Как решить номер по математике: Задача 1200 — Виленкин Математика 6 класс

Содержание

Решение задачи №19 ЕГЭ по математике. Советы репетитора

Анна Малкова

Задача 19 на профильном ЕГЭ по математике. Раньше ее называли С6. Самая страшная и загадочная. Самая нестандартная. Ни на что не похожая.

Конечно, не совсем… Она похожа на задачи олимпиад по математике. Но в школьных учебниках нет даже намека на эту задачу!

Уравнения в целых числах с несколькими неизвестными. Действия в неопределенной ситуации. Метод «Оценка плюс пример» (а многие о нем даже не слышали). И конечно, культура математических рассуждений. В школе такому не учат! И немногие репетиторы умеют решать задачу 19 профильного ЕГЭ по математике.

Зато она оценивается в целых 4 первичных балла, которые пересчитываются в 9-10 тестовых!

Есть хорошая новость. Можно научиться решать эту загадочную задачу! Более того – это нужно сделать, если вы хотите сдать ЕГЭ по математике на достойные баллы. Или если вы участвуете в олимпиадах по математике.

Многим выпускникам ЕГЭ-Студии эта задача дала необходимые для поступления баллы.

Откроем секрет. Оказывается, что один-два из четырех баллов за задачу 19 профильного ЕГЭ по математике буквально лежат у вас под ногами, и вам надо только нагнуться, чтобы взять их! Как это может быть? Смотрите видео! Учитесь строить оценки и находить нужные примеры. Без этого решить эту странную задачу невозможно. Вы узнаете также, как правильно оформлять решение задачи 19 на профильном ЕГЭ по математике.
Вот задача 19 из варианта ЕГЭ по математике 2017 года. Рассказывает Анна Малкова:

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Решение двух или более чисел

В некоторых задачах с числовыми словами вам предлагается найти два или более чисел. Может возникнуть соблазн назвать их все разными переменными, но до сих пор мы решали уравнения только с одной переменной. Мы определим числа в терминах одной и той же переменной.Обязательно внимательно прочтите задачу, чтобы узнать, как все числа соотносятся друг с другом.

пример

Одно число на пять больше другого. Сумма чисел — двадцать один. Найдите числа.

Показать решение

Решение:

Шаг 1. Прочтите о проблеме.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. Вы ищете два числа.
Шаг 3.{\ text {nd}} \ text {number} [/ latex]

Шаг 4. Перевести.

Переформулируйте проблему как одно предложение со всей важной информацией.

Перевести в уравнение.

Подставьте переменные выражения.

Сумма чисел [латекс] 21 [/ латекс].

Сумма 1-го числа и 2-го числа составляет [латекс] 21 [/ латекс].

[латекс] n \ Enspace \ Rightarrow [/ latex] Первое число

[латекс] + \ enspace \ Rightarrow [/ latex] +

[латекс] n + 5 \ Enspace \ Rightarrow [/ latex] Второй номер

[латекс] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] =

[латекс] 21 \ Enspace \ Rightarrow [/ латекс] 21

Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] n + n + 5 = 21 [/ латекс]
Объедините похожие термины. [латекс] 2n + 5 = 21 [/ латекс]
Вычтите пять с обеих сторон и упростите. [латекс] 2n = 16 [/ латекс]
Разделите на два и упростите. [латекс] n = 8 [/ латекс] 1-й номер
Найдите и второе число. [латекс] n + 5 [/ латекс] 2-й номер
Заменитель [латекс] n = 8 [/ латекс] [латекс] \ color {красный} {8} +5 [/ латекс]
[латекс] 13 [/ латекс]
Шаг 6. Чек:
Эти номера определяют проблему?

Одно число 5 больше, чем другое?

Тринадцать, 5 больше, чем 8? Да.

Сумма двух чисел равна 21?

[латекс] 13 \ stackrel {\ text {?}} {=} 8 + 5 [/ латекс]

[латекс] 13 = 13 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

[латекс] 8 + 13 \ stackrel {\ text {?}} {=} 21 [/ латекс]

[латекс] 21 = 21 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Номера: [латекс] 8 [/ латекс] и [латекс] 13 [/ латекс].

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть еще один пример того, как найти два числа с учетом отношения между ними.

пример

Сумма двух чисел равна четырнадцати отрицательным. Одно число на четыре меньше другого. Найдите числа.

Показать решение

Решение:

Шаг 1.{\ text {nd}} \ text {number} [/ latex]

Шаг 4. Перевести.

Напишите как одно предложение.

Перевести в уравнение.

Подставьте переменные выражения.

Сумма двух чисел равна четырнадцати отрицательным.

[латекс] n \ Enspace \ Rightarrow [/ latex] Первое число

[латекс] + \ enspace \ Rightarrow [/ latex] +

[латекс] n-4 \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Второй номер

[латекс] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] =

[латекс] -14 \ Enspace \ Rightarrow [/ латекс] -14

Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] n + n-4 = -14 [/ латекс]
Объедините похожие термины. [латекс] 2n-4 = -14 [/ латекс]
Добавьте по 4 с каждой стороны и упростите. [латекс] 2n = -10 [/ латекс]
Разделить на 2. [латекс] n = -5 [/ латекс] 1-й номер
Замените [латекс] n = -5 [/ латекс], чтобы найти 2 и номер . [латекс] н-4 [/ латекс] 2-й номер
[латекс] \ color {red} {- 5} -4 [/ латекс]
[латекс] -9 [/ латекс]
Шаг 6. Чек:
Разве −9 четыре меньше −5?

Их сумма равна −14?

[латекс] -5-4 \ stackrel {\ text {?}} {=} — 9 [/ латекс]

[латекс] -9 = -9 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

[латекс] -5 + (- 9) \ stackrel {\ text {?}} {=} — 14 [/ латекс]

[латекс] -14 = -14 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Цифры: [латекс] -5 [/ латекс] и [латекс] -9 [/ латекс].

пример

Одно число на десять больше, чем в два раза больше другого. Их сумма равна единице. Найдите числа.

Показать решение

Решение:

Шаг 1. Прочтите о проблеме.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. два числа
Шаг 3. Имя. Выберите переменную.

Одно число на десять больше, чем в два раза больше другого.{\ text {nd}} \ text {number} [/ latex]

Шаг 4. Перевести. Перефразируйте одним предложением. Их сумма равна единице.
Перевести в уравнение [латекс] x + (2x + 10) \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Сумма двух чисел

[latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] — это

[латекс] 1 \ enpace \ Rightarrow [/ латекс] 1

Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] x + 2x + 10 = 1 [/ латекс]
Объедините похожие термины. [латекс] 3x + 10 = 1 [/ латекс]
Вычтите 10 с каждой стороны. [латекс] 3x = -9 [/ латекс]
Разделите каждую сторону на 3, чтобы получить первое число. [латекс] x = -3 [/ латекс]
Замените, чтобы получить второй номер. [латекс] 2x + 10 [/ латекс]
[латекс] 2 (\ color {red} {- 3}) + 10 [/ латекс]
[латекс] 4 [/ латекс]
Шаг 6. Проверить.
Является ли 4 десять больше, чем дважды −3?

Их сумма равна 1?

[латекс] 2 (-3) +10 \ stackrel {\ text {?}} {=} 4 [/ латекс]

[латекс] -6 + 10 = 4 [/ латекс]

[латекс] 4 = 4 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]

[латекс] -3 + 4 \ stackrel {\ text {?}} {=} 1 [/ латекс]

[латекс] 1 = 1 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Цифры: [латекс] -3 [/ латекс] и [латекс] 4 [/ латекс].

Решение для последовательных целых чисел

Целые числа, идущие подряд, — это целые числа, следующие друг за другом. Вот несколько примеров последовательных целых чисел:

[латекс] \ begin {массив} {c} \ phantom {\ rule {0.2} {0ex}} \\ \ phantom {\ rule {0.2} {0ex}} \\ \ phantom {\ rule {0.2} {0ex }} \\ \ phantom {\ rule {0.2} {0ex}} \\ \ hfill \ text {…} 1,2,3,4 \ text {,…} \ hfill \ end {array} [/ latex]
[латекс] \ text {…} -10, -9, -8, -7 \ text {,…} [/ latex]
[latex] \ text {…} 150,151,152,153 \ text {,…} [/ latex]
Обратите внимание, что каждое число на единицу больше предыдущего.Итак, если мы определим первое целое число как [latex] n [/ latex], следующее последовательное целое число будет [latex] n + 1 [/ latex]. Следующий за ним на единицу больше, чем [latex] n + 1 [/ latex], так что это [latex] n + 1 + 1 [/ latex] или [latex] n + 2 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {cccc} n \ hfill & & & \ text {1-е целое число} \ hfill \\ n + 1 \ hfill & & & \ text {2-е целое число подряд} \ hfill \\ n + 2 \ hfill & & & \ text {3-е целое число подряд} \ hfill \ end {array} [/ latex]

пример

Сумма двух последовательных целых чисел [латекс] 47 [/ латекс].Найдите числа.

Решение:

Шаг 1. Прочтите о проблеме.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. два последовательных целых числа
Шаг 3. Имя. Пусть [латекс] n = \ text {1-е целое число} [/ latex]

[латекс] n + 1 = \ text {следующее последовательное целое число} [/ латекс]

Шаг 4. Перевести.

Перефразировать одним предложением.

Перевести в уравнение.

[латекс] n + n + 1 \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Сумма целых чисел

[latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] — это

[латекс] 47 \ Enspace \ Rightarrow [/ латекс] 47

Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] n + n + 1 = 47 [/ латекс]
Объедините похожие термины. [латекс] 2n + 1 = 47 [/ латекс]
Вычтите по 1 с каждой стороны. [латекс] 2n = 46 [/ латекс]
Разделите каждую сторону на 2. [латекс] n = 23 [/ латекс] 1-е целое число
Замените, чтобы получить второй номер. [латекс] n + 1 [/ латекс] 2-е целое число
[латекс] \ color {красный} {23} +1 [/ латекс]
[латекс] 24 [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: [латекс] 23 + 24 \ stackrel {\ text {?}} {=} 47 [/ латекс]

[латекс] 47 = 47 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Два последовательных целых числа: [латекс] 23 [/ латекс] и [латекс] 24 [/ латекс].

