|
Эта статья цитируется в 2 научных статьях (всего в 3 статьях) Гладкость решений уравнений, описывающих обобщенные ньютоновские течения, и оценки размерностей их аттракторов О. А. Ладыженская , Г. А. Серегин Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН Полнотекстовый PDF (3391 КБ) Английский полный текст Ссылки: HTML DOI: https://doi.org/10.1070/im1998v062n01ABEH000183 Реферат: В статье рассматриваются двумерные начально-краевые задачи динамики обобщенных ньютоновских жидкостей. Мы доказываем теоремы о гладкости решений этих задач и оцениваем хаусдорфову и фрактальную размерности их аттракторов. Поступила: 22.04.1997 Русская версия: Библиографические базы данных: MSC: 35B65, 76D99 Язык: Английский Язык оригинала: Русский Ссылка: О. А. Ладыженская, Г. А. Серегин, “Гладкость решений уравнений, описывающих обобщенные ньютоновские течения, и оценки размерностей их аттракторов”, Изв. РАН. сер. мат., 62:1 (1998), 59–122; Изв. Матем., 62:1 (1998), 55–113 Цитирование в формате AMSBIB Варианты соединения:
Ссылки на статьи в Google Scholar: русские цитаты,
английские цитаты | QR-? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1, страницы 55–113 
РАН. сер. Мат. 
, “Глобальный анализ жидкостей степенного типа”, Дифференциальные уравнения и нелинейная механика, Математика и ее приложения, 528, изд. Ваджравелу К., Springer, 2001, 213–233 Математика | Бесплатный полнотекстовый | Специальные свойства плоских соленоидальных полей. Это обобщение известно как разложение Гельмгольца–Вейля (см., например, [1]). Более точное пространство Лебега L2(Rn) векторных полей u=(u1,…,un) представляется прямой суммой
где h3(Rn) — замыкание всех гладких соленоидальных полей, а G2(Rn) — замыкание всех гладких потенциальных полей относительно нормы пространства L2(Rn).
Для различных размерностей (см. [2,3,4]) пространство, обозначаемое через h3(Rn), можно рассматривать как замыкание всех гладких конечных соленоидальных полей. Заметим, что нельзя заменить пространство Rn областью Ω≠Rn (см. [5]). Некоторые условия таких замен можно найти в [6].
Разложение Гельмгольца–Вейля влечет интегральное тождество:
для любых полей u∈h3(Rn) и g∈G2(Rn), дающих ключ к изучению уравнений Навье–Стокса. В принципе различные результаты, связанные с интегральными тождествами для соленоидальных полей в пространстве, были получены в [7]. Остальные размерности рассмотрены в [8,9].
Новая часть интегральных тождеств содержится в [10], где используется ротор. Таким образом, подчеркивалось различие между свойствами плоского и пространственного соленоидальных полей. Впервые эта идея была рассмотрена в [11]. Различные примеры течений в пространстве подтверждают бедность плоскопараллельных жидкостей по сравнению с пространственными.
Основная цель данной работы — показать новые применения новых интегральных тождеств для плоских соленоидальных полей. Во-первых, мы обеспечиваем достаточные условия для того, чтобы плоское поле было потенциальным полем. Эти тождества можно рассматривать как источник новых точных априорных оценок (см., например, [10]), как источник новых законов сохранения, из которых можно включить исходные данные задачи Коши. Эти интегральные тождества можно рассматривать как элементы скрытой симметрии. Гидродинамика очень богата такими элементами (см., например, важный обзор [12] или книгу [13]). Таким образом, сравнение различных приложений симметрии очень полезно.
В дальнейшем мы применяем обозначения. Пусть u:R2→R2,u=(u1,u2) — любое векторное поле. Такие символы, как
и т. д. означают частичную дифференциацию или дифференциацию в распределениях. Они также обозначаются другим символом
где α=(α1,α2) — мультииндекс частной производной.
Естественно, ∆ — оператор Лапласа. Ниже, если специально не отмечать, повторяющиеся нижние индексы i,j,k,m означают суммирование в границах их изменения. Например,
и т.д. Кроме того, координаты ротора обозначаются через
и интерпретируются как элементы кососимметричной матрицы C второго порядка.
Обычно конечное поле исчезает вне диска.
2. Основные результаты
Для простоты ограничимся формулировкой основных результатов для всего плоского и гладкого полей. Основные результаты описываются теоремами 1 и 2. Их доказательство опирается на леммы 1 и 2. Эти простые леммы могут быть интересны как отдельные утверждения.
Доказательство из Лемма 1.
Группировка слагаемых в (2) влечет равенство
Следовательно, имеем первое равенство леммы, так как u1,1=−u2,2 и т.
д.
Зафиксируем m. В (2) замены u на u,m, w на w,m влекут (3) после суммирования по m. Выбирая в (3) w=u и заменяя v на w, имеем (4).
Теперь в (4) заменим u на Dαu, w на Dβw. Тогда имеем (5). Формула (6) следует из (2) в силу соленоидальности полей w,m,u,m,Dαw,Dβu,Dγv. Тождество (7) как следствие (2). Равенство (8) проверяется аналогично. Достаточно сгруппировать
Здесь все суммы в скобках равны нулю.
Лемма доказана. □
Доказательство из Лемма 2.
Для второго интеграла поменяем местами индексы суммирования j и m. Затем
Равенство (9) доказано.
Замените (9) w на u. После этого заменяем u на u+tw, где t — любое число. Затем,
для всех т. Следовательно, при первой степени t коэффициент обращается в нуль
Из (9) и (3) следует (10).