роль теории представления групп
[D1] А. Дюран Матричное внутреннее произведение, имеющее матричные симметричные дифференциальные операторы второго порядка, Rocky Mountain Journal of Mathematics, Volume 27 (1997) no. 2, стр. 585-600 | DOI | МИСТЕР | Збл
[D2] А. Дюран Об ортогональных многочленах относительно положительно определенной матрицы мер, Canadian J. Math., Volume 47 (1995), pp.
[D3] Теорема Маркова А. Дюрана для ортогональных матричных многочленов, Canadian J. Math., Volume 48 (1996) no. 4i, стр. 1180-1195 | МИСТЕР | Збл
[D4] Асимптотика отношения Дюрана для ортогональных матричных полиномов, J. Approx. Th., Том 100 (1999), стр. 304-344.
|
DOI
|
МИСТЕР
|
Збл
[DG] Дж. Дж. Дуистермаат; Грюнбаум Ф. А. Дифференциальные уравнения по спектральному параметру, Комм. Мат. Phys., том 103 (1986), стр. 177-240. | DOI | МИСТЕР | Збл
[DG1] Эй Джей Дюран; Ф. А. Грюнбаум Ортогональные матричные многочлены, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям второго порядка, International Math. Уведомления об исследованиях, том 10 (2004 г.), стр. 461–484.
|
МИСТЕР
|
Збл
[DG2] Эй Джей Дюран; Ф. А. Грюнбаум Характеристика класса весовых матриц с ортогональными матричными полиномами, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям второго порядка (чтобы появиться в Math. Research Notices) | МИСТЕР | Збл
[DP] А. Дюран; Б. Квадратурные формулы Поло-Гаусса для весов матриц, Linear Algebra and Appl., Volume 355 (2002), стр. 119-146.
|
DOI
|
МИСТЕР
|
Збл
[DvA] А. Дюран; ван В. Ашше Ортогональные матричные полиномы и рекуррентные соотношения более высокого порядка, Линейная алгебра и ее приложения, том 219 (1995), стр. 261-280 | DOI | МИСТЕР | Збл
[G] Ф. А. Грюнбаум Матричные многочлены Якоби, Bull. Математика наук, том 127 (2003), нет. 3, стр. 207-214
|
DOI
|
МИСТЕР
|
Збл
[Ge] Дж. С. Джеронимо Теория рассеяния и матричные ортогональные полиномы на действительной линии, Circuits Systems Signal Process, том 1 (1982), стр. 471-495. | DOI | МИСТЕР | Збл
[GPT1] Ф. А. Грюнбаум; И. Пахарони; Дж. Тирао Матричные сферические функции, связанные с комплексной проективной плоскостью, J. Functional Analysis, Volume 188 (2002), стр. 350-441.
|
DOI
|
МИСТЕР
|
Збл
[GPT2] Ф. А. Грюнбаум; И. Пахарони; Дж. Тирао Матричное решение проблемы Бохнера, J. Physics A: Math. Генерал, том 34 (2001), стр. 10647-10656. | DOI | МИСТЕР | Збл
[GPT3] Ф. А. Грюнбаум; И. Пахарони; Дж. Тирао Матричнозначные сферические функции, связанные с трехмерным гиперболическим пространством, Междунар. Журнал математики, том 13 (2002), стр. 727-784.
|
DOI
|
МИСТЕР
|
Збл
[GPT4] Ф. А. Грюнбаум; И. Пахарони; Дж. Тирао; Д. Хилианд Д. Рокмор Приглашение к сферическим функциям со значениями в матрице: линеаризация произведений в случае комплексного проективного пространства P2 (ℂ), Modern Signal Processing (публикация MSRI), том 46 (2003), стр. 147-160
|
Збл
[GPT5] Ф. А. Грюнбаум; И. Пахарони; Дж. Тирао Матричные ортогональные многочлены типа Якоби, Indag. Матем., Том 14 (2003), нет. 3,4, стр. 353-366. | МИСТЕР | Збл
[ГВ] Р. Ганголли; В. С. Варадараджан Гармонический анализ сферических функций на вещественных редуктивных группах, Название серии: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 101, Springer-Verlag, Берлин, Нью-Йорк, 1988. |
МИСТЕР
|
Збл
[K1] М. Г. Крейн Основные аспекты теории представлений эрмитовых операторов с индексом дефекта (m,m) (AMS Translations, Series 2), Volume 97 (1971), pp. 75-143 | Збл
[K2] М. Г. Крейн Бесконечные J-матрицы и матричная проблема моментов, Докл. акад. Наук СССР, Том 69(1949) нет. 2, стр. 125-128 | МИСТЕР
[PT] И. Пахарони; Дж. Тирао Матричные сферические функции, связанные с комплексным проективным пространством (в процессе подготовки)
[SvA] А. Синап; van W. Assche Ортогональные матричные полиномы и приложения, J. Comput. и прикладная математика. Том 66 (1996), стр. 27-52. | DOI | МИСТЕР | Збл
[T1] Дж. Тирао Сферические функции, Rev. de la Unión Matem. Аргентина, том 28 (1977), стр. 75–98.
|
МИСТЕР
|
Збл
[T2] Дж. Тирао Матричное гипергеометрическое уравнение, Proc. Нац. акад. наук США, том 100 (2003 г.) нет. 14, стр. 8138-8141 | DOI | МИСТЕР | Збл
[ВК] Н. Виленкин; А. Климык Представление групп Ли и специальных функций, Kluwer Academic, Дордрехт, Массачусетс, том 3 (1992)
|
Збл
Скачать О приближении слабого поля в обобщенных скалярно-тензорных гравитациях PDF
О приближении слабого поля в обобщенных
Скалярно-тензорные гравитации
2 М. Э. К. Гимарайнш1, Л. П. Колатто2 и Ф. Б. Туриньо2
0
0
2 1. Universidade de Brasılia, Depto. de Matematica, CEP: 70910-900, Бразилиа — DF, Бразилия
н
2. Universidade de Brasília, Instituto de F´ısica, CEP: 70910-900 Bras’ilia – DF, Бразилия
а
Дж
Электронная почта: [email защищен], colatto@fis.unb.br, [email защищен]
1
3
1
Абстрактный
в
1
0 В работе [1] Баррос и Ромеро показали, что в приближении слабого поля
1
1 решения уравнений Бранса-Дикке связаны с решениями общей теории относительности для
0
одинаковые распределения материи. В настоящей работе мы подчеркиваем этот результат и распространяем его на
2
0 для обобщенных скалярно-тензорных теорий, в которых параметр ω больше не константа, а
/
c произвольная функция (гравитационного) скалярного поля.
д
—
р
г
: 1. Введение:
в
я
Икс
В работе [1] Барросанд Ромеро разработал метод, позволяющий получать решения в
р
а
теории Бранса-Дикке [2] из соответствующих решений общей теории относительности для того же
содержание вещества, когда обе теории рассматриваются в приближении слабого поля. Цель этого
работа состоит в том, чтобы показать, что это глобальная особенность класса более общих скалярно-тензорных теорий гравитации.
˜
в котором параметр ω является произвольной функцией скалярного поля Φ [3]. Так как в настоящее время
единственная известная теория, которая рассматривает гравитацию в соответствии с квантовой механикой, — это теория струн [4].
и поскольку все версии этой теории естественным образом предсказывают скалярного партнера для чистой тензорной метрики,
представляется целесообразным проанализировать поведение содержаний материи в контексте скалярно-тензорной
сила тяжести.
Следовательно, наш основной вклад состоит в том, чтобы предоставить способ получения решений в скалярно-тензорных теориях.
напрямую от своих партнеров по Общей теории относительности, по крайней мере, в приближении слабого поля.
Эта работа представлена следующим образом. В разделе 2 мы представляем нашу модель и ее уравнения поля и
расширить метод, представленный в нем. [1]. В разделе 3 мы проиллюстрируем наш результат несколькими примерами.
распределений материи, таких как топологические дефекты. В разделе 4 мы заканчиваем некоторыми выводами.
1
2. Линеаризованные уравнения поля в скалярно-тензорной гравитации.
галстуки:
Начнем с действия в кадре Джордана-Фирца:
1 ω(Φ˜)
= d4x g˜ R˜Φ˜ ∂µΦ˜∂ Φ˜ + [Ψ ,g˜ ], (1)
S 16π − » − Φ˜ µ # Sm m µν
Z д
g˜ — физическая метрика, содержащая как скалярные, так и тензорные степени свободы, R˜ — кривизна
µν
скаляр, связанный с ним, и является действием для общих полей материи, которое на данный момент оставлено произвольным.
м
С
˜
Варьируя действие (1) по метрике g˜ и скалярному полю Φ, получаем
µν
«модифицированные» уравнения Эйнштейна и волновое уравнение для Φ˜:
˜
1 8π ω(Φ) 1
R˜ g˜ R˜ = T˜ + ∂ Φ˜∂ Φ˜ g˜ ∂αΦ˜∂ Φ˜
µν − 2 µν Φ˜ µν Φ˜ µ ν − 2 µν α
(сид:20) (сид:21)
1
+ Φ˜ g˜ 2 Φ˜ ,
Φ˜ ∇ν ,µ − µν g˜
(сид:16) (сид:17)
1 дω
2 Φ˜ = 8πT˜ ∂ Φ˜∂µΦ˜ (2)
g˜ 2ω(Φ˜)+3 » − dΦ˜ µ #
T˜µ = 0 (3)
∇µ ν
где
2 δ
˜ м
Т = С
µν √ g˜δg˜µν
−
— тензор энергии-импульса содержания материи, а T˜ T˜µ — его след.
Ясно, что если T˜ обращается в нуль
≡ мк
и ˜Φ — константа, уравнения (2) сводятся к обычным уравнениям Эйнштейна, если отождествить G с
обратная скалярному полю, например, G = 1/Φ˜. Следовательно, любое точное решение уравнений Эйнштейна с
Бесследовый источник материи также будет частным точным решением скалярного поля с константой Φ˜.
Конечно, это частное решение не будет общим решением для содержания вещества [5].
Прежде чем приступить к линеаризации, перепишем действие (1) в терминах Эйнштейна (кон-
формальный) кадр, в котором кинематические члены тензора и скаляра не смешиваются:
1
= √g[R 2gµν∂ φ∂ φ]+ [Ψ ,A2(φ)g ], (4)
S 16πG∗ − µ ν Sm m µν
Z
где g — чистый метрический тензор ранга 2, а R — связанный с ним скаляр кривизны.
µν
Действие (4) получается из (1) конформным преобразованием
g˜ = A2(φ)g , (5)
µν µν
и переопределением величин
1
G∗A2(φ) = (6)
Φ˜
2
*
G — «голая» гравитационная постоянная, а
∂lnA(φ) 1
α(φ) = = (7)
∂φ (2ω(Φ˜)+3)1/2
что можно интерпретировать как (зависящую от поля) силу связи между материей и скалярным полем.
В конформном репере уравнения. (2) записываются в более удобной форме:
1
R g R = 8πG∗T +2∂ φ∂ φ g gαβ∂ φ∂ φ
µν µν µν µ ν µν α β
− 2 −
2 φ = 4πG∗α(φ)T. (8)
г
−
Фромэкв. (5) ясно, что мы можем связать величины из обеих систем отсчета так, что T˜µν = A−6(φ)Tµν
и T˜µ = A−4(φ)Tµ. Разложим поля до первого порядка по параметру G = G∗A2(φ ),
ν ν 0 0
затем получить
г = п + ч
µν µν µν
φ = φ + φ (9)
0 (1)
А(ф) = А(ф)[1+а(ф)ф]
0 0 (1)
Тµ = Tµ + Tµ
ν (0)ν (1)ν
Следовательно, уравнения (8) уменьшить до:
1
2h = 16πG∗(T η T ) (10)
µν (0)µν µν (0)
∇ — 2
2φ = 4πG∗α(φ )T
(1) 0 (0)
∇
В этом приближении T(0) есть тензор энергии-импульса нулевого порядка в конформной
µν
рамка. Его связь с (физическим) тензором энергии-импульса в нулевом порядке в системе Джордана-Фирца.
репер задается формулой T(0) = A2(φ )T˜(0). Таким образом, первое уравнение в системе (10) есть уравнение Эйнштейна.
мкν 0 мкν
уравнение в режиме приближения слабого поля.
Теперь g˜ = A2(φ)[η +h]. Поэтому, используя приближение (9), у нас есть:
µν µν µν
g˜ = A2(φ )[1+2α(φ )φ ][η +h ] (11)
µν 0 0 (1) µν µν
Мы можем видеть, что проблема нахождения метрики в скалярно-тензорных гравитациях может быть сведена к
найдите метрику гравитации Эйнштейна для того же распределения материи.
В следующем разделе мы
проиллюстрируйте наше предложение некоторыми примерами, такими как топологические дефекты.
3 решения первого порядка:
В этом разделе мы применим метод, развитый в предыдущем разделе, к случаям космической
струна, доменная стенка и монополь соответственно.
3
3.1 Решение для доменной стены:
В дальнейшем будем рассматривать статическую доменную границу пренебрежимо малой ширины, лежащую в плоскости yz в
приближение слабого поля. Поэтому,
Tµ = A4(φ )σδ(x)diag(1,0,1,1) (12)
(0)ν 0
в декартовой системе координат (t, x, y, z). σ — поверхностная плотность энергии стены. в нашей конвенции,
сигнатура метрики 2.
−
Начнем с решения уравнения для дилатонного поля φ в (10):
(1)
2φ = 12πσG A2(φ )α(φ )δ(x)
(1) 0 0 0
∇
φ = 6πσG α(φ ) x , (13)
(1) 0 0
| |
где GG∗A2(φ).
0 0
≡
Теперь линеаризованное уравнение Эйнштейна в (10) с источником, заданным (12), точно такое же, как в
Виленкина [6], за исключением того, что в нашем случае метрика умножается на линеаризованный множитель A2(φ).
Поэтому имеем (в первом порядке по G ):
0
ds2 = A2(φ) 1+4πσG x (3α2(φ) 1) [dt2 dx2 dy2 dz2].
0 0 0
| | − − − −
привет
Множитель A2(φ), фигурирующий в приведенном выше выражении, может быть поглощен переопределением координаты.
0
динаты (t, x, y, z). В итоге получаем [8]:
ds2 = 1+4πσG x (3α2(φ ) 1) [dt2 dx2 dy2 dz2]. (14)
0 0
| | − − − −
привет
Это линейный элемент, соответствующий доменной границе в рамках скалярно-тензорной гравитации в
приближение слабого поля. Весьма показательно рассмотреть конкретную форму произвольного
функция A(φ), соответствующая теории Бранса-Дикке, A(φ) = eαφ, при α2 = 1, (ω = cte).
2ω+3
В этом случае имеем G∗A2(φ) = G = 2ω+3 G [2], где G — ньютоновская постоянная.
0 0 2ω+4 эфф эфф
Поэтому метрика (14) сводится к такой же, как (cid:16) у Б(cid:17)арроса и Ромеро [1, 7].
3.2 Решение космической струны:
Рассмотрим статическую струну, лежащую на оси z. В этом случае энергия-импульс нулевого порядка
дан кем-то:
Tµ = A4(φ )µδ(ρ)diag(1,0,0,1) (15)
(0)ν 0
в цилиндрической системе координат (t,r,θ,z).
µ — линейная плотность энергии струны.
Снова начнем с решения уравнения для дилатонного поля φ в (10):
(1)
φ = 4G A2(φ )µα(φ )lnρ (16)
(1) 0 0 0
4
Процедура вычисления метрики здесь такая же, как и в случае доменной стены.
так как мы должны решать уравнения Эйнштейна в линейном порядке. Таким образом, имеем [9]:
ds2 = 1+8G µα2(φ )lnρ dt2 dz2 dρ2 (1 8G µ)ρ2dθ2 (17)
0 0 0
− − − −
привет я
Этот результат снова сводится к метрике, найденной Барросом и Ромеро [1, 7] в частном случае
Теория Бранса-Дикке.
3.3 Монопольное решение:
Рассмотрим теперь глобальный монополь с полной массой m = 4πη2R, где η — энергетический масштаб
нарушение симметрии, R — радиус отсечки. Тогда тензор энергии-импульса в сферическом
координаты (t,r,θ,ϕ) определяется как:
η2
Tµ = A4(φ ) diag(1,1,0,0) (18)
(0)ν 0 r2
Решая уравнение для дилатонного поля, имеем
φ = 8πG A2(φ )α(φ )η2lnr (19)
(1) 0 0 0
Таким образом, мы можем легко получить метрику глобального монополя в приближении слабого поля
из решения Виленкина и Барриолы [10]:
ds2 = [1+16πG A2(φ )α2(φ )η2lnr][dt2 dr2 (1 8πG η2)(dθ2 +sin2θdϕ2)] (20)
0 0 0 0
− − −
Мы снова сводим к тому же результату, полученному ранее Барросом и Ромеро [7] в случае
Бранс-Дике.
4. Выводы:
Наш основной результат состоит в том, чтобы показать, что существует соответствие между метрическим решением в скалярно-тензорной
гравитации и метрическое решение в гравитации Эйнштейна для того же распределения материи, в слабой
приближение поля. Действительно, мы показали, что линеаризованная метрика в гравитационном поле Эйнштейна
умножается на конформный множитель, который зависит от решения уравнения дилатона для каждого
содержание материи.
В заключение кратко упомянем, что гравитационное поле, создаваемое топологическими дефектами в
скалярно-тензорная гравитация представляет много интересных особенностей уже в линейном порядке. Прежде всего свет
распространяется так же, как и в случае общей теории относительности. Однако дефекты скалярно-
тензорные силы гравитации действуют на массивные пробные частицы, и этот факт приводит к интересным
последствия, такие как, например, возмущение скорости частиц, влекущее за собой образование
следов [11] за счет перемещения струн и генерации тока внутри струн [12], новой функции, которая
по-прежнему заслуживает дальнейшего анализа [13].
5
Благодарности:
L. P. C. благодарит CAPES за финансовую поддержку. Ф. Б. Туриньо благодарит CNPq за грант в
контекст программы PIBIC/UnB.
Рекомендации
[1] A. Barros и C. Romero, Phys. лат. А245 (1998) 31.
[2] C. Brans и R. H. Dicke, Phys. 124 (1961) 925.
[3] P. G. Bergmann, Int. Дж. Теор. Phys.1 (1969) 25; Р. В. Вагонер, Phys. Ред. D1 (1970) 3209;
К. Нордтвердт-младший, ап. Дж. 161 (1970) 1059.
[4] М. Б. Грин, Дж. Х. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн.
1987).
[5] Дж. Д. Барроу, Phys. Ред. D47 (1993) 5329.
[6] А. Виленкин, Phys. Ред. D23 (1981) 852.
[7] А. Баррос и К. Ромеро Дж. Матем. физ. 36 (1995) 5800.
[8] В. Б. Безерра, Л. П. Колатто, М. Е. X. Гимарайнш и Р. Т. Мунис Фильо, gr-qc/0104038,
представлено к публикации (2001 г.).
[9] M.E.X. Гимарайнш, Class. Квантовая Грав.14 (1997) 435.
[10] M. Barriola, A. Vilenkin, Phys. Преп. Письмо 63 (1989) 341.
[11] S. R. M. Masalskiene, M. E. X. Guimar˜aes, Class. Квантовая Грав.17 (2000) 3055.
[12] В. К. де Андраде, П. Питер и М. Е. X. Гимарайнш, gr-qc/0101025, представлено для публикации.
(2001).
[13] M.E.X. Guimar˜aes, P. Peter и F.B. Tourinho, в процессе подготовки (2001).
6
М. Э. Х. Гимарайнша
#additional_collections #journals #arxiv
Проверка работоспособности файла…
Предварительный просмотр
О приближении слабого поля в обобщенных скалярно-тензорных гравитациях О приближении слабого поля в обобщенных
Скалярно-тензорные гравитации
2 М. Э. К. Гимарайнш1, Л. П. Колатто2 и Ф. Б. Туриньо2
0
0
2 1. Universidade de Brasılia, Depto. de Matematica, CEP: 70910-900, Бразилиа — DF, Бразилия
н
2. Universidade de Brasília, Instituto de F´ısica, CEP: 70910-900 Bras’ilia – DF, Бразилия
а
Дж
Электронная почта: [email защищен], colatto@fis.unb.br, [email защищен]
1
3
1
Абстрактный
в
1
0 В работе [1] Баррос и Ромеро показали, что в приближении слабого поля
1
1 решения уравнений Бранса-Дикке связаны с решениями общей теории относительности для
0
одинаковые распределения материи. В настоящей работе мы подчеркиваем этот результат и распространяем его на
2
0 для обобщенных скалярно-тензорных теорий, в которых параметр ω больше не константа, а
/
c произвольная функция (гравитационного) скалярного поля. д
—
р
г
: 1. Введение:
в
я
Икс
В работе [1] Барросанд Ромеро разработал метод, позволяющий получать решения в
р
а
теории Бранса-Дикке [2] из соответствующих решений общей теории относительности для того же
содержание вещества, когда обе теории рассматриваются в приближении слабого поля. Цель этого
работа состоит в том, чтобы показать, что это глобальная особенность класса более общих скалярно-тензорных теорий гравитации.
˜
в котором параметр ω является произвольной функцией скалярного поля Φ [3]. Так как в настоящее время
единственная известная теория, которая рассматривает гравитацию в соответствии с квантовой механикой, — это теория струн [4].
и поскольку все версии этой теории естественным образом предсказывают скалярного партнера для чистой тензорной метрики,
представляется целесообразным проанализировать поведение содержаний материи в контексте скалярно-тензорной
сила тяжести. Следовательно, наш основной вклад состоит в том, чтобы предоставить способ получения решений в скалярно-тензорных теориях.
напрямую от своих партнеров по Общей теории относительности, по крайней мере, в приближении слабого поля.
Эта работа представлена следующим образом. В разделе 2 мы представляем нашу модель и ее уравнения поля и
расширить метод, представленный в нем. [1]. В разделе 3 мы проиллюстрируем наш результат несколькими примерами.
распределений материи, таких как топологические дефекты. В разделе 4 мы заканчиваем некоторыми выводами.
1
2. Линеаризованные уравнения поля в скалярно-тензорной гравитации.
галстуки:
Начнем с действия в кадре Джордана-Фирца:
1 ω(Φ˜)
= d4x g˜ R˜Φ˜ ∂µΦ˜∂ Φ˜ + [Ψ ,g˜ ], (1)
S 16π − » − Φ˜ µ # Sm m µν
Z д
g˜ — физическая метрика, содержащая как скалярные, так и тензорные степени свободы, R˜ — кривизна
µν
скаляр, связанный с ним, и является действием для общих полей материи, которое на данный момент оставлено произвольным.
м
С
˜
Варьируя действие (1) по метрике g˜ и скалярному полю Φ, получаем
µν
«модифицированные» уравнения Эйнштейна и волновое уравнение для Φ˜:
˜
1 8π ω(Φ) 1
R˜ g˜ R˜ = T˜ + ∂ Φ˜∂ Φ˜ g˜ ∂αΦ˜∂ Φ˜
µν − 2 µν Φ˜ µν Φ˜ µ ν − 2 µν α
(сид:20) (сид:21)
1
+ Φ˜ g˜ 2 Φ˜ ,
Φ˜ ∇ν ,µ − µν g˜
(сид:16) (сид:17)
1 дω
2 Φ˜ = 8πT˜ ∂ Φ˜∂µΦ˜ (2)
g˜ 2ω(Φ˜)+3 » − dΦ˜ µ #
T˜µ = 0 (3)
∇µ ν
где
2 δ
˜ м
Т = С
µν √ g˜δg˜µν
−
— тензор энергии-импульса содержания материи, а T˜ T˜µ — его след.
Ясно, что если T˜ обращается в нуль
≡ мк
и ˜Φ — константа, уравнения (2) сводятся к обычным уравнениям Эйнштейна, если отождествить G с
обратная скалярному полю, например, G = 1/Φ˜. Следовательно, любое точное решение уравнений Эйнштейна с
Бесследовый источник материи также будет частным точным решением скалярного поля с константой Φ˜.
Конечно, это частное решение не будет общим решением для содержания вещества [5].
Прежде чем приступить к линеаризации, перепишем действие (1) в терминах Эйнштейна (кон-
формальный) кадр, в котором кинематические члены тензора и скаляра не смешиваются:
1
= √g[R 2gµν∂ φ∂ φ]+ [Ψ ,A2(φ)g ], (4)
S 16πG∗ − µ ν Sm m µν
Z
где g — чистый метрический тензор ранга 2, а R — связанный с ним скаляр кривизны.
µν
Действие (4) получается из (1) конформным преобразованием
g˜ = A2(φ)g , (5)
µν µν
и переопределением величин
1
G∗A2(φ) = (6)
Φ˜
2
*
G — «голая» гравитационная постоянная, а
∂lnA(φ) 1
α(φ) = = (7)
∂φ (2ω(Φ˜)+3)1/2
что можно интерпретировать как (зависящую от поля) силу связи между материей и скалярным полем.
В конформном репере уравнения. (2) записываются в более удобной форме:
1
R g R = 8πG∗T +2∂ φ∂ φ g gαβ∂ φ∂ φ
µν µν µν µ ν µν α β
− 2 −
2 φ = 4πG∗α(φ)T. (8)
г
−
Фромэкв. (5) ясно, что мы можем связать величины из обеих систем отсчета так, что T˜µν = A−6(φ)Tµν
и T˜µ = A−4(φ)Tµ. Разложим поля до первого порядка по параметру G = G∗A2(φ ),
ν ν 0 0
затем получить
г = п + ч
µν µν µν
φ = φ + φ (9)
0 (1)
А(ф) = А(ф)[1+а(ф)ф]
0 0 (1)
Тµ = Tµ + Tµ
ν (0)ν (1)ν
Следовательно, уравнения (8) уменьшить до:
1
2h = 16πG∗(T η T ) (10)
µν (0)µν µν (0)
∇ — 2
2φ = 4πG∗α(φ )T
(1) 0 (0)
∇
В этом приближении T(0) есть тензор энергии-импульса нулевого порядка в конформной
µν
рамка. Его связь с (физическим) тензором энергии-импульса в нулевом порядке в системе Джордана-Фирца.
репер задается формулой T(0) = A2(φ )T˜(0). Таким образом, первое уравнение в системе (10) есть уравнение Эйнштейна.
мкν 0 мкν
уравнение в режиме приближения слабого поля.
Теперь g˜ = A2(φ)[η +h]. Поэтому, используя приближение (9), у нас есть:
µν µν µν
g˜ = A2(φ )[1+2α(φ )φ ][η +h ] (11)
µν 0 0 (1) µν µν
Мы можем видеть, что проблема нахождения метрики в скалярно-тензорных гравитациях может быть сведена к
найдите метрику гравитации Эйнштейна для того же распределения материи.
В следующем разделе мы
проиллюстрируйте наше предложение некоторыми примерами, такими как топологические дефекты.
3 решения первого порядка:
В этом разделе мы применим метод, развитый в предыдущем разделе, к случаям космической
струна, доменная стенка и монополь соответственно.
3
3.1 Решение для доменной стены:
В дальнейшем будем рассматривать статическую доменную границу пренебрежимо малой ширины, лежащую в плоскости yz в
приближение слабого поля. Поэтому,
Tµ = A4(φ )σδ(x)diag(1,0,1,1) (12)
(0)ν 0
в декартовой системе координат (t, x, y, z). σ — поверхностная плотность энергии стены. в нашей конвенции,
сигнатура метрики 2.
−
Начнем с решения уравнения для дилатонного поля φ в (10):
(1)
2φ = 12πσG A2(φ )α(φ )δ(x)
(1) 0 0 0
∇
φ = 6πσG α(φ ) x , (13)
(1) 0 0
| |
где GG∗A2(φ).
0 0
≡
Теперь линеаризованное уравнение Эйнштейна в (10) с источником, заданным (12), точно такое же, как в
Виленкина [6], за исключением того, что в нашем случае метрика умножается на линеаризованный множитель A2(φ).
Поэтому имеем (в первом порядке по G ):
0
ds2 = A2(φ) 1+4πσG x (3α2(φ) 1) [dt2 dx2 dy2 dz2].
0 0 0
| | − − − −
привет
Множитель A2(φ), фигурирующий в приведенном выше выражении, может быть поглощен переопределением координаты.
0
динаты (t, x, y, z). В итоге получаем [8]:
ds2 = 1+4πσG x (3α2(φ ) 1) [dt2 dx2 dy2 dz2]. (14)
0 0
| | − − − −
привет
Это линейный элемент, соответствующий доменной границе в рамках скалярно-тензорной гравитации в
приближение слабого поля. Весьма показательно рассмотреть конкретную форму произвольного
функция A(φ), соответствующая теории Бранса-Дикке, A(φ) = eαφ, при α2 = 1, (ω = cte).
2ω+3
В этом случае имеем G∗A2(φ) = G = 2ω+3 G [2], где G — ньютоновская постоянная.
0 0 2ω+4 эфф эфф
Поэтому метрика (14) сводится к такой же, как (cid:16) у Б(cid:17)арроса и Ромеро [1, 7].
3.2 Решение космической струны:
Рассмотрим статическую струну, лежащую на оси z. В этом случае энергия-импульс нулевого порядка
дан кем-то:
Tµ = A4(φ )µδ(ρ)diag(1,0,0,1) (15)
(0)ν 0
в цилиндрической системе координат (t,r,θ,z).
µ — линейная плотность энергии струны.
Снова начнем с решения уравнения для дилатонного поля φ в (10):
(1)
φ = 4G A2(φ )µα(φ )lnρ (16)
(1) 0 0 0
4
Процедура вычисления метрики здесь такая же, как и в случае доменной стены.
так как мы должны решать уравнения Эйнштейна в линейном порядке. Таким образом, имеем [9]:
ds2 = 1+8G µα2(φ )lnρ dt2 dz2 dρ2 (1 8G µ)ρ2dθ2 (17)
0 0 0
− − − −
привет я
Этот результат снова сводится к метрике, найденной Барросом и Ромеро [1, 7] в частном случае
Теория Бранса-Дикке.
3.3 Монопольное решение:
Рассмотрим теперь глобальный монополь с полной массой m = 4πη2R, где η — энергетический масштаб
нарушение симметрии, R — радиус отсечки. Тогда тензор энергии-импульса в сферическом
координаты (t,r,θ,ϕ) определяется как:
η2
Tµ = A4(φ ) diag(1,1,0,0) (18)
(0)ν 0 r2
Решая уравнение для дилатонного поля, имеем
φ = 8πG A2(φ )α(φ )η2lnr (19)
(1) 0 0 0
Таким образом, мы можем легко получить метрику глобального монополя в приближении слабого поля
из решения Виленкина и Барриолы [10]:
ds2 = [1+16πG A2(φ )α2(φ )η2lnr][dt2 dr2 (1 8πG η2)(dθ2 +sin2θdϕ2)] (20)
0 0 0 0
− − −
Мы снова сводим к тому же результату, полученному ранее Барросом и Ромеро [7] в случае
Бранс-Дике.
4. Выводы:
Наш основной результат состоит в том, чтобы показать, что существует соответствие между метрическим решением в скалярно-тензорной
гравитации и метрическое решение в гравитации Эйнштейна для того же распределения материи, в слабой
приближение поля. Действительно, мы показали, что линеаризованная метрика в гравитационном поле Эйнштейна
умножается на конформный множитель, который зависит от решения уравнения дилатона для каждого
содержание материи.
В заключение кратко упомянем, что гравитационное поле, создаваемое топологическими дефектами в
скалярно-тензорная гравитация представляет много интересных особенностей уже в линейном порядке. Прежде всего свет
распространяется так же, как и в случае общей теории относительности. Однако дефекты скалярно-
тензорные силы гравитации действуют на массивные пробные частицы, и этот факт приводит к интересным
последствия, такие как, например, возмущение скорости частиц, влекущее за собой образование
следов [11] за счет перемещения струн и генерации тока внутри струн [12], новой функции, которая
по-прежнему заслуживает дальнейшего анализа [13].
5
Благодарности:
L. P. C. благодарит CAPES за финансовую поддержку. Ф. Б. Туриньо благодарит CNPq за грант в
контекст программы PIBIC/UnB.
Рекомендации
[1] A. Barros и C. Romero, Phys. лат. А245 (1998) 31.
[2] C. Brans и R. H. Dicke, Phys. 124 (1961) 925.
[3] P. G. Bergmann, Int. Дж. Теор. Phys.1 (1969) 25; Р. В. Вагонер, Phys. Ред. D1 (1970) 3209;
К. Нордтвердт-младший, ап. Дж. 161 (1970) 1059.
[4] М. Б. Грин, Дж. Х. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн.
1987).
[5] Дж. Д. Барроу, Phys. Ред. D47 (1993) 5329.
[6] А. Виленкин, Phys. Ред. D23 (1981) 852.
[7] А. Баррос и К. Ромеро Дж. Матем. физ. 36 (1995) 5800.
[8] В. Б. Безерра, Л. П. Колатто, М. Е. X. Гимарайнш и Р. Т. Мунис Фильо, gr-qc/0104038,
представлено к публикации (2001 г.).
[9] M.E.X. Гимарайнш, Class. Квантовая Грав.14 (1997) 435.
[10] M. Barriola, A. Vilenkin, Phys. Преп. Письмо 63 (1989) 341.
[11] S. R. M. Masalskiene, M. E. X. Guimar˜aes, Class. Квантовая Грав.17 (2000) 3055.
[12] В. К. де Андраде, П. Питер и М. Е. X. Гимарайнш, gr-qc/0101025, представлено для публикации.