Гдз по математике бунимович подведем итоги: ГДЗ Подведем итоги ГЛАВА 9

Содержание

Страница 132. Подведем итоги. ГДЗ к учебнику «Математика» 5 класс Бунимович, Дорофеев, Суворова

ГДЗ 1 класс

ГДЗ 10 класс

: Категория: ГДЗ Математика учебник 5 класс Бунимович, Дорофеев, Суворова

Задание 1. Начертите прямоугольный треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол, равны 3 см и 4 см.

Решение

Задание 2. Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника?

Ответ 7 гуру

Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника равны между собой.

Задание 3. Начертите какой−нибудь равнобедренный треугольник, у которого величина угла между боковыми сторонами равна 100°. Каким является этот треугольник: прямоугольным, остроугольным или тупоугольным?

Решение

ΔABC − тупоугольный.

Задание 4. Найдите периметр:
а) равностороннего треугольника со стороной 12 см;
б) равнобедренного треугольника с основанием, равным 7 см, и боковой стороной, равной 13 см.

Решение

а) 12 * 3 = 36 (см) − периметр треугольника.
Ответ: 36 см.
б) 7 + 2 * 13 = 7 + 26 = 33 (см) − периметр треугольника.
Ответ: 33 см.

Задание 5. Какой четырехугольник называют прямоугольником, а какой − квадратом?

Ответ

Четырехугольник, у которого все углы прямые называется прямоугольником.
Прямоугольник, у которого все стороны равны называется квадратом.

Задание 6. Постройте на нелинованной бумаге:
а) прямоугольник со сторонами 7 см и 4 см;
б) квадрат со стороной 45 мм.

Решение

а)

б)

Задание 7. Вычислите периметр:
а) прямоугольника со сторонами 5 см 6 мм и 7 см 9 мм;

б) квадрата со стороной 1 м 56 см.

Решение

а) 5 см 6 мм = 56 мм;
7 см 9 мм = 79 мм.
(56 + 79) * 2 = 135 * 2 = 270 (мм) = 27 (см) − периметр прямоугольника.
Ответ: 27 см.
б) 1 м 56 см = 156 см.
156 * 4 = 624 (см) = 6 м 24 см − периметр квадрата.
Ответ: 6 м 24 см.

Задание 8. Каким свойством обладают диагонали прямоугольника?
Начертите прямоугольника ABCD со сторонами 5 см и 4 см. Проведите диагонали прямоугольника. Обозначьте точку пересечения диагоналей буквой O. Проведите необходимые измерения и вычислите периметр одного из тупоугольных треугольников.

Решение

AC = BD = 64 мм = 6 см 4 мм
Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, тогда:
64 : 2 = 32 мм = 3 см 2 мм = BO = CO
$P_{BOC}$ = BO + OC + BC = 32 мм + 32 мм + 50 мм = 64 мм + 50 мм = 114 мм = 11 см 4 мм − периметр ΔBOC.
Ответ: $P_{BOC}$ = 11 см 4 мм.

Задание 9. {(3}}{2\;\;}=\frac36$
Запись смешанных дробей: 3_1/2 это то же самое что $3\frac12$.

ПЕРЕЙТИ К СПИСКУ СТРАНИЦ УЧЕБНИКА МАТЕМАТИКА 5 КЛАСС БУНИМОВИЧ >>

ГДЗ
ГДЗ по математике
ГДЗ Математика учебник 5 класс Бунимович, Дорофеев, Суворова

ГДЗ Математика 6 класс Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева (2014) . Ответы и решения на VipGDZ.ru

Глава 1. ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ № 1-75 ↑
- 1. Что мы знаем о дробях № 1-15 ↑
  123456789101112131415
- 2. Вычисления с дробями № 16-33 ↑
  161718192021222324252627282930313233
- 3. Основные задачи на дроби № 34-48 ↑
  343536373839404142434445464748
- 4. Что такое процент № 49-68 ↑
  4950515253545556575859606162636465666768
- 5. Столбчатые и круговые диаграммы № 69-75 ↑
  69707172737475
- Подведём итоги № 1-10 ↑
  12345678910
Глава 2. ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ № 76-111 ↑
- 6. Пересекающиеся прямые № 76-85 ↑
  76777879808182838485
- 7. Параллельные прямые № 86-98 ↑
  86878889909192939495969798
- 8. Расстояние № 99-111 ↑
  
  99100101102103104105106107108109110111
- Подведём итоги № 1-8 ↑
  12345678
Глава 3. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ № 112-160 ↑
- 9. Какие дроби называют десятичными № 112-127 ↑
  112113114115116117118119120121122123124125126127
- 10. Перевод обыкновенной дроби в десятичную № 128-141 ↑
  128129130131132133134135136137138139140141
- 11. Сравнение десятичных дробей № 142-160 ↑
  142143144145146147148149150151152153154155156157158159160
- Подведём итоги № 1-11 ↑
  1234567891011
Глава 4. ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ № 161-272 ↑
Глава 5. ОКРУЖНОСТЬ № 273-321 ↑
- 17. Прямая и окружность № 273-285 ↑
  273274275276277278279280281282283284285
- 18. Две окружности на плоскости № 286-297 ↑
  286287288289290291292293294295296297
- 19. Построение треугольника № 298-310 ↑
  298299300301302303307308309310
- 20. Круглые тела № 311-321 ↑
  311312314315316317318319320321
- Подведём итоги № 1-8 ↑
  12345678
Глава 6. ОТНОШЕНИЯ И ПРОЦЕНТЫ № 322-399 ↑
Глава 7. ВЫРАЖЕНИЯ, ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ № 400-472 ↑
- 26. О математическом языке № 400-414 ↑
  400401402403404405406407408409410411412413414
- 27. Буквенные выражения и числовые подстановки № 415-430 ↑
  415416417418419420421422423424425426427428429430
- 28. Составление формул и вычисление по формулам № 431-443 ↑
  431432433434435436437438439440441442443
- 29. Формулы длины окружности, площади круга и объёма шара № 444-456 ↑
  444445446447448449450451452453454455456
- 30. Что такое уравнение № 457-472 ↑
  457458459460461462463464465466467468469470471472
- Подведём итоги № 1-10 ↑
  12345678910
Глава 8. СИММЕТРИЯ № 473-512 ↑
- 31. Осевая симметрия № 473-484 ↑
  473474475476477478479480481482483484
- 32. Ось симметрии фигуры № 485-498 ↑
  485486487488489490491492493494495496497498
- 33. Центральная симметрия № 499-512 ↑
  499500501502503504505506507508509510511512
- Подведём итоги № 1-7 ↑
  1234567
Глава 9. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА № 513-598 ↑
Глава 10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА № 599-684 ↑
Глава 11. МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ № 685-736 ↑
Глава 12. МНОЖЕСТВА. КОМБИНАТОРИКА № 737-777 ↑
- 48. Понятие множества № 737-750 ↑
  737738739740741742743744745746747748749750
- 49. Операции над множествами № 751-763 ↑
  751752753754755756757758759760761762763
- 50. Решение комбинаторных задач № 764-777 ↑
  764765766767768769770771772773774775776777
- Подведём итоги № 1-7 ↑
  1234567
Вопросы и задания ↑
- К § 1 № 1-2 ↑
  12
- К § 2 № 1-3 ↑
  123
- К § 3 № 1-3 ↑
  123
- К § 4 № 1-2 ↑
  12
- К § 5 № 1-4 ↑
  1234
- К § 6 № 1-2 ↑
  12
- К § 7 № 1-2 ↑
  12
- К § 8 № 1-2 ↑
  12
- К § 9 № 1-3 ↑
  123
- К § 10 № 1-2 ↑
  12
- К § 11 № 1-3 ↑
  123
- К § 12 № 1-2 ↑
  12
- К § 13 № 1-3 ↑
  123
- К § 14 № 1-3 ↑
  123
- К § 15 № 1-3 ↑
  123
- К § 16 № 1-3 ↑
  123
- К § 17 № 1-5 ↑
  12345
- К § 18 № 1-3 ↑
  123
- К § 19 № 1-3 ↑
  123
- К § 20 № 1-3 ↑
  123
- К § 21 № 1-3 ↑
  123
- К § 22 № 1-3 ↑
  123
- К § 23 № 1-3 ↑
  123
- К § 24 № 1-2 ↑
  12
- К § 25 № 1-2 ↑
  12
- К § 26 № 1-3 ↑
  123
- К § 27 № 1-2 ↑
  12
- К § 28 № 1-2 ↑
  12
- К § 29 № 1-3 ↑
  123
- К § 30 № 1-3 ↑
  123
- К § 31 № 1-3 ↑
  123
- К § 32 № 1-5 ↑
  12345
- К § 33 № 1-4 ↑
  1234
- К § 34 № 1-4 ↑
  1234
- К § 35 № 1-545 ↑
  123
- К § 36 № 1-3 ↑
  123
- К § 37 № 1-3 ↑
  123
- К § 38 № 1-4 ↑
  1234
- К § 39 № 1-3 ↑
  123
- К § 40 № 1-4 ↑
  1234
- К § 41 № 1-3 ↑
  123
- К § 42 № 1-5 ↑
  12345
- К § 43 № 1-3 ↑
  123
- К § 44 № 1-4 ↑
  1234
- К § 45 № 1-3 ↑
  123
- К § 46 № 1-4 ↑
  1234
- К § 47 № 1-3 ↑
  123
- К § 48 № 1-2 ↑
  12
- К § 49 № 1-3 ↑
  123
- К § 50 № 1-2 ↑
  12

