Дидактические материалы по алгебре 7 звавич: ГДЗ по алгебре 7 класс дидактические материалы Феоктистов

Содержание

Дидактические материалы по алгебре 7 класс К учебнику Макарычева Звавич

Пособие с Дидактическими материалами 7 класса Звавича, Дьяконовой по алгебре к учебнику Макарычева, предлагаемое для бесплатного скачивания, соответствует ФГОС. Пособие состоит из самостоятельных работ, сборника тестов, контрольных работ и др. материалов. Возможно использование предлагаемых в пособии материалов также при обучении алгебре по другим учебникам ФПУ.

-Содержание-

ПРЕДИСЛОВИЕ 07
УСТАНОВОЧНЫЙ ТЕСТ 010
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ 12
ТЕСТЫ 13
1 ВАРИАНТ 013
С-1. 013
С-2. 14
Т-1. 17
С-3. 18
Т-2. 021
С-4. 024
С-5. 25
С-6. 026
С-7. 29
С-8. 29
С-9. 34
С-10*. …. 37
С-11*. 38
Т-3. 39
С-12. 42
С-13. .. 43
С-14. 44
Т-4. 46
С-15. 48
С-16. 49
С-17. 51
С-18. 52
С-19. 54
Т-5. 55
С-20. 57
С-21*. 58
С-22. 59
С-23. 62
С-24. 063
С-25. 64
С-26*. 65
Т-6. 66
Т-7. 68
С-27. 69
С-28. 70

С-29. 72
Т-8. 73
С-30*. 77
2 ВАРИАНТ 79
С-1. 79
С-2. …’. 80
Т-1. 82
С-3. 84
Т-2. 86
С-4. 89
С-5. 90
С-6. 92
С-7. 94
С-8. 96
С-9. 101
С-10.* …. 103
С-11*. 104
Т-3. 106
С-12. 109
С-13. .. 110
С-14. 112
Т-4. 114
С-15. 116
С-16. 118
С-17. 119
С-18. 121
С-19. 122
Т-5. 123
С-20. 126
С-21*. 127
С-22. 129
С-23. 130
С-24. 132
С-25. 133
С-26*. 134
Т-6. 135
Т-7. 137
С-27. 139
С-28. 141
С-29. 142
Т-8. 144
С-30*. 148
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ 150
К-1. 149
К-2. 152
К-3. 154
К-4. 158
К-5. 161
К-6. 164
К-7. 168
Итоговая контрольная работа 171
БИЛЕТЫ КУСТНОМУ ЗАЧЕТУ 174
Билет № 1 174
Билет № 2 174
Билет № 3 174
Билет № 4 175
Билет № 5 175
Билет № 6 175
Билет № 7 176
Билет № 8 176
Билет № 9 176
Билет № 10 176
Билет № 11 177
Билет № 12 177
Билет № 13 177
Билет № 14 178
Билет № 15 178
Билет № 16 178
Билет № 17 179
ВАРИАНТЫ ….
КОМУ ИНТЕРЕСНО» 0180
Вариант 1 0180
Вариант 2 0181
Вариант 3 0182
Вариант 4 0183
ОТВЕТЫ 0184
Ответы к контрольным 0185
Ответы на билеты 190
Варианты … кому интересно» 190

Скачать

 

Размер файла: 19 Мб; Формат: pdf/zip.

Вместе с «Дидактические материалы по алгебре 7 класс К учебнику Макарычева Звавич» скачивают:

Admin

Дидактические материалы по алгебре. 7 класс. К учебнику Ю.Н. Макарычева «Алгебра. 7 класс». ФГОС - Звавич Л.И., Дьяконова Н.В. | 5-377-14076-4

Стоимость товара может отличаться от указанной на сайте!
Наличие товара уточняйте в магазине или по телефону указанному ниже.

г. Воронеж, площадь Ленина, д.4

8 (473) 277-16-90

г. Воронеж, ул. Маршака, д.18А

8 (473) 231-87-02

г. Липецк, пл.Плеханова, д. 7

8 (4742) 47-02-53

г. Богучар, ул. Дзержинского, д.4

8 (47366) 2-12-90

г. Воронеж, ул. Г. Лизюкова, д. 66 а

8 (473) 247-22-55

г. Поворино, ул.Советская, 87

8 (47376) 4-28-43

г. Воронеж, ул. Ленинский проспект д.153

8 (473) 223-17-02

г. Воронеж, ул. Хользунова, д. 35

8 (473) 246-21-08

г. Россошь, Октябрьская пл., 16б

8 (47396) 5-29-29

г. Россошь, пр. Труда, д. 26А

8 (47396) 5-28-07

г. Лиски, ул. Коммунистическая, д.7

8 (47391) 2-22-01

г. Белгород, Бульвар Народный, 80б

8 (4722) 42-48-42

г.Воронеж, ул. Жилой массив Олимпийский, д.1

8 (473) 207-10-96

г. Воронеж, ул.Челюскинцев, д 88А

8 (4732) 71-44-70

г. Воронеж, ул. Ростовская, д,58/24 ТЦ «Южный полюс»

8 (473) 280-22-42

г. Воронеж, ул. Пушкинская, 2

8 (473) 300-41-49

г. Липецк, ул.Стаханова,38 б

8 (4742) 78-68-01

г. Старый Оскол, мкр Олимпийский, д. 62

8 (4725) 39-00-10

ИСКРА Учебно-методические пособия

Пособие входит в учебно-методический комплект, основывающийся на учебнике "Алгебра, 7 класс" за авторством Ю.Н. Макарычева и других.

В пособии содержатся упражнения для самостоятельных работ (в двух вариантах), контрольных работ (текущих и итоговых), а также задания для проведения школьных математических олимпиад. К каждой контрольной работе приведены номера параграфов учебника, материал которых они охватывают. К контрольным и олимпиадным заданиям даны ответы и указания.

ПОСЛЕДНИЙ ЭКЗЕМПЛЯР на нашем складе.

Издатель (производитель) Просвещение
Период обучения 7 класс
ISBN 978-5-09-045901-3
Автор(ы) (Составитель)
Год издания 2017
Издание 23-е
Вид издания Учебно-методическое пособие
Формат издания 60х90/16 (145х215мм) средний
Обложка Обл – Мягкий переплет. Крепление скрепкой или клеем.
Кол-во страниц
128
Вес (с упаковкой) 140 г
Возрастная категория без ограничений по возрасту
Тип издания (жанр) Учебное издание
Язык русский
Иллюстрации нет

Категории: Алгебра (7-9 класс) ОГЭ - ГИА (5-9)

Теги: Алгебра Просвещение 7 класс Кузнецова Суворова Звавич методика дидактические материалы

Макарычев.

Алгебра 7 класс. Дидактические материалы / Звавич (Просвещение)
Переплет мягкий
ISBN 978-5-09-072777-8
Количество страниц 159
Год издания 2021
Количество томов 1
Формат 60x90/16 (145x215мм)
Серия Математика и информатика
Издательство Просвещение
Автор
Возрастная категория 7 кл.
Раздел Алгебра
Тип издания Дидактический материал
Язык русский

Описание к товару: "Звавич.

Алгебра 7 класс. Дидактические материалы. УМК Макарычев Ю.Н."

Книга доработана с учетом последних изменений в учебнике Ю.Н. Макарычева и др. «Алгебра, 7». Содержит набор самостоятельных и контрольных работ, а также задания для школьных олимпиад.

Раздел: Алгебра

Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ
Серия: Математика и информатика

Вы можете получить более полную информацию о товаре "Макарычев. Алгебра 7 класс. Дидактические материалы / Звавич (Просвещение)", относящуюся к серии: Математика и информатика, издательства Просвещение, ISBN: 978-5-09-072777-8, автора/авторов: Звавич Л.И., Кузнецова Л., Суворова Светлана, если напишите нам в форме обратной связи.

ГДЗ по алгебре 7 класс (дидактические материалы) Звавич, Кузнецова, Суворова

авторы: Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова.

Комплект школьных учебных пособий для изучения алгебры дополняют дидактические материалы. Они содержат набор проверочных работ по теоретическому материалу учебника. Благодаря сборнику, семиклассники смогут подготовиться к урокам и представить учителю выполненные без ошибок упражнения. Это обеспечат готовые домашние задания к дидактическим материалам по алгебре для 7 класса. Их особенность заключается в том, что структура решебника идентична содержанию сборника с дидактическими материалами. Ученики имеют шанс выполнить упражнения и проверить ответы по готовым домашним заданиям.

Cмотреть тут: Макарычев, Миндюк (учебник)

Ответы по алгебре 7 класс Звавич, Кузнецова, Суворова (дидактические материалы):

Самостоятельные работы, Вариант I

С-1.Вычисление значения числового выражения: 1 2 3 4 5 6 8
С-2.Вычисление значения числового выражения: 1 2 3 4
С-3. Решение задач на проценты: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
С-4. Нахождение значений буквенных выражений: 1 2 3 4 5 6 7 8
С-5. Сравнение значений выражений: 1 2 3 4 5 6 7 8
С-6. Применение свойств действий над числами к вычислениям: 1 2 3 4 5
С-7. Приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок: 1 2 3 4 5 6 7
С-8. Решение линейных уравнений: 1 2 3 4 5
С-9. Решение уравнений, сводящихся к линейным: 1 2 3 4 5
С-10. Решение задач с помощью уравнений: 1 2 3 4 5 6 7 8
С-11. Построение точек в координатной плоскости: 1 2 3 4 5 6
С-12. Нахождение значений функции по формуле. Статистические характеристики: 1 2 3 4 5 6 7
С-13. Построение графика функции вида у = кх + y: 1 2 3 4 5 6 7
С-14. Построение графика функции вида у = кх: 1 2 3 4 5 6 7
С-15. Чтение графика линейной функции: 1 2 3 4
С-16. Взаимное расположение графиков на координатной плоскости: 1 2 3 4 5 6 7
С-17. Построение и чтение графиков линейных функций (практические задания): 1 2
С-18. Вычисление значения числового выражения, содержащего степень: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
С-19. Вычисление значения буквенного выражения, содержащего степень: 1 2 3 4 5
С-20. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
С-21. Возведение в степень произведения и степени: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
С-22. Различные преобразования выражений, содержащих степени: 1 2 3 4 5
С-23. Вычисление значения одночлена: 1 2 3 4 5
С-24. Умножение многочленов и возведение одночлена в степень: 1 2 3 4 5 6 7 8
С-25. Приведение многочленов к стандартному виду: 1 2 3 4 5 6 7 8
С-26. Сложение и вычитание многочленов: 1 2 3 4 5 6
С-27. Заключение многочленов в скобки: 1 2 3 4
С-28. Умножение одночлена на многочлен: 1 2 3 4 5
С-29. Решение уравнений: 1 2 3 4
С-30. Решение уравнений: 1 2
С-31. Решение задач: 1 2
С-32. Вынесение общего множителя за скобки: 1 2 3 4 5
С-33. Умножение многочленов: 1 2 3 4
С-34. Умножение многочленов: 1 2 3 4 5
С-35. Разложение многочленов на множители способом группировки: 1 2 3 4
С-36. Чтение и запись алгебраических выражений: 1 2 3 4
С-37. Возведение в квадрат по формулам: 1 2 3 4
С-38. Преобразование выражений с применением формул квадрата суммы и квадрата разности: 1 2 3 4
С-39. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности: 1 2 3
С-40. Умножение многочленов с использованием формулы (a-fe)(a + 6) = a2-fe2: 1 2 3
С-41. Применение формул к преобразованию выражений: 1 2 3 4 5
С-42. Разложение на множители по формуле: 1 2 3
С-43. Преобразование целых выражений: 1 2 3 4 5
С-44. Разложение многочленов на множители с использованием нескольких способов: 1 2 3 4 5
С-45. Графическое решение систем линейных уравнений: 1 2 3 4 5
С-46. Решение систем линейных уравнений способом подстановки: 1 2 3 4
С-47. Решение систем линейных уравнений способом сложения: 1 2 3 4
С-48. Решение систем линейных уравнений: 1 2 3 4
С-49. Составление системы уравнений по условию задачи: 1 2 3
С-50. Решение задач с помощью составления системы уравнений: 1
С-51. Нахождение значения алгебраической дроби. Нахождение допустимых значений букв, входящих в дробь: 1 2 3 4
С-52. Сокращение алгебраических дробей: 1 2 3
С-53. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями: 1 2 3
С-54. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями: 1 2 3 4
С-55. Умножение и деление алгебраических дробей: 1 2 3
С-56. Умножение и деление алгебраических дробей: 1 2 3

Самостоятельные работы, Вариант II

С-1. Вычисление значения числового выражения: 1 2 3 4 5 6 7
С-2. Вычисление значения числового выражения: 1 2 3 4
С-3. Решение задач на проценты: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
С-4. Нахождение значений буквенных выражений: 1 2 3 4 5 6 7 8
С-5. Сравнение значений выражений: 1 2 3 4 5 6 7 8
С-6. Применение свойств действий над числами к вычислениям: 1 2 3 4 5
С-7. Приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок: 1 2 3 4 5 6 7
С-8. Решение линейных уравнений: 1 2 3 4 5
С-9. Решение уравнений, сводящихся к линейным: 1 2 3 4 5
С-10. Решение задач с помощью уравнений: 1 2 3 4 5 6 7 8
С-11. Построение точек в координатной плоскости: 1 2 3 4 5 6
С-12. Нахождение значений функции по формуле. Статистические характеристики: 1 2 3 4 5 6 7
С-13. Построение графика функции вида у = кх + y: 1 2 3 4 5 6 7
С-14. Построение графика функции вида у = кх: 1 2 3 4 5 6 7
С-15. Чтение графика линейной функции: 1 2 3 4
С-16. Взаимное расположение графиков на координатной плоскости: 1 2 3 4 5 6 7
С-17. Построение и чтение графиков линейных функций (практические задания): 1 2
С-18. Вычисление значения числового выражения, содержащего степень: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
С-19. Вычисление значения буквенного выражения, содержащего степень: 1 2 3 4 5
С-20. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
С-21. Возведение в степень произведения и степени: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
С-22. Различные преобразования выражении, содержащих степени: 1 2 3 4 5
С-23. Вычисление значения одночлена: 1 2 3 4 5
С-24. Умножение многочленов и возведение одночлена в степень: 1 2 3 4 5 6 7 8
С-25. Приведение многочленов к стандартному виду: 1 2 3 4 5 6 7 8
С-26. Сложение и вычитание многочленов: 1 2 3 4 5 6
С-27. Заключение многочленов в скобки: 1 2 3 4
С-28. Умножение одночлена на многочлен: 1 2 3 4 5
С-29. Решение уравнений: 1 2 3 4
С-30. Решение уравнений: 1 2
С-31. Решение задач: 1 2
С-32. Вынесение общего множителя за скобки: 1 2 3 4 5
С-33. Умножение многочленов: 1 2 3 4
С-34. Умножение многочленов: 1 2 3 4 5
С-35. Разложение многочленов на множители способом группировки: 1 2 3 4
С-36. Чтение и запись алгебраических выражений: 1 2 3 4
С-37. Возведение в квадрат по формулам: 1 2 3 4
С-38. Преобразование выражений с применением формул квадрата суммы и квадрата разности: 1 2 3 4
С-39. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности: 1 2 3
С-40. Умножение многочленов с использованием формулы: 1 2 3
С-41. Применение формул к преобразованию выражений: 1 2 3 4 5
С-42. Разложение на множители по формуле: 1 2 3
С-43. Преобразование целых выражений: 1 2 3 4 5
С-44. Разложение многочленов на множители с использованием нескольких способов: 1 2 3 4 5
С-45. Графическое решение систем линейных уравнений: 1 2 3 4 5
С-46. Решение систем линейных уравнений способом подстановки: 1 2 3 4
С-47. Решение систем линейных уравнений способом сложения: 1 2 3 4
С-48. Решение систем линейных уравнений: 1 2 3 4
С-49. Составление системы уравнений по условию задачи: 1 2 3
С-50. Решение задач с помощью составления системы уравнений: 1
С-51. Нахождение значения алгебраической дроби. Нахождение допустимых значений букв, входящих в дробь: 1 2 3 4
С-52. Сокращение алгебраических дробей: 1 2 3
С-53. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями: 1 2 3
С-54. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями: 1 2 3 4
С-55. Умножение и деление алгебраических дробей: 1 2 3
С-56. Умножение и деление алгебраических дробей: 1 2 3

