, 800, 2900, 3100;
в) до миллионов: 7000000, 25000000.
4. Найдите неизвестное число:
а) 133; в) 697; д) 496;
б) 98; г) 11; е) 107.
5. 1) 470 – 320 = 150 (г) весит 1 груша
2) 320 – 150 = 170 (г) весит 1 яблоко.
Ответ: 150 г, 170 г.
6. 1) 130 : 25 = 5 (ост 5). Ответ: 6 ложек.
7. 1) 80 * 6 = 480 (км) за 6 часов
2) 720 – 480 = 240 (км) осталось.
3) 240 : 60 = 4 (ч)оставшийся путь
4) 4 + 6 = 10 (ч) весь путь.
Ответ: 10 ч.
Контрольная работа № 1 по теме: «Натуральные числа».
Вариант №2
1. Сравните: а) 8046 и 80046
б) 1261 и 180
в) 500 кг и 5 ц
г) 8929 м и 8 км
2. Из каждой пары чисел выпишите то, которое на координатной прямой находится левее.
а) 10 и 20 в) 350 и 360 д) 312 и 213
б) 28 и 20 г) 1200 и 1000 е) 2310 и 23100
3. Округлите: а) до десятков: 37, 92, 316, 491;
б) до сотен: 738, 953, 3882, 5229;
в) до миллионов: 7 856 010, 37 327 751.
4. Найдите неизвестное число:
а) 906 – а = 187; в) с – 464 = 87; д) х : 51 = 60;
б) 749 + х = 1658; г) 33 * а = 132; е) 144 : у = 6.
5. В 5 и 6 классах вместе 62 ученика, в 6 и 7 классах вместе 61 ученик. Сколько учеников в каждом из этих классов, если во всех трёх вместе 90 учеников?
6*. В столовой ложке вмещается 30 г соли, а в стакане – 220 г соли. Сколькими столовыми ложками можно отмерить стакан соли?
7. Из города А и из города В, расстояние между которыми 1220 км выехали одновременно навстречу друг другу два товарных поезда. Встретились они через 10 ч. Найдите скорость товарного поезда вышедшего из города А, если скорость другого 65 км/ч.
Решение.
Вариант №2
1. Сравните: а) 8046
б) 1261 > 180
в) 500 кг = 5 ц
г) 8929 м > 8 км
2.
Из каждой пары чисел выпишите то, которое на координатной прямой находится левее.
а) 10 и 20 в) 350 и 360 д) 312 и 213
б) 28 и 20 г) 1200 и 1000 е) 2310 и 23100
3. Округлите: а) до десятков: 40, 90, 320, 490;
б) до сотен: 700, 1000, 3900, 5200;
в) до миллионов: 8000000, 37000000.
4. Найдите неизвестное число:
а) 719; в) 551; д) 3060;
б) 909; г) 4; е) 24.
5. 1) 90 – 62 = 28 (чел) 7 кл
2) 61 – 28 = 33 (чел) 6 кл
3) 62 – 33 = 29 (чел) 5 кл.
Ответ: 28 чел, 33 чел, 29 чел.
6. 1) 220 : 30 = 7 (ост 10). Ответ: 8 ложек.
7. 1) 65 * 10 = 650 (км) 2 поезд проехал.
2) 1220 – 650 = 570 (км) 1 поезд проехал.
3) 570 : 10 = 57 (км/ч) скорость 2 поезда.
Ответ: 57 км/ч.
Самостоятельная работа по теме «Натуральные числа», 5 класс
ФИ _____________________________
1 вариант
1. Какое число следует при счёте за числом 40 099?
1) 50 000 2) 40 100 3) 41 100 4) 41 000
2. Какое число предшествует при счёте числу 103 000?
1) 103 001 2) 102 990 3) 102 009 4) 102 999
3. Как называется высший разряд в записи шестизначного числа?
1) единицы тысяч
2) единицы миллионов
3) сотни тысяч
4) десятки тысяч
4. Что означает цифра 8 в записи числа 1780 025?
1) 8 сотен тысяч
2) 8 десятков тысяч
3) 8 единиц тысяч
4) 8 десятков миллионов
5. Сколько нулей в записи числа двести сорок миллионов?
1) пять 2) шесть 3) семь 4) восемь
6. Сколько всего сотен тысяч в числе
275 014?
1) 2 2) 27 3) 275 4) 200
7.
В каком числе 4 тысячи 5 сотен 1 десяток?
1) 40 005 010 2) 4 510
3) 45 001 4) 450 010
8. Число два миллиона шестьсот записывается цифрами так:
1) 2 600 2) 2 000 600
3) 2 600 000 4) 2 000 000 600
9. Число 13 010 010 читается так:
1) тринадцать миллионов десять тысяч десять
2) один миллион сто тысяч десять
3) сто тридцать миллионов сто десять
4) тринадцать миллионов тысяча десять
10. Сколько тысяч в числе миллиард?
1) сто 2) десять тысяч 3) тысяча 4) миллион
ФИ____________________________
2 вариант
1. Какое число следует при счёте за числом 300 909?
1) 301 000 2) 300 100 3) 300 910 4) 301 910
2. Какое число предшествует при счёте числу 15 900?
1) 15 901 2) 15 899 3) 15 800 4) 14 899
3. Как называется высший разряд в записи пятизначного числа?
1) десятки тысяч
2) единицы тысяч
3) единицы миллионов
4) сотни тысяч
4.
Что означает цифра 6 в записи числа 6 028 103?
1) 6 сотен тысяч
2) 6 единиц тысяч
3) 6 единиц миллионов
4) 6 десятков миллионов
5. Сколько нулей в записи числа триста миллионов?
1) шесть 2) семь 3) восемь 4) девять
6. Сколько всего тысяч в числе 364 891?
1) 4 2) 300 3) 360 4) 364
7. В каком числе 2 тысячи 3 сотни 1 единица?
1) 2 310 2) 2 301 3) 200 031 4) 203 001
8. Число пять миллионов четыреста записывается цифрами так:
1) 500 400 2) 5 000 400
3) 5 400 000 4) 5 000 000 400
9. Число 21 200 320 читается так:
1) двадцать один миллион две тысячи тридцать два
2) двести двенадцать тысяч триста двадцать
3) двадцать один миллион двести тысяч триста двадцать
4) два миллиона сто двадцать тысяч триста двадцать
10. Сколько сотен в числе миллион?
1) десять 2) сто 3) тысяча 4) десять тысяч
ФИ _____________________________
1 вариант
1.
Какое число следует при счёте за числом 40 099?
1) 50 000 2) 40 100 3) 41 100 4) 41 000
2. Какое число предшествует при счёте числу 103 000?
1) 103 001 2) 102 990 3) 102 009 4) 102 999
3. Как называется высший разряд в записи шестизначного числа?
1) единицы тысяч
2) единицы миллионов
3) сотни тысяч
4) десятки тысяч
4. Что означает цифра 8 в записи числа 1780 025?
1) 8 сотен тысяч
2) 8 десятков тысяч
3) 8 единиц тысяч
4) 8 десятков миллионов
5. Сколько нулей в записи числа двести сорок миллионов?
1) пять 2) шесть 3) семь 4) восемь
6. Сколько всего сотен тысяч в числе
275 014?
1) 2 2) 27 3) 275 4) 200
7. В каком числе 4 тысячи 5 сотен 1 десяток?
1) 40 005 010 2) 4 510
3) 45 001 4) 450 010
8. Число два миллиона шестьсот записывается цифрами так:
1) 2 600 2) 2 000 600
3) 2 600 000 4) 2 000 000 600
9.
Число 13 010 010 читается так:
1) тринадцать миллионов десять тысяч десять
2) один миллион сто тысяч десять
3) сто тридцать миллионов сто десять
4) тринадцать миллионов тысяча десять
10. Сколько тысяч в числе миллиард?
1) сто 2) десять тысяч 3) тысяча 4) миллион
ФИ____________________________
2 вариант
1. Какое число следует при счёте за числом 300 909?
1) 301 000 2) 300 100 3) 300 910 4) 301 910
2. Какое число предшествует при счёте числу 15 900?
1) 15 901 2) 15 899 3) 15 800 4) 14 899
3. Как называется высший разряд в записи пятизначного числа?
1) десятки тысяч
2) единицы тысяч
3) единицы миллионов
4) сотни тысяч
4. Что означает цифра 6 в записи числа 6 028 103?
1) 6 сотен тысяч
2) 6 единиц тысяч
3) 6 единиц миллионов
4) 6 десятков миллионов
5. Сколько нулей в записи числа триста миллионов?
1) шесть 2) семь 3) восемь 4) девять
6.
Сколько всего тысяч в числе 364 891?
1) 4 2) 300 3) 360 4) 364
7. В каком числе 2 тысячи 3 сотни 1 единица?
1) 2 310 2) 2 301 3) 200 031 4) 203 001
8. Число пять миллионов четыреста записывается цифрами так:
1) 500 400 2) 5 000 400
3) 5 400 000 4) 5 000 000 400
9. Число 21 200 320 читается так:
1) двадцать один миллион две тысячи тридцать два
2) двести двенадцать тысяч триста двадцать
3) двадцать один миллион двести тысяч триста двадцать
4) два миллиона сто двадцать тысяч триста двадцать
10. Сколько сотен в числе миллион?
1) десять 2) сто 3) тысяча 4) десять тысяч
20011 — Свойства действительных чисел
Введение: подключение вашего обучения
Вы помните свой первый мобильный телефон? Как насчет вашего первого GPS (глобальная система позиционирования) или вашей первой игровой системы? Думаете ли вы о Droid в вашем кармане или о Nintendo с этими неуклюжими пластиковыми картриджами, из которых вам приходилось выдувать пыль, чтобы заставить игру работать, у вас, вероятно, был подобный опыт с новой технологией.
Вы нашли время, чтобы изучить каждую деталь того, как работает ваш новый гаджет. Возможно, вы знаете, как использовать «черепашьи подсказки» в Mario Brothers или загружать приложение на свой планшет, потому что потратили много времени на изучение этих предметов.
Математика ничем не отличается. Как только вы вошли в этот мир, вам нужно изучить и открыть для себя характеристики (свойства), благодаря которым работают такие операции, как сложение, вычитание, умножение и деление. На этом уроке вы изучите некоторые свойства действительных чисел.
Сосредоточение вашего обучения
Цели урока
К концу этого урока вы должны уметь:
- Определять основные свойства действительных чисел.
Презентация
Основные свойства действительных чисел
Основные свойства действительных чисел используются для определения порядка упрощения математических выражений. К основным свойствам действительных чисел относятся следующие:
- Свойство замыкания
- Коммутативное свойство
- Ассоциативное свойство
- Распределительная собственность
Внимательно осмотрите каждое свойство.
Свойства замыкания
Действительные числа замкнуты при сложении, вычитании и умножении.
Это означает, что если A и B — реальные числа, затем A + B — уникальное реальное число, а
Например:
3 и 11 — действительные числа.
3 + 11 = 14 и 3 ⋅ 11 = 33 Обратите внимание, что и 14, и 33 — действительные числа.
Каждый раз, когда вы складываете, вычитаете или умножаете два действительных числа, результатом будет действительное число.
Хотя это свойство кажется очевидным, некоторые коллекции не закрываются при определенных операциях.
Вот несколько примеров.
Пример 1
Действительные числа не замыкаются при делении, так как, хотя 5 и 0 являются действительными числами, они не являются действительными числами. (Вы можете сказать, что это не определено, что означает, что это не имеет значения. Аналогично, это 2, потому что вы можете умножить 3 на 2, чтобы получить 6. Нет числа, на которое можно умножить 0, чтобы получить 5.)
Пример 2
Натуральные числа не замыкаются при вычитании. Хотя 8 — натуральное число, 8 − 8 — нет. (8 − 8 = 0, а 0 не является натуральным числом.)
Посмотрите следующее видео с дополнительным объяснением и примерами свойства замыкания.
Математический видео-инструментарий Свойство закрытия |
Коммутативные свойства
Коммутативные свойства сообщают вам, что два числа можно складывать или умножать в любом порядке, не влияя на результат.
Пусть a
Перестановочное свойство сложения | Переместительное свойство умножения |
а + б = б + а | а ⋅ б = б ⋅ а |
Коммутативные свойства: примеры | |
3 + 4 = 4 + 3 | Оба равны 7 |
5 + 7 = 7 + 5 | Оба представляют одну и ту же сумму |
4 ⋅ 8 = 8 ⋅ 4 | Оба одинаковые 32 |
у 7 = 7 у | Оба представляют один и тот же продукт |
5 (3+1) = (3+1) 5 | Оба представляют один и тот же продукт |
(9 + 4) (5 + 2) = (5 + 2) (9+ 4) | Оба представляют один и тот же продукт |
Посмотрите следующие видеоролики с подробным объяснением коммутативных свойств.
