Математика, 3 класс, «Объединение множеств, знак U» | Начальная школа
Автор: Попович Татьяна Виторовна
Организация: МАОУ «СОШ № 2 им. В.Н. Татищева»
Населенный пункт: г. Пермь
Урок математики
Учитель: Попович Татьяна Викторовна
Класс: 3 (УМК «Перспектива», автор курса Л. Г. Петерсон)
Тема урока: Объединение множеств, знак U
Тип урока: урок открытия нового знания.
Цель:
1. Формирование представления об объединении множеств и знаке U.
2. Формирование умения использовать формулы вычисления количества элементов в объединения множеств, находящихся в разных отношениях: включение, пересечение, не имеющих общих элементов.
Дидактические средства: презентация, рефлексивные листы.
Оборудование: компьютер, проектор, учебник математики, тетрадь (для учащихся)
|
|
Этапы урока |
Содержание педагогического взаимодействия |
Формируемые УУД |
Дидактические средства |
|
|
Деятельность учителя |
Деятельность учащихся |
||||
|
1 |
Мотивация к учебной деятельности
|
Приветствует детей, проверяет их готовность к уроку.
|
Приветствуют учителя, проверяют готовность к уроку. |
Метапредметные :организовывать рабочее место, настраиваться на познавательную деятельность. |
|
|
2 |
Актуализация знаний
|
Предлагает задания на доске. — Вычислите значения выражений, запишите ответы в строчку. Организует проверку по эталону результатов работы учеников |
Самостоятельно находят значения выражений, фиксируют результаты вычисление, проверяют по эталону. |
Метапредметные: контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном Предметные: приемы устных вычислений: табличное деление, деление удобным способом, порядок действий, умножение и деление на круглое число |
Индивидуальное задание (слайд 2) 36:6, 100-65, 120:6, 60:4, 19+0:64-34:34, (30+20)·2:20+22 Проверка (слайд 3): 6, 35, 20, 15, 18, 55, 27
|
|
|
Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии |
— На какие два множества можно разбить множество полученных ответов? — В каких отношениях находятся эти множества? |
Пробуют разбить полученные чисел на два множества. Выявляют отношения между полученными множествами.
|
Метапредметные: классификация объектов по выделенным признакам Предметные: актуализация понятия кратности чисел, запись элементов множеств, понятия «пересечение множеств», изображение пересекающихся множеств на модели Эйлера-Венна.
|
Слайд 4
|
|
3 |
Целеполагание
|
А U В — А что означает эта запись? (затруднение) — Как найти количество элементов в объединении двух множеств? (затруднение)
|
Формулируют тему и образовательные цели урока. |
Личностные: смыслообразование — установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом Метапредметные: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно; |
А U В — ? (слайд 5) Тема: объединение множеств Цель: научиться находить количество элементов объединения множеств.
|
|
4 |
Построение проекта выхода
|
— В каких отношения могут находиться множества? |
Актуализируют знания о взаимоотношениях множеств, планируют деятельность на уроке.
|
Метапредметные: планирование — определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий Предметные: взаимоотношения между множествами |
План: 1. Каким будет объединение множеств, если:
2. Понятие «объединение множеств»
|
|
5 |
Реализация построенного проекта Наблюдение 1.
|
— Рассмотрите иллюстрацию. — Какие чувства вызвала у вас иллюстрация? — Сделайте вывод, какие элементы войдут в объединение непересекающихся множеств. |
Рассматривают иллюстрацию, задают множества играющих и неиграющих детей (с помощью перечисления элементов множеств), устанавливают взаимоотношения между множествами, изображают отношения на кругах Элера-Венна.
Запись: А={Сеня} В ={Лена; Игорь} А U В= {Сеня; Лена; Игорь} |
Личностные: действие нравственно — этического оценивания усваиваемого содержания, структурирование знаний Метапредметные: синтез, подведение под понятие. Предметные: установление отношений между непересекающимися множествами, определение количества элементов в объединении непересекающихся множеств. |
Лена и Игорь играют с мячом на детской площадке. Сеня сидит в сторонке… Слайд 7 Слайд 8 ВЫВОД: Число элементов объединения равно сумме элементов в каждом из объединяемых множеств. А U В = n (A) + n (B) |
|
|
Наблюдение 2
.
|
— Рассмотрите иллюстрацию. Какие отношения между множеством играющих детей? — Какие чувства вызвала у вас иллюстрация? — Сделайте вывод, какие элементы войдут в объединение множеств, если одно из них является подмножеством другого? |
Рассматривают иллюстрацию, задают множества играющих детей (с помощью перечисления элементов множеств), устанавливают взаимоотношения между множествами, изображают отношения на кругах Элера-Венна. Запись: А= {Вася; Женя; Олег} В ={Вася} А U В= {Вася; Женя; Олег} |
Личностные: действие нравственно — этического оценивания усваиваемого содержания, структурирование знаний Метапредметные: синтез, подведение под понятие. Предметные: установление отношений между множествами, определение количества элементов в объединении, если одно из них является подмножеством другого.
|
Слайд 9 Слайд 10 ВЫВОД: В объединение множеств, где одно множество является подмножеством другого, входят все элементы этих множеств в единственном экземпляре А U В= n (A) |
|
|
Наблюдение 3 |
— Кто такой Томас Эдиссон? (Небольшой рассказ об ученом. — Прочитайте историю из жизни Т.Эдиссона — К множеству каких людей относили Эдиссона учителя? — Кем он оказался на самом деле? — Как это можно изобразить на диаграмме? |
Читают историю, задают с помощью кругов Эйлера-Венна множества «гениев» и «умственно отсталых»
|
Личностные: действие нравственно — этического оценивания усваиваемого содержания, структурирование знаний Метапредметные: синтез, подведение под понятие. Предметные: установление отношений между пересекающимися множествами, определение количества элементов в объединении пересекающихся множеств.
|
История Однажды юный Томас Эдисон вернулся домой из школы и передал маме письмо от учителя. Мама зачитала сыну письмо вслух, со слезами на глазах: «Ваш сын — гений. Эта школа слишком мала, и здесь нет учителей, способных его чему-то научить. Пожалуйста, учите его сами.» Слайд 12
Т.Эдиссон – элемент пересечения множеств
ВЫВОД: В объединение пересекающихся множеств входят все элементы, которые принадлежат хотя бы одному множеству. А U В = n (A) + n (B) – n (U) |
|
6. |
Первичное закрепление
|
— Вернемся к затруднению, возникшем в начале урока. — Сколько было элементов в множестве А? — Сколько элементов в множестве В? Сколько будет элементов в объединении? |
Вычисляют количество элементов в объединении, выполняют запись в тетради.
|
Метапредметные: структурирование знаний, подведение под понятие Предметные: Формирование понятия «объединение множеств» и навыка вычисления количества элементов объединения |
Запись в тетради: А = {27, 6, 18, 15} – 4 элемента В = {20, 55, 35, 15} – 4 элемента А U В = 4 (А)+ 4 (В) – 1(U) = 7 элементов
|
|
7. |
Самостоятельная работа с проверкой по эталону.
|
— Выполним задание в учебнике (№4, стр. 34) + найдите количество элементов объединения. |
Выполняют задание самостоятельно, проверяют по эталону |
Метапредметные: структурирование знаний, подведение под понятие Предметные: Формирование навыка вычисления количества элементов объединения |
Учебник. Задание № 4, стр 34 C = {1; 3; 5; 7}, D = {4; 5; 6}. Запиши с помощью фигурных скобок объединение множеств C и D. Отметь элементы этих множеств на диаграмме Эйлера−Венна. Эталон (слайд 13) C U D = {1; 3; 4; 5; 6; 7}. 4+3-1 = 6
|
|
7 |
Включение в систему знаний.
|
— Выполните самостоятельно № 6, стр. 34 — Обменяйтесь тетрадями в паре, выполните проверку. |
Нахождят элементы пересечения и объединения множеств, работают с диаграммой Эйлера-Венна, применяют формулу вычисления количества элементов объединения пересекающихся множеств. |
Метапредметные: контроль в форме сличения способа действия и его результата, планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками – определение целей, функций участников, способов взаимодействия; Предметные: нахождение элементов пересечения и объединения множеств, работа с диаграммой Эйлера-Венна, применение формулы вычисления количества элементов объединения пересекающихся множеств. |
Учебник. Задание № 6, стр 34 D = {а; е; м; к}, E = {a; б; м}. Запиши с помощью фигурных скобок пересечение и объединение множеств D и E. Отметь элементы этих множеств на диаграмме Эйлера−Венна. Обведи красным карандашом множество D U E. Сколько элементов содержат множества D, E, D ∩ E, D U E? Эталон (слайд 13) D ∩ E = {а; м}. Множество D содержит 4 элемента; |
|
8 |
Рефлексия учебной деятельности |
Предлагаю вам, ребята, подвести итог урока, заполните таблицу, поставив «+» и «–». |
Заполняют рефлексивный лист |
Метапредметные: выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, оценивание качества и уровня усвоения
|
|
|
P.S. — А вот чем закончилась история с запиской, которую нашел Т.Эдиссон: «Эдисон прорыдал несколько часов. Потом записал в свой дневник: «Томас Алва Эдисон был умственно отсталым ребенком. Благодаря своей героической матери он стал одним из величайших гениев своего века.»
|
|||||
Настраивает на активную работу.
Какие отношения между множеством играющих и неиграющих детей?
Слайд 11)
Список использованной литературы:
- Карнеги, Дейл. Малоизвестные факты о хорошо известных людях / Д. Карнеги. — Москва, 1993. — 211 с.
- Математика, 3 класс, Поурочные планы по учебнику Петерсон Л.
Г., 2010. - Методические рекомендации к учебнику «Математика. 3 класс» ФГОС
- Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Учебное пособие (учебник-тетрадь). В 3-х частях. ФГОС
Г., 2010.Приложения:
- file0.docx.. 1013,0 КБ
- file1.pptx.zip.. 1,7 МБ
Пересечение и объединение множеств
Вы знаете, ученик третьего класса Максим очень хотел объяснить вам эту тему, но немного приболел и прийти сегодня не смог. Но, благодаря Интернету, мы можем с ним связаться.
̶ Здравствуй Максим!
̶ Здравствуйте! Проверьте, чтобы ваши соседи по парте были готовы к уроку. И мы начинаем.
Прослушайте название пар множеств и попытайтесь заметить, что повторяется в каждой паре.
Животные и герои мультфильмов;
Рыбы и птицы;
Материки и части света;
Звёзды и планеты.
Ну,
что заметили? Конечно, повторялся слово «и».
Если в названии множества есть союз «И», то каждый его элемент должен находиться на пересечении двух множеств, т.е. находиться одновременно в двух множествах. Другими словами мы можем сказать, что пересечение множеств – это их общая часть.
А теперь задание.
Необходимо разместить элементы по своим множествам.
Давайте посмотрим, что за элементы. Так это имена мальчиков и девочек: Коля, Ваня, Даша, Игорь, Катя, Саша, Дима, Юля, Ира, Женя. Будем размещать имена мальчиков в синий прямоугольник, а девочек – в розовый. Ага! Так ведь Сашей и Женей могут звать как мальчиков, так и девочек. Значит, эти два имени будут находиться сразу в двух множествах, т.е. на пересечении двух множеств.
Итак,
Коля, Ваня – это мальчики, помещаем эти элементы во множество имён мальчиков.
Даша – имя девочки, помещаем в розовый прямоугольник, где находятся имена
девочек.
Игорь – имя мальчика, Катя – имя девочки. Саша, так могут звать и
мальчика, и девочку, значит, этот элемент будет находиться на пересечении
двух множеств. Дима – элемент из множества имён мальчиков. Юля, Ира,
конечно элементы из множества имён девочек. И последнее имя, Женя, это имя
могут иметь как девочки, так и мальчики. Значит, этот элемент будет находиться на
пересечении двух множеств.
Теперь все имена находятся в своих множествах.
А сейчас я прочитаю названия ещё нескольких пар множеств, а вы попытайтесь заметить, что повторяется в этих парах.
Яблоки или груши;
Полевые или садовые цветы;
Попугаи или морские свинки;
Рабочие или выходные дни.
Заметили, что повторялось в парах множеств? Конечно, это слово «или».
Посмотрите ещё раз на названия множеств.
Например,
яблоки или груши. А ведь эти множества можно объединить в одно с общим
названием «фрукты» и все элементы будут располагаться в одном новом
множестве.
Попугаи или морские свинки. Их можно объединить во множество с названием
«домашние животные» и все попугаи, и все морские свинки будут находиться в новом множестве.
Значит, если в названии множества есть слово «или», то его элемент может находиться в любом множестве и тогда происходит объединение множеств, т.е. эти множества объединяются.
Давайте рассмотрим два множества: домашние животные, дикие животные.
Множество домашние животные содержат следующие элементы: собака, кошка, морская свинка, попугай.
Множество дикие животные состоит из следующих элементов: бегемот, леопард, волк, лев.
Какой
общий признак у элементов этих двух множеств? Элементы
каждого из них относятся с животному миру. Значит, можно, объединив эти
множества, создать новое множество под названием животные. Теперь
все элементы находятся в одном множестве.
А теперь, конечно, задание.
Распределить элементы по множествам, объединить их и придумать название для нового множества.
Итак, смотрим на элементы. Ага, у нас два множества: множество стульев и множество столов. Распределяем элементы по множествам. Все элементы стулья во множество стульев, а все элементы столы во множество столов.
Объединяем множества. Какое название будет у нашего нового множества? Множество мебели.
Давайте ещё раз определим разницу между пересечением и объединением множеств.
Если в названии множества есть слово «И», то это пересечение, и каждый элемент должен находиться на пересечении двух множеств.
Если в названии множества есть слово «или», то его элемент может находиться в любо области объединённых множеств.
Я
надеюсь, что вы поняли разницу между пересечением и объединением
множеств.
А давайте проверим?
Итак, перед вами рисунок с тремя множествами.
Множество учеников, которые любят математику, множество учеников, которые любят информатику и множество всех учеников. Но, среди учеников есть и такие, которые любят и математику и информатику. Значит, эти два множества пересекаются и одновременно они являются подмножеством множества всех учеников. А теперь появляются элементы во множествах.
Используя полученные знания сегодня на уроке, будем отвечать на вопросы. А все ответы хранятся на этом рисунке, главное внимательно слушать вопросы и внимательно смотреть на рисунок.
Первый вопрос:
Сколько
учеников любят математику? Считаем их во множестве учеников, которые любят
математику, и не забываем посчитать тех учеников, которые находятся на пересечении
двух множеств учеников, которые любят и математику, и информатику. Считаем.
Их
шесть.
Сколько учеников любят информатику? Считаем их во множестве учеников, которые любят информатику и опять считаем тех учеников, которые находятся на пересечении двух множеств. Считаем. Их пять.
Сколько учеников любят и математику, и информатику? Будем считать тех учеников, которые находятся на пересечении двух множеств. Их три.
Сколько учеников любят или математику или информатику? Если используется слово «или», значит элементы находятся в любом месте множеств за исключением любителей двух предметов сразу. Значит, считаем учеников и в первом множестве и во втором, но не включаем тех, кто находится в пересечении. Их пять.
Сколько
учеников любят только математику? Любят математику только те, которые находятся
во множестве учеников, которые любят математику. Ученики, которые находятся на
пересечении двух множеств, сюда относится не будут, т.к. они любят и
математику, и информатику.
Итак, считаем и получается, что 3 ученика любят
только математику.
Сколько учеников любят только информатику? Опять, учеников, которые находятся на пересечении двух множеств, считать не будем. Любителей информатики двое.
Сколько учеников не любят математику? Надо посчитать их во множестве учеников, которые любят информатику, кроме тех, которые находятся на пересечении множеств, т.к. эти ученики любят информатику и математику. А так же надо посчитать тех учеников, которые находятся во множестве всех учеников, т.к. они не любят математику. Их всего 5.
Всем спасибо за отличную работу. Теперь я точно понял, что хочу быть учителем!
Тебе спасибо, Максим. Тему объяснил хорошо. До свидания! А мы ещё сделаем выводы.
Итак.
Множество – это объединение некоторых объектов (элементов) в группу по определённым признакам.
Множество
может быть подмножеством другого множества.
Например: множество
собак является подмножеством множества домашние животные.
Множества могут пересекаться. Например: множество чисел, которые делятся на 2, и множество чисел, которые делятся на 3, пересекаются, т.к. числа, например, 6 и 12 делится и на 2, и на 3.
Множества могут и не пересекаться. Например: множество телефонов и множество цветов.
И множества могут объединяться. Например: множество рабочих дней недели и множество выходных можно объединить в одно множество дней недели.
Выводы сделаны, и я желаю вам успехов при выполнении заданий!
Набор операций | Союз | Пересечение | Дополнение | Разница | Взаимоисключающие | Перегородки | Закон де Моргана | Распределительный закон
← предыдущий
следующий →
Объединение двух множеств представляет собой множество, содержащее все элементы, находящиеся в $A$ или в
$B$ (возможно, оба).
Например, $\{1,2\}\cup\{2,3\}=\{1,2,3\}$. Таким образом, мы можем написать $x\in(A\cup B)$
тогда и только тогда, когда $(x\in A)$ или $(x\in B)$. Обратите внимание, что $A \cup B=B \cup A$. На рисунке 1.4,
объединение множеств $A$ и $B$ показано заштрихованной областью на диаграмме Венна. 9{n} A_i.$$
Например, если $A_1=\{a,b,c\}, A_2=\{c,h\}, A_3=\{a,d\}$, то $\bigcup_{i} A_i=A_1 \cup А_2
\cup A_3=\{a,b,c,h,d\}$. Аналогичным образом мы можем определить объединение бесконечного числа множеств
$A_1 \чашка A_2 \чашка A_3 \чашка\cdots$.
Пересечение двух множеств $A$ и $B$, обозначаемое $A \cap B$, состоит из всех элементов которые оба находятся в $A$ $\underline{\textrm{and}}$ $B$. Например, $\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}$. На рис. 1.5 пересечение множеств $A$ и $B$ показано заштрихованной областью с помощью диаграммы Венна. 9с$.
Рис.1.8 — Заштрихованная область показывает множество $A-B$. Два множества $A$ и $B$ являются взаимоисключающими или непересекающимися , если они не имеют общих
элементы; т.
е. их пересечение есть пустое множество $A \cap B=\emptyset$. В общем, несколько наборов
называются непересекающимися, если они попарно не пересекаются, т. е. никакие два из них не имеют общих элементов.
На рис. 1.9 показаны три непересекающихся множества.
Если земная поверхность является нашим эталонным пространством, мы можем захотеть разделить его на разные континенты. Точно так же страна может быть разделена на разные провинции. В общем, набор непустых наборы $A_1, A_2,\cdots$ — это разбивает множества $A$, если они не пересекаются и их объединение равно $A$. На рис. 1.10 множества $A_1, A_2, A_3$ и $A_4$ образуют разбиение универсального множества $S$.
Рис.1.10 — Набор множеств $A_1, A_2, A_3$ и $A_4$ является разбиением $S$.Вот несколько правил, которые часто бывают полезны при работе с множествами. Вскоре мы увидим примеры их использования.
Теорема : Закон Де Моргана
Для любых множеств $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$ имеем
9с$.
Теорема : Закон распределения
Для любых множеств $A$, $B$ и $C$ имеем
- $A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A\cap C)$;
- $A \чашка (B \крышка C)=(A \чашка B) \крышка (A\чашка C)$.
Пример
Если универсальный набор задан как $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ и $A=\{1,2\}$, $B=\{2, 4,5\}, C=\{1,5,6\} $ — три множества, найдите следующие множества:
- $A\чашка B$
- $A\cap B$ 9c=\{3,4,5,6\} \cap \{1,3,6\}=\{3,6\}.$$
- Имеем $$A \cap (B \cup C)=\{1,2\} \cap \{1,2,4,5,6\}=\{1,2\},$$, что равно такой же как $$(A \cap B) \cup (A\cap C)=\{2\} \cup \{1\}=\{1,2\}.$$
A Декартово произведение двух множеств $A$ и $B$, записанное как $A\times B$, представляет собой множество, содержащее упорядоченных пары из $A$ и $B$. То есть, если $C=A \times B$, то каждый элемент $C$ имеет вид $(x,y)$, где
$x \in A$ и $y \in B$:
$$A \times B = \{(x,y) | x \in A \textrm{ и } y \in B \}.
$$
Например, если $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{H,T\}$, то
$$A \times B=\{(1,H),(1,T),(2,H),(2,T),(3,H),(3,T)\}.$$
Обратите внимание, что здесь пары упорядочены, например, $(1,H)\neq (H,1)$. Таким образом, $A \times B$ равно не то же, что $B \times A$.
Если у вас есть два конечных множества $A$ и $B$, где $A$ состоит из $M$ элементов, а $B$ состоит из $N$ элементов, то $A \times B$
имеет $M \times N$ элементов. Это правило называется принципом умножения на и очень полезно при подсчете
количества элементов в наборах. Количество элементов в множестве обозначается $|A|$, поэтому здесь мы пишем $|A|=M,
|B|=N$ и $|A \times B|=MN$. В приведенном выше примере $|A|=3, |B|=2$, поэтому $|A \times B|=3 \times 2 = 6$.
Аналогично можно определить декартово произведение $n$ множеств $A_1, A_2, \cdots, A_n$ как
$$A_1 \times A_2 \times A_3 \times \cdots \times A_n = \{(x_1, x_2, \cdots, x_n) | x_1 \in A_1 \textrm{ и }
x_2 \in A_2 \textrm{ и }\cdots x_n \in A_n \}.$$
Принцип умножения утверждает, что для конечных множеств $A_1, A_2, \cdots, A_n$, если $$|A_1|=M_1, |A_2|=M_2,
\cdots, |A_n|=M_n,$$ затем $$\mid A_1 \times A_2 \times A_3 \times \cdots \times A_n \mid=M_1 \times M_2
\times M_3 \times \cdots \times M_n.
$$ 93=\mathbb{R}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ и так далее.
← предыдущая
следующая →
Печатная версия книги доступна на Amazon здесь.
Пересечение и объединение 3 наборов
Получите максимум от просмотра этой темы в своем текущем классе. Выберите свой курс сейчас .
Интро
Начать просмотр
Уроки
- Знакомство с Intersection and Union of 3 Sets:
Пересечение и союз из 3 наборов
Принцип включения и исключения с 3 наборами
Примеры
СТАРЬ
Уровни
- и нахождение на поисках
- .
На приведенной ниже диаграмме Венна показаны типы инструментов, которые нравятся людям.
Найдите следующее:
- n((D∪\cup∪G)\B)
- n((B∪\cup∪D)\G)
- n(D∩\cap∩G∩\cap∩B)
- n(D\G\B)
- n((D∩\cap∩G)∪\cup∪(G∩\cap∩B))
- Учитывая следующую диаграмму Венна:
Круг А, В, А, В, А, В и ССС содержат одинаковое количество элементов. Найдите a,b,a,b,a,b и ccc .
- Ричард опросил 200 человек, чтобы узнать, какие виды спорта им нравятся. Вот информация, которую получил Ричард:
— 70 человек любят футбол.
— 60 человек любят баскетбол.
— 50 человек любят теннис.
— 25 человек любят футбол и баскетбол, но не теннис
— 10 человек любят футбол и теннис, но не баскетбол.
— 7 человек любят баскетбол и теннис, но не футбол
— 10 человек любят все три вида спорта
Сколько людей не любит ни один вид спорта?
- Принцип включения и исключения с 3 наборами
Вилли опросил 76 человек для кондитерской.
Каждый человек съел хотя бы один из тортов: клубничный, шоколадный и ванильный. Вот информация, которую получил Вилли:— 57 ели клубнику, 50 ели шоколад и 39 ели ваниль.
— 20 ел и клубнику и шоколад, но не ваниль.
— 15 ел клубнику и ваниль, но не шоколад.
— 5 ел шоколад и ваниль, но не клубнику.
Кто съел все три вида пирожных?
Присоединиться бесплатно!
StudyPug — это платформа помощи в обучении, охватывающая математику и естественные науки с 4 класса до второго курса университета. Наши видеоуроки, неограниченное количество практических задач и пошаговые объяснения обеспечат вам или вашему ребенку всю необходимую помощь для освоения концепций. Кроме того, это весело — с достижениями, настраиваемыми аватарами и наградами, которые поддерживают вашу мотивацию.
- Учащиеся
- Родители
Бесплатная регистрация
Легко видеть ваш прогресс
Мы отслеживаем ваш прогресс по теме, чтобы вы знали, что вы сделали.
- .
Каждый человек съел хотя бы один из тортов: клубничный, шоколадный и ванильный. Вот информация, которую получил Вилли: