Гдз математика класс никольский: ГДЗ по Математике 6 класс: Никольский С.М. Решебник

Большинство математических обозначений, используемых сегодня, были изобретены только в 16 веке. ^[24] До этого математика описывалась словами — кропотливый процесс, ограничивавший математические открытия. ^[25] Эйлер (1707–1783) был ответственным за многие из используемых сегодня обозначений. Современные обозначения значительно упрощают математику для профессионалов, но новички часто находят ее сложной. Он очень сжат: несколько символов содержат большой объем информации. Как и музыкальная нотация, современная математическая нотация имеет строгий синтаксис (который в ограниченной степени варьируется от автора к автору и от дисциплины к дисциплине) и кодирует информацию, которую было бы трудно написать каким-либо другим способом.

Начинающим может быть трудно понять математический язык. Такие слова, как или и , только имеют более точное значение, чем в повседневной речи. Более того, такие слова, как open и field , получили специализированные математические значения. Технические термины, такие как гомеоморфизм , и интегрируемый , имеют точное значение в математике. Кроме того, сокращенные фразы, такие как «iff» вместо «if and only if», относятся к математическому жаргону.Есть причина для специальных обозначений и технической лексики: математика требует большей точности, чем повседневная речь. Математики называют эту точность языка и логики «строгостью».

Математическое доказательство — это, по сути, вопрос строгости. Математики хотят, чтобы их теоремы вытекали из аксиом посредством систематических рассуждений. Это сделано для того, чтобы избежать ошибочных «теорем», основанных на ошибочной интуиции, многие примеры которых встречались в истории предмета. ^[26] Уровень строгости математики со временем менялся: греки ожидали подробных аргументов, но во времена Исаака Ньютона используемые методы были менее строгими.Проблемы, присущие определениям, используемым Ньютоном, приведут к возрождению тщательного анализа и формальных доказательств в 19 веке. Непонимание строгости является причиной некоторых распространенных неправильных представлений о математике. Сегодня математики продолжают спорить между собой о компьютерных доказательствах. Поскольку большие вычисления трудно проверить, такие доказательства могут быть недостаточно строгими. ^[27]

Аксиомы в традиционной мысли были «самоочевидными истинами», но такая концепция проблематична.На формальном уровне аксиома — это просто строка символов, которая имеет внутреннее значение только в контексте всех выводимых формул аксиоматической системы. Целью программы Гильберта было поставить всю математику на прочную аксиоматическую основу, но согласно теореме Гёделя о неполноте каждая (достаточно мощная) аксиоматическая система имеет неразрешимые формулы; и поэтому окончательная аксиоматизация математики невозможна. Тем не менее математика часто представляется (с точки зрения ее формального содержания) не чем иным, как теорией множеств в некоторой аксиоматизации в том смысле, что каждое математическое утверждение или доказательство может быть преобразовано в формулы в рамках теории множеств. ^[28]

Области математики

В общих чертах математику можно подразделить на изучение количества, структуры, пространства и изменений (т.е. арифметику, алгебру, геометрию и анализ). В дополнение к этим основным проблемам, существуют также подразделения, посвященные изучению связей из сердца математики с другими областями: с логикой, с теорией множеств (основания), с эмпирической математикой различных наук (прикладная математика), а в последнее время к тщательному изучению неопределенности.

Основы и философия

Чтобы прояснить основы математики, были разработаны области математической логики и теории множеств. Математическая логика включает математическое изучение логики и приложения формальной логики к другим областям математики; Теория множеств — это раздел математики, изучающий множества или совокупности объектов. Теория категорий, которая абстрактно рассматривает математические структуры и отношения между ними, все еще находится в разработке.Фраза «кризис основ» описывает поиск прочного основания математики, который велся примерно с 1900 по 1930 год. ^[29] Некоторые разногласия по поводу основ математики сохраняются и по сей день. Кризис основ был вызван рядом споров в то время, в том числе спорами по поводу теории множеств Кантора и споров Брауэра-Гильберта.

Математическая логика занимается установлением математики в рамках строгой аксиоматической структуры и изучением последствий такой структуры.Таким образом, он является домом для теорем Гёделя о неполноте, которые (неформально) подразумевают, что любая формальная система, содержащая базовую арифметику, если звучит как (что означает, что все теоремы, которые могут быть доказаны, верны), обязательно неполная (что означает, что являются истинными теоремами, которые не могут быть доказаны в этой системе (). Какой бы конечный набор теоретико-числовых аксиом ни был взят за основу, Гёдель показал, как построить формальное утверждение, которое является истинным теоретико-числовым фактом, но которое не следует из этих аксиом.Следовательно, никакая формальная система не является полной аксиоматизацией полной теории чисел. Современная логика делится на теорию рекурсии, теорию моделей и теорию доказательств и тесно связана с теоретической информатикой ^{[ необходима цитата ]} , а также с теорией категорий.

Теоретическая информатика включает теорию вычислимости, теорию сложности вычислений и теорию информации. Теория вычислимости исследует ограничения различных теоретических моделей компьютера, включая наиболее известную модель — машину Тьюринга.Теория сложности — это изучение управляемости компьютером; некоторые проблемы, теоретически решаемые с помощью компьютера, настолько дороги с точки зрения времени и пространства, что их решение, вероятно, останется практически невозможным даже при быстром развитии компьютерного оборудования. Известная проблема — «P = NP?» проблема, одна из задач Премии тысячелетия. ^[30] Наконец, теория информации связана с объемом данных, которые могут быть сохранены на данном носителе, и, следовательно, имеет дело с такими понятиями, как сжатие и энтропия.

Чистая математика

Кол. Акций

Изучение количества начинается с чисел, сначала знакомых натуральных и целых чисел («целых чисел») и арифметических операций над ними, которые характеризуются арифметикой. Более глубокие свойства целых чисел изучаются в теории чисел, откуда приходят такие популярные результаты, как Великая теорема Ферма. Гипотеза о простых числах-близнецах и гипотеза Гольдбаха — две нерешенные проблемы теории чисел.

По мере дальнейшего развития системы счисления целые числа распознаются как подмножество рациональных чисел («дроби»). Они, в свою очередь, содержатся в действительных числах, которые используются для представления непрерывных количеств. Действительные числа обобщаются на комплексные числа. Это первые шаги иерархии чисел, которая включает четвертионы и октонионы. Рассмотрение натуральных чисел также приводит к трансфинитным числам, которые формализуют понятие «бесконечность».Еще одна область изучения — это размер, который ведет к количественным числам, а затем к другой концепции бесконечности: числам алефа, которые позволяют осмысленно сравнивать размеры бесконечно больших множеств.

Структура

Многие математические объекты, такие как наборы чисел и функций, демонстрируют внутреннюю структуру как следствие операций или отношений, определенных в наборе. Затем математика изучает свойства этих множеств, которые могут быть выражены в терминах этой структуры; например, теория чисел изучает свойства множества целых чисел, которые могут быть выражены в терминах арифметических операций.Более того, часто бывает, что разные такие структурированные множества (или структуры) демонстрируют сходные свойства, что позволяет на следующем этапе абстракции сформулировать аксиомы для класса структур, а затем сразу изучить весь класс структур, удовлетворяющих эти аксиомы. Таким образом можно изучать группы, кольца, поля и другие абстрактные системы; вместе такие исследования (для структур, определяемых алгебраическими операциями) составляют область абстрактной алгебры. Благодаря своей большой общности абстрактная алгебра часто может применяться к, казалось бы, не связанным между собой проблемам; например, ряд древних проблем, касающихся конструкции компаса и линейки, был наконец решен с помощью теории Галуа, которая включает теорию поля и теорию групп.Другим примером алгебраической теории является линейная алгебра, которая представляет собой общее исследование векторных пространств, элементы которых, называемые векторами, имеют как количество, так и направление, и могут использоваться для моделирования (отношений между) точками в пространстве. Это один из примеров феномена того, что изначально не связанные между собой области геометрии и алгебры очень сильно взаимодействуют в современной математике. Комбинаторика изучает способы перечисления количества объектов, соответствующих данной структуре.

Космос

Изучение пространства берет свое начало с геометрии, в частности, с евклидовой геометрии.Тригонометрия — это раздел математики, который занимается отношениями между сторонами и углами треугольников и тригонометрическими функциями; он сочетает в себе пространство и числа и охватывает хорошо известную теорему Пифагора. Современные исследования пространства обобщают эти идеи, включая геометрию более высоких измерений, неевклидову геометрию (которая играет центральную роль в общей теории относительности) и топологию. Количество и пространство играют роль в аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.Выпуклая и дискретная геометрия была разработана для решения задач теории чисел и функционального анализа, но сейчас она разрабатывается с прицелом на приложения в оптимизации и информатике. В рамках дифференциальной геометрии используются понятия расслоений и исчисления на многообразиях, в частности, векторное и тензорное исчисление. В рамках алгебраической геометрии есть описание геометрических объектов как наборов решений полиномиальных уравнений, объединяющих понятия количества и пространства, а также изучение топологических групп, которые объединяют структуру и пространство.Группы Ли используются для изучения пространства, структуры и изменений. Топология во всех ее многочисленных ответвлениях, возможно, была самой большой областью развития математики 20 века; он включает точечную топологию, теоретико-множественную топологию, алгебраическую топологию и дифференциальную топологию. В частности, примерами современной топологии являются теория метризуемости, аксиоматическая теория множеств, теория гомотопий и теория Морса. Топология также включает теперь решенную гипотезу Пуанкаре. Другие результаты в геометрии и топологии, включая теорему о четырех цветах и ​​гипотезу Кеплера, были доказаны только с помощью компьютеров.

Изменить

Понимание и описание изменений — обычная тема в естественных науках, и математические вычисления были разработаны как мощный инструмент для их исследования. Функции возникают здесь как центральное понятие, описывающее изменяющуюся величину. Строгое изучение действительных чисел и функций действительной переменной известно как реальный анализ, а комплексный анализ — эквивалентное поле для комплексных чисел. Функциональный анализ фокусирует внимание на пространствах функций (обычно бесконечномерных).Одно из многих приложений функционального анализа — квантовая механика. Многие проблемы естественным образом приводят к взаимосвязям между величиной и скоростью ее изменения, которые изучаются как дифференциальные уравнения. Многие явления в природе можно описать динамическими системами; Теория хаоса уточняет способы, которыми многие из этих систем демонстрируют непредсказуемое, но все же детерминированное поведение.

Прикладная математика

Прикладная математика занимается математическими методами, которые обычно используются в науке, технике, бизнесе и промышленности.Таким образом, «прикладная математика» — это математическая наука со специализированными знаниями. Термин «прикладная математика» также описывает профессиональную специальность, в которой математики работают над практическими задачами; Как профессия, ориентированная на практические проблемы, прикладная математика фокусируется на формулировании, изучении и использовании математических моделей в науке, технике и других областях математической практики.

В прошлом практическое применение мотивировало развитие математических теорий, которые затем стали предметом изучения чистой математики, где математика разрабатывалась в первую очередь ради нее самой.Таким образом, деятельность прикладной математики неразрывно связана с исследованиями в области чистой математики.

Статистика и другие науки о принятии решений

Прикладная математика во многом пересекается с дисциплиной статистики, теория которой формулируется математически, особенно с теорией вероятностей. Статистики (работающие в рамках исследовательского проекта) «создают разумные данные» с помощью случайной выборки и рандомизированных экспериментов; ^[31] план статистической выборки или эксперимента определяет анализ данных (до того, как данные будут доступны).При пересмотре данных экспериментов и выборок или при анализе данных наблюдательных исследований статистики «разбираются в данных», используя искусство моделирования и теорию вывода — с выбором и оценкой модели; предполагаемые модели и последующие прогнозы должны быть проверены на новых данных. ^[32]

Статистическая теория изучает проблемы принятия решений, такие как минимизация риска (ожидаемых потерь) статистического действия, например, использование процедуры при оценке параметров, проверке гипотез и выборе наилучшего.В этих традиционных областях математической статистики проблема статистического решения формулируется путем минимизации целевой функции, такой как ожидаемые убытки или затраты, при определенных ограничениях: например, планирование обследования часто включает в себя минимизацию затрат на оценку среднего для генеральной совокупности с помощью данный уровень уверенности. ^[33] Из-за использования оптимизации математическая теория статистики разделяет проблемы с другими науками о принятии решений, такими как исследование операций, теория управления и математическая экономика. ^[34]

Вычислительная математика

Вычислительная математика предлагает и изучает методы решения математических задач, которые обычно слишком велики для численных возможностей человека. Численный анализ изучает методы анализа задач с использованием функционального анализа и теории приближений; Численный анализ включает в себя изучение аппроксимации и дискретизации в целом с особым вниманием к ошибкам округления. Численный анализ и, в более широком смысле, научные вычисления также изучают неаналитические темы математической науки, особенно алгоритмическую матрицу и теорию графов.Другие области вычислительной математики включают компьютерную алгебру и символьные вычисления.

Математика как профессия

Самая известная награда в области математики — медаль Филдса, ^{[35] [36]} , учрежденная в 1936 году и теперь присуждаемая каждые 4 года. Его часто считают эквивалентом Нобелевских премий науки. Премия Вольфа по математике, учрежденная в 1978 году, присуждается за достижения на протяжении всей жизни, а еще одна крупная международная награда — Премия Абеля — была учреждена в 2003 году.Медаль Черна была введена в 2010 году в знак признания заслуг. Они присуждаются за конкретную работу, которая может быть инновационной или решающей нерешенной проблемой в установленной области.

Знаменитый список из 23 открытых проблем, названный «проблемами Гильберта», был составлен в 1900 году немецким математиком Давидом Гильбертом. Этот список получил широкую известность среди математиков, и по крайней мере девять из задач уже решены. В 2000 г. был опубликован новый список из семи важных проблем, озаглавленный «Проблемы, связанные с Премией тысячелетия».Решение каждой из этих проблем приносит вознаграждение в 1 миллион долларов, и только одна (гипотеза Римана) дублируется в задачах Гильберта.

Математика как наука

Карл Фридрих Гаусс называл математику «Королевой наук». ^[38] В оригинальном латинском Regina Scientiarum , а также на немецком языке Königin der Wissenschaften слово, соответствующее науке, означает «область знаний», и это было первоначальное значение слова «наука». на английском тоже.Конечно, математика в этом смысле — область знаний. Специализация, ограничивающая значение слова «наука» естественными науками , следует за развитием науки Бэкона, которая противопоставила «естественные науки» схоластике, аристотелевскому методу исследования, основанному на первых принципах. Конечно, в математике роль эмпирических экспериментов и наблюдений ничтожна по сравнению с естественными науками, такими как психология, биология или физика. Альберт Эйнштейн заявил, что «насколько законы математики относятся к реальности, они не точны; и насколько они уверены, они не относятся к реальности. « ^[9]

Многие философы считают, что математика не поддается экспериментальному опровержению и, следовательно, не является наукой в ​​соответствии с определением Карла Поппера. ^[39] Однако в 1930-х годах теоремы Гёделя о неполноте убедили многих математиков ^{[ who? ]} , что математику нельзя свести к одной логике, и Карл Поппер пришел к выводу, что «большинство математических теорий, как и теории физики и биологии, являются гипотетико-дедуктивными: чистая математика, таким образом, оказывается намного ближе к естественным наукам, гипотезы которых домыслы, чем казалось еще недавно.» ^[40] Другие мыслители, в частности Имре Лакатос, применили одну из версий фальсификационизма к самой математике.

Альтернативная точка зрения состоит в том, что определенные области науки (например, теоретическая физика) представляют собой математику с аксиомами, которые должны соответствовать действительности. Фактически, физик-теоретик Дж. М. Зиман предположил, что наука — это публичных знаний, и, следовательно, включает математику. ^[41] В любом случае, математика имеет много общего со многими областями физических наук, особенно с исследованием логических следствий предположений.Интуиция и экспериментирование также играют роль в формулировании предположений как в математике, так и в (других) науках. Экспериментальная математика продолжает приобретать все большее значение в математике, а вычисления и моделирование играют все более важную роль как в науках, так и в математике, ослабляя возражения против того, что математика не использует научный метод. ^{[ необходима ссылка ]}

Мнения математиков по этому поводу разнятся. Многие математики ^{[ кто? ]} считают, что называть их область наукой — значит преуменьшать важность ее эстетической стороны и ее истории в традиционных семи гуманитарных науках; другие ^{[ кто? ]} считают, что игнорировать его связь с наукой — значит закрывать глаза на тот факт, что взаимодействие между математикой и ее приложениями в науке и технике привело к значительному развитию математики.Один из способов проявления этой разницы во взглядах — это философский спор о том, является ли математика созданной (как в искусстве) или открытой (как в науке). Часто можно увидеть, что университеты разделены на разделы, которые включают раздел Естествознание и математика , что указывает на то, что области рассматриваются как связанные, но не совпадают. На практике математики обычно объединяются с учеными общего уровня, но разделяются на более тонких уровнях. Зиман

Список литературы

• Курант, Ричард и Х. Роббинс, Что такое математика? : Элементарный подход к идеям и методам , Oxford University Press, США; 2-е издание (18 июля 1996 г.). ISBN 0-19-510519-2.
• Эйнштейн, Альберт (1923). Параллельно с относительностью (геометрия и опыт) . P. Dutton., Co.
• Eves, Howard, Введение в историю математики , шестое издание, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
• Клайн, Моррис, Математическая мысль от древних до наших дней , Oxford University Press, США; Издание в мягкой обложке (1 марта 1990 г.). ISBN 0-19-506135-7.
• Монастырский, Михаил (2001) (PDF). Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса . Канадское математическое общество. http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf. Проверено 28 июля 2006.
• Оксфордский словарь английского языка, второе издание, изд. Джон Симпсон и Эдмунд Вайнер, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.
• Оксфордский словарь этимологии английского языка , перепечатка 1983 г. ISBN 0-19-861112-9.
• Папас, Теони, Радость математики , Уайд Уорлд Паблишинг; Исправленное издание (июнь 1989 г.). ISBN 0-933174-65-9.
• Пирс, Бенджамин (1881). Пирс, Чарльз Сандерс. изд. «Линейная ассоциативная алгебра». Американский журнал математики (Университет Джона Хопкинса) 4 (1–4): 97–229. DOI: 10.2307 / 2369153. Исправленная, расширенная и аннотированная редакция статьи Б.Пирса и примечания его сына К.С. Пирса к литографическому изданию 1872 г. Google Eprint и как отрывок, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint. http://books.google.com/?id=De0GAAAAYAAJ&pg=PA1&dq=Peirce+Benjamin+Linear+Associative+Algebra+&q=. .
• Петерсон, Иварс, Математический турист, Новые и обновленные снимки современной математики , Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
• Поппер, Карл Р. (1995). «О знаниях». В поисках лучшего мира: лекции и очерки за тридцать лет .Рутледж. ISBN 0-415-13548-6.
• Рим, Карл (август 2002 г.). «Ранняя история медали Филдса» (PDF). Уведомления AMS (AMS) 49 (7): 778–782. http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf.
• Севрюк Михаил Б. (январь 2006 г.). «Книжные рецензии» (PDF). Бюллетень Американского математического общества 43 (1): 101–109. DOI: 10.1090 / S0273-0979-05-01069-4. http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf. Проверено 24 июня 2006.
• Вальтерсхаузен, Вольфганг Сарториус фон (1856, репр.1965). Gauss zum Gedächtniss . Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8. ISSN B0000BN5SQ ASIN: B0000BN5SQ. http://www.amazon.de/Gauss-Ged%e4chtnis-Wolfgang-Sartorius-Waltershausen/dp/3253017028.

Дополнительная литература

• Бенсон, Дональд К., Момент доказательства: математические прозрения , Oxford University Press, США; Новое издание Ed (14 декабря 2000 г.).ISBN 0-19-513919-4.
• Бойер, Карл Б., История математики , Wiley; 2-е издание (6 марта 1991 г.). ISBN 0-471-54397-7. — Краткая история математики от понятия числа до современной математики.
• Дэвис, Филип Дж. И Херш, Рубен, Математический опыт . Книги Моряка; Репринтное издание (14 января 1999 г.). ISBN 0-395-92968-7.
• Гуллберг, Ян, Математика — от рождения чисел . W. W. Norton & Company; 1-е издание (октябрь 1997 г.).ISBN 0-393-04002-X.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics . Kluwer Academic Publishers 2000. — Переведенная и расширенная версия советской математической энциклопедии в десяти (дорогих) томах, наиболее полная и авторитетная из имеющихся работ. Также в мягкой обложке и на CD-ROM, и в Интернете.
• Журден, Филип Б., Природа математики , в Мир математики , Джеймс Р. Ньюман, редактор, Dover Publications, 2003, ISBN 0-486-43268-8.

Внешние ссылки

• Математика в наше время на BBC. (слушайте сейчас)
• Бесплатные книги по математике Коллекция бесплатных книг по математике.
• Encyclopaedia of Mathematics онлайн-энциклопедия от Springer, справочная работа для выпускников с более чем 8000 статей, освещающая почти 50 000 математических понятий.
• Сайт HyperMath в Государственном университете Джорджии
• Библиотека FreeScience Математический раздел библиотеки FreeScience
• Русин, Дэйв: Математический атлас .Экскурсия по различным разделам современной математики. (Также можно найти на NIU.edu.)
• Полянин, Андрей: EqWorld: Мир математических уравнений . Интернет-ресурс, посвященный алгебраическим, обыкновенным производным, частным производным (математическая физика), интегральным и другим математическим уравнениям.
• Каин, Джордж: Интернет-учебники по математике доступны бесплатно в Интернете.
• Tricki, сайт в стиле Wiki, который призван превратиться в большой магазин полезных математических методов решения задач.
• Mathematical Structures, список сведений о классах математических структур.
• Биографии математиков. Архив истории математики MacTutor Обширная история и цитаты всех известных математиков.
• Метамат . Сайт и язык, формализующие математику с самого начала.
• Nrich, отмеченный наградами сайт для студентов от пяти лет из Кембриджского университета
• Open Problem Garden, вики-сайт открытых задач по математике
• Планета Математика .Строящаяся онлайн-энциклопедия математики, посвященная современной математике. Использует лицензию Attribution-ShareAlike, позволяющую обмениваться статьями с Википедией. Использует разметку TeX.
• Некоторые математические апплеты, в MIT
• Вайсштейн, Эрик и др .: MathWorld: Мир математики . Онлайн-энциклопедия математики.
• Видеоуроки по математике Патрика Джонса
• Citizendium: Теория (математика).

| Факультет математики Калифорнийского университета в Беркли

Информация о курсе для отдельных семестров:

• Расписания и объявления курсов : Под заголовком Предложения курсов в меню слева вы найдете ссылку на текущий семестр (= семестр или летняя сессия), и, по мере приближения, покажете ссылки для предстоящих сроки тоже.Нажав на одну из этих ссылок, вы перейдете к расписанию уроков математики на этот семестр, включая (за исключением летних занятий) курс для инструкторов , объявления , с информацией о преподавании философии , оценке политика и т. д. Он также откроет две дополнительные ссылки в этом меню: -список учебников и список веб-страниц курса .
• Архивы курсов: содержат ту же информацию для прошлых семестров.
• Часы работы математического факультета и GSI указаны на текущий семестр.
• Расписание занятий в кампусе Беркли дает информацию о курсах в масштабах кампуса: расписание, текущие данные о зачислении, даты и время выпускных экзаменов и т. Д.
• BearFacts, доступный для зачисленных студентов, преподавателей и сотрудников, содержит дополнительную информацию.

Дополнительные материалы по курсам:

Связанная информация:

• Репетиторство: у нас есть информация для учеников, которым нужны репетиторские услуги, и учеников, заинтересованных в репетиторской работе, .
• летних сессий открыты с оплатой за каждый курс для студентов как из Беркли, так и не из Беркли.
• Одновременное зачисление: Эта система, управляемая UC Berkeley Extension, аналогичным образом позволяет студентам, не являющимся гражданами Беркли, записываться в течение обычного семестра на большинство обычных курсов Беркли с оплатой за каждый курс.
• Программы обучения по математике: Для получения информации щелкните Бакалавриат или Выпускник.