Решение уравнений методом подстановки: «Методы решения систем линейных уравнений. Метод подстановки и метод алгебраического сложения.». Скачать бесплатно и без регистрации.

Если вам понравилась статья, лучший способ сказать cпасибо — это поделиться ссылкой со своими друзьями в социальных сетях 🙂

Также вас может заинтересовать

Решение систем уравнений с примерами решения

Содержание:

1. Графический метод решения систем уравнений
2. Начнём с графического метода
3. Примеры с решением
4. Пример 1:
5. Пример 2:
6. Решение систем уравнений методом подстановки
7. Пример 3:
8. Пример 4:
9. Пример 5:
10. Пример 6:
11. Пример 7:
12. Пример 8:
13. Пример 9:
14. Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными

Графический метод решения систем уравнений

Вспоминаем то, что знаем

Что такое график уравнения с двумя неизвестными?

Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?

Решите графическим методом систему линейных уравнений:

Открываем новые знания

Решите графическим методом систему уравнений:

Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту

В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.

Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Начнём с графического метода

Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.

Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.

Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Решим систему уравнений:

Построим графики уравнений

Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).

Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).

Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.

Ответ: (2; 5) и (-1; 2).

Пример 2:

Выясним количество решений системы уравнений:

Построим графики уравнений

Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.

Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.

Ответ: Два решения.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспоминаем то, что знаем

Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.

Решите систему линейных уравнений методом подстановки:

Открываем новые знания

Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?

Решите систему уравнений методом подстановки:

Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?

Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?

Ранее вы решали системы уравнений первой степени.

Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.

Пример 3:

Решим систему:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим х из уравнения

Подставим найденное выражение в первое уравнение:

Решим полученное уравнение:

Найдём х:

Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.

Ответ: (5; 1), (-2;-2,5).

Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.

Пример 4:

Решим систему уравнений:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим у из линейного уравнения:

Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:

После преобразований получим:

Найдём у:

Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).

Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».

Пример 5:

Решим систему:

Подставим во второе уравнение тогда его можно переписать в виде:

Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:

Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:

Корни этого уравнения:

Найдём х:

.

Ответ: (2; 1), (-1;-2).

Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.

Пример 6:

Решим систему:

Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:

.

Корни этого уравнения:

Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:

1)

2) , получим уравнение корней нет.

Ответ: (0; 1), (1; 1).

Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.

Пример 7:

Решим систему уравнений:

Обозначим

Второе уравнение системы примет вид:

Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:

Таким образом:

Осталось решить методом подстановки линейные системы:

Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями

Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:

1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;

2) решают полученную систему;

3) отвечают на вопрос задачи.

Пример 8:

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Получим систему:

Решим систему. Выразим из первого уравнения у:

Подставим во второе уравнение:

Корни уравнения:

Найдём

С учётом условия получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.

Пример 9:

Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.

Введём обозначения.

Пусть х — первое число, у — второе число.

Тогда: — произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.

Получим систему:

Вычтем из второго уравнения первое. Получим:

Дальше будем решать методом подстановки:

Подставим в первое уравнение выражение для у:

Корни уравнения: (не подходит по смыслу задачи).

Найдём у из уравнения:

Получим ответ: 16 и 7.

Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными

Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть не меняется. А вот уравнение не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть меняется.

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.

Например, если в системе уравнений

переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:

Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.

Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:

Сначала научитесь выражать через неизвестные выражения:

Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y — это неизвестные, значение которых надо найти, b, a — коэффициенты при переменных, c — свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 — функции, а (x, y) — переменные функций.

Решить систему уравнений — это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака «равенство» часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения — это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 — 4*a*c, где D — искомый дискриминант, b, a, c — множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. Матрица вида n*m имеет n — строк и m — столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей — вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица — это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение — одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y — только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K^-1= 1 / |K|, где K^-1 — обратная матрица, а |K| — определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы «два на два», необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта «три на три» существует формула |K|=a₁b₂c₃ + a₁b₃c₂ + a₃b₁c_{2 +} a₂b₃c₁ + a₂b₁c₃ + a₃b₂c₁. Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a_nm — коэффициенты уравнений, матрица — вектор x_n — переменные, а b_n — свободные члены.

Далее необходимо найти обратную матрицу и умножить на нее исходную. Найти значения переменных в полученной единичной матрицы легко выполнимая задача.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса — Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 — соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x₃-2x₄=11 и 3x₃+2x₄=7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x_n.

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. Вертикальная черта отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака «стрелка» и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Метод подстановки при решении системы линейных уравнений

☰

При решении системы линейных уравнений с двумя переменными можно использовать графический метод. Однако алгебраический является более надежным. Одним из алгебраических методов является метод подстановки.

Суть метода подстановки заключается в следующем. В одном уравнении (не важно каком) системы одна переменная выражается через другую. После этого во второе уравнение системы вместо соответствующей переменной подставляется выражение, которому равна эта переменная, полученное ранее. Приведем пример; допустим, дана система уравнений:

| 10x + 10y + 10 = 0
| –2x – 4y – 8 = 0

Выразим во втором уравнении y через x:
–4y = 2x + 8
y = (2x + 8) / –4
y = –0.5x – 2

Теперь подставим в первое уравнение вместо y выражение –0.5x – 2. Это допустимо, так как y равен этому выражению, то есть y и это выражение эквивалентны. Получим:
10x + 10(–0.5x – 2) + 10 = 0

Теперь решим полученное уравнение с одной переменной, то есть найдем значение x.
10x – 5x – 20 + 10 = 0
5x – 10 = 0
5x = 10
x = 2

Для того, чтобы найти y надо подставить значение x в любое линейное уравнение из системы, но проще в то, где y уже выражен через x:
y = –0.5x – 2 = y = –0.5 * 2 – 2 = –1 – 2 = –3

Таким образом решением заданной системы уравнений являются значения x = 2, y = –3.

Проверим это, подставив соответствующие значения в одно или оба линейных уравнения системы:
10x + 10y + 10 = 10 * 2 + 10 * (–3) + 10 = 20 – 30 + 10 = 0 — верное равенство
–2x – 4y – 8 = –2 * 2 – 4 * (–3) – 8 = –4 + 12 – 8 = 0 — верное равенство

При использовании метода подстановки не важно выражать ли x через y или как в приведенном примере y через x. При выборе исходить надо из удобства: что проще из чего выразить. Например, в уравнении 4.35x + y – 1.5 проще выразить y через x: y = 1.5 – 4.35x. А вот в уравнении 2x – 4y = 0 лучше выразить x через y: x = 2y.

Как отмечалось выше уравнение, которое подвергается преобразованию, также можно выбрать произвольно, исходя из принципа удобства.

Методы решения уравнений

Автор Сергей Валерьевич

Понедельник, 9 июля, 2012

Статья о методах решения уравнений. Задач, которые связаны с решением уравнений, довольно много в вариантах ЕГЭ и ГИА по математике. Поэтому как репетитор по математике рекомендую освежить с памяти связанный с этим вопросом материал. К каждому разобранному в статье примеру прилагается аналогичное задание для самопроверки. Все свои вопросы вы можете смело задавать в комментариях. Ни один вопрос без ответа не останется. В статье также имеется видеоразбор одного из заданий.

Основные методы решения уравнений

Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что их не существует. Стандартных методов решения уравнений много, нестандартных — еще больше. Последние подходят для решения небольшого количества (часто вообще одного) типа уравнений. При решении уравнений почти всегда приходится прибегать к тождественным преобразованиях алгебраических выражений. Поэтому целесообразно разобраться сперва с этим материалом, прежде чем переходить к решению уравнений. В данной статье разобраны в основном стандартные методы решения уравнений. Некоторые нестандартные методы кратко охарактеризованы в завершающей части статьи. Также на сайте есть отдельные статьи о решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений, с которыми я также рекомендую читателю ознакомиться.

Метод разложения на множители

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль. Проще всего уяснить эту идею на конкретном примере.

Решение. Осуществим разложение на множители (представим исходное выражение в виде произведения). Для этого вынесем переменную за скобки:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно,

Алгебра 7-9 классы. 11. Способы решения систем линейных уравнений

Алгебра 7-9 классы. 11. Способы решения систем линейных уравнений

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

 СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ

Решим систему уравнений:

Выразим из первого уравнения у через х:

Подставив во второе уравнение вместо у выражение , получим систему:

Докажем, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Пусть некоторая пара значений х и у является решением системы (1). При этих значениях х и у уравнение обращается в верное равенство. Заменив в нем значение у равным ему значением выражения , мы снова получим верное равенство. Значит, каждое решение системы (1) является решением системы (2).

Аналогично доказывается, что каждое решение системы (2) является решением системы (1).

Таким образом, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения. Такие системы называются равносильными.

В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:

Соответствующее значение у можно найти, подставив вместо х число 1 в первое уравнение системы (1). Удобнее, однако, воспользоваться формулой

Пара (1; 4) — решение системы (1).

Способ, с помощью которого мы решили систему (1), называют способом подстановки. При решении этим способом сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Решают это уравнение. Затем находят соответствующее значение второй переменной.

На рисунке 66 построены графики уравнений и . Они пересекаются в точке (1; 4). Через эту точку проходит и график уравнения т. е. прямая х = 1. Мы видим, что системы (1) и (2) имеют одно и то же решение.

Покажем применение способа подстановки еще на одном примере. Решим систему:

Выразим из второго уравнения х через у:

Подставим в первое уравнение вместо х выражение

Решим полученное уравнение с одной переменной у:

Решение систем уравнений методом подстановки

Подстановка — самый элементарный из всех методов решения систем уравнений. Метод замещения, как указывает метод, предполагает замену чего-либо в уравнения, чтобы упростить их решение. Итак, что мы заменим? Мы выражаем одна из переменных через другую, пока у нас не будет только одно уравнение с только одна переменная.Затем мы решаем эту переменную, и после получения ее значения мы выполняем то, что называется Back Substitution , чтобы найти другой недостающий переменная (и).

Решение уравнений с двумя переменными методом подстановки

Давайте рассмотрим несколько реальных примеров, чтобы лучше понять, как решить уравнения с двумя переменными. методом подстановки.

Пример 1

Решите следующую систему уравнений

Шаг 1

Всегда лучше маркировать свои уравнения, чтобы знать, какое уравнение вы работать с.Поскольку у нас есть два уравнения, обозначим их как 1 и 2.

Шаг 2

Первым шагом в реальном решении системы уравнений с использованием подстановки является чтобы выразить одну переменную через другую.

Воспользуемся уравнением (1) и выразим y через x в уравнении (1):

также можно записать как

Шаг 3

Теперь у нас есть y в единицах x , и мы можем заменить y в уравнение (2)

становится

Шаг 4

Итак, теперь у нас есть только уравнение с одной переменной, которое мы можем решить, используя методы мы узнали в разделе о решение уравнений с одной переменной.

Шаг 5

Теперь, когда у нас есть значение x , мы можем подставить его в уравнение, которое у нас есть y , и это то, что мы называем обратной заменой .

заменяя x

следовательно,

Шаг 6

Итак, теперь мы решили для x как 2 и y как 0.Следовательно, наша координата точка — (2,0) . Мы можем доказать, что эти являются истинными значениями x и y , подставив их обратно в исходная система уравнений.

заменяя x и y

Это доказывает, что полученные нами значения являются правильными значениями x и л .

Теперь, когда у нас есть решение, что оно означает? Глядя на график, мы видим что при значении (2,0) оба наших исходных уравнения пересекаются в этой точке.

Пример 2

Решите следующую систему уравнений с помощью замены

Шаг 1

Как и в предыдущем примере, всегда полезно обозначать уравнения, чтобы знать, с кем вы работаете.

Шаг 2

Затем мы выражаем одну переменную через другую. Выбираем какую переменную выразить в терминах другого, исследуя систему уравнений и угадывая с каким из двух уравнений легче работать, а с какой переменной сложнее манипулировать.

В приведенном выше примере давайте поработаем с уравнением (2) и выразим x через л

становится

Шаг 3

Следующим шагом будет подставить указанное выше в уравнение (1), чтобы получить одно уравнение только с одной переменной, y .

совпадает с

Шаг 4

И затем мы можем заменить 2 в приведенном выше уравнении как:

что становится

следовательно,

Шаг 5

Затем мы выполняем обратную подстановку, чтобы найти значение x .Подменяем полученное нами значение для y в уравнение для x

становится

следовательно,

Решение системы уравнений: x = 3 и y = -1.Вы можете это доказать подставляя эти значения в исходную систему уравнений.

Давайте изобразим уравнения, чтобы увидеть, действительно ли точка пересечения равна (3, -1) .

Решение уравнений с тремя переменными методом подстановки

Подобно решению уравнений с двумя переменными, при решении для трех переменных мы выразить одну переменную через другую и подставлять до тех пор, пока мы не получим одну уравнение только с одной переменной.Окончательное уравнение имеет тенденцию быть довольно большим и порой усложняющий метод подстановки не очень идеальный метод решения трех переменных системы уравнений. Однако простота метода подстановки затмевает все сложности и делает этот метод очень фундаментальным методом решения системы уравнений.

Давайте попробуем несколько примеров, чтобы увидеть, как на самом деле работает метод.

Пример 3

Решите следующую систему уравнений

Шаг 1

Давайте еще раз начнем с обозначения наших уравнений

Шаг 2

Затем мы проверяем систему уравнений, чтобы выбрать желаемую переменную, которую мы должны выразить с точки зрения другого.Поскольку у нас есть три системы уравнений, нам нужно заменить дважды, поэтому нам нужно выбрать два уравнения для работы.

Выберем уравнения (2) и (3)

Шаг 3

Возьмите уравнение (3) и выразите y через x и z

становится

Шаг 4

Затем мы заменяем y в уравнении (2)

становится

что упрощается до

Шаг 5

Затем мы выражаем x через z

Шаг 6

Теперь у нас есть решения для x и y , и у нас все еще есть один нетронутый уравнение.Мы подставляем x и y в уравнение (1), чтобы получить уравнение только с одной переменной z

Первая замена на y

что упрощается следующим образом:

Шаг 7

Далее заменяем x

что оставляет уравнение только в виде z , которое мы затем упрощаем, чтобы решить для z

Шаг 8

Теперь, когда мы получили значение z , мы выполняем обратную замену, чтобы найти х

подставив z = 0

Шаг 9

Еще раз производим обратную замену, чтобы найти значение y .Мы используем значения, полученные для x и z , и подставляем их в уравнение для и :

Решение системы уравнений: x = -2 , y = 4 , z = 0 .В трех измерений, это будет означать, что (-2,4,0) является точкой пересечения всех трех линий.

Пример 4:

Решите относительно переменных в следующей системе уравнений

Шаг 1

Сначала мы помечаем уравнения:

Шаг 2

Затем мы проверяем систему и выбираем, с какими уравнениями мы хотим работать, в каких заказ.

Давайте начнем с уравнения (1), а затем перейдем к уравнению (2) и, наконец, к уравнению (3).

Шаг 3

Выразите x через y и z

Шаг 4

Затем вы заменяете x в уравнении (2)

что упрощается до:

Затем возьмем приведенное выше уравнение и выразим z через y

Шаг 5

Затем мы подставляем x и z в уравнение (3), чтобы получить одну переменную уравнение.

Сначала мы заменяем x и упрощаем

Шаг 6

Далее подставляем z

что упрощается до

Шаг 7

Из чего мы можем решить для и следующим образом:

Шаг 8

Используя это значение y = 3 , мы выполняем две обратные подстановки, чтобы получить значения из x и z .

Сначала мы решаем z :

Шаг 10

Наконец, мы решаем x:

Следовательно, решение системы уравнений выше x, y, z = 0.5,3,2,5

Как решить линейные уравнения с помощью подстановки

Как решить систему уравнений:

Прежде чем мы перейдем к решению систем линейных уравнений с помощью метода подстановки, давайте сначала рассмотрим и поймем, что значит «решить» систему уравнений. Когда мы говорим «решить» относительно линейного, квадратичного, экспоненциального или любого другого типа уравнения, на самом деле мы имеем в виду, что мы пытаемся найти значения «x» — зависимой переменной — которые удовлетворяют «y» — независимая переменная.

Возьмем для примера следующее простое уравнение: y = 2x = 2

В этом примере уравнения мы знаем, что y равно 2x и также равно 2. С этим знанием, поскольку y равно 2x и 2, мы можем сказать, что 2x = 2. Тогда следующим естественным шагом будет чтобы решить это уравнение с помощью алгебры, получив «решение», что x = 1.

В случае систем уравнений процесс не так уж и отличается. При решении систем уравнений мы пытаемся найти значения x и y, которые делают два различных уравнения равными друг другу, эффективно «решая» оба уравнения.Дополнительную информацию о системе уравнений можно найти в другом уроке. В системе уравнений есть несколько результатов, которые могут произойти в зависимости от количества решений. У нас есть конкретные уроки по определению количества решений линейных уравнений и системы линейно-квадратных уравнений. У нас также есть графические системы уравнений и неравенств!

Для этого существует два основных метода: решение систем путем замены и решение систем путем исключения.В этой статье мы сосредоточимся на подстановке, которая, возможно, немного проще, чем другой метод — устранение. Для устранения, пожалуйста, посмотрите видео и статьи, посвященные именно этому методу. Чтобы убедиться, что вы готовы к исключению, важно научиться складывать и вычитать многочлены, а также складывать и вычитать рациональные выражения.

Теперь, когда мы рассмотрели основы, давайте решим системы с помощью подстановки!

Решение систем уравнений подстановкой:

Прежде чем мы перейдем к использованию метода подстановки, убедитесь, что вы хорошо разбираетесь в алгебре, просмотрев урок о решении линейных уравнений с переменными с обеих сторон.

Основная процедура решения систем с помощью подстановки проста: имея два линейных уравнения, все, что нам нужно сделать, это «подставить» одно из пары уравнений в другое, преобразовав переменные. Эту процедуру лучше описать ниже на общем примере:

Рассмотрим следующие уравнения, где (x, y) — координаты, а все остальное — константы.

1) ty = axty = axty = ax

2) zy = x + bzy = x + bzy = x + b

Шаг 1. Измените одно из уравнений, чтобы получить «y» само по себе

1) y = axty = \ frac {ax} {t} y = налог

2) zy = x + bzy = x + bzy = x + b

Шаг 2: подставьте преобразованное уравнение в его партнера

Шаг 3: Решите относительно x

Поскольку это всего лишь общий случай, мы не можем решить для x.Но обратите внимание, что все, что нам нужно сделать, это получить x само по себе.

Шаг 4. Подставьте решение для x в любое из первоначально заданных уравнений, чтобы найти y

Когда у нас есть значение x, мы можем подставить его в любое из двух уравнений, чтобы найти решение для y.

Шаг 5: окончательный ответ запишите точкой

Следовательно, наше решение (x, y)

Еще раз, это просто общий случай. Также обратите внимание, что в этом примере мы решили сначала решить для x.Неважно, какую переменную вы решите первой, просто обратите внимание, что x часто легче решить для первой, так как это часто требует меньших изменений в исходных уравнениях. Лучший способ научиться и научиться решать с помощью замены — это выполнять некоторые практические задачи.

Пример 1:

Возьмите следующие одновременные уравнения и решите.

Шаг 1. Измените одно из уравнений, чтобы получить «y» само по себе

Давайте воспользуемся первым уравнением и изменим его так, чтобы у нас было y само по себе.Конечно, мы могли бы взять второе уравнение, но это потребует дополнительной работы.

Шаг 2: подставьте преобразованное уравнение в его партнера

Теперь мы собираемся заменить наше недавно преобразованное уравнение 6x — 7 = y в -9x + 2y = 7.

Шаг 3: Решите относительно x

Теперь, когда мы успешно выполнили замену, давайте решим относительно x.

Шаг 4. Подставьте решение для x в любое из первоначально заданных уравнений, чтобы найти y

Теперь, когда у нас есть x, мы можем положить x = 7 в любое из уравнений, чтобы найти y.Выберем первое уравнение, потому что оно более простое.

Шаг 5: окончательный ответ запишите точкой

Окончательный ответ: (7, 35)

На следующем изображении ниже показана работа, которую мы только что проделали:

Пример 2:

Решите следующую линейную систему.

В некоторых случаях нам может потребоваться некоторое упрощение обоих уравнений, прежде чем мы сможем продолжить замену и решение.В этом случае мы должны сначала расширить и упростить оба уравнения:

Шаг 1. Измените одно из уравнений, чтобы получить «y» само по себе

Как и в первом примере, давайте воспользуемся первым уравнением и изменим его так, чтобы мы могли иметь y отдельно. Конечно, мы могли бы взять второе уравнение, но это потребует дополнительной работы.

Шаг 2. Подставьте преобразованное уравнение в его партнер и решите относительно x

Теперь мы собираемся заменить наше недавно преобразованное уравнение 3x — 5 = y в 5x + 4y = 14 и решить относительно x.

Шаг 3. Подставьте решение для x в любое из изначально заданных уравнений, чтобы найти y

Теперь, когда у нас есть x, мы можем положить x = 2 в любое из уравнений, чтобы найти y. Выберем первое уравнение, потому что оно более простое.

