Самостоятельная работа «Свойства степени с натуральным показателем»
Главная / Старшие классы / Алгебра
Скачать
15.66 КБ, 1414736.docx Автор: Неретина Наталья Ивановна, 8 Фев 2016
Тематический контроль для учащихся 7 класса
Автор: Неретина Наталья Ивановна
Похожие материалы
| Тип | Название материала | Автор | Опубликован |
|---|---|---|---|
| документ | Самостоятельная работа «Свойства степени с натуральным показателем» | Неретина Наталья Ивановна | 8 Фев 2016 |
| документ | Самостоятельная работа «Определение степени с натуральным показателем» | Неретина Наталья Ивановна | 8 Фев 2016 |
| разное | Разработка урока «Свойства степени с натуральным показателем», 7 класс | Нукеева Гульмайра Укиметовна | 21 Мар 2015 |
| документ | Урок «Свойства степени с натуральным показателем» | Павлова Ольга Геннадьевна | 1 Апр 2015 |
| документ | «Свойства степени с натуральным показателем» | Курьян Татьяна Викторовна | 14 Ноя 2015 |
| документ | План-конспект урока алгебры с применением ЭОР «Свойства степени с натуральным показателем»,7 класс И-типа, Свойства степеней с натуральным показателем. Правила И-типа, Свойства степеней с натуральным показателем. Правила Задачи на тему «Сво | Елена Валерьевна Белич | 21 Мар 2015 |
| документ | План-конспект урока алгебы с применением ЭОР «Свойства степени с натуральным показателем»,7 класс. И-типа, Свойства степеней с натуральным показателем. Правила И-типа, Свойства степеней с натуральным показателем. Правила Задачи на тему «Сво | Елена Валерьевна Белич | 21 Мар 2015 |
| «Понятие степени с натуральным показателем» | Крапивина Марина Владимировна | 21 Мар 2015 | |
| презентация | Учебная презентация «Обобщение степени с натуральным показателем» | Яковлева Любовь Викторовна | 1 Апр 2015 |
| презентация | 7класс Алгебра «Определение степени с натуральным показателем» | Каримова Сания Рахимовна | 1 Апр 2015 |
| презентация, документ | «Определение степени с натуральным показателем» | Боднар Елена Игоревна | 11 Апр 2015 |
| документ | Урок-презентация с использованием информационно-коммуникационных и здоровьесберегающих технологий «Свойства степени с натуральным показателем» | Скращук Ирина Алексеевна | 1 Апр 2015 |
| разное | Урок алгебры в 7 классе по теме: «Свойства степени с натуральным показателем». | Демьяненко Ирина Александровна | 21 Мар 2015 |
| презентация | Методическая разработка урока алгебры в 7 классе по теме «Свойства степени с натуральным показателем» | Шкребий Ирина Александровна | 31 Мар 2015 |
| презентация, документ | Конспект урока по алгебре «Свойства степени с натуральным показателем». 7 класс | Трыкина Ольга Владимировна | 1 Апр 2015 |
| документ | Урок алгебры в 7 классе «Свойства степени с натуральным показателем. 7-й класс» | Громенюк Анна Вячеславовна | 1 Апр 2015 |
| документ | Урок алгебры в 7 классе «Свойства степени с натуральным показателем» | Зоболева Наталья Игоревна | 1 Апр 2015 |
| документ | Методическая разработка урока «Свойства степени с натуральным показателем» | Лукина Людмила Геннадьевна | 5 Ноя 2015 |
| документ | Конспект урока алгебры «Свойства степени с натуральным показателем» | Ерошевич Ольга Карловна | 15 Окт 2015 |
| документ | Урок математики в 7 классе по теме «Свойства степени с натуральным показателем» | Ларионова Надежда Леонтьевна | 15 Окт 2015 |
| документ | Урок алгебры в 7 кл «Свойства степени с натуральным показателем» | tatjanamikuschina | 27 Окт 2015 |
| презентация, документ | Урок алгебры по теме «Свойства степени с натуральным показателем. Умножение и деление степеней» | Бижова Татьяна Васильевна | 23 Янв 2016 |
| разное | Свойства степени с натуральным показателем, 7 класс | Баскакова Татьяна Игоревна | 21 Мар 2015 |
| документ | Свойства степени с натуральным показателем | Попова Елена Николаевна | 21 Мар 2015 |
| документ | Свойства степени с натуральным показателем. | Васильева Алла Геннадьевна | 21 Мар 2015 |
| презентация | Свойства степени с натуральным показателем | Егорова Наталья Анатольевна | 31 Мар 2015 |
| презентация, документ | Свойства степени с натуральным показателем | Савчук Наталья Ивановна | |
| документ | Свойства степени с натуральным показателем. | Белых Инесса Анатольевна | 31 Мар 2015 |
| документ | «Свойства степени с натуральным показателем» | Белова Людмила Григорьевна | 4 Апр 2015 |
| документ | Свойства степени с натуральным показателем | Моха Елена Анатольевна | 15 Окт 2015 |
| презентация, документ | Свойства степени с натуральным показателем, 7 класс | Лукина Ирина Викторовна | 26 Окт 2015 |
| презентация | Свойства степени с натуральным показателем | Оводова Елена Геннадьевна | 16 Окт 2015 |
| документ | Свойства степени с натуральным показателем | Рыжова Евгения Александровна | 4 Ноя 2015 |
| документ | свойства степени с натуральным показателем | Куркова Светлана Алексеевна | 14 Янв 2016 |
| документ | Свойства степени с натуральным показателем. | Михель Наталия Сергеевна | 23 Янв 2016 |
| документ | План — конспект урока алгебры в 7 классе «Обобщение понятия степени с натуральным показателем» | Яковлева Любовь Викторовна | 1 Апр 2015 |
| презентация | урок по теме «Свойство степени с натуральным показателем» | Неворотова Ольга Васильевна | 1 Апр 2015 |
| разное | Задания для урока по теме «Свойства степеней с натуральным показателем». | Павлюков Константин Владимирович | 19 Мар 2016 |
| документ | Урок алгебры в 7-8 классах. Тема: «Свойства степени с натуральным показателем» | Евтенко Нелля Владимировна | 21 Мар 2015 |
| разное | Урок алгебры в 7 классе «Свойства степени с натуральным показателем» | Рунова Лилия Александровна | 21 Мар 2015 |
Контрольная работа в формате интерактивного теста по алгебре для обучающихся 7 класса по теме «Степень с натуральным показателем. Свойства степени с натуральным показателем»
Материал опубликовала
4
#7 класс #Алгебра #ФГОС #Учебно-дидактические материалы #Тест (специальный формат) #Учитель-предметник #Школьное образование #УМК А. Г. Мерзляка
Нажмите, чтобы скачать публикацию
в формате MS WORD (*. DOC)
Размер файла: 308.71 Кбайт
Конкурсная работа Всероссийский дистанционный конкурс педагогического мастерства на лучшую контрольную работу в формате интерактивного теста по математике |
Контрольная работа в формате интерактивного теста
по алгебре для обучающихся 7 класса по теме
«Степень с натуральным показателем. Свойства степени с натуральным показателем»
Ссылка на тест: https://onlinetestpad.com/z6kqznfj7wp7q
ИНСТРУКЦИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ
При выполнении работы запрещается:
– разговаривать между собой;
– пересаживаться;
– пользоваться учебником, тетрадью и калькулятором;
– обмениваться любыми материалами и предметами.
Для снятия зрительного напряжения, выполните в процессе работы гимнастику для глаз:
Для выполнения работы необходимо перейти по ссылке https://onlinetestpad. com/z6kqznfj7wp7q, ввести свою фамилию и имя в специально отведенное поле.
При выполнении работы будьте внимательны. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать как можно больше баллов. Желаю удачи!
ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Учебный предмет | Алгебра |
Класс | 7 класс |
Проверяемая тема | Степень с натуральным показателем. Свойства степени с натуральным показателем |
Структура работы | В работе представлены задания, направленные на проверку предметного содержания темы «Степень с натуральным показателем. Свойства степени с натуральным показателем» |
Количество заданий | 20 заданий |
Типы заданий | – с одиночным выбором; – с множественным выбором; – на ввод числа; – на установление соответствия |
Продолжительность работы | 40 минут |
Цель работы | Определение уровня усвоения обучающимися предметного содержания темы «Степень с натуральным показателем. |
Планируемые | Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о степени с натуральными показателями и их свойствах |
Планируемые | – осознано читать и понимать текст заданий; – проводить расчёты и оценивать реальность полученного значения; – применять имеющие знания для решения задач |
Планируемые | – самостоятельно составлять алгоритм решения задачи; – выбирать способ решения учебной задачи с учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей; – оценивать соответствие результата цели и условиям |
Планируемые результаты | – формирование мотивации к самостоятельной деятельности; – формирование навыков самоанализа и самоконтроля; – формирование целевых установок учебной деятельности |
Система оценивания работы | За верный ответ за каждое задание № 1 – 10 обучающийся получает 1 балл, за неверный ответ или его отсутствие – 0 баллов. За верный ответ на задания № 11 – 20 обучающийся получает 2 балла. Максимальное количество баллов за работу: 30. |
КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
«2» | «3» | «4» | «5» |
0 – 15 б. | 16 – 21 б. | 22 – 27 б. | 28 – 30 б. |
ОТВЕТЫ
№ | Ответ |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
10 | |
11 | |
12 | |
13 | |
14 | |
15 | |
16 | |
17 | |
18 | |
19 | |
20 |
ИСТОЧНИКИ
– Ключникова Е. М. Промежуточное тестирование. Алгебра. 7 класс / Е. М. Ключникова, И. В. Комиссарова. – М.: Издательство «Экзамен», 2015. – 62, [2] с. (Серия «Промежуточное тестирование»)
– Мерзляк А.Г.Алгебра: 7 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2015. – 272 с.: ил.
– Яндекс-картинки URL: https://yandex.ru/images/
Опубликовано в группе «УРОК.РФ: группа для участников конкурсов»
Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.
11 правил естественного бревна, которые вам нужно знать
Если вы изучаете математику в старшей школе или колледже, вы, скорее всего, будете изучать натуральные бревна. Но что такое натуральные бревна? Что такое лн? Почему буква е продолжает появляться?
Естественные журналы могут показаться сложными, но как только вы поймете несколько ключевых правил естественного журнала, вы сможете легко решать даже очень сложные задачи. В этом руководстве мы объясним четыре наиболее важных правила натурального логарифма, обсудим другие свойства натурального логарифма, которые вам следует знать, рассмотрим несколько примеров различной сложности и объясним, чем натуральный логарифм отличается от других логарифмов.
Что такое ln?
Натуральный логарифм, или ln, является обратным e . Буква « e» представляет собой математическую константу, также известную как натуральный показатель степени. Как и π, e является математической константой и имеет заданное значение. Значение e приблизительно равно 2,71828.
e появляется во многих случаях в математике, включая сценарии сложных процентов, уравнения роста и уравнения распада. пер( x ) — это время , необходимое для роста до x , а e x — это величина роста , которая произошла после времени x .
Поскольку e так часто используется в математике и экономике, а людям, работающим в этих областях, часто приходится логарифмировать число по основанию e , чтобы решить уравнение или найти значение, был создан естественный логарифм. как быстрый способ записи и расчета базы журнала e . Естественный журнал просто позволяет людям, читающим задачу, знать, что вы берете логарифм с основанием 9.0016 e , номер. So ln( x ) = log e ( x ). Например, ln( 5 ) = log e ( 5 ) = 1,609.
4 ключевых правила естественного логарифма
Есть четыре основных правила, которые вам необходимо знать при работе с естественным логарифмом, и вы будете встречать каждое из них снова и снова в своих математических задачах. Знайте их хорошо, потому что они могут сбивать с толку в первый раз, когда вы их видите, и вы хотите убедиться, что у вас есть основные правила, подобные этим, до того, как перейти к более сложным темам логарифмов.
Правило продукта
- ln(x)(y) = ln(x) + ln(y)
- Натуральный логарифм произведения x и y равен сумме ln числа x и ln числа y.
- Пример: ln(8)(6) = ln(8) + ln(6)
Частное правило
- ln(x/y) = ln(x) — ln(y)
- Натуральный логарифм деления x и y равен разнице ln x и ln of y.
- Пример: ln(7/4) = ln(7) — ln(4)
Правило взаимности
- ln(1/x) = −ln(x)
- Натуральный логарифм обратной величины x противоположен ln x.
- Пример: ln(⅓)= -ln(3)
Степенное правило
- ln( x y ) = y * ln(x)
- Натуральный логарифм x, возведенный в степень y, равен y, умноженному на ln числа x.
- Пример: ln(5 2 ) = 2 * ln(5)
Ключевые свойства натурального бревна
В дополнение к четырем правилам натурального логарифма, рассмотренным выше, есть также несколько свойств ln, которые вам необходимо знать, если вы изучаете натуральный бревно. Запомните их, чтобы вы могли быстро перейти к следующему шагу задачи, не тратя время на запоминание общих свойств ln.
| Сценарий | Л-н Имущество |
| Номер отрицательного числа | Индикация отрицательного числа не определена |
| № 0 | ln(0) не определено |
| № 1 | лн(1)=0 |
| Инфинити | ln(∞)= ∞ |
| лн е | ln(e)=1 |
| Число e, возведенное в степень x | ln( e х ) = х |
| e в степени ln | е ln(x) =x |
Как видно из последних трех строк, ln( e )=1, и это верно, даже если одно возводится в степень другого. Это потому, что ln и e являются обратными функциями друг друга.
Примеры задач Natural Log
Теперь пришло время проверить свои навыки и убедиться, что вы понимаете правила ln, применяя их к примерам задач. Ниже приведены три примера задач. Попробуйте решить их самостоятельно, прежде чем читать объяснение.
Задача 1
Вычислить ln(7 2 /5)
Сначала воспользуемся правилом частных, чтобы получить: ln(7 2 ) — ln(5).
Затем мы используем правило степени, чтобы получить: 2ln(7) -ln(5).
Если у вас нет калькулятора, вы можете оставить уравнение в таком виде или рассчитать натуральные логарифмические значения: 2(1,946) — 1,609 = 3,891 — 1,609 = 2,282.
Задача 2
Вычислить ln( e ) /7
Для этой задачи нам нужно помнить, чем ln( e )=1
Это означает, что задача упрощается до 1/7, что и является нашим ответом. в круглых скобках вы хотите сделать e основанием, а все остальное — показателем степени e . Тогда вы получите ln и e рядом друг с другом и, как мы знаем из правил естественного логарифма, e ln(x) =x.
SO, уравнение становится E LN (5x-6) = E 2
С E LN (x) = x , E LN ( x , E 5 LN-6x-6x-6x-5x- x , E Ln (5x- x , E . ) = 5x-6
Следовательно, 5 x -6= e 2
Поскольку e является константой, вы можете вычислить значение , используя либо 3 , 6 e 9003 нажмите клавишу e на вашем калькуляторе или используйте оценочное значение e, равное 2,718.
5 x -6 = 7,389
Теперь мы добавили бы 6 к обеим сторонам
5 x = 13,389
Наконец, мы разделим обе стороны на 5.
x = 2,678
Чем натуральные логарифмы отличаются от других логарифмов?
Напоминаем, что логарифм противоположен степени. Если вы возьмете логарифм числа, вы отмените экспоненту. Основное различие между натуральным логарифмом и другими логарифмами заключается в используемом основании. Логарифмы обычно используют основание 10 (хотя это может быть другое значение, которое будет указано), в то время как натуральные журналы всегда будут использовать основание e .
Это означает, что ln(x)=log e ( x )
Если вам нужно преобразовать логарифмы в натуральные логарифмы, используйте следующие два уравнения: х ) = пер(х) / пер(10)
За исключением разницы в основании (что является большой разницей), правила логарифмирования и правила натурального логарифма одинаковы:
| Правила логарифмирования | лн Правил |
| лог(ху)=лог(х)+лог(у) | 1n(x)(y)= 1n(x)+ln(y) |
| лог(х/у)=лог(х)-лог(у) | пер (х/у) = пер (х) — пер (у) |
| журнал (x a ) = a log( x ) | ln(x a )= a ln( x ) |
| log(10 х ) = х | ln( e х )= х |
| 10 log(x) = x | е ln(x) = х |
Резюме: Правила естественного логарифма
Натуральный логарифм, или ln, является обратным числом 9. 0016 е. Правила естественного бревна поначалу могут показаться нелогичными, но как только вы их выучите, их будет довольно просто запомнить и применять к практическим задачам.
Четыре основных правила ln:
- ln(x)(y) = ln(x) + ln(y)
- ln(x/y) = ln(x) — ln(y)
- ln(1/x)=−ln(x)
- n( x y ) = y*ln(x)
Основное различие между натуральным логарифмом и другими логарифмами заключается в используемом основании.
Что дальше?
Пишете исследовательскую работу для школы, но не знаете, о чем написать? В нашем справочнике по темам для научных работ более 100 тем в десяти категориях, так что вы обязательно найдете идеальную тему для себя.
Хотите узнать самый быстрый и простой способ конвертации градусов Фаренгейта в Цельсий? Мы вас прикроем! Ознакомьтесь с нашим руководством по лучшим способам преобразования градусов Цельсия в градусы Фаренгейта (или наоборот).
Сдавать SAT или ACT? Учащимся часто труднее всего справиться с математическим разделом этих тестов, но ознакомьтесь с нашими подробными руководствами по математике SAT и ACT по математике, чтобы узнать все, что вам нужно знать, чтобы справиться с этими математическими вопросами.
Нужна дополнительная помощь по этой теме? Проверьте Tutorbase!
Наша проверенная база данных репетиторов включает ряд опытных преподавателей, которые могут помочь вам отшлифовать эссе по английскому языку или объяснить, как производные работают для исчисления. Вы можете использовать десятки фильтров и критериев поиска, чтобы найти идеального человека для ваших нужд.
У вас есть друзья, которым тоже нужна помощь в подготовке к экзаменам? Поделись этой статьей!
Кристин Сарикас
Об авторе
Кристин окончила Мичиганский государственный университет со степенью в области экологической биологии и географии и получила степень магистра в Университете Дьюка. В старшей школе она набрала 99-й процентиль по SAT и была названа финалистом национальных заслуг. Она преподавала английский язык и биологию в нескольких странах.
Объяснение урока: Сила матрицы
В этом объяснении мы узнаем, как использовать умножение матриц для определить квадрат и куб квадратной матрицы.
Существует множество матричных операций, очень похожих на известные операции из обычной алгебры, такие как сложение, вычитание и масштабирование. Кроме того, хотя умножение матриц принципиально более сложный, чем его обычный аналог, он все же в некоторой степени отражает некоторые алгебраические свойства оригинала.
Одна операция, которая занимает центральное место как в традиционной алгебре, так и в алгебре с использованием
матрицы — это возведение в степень, которое обычно называют взятием степень числа или матрицы. В
обычная алгебра, можно взять почти любое число 𝑥
и возводим в степень 𝑦, что дает 𝑥. За исключением возведения нуля в отрицательную степень, это не имеет значения.
является ли 𝑥 или 𝑦 нулем, отличным от нуля, целым числом,
нецелое, рациональное, иррациональное или сложное, так как вывод всегда может быть
вычислено. То же самое неверно при работе с матрицами, где матрица
𝐴 не всегда можно возводить в степень. Для того, чтобы лучше всего обрисовать
эти потенциальные осложнения, давайте сначала определим простейшую форму
возведение матрицы в степень: возведение матрицы в квадрат.
Определение: Квадрат матрицы
Если 𝐴 — квадратная матрица, 𝐴 определяется как 𝐴=𝐴×𝐴.
Другими словами, точно так же, как для возведения чисел в степень (т. е. 𝑎=𝑎×𝑎), квадрат получается умножением Матрица сама по себе.
Как можно заметить, основное требование для возведения матрицы в степень:
определено, что 𝐴 должен быть квадратным. Это потому, что на двоих
общие матрицы 𝐴 и 𝐵, матрица
умножение 𝐴𝐵 корректно определено только при одинаковом количестве столбцов
в 𝐴, так как в 𝐵 есть строки. Если
𝐴 имеет порядок 𝑚×𝑛 и
𝐵 имеет порядок 𝑛×𝑝, то
𝐴𝐵 корректно определен и имеет порядок 𝑚×𝑛. Если бы мы только рассмотрели матрицу 𝐴 и попытались завершить
умножение матриц 𝐴=𝐴×𝐴, то мы были бы
пытаясь умножить матрицу порядка 𝑚×𝑛 на
другая матрица порядка 𝑚×𝑛. Это может быть только хорошо
определяется, если 𝑚=𝑛, а это означает, что 𝐴 должно быть
матрица порядка 𝑛×𝑛 (другими словами, квадратная).
поэтому порядок 𝐴 идентичен исходной матрице
𝐴.
Существуют и другие ограничения на взятие степеней матриц, которые не существуют для действительных чисел. Например, в отличие от обычных чисел, у нас нет способ определения того, что такое 𝐴, и отрицательная сила матрицу вычислить намного сложнее. Кроме того, обычные законы возведение в степень не обязательно распространяется на матрицы так же, как они делают это для чисел, которые мы рассмотрим позже в этом объяснении.
А пока давайте продемонстрируем, как возведение матрицы в квадрат работает на простом, нетривиальном
дело. Определим матрицу
𝐴=1−325.
Чтобы вычислить матрицу 𝐴, мы умножаем матрицу 𝐴 само собой. Другими словами, мы имеем 𝐴=𝐴×𝐴=1−3251−325.
Как и ожидалось, это умножение корректно определено, так как у нас есть Матрица 2×2, умноженная на матрицу 2×2 матрица. Теперь осталось завершить умножение матриц, что мы и можем сделать для каждой записи (𝑖,𝑗) путем умножения элементов в строке 𝑖 левой матрицы элементами столбца 𝑗 правой матрицы и суммируя их. Мы демонстрируем это процесс ниже:
Теперь, когда все записи вычислены, мы можем написать, что 𝐴=−5−181219.
Теперь рассмотрим пример, в котором мы можем применить этот метод возведения в квадрат Матрица для решения проблемы.
Пример 1. Нахождение квадрата матрицы
Для 𝐴=4−54−5, напишите 𝐴 как кратное 𝐴.
Ответ
Перед попыткой записать 𝐴 как кратное 𝐴,
нам нужно вычислить саму 𝐴. Заполнение необходимой матрицы
умножение дает 𝐴=𝐴×𝐴=4−54−54−54−5=−45−45.
Выходная матрица 𝐴 совпадает с исходной матрицей 𝐴, за исключением того, что каждая запись была умножена на -1. Мы следовательно, найдите, что 𝐴 может быть записано в терминах самого себя с помощью выражение 𝐴=−𝐴.
Увидев простой пример взятия степени матрицы, отметим, что мы часто приходится иметь дело с выражениями, которые потенциально включают несколько матрицы, а также другие матричные операции. К счастью, у нас не должно быть проблемы, связанные с такими вопросами, пока мы применяем те же принципы мы только что узнали.
Пример 2. Вычисление матричных выражений с участием степеней
Рассмотрим матрицы 𝑋=−3−35−6,𝑌=136−6. Что такое 𝑋−𝑌?
Ответ
Мы должны начать с вычисления как 𝑋, так и 𝑌
обычным способом. Мы вычисляем, что 136−6=19−15−3054.
Теперь, когда у нас есть и 𝑋, и 𝑌, просто вычислить это 𝑋−𝑌=−627−4521−19−15−3054=−2542−15−33.
Вероятно, неудивительно, что мы можем легко взять, например, третью мощность матрицы, используя наше понимание того, как мы находим вторую степень матрицы, как мы это сделали выше.
Давайте посмотрим, как работает третья степень матрицы. По определению, третья степень квадратной матрицы 𝐴 определяется выражением 𝐴=𝐴×𝐴×𝐴.
Обратите внимание, что, используя ассоциативное свойство матричного умножения, наряду с определение 𝐴, мы можем написать правую часть это как 𝐴×𝐴×𝐴=(𝐴×𝐴)×𝐴=𝐴×𝐴.
В качестве альтернативы, мы можем использовать ассоциативность двух последних терминов, чтобы записать это как 𝐴×𝐴×𝐴=𝐴×(𝐴×𝐴)=𝐴×𝐴.
Итак, мы показали, что 𝐴=𝐴𝐴=𝐴𝐴. В другом
словами, как только мы вычислили 𝐴, мы можем найти
𝐴 путем умножения 𝐴 справа (или
слева) от 𝐴.
Увидев, как работает возведение в степень для возведения в квадрат и куба, мы можем себе представить мы можем применить те же принципы к любой степени 𝐴. С Следуя определению, это возможно.
Определение: степень матрицы
Если 𝐴 — квадратная матрица, а 𝑘 — натуральное число, 𝑘-я степень 𝐴 дана от 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴, где имеется 𝑘 копий матрицы 𝐴.
В дополнение к этому определению отметим, что, используя ту же логику, что и выше, можно вычислить 𝐴 (для любого положительного целого числа 𝑘) сначала вычислив 𝐴 и умножив на дополнительный 𝐴 справа или слева. Так, например, 𝐴=𝐴×𝐴=𝐴×𝐴, и так далее.
Теперь рассмотрим пример, в котором нам нужно вычислить третью степень числа матрица.
Пример 3: вычисление высших степеней матриц
Учитывая матрицу 𝐴=40−37, вычислить 𝐴−3𝐴.
Ответ
Мы должны начать с вычисления 𝐴, а затем использовать этот результат для
рассчитать 𝐴. Мы находим, что
𝐴=40−37,𝐴=160−3349,
что означает, что мы можем вычислить 𝐴 как умножение матриц
между 𝐴 и 𝐴:
𝐴=𝐴×𝐴=40−37160−3349=640−279343.
Теперь у нас есть все необходимое для вычисления искомого выражения: 𝐴−3𝐴=640−279343−3160−3349=640−279343−480−99147=160−180196.
До сих пор мы видели только расчеты с участием матрицы 2 × 2, но расширение до более высоких порядков квадратные матрицы очень естественны. Давайте теперь посмотрим на пример того, как мы могли бы найти мощность матрицы 3×3.
Пример 4. Возведение в квадрат матрицы 3 × 3
Рассмотрим 𝐴=112101210.
Найти 𝐴.
Ответ
Матрица 𝐴 имеет порядок 3×3, значит,
𝐴 также будет иметь этот порядок. Таким образом, мы ожидаем найти матрицу
вида
где элементы * должны быть вычислены. Мы заполним матрицу
умножение полностью, полностью иллюстрируя каждый шаг.
Сначала вычисляем запись в первой строке и первом столбце самой правой матрицы: 112101210112101210=6∗∗∗∗∗∗∗∗.
Расчет 1×1+1×1+2×2=6. Теперь вычисляем запись в первая строка и второй столбец самой правой матрицы: 112101210112101210=63∗∗∗∗∗∗∗.
Расчет 1×1+1×0+2×1=3. Далее мы сосредоточимся на записи в первая строка и третий столбец самой правой матрицы: 112101210112101210=633∗∗∗∗∗∗.
Расчет 1×2+1×1+2×0=3. Теперь переходим ко второму ряду самая правая матрица, сбрасываемая в первый столбец: 112101210112101210=6333∗∗∗∗∗.
Расчет 1×1+0×1+1×2=3. Затем мы берем запись во втором строка и второй столбец: 112101210112101210=63332∗∗∗∗,
Расчет 1×1+0×0+1×1=2. Последняя запись во второй строке затем вычислено: 112101210112101210=633322∗∗∗.
Расчет
1×2+0×1+1×0=2. Запись в третьем ряду и первом
столбец вычисляется:
112101210112101210=6333223∗∗.
Расчет 2×1+1×1+0×2=3. Тогда предпоследняя запись завершенный: 112101210112101210=63332232∗.
Расчет 2×1+1×0+0×1=2. Затем обрабатывается окончательная запись: 112101210112101210=633322325.
Расчет 2×2+1×1+0×0=5. Теперь, когда все записи самого правого матрица найдена, ответ можно записать в виде 𝐴=633322325.
Учитывая, что получение степени матрицы включает повторяющуюся матрицу
умножение, мы могли бы разумно ожидать, что алгебраические правила матрицы
умножение в некоторой степени повлияло бы на правила возведения матрицы в степень
подобным образом. Несмотря на то, что это до некоторой степени очевидно, опасно
обращаться к правилам обычной алгебры при ответе на вопросы, связанные с
матрицы в предположении, что они сохранятся. В следующих
Например, мы будем рассматривать каждое утверждение отдельно и представим
соответствующие свойства матричного умножения в тандеме, объясняющие, почему
данные утверждения выполняются или не выполняются в результате.
Пример 5: Проверка свойств степеней матриц
Какое из следующих утверждений верно для всех 𝑛×𝑛 матрицы 𝐴 и 𝐵?
- 𝐴𝐵 = 𝐴 (𝐴𝐵) 𝐵
- (𝐴 — 𝐵) = 𝐴 — 2𝐴𝐵+𝐵
- (𝐴𝐵) = 𝐴𝐵
- (𝐴+𝐵) = 𝐴+2𝐴𝐵+ 𝐵
- (𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴−𝐵
Ответ
- Умножение матриц ассоциативно, т. е.
𝐴(𝐵𝐶)=(𝐴𝐵)𝐶. Мы могли бы продолжить эту роль, чтобы получить результаты
например (𝐴𝐵)(𝐶𝐷)=𝐴(𝐵𝐶)𝐷=𝐴𝐵𝐶𝐷 и так далее. В данном
уравнения, левая часть равна 𝐴𝐵, что по определению
можно записать как 𝐴𝐵=𝐴𝐴𝐵𝐵. Учитывая ассоциативность
свойство матричного умножения, мы можем написать, что 𝐴𝐵=𝐴(𝐴𝐵)𝐵 и, следовательно, подтвердить, что данное утверждение верно.
- Обычная алгебра коммутативна относительно умножения. Для двух действительных чисел 𝑎 и 𝑏, это означает, что 𝑎𝑏=𝑏𝑎. Этот результат позволяет нам принять такое выражение, как (𝑎−𝑏)=𝑎−𝑎𝑏−𝑏𝑎+𝑏 и использовать коммутативное свойство собрать два средних члена правой части: (𝑎−𝑏)=𝑎−2𝑎𝑏+𝑏. Однако, умножение матриц, как правило, не является коммутативным, а это означает, что 𝐴𝐵≠𝐵𝐴 за исключением особых обстоятельств (таких как диагональные матрицы или одновременно диагональные матрицы). Следовательно, расширение (𝐴−𝐵)=𝐴−𝐴𝐵−𝐵𝐴+𝐵 не может упростить в предположении, что 𝐴𝐵=𝐵𝐴. Следовательно, данный утверждение ложно.
- Чтобы завершить умножение матриц (𝐴𝐵), мы можем начать с
запись (𝐴𝐵)=(𝐴𝐵)(𝐴𝐵)=𝐴(𝐵𝐴)𝐵, где мы использовали свойство ассоциативности для организации
окончательное выражение. Поскольку умножение матриц не является коммутативным, член в квадратных скобках
(𝐵𝐴) нельзя переставить как (𝐴𝐵), что означает
что мы не можем переписать окончательное выражение как 𝐴𝐴𝐵𝐵, что было бы
допустили упрощение 𝐴𝐵. Учитывая, что это не
случае утверждение ложно.
- У нас есть, что (𝐴+𝐵)=𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐴+𝐵. Поскольку в общем случае 𝐴𝐵≠𝐵𝐴, мы не можем получить упрощение, указанное в вопросе.
- Начнем с завершения расширения (𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴+𝐵𝐴−𝐴𝐵−𝐵. Мы знаем, что, вообще говоря, 𝐵𝐴≠𝐴𝐵, а это значит, что мы не можем записать правую часть в виде 𝐴−𝐵 и, следовательно, утверждение в вопросе неверно.
Следовательно, правильный ответ — вариант А.
Несмотря на то, что некоторые общепринятые правила алгебры не выполняются для матриц, все еще существуют некоторые правила, определяющие степени матриц, которые мы можем положиться. В частности, законы показателей степени для чисел могут быть распространяется на матрицы следующим образом.
Свойство: сложение и умножение степеней матрицы
Если 𝐴 — квадратная матрица и 𝑟 и 𝑠 — целые положительные числа, то 𝐴𝐴=𝐴,(𝐴)=𝐴.
В последнем примере мы рассмотрим возведение матрицы в гораздо большую степень
и посмотрите, как вышеупомянутые свойства могут быть использованы в сочетании с идентификацией
образец того, как матрица ведет себя при возведении в степень.
Пример 6. Нахождение степени матрицы высшего порядка путем исследования шаблона его Полномочий
Заполните пропуск: Если 𝐴=403−4, тогда 𝐴=.
Ответить
Как 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴 (пятьдесят раз), очевидно, нам следует избегать попыток вычислить его напрямую. Вместо этого давайте исследуем эффект от того, что 𝐴 имеет малые степени 𝐴 и см. можем ли мы определить закономерность.
Если мы умножим 𝐴 само на себя, другими словами, если мы найдем 𝐴=𝐴×𝐴, имеем 𝐴=403−4403−4=4004.
Отметим, что, поскольку это диагональная матрица, она может быть полезной для матрица, в которой будет находиться. Продолжая далее, если мы вычислим 𝐴=𝐴×𝐴, имеем 𝐴=4004403−4=404⋅3−4.
Интересно, матрица уже не диагональная. Чтобы продолжить расследование узор, посчитаем 𝐴=𝐴×𝐴. Это 𝐴=404⋅3−4403−4=4004.
В этот момент можно распознать закономерность. Для четных сил
𝐴 мы предполагаем, что матрица является диагональной и
ненулевые записи равны 4, где 𝑛 —
мощность матрицы. Для нечетных степеней это не так, так как
в левом нижнем углу и в правом нижнем углу есть ненулевой элемент
запись становится отрицательной. Однако, поскольку нам нужно найти только
𝐴 где 50 — четная степень, нам нужно только рассмотреть
первый случай.
Теперь покажем, как можно найти 𝐴, используя четное число. мощность матрицы, 𝐴. Напомним, что 𝐴=4004.
Заметим, что скаляр 4 можно вынести за пределы матрицы, переписав его в виде: 𝐴=41001.
Это единичная матрица 2×2 𝐼 раз постоянная. Теперь мы знаем, что единичная матрица имеет имущество 𝐼𝑋=𝑋𝐼=𝑋, где 𝑋 — любая матрица 2 × 2. В частности, если 𝑋=𝐼, имеем 𝐼=𝐼×𝐼=𝐼.
Мы можем распространить это на любую степень 𝐼, то есть
𝐼=𝐼.
Мы можем использовать это свойство для вычисления 𝐴. Давайте также вспомнить свойство (𝐴)=𝐴, что позволяет нам переписать 𝐴 следующим образом: 𝐴=𝐴.
Поскольку мы имеем 𝐴=4𝐼, это означает
Так как 4=2 4=2=2.
Есть много связанных тем, которые подкрепляют обоснованность изучения возведения матриц в степень. При работе с квадратной матрицей ясно, что многократное умножение такой матрицы само по себе приведет к обычно приводят к результатам, которые последовательно сложнее вычислить, учитывая большие числа участие, как мы видели в нескольких из приведенных выше примеров. Поэтому выгодно иметь возможность максимально уменьшить сложность этих вычислений. При определенных обстоятельств можно диагонализовать матрицу, что значительно уменьшает сложность вычисления его целых степеней.
Давайте закончим рассмотрением основных вещей, которые мы узнали в этом
объяснитель.