пример

Найдите три последовательных целых числа, сумма которых равна [латекс] 42 [/ латекс].

Показать решение

Решение:

Шаг 1. Прочтите о проблеме.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. три последовательных целых числа
Шаг 3. Имя. Пусть [латекс] n = \ text {1-е целое число} [/ latex]

[латекс] n + 1 = \ text {2-е целое число подряд} [/ латекс]

[латекс] n + 2 = \ text {3-е целое число подряд} [/ латекс]

Шаг 4. Перевести.

Перефразировать одним предложением.

Перевести в уравнение.

[латекс] n \ enspace + \ enspace n + 1 \ enspace + \ enspace n + 2 \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Сумма трех целых чисел

[latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] — это

[латекс] 42 \ Enspace \ Rightarrow [/ латекс] 42

Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] n + n + 1 + n + 2 = 42 [/ латекс]
Объедините похожие термины. [латекс] 3n + 3 = 42 [/ латекс]
Вычтите по 3 с каждой стороны. [латекс] 3n = 39 [/ латекс]
Разделим каждую сторону на 3. [латекс] n = 13 [/ латекс] 1-е целое число
Замените, чтобы получить второй номер. [латекс] n + 1 [/ латекс] 2-е целое число
[латекс] \ color {красный} {13} +1 [/ латекс]
[латекс] 24 [/ латекс]
Замените, чтобы получить третий номер. [латекс] n + 2 [/ латекс] 3-е целое число
[латекс] \ color {красный} {13} +2 [/ латекс]
[латекс] 15 [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: [латекс] 13 + 14 + 15 \ stackrel {\ text {?}} {=} 42 [/ латекс]

[латекс] 42 = 42 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Три последовательных целых числа: [латекс] 13 [/ латекс], [латекс] 14 [/ латекс] и [латекс] 15 [/ латекс].

Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример того, как найти три последовательных целых числа по их сумме.

Обучение абсолютному значению числа в математике

Урок 2: Разработка концепции

Материалы: Каталожные карточки или цифровые «карточки», которые могут распространяться среди представителей класса

.

Стандарты:

  • Под абсолютным значением рационального числа понимается его расстояние от 0 на числовой прямой.(6.NS.C.7.C)

Подготовка: Сделайте карточки для У меня есть… У кого есть?

Заключительная и оценочная игра

  • Попросите учащихся написать и поделиться своими определениями и примерами из реальной жизни ситуаций абсолютной ценности.
  • Играть У меня есть … у кого есть? Составьте набор из 15 учетных карточек с уравнениями абсолютных значений и 15 учетных карточек, содержащих значения переменной. Если учетные карточки недоступны или вы адаптируете это для удаленного обучения, создайте способ, чтобы 30 приведенных ниже уравнений были распределены среди ваших учеников как можно более равномерно.
Карты абсолютного значения Карты переменного значения
| x + 5 | = 20 x = 15
| 5 — x | = 30 x = –25
| x + 6 | = 41 x = 35
| –27 — x | = 20 x = –47
–7 + | x | = 0 x = –7
| 25 — x | = 18 x = 7
| x + –5 | = 38 x = 43
| 37 — x | = 70 x = –33
114 — | x | = 7 x = 107
| — x + 100 | = 21 x = 121
— | 1 + x | = -80 x = 79
| x | = 81 x = –81
| x + 3 | = 84 x = 81
| 25 + x | = 62 x = –87
| x — 26 | = 11 x = 37

Каждая указанная карта абсолютного значения имеет два значения: x .Эти значения перекрываются, так что каждая карта значений переменных удовлетворяет двум из заданных уравнений абсолютного значения (первое и второе значения удовлетворяют первому уравнению, второе и третье значения удовлетворяют второму уравнению и т. Д., Пока последнее и первое значения не удовлетворяют требованиям последнее уравнение).

Распределите карточки или уравнения поровну. Убедитесь, что все они были розданы. Выберите ученика, который скажет «У меня есть», а затем прочтите значение или уравнение на его карточке. Затем попросите учащегося сказать: «У кого есть совпадение для моей карты?» Любой ученик, у которого есть совпадение, должен сказать: «У меня есть… у кого есть…», и игра продолжается до тех пор, пока не будут прочитаны все карточки.Вы можете попросить учащихся встать, когда игра начнется, и сесть, пока они предлагают ответ. Чтобы заинтересовать всех, предложите награду за успешное прохождение игры, поощряя вызовы к подозрительным ответам.

***

Ищете другие бесплатные уроки математики и мероприятия для учеников средней школы? Обязательно ознакомьтесь с нашим центром бесплатных учебных ресурсов.

Мнимые числа

Мнимое число в квадрате дает отрицательный результат .

Попробовать

Давайте попробуем возвести в квадрат некоторые числа, чтобы увидеть, можем ли мы получить отрицательный результат:

Не повезло! Всегда положительный или ноль.

Похоже, что мы не можем умножить число на само по себе, чтобы получить отрицательный ответ …

… но представьте , что существует такое число (назовем его i для воображаемого), которое могло бы сделать это:

Будет ли это полезно и что мы можем с этим сделать?

Итак, извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем:

Это означает, что i является ответом на квадратный корень из −1.

Что на самом деле очень полезно , потому что …

… просто принимая , что i существует, мы можем решить задачи
, для которых нужен квадратный корень из отрицательного числа.

Давайте попробуем:

Пример: Чему равен квадратный корень из −9?

√ (−9) = √ (9 × −1)

= √ (9) × √ (−1)

= 3 × √ (-1)

= 3 i

(посмотрите, как упростить квадратный корень)

Эй! это было интересно! Квадратный корень из −9 — это просто квадратный корень из +9, , умноженного на i .

Всего:

Пока мы сохраняем это маленькое «i», чтобы напоминать нам, что нам все еще нужно умножить
на √ − 1, мы можем безопасно продолжить наше решение!

Использование

i

Пример: Что такое (5

i ) 2 ?

(5 i ) 2 = 5 i × 5 i

= 5 × 5 × i × i

= 25 × i 2

= 25 × -1

= -25

Интересно! Мы использовали мнимое число (5 i ) и получили реальное решение (−25).

Мнимые числа могут помочь нам решить некоторые уравнения:

Пример: решить x

2 + 1 = 0

Используя вещественные числа нет решения, но теперь мы можем решить его!

Вычтем 1 с обеих сторон:

х 2 = -1

Извлеките квадратный корень из обеих частей:

х = ± √ (-1)

х = ± и

Ответ: x = −i или + i

Чек:

  • (−i) 2 + 1 = (−i) (- i) + 1 = + i 2 + 1 = −1 + 1 = 0
  • (+ i) 2 +1 = (+ i) (+ i) +1 = + i 2 +1 = −1 + 1 = 0

Единица Мнимое число

Квадратный корень из минус единицы √ (−1) — это «единичное» мнимое число, эквивалентное 1 для действительных чисел.

В математике символ для √ (−1) — i для мнимого.

Можно из извлечь квадратный корень из −1?
Ну и можно!

Но в электронике они используют j (потому что «i» уже означает ток, а следующая после i буква j).

Примеры мнимых чисел

i 12,38i −i 3i / 4 0.01i πi

Мнимые числа не являются

«Мнимые»

Воображаемые числа когда-то считались невозможными , и поэтому они были названы «Воображаемыми» (чтобы посмеяться над ними).

Но затем люди исследовали их больше и обнаружили, что они на самом деле были полезными и важными , потому что они заполнили пробел в математике … но «воображаемое» название прижилось.

Так и появилось название «Реальные числа» (реальные не вымышленные).

Мнимые числа полезны

Комплексные числа

Мнимые числа становятся наиболее полезными в сочетании с действительными числами для получения комплексных чисел, таких как 3 + 5i или 6−4i

Анализатор спектра

Те крутые дисплеи, которые вы видите, когда играет музыка? Да, для их вычисления используются комплексные числа! С помощью так называемого «преобразования Фурье».

На самом деле, многие умные вещи можно сделать со звуком, используя сложные числа, например, отфильтровывать звуки, слышать шепот в толпе и так далее.

Это часть предмета «Обработка сигналов».

Электричество


AC (переменный ток) Электричество изменяется с положительного на отрицательное в виде синусоидальной волны.

Когда мы объединяем два переменного тока, они могут не совпадать должным образом, и может быть очень сложно определить новый ток .

Но использование комплексных чисел значительно упрощает вычисления.

И результат может иметь «Мнимый» ток, но он все равно может вам навредить!

Набор Мандельброта

Прекрасный набор Мандельброта (его часть изображена здесь) основан на комплексных числах.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение, которое имеет множество применений,
может давать результаты, которые включают мнимые числа

Также в науке, квантовой механике и теории относительности используются комплексные числа.

Интересная недвижимость

Мнимое число единицы, i, обладает интересным свойством. Каждый раз, когда мы умножаем, он «циклически меняет» 4 различных значения:

1 × i = и
i × i = -1
−1 × i = — и
i × i = 1
Снова вернемся к 1!

Итак, у нас есть это:

i = √ − 1 я 2 = -1 i 3 = −√ − 1 i 4 = +1
i 5 = √ − 1 я 6 = -1 …etc

Пример Что такое i

10 ?

i 10 = i 4 × i 4 × i 2

= 1 × 1 × -1

= -1

Заключение

Единичное мнимое число i равно квадратному корню из минус 1

Воображаемые числа не «воображаемые», они действительно существуют и имеют множество применений.

