Задание 10 ОГЭ по математике. Вероятность и статистика.
Джамиля Агишева
Задание 10 ОГЭ по математике – это задача по теории вероятностей.
Теория вероятностей рассматривает случайные действия, явления, процессы, исход которых заранее неизвестен. Например, высаживая семена огурцов, мы проводим эксперимент. В результате из десяти семечек может взойти от 0 до 10 ростков, т.е. случайное количество.
Событие – результат некоторого действия. Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти в данном эксперименте. Например, проигрыш или выигрыш нашей любимой футбольной команды заранее предсказать невозможно – это стечение обстоятельств, а сам исход игры мы узнаем по её окончании.
События принято обозначать заглавными латинскими буквами: A, B, C и т.д.
Пример: A – взошло ровно 9 ростков из десяти посаженных семян огурцов. Оно может произойти или не произойти.
Вероятность события P(A) – это отношение числа исходов, благоприятствующих событию , к числу всех исходов , возможных в данном эксперименте.
Имейте в виду, что числитель такой дроби не может быть больше знаменателя, а значит, вероятность всегда меньше либо равна 1.
Приступим к решению задач.
Пример 1. Бабушка испекла одинаковые на вид пирожки: 7 с мясом, 8 с капустой и 5 с яблоками. Внучка Даша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с мясом.
Выбор пирожка – несомненно, испытание для Даши. А вдруг попадётся нелюбимый, с капустой?
Решение. Событие A – достался пирожок с мясом. Найдём m и n.
m – число исходов, благоприятствующих событию A.
n – число всех исходов, возможных в данном эксперименте.
Давайте перефразируем на языке пирожков: m – количество пирожков с мясом, т.е. m=7, n
– количество всех испечённых пирожков, т.е.Осталось найти вероятность. Вспомним формулу и вычислим. Итак,
Замечание: не забудьте ответ представить в виде десятичной дроби!
Ответ: 0,35.
Давайте рассмотрим задачу посложнее.
Пример 2. В коробке хранятся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность того, что на извлечённом наугад из коробки жетоне написано двузначное число?
Решение. Событие A – извлечённый наугад жетон содержит двузначное число. Найдём m и n.
m – число жетонов с двузначным номером, n – число всех жетонов.
Сначала определимся с n. Типичная ошибка считать так: . На самом деле когда-то были жетоны от 1 до 54. Но номера 1, 2, 3 и 4 со временем потерялись, т.е. пропало четыре штуки. Тогда, .
Сколько жетонов с двузначными номерами? Всего 50, номера 5, 6, 7, 8, 9 (их пять штук) – однозначные. Тогда, .
Итак,
Ответ: 0,9.
Пример 3. В лыжных гонках участвуют 10 спортсменов из России, 8 спортсменов из Швеции и 7 спортсменов из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним.
Решение. Событие A – спортсмен из Швеции будет стартовать последним.
– число спортсменов из Швеции, – число всех спортсменов.
Т.к. старт определяется жребием, то не важно, под каким стартовым номером будет выступать тот или иной лыжник, под вторым или последним.
Итак,
Ответ: 0,32.
Пример 4. Оля наугад выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.
Решение. Событие A – выбранное число делится на 51. Найдём m и n.
m – количество трёхзначных чисел, кратных 51, n – число всех трёхзначных чисел.
Последнее трёхзначное число 999. Найдём все числа, кратные 51 среди чисел от 1 до 999 (их даже можно попробовать пересчитать непосредственно: 51, 102, 153, …, 969). Разделим 999 на 51. Получим , т.е. ровно 19 чисел, кратных 51.
Но среди этого количества окажется двузначное число 51, которое не учитывается в задаче, значит, .
Теперь определим n. Чисел от 1 до 999 ровно 999, исключим из них однозначные и двузначные числа от 1 до 99. Таким образом, .
Итак,
Пример 5. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится двадцать сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Обратите внимание на условие задачи. Здесь не говорится, что из 200 сумок двадцать – с дефектами. В тексте чётко обозначено, что качественных – 200 штук, а некачественных – 20 штук.
Решение. Событие A – купленная сумка окажется качественной. Найдём m и n.
Всё просто, , .
Итак,
Что-то пошло не так? Полученный результат невозможно будет записать в бланк ответов, т.к. ответом может быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь.
Ещё раз внимательно перечитываем задачу, а точнее, вопрос задачи. Там сказано: результат округлите до сотых. Помним, калькулятор использовать нельзя. Честно делим в столбик. Т.к. округлить нужно до сотых, то мы найдём три цифры после запятой и только потом запишем результат.
Ответ: 0,91.
Больше задач по теории вероятностей: https://ege-study.ru/teoriya-veroyatnostej/ и https://ege-study.ru/teoriya-veroyatnostej-na-ege-po-matematike/
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 10 ОГЭ по математике. Вероятность и статистика.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 07.06.2023
Мы можем пройти внутрь фильма? Часть 1. Стереопанорамная оценка глубины | by Александр Харин
оценка глубины для панорамного кадра equirec 12 мин чтения·
21 сентября 2022 г. Пример 3D-изображения, созданного с использованием карты глубины. Изображение создано с использованием модели стабильной диффузии (щелкните вкладку результатов)Всем привет! Меня зовут Алекс, и я исследователь компьютерного зрения в DeoVR, компании, занимающейся потоковым видео для виртуальной реальности. Один из наших продуктов — удобный и бесплатный видеоплеер для очков виртуальной реальности.
Одной из мечтаний сообщества виртуальной реальности является полное погружение — представьте, что вы можете зайти внутрь видео, снятого Стивеном Спилбергом, или заглянуть за угол в детектива. 6 степеней свободы внутри видео требует информации о геометрии сцены, и ее можно получить с помощью лидаров, дополнительных камер или с помощью интеллектуальных алгоритмов с обычным оборудованием для съемки VR.
Что такое VR-видео?
Между видео в VR и классическим «плоским» кино есть 2 основных отличия:
1. В VR кинотеатре угол обзора значительно больше, чем в классическом и может составлять до 360 градусов, что позволяет поворачивать голову в VR
2. Наличие эффекта стереоскопического зрения — изображение для правого и левого глаза разные, так как снимались с разными объективами
Интересно, что технически очень сложно обеспечить качественное одновременное выполнение обоих моментов при съемке. При производстве фильмов ВР обычно используют 2 широкоугольных объектива, расположенных на расстоянии около 6,5 см, что соответствует среднему межзрачковому расстоянию. Удовольствие от просмотра такого видео может испортить появление нескольких артефактов.
Дело в том, что изображение спереди соответствует положению зрачков, но при повороте головы происходит несоответствие положения линз и положения зрачков, что приводит к исчезновению стереоэффект и появление искажений.
В крайнем случае поля зрения на 360 градусов поворот на 180 градусов будет подавать изображение с левой камеры на правый глаз, что приведет к обратному параллаксу. Кроме того, некоторые объекты находятся ближе к одной линзе, чем к другой, и это может привести к различиям в угловых размерах объектов при повороте головы. Наблюдаемые искажения зависят от 3-х углов Эйлера, которые могут описывать положение головы — сырое, тангажное, тангажное.
Некоторые искажения не могут быть исправлены математически точно, например, отсутствие параллакса при повороте головы на 90 градусов не могут быть исправлены — на отснятых видео просто нет нужной информации. Другие искажения могут поддаваться частичной или полной коррекции. Однако для внесения таких исправлений часто нужна информация о трехмерном расположении объектов на видео, или, другими словами, о расстоянии от объектива до каждой из точек на кадре. Кроме того, эта информация потенциально может быть использована для восстановления трехмерной сцены и реализации движения зрителя внутри фильма (мы также развиваемся в этом крайне интересном направлении, но это тема для отдельной статьи).
Как получить информацию о расстоянии до каждого пикселя карты глубины. Как я могу получить это из видео? Интересно, что большую часть работы по определению расстояния до объекта по изображениям выполняют компании, связанные с производством беспилотных автомобилей. Существует несколько подходов к решению этой проблемы
1. Монокулярная оценка глубины
В принципе, одного снимка недостаточно, чтобы строго определить глубину, но человек часто может сказать по фотографии, что далеко, а что близко. Для этого неявно используются такие признаки, как относительные размеры предметов и сравнение с типичными размерами предметов, различие резкости изображения на разных расстояниях и т.п. Человека можно обмануть. Классический пример игры с перспективой показан на рисунке.
Тем не менее, задачу можно решить с помощью нейросетевого подхода, например, как это сделано здесь. Не буду заострять внимание на используемых архитектурах — там есть все — от простейших сверточных сетей до трансформаторов.
Минусом является низкая (по сравнению с бинокулярными методами) и плохо предсказуемая точность таких методов и большая зависимость точности от области применения (большинство предварительно обученных моделей обучаются на изображении дорог, т.к. наборы данных для обучения беспилотных автомобилей). Большое поле зрения не является препятствием для алгоритмов, так как на вход сети можно подать любую проекцию и получить разумный результат. Впрочем, монокулярную оценку глубины можно использовать и на панорамах.
Оценка бинокулярной глубины
Важно понимать, что задача реконструкции бинокулярной глубины соседствует с задачей определения сдвига (стереодиспаратности). Очень грубо, в большинстве случаев расстояние~1/Disp.
Классический метод определения глубины заключается в использовании алгоритма сопоставления блоков. Как следует из названия, изображение для одного глаза разбивается на блоки и производится поиск того, на сколько сдвинуть один блок по горизонтали, чтобы он наилучшим образом соответствовал изображению для второго глаза.
Метрикой сходства чаще всего является модуль разницы между значениями пикселей в блоке и втором изображении. К переменным параметрам простого метода относятся размер блока и максимальное значение сдвига, до которого выполняется поиск. Такой метод вполне может показать сдвиг на границах объектов. К недостаткам метода можно отнести низкую точность на нетекстурированных участках и сбой алгоритма в случае близких к камере объектов. Последнее связано с тем, что очень сложно описать разницу между изображениями смещением одного относительно другого — искажения возникают потому, что объект виден под другим углом, а не просто смещен.
Однако развитие нейронных сетей позволило применить идею сопоставления с большей эффективностью. Например, если нейронная сеть извлекает некоторые особенности изображения, вы можете применить сопоставление к этим характеристикам. Это частично устранит проблему с близкими объектами — детали высокого уровня (например, кончик носа) будут выделяться вне зависимости от углового искажения.
Развитие идей нейронного сопоставления заключается в использовании так называемого стоимостного объема.
Нейронная сеть извлекает признаки изображений, затем для каждой смены вычисляется значение сходства соответствующих признаков (метрика сходства в разных работах разная, для простоты можно взять разницу). Если имеется 2 набора признаков с размерностью CxHxW, то после вычисления разностей сдвига от 0 до D мы получаем матрицу с размерностью DxCxHxW — она называется Cost Volume. Далее, применение к полученной матрице нескольких 3d сверток может привести к достаточно точному результату.
Большое количество работ направлено на улучшение архитектуры при работе с Cost Volume и уменьшение количества операций (3d свертки довольно дорогие). В отличие от BM или нейронного BM, подход использует Cost Volume. Отличный обзор того, как это работает, можно найти здесь. Однако большинство моделей SOTA для бинокулярного чтения глубины используют Cost Volume. Вы можете увидеть текущие результаты и архитектуры, используемые для восстановления здесь.
Бинокулярные панорамы для оценки глубины
Вышеуказанные методы применимы к изображениям с небольшим полем зрения, и их применение в широкоугольных видеороликах требует их модификации. Основная проблема заключается в том, что в методах восстановления стереофонической глубины происходит поиск значения горизонтального сдвига одной картинки относительно другой. В случае широкоугольных снимков отличия заключаются не только в сдвигах. Для начала разберемся, как это получается и что такое кадр в VR-фильме
Большинство современных VR-камер оснащены широкоугольным объективом типа «рыбий глаз», что позволяет проецировать мир на плоскость. В то время как любая проекция видимого мира на плоскость может быть использована для широкоугольной потоковой передачи видео, наиболее часто используются проекции «рыбий глаз» и «эквидистантная».
В простейшем случае точку с координатами x, y и z относительно линзы можно преобразовать в проекцию «рыбий глаз» следующим образом:
- Преобразовать в сферическую проекцию (тета, фи)
2.
Преобразование в проекцию «рыбий глаз»
Здесь X и Y нормированы на значения -1, 1
Проекция «рыбий глаз» — это изображение, проецируемое на матрицу видеокамеры непосредственно объективом типа «рыбий глаз». Для современных бинокулярных камер типа «рыбий глаз» поле зрения может достигать 220 градусов. Конечно, под такими углами один объектив видит другой, но обычно их снимают на этапе постобработки видео. Затем видео состоит из 2 изображений «рыбий глаз», расположенных рядом (формат «бок о бок») или одного над другим. Видеопроигрыватель должен преобразовать проекционные данные в 3D-видео.
Исторически сложилось так, что для хранения и потоковой передачи виртуальной реальности чаще использовалась другая проекция, равнопрямоугольная проекция. Большинство людей знакомо с ним по карте мира — круглая поверхность земли проецируется на прямоугольную карту таким образом, что все параллели горизонтальны, а меридианы вертикальны. Другими словами, при эквидистантной проекции точка с координатами x, y, z попадет в точку
- Преобразовать в сферическую проекцию (тета, фи)
2.
Преобразовать в равноправную проекцию
Как получить карту глубины из двух стереопроекций?
Первый подход прост — достаточно использовать модель для монокулярного определения глубины на любой проекции. Минусов два — так как модель не обучена на таких проекциях, могут возникать систематические ошибки (практика показывает, что ими почти всегда можно пренебречь). Второй минус гораздо существеннее — полученная карта глубины нестабильна во времени — если мы конвертируем видео таким образом, то можем заметить мерцание карты глубины.
Предположим, изображение спроецировано на сферы радиусом 1.
Чему будет соответствовать точка с координатами (XYZ) для правого глаза в эквидистантной проекции для левого глаза? Рассчитать координаты XYZ для левого изображения
Для правого глаза:
Для того, чтобы определить глубину (R) 2-х изображений, вам придется много работать, даже если мы точно определили соответствие точек справа и левые изображения (θR, φR, θL, φL).
Если вернуться к задаче нахождения оптимального R или R`, то способ может быть следующим – для каждого оцениваемого R` перепроецируем правильное изображение на сферу этого радиуса и вычисляем, как изображение будет выглядеть из точка зрения левой камеры. Таким образом, мы получаем некий криволинейный аналог CostVolume, который можно дополнительно обрабатывать. На факеле репроекция может выглядеть так.
Для работы можно использовать равную проекцию, в которой полюса находятся не вверху и внизу, а справа и слева. Тогда симметрия задачи становится цилиндрической, что значительно упрощает используемые уравнения. Можно показать, что в такой проекции изменение расстояния до объекта приводит к смещению по горизонтали:
Обратите внимание, что значение Phi одинаково для правой и левой проекций, единственное различие заключается в значении тета. Иными словами, можно искать простое горизонтальное смещение правой проекции относительно левой (есть, конечно, и горизонтальные искажения, связанные с разницей между R и R’). Внимательное обращение с приведенными выше формулами приводит к следующему:
Значит, достаточно перевести входное изображение в нужную проекцию, и тогда можно использовать весь арсенал предварительно обученных нейронных сетей для поиска горизонтальных сдвигов областей .
Примечание: Для большей точности после перепроецирования изображения должны быть определенным образом растянуты в горизонтальном направлении, чтобы избавиться от cos θ.
Эксперименты показывают, что большинство нейронных методов хорошо работают без дополнительного растяжения, а точную глубину можно рассчитать после применения оценщика глубины путем умножения глубины на коэффициент cos θ
. Для простоты: на большинстве проекций вертикальное выравнивание может быть пропущено, особенно в случае близких объектов. Перевернутая равнопрямая проекция не имеет такой проблемы (см. пример с микрошнуром на изображении). перепроецирование может вызвать проблемы с такой проекцией близко к левой и правой сторонам изображения, но эти области в любом случае нельзя использовать для стереосопоставления.
Верхняя — стандартная прямая проекция. Нижняя перевернутая прямая проекция. Кадр видео взят с deovr.comРепроекция на практике может быть выполнена несколькими способами:
1. Записать сетку для выборки на Torch — это может ускорить расчеты и подходит для включения первого шага в пайплайн ML. Ключевым для такого рода выборки является метод grid_sample из библиотеки torch.
Единственная хитрость реализации — правильно рассчитать сетки для пересэмплирования одной проекции в другую. В основном математика приведена выше — сетки XY целевой проекции пересчитываются, чтобы соответствовать XYZ в реальном пространстве, а затем сетки XYZ пересчитываются в соответствующие точки исходной проекции:
2. Перенести математику перепроецирования в фильтр V360 библиотеки ffmpeg
Полный код можно найти на https://github.com/Alexankharin/fisheye_disparity -fly коррекция изображения) можно написать шейдер для быстрого перепроецирования. На opengl это может выглядеть так:
После этого можно использовать любую предварительно обученную нейросеть, например ту, что с предварительно обученными весами или создать свою
В результате мы получим равнопрямую проекцию карты глубины, которую можно используется как для восстановления 3d сцены, так и для других целей, например, для компенсации искажений, возникающих при повороте головы во время просмотра vr фильмов — обычно для этого требуется знание расстояния до объекта.
Как и предполагалось — оценка глубины гораздо лучше, чем без репроекции. Тем не менее, боковые области по-прежнему имеют ошибочную оценку глубины.
исходная карта глубины кадра, созданная без предварительной обработки. Например, вместо относительно медленного фильтра ffmpeg или малосовместимого кода torch следует использовать шейдер для перепроецирования. Кроме того, следует обратить внимание на скорость и эффективность работы нейронной сети на устройстве и применить соответствующие оптимизации. Например, в качестве нейронной сети для выделения признаков можно использовать несколько блоков типа мобильная сеть, вместо стоимостного объема размерностью DxCxHxW можно рассматривать корреляции между векторами признаков, получив и используя в результате матрицу размерностью DxHxW, что избавляет от необходимости использования вычислительно затратных операций 3d сверток и т.д. На этом шаге нужна оптимизация как на уровне архитектуры решения, так и на уровне эффективного запуска на железе.