Контрольные работы

К – 1: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 1А: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 2: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 2А: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 3: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 3А: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 4: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 4А: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 5: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 5А: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 6: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 6А: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 7: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 7А: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 8: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 8А: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 9: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 9А: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
К – 10А: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4

Итоговые контрольные работы

ИК – 1: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
ИК – 2: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4
ИК – 3А: Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4

Задания для школьных олимпиад

Осенняя олимпиада: Вариант №1 Вариант №2
Новогодняя олимпиада: Вариант №1 Вариант №2
Весенняя олимпиада: Вариант №1 Вариант №2

Алгебра 7 Контрольные Макарычев | КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Алгебра 7 Контрольные Макарычев

(Контрольные работы по алгебре в 7 классе, УМК Макарычев и др.)

Алгебра 7 Контрольные Макарычев (ДМ Звавич) — это контрольные работы (цитаты) в 4-х вариантах из пособия для учащихся «Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс / Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова — М.: Просвещение, 2012». Цитаты из указанного учебного пособия использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ): цитаты переработаны в удобный формат , что дает экономию денежных средств учителю и образовательному учреждению в использовании бумаги и ксерокопирующего оборудования.

При постоянном использовании данных контрольных работ по математике в 7 классе рекомендуем купить книгу: Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс / Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова — М.: Просвещение, в которой кроме контрольных работ есть еще много самостоятельных работ по каждой теме. Контрольно-измерительные материалы используются в комплекте с учебным пособием «Алгебра. Учебник для 7 класса / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского — М.: Просвещение».


КР-01. Темы учебника: § 1. Выражения. § 2. Преобразование выражений.

Контрольная работа № 1 + Ответы

 


КР-02. Темы учебника: § 3. Уравнения с одной переменной.

Контрольная работа № 2 + Ответы

 


КР-03. Темы учебника: § 5. Функции и их графики. § 6. Линейная функция.

Контрольная работа № 3 + Ответы

 


КР-04. Темы учебника: § 7. Степень и её свойства. § 8. Одночлены.

Контрольная работа № 4 + Ответы

 


КР-05. Темы учебника: § 9. Сумма и разность многочленов. § 10. Произведение одночлена и многочлена.

Контрольная работа № 5 + Ответы

 


КР-06. Темы учебника: § 11. Произведение многочленов.

Контрольная работа № 6 + Ответы

 


КР-07. Темы учебника: § 12. Квадрат суммы и квадрат разности. § 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.

Контрольная работа № 7 + Ответы

 


КР-08. Темы учебника: § 14. Преобразование целых выражений.

Контрольная работа № 8 + Ответы

 


КР-09. Темы учебника: § 15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. § 16. Решение систем линейных уравнений.

Контрольная работа № 9 + Ответы

 


ИК-1. Итоговая контрольная 1

ИТОГОВАЯ работа № 1 + Ответы

 


ИК-2. Итоговая контрольная 2

ИТОГОВАЯ работа № 2 + Ответы

 


Смотрите также Решебник к новому учебнику «Алгебра 7 класс Макарычев 2018» (решения и ответы):

 ГДЗ Алгебра 7 Макарычев

 


Алгебра 7 Контрольные Макарычев (ДМ Звавич) — это контрольные работы (цитаты) в 4-х вариантах из пособия для учащихся «Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс / Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова — М.: Просвещение, 2012». Контрольно-измерительные материалы используются в комплекте с учебным пособием «Алгебра. Учебник для 7 класса / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского — М.: Просвещение».

АЛГЕБРА 7 Контрольные работы Макарычев

Алгебра 7 Контрольные работы Макарычев (Звавич). Контрольные работы по алгебре в 7 классе с ответами в 4-х вариантах. Цитаты из пособия для учащихся «Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс / Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова — М.: Просвещение» использованы на сайте исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Контрольно-измерительные материалы используются в комплекте с учебным пособием «Алгебра. Учебник для 7 класса / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского — М.: Просвещение».

При постоянном использовании данных контрольных работ по математике в 7 классе рекомендуем купить книгу: Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс / Звавич, Кузнецова, Суворова — М.: Просвещение, в которой кроме контрольных работ есть еще много самостоятельных работ по каждой теме.


 

Контрольные работы по алгебре


7 класс (УМК Макарычев и др.)

К-01. Темы § 1. Выражения. § 2. Преобразование выражений. К–01 + ответы

 

К-02. Темы § 3. Уравнения с одной переменной. К–02 + ответы

 

К-03. Темы § 5. Функции и их графики. § 6. Линейная функция. К–03 + ответы

 

К-04. Темы § 7. Степень и её свойства. § 8. Одночлены. К–04 + ответы

 

К-05. Темы § 9. Сумма и разность многочленов. § 10. Произведение одночлена и многочлена. К–05 + ответы

 

К-06. Темы § 11. Произведение многочленов. К–06 + ответы

 

К-07. Темы § 12. Квадрат суммы и квадрат разности. § 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.

Контрольная работа № 7 К–07 + ответы

 

К-08. Темы § 14. Преобразование целых выражений.

Контрольная работа № 8 К–08 + ответы

 

К-09. Темы § 15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. § 16. Решение систем линейных уравнений.

Контрольная работа № 9 К–09 + ответы

 

ИК-1. Итоговая контрольная работа № 1

Итоговая контрольная № 1 Итоговая 1 + ответы

 

ИК-2. Итоговая контрольная работа № 2

Итоговая контрольная № 2 Итоговая 2 + ответы

 


Вы смотрели: Алгебра 7 Контрольные работы Макарычев (Звавич). Контрольные работы по алгебре в 7 классе с ответами в 4-х вариантах. Авторы заданий: Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова. Контрольно-измерительные материалы используются в комплекте с учебным пособием «Алгебра. Учебник для 7 класса / Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского — М.: Просвещение».

Вернуться на страницу «Алгебра 7 класс»

Уравнения с параметром. Квадратные уравнения с параметрами Квадратные уравнения с параметром

Уравнение вида f ( x ; a ) = 0 называется уравнением переменной x и параметром a .

Решите уравнение с параметром a - это означает, что для каждого значения a найти значения x , удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. oh = 0

Пример 2. ой = а

Пример 3.

х + 2 = ах
х - топор = -2
х (1 - а) = -2

Если 1 - а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 без корней

Если 1 - a 0, т.е. a 1, то x =

Пример 4.

( a 2 - 1) x = 2 a 2 + a - 3
( a - 1) ( a + 1) x = 2 ( a - 1 ) ( a - 1,5)
( a - 1) ( a + 1) x = (1 a - 3) ( a - 1)

Если a = 1, то 0 x = 0
x - любое вещественное число

Если а = -1, то 0 х = -2
Нет корней

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это означает, что каждое допустимое значение a соответствует единственному значению x .

Например:

если а = 5, то х = =;

если а = 0, то х = 3 и т. Д.