12 математических приемов, которые помогут вам решать задачи без калькулятора | Эндрю Джеймисон

Обдумывание в голове

Фото Крисси Джарвис на Unsplash

1.Дополнение

Первый трюк — упростить задачу, разбив ее на более мелкие части. Например, можно переписать

 567 + 432 
= 567 + (400 + 30 + 2)
= 967 + 30 + 2
= 997 + 2
= 999

Switch

Часто проще работать с добавив меньшее число, чтобы вместо 131 + 858 поменять местами числа

 858 + 131 
= 858 + 100 + 30 + 1
= 989

2. Вычитание

Использование дополнения числа может помочь сделать вычитание проще.Дополнение — это разница между исходным числом и круглым числом, например 100, 1000.

Вот несколько примеров числа и его дополнения по сравнению со 100:

 67:33, 45:55, 89:11, 3 : 97 

Обратите внимание, что вторая цифра в сумме дает 10, а первая цифра дает в сумме 9.

Вот как это полезно

 721–387 
# дополнение 87 равно 13, поэтому мы можем поменять местами 387 с 400-13
-> 721 - (400-13)
= 321 - -13
= 321 + 13
= 334

Другой способ — записать большее число, чтобы оно оканчивалось на 99.В том же примере:

 721 -> (699 + 22) 
= 699 - 387 + 22
= 312 + 22
= 334
Фотография Криса Ливерани на Unsplash

3. Elevens

Для двузначного число, сложите цифры и поместите ответ в середину умножаемого числа:

 35 x 11 
-> 3 _ 5
-> 3 + 5 = 8
-> 3 8 5

Если сумма больше 10, добавьте цифру десятков в следующий столбец слева и запишите цифру единиц в ответ.Например, 4 + 8 = 12, запишите 2 и перенесите 1 в следующий столбец.

 48 x 11 
-> 4_8
-> 4 + 8 = 12
-> 4,12,8
-> 528

Для трехзначных и больших чисел процесс немного сложнее, но он работает аналогичным образом. На этот раз сохраните первую и последнюю цифру и просуммируйте цифры попарно

 725 X 11 
-> 7__5
-> 7 _, (7 + 2 = 9), (2 + 5 = 7), _5
-> 7975 51973 x 11
-> 5__3
-> 5 _, (5 + 1 = 6), (1 + 9 = 10), (9 + 7 = 16), (7 + 3 = 10), _3
# где сумма больше десяти, мы перемещаем цифру десятков в следующий столбец
-> 5, (6 + 1), (0 + 1), (6 + 1), (0), 3
-> 571703

4.Девятки

Умножение на девять можно упростить, умножив на 10 и вычтя исходное число

 799 x 9 
= 799 x (10-1)
= 7990-799
= 7191

Используйте тот же метод для чего угодно оканчивается на 9

 72 x 89 
= 72 x (90–1)
= (70 x 90) + (2 x 90) - 72
= 6300 + 180–72
= 6408

5. 2


# мы прибавляем 3 к 57, так как 60 легче умножить, чем 57, и вычтите 3 из второго 57
-> 60 x 54 + 9
= 3000 + 240 + 9
= 3249

Конечным примером является возведение в квадрат числа, заканчивающегося на 5, а затем округление одного числа в большую сторону. до ближайшего 10, другое число до ближайшего 10 и прибавить 25.2
= 4200 + 25
= 4225

6. Метод близкого расположения

Аналогичный метод работает для умножения близких чисел. Формула работает для всех чисел, но не может хорошо упрощаться, если числа не похожи.

Вот формула. n — «базовое» число

 (n + a) (n + b) = n (n + a + b) + ab 

Пример:

 47 x 43 
= (40 + 7) (40 + 3)
= 40 x (40 + 3 + 7) + (7 x 3)
= (40 x 50) + (7 x 3)
= 2000 + 21
= 2021

В этом примере единицы цифры в сумме дают десять, поэтому наше «базовое» число и множитель — круглые числа (40 и 50).

Вот еще пример. Уменьшите меньшее число, чтобы получить ближайшее круглое число — наше базовое число, в данном случае 40. Добавьте разницу к большему числу. Умножьте основание на большее число. Наконец, добавьте произведение разницы между исходными числами и основным числом.

 47 x 42 
= (40 + 7) x (40 + 2)
= (40 + 7 + 2) x 40 + (7 x 2)
= (49 x 40) + (7 x 2)
= (40 x 40) + (40 x 9) + (7 x 2)
= 1600 + 360 + 14
= 1974

Вы также можете округлить до основного числа.Поскольку исходные числа меньше основания, мы складываем произведение двух отрицательных чисел.

 47 x 42 
= (50 x 39) + (-3 x -8)
= (50 x 30) + (50 x 9) + (-3 x -8)
= 1500 + 450 + 24
= 1974

Это работает и для трехзначных чисел. В этом случае базовое число находится между нашими числами, поэтому произведение является отрицательным числом.

 497 x 504 
= (500-3) x (500 + 4)
= (500) x (500 + 4-3) + (-3 x 4)
= 500 x 501 - 12
= 250,000 + 500 - 12
= 250 488
Фотография Сандро Шу на Unsplash

7.Упростите вычисления

Вы можете упростить некоторые уравнения еще до того, как начнете. Например, разделите делитель и делимое на два.

