Спиши ру алгебра: Серия книг «Решебник (СПИШИ.РУ)» — 63 книги

Аналогично приведенному выше правилу, деление знаменателя дроби дает тот же эффект, что и умножение числителя. Дробь ниже равна умножению выше.

«`{1 \over \left({6 \over 2}\right)} = {(1*2) \over 6} = {1 \over 3}«`

5

«` \left({a \over b}\right)+\left({c \over d}\right) = {(ad+bc) \over bd} «`

Дроби можно суммировать, умножая между числителями и знаменателями и умножая знаменатели на общий знаменатель.

Если верхнюю и нижнюю часть дроби умножить на одно и то же число, дробь останется неизменной. Итак, мы можем сложить две дроби, сначала умножив числитель и знаменатель каждой дроби на знаменатель другой дроби. Затем, поскольку обе дроби теперь имеют один и тот же знаменатель (произведение двух знаменателей), мы можем объединить их в одну дробь с суммой в числителе.

«`{3 \более 5}+{1 \более 3} = {(3*3) \более (5*3)} + {(1*5) \более (3*5)} = { (1*5)+(3*3) \более (3*5)} = {14 \более 15}«`

6

«` \left({a \over b}\right)-\left({c \over d}\right) = {(ad-bc) \over bd} «`

Как превратить вычитание двух дробей в одну дробь.

Это другая версия правила 5, но для вычитание из двух дробей, а не сложение.

«`{3 \более 5}-{1 \более 3} = {(3*3) \более (5*3)} — {(1*5) \более (3*5)} = { (3*3)-(1*5) \более (3*5)} = {9-5 \более 15} = {4 \более 15}«`

7

«` {(a-b) \over (c-d)} = {(b-a) \over (d-c)} «`

При обратном вычитании числителя и знаменателя дроби значение дроби остается неизменным.

Обратное вычитание дает обратный результат: «5-3 = 2; 3-5 = -2«. В дроби, если и числитель, и знаменатель перевернуты, значение дроби останется прежним. Итак, если мы реверсируем вычитание как в числителе, так и в знаменателе, значение дроби не изменится.

«`{3-5 \более 2-1} = {-2 \более 1} = {5-3 \более 1-2} = {2 \более -1} = -2«` или ` «{-3 \более -4} = 0,75 = {3 \более 4}«`

8

«` {(a+b) \over c} = {a \over c} + {b \over c} «`

Дроби с общими знаменателями можно объединять.

Можно сложить две дроби с общими знаменателями, сложив числители и оставив знаменатель без изменений. Идя в другую сторону, мы также можем разбить дробь с прибавлением в числителе на две дроби (каждая с общим знаменателем).

«`{(1+2) \более 4} = {3 \более 4} = {1 \более 4} + {2 \более 4}«`

9

«` {ac+bc \over c} = a+b «`

Умножение и деление (на одно и то же число) компенсируют друг друга.

Деление является обратным умножению: если «{a \over b} = c«, то «b*c = a«. Это означает, что дробь «{ac \ over c}« равна «a«, поскольку мы умножаем «a« на «c«, а затем сразу делим на «c« снова, что возвращает нас туда, откуда мы начали. Поскольку мы знаем, что «{ac+bc \over c} = {ac \over c} + {bc \over c}« (см. правило 8), и на основании вышеизложенного мы можем видеть, что «{ac \ over c} = a« и «{bc \over c} = b«, у нас есть результат: «a+b«.

«`{(4*5)+(2*5) \более 5} = {4*5 \более 5}+{2*5 \более 5} = 4+2«`

10

«` {\ left ({a \ over c} \ right) \ over \ left ({b \ over d} \ right)} = {ad \ over bc} «`

Если числитель и знаменатель дроби являются дробями, их можно преобразовать в дробь двух умножений.

Объединив правила 3 ​​и 4, мы можем умножить знаменатель нижней дроби на числитель верхней дроби, что даст объединенный числитель и отменит знаменатель нижней дроби; затем мы можем умножить знаменатель верхней дроби на числитель нижней дроби, чтобы получить объединенный знаменатель и сократить знаменатель верхней дроби. 9п} «`

Дробь с показателем степени равна такой же дроби с показателем степени в числителе и знаменателе.

Сначала это выглядит странно, но причины этого довольно просты. Если бы мы обратили внимание, когда кто-то сказал нам, как умножать дроби (это сомнительно, но мы все равно продолжим), мы бы вспомнили, что для умножения двух дробей вы просто перемножаете числители друг с другом и перемножаете знаменатели друг с другом, чтобы получить полученная дробь. Это правило следует из этого факта. 92} = x*y = \sqrt{a}*\sqrt{b}«

«`\sqrt{4*9} = \sqrt{36} = 6 = 2*3 = \sqrt{4} *\sqrt{9}«`

21

«` \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[nm]{a} «`

Преобразование корня корня в один корень.

Образцы учебных модулей — Математика

Здравствуйте!

Ниже приведены образцы учебных единиц по математике, созданные учителем. Каждый из этих разделов представляет собой работу команды педагогов из Колорадо по преобразованию одного образца обзора учебной программы в полноценный учебный блок с опытом обучения, ресурсами для учителей и учащихся, идеями оценивания и вариантами дифференциации. Чтобы узнать больше о процессе разработки модулей и уникальных аспектах математических модулей, просмотрите один или несколько обучающих веб-семинаров.

Каждый из размещенных здесь модулей был создан командой педагогов из Колорадо. Например, они предназначены для оказания поддержки (или отправной точки для беседы/созидания) учителям, школам и школьным округам, поскольку они принимают собственные решения на местном уровне в отношении наилучших учебных планов и методов для всех учащихся.

Вы также можете просмотреть полный список обзорных образцов учебной программы по математике и шаблон учебной единицы, чтобы начать создавать свои собственные учебные единицы на основе академических стандартов штата Колорадо.

Рэймонд Джонсон
Специалист по математике

Дополнительная информация:

• Учебное пособие по процессу
• Пустой шаблон учебного блока
• Обзор учебной программы и шаблон учебной части с пояснениями

• Образцы записанных обучающих вебинаров

• Вопросы?: пожалуйста, свяжитесь с Рэймондом Джонсоном.

Нажмите здесь, чтобы рассказать нам, что вы думаете

Средняя школа

8th Grade

7th Grade

6th Grade

5th grade

4th Grade

3rd Grade

2nd Grade

1st Grade

Детский сад

Средняя школа

Алгебра I Название раздела: Power to the Variable (Школьный округ округа Лейк)

Учебный раздел (Word или PDF) | Модуль Раскадровка

Описание модуля:  В этом модуле основное внимание уделяется формальному введению в экспоненциальные функции. Студенты начинают с изучения экспоненциального роста с помощью геометрических последовательностей, которые либо растут, либо затухают. Когда учащиеся узнают о геометрических последовательностях, они постоянно сравнивают их с арифметическими последовательностями, строя линейные и экспоненциальные функции. Свободное владение учащимися этими функциями улучшается за счет многократного использования таблиц, графиков, уравнений и контекстов. Затем учащиеся изучают различия в скорости роста линейных, экспоненциальных и полиномиальных функций, что приводит к формальному доказательству того, как линейные функции растут на постоянные разности, а экспоненциальные функции растут на общие множители.

Алгебра II Название раздела: Logarithmic Log Jams (Школьный округ округа Лейк)

Учебный раздел (Word или PDF) | Раскадровка модуля

Описание модуля:  В этом модуле рассматриваются экспоненциальные функции, присущие нашей повседневной финансовой жизни. Студенты изучают задолженность по кредитной карте, процентные ставки и время, необходимое для удвоения стоимости инвестиций. По мере изучения этих тем у них появляется мотивация решать экспоненциальные уравнения, что требует введения логарифмов. Учащиеся свободно переписывают выражения с использованием логарифмов и находят неизвестные переменные в показателе степени с использованием логарифмов. Кроме того, учащиеся изучают постоянно начисляемые проценты и открывают для себя одно из самых важных чисел в математике, т.е.

Название раздела по алгебре II: Опрос говорит… (Школьный округ округа Лейк)

Учебный раздел (Word или PDF) | Раскадровка модуля

Описание модуля:  В этом модуле основное внимание уделяется получению выводов о совокупности на основе выборок. Учащиеся изучают нормальное распределение и концепцию количественного определения «нормальности». Концепция нормального распределения обеспечивает основу для выводов о совокупности на основе выборочных средних и стандартных отклонений. Затем подразделение рассматривает различные способы сбора данных о населении. Наконец, учащиеся исследуют моделирование, используя моделирование для проверки достоверности статистических выводов и гипотез. На протяжении всего этого модуля учащиеся будут изучать, как статистика используется для принятия политических решений, и участвовать в процессе создания политики, влияющей на их жизнь.

Интегрированная математика 2 Название раздела: Размножение бактериальных кроликов (Школьный округ округа Меса-Вэлли)

Учебный блок (Word или PDF) | Раскадровка модуля

Описание модуля:  В этом модуле рассматриваются экспоненциальные функции, встроенные в нашу повседневную финансовую жизнь. Студенты изучают кредитные карты, кредиты и сберегательные счета. По мере изучения этих тем у них появляется мотивация решать экспоненциальные уравнения и свободно интерпретировать экспоненциальные выражения, используя свойства экспонент для перезаписи выражений. Студенты знакомятся с концепцией математической константы e в контексте постоянно нарастающего процента. Учащиеся также изучают атрибуты классов функций, включая их обратные функции, что вводит понятие логарифма. Учащиеся будут дополнительно изучать классы функций и влияние умножения или добавления константы в следующем разделе, а концепция логарифма получит дальнейшее развитие в Integrated III.

Математика 1 Название раздела: Преобразовать мир (Школьный округ Саут-Роут)

Учебный раздел (Word или PDF) | Раздел Раскадровка

Учебный блок со встроенными расширенными результатами доказательной базы (Word или PDF) | Модуль Раскадровка

Описание модуля:  Этот модуль исследует преобразования, конгруэнтность и доказательство. Студенты начинают с неформальных исследований жестких преобразований. Затем учащиеся используют точные математические определения вращений, перемещений и отражений, чтобы определить, является ли каждое из этих жестких преобразований функцией. Работа по преобразованию этого модуля приводит студентов к разработке формальных доказательств конгруэнтности, параллельных линий, треугольных отношений и параллелограммов.

Математика 3 Название раздела: Опрос говорит… (Школьный округ округа Лейк)

Учебный раздел (Word или PDF) | Раскадровка модуля

Описание модуля:  В этом модуле основное внимание уделяется получению выводов о совокупности на основе выборок. Учащиеся изучают нормальное распределение и концепцию количественного определения «нормальности». Концепция нормального распределения обеспечивает основу для выводов о совокупности на основе выборочных средних и стандартных отклонений. Затем подразделение рассматривает различные способы сбора данных о населении. Наконец, учащиеся исследуют моделирование, используя моделирование для проверки достоверности статистических выводов и гипотез. На протяжении всего этого модуля учащиеся будут изучать, как статистика используется для принятия политических решений, и участвовать в процессе создания политики, влияющей на их жизнь.

8-й класс

Название раздела: Walk the Line (Школьный округ округа Лейк, Школьный округ Саут-Рутт и Школьный округ Грили)

Учебный раздел (Word или PDF) | Модуль Раскадровка

Описание модуля:  В разделе «Переступить черту» учащиеся изучают представления о пропорциональных и линейных отношениях. Авторы этого модуля начинают с того, что учащиеся изучают различные представления пропорциональных отношений, а затем переводят свое понимание пропорциональных отношений на линейные отношения. Основное внимание в этом разделе уделяется исследованию наклона и подобных треугольников. Наконец, учащиеся будут решать множество линейных уравнений с одной переменной, которые имеют одно, ни одного и бесконечно много решений.

7-й класс

Название раздела: Data Daze (Школьный округ Берлингтона)

Учебный блок (Word или PDF) | Unit Storyboard

Учебный блок со встроенными расширенными доказательствами результатов   (Word или PDF) Unit Storyboard

Unit Описание:  Data Daze отправляет учащихся в путешествие по случайной выборке. Учащиеся учатся делать выводы о населении на основе выборочных данных. Студенты также знакомятся с идеей вариации через среднее абсолютное отклонение. Это первый модуль, в котором учащиеся изучают связи между выборками и популяциями. Эти идеи будут расширены на уровне средней школы и связаны с концепцией стандартного отклонения.

Название устройства: R U Пропорциональный? (Школьный округ Элликотт и Школьный округ округа Лейк)

Учебный отдел (Word или PDF) | Модуль Раскадровка

Описание модуля:  Участвуя в этом модуле, учащиеся смогут лучше понять личную финансовую грамотность, применяя отношения и проценты к реальным ситуациям. Учебный опыт будет включать практику расчетов с учетом налогов, чаевых, миль за галлон, ставки оплаты и простых процентов. Понятия включают пропорциональные и непропорциональные отношения, удельную ставку и удельную стоимость, наклон и связь между y=kx и графиками пропорциональных отношений.

6-й класс

Название раздела: Иди к черту! (Школьный округ Сангре-де-Кристо)

Учебный блок (Word или PDF) | Модуль Раскадровка

Описание модуля:  В этом модуле рассматриваются геометрические понятия периметра, площади, площади поверхности и объема. Учащиеся начинают работу с координатной плоскости, чтобы найти периметр и площадь прямоугольников. Затем на основе формулы площади прямоугольника создается формула площади параллелограмма и треугольника. Затем концепция площади распространяется на площадь поверхности и сетки трехмерных тел с прямоугольными и треугольными основаниями. Учащиеся заканчивают модуль, исследуя объемы правильных прямоугольных призм с дробными длинами сторон, соединяя их с умножением площадей и дробей.

5-й класс

Название раздела: Реакция фракции (школьный округ Клир-Крик и школьный округ Грили)

Учебный раздел (Word или PDF) | Раскадровка модуля

Описание модуля:  В этом модуле основное внимание уделяется взаимосвязи между дробями и каждой из четырех операций. Модуль начинается с разработки концепции дроби как операции деления через проблемы справедливой доли. Важным достижением в этом модуле является формализация умножения дробей. Учащиеся начинают с моделирования дробного умножения, используя модели площади и масштабирования, и в конечном итоге подключают эти модели к алгоритму умножения. Учащиеся также изучают деление дробей с помощью контекстуальных задач и неформальных стратегий решения: эта концепция формализуется, а алгоритм разрабатывается в шестом классе. Наконец, учащиеся применяют свои знания об умножении дробей и эквивалентности дробей к сложению и вычитанию дробей с разными знаменателями.

4-й класс

Название раздела: Fraction Frenzy (Norwood School District и Greeley School District)

Учебный раздел (Word или PDF) | Модуль Раскадровка

Описание модуля:  В этом модуле учащиеся изучают дроби как величины. Учащиеся опираются на свои предыдущие знания о целых числах, чтобы составлять и разлагать дроби несколькими способами; раннее развитие сложения и вычитания дробей. Студенты также изучают концепцию нахождения части целого числа. Кроме того, учащиеся начинают сравнивать дроби, признавая необходимость изучения как числителя, так и знаменателя, а также важность сохранения согласованности единицы или целого. На протяжении всего раздела учащиеся сосредотачиваются на количественных, словесных и символических частях числа, чтобы обеспечить прочную основу для формализации дробных операций в пятом и шестом классах. Наконец, учащиеся изучают концепцию эквивалентных дробей и особые случаи дробей со знаменателем 10 или 100, чтобы подготовить их к работе с десятичными дробями.

3-й класс

Название раздела: «Умножай, разделяй и властвуй» (Школьный округ Плато-Вэлли)

Учебный блок (Word или PDF) | Модуль Раскадровка

Описание модуля:  Этот модуль посвящен введению в понятия умножения и деления. Учащиеся начинают с изучения элементов, которые входят в равные группы, и связей между равными группами, повторным сложением и пропуском счета, связанными с умножением. Учащиеся изучают умножение и находят коэффициенты в геометрическом контексте путем построения прямоугольных массивов и используют эти навыки для решения задач. Затем учащиеся используют массивы и числовые строки, чтобы продемонстрировать свое понимание ассоциативных и распределительных свойств умножения. Кульминацией этого раздела является изучение закономерностей в таблице умножения, чтобы к концу третьего класса научиться бегло говорить факты умножения.

2-й класс

Название раздела: Вы нечетный или четный? (Centennial School District)

Учебный блок (Word или PDF) | Модуль Раскадровка

Описание модуля:  Этот модуль посвящен применению сложения и вычитания в пределах 20 и в пределах 100.  Учащиеся начинают с решения текстовых задач с неизвестным результатом. Затем учащиеся переходят к задачам со словами с началом и изменением неизвестных и развивают понимание того, как использовать числовую прямую для решения задач на сложение и вычитание. Учащиеся также связывают изображения и гистограммы с понятиями задач на сложение и вычитание. Кульминация этого модуля знакомит с ранними мультипликативными идеями, такими как подсчет пропусков, массивы и коэффициенты/четы.

1-й класс

Название раздела: Отслеживание (Школьный округ Микер)

Учебный блок (Word или PDF) | Единица Раскадровка

Описание единицы:  В этой единице основное внимание уделяется измерению длины и времени. В рамках 4-недельного модуля учащиеся рассмотрят понятия единицы, нуля, сохранения и транзитивности. На протяжении всего модуля учебный опыт предназначен для обеспечения того, чтобы учащиеся измеряли для определенной цели. Учащиеся начинают с непрямых сравнений длины (транзитивности), используя нестандартные единицы измерения. Концепция сравнения приводит к тому, что учащиеся обсуждают необходимость стандартных единиц, что связано с концепцией времени и единицей часа. Учащиеся продолжают свою работу с единицами длины, повторяя (итерируя) стандартную единицу без пробелов или наложений.