Как сделать по математике: ГДЗ по математике 4 класс учебник Моро, Бантова 1 часть

Как делать легко математику?

         Многим кажется, что успеваемость в школе, это показатель интеллекта. Но это не совсем так. Многие подростки просто не знают как быстро и правильно делать уроки. Никто не научил, никто не показал. Вот и получается, что ты безуспешно теряешь свое время на длительное изучение, путаешься в формулах или просто бросаешь начатое на полпути, пуская все на самотек. Но как же полюбить математику? Как научиться быть королевой чисел и формул? Интересно? Тогда читаем дальше.

        Давай сначала поговорим о том, что выполнение любого домашнего задания должно начинаться с ритуала. Твоего особенного ритуала. Это может быть десять минут расслабления, а может начинаться и с приготовления рабочего места (наведи на письменном столе порядок, приготовь все необходимое). Потом нужно открыть учебник по математики и поделить задания на простые и сложные. А дальше соблюдаем простые и эффективные правила.

Читай также: «Как полюбить нелюбимые предметы в школе»

       Во-первых, ты должна усвоить некоторые правила выполнения домашнего задания: не откладывай уроки на потом (делай все день в день), не начинай делать уроки с заучивания (например, правил или формул) и изучай материал так, как собираешься отвечать на уроке. Видишь, все просто, правда? Кстати, эти правила касаются не только математики.

       Во – вторых, ты должна понять, что чтобы хорошо делать что-либо, это нужно полюбить. Вот скажи, как можно успевать по математики, не любя этот предмет? Ответ прост – никак! Говорят, что точные науки никогда не поймут творческие люди. Но как же можно изучать математику без фантазии? Ведь именно воображение учит искать нестандартное решение задачи, а это путь к раскрытию уникальных творческих способностей.

       В-третьих, ты должна понять, что математику нужно учить играя.  Это значит, что прежде чем приступать к заучиванию, ты должна понять материал. Если у тебя есть пробелы – обязательно заполни их. А дальше придумай сказку. Например, ты читаешь условие задачи и представляешь, что в каком-то государстве живет красивая и умная принцесса. Дальше просто связывай образ принцессы с условием задачи. Пытайся себе все четко и красочно представить. Увидишь, это тебя увлечет, лень отступит и тебе самой станет интересно решить пример. Выполняй задания поэтапно, не переключайся с одного (недоделав его) на другое. Не отвлекайся на какие-нибудь внешние факторы.

Читай также: «Как сделать уроки легко и интересно?»

      Ну и последнее, это мотивация. Без этого никакой настрой не поможет. Не согласна? А вот смотри, допустим, ты очень любишь рисовать и ходишь  в кружок. Допустим, у тебя занятие в субботу, но тут соседка просит тебя посидеть с ее маленьким ребенком. Рисовать ты любишь больше, поэтому, понятное дело, что ты будешь не довольна таким предложением и, скорее всего, откажешь и побежишь на урок. Ну что, если соседка тебе предложит взамен организовать мастер-класс у самого крутого и знаменитого художника? Это ведь уже другой разговор, правда? Это и есть мотивация. Мы делаем что-то, а получаем то-то.  Вот и  подумай, зачем нужна тебе эта математика.

      Поставь себе цель, ищи способы ее достижения и будь успешной! Главное помни: ты умница и у тебя все получится!

Как понять математику | Как учить математику с удовольствием

Содержание

1. Что такое математика
2. Как математика используется в повседневной жизни
3. С какими проблемами сталкиваются люди при изучении математики
4. Как учить математику с ребёнком
5. Как учить математику во взрослом возрасте
6. Универсальные советы, подходы
7. Подборка учебников, каналов для изучения математики

Синусы и косинусы, логарифмы и функции приводят многих людей в ужас. Кажется, что математика — это наука для гениев, и понять её могут лишь единицы. Но на деле всё гораздо проще. В этом материале мы расскажем о том, как правильно изучать эту науку, и поделимся советами, чтобы она перестала вас пугать.

Что такое математика

Это не просто арифметика, а целая наука о количественных взаимоотношениях и пространственных моделях реального мира. Математические методы применяются во всех сферах: от программирования до медицины. Например, в фармакологии рассчитывают пропорции для растворов и рекомендуемые лекарственные дозы, а в маркетинге считают статистические данные рекламных компаний.

Люди воспринимают математику по-разному: для тех, кому на уроках было сложно и скучно, она сухая и точная, а те, кто по-настоящему влюблён в неё, называют её искусством. Наладить хорошие отношения с этой точной наукой можно в любое время, главное — желание в ней разбираться.

Как математика используется в повседневной жизни

В школе многим казалось, что этот предмет в повседневной жизни никогда не пригодится. Безусловно, какие-то простые вычисления можно совершить на калькуляторе, но если гаджета под рукой не окажется, придётся использовать собственные знания. Решать сложные уравнения или вспоминать формулу тангенса вряд ли понадобится, однако посчитать, сколько нужно продуктов, чтобы приготовить в два раза больше блинов, какую сумму нужно сдать на общий подарок коллеге или определить, во сколько выезжать из дома, чтобы приехать на встречу вовремя, придётся в уме.

С какими проблемами сталкиваются люди при изучении математики

Решают задачи быстро и неправильно

Это именно тот случай, когда количество не значит качество. На занятиях некоторые люди выполняют задания быстро, но неправильно. Вместо того чтобы сначала понять задачу и определить, что необходимо найти, сразу приступают к решению. Например, человек может предположить, что вычислить неизвестное можно сложением. Но на высокой скорости он не заметит, что в задаче есть отрицательные числа, и считать необходимо по-другому.

Таким образом придётся заново возвращаться к задаче и всё переделывать. Это ведёт к демотивации, и предмет начинает ассоциироваться с неудачами и негативом.

Теряются посередине задачи

Рабочая память играет важную роль при решении комплексных математических задач. Информация, освоенная раньше, например похожий пример из учебника или формула, поможет справиться с новой задачей. Но если память не развита, можно легко запутаться в построении алгоритма нужных действий. Пропустив всего один шаг, можно полностью сбиться с курса и прийти к неверному ответу.

Не понимают свои ошибки

При решении задач следует всегда анализировать проделанную работу. Пройтись по уравнениям и убедиться, что всё правильно. Даже если кажется, что всё выполнено по правилам, ответ может быть неверным. В этом случае важно понять, где была допущена ошибка и разобраться, почему вычисления к ней привели.

Умение анализировать и понимать свои ошибки — одна из важнейших составляющих процесса изучения математики.

Как учить математику с ребёнком

Заполняйте пробелы

Когда ребёнок чего-то боится, он старается как можно меньше сталкиваться с источником страха. Это касается и математики. Так малыш попадает в замкнутый круг: не подготовился к контрольной — получил низкую оценку — появилось отвращение к предмету и, как следствие, полная демотивация. Всё это приведёт к увеличению тревожности и повлияет на выбор профессии.

Чтобы этого избежать, нужно найти пробелы, укрепить и улучшить базовые знания. При изучении предмета ориентируйтесь на то, как лучше ребёнок усваивает информацию — аудиально или визуально. Математика — это абстрактный материал, при изучении которого следует принимать во внимание индивидуальные особенности ученика.

Прививайте интерес к предмету

Дайте ребёнку понять, что этот предмет вовсе не страшный, а интересный, и в нём следует разобраться. В школе одним детям на уроках скучно и легко, а другим — скучно и сложно. В современной математике есть много интересных задач, понятных ученикам начальной школы. Например, в книге «Математика в твоих руках» много увлекательных и наглядных задач. Рекомендуется также отыскать среди разных областей математики то, что интересно лично вам, и рассказать об этом ребёнку. Может, вам нравится решать геометрические головоломки или строить многогранники из конструктора.

Играйте

Попробуйте поиграть в разные арифметические игры. Например, в числа-соседи: «У меня есть подруга Оля, она живёт в высоком доме, одни её соседи живут на третьем этаже, а другие — на пятом. На каком этаже живёт Оля?». Если ребёнка пугает какая-то определённая тема, подумайте, какую соответствующую игру можно придумать, чтобы разобраться в вопросе.

Если у ребёнка проблемы со счётом, можно сыграть в настольную игру «Турбосчёт». Суть игры в том, что с помощью неё малыш научится моментально определять количество объектов на карточках, не пересчитывая их по пальцам. В результате сложение в пределах десятка будет без труда доведено до автоматизма. Игра отлично подходит для детей от 6 лет, но не менее интересна и школьникам 3–4-х классов. Есть ещё несколько интересных игр на скорость реакции, логику и счёт: «Котосовы», «Фруктаж», «Барабашка» и «СЕТ».

В игре дети намного лучше осваивают предмет, который когда-то их пугал. Если привить интерес к нему в начальных классах, в старшей школе можно избежать проблем с более сложными формулами и правилами.

Как учить математику во взрослом возрасте

Перед началом изучения следует понять, для чего вам нужна математика. Так будет легче выстроить индивидуальную стратегию, выбрать подходящие материалы и преподавателей. Есть несколько основных рекомендаций для тех, кто приступает к изучению этой науки:

Практикуйте устный счёт

Устный счёт — полезное упражнение, которое приучает решать любые задачи в уме. Так мы развиваем оперативную память, делая минимальное количество пометок, и приучаемся решать быстро и много. Устный счёт тренирует выносливость и психические процессы, а также позволяет быстро настраиваться на рабочий процесс.

Тренируйте скорость

Начинайте решать примеры маленькими забегами на очень высокой скорости. Как только начнёте уставать или делать ошибки, остановите процесс и отвлекитесь. При такой тренировке вы сможете решать примеры быстрее, и математические марш-броски станут длиннее.

Не тратьте время на переписывание

Вы можете за секунду угадать тип примера и 15 секунд потратить на его переписывание. Старайтесь решать примеры устно. Для удобства можете делать пометки в учебнике карандашом или на черновике.

Доводите каждый уровень до автоматизма

Важно понимать, если следующий уровень получается медленнее, значит, недоработан предыдущий. Часто при сложном материале внимание тратится на более простые вещи, которые не были автоматизированы на прошлом этапе, — переписывание, вспоминание формул или вычисления.

Пользуйтесь карточками

Учить формулы, термины, теорию удобно по карточкам. Это отличный инструмент, позволяющий запоминать любую фактическую информацию: иностранные слова, химические элементы и даты. При изучении новой темы выделяйте все главные формулы и правила разноцветными текстовыделителями, а затем переносите их на карточки. Подробнее о том, как с помощью карточек можно запоминать любую информацию, смотрите в этом видео.

Изолированно тренируйте все формулы и задания

Берите задачники, определяйте нужную сложность и решайте похожие задачи, доводя правило до автоматизма. Не распыляйтесь на множество разных заданий. То, что уже отработано, тренировать не надо. Цель сложной задачи — найти простое решение, которое было отработано на предыдущем уровне.

Например, сложное уравнение нужно свести к квадратному, которое вы уже изучали.

Универсальные советы, подходы

Проанализируйте свои знания

Разберитесь, что вы уже знаете, а что нет. Это может быть непросто, но не спешите начинать с нуля. Лучше обратиться за помощью, например нанять репетитора, чтобы тот провёл диагностику и выявил все пробелы.

Читайте лёгкие учебники

В школе часто преподают математику по материалам Колмогорова или Мордковича. Это хорошие учебники, но рассчитаны они именно на учеников физико-математических классов, кто продолжит обучение в профильных вузах. Попробуйте взяться за учебник «Алгебра и начала математического анализа» Никольского и Потапова или Алимова. Программа в них практически одинаковая, разница лишь в подаче материала.

Уделяйте внимание «социальной» математике и финансовой грамотности

Сложные формулы и теоремы задерживаются в голове ненадолго, если профессиональная деятельность никак с ними не связана. А вот «бытовая» математика с нами на всю жизнь. Речь идёт об умении рассчитывать коммунальные тарифы, проценты по ипотеке, переплату по кредиту или семейный бюджет. Подобные задачи есть и в учебниках, но научиться их решать вы можете не выходя из дома.

Решайте не больше, а глубже

Найдя ответ, всегда старайтесь придумывать способы проверки, чтобы понять, верно ли вы решили задачу. Находите несколько решений для одной задачи. Количество заданий будет меньше, но научитесь вы большему. Полезнее решить одну задачу тремя способами, чем три одним.

Подборка учебников, каналов для изучения математики

• YouTube-каналы Алексея Савватеева и Артура Шарифова.
• Статья «Плач математика» Пола Локхарта.
• Для детей младших и средних классов: произведения «Нолик-мореход», «Три дня в Карликании» В. А. Лёвшина, «Островитянка», «Научные сказки» Ника Горькавого, «Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы».
• Алекс Беллос «Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры».
• Банк задач разного уровня сложности problems.ru для школьников и учителей.
• Заочная математическая школа петербургского образовательного центра: задания отправляют каждую неделю и дают комментарии в ответ на решения учеников.
• Кьяртан Поскитт «Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений».
• Барбара Оакли «Думай, как математик».
• Артур Бенджамин «Магия математики».
• Иэн Стюарт «Математические головоломки профессора Стюарта».
• Борис Кордемский «Математическая смекалка».

Помните, математика не сложная. В ней необходимо разобраться. И если вы чего-то не понимаете, значит, когда-то вам непонятно объяснили: может, попался не лучший учебник или вы не успели заполнить все пробелы, отчего последующие темы давались вам труднее. Математику изучать никогда не поздно, главное — желание. Не сдавайтесь, и у вас всё получится.

Как быстро выучить математику: система для достижения успеха

Многие люди борются с математикой. Это, как правило, одна из самых распространенных тем, с которыми у людей возникают проблемы. Но при правильном обучении, практике и усилиях это может стать легче. Для тех, кто хочет научиться хорошо разбираться в математике, может потребоваться дополнительная практика. Вот несколько лучших практик для быстрого изучения математики.

Начните с основ

Математика — это предмет, который опирается на основы при введении последовательных тем. Например, вы начнете с таких основ, как сложение, вычитание, деление и умножение. Затем, опираясь на свои знания, вы сможете освоить более сложные предметы математики, такие как алгебра, геометрия и исчисление.

Если вы понятия не имеете, как делить или складывать, то алгебра, безусловно, запутает. И вы не сможете перейти к исчислению без прочной основы в тригонометрии и алгебре. Вот почему крайне важно понимать основы и строить из них.

Важность чувства числа

Многие люди начинают изучать математику с запоминания. Это означает, что они возьмут таблицу умножения (умножение) и запомнят, например, что такое 9×9. Хотя эта тактика может работать, она также может вызвать проблемы в будущем. Если вы сдаете тест и внезапно испытываете приступ беспокойства, вы можете забыть все, что выучили наизусть.

Вместо этого полезно иметь представление о смысле чисел. Вот пример одного метода, который заставляет это работать. Если вы хотите понять, что такое 9 × 9, вы можете взять 10 × 9 и узнать, что это 90. Затем, поскольку вы ищете девять групп по девять, а не 10, вы должны вычесть 9 из 90, чтобы получить 81.

В числовой смысл входит нечто большее, но это общая идея. Вы хотите действительно понять, как числа и математические функции работают над запоминанием.

Ставить цели

Как только вы освоите основы математики, вы сможете ставить цели относительно того, на чем вы хотите сосредоточиться. Если вы хотите хорошо разбираться в алгебре, вам не нужно сосредотачиваться на геометрии. Как только вы узнаете, какой тип математики вам нужно освоить, вы сможете найти кратчайший путь и потратить энергию на изучение этих тем.

Фото Антуана Дотри на Unsplash

Советы и приемы для быстрого изучения математики

Математика разнообразна, поэтому не существует единого метода, как добиться успеха в математике. Тем не менее, существуют проверенные и настоящие передовые методы, которые помогут вам совершенствоваться на каждом этапе вашего пути.

Давайте посмотрим, что они включают в себя:

1. Практика

Как и в любом предмете или дисциплине, лучший способ стать лучше — это практиковаться. Практические задачи можно найти в Интернете или в рабочих тетрадях. Кроме того, если вы в настоящее время учитесь в школе и посещаете математический класс, обязательно выполняйте все классные и домашние задания. Нет никаких сомнений в том, что ваш учитель послужит хорошим ресурсом, чтобы дать вам дополнительные практические задачи.

2. Понимание ошибок

Математика является одним из предметов, где ваша работа действительно важна для решения. Это также полностью объективно, так как есть только один правильный ответ, потому что он основан на цифрах. Таким образом, вы захотите действительно понять свои ошибки в процессе решения проблем. Таким образом, вы можете исправить ошибки и, возможно, прийти к правильному решению.

3. Понятия понимания

Хотя математика основана на числах, существуют общие понятия, помогающие понять различные типы математических задач. Иногда студенты делают вопрос сложнее, чем он есть на самом деле. Обязательно читайте математические вопросы медленно и убедитесь, что вы поняли вопрос, прежде чем начать работать над решением.

4. Получите помощь при необходимости

Просить о помощи — это нормально. Даже если вы думаете, что знаете концепцию и понимаете вопрос, вам может понадобиться дополнительное руководство, чтобы вести вас в правильном направлении. Подумайте о том, чтобы нанять репетитора по математике, обратиться к коллеге или обратиться за помощью к своему профессору/учителю.

Уловки с числами

Вот несколько специальных математических трюков с числами, которые помогут вам быстро выучить математику.

5. Округление при сложении

Сложение более двух чисел за раз может стать сложным для умственного выполнения. Один из быстрых способов сложения чисел — сначала округлить их. Например, предположим, что вы хотите сложить 317 и 518. Вы можете округлить их до 320 и 520 и проще увидеть, что сумма равна 840. Затем вам просто нужно вычесть разницу между 320-317 (3) и 520-518 (2), поэтому 3+2=5. Ответ будет 840-5=835.

6. Умножить на 5

Существует специальный прием для умножения на 5, и он выглядит следующим образом:

• Для четного числа 5* возьмите половину четного числа и добавьте 0 к стороне. Пример: 5*6 — половина от 6 = 3, добавьте 0, чтобы получилось 30. 5*6=30
• Для 5* нечетного числа вычтите 1 из нечетного числа и возьмите половину от него, затем добавьте 5 к стороне. Пример: 5*7 — на единицу меньше 7 равно 6, половина 6 равна 3, прибавьте 5 к стороне, тогда ответ будет 5*7=35

7. Умножение чисел, оканчивающихся на 0

Если числа оканчиваются на 0 и вы их умножаете, просто умножьте цифры, которые не равны 0, а затем прибавьте общее количество нулей обратно в конце. Например, если вы хотите умножить 1 000 × 4 000, то вы должны взять 4 * 1 = 4 и добавить 6 нулей, что даст ответ 4 000 000.

Советы и рекомендации по обучению

Когда вы зачислены в школу, будь то начальная, средняя или высшая школа, вам захочется практиковать эти образовательные советы и рекомендации.

Следование этим советам поможет вам в математике и любом предмете, который вы пытаетесь освоить.

8. Не пропускайте занятия

Даже если вы зачислены в онлайн-колледж и можете легко пропустить посещение лекций, это не очень хорошая идея! Это особенно верно, когда дело доходит до математики, потому что пропуск хотя бы одного урока может привести к тому, что вы пропустите основной урок, на котором будет основываться каждый последующий урок.

9. Повторная работа дома

По любому предмету, но особенно по математике, полезно повторить домашнюю работу. Это поможет лучше понять проблемы и решения. Кроме того, это дополнительный вид практики.

10. Получите дополнительную помощь

Математика, как правило, является предметом, требующим дополнительной помощи за пределами класса. Это может быть в форме найма внешнего репетитора или посещения онлайн-уроков по математике. Хотя для математических задач всегда есть один правильный ответ, иногда может существовать несколько способов получить правильный ответ. Возможно, метод, который вы изучаете в своем классе, не самый лучший для вас. Вот почему репетиторы со стороны или помощь могут быть именно тем, что вам нужно для быстрого изучения математики.

11. Разбейте вопрос на части

Если проблема кажется сложной, попробуйте разбить ее на составляющие. Для математики это будет: арифметика, алгоритмы или геометрия. Сделайте все возможное в рамках решения, а затем обратитесь за помощью, если это необходимо.

Фото ThisisEngineering RAEng на Unsplash

Практический результат

Независимо от того, какой предмет вы пытаетесь освоить, обучение требует времени, и у каждого есть свои методы, которые ему подходят. Тем не менее, когда дело доходит до быстрого изучения математики, главное требование — хорошо усвоить основы. Затем вы можете работать над развитием каждой концепции с практикой, дополнительной помощью и полезными советами и рекомендациями.

Как мы изучаем математику?

Как мы изучаем математику? декабрь 2008 г. «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека». Вероятно, одна из самых известных математических цитат всех времен. Его автором был немецкий математик Леопольд Кронекер (1823-1891). Хотя Кронекер иногда интерпретируется (ошибочно) как теологическое утверждение, он сформулировал интеллектуальную направленность, которая доминировала во многих математических областях во второй половине девятнадцатого века, сводя реальную систему счисления сначала к целым числам и, в конечном счете, к формальной логике. Движимый в значительной степени желанием поставить исчисление бесконечно малых на «здравую, логическую основу», потребовалось много лет, чтобы достичь этой цели. Последним ключевым шагом с точки зрения систем счисления была формулировка итальянским математиком Джузеппе Пеано (1858–1819 гг.).32) набора аксиом (точнее — и неточная формулировка оказалась опасной скалой, на которой разбились многие многообещающие достижения — бесконечной схемы аксиом), определяющей аддитивную структуру положительных целых чисел. (Остальная часть процесса редукции показала, как числа могут быть определены в рамках абстрактной теории множеств, которая, в свою очередь, может быть сведена к формальной логике.)

В целом, это впечатляющая работа, одно из величайших интеллектуальных достижений человечества, многие бы сказали. Я один из таких; действительно, именно эта работа, как и все остальное, побудила меня заняться докторской работой — и большей частью моих профессиональных исследований впоследствии — в области математической логики с особым упором на теорию множеств.

Математическая логика и теория множеств являются двумя из небольшой группы предметов, которые обычно носят название «Основы математики». Когда я начал свою работу в аспирантуре, математический мир только что пережил еще один из целой серии «кризисов фундамента», в данном случае открытие Пола Коэна в 1963 году о том, что существуют конкретные вопросы о числах, на которые доказуемо нельзя ответить. (на основе принятых в настоящее время аксиом).

Во всех этих кризисах было что-то странное. (Ранее был «19 лет» Бертрана Рассела.01 открытие названного его именем парадокса, разрушившее попытку Фреге обосновать математику на основе теории элементарных множеств.) В то время как математическое сообщество без колебаний признавало важность этих открытий именно как новых математических открытий (Коэн был награжден Филдсовской медалью за его теорема) — математики ни на йоту не изменили свою повседневную математическую практику. Они продолжались точно так же, как и прежде.

Поэтому странное представление о «фундаментах» состоит в том, что, как бы они ни раскачивались или даже оказывались несостоятельными и в конце концов заменялись, жизнь в здании, якобы воздвигнутом на них, продолжается, как будто ничего не произошло.

Есть еще кое-что странное в этих конкретных фондах. Они были построены после того, как математика предположительно построила над ними.

В каком же смысле формальная логика, абстрактная теория множеств, аксиомы Пеано и все остальное являются «основополагающими»? Ответ, ясный всем нам, достаточно долго прожившим в современном математическом мире, заключается в том, что они являются началом логической цепочки развития, где каждое новое звено в цепи — или каждый новый этаж здания, если хотите метафора построения, подразумеваемая словом «основы» — если вы будете следовать ей достаточно далеко (или высоко), в конечном итоге вы получите всю математику.

Оглядываясь назад, можно сказать, что большинство математических курсов, которые я получил в студенческие годы, и многие другие курсы, которые я читал за несколько десятилетий преподавания математики в университетах и ​​аспирантов, следовали той же логической структуре, которая заложена в основополагающем взгляде на математику. Я бы начал с основ — определений и аксиом — и затем строил бы все оттуда. Это был во многом синтетический взгляд на математику. Среди этих курсов был курс под названием «Реальный анализ», который, исходя из некоторых четко определенных первых принципов, строит понятие непрерывности и основные элементы дифференциального и интегрального исчисления. Время от времени я замечал для себя, насколько совершенно неуместным было название «анализ» для курса, который был сплошным синтезом. Но я знал историческую причину названия. Тема возникла в результате долгой борьбы до проанализировать действительную систему счисления.

Но если это так, а это так, то почему бы нам обычно не учить этому в соответствии с историческим развитием? Другими словами, почему бы нам не учить этому как процессу анализа (интуитивного представления о непрерывной реальной линии с арифметической структурой)? Ну, некоторые люди делают или, по крайней мере, имеют. Но большинство из нас этого не делает, и причина, по которой я думаю (конечно, по моей причине), заключается в том, что гораздо эффективнее следовать внутренней логико-математической структуре, а не исторической нити.

«Прежние интуитивные представления людей о непрерывности (например) были просто неправильными, — говорили многие, — так зачем тратить время на разгребание углей истории? Просто дайте учащемуся правильное определение и двигайтесь дальше». Это сработало для меня, как для студента, так и для преподавателя, и сработало для большинства моих коллег по профессии. Однако на пути к тому, чтобы стать профессионалом, многие мои сокурсники-путешественники отошли на второй план. Подход, который сработал для меня, оказался не всем подходящим.

В последние годы моей профессиональной деятельности меня стали больше интересовать вопросы математического познания. (Примерно шестнадцать лет отделяют мой увесистый том Contructibility , опубликованный в 1983 году и являющийся настолько синтетическим, фундаментальным изложением математики, насколько это возможно, от моей гораздо более доступной (надеюсь) книги 2000 года Математический ген , где я представляю эволюционный отчет о развитии математических способностей в человеческом мозгу. ) Это изменение фокуса привело меня к размышлениям о взаимосвязи между синтетическим подходом к математике, который доминирует в методах обучения студентов-математиков и аспирантов, и историческим/ когнитивное развитие, оба из Homo sapiens вид, и маленьких детей, изучающих математику.

В обоих случаях, эволюционном когнитивном развитии и изучении математики, мои размышления по необходимости были взглядами аутсайдера, хотя и посвятившего свою профессиональную жизнь работе в интересующей области, то есть математике. Я не культурный антрополог и не биолог-эволюционист, я не обучен методам когнитивной психологии, и мой единственный опыт преподавания элементарной математики был получен в качестве принудительного получателя этого процесса много лет назад, и я не хочу этого помнить. Тем не менее, за последние двадцать лет я прочитал массу исследований во всех этих областях — достаточно, чтобы понять, что мы знаем гораздо меньше о том, как мозг занимается математикой, как он приобрел эту способность и как маленькие дети учатся этому. чем мы делаем о самом предмете.

Следствием этого отсутствия современных научных знаний является очевидное следствие: мы не знаем, как лучше всего преподавать математику!

«Ну, разве это не сюрприз!» ты говоришь.

Нет, правда. Я говорю не только о том, как вводить определенные темы или важно ли, чтобы учащиеся овладели алгоритмом деления в длинную сторону. Это более фундаментально, чем это. Мы не знаем, на каком взгляде на математику основывать наше обучение! На самом деле, насколько я могу судить по электронным письмам, которые я получаю — а я получаю довольно много — многие преподаватели в США не подозревают, что может существовать альтернатива той, которую мы автоматически предполагаем и (неявно) используем.

Этот подход, который преобладает в США и который был имплицитно использован в том, как меня учили математике, заключается в том, что начинающий студент-математик извлекает математических понятий из своего повседневного опыта. Насколько нам известно, именно так концепция (положительных, целых) чисел возникла в Шумере между 8000 и 5000 г. до н.э. (Я описываю эту увлекательную историю в своих книгах «Математика: наука о закономерностях» и в «Математический ген ».) Сегодняшняя стандартная учебная программа по математике в школах США заключается в том, что учащийся затем опирается на свою интуицию. , абстрагированное от мира, основанное на реальности понимание счетных чисел для разработки концепций и процедур обработки дробей и отрицательных чисел — точный порядок введения здесь не ясен — а затем, в конце концов, и действительных чисел. (Комплексная система счисления, «конечная точка» развития с математической точки зрения, оставлена ​​на университетском уровне. Я вернусь к комплексным числам позже.)

[Я сказал « сегодняшняя стандартная учебная программа США по математике» в абзаце выше. Несколько лет назад геометрия также была стандартной частью учебной программы, но в конечном итоге от нее отказались, чтобы сосредоточиться на системах счисления и алгебре, которые считаются более важными для жизни в современном обществе. Я вернусь к этому позже.]

Этот взгляд на приобретение математических знаний и способностей подразумевается в отчете, который я даю в The Math Gene 9.0112 и была подробно изложена в книге Лакоффа и Нуньеса Откуда берется математика , которая, хотя и опубликована сразу после моей, тем же издателем и, по-видимому, является непосредственным продолжением моей, была написана совершенно независимо, хотя и в то же время.

Признаюсь, как поклонник метафоры Лакоффа и бывший коллега Нуньеса, впервые прочитав их книгу, я с энтузиазмом согласился со всем, что они сказали. Но после размышлений, за которыми последовало второе, а затем и третье чтение, а также обсуждения с коллегами, особенно с израильским специалистом по математическому образованию Ури Лероном, начали закрадываться сомнения. Лакофф и Нуньес рисуют картину приобретения новых математических концепций и знание — это построение повторяющейся метафоры, где каждое новое понятие создается из совокупности знаний, уже полученных путем построения новой метафоры.

Итак, Лакофф и Нуньес не заявляют, что эти метафоры — сопоставления одной области с другой — являются преднамеренными или сознательными, хотя некоторые из них могут быть таковыми. Скорее, они стремятся описать механизм, с помощью которого мозг как физический орган расширяет область своей деятельности. Моя проблема и проблема других, с которыми я говорил, заключалась в том, что описанный ими процесс, хотя и правдоподобный (и, возможно, правильный) для того, как мы изучаем элементарную арифметику и, возможно, другие более базовые части математики, совсем не похож на способ (некоторые «многие» «большинство» все?) профессиональные математики изучают новую передовую область абстрактной математики.

Скорее, математик (по крайней мере, я и другие, кого я спрашивал) изучает новую математику так же, как люди учатся играть в шахматы. Сначала мы изучаем правила шахмат. Эти правила не имеют отношения ни к чему в нашем повседневном опыте. Они не имеют смысла. Это просто правила шахмат. Чтобы играть в шахматы, вам не нужно понимать правила или знать, откуда они взялись или что они «значат». Вы просто должны следовать им. В наши первые несколько попыток играть в шахматы мы слепо следуем правилам, без какого-либо понимания или понимания того, что мы делаем. И, если мы не играем с другим новичком, мы проигрываем. Но затем, после того, как мы сыграли несколько игр, правила начинают обретать для нас смысл — мы начинаем понимают их. Не с точки зрения реального мира или нашего предыдущего опыта, а с точки зрения самой игры. В конце концов, после того как мы сыграли много игр, правила забываются. Мы просто играем в шахматы. И это действительно имеет для нас смысл. Ходы имеют смысл (с точки зрения игры). Но это не процесс построения метафоры. Скорее, это одна из когнитивных самозагрузок (мой термин), когда мы используем тот факт, что благодаря сознательным усилиям мозг может научиться следовать произвольным и бессмысленным правилам, а затем, после того как наш мозг накопит достаточный опыт работы с этими правила, он начинает понимать их, и они приобретают смысл для нас. (По крайней мере, это так, если эти правила сформулированы и объединены таким образом, что структура позволяет это сделать.)

Это, как я уже сказал, способ, которым я и (по крайней мере, некоторые, если не большинство или все) другие профессиональные математики изучают новую математику. (Конечно, не во всех случаях. Иногда мы с самого начала видим, в чем суть новой игры.) Часто после того, как мы изучили новый материал в соответствии с правилами, мы можем связать его с тем, что знали ранее. . Другими словами, мы можем построить метафорическую карту, связывающую новое со старым. Но это возможно только после того, как мы завершим загрузку. Это не то, как мы этому научились. Точно так же опытные шахматисты часто описывают свою игру с помощью военных метафор, используя такие термины, как «угроза», «наступление», «отступление» и «усиление». Но ни один из них не имеет смысла, когда новичок только учится играть. Реальная метафора здесь зависит от достаточно глубокого понимания шахмат, это не ведет к нему.

Что ж, пока все это звучит как интересная дискуссия в кофейне на математическом факультете университета. Но вот беда. Если изучение продвинутой математики больше похоже на изучение шахмат, чем, скажем, на обучение ходьбе, обучению игре в теннис или обучению езде на велосипеде, когда мы начинаем с наших врожденных способностей, совершенствуем и практикуем их, то в какой момент Учебная программа K-университета начинается с этой «другой» математики?

Лерон, о котором я упоминал ранее, и другие представили некоторые убедительные доказательства того, что она определенно начинается — или уже началась — когда ученик знакомится с понятием математической функции. Как показали Лерон и другие, значительная часть 90 111 студентов-математиков университетов из 90 112 не имеет правильного представления о функции.

Ты? Вот простой тест. (Это гораздо проще, чем более проницательные, которые использовал Лерон.) Рассмотрим «функцию удвоения» y = 2x (или, если вы предпочитаете более сложную запись, f(x) = 2x. ) Вопрос: Когда вы начинаете с числа , что эта функция делает с ним?

Если вы ответили: «Это удваивает», вы ошиблись. Нет, теперь нельзя возвращаться назад и говорить: «Ну, на самом деле я имел в виду…» Этот первоначальный ответ был неправильным и показывает, что даже если вы «знаете» правильное определение, ваша основная концепция функции неверна. Функции, как они определены и постоянно используются в математике, ничего не делают ни с чем. Это не процессы. Они относятся к вещам. «Функция удвоения» связывает число 14 с числом 7, но не 9.0111 делать что угодно с 7. Функции — это не процессы, а объекты в математической сфере. Студент, который не полностью понял и усвоил это, чье основное понятие функции — это процесс, будет иметь трудности в исчислении, где функции очень определенно рассматриваются как объекты, которые вы делаете, что делаете — по крайней мере, иногда вы что-то делаете с ними; чаще вы применяете к ним другие функции, поэтому ничего не делаете, просто больше связываете. Обратите внимание, что я не утверждаю, как и Лерон, что эти студенты не понимают разницы между двумя альтернативными возможными понятиями функции или что они не понимают правильное (по согласованному определению) понятие. Вопрос в том, что — это их концепция функции?

Это не тривиальная проблема. Как математики узнали на протяжении многих веков, определения имеют значение. Тонкие различия имеют значение. Концепции имеют значение. Правильная концепция имеет значение. Если вы сделаете небольшое изменение в одном из правил шахмат, вы получите другую игру, то же самое и в (основанной на правилах) игре, которую мы называем математикой. В обоих случаях альтернативная игра, скорее всего, будет неинтересной и бесполезной.

Хорошо, мы выбрали тему в программе по математике, функции, и обнаружили, что многие люди — я подозреваю, что большинство людей — имеют «неправильное» представление о функции. Но «неправильно» здесь означает, что это не то, что используют математики (в исчислении и во всем, что на нем основано, что охватывает большую часть науки и техники, поэтому мы не говорим о чем-то, что в значительной степени не имеет значения). Разве это проблема, если большинство граждан воспринимают функции как процессы? Что ж, это проблема, которую они должны преодолеть, если хотят стать учеными, инженерами или кем-то еще. не легкое дело. Но как насчет остальных? Те, кто не ходит в университет и изучает научный предмет.

Ну, неправильная концепция функции может не быть проблемой для большинства людей, но концепция функции была просто примером. Мы до сих пор не ответили на изначальный вопрос: где заканчивается математика, «абстрагированная от повседневного опыта и разрабатываемая повторяющимися метафорами», и начинается «математика, основанная на правилах, которую необходимо загружать»?

Что, если математика, которая должна быть загружена для надлежащего освоения, включает в себя действительные числа? Что, если он включает отрицательные целые числа? Что, если он включает в себя понятие умножения (тема трех моих последних статей)? Что, если преподавание умножения как многократного сложения (см. предыдущие столбцы) или введение отрицательных чисел с использованием повседневной (явной) метафоры (например, долг денег) приводит к неправильному понятию, которое приводит к увеличению сложности позже, когда ребенку нужно будет двигаться дальше в математике? ?

Даже если — это проблема где-то в образовательной линии, можем ли мы что-нибудь с этим поделать? Есть ли альтернатива подходу «абстрагироваться от повседневного опыта», который мы в США принимаем как единственный способ обосновать математику K-8? Неужели это единственный способ для маленьких детей научиться этому? И если не единственный, то лучший ли это путь, учитывая цель как можно большего числа детей продвинуться по математическому пути как можно дальше?

Возможно, главный и, может быть, самый поразительный вопрос: применимы ли слова Кронекера к математическому образованию? Является ли начало со счета единственным или лучшим способом обучения математике маленьких детей в современном мире?

Ответам на эти вопросы будет посвящена колонка следующего месяца (где я также сдержу свое обещание вернуться к геометрии и комплексным числам в математическом образовании). Единственная подсказка, которую я дам сейчас, заключается в том, что в приведенном выше обсуждении я все время ссылался на «американское» образование.

И нет, я не собираюсь отстаивать какую-то конкретную философию математического образования. Как я уже неоднократно заявлял ранее, я не обучался элементарной математике и не имею непосредственного опыта в этой области. Но я могу и читаю слова тех, у кого есть такой опыт. По крайней мере еще один подход был разработан где-то в мире людьми с вышеупомянутыми необходимыми знаниями и опытом, и есть некоторые основания полагать, что альтернатива может быть лучше, чем та, которую мы используем здесь. Я говорю «может быть лучше», обратите внимание. Доказательства хорошие, но их пока недостаточно, и как всегда сложно интерпретировать результаты экспериментов в образовании. Но я воспринимаю имеющиеся данные как указание на то, что нам следует по крайней мере обсудить и оценить этот альтернативный подход, даже если мы сначала скептически относимся к тому, к чему он может привести.