Математический видео-инструментарий Коммутативный закон сложения Коммутативный закон умножения |
Практическое упражнение: Коммутативные свойства
Пришло время применить на практике то, что вы узнали. Вам понадобится лист бумаги и карандаш, чтобы выполнить следующее задание . Запишите соответствующую цифру или букву в скобках, чтобы утверждение было верным. Используйте коммутативные свойства. Когда вы закончите, не забудьте проверить свои ответы, чтобы увидеть, насколько хорошо вы справились.
Практическое упражнение
6 + 5 = ( ) + 6
м + 12 = 12 + ( )
9 ⋅ 7 = ( ) ⋅ 9
6 а = а ( )
4 ( к — 5) = ( ) 4
(9 ) = (9 ) а b + 7)(9 a − 1)
Проверить ответы
- 6 + 5 = (5) + 6
- м + 12 = 12 + ( м )
- 9 ⋅ 7 = (7) ⋅ 9
- 6 а = а (6)
- 4( к — 5) = ( к — 5)4
- (9 a — 1)(2 b + 7) = (2 b + 7)(9 a — 1)
Пример
Упростить (переставить в более простую форму): 5 y 6 b 8 ac 4
В соответствии с коммутативным свойством умножения можно получить все числа и переупорядочить цифры вместе и все буквы вместе.
| 5⋅6⋅8⋅4⋅ г ⋅ б ⋅ а ⋅ в | Умножить числа |
| 960 ybac | |
| 960 абси | По соглашению, по возможности пишите все буквы в алфавитном порядке |
Используйте приведенный выше пример для выполнения следующего практического упражнения.
Практика
Упростите каждую из следующих величин.
3 a 7 y 9 d
6 b 8 acz 4 ⋅ 5
4 p 6 qr 3 ( a + b )
Check Ответы
- 189 ади
- 960 абч
- 72 пкр ( а + б )
Ассоциативные свойства
Ассоциативные свойства сообщают вам, что вы можете группировать величины любым способом, не влияя на результат.
(Let A , B и C Представляют реальные числа.)
СООБЩЕНИЯ СОБСТВЕННОСТЬ ДОЛШЕНИЯ | 111102Ассоциативное свойство умножения |
( а + б ) + с = а + ( б + с )44 | ( аб ) с = а ( до н.э. ) |
В следующих примерах показано, как можно использовать ассоциативные свойства сложения и умножения.
Ассоциативное свойство сложения | |||
| (2 + 6) + 1 | = | 2 + (6 + 1) | |
| 8 + 1 | = | 2 + 7 | |
| 9 | = | 9 | оба равны 9 |
Ассоциативное свойство умножения | |||
| (2 ⋅ 3) ⋅ 5 | = | 2 ⋅ (3 ⋅ 5) | |
| 6 ⋅ 5 | = | 2 ⋅ 15 | |
| 30 | = | 30 | оба равны 30 |
Посмотрите следующие видео для подробного объяснения ассоциативных свойств.
Математический видео-инструментарий: Ассоциативный закон сложения Ассоциативный закон умножения |
Практическое упражнение: Ассоциативные свойства
Пришло время применить на практике то, что вы узнали об ассоциативных свойствах. Вам нужно будет достать лист бумаги и карандаш, чтобы выполнить следующее задание. Запишите соответствующую цифру или букву в скобках, чтобы сделать утверждение верным. Используйте ассоциативные свойства. Когда вы закончите, не забудьте проверить свои ответы, чтобы увидеть, насколько хорошо вы справились.
Практическое упражнение
(9 + 2) + 5 = 9 + ( )
x + (5 + y ) = ( )+ y
(11 a ) 6 = 11 ( )
Проверить ответы
- (9 + 2) + 5 = 9 + (20 + 18) 9
- х + (5 + у ) = ( х + 5) + у
- (11 a ) 6 = 11 ( a ⋅ 6)
Распределительные свойства
Когда вы впервые познакомились с умножением, вы, скорее всего, поняли, что оно было разработано как описание многократного сложения.
Рассмотрим это: 4 + 4 + 4 = 3 ⋅ 4
Обратите внимание, что здесь три четверки; то есть 4 появляется три раза. Следовательно, 3 умножить на 4. Алгебра — это обобщенная арифметика, и теперь вы можете сделать важное обобщение.
Когда число A добавляется неоднократно, что означает N раз, мы имеем A + A + A + ⋯ + A ( A появляется N Times) 94
4. , используя умножение как описание многократного сложения, можно заменить a + a + a + ⋯ +
Пример 1: x + x + x + x можно записать как 4 x , так как x добавляется 4 раза.
x + x + x + x = 4 x
Пример 2: r 5 можно записать как 9 + 0044 r т.к. r повторно добавляется 2 раза.
r + r = 2 r
Распределительное свойство включает в себя как умножение, так и сложение. Взгляните на объяснение ниже.
Переписать 4( a + b ).
ШАГ 1: Вы продолжаете, читая 4 ( a + b ) как умножение: 4-кратное количество ( a + b ).
ШАГ 2: Теперь вы используете коммутативное свойство сложения, чтобы собрать все a вместе и все b вместе.
ШАГ 3: Теперь вы используете умножение как описание повторного сложения.
- Это указывает нам написать:
4( a + b ) = 4 a + 4 b
- Вы распределили 4 сверх суммы между обоими а и б .
Распределительное имущество
Распределительное имущество | |
A ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C | ( б + в ) a = b ⋅ a + c ⋅ a |
Because of the commutative property and the convention of writing the variables in alphabetical order, you can also write the following:
b ⋅ a + c ⋅ a as а ⋅ б + а ⋅ в , так ( b + c ) a = a ⋅ b + a ⋅ c тоже.
Распределительное свойство полезно, когда вы не можете или не хотите выполнять операции внутри круглых скобок.
Примеры
Используйте свойство распределения, чтобы переписать каждую из следующих величин.
2( 5 + 7) =
6 ( х + 3) =
( z + 5) y =
Посмотрите следующие видео для подробного объяснения Распределительного свойства.
Математический видео-инструментарий: Распределительная собственность |
Практическое упражнение: Распределительные свойства
Используйте распределительное свойство, чтобы переписать каждую из следующих величин без круглых скобок. Когда вы выполняете операции с использованием распределительного свойства, его часто называют расширение выражения.
Практическое упражнение
3 (2 + 1)
( x + 6) 7
4 ( A + y )
(9 + 2) A
444444440004 (9 + 2) A 44444444444.
(9 + 2) A 9005 4444444944 (9 + 2) A ( x + 5)1 ( x + y )
Проверить ответы
- 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1
- 7 ⋅ х + 7 ⋅ 6
- 4 ⋅ а + 4 ⋅ у
- 9 ⋅ а + 2 ⋅ а
- а ⋅ х + 5 ⋅ а
- 1 ⋅ х + 1 ⋅ г
6 + 3
7 х + 42
4 а + 4 у
9 и + 2 и
топор + 5 а
х + у
Свойства идентичности
Аддитивная идентичность
Число 0 называется аддитивной идентичностью, поскольку при добавлении к любому действительному числу оно сохраняет идентичность этого числа.
Ноль — единственная аддитивная идентичность.
Например: 6 + 0 = 6
Мультипликативное тождество
Число 1 называется мультипликативным тождеством, поскольку при умножении 1 на любое действительное число оно сохраняет тождество этого числа. Единица — единственное мультипликативное тождество.
Например: 6 ⋅ 1 = 6.
Свойства идентичности резюмируются следующим образом.
Аддитивное свойство идентичности | Свойство мультипликативной идентичности |
IF A — это реальное число, затем A + 0 = A и 0 + A = 444495 9 | If a is a real number, then a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a |
Посмотрите следующие видеоролики Академии Хана, чтобы получить дополнительные разъяснения и примеры свойства Identity.
Математический видео-инструментарий: Свойство аддитивной идентификации 0 Свойство мультипликативной идентичности 1 |
Свойства инверсии
Аддитивные инверсии
Когда два числа складываются вместе и результатом является аддитивное тождество, 0, числа называются аддитивными инверсиями друг друга.
Пример
Если к −3 прибавить 3, получится 0: 3 + (−3) = 0,
Числа 3 и −3 являются аддитивными инверсиями друг друга.
Чему равна аддитивная величина, обратная −15?
Ответ: 15
Для более подробного объяснения аддитивных инверсий посмотрите следующее видео от Khan Academy.
Обратное свойство сложения |
Мультипликативные обратные числа
Когда два числа умножаются друг на друга и результатом является мультипликативное тождество 1, числа называются мультипликативно обратными друг другу.
Пример
Когда 6 и умножаются вместе, результат равен 1: то есть 6 ⋅ = 1.
Числа 6 и являются мультипликативными обратными друг другу.
Что является мультипликативным, обратным ?
Ответ:
Обратные свойства таковы.
Обратные свойства
Если a — любое действительное число, то существует уникальное действительное число — a , так что a + (− a ) = 0 и — a + a = 0 |
|
Если a — любое ненулевое действительное число, то существует уникальное действительное число такое, что a ⋅ = 1 и ⋅ a = 1 |
|
Для более подробного объяснения мультипликативных инверсий посмотрите следующее видео от Khan Academy.
Обратное свойство умножения |
Упражнение: аддитивное и мультипликативное обратное преобразование
Выполните следующее упражнение, чтобы попрактиковаться в том, что вы узнали об аддитивных и мультипликативных инверсиях, выбрав ссылку ниже. Практика аддитивных и мультипликативных инверсий После завершения практики вы можете перейти по следующей ссылке, чтобы посмотреть, как вы справились. Проверка аддитивных и мультипликативных обратных ответов |
Подведение итогов обучения
Знаете ли вы, что действительные числа обладают множеством свойств? Теперь вы должны быть знакомы с замыканием, коммутативностью, ассоциативностью, дистрибутивностью, тождественностью и обратными свойствами.
Буквальные объяснения были включены, чтобы упростить интерпретацию символических объяснений. Взгляните на следующий веб-сайт для дополнительных объяснений свойств действительных чисел.
Свойства действительных чисел
Оценка вашего обучения
Теперь, когда вы внимательно прочитали урок и попытались ответить на вопросы упражнения, пришло время для проверки знаний. Обратите внимание, что этот является оцениваемой частью этого модуля, поэтому убедитесь, что вы подготовились перед началом. |
- Выполните обзор арифметики: свойства действительных чисел.
Ресурс:
«Основные свойства действительных чисел: свойства действительных чисел», Эллис В. и Бурзински Д. © 2009 г.получено с http://cnx.org/content/m21894/1.4/, используется в соответствии с авторством Creative Commons http://creativecommons.org/licenses/by/3.
0/. Эта адаптация урока «Свойства действительных чисел» Национального консорциума информационной безопасности и геопространственных технологий (NISGTC) распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 3.0 Unported License. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons.org/licenses/by/3.0.
Дополнительные атрибуты
Натуральное число: определение и примеры
Определения статистики > Натуральные и целые числа
Содержание (Нажмите, чтобы перейти к этому разделу)
- Натуральное число
- Целые числа
- Почему натуральное число является целым числом?
- Целые числа Пример
- Закрытые комплекты и целые изделия
- Свойства целых чисел
Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета. Они целые, неотрицательных чисел. Мы часто видим их представленными в числовой строке .
Строка на изображении выше начинается с 1 и увеличивается до 5. Однако значения чисел могут увеличиваться навсегда (обозначено пунктирной линией на изображении). Следовательно, натуральные числа могут продолжаться до бесконечности.
Набор натуральных чисел обычно обозначается символом ℕ . Например:
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}
Набор натуральных чисел, включающий ноль, известен как целых чисел . Набор целых чисел обычно обозначается как W . Например, ниже представлен набор целых чисел:
W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}
Возможно, это сбивает с толку, некоторые авторы не включают ноль в числовое значение. набор целых чисел. В этом случае это то же самое, что и множество натуральных чисел.
Как упоминалось выше, натуральные числа должны быть целыми и положительными. Это имеет смысл по ряду причин, включая тот факт, что они считают числа. Допустим, учитель хочет посчитать количество учеников в своем классе: она может сосчитать только всех детей целиком.
Мы часто видим в статистике, опубликованной в Интернете, цифры, которые, кажется, противоречат «целостности» людей. Например, «средний размер семьи составляет 3,1 человека». Должно быть совершенно ясно, что невозможно иметь 0,1 человека, но это число является лишь средним. Среднее количество автомобилей на домохозяйство рассчитывается путем сложения общего количества автомобилей и деления на количество домохозяйств. Как только мы разделим, мы больше не будем работать с натуральными числами. Скорее, у нас остается действительное число, в данном случае дробь.
Сумма или произведение натуральных чисел также являются натуральными числами. Например, 5 + 5 = 10 (все три числа натуральные), или 10 · 15 = 150.
Точно так же в физическом мире «натуральных» чисел нет смысла говорить, что у нас есть «что-то отрицательное». . Скорее мы говорим, что у нас есть ноль чего-то там, где их нет. Используя приведенный выше пример с учителем, если у учителя в настоящее время нет учеников в классе, у него нет учеников; В реальном мире нет никакого смысла иметь отрицательных учеников.
Полный набор целых чисел равен набору из неотрицательных целых чисел. Целые числа похожи на целые числа, за исключением того, что они также могут быть отрицательными или нулевыми. Например: -10, -3, 0, 1 5.
Статья по теме: Целочисленные последовательности (CalculusHowTo.com).
Несколько примеров целых чисел: 3, 15, 998, 2, 232, 589.
Все следующие , а не целые числа:
- .
- Дроби : ½, 1/27, 2 ½, 99/100.
- Отрицательные числа: -10, -99, -521.
В теории множеств целые числа подчиняются нескольким правилам. Набор целых чисел:
Замкнуто при сложении и умножении. Возьмите два целых числа a и b. Если добавить потом (a + b = c), то «c» тоже будет целым числом. То же верно и для умножения: a · b = d.
Давайте рассмотрим пару конкретных примеров с числами вместо переменных:
- 6 + 7 = 13
- 6 · 7 = 42
Множество целых чисел не замкнуто для деления и вычитания.
Если a — целое число, то существует другое целое число b, которое дает нецелочисленное решение. В обозначениях это:
- a – b = c
- а/б = д
Где «b», «c» и «d» не являются целыми числами.
Примеры :
- Вычитание:
6 и 10 — целые числа,
, но 7–9 = -2, что не является целым числом. - Подразделение :
4 и 5 — целые числа, но 4/5 — не целое число.
- Целые числа являются коммутативными для сложения и умножения. Вы не можете вычесть два целых числа в любом порядке и получить тот же результат.
В обозначениях: Для любых a, b в наборе целых чисел a + b = b + a и a · b = b a.
Пример : 10 – 1 не то же самое, что 1 – 10. - Целые числа ассоциативны для сложения и умножения. Порядок добавления не важен (они могут быть сгруппированы в разном порядке).
Для любых a, b и c в множестве целых чисел a(b·c) = (a·b) · c и (a + b) + c = a + (b + c).
- Набор целых чисел включает аддитивную единицу (0). Ноль — это аддитивная идентичность целых чисел. В обозначениях а + 0 = а для каждого целого числа а.
- Мультипликативная идентичность равно 1. Умножьте любое целое число на 1, и вы получите тот же результат. В обозначениях 1 · а = а.
Натуральные числа: ссылки
Распространение натуральных чисел на целые
ПРИЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Натуральное число: определение и примеры» из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/natural-number/
————————————————— ————————-
Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!
Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .
Что такое натуральные числа? Определение, свойства и примеры
Определение натуральных чисел
Натуральные числа — это все положительные целые числа от 1 до бесконечности. Их также называют счетными числами, так как они используются для подсчета предметов. Натуральные числа не включают 0 или отрицательные числа.
Числа нужны нам в повседневной жизни, будь то для подсчета предметов, определения времени или нумерации домов. Числа, которые помогают нам в подсчете и представлении величин, называются натуральными числами. К ним относятся 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее до бесконечности.
Здесь мы видим, что 1 — наименьшее натуральное число и каждое последующее натуральное число ровно на единицу больше предыдущего. Таким образом, числа, находящиеся между этими числами, не являются натуральными числами, такими как дроби, десятичные дроби и т. д.
История натуральных чисел
Предполагается, что натуральные числа произошли от слов, используемых для счета предметов, которые начинаются с единицы.
Система разряда для числительных 1 (один) и 10 (десять) была впервые разработана вавилонянами.
Типы натуральных чисел
- Нечетные натуральные числа
Нечетные натуральные числа — это положительные числа, которые не делятся на 2.
Например: 29, 677, 89901 и т.д.0018
Четные натуральные числа — это положительные числа, которые делятся на 2.
Например: 28, 456, 6022 и т. д.
Свойства натуральных чисел
Вот некоторые важные свойства натуральных чисел.
- Замыкающее свойство
- Переместительное свойство
- Ассоциативное свойство
- Распределительное свойство
- Замыкающее свойство сложения и умножения
При сложении или умножении всегда два натуральных числа.
- Примеры замыкания свойства сложения: 2 + 2 = 4, 3 + 4 = 7, 5 + 5 = 10
В каждом случае результатом сложения натуральных чисел является натуральное число.
- Примеры свойства замыкания умножения: 2 × 2 = 4, 3 × 2 = 6, 5 × 5 = 25
В каждом случае результатом умножения натуральных чисел является натуральное число.
Однако в случае деления и вычитания это свойство не выполняется. Вычитание или деление двух натуральных чисел не всегда дает натуральное число.
- Примеры вычитания: 4 – 6 = –2, 5 – 3 = 2, 6 – 9 = –3
Во втором случае получилось натуральное число, а в первом и третьем – нет.
- Примеры деления: 10 ÷ 3 = 3,33, 9 ÷ 3 = 3, 15 ÷ 4 = 3,75
Первый и третий случаи не дали натуральных чисел.
- Ассоциативное свойство сложения и умножения
Сумма или произведение натуральных чисел остается неизменным даже при изменении группировки чисел. Однако это не относится к делению и вычитанию.
- Примеры ассоциативного свойства сложения: 2 + (5 + 6) = 13 и (2 + 5) + 6 = 13
- Примеры ассоциативного свойства умножения: 2 × (3 × 4) = 24 и (2 × 3) × 4 = 24
Теперь рассмотрим природу вычитания и деления с учетом этого свойства.
- Примеры вычитания: 4 – (10 – 2) = –4 и (4 – 10) – 2 = –8
- Примеры деления: 5 ÷ (6 ÷ 3) = 2,5 и (5 ÷ 6) ÷ 3 = 0,27
- Переместительное свойство сложения и умножения
Если мы изменим порядок натуральных чисел при умножении и сложении, результат не изменится.
Например,
- 6 + 5 = 11 и 5 + 6 = 11
- 2 × 4 = 8 и 4 × 2 = 8
Свойство коммутативности не применяется к вычитанию и делению натуральных чисел.
Примеры вычитания и деления:
- 5 – 3 = 2 и 3 – 5 = –2
- 6 ÷ 3 = 2 и 3 ÷ 6 = 0,5
- Распределительное свойство
В соответствии с распределительным свойством умножения над сложением, если мы умножим сумму двух слагаемых на число или умножим каждое слагаемое по отдельности, а затем сложим их, результат будет таким же.
Пример: 2 × (5 + 3) = (2 x 5) + (2 x 3) = 16
Это свойство справедливо и в случае умножения вместо вычитания.
Пример: 2 x (5 – 3) = (2 x 5) – (2 x 3) = 4
Интересные факты
- Не существует самого большого натурального числа.
- Просто прибавив 1 к текущему натуральному числу, вы получите еще одно натуральное число.
- Натуральные числа продолжаются вечно.
Решенные примеры
Давайте лучше поймем концепцию на этих примерах.
- Выберите натуральные числа из следующего списка:
10, 6/2, 4,66, 22, 1564, –6
Ответ. Натуральными числами являются 10, 22 и 1564. Отрицательные числа, десятичные числа и дроби не считаются натуральными числами.
- Перечислите первые десять натуральных чисел.
Ответ. Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10, так как натуральные числа начинаются с 1.
- В чем разница между любыми двумя последовательными натуральными числами?
Ответ. Разница между любыми двумя последовательными натуральными числами всегда равна 1.
Практические задачи
10 и 12
5 и 7
7 и 9
12 и 14
Правильный ответ: 5 и 7
Потому что, когда мы делим 18 на 3, мы получаем число 6, которое лежит между 5 и 7.
m + n = n + m
m – n = n – m
m / n = n / m
Ничего из этого
Правильный ответ: m + n = n + m
Поскольку свойство коммутативности утверждает, что если мы изменим порядок натуральных чисел при умножении и сложении результат не меняется. Это свойство не распространяется на вычитание и деление.
ассоциативное свойство умножения
ассоциативное свойство вычитания
ассоциативное свойство сложения
замыкание сложения
Правильный ответ: ассоциативное свойство сложения
Ассоциативность сложения имеет место для данной задачи. Свойство утверждает, что сумма натуральных чисел остается неизменной, даже если их группировка варьируется.
6 + 5 = 11 и 5 + 6 = 11
2 + (5 + 6) = 13 и (2 + 5) + 6 = 13
2 × (5 + 3) = (2 x 5) + (2 x 3) = 16
4 – 6 = –2
Правильный ответ: 6 + 5 = 11 и 5 + 6 = 11
Как свойство коммутативности гласит, что изменение порядка натуральных чисел при умножении и сложении не изменит результат.