Алгебра 9 теляковский: Номер (задание) 882 — гдз по алгебре 9 класс Макарычев, Миндюк

Содержание

учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

Глава I. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
§ 1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА………………….. 3
1. Функция. Область определения и область значений функции ………………………………….. —
2. Свойства функций ………………………… 12
§ 2. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН……………………. 19
3. Квадратный трехчлен и его корни ……………. —
4. Разложение квадратного трехчлена на множители … 24
§ 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК……… 28
5. Функция у = ах2, ее график и свойства………… —
6. Графики функций у = ах2 + п и у=а(х- т)2……. 34
7. Построение графика квадратичной функции…….. 40
§ 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. КОРЕНЬ п-й СТЕПЕНИ ….. 46
8. Функция у = хп………………………….. —
9. Корень л-й степени ……………………….. 51
Для тех, кто хочет знать больше
10.
Дробно-линейная функция и ее график………… 57
11. Степень с рациональным показателем …………. 62
Дополнительные упражнения к главе I ………………. 65

Глава II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 5. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ…………… 72
12. Целое уравнение и его корни………………… —
13. Дробные рациональные уравнения ……………. 78
§ 6. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ…………. 83
14. Решение неравенств второй степени с одной переменной…………………………………. —
15. Решение неравенств методом интервалов……….. 88
Для тех, кто хочет знать больше
16. Некоторые приемы решения целых уравнений…… 93
Дополнительные упражнения к главе II ……………… 98

Глава III. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 7. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМЫ ……………………………….. 103

17. Уравнение с двумя переменными и его график . …. —
18. Графический способ решения систем уравнений…..109
19. Решение систем уравнений второй степени………112
20. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени……………………………………. 117
§ 8. НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМЫ ……………………………….. 120
21. Неравенства с двумя переменными……………. —
22. Системы неравенств с двумя переменными………125
Для тех, кто хочет знать больше
23. Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными ………………….. 128
Дополнительные упражнения к главе III………………132

Глава IV. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ
§ 9. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ………………. 138
24. Последовательности ……………………….. —

25. Определение арифметической прогрессии. Формула
гс-го члена арифметической прогрессии…………….141
26. Формула суммы первых п членов арифметической прогрессии . ………………………………… 147
§ 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ ………………153
27. Определение геометрической прогрессии. Формула
л-го члена геометрической прогрессии ……………. —
28. Формула суммы первых п членов геометрической прогрессии …………………………………. 159
Для тех, кто хочет знать больше
29. Метод математической индукции ……………..163
Дополнительные упражнения к главе IV………………166

Глава V. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 11. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ………………..171
30. Примеры комбинаторных задач………………. —

31. Перестановки…………………………….. 176
32. Размещения……………………………… 179
33. Сочетания ………………………………. 183
§ 12. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ……………………………….. 187
34. Относительная частота случайного события. …….. —
35. Вероятность равновозможных событий………….191
Для тех, кто хочет знать больше
36. Сложение и умножение вероятностей…………..199
Дополнительные упражнения к главе V……………….205
Упражнения для повторения курса 7—9 классов ………..209
Задачи повышенной трудности………………………228
Исторические сведения ……………………………234
Сведения из курса алгебры 7—8 классов ………………240
Предметный указатель…………………………….254
Ответы ………………………………………..255

▶▷▶ гдз по математике макарычев 9 класс с решением

▶▷▶ гдз по математике макарычев 9 класс с решением
ИнтерфейсРусский/Английский
Тип лицензияFree
Кол-во просмотров257
Кол-во загрузок132 раз
Обновление:18-01-2019

гдз по математике макарычев 9 класс с решением — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Решебник (ГДЗ) по алгебре 9 класс Макарычев megareshebaru/publ/reshebnik/algebra/ 9 _klass Cached Авторы учебника ЮН Макарычев и другие — 17 — 19 издание Издательство Просвещение 2016 год Пользуясь этим ГДЗ , делать домашнюю работу по алгебре в 9 классе станет проще Решебник по Алгебре для 9 класса ЮН Макарычев ГДЗ stavcurcom › Алгебра ГДЗ (Готовые домашние задания) по Алгебре 9 класс ЮН Макарычев , НГ Миндюк, КИ Нешков, С Б Гдз По Математике Макарычев 9 Класс С Решением — Image Results More Гдз По Математике Макарычев 9 Класс С Решением images ГДЗ по Алгебре 7 класс: Макарычев ЮН — Решебник gdzputinainfo/reshebniki/7-klass/algebra/ Cached ГДЗ по алгебре 7 класс : Макарычев , Миндюк, Нешков, Суворова трудности с решением задач и ГДЗ по Алгебре за 8 класс: Макарычев ЮН Решебник gdzru/class-8/algebra/makarychev-8 Cached ГДЗ по Алгебре за 8 класс : Макарычев ЮН Издание ГДЗ по алгебре 8 класс степень с целым ГДЗ: готовые домашние задания за 1-11 класс — GDZRU gdzru Cached Вы выбрали отличный сайт с гдз , где собрана вся информация по решению домашнего задания Давно не секрет, что школьники постоянно пользуются решебниками к школьным учебникам ГДЗ по Алгебре 9 класс АГ Мордкович, ЛА Александрова, ТН eurokiapp/gdz/algebra/ 9 class/mordkovich Cached Приветствуем на образовательном портале Еуроки Здесь вы найдете ГДЗ с подробным и полным решением упражнений (номеров) по Алгебре Задачник за 9 класс , автор: АГ Мордкович, ЛА Александрова, ТН Мишустина, ЕЕ ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев gdz-putinainfo › 9 класс › Алгебра ГДЗ готовые домашние задания рабочей тетради по алгебре 9 класс Макарычев Миндюк Нешков Суворова ФГОС от Путина ГДЗ Алгебра 9 класс Решебник Макарычев uchebenet › … › За 9 класс › Алгебра ГДЗ по математике за 9 класс Для обучения 9 -классников используются разные учебные материалы Один из самых востребованных учебников — Макарычев ( 9 класс , Просвещение ) ГДЗ по Алгебре 9 класс Макарычев, решебник ugdzru › Алгебра ГДЗ по алгебре для 9 класса Макарычев , Миндюк, Нешков, Суворова можно с полной уверенностью назвать альтернативой обучающим курсам либо же репетиторам так как, уделив немного своего Решебник (ГДЗ) по алгебре за 9 класс megareshebaru/publ/gdz/algebra/ 9 _klass/97-1-0-1267 Cached Решебники по алгебре для 9 класса позволят справиться с домашним заданием любой сложности своими силами Численные ответы можно использовать для самопроверки Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 17,500 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

  • решебник ЮН Макарычев
  • ЮН Макарычев
  • НГ Миндюк

но и увидеть построенные графики

НГ Дополнительно обучаться можно дома

  • Нешков
  • ТН Мишустина
  • автор: АГ Мордкович

гдз по математике макарычев 9 класс с решением — Поиск в Google Специальные ссылки Перейти к основному контенту Справка по использованию специальных возможностей Оставить отзыв о специальных возможностях Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд Войти Удалить Пожаловаться на неприемлемые подсказки Режимы поиска Все Картинки Новости Видео Покупки Ещё Карты Книги Авиабилеты Финансы Настройки Настройки поиска Языки (Languages) Включить Безопасный поиск Расширенный поиск Ваши данные в Поиске История Поиск в справке Инструменты Результатов: примерно 37 (0,48 сек) Looking for results in English? Change to English Оставить русский Изменить язык Результаты поиска Все результаты Решебник (ГДЗ) по алгебре 9 класс Макарычев › ГДЗ › 9 класс › Алгебра › ЮН Макарычев Сохраненная копия Похожие Подробный решебник по алгебре для учащихся 9 -ых классов Авторы учебника ЮН Макарычев и другие — 17 — 19 издание Издательство Просвещение Решебник по Алгебре за 9 класс ЮН Макарычев, НГ Миндюк, КИ Сохраненная копия ГДЗ к рабочей тетради по алгебре за 9 класс Макарычев ЮН можно скачать здесь ГДЗ к дидактическим материалам алгебре за 9 класс Макарычев ГДЗ по Алгебре за 9 класс: Макарычев ЮН Решебник — GDZru › ГДЗ › 9 класс › Алгебра › Макарычев ЮН Сохраненная копия ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по алгебре за 9 класс , решебник Ю Н описание каждого этапа решения , что сделает обучение более легким Решебник по алгебре Макарычев 9 класс — Reshakru Сохраненная копия Самый полный ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс по алгебре поможет вам в решении домашнего задания и сделает вашу учебу намного легче ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков › Алгебра › 9 класс Сохраненная копия Похожие Решебник по алгебре за 9 класс авторы Макарычев , Миндюк, Нешков издательство Просвещение ГДЗ по алгебре для 9 класса ЮН Макарычев Сохраненная копия Похожие Особое место здесь уделяется решению тестовых вопросов ГДЗ к дидактическим материалам алгебре за 9 класс Макарычев ЮН можно скачать Мегарешеба — ГДЗ по Алгебре за 9 класс ЮН Макарычев, НГ Сохраненная копия Убедись в правильности решения задачи вместе с ГДЗ по Алгебре за 9 класс ЮН Макарычев , НГ Миндюк, КИ Нешков, СБ Суворова Ответы ГДЗ по Алгебре 9 класс: Макарычев Решебник Сохраненная копия Готовое домашние задание по алгебре за 9 класс : учебник для общеобразовательных организаций ЮН Макарычев , НГ Миндюк, КИ Нешков, СБ Видео 10:52 № 121 — Алгебра 9 класс Макарычев GDZ Ru YouTube — 15 дек 2016 г 8:25 № 293 — Алгебра 9 класс Макарычев GDZ Ru YouTube — 20 дек 2016 г 9:28 № 421- Алгебра 9 класс Макарычев GDZ Ru YouTube — 4 мая 2017 г Все результаты Решебник (ГДЗ) Алгебра, 9 класс (Ю Н Макарычев, Н — DocBazaru Сохраненная копия Решебник ( ГДЗ ) для Алгебра, 9 класс (Ю Н Макарычев , Н Г Миндюк, К И Нешков, С Б Суворова) XXXX (номера 1-1165) Точные науки: Математика 1-6 класс » Алгебра » Геометрия » Физика » Химия Решебник по учебнику: Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику Решение примера: ГДЗ по Алгебре за 9 класс Макарычев — решебник с ответами онлайн › ГДЗ по алгебре › 9 класс Сохраненная копия ГДЗ по Алгебре за 9 класс Макарычев — новый онлайн решебник с ответами и решениями к учебнику по алгебре автора Макарычев ЮН по ФГОС — 1504 Задача №395 ГДЗ решебник: Алгебра 9 класс Макарычев wwwmathcomua/gdz-reshebnik/algebra-9-klass/makarychevhtml?nomer=395 Сохраненная копия Решение задания 395 по алгебре Макарычев 9 класс ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев учебник 1999 г (подходит к 2003 Сохраненная копия ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев учебник 1999 г (подходит к 2003 г) онлайн Макарычев 1999 гУчебник Подходит к 2003 г Без перезагрузки страницы ▷ гдз по алгебре 9 класс i макарычев 2011 год 18-е издание wwwzstelceu//gdz-po-algebre-9-klass-i-makarychev-2011-god-18-e-izdaniexml Сохраненная копия 10 нояб 2018 г — гдз по алгебре 9 класс i макарычев 2011 год 18-е издание разобраться с решением задачи или системы неравенств Решебник ▷ гдз по алгебре макарычев миндюк нешков суворова 2006 9 класс esareunioncom//gdz-po-algebre-makarychev-mindiuk-neshkov-suvorova-2006-9- Сохраненная копия 4 нояб 2018 г — гдз по алгебре макарычев миндюк нешков суворова 2006 9 класс ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс по алгебре поможет вам в решении ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев ЮН 31 упражнение Сохраненная копия На сайте представлено решение по предмету ‘Алгебра’ за ‘ 9 ‘ класс автора ‘ Макарычев ЮН’ упражнение №’31’ Это гдз поможет вам решить или Скачать гдз по алгебре макарычев 9 класс 17 издание найду тебя sosnovybor32ru//gdzfizike-9-klaass/gdz-po-algebre-makarichev-9-klass-17-izdanie Изучение состава кредитных вложений предусматривает группировку их на ссуды, использованные гдз по алгебре макарычев 9 класс 17 издание ГДЗ №1125 по алгебре, Алгебра 9 класс Макарычев Готовое wwwmygdzcom › ГДЗ по алгебре › Алгебра 9 класс Макарычев Сохраненная копия класс Макарычев Готовое домашнее задание — mygdzcom Помощь в решении Готовое домашнее задание №1125 по учебнику Алгебра 9 класс Задание № 626 — ГДЗ по алгебре 9 класс (Макарычев) Сохраненная копия Видео решение задания Алгебра 9 класс ( Макарычев ) Письменное решение задания Алгебра 9 класс ( Макарычев ) Тест к заданию Алгебра 9 класс 509 Алгебра 9 класс Макарычев Найдите все решения системы Сохраненная копия Ответы на вопрос – 509 Алгебра 9 класс Макарычев Найдите все решения системы уравнений – читайте на Рамблер/класс ГДЗ по алгебре 9 класс дидактические материалы Макарычев › 9 КЛАСС › ГДЗ по алгебре для 9 класса Сохраненная копия Решебник ( ГДЗ ) по алгебре для 9 класса дидактические материалы автор Макарычев Ответы к задачам и примерам на отлично Готовые решения ГДЗ, Ответы по Алгебре 9 класс Дидактическиие материалы Сохраненная копия 11 дек 2014 г — материалы Макарычев ЮН 2017 г Готовые Домашние Задания , Решебник по Алгебре 9 класс ГДЗ по Алгебре для 9 класса содержит все необходимые знания для решения таких задач И если подросток ГДЗ по математике для 9 класса, скачать готовые домашние egeigiaru/shkola/gdz/matematika/9-klass Сохраненная копия Похожие ГДЗ по алгебре 9 класса к учебнику ЮН Макарычева и др Решение контрольных и самостоятельных работ по алгебре за 9 класс к пособию ЮН Решебник (ГДЗ) по алгебре 9 класс Макарычев скачать бесплатно miregeru/455-reshebnik-gdz-po-algebre-9-klass-makarychevhtml Сохраненная копия Похожие Решебник по алгебре и началам анализа для 9 класса от Макарычева ЮН На данный момент актуальны 2 редакции, одна 2012 и старая — 2009 Алгебра 7 класс Макарычев — ГДЗ решебник с видео решениями matematika-domacom/indexphp/algebra-7-klass-makarychev ГДЗ алгебра 7 класс Макарычев Список номеров: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 · 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 · 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 · 30 31 32 33 34 35 36 37 Алгебра 9 класс Учебник Макарычев ЮН, Миндюк НГ и др Сохраненная копия Образовательные ресурсы Интернета — Математика См также: Все домашние работы к учебнику ЮН Макарычева «Алгебра 9 класс » Решение неравенств второй степени с одной переменной — 15 Решение Ответы 271 Номер 35 — ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев — uchimorg Сохраненная копия Решение задания номер 35 ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев поможет в выполнении и проверке ГДЗ Алгебра 9 класс ЮН Макарычев 2007 — Моя домашка mydomashkaru/gdz/9-klass-algebra/jun-makarychev-2007html Сохраненная копия Похожие Скачать ГДЗ Алгебра 9 класс ЮН Макарычев 2007 вы можете на запоминанию материала, а также выработке навыков в решении заданий Задания ▷ гдз по алгебре подробное решение 8 класс макарычев wwwmi-permru/content/gdz-po-algebre-podrobnoe-reshenie-8-klass-makarychevxml Сохраненная копия 2 дек 2018 г — гдз по алгебре подробное решение 8 класс макарычев НГ Миндюк, КИ Нешков ГДЗ по алгебре для 9 класса ЮН Макарычев — номер Алгебра 7 класс Макарычев — vcevceru vcevceru/a7ma/ Сохраненная копия Похожие Главная · Алгебра 7 класс Мордкович , Алгебра 7 класс Макарычев , Русский язык 7 класс Ладыженская, Геометрия 7 8 9 класс Атанасян, Физика 7 8 9 Картинки по запросу гдз по математике макарычев 9 класс с решением «id»:»X5DUmigA1Kx2pM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:117,»oh»:720,»ou»:» «,»ow»:1280,»pt»:»iytimgcom/vi/aGOYB1hjl5A/maxresdefaultjpg»,»rh»:»youtubecom»,»rid»:»E8-GvAm84bJ8fM»,»rt»:0,»ru»:» \u003daGOYB1hjl5A»,»sc»:1,»st»:»YouTube»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSD_FmkuUqYqTalk6l36SfjuCIWeF9CVHJD7gMfYfumrbUmkMXuVmnDMMh_»,»tw»:160 «id»:»DGK499VWzpquWM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:117,»oh»:720,»ou»:» «,»ow»:1280,»pt»:»iytimgcom/vi/4iynbMB6nKI/maxresdefaultjpg»,»rh»:»youtubecom»,»rid»:»-r4eGea6J2gkdM»,»rt»:0,»ru»:» \u003d4iynbMB6nKI»,»sc»:1,»st»:»YouTube»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcR6PMcl2CL51UmOwxfhUC2JM0cbAvxKLe59po4fWADWtynb1MtxhR3IlLU»,»tw»:160 «id»:»3rlcMxr56ddwpM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:117,»oh»:720,»ou»:» «,»ow»:1280,»pt»:»iytimgcom/vi/2eRgb7Ekt98/maxresdefaultjpg»,»rh»:»youtubecom»,»rid»:»qIHGQObwb1_mbM»,»rt»:0,»ru»:» \u003d2eRgb7Ekt98″,»sc»:1,»st»:»YouTube»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRRdFmk5wPNEqOjoPQXAUIgzdPKQcsS0WaJCsb5v4hCB_aFnovIYPB1EanZ»,»tw»:160 «id»:»K7Hh8iF9NPrexM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:117,»oh»:720,»ou»:» «,»ow»:1280,»pt»:»iytimgcom/vi/n6jLUehdMPY/maxresdefaultjpg»,»rh»:»youtubecom»,»rid»:»GNWjBmt65dU0fM»,»rt»:0,»ru»:» \u003dn6jLUehdMPY»,»sc»:1,»st»:»YouTube»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTfE91kur45G9Wd77xE8I04pBOCs14CfJa298MuRhebwo8Z1kXlBaRc8Mtm»,»tw»:160 «id»:»PBhrZNuNO3W2hM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:116,»oh»:720,»ou»:» «,»ow»:1280,»pt»:»iytimgcom/vi/UmIzK62v0LQ/maxresdefaultjpg»,»rh»:»youtubecom»,»rid»:»8sQT7DkIXZuEuM»,»rt»:0,»ru»:» \u003dUmIzK62v0LQ»,»sc»:1,»st»:»YouTube»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQmKAQVwxHau_HYHleiVcMjzYkLzNLