Матем 6 кл виленкин: Номер №453, Часть 2 — ГДЗ по Математике 6 класс: Виленкин Н.Я.

роль теории представления групп

[D1] А. Дюран Матричное внутреннее произведение, имеющее матричные симметричные дифференциальные операторы второго порядка, Rocky Mountain Journal of Mathematics, Volume 27 (1997) no. 2, стр. 585-600 | DOI | МИСТЕР | Збл

[D2] А. Дюран Об ортогональных многочленах относительно положительно определенной матрицы мер, Canadian J. Math., Volume 47 (1995), pp.

88-112 | DOI | МИСТЕР | Збл

[D3] Теорема Маркова А. Дюрана для ортогональных матричных многочленов, Canadian J. Math., Volume 48 (1996) no. 4i, стр. 1180-1195 | МИСТЕР | Збл

[D4] Асимптотика отношения Дюрана для ортогональных матричных полиномов, J. Approx. Th., Том 100 (1999), стр. 304-344. | DOI | МИСТЕР | Збл

[DG] Дж. Дж. Дуистермаат; Грюнбаум Ф. А. Дифференциальные уравнения по спектральному параметру, Комм. Мат. Phys., том 103 (1986), стр. 177-240. | DOI | МИСТЕР | Збл

[DG1] Эй Джей Дюран; Ф. А. Грюнбаум Ортогональные матричные многочлены, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям второго порядка, International Math. Уведомления об исследованиях, том 10 (2004 г.), стр. 461–484. | МИСТЕР | Збл

[DG2] Эй Джей Дюран; Ф. А. Грюнбаум Характеристика класса весовых матриц с ортогональными матричными полиномами, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям второго порядка (чтобы появиться в Math. Research Notices) | МИСТЕР | Збл

[DP] А. Дюран; Б. Квадратурные формулы Поло-Гаусса для весов матриц, Linear Algebra and Appl., Volume 355 (2002), стр. 119-146. | DOI | МИСТЕР | Збл

[DvA] А. Дюран; ван В. Ашше Ортогональные матричные полиномы и рекуррентные соотношения более высокого порядка, Линейная алгебра и ее приложения, том 219 (1995), стр. 261-280 | DOI | МИСТЕР | Збл

[G] Ф. А. Грюнбаум Матричные многочлены Якоби, Bull. Математика наук, том 127 (2003), нет. 3, стр. 207-214 | DOI | МИСТЕР | Збл

[Ge] Дж. С. Джеронимо Теория рассеяния и матричные ортогональные полиномы на действительной линии, Circuits Systems Signal Process, том 1 (1982), стр. 471-495. | DOI | МИСТЕР | Збл

[GPT1] Ф. А. Грюнбаум; И. Пахарони; Дж. Тирао Матричные сферические функции, связанные с комплексной проективной плоскостью, J. Functional Analysis, Volume 188 (2002), стр. 350-441. | DOI | МИСТЕР | Збл

[GPT2] Ф. А. Грюнбаум; И. Пахарони; Дж. Тирао Матричное решение проблемы Бохнера, J. Physics A: Math. Генерал, том 34 (2001), стр. 10647-10656. | DOI | МИСТЕР | Збл

[GPT3] Ф. А. Грюнбаум; И. Пахарони; Дж. Тирао Матричнозначные сферические функции, связанные с трехмерным гиперболическим пространством, Междунар. Журнал математики, том 13 (2002), стр. 727-784. | DOI | МИСТЕР | Збл

[GPT4] Ф. А. Грюнбаум; И. Пахарони; Дж. Тирао; Д. Хилианд Д. Рокмор Приглашение к сферическим функциям со значениями в матрице: линеаризация произведений в случае комплексного проективного пространства P2 (ℂ), Modern Signal Processing (публикация MSRI), том 46 (2003), стр. 147-160 | Збл

[GPT5] Ф. А. Грюнбаум; И. Пахарони; Дж. Тирао Матричные ортогональные многочлены типа Якоби, Indag. Матем., Том 14 (2003), нет. 3,4, стр. 353-366. | МИСТЕР | Збл

[ГВ] Р. Ганголли; В. С. Варадараджан Гармонический анализ сферических функций на вещественных редуктивных группах, Название серии: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 101, Springer-Verlag, Берлин, Нью-Йорк, 1988. | МИСТЕР | Збл

[K1] М. Г. Крейн Основные аспекты теории представлений эрмитовых операторов с индексом дефекта (m,m) (AMS Translations, Series 2), Volume 97 (1971), pp. 75-143 | Збл

[K2] М. Г. Крейн Бесконечные J-матрицы и матричная проблема моментов, Докл. акад. Наук СССР, Том 69(1949) нет. 2, стр. 125-128 | МИСТЕР

[PT] И. Пахарони; Дж. Тирао Матричные сферические функции, связанные с комплексным проективным пространством (в процессе подготовки)

[SvA] А. Синап; van W. Assche Ортогональные матричные полиномы и приложения, J. Comput. и прикладная математика. Том 66 (1996), стр. 27-52. | DOI | МИСТЕР | Збл

[T1] Дж. Тирао Сферические функции, Rev. de la Unión Matem. Аргентина, том 28 (1977), стр. 75–98. | МИСТЕР | Збл

[T2] Дж. Тирао Матричное гипергеометрическое уравнение, Proc. Нац. акад. наук США, том 100 (2003 г.) нет. 14, стр. 8138-8141 | DOI | МИСТЕР | Збл

[ВК] Н. Виленкин; А. Климык Представление групп Ли и специальных функций, Kluwer Academic, Дордрехт, Массачусетс, том 3 (1992) | Збл

Скачать О приближении слабого поля в обобщенных скалярно-тензорных гравитациях PDF