Чаще всего проблемы возникают с таким запутанным школьным предметом как математика, и дети начинают искать себе помощников для его изучения. Надежными напарниками во время выполнения заданий и усвоения материала становятся готовые домашние задания. Эти книги появились всего несколько лет назад, но уже завоевали огромную популярность среди учеников любого возраста.

Одним из самых востребованных ГДЗ по математике является пособие, написанное Бунимовичем Е.А. Оно находиться на нашем портале VIPGDZ.ru и имеет очень простую и удобную структуру.

Из чего состоят решебники по математике Бунимовича?

ГДЗ по математике 6 класс Бунимович, как и любой другой учебник, состоит из нескольких обязательных компонентов. В первую очередь, выбирая на нашем портале VIPGDZ данную книгу, мы встречаемся с содержанием. Этот небольшой компонент помогает в кратчайшие сроки отыскать необходимый номер задания и быстро к нему перейти.

Дальше идет один из главных компонентов, которым могут похвастаться решебники – процессы выполнения заданий. Эти части справочников такого типа целенаправленно созданы для того, чтобы в поэтапной форме демонстрировать ученику 6 класса, как нужно применять новое правило на практике. Это поможет закрепить добытые знания надолго.

Конечно, ГДЗ Бунимовича не может обойтись без правильных ответов, которые участвуют в процессе проверки домашних упражнений и исправлении ошибок. Благодаря этим частям учебного пособия школьник всегда будет уверен в собственных силах. Не стоит беспокоиться о поиске ГДЗ и сотрудничестве с ними, просто заходите на наш сайт. Работать в режиме онлайн с решебниками на нашем портале VIPGDZ сможет каждый желающий, ведь это очень легко.

Качественные правильные решения на VIPGDZ — залог успеха в обучении

Мы знаем, что математика и так достаточно сложная дисциплина, поэтому сделали все возможное, чтобы облегчить Вам работу с ГДЗ на нашем сайте для ее комфортного изучения. Все ответы по математике, принадлежащие такому автору как Бунимович Е.А. прошли тщательную проверку VIPGDZ.ru.

Заботясь о наших посетителях, нами был сделан абсолютно свободный доступ ко всем книгам на портале. Вы без проблем можете просматривать решебники на наших страницах бесплатно, даже не регистрируясь при этом. Такой процесс сотрудничества с учебниками сэкономит не только финансы, но и драгоценное время.

Ученики, которые находятся в 6 классе, смогут пользоваться необходимыми им решебниками в любом месте. Все это стало возможным благодаря тому, что мы создали мобильную версию нашего образовательного ресурса VIPGDZ.ru. Теперь Вам совершенно не нужно волноваться о том, что решений запутанных упражнений и задач не окажется под рукой в нужное время.

Шестиклассники могут находить правильные ответы в ГДЗ Бунимовича на VIPGDZ без чьей-либо помощи. Все это возможно потому, что мы сделали интерфейс нашего портала очень простым и удобным.

Для того чтобы добывать и усваивать важные знания необходимы надежные помощники, которыми гарантировано станут ГДЗ по математике. Сайт VIPGDZ.ru поможет обучаться с хорошим настроением!

ГДЗ По Алгебре 10 Класс Афанасьева – Telegraph

>>> ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ <<<

ГДЗ По Алгебре 10 Класс Афанасьева

Решебники ГДЗ 10 класс в разделением на категории: Английский, Алгебра, Геометрия, Физика, Русский, Информатика, География, Химия бесплатно с пояснениями . 10 класс . Все решебники . Английский . Алгебра . Геометрия . Русский .

Онлайн решебники 10 класс по всем предметам, гдз и ответы к домашним заданиям . Математика 10 класс алгебра и начала математического анализа, геометрия Мордкович А .Г . Базовый уровень . Английский язык 10 класс Афанасьева О . В . Углубленный уровень .

Алгебра – очень нелегкий предмет, именно поэтому, практически каждому ученику просто необходим помощник . Имея три главы с уникальными решениями задач, ГДЗ стали незаменимым атрибутом учеников . Каждый раздел рассматривает свой спектр вопросов . .

Алгебра 10 класс . Алгебра и начала математического анализа . Мордкович, Семёнов . ГДЗ для 10 класса . Позади осталась трудная экзаменация, но школьникам от этого все равно не становится легче, ведь хоть и пройден основной этап обучения, но впереди предстоит самое . .

Решебник (ГДЗ ) по учебнику Алгебра , 10 класс (О .Н . Афанасьева, Я .С . Бродский, А .Л . Павлов, А .К . Слипенко) . Решебник по учебнику: СУПЕР ГДЗ . Готові домашні завдання . 10 клас . Розв’язання вправ та завдань до усіх шкільних підручників .

Самое время в десятом классе начать активно изучать математику, ведь через два года выпускные экзамены . Именно поэтому в этом учебном году школьник будет выполнять не мало задач и примеров, а в этом всегда готов помочь решебник Математика 10 клас О .М . .

Используя готовые домашние задания по алгебре для 10 класса , ученик сможет зосто решить любой пример не только из учебника, но и аналогичный из учительского сборника . В решебе по алгебре каждое задание разобрано до мельчайших деталей, что позволяет . .

10 класс . Решебники для 10 класса . Геометрия . Латотин Л . А ., Чеботаревский И . В ., Горбунова И . В .

10 класс ” включает: 1 . Учебник английского языка для 10 класса «Spotlight» О .В Афанасьева, Д . Дули, И .В Михеева, Б . Оби, В . Эванс По страницам учебника «English» за 10 класс с углубленным изучением английского языка О .В . Афанасьевой . Учебник «English» за 10 класс . .

ГДЗ и решебники 10 класс по Математике . О . М . Афанасьева и др . Год: . Класс : 10 класс . Просмотреть . Математика к 10 классу становится довольно сложной, хоть и ГДЗ по математике за 10 класс – что собой представляет . Когда-то в советских учебниках можно было . .

ГДЗ Математика 10 клас Афанасьєва . Авторы:Афанасьєва О .М ., Бродський Я .С ., Павлов О .Л . Издательство:Богдан, Тернопіль . Ответы к учебнику Математика 10 класс Афанасьева — решебник .

Відповіді, ГДЗ Математика 10 клас Афанасьєва, Бродський — готові домашні завдання читати онлайн безкоштовно .
ГДЗ : готовые ответы по английскому языку за 10 класс, решебник В . Эванс, Spotlight, онлайн решения на GDZ .RU .
Готовые домашние задания по английскому языку 10 класса под авторством Юхнель Н .В ., 2020 год . Ответы в решебнике . Учебный год не пройдет зря, если применять ГДЗ с умом . Материал избавит от необходимости искать репетитора или языковые курсы для повышения . .

Автор: О . В . Афанасьева , И . В . Михеева Предмет (категория): Учебник по английскому языку с углубленным изучением Класс : 10 Читать онлайн: Да Скачать б . Описание учебников, ГДЗ и книг на русском языке . Чисто русский проект!

10 класс . Решебники для 10 класса . Геометрия . Латотин Л . А ., Чеботаревский И . В ., Горбунова И . В .

ГДЗ Алгебра 10 Класс Алимов Еуроки 712
ГДЗ Прописи Горецкий
Решебник Онлайн 3 Класс По Русскому Языку
ГДЗ По Химии 8 Класса Вопросы
ГДЗ По Математике 9 Геометрии
ГДЗ По Алгебре 10 Классмордкович
ГДЗ Математика Дорофеев Ответы 2 Часть
ГДЗ Математика 6 Класс Жохов Мнемозина
ГДЗ По Английскому 5 Класс Кузнецова
ГДЗ Путина География
ГДЗ По Геометрии Атанасян Бутузова 8
ГДЗ По Русскому Языку Канакина 1
ГДЗ По Русскому 3 Класс Кузнецова Тетрадь
ГДЗ По Русски Часть 2 Иванов
ГДЗ По Алгебре 8 Мерзляк Полонский
ГДЗ 6 Класс Решебник Афанасьева
Решебник Никольский
ГДЗ Литература 8 Класс Саврасова 1 Часть
Федорова 8 Класс ГДЗ
Гейдман 2 Класс Решебник
Решебник По Математике Муравьева 1 Часть
Решебник По Русскому Языку Седьмого Класса Баранов
ГДЗ 9 Кл Физика Перышкин Упражнение
ГДЗ Класс Математика Автор Моро
ГДЗ По Русскому Языку 16 Класс
ГДЗ Алгебра 9 Сборник Мерзляк
Решебник По Языку 5
ГДЗ По Немец Языку 8 Класс
Алгебра 7 Класс Никольский ГДЗ С Решением
ГДЗ По Химии 9 Класс Рт Габрусева
ГДЗ Рейнбоу Инглиш 6 Класс Тетрадь
Баранов Григорян Русский Язык ГДЗ
ГДЗ По Русскому 8 Класс Инновационная Школа
ГДЗ По Радужному Английскому Языку
ГДЗ Раб Тетр 3 Моро
История 7 Класс Учебник Юдовская Баранов ГДЗ
ГДЗ По Алгебре 8 Класс Ваулина Учебник
ГДЗ Учебник 2 Кл 2 Часть
ГДЗ Плешаков 5 Класс
Решебник По 3 Класс Русский Рабочая
ГДЗ По Русскому Языку Седьмой Класс
ГДЗ По Колягину 9 Класс
ГДЗ По Немецкому Языку 7 Класс 2020
ГДЗ Математика 6 Класс Зубарева Упражнение
ГДЗ По Геометрии 9 Зив
Решебник По Математике Автор Никольский 5 Класс
ГДЗ Химия 8 Габриелян 2009
ГДЗ Математика 5 Бунимович Подведем Итоги
Решебник 2 Класс Бунеев Бунеева
Русский Язык Соловейчик Решебник Часть 1

ГДЗ По Алгебре 10 Мерзляк 2020

Гдз По Русскому Языку Богданова

Решебник Математика Рабочая Часть

Гдз По Русскому 6 Ладыженская

Биология 10 Класс Тетрадь ГДЗ

Алгебраическое мышление — Элементарная математика

Развитие алгебраических идей и языка

Фокусы с числами — развлечение для детей. Веселье само по себе ценно, но это не математика. Но понимание того, как работает этот трюк, — это хорошее математическое, часто алгебраическое обучение. А понимание трюка достаточно хорошо позволяет детям придумывать свои собственные трюки.

Трюки «Задумай число»

Эти уловки бывают двух типов:

Задумай число (но не говори мне), произведи некоторые арифметические действия с этим числом, и я смогу предсказать твой результат .

Придумай число, посчитай, скажи мне результат, и я сразу скажу, с какого числа ты начал.

Четвероклассники обожают эти фокусы! Большинство из них (и даже некоторые младшие дети) также готовы понять, как они работают, и даже научиться придумывать свои собственные трюки! Без нотной записи средней школы то, что они изучают, является началом алгебры!

Хитрость

Пример предсказания ответа:

Задумайте число.
Добавить 3.
В два раза больше.
Вычесть 4.
Сократите это пополам.
Вычтите исходное число.
Ваш результат 1!

Как это работает

Я говорю Задумайте число. Я не знаю, о каком числе вы думаете, поэтому я просто представляю мешок с таким количеством шариков или конфет.

Сумка закрыта и завязана, поэтому я не могу заглянуть внутрь, но это не имеет значения. Ваш номер там.

Я знаю, что если я скажу вам прибавить 3, я могу представить себе эту сумку и еще троих так:

Когда я говорю вам удвоить это, я удваиваю количество на моей картинке следующим образом:

Затем, когда я говорю вычесть 4, я мысленно стираю 4 лишнего:

Из самой картинки я могу быть уверен что вы можете сократить это пополам , и я представляю это:

Последняя инструкция, вычесть исходное число , избавится от мешка!

Вот почему я могу предсказать ваш результат, не зная, какое число вы придумали. Ваш ответ должно быть 1.

Мы можем обобщить это в таблице.

Слова для каждого шага ———	Фотографии результатов
Задумайте число.
Добавить 3.
В два раза больше.
Вычесть 4.
Разрежьте его пополам.
Вычтите исходное число.
Теперь легко увидеть…	Результат 1!

Изобретение собственных трюков

Вы можете самостоятельно придумывать трюки, если ваши правила[1] позволяют вам:

рисовать картинки,
используйте целые мешки и целые шарики (нечестно резать мешки пополам!), а
вычесть только видимые шарики. (Нечестно вынимать шарики из мешка. Мешок мог быть пуст!)

Дрю, 9 лет, постоянно просил новых трюков, а затем начал придумывать свои собственные. Вот два для практики. Нарисуйте картинки сами, чтобы понять, какой «волшебник» должен предсказать результат. Тогда придумывайте свои собственные трюки.

Трюк 1: слова для каждого шага———	Уловка 1: Картинки
Задумайте число.
Удвоить.
Добавить 10
Разделить на 2.
Вычтите исходное число.
Утроить результат.
Ага!	Ваш результат…

Трюк 2: слова для каждого шага———	Уловка 2: Картинки
Задумайте число.
Добавьте два.
Умножить на 3.
Добавить 2.
Вычтите исходное число.
Разделить на 2.
Вычтите исходное число еще раз.
Ага!	Ваш результат…

Изобретения Дрю

Вот три трюка, которые изобрел Дрю. Нарисуй картинки, чтобы понять, как он может легко вычислить твой стартовый номер!

Трюк Дрю: слова для каждого шага———	Уловка 1: Картинки
Задумайте число.
Добавить 20.
В четыре раза больше!
Разделить на 2.
Вычтите исходное число.
Скажи мне свой результат…
Ага!	Вы начали с…

Второй трюк Дрю: слова для каждого шага———	Уловка 2: Картинки
Задумайте число.
Добавить 2.
В два раза больше!
Вычесть 4.
Вычтите исходное число.
Ага!	Ваш ответ — ваш исходный номер!

Третий трюк Дрю: слова для каждого шага———	Уловка 3: Картинки
Задумайте число.
Добавить 5.
В два раза больше!
Вычтите исходное число.
Вычесть 1.
Вычтите исходное число.
Ага!	Ваш ответ 9!

Безусловно, трюки можно придумывать и без указанных здесь ограничений, но они не подходят для большинства учащихся начальной школы. Алгебра не сложнее, но картинки и арифметика могут быть сложнее.

Двузначное умножение в уме

Трюк

Вы можете научиться умножать определенные пары чисел, например 87×93, 52×48, 65×65 или 34×36, мгновенно в уме.

Как это работает

Щелкните здесь, чтобы узнать, как выполнить этот трюк, и понять, как он работает.

