Разность квадратов двух выражений: Формулы сокращенного умножения 💣

Формулы сокращенного умножения 💣

Знакомство с сокращенным умножением начинается впервые в седьмом классе. Тема непростая: нужно выучить наизусть много формул. Но зато вы сможете быстрее решать задачки без ошибок. Проверим?

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

 

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.


2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.


3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.


4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.


5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.


6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.


7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a² — b² = (a — b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a² — b².

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a² — b² ≠ (a — b)².

Докажем, что a² — b² = (a — b) * (a + b).

Поехали:

1. Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.

   + a * b — a * b = 0

   a² — b² = a² — b² + ab — ab

2. Сгруппируем иначе: a² — b² + a * b — a * b = a² — a * b + a * b — b²


3. Продолжим группировать: a² — a * b — b² +a * b = (a² — a * b) + (a * b — b²)


4. Вынесем общие множители за скобки:

   (a² — a * b) + (a * b — b²) = a *(a — b) + b *(a — b)

5. Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)


6. Результат доказательства: a² — b²
   = (a — b) * (a + b)


7. Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a + b) = a² — b², нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — b * a — b * b = a² — b².

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

 

Бесплатные занятия по английскому с носителем

Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. 

(a₁+a₂+…+a_n)² = a₁² + a₂² + … + a_n-1² + a_n² + 2 * a₁ * a₂ + 2 * a₁ * a₃ + 2 * a₁ * a₄ + … +

+ 2 * a₁ * a_n-1 + 2 * a₁ * a_n + 2 * a₂ * a₃ + 2 * a₂ * a₄ + … + 2 * a₂ * a_n-1 + 2 * a₂ * a_n +…+

+ 2 * a_n-1 * a_n

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

aⁿ − bⁿ = (a − b) * (a^n-1 + a^n-2 * b + a^n-3 * b² + … + a * b^n-2 + b^n-1).

Для четных показателей можно записать так:

a^2*m − b^2*m = (a² − b²) *(a^2*m−2 + a^2*m−4 * b² + a^2*m−6 * b⁴ + … + b^2*m−2).

Для нечетных показателей:

a^2*m+1 − b^2*·m+1 = (a − b) * (a^2*m + a^2*m−1 * b + a^2*m−2 * b² + … + b^2*m).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)².

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10)² = 55² + 2 * 55 * 10 + 10² = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с³

– 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с³ – 8 = (4 * с)³ – 2³ = (4 * с – 2)((4 * с)² + 4 * с * 2 + 2²) = (4 * с – 2)(16 * с² + 8 * с + 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y — x) * (7 * y + x).

Как решаем:

1. Произведем умножение: (7 * y — x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x — x * 7 * y — x * x = 49 * y² + 7 * y * x — 7 * y * x — x² = 49 * y² — x².
2. Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y — x) * (7 * y + x) = (7 * y)² — x² = 49 * y² — x².

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂

---

---

 

Шпаргалки по математике родителей

Все формулы по математике под рукой

Формула разности квадратов двух выражений – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Конспект

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы: \((a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2\). 2 + 25)\)

Сообщить об ошибке

Разность квадратов – объяснение и примеры

Квадратное уравнение представляет собой многочлен второй степени, обычно в форме f(x) = ax ² + bx + c, где a, b, c, ∈ R, и a ≠ 0 , Термин «а» упоминается как старший коэффициент, в то время как «с» является абсолютным членом f (x). Каждое квадратное уравнение имеет два значения неизвестной переменной, обычно называемые корнями уравнения (α, β).

Что такое разность квадратов?

Разность двух квадратов — это теорема, которая говорит нам, может ли квадратное уравнение быть записано как произведение двух двучленов, в котором один показывает разность квадратных корней, а другой показывает сумму квадратных корней.

Следует отметить, что эта теорема неприменима к сумме квадратов.

Формула разности квадратов

Формула разности квадратов представляет собой алгебраическую форму уравнения, используемого для выражения разности между двумя квадратными значениями. Разность квадратов выражается в виде:

a ²  – b ² , где первый и последний члены являются полными квадратами. Факторинг разницы двух квадратов дает:

a ²  – b ²  = (a + b) (a – b)

Это верно, потому что (a + b) (a – b) = a ² – ab + ab – b ² = a ² – b ²

Как учесть разницу квадратов?

В этом разделе мы узнаем, как факторизовать алгебраические выражения, используя формулу разности квадратов. Чтобы факторизовать разность квадратов, предпринимаются следующие шаги:

• Проверить, имеют ли члены наибольший общий делитель (GCF), и вынести его. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ.
• Определите числа, которые дадут одинаковые результаты, и примените формулу: a ² – b ²  = (a + b) (a – b) или (a – b) (a + b)
• Проверить можете ли вы факторизовать оставшиеся термины дальше.

Давайте решим несколько примеров, применяя эти шаги.

Пример 1

Коэффициент 64 – x ²

Решение

Так как мы знаем, что квадрат 8 равен 64, то мы можем переписать выражение;
64 – x ² = (8) ²  – x ²
Теперь применим формулу a ²  – b ²  = (a + b) (a – b) для факторизации выражения;
= (8 + х) (8 – х).

Пример 2

Фактор
x ² −16

Решение

, так как X ² –16 = (x) ² 4 0003 2 ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 –16 =. применить формулу квадрата разности a 2  – b 2  = (a + b) (a – b), где a и b в данном случае равны x и 4 соответственно.}

Следовательно, x ² — 4 ² = (x + 4) (x — 4)

Пример 3

Фактор 3A ² — 27b ²

. ²

— 27B ²

9

Поскольку 3 – это НОД термов, мы выносим его за скобки.
3а ²  – 27б ² = 3(а ²  – 9б ² )
=3[(а) ²  – (3б) ^{2 20004 ]
Теперь примените a 2  – b 2  = (a + b) (a – b), чтобы получить; Пример 4
x 3  – 25x = x (x 2  – 25)
= x (x 2  – 5 2 )
(а – б) получить;
= х (х + 5) (х – 5). 9Пример 5 (x – 3)}

Теперь применим a ²  – b ²  = (a + b) (a – b)

= [(x – 2) + (x – 3)] [(x – 2) – (х – 3)]

= [х – 2 + х – 3] [х – 2 – х + 3]

Соедините подобные члены и упростите выражения;

[х – 2 + х – 3] [х – 2 – х + 3] = > [2х – 5] [1]

= [2x – 5]

.

Решение

Перепишите выражение в виде а ²  – b ² .

25(x + y) ²  – 36(x – 2y) ²  => {5(x + y)} ²  – {6(x – 2y)} ²
Примените формулу a ²  – b ²  = (a + b) (a – b) получить,

= [5(х + у) + 6(х – 2у)] [5(х + у) – 6(х – 2у)]

= [5х + 5у + 6х – 12у] [5х + 5у – 6х + 12y]

Собрать одинаковые термины и упростить;

= (11х – 7у) (17у – х).

Пример 7

Фактор 2x ² – 32.

Решение

Вынести GCF;
2x ² – 32 => 2(x ² – 16)
= 2(x ²  – 4 ² )

Применяя формулу разностных квадратов, получаем;
= 2 (x+ 4) (x — 4)

Пример 8

Фактор 9x ⁶ — Y ⁸

Раствор

Сначала, Rewortrite 9plite 9000 3 –

8 по форме а ²  – б ² .

9x ⁶ — Y ⁸ => (3x ³ ) ² — (Y ⁴ ) ²

Применить ² — B ² = (A + B) (а – б) получить;

= (3x ³ — Y ⁴ ) (3x ³ +Y ⁴ )

Пример

Фактор.

Переписать 81A ² — (B — C) ² в качестве ² — B ²
= (9A) ² — (B — C) ²
По применению формулы a ²  – b ²  = (a + b) (a – b) получаем,
= [9a + (b – c)] [9a – (b – c)]
= [9a + b – c] [9a – b + c ]

Пример 10

Коэффициент 4x ² – 25

Решение

= (2x) ² — (5) ²
= (2x+ 5) (2x — 5

Разница в квадратах | блестящая математика и наука Wiki

Сандип Бхардвадж, 敬全 钟, Сэм Рив, а также

способствовал

Содержимое

• Личность
• Примеры проблем
• Дальнейшее расширение
• Решение проблем
• Смотрите также 92 = (5-2) \умножить на (5+2) = 3\умножить на 7. \ _\square52−22=(5−2)×(5+2)=3×7. □​

  Вычислить 299×301299\умножить на 301299×301.

  ---

  Вы можете перебором решить эту задачу с помощью калькулятора, но у нас есть более приятный способ. Мы можем применить разность тождества двух квадратов.

  Сначала мы можем подумать об использовании метода длинного умножения, но это трата времени и, конечно, скучно. Обратите внимание, что 299=300−1299=300-1299=300−1 и 301=300+1301=300+1301=300+1, поэтому 92 \, ?992−982?

  Примечание. Попробуйте без калькулятора.

  20142014×20142014−20142013×20142015=?\large \color{#3D99F6}{2014}\color{#3D99F6}{2014} \times \color{#3D99F6}{2014}\color{#3D99F6}{2014 } — \color{#3D99F6}{2014}\color{#D61F06}{2013} \times \color{#3D99F6}{2014}\color{фуксия}{2015} = ? 20142014×20142014−20142013×20142015=?

  Не пользуйтесь калькулятором!

  1. Поскольку два фактора отличаются на 2b2b2b, коэффициенты всегда будут иметь одинаковую четность. То есть, если a-ba-ba-b четно, то a+ba+ba+b также должно быть четно, поэтому произведение делится на четыре. Или ни одно из них не делится на 2, поэтому произведение нечетное. Это означает, что числа, кратные 2, но не кратные 4, не могут быть выражены как разность 2 квадратов. 9\text{th}(n−1)-й член равен 1, поэтому конечный продукт равен n+12n\frac{n+1}{2n}2nn+1​. □_\квадрат□​

  Упростить (5+6+7)(5+6−7)(5−6+7)(−5+6+7).\left(\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7\right)\left(\sqrt5+\sqrt6 -\sqrt7\right)\left(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7\right)\left(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7\right).(5​+6​+7​)(5​+6​− 7​)(5​−6​+7​)(–5​+6​+7​).

  ---

  Мы можем расширить его, но это требует много времени и чревато ошибками. Пусть личность решит эту проблему. У нас есть 92\\&=5+6+2\sqrt{30}-7\\&=4+2\sqrt{30}.\end{выровнено}(5​+6​+7​)(5​+6 ​−7​)​=(5​+6​)2−(7​)2=5+6+230​−7=4+230​.​

  Аналогично, произведение двух последних членов равно

  .

  (5−6+7)(−5+6+7)=(7+(5−6))(7−(5−6))=−4+230. \begin{выровнено} \big(\sqrt5-\sqrt6+\sqrt7\big)\big(-\sqrt5+\sqrt6+\sqrt7\big) &= \left(\sqrt7+\big(\sqrt5-\sqrt6\big)\right)\left( \sqrt7-\big(\sqrt5-\sqrt6\big)\справа) \\ &=-4+2\sqrt{30}. \end{выровнено} (5​−6​+7​)(−5​+6​+7​)​= (7​+(5​−6​))(7​−(5​−6​))=−4 +230​.​ 9{2} — (123456788 х 123456790).1234567892−(123456788×123456790).

  Если вы используете калькулятор, точность которого недостаточно высока, чтобы ответить на этот вопрос, то вы ответите на эту задачу неправильно.

  25 125 625 5

  Если

  x=4(5+1)(54+1)(58+1)(516+1),x=\frac{4}{\big(\sqrt{5}+1\big )\big(\sqrt[4]{5}+1\big)\big(\sqrt[8]{5}+1\big)\big(\sqrt[16]{5}+1\big)} ,x=(5​+1)(45​+1)(85​+1)(165​+1)4​, 9{\ color {# 624F41} y} & = & \ large { \ frac 5 3} \\ \\ \\ \ big {\ color {# 624F41} x} — {\ color {# 624F41} y} & = & \ large \, ? \end{align} 2x−2y4x−4yx−y​===​135​?​

  Детали и предположения:

  • xxx и yyy — действительные числа.

    No related posts.