О приближении слабого поля в обобщенных Скалярно-тензорные гравитации 2 М. Э. К. Гимарайнш1, Л. П. Колатто2 и Ф. Б. Туриньо2 0 0 2 1. Universidade de Brasılia, Depto. de Matematica, CEP: 70910-900, Бразилиа — DF, Бразилия н 2. Universidade de Brasília, Instituto de F´ısica, CEP: 70910-900 Bras’ilia – DF, Бразилия а Дж Электронная почта: [email защищен], [email protected], [email защищен] 1 3 1 Абстрактный в 1 0 В работе [1] Баррос и Ромеро показали, что в приближении слабого поля 1 1 решения уравнений Бранса-Дикке связаны с решениями общей теории относительности для 0 одинаковые распределения материи. В настоящей работе мы подчеркиваем этот результат и распространяем его на 2 0 для обобщенных скалярно-тензорных теорий, в которых параметр ω больше не константа, а / c произвольная функция (гравитационного) скалярного поля. д — р г : 1. Введение: в я Икс В работе [1] Барросанд Ромеро разработал метод, позволяющий получать решения в р а теории Бранса-Дикке [2] из соответствующих решений общей теории относительности для того же содержание вещества, когда обе теории рассматриваются в приближении слабого поля. Цель этого работа состоит в том, чтобы показать, что это глобальная особенность класса более общих скалярно-тензорных теорий гравитации. ˜ в котором параметр ω является произвольной функцией скалярного поля Φ [3]. Так как в настоящее время единственная известная теория, которая рассматривает гравитацию в соответствии с квантовой механикой, — это теория струн [4]. и поскольку все версии этой теории естественным образом предсказывают скалярного партнера для чистой тензорной метрики, представляется целесообразным проанализировать поведение содержаний материи в контексте скалярно-тензорной сила тяжести. Следовательно, наш основной вклад состоит в том, чтобы предоставить способ получения решений в скалярно-тензорных теориях. напрямую от своих партнеров по Общей теории относительности, по крайней мере, в приближении слабого поля. Эта работа представлена следующим образом. В разделе 2 мы представляем нашу модель и ее уравнения поля и расширить метод, представленный в нем. [1]. В разделе 3 мы проиллюстрируем наш результат несколькими примерами. распределений материи, таких как топологические дефекты. В разделе 4 мы заканчиваем некоторыми выводами. 1 2. Линеаризованные уравнения поля в скалярно-тензорной гравитации. галстуки: Начнем с действия в кадре Джордана-Фирца: 1 ω(Φ˜) = d4x g˜ R˜Φ˜ ∂µΦ˜∂ Φ˜ + [Ψ ,g˜ ], (1) S 16π − » − Φ˜ µ # Sm m µν Z д g˜ — физическая метрика, содержащая как скалярные, так и тензорные степени свободы, R˜ — кривизна µν скаляр, связанный с ним, и является действием для общих полей материи, которое на данный момент оставлено произвольным. м С ˜ Варьируя действие (1) по метрике g˜ и скалярному полю Φ, получаем µν «модифицированные» уравнения Эйнштейна и волновое уравнение для Φ˜: ˜ 1 8π ω(Φ) 1 R˜ g˜ R˜ = T˜ + ∂ Φ˜∂ Φ˜ g˜ ∂αΦ˜∂ Φ˜ µν − 2 µν Φ˜ µν Φ˜ µ ν − 2 µν α (сид:20) (сид:21) 1 + Φ˜ g˜ 2 Φ˜ , Φ˜ ∇ν ,µ − µν g˜ (сид:16) (сид:17) 1 дω 2 Φ˜ = 8πT˜ ∂ Φ˜∂µΦ˜ (2) g˜ 2ω(Φ˜)+3 » − dΦ˜ µ # T˜µ = 0 (3) ∇µ ν где 2 δ ˜ м Т = С µν √ g˜δg˜µν − — тензор энергии-импульса содержания материи, а T˜ T˜µ — его след. Ясно, что если T˜ обращается в нуль ≡ мк и ˜Φ — константа, уравнения (2) сводятся к обычным уравнениям Эйнштейна, если отождествить G с обратная скалярному полю, например, G = 1/Φ˜. Следовательно, любое точное решение уравнений Эйнштейна с Бесследовый источник материи также будет частным точным решением скалярного поля с константой Φ˜. Конечно, это частное решение не будет общим решением для содержания вещества [5]. Прежде чем приступить к линеаризации, перепишем действие (1) в терминах Эйнштейна (кон- формальный) кадр, в котором кинематические члены тензора и скаляра не смешиваются: 1 = √g[R 2gµν∂ φ∂ φ]+ [Ψ ,A2(φ)g ], (4) S 16πG∗ − µ ν Sm m µν Z где g — чистый метрический тензор ранга 2, а R — связанный с ним скаляр кривизны. µν Действие (4) получается из (1) конформным преобразованием g˜ = A2(φ)g , (5) µν µν и переопределением величин 1 G∗A2(φ) = (6) Φ˜ 2 * G — «голая» гравитационная постоянная, а ∂lnA(φ) 1 α(φ) = = (7) ∂φ (2ω(Φ˜)+3)1/2 что можно интерпретировать как (зависящую от поля) силу связи между материей и скалярным полем. В конформном репере уравнения. (2) записываются в более удобной форме: 1 R g R = 8πG∗T +2∂ φ∂ φ g gαβ∂ φ∂ φ µν µν µν µ ν µν α β − 2 − 2 φ = 4πG∗α(φ)T. (8) г − Фромэкв. (5) ясно, что мы можем связать величины из обеих систем отсчета так, что T˜µν = A−6(φ)Tµν и T˜µ = A−4(φ)Tµ. Разложим поля до первого порядка по параметру G = G∗A2(φ ), ν ν 0 0 затем получить г = п + ч µν µν µν φ = φ + φ (9) 0 (1) А(ф) = А(ф)[1+а(ф)ф] 0 0 (1) Тµ = Tµ + Tµ ν (0)ν (1)ν Следовательно, уравнения (8) уменьшить до: 1 2h = 16πG∗(T η T ) (10) µν (0)µν µν (0) ∇ — 2 2φ = 4πG∗α(φ )T (1) 0 (0) ∇ В этом приближении T(0) есть тензор энергии-импульса нулевого порядка в конформной µν рамка. Его связь с (физическим) тензором энергии-импульса в нулевом порядке в системе Джордана-Фирца. репер задается формулой T(0) = A2(φ )T˜(0). Таким образом, первое уравнение в системе (10) есть уравнение Эйнштейна. мкν 0 мкν уравнение в режиме приближения слабого поля. Теперь g˜ = A2(φ)[η +h]. Поэтому, используя приближение (9), у нас есть: µν µν µν g˜ = A2(φ )[1+2α(φ )φ ][η +h ] (11) µν 0 0 (1) µν µν Мы можем видеть, что проблема нахождения метрики в скалярно-тензорных гравитациях может быть сведена к найдите метрику гравитации Эйнштейна для того же распределения материи. В следующем разделе мы проиллюстрируйте наше предложение некоторыми примерами, такими как топологические дефекты. 3 решения первого порядка: В этом разделе мы применим метод, развитый в предыдущем разделе, к случаям космической струна, доменная стенка и монополь соответственно. 3 3.1 Решение для доменной стены: В дальнейшем будем рассматривать статическую доменную границу пренебрежимо малой ширины, лежащую в плоскости yz в приближение слабого поля. Поэтому, Tµ = A4(φ )σδ(x)diag(1,0,1,1) (12) (0)ν 0 в декартовой системе координат (t, x, y, z). σ — поверхностная плотность энергии стены. в нашей конвенции, сигнатура метрики 2. − Начнем с решения уравнения для дилатонного поля φ в (10): (1) 2φ = 12πσG A2(φ )α(φ )δ(x) (1) 0 0 0 ∇ φ = 6πσG α(φ ) x , (13) (1) 0 0 | | где GG∗A2(φ). 0 0 ≡ Теперь линеаризованное уравнение Эйнштейна в (10) с источником, заданным (12), точно такое же, как в Виленкина [6], за исключением того, что в нашем случае метрика умножается на линеаризованный множитель A2(φ). Поэтому имеем (в первом порядке по G ): 0 ds2 = A2(φ) 1+4πσG x (3α2(φ) 1) [dt2 dx2 dy2 dz2]. 0 0 0 | | − − − − привет Множитель A2(φ), фигурирующий в приведенном выше выражении, может быть поглощен переопределением координаты. 0 динаты (t, x, y, z). В итоге получаем [8]: ds2 = 1+4πσG x (3α2(φ ) 1) [dt2 dx2 dy2 dz2]. (14) 0 0 | | − − − − привет Это линейный элемент, соответствующий доменной границе в рамках скалярно-тензорной гравитации в приближение слабого поля. Весьма показательно рассмотреть конкретную форму произвольного функция A(φ), соответствующая теории Бранса-Дикке, A(φ) = eαφ, при α2 = 1, (ω = cte). 2ω+3 В этом случае имеем G∗A2(φ) = G = 2ω+3 G [2], где G — ньютоновская постоянная. 0 0 2ω+4 эфф эфф Поэтому метрика (14) сводится к такой же, как (cid:16) у Б(cid:17)арроса и Ромеро [1, 7]. 3.2 Решение космической струны: Рассмотрим статическую струну, лежащую на оси z. В этом случае энергия-импульс нулевого порядка дан кем-то: Tµ = A4(φ )µδ(ρ)diag(1,0,0,1) (15) (0)ν 0 в цилиндрической системе координат (t,r,θ,z). µ — линейная плотность энергии струны. Снова начнем с решения уравнения для дилатонного поля φ в (10): (1) φ = 4G A2(φ )µα(φ )lnρ (16) (1) 0 0 0 4 Процедура вычисления метрики здесь такая же, как и в случае доменной стены. так как мы должны решать уравнения Эйнштейна в линейном порядке. Таким образом, имеем [9]: ds2 = 1+8G µα2(φ )lnρ dt2 dz2 dρ2 (1 8G µ)ρ2dθ2 (17) 0 0 0 − − − − привет я Этот результат снова сводится к метрике, найденной Барросом и Ромеро [1, 7] в частном случае Теория Бранса-Дикке. 3.3 Монопольное решение: Рассмотрим теперь глобальный монополь с полной массой m = 4πη2R, где η — энергетический масштаб нарушение симметрии, R — радиус отсечки. Тогда тензор энергии-импульса в сферическом координаты (t,r,θ,ϕ) определяется как: η2 Tµ = A4(φ ) diag(1,1,0,0) (18) (0)ν 0 r2 Решая уравнение для дилатонного поля, имеем φ = 8πG A2(φ )α(φ )η2lnr (19) (1) 0 0 0 Таким образом, мы можем легко получить метрику глобального монополя в приближении слабого поля из решения Виленкина и Барриолы [10]: ds2 = [1+16πG A2(φ )α2(φ )η2lnr][dt2 dr2 (1 8πG η2)(dθ2 +sin2θdϕ2)] (20) 0 0 0 0 − − − Мы снова сводим к тому же результату, полученному ранее Барросом и Ромеро [7] в случае Бранс-Дике. 4. Выводы: Наш основной результат состоит в том, чтобы показать, что существует соответствие между метрическим решением в скалярно-тензорной гравитации и метрическое решение в гравитации Эйнштейна для того же распределения материи, в слабой приближение поля. Действительно, мы показали, что линеаризованная метрика в гравитационном поле Эйнштейна умножается на конформный множитель, который зависит от решения уравнения дилатона для каждого содержание материи. В заключение кратко упомянем, что гравитационное поле, создаваемое топологическими дефектами в скалярно-тензорная гравитация представляет много интересных особенностей уже в линейном порядке. Прежде всего свет распространяется так же, как и в случае общей теории относительности. Однако дефекты скалярно- тензорные силы гравитации действуют на массивные пробные частицы, и этот факт приводит к интересным последствия, такие как, например, возмущение скорости частиц, влекущее за собой образование следов [11] за счет перемещения струн и генерации тока внутри струн [12], новой функции, которая по-прежнему заслуживает дальнейшего анализа [13]. 5 Благодарности: L. P. C. благодарит CAPES за финансовую поддержку. Ф. Б. Туриньо благодарит CNPq за грант в контекст программы PIBIC/UnB. Рекомендации [1] A. Barros и C. Romero, Phys. лат. А245 (1998) 31. [2] C. Brans и R. H. Dicke, Phys. 124 (1961) 925. [3] P. G. Bergmann, Int. Дж. Теор. Phys.1 (1969) 25; Р. В. Вагонер, Phys. Ред. D1 (1970) 3209; К. Нордтвердт-младший, ап. Дж. 161 (1970) 1059. [4] М. Б. Грин, Дж. Х. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн. 1987). [5] Дж. Д. Барроу, Phys. Ред. D47 (1993) 5329. [6] А. Виленкин, Phys. Ред. D23 (1981) 852. [7] А. Баррос и К. Ромеро Дж. Матем. физ. 36 (1995) 5800. [8] В. Б. Безерра, Л. П. Колатто, М. Е. X. Гимарайнш и Р. Т. Мунис Фильо, gr-qc/0104038, представлено к публикации (2001 г.). [9] M.E.X. Гимарайнш, Class. Квантовая Грав.14 (1997) 435. [10] M. Barriola, A. Vilenkin, Phys. Преп. Письмо 63 (1989) 341. [11] S. R. M. Masalskiene, M. E. X. Guimar˜aes, Class. Квантовая Грав.17 (2000) 3055. [12] В. К. де Андраде, П. Питер и М. Е. X. Гимарайнш, gr-qc/0101025, представлено для публикации. (2001). [13] M.E.X. Guimar˜aes, P. Peter и F.B. Tourinho, в процессе подготовки (2001). 6