Дидактический материал

1. ой = x + 3

2. 4 + ой = 3 x - 1

3. a = +

при а = 1 без корней.

при а = 3 корня нет.

на a = 1 x - любое действительное число, кроме x = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

при а = 0, а = 2 нет решений.

при a = -3, a = 0, 5, a = -2 нет решений

при а = - из , из = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решите уравнение

( a - 1) x 2 = 2 (2 a + 1) x + 4 a + 3 = 0

При а = 1 6 x + 7 = 0

При а 1 выберем те значения параметра, при которых D обращается в нуль.

D = (2 (2 a + 1)) 2-4 ( a -1) (4 a + 30 = 16 a 2 + 16 a + 4 - 4 (4 a 2 + 3 a - 4 a - 3) = 16 a 2 + 16 a + 4-16 a 2 + 4 a + 12 = 20 a + 16

20 а + 16 = 0

20 а = -16

Если а D

Если a > -4/5 и a 1, то D > 0,

х =

Если а = 4/5, то D = 0,

Пример 2. Для каких значений параметра а уравнение

x 2 + 2 ( a + 1) x + 9 a -5 = 0 имеет 2 разных отрицательных корня?

D = 4 ( a + 1) 2-4 (9 a -5) = 4 a 2 - 28 a + 24 = 4 ( a - 1) ( a - 6)

4 ( a -1) ( a -6)> 0

по т. Виета: x 1 + x 2 = -2 ( a + 1)
x 1 x 2 = 9 a - 5

По условию x 1 x 2 a + 1) a - 5> 0

В конце концов 4 ( a -1) ( a -6)> 0
-2 ( a + 1) 9 а - 5> 0
a 6
a > - 1
a > 5/9

( рисунок: один )

а а> 6

Пример 3. Найдите значения a , для которых это уравнение имеет решение.

x 2 - 2 ( a - 1) x + 2 a + 1 = 0

D = 4 ( a -1) 2-4 (2 a + 10 = 4 a 2 - 8 a + 4 - 8 a - 4 = 4 a 2 - 16 a

4 а 2–16 0

4 a ( a -4) 0

а ( а - 4)) 0

a ( a -4) = 0

а = 0 или а - 4 = 0
а = 4

( рисунок: 2 )

Ответ: a 0 и a 4

Дидактический материал

1.При каком значении а уравнение ой 2 - ( a + 1) x + 2 a - 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении a уравнение ( a + 2) x 2 + 2 ( a + 2) x + 2 = 0 имеет один корень?

3. Для каких значений a уравнение ( a 2 - 6 a + 8) x 2 + ( a 2-4) x + (10 - 3 a - a 2) = 0 имеет более двух корней?

4.Для каких значений уравнения 2 х 2 + х - a = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2 x 2-7 x + 6 = 0?

5. При каких значениях a уравнения x 2 + oh + 1 = 0 и x 2 + x + a = 0 имеют хотя бы один общий корень?

1. Когда a = - 1/7, a = 0, a = 1

2.Когда а = 0

3. Когда а = 2

4. Когда , а = 10

5. Когда а = - 2

Экспоненциальные уравнения с параметром

Пример 1 . Найдите все значения a , для которых уравнение

9 x - ( a + 2) * 3 x-1 / x +2 a * 3 -2 / x = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножая обе части уравнения (1) на 3 2 / x, получаем эквивалентное уравнение

3 2 (x + 1 / x) - ( a + 2) * 3 x + 1 / x + 2 a = 0 (2)

Пусть 3 x + 1 / x = при , тогда уравнение (2) примет вид при 2 - ( a + 2) при + 2 a = 0, или

( при - 2) ( при - а ) = 0, откуда при 1 = 2, при 2 = - .

Если при = 2, т.е. 3 x + 1 / x = 2, то x + 1/ x = log 3 2, или x 2 - x log 3 2 + 1 \ u003d 0.

У этого уравнения нет реальных корней, так как его D = log 2 3 2 - 4

Если при = a , т.е. 3 x + 1 / x = a , то x + 1/ x = log 3 a , или x 2 - x log 3 a + 1 = 0.(3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

D = log 2 3 2 - 4> 0, или | журнал 3 а | > 2.

Если log 3 a> 2, то a > 9, а если log 3 aa

Ответ: 0a a> 9.

Пример 2 ... При каких значениях a уравнение 2 2x - ( a - 3) 2 x - 3 a = 0 имеет решения?

Чтобы данное уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 - ( a - 3) t - 3 a = 0 имело хотя бы один положительный корень.Найдем корни по теореме Виета: x 1 = -3, x 2 = a =>

a - положительное число.

Ответ: a > 0

Дидактический материал

1. Найдите все значения a, для которых уравнение

25 x - (2 a + 5) * 5 x-1 / x + 10 a * 5 -2 / x = 0 имеет ровно 2 решения.

2. Для каких значений a уравнение

2 (а-1) х? +2 (a + 3) x + a = 1/4 имеет единственный корень?

3.Для каких значений параметра а уравнение

4 x - (5 a -3) 2 x +4 a 2-3 a = 0 имеет единственное решение?

Логарифмические уравнения с параметром

Пример 1. Найдите все значения a , для которых уравнение

журнал 4x (1 + oh ) = 1/2 (1)

имеет только одно решение.

Решение.Уравнение (1) эквивалентно уравнению

1 + ой = 2 x при x > 0, x 1/4 (3)

x = при

ау 2 - при + 1 = 0 (4)

Условие (2) из ​​(3) не выполняется.

Пусть a 0, затем ay 2 - 2 при + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда D = 4 - 4 a 0, т.е. при a 1. Для решения неравенства (3) построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. - М .: Просвещение, 1990

  • Крамор В.С. ... Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. - М .: Просвещение, 1990.
  • .
  • Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. ... Сборник задач по алгебре. - М .: Просвещение, 1994.
  • .
  • Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начало анализа.Решение экзаменационных задач. - М .: Дрофа, 1998.
  • .
  • Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре 7, 8, 9 классов. - М .: Просвещение, 2001.
  • .
  • Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и принципы анализа для 10-11 классов. - М .: Просвещение, 1990.
  • .
  • Журнал «Математика в школе».
  • Л.С. Lappo и др. ИСПОЛЬЗУЙТЕ. Руководство. - М .: Экспертиза, 2001-2008.
  • 1.Проблема.
    При каких значениях параметра а уравнение ( а - 1) х 2 + 2 х + а - 1 = 0 имеет ровно один корень?

    1. Решение.
    При a = 1 уравнение имеет вид 2 x = 0 и, очевидно, имеет уникальный корень x = 0. Если a № 1, то это уравнение квадратное и имеет единственный корень для тех значений параметра, для которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю.Приравнивая дискриминант нулю, получаем уравнение для параметра a 4 a 2-8 a = 0, откуда a = 0 или a = 2.

    1. Ответ: уравнение имеет единственный корень a O (0; 1; 2).

    2. Задача.
    Найдите все значения параметров a , для которых уравнение имеет два разных корня x 2 +4 ax +8 a +3 = 0.
    2.Решение.
    Уравнение x 2 +4 ax +8 a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16 a 2-4 (8 a +3)> 0. Получаем (после уменьшения на общий коэффициент 4) 4 a 2-8 a -3> 0, откуда

    2. Ответ:

    a O (-Ґ; 1 - С 7 2
    ) И (1 + С 7 2
    ; Ґ ).

    3. Задача.
    Известно, что
    f 2 ( x ) = 6 x - x 2-6.
    a) Постройте график функции f 1 ( x ) при a = 1.
    b) При каком значении график функции f 1 ( x ) и f 2 ( x ) есть что-то общее?

    3. Решение.
    3.a. Преобразуем f 1 ( x ) следующим образом:
    График этой функции при a = 1 показан на рисунке справа.
    3.b. Сразу отметим, что графики функций y = kx + b и y = ax 2 + bx + c ( a No. 0) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx + b = ax 2 + bx + c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.a , мы приравниваем дискриминант уравнения a = 6 x - x 2-6 к нулю.Из уравнения 36-24-4 a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2 x - a = 6 x - x 2-6 найдите a = 2. Несложно проверить, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

    4. Задача.
    Найти все значения a , для которых множество решений неравенства x 2 -2 ax -3 a і 0 содержит сегмент.

    4. Решение.
    Первая координата вершины параболы f ( x ) = x 2-2 ax -3 a равно x 0 = a ... Исходя из свойств квадратичной функции, условие f ( x ) і 0 на интервале эквивалентно тому, что набор из трех систем
    имеет ровно два решения?

    5. Решение.
    Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2 a -2) x -3 a +7 = 0.Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, находим, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 + a -6> 0. Решая неравенство, находим a a> 2. Первое из неравенств, очевидно, не имеет решений в натуральных числах, а наименее натуральным решением второго является число 3.

    5.Ответ: 3.

    6. Задача (10 класс)
    Найдите все значения a , при которых график функции или, после очевидных преобразований, a -2 = | 2- и | ... Последнее уравнение эквивалентно неравенству a i 2.

    6. Ответ: a ПРО)

    Кася подросток

    Кася подросток

    Kasia teen - Song four steps Детская песня

    Дата: 24.06.2020, 07:59 - Просмотров: 7209 - Переходов: 3253

    1, подписчиков, 3 подписчиков, 10 сообщений - смотрите фото и видео в Instagram от Teen Kasia (@teen_kasia_off).Похожие поиски kasia teen oasis phil flash teen kasha teen kesia teen kasia blue dildo teen masks kasia dildo teenkasia teen kasia fuck teen kasia anal bunny dare teen casia teen nadia teen kasia dildo tiffany teen teen teen kelly braces любительские польские подростки подросток kaisa kasha casia blue dildo teen Касия синий подросток топанга оазис Касия Линси Кейтс. У Coed Cherry 56 галерей с участием Teen Kasia. Юная Касия пробивается в старых добрых США, постоянно поворачивая камеру на себя и позволяя миру наблюдать за ее игрой.У этой девушки есть ужасный набор игрушек, и она знает, как работать с ними в своей сказочной крошечной дырке для траха, как будто она была художницей, а ее влажный сок из ее киски был ее шедевром. Чаще всего отмечали подростка Кася: подросток (24), Касия (22), фаллоимитатор (14), блондинка (14), соло (9), мастурбация (8), киска (7), горячая (6), задница (6) ), лак (6), софткор. Teen Kasia - уникальная модель-любитель из Польши. Европейский акцент 18-летнего парня и милый ломаный английский очень приятно слушать, и он должен быть в списке желаний каждой красивой девушки, любящей мужчин.У этой грязной блондинки стройное подростковое тело и великолепное лицо, что подчеркивается ее необычной красотой, высоким j6idycmxdk.ashuro.pl: 8 августа. Подростковый оргазм Касии. Нравится Неприязнь Близко. 4 года назад. j6idycmxdk.ashuro.pl 45% Самая большая тинка kasia и стройная юная блондинка в любительском видео xxx Bitty Bopper получает A. Like Dislike Close. 4 года назад. j6idycmxdk.ashuro.pl Юная Kasia дрочит свое очко. Нравится Неприязнь Близко. 6 месяцев назад. Подросток Кася Tube и другие известные порнозвезды в j6idycmxdk.ashuro.pl TubePornstars является одним из наиболее полных баз данных порнозвезды вы когда-нибудь найти! Юная Касия пробивается в старых добрых США, постоянно поворачивая камеру на себя и позволяя миру наблюдать за ее игрой. У этой девушки есть ужасный набор игрушек, и она знает, как работать с ними в своей сказочной крошечной дырке для траха, как будто она была художницей, а ее влажный сок из ее киски был ее шедевром. Юная школьница Kasia мастурбирует своим синим дилдо. p 6 мин. Hornyteenpussy - M Views - p.Депуа-де-гозар, отель Casa Casia Pede Neto Wl pra comer seu cuzinho. p 84 сек Neto Wl - k Просмотры - p. Marido pensou que Kasia fez marquinha pra ele, ela esperou ele sair para dar para Neto Wl.k Подписчики, подписчики, публикации - смотрите фото и видео в Instagram Касии Кочулап (ona / jej) (@kasia_coztymseksem). k Подписчики, Подписчики, 1, Сообщения - смотрите фото и видео в Instagram из Scandinavian Interiors & More (@my_full_house). Классика - Мои фотографии от Phil Flash Girls (princessblueeyez). Транслируйте музыку на Myspace, где люди приходят, чтобы общаться, открывать для себя и делиться.Видео о Касии Камуде, польском подростке, который потерял обе руки и ногу в ужасной аварии на столбе. Девушка-серфер до подросткового возраста в солнечных очках позирует перед камерой на пляже Пайя, Мауи, Гавайи, когда ее волосы развевает ветер. - Стоковые фотографии и лицензионные изображения для молодых подростков в купальных костюмах. Просматривайте профили людей с именем Kasia Teen. Присоединяйтесь к Facebook, чтобы общаться с Kasia Teen и другими людьми, которых вы, возможно, знаете. Facebook дает людям возможность делиться. Теги: Kasia Teen Download, Kasia Teen Télé Charger, Kasia Teen Scaricare, Kasia Teen Descargar, Kasia Teen Herunterladen, Kasia Teen Baixar

    Кася подросток


    Kasia teen - Моя жизнь в Нью-Йорке 2 по-русски

    -> Красная прямая ссылка
    -> Армейские жены сезон 7
    -> Lenovo g580 driver xp
    -> Мы в туризме
    -> Клубные ролики для просмотра

    Таблица для печати - Song louna pandoras box

    Касия подросток

    Использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на интервале

    Процесс нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на сегменте напоминает захватывающий пролет над объектом (график функции) в вертолете, стрельба по определенным точкам из пушки дальнего действия и выбор из этих точек очень особых точек для контрольные выстрелы.Очки выбираются определенным образом и по определенным правилам. Каковы правила? Об этом и поговорим дальше.

    Если функция y = f ( x ) непрерывно на сегменте [ a , b ], то на этом сегменте он достигает наименьшего и самые высокие значения ... Это может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Следовательно, чтобы найти наименьшего и максимальных значений функции непрерывно на отрезке [ a , b ], нужно вычислить его значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать наименьшую и наибольшую из них.

    Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f ( x ) на отрезке [ a , b ]. Для этого найдите все его критические точки, лежащие на [ a , b ]. .

    Критическая точка называется точкой, в которой функция определила , а ее производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует рассчитать значения функции в критических точках.И, наконец, значения функции в критических точках и на концах отрезка ( f ( a ) и f ( b )). Наибольшее из этих чисел будет функций наибольшего значения на сегменте [ a , b ] .

    Задачи поиска наименьших значений функций .

    Поиск наименьшего и наибольшего значений функции вместе

    Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .

    Решение. Найдите производную этой функции. Приравняем производную к нулю () и получим две критические точки: и. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на данном отрезке, достаточно вычислить ее значения на концах отрезка и в точке, так как точка не принадлежит отрезку [- 1, 2]. Значения этих функций следующие: ,,.Отсюда следует, что наименьшего значения функции (на графике ниже он отмечен красным), равных -7, достигается на правом конце отрезка - в точке, а наибольшего (также красный на графике ), равный 9, - в критической точке.

    Если функция является непрерывной в некотором интервале и этот интервал не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не включаются в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции он может быть не самым маленьким, а самым большим.Так, например, функция, показанная на рисунке ниже, является непрерывной при] -∞, + ∞ [и не имеет наибольшего значения.

    Однако для любого интервала (замкнутого, открытого или бесконечного) верно следующее свойство непрерывных функций.

    Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .

    Решение. Мы находим производную этой функции как производную частного:

    .

    Мы приравниваем производную нулю, что дает нам одну критическую точку :.Он принадлежит отрезку [-1, 3]. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке, находим ее значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

    Сравниваем эти значения. Вывод: равно -5/13 в точке и наибольшее значение равно 1 в точке.

    Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

    Есть учителя, которые по теме поиска наименьшего и наибольшего значений функции не дают ученикам решать примеры более сложные, чем только что рассмотренные, то есть те, в которых функция является многочленом или дробь, числитель и знаменатель которой являются полиномами.Но мы не будем ограничиваться такими примерами, так как среди преподавателей есть те, кто любит заставлять учеников думать сполна (таблица производных). Следовательно, будут использоваться логарифм и тригонометрическая функция.

    Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

    Решение. Найдите производную этой функции как производная работа :

    Приравняйте производную к нулю, что дает одну критическую точку :.Он принадлежит к сегменту. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке, находим ее значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

    Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0 в точке и в точке, и наибольшего значения , равного e ², в точке.

    Пример 7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

    Решение. Найдите производную этой функции:

    Приравнивание производной нулю:

    Единственная критическая точка принадлежит отрезку линии. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке, находим ее значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

    Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного в точке, и наибольшего значения , равного в точке.

    В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значения функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес представляют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

    Пример 8. Резервуар вместимостью 4 человека, имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытым вверху, необходимо выловить с помощью олова.Насколько большим должен быть резервуар, чтобы покрыть наименьшее количество материала?

    Решение. Пусть x - сторона основания, h, - высота резервуара, S, - площадь его поверхности без крышки, V - его объем. Площадь поверхности резервуара выражается формулой, т.е.является функцией двух переменных. Чтобы выразить S как функцию одной переменной, давайте воспользуемся тем, что, где. Подставляя найденное выражение h в формулу для S :

    Рассмотрим эту функцию на предмет экстремума.Он определен и дифференцируем всюду в] 0, + ∞ [и

    .

    Приравняйте производную к нулю () и найдите критическую точку. Кроме того, у производной не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак - единственная критическая точка. Проверим его на экстремум с помощью второго достаточного признака. Найдем вторую производную. Когда вторая производная больше нуля (). Следовательно, при функция достигает минимума... Так как этот минимум является единственным экстремумом этой функции, это его наименьшее значение ... Итак, сторона основания резервуара должна быть 2 м, а его высота.

    Пример 9. Из пункта А , расположенного на железнодорожной ветке, до точки ОТ на расстоянии от нее л , груз должен перевозиться. Стоимость перевозки единицы веса на единицу расстояния по железной дороге и по автомобильной дороге равна. До какой точки M железнодорожная ветка должна быть проведена автомагистралью для перевозки грузов из A в ОТ было наиболее экономичным (участок AB железная дорога предполагается прямой)?

    Иногда в задачах B15 попадаются "плохие" функции, для которых сложно найти производную.Раньше это было только на пробах, но теперь эти задачи настолько распространены, что их больше нельзя игнорировать при подготовке к настоящему экзамену.

    В этом случае работают и другие уловки, один из которых - monotone .

    Функция f (x) называется монотонно возрастающей на отрезке, если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:

    х 1х 1) х 2).

    Функция f (x) называется монотонно убывающей на отрезке, если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:

    х 1х 1)> f (х 2).

    Другими словами, для возрастающей функции, чем больше x, тем больше f (x). Для убывающей функции верно обратное: чем больше x, тем меньше f (x).

    Например, логарифм монотонно увеличивается, если основание a> 1, и монотонно уменьшается, если 0 0.

    f (x) = log a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)

    Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно увеличивается во всей области определения:

    Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: она растет при a> 1 и убывает при 0 0:

    ф (х) = а х (а> 0)

    Наконец, отрицательные показатели.Вы можете записать их дробью. Иметь точку разрыва, в которой нарушается монотонность.

    Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. Они добавляют многочлены, дроби и прочую ерунду, из-за которой становится сложно посчитать производную. Что происходит в этом случае - сейчас разберем.

    Координаты вершины параболы

    Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax 2 + bx + c. Его график представляет собой стандартную параболу, которая нас интересует:

    1. Ветви параболы - могут идти вверх (при> 0) или вниз (при
    2. Вершиной параболы является точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает наименьшее (при a> 0) или наибольшее (при a> 0)

    Наибольший интерес представляет именно вершина параболы , абсцисса которой вычисляется по формуле:

    Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции.Но если исходная функция монотонна, для нее точка x 0 также будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

    Точки экстремума квадратичного трехчлена и комплексной функции, в которую он входит, совпадают. Следовательно, вы можете искать x 0 для квадратного трехчлена и оценивать функцию.

    Из приведенных выше рассуждений остается неясным, какую точку мы получим: максимум или минимум. Однако задачи разработаны специально, чтобы это не имело значения.Судите сами:

    1. В постановке задачи нет сегмента. Следовательно, вам не нужно вычислять f (a) и f (b). Осталось рассмотреть только точки экстремума;
    2. Но такая точка только одна - это вершина параболы x 0, координаты которой вычисляются буквально устно и без производных.

    Таким образом, решение задачи значительно упрощается и сводится всего к двум шагам:

    1. Запишите уравнение параболы y = ax 2 + bx + c и найдите ее вершину по формуле: x 0 = −b / 2a;
    2. Найдите значение исходной функции в этой точке: f (x 0).Если нет дополнительных условий, это и будет ответ.

    На первый взгляд этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я сознательно не выкладываю «голую» схему решения, так как бездумное применение таких правил чревато ошибками.

    Рассмотрим реальные задачи пробного экзамена по математике - именно здесь эта методика встречается чаще всего. Заодно позаботимся о том, чтобы таким образом многие задачи B15 стали почти вербальными.

    Под корнем находится квадратичная функция y = x 2 + 6x + 13.График этой функции представляет собой параболу с ветвями вверх, так как коэффициент a = 1> 0.

    Вершина параболы:

    х 0 = −b / (2a) = −6 / (2 1) = −6/2 = −3

    Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x 0 = −3 функция y = x 2 + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

    Корень монотонно увеличивается, поэтому x 0 является точкой минимума всей функции. У нас:

    Задача.Найдите наименьшее значение функции:

    у = log 2 (х 2 + 2х + 9)

    Под логарифмом снова стоит квадратичная функция: y = x 2 + 2x + 9. График представляет собой параболу с ветвями вверх, так как a = 1> 0.

    Вершина параболы:

    х 0 = −b / (2a) = −2 / (2 1) = −2/2 = −1

    Итак, в точке x 0 = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y = log 2 x монотонна, поэтому:

    y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) =... = log 2 8 = 3

    Показатель степени содержит квадратичную функцию y = 1 - 4x - x 2. Перепишем ее в нормальном виде: y = −x 2 - 4x + 1.

    Очевидно, график этой функции представляет собой параболу, ветвящуюся вниз (a = −1

    x 0 = −b / (2a) = - (- 4) / (2 (−1)) = 4 / (- 2) = −2

    Исходная функция экспоненциальная, она монотонная, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x 0 = −2:

    Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписали диапазон допустимых значений корня и логарифма.Но этого не потребовалось: внутри есть функции, значения которых всегда положительны.

    Последствия из области определения функции

    Иногда найти вершину параболы недостаточно для решения задачи B15. Желаемое значение может лежать в конце сегмента , но не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан сегмент, посмотрите на диапазон допустимых значений исходной функции. А именно:

    Еще раз замечание: ноль может находиться под корнем, но никогда не в логарифме или знаменателе дроби.Давайте посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

    Задача. Найдите наибольшее значение функции:

    Под корнем снова находится квадратичная функция: y = 3 - 2x - x 2. Ее график представляет собой параболу, но ветвится вниз, поскольку квадратного корня = −1 из отрицательного числа не существует.