 898/4 
= 449/2
= 224 и ½

Обратите внимание, что с помощью этого метода вы должны записать остаток в виде дроби:

 898/4 имеет остаток 2 - деленный на 4 
449/2 остаток равен 1 - делится на 2

Дробь такая же, но абсолютное число другое.

При делении на 5 измените уравнение, умножив на 2.Гораздо проще разделить на 10. Например:

 1753/5 
= 3506/10
= 350,6

8. Проверка на делимость

Существует много способов быстро определить, является ли число множителем.

2 : Число четное.

 Пример 28790 - четное число, поэтому оно делится на 2. 

3 : Сумма цифр делится на 3.

 Пример: 1281 -> 1 + 2 + 8 + 1 = 12 
-> 12 кратно 3, поэтому 1281 делится на 3

4 : последние две цифры делятся на 4.Почему это работает? 100 кратно 4, поэтому нам нужно проверить только две последние цифры.

 Пример: 1472, 72 делится на 4, поэтому 1472 делится на 4. 

5 : Число заканчивается на 5 или 0.

 Пример: 575 заканчивается на 5, поэтому оно делится на ноль 

6 : Число четное, а сумма цифр делится на 3. 6 равно 3 x 2, поэтому применяются правила 2 и 3.

 Пример: 774 четно и 7 + 7 + 4 = 18 
-> 18 делится на 3, поэтому 774 делится на 6.

7 : прибавьте или вычтите число, кратное 7, до числа, равного нулю. Отбросьте последнюю цифру с нулем и повторите процесс. Продолжайте, пока не определите, делится ли результат на 7.

 Пример: 2702 прибавить 98 (7 x 14) -> 2800, отбросить нули 
-> 28 кратно 7, поэтому 2702 делится на 7.

8 : последние три цифры делятся на 8.

 Пример: 79256, 256 делится на 8, поэтому 79256 делится на 8.(Альтернативное правило: если цифра сотен , четная , последние  2  цифр делятся на 8, если цифра сотен  нечетные , последние  2  цифр  + 4  делятся на 8) 

9 : то же правило, что и 3, но с 9. Если сумма цифр делится на 9, то число делится на 9.

 Пример: 13671 -> 1 + 3 + 6 + 7 + 1 = 18 
-> 18 делится на 9, поэтому 13671 делится на 9

10 : Число заканчивается на 0.

 Пример: 280 заканчивается на 0, 280 делится на 10 

11 : Правило аналогично 3 и 9, начинайте с правой цифры и чередуйте вычитание и сложение оставшихся цифр. Если ответ равен нулю или кратен 11, то число делится на 11.

 Пример: 12727 -> 1-2 + 7-2 + 7 = 11, поэтому 12727 делится на 11. 

Вы можете ознакомьтесь с некоторыми дополнительными методами здесь.

9. Разделение больших чисел на 9

 Пример: 
-> 10520/9

Напишите первую цифру над уравнением и напишите букву «R» (остаток) над последней цифрой.Добавьте число, которое вы только что написали, и число по диагонали ниже и справа от него. Напишите этот новый номер во втором месте. Добавьте это число к числу по диагонали внизу и справа. Продолжайте этот процесс, пока не дойдете до R.

Суммируйте числа одного цвета, чтобы получить следующую цифру.

Наконец, добавьте последнюю цифру к числу под R, чтобы получить остаток.

 10520/9 
= 1168 R8
или 1168,889

Вот еще один пример:

 -> 57423/9 

На этот раз после того, как мы завершили первый шаг, сумма нашего первого числа и числа по диагонали внизу и справа больше десяти (5 + 7 = 12).Ставим единицу над первой цифрой и вычитаем из нее девять . (Мы делим на девять, поэтому вычитаем девять, а не десять). Поместите получившееся число на вторую позицию (12–9 = 3). Продолжайте тот же процесс.

В этом примере наш остаток больше 9 (9 + 3 = 12). И снова мы переносим единицу над предыдущей цифрой и вычитаем девять из остатка, в результате чего остается три. Теперь сложите результат и цифры переноса.

 57423/9 
= 6380 R3
или 6380.333
Фотография Элисон Панг на Unsplash

10. Переверните вопрос

Проценты ассоциативны, поэтому иногда изменение порядка вопросов упрощает расчет.

 Пример: 
Что 36% от 25
-> равно 25% от 36
-> 25% равно ¼
-> 36/4 = 9
36% от 25 равно 9

11. Дроби

Как вы можете видеть, использование ¼ в последнем примере помогает узнать дроби и то, как они соотносятся с процентами.

 1/2 = 50% 1/3 = 33,33%, 2/3 = 66,67%, 1/4 = 25%, 3/4 = 75% 1/5 = 20%, 2/5 = 40%… 1 / 6 = 16,67%, 5/6 = 83,33% (2/6 = 1/3, 3/6 = 1/2, 4/6 = 2/3) 1/7 = 14,2857%, 2/7 = 28,5714% , 3/7 = 42,8571%, 4/7 = 57,1428% (обратите внимание на повторяющийся образец .142857) 1/8 = 12,5%, 3/8 = 37,5%, 5/8 = 62,5%, 7/8 = 87,5% 1 / 9 = 11,11%, 2/9 = 22,22%, 3/9 = 33,33%… 1/10 = 10%, 2/10 = 20%… 1/11 = 9,09%, 2/11 = 18,18%, 3 / 11 = 27,27%… 1/12 = 8,33%, 5/12 = 41,67%, 7/12 = 58,33%, 11/12 = 91,67% 

12. Правило 72

Правило 72 дает оценку того, как Чтобы удвоить стоимость при заданном процентном доходе, потребуется много лет.Он работает путем деления 72 на процент с ответом как количество лет, которое потребуется, чтобы удвоиться.

 2% -> 72/2 = 36, примерно 36 лет, чтобы удвоиться 
8% -> 72/8 = 9, примерно 9 лет, чтобы удвоиться

Обратите внимание, что правило 72 является руководством, основанным на натуральном логарифме 2 — что дает 0,693. Таким образом, правило 69,3 будет более точным, но 72 легче вычислить.

Существует также правило 114 для утроения инвестиций и правило 144 для четырехкратного увеличения ваших денег.

Я нашел две книги Артура Бенджамина, которые были полезны по этой теме. Многие примеры в этом блоге были вдохновлены этими книгами. Вы можете посмотреть их здесь.

Пожалуйста, оставьте комментарий, если вы нашли это полезным, или поделитесь любыми другими полезными приемами, с которыми вы столкнулись.

Как молниеносно решать математические задачи в голове

Люди, которые удивительно быстро решают математические задачи в уме, могут показаться умнее других, но, вероятно, это не так.Скорее всего, они знают несколько математических уловок. Вы можете изучить эти простые приемы, которые помогут вам в школе и за ее пределами, потому что у вас не всегда будет калькулятор, на который можно положиться.

    Примените правило умножения двузначных чисел на 10, которое гласит, что вы можете просто добавить ноль в конец любого числа, чтобы быстро найти результат умножения этого числа на 10 (например: 10 x 12 = 120) , чтобы умножить двузначные числа на 11, например 32 x 11 = 352.Вычислите результат в уме, сложив первое и последнее числа числа, которое нужно умножить на 11, и поместив полученный результат в середину. Например, 3_ (3 + 2) 2 = 352. Если среднее число дает двузначное число, добавьте первое число в начало уравнения и оставьте второе число посередине. Например, 88 x 11 = 8 (8 + 8) _8 = (8 + 1) _6_8 = 968.

    Быстро вычислите в уме квадрат двузначного числа, заканчивающегося на 5, умножив первую цифру на это цифра плюс 1, а затем прибавление 25 к концу числа.Например, 45 x 45 = 4 x 5_25 = 2025.

    С помощью этого простого трюка вычислите результат любого числа, умноженного на 5. Возьмите любое число, разделите его пополам и посчитайте результат. Если число целое, например, 4, что означает, что результат не имеет десятичного разряда, за которым следуют дополнительные числа, например 4,443, добавьте 0 в конец результата, чтобы получить ответ. Если результатом является не целое число, а число с остатком, игнорируйте остаток и прибавьте 5 к концу результата.Например, 2680 x 5 = 2680/2, а затем прибавляем 5 или 0 — в данном случае 0 — и получаем 13 400. Или другой пример: 5889 x 5 = 5889/2, а затем 5 или 0 — в данном случае 5. Отбросьте остаток и добавьте 5, чтобы 2944,5 стало 29 445.

    Быстро рассчитайте 15-процентную ставку на любую сумму, разделив общую сумму на 10 и прибавив половину этого числа к результату. Например, 15 процентов от 50 долларов = (50/10) + (50/10) / 2 = 5 долларов + 2,50 доллара = 7,50 доллара.

    Используйте подразделение, чтобы быстро вычислить большие числа в уме.Например, если вам нужно найти результат 32 x 125, разделите первое число пополам и умножьте второе число на два до тех пор, пока у вас не возникнет простая задача для решения (16 x 250; 8 x 500; 4 x 1000 = 4000. ).

Мармелад | 10 методов для более быстрого решения математических задач

29 апр. 10 Методы более быстрого решения математических задач

Разница между поэтом и математиком состоит в том, что поэт пытается забраться головой в небеса, а математик пытается вбить небеса в свою голову.”

— Г.К. Честертон

В современном мире бесчисленное множество людей боятся математики. Сложность решения проблем с большим количеством пользователей — обычная проблема, с которой борются многие люди. В этой статье я хочу поделиться с вами некоторыми простыми математическими приемами. Техники заключаются в следующем.

Большие числа

Сложить большие числа без калькулятора может быть очень сложно, но вы можете сделать этот процесс очень простым и легким, преобразовав все числа в числа, кратные 10.Например, если вам нужно добавить 644 + 238:

  • Прежде всего округлите числа до 650 и 240.
  • Сложите оба округленных числа; ответ — 890.
  • Найдите разницу между исходными и округленными числами, например 650 — 644 = 6 и 240 — 238 = 2,
  • Добавьте разницу, например 6 + 2 = 8.
  • Наконец, вычтем 8 из 890; ответ — 882.

Вычитание

Если вы хотите вычесть большое число из 1000, просто вычтите последнее число из 10 и вычтите все остальные числа из 9.Предположим, например, что вы хотите вычесть 1000 — 556.

  • Прежде всего, отработайте 9 — 5 = 4.
  • Во-вторых, сделать 9 — 5 + 4.
  • Наконец, вычислим 10-6 = 4.
  • 444 — ваш ответ.

Отдел

Хотите узнать, как можно разделить число поровну? См. Несколько примеров ниже:

  • 10, если число заканчивается нулем.
  • 9, когда числа сложены и полученная сумма может быть разделена на 9.
  • 8, если случай таков, что последние 3 числа можно разделить на 8.

Умножение на 9

С помощью этой техники вы можете умножить любую цифру до 9. Рассмотрим для примера 9 x 3:

  • Вычтите 1 из цифры, которую нужно умножить на 9, например 3 — 1 = 2.
  • Вычтите ответ из 9, например 9 — 2 = 7.
  • Объедините 2 и 7, например 27.
  • Смотрите, работает! 9 х 3 = 27.

5-кратное умножение (четное число)

Возможно, вы умножили 5 на множество четных чисел.Что ж, это умножение можно сделать быстрее. Рассмотрим на примере 5 x 4.

  • Разделите 4 на 2 — ответ 2.
  • Добавьте ноль к приведенному выше ответу, чтобы получилось 20.

Уловка в 10 раз

Если вы хотите умножить любую цифру на 10 и получить быстрый ответ, просто добавьте 0 в конце цифры. Рассмотрим пример: 62 x 10 = 620.

%%%

С помощью этого метода можно быстро найти проценты. Например, если вы хотите найти 5% от 235, выполните следующие действия:

.
  • Перемещение десятичной запятой на одно место, e.грамм. 23.5.
  • Разделил указанное выше значение на 2.
  • Ответ — 11,75.

Быстрое выравнивание

Рассмотрим число 35.

  • Разделите 3 из 35 на 3, получится 1.
  • Поместите 25 в конце.
  • «[3 x (3 + 1)] x 25»
  • Решите первую часть уравнения сначала «[3 x (3 + 1)] = 12»
  • Умножьте ответ на 25, чтобы получить окончательный ответ: «12 x 25 = 1225»

Жесткое умножение

При умножении больших чисел, если одна из цифр четная, вы можете сделать следующее:

  • Например, вы хотите умножить 20 x 120.
  • Прежде всего, разделите 20 на 2, чтобы получилось 10, затем удвойте 120, чтобы получить 240.
  • Умножьте 10 x 240, чтобы получить 2400 — это окончательный ответ.

Числа, заканчивающиеся на «0»

Для быстрого умножения чисел, оканчивающихся на «0», рассмотрите следующий код

  • Предположим, вы хотите умножить 200 на 400.
  • Умножьте 4 на 2, чтобы получить 8.
  • Поместите все нули после 8, чтобы получилось 80 000 (это окончательный ответ).

Заключение

Это некоторые из основных приемов, которые вы можете использовать, чтобы немного упростить решение математических задач.Попробуйте решить больше вопросов, чтобы стать еще лучше в математике.

Что такое числовое предложение? — Определение, факты и примеры

Числовое предложение

Числовое предложение — это математическое предложение, состоящее из цифр и знаков.

Выражения, приведенные в примерах, указывают на равенство или неравенство.

Типы числовых предложений

Числовое предложение может использовать любые математические операции от сложения, вычитания, умножения до деления.Символы, используемые в любом числовом предложении, различаются в зависимости от того, что они обозначают.

Дополнение

Предложение о вычитании

Предложение умножения

Отделение приговора

Меньше предложения

Больше, чем предложение

Алгебраическое предложение

Дробное предложение

Числовые предложения могут быть верными или неверными.

Например:

10 + 5 = 15. Здесь мы используем знак =, который указывает на баланс обеих сторон.

Однако также могут быть числовые предложения, в которых говорится:

12 + 6 = 9 неверно, но 12 + 6 = 18 верно.

Следовательно, числовое предложение не обязательно должно быть верным. Однако каждое числовое предложение дает нам информацию, основанную на предоставленной информации; можно изменить утверждение с ложного на истинное.

Итак, числовое предложение содержит числа, математические операции, знак равенства или неравенства и число после знака равенства или неравенства. Если мы удалим любой из этих компонентов, это больше не будет числовым предложением.

Например:

10 + 8> 15

Однако, если мы напишем 10 + 8, этого недостаточно, чтобы понять, какой вопрос нужно решить.

Если написать 10 + 8 15. Не имеет смысла

Если мы напишем +>, это тоже не имеет смысла.

Задачи с числовыми предложениями могут иметь форму словесных задач, в которых учащихся просят написать уравнение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.