Конрад Вольфрам: Давайте создадим новую учебную программу по математике, предполагающую существование компьютеров

Математический бренд стал ядовитым? Это был провокационный вопрос, заданный Конрадом Вольфрамом в блоге ранее этим летом. «К сожалению, — писал он, — я начал приходить к выводу, что ответ положительный».

Этот вывод может показаться поразительным, тем более, что Вольфрам является стратегическим директором Wolfram Research и одним из мозгов, стоящих за Wolfram Alpha и Mathematica, системой, широко используемой в технических областях для обработки сложных вычислений и вычислений. Его критика в двух словах: преподавание математики стало слишком зациклено на вычислениях — решении за 9Например, 0396 x — и удалено из реальных приложений и данных.

Сегодня Вольфрам является основателем Computers-Based Math, усилия, которое он описал как «создание новой учебной программы по математике, предполагающей, что компьютеры существуют». В следующем интервью EdSurge он объясняет, что именно это означает. (Примечание: интервью было отредактировано для ясности.)

Конрад Вольфрам

EdSurge: Как начался ваш интерес к математике? Когда? А в детстве вы всегда были хороши в математике?

Wolfram: Как и многие люди, которым нравится математика, причина, по которой я сначала любил ее, заключалась в том, что я побеждал своих друзей в школе. Меня не интересовала его реальная структура и то, как она работает. Что меня действительно интересовало, так это применение его в физике или в других областях. Я нашел это довольно забавным, и тот факт, что я казался несколько более успешным, чем некоторые из моих друзей, подтолкнул меня вперед.

Ваша недавняя работа и письмо были посвящены математическому образованию. Сегодня существует множество программ и инструментов для обучения математике. Но как, по вашему мнению, мы все еще упускаем суть, когда речь идет об обучении математике или вовлечении детей в этот предмет?

В принципе, я думаю, что это несколько неправильная тема. Многих шокирует то, что я сказал это. Но для меня математика — это система решения задач, и с некоторой логикой и вычислениями вы можете найти ответ.

Сегодня вычисления с помощью компьютеров выполняются фантастически хорошо — лучше, чем кто-либо мог себе представить 1500 лет назад. Но то, что мы делаем в сфере образования прямо сейчас, — это то, что мы учим людей считать вручную, но не учимся решать задачи на высоком уровне. Они учатся выполнять вычисления, а не оставлять это машинам. Пока мы не исправим эту фундаментальную проблему, у нас не будет предмета математики, сходящегося с тем, что нам нужно в реальном мире.

Когда вы произносите слово «математика», многие люди напрягаются. И это заставило меня задуматься: действительно ли сам бренд, слово «математика» вызывает у нас много проблем? Мы должны выяснить, что люди собираются делать с математикой после получения образования. Когда вы думаете о том, для чего на самом деле нужна математика и как люди на самом деле используют ее в реальном мире, вы понимаете, что люди на самом деле используют компьютеры для вычислений, помогающих нам решать более сложные и сложные задачи.

Ваша текущая образовательная деятельность называется компьютерной математикой. Что это, в двух словах?

Мы пытаемся создать учебный план по математике, который предполагает, что компьютеры существуют и что они могут вычислять для вас. Итак, чему вы должны научиться, как человек, чтобы иметь возможность использовать всю мощь математики?

Вам не обязательно знать каждый шаг, необходимый для решения квадратного уравнения. Вероятно, вам нужно знать, что такое квадратное уравнение. Вы должны знать, как составить уравнение. Нужно знать, как проверить результаты, убедиться, что вас как-то не обманули. Но самое главное, вам нужно знать, когда вы собираетесь составить уравнение и почему — что на самом деле знают очень немногие выпускники школы.

Компьютерная математика — это проект по переопределению предмета на основе компьютеров, выполняющих вычисления. Перестроить учебный план, педагогику, подход. Основная идея состоит в том, чтобы иметь возможность использовать технологии так же, как в реальной жизни, и решать гораздо более сложные проблемы. Так, например, один из первых модулей, который мы сделали, предназначался для подростков и задавал вопрос «Нормальный ли я?». Что значит нормальный? Может быть, мы определяем это как размер моей ноги по сравнению с другими? Можем ли мы использовать математику, чтобы понять это? Может быть, мы не можем.

Трудно научить чему-то, если вы сами не можете понять, как и когда вы будете это использовать.

А чуть позже у нас возникают такие вопросы, как «Девочки лучше разбираются в математике?» Но что это значит? Что значит «лучше»? Как видите, эти вопросы довольно нечеткие, они не похожи на традиционные математические вопросы. Что мы пытаемся сделать, так это заставить людей решать трудные вопросы без четкого ответа, и это включает в себя смесь определения проблемы и фактических вычислений.

Многие проблемы, которые вы представляете, междисциплинарны?

Абсолютно. Математика — это общеобразовательный предмет в школе, но если он не междисциплинарный, то почему бы и нет? Если это не служит истории, английскому языку, географии и всем остальным предметам, то почему бы и нет? Если вы изучаете английский язык в школе, он обслуживает все остальные предметы.

Когда я думаю о математике, мне очень нравится термин «вычислительное мышление». Это способ осмысления жизни. Суть вычислительного мышления скрыта под поверхностью любого предмета, есть процесс, который вы можете запустить, и у нас есть фантастическое оборудование для выполнения сложных вычислений.

Иногда вам нужно дать номер или конкретный ответ. Иногда мне кажется, что у тебя нет четкого ответа. Иногда вам нужно знать, как думать о том, как взвесить риски или оценить, как, например, политики объясняют различные факты. Большинство проблем в бизнесе или в других сферах жизни не являются вопросами с несколькими вариантами ответов. У вас нет пяти вариантов, один из которых правильный, а остальные четыре неправильные.

Нам следует подумать о применении вычислительного мышления в различных предметах, таких как история вычислений, английский язык в области вычислений.

Какой может быть пример вычислительной задачи английского языка?

Это может быть рассмотрение лингвистики романа. Можем ли мы провести анализ настроений с помощью книги, чтобы увидеть, сможем ли мы определить, когда это было радостно, грустно и так далее? Мой коллега, Джон МакЛун, написал об этом в блоге [«Повелитель мух»].

У нас также есть исторический пример, когда мы рассматривали самые распространенные слова, используемые в инаугурационных речах президентов. Это может заставить задуматься: отражают ли эти слова в конечном итоге то, что они делали во время своего пребывания у власти?

Поскольку новые технологии, такие как машинное обучение и искусственный интеллект, продолжают развиваться, как они влияют на компьютерную математику или что нужно знать учащимся, чтобы быть готовыми к будущему?

Что нам нужно сделать, так это выяснить, какой набор инструментов нам действительно нужен, и насколько хорошо люди должны знать, как их использовать?

…то, что мы сейчас делаем в сфере образования, заключается в том, чтобы учить людей считать вручную, но не учиться решать задачи на высоком уровне.

Одна из больших проблем заключается в том, что люди, изучающие математику, используют очень маленький набор вычислительных инструментов. Они учатся решать квадратные уравнения, строить графики и тому подобное. Но инструмент, установленный там прямо сейчас, огромен. Есть машинное обучение. Есть всякие расчеты. Конечно, есть наука о данных. Способы общения людей с компьютером изменятся, но нам нужно, чтобы они знали, как использовать доступные технологии.

Сегодня нам нужны люди, чтобы научиться программировать. Это то, что я называю вторым шагом в процессе решения проблемы. Первый пытается определить проблему. Шаг второй — это извлечение на языке математики, которым сегодня обычно является код. Вы хотите написать это так, чтобы компьютер мог это понять, но чтобы вы также могли это передать. Шаг третий — расчет, о чем мы говорили, и, надеюсь, у вас есть компьютер для этого.

Кажется, в США и Великобритании было много стремлений ввести программирование в учебную программу. Считаете ли вы себя поклонником или сторонником этого толчка?

Я думаю, это здорово, что это возникло как движение. Кодирование имеет решающее значение. Если вы думаете о программировании как об обучении тому, как абстрагировать проблему, что, как мне кажется, действительно сложно, особенно чем более нечеткой и сложной становится проблема, то я думаю, что это хорошо, что мы видим, что это поощряется.

Но я не уверен, что у нас уже есть правильный угол. Я думаю, нам нужно убедиться, что обучение программированию не является слишком строгим. Как в математике: если вы один из лучших людей, которым это нравится, это здорово и замечательно, я полностью за это. Но большинству людей это не нравится, и нет смысла писать всю учебную программу, предполагая, что это большое удовольствие для всех.

С программированием мы очень хорошо справились с людьми, которые уже заинтересованы. Я думаю, что мы еще не так хорошо справились со многими другими людьми, которые не совсем связаны с кодированием и просто хотят использовать его как средство для достижения цели в школе.

Я думаю, что связать математику с вычислительным мышлением и другими предметами, а также с программированием было бы абсолютно идеальным направлением для будущего. И я думаю, что со временем это произойдет в той или иной форме.

Насколько широко распространена компьютерная математика?

Сначала у нас есть Эстония. Думаю, к нам есть интерес со стороны некоторых других европейских стран. У нас также был проект в Египте, а также некоторый интерес к Австралии.

Одна из проблем, с которыми мы сталкивались, заключалась в том, что в конце концов всем приходится сдавать тесты. И проблема в том, что оценки не совпадают с нашим видением, потому что они в основном о том, как считать. Это был медленный процесс, потому что вы пытаетесь скорректировать тесты и привлечь к этому правительства и других лиц.

Нет проблем с идеей количественной оценки компьютерной математики. Нам просто нужен другой набор вопросов, ответ на который не обязательно будет «правильным или неправильным» в традиционном смысле. Вместо «решите следующее квадратное уравнение» вопросы должны звучать так: «Вот два набора данных, что вы можете о них выяснить?»

Я люблю спрашивать политиков: «Когда вы в последний раз использовали квадратное уравнение?» Все они говорят, что мы все должны их делать, но, кроме как помогать своим детям делать домашнюю работу по математике, я не нашел политика, который действительно использовал бы их в своей жизни.

А еще у нас есть учителя, пытающиеся научить этому, и их часто критикуют [когда ученики не учатся]. Но потом вы понимаете, что, может быть, учитель и сам не совсем понимает, почему они этому учат, на самом деле. Трудно научить чему-то, если вы сами не можете понять, как и когда вы будете это использовать.

Дробные уравнения являются примерами решений. Дробные рациональные уравнения. Алгоритм решения. Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к ЕГЭ по математике 92 = 6\)

Как решают дробно-рациональные уравнения?

Главное помнить о дробных рациональных уравнениях — в них надо писать. 2-4)\ \) 92+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
К счастью, мы уже нашли $x_1$ и $x_2$.

$\frac(x)(x+2)+\frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5)) \$$=0$

Очевидно, что общий знаменатель дробей равен $(x+2)(x+5)$. Умножаем на него все уравнение.

$\frac(x(x+2)(x+5))(x+2)+\frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5 ) — $ 92+9х-5=0\)

Найдите корни уравнения

$x_1=-5;$$x_2=\frac(1)(2).$

Один из корней не подходит к ОДЗ, поэтому пишем в ответ только второй корень.

Ответ: $\фрак(1)(2)$.

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже встречались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических операций.

Соответственно рациональные уравнения — это уравнения вида: , где — рациональные выражения.

Ранее мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим те рациональные уравнения, которые также можно свести к квадратным.

Пример 1

Решите уравнение:.

Решение:

Фракция равна 0, если и только если его числовое число составляет 0, а знаменатель не равен 0.

Мы получаем следующую систему:

. Первое равное. в системе представляет собой квадратное уравнение. Перед ее решением разделим все ее коэффициенты на 3. Получаем:

Получаем два корня: ; …

Так как 2 никогда не бывает равно 0, то должны выполняться два условия: … Так как ни один из приведенных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые были получены при решении второго неравенства, они оба являются решениями этого уравнения.

Ответ: .

Итак, сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Переместите все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученная дробь равна 0 по следующему алгоритму: .

4. Запишите корни, полученные в первом уравнении и удовлетворяющие второму неравенству в ответе.

Возьмем другой пример.

Пример 2

Решите уравнение: .

Решение

В самом начале перенесем все члены в левую часть так, чтобы 0 остался справа. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Это уравнение эквивалентно системе:

5 Система квадратного уравнения .

Коэффициенты этого уравнения:. Вычисляем дискриминант:

Получаем два корня: ; …

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо выполнение двух условий: … Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один — 3.

Ответ: .

На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям.

На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи движения.

Список литературы

Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. — М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и другие. Алгебра, 8. 5-е изд. — М.: Просвещение, 2010.
Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2006.

Фестиваль педагогических идей «Общественный урок» ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Домашнее задание

Продолжаем разговор о решении уравнений . .. В этой статье мы остановимся на рациональных уравнениях и принципах решения рациональных уравнений с одной переменной. Для начала разберемся, какие уравнения называются рациональными, дадим определение целых рациональных и дробно-рациональных уравнений, приведем примеры. Далее мы получим алгоритмы решения рациональных уравнений, и, конечно же, рассмотрим решения типовых примеров со всеми необходимыми пояснениями.

Навигация по страницам.

На основе озвученных определений приведем несколько примеров рациональных уравнений. Например, x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, все являются рациональными уравнениями.

Из приведенных примеров видно, что рациональные уравнения, как, впрочем, и уравнения других типов, могут быть как с одной переменной, так и с двумя, тремя и т. д. переменными. В следующих разделах мы поговорим о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большое количество заслуживают особого внимания.

Помимо деления рациональных уравнений на количество неизвестных, они также делятся на целые и дробные. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Рациональное уравнение называется целым , если его левая и правая части являются целыми рациональными выражениями.

Определение.

Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно-рациональное (или дробно-рациональное).

Ясно, что целые уравнения не содержат деления на переменную; наоборот, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную (или переменную в знаменателе). Итак, 3 x + 2 = 0 и (x + y) (3 x 2 −1) + x = −y + 0,5 — целые рациональные уравнения, обе их части — целые выражения. A и x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1): 5 являются примерами дробно-рациональных уравнений.

Заканчивая этот раздел, обратим внимание на то, что известные на данный момент линейные уравнения и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.

Решение целых уравнений

Один из основных подходов к решению целых уравнений состоит в том, чтобы свести их к эквивалентным алгебраическим уравнениям … Это всегда можно сделать, выполнив следующие эквивалентные преобразования уравнения:

сначала, выражение из правой части исходного целого уравнения переносится в левую часть с обратным знаком для получения нуля в правой части;
после этого в левой части уравнения результирующая стандартная форма.

Результатом является алгебраическое уравнение, эквивалентное исходному целому уравнению. Так в самых простых случаях решение целых уравнений сводится к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае — к решению алгебраического уравнения степени n. Для наглядности разберем решение примера.

Пример.

Найдите корни всего уравнения 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) −3.

Решение.

Приведем решение всего этого уравнения к решению эквивалентного ему алгебраического уравнения. Для этого сначала перенесем выражение с правой части на левую, в результате придем к уравнению 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = 0 . А, во-вторых, преобразуем образованное в левой части выражение в стандартный многочлен, выполнив необходимые: 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = ( 3 х + 3) (х − 3) −2 х 2 + х + 3 = 3 х 2 −9х + 3 х — 9−2 х 2 + х + 3 = х 2 -5 х — 6 . Таким образом, решение всего исходного уравнения сводится к решению квадратного уравнения х 2 -5 х — 6 = 0.

Вычисляем его дискриминант D = (- 5) 2 −4 1 (−6) = 25 + 24 = 49, он положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находим по формуле для корней квадратного уравнения:

Для полной уверенности выполним проверку найденных корней уравнения … Сначала проверим корень 6, подставив его вместо переменной x в исходное целочисленное уравнение: 3(6+1)(6−3)=6(2·6−1)−3, что то же самое, 63=63. Это верное числовое равенство, значит, x=6 действительно является корнем уравнение. Теперь проверяем корень −1, имеем 3(−1+1)(−1−3)=(-1)(2(−1)−1)−3, откуда 0=0. Для x = −1, исходное уравнение также превратилось в истинное числовое равенство, следовательно, x = −1 также является корнем уравнения.

Ответ:

6 , −1 .

Здесь также следует отметить, что термин «степень всего уравнения» связан с представлением всего уравнения в виде алгебраического уравнения. Дадим соответствующее определение:

Определение.

Степень всего уравнения называется степенью эквивалентного алгебраического уравнения.

Согласно этому определению, все уравнение из предыдущего примера имеет вторую степень.

На этом можно было бы закончить с решением целых рациональных уравнений, если бы не одно но…. Как известно, решение алгебраических уравнений выше второй степени связано со значительными трудностями, а для уравнений выше четвертой степени вообще отсутствуют формулы общих корней. Поэтому для решения целых уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней часто приходится прибегать к другим методам решения.

В таких случаях подход к решению целых рациональных уравнений на основе метод факторизации . При этом придерживаются следующего алгоритма:

сначала добиваются, чтобы правая часть уравнения была равна нулю, для этого выражение переносится из правой части всего уравнения Слева;
то результирующее выражение слева представляется как произведение нескольких множителей, что позволяет перейти к системе нескольких более простых уравнений.

Приведенный алгоритм решения всего уравнения методом факторизации требует подробного пояснения на примере.

Пример.

Решите уравнение целиком (х 2 −1) (х 2 −10 х + 13) = 2 х (х 2 −10 х + 13).

Решение.

Сначала, как обычно, переносим выражение из правой части уравнения в левую, не забывая менять знак, получаем (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) — 2 x (x 2 −10 x + 13) = 0. Здесь совершенно очевидно, что левую часть полученного уравнения нецелесообразно преобразовывать в полином стандартного вида, так как это даст алгебраическое уравнение вида четвертая степень вида х 4 −12 х 3 + 32 х 2 −16 х − 13 = 0, решение которой затруднено.

С другой стороны, очевидно, что в левой части полученного уравнения вы можете x 2 −10 · x + 13, представляя его как произведение. Имеем (x 2 −10 x + 13)(x 2 −2 x − 1) = 0 . Полученное уравнение эквивалентно исходному целому уравнению, а его, в свою очередь, можно заменить набором два квадратных уравнения x 2 −10 x + 13 = 0 и x 2 −2 x − 1 = 0. Нахождение их корней по известным формулам корней через дискриминант не составляет труда, корни равны. Это искомые корни исходного уравнения.

Ответ:

Для решения целых рациональных уравнений также полезен новый метод введения переменных … В некоторых случаях он позволяет перейти к уравнениям, степень которых ниже степени исходного целого уравнения.

Пример.

Найти действительные корни рационального уравнения (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = −2 (x 2 + 3 x − 4).

Решение.

Сведение всего этого рационального уравнения к алгебраическому, мягко говоря, не очень хорошая идея, так как в этом случае мы придем к необходимости решать уравнение четвертой степени, не имеющее рациональных корней. Поэтому придется искать другое решение.

Здесь легко заметить, что можно ввести новую переменную y и заменить ее выражением x 2 + 3 · x. Такая замена приводит нас ко всему уравнению (y + 1) 2 + 10 = −2 (y − 4), которое после переноса выражения −2 (y − 4) в левую часть и последующего преобразования образовавшегося выражения там, сводится в квадрат к уравнению y 2 + 4 y + 3 = 0. Корни этого уравнения y = −1 и y = −3 найти несложно, например, их можно выбрать исходя из теорема, обратная теореме Виета.

Теперь переходим ко второй части метода введения новой переменной, то есть к обратной замене. Выполнив обратную замену, получим два уравнения x 2 + 3 x = −1 и x 2 + 3 x = −3, которые можно переписать в виде x 2 + 3 x + 1 = 0 и x 2 + 3 х + 3 = 0. Используя формулу корней квадратного уравнения, находим корни первого уравнения. А второе квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицательный (D = 3 2 −4 · 3 = 9−12 = −3).

Ответ:

Вообще, когда мы имеем дело с целыми уравнениями высоких степеней, мы всегда должны быть готовы искать нестандартный метод или искусственный прием для их решения.

Решение дробно-рациональных уравнений

Сначала будет полезно разобраться, как решать дробно-рациональные уравнения вида, где p(x) и q(x) — целые рациональные выражения. А затем мы покажем, как свести решение оставшихся дробно-рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.

Один из подходов к решению уравнения основан на следующем утверждении: числовая дробь u / v, где v — ненулевое число (иначе мы столкнемся с неопределенным числом), равна нулю тогда и только тогда, когда если его числитель равен нулю, то есть тогда и только тогда, когда u = 0. В силу этого утверждения решение уравнения сводится к выполнению двух условий p(x) = 0 и q(x ) ≠ 0,

Этот вывод соответствует следующим алгоритм решения дробно-рационального уравнения … Для решения дробно-рационального уравнения вида нужно

решить все рациональное уравнение p(x) = 0;
и проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие q(x) ≠ 0, а

если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
если нет, то этот корень посторонний, то есть не является корнем исходного уравнения.

Рассмотрим пример использования озвученного алгоритма при решении дробно-рационального уравнения.

Пример.

Найдите корни уравнения.

Решение.

Это дробно-рациональное уравнение вида, где p(x) = 3 x − 2, q(x) = 5 x 2 −2 = 0.

Согласно алгоритму решения дробно-рациональных уравнений такого рода нам сначала нужно решить уравнение 3 x − 2 = 0. Это линейное уравнение, корень которого равен x = 2/3.

Осталось проверить этот корень, то есть проверить, удовлетворяет ли он условию 5 · x 2 −2 ≠ 0. Подставив в выражение 5 · x 2 −2 вместо x число 2/3, получим . Условие выполнено, значит, х = 2/3 — корень исходного уравнения.

Ответ:

2/3 .

К решению дробного рационального уравнения можно подойти несколько с другой позиции. Это уравнение эквивалентно всему уравнению p(x)=0 относительно переменной x исходного уравнения. То есть можно придерживаться этого алгоритм решения дробно-рационального уравнения :

решить уравнение p(x) = 0;
найти ОДЗ переменной x;
берут корни, принадлежащие диапазону допустимых значений — они и есть искомые корни исходного дробно-рационального уравнения.

Например, давайте решим дробное рациональное уравнение, используя этот алгоритм.

Пример.

Решите уравнение.

Решение.

Сначала решим квадратное уравнение x 2 −2 x − 11 = 0. Его корни можно вычислить по формуле корней для четного второго коэффициента, имеем D 1 = (- 1) 2 −1 (−11 ) = 12, а.

Во-вторых, мы находим ODV переменной x для исходного уравнения. Он состоит из всех чисел, для которых x 2 + 3 x ≠ 0, что равно x (x + 3) ≠ 0, откуда x ≠ 0, x ≠ −3.

Осталось проверить, входят ли найденные на первом шаге корни в ОДЗ. Очевидно, да. Следовательно, исходное дробно-рациональное уравнение имеет два корня.

Ответ:

Заметим, что этот подход более выгоден, чем первый, если легко найти ОДВ, и особенно выгоден, если в этом случае корни уравнения p(x)=0 иррациональны, для например, или рациональным, но с довольно большим числителем и/или знаменателем, например, 127/1101 и −31/59. Это связано с тем, что в таких случаях проверка условия q(x) дает 0 требуют значительных вычислительных усилий, а исключить посторонние корни в ОДВ проще.

В остальных случаях при решении уравнения, особенно когда корни уравнения p(x)=0 целые, выгоднее использовать первый из представленных алгоритмов. То есть целесообразно сразу найти корни всего уравнения p(x) = 0, а затем проверить, выполняется ли для них условие q(x) ≠ 0, а не находить ОДВ, а затем решить уравнение р(х) = 0 на этом ОДВ… Это связано с тем, что в таких случаях обычно проще произвести проверку, чем найти ОДУ.

Рассмотрим решение двух примеров для иллюстрации указанных нюансов.

Пример.

Найдите корни уравнения.

Решение.

Сначала найдем корни всего уравнения (2 х − 1) (х − 6) (х 2 −5 х + 14) (х + 1) = 0, составленного с помощью числителя дроби. Левая часть этого уравнения есть произведение, а правая часть нуль, поэтому по методу решения уравнений через факторизацию это уравнение эквивалентно системе из четырех уравнений 2 х — 1 = 0, х — 6 = 0, x 2 −5 x + 14 = 0, x + 1 = 0. Три из этих уравнений линейные и одно квадратное, мы умеем их решать. Из первого уравнения находим х = 1/2, из второго — х = 6, из третьего — х = 7, х = -2, из четвертого — х = -1.

По найденным корням довольно легко проверить их на то, обращается ли с ними в нуль знаменатель дроби в левой части исходного уравнения, и, наоборот, не так просто определить ОДВ, так как для этого потребуется решить алгебраическое уравнение пятой степени. Поэтому от поиска ОДЗ откажемся в пользу проверки корней. Для этого подставим их по очереди вместо переменной x в выражение x 5 −15 x 4 + 57 x 3 −13 x 2 + 26 x + 112, полученное после подстановки, и сравним их с нулем: (1/2 ) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 + 26 (1/2) + 112 = 1/32−15/16+57/8−13 /4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 + 57 6 3 −13 6 2 + 26 6 + 112 = 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 + 57 7 3 −13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;
(-2) 5 -15 (-2) 4 + 57 (-2) 3 -13 (-2) 2 + 26 (-2) + 112 = -720 ≠ 0;
(-1) 5 -15 (-1) 4 + 57 (-1) 3 -13 (-1) 2 + 26 (-1) + 112 = 0.

Таким образом, 1/2, 6, и −2 — искомые корни исходного дробно-рационального уравнения, а 7 и −1 — посторонние корни.

Ответ:

1/2 , 6 , −2 .

Пример.

Найдите корни дробного рационального уравнения.

Решение.

Сначала найдем корни уравнения (5 х 2 −7 х − 1) (х − 2) = 0 . Это уравнение эквивалентно комбинации двух уравнений: квадратного 5 х 2 −7 x − 1 = 0 и линейное x − 2 = 0. Используя формулу корней квадратного уравнения, находим два корня, и из второго уравнения имеем x = 2.

Довольно неприятно проверить, обращается ли в нуль знаменатель найденных значений x. А определить диапазон допустимых значений переменной x в исходном уравнении достаточно просто. Поэтому действовать будем через ОДЗ.

В нашем случае ОДЗ переменной x исходного дробно-рационального уравнения составляется из всех чисел, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 + 5 x − 14 = 0. Корнями этого квадратного уравнения являются x = −7 и x = 2, откуда делаем вывод об ОДЗ: она составлена из всех x таких, что .

Осталось проверить, принадлежат ли найденные корни и x=2 диапазону допустимых значений. Корни — принадлежат, следовательно, являются корнями исходного уравнения, а х = 2 — не принадлежат, следовательно, это посторонний корень.

Ответ:

Полезно будет также отдельно остановиться на случаях, когда в дробно-рациональном уравнении вида есть число в числителе, то есть когда р(х) представлен некоторым числом. При этом

если это число отлично от нуля, то уравнение не имеет корней, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю;
если это число равно нулю, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ.

Пример.

Решение.

Поскольку числитель дроби в левой части уравнения не равен нулю, ни при каком x значение этой дроби не может быть равно нулю. Следовательно, это уравнение не имеет корней.

Ответ:

нет корней.

Пример.

Решите уравнение.

Решение.

Числитель дроби слева от этого дробного рационального уравнения содержит ноль, поэтому значение этой дроби равно нулю для любого x, для которого оно имеет смысл. Другими словами, решением этого уравнения является любое значение x из ODV этой переменной.

Осталось определить этот диапазон допустимых значений. В него входят все такие значения х, для которых х 4 + 5 · х 3 ≠ 0. Решения уравнения х 4 + 5 х 3 = 0 равны 0 и −5, так как это уравнение эквивалентно уравнению х 3 (х + 5) = 0, а оно в свою очередь эквивалентно комбинации двух уравнений х 3 = 0 и х + 5 = 0, откуда и видны эти корни. Следовательно, искомый диапазон допустимых значений есть любой x, кроме x = 0 и x = −5.

Таким образом, дробное рациональное уравнение имеет бесконечно много решений, которые могут быть любыми числами, кроме нуля и минус пять.

Ответ:

Наконец, пришло время поговорить о решении произвольных дробно-рациональных уравнений. Их можно записать в виде r(x) = s(x), где r(x) и s(x) — рациональные выражения, и хотя бы одно из них — дробное. Забегая вперед, скажем, что их решение сводится к решению уравнений уже знакомого нам вида.

Известно, что перенос члена из одной части уравнения в другую с обратным знаком приводит к эквивалентному уравнению; следовательно, уравнение r(x) = s(x) эквивалентно уравнению r(x) — s(x) = 0.

Мы также знаем, что можно иметь любое тождественное этому выражению. Таким образом, мы всегда можем преобразовать рациональное выражение в левой части уравнения r(x)−s(x)=0 в тождественно равную рациональную дробь вида.

Итак, мы переходим от исходного дробно-рационального уравнения r(x) = s(x) к уравнению, а его решение, как мы выяснили выше, сводится к решению уравнения p(x) = 0.

Но здесь обязательно нужно учитывать тот факт, что при замене r(x) — s(x)=0 на, и далее на p(x)=0, диапазон допустимых значений переменной х может расширяться.

Следовательно, исходное уравнение r(x)=s(x) и уравнение p(x)=0, к которым мы пришли, могут оказаться неравноправными, и, решив уравнение p(x)\ u003d 0, мы можем получить корни, которые будут посторонними корнями исходного уравнения r(x) = s(x). Выявить и не включать в ответ посторонние корни можно либо выполнив проверку, либо проверив их принадлежность к ОДЗ исходного уравнения.

Суммируем эту информацию в алгоритме решения дробно-рационального уравнения r(x) = s(x) . .. Для решения дробно-рационального уравнения r(x) = s(x) нужно

Получить ноль справа, переведя выражение из правой части с обратным знаком.
Выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав его в рациональную форму дроби.
Решить уравнение p(x)=0.
Для выявления и исключения посторонних корней, что делается путем подстановки их в исходное уравнение или путем проверки их принадлежности к ОДЗ исходного уравнения.

Для большей наглядности покажем всю цепочку решения дробно-рациональных уравнений:
.

Давайте рассмотрим решения нескольких примеров с подробным объяснением процесса решения, чтобы прояснить приведенный выше блок информации.

Пример.

Решите дробное рациональное уравнение.

Решение.

Будем действовать в соответствии с только что полученным алгоритмом решения. И сначала переносим члены из правой части уравнения в левую, в итоге переходим к уравнению.

На втором шаге нам нужно преобразовать дробное рациональное выражение в левой части полученного уравнения в форму дроби. Для этого приведем рациональные дроби к общему знаменателю и упростим полученное выражение: . Итак, мы подошли к уравнению.

На следующем шаге надо решить уравнение −2 x − 1 = 0. Найти x = −1/2.

Осталось проверить, не является ли найденное число −1/2 посторонним корнем из исходное уравнение. Для этого можно проверить или найти ODV переменной x исходного уравнения. Продемонстрируем оба подхода.

Начнем с проверки. Подставьте -1/2 в исходное уравнение для x, чтобы получить то же самое, -1 = -1. Подстановка дает правильное числовое равенство, следовательно, x = −1/2 является корнем исходного уравнения.

Теперь покажем, как осуществляется последний пункт алгоритма через ОДЗ. Областью допустимых значений исходного уравнения является множество всех чисел, кроме −1 и 0 (при x = −1 и x = 0 знаменатели дробей обращаются в нуль). Найденный на предыдущем шаге корень x = −1/2 принадлежит ГДЗ; следовательно, x = −1/2 является корнем исходного уравнения.

Ответ:

−1/2 .

Рассмотрим другой пример.

Пример.

Найдите корни уравнения.

Решение.

Нам нужно решить дробно-рациональное уравнение, пройдемся по всем шагам алгоритма.

Сначала переносим член с правой части на левую, получаем.

Во-вторых, преобразуем выражение в левой части:. В итоге приходим к уравнению х = 0.

Корень его очевиден — он равен нулю.

На четвертом шаге осталось выяснить, не находится ли найденный корень вне исходного дробно-рационального уравнения. При подстановке его в исходное уравнение получается выражение. Очевидно, это не имеет смысла, так как содержит деление на ноль. Отсюда заключаем, что 0 — посторонний корень. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

7, что приводит к уравнению. Отсюда можно сделать вывод, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно выражению в правой части, т.е. Теперь вычитаем из обеих частей тройки: . По аналогии откуда и дальше.

Проверка показывает, что оба найденных корня являются корнями исходного дробно-рационального уравнения.

Ответ:

Список литературы.

Алгебра: учёба. за 8 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 271 с. : больной. — ИСБН 978-5-09-019243-9.
А. Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. В 14 ч. Ч. 1. Учебник для студентов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 11-е изд., стер. – М.: Мнемосина, 2009. – 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебра: 9 класс: учеб. для общего образования. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-021134-5.

Дробные уравнения. ОДЗ.

Внимание!
В Спецразделе 555 есть дополнительные материалы
.
Для тех, кому «не очень…»
И для тех, кто «очень…»)

Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже умеем работать с линейными и квадратными уравнениями. Остался последний вид — дробных уравнений … Или их еще называют гораздо солиднее — дробно-рациональных уравнений … Это то же самое.

Дробные уравнения.

Как видно из названия, в этих уравнениях всегда присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых в знаменателе неизвестных … Хотя бы один. Например:

Напомню, что если в знаменателях всего чисел , то это линейные уравнения.

Как решить дробное уравнение ? Прежде всего, избавьтесь от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. И тогда мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, например 5 = 5 или неверное выражение, например 7 = 2. Но такое случается редко. Я упомяну об этом ниже.

Но как избавиться от дробей!? Очень простой. Применив все те же одинаковые преобразования.

Нам нужно умножить все уравнение на одно и то же выражение. Чтоб все знаменатели сводились! Все сразу станет легче. Поясню на примере. Предположим, нам нужно решить уравнение:

Как вы учили в начальной школе? Переводим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудем, как страшный сон! Это следует делать при сложении или вычитании дробных выражений. Или работа с неравенствами. А в уравнениях сразу обе части умножаем на выражение, которое даст нам возможность привести все знаменатели (т.е., по сути, на общий знаменатель). А что это за выражение?

В левой части умножаем на х + 2 … А в правой нужно умножить на 2. Следовательно, уравнение нужно умножить на 2 (х + 2) … Умножаем:

Это обычное умножение дробей, но напишу подробно:

Заметьте, скобки пока не раскрываю (х+2) ! Итак, целиком пишу это:

С левой стороны сокращается целиком (x+2), а в правильном 2. Что и требуется! После приведения получим линейное уравнение:

И это уравнение решит каждый! х = 2 .

Решим еще один пример, чуть посложнее:

Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/ 1, то можно написать:

И снова получаем избавиться от того, что нам не очень нравится — дробей.

Видим, что для сокращения знаменателя с х нужно дробь умножить на (х — 2) … Немногие нам не помеха. Что ж, умножаем. Вся левая сторона и вся правая сторона:

Снова скобки (х — 2) Не раскрываю. Я работаю со скобкой в целом, как будто это одна цифра! Это нужно делать всегда, иначе ничего не уменьшится.

С чувством глубокого удовлетворения разрезаем (х — 2) и получаем уравнение без дробей, в линейку!

А теперь раскрываем скобки:

Даем аналогичные, переносим все на левую сторону и получаем:

Но перед этим научимся решать другие задачи. Интерес. Вот грабли, кстати!

Если вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть для вас еще парочка интересных сайтов.)

Вы можете потренироваться решать примеры и узнать свой уровень. Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)

вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Решение дробно-рациональных уравнений

Если вы восьмиклассник и вдруг случилось так, что вы пропустили урок или пропустили то, о чем говорил учитель, эта статья для вас!

Сначала разберемся, что это такое — дробно-рациональные уравнения? В любом учебнике есть такое определение: Дробно-рациональное уравнение — это уравнение вида $fxg(x)=0$. 92 + х-25 = 0 \) \ (((2-х) \ над (2)) + ((3х \ над 5)) = 4 \) \ (((2х- 1) \над 2) + (5х\над6) — (1-х\над 3) = 3х-2\)

Последние два уравнения точно не дробно-рациональные, несмотря на то, что состоят дробей. Но самое главное, в знаменателе нет переменной (буквы). 2-4) = (x+5\over x-2)\) , делаем так: 92 ≠ 0 \)

\ (x + 2 ≠ 0 \)

Вроде пока все просто. Что дальше? Следующий шаг будет зависеть от того, насколько вы продвинуты в математике. Если можете, то решите эти уравнения со знаком, а если не можете, оставьте пока как есть. И идем дальше.

Далее, все дроби, входящие в уравнения, должны быть представлены в виде одной дроби. Для этого нужно найти общий знаменатель дроби. И в конце выпишите, что получилось в числителе и приравняйте это выражение к нулю. А потом решить уравнение. 92-4 = (х-2) (х + 2)\) , а в числителе можно поставить общий множитель «-2» за скобку.

$(- 2(х+2)\сверх(х+2)(х-2))-(х+5\сверх х-2)=0$

Еще раз мы посмотрите на ОДЗ, он у нас есть? Есть! Тогда можно сократить первую дробь нах+2… Если нет ОДЗ, уменьшить нельзя! Получаем:

$(- 2\над х-2) — (х+5\над х-2) = 0$

Дроби имеют общий знаменатель, а значит их можно вычитать :

$(- 2-х-5\над х-2) = 0$

Обратите внимание, так как мы вычитаем дроби, меняем знак «+» во второй дроби на минус! Приведем аналогичные члены в числителе:

$(- х-7\над х-2) = 0$

Напомним, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю . То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ. Самое время указать, что числитель равен нулю:

$- х-7=0$92-4=(х-2)(х+2)\) и перепишем так:$((х-2)(х+2)\над2(х+1))=0 $

Далее используем определение дроби равной нулю. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То, что знаменатель не равен нулю, мы указывали в ОДЗ, будем указывать, что числитель равен нулю.$(х-2)(х+2)=0$… И давайте решим это уравнение. Он состоит из двух множителей х-2 и х+2… Помните, что произведение двух множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Означает: х+2=0 или х-2=0

Из первого уравнения получаем х=-2, из второго х=2… Переносим число и меняем знак.

На последнем этапе проверяем ОДЗ:х+1 ≠ 0

Вместо х подставляем 2 и -2.

Получаем 2+1 ≠ 0… Выполнено? Да! Итак, х = 2 — это наш корень. Проверяем следующее: -2+1≠0 … Выполненный. Да. Значит, х = -2, что тоже является нашим корнем. Таким образом, ответ 2 и -2.

Гдз по математике бунимович подведем итоги: ГДЗ Подведем итоги ГЛАВА 9

Страница 132. Подведем итоги. ГДЗ к учебнику «Математика» 5 класс Бунимович, Дорофеев, Суворова

Решение

Ответ 7 гуру

Решение

Решение

Ответ

Решение

Решение

Решение

Вам может пригодиться:

ГДЗ Математика 6 класс Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева (2014) . Ответы и решения на VipGDZ.ru

Из чего состоят решебники по математике Бунимовича?

Качественные правильные решения на VIPGDZ — залог успеха в обучении

ГДЗ По Алгебре 10 Класс Афанасьева – Telegraph

Алгебраическое мышление — Элементарная математика

Развитие алгебраических идей и языка

Трюки «Задумай число»

Хитрость

Как это работает

Изобретение собственных трюков

Изобретения Дрю

Двузначное умножение в уме

Трюк

Как это работает

Конрад Вольфрам: Давайте создадим новую учебную программу по математике, предполагающую существование компьютеров

Как решают дробно-рациональные уравнения?

5 Система квадратного уравнения .

Решение целых уравнений

Решение дробно-рациональных уравнений

Дробные уравнения. ОДЗ.

Дробные уравнения.

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики