Решебник алгебра 11 класс мордкович базовый уровень: ГДЗ (решебник) по алгебре 10-11 класс Мордкович задачник

Сравнивая данные по числовым строкам , обратите внимание, что решение для обеих неравенств будет X > 4. Ответ, X > 4.

Пример 2

Вычисляя первое неравенство получаем -3 X x > 2, второе — X > -8, или X X, при котором первое системное неравенство , а по нижней числовой строке, все те значения X , при которых реализуется второе неравенство системы.

Сравнивая данные, находим, что оба неравенства будут выполняться для всех значений X , расставленных от 2 до 8. Наборы значений X обозначают двойное неравенство 2 X

Пример 3 Найдем

Неравенство – это два числа или математические выражения, связанные одним из знаков: >

неравенство является линейным при тех же условиях, что и уравнение: оно содержит переменные только первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств неразрывно связано с их геометрическим смыслом: решением линейного неравенства является некоторая полуплоскость, на которую вся плоскость разбита прямой, уравнение которой дано линейным неравенством. Эту полуплоскость, а в случае системы линейных неравенств часть плоскости, ограниченную несколькими прямыми, необходимо найти на чертеже.

К решению систем линейных неравенств с большим числом переменных сводятся многие экономические задачи, в частности задачи линейного программирования, в которых требуется найти максимум или минимум функции.

Решение систем линейных неравенств с любым числом неизвестных

Сначала проанализируем линейные неравенства на плоскости. Рассмотрим одно неравенство с двумя переменными и :

,

где — коэффициенты переменных (какие-то числа), — свободный член (тоже какое-то число).

Одно неравенство с двумя неизвестными, как и уравнение, имеет бесконечное число решений. Решением этого неравенства является пара чисел, удовлетворяющих этому неравенству. Геометрически множество решений неравенства изображается в виде полуплоскости, ограниченной прямой

,

, которую мы будем называть границей.

Шаг 1. Построить прямую, ограничивающую множество решений линейного неравенства

Для этого нужно знать любые две точки этой прямой. Найдем точки пересечения с осями координат. Ордината пересечения A равна нулю (рис. 1). Числовые значения по осям на этом рисунке относятся к примеру 1, который мы разберем сразу после этого теоретического отступления.

Находим абсциссу, решая как систему уравнение прямой с уравнением оси.

Найдем пересечение с осью:

Подставляя значение в первое уравнение, получаем

Где .

Таким образом, мы нашли абсциссу точки A .

Найдем координаты точки пересечения с осью.

Точка абсцисс B равна нулю. Решим уравнение граничной линии с уравнением оси координат:

,

отсюда координаты точки B : .

Шаг 2. Проведите линию, ограничивающую множество решений неравенства. Зная точки А и В пересечения граничной линии с осями координат, мы можем провести эту линию. Прямая (снова рис. 1) делит всю плоскость на две части, лежащие справа и слева (сверху и снизу) от этой прямой.

Если решать систему линейных неравенств , то каждый шаг выполняется для каждого из неравенств системы.

Пример 1 Решить неравенство

Решение. Нарисуем прямую

Подставляя в уравнение прямую, получаем, а подставляя, получаем. Следовательно, координаты точек пересечения с осями будут

Выберем полуплоскость решений неравенства. Для этого подставим координаты начала (0;0) в неравенство:

получаем , т. е. координаты начала координат удовлетворяют этому неравенству. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая начало координат, т. е. левая (или нижняя) полуплоскость.

Если бы это неравенство было строгим, т. е. имело бы вид

, то точки граничной линии не будут решением, так как не удовлетворяют неравенству.

Теперь рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными:

Каждое из неравенств этой системы на плоскости определяет полуплоскость. Система линейных неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений.

Геометрически решением системы линейных неравенств является множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам системы, то есть общая часть полученных полуплоскостей. Поэтому геометрически в общем случае решение можно изобразить в виде некоторого многоугольника, в частном случае это может быть линия, отрезок и даже точка. Если система линейных неравенств несовместна, то на плоскости нет ни одной точки, удовлетворяющей всем неравенствам системы.

Пример 2

Решение. Итак, требуется найти многоугольник решений этой системы неравенств. Построим граничную линию для первого неравенства, то есть прямую, и граничную линию для второго неравенства, то есть прямую.

Делаем это поэтапно, как было показано в теоретической справке и в примере 1, тем более, что в примере 1 граничная линия строилась для неравенства, которое является первым в этой системе.

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам этой системы, на рис. 2 заштрихованы внутрь. Общая часть полуплоскостей решений представляет собой открытый угол ABC . Это означает, что множество точек на плоскости, составляющих открытый угол ABC , является решением как первого, так и второго неравенства системы, то есть является решением системы двух линейных неравенств. Другими словами, координаты любой точки из этого множества удовлетворяют обоим неравенствам системы.

Пример 3 Решение системы линейных неравенств

Решение. Построим граничные линии, соответствующие неравенствам системы. Мы делаем это, следуя шагам, указанным в теоретических основах для каждого неравенства. Теперь определим полуплоскости решений для каждого неравенства (рис. 3).

Полуплоскости решения, соответствующие неравенствам данной системы, заштрихованы внутрь. Пересечение полуплоскостей решений изображаем, как показано на рисунке, в виде четырехугольника

Все, что описано выше о системах линейных неравенств с двумя неизвестными, относится и к системе неравенств с любым числом неизвестных, с той лишь разницей, что решением неравенства с n неизвестными будет совокупность n чисел ( ), удовлетворяющая всем неравенствам, и вместо граничной линии будет граничная гиперплоскость n -мерное пространство. Решением будет многогранник решений (симплекс), ограниченный гиперплоскостями.

На этом уроке мы начнем изучение систем неравенств. Сначала рассмотрим системы линейных неравенств. В начале урока рассмотрим, где и почему возникают системы неравенств. Далее мы изучим, что значит решить систему, и вспомним объединение и пересечение множеств. В конце решим конкретные примеры для систем линейных неравенств.

Тема : диета реальное неравенство и его системы

Урок: Основные понятия, решение систем линейных неравенств

До сих пор мы решали отдельные неравенства и применяли к ним интервальный метод, это могут быть линейные неравенства , и квадратные и рациональные. Теперь перейдем к решению систем неравенств — первых линейных систем . Рассмотрим пример, откуда возникает необходимость рассматривать системы неравенств.

Найти область действия функции

Найти область действия функции

Функция существует, когда существуют оба квадратных корня, т.е.

Как решить такую ​​систему? Необходимо найти все x, удовлетворяющие как первому, так и второму неравенству.

Отобразите по оси абсцисс множество решений первого и второго неравенств.

Интервал пересечения двух лучей и есть наше решение.

Этот метод представления решения системы неравенств иногда называют методом крыши.

Решением системы является пересечение двух множеств.

Представим это графически. У нас есть множество A произвольной природы и множество B произвольной природы, которые пересекаются.

Определение: Пересечение двух множеств A и B — это третье множество, состоящее из всех элементов, входящих как в A, так и в B.

Рассмотреть на конкретных примерах решения систем линейных неравенств, как найти пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.

Решите систему неравенств:

Ответ: (7; 10].

4. Решить систему

Откуда может взяться второе неравенство системы? Например, из неравенства

Обозначим графически решения каждого неравенства и найдем интервал их пересечения.

Таким образом, если у нас есть система, в которой одно из неравенств удовлетворяет любому значению x, то его можно исключить.

Ответ: система несовместима.

Мы рассмотрели типовые опорные задачи, к которым сводится решение любой линейной системы неравенств.

Рассмотрим следующую систему.

7.

Иногда линейная система задается двойным неравенством; рассмотреть этот случай.

8.

Мы рассмотрели системы линейных неравенств, поняли откуда они берутся, рассмотрели типовые системы, к которым относятся все линейные системы и решили некоторые из них.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Учеб. Для общеобразовательных учреждений. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и соавт. Алгебра 9 класс: Рабочая тетрадь для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 143 с.: ил.

3. Ю.В. Н. Макарычев, Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразовательных школ. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс 16 изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс В 14 ч. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс В 2 часа. Часть 2. Задание для студентов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Эд. А. Г. Мордкович. — 12-е изд., испр. — М.: 2010. — 223 с.: ил.

1. Портал естественных наук ().

2. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

4. Образовательный центр «Технология образования» ().

5. Раздел College.ru по математике ().

1. Мордкович А.Г. и соавт. Алгебра 9 класс: Рабочая тетрадь для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002. — 143 с.: ил. № 53; 54; 56; 57.

В этой статье собраны исходные сведения о системах неравенств. Здесь мы даем определение системы неравенств и определение решения системы неравенств. Также перечислены основные виды систем, с которыми чаще всего приходится работать на уроках алгебры в школе, и приведены примеры.

Навигация по страницам.

Что такое система неравенств?

Системы неравенств удобно определять так же, как мы ввели определение системы уравнений, т. е. по типу записи и заложенному в нее смыслу.

Определение.

Система неравенств — запись, представляющая определенное количество неравенств, написанных одно под другим, объединенных слева фигурной скобкой, и обозначающая множество всех решений, одновременно являющихся решениями каждого неравенства системы.

Приведем пример системы неравенств. Возьмем два произвольных , например, 2 x−3>0 и 5−x≥4 x−11 , запишем их один под другим
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
и соединим с знак системы — фигурная скобка, в результате получаем систему неравенств следующего вида:

Аналогично дается представление о системах неравенств в школьных учебниках. Стоит отметить, что определения в них даны более узко: для неравенств с одной переменной или с двумя переменными.

Основные виды систем неравенств

Понятно, что различных систем неравенств бесконечно много. Чтобы не потеряться в этом многообразии, целесообразно рассматривать их группами, имеющими свои отличительные черты. Все системы неравенств можно разделить на группы по следующим признакам:

• по количеству неравенств в системе;
• по количеству переменных, участвующих в записи;
• по характеру неравенств.

По количеству входящих в запись неравенств различают системы двойки, тройки, четверки и т. д. неравенства. В предыдущем пункте мы привели пример системы, представляющей собой систему двух неравенств. Приведем еще один пример системы четырех неравенств.

Отдельно скажем, что нет смысла говорить о системе одного неравенства, в данном случае фактически речь идет о самом неравенстве, а не о системе.

Если посмотреть на количество переменных, то существуют системы неравенств с одной, двумя, тремя и т. д. переменными (или, как говорят, неизвестными). Посмотрите на последнюю систему неравенств, написанную двумя абзацами выше. Это система с тремя переменными x, y и z. Заметим, что ее первые два неравенства содержат не все три переменные, а только одну из них. В контексте этой системы их следует понимать как неравенства с тремя переменными вида x+0 y+0 z≥−2 и 0 x+y+0 z≤5 соответственно. Обратите внимание, что школа фокусируется на неравенствах с одной переменной.

Осталось обсудить, какие типы неравенств присутствуют в системах письма. В школе в основном рассматривают системы двух неравенств (реже — трех, еще реже — четырех и более) с одной или двумя переменными, а сами неравенства обычно представляют собой целочисленных неравенств первой или второй степени (реже — высших степеней или дробно рациональным). Но не удивляйтесь, если в материалах по подготовке к ОГЭ вам попадутся системы неравенств, содержащие иррациональные, логарифмические, показательные и другие неравенства. В качестве примера приведем систему неравенств, она взята из .

Каково решение системы неравенств?

Введем еще одно определение, относящееся к системам неравенств — определение решения системы неравенств:

Определение.

Решение системы неравенств с одной переменной Называется такое значение переменной, которое обращает каждое из неравенств системы в истинное, иначе говоря, является решением каждого неравенства системы.

Поясним на примере. Возьмем систему двух неравенств с одной переменной. Примем значение переменной x равным 8 , оно является решением нашей системы неравенств по определению, так как его подстановка в неравенства системы дает два правильных числовых неравенства 8>7 и 2−3 8≤0 . Наоборот, единица не является решением системы, так как при ее подстановке вместо переменной x первое неравенство превратится в неверное числовое неравенство 1>7.

Аналогично можно ввести определение решения системы неравенств с двумя, тремя и более переменными:

Определение.

Решение системы неравенств с двумя, тремя и т. д. переменными называется парой, тройкой и т. д. значений этих переменных, которое одновременно является решением каждого неравенства системы, т. е. превращает каждое неравенство систему в истинное числовое неравенство.

Например, пара значений x=1 , y=2 или в другой записи (1, 2) является решением системы неравенств с двумя переменными, так как 1+2

Системы неравенств могут не иметь решений, могут иметь конечное число решений или могут иметь бесконечно много решений. Часто говорят о множестве решений системы неравенств. Если система не имеет решений, то существует пустое множество ее решений. Когда существует конечное число решений, то множество решений содержит конечное число элементов, а когда решений бесконечно много, то множество решений состоит из бесконечного числа элементов.

В некоторых источниках вводятся определения частного и общего решения системы неравенств, как, например, в учебниках Мордковича. Под частным решением системы неравенств понимают одно ее единственное решение. В свою очередь общее решение системы неравенств — это все ее частные решения. Однако эти термины имеют смысл только тогда, когда требуется подчеркнуть, о каком решении идет речь, но обычно это уже ясно из контекста, поэтому гораздо чаще говорят просто «решение системы неравенств».

Из определений системы неравенств и ее решений, введенных в данной статье, следует, что решением системы неравенств является пересечение множеств решений всех неравенств этой системы.

Библиография.

1. Алгебра: учебник на 8 кл. общеобразовательные учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ИСБН 978-5-09-019243-9.
2. Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс В 14 ч. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 13-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2011. — 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 14 ч. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 2-е изд., ст. — М.: Мнемозина, 2008. — 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. ЕГЭ -2013. Математика: типовые варианты экзамена: 30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издательство «Народное образование», 2012. – 19 с.2 р. — (ЕГЭ-2013. ФИПИ — школа).

Рассмотрим примеры решения системы линейных неравенств.

4x + 29 \end(массив) \right.\]» title=»(!ЯЗЫК:Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

Чтобы решить систему, необходимо каждое из составляющих ее неравенств. Только принято решение записывать не по отдельности, а вместе, объединяя их фигурной скобкой.

В каждом из неравенств системы переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую с обратным знаком:

Title=»(!ЯЗЫК:Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

После упрощения обе части неравенства нужно разделить на число перед x. Делим первое неравенство на положительное число, поэтому знак неравенства не меняется. Делим второе неравенство на отрицательное число, поэтому знак неравенства нужно поменять местами:

Title=»(!ЯЗЫК:Rendered by QuickLaTeX. com»>!}

Отмечаем решение неравенства на числовых рядах:

В ответ записываем пересечение решений, то есть ту часть, где штриховка есть на обеих линиях.

Ответ: x∈[-2;1).

Избавимся от дроби в первом неравенстве. Для этого обе части умножаем почленно на наименьший общий знаменатель 2. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.

Раскройте скобки во втором неравенстве. Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. Справа — квадрат разницы между двумя выражениями.

Title=»(!ЯЗЫК:Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

Переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую с обратным знаком и упрощаем:

Разделите обе части неравенства на число перед x. В первом неравенстве мы делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Во втором делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

Title=»(!ЯЗЫК:Rendered by QuickLaTeX. com»>!}

Оба неравенства помечены «меньше» (не обязательно, чтобы один знак был строго «меньше», другой не был строгим, «меньше или равно»). Мы можем не отмечать оба решения, а использовать правило «». Наименьшее равно 1, поэтому система сводится к неравенству

Отмечаем его решение на числовой прямой:

Ответ: x∈(-∞;1].

Раскрываем скобки. В первом неравенстве — . Он равен сумме кубов этих выражений.

Во втором — произведение суммы и разности двух выражений, равное разности квадратов. Так как здесь перед скобками стоит знак минус, то раскрывать их лучше в два этапа: сначала использовать формулу, а уж потом раскрывать скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный.

Переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую с обратным знаком:

Title=»(!ЯЗЫК:Rendered by QuickLaTeX.com»>!}

Оба знака больше. Используя правило «больше, чем больше», мы сводим систему неравенств к одному неравенству.