Разложение на множители методом группировки: Разложение на множители способом группировки — урок. Алгебра, 7 класс.

Разложение Многочлена на Множители Способом Группировки

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей. 

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые подчеркнуты на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя. 

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

5 способов разложения многочлена на множители

 

1. Вынесение общего множителя за скобки.


2. Формулы сокращенного умножения.


3. Метод группировки.


4. Выделение полного квадрата.


5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

 

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

 

1. Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.


2. Вынести общий множитель за скобки.


3. Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И ее всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

Как решаем:

1 способ	2 способ
up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd) Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d. Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d. Получим: p(u — b) + d(u — b). Заметим, что общий множитель (u — b). Вынесем его за скобки:  (u — b)(p + d).  Группировка множителей выполнена.	up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd) Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b. Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b. Получим: u(p + d) — b(p + d). Заметим, что общий множитель (p + d). Вынесем его за скобки:  (p + d) (u — b). Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

Как решаем:

 

1. Найдем общий множитель: (m — n)


2. Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d). 

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители  с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

Как решаем: 

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax² — bx² + bx — ax + a — b.

Как решаем:

 

1. Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax² — bx² + bx — ax + a — b = (ax² — bx²) + (bx — ax) + (a — b) = x²(a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

1. Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x²(a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x² + x + 1)

Ответ: ax² — bx² + bx — ax + a — b = (a — b)(x² + x + 1)

Научиться быстро считать ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. {n-1}-1)(3x+a)$

Разложение многочлена на множители, метод группировки. Тест

Повторить:
1) Сложение, вычитание, умножение и деление положительных и отрицательных чисел;

2) Свойства степени;
3) Вынесение общего множителя за скобки

Вопрос 1. Разложить на множители способом группировки:

A.
B.
C.
D.

Вопрос 2. Разложить на множители способом группировки:

A.
B.
C.
D.

Вопрос 3.

Разложить на множители способом группировки:

A.
B.
C.
D.

Вопрос 4. Разложить на множители способом группировки:

A.
B.
C.
D.

Вопрос 5. Разложить на множители способом группировки:

A.
B.
C.
D.

Вопрос 6. Разложить на множители способом группировки:

A.
B.
C.
D.

Умножение многочлена на многочлен. Разложение многочлена на множители методом группировки 7 класс онлайн-подготовка на

87. Умножение многочлена на многочлен. Разложение многочлена на множители методом группировки.

Попробуем умножить многочлен на многочлен. Умножим многочлен (а+b) на многочлен (c+d):

(а+b)(c+d)

Заменим многочлен (а+b) переменной х:

х(c+d)

Применим распределительное свойство умножения:

х(c+d) = хс+хd

Произведем обратную замену:

(a+b)c+(a+b)d = ac+bc+ad+bd

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Полученное в результате умножения многочленов выражение также является многочленом.

Пример 1.

(х+3)(6х²-5х+4) = х*6х²+х*(-5х)+х*4+3*6х²+3*(-5х)+3*4 = 6х³-5х²+4х+18х²-15х+12

Приведем подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида:

6х³+13х²-11х+12.

Продолжим рассматривать различные способы разложения многочлена на множители. Познакомимся со способом группировки.

Пример 2. Разложим на множители многочлен ab-2b+3a-6.

Сгруппируем слагаемые так, чтобы из каждой группы можно было выделить общий множитель:

(ab-2b)+(3a-6) = b(a-2)+3(a-2) = (a-2)(b+3).

Можно сгруппировать слагаемые и по-другому:

(ab+3a)+(-2b-6) = a(b+3)-2(b+3) = (a-2)(b+3).

Но не всегда существует несколько способов группировки. Порой довольно трудно догадаться, как именно можно разложить на множители многочлен.

Пример 3. Разложим на множители выражение a²-7a+12.

Если мы сгруппируем (а²-7а)+12, это нам ничего не даст.

Представим -7а как -(3а+4а) = -3а-4а. Тогда

a²

-3a-4a+12 = (a²-3a)+(-4a+12) = a(a-3)-4(a-3) = (a-3)(a-4).

Разложение на множители методом группировки

Список дополнительных материалов

В выражении \(ab +ac +b^2+bc\) нет возможности вынести ощий множитель из всех 4-х слагаемых, но если вынести общий множитель из первых двух слагаемых и свой общий множитель из второй пары слагаемых, то получится \(a(b+c)+b(b+c)\) и мы видим, что образовался общий множитель \(b+c\), который изначально не было видно. Остается только вынести его за скобки и получить \((b+c)(a+b)\). Этот метод называют методом группировки. Разумеется, выражение можно разложить на множители только, если оно «позволит» это сделать. Поэтому правильней говорить не метод группировки, а случай, когда можно разложить группировкой слагаемых. 

Как понять, что нужно применять именно этот метод? 

Первое, на что нужно обратить внимание — это количество слагаемых: их или 4 или 6 (больше в задачниках не дают). Но это ничего еще не гарантирует, тк может относиться к другому способу. Так же важно помнить, что возможно нужно будет сгруппировать не первое слагаемое со вторым и третье с четвертым, а выбрать какой-то другой порядок.

Класс: алгебра 7-й

Сложность: средняя

Подготовка к ЗНО: обязательно

Подготовка к ДПА 9класс: обязательно

Разложение многочленов на множители методом группировки

Вынести общий $b$ множитель:

a) $5a^6-{15a}^4b$

б) $45a^3-135ab$

Решение:

a)

1. Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители

   $5=1\cdot 5$

   $15=3\cdot 5$

   И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:

   НОД=$5$

2. Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени

   $a^6=a^4\cdot a^2$

   $a^4=a^4\cdot 1$

   Переменная $b$ входит только во второй одночлен, значит, в общий множитель не войдет. 3+9)$

В данном задании мы разложили многочлен на множители методом группировки.

«ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»

Тема консультации: «ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ.

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»

Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000…». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 7 класса в феврале продолжается работа с четвертой главой «Введение в теорию многочленов». Изучаются три пункта второго параграфа:
4.3.2. Разность квадратов;
4.3.3. Куб суммы и разности;
4.3.4. Сумма и разность кубов.
После чего начинается работа с четвертым параграфом «Разложение многочленов на множители», из которого изучаются пункты:
4.4.1. Вынесение общего множителя за скобки;
4.4.2. Способ группировки;
4.4.3. Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов.

Основные содержательные цели

• сформировать умение представлять разность квадратов, сумму и разность кубов в виде произведения и наоборот преобразовывать произведения многочленов определенного вида в разность квадратов, сумму и разность кубов с помощью соответствующих формул сокращенного умножения;
• сформировать умение представлять куб суммы и разности в виде многочлена стандартного вида и наоборот преобразовывать многочлен определенного вида в куб суммы или разности с помощью соответствующей формулы сокращенного умножения;
• сформировать умение применять формулы сокращенного умножения для алгебраических преобразований, связанных с умножением, и рационализации вычислений;
• сформировать умение раскладывать многочлены на множители следующими способами: вынесением за скобки общего множителя, способом группировки, с помощью формул сокращенного умножения;
• сформировать умение применять при разложении многочленов на множители различные вспомогательные приемы, такие как, перестановка слагаемых; представление члена многочлена в виде суммы или разности подобных ему членов; прибавление и вычитание одного и того же слагаемого, выделение полного квадрата;
• сформировать умение применять разложение на множители для алгебраических преобразований, решений уравнений и рационализации вычислений.

Тематическое планирование В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 136 ч. Вариант планирования, разработанный для 3 часов в неделю, обеспечивает выполнение государственного стандарта знаний, усвоение учебного содержания курса (по темам, обязательным для рассмотрения) и продвижение учащихся в развитии мышления, речи, познавательных интересов. При 4 часах в неделю содержание курса существенно расширяется.

Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 3 четверть (3 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как.. .»)

Центр системно – деятельностной педагогики «Школа 2000…» рекомендует для работы по учебнику математики для 7 класса средней школы Л.Г. Петерсон, Д.Л. Абрарова, Е.В. Чутковой использовать по возможности 4 часа в неделю.

Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 3 четверть (4 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как…»)

Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 4. Введение в теорию многочленов

§ 3. Формулы сокращенного умножения

П. 2. Разность квадратов

1) В данном пункте учащиеся знакомятся с двумя формулами сокращенного умножения – формулой произведения суммы и разности двух выражений и формулой разности квадратов, которые, по сути, являются одинаковыми равенствами, в которых поменяли местами правую и левую части. Традиционно эта формула рассматривалась как одна – формула разности квадратов, что приводило к трудностям, возникающим у учащихся при умножении разности двух выражений на их сумму. Поэтому, чаще всего учителю приходилось регулярно использовать на уроках такой прием, как чтение данной формулы «в обратную сторону». Чтобы раз и навсегда показать учащимся, что любая из формул сокращенного умножения «работает» как справа налево, так и слева направо можно использовать материал данного пункта и специально обратить внимание учащихся на это. Можно пояснить учащимся, что для других «обратных» формул не используют отдельного названия, т.к. звучат их названия менее благозвучно, чем у формулы произведения разности и суммы двух выражений.
2) В качестве мотивации к выводу новых формул можно предложить учащимся вычислить

 за 30 секунд. После того как они не справятся с этим заданием за указанное время, пояснить, что с помощью формулы сокращенного умножения, открытой сегодня им это легко удастся.
3) Для открытия данных формул учащимся предлагается записать произведение суммы и разности а и b как многочлен стандартного вида. После этого учащимся предлагается обобщить полученное равенство для всех произведений подобного вида и сформулировать правило умножения суммы двух выражений на их разность. Опираясь на полученную формулу, учащиеся формулируют, как можно найти разность квадратов двух выражений (№ 318). Эту работу они могут выполнять самостоятельно в группах или в парах.
4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 2, а также понятия «сумма» и «разность». Для этого можно использовать задания №№ 316–317.
5) Чтобы показать геометрический смысл данной формулы можно использовать предметные геометрические модели прямоугольника и квадрата, предложенные в учебнике. Необходимо вырезать, прикладывать и перемещать предметные модели либо использовать возможности анимации современной техники. Это поможет учащимся с образным мышлением запомнить данные формулы.
6) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 322, 337).
7) При 4-часовом планировании рекомендуется отвести больше времени на выполнение заданий более высокого уровня сложности (№№ 340–347).
8) Учащиеся применяют новые формулы для сокращения алгебраических дробей (№ 333), решения уравнений (№ 327, № 336), доказательства утверждений и тождеств (№№ 329, 334, 335). Для формирования умения применять формулы сокращенного умножения в учебнике и другие задания, которые предполагают решение задач с помощью уравнения (№ 339), сравнение значений выражений (№№ 342 – 343) и пр. Учитель выбирает из этих заданий те, которые считает целесообразным выполнить с учащимися.
9) При выполнении заданий на нахождение наибольшего и наименьшего значения выражений (№№ 345 – 346) следует вспомнить с учащимися необходимые свойства. Рекомендуется, после применения формулы произведения суммы выражений на их разность актуализировать, как изменяется разность при изменении ее компонентов. Свойство разности «Если значение уменьшаемого увеличить, то значение разности увеличится» и подобные ему свойства известны учащимся с начальной школы. Кроме того, рекомендуется спросить, какое наименьшее значение может принимать квадрат любого выражения (нуля).

П. 3. Куб суммы и разности

1) В данном пункте учащиеся знакомятся с двумя формулами сокращенного умножения – формулой куба суммы и куба разности.
2) Для проблематизации можно предложить учащимся записать выражение

как многочлен стандартного вида, не используя правило умножения многочленов
3) Для открытия формулы куба суммы (разности) учащимся предлагается использовать задание № 377, в котором проедложены шаги по построению новой формулы. Рекомендуется сначала дать возможность учащимся составить план открытия нового знания самостоятельно. Имея опыт, построения формулы квадрата суммы и разности данная задача является для семиклассников посильной задачей.
4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 3, а также понятия «куб суммы» и «куб разности». Для этого можно использовать задания №№ 374–376.
5) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 381 – 382).
6) Для формирования умения применять формулы куба суммы и разности в учебнике предлагается целый перечень заданий, которые предполагают доказательство тождеств, нахождение значений выражений, составление и решение уравнений. Учитель выбирает из них те задания, которые считает целесообразным выполнить со своими учениками.
7) После знакомства с формулами куба суммы и куба разности с учащимися следует обобщить, что теперь им известно как возводить двучлен во 2-ю и 3-ю степени и сообщить, что существуют формулы, позволяющие возводить двучлен в более высокую степень. Можно попросить одного из «сильных» учащихся сформулировать идею вывода подобных формул. При 4-часовом планировании (либо в более подготовленных классах) рекомендуется познакомить учащихся с алгоритмом возведения двучлена в n–ю степень (№№ 399 – 400).

П.

4. Сумма и разность кубов

1) В данном пункте учащиеся знакомятся с формулами суммы и разности кубов.
2) Для проблематизации можно предложить учащимся записать многочлены:

в виде произведения двух многочленов.
3) В связи с особенностями этих формул учащимся вряд ли удастся самостоятельно составить план открытия нового знания, поэтому учащимся предлагается использовать задание № 434, в котором даны шаги по построению новых формул.
4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 3, а также понятия «сумма кубов» и «разность кубов». Для этого можно использовать задания №№ 432–433.
5) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 439).
6) Для формирования умения применять формулы суммы и разности кубов в учебнике также как и в других пунктах третьего параграфа предлагается перечень заданий, которые предполагают доказательство тождеств, нахождение значений выражений, составление и решение уравнений с использованием данных формул. Учитель выбирает из них те задания, которые считает целесообразным выполнить со своими учениками.
7) При 4-часовом планировании рекомендуется уделить больше времени на выполнение заданий более высокого уровня сложности (№№ 453–460).
8) При выполнении задания № 459 рекомендуется сначала проанализировать данные равенства, задать, например, следующие вопросы:

• Что записано в левой части равенства? (Произведение многочленов.)
• Что записано в правой части равенства? (Многочлены.)
• Как перейти от произведения многочленов к многочлену? (Перемножить данные многочлены.)
• Как можно рационализировать умножение алгебраических выражений? (Формулы сокращенного умножения помогают при таких преобразованиях.)
• Какие формулы вы здесь сразу видите, подчеркните соответствующие выражения.

После устного разбора учащиеся самостоятельно выполняют данные преобразования и проверяют себя по образцу (естественно образец должен демонстрировать не только самый рациональный способ, но и все возможные способы, которые могли использовать семиклассники). Можно подготовить образец заранее либо вызвать на закрытую доску сильного ученика.
Полезным будет показать рациональные способы выполнения данных преобразований, для этого можно воспользоваться заранее заготовленными образцами. Если по какой-либо причине подготовить образцы не удастся можно вызывать к доске не одного, а нескольких учащихся, которые бы параллельно доказывали тождество. После выполнения задания разобрать другие способы, которыми пользовались ученики. Кроме того, можно после того как основная часть класса закончит доказательство, следует поинтересоваться, кто нашел другой, более рациональный способ доказательства. Эти способы демонстрируются с помощью специального технического оборудования либо идея преобразования проговаривается вслух.
Целесообразно на примере а) сравнить два способа доказательства тождеств:
1) приведение левой части к правой, при котором придется применить формулу произведения суммы выражений на их разность и в полученном произведении «увидеть» формулу разности кубов;
2) приведение правой части к левой, при котором в разности шестых степеней можно «увидеть» разность кубов и разложить эту разность на произведение двучлена на трехчлен, а полученный двучлен разложить на сумму и разность по формуле разности квадратов.
Второй способ рекомендуется показать после применения первого. На данном этапе он рассматривается с целью опережающей подготовки учащихся к изучению темы «Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения».

§ 4. Разложение многочлена на множители

П.1 Вынесение общего множителя за скобки

1) В данном пункте учащиеся учатся выносить общий множитель за скобки, они уже имеют опыт простейших преобразований такого рода. Так, для первичного формирования умения приводить подобные слагаемые учащиеся выносили общий множитель за скобки на основании распределительного закона умножения.
2) В данном пункте у учащихся формируется понятие разложения многочлена на множители. Нужно отметить, что под разложением на множители понимается разложение на буквенные множители. Так, вынесение за скобки числового множителя не является операцией разложения на множители. Например, представление многочлена 2a + 2ac в виде произведения 2(а + ас) не является разложением на множители, а в виде 2а (1 + с) является. Этот «нюанс» можно обговорить с учащимися при выполнении № 489.
3) Здесь же формируется умение раскладывать на множители путем вынесения общего множителя за скобки. Теперь учащиеся выполняют это преобразование на основании четко сформулированного правила: чтобы вынести за скобки общий множитель с можно в скобках записать многочлен, каждый член которого получен в результате его деления на с. Можно использовать предложенный в учебнике алгоритм вынесения за скобки общего множителя (в более подготовленном классе учащиеся могут построить его самостоятельно – № 493).
4) В связи с тем, что учащиеся уже знакомы с вынесением за скобки общего множителя, для проблематизации можно предложить учащимся сформулировать, что такое «разложение многочлена на буквенные множители».
5) Для построения логики открытия при подготовке к уроку учитель может воспользоваться заданием № 488.
6) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними распределительное свойство умножения, использование этого свойства для рационализации вычислений. Для этой целей рекомендуется использовать задания №№ 485 – 488.
7) Задание № 497 готовит учащихся к следующему пункту. Часто у учащихся возникает сложность с вынесением за скобки общего множителя, который является многочленом. Чтобы преодолеть это возможное затруднение рекомендуется выполнить это задание с подчеркиванием общего множителя.
8) Задание № 498 показывает применение нового преобразования для решения уравнений. Особо следует подчеркнуть, что без разложения на множители уравнения данного вида учащиеся пока решить не могут.
9) Важно показать учащимся применение правила вынесения общего множителя для рационализации вычислений (№№ 496, 502).

П.2 Способ группировки

1) В данном пункте учащиеся учатся применять еще один способ разложения на множители – способ группировки.
2) Для проблематизации можно предложить учащимся разложить на множители многочлен:

Причиной возникшего затруднения будет то, что данные одночлены не имеют общего множителя. Чтобы преодолеть свое затруднения учащиеся должны будут открыть новый способ разложения на множители.
3) Чтобы подготовить учащихся к открытию рекомендуется выполнить задание № 533, в котором учащимся придется переставлять слагаемые местами и группировать произведения, имеющие одинаковые множители, а также № 535. Позже эти идеи помогут семиклассникам построить новый способ самостоятельно.
4) Алгоритм способа группировки, построенный учащимися, может иметь вид:
1) Объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе были общие множители.
2) Найти общий множитель в каждой группе и вынести его.
3) Найти общий множитель в новом многочлене и вынести его.
5) Подготовка, проведенная в предыдущем пункте, дает возможность наряду с простейшими ситуациями использования способа группировки рассмотреть и случаи, которые требуют специальных приемов:

• перестановка слагаемых;
• представление члена многочлена в виде суммы или разности подобных ему членов;
• прибавление и вычитание одного и того же слагаемого.

Последним двум приемам рекомендуется посвятить отдельный урок открытия нового знания. Эти приемы будут использоваться учащимися в дальнейшем и для других способов разложения на множители.
6) Для проблематизации можно предложить учащимся разложить на множители с использованием способа группировки многочлены:
7) Для организации открытия можно воспользоваться учебником. Учащиеся самостоятельно отбирают и рассматривают примеры 2, 3 и 4 из текста. После работы с текстом учащимся предлагается выполнить задания на пробное действие.
8) Задания №№ 546, 554 показывают применение нового преобразования для решения уравнений. Причем, если раньше указание разложить на множители давалось в задании, то теперь такого указания в тексте задания нет. Анализируя вид уравнения, учащиеся должны понимать, что нужно преобразовать левую часть уравнения в произведение многочленов. Особо следует подчеркнуть, что без разложения на множители уравнения данного вида учащиеся пока решить не могут.

П.3 Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов на множители

1) В данном пункте учащиеся учатся раскладывать на множители многочлены с использованием формул сокращенного умножения. Умение использовать формулы, в которых та или иная формула представлена в явном виде, должно быть уже сформировано в предыдущем параграфе. Теперь с учащимися разбираются случаи, когда для применения формулы сокращенного умножения необходимо выполнить предварительное преобразование исходного многочлена.
2) Учащиеся учатся видеть в степенях «квадраты» и «кубы», группировать слагаемые для получения нужной формулы, пользуются уже известными приемами: перестановка слагаемых и прибавление и вычитание одного и того же слагаемого.
3) Для этапа актуализации рекомендуется использовать задания №№ 583 – 585, при выполнении которых учащиеся повторят те понятия и способы действий, которые понадобятся им на уроке.
4) № 586 можно использовать для проблематизации. Затруднение, возникшее при выполнении этого задания, потребует новых приемов для применения разложения на множители (либо отбора уже известных приемов для применения в новой ситуации).
5) При изучении данного пункта учащиеся знакомятся с таким приемом, как выделение полного квадрата, который дает возможность применить формулы сокращенного умножения (№ 588 (л–н), № 595(д), № 600 готовят учащихся к этому способу, № 601 требует применения способа). Естественно требовать от каждого ученика умения применять данный способ нельзя. Однако более способные учащиеся должны получить возможность познакомиться с приемом выделения полного квадрата. В восьмом классе этот прием даст возможность вывести формулу для решения квадратных уравнений.

Эталоны

В результате изучения данных пунктов учащиеся знают следующие формулы сокращенного умножения: формулу произведения суммы двух выражений на их разность, формулу разности квадратов; формулы куба суммы и куба разности; формулы суммы и разности кубов и умеют их применять. Учащиеся имеют возможность познакомиться с треугольником Паскаля и соответствующим алгоритмом для возведения двучлена в n–ю степень. Учащиеся знают, что значит разложить многочлен на множители и следующие способы разложения на множители: вынесением за скобки общего множителя, способом группировки, с помощью формул сокращенного умножения и умеют их применять. Учащиеся имеют возможность познакомиться с различными вспомогательными приемами, которые помогают применять вышеперечисленные способы разложения на множители.

Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.
Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000…». В отличие от уроков, опубликованных нами в предыдущих консультациях, этот урок является примером урока рефлексивного типа. Подробнее с методикой подготовки и проведения уроков такого типа в 7-9 классах основной школы вы можете познакомиться в разделе Модификация технологии деятельности метода обучения на уроках разной целевой направленности в 7–9 классах основной школы нашей вводной консультации.

Урок 60

Тип урока: Р
Тема урока: «Формулы сокращённого умножения»
Автор: Л.А Грушевская
Основные содержательные цели:
1) организовать самоконтроль умения применять формулы сокращённого умножения при выполнении заданий различного характера;
2) тренировать умение решать задачи на движение.

Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как…»)

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как…»)

Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.

Факторинг по группам

Факторинг по группам Вот шаги, необходимые для факторинга путем группировки:

Шаг 1 :	Определите, есть ли у этих четырех терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим фактором или GCF. Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ.
Шаг 2 :	Создайте небольшие группы в рамках задачи, обычно объединяя первые два термина вместе и последние два термина вместе.
Шаг 3 :	Вычтите GCF из каждой из двух групп. Во второй группе у вас есть выбор: вынести положительное или отрицательное число. Чтобы определить, следует ли вынести за скобки положительное или отрицательное число, вам нужно посмотреть на знаки перед вторым и четвертым членами. Если два знака совпадают (положительные или отрицательные), вам нужно вынести положительное число. Если два знака различаются, вы должны вычесть отрицательное число.
Шаг 4 :	Если множители в скобках точно такие же, пришло время для специального предложения 2 к 1. Единственное, что объединяет две группы, — это то, что указано в скобках, чтобы вы могли вычленить то, что находится внутри скобок, но записать только то, что находится внутри скобок, один раз. Если то, что указано в круглых скобках, не совпадает, вам нужно переставить четыре термина и повторить попытку, пока не получите идеальное совпадение.Если вы несколько раз переставляли проблемы, но все еще не нашли идеального соответствия, проблема не имеет значения.
Шаг 5 :	Определите, можно ли еще раз разложить оставшиеся факторы.

Пример 1 — Коэффициент:

Пример 2 — Коэффициент:

Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

Пример 3 — Решить:

Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

Пример 4 — Решить:

Шаг 1 : Решите, есть ли у этих четырех терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим множителем или GCF. Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ. В этом случае у четырех членов есть только общая 1, что бесполезно.
Шаг 2 : Создайте более мелкие группы в рамках задачи, обычно путем группирования первых двух терминов вместе и последних двух терминов вместе.
Шаг 3 : Вычтите GCF из каждой из двух групп.В этой задаче знаки перед ab и bx разные, поэтому вам нужно вычесть отрицательный x.
Шаг 4 : Обратите внимание, что то, что находится внутри круглых скобок, не является идеальным совпадением, поэтому вам нужно переставить четыре члена и повторить попытку. Когда вы переставляете термины, старайтесь следовать шаблону, когда вы их записываете. В этом случае обратите внимание, что первый член имеет x, второй — a, третий — x, а четвертый — a.
Шаг 5 : Вычтите GCF из каждой из двух групп. В этой задаче знаки перед топором и ab разные, поэтому вам нужно вычесть отрицательный b.
Шаг 6 : Обратите внимание, что то, что находится внутри круглых скобок, идеально совпадает, поэтому пришло время для специального предложения 2 по 1. Единственное, что объединяет две группы, — это (x — a), поэтому вы можете вычесть (x — a), оставив следующее:
Шаг 7 : Определите, можно ли дополнительно разложить какие-либо из оставшихся факторов.В этом случае они не могут, поэтому окончательный ответ:

Нажмите здесь, чтобы узнать о проблемах с практикой

Пример 5 — Решить:

Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

Промежуточная алгебра Урок 27: GCF и факторинг по группировке WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня Цели обучения После изучения этого руководства вы сможете: Найдите наибольший общий множитель многочлена. Выносим за скобки ОКФ полинома. Разложите многочлен на четыре члена путем группирования. Введение Факторинг — это записать выражение как произведение факторы. Например, мы можем записать 10 как (5) (2), где 5 и 2 называются факторы из 10.Мы также можем сделать это с помощью полиномиальных выражений. В В этом уроке мы рассмотрим два способа разложить многочлен на множители выражения за вычетом наибольшего общего фактора и факторинга по группировка. В следующих двух уроках мы добавим другие типы факторинг. Чего стоит ждать! К тому времени, когда я закончу с ты, вы станете факторинговой машиной. Другие будут спрашивать ты за помощью по факторингу. По сути, когда мы разлагаем на множители, мы обращаем процесс умножения на противоположный. многочлен, который был рассмотрен в Урок 26: Умножение Полиномы. Учебник Наибольший общий коэффициент (GCF) ОКФ для многочлена — это наибольший одночлен что делит фактор) каждого члена многочлена. Пример 1 : Найдите GCF списка одночленов: Пример 2 : Найдите GCF списка одночленов: Нам нужно выяснить, какой самый большой одночлен, который мы может разделить из каждого из этих условий будет. Что вы думаете? Давайте сначала посмотрим на числовую часть. У нас есть 3, 9 и 18. Наибольшее число, которое можно разделить из этих чисел, — 3. Итак, наш числовой GCF равен 3. Теперь перейдем к переменной части. Похоже, что каждый термин имеет x и y . В обоих случаях наименьшее экспонента равно 1. Итак, GCF нашей переменной части составляет xy . Собирая все вместе, мы получаем GCF 3 xy . Шаг 1. Определите ОКФ полинома. Шаг 2: разделите GCF вне каждого срока полинома. Пример 3 : за вычетом GCF: Шаг 1. Определите ОКФ полинома. Самый большой одночлен, который мы можем вынести из каждого член 2 x . Шаг 2. Разделите GCF из каждый срок многочлен. * Разделить 2 x на выходе каждого члена поли. Будьте осторожны. Если срок полинома точно так же, как GCF, когда вы делите его на GCF, вы оставили с 1, а НЕ 0. Не думайте: «О, у меня ничего не осталось», на самом деле есть 1. Как показано выше, когда мы делим 2 x на 2 x , мы получаем 1, поэтому нам нужна 1 в качестве в третьих термин внутри (). Обратите внимание, что если мы умножим наш ответ, мы должны получить оригинал полином.В этом случае это действительно проверка. Факторинг дает другой способ написать выражение, чтобы оно было эквивалентно исходная проблема. Пример 4 : вынести за скобки GCF: Шаг 1. Определите ОКФ полинома. Самый большой одночлен, который мы можем вынести из каждого срок есть. Шаг 2. Разделите GCF из каждый срок многочлен. * Разделите каждый член поли. Обратите внимание, что если мы умножим наш ответ, мы получим исходный многочлен. Пример 5 : за вычетом GCF: Эта проблема выглядит немного иначе, потому что теперь наша GCF — бином. Это нормально, мы относимся к этому так же, как когда у нас есть одночлен GCF. Обратите внимание, что это не факторизованная форма из-за знак минус мы есть перед 7 в проблеме. Чтобы быть в факторизованной форме, он должен быть записанным как произведение факторов. Шаг 1. Определите ОКФ полинома. На этот раз это не одночлен, а двучлен, который мы есть общее. Наш GCF равен (x + 5). Шаг 2. Разделите GCF из каждый срок многочлен. * Разделите ( x + 5) на обе части Когда мы разделим ( x + 5) из первого члена, у нас остается x в квадрате. Когда мы отделяем его от второго члена, у нас остается -7. Вот как мы получаем для нашего second (). Факторинг полинома с помощью Четыре члена путем группирования В некоторых случаях ЗКФ для ВСЕХ условий отсутствует. в полиноме. Если у вас есть четыре термина без GCF, попробуйте разложить по группам. Шаг 1. Сгруппируйте первые два термина вместе, а затем последние два срока вместе. Шаг 2. Вычтите GCF из каждого отдельный двучлен. Шаг 3. Вычтите общие биномиальный. Пример 6 : Фактор по группировке: Обратите внимание на то, что не существует ЗКФ для ВСЕХ условий.Так вперед и учитывайте это путем группировки. Шаг 1. Сгруппируйте первые два термина вместе, а затем последние два срока вместе. * Две группы из двух терминов Этап 2: вычлените GCF из каждого отдельный двучлен. * Выносим за скобки квадрат x от 1-го () * Выносим за скобки 2 из 2-го () Шаг 3: Вынести за скобки общее биномиальный. * Разделите ( x + 7) на обе части Обратите внимание, что если мы умножим наш ответ, мы получим исходный многочлен. Пример 7 : Фактор по группировке: Обратите внимание на то, что не существует ЗКФ для ВСЕХ условий.Так вперед и учитывайте это путем группировки. Шаг 1. Сгруппируйте первые два термина вместе, а затем последние два срока вместе. * Две группы из двух терминов Будьте осторожны.Когда первый срок второго группа из двух человек знак минус перед ним, вы хотите поставить минус перед второй ( ). Когда вы это сделаете, вам нужно изменить знак обоих членов второго (), как показано выше. Этап 2: вычлените GCF из каждого отдельный двучлен. * Выносим за скобки x из 1-й () * Выносим за скобки 4 из 2-го () Шаг 3: Вынести за скобки общее биномиальный. * Разделить (3 x + y ) из обеих частей Обратите внимание, что если мы умножим наш ответ, мы получим оригинал полином. Практические задачи Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-либо иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент. На самом деле не бывает слишком много практики. Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ. Практика Задачи 1a — 1d: Фактор. Нужна дополнительная помощь по этим темам? Последний раз редактировал Ким Сьюард 15 июля 2011 г. Авторские права на все содержание (C) 2001 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Факторинг «парами» (или «группировкой»)

Purplemath

Есть один особый случай факторинга, который может вам понадобиться, а может и не понадобится, в зависимости от того, как структурирована ваша книга, и как ваш инструктор намеревается преподавать квадратичный разложение.Я называю это «факторинг попарно», но в вашей книге это может быть названо «факторинг по группировке». Как бы то ни было, этот метод иногда бывает полезен, но в основном он полезен как средство введения в рассмотрение квадратичных множителей, которые представляют собой полиномы второй степени. Или, по крайней мере, большинство авторов учебников, похоже, считают, что это полезный шаг на пути от базового факторинга к квадратичному.

Когда вы выполняете базовое разложение многочленов, вы обычно вычитаете общий множитель из каждого члена многочлена. Что произойдет, если они дадут вам четыре условия, но нет общего фактора?

MathHelp.com

Каждый раз, когда вы сталкиваетесь с такой ситуацией, вы должны попробовать попарно разложить на множители.Это довольно безопасная ставка, особенно когда вы делаете разложение на множители перед квадратиками, что четырехчленный многочлен, который они дали вам , является факторизуемым , и что метод, который, как они ожидают, вы будете использовать, будет «попарно».

• Фактор

  xy -5 y -2 x + 10

Есть ли что-нибудь, что влияет на все четыре условия? Нет. Когда у меня есть четыре члена, и из всех них ничего не учитывается, я знаю, что мне нужно подумать о том, чтобы попытаться учитывать «попарно». Чтобы разложить на пары терминов, я сначала разбиваю выражение на две пары терминов, а затем факторизую пары терминов по отдельности. Если я все настроил правильно, я должен получить общий множитель в биномиальной форме.

В этом случае я оставлю четыре члена в их текущем порядке.

Что я могу выделить из первой пары? Могу достать y :

Что я могу вынести из второй пары? Я могу достать –2:

xy -5 y -2 x + 10

= y ( x — 5) — 2 x + 10

= y ( x — 5) — 2 ( x — 5)

Что случилось со знаками в последней приведенной выше факторизации? Я вычеркнул –2 из этих двух последних членов, а не +2, потому что первым знаком в паре был «минус». И я получил –5 в скобках, потому что, когда я разделил положительных 10 на отрицательных 2, в результате получилось отрицательных 5. (Будьте осторожны со своими знаками!)

Теперь, когда у меня есть общий фактор, я могу действовать как обычно:

xy -5 y -2 x + 10

= y ( x — 5) — 2 ( x — 5)

= ( x — 5) ( y — 2)

---

Попарное разложение на множители чаще всего используется для введения квадратичного разложения.Итак, вы можете увидеть упражнения, которые выглядят так:

• Фактор

  x ² + 4 x — x — 4.

Этот многочлен состоит из четырех членов без общего множителя для всех четырех, поэтому я попытаюсь разложить на множители попарно:

x ² + 4 x — x — 4

= x ( x + 4) — 1 ( x + 4)

= ( x + 4) ( x — 1)

Почему во второй строке выше я вычитал 1? Потому что, если исключить «ничего», то исключить «1».

---

• Фактор

  x ² — 4 x + 6 x — 24.

У меня есть четыре члена, которые не имеют общих множителей, поэтому я попытаюсь разделить их попарно:

x ² — 4 x + 6 x — 24

= x ( x — 4) + 6 ( x — 4)

= ( x -4) ( x + 6)

---

Иногда они дают вам четыре члена, у которых нет общих множителей, и кажется, что попарное разложение на множители не работает.Прежде чем сдаться, попробуйте распределить термины по разным парам.

• Фактор

  x ² + 3 y — 3 x — xy

Я попробую разложить на множители попарно, указав термины в их текущем порядке. Для второй пары терминов я вытащу «минус» за скобки, поэтому мне нужно не забыть переворачивать знаки внутри скобок:

( x ² + 3 y ) — (3 x + xy )

1 ( x ² + 3 y ) — x (3 + y)

Ладно, не сработало.Что, если я поменяю условия? Как насчет того, чтобы сгруппировать, скажем, два термина, которые содержат переменную x ?

x ² — xy + 3 y — 3 x

( x ² — xy ) + (3 y -3 x )

x ( x — y ) + 3 ( y — x )

Ооо, так близко! Если бы только вычитание во второй скобке было отменено. Но, как я помню, я могу отменить вычитание ; Мне просто нужно не забыть перевернуть знак вне скобок. Это дает мне:

x ( x — y ) — 3 ( x — y )

( x — y ) ( x — 3)

Будут времена, как указано выше, когда одна перестановка терминов не совсем сработает.Не стесняйтесь попробовать что-нибудь еще.

---

• Фактор

  ab -2 + a -2 b

Я вижу, что первые два члена не имеют общих факторов. Итак, я знаю, что, если попарное разложение сработает, мне сначала придется изменить условия. Думаю, я попробую объединить термины без двойки, а два других члена объединить с двойками:

ab + a -2-2 b

a ( b + 1) — 2 (1 + b )

a ( b + 1) — 2 ( b + 1)

( b + 1) ( a -2)

---

Кстати, не одна перестановка терминов может быть успешной. Например, предположим, что я решил сгруппировать термины, содержащие переменную b . Тогда мои шаги были бы такими:

ab — 2 b + a — 2

( ab -2 b ) + ( a -2)

b ( a — 2) + 1 ( a — 2)

( a -2) ( b + 1)

Да, множители расположены в обратном порядке, но порядок не имеет значения для умножения.Любой ответ правильный.

---

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в факторизации многочлена путем группировки. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Фактор по группировке», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления . )

---

Если вы будете использовать попарное разложение на множители для разложения квадратичных множителей (это не тот метод, который я использую), в вашей книге этот процесс будет обозначаться терминологией, такой как «разложение по группам», и процесс факторизации будет работать следующим образом:

Во-первых, мне нужно найти множители последнего члена –6, которые в сумме дают числовой коэффициент среднего члена –5. Я буду использовать числа –6 и +1, потому что (–6) (+ 1) = –6 и (–6) + (+1) = –5.Используя эти числа, я разделю средний член «–5 x » на два члена «–6 x » и «+1 x ». Это позволит мне попарно разложить на множители:

x ² — 5 x — 6

= x ² — 6 x + 1 x — 6

= x ( x — 6) + 1 ( x — 6)

= ( x — 6) ( x + 1)

---

• Фактор 6

  x ² -13 x + 6.

Эта факторизация немного сложнее, потому что старший коэффициент (то есть число в члене x ² ) не является простым 1. Но я все же могу разложить полином на множители.

Во-первых, мне нужно найти множители (6) (6) = 36, которые в сумме дают –13. Я буду использовать числа –9 и –4, потому что (–9) (- 4) = 36 и (–9) + (–4) = –13. Используя эти числа, я могу разделить средний член –13 x на два члена –9 x и –4 x , а затем я могу разложить на множители попарно:

6 x ² — 13 x + 6

= 6 x ² — 9 x — 4 x + 6

= 3 x (2 x — 3) — 2 (2 x — 3)

= (2 x — 3) (3 x — 2)

---

Метод разложения на множители в последних двух примерах выше — в частности, та часть, где я выбрал два числа для разделения среднего члена квадратичного — вероятно, сейчас вам кажется довольно волшебным. Это нормально. Для полного объяснения этих двух последних примеров, пожалуйста, изучите мой урок по квадратичному разложению на множители. Страницы, посвященные «простому» квадратичному факторингу, а затем «жесткому» квадратичному разложению, должны полностью прояснить тему.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/simpfact3.htm

Фактор

по группировке — методы и примеры

Теперь, когда вы узнали, как разложить многочлены на множители с помощью различных методов, таких как; Наибольший общий множитель (GCF, сумма или разность в двух кубах; метод разницы в двух квадратах; и метод трехчлена.

Какой метод вы считаете самым простым?

Я могу сказать, что все эти методы факторизации многочленов так же просты, как ABC, только если они применяются правильно.

В этой статье мы собираемся изучить другой простейший метод, известный как разложение на множители по группировке, но прежде чем перейти к теме разложения по группам, давайте обсудим, что такое разложение полинома на множители.

Многочлен — это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в котором константа и переменная разделены знаком сложения или вычитания.

Общая форма многочлена: ax ⁿ + bx ^n-1 + cx ^n-2 +…. + kx + l, где каждая переменная сопровождается константой в качестве коэффициента. Различные типы полиномов включают в себя; двучлены, трехчлены и четырехчлены.

Примеры многочленов: 12x + 15, 6x ² + 3xy — 2ax — ay, 6x ² + 3x + 20x + 10 и т. Д.

Как разложить на множители по группировке?

Фактор по группировке полезен, когда нет общего множителя среди терминов, и вы разбиваете выражение на две пары и множите каждый из них отдельно.

Разложение многочленов на множители — это операция, обратная умножению, поскольку она выражает многочлен как произведение двух или более множителей. Полиномы можно разложить на множители, чтобы найти корни или решения выражения.

Как разложить на множители трехчлены путем группировки?

Чтобы разложить на множители трехчлена вида ax ² + bx + c путем группирования, мы выполняем процедуру, как показано ниже:

• Найдите произведение ведущего коэффициента «a» и константы «c».»

⟹ a * c = ac

• Найдите множители« ac », которые добавляют к коэффициенту« b ».
• Записываем bx как сумму или разность множителей ac, которые складываются с b.

⟹ ax ² + bx + c = ax ² + (a + c) x + c

⟹ ax ² + ax + cx + c

⟹ ax (x + 1) + c (x + 1)

⟹ (ax + c) (x + 1)

Пример 1

Фактор x ² — 15x + 50

Решение

Найдите два числа, сумма которых равно -15 и произведение 50.

⟹ (-5) + (-10) = -15

⟹ (-5) x (-10) = 50

Записываем данный многочлен как;

x ² -15x + 50⟹ x ² -5x — 10x + 50

Факторизуйте каждый набор групп;

⟹ x (x — 5) — 10 (x — 5)

⟹ (x — 5) (x — 10)

Пример 2

Разложите на множители трехчленное 6y ² + 11y + 4 по группировке.

Решение

6y ² + 11y + 4 ⟹ 6y ² + 3y + y + 4

⟹ (6y ² + 3y) + (8y + 4)

⟹ 3y (2y + 1) + 4 (2y + 1)

= (2y + 1) (3y + 4)

Пример 3

Фактор 2x ² — 5x — 12.

Решение

2x ² — 5x — 12

= 2x ² + 3x — 8x — 12

= x (2x + 3) — 4 (2x + 3)

= (2x + 3) (x — 4)

Пример 4

Фактор 3y ² + 14y + 8

Решение
3y ² + 14y + 8 ⟹ 3y ² + 12y + 2y + 8

⟹ (3y ² + 12y) + (2y + 8)

= 3y (y + 4) + 2 (y + 4)
Следовательно,

3y ² + 14y + 8 = (y + 4) (3y + 2)

Пример 5

Фактор 6x ² — 26x + 28

Решение

Умножьте старший коэффициент на последний член.
⟹ 6 * 28 = 168

Найдите два числа, сумма которых равна произведению 168, а сумма равна -26
⟹ -14 + -12 = -26 и -14 * -12 = 168

Запишите выражение, заменив bx на два числа.
⟹ 6x ² — 26x + 28 = 6x ² + -14x + -12x + 28
6x ² + -14x + -12x + 28 = (6x ² + -14x) + (-12x + 28)

= 2x (3x + -7) + -4 (3x + -7)
Следовательно, 6x ² — 26x + 28 = (3x -7) (2x — 4)

Как разложить на множители биномы по группировке?

Бином — это выражение, в котором два члена объединены знаком сложения или вычитания.Для разложения бинома на множители применяются следующие четыре правила:

• ab + ac = a (b + c)
• a ² — b ² = (a — b) (a + b)
• a ³ — b ³ = (a — b) (a ² + ab + b ² )
• a ³ + b ³ = (a + b) (a ² — ab + b ² )

Пример 6

Фактор xyz — x ² z

Решение

xyz — x ² z = xz (y — x)

Пример 7

Фактор 6a ² b + 4bc

Решение

6a ² b + 4bc = 2b (3a ² + 2c)

Пример 8 полностью: x ⁶ — 64

Решение

x ⁶ — 64 = (x ³ ) ² — 8 ²

= (x ³ + 8) (x ³ -8) = (x + 2) (x ² — 2x + 4) (x — 2) (x ² + 2x + 4)

Пример 9

Фактор: x ⁶ — y ⁶ .

Решение

x ⁶ — y ⁶ = (x + y) (x ² — xy + y ² ) (x — y) (x ² + xy + y ² )

Как разложить многочлены на множители путем группировки?

Как следует из названия, факторинг по группировке — это просто процесс группировки терминов с общими факторами перед факторингом.

Чтобы разложить полином на множители путем группирования, выполните следующие действия:

• Проверьте, имеют ли члены полинома наибольший общий множитель (GCF).Если да, вычеркните это и не забудьте включить его в свой окончательный ответ.
• Разбейте многочлен на наборы по два.
• Вынесите за скобки GCF каждого набора.
• Наконец, определите, можно ли еще разложить оставшиеся выражения на множители.

Пример 10

Факторизация 2ax + ay + 2bx + на

Решение

2ax + ay + 2bx + by
= a (2x + y) + b (2x + y)
= (2x + y) (a + b)

Пример 11

Фактор ax ² — bx ² + ay ² — by ² + az ² — bz ²

Решение

ax ² — bx ² + ay ² — by ² + az ² — bz ²
= x ² (a — b) + y ² (a — b) + z ² (a — b)
= (a — b) (x ² + y ² + z ² )

Пример 12

Фактор 6x ² + 3xy — 2ax — ay

Решение

6x ² + 3xy — 2ax — ay
= 3x (2x + y) — a (2x + y)
= (2x + y) (3x — а)

9 0044 Пример 13

x ³ + 3x ² + x + 3

Решение

x ³ + 3x ² + x + 3
= (x ³ + 3x ² ) + (x + 3)
= x ² (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3) (x ² + 1)

Пример 14

6x + 3xy + y + 2

Решение

6x + 3xy + y + 2

= (6x + 3xy) + (y + 2)

= 3x (2 + y) + 1 (2 + y)

= 3x (y + 2) + 1 (y + 2)

= (y + 2) (3x + 1)

= (3x + 1) (y + 2)

Пример 15

ax ² — bx ² + ay ² — by ² + az ² — bz ²
Решение
ax ² 2 — bx + ay ² — by ² + az ² — bz ²

Выносим за скобки GCF в каждой группе из двух термов
⟹ x ² (a — b) + y ² (a — b) + z ² (a — b)
= (a — b) ( x ² + y ² + z ² )

Пример 16

Фактор 6x ² + 3x + 20x + 10.

Решение

Вычтите GCF за множитель в каждом наборе из двух членов.

⟹ 3x (2x + 1) + 10 (2x + 1)

= (3x + 10) (2x + 1)

Практические вопросы

Разложите на множители, сгруппировав следующие многочлены:

1. 15ab ² — 20a ² b
2. 9n — 12n ²
3. 24x ³ — 36x ² y
4. 10x ³ — 15x ²
5. 361058 ^{— 60x 3 y 3 z}
6. 9x ³ — 6x ² + 12x
7. 18a ³ b ³ — 27a ² b ³ + 36a ³ b ^{2 3} + 21x ⁴ y — 28x ² y ²
8. 6ab — b ² + 12ac — 2bc
9. x ³ — 3x ² + x — 3
10. ab (x ² + y ² ) — xy (a ² + b ² )

Ответы

1. 5ab (3b — 4a)
2. 3n (3 — 4n)
3. 12x ² (2x — 3y)
4. 5x ² (2x — 3)
5. 12x ² y (3x — 5y ² z)
6. 3x 3x ² — 2x + 4)
7. 9a ² b ² (2ab — 3b + 4a)
8. 7x ² (2x + 3xy — 4y ² )
9. (b + 2c) ( 6a — b)
10. (x ² + 1) (x — 3)
11. (bx — ay) (ax — by)

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Полиномы Факторинг по группировке

Факторинг по группировке подобен «нераспределению» или разворачиванию нашего полинома. Вы тоже представляли печеный картофель, а?

Простейшая ситуация, в которой мы можем факторизовать путем группирования, — это когда у нас есть четырехчленный многочлен, первые два члена которого имеют свой собственный общий множитель, а последние два члена имеют свой собственный общий множитель. Смущенный? Ознакомьтесь с примерами … они раскроют тайну. Тогда все, что вам останется сделать, это положить кусок масла и посыпать кусочками бекона.

Пример задачи

Фактор по группировке: 6 x ² + 3 x + 20 x + 10.

Это многочлен, состоящий из четырех членов, у которых нет ни одного общего множителя. Однако первые два члена имеют общий множитель (3 x ), а последние два члена имеют общий множитель (10). Эта ситуация не отвечает всем нашим самым смелым мечтам о факторинге, но мы ею воспользуемся.

Вытягивая общие множители для каждой пары членов, мы можем переписать исходный многочлен следующим образом:

3 x (2 x + 1) + 10 (2 x + 1)

Эти два члена теперь имеют общий множитель (2 x + 1). Похоже, мы сможем что-то сделать с этой информацией, не так ли? Фактически, мы можем извлечь этот общий множитель и снова переписать многочлен:

(3 x + 10) (2 x + 1)

Пример задачи

Разложите многочлен на множители x ² + 3 x + 2 x + 6 по группировке.

Еще раз, не все члены имеют общий множитель, но первые два члена имеют общий множитель x , а последние два члена имеют общий множитель 2.Похоже, здесь мы будем делать то же самое, что и выше. Учитывая всю эту группировку, которую мы делаем, мы задаемся вопросом, стоит ли нам искать Groupon.

Мы можем переписать многочлен как:

x ( x + 3) + 2 ( x + 3)

Затем вытащите множитель ( x + 3):

( x + 2) ( x + 3)

В некоторых случаях условия не в порядке. («Судебный пристав, арестуйте эти сроки!») Первый и третий срок могут иметь общий фактор, а второй и четвертый срок могут иметь общий фактор. В этом случае нам нужно переставить термины, прежде чем мы будем учитывать их. Отлично; мы все равно были в настроении сделать косметический ремонт. Какая из них будет хорошо смотреться здесь, у камина?

Мы также можем использовать группировку, чтобы разложить на множители многочлены, которые не обязательно имеют степень 2. Мы покажем вам, как это сделать. Это наш способ сделать вас «солидным».

Пример задачи

Используйте группировку для разложения полинома 2 y ³ + y ² + 8 y ² + 4 y .

Мы извлекаем общий множитель y ² из первых двух членов и общий множитель 4 y из вторых двух членов:

y ² (2 y + 1) + 4 y (2 y + 1)

Затем мы вычитаем (2 y + 1) из каждого члена:

( y ² + 4 y ) (2 y + 1)

Когда многочлен плохо записан с четырьмя членами, а вместо этого записан как трехчлен, мы все равно можем разложить на множители путем группировки. Уловка состоит в том, чтобы правильно разделить средний член, чтобы мы могли группировать, как мы это делали. Если у вас возникнут проблемы с правильным разделением среднего члена, царь Соломон сможет вмешаться и помочь вам.

Пример задачи

Разложите на множители трехчлен 2 x ² + 17 x + 30 по группировке.

Это не написано с четырьмя терминами, поэтому нам нужно разделить термин 17 x на два члена. Возьмем 17 x = 5 x + 12 x .

Не волнуйтесь, мы скоро объясним, как у нас это получилось. Вы уверены? Вы обеспокоены …

Теперь мы можем переписать трехчлен:

2 x ² + 5 x + 12 x + 30

Затем мы можем разложить его на множители, вытащив x из первых двух членов и 6 из последних двух:

x (2 x + 5) + 6 (2 x + 5) =
( x + 6) (2 x + 5)

Вы все еще выглядите обеспокоенным, поэтому мы расскажем вам сейчас, как мы пришли к этим двум конкретным условиям. Можно разжать.

Для трехчлена вида ax ² + bx + c найдите два числа, произведение которых равно ac , а сумма равна b , и используйте эти числа для разделения среднего члена. Звучит как загадка, но это правило действительно работает.

Применяя это правило к предыдущему примеру, нам понадобились два числа, произведение которых было 2 × 30 = 60, а сумма — 17. Пройдя все возможные способы получить 60 как произведение двух чисел и посмотрев на сумму эти два числа, мы обнаружили, что 5 и 12 были числами, которые мы хотели.Не нужно ошеломлять, не было , что много возможных способов. Этот процесс не займет у вас весь день. Вы все равно сможете добраться до торгового центра до его закрытия.

Работа проходила так:

1 + 60	=	61
2 + 30	=	32
3 + 20
3 + 20		23
4 + 15	=	19
5 + 12	=	17	Bingo!

Пример задачи

Фактор по группировке: 4 x ² + 13 x + 9.

Нам нужно разделить термин 13 x на два члена. Используя подобранный нами удобный инструмент, коэффициенты двух членов будут двумя числами, произведение которых равно 4 × 9 = 36, а сумма равна 13. Если вы еще этого не поняли, значит, вы слишком много думаете. . Для этого нам не нужно много работать: поскольку 4 + 9 = 13, у нас уже есть наши факторы еще до того, как мы начнем. Дорогая алгебра, пожалуйста, постарайтесь больше походить на этот пример. Спасибо.

Перепишите исходный многочлен:

4 x ² + 4 x + 9 x + 9

И затем множитель:

4 x ( x + 1) + 9 ( x + 1) =
(4 x + 9) ( x + 1)

Факторинг по группировке: реальная история

Правило учебника гласит, что разложить многочлен в форме ax ^{на множители 2} + bx + c , мы находим два числа, произведение которых равно ac , а сумма которых равна b , и используем эти два числа, чтобы разбить термин bx . Почему это работает? Пока мы находимся, в чем смысл жизни? Ого … мы начнем с многочленов и продвинемся вверх.

Для объяснения потребуется много переменных, так что будьте терпеливы. Если мы используем свойство распределения для умножения биномов ( пикселей + s ) и ( rx + t ), где p , r , s и t — целые числа, вот что получим:

( px + s ) ( rx + t ) =
( pr ) x ² + ( sr ) x + ( pt ) x + ( st )

Нужны доказательства? Позволяя

a = pr
b = sr + pt и
c = st

…мы можем сократить полином ( pr ) x ² + ( sr ) x + ( pt ) x + st вот так:

ax ² + bx + c

Пока что все, что мы сделали, это умножили два бинома и сократили коэффициенты в произведении, чтобы мы могли записать его в виде трехчлена. Вы знаете, что говорят: три номинала лучше, чем два.

Чтобы разложить на множители по группировке, нам нужно подумать о выполнении вышеуказанного процесса в обратном порядке.Вместо использования b для сокращения чего-либо, нам дают полином ax ² + bx + c и просят выяснить, что означает сокращение b . Мы хотим разбить b на два числа, но не на любые два числа. Нам нужны два числа, которые мы можем использовать для разложения по группам. Oracle закрыт по вторникам, поэтому нам нужно найти другой способ выяснить, какие два использовать.

Мы предполагаем, что многочлен ax ² + bx + c произошел от умножения двух двучленов вида ( пикселей + s ) ( rx + t ), но мы не знаю, что такое p , s , r или t .

Вот для чего нужен трюк ac . Поскольку умножение коммутативно, мы знаем, что верно следующее:

ac = ( pr ) ( st ) = ( pt ) ( sr )

Множители pt и sr умножьте, чтобы получить ac , и сложите, чтобы получить b . Это числа, которые мы найдем, если будем следовать учебному правилу факторизации по группировке, которое гласит, что нужно искать числа, которые умножаются на ac и складываются в b .

После того, как мы нашли эти числа, мы можем переписать многочлен ax ² + bx + c следующим образом:

ax ² + ( pt ) x + ( sr ) x + c

Так как a — это ( pr ), а c — ( st ) (они не могли обмануть нас … мы все знали), теперь мы переписали исходный многочлен как:

( pr ) x ² + ( pt ) x + ( sr ) x + ( st )

This мы можем разложить на множители путем группировки:

пикселей ( rx + t ) + s ( rx + t ) =
( px + s ) ( rx + t )

Мы разложили многочлен на множители. {2} + 7x — 6 [/ латекс] по группировке.

Решение

У нас есть трехчлен с [латексом] a = 5, b = 7 [/ latex] и [latex] c = -6 [/ latex]. Сначала определите [латекс] ac = -30 [/ latex]. Нам нужно найти два числа с произведением [латекс] -30 [/ латекс] и суммы [латекс] 7 [/ латекс]. В таблице перечисляем коэффициенты, пока не найдем пару с нужной суммой.

Факторы [латекс] -30 [/ латекс]	Сумма факторов
[латекс] 1, -30 [/ латекс]	[латекс] -29 [/ латекс]
[латекс] -1,30 [/ латекс]	29
[латекс] 2, -15 [/ латекс]	[латекс] -13 [/ латекс]
[латекс] -2,15 [/ латекс]	13
[латекс] 3, -10 [/ латекс]	[латекс] -7 [/ латекс]
[латекс] -3,10 [/ латекс]	7

Итак [латекс] p = -3 [/ латекс] и [латекс] q = 10 [/ латекс]. {2} + x — 1 [/ латекс]

Решение

Факторинг по группировке

Как сказано в нем, факторинг по группировке означает, что вы сгруппируете термины с общими факторами перед факторингом.

Как видите, это делается путем группирования пары терминов. Затем разложите каждую пару на два члена. Если вы не поняли приведенный выше пример, продолжайте читать, пока мы объясним концепцию другими примерами.

Другие примеры включения факторинга в группы

Фактор x ² + 5x + 6

В выражении x ² + 5x + 6 сейчас есть три члена, поэтому нам нужно записать его с четырьмя членами прежде чем мы сможем сгруппировать термины.

5x = 3x + 2x, поэтому x ² + 5x + 6 становится x ² + 3x + 2x + 6.

Группа x ² с 3x и 2x с 6, а затем множители для каждой группы.

Получаем (x ² + 3x) + (2x + 6) = x * (x + 3) + 2 * (x + 3) = (x + 3) * (x + 2)

В этом примере, если вы group x ² с 2x и 3x с 6, вы получите тот же ответ. Попробуй это сделать.

Обратите внимание, что существует несколько способов расширения в 5 раз, поэтому возможны различные группировки.5x также равно 4x + x, 6x -x, 7x-2x, 8x-3x и так далее …

Однако не все группировки будут работать!

Это проливает свет на тот факт, что такой способ разложения по группам иногда может быть очень утомительным.

Хотя всегда полезно знать, это не всегда просто метод факторизации трехчленов.

Пример № 2:

x ² + -4x + -12

Сначала у вас может возникнуть соблазн сказать, что -4x может быть равно: -2x + -2x или -3x + — x, поэтому один из них будет работать.

Неправильно! Правильная комбинация: -6x + 2x

Итак, x ² + -4x + -12 = x ² + -6x + 2x + -12

Группа x ² с -6x и 2x с -12

(x ² + -6x) + (2x + -12) = x * (x — 6) + 2 * (x — 6) = (x — 6) * (x + 2)

Пример # 3:

3y ² + 14y + 8

3y ² + 14y + 8 = 3y ² + 12y + 2y + 8 = (3y ² + 12y) + (2y + 8) = 3y (y + 4) + 2 (y + 4)

Итак, 3y ² + 14y + 8 = (y + 4) (3y + 2)

Пример № 4:

11x ² + -41x + -12

Эта проблема очень сложна, потому что у вас слишком много вариантов, которые вы можете добавить, чтобы получить -41x.

Некоторые возможности:

…..

…..

-46x + 5x

-45x + 4x

-44x + 3x

-40x + -1x

-39x + -2x

-38x + -3x

-36x + -4x

…..

…..

Получается, что правильная комбинация — 44x + 3x

Есть хорошие новости хотя, поскольку существует метод, позволяющий найти правильную комбинацию немного быстрее при факторизации по группировке.

Do 11 * -12 = -132

Затем найдите множители -132, которые в сумме дадут -41

Множители -44 и 3

11x ² + -41x + -12 = 11x ² + -44x + 3x + -12

11x ² + -44x + 3x + -12 = 11x (x — 4) + 3 (x — 4) = (x — 4) (11x + 3)

Пример № 5:

6x ² — 26x + 28

6 * 28 = 168

-14 + -12 = -26 и -14 * -12 = 168, поэтому правильная комбинация —

6x ² — 26x + 28 = 6x ² + -14x + -12x + 28

6x ² + -14x + -12x + 28 = (6x ² + -14x) + (-12x + 28) = 2x (3x + -7) + -4 (3x + -7)

6x ² — 26x + 28 = (3x + -7) * (2x + -4)

Заключение:

Использование факторинг путем группировки, только если у вас нет другого выбора!

1. Введение в физику

   18 ноя, 20 13:20

   Первоклассное введение в физику.

   No related posts.