Шаг 4. Окончательный ответ запишите точкой

Окончательный ответ: (2, 1)

Вот и все! Теперь убедитесь, что вы выполняете много практических задач, чтобы освоить этот метод более комфортно.{-1} \ left (F (s) \ right) $$$ это такая функция `f (t)`, что $$$ \ mathcal {L} \ left (f (t) \ right) = F (s ) $$$.

Обычно, чтобы найти обратное преобразование Лапласа функции, мы используем свойство линейности преобразования Лапласа. Просто выполните частичное разложение на дроби (если необходимо), а затем обратитесь к таблице преобразований Лапласа.

Калькулятор найдет Вронскиан набора функций с указанными шагами.Поддерживает до 5 функций, 2×2, 3×3 и т. Д.

Калькулятор найдет решение данного ОДУ: первого порядка, второго порядка, n-го порядка, разделимое, линейное, точное, Бернулли, однородное или неоднородное.

Также поддерживаются начальные условия.

Калькулятор найдет приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка, используя метод Эйлера, с указанными шагами.

Калькулятор найдет приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка с помощью улучшенного метода Эйлера (Гойна) с указанными шагами.

Этот калькулятор рассчитает период полураспада, начальное количество, оставшееся количество и время с указанием шагов.

Балансировка окислительно-восстановительных реакций ионно-электронным методом

У вас есть уравнение окислительно-восстановительного потенциала, которое вы не знаете, как сбалансировать? Помимо простой балансировки рассматриваемого уравнения, эти программы также предоставят вам подробный обзор всего процесса балансировки с помощью выбранного вами метода.

1. Ионно-электронный метод (также называемый методом полуреакции)
2. Метод изменения окислительного числа
3. Метод агрегированных окислительно-восстановительных видов (или метод ARS) — Новое в periodni. 2 +
4. Чтобы ввести знак уравнения, вы можете использовать символы «=», «->» или «→».
5. Уравнение можно записать строчными буквами. Если элементы в химической формуле правильно написаны с заглавной буквы, преобразователь смарт-кейсов оставит их так, как вы ввели.

---

Почему необходимо сбалансировать химические уравнения?

Сбалансированное химическое уравнение точно описывает количества реагентов и продуктов в химических реакциях. Закон сохранения массы гласит, что масса не создается и не разрушается при обычной химической реакции.Это означает, что химическое уравнение должно иметь одинаковое количество атомов каждого элемента на обеих сторонах уравнения. Также сумма зарядов на одной стороне уравнения должна быть равна сумме зарядов на другой стороне. Когда эти два условия выполняются, уравнение считается сбалансированным.

Рекомендации по уравновешиванию уравнений окислительно-восстановительного потенциала

• Шаг 1. Запишите несбалансированное уравнение
• Шаг 2. Разделите окислительно-восстановительную реакцию на половину реакции.
  • a) Назначьте степени окисления для каждого атома
  • б) Определите и запишите все окислительно-восстановительные пары в реакции
  • c) Объединить эти окислительно-восстановительные пары в две полуреакции
• Шаг 3.Сбалансируйте атомы в каждой половине реакции
  • a) Уравновесить все остальные атомы, кроме H и O
  • б) Уравновесить атомы кислорода с помощью H ₂ O
  • c) Уравновесить атомы водорода с помощью H ⁺
  • d) В базовой среде добавьте по одному OH ^— с каждой стороны для каждого H ⁺
• Шаг 4. Уравновесить заряд с помощью e ^—
• Шаг 5: Сделайте усиление электронов эквивалентным потере электронов в полуреакциях
• Шаг 6: сложите полуреакции вместе
• Шаг 7. Упростите уравнение
• Наконец, убедитесь, что элементы и заряды сбалансированы.

Примеры уравнений окислительно-восстановительного потенциала

Ионное уравнение против молекулярного вида

Когда уравнение записано в молекулярной форме, программа будет иметь проблемы с балансировкой атомов в полуреакциях (шаг 3.). Этого можно избежать, записав уравнение в ионной форме.

Разные решения

• KSCN + 4I ₂ + 4H ₂ O → KHSO ₄ + 7HI + ICN
• SCN ^— + 5I ₂ + 4H ₂ O → HSO ₄ ^— + 8I ^— + CN ^— + 2I ⁺ + 7H ⁺
.

No related posts.