Как решить номер по математике: Задача 1200 — Виленкин Математика 6 класс

Содержание

Решение задачи №19 ЕГЭ по математике. Советы репетитора

Анна Малкова

Задача 19 на профильном ЕГЭ по математике. Раньше ее называли С6. Самая страшная и загадочная. Самая нестандартная. Ни на что не похожая.

Конечно, не совсем… Она похожа на задачи олимпиад по математике. Но в школьных учебниках нет даже намека на эту задачу!

Уравнения в целых числах с несколькими неизвестными. Действия в неопределенной ситуации. Метод «Оценка плюс пример» (а многие о нем даже не слышали). И конечно, культура математических рассуждений. В школе такому не учат! И немногие репетиторы умеют решать задачу 19 профильного ЕГЭ по математике.

Зато она оценивается в целых 4 первичных балла, которые пересчитываются в 9-10 тестовых!

Есть хорошая новость. Можно научиться решать эту загадочную задачу! Более того – это нужно сделать, если вы хотите сдать ЕГЭ по математике на достойные баллы. Или если вы участвуете в олимпиадах по математике.

Многим выпускникам ЕГЭ-Студии эта задача дала необходимые для поступления баллы.

Откроем секрет. Оказывается, что один-два из четырех баллов за задачу 19 профильного ЕГЭ по математике буквально лежат у вас под ногами, и вам надо только нагнуться, чтобы взять их! Как это может быть? Смотрите видео! Учитесь строить оценки и находить нужные примеры. Без этого решить эту странную задачу невозможно. Вы узнаете также, как правильно оформлять решение задачи 19 на профильном ЕГЭ по математике.
Вот задача 19 из варианта ЕГЭ по математике 2017 года. Рассказывает Анна Малкова:

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Ну как, сможете решить хотя бы первый пункт задачи 19 на профильном ЕГЭ по математике? Стоит попробовать!

Чтобы научиться решать задачу 19 профильного ЕГЭ по математике, читайте книгу Анны Малковой «Математика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ» и смотрите видеокурс «Ключ к С6» из комплекта Премиум.

Удачи на ЕГЭ по математике!

Расскажи друзьям!

Как решить 13 задание ЕГЭ по математике, профильная математика Ростов-на-Дону

Учащиеся, приступающие к решению заданий повышенной сложности ЕГЭ по математике, чаще всего берутся за решение первого задания второй части, задания 13, из-за того, что оно проще остальных как по идейным соображениям, так и по техническому исполнению. Однако не всем удаётся избежать ошибок, а это влечёт снижение балла.

На реальных экзаменах последних лет в задании 13 требуется решить тригонометрическое уравнение и осуществить отбор корней, попадающих в заданный промежуток.

Эксперт, проверяющий выполнение учащимся задание, выставляет баллы в строгом соответствии с критериями, приведёнными в таблице:

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответы в пункте а

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Обращаем внимание на то, что в критериях нет ни слова о способах решения задания. Это означает, что выбор способа решения и формы записи остаётся за учащимся, и не оценивается, оценивается математическая грамотность, обоснованность и полнота приведённого решения и ответа, а также отсутствие или наличие вычислительных ошибок.

Полнота и правильность приведённого решения и ответа определяются:

1. Выбором метода решения уравнения.

2. Соответствием выбранному методу верной последовательности всех необходимых шагов решения.

3. Обоснованием основных моментов решения уравнения и отбора корней.

4. Правильным применением формул, выполнением преобразований и вычислений.

5. Верным ответом и его соответствием условию задачи.

Что нужно знать для успешного решения задания 13.

Пример 1. (Задание 13 ЕГЭ 2020 основная волна)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Так как то преобразуем первое слагаемое следующим образом: (конечно, можно сразу применить формулу понижения степени). Исходное уравнение примет вид

, , откуда

Если , то

Если , то = или = то есть = или =

б) Произведём отбор корней уравнения, принадлежащих отрезку с помощью неравенств (можно осуществить отбор корней с помощью единичной окружности).

1.

откуда k=3, k =4. .

2. . , . Нет целых n, удовлетворяющих этому неравенству.

3.

, , m=1,

Корни уравнения , принадлежат отрезку .

Ответ. а) ; б) , .

Обращаем внимание на то, что в критериях нет ни слова о способах решения задания. Это означает, что выбор способа решения и формы записи остаётся за учащимся, и не оценивается, оценивается математическая грамотность, обоснованность и полнота приведённого решения и ответа, а также отсутствие или наличие вычислительных ошибок.

Приведём пример решения задания 13 учащимся и комментарии эксперта.

Комментарий эксперта.

В пункте б) на тригонометрической окружности не установлено соответствие между обозначенными точками и найденными решениями (на окружности не отмечена точка В соответствии с критериями оценивается в 1 балл.

Пример 2.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. а) Обозначим Уравнение примет вид t+

или .

Вернёмся к исходной переменной.

x=

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку .

В указанном промежутке содержатся три корня

Ответ. а) x=

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ТОВАРЫ

как сдать ЕГЭ по профильной математике — Учёба.ру

Чем раньше начнешь готовиться к ЕГЭ,
тем выше будет балл Поможем подготовиться, чтобы сдать экзамены на максимум и поступить в топовые вузы на бюджет. Первый урок бесплатно

Что нужно делать школьнику, чтобы получить 100 баллов?

Чтобы получить 100 баллов, надо любить и понимать математику (быть математиком — по сути, по настроению, по образу жизни). Если школьник рассматривает математику как второстепенный предмет, как предмет, который просто необходимо сдать, например, когда речь идет о поступлении на экономические направления, он не сможет получить 100 баллов ни при каком раскладе. Максимальный балл требует, чтобы человек всем своим «нутром и состоянием своего мозга» был ориентирован на математику. Потому что есть задачи, которые требуют четкого, хорошего логического мышления и владения абсолютно всем материалом. В нужный момент необходимо выудить необходимые знания и применить их для решения задачи. Есть такие задачи, на которые натаскать по принципу «делай вот так» просто нельзя (например, задача № 19). Даже если школьник прекрасно знает математику, 100 баллов получить очень сложно. Это единичные случаи.

По вашему опыту преподавания, какие разделы математики самые сложные и вызывают наибольшие затруднения?

Сегодня для школьника самое сложное — это геометрия. К сожалению, культура геометрии в школе просто отсутствует. И еще, конечно, задачи с параметрами. Старшеклассники их панически боятся. Но ученик, который понимает математику, и с этими задачами справляется. Для их решения требуется именно понимание, а все необходимые для этого знания изложены в курсе школьной математики.

А вообще, в любой теме есть простой материал (азы), который лежит в основе задач из первой части ЕГЭ, и сложный материал, который лежит в основе задач второй части. Думаю, что если есть желание, то каждый в состоянии освоить азы любой темы из школьной программы по математике, а вот более глубокое понимание этих тем и умение решать сложные задачи по силам не всем.

Ни о каком везении разговора быть не может, если школьник хочет получить больше 80 баллов

А какие темы можно назвать самыми простыми?

Обычно школьники легко решают линейные и квадратные уравнения, но только в том случае, если в них нет параметра. Так что по темам «Линейная функция» и «Квадратичная функция» есть простые задачи, а есть сложные. И так по любой теме. Можно сформулировать простую задачу, а можно такую, что никто не решит.

Простыми темами можно считать те, на большинство задач по которым можно школьника натаскать. Простая задача — это гарантированно правильно решенная. А про ЕГЭ (особенно про задачи первой части) так вообще нельзя говорить. Например, школьник знает, как решить задачу, но допускает арифметическую ошибку или невнимательно читает условие (ищет одну величину, а для ответа надо еще что-то с ней сделать). В итоге получается неверный ответ. И задача не решена. И не важно, простая она была или сложная.

Присутствует ли на ЕГЭ по математике фактор везения? Возможно ли получить высокий балл, если знаешь предмет на более скромный результат?

Да, это возможно, но только если речь идет о результате в районе 75 баллов или меньше. Ни о каком везении разговора быть не может, если школьник хочет получить больше 80 баллов. Там нужно решать сложные задачи из второй части, а они требуют четкого обоснования решения, что для большинства является непосильным. Здесь должна быть стабильность.

А можно завалить экзамен, если знаешь предмет очень хорошо?

Элементарно. Арифметические ошибки, невнимательное чтение условия задачи и просто паника. Все это приводит талантливых учеников к более скромным результатам.

Что же делать? Есть «формула успеха», которая поможет подготовиться к ЕГЭ по математике?

Учить математику! Не натаскиваться по вариантам ЕГЭ, а систематически учить темы, разбираться, стараться понять. Тогда до многих задач школьник дойдет сам, своим умом, а это и есть залог успешной подготовки и высоких баллов. Математика — это, в первую очередь, понимание, а потом уже формулы и схемы решения. При подготовке методом натаскивания потолок — это 75 баллов. Одна и та же задача, сформулированная просто «с другого конца», натасканного ребенка деморализует. Он не может узнать знакомую задачу, а разобраться в «новой» сам не в состоянии.