    Выписываем диапазон допустимых значений (ODZ):

    3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; один]

    Теперь найдем вершину параболы:

    х 0 = −b / (2a) = - (- 2) / (2 (−1)) = 2 / (- 2) = −1

    Точка x 0 = −1 принадлежит отрезку ODZ - и это хорошо.Теперь вычисляем значение функции в точке x 0, а также на концах ODZ:

    у (−3) = у (1) = 0

    Итак, у нас есть числа 2 и 0. Нам предлагается найти наибольшее - это число 2.

    Задача. Найдите наименьшее значение функции:

    y = log 0,5 (6x - x 2-5)

    Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6x - x 2-5. Это парабола с ветвями вниз, но логарифм не может содержать отрицательных чисел, поэтому записываем ODZ:

    6x - x 2-5> 0 ⇒ x 2-6x + 5

    Примечание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ODZ.Вот чем логарифм отличается от корня, где нам вполне подходят концы отрезка.

    Ищем вершину параболы:

    х 0 = −b / (2a) = −6 / (2 (−1)) = −6 / (- 2) = 3

    Вершина параболы подходит для ODV: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку нас не интересуют концы отрезка, мы рассматриваем значение функции только в точке x 0:

    y min = y (3) = log 0.5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = −2

    Что такое экстремум функции и какое необходимое условие для экстремума?

    Экстремум функции - это максимум и минимум функции.

    Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f (x) имеет экстремум в точке x = a, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна , или не существует.

    Это условие необходимо, но недостаточно. Производная в точке x = a может обращаться в нуль, до бесконечности или не существовать без функции, имеющей в этой точке экстремум.

    Какое достаточное условие экстремума функции (максимум или минимум)?

    Первое условие:

    Если в достаточной близости от точки x = a производная f? (X) положительна слева от a и отрицательна справа от a, то в точке x = a функция f (x) имеет максимум

    Если в достаточной близости от точки x = a производная f? (X) отрицательна слева от a и положительна справа от a, то в самой точке x = a функция f (x) имеет минимум при условии, что функция f (x) здесь непрерывна.

    Вместо этого можно использовать второе достаточное условие экстремума функции:

    Пусть в точке x = a первая производная f? (X) исчезает; если в этом случае вторая производная f ?? (a) отрицательно, то функция f (x) имеет максимум в точке x = a, если положительный, то минимум.

    Что является переломным моментом функции и как ее найти?

    Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f? (x) и, приравняв его к нулю, решите уравнение f? (x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых производная этой функции не существует, являются критическими точками, то есть значения аргумента, при которых может быть экстремум. Их легко идентифицировать, посмотрев на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ox), и те, при которых график обрывается.

    Например, найдем экстремум параболы .

    Функция y (x) = 3x2 + 2x - 50.

    Производная функции: y? (X) = 6x + 2

    Решение уравнения: y? (X) = 0

    6x + 2 = 0,6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3

    В данном случае критическая точка x0 = -1 / 3 .Именно для этого значения аргумента функция имеет экстремум ... Чтобы ему найти , подставьте найденное число в выражение для функции вместо «x»:

    y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

    Как определить максимальное и минимальное значение функции, т.е. ее максимальное и минимальное значения?

    Если знак производной при переходе через критическую точку x0 меняется с «плюс» на «минус», то x0 равен максимальной точке ; если знак производной меняется с минуса на плюс, то x0 составляет минимальная точка ; если знак не меняется, то в точке x0 нет ни максимума, ни минимума.

    Для рассматриваемого примера:

    Возьмем произвольное значение аргумента слева от критической точки: x = -1

    При x = -1 значение производной будет y? (- 1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак «минус»).

    Теперь возьмем произвольное значение аргумента справа от критической точки: x = 1

    При x = 1 значение производной будет y (1) = 6 * 1 + 2 \ u003d 6 + 2 = 8 (т.е. знак «плюс»).

    Как видите, производная поменяла знак с минуса на плюс при прохождении критической точки. Это означает, что при критическом значении x0 мы имеем точку минимума.

    Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находятся по той же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать в указанном интервале.Те критические точки, которые находятся за пределами интервала, следует исключить из рассмотрения. Если в интервале есть только одна критическая точка, она будет содержать либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значения функции мы также учитываем значения функции на концах интервала.

    Например, найдем наибольшее и наименьшее значения функции

    y (x) = 3sin (x) - 0.5x

    с интервалами:

    Итак, производная функции равна

    y? (x) = 3cos (x) - 0,5

    Решение уравнения 3cos (x) - 0,5 = 0

    cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667

    x = ± arccos (0,16667) + 2πk.

    Найти критические точки на интервале [-9; девять]:

    x = arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (не входит в интервал)

    x = -arccos (0,16667) - 2π * 1 = -7.687

    x = arccos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88

    x = -arccos (0,16667) + 2π * 0 = -1,403

    x = arccos (0,16667) + 2π * 0 \ u003d 1,403

    x = -arccos (0,16667) + 2π * 1 = 4,88

    x = arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

    x = -arccos (0,16667) + 2π * 2 u003d 11.163 (не входит в интервал)

    Находим значения функции при критических значениях аргумента:

    y (-7.687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885

    y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398

    y (-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 \ u003d -2,256

    y (1,403) = 3cos (1,403) - 0,5 = 2,256

    y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398

    y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885

    Видно, что на интервале [-9; 9] функция имеет наибольшее значение при x = -4,88:

    x = -4,88, y = 5.398,

    и самый маленький - при x = 4,88:

    x = 4,88, y = -5,398.

    На интервале [-6; -3] у нас только одна критическая точка: х = -4,88. Значение функции при x = -4,88 равно y = 5,398.

    Найдите значение функции на концах интервала:

    y (-6) = 3cos (-6) - 0,5 = 3,838

    y (-3) = 3cos (-3) - 0,5 = 1,077

    На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

    y = 5.398 при x = -4,88

    наименьшее значение

    y = 1,077 при x = -3

    Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

    Чтобы найти все точки перегиба прямой y = f (x), нужно найти вторую производную, приравнять ее к нулю (решить уравнение) и проверить все те значения x, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует.Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции в этой точке имеет перегиб. Если не меняется, значит, перегиба нет.

    Корни уравнения f? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разделяют область определения функции на некоторое количество интервалов. Выпуклость на каждом из их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то прямая y = f (x) вогнута вверх, а если отрицательна, то вниз.

    Как найти экстремумы функции двух переменных?

    Чтобы найти экстремумы функции f (x, y), дифференцируемой в диапазоне ее назначения, необходимо:

    1) найти критические точки, а для этого - решить систему уравнений

    fx? (х, у) = 0, фу? (x, y) = 0

    2) для каждой критической точки Р0 (a; b) исследовать, остается ли знак разности неизменным

    для всех точек (x; y), достаточно близких к Po.Если разность сохраняет положительный знак, то в точке P0 имеется минимум, если отрицательная, то максимум. Если разность не сохраняет знак, то в точке P0 нет экстремума.

    Экстремумы функции определяются аналогичным образом для большего числа аргументов.

    Миниатюрное и довольно простое задание из разряда тех, которые служат спасательным кругом для плавающего школьника. Природа - сонный край середины июля, так что самое время расположиться с ноутбуком на пляже.Рано утром играл в теорию солнечного кролика, чтобы скорее сосредоточиться на практике, которая, несмотря на заявленную легкость, содержит осколки стекла в песке. В связи с этим рекомендую добросовестно рассмотреть несколько примеров на этой странице. Для решения практических задач необходимо уметь находить производные и разбираться в материале статьи Монотонные интервалы и экстремумы функции .

    Сначала коротко о главном. В уроке о непрерывности функции я дал определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале.Аналогично формулируется примерное поведение функции на отрезке. Функция продолжается на сегменте, если:

    1) непрерывно на интервале;
    2) непрерывна в точке справа и в точке слева .

    Во втором абзаце мы говорили о так называемой функции односторонней непрерывности в точке. Есть несколько подходов к его определению, но я буду придерживаться той линии, которую начал ранее:

    Функция является непрерывной в точке справа , если она определена в данной точке и ее правый предел совпадает со значением функции в этой точке:... Он также является непрерывным в точке слева от , если он определен в данной точке и его левый предел равен значению в этой точке:

    Представьте, что зеленые точки - это гвозди, на которые прикреплена волшебная резинка:

    Обратите внимание на красную черту. Очевидно, как бы далеко мы ни растягивали график вверх и вниз (по оси), функция все равно останется ограниченной - живая изгородь вверху, живая изгородь внизу, а наш продукт «пасется» в загоне.Таким образом, непрерывная функция на отрезке ограничена на нем ... В ходе математического анализа этот, казалось бы, простой факт констатируется и строго доказывается. первая теорема Вейерштрасса. ... Многих раздражает скучное обоснование элементарных утверждений в математике, но это имеет важное значение. Допустим, некий житель махрового средневековья протянул граф в небо за пределы видимости, вот и вставил. До изобретения телескопа ограничения функций в космосе не были очевидны! В самом деле, откуда вы знаете, что нас ждет за горизонтом? Ведь когда-то Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обычная телепортация требует доказательств =)

    Согласно второй теореме Вейерштрасса , непрерывно на сегменте функция достигает своего точного верхнего края и его точного нижнего края .

    Число также называется максимальное значение функции на сегменте и обозначает сквозное, а число - минимальное значение функции на сегменте обозначено.

    В нашем случае:

    Примечание : теоретически общие записи.

    Грубо говоря, самое высокое значение - это самая высокая точка на графике, а самое низкое - это самая низкая точка.

    Важно! Как уже указывалось в статье, около экстремумов функции , максимального значения функции и наименьшего значения функции - НЕ ТО ЖЕ , что максимальной функции и минимальной функции ... Итак, в этом примере число - это минимум функции, но не минимальное значение.

    Кстати, а что происходит вне сегмента? Да даже флуд, в контексте рассматриваемой проблемы нас это совершенно не интересует. Задача состоит только из двух чисел и все!

    Более того, решение чисто аналитическое; следовательно, чертеж не требуется !

    Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведенного рисунка:

    1) Найдите значения функции в критических точках , , которые принадлежат этому сегменту .

    Лови еще одну плюшку: здесь нет необходимости проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума еще не гарантирует , что существует минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает своего максимума и волею судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке. Но, конечно, не всегда бывает такое совпадение.

    Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не беспокоясь о том, есть ли у них экстремумы или нет.

    2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.

    3) Среди значений функции, найденных в 1-м и 2-м пунктах, выберите наименьшее и наибольшее число, запишите ответ.

    Сидим на берегу синего моря и пинаем пятками на мелководье:

    Пример 1

    Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

    Решение :
    1) Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих этому сегменту:

    Рассчитаем значение функции во второй критической точке:

    2) Вычислить значения функции на концах отрезка:

    3) «Жирные» результаты получаются с использованием экспонент и логарифмов, что затрудняет их сравнение.По этой причине вооружимся калькулятором или Excel и рассчитаем приблизительные значения, не забывая, что:

    Теперь все понятно.

    Ответ :

    Дробный рациональный пример для независимого решения:

    Пример 6

    Найдите максимальное и минимальное значения функции на интервале

    В уроке по теме «Использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на интервале» будут рассмотрены относительно простые задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном интервале с использованием производная.

    Тема: Производные

    Урок: Используя производную найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на интервале

    В этом уроке мы рассмотрим более простую задачу, а именно будет указан интервал, будет непрерывная функция указанный на этом интервале. Необходимо найти наибольшее и наименьшее значение данной функции на заданном интервале .

    №32.1 (б). Данный:,. Нарисуем график функции (см. Рис. 1).

    Рисунок: 1. График функций.

    Известно, что эта функция увеличивается в интервале, а значит, увеличивается и в интервале. Итак, если вы найдете значение функции в точках и, тогда будут известны пределы изменения этой функции, ее наибольшее и наименьшее значение.

    Когда аргумент увеличивается от до 8, функция увеличивается от до.

    Ответ:; .

    № 32.2 (a) Дано: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном интервале.

    Построим график этой функции (см. Рис. 2).

    Если аргумент изменяется в интервале, функция увеличивается с -2 до 2. Если аргумент увеличивается от, то функция уменьшается с 2 до 0.

    Рисунок: 2. График функций.

    Найдем производную.

    , г... Если, то это значение также принадлежит указанному сегменту. Если, то. Легко проверить, принимает ли он другие значения, соответствующие стационарные точки выходят за указанный отрезок. Сравним значения функции на концах отрезка и в выбранных точках, в которых производная равна нулю. Найти

    ;

    Ответ:;.

    Итак, ответ получен. Производную в этом случае можно использовать, нельзя, применить свойства функции, которые были изучены ранее.Это не всегда так, иногда использование производной - единственный метод, позволяющий решить подобные проблемы.

    Дано:,. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном сегменте.

    Если в предыдущем случае можно было обойтись без производной - мы знали, как ведет себя функция, в этом случае функция достаточно сложная. Поэтому методика, о которой мы говорили в предыдущем задании, полностью применима.

    1. Найдите производную.Давайте найдем критические точки, а значит, и критические точки. Из них выбираем те, что относятся к этому сегменту :. Сравним значение функции в точках ,,. Для этого находим

    Проиллюстрируем результат на рисунке (см. Рис. 3).

    Рисунок: 3. Пределы изменения значений функции

    Мы видим, что при изменении аргумента с 0 на 2 функция изменяется с -3 на 4. Функция не изменяется монотонно: она либо увеличивается, либо уменьшается.

    Ответ:;.

    Итак, три примера были использованы для демонстрации общей техники нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на интервале, в данном случае на отрезке.

    Алгоритм решения задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции:

    1. Найдите производную функции.

    2. Найдите критические точки функции и выберите те точки, которые находятся на данном участке.

    3.Найдите значения функции на концах отрезка и в выбранных точках.

    4. Сравните эти значения и выберите наибольшее и наименьшее.

    Возьмем другой пример.

    Найдите наибольшее и наименьшее значение функции.

    Ранее рассматривался график этой функции (см. Рис. 4).

    Рисунок: 4. Функциональный график.

    В интервале диапазон этой функции ... Точка - максимальная точка.При - функция увеличивается, при - функция уменьшается. Из рисунка видно, что - не существует.

    Итак, на уроке мы рассмотрели задачу наибольшего и наименьшего значения функции, когда данный интервал является отрезком; сформулировал алгоритм решения таких задач.

    1. Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для учебных заведений (профильный уровень), под ред. А.Г. Мордкович. -М .: Мнемосина, 2009.

    .

    2.Алгебра и начало анализа, 10 класс (в двух частях). Проблемная книга для образовательных учреждений (профильный уровень), под ред. А.Г. Мордкович. -М .: Мнемосина, 2007.

    .

    3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебник для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) .- М .: Просвещение, 1996.

    4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М .: Просвещение, 1997.

    .

    5. Сборник задач по математике для поступающих в высшие учебные заведения (под ред. М.И. Сканави) .- М .: Высшая школа, 1992.

    6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К .: А.С.К., 1997.

    .

    7. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начало анализа. 8-11 классы: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы) .- М .: Дрофа, 2002.

    8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и принципы анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений) .- М .: Просвещение, 2003.

    9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и принципам анализа: Учебное пособие. пособие для 10-11 классов с углубленным изучением математики.-М .: Просвещение, 2006.

    10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей) .- М .: Просвещение, 1983,

    .

    Дополнительные интернет-ресурсы

    2.Портал естественных наук ().

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *