Задачи по геометрии от ИМО: Шарыгин 2005-22 805p
Финал олимпиады по геометрии Шарыгина 2021 8.1
Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник. Центр описанной окружности и центр описанной окружности треугольника $ABC$ совпадают с центром вписанной окружности и центром описанной окружности треугольника $ADC$ соответственно. Известно, что $AB = 1$. Найдите оставшиеся длины сторон и углы треугольника $ABCD$.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 8.2
Три параллельные прямые $\ell_a, \ell_b, \ell_c$ проходят через вершины треугольника $ABC$. Прямая $a$ есть отражение высоты $AH_a$ относительно $\ell_a$. Строки $b, c$ определяются аналогично. Докажите, что $a, b, c$ параллельны.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 8.3
Три таракана бегут по кругу в одном направлении. Они стартуют одновременно из точки $S$. Таракан $A$ бегает в два раза медленнее, чем $B$, и в три раза медленнее, чем $C$. Точки $X, Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX = XY =YC$.
Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите геометрическое место центроидов треугольников $ZAB$.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии 8.4
Пусть $A_1$ и $C_1$ основания высот $AH$ и $CH$ остроугольного треугольника $ABC$. Точки $A_2$ и $C_2$ являются отражениями точек $A_1$ и $C_1$ относительно точки $AC$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.
Шарыгинская олимпиада по геометрии 2021 Финал 8.5
Точки $A_1,A_2,A_3,A_4$ не совпадают, то же самое для точек $B_1,B_2,B_3,B_4$. Для всех $i, j, k$ радиусы описанной окружности треугольников $A_iA_jA_k$ и $B_iB_jB_k$ равны. Можем ли мы утверждать, что $A_iA_j=B_iB_j$ для всех $i, j$’?
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 8.6
Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник. Точка $P$ такова, что $AP = AB$ и $PB\параллельны AC$. Точка $Q$ такова, что $AQ = AC$ и $CQ\параллельно AB$. Отрезки $CP$ и $BQ$ пересекаются в точке $X$.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на окружности $(PXQ)$.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии 8.7
Пусть $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник, углы $CAB$, $BCA$, $ECD$, $DEC$ и $AEC$ равны. Докажите, что $CE$ делит $BD$ пополам.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 8.8
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого все длины сторон равны, а все треугольники, образованные его вершинами, тупоугольные?
9 класс
Шарыгин 2021 Финал олимпиады по геометрии 9.1
Три чевии сходятся в точке, лежащей внутри треугольника. Ножки этих чевиан делят стороны на шесть отрезков, а длины этих отрезков образуют (в некотором порядке) геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан также образуют геометрическую прогрессию. 9о$. Окружность с центром в точке $E$ проходит через середины сторон $ABC$. Для коллинеарных $B, T, E$ найдите угол $ABC$.
2021 Финал олимпиады по геометрии Шарыгина 9.4
Определить расстояние между двумя треугольниками как ближайшее расстояние между двумя вершинами, по одной от каждого треугольника. Можно ли нарисовать на плоскости пять треугольников, расстояние между любыми двумя из которых равно сумме радиусов описанной окружности?
Шарыгинская олимпиада по геометрии 2021 Финал 9.5
Пусть $O$ — центр треугольника $ABC$. Точки $X$ и $Y$ на стороне $BC$ таковы, что $AX = BX$ и $AY = CY$. Докажите, что описанная окружность треугольника $AXY$ проходит через описанные окружности треугольников $AOB$ и $AOC$.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 9.6
Диагонали трапеции $ABCD$ ($BC\параллельно AD$) пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ лежат на отрезках $BC$ и $AD$ соответственно. Касательная к окружности $AMC$ в точке $C$ пересекает луч $NB$ в точке $P$; касательная к окружности $BND$ в точке $D$ пересекает луч $MA$ в точке $R$. Докажите, что $\угол BOP =\угол AOR$.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 9.7
На плоскости проведены три боковые линии остроугольного треугольника. Федор хочет провести высоты этого треугольника с помощью линейки и циркуля. Иван мешает ему, используя ластик. За каждый ход Федор может провести одну линию через две отмеченные точки или один круг с центром в отмеченной точке и проходящий через другую отмеченную точку. После этого Федор может отметить произвольное количество точек (общие точки проведенных линий, произвольные точки на проведенных линиях или произвольные точки на плоскости). За каждый ход Иван стирает не более трех отмеченных точек. (Федор не может использовать стертые точки в своих построениях, но может отметить их во второй раз). Ходят по очереди, начинает Федорс. Изначально точки не отмечены. Умеет ли Федор рисовать высоты? 9o$), $HA_1$, $HB_1$ — биссектрисы углов $CHB$, $AHC$ соответственно, а $E, F$ — середины углов $HB_1$ и $HA_1$ соответственно. Докажите, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются на биссектрисе угла $ACB$.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 10-11.2
Пусть A$BC$ — разносторонний треугольник, а $A_o$, $B_o,$ $C_o$ — середины треугольников $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. . Биссектриса угла $C$ пересекает $A_oCo$ и $B_oC_o$ в точках $B_1$ и $A_1$ соответственно. Докажите, что прямые $AB_1$, $BA_1$ и $A_oB_o$ совпадают.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 10-11.3
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($AB > AC$) пересекает описанную окружность в точке $P$. Перпендикуляр к $AC$ из точки $C$ пересекает биссектрису угла $A$ в точке $K$. Цикл с центром $P$ и радиусом $PK$ пересекает малую дугу $PA$ описанной окружности в точке $D$. Докажите, что четырехугольник $ABDC$ описан.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 10-11.4
Может ли треугольник быть развитием четырехугольной пирамиды?
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 10-11.5
Секущая пересекает одну окружность в точках $A_1$, $B_1$։, эта секущая пересекает вторую окружность в точках $A_2$, $B_2$. Другая секущая пересекает первую окружность в точках $C_1$, $D_1$ и вторую окружность в точках $C_2$, $D_2$. Докажите, что точки $A_1C_1 \cap B_2D_2$, $A_1C_1 \cap A_2C_2$, $A_2C_2 \cap B_1D_1$, $B_2D_2 \cap B_1D_1$ лежат на окружности, соосной двум заданным окружностям.
Шарыгинская олимпиада по геометрии 2021 Финал 10-11.6
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $S$. Биссектриса угла $ASC$ пересекает основания трапеции в точках $K$ и $L$ ($K$ лежит внутри отрезка $SL$). На отрезке $SK$ выбрана точка $X$, а на продолжении $SL$ за $L$ выбрана точка $Y$ так, что $\угол AXC — \угол AYC = \угол ASC$. Докажите, что $\угол BXD — \угол BYD = \угол BSD$.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 10-11.7
Пусть $I$ — центр вписанной части прямоугольного треугольника $ABC$, а $M$ — середина гипотенузы $AB$. Касательная описанной окружности $ABC$ в точке $C$ пересекает прямую, проходящую через $I$ и параллельную $AB$, в точке $P$. Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $PAB$. Докажите, что прямые $CH$ и $PM$ пересекаются во вписанной окружности треугольника $ABC$.
2021 Шарыгин Олимпиада по геометрии Финал 10-11.8
На аттракционе «Веселая стоянка» у авто всего два положения* руля: «право» и «сильно право». Таким образом, авто может двигаться по дуге радиусом $r_1$ или $r_1$. Авто стартовало из точки $A$ на север, преодолело расстояние $\ell$ и повернулось на угол $a < 2\pi$. Найдите геометрическое место его возможных конечных точек.
2021-2022 Финальный тур
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии I тур 8 9 с.0003
Пусть $O$ и $H$ — центр описанной окружности и ортоцентр соответственно треугольника $ABC$. Известно, что $BH$ — биссектриса угла $ABO$. Прямая, проходящая через $O$ и параллельная $AB$, пересекает $AC$ в точке $K$. Докажите, что $AH = AK$
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур p2 класс 8
Пусть $ABCD$ — описанный выше четырехугольник с центром вписанной $I$, и пусть $O_{1}, O_{2}$ — центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_{1}IO_{2}$ лежит на биссектрисе угла $ABC$
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с3 8 класс
Пусть $CD$ высота прямоугольного треугольника $ABC$ с $\уголком C = 90$. Правильные треугольники$AED$ и $CFD$ таковы, что $E$ лежит по ту же сторону от $AB$, что и $C$, а $F$ лежит по ту же сторону от $CD$, что и $B$. Прямая $EF$ пересекает $AC$ в точке $L$. Докажите, что $FL = CL + LD$
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с4 8 класс
Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$. $A_2$ — точка касания вписанной окружности треугольника $AB_1C_1$ с $B_1C_1$, точки $B_2$, $C_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ совпадают.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с5 8 класс
Пусть диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает $AD$ в точке $D_1$, аналогично определяется точка $A_1$. Докажите, что касательная в точке $P$ описанной окружности треугольника $D_1PA_1$ параллельна $BC$.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с6 8-9 классы
Вписанная и вписанная окружности треугольника $ABC$ касаются стороны $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P’$ и $Q’$ соответственно. Докажите, что $$PP’ > QQ’$$
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с7 8-9 классы
На внешней стороне $AC$ треугольника $ABC$ построен квадрат с центром $F$. После этого было стерто все, кроме $F$ и середины $N,K$ сторон $BC,AB$.
Восстановить треугольник.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с8 8-9 классы
Точки $P,Q,R$ лежат на сторонах $AB,BC,CA$ треугольника $ABC$ так, что $AP=PR, CQ =QR$. Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $PQR$, а $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $$OH||AC$$.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с9 8-9 классы
Стороны $AB, BC, CD$ и $DA$ четырехугольника $ABCD$ касаются окружности с центром $I$ в точках $K, L, M$ и $N$ соответственно. Пусть $P$ — произвольная точка прямой $AI$. Пусть $PK$ пересекается с $BI$ в точке $Q, QL$ пересекается с $CI$ в точке $R$, а $RM$ пересекается с $DI$ в точке $S$. Докажите, что $P,N$ и $S$ коллинеарны.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с10 8-9 классы
Пусть $\omega_1$ — описанная окружность треугольника $ABC$, а $O$ — его центр описанной окружности. Окружность $\omega_2$ касается сторон $AB, AC$ и дуги $BC$ дуги $\omega_1$ в точке $K$. Пусть $I$ — центр вписанной плоскости $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$. 9o$ и $T$ — такие точки, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC$. Окружность, проходящая через $B,C$ и $T$, пересекает точки $AB$ и $AC$ во второй раз в точках $K$ и $L$. Докажите, что расстояния от $K$ и $L$ до $AT $ равны.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с.12 8-11 классы
Пусть $K$, $L$, $M$, $N$ — середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB $ соответственно выпуклого четырехугольника $ABCD$. Точки пересечения отрезков $AK$, $BL$, $CM$, $DN$ делят каждый из них на три части. Известно, что отношение длины медиальной части к длине всего сегмента одинаково для всех сегментов. Означает ли это, что $ABCD$ — параллелограмм?
2022 Шарыгин Олимпиада по геометрии Первый тур с13 8-11 классы
В плоскости дается восемь баллов в общем положении. Площади всех $56$ треугольников с вершинами в этих точках написаны в ряд. Докажите, что между ними можно вставить символы «$+$» и «$-$» так, чтобы полученная сумма равнялась нулю.
2022 Шарыгин Олимпиада по геометрии Первый тур с14
Дан треугольник $ABC$. Пусть $C’$ и $C’_{a}$ — точки касания боковой линии $AB$ с вписанной и вписанной окружностями, касающимися стороны $BC$. Точки $C’_{b}$, $C’_{c}$, $A’$, $A’_{a}$, $A’_{b}$, $A’_{c}$ , $B’$, $B’_{a}$, $B’_{b}$, $B’_{c}$ определяются аналогично. Рассмотрим длины $12$ высот треугольников $A’B’C’$, $A’_{a}B’_{a}C’_{a}$, $A’_{b}B’_{ б}C’_{b}$, $A’_{c}B’_{c}C’_{c}$. 92 = AD \cdot AE$.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с16 9-11 классы
Пусть $ABCD$ – вписанный четырехугольник, $E = AC \cap BD$, $F = AD \cap BC$. Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$ . Докажите, что $A, B, X, Y$ концикличны.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с17 9-11 классы
Пусть точка $P$ лежит внутри треугольника $ABC$. Лучи, выходящие из точки $P$ и пересекающие стороны $BC$, $AC$, $AB$ под прямым углом, пересекают описанную окружность $ABC$ в точках $A_{1}$, $B_{1}$, $C_ {1}$ соответственно. Известно, что прямые $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ пересекаются в точке $Q$. Докажите, что все такие прямые $PQ$ совпадают.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с.18 10-11 классы
Произведения длин противоположных сторон вписанного четырехугольника $ABCD$ равны
. Пусть $B’$ — отражение $B$ относительно $AC$. Докажите, что окружность, проходящая через $A,B’, D$, касается $AC$
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с.19 10-11 классы
Пусть $I$ — центр вписанной треугольника $ABC$, а $K$ — точка пересечения $BC$ с внешней биссектрисой угла $A$. Прямая $KI$ пересекает внешние биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $\угол BAX = \угол CAY$
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с20 10-11 классы
Пусть $O$, $I$ — центр описанной окружности и центр вписанной окружности $\треугольника ABC$; $R$,$r$ — радиус описанной окружности и внутренний радиус; $D$ — точка касания вписанной окружности с $BC$; и $N$ — произвольная точка отрезка $ID$. Перпендикуляр к $ID$ в точке $N$ пересекает описанную окружность $ABC$ в точках $X$ и $Y$. Пусть $O_{1}$ — описанная окружность $\треугольника XIY$.
Найдите продукт $OO_{1}\cdot IN$.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с21 10-11 классы
Отмечены центр описанной окружности $O$, центр вписанной окружности $I$ и середина $M$ диагонали двуцентрального четырехугольника. После этого четырехугольник был стерт. Восстановите его.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с22 10-11 классы
Хорды $A_1A_2, A_3A_4, A_5A_6$ окружности $\Omega$ пересекаются в точке $O$. Пусть $B_i$ — вторая точка пересечения $\Omega$ и окружности с диаметром $OA_i$ . Докажите, что хорды $B_1B_2, B_3B_4, B_5B_6$ совпадают.
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии I тур с23 10-11 классы
Дан эллипс с фокусом $F$. Две перпендикулярные прямые, проходящие через $F$, пересекают эллипс в четырех точках. Касательные к эллипсу в этих точках образуют четырехугольник, описанный вокруг эллипса. Докажите, что этот четырехугольник вписан в конику с фокусом $F$
2022 Шарыгинская олимпиада по геометрии Первый тур с24 класс 11
Пусть $OABCDEF$ — шестиугольная пирамида с основанием $ABCDEF$, описанная вокруг сферы $\omega$. Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$, $OAB$ и $ABCDEF$, пересекает $OA$ в точке $A_1$, точках $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1 $ и $F_1$ определяются аналогично. Пусть $\ell$, $m$ и $n$ — это линии $A_1D_1$, $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Известно, что $\ell$ и $m$ компланарны, а также $m$ и $n$ компланарны. Докажите, что $\ell$ и $n$ компланарны.
[Решения] Математическая олимпиада по геометрии Шарыгина 2018 (Заочный тур)
- Внутри квадрата лежат три окружности.
Каждая из них касается снаружи двух оставшихся окружностей. Также каждый круг касается двух сторон квадрата. Докажите, что две из этих окружностей конгруэнтны. - Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$, а прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $F$. Пусть $I$ — центр вписанной треугольника $AED$, а луч с началом в $F$ перпендикулярен биссектрисе угла $\angle AID$. В каком отношении этот луч пересекает угол $AFB$?
- Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, $D$ — его середина, а $E$ — проекция $D$ на $AB$. Известно, что $AC = 3AE$. Докажите, что треугольник $CEL$ равнобедренный.
- Пусть $ABCD$ вписанный четырехугольник. Точка $P$ движется по дуге $AD$, не содержащей $B$ и $C$. Неподвижная прямая $l$, перпендикулярная $BC$, пересекает лучи $BP$, $CP$ в точках $B_0$, $C_0$ соответственно. Докажите, что касательная в точке $P$ к описанной окружности треугольника $PB_0C_0$ проходит через некоторую неподвижную точку. 9{\circ}$) с $BC = 2AC$.
- Пусть $E$ — точка пересечения окружностей $\omega _1$ и $\omega _2$. Пусть $AB$ — общая касательная к этим окружностям, а $CD$ — прямая, параллельная $AB$, такая, что $A$ и $C$ лежат на $\omega _1$, $B$ и $D$ лежат на $\omega _2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ пересекаются во второй раз в точке $F$. Докажите, что $F$ делит пополам одну из дуг $CD$ окружности $CDE$.
- Восстановить треугольник $ABC$ по точке Нагеля, вершине $B$ и основанию высоты из этой вершины.
- В остроугольный треугольник вписан квадрат: две вершины этого квадрата лежат на одной стороне треугольника, а две оставшиеся вершины лежат на двух оставшихся сторонах. По остальным сторонам строятся два таких же квадрата. Докажите, что три отрезка, конгруэнтные сторонам этих квадратов, могут быть сторонами остроугольного треугольника.
- На плоскости задано $2018$ точек, все расстояния между которыми различны. Для каждой точки отметьте ближайшую из оставшихся точек. Какое минимальное количество отмеченных точек?
- Пусть $I$ — центр вписанной вершины неравнобедренного треугольника $ABC$. Докажите, что существует единственная пара точек $M$, $N$, лежащих на сторонах $AC$, $BC$ соответственно, такая, что $\angle AIM = \angle BIN$ и $MN|| АБ$.
- Пусть $BD$ — внешняя биссектриса треугольника $ABC$, где $AB > BC$; $K$ и $K_1$ — точки касания стороны $AC$ с вписанной и вписанной окружностями с центрами в точках $I$ и $I_1$ соответственно. Прямые $BK$ и $DI_1$ пересекаются в точке $X$, а прямые $BK_1$ и $DI$ пересекаются в точке $Y$. Докажите, что $XY \perp AC$. 9{\circ}$, $K$, $L$, $M$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ соответственно, а $N$ — точка стороны $AB$. Прямая $CN$ пересекает $KM$ и $KL$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точки $S$, $T$, лежащие на $AC$ и $BC$ соответственно, таковы, что $APQS$ и $BPQT$ — вписанные четырехугольники.
а) если $CN$ — биссектриса, то $CN$, $ML$ и $ST$ совпадают;
б) если $CN$ — высота, то $ST$ делит $ML$ пополам. - Высоты $AH_1$, $BH_2$, $CH_3$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $P$ и $Q$ являются отражениями $H_2$ и $H_3$ относительно $H$. Описанная окружность треугольника $PH_1Q$ вторично пересекает $BH_2$ и $CH_3$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что $RS$ является средней линией треугольника $ABC$.
- Пусть $ABC$ — треугольник, $AB < BC$. Биссектриса угла $C$ пересекает прямую, параллельную $AC$ и проходящую через $B$, в точке $P$. Касательная в точке $B$ описанной окружности $ABC$ пересекает эту биссектрису в точке $R$. Пусть $R'$ — отражение $R$ относительно $AB$. Докажите, что $\angle R'P B = \angle RPA$.
- Пусть каждая из окружностей $\alpha, \beta, \gamma$ касается двух оставшихся окружностей снаружи, и все они касаются окружности $\Omega$ внутри в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Общая внутренняя касательная к $\alpha$ и $\beta$ пересекает дугу $A_1B_1$, не содержащую $C_1$, в точке $C_2$. Аналогично определяются точки $A_2$, $B_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ совпадают.
- Пусть $C_1$, $A_1$, $B_1$ — точки на сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ такие, что $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ совпадают. Лучи $B_1A_1$ и $B_1C_1$ пересекают описанную окружность треугольника в точках $A_2$ и $C_2$ соответственно. Докажите, что $A$, $C$, точка пересечения $A_2C_2$ и $BB_1$ и середина $A_2C_2$ концикличны.
- Дан треугольник $ABC$. На линейке отмечены три отрезка, конгруэнтные сторонам этого треугольника. Используя эту линейку, постройте ортоцентр треугольника, образованного точками касания сторон $ABC$ с вписанной окружностью.
- Пусть вписанная окружность неравнобедренного треугольника $ABC$ касается $AB$, $AC$ и $BC$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Соответствующая вписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $N$. Пусть $T$ — точка пересечения $AN$ и ближайшей к $N$ вписанной окружности, а $K$ — точка пересечения $DE$ и $FT$.