Вот, например, задача № 17. Когда она появилась в вариантах диагностических работ, детям в школе начали давать формулы для ее решения. И школьники заучивали эти формулы, сопротивляясь попыткам учителей объяснить, откуда они взялись. Многие действовали методом «я знаю формулу и по ней буду решать». А на самом экзамене в условие внесли незначительное изменение, и ни одна из выученных формул не подходила. Как получить ту, которая позволит решить задачу, дети не знали. Вроде бы решили все 120 вариантов задания № 17, а на ЕГЭ дали 121-й вариант. В итоге те, кто не разбирался, задачу не решили.

Надо выбросить калькулятор и научиться считать без него

До ЕГЭ по математике осталось 3,5 месяца. Как вы посоветуете выпускникам распределить время, чтобы подготовиться наилучшим образом?

Во-первых, выбросить калькулятор и научиться считать без него. Во-вторых, повторить теорию и выучить формулы (именно сейчас, а не перед экзаменом): то есть подготовить базу, а дальше решать задачи. Можно решать из сборников вариантов ЕГЭ, но, к сожалению, там их не очень много и они часто повторяются.

Каждый ребенок ставит для себя определенную планку в зависимости от того, куда собирается поступать и как знает предмет. Если говорить о заданиях второй части ЕГЭ, то во время подготовки необходимо прежде всего обратить внимание на задачи № 13, № 15 и № 17. Их можно научиться решать. Если решение не вызывает проблем, можно переходить к задачам № 14 и № 16.

Задачи № 18 и № 19 — это, конечно, уже очень высокий уровень, но попробовать можно. Если эти задачи идут хорошо, то я не думаю, что надо тратить оставшееся время на курсы. Лучше решить больше задач самостоятельно. Если же возникают проблемы или неуверенность, что вы все решаете верно, не откладывая обращайтесь за помощью. Эффективная стратегия на этот период — решать, решать и решать!

Как готовиться к заданиям повышенной сложности

Задание № 10 Задача легкая. Здесь важно внимательно читать условие. Внимание на единицы измерения! Все величины подставлять в одних единицах измерения.
Задание № 11 Текстовая задача. Не считаю ее сложной. Обратите внимание на вопрос задачи, что именно спрашивают в условии и в каких единицах измерения необходимо записать ответ. Часто школьники пишут скорость не того пешехода или производительность не той трубы.
Задания № 13, № 15 Задания решаемые, но должна быть база по всем темам алгебры. Особенное внимание необходимо обратить на область определения (в особенности это касается логарифма, тангенса и котангенса). Нужно уметь применять те тождественные преобразования, которые помогут решить задачу, а не заведут в тупик, и знать все формулы наизусть.
Задания № 14, № 16 Задачи по геометрии. Самое сложное в них — это умение доказать. Для этого школьник должен владеть всем материалом планиметрии и стереометрии, знать все теоремы и следствия из них, уметь их доказывать. И еще важен чертеж! Он может либо стать эффективным инструментом и подсказать правильный ход решения, либо, если сделан некорректно, помешать решению задачи.
Задание № 17 Несложная задача. Это задание на умение формализовать текстовую задачу, то есть записать условие задачи в виде уравнений или неравенств (этого же требует и решение задачи № 11). На ЕГЭ под этим номером пока стабильно дают задачу на проценты. Теоретически может быть и задача на поиск оптимального решения, но такие варианты пока встречались только в диагностических работах. После формализации условия получается стандартная математическая задача о нахождении экстремума функции или на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке (аналогично задаче № 12). Здесь важно не пользоваться готовыми формулами, а разбираться, почему в этой задаче так, а в другой иначе. Только тогда можно научиться переводить условие текстовой задачи на язык математики.
Задание № 18 Для решения этой задачи необходимо отличное владение предметом. Поможет ее решить знание свойств элементарных функций, умение исследовать функции и строить их графики. Все это есть в школьном курсе математики.
Задание № 19 Это задача для тех, кому интересна математика. В ходе решения может возникнуть необходимость обратиться к любому разделу предмета из программы любого класса. Нужно найти в своей голове и грамотно применить эти знания. В одной задаче может сочетаться арифметическая прогрессия со свойствами делимости чисел и нахождением наибольшего значения. Для решения этой задачи нужно понимать, когда достаточно привести пример, а когда необходимо строгое обоснование.

Новые критерии оценивания ЕГЭ по математике 2021

Задания 1 - 12 Каждое из заданий с 1 по 12 считается выполненным верно, если
экзаменуемый предоставил ответ в виде целого числа либо конечной
десятичной дроби. Каждое правильно выполненное задание оценивается на 1 балл.
Задание 13 Получены верные ответы в обоих пунктах с развернутым решением – 2 балла.

Получен правильный ответ в пункте а или б, либо
получены неправильные ответы из-за вычислительной ошибки, но имеется корректная последовательность всех шагов
решения двух пунктов а и б – 1 балл.

Решение задения не верно – 0 баллов.

Задание 14 Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б – 2 балла.

Выполнен только один из пунктов – а или б – 1 балл.

Решение не соответствует ни одному из критериев,
приведённых выше – 0 баллов.

Задание 15 Получен правильный ответ с последовательным и аргументированным решением – 2 балла.

Обоснованно получен ответ, отличающийся от правильного (не верно
указаны скобки ( или [, пропущен 0 в ответе), либо получен неправильный ответ из-за вычислительной ошибки, но имеется правильная последовательность этапов решения задания – 1 балл.

Решение задачи не верное – 0 баллов.

Задание 16 Имеется правильное доказательство утверждения пункта "а", и
аргументированно получен правильный ответ в пункте "б" – 3 балла.

Получен правильный ответ в пункте "б", либо имеется верное доказательство утверждения пункта "а", и при аргументированном решении пункта "б" получен неправильный ответ из-за арифметической ошибки – 2 балла.

Имеется верное доказательство утверждения пункта "а",
либо при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ
из-за арифметической ошибки, либо обоснованно получен верный ответ в пункте "б" с использованием утверждения пункта "а", при этом пункт "а" не выполнен – 1 балл.

Решение задачи не верное – 0 баллов.

Задание 17 Аргументированно получен правильный ответ – 3 балла

Правильно построена математическая модель, решение сведено к
анализу данной модели и получен результат:

  • неправильный ответ из-за вычислительной ошибки;
  • правильный ответ, но решение недостаточно аргументировано – 2 балла.
Верно построена математическая модель, решение сведено к
исследованию этой модели, однако, решение задачи не
завершено – 1 балл.

Решение задачи не правильное, либо отсутствует – 0 баллов.

Задание 18 Аргументированно получен правильный ответ – 4 балла.

С помощью правильного рассуждения получено множество
значений "а", отличающееся от искомого конечным числом
точек – 3 балла.

С помощью правильного рассуждения получена часть
промежутка либо включены граничные точки – 2 балла.

Правильно получена хотя бы одна граничная точка искомого
множества значений "а" – 1 балл.

Решение не соответствует ни одному из критериев,
приведённых выше – 0 баллов.

Задание 19 Правильно получены все перечисленные результаты
  • аргументированное решение пункта "а";
  • аргументированное решение пункта "б";
  • искомая оценка в пункте "в";
  • пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей
оценки  4 балла.

Верно получены три из указанных результатов – 3 балла

Верно получены два из указанных результатов – 2 балла

Верно получен один из указанных результатов – 1 балл.

Решение задачи не верное, либо отсутствует.

Задание 3 ЕГЭ математика профильный уровень

За третьим заданием негласно закрепилось название «фигура на бумаге в клетку». В задании представлена какая-либо фигура (круг, четырехугольник, треугольник или угол) на клетчатой бумаге.

Проверяется знание основ планиметрии: определений, наиболее известных теорем и формул.

Тип задания: с кратким ответом
Уровень сложности: базовый
Количество баллов: 1
Примерное время на выполнение: 2 минуты

В заданиях встречаются фигуры: угол, все виды треугольников, произвольный выпуклый четырехугольник, трапеция (в том числе равнобедренная и прямоугольная), параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, круг.

При решении надо учитывать, что размер клетки 1*1см. В заданиях это указано. Очень редко попадаются другие размеры клетки – надо внимательно читать задание.

По умолчанию считается, что ученик легко находит на бумаге в клетку углы в 180, 135, 90 и 45 градусов.

Вершины многоугольников и центры окружностей во всех заданиях лежат в вершинах клеток (имеют целые координаты). Однако концы искомых отрезков, например, средней линии трапеции, могут иметь произвольные координаты. Но всё очень легко вычисляется по формулам.

При подготовке полезно пользоваться прилагающимися к билету справочными материалами, даже если вам все это давно и отлично знакомо. В самый ответственный момент эта привычка может оказаться полезной. Во время решения третьего задания на экзамене большинство сдающих еще находятся в состоянии стресса от процедуры начала экзамена. Поэтому навык использования справочных материалов снижает риск ошибки и даже оказывает некоторую психологическую поддержку.

Определения, а также свойства фигур и их элементов, в справочных материалах не даются. Их надо знать. Все они изучаются в курсе геометрии за 7-8 класс. При подготовке к экзамену полезно выписать из учебника теоремы и время от времени перечитывать их.

Сложных вычислений в третьем задании нет. Бываю задания, где достаточно знать определение, а искомую величину можно отсчитать по клеточкам. Если решение получается в несколько действий – ищите способ проще.

Большинство задач можно решить несколькими способами.

Пример №1

Найдите большую диагональ ромба.

Решение: Собственно, все, что нужно знать – определение диагонали и понятие больше-меньше.

Ответ: 4 см.

Удивительно, что в профильной математике встречаются такие задания. И в них тоже допускают ошибки. Видимо, от неожиданности уровня сложности.

Далее для разбора выбраны наиболее сложные задачи, встречавшиеся в третьем задании на экзаменах прошлых лет.

Пример №2

Найдите площадь треугольника.

Решение:

1) Достроим фигуру до прямоугольника. Его площадь равна 6*4=24

2) Найдем площади «лишних» прямоугольных треугольников

(4*4)/2=8 (зеленый)
(2*2)/2=2 (синий)
(6*2)/2=6 (красный)

3) Вычтем из площади прямоугольника лишние площади треугольников: 24-8-2-6=8

Ответ: 8. 2)=2sqrt2 (два корня из двух)

3) Площадь искомого треугольника равна половине произведения катетов: (4sqrt2*2sqrt2)/2=(4*2*2)/2=8

Ответ: 8.

Пример №3

Найдите площадь многоугольника

Решение: Разобьем многоугольник на удобные фигуры и найдем их площади.

Площадь зеленого треугольника 1*3/2=1,5
Площадь синего треугольника 2*1/2=1
Площадь красного треугольника 1*2/2=1
Площадь квадрата 2*2=4
Площадь многоугольника равна их сумме: 1,5+1+1+4=7,5

Ответ: 7,5.

Эту задачу можно решить и вычитанием из площади прямоугольника.

Ответ: 7,5.

Пример №4

Найти площадь многоугольника.

Решение: Можно найти площадь вычитанием, как и в предыдущих заданиях.

Но быстрее можно получить результат с помощью формулы Пика. Для этого нужно сосчитать точки с целыми координатами внутри фигуры (синие) и точки с целыми координатами на контуре фигуры (красные).

Далее к числу точек внутри многоугольника прибавить половину точек на контуре и вычесть единицу.

7+9/2-1=10,5

Ответ: 10,5

Формула Пика не указана в кодификаторе, применять ее при решении заданий с развернутым ответом нельзя. Но в заданиях с кратким ответом она позволяет сэкономить время. Проверьте справедливость формулы на предыдущих примерах.

Пример № 5

Найдите градусную меру угла АВС.

Решение: Точка А имеет нецелые координаты, однако теорема о вписанном и центральном углах позволяет легко решить задачу.

Проведем радиусы в точки А и С.

По рисунку видно, что центральный угол АОС равен 135 градусам. Вписанный угол АВС опирается на те же точки окружности А и С. Согласно теореме, он в два раза меньше центрального.

135/2=67,5

Ответ: 67,5.

Пример №6

Найдите тангенс угла.

Решение: Выделим смежный острый угол.

Выделим прямоугольный треугольник с целочисленными координатами вершин, содержащий этот угол. Найдем тангенс острого угла как отношение противолежащего (зеленого) катета к прилежащему (синему).

tgA=4/1=4

Тангенс смежного тупого угла противоположен по знаку.

Ответ: -4.

 

В завершении хочется еще раз напомнить: листы с заданиями не проверяются. Можно все необходимые построения и вычисления делать прямо на рисунке. Это позволяет избежать ошибок по невнимательности.

Профессиональный преподаватель также сделал подробный разбор 1 и 2 задания, с которыми можно ознакомиться по ссылкам.

Подготовка к ОГЭ по математике 2021: инструкция

Математика — один из двух предметов, которые необходимо сдать, чтобы получить аттестат об основном общем образовании. Рассказываем о структуре экзамена и типичных ошибках, даём полезные советы по подготовке и дарим ценный промокод в конце статьи.

Структура экзамена

Работа по математике состоит из двух частей. В первой части 20 заданий (1-20) базового уровня сложности. Во второй части 6 заданий (21-26) повышенного и высокого уровня сложности.

Всего за экзамен можно получить 32 балла. Чтобы пройти аттестационный порог, вам нужно набрать не менее 8 баллов, два из которых должны быть получены за решение задач по геометрии (номера 16-20, 24-26).

На выполнение всех заданий отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Вместе с КИМом на экзамене вам предоставляют справочные материалы по алгебре и геометрии. Также вы можете пользоваться черновиком. Сделанные на нём записи не рассматриваются при оценивании, поэтому смело записывайте всё, что необходимо, и не бойтесь исправлять ошибки.

Распространённые ошибки: как их не допускать

Задания 1-5 ФИПИ, демонстрационный вариант ЕГЭ 2021

Несмотря на простоту этих заданий, многие школьники совершают в них ошибки. Обязательно читайте условия задач, чтобы не пропустить важные детали. Если необходимо, выписывайте всё на черновик, чертите на рисунках в КИМах.

ФИПИ, демонстрационный вариант ЕГЭ 2021

Задание 11

Это задание на установление соответствия между графиками функций и формулами, которые их задают. Часто учащиеся просто пытаются справиться с ним наугад. Вместо этого попробуйте подставить значения x и y.

ФИПИ, демонстрационный вариант ЕГЭ 2021

Задание 12

В этом задании из несложной формулы необходимо выразить одну из величин, найти её значение, а ответ записать в указанных единицах измерения. Чаще всего ошибки появляются именно на последнем этапе, поэтому будьте внимательны при переводе чисел.

ФИПИ, демонстрационный вариант ЕГЭ 2021

Задания 13 и 20

При решении алгебраических уравнений или неравенств ученик либо теряет решение, либо получает постороннее. И то, и другое лишает его 1-2 баллов. Также не забывайте, что при умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется.

ФИПИ, демонстрационный вариант ЕГЭ 2021ФИПИ, демонстрационный вариант ЕГЭ 2021

Задание 21 ФИПИ, демонстрационный вариант ЕГЭ 2021

Сделайте таблицу и заполните её известными величинами и переменными. Это позволит вам иначе взглянуть на задание и составить необходимые уравнения.

Задание 22 ФИПИ, демонстрационный вариант ЕГЭ 2021

Чтобы построить функцию, нужно знать её свойства (линейная, квадратичная, функция, отражающая обратно пропорциональную зависимость). Практикуйтесь в правильном построении графиков и ознакомьтесь с правилами их преобразования. Часто в задании нужно преобразовать формулу исходной функции, что значительно упрощает её. Только помните: область определения исходной и получившейся функции могут не совпадать.

Лайфхаки по подготовке

Идите от простого к сложному

Сначала легче понять и выучить основы. С их помощью вы сможете решать более сложные задачки.  

Читайте учебники и статьи в интернете

Для самостоятельного изучения теории математики вы можете читать школьные учебники и интернет-ресурсы. На нашем сайте есть открытая библиотека знаний, в которой вы найдёте разборы заданий ОГЭ, полезные памятки и упражнения. Доступ к ней можно получить после регистрации. 

Не забывайте практиковаться

Решение практических заданий поможет не только лучше понять тему, но и закрепит полученные знания. Есть множество сборников с заданиями из КИМов. В тематических для каждой темы подобраны все виды заданий ОГЭ (начать подготовку лучше именно с них), а в типовых варианты представлены в том виде, в котором они будут на экзаменах. Мы рекомендуем вам сборники под редакцией Ф.Ф. Лысенко.

Ведите записи

Обязательно заведите тетрадь, в которой будете конспектировать всю полезную информацию: формулы, доказательства, признаки, свойства и т.д. Это поможет систематизировать ваши знания. К тому же, тетрадь станет вашей личной шпаргалкой для повторения материала перед экзаменом. 

Пользуйтесь разрешёнными шпаргалками

Кроме КИМов, на экзамене вам выдадут вспомогательные материалы по алгебре и геометрии. Научитесь ими пользоваться, и сдавать ОГЭ по математике вам будет гораздо легче. 

Обращайтесь за помощью

Если вы понимаете, что в некоторых темах разобраться самостоятельно не получается, вы всегда можете заручиться поддержкой школьного учителя или начать заниматься с репетитором. В последнем случае можно заниматься где угодно и когда угодно. Под руководством опытного преподавателя вы не только освоите азы науки, но и получите более углубленные знания, а также узнаете обо всех хитростях экзамена. Для продуктивных занятий дарим промокод blog20, который дарит +1 занятие при покупке пакета уроков. Используйте его сейчас или сразу после пробного занятия!

Решебник Ткачук В.

В "Математика - абитуриенту"

Домашние задания  с ответами и решениями к урокам
В.В. Ткачук  "Математика - абитуриенту"

РЕШЕНИЯ В ВИДЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ. ЕСЛИ ВЫ НЕ ВИДИТЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ, НАПИШИТЕ В КОНТАКТЫ НОМЕР УРОКА

1. Тригонометрия
Урок 1. Сведение к квадратным уравнениям  Решение  1 - 5   6-10   11-14   15-17   18-20  21-23
Урок 2. Группировка и разложение на множители  Решение  1-4   5-7   8-10   11-12  13-14  15-18  19-20
Урок 3. Сведение к однородным уравнениям  Решение  1-2   3-7   8-11  12-13   14-15   16-17   18-20
Урок 4. Преобразование сумм в произведения и произведений в суммы  Решение 1-2 3-4 5-6 7-9 10-11 12-13 14-16 17-19 20-22 23-26 27-30 31-34
Урок 5. Метод вспомогательного аргумента Решение 1-5  6-9  10-12  13-15
Урок 6. Системы тригонометрических уравнений
Урок 7. Обратные тригонометрические функции
2. Простейшие уравнения и неравенства
Урок 8. Уравнения и неравенства с модулями Решение  1-4  5-6  7-10  11-16  17-19   20
Урок 9. Рациональные уравнения и неравенства Решение  1-5   6-11  12-14  15-17  18-20
Урок 10. Уравнения и неравенства с радикалами  Решение  1-4  5-8  9-13  14-16  17-20  21-24   25-28   29-30
3. Алгебраические системы
Урок 11. Системы уравнений и неравенств, возникающие из текстовых задач Решение 1-4  5-9  10-13 14-16
Урок 12. Сложные системы уравнений Решение 1-5  6  7-9  10-11  12-14  15-16  17-18
4. Текстовые задачи
Урок 13. Движение Решение 1-3, 21
Урок 14. Работа
Урок 15. Смеси
Урок 16. Оптимальный выбор и целые числа
Урок 17. Прогрессии  Решение 1-3  4-6  7-9  10-11   12-15
5. Более сложные уравнения и неравенства
Урок 18. Показательные уравнения, неравенства и системы Решение 1-4  5-10  11-14  15-20  21-24  25-27  28-30
Урок 19. Логарифмические уравнения, неравенства и системы Решение  1-3  4-5  6-9  10-13  14-17  18-20 21-22 23-26 27-29 30-32 33-36
Урок 20. Смешанная тригонометрия
Урок 21. Задачи, содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы Решение  1-3  4-6  7-9
6. Начала анализа
Урок 22. Вычисление производной Решение 1-14  15-20
Урок 23. Применения производной
Урок 24. Касательная Решение  1-2
Урок 25. Плоские множества
7. Планиметрия
Урок 26. Общие треугольники
Урок 27. Прямоугольные треугольники
Урок 28. Подобие
Урок 29. Площади
Урок 30. Параллелограммы и трапеции Решение 1-2
Урок 31. Окружности
Урок 32. Общие 4-угольники
Урок 33. Геометрические места точек
Урок 34. Построения циркулем и линейкой
8. Задачи с параметрами
Урок 35. Квадратные уравнения и неравенства Решение 1-3
Урок 36. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра
Урок 37. Логические задачи. Необходимость и достаточность
Урок 38. Более сложные логические задачи
9. Нестандартные задачи
Урок 39. Метод мажорант
Урок 40. Использование различных свойств функций
Урок 41. Удачная подстановка или группировка
Урок 42. Геометрический подход
10. Стереометрия
Урок 43. Тривиальные задачи
Урок 44. Вспомогательные задачи
Урок 45. Тетраэдры
Урок 46. Параллелепипеды и призмы Решение 10
Урок 47. Более сложные многогранники
Урок 48. Сферы, цилиндры, конусы
Урок 49. Векторы
Урок 50. Геометрические места точек

Использование стратегии решения проблем для решения числовых задач

Результаты обучения

    • Применяйте общую стратегию решения проблем к числовым задачам
  • Определите, сколько чисел вы решаете для данной числовой задачи
  • Решить последовательные целочисленные задачи

Теперь переведем и решим числовые задачи. В числовых задачах вам даются подсказки об одном или нескольких числах, и вы используете эти подсказки для построения уравнения.Проблемы с числами обычно не возникают каждый день, но они дают хорошее введение в практику стратегии решения проблем. Не забудьте искать ключевые слова, такие как разница , и и .

Пример

Разница между числом и шестью [латекс] 13 [/ латекс]. Найдите номер.

Решение:

Шаг 1. Прочтите о проблеме. Вы понимаете все слова?
Шаг 2. Определите , что вы ищете. номер
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для представления числа. Пусть [латекс] n = \ text {число} [/ latex]
Шаг 4. Перевести. Перефразируйте одним предложением.

Перевести в уравнение.

[латекс] n-6 \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Разница числа и 6

[latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] - это

[латекс] 13 \ Enspace \ Rightarrow [/ латекс] тринадцать

Шаг 5. Решите уравнение.

Добавьте 6 с обеих сторон.

Упростить.

[латекс] n-6 = 13 [/ латекс]

[латекс] n-6 \ color {red} {+ 6} = 13 \ color {red} {+ 6} [/ latex]

[латекс] n = 19 [/ латекс]

Шаг 6. Проверка:

Разница между [латексом] 19 [/ латексом] и [латексом] 6 [/ латексом] составляет [латекс] 13 [/ латекс]. Это проверяет.

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Номер [латекс] 19 [/ латекс].

пример

Сумма двойного числа и семи составляет [латекс] 15 [/ латекс]. Найдите номер.

Показать решение

Решение:

Шаг 1. Прочтите о проблеме.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. номер
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для представления числа. Пусть [латекс] n = \ text {число} [/ latex]
Шаг 4. Перевести. Переформулируйте проблему одним предложением.

Перевести в уравнение.

[латекс] 2n \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Сумма удвоенного числа

[латекс] + \ enspace \ Rightarrow [/ latex] и

[латекс] 7 \ Enspace \ Rightarrow [/ латекс] семь

[latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] - это

[латекс] 15 \ Enspace \ Rightarrow [/ латекс] пятнадцать

Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] 2n + 7 = 15 [/ латекс]
Вычтите 7 с каждой стороны и упростите. [латекс] 2n = 8 [/ латекс]
Разделите каждую сторону на 2 и упростите. [латекс] n = 4 [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: является ли сумма дважды [латекс] 4 [/ латекс] и [латекс] 7 [/ латекс] равной [латексу] 15 [/ латексу]?

[латекс] 2 \ cdot {4} + 7 = 15 [/ латекс]

[латекс] 8 + 7 = 15 [/ латекс]

[латекс] 15 = 15 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Номер [латекс] 4 [/ латекс].

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть еще один пример решения числовой задачи.

Решение двух или более чисел

В некоторых задачах с числовыми словами вам предлагается найти два или более чисел. Может возникнуть соблазн назвать их все разными переменными, но до сих пор мы решали уравнения только с одной переменной. Мы определим числа в терминах одной и той же переменной.Обязательно внимательно прочтите задачу, чтобы узнать, как все числа соотносятся друг с другом.

пример

Одно число на пять больше другого. Сумма чисел - двадцать один. Найдите числа.

Показать решение

Решение:

Шаг 1. Прочтите о проблеме.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. Вы ищете два числа.
Шаг 3.{\ text {nd}} \ text {number} [/ latex]

Шаг 4. Перевести.

Переформулируйте проблему как одно предложение со всей важной информацией.

Перевести в уравнение.

Подставьте переменные выражения.

Сумма чисел [латекс] 21 [/ латекс].

Сумма 1-го числа и 2-го числа составляет [латекс] 21 [/ латекс].

[латекс] n \ Enspace \ Rightarrow [/ latex] Первое число

[латекс] + \ enspace \ Rightarrow [/ latex] +

[латекс] n + 5 \ Enspace \ Rightarrow [/ latex] Второй номер

[латекс] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] =

[латекс] 21 \ Enspace \ Rightarrow [/ латекс] 21

Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] n + n + 5 = 21 [/ латекс]
Объедините похожие термины. [латекс] 2n + 5 = 21 [/ латекс]
Вычтите пять с обеих сторон и упростите. [латекс] 2n = 16 [/ латекс]
Разделите на два и упростите. [латекс] n = 8 [/ латекс] 1-й номер
Найдите и второе число. [латекс] n + 5 [/ латекс] 2-й номер
Заменитель [латекс] n = 8 [/ латекс] [латекс] \ color {красный} {8} +5 [/ латекс]
[латекс] 13 [/ латекс]
Шаг 6. Чек:
Эти номера определяют проблему?

Одно число 5 больше, чем другое?

Тринадцать, 5 больше, чем 8? Да.

Сумма двух чисел равна 21?

[латекс] 13 \ stackrel {\ text {?}} {=} 8 + 5 [/ латекс]

[латекс] 13 = 13 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

[латекс] 8 + 13 \ stackrel {\ text {?}} {=} 21 [/ латекс]

[латекс] 21 = 21 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Номера: [латекс] 8 [/ латекс] и [латекс] 13 [/ латекс].

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть еще один пример того, как найти два числа с учетом отношения между ними.

пример

Сумма двух чисел равна четырнадцати отрицательным. Одно число на четыре меньше другого. Найдите числа.

Показать решение

Решение:

Шаг 1.{\ text {nd}} \ text {number} [/ latex]

Шаг 4. Перевести.

Напишите как одно предложение.

Перевести в уравнение.

Подставьте переменные выражения.

Сумма двух чисел равна четырнадцати отрицательным.

[латекс] n \ Enspace \ Rightarrow [/ latex] Первое число

[латекс] + \ enspace \ Rightarrow [/ latex] +

[латекс] n-4 \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Второй номер

[латекс] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] =

[латекс] -14 \ Enspace \ Rightarrow [/ латекс] -14

Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] n + n-4 = -14 [/ латекс]
Объедините похожие термины. [латекс] 2n-4 = -14 [/ латекс]
Добавьте по 4 с каждой стороны и упростите. [латекс] 2n = -10 [/ латекс]
Разделить на 2. [латекс] n = -5 [/ латекс] 1-й номер
Замените [латекс] n = -5 [/ латекс], чтобы найти 2 и номер . [латекс] н-4 [/ латекс] 2-й номер
[латекс] \ color {red} {- 5} -4 [/ латекс]
[латекс] -9 [/ латекс]
Шаг 6. Чек:
Разве −9 четыре меньше −5?

Их сумма равна −14?

[латекс] -5-4 \ stackrel {\ text {?}} {=} - 9 [/ латекс]

[латекс] -9 = -9 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

[латекс] -5 + (- 9) \ stackrel {\ text {?}} {=} - 14 [/ латекс]

[латекс] -14 = -14 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Цифры: [латекс] -5 [/ латекс] и [латекс] -9 [/ латекс].

пример

Одно число на десять больше, чем в два раза больше другого. Их сумма равна единице. Найдите числа.

Показать решение

Решение:

Шаг 1. Прочтите о проблеме.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. два числа
Шаг 3. Имя. Выберите переменную.

Одно число на десять больше, чем в два раза больше другого.{\ text {nd}} \ text {number} [/ latex]

Шаг 4. Перевести. Перефразируйте одним предложением. Их сумма равна единице.
Перевести в уравнение [латекс] x + (2x + 10) \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Сумма двух чисел

[latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] - это

[латекс] 1 \ enpace \ Rightarrow [/ латекс] 1

Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] x + 2x + 10 = 1 [/ латекс]
Объедините похожие термины. [латекс] 3x + 10 = 1 [/ латекс]
Вычтите 10 с каждой стороны. [латекс] 3x = -9 [/ латекс]
Разделите каждую сторону на 3, чтобы получить первое число. [латекс] x = -3 [/ латекс]
Замените, чтобы получить второй номер. [латекс] 2x + 10 [/ латекс]
[латекс] 2 (\ color {red} {- 3}) + 10 [/ латекс]
[латекс] 4 [/ латекс]
Шаг 6. Проверить.
Является ли 4 десять больше, чем дважды −3?

Их сумма равна 1?

[латекс] 2 (-3) +10 \ stackrel {\ text {?}} {=} 4 [/ латекс]

[латекс] -6 + 10 = 4 [/ латекс]

[латекс] 4 = 4 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

[латекс] -3 + 4 \ stackrel {\ text {?}} {=} 1 [/ латекс]

[латекс] 1 = 1 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Цифры: [латекс] -3 [/ латекс] и [латекс] 4 [/ латекс].

Решение для последовательных целых чисел

Целые числа, идущие подряд, - это целые числа, следующие друг за другом. Вот несколько примеров последовательных целых чисел:

[латекс] \ begin {массив} {c} \ phantom {\ rule {0.2} {0ex}} \\ \ phantom {\ rule {0.2} {0ex}} \\ \ phantom {\ rule {0.2} {0ex }} \\ \ phantom {\ rule {0.2} {0ex}} \\ \ hfill \ text {…} 1,2,3,4 \ text {,…} \ hfill \ end {array} [/ latex]
[латекс] \ text {…} -10, -9, -8, -7 \ text {,…} [/ latex]
[latex] \ text {…} 150,151,152,153 \ text {,…} [/ latex]
Обратите внимание, что каждое число на единицу больше предыдущего.Итак, если мы определим первое целое число как [latex] n [/ latex], следующее последовательное целое число будет [latex] n + 1 [/ latex]. Следующий за ним на единицу больше, чем [latex] n + 1 [/ latex], так что это [latex] n + 1 + 1 [/ latex] или [latex] n + 2 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {cccc} n \ hfill & & & \ text {1-е целое число} \ hfill \\ n + 1 \ hfill & & & \ text {2-е целое число подряд} \ hfill \\ n + 2 \ hfill & & & \ text {3-е целое число подряд} \ hfill \ end {array} [/ latex]

пример

Сумма двух последовательных целых чисел [латекс] 47 [/ латекс].Найдите числа.

Решение:

Шаг 1. Прочтите о проблеме.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. два последовательных целых числа
Шаг 3. Имя. Пусть [латекс] n = \ text {1-е целое число} [/ latex]

[латекс] n + 1 = \ text {следующее последовательное целое число} [/ латекс]

Шаг 4. Перевести.

Перефразировать одним предложением.

Перевести в уравнение.

[латекс] n + n + 1 \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Сумма целых чисел

[latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] - это

[латекс] 47 \ Enspace \ Rightarrow [/ латекс] 47

Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] n + n + 1 = 47 [/ латекс]
Объедините похожие термины. [латекс] 2n + 1 = 47 [/ латекс]
Вычтите по 1 с каждой стороны. [латекс] 2n = 46 [/ латекс]
Разделите каждую сторону на 2. [латекс] n = 23 [/ латекс] 1-е целое число
Замените, чтобы получить второй номер. [латекс] n + 1 [/ латекс] 2-е целое число
[латекс] \ color {красный} {23} +1 [/ латекс]
[латекс] 24 [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: [латекс] 23 + 24 \ stackrel {\ text {?}} {=} 47 [/ латекс]

[латекс] 47 = 47 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Два последовательных целых числа: [латекс] 23 [/ латекс] и [латекс] 24 [/ латекс].

пример

Найдите три последовательных целых числа, сумма которых равна [латекс] 42 [/ латекс].

Показать решение

Решение:

Шаг 1. Прочтите о проблеме.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. три последовательных целых числа
Шаг 3. Имя. Пусть [латекс] n = \ text {1-е целое число} [/ latex]

[латекс] n + 1 = \ text {2-е целое число подряд} [/ латекс]

[латекс] n + 2 = \ text {3-е целое число подряд} [/ латекс]

Шаг 4. Перевести.

Перефразировать одним предложением.

Перевести в уравнение.

[латекс] n \ enspace + \ enspace n + 1 \ enspace + \ enspace n + 2 \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Сумма трех целых чисел

[latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] - это

[латекс] 42 \ Enspace \ Rightarrow [/ латекс] 42

Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] n + n + 1 + n + 2 = 42 [/ латекс]
Объедините похожие термины. [латекс] 3n + 3 = 42 [/ латекс]
Вычтите по 3 с каждой стороны. [латекс] 3n = 39 [/ латекс]
Разделим каждую сторону на 3. [латекс] n = 13 [/ латекс] 1-е целое число
Замените, чтобы получить второй номер. [латекс] n + 1 [/ латекс] 2-е целое число
[латекс] \ color {красный} {13} +1 [/ латекс]
[латекс] 24 [/ латекс]
Замените, чтобы получить третий номер. [латекс] n + 2 [/ латекс] 3-е целое число
[латекс] \ color {красный} {13} +2 [/ латекс]
[латекс] 15 [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: [латекс] 13 + 14 + 15 \ stackrel {\ text {?}} {=} 42 [/ латекс]

[латекс] 42 = 42 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Три последовательных целых числа: [латекс] 13 [/ латекс], [латекс] 14 [/ латекс] и [латекс] 15 [/ латекс].

Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример того, как найти три последовательных целых числа по их сумме.

Обучение абсолютному значению числа в математике

Урок 2: Разработка концепции

Материалы: Каталожные карточки или цифровые «карточки», которые могут распространяться среди представителей класса

.

Стандарты:

  • Под абсолютным значением рационального числа понимается его расстояние от 0 на числовой прямой.(6.NS.C.7.C)

Подготовка: Сделайте карточки для У меня есть… У кого есть?

Заключительная и оценочная игра

  • Попросите учащихся написать и поделиться своими определениями и примерами из реальной жизни ситуаций абсолютной ценности.
  • Играть У меня есть ... у кого есть? Составьте набор из 15 учетных карточек с уравнениями абсолютных значений и 15 учетных карточек, содержащих значения переменной. Если учетные карточки недоступны или вы адаптируете это для удаленного обучения, создайте способ, чтобы 30 приведенных ниже уравнений были распределены среди ваших учеников как можно более равномерно.
Карты абсолютного значения Карты переменного значения
| x + 5 | = 20 x = 15
| 5 - x | = 30 x = –25
| x + 6 | = 41 x = 35
| –27 - x | = 20 x = –47
–7 + | x | = 0 x = –7
| 25 - x | = 18 x = 7
| x + –5 | = 38 x = 43
| 37 - x | = 70 x = –33
114 - | x | = 7 x = 107
| - x + 100 | = 21 x = 121
- | 1 + x | = -80 x = 79
| x | = 81 x = –81
| x + 3 | = 84 x = 81
| 25 + x | = 62 x = –87
| x - 26 | = 11 x = 37

Каждая указанная карта абсолютного значения имеет два значения: x .Эти значения перекрываются, так что каждая карта значений переменных удовлетворяет двум из заданных уравнений абсолютного значения (первое и второе значения удовлетворяют первому уравнению, второе и третье значения удовлетворяют второму уравнению и т. Д., Пока последнее и первое значения не удовлетворяют требованиям последнее уравнение).

Распределите карточки или уравнения поровну. Убедитесь, что все они были розданы. Выберите ученика, который скажет «У меня есть», а затем прочтите значение или уравнение на его карточке. Затем попросите учащегося сказать: «У кого есть совпадение для моей карты?» Любой ученик, у которого есть совпадение, должен сказать: «У меня есть… у кого есть…», и игра продолжается до тех пор, пока не будут прочитаны все карточки.Вы можете попросить учащихся встать, когда игра начнется, и сесть, пока они предлагают ответ. Чтобы заинтересовать всех, предложите награду за успешное прохождение игры, поощряя вызовы к подозрительным ответам.

***

Ищете другие бесплатные уроки математики и мероприятия для учеников средней школы? Обязательно ознакомьтесь с нашим центром бесплатных учебных ресурсов.

Мнимые числа

Мнимое число в квадрате дает отрицательный результат .

Попробовать

Давайте попробуем возвести в квадрат некоторые числа, чтобы увидеть, можем ли мы получить отрицательный результат:

Не повезло! Всегда положительный или ноль.

Похоже, что мы не можем умножить число на само по себе, чтобы получить отрицательный ответ ...

... но представьте , что существует такое число (назовем его i для воображаемого), которое могло бы сделать это:

Будет ли это полезно и что мы можем с этим сделать?

Итак, извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем:

Это означает, что i является ответом на квадратный корень из −1.

Что на самом деле очень полезно , потому что ...

... просто принимая , что i существует, мы можем решить задачи
, для которых нужен квадратный корень из отрицательного числа.

Давайте попробуем:

Пример: Чему равен квадратный корень из −9?

√ (−9) = √ (9 × −1)

= √ (9) × √ (−1)

= 3 × √ (-1)

= 3 i

(посмотрите, как упростить квадратный корень)

Эй! это было интересно! Квадратный корень из −9 - это просто квадратный корень из +9, , умноженного на i .

Всего:

Пока мы сохраняем это маленькое «i», чтобы напоминать нам, что нам все еще нужно умножить
на √ − 1, мы можем безопасно продолжить наше решение!

Использование

i

Пример: Что такое (5

i ) 2 ?

(5 i ) 2 = 5 i × 5 i

= 5 × 5 × i × i

= 25 × i 2

= 25 × -1

= -25

Интересно! Мы использовали мнимое число (5 i ) и получили реальное решение (−25).

Мнимые числа могут помочь нам решить некоторые уравнения:

Пример: решить x

2 + 1 = 0

Используя вещественные числа нет решения, но теперь мы можем решить его!

Вычтем 1 с обеих сторон:

х 2 = -1

Извлеките квадратный корень из обеих частей:

х = ± √ (-1)

х = ± и

Ответ: x = −i или + i

Чек:

  • (−i) 2 + 1 = (−i) (- i) + 1 = + i 2 + 1 = −1 + 1 = 0
  • (+ i) 2 +1 = (+ i) (+ i) +1 = + i 2 +1 = −1 + 1 = 0

Единица Мнимое число

Квадратный корень из минус единицы √ (−1) - это «единичное» мнимое число, эквивалентное 1 для действительных чисел.

В математике символ для √ (−1) - i для мнимого.

Можно из извлечь квадратный корень из −1?
Ну и можно!

Но в электронике они используют j (потому что «i» уже означает ток, а следующая после i буква j).

Примеры мнимых чисел

i 12,38i −i 3i / 4 0.01i πi

Мнимые числа не являются

«Мнимые»

Воображаемые числа когда-то считались невозможными , и поэтому они были названы «Воображаемыми» (чтобы посмеяться над ними).

Но затем люди исследовали их больше и обнаружили, что они на самом деле были полезными и важными , потому что они заполнили пробел в математике ... но «воображаемое» название прижилось.

Так и появилось название «Реальные числа» (реальные не вымышленные).

Мнимые числа полезны

Комплексные числа

Мнимые числа становятся наиболее полезными в сочетании с действительными числами для получения комплексных чисел, таких как 3 + 5i или 6−4i

Анализатор спектра

Те крутые дисплеи, которые вы видите, когда играет музыка? Да, для их вычисления используются комплексные числа! С помощью так называемого «преобразования Фурье».

На самом деле, многие умные вещи можно сделать со звуком, используя сложные числа, например, отфильтровывать звуки, слышать шепот в толпе и так далее.

Это часть предмета "Обработка сигналов".

Электричество


AC (переменный ток) Электричество изменяется с положительного на отрицательное в виде синусоидальной волны.

Когда мы объединяем два переменного тока, они могут не совпадать должным образом, и может быть очень сложно определить новый ток .

Но использование комплексных чисел значительно упрощает вычисления.

И результат может иметь "Мнимый" ток, но он все равно может вам навредить!

Набор Мандельброта

Прекрасный набор Мандельброта (его часть изображена здесь) основан на комплексных числах.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение, которое имеет множество применений,
может давать результаты, которые включают мнимые числа

Также в науке, квантовой механике и теории относительности используются комплексные числа.

Интересная недвижимость

Мнимое число единицы, i, обладает интересным свойством. Каждый раз, когда мы умножаем, он «циклически меняет» 4 различных значения:

1 × i = и
i × i = -1
−1 × i = - и
- i × i = 1
Снова вернемся к 1!

Итак, у нас есть это:

i = √ − 1 я 2 = -1 i 3 = −√ − 1 i 4 = +1
i 5 = √ − 1 я 6 = -1 ...etc

Пример Что такое i

10 ?

i 10 = i 4 × i 4 × i 2

= 1 × 1 × -1

= -1

Заключение

Единичное мнимое число i равно квадратному корню из минус 1

Воображаемые числа не «воображаемые», они действительно существуют и имеют множество применений.

12 математических приемов, которые помогут вам решать задачи без калькулятора | Эндрю Джеймисон

Обдумывание в голове

Фото Крисси Джарвис на Unsplash

1.Дополнение

Первый трюк - упростить задачу, разбив ее на более мелкие части. Например, можно переписать

 567 + 432 
= 567 + (400 + 30 + 2)
= 967 + 30 + 2
= 997 + 2
= 999

Switch

Часто проще работать с добавив меньшее число, чтобы вместо 131 + 858 поменять местами числа

 858 + 131 
= 858 + 100 + 30 + 1
= 989

2. Вычитание

Использование дополнения числа может помочь сделать вычитание проще.Дополнение - это разница между исходным числом и круглым числом, например 100, 1000.

Вот несколько примеров числа и его дополнения по сравнению со 100:

 67:33, 45:55, 89:11, 3 : 97 

Обратите внимание, что вторая цифра в сумме дает 10, а первая цифра дает в сумме 9.

Вот как это полезно

 721–387 
# дополнение 87 равно 13, поэтому мы можем поменять местами 387 с 400-13
-> 721 - (400-13)
= 321 - -13
= 321 + 13
= 334

Другой способ - записать большее число, чтобы оно оканчивалось на 99.В том же примере:

 721 -> (699 + 22) 
= 699 - 387 + 22
= 312 + 22
= 334
Фотография Криса Ливерани на Unsplash

3. Elevens

Для двузначного число, сложите цифры и поместите ответ в середину умножаемого числа:

 35 x 11 
-> 3 _ 5
-> 3 + 5 = 8
-> 3 8 5

Если сумма больше 10, добавьте цифру десятков в следующий столбец слева и запишите цифру единиц в ответ.Например, 4 + 8 = 12, запишите 2 и перенесите 1 в следующий столбец.

 48 x 11 
-> 4_8
-> 4 + 8 = 12
-> 4,12,8
-> 528

Для трехзначных и больших чисел процесс немного сложнее, но он работает аналогичным образом. На этот раз сохраните первую и последнюю цифру и просуммируйте цифры попарно

 725 X 11 
-> 7__5
-> 7 _, (7 + 2 = 9), (2 + 5 = 7), _5
-> 7975 51973 x 11
-> 5__3
-> 5 _, (5 + 1 = 6), (1 + 9 = 10), (9 + 7 = 16), (7 + 3 = 10), _3
# где сумма больше десяти, мы перемещаем цифру десятков в следующий столбец
-> 5, (6 + 1), (0 + 1), (6 + 1), (0), 3
-> 571703

4.Девятки

Умножение на девять можно упростить, умножив на 10 и вычтя исходное число

 799 x 9 
= 799 x (10-1)
= 7990-799
= 7191

Используйте тот же метод для чего угодно оканчивается на 9

 72 x 89 
= 72 x (90–1)
= (70 x 90) + (2 x 90) - 72
= 6300 + 180–72
= 6408

5. 2


# мы прибавляем 3 к 57, так как 60 легче умножить, чем 57, и вычтите 3 из второго 57
-> 60 x 54 + 9
= 3000 + 240 + 9
= 3249

Конечным примером является возведение в квадрат числа, заканчивающегося на 5, а затем округление одного числа в большую сторону. до ближайшего 10, другое число до ближайшего 10 и прибавить 25.2
= 4200 + 25
= 4225

6. Метод близкого расположения

Аналогичный метод работает для умножения близких чисел. Формула работает для всех чисел, но не может хорошо упрощаться, если числа не похожи.

Вот формула. n - «базовое» число

 (n + a) (n + b) = n (n + a + b) + ab 

Пример:

 47 x 43 
= (40 + 7) (40 + 3)
= 40 x (40 + 3 + 7) + (7 x 3)
= (40 x 50) + (7 x 3)
= 2000 + 21
= 2021

В этом примере единицы цифры в сумме дают десять, поэтому наше «базовое» число и множитель - круглые числа (40 и 50).

Вот еще пример. Уменьшите меньшее число, чтобы получить ближайшее круглое число - наше базовое число, в данном случае 40. Добавьте разницу к большему числу. Умножьте основание на большее число. Наконец, добавьте произведение разницы между исходными числами и основным числом.

 47 x 42 
= (40 + 7) x (40 + 2)
= (40 + 7 + 2) x 40 + (7 x 2)
= (49 x 40) + (7 x 2)
= (40 x 40) + (40 x 9) + (7 x 2)
= 1600 + 360 + 14
= 1974

Вы также можете округлить до основного числа.Поскольку исходные числа меньше основания, мы складываем произведение двух отрицательных чисел.

 47 x 42 
= (50 x 39) + (-3 x -8)
= (50 x 30) + (50 x 9) + (-3 x -8)
= 1500 + 450 + 24
= 1974

Это работает и для трехзначных чисел. В этом случае базовое число находится между нашими числами, поэтому произведение является отрицательным числом.

 497 x 504 
= (500-3) x (500 + 4)
= (500) x (500 + 4-3) + (-3 x 4)
= 500 x 501 - 12
= 250,000 + 500 - 12
= 250 488
Фотография Сандро Шу на Unsplash

7.Упростите вычисления

Вы можете упростить некоторые уравнения еще до того, как начнете. Например, разделите делитель и делимое на два.

 898/4 
= 449/2
= 224 и ½

Обратите внимание, что с помощью этого метода вы должны записать остаток в виде дроби:

 898/4 имеет остаток 2 - деленный на 4 
449/2 остаток равен 1 - делится на 2

Дробь такая же, но абсолютное число другое.

При делении на 5 измените уравнение, умножив на 2.Гораздо проще разделить на 10. Например:

 1753/5 
= 3506/10
= 350,6

8. Проверка на делимость

Существует много способов быстро определить, является ли число множителем.

2 : Число четное.

 Пример 28790 - четное число, поэтому оно делится на 2. 

3 : Сумма цифр делится на 3.

 Пример: 1281 -> 1 + 2 + 8 + 1 = 12 
-> 12 кратно 3, поэтому 1281 делится на 3

4 : последние две цифры делятся на 4.Почему это работает? 100 кратно 4, поэтому нам нужно проверить только две последние цифры.

 Пример: 1472, 72 делится на 4, поэтому 1472 делится на 4. 

5 : Число заканчивается на 5 или 0.

 Пример: 575 заканчивается на 5, поэтому оно делится на ноль 

6 : Число четное, а сумма цифр делится на 3. 6 равно 3 x 2, поэтому применяются правила 2 и 3.

 Пример: 774 четно и 7 + 7 + 4 = 18 
-> 18 делится на 3, поэтому 774 делится на 6.

7 : прибавьте или вычтите число, кратное 7, до числа, равного нулю. Отбросьте последнюю цифру с нулем и повторите процесс. Продолжайте, пока не определите, делится ли результат на 7.

 Пример: 2702 прибавить 98 (7 x 14) -> 2800, отбросить нули 
-> 28 кратно 7, поэтому 2702 делится на 7.

8 : последние три цифры делятся на 8.

 Пример: 79256, 256 делится на 8, поэтому 79256 делится на 8.(Альтернативное правило: если цифра сотен , четная , последние  2  цифр делятся на 8, если цифра сотен  нечетные , последние  2  цифр  + 4  делятся на 8) 

9 : то же правило, что и 3, но с 9. Если сумма цифр делится на 9, то число делится на 9.

 Пример: 13671 -> 1 + 3 + 6 + 7 + 1 = 18 
-> 18 делится на 9, поэтому 13671 делится на 9

10 : Число заканчивается на 0.

 Пример: 280 заканчивается на 0, 280 делится на 10 

11 : Правило аналогично 3 и 9, начинайте с правой цифры и чередуйте вычитание и сложение оставшихся цифр. Если ответ равен нулю или кратен 11, то число делится на 11.

 Пример: 12727 -> 1-2 + 7-2 + 7 = 11, поэтому 12727 делится на 11. 

Вы можете ознакомьтесь с некоторыми дополнительными методами здесь.

9. Разделение больших чисел на 9

 Пример: 
-> 10520/9

Напишите первую цифру над уравнением и напишите букву «R» (остаток) над последней цифрой.Добавьте число, которое вы только что написали, и число по диагонали ниже и справа от него. Напишите этот новый номер во втором месте. Добавьте это число к числу по диагонали внизу и справа. Продолжайте этот процесс, пока не дойдете до R.

Суммируйте числа одного цвета, чтобы получить следующую цифру.

Наконец, добавьте последнюю цифру к числу под R, чтобы получить остаток.

 10520/9 
= 1168 R8
или 1168,889

Вот еще один пример:

 -> 57423/9 

На этот раз после того, как мы завершили первый шаг, сумма нашего первого числа и числа по диагонали внизу и справа больше десяти (5 + 7 = 12).Ставим единицу над первой цифрой и вычитаем из нее девять . (Мы делим на девять, поэтому вычитаем девять, а не десять). Поместите получившееся число на вторую позицию (12–9 = 3). Продолжайте тот же процесс.

В этом примере наш остаток больше 9 (9 + 3 = 12). И снова мы переносим единицу над предыдущей цифрой и вычитаем девять из остатка, в результате чего остается три. Теперь сложите результат и цифры переноса.

 57423/9 
= 6380 R3
или 6380.333
Фотография Элисон Панг на Unsplash

10. Переверните вопрос

Проценты ассоциативны, поэтому иногда изменение порядка вопросов упрощает расчет.

 Пример: 
Что 36% от 25
-> равно 25% от 36
-> 25% равно ¼
-> 36/4 = 9
36% от 25 равно 9

11. Дроби

Как вы можете видеть, использование ¼ в последнем примере помогает узнать дроби и то, как они соотносятся с процентами.

 1/2 = 50% 1/3 = 33,33%, 2/3 = 66,67%, 1/4 = 25%, 3/4 = 75% 1/5 = 20%, 2/5 = 40%… 1 / 6 = 16,67%, 5/6 = 83,33% (2/6 = 1/3, 3/6 = 1/2, 4/6 = 2/3) 1/7 = 14,2857%, 2/7 = 28,5714% , 3/7 = 42,8571%, 4/7 = 57,1428% (обратите внимание на повторяющийся образец .142857) 1/8 = 12,5%, 3/8 = 37,5%, 5/8 = 62,5%, 7/8 = 87,5% 1 / 9 = 11,11%, 2/9 = 22,22%, 3/9 = 33,33%… 1/10 = 10%, 2/10 = 20%… 1/11 = 9,09%, 2/11 = 18,18%, 3 / 11 = 27,27%… 1/12 = 8,33%, 5/12 = 41,67%, 7/12 = 58,33%, 11/12 = 91,67% 

12. Правило 72

Правило 72 дает оценку того, как Чтобы удвоить стоимость при заданном процентном доходе, потребуется много лет.Он работает путем деления 72 на процент с ответом как количество лет, которое потребуется, чтобы удвоиться.

 2% -> 72/2 = 36, примерно 36 лет, чтобы удвоиться 
8% -> 72/8 = 9, примерно 9 лет, чтобы удвоиться

Обратите внимание, что правило 72 является руководством, основанным на натуральном логарифме 2 - что дает 0,693. Таким образом, правило 69,3 будет более точным, но 72 легче вычислить.

Существует также правило 114 для утроения инвестиций и правило 144 для четырехкратного увеличения ваших денег.

Я нашел две книги Артура Бенджамина, которые были полезны по этой теме. Многие примеры в этом блоге были вдохновлены этими книгами. Вы можете посмотреть их здесь.

Пожалуйста, оставьте комментарий, если вы нашли это полезным, или поделитесь любыми другими полезными приемами, с которыми вы столкнулись.

Как молниеносно решать математические задачи в голове

Люди, которые удивительно быстро решают математические задачи в уме, могут показаться умнее других, но, вероятно, это не так.Скорее всего, они знают несколько математических уловок. Вы можете изучить эти простые приемы, которые помогут вам в школе и за ее пределами, потому что у вас не всегда будет калькулятор, на который можно положиться.

    Примените правило умножения двузначных чисел на 10, которое гласит, что вы можете просто добавить ноль в конец любого числа, чтобы быстро найти результат умножения этого числа на 10 (например: 10 x 12 = 120) , чтобы умножить двузначные числа на 11, например 32 x 11 = 352.Вычислите результат в уме, сложив первое и последнее числа числа, которое нужно умножить на 11, и поместив полученный результат в середину. Например, 3_ (3 + 2) 2 = 352. Если среднее число дает двузначное число, добавьте первое число в начало уравнения и оставьте второе число посередине. Например, 88 x 11 = 8 (8 + 8) _8 = (8 + 1) _6_8 = 968.

    Быстро вычислите в уме квадрат двузначного числа, заканчивающегося на 5, умножив первую цифру на это цифра плюс 1, а затем прибавление 25 к концу числа.Например, 45 x 45 = 4 x 5_25 = 2025.

    С помощью этого простого трюка вычислите результат любого числа, умноженного на 5. Возьмите любое число, разделите его пополам и посчитайте результат. Если число целое, например, 4, что означает, что результат не имеет десятичного разряда, за которым следуют дополнительные числа, например 4,443, добавьте 0 в конец результата, чтобы получить ответ. Если результатом является не целое число, а число с остатком, игнорируйте остаток и прибавьте 5 к концу результата.Например, 2680 x 5 = 2680/2, а затем прибавляем 5 или 0 - в данном случае 0 - и получаем 13 400. Или другой пример: 5889 x 5 = 5889/2, а затем 5 или 0 - в данном случае 5. Отбросьте остаток и добавьте 5, чтобы 2944,5 стало 29 445.

    Быстро рассчитайте 15-процентную ставку на любую сумму, разделив общую сумму на 10 и прибавив половину этого числа к результату. Например, 15 процентов от 50 долларов = (50/10) + (50/10) / 2 = 5 долларов + 2,50 доллара = 7,50 доллара.

    Используйте подразделение, чтобы быстро вычислить большие числа в уме.Например, если вам нужно найти результат 32 x 125, разделите первое число пополам и умножьте второе число на два до тех пор, пока у вас не возникнет простая задача для решения (16 x 250; 8 x 500; 4 x 1000 = 4000. ).

Мармелад | 10 методов для более быстрого решения математических задач

29 апр. 10 Методы более быстрого решения математических задач

Разница между поэтом и математиком состоит в том, что поэт пытается забраться головой в небеса, а математик пытается вбить небеса в свою голову.”

- Г.К. Честертон

В современном мире бесчисленное множество людей боятся математики. Сложность решения проблем с большим количеством пользователей - обычная проблема, с которой борются многие люди. В этой статье я хочу поделиться с вами некоторыми простыми математическими приемами. Техники заключаются в следующем.

Большие числа

Сложить большие числа без калькулятора может быть очень сложно, но вы можете сделать этот процесс очень простым и легким, преобразовав все числа в числа, кратные 10.Например, если вам нужно добавить 644 + 238:

  • Прежде всего округлите числа до 650 и 240.
  • Сложите оба округленных числа; ответ - 890.
  • Найдите разницу между исходными и округленными числами, например 650 - 644 = 6 и 240 - 238 = 2,
  • Добавьте разницу, например 6 + 2 = 8.
  • Наконец, вычтем 8 из 890; ответ - 882.

Вычитание

Если вы хотите вычесть большое число из 1000, просто вычтите последнее число из 10 и вычтите все остальные числа из 9.Предположим, например, что вы хотите вычесть 1000 - 556.

  • Прежде всего, отработайте 9 - 5 = 4.
  • Во-вторых, сделать 9 - 5 + 4.
  • Наконец, вычислим 10-6 = 4.
  • 444 - ваш ответ.

Отдел

Хотите узнать, как можно разделить число поровну? См. Несколько примеров ниже:

  • 10, если число заканчивается нулем.
  • 9, когда числа сложены и полученная сумма может быть разделена на 9.
  • 8, если случай таков, что последние 3 числа можно разделить на 8.

Умножение на 9

С помощью этой техники вы можете умножить любую цифру до 9. Рассмотрим для примера 9 x 3:

  • Вычтите 1 из цифры, которую нужно умножить на 9, например 3 - 1 = 2.
  • Вычтите ответ из 9, например 9 - 2 = 7.
  • Объедините 2 и 7, например 27.
  • Смотрите, работает! 9 х 3 = 27.

5-кратное умножение (четное число)

Возможно, вы умножили 5 на множество четных чисел.Что ж, это умножение можно сделать быстрее. Рассмотрим на примере 5 x 4.

  • Разделите 4 на 2 - ответ 2.
  • Добавьте ноль к приведенному выше ответу, чтобы получилось 20.

Уловка в 10 раз

Если вы хотите умножить любую цифру на 10 и получить быстрый ответ, просто добавьте 0 в конце цифры. Рассмотрим пример: 62 x 10 = 620.

%%%

С помощью этого метода можно быстро найти проценты. Например, если вы хотите найти 5% от 235, выполните следующие действия:

.
  • Перемещение десятичной запятой на одно место, e.грамм. 23.5.
  • Разделил указанное выше значение на 2.
  • Ответ - 11,75.

Быстрое выравнивание

Рассмотрим число 35.

  • Разделите 3 из 35 на 3, получится 1.
  • Поместите 25 в конце.
  • "[3 x (3 + 1)] x 25"
  • Решите первую часть уравнения сначала «[3 x (3 + 1)] = 12»
  • Умножьте ответ на 25, чтобы получить окончательный ответ: «12 x 25 = 1225»

Жесткое умножение

При умножении больших чисел, если одна из цифр четная, вы можете сделать следующее:

  • Например, вы хотите умножить 20 x 120.
  • Прежде всего, разделите 20 на 2, чтобы получилось 10, затем удвойте 120, чтобы получить 240.
  • Умножьте 10 x 240, чтобы получить 2400 - это окончательный ответ.

Числа, заканчивающиеся на «0»

Для быстрого умножения чисел, оканчивающихся на «0», рассмотрите следующий код

  • Предположим, вы хотите умножить 200 на 400.
  • Умножьте 4 на 2, чтобы получить 8.
  • Поместите все нули после 8, чтобы получилось 80 000 (это окончательный ответ).

Заключение

Это некоторые из основных приемов, которые вы можете использовать, чтобы немного упростить решение математических задач.Попробуйте решить больше вопросов, чтобы стать еще лучше в математике.

Что такое числовое предложение? - Определение, факты и примеры

Числовое предложение

Числовое предложение - это математическое предложение, состоящее из цифр и знаков.

Выражения, приведенные в примерах, указывают на равенство или неравенство.

Типы числовых предложений

Числовое предложение может использовать любые математические операции от сложения, вычитания, умножения до деления.Символы, используемые в любом числовом предложении, различаются в зависимости от того, что они обозначают.

Дополнение

Предложение о вычитании

Предложение умножения

Отделение приговора

Меньше предложения

Больше, чем предложение

Алгебраическое предложение

Дробное предложение

Числовые предложения могут быть верными или неверными.

Например:

10 + 5 = 15. Здесь мы используем знак =, который указывает на баланс обеих сторон.

Однако также могут быть числовые предложения, в которых говорится:

12 + 6 = 9 неверно, но 12 + 6 = 18 верно.

Следовательно, числовое предложение не обязательно должно быть верным. Однако каждое числовое предложение дает нам информацию, основанную на предоставленной информации; можно изменить утверждение с ложного на истинное.

Итак, числовое предложение содержит числа, математические операции, знак равенства или неравенства и число после знака равенства или неравенства. Если мы удалим любой из этих компонентов, это больше не будет числовым предложением.

Например:

10 + 8> 15

Однако, если мы напишем 10 + 8, этого недостаточно, чтобы понять, какой вопрос нужно решить.

Если написать 10 + 8 15. Не имеет смысла

Если мы напишем +>, это тоже не имеет смысла.

Задачи с числовыми предложениями могут иметь форму словесных задач, в которых учащихся просят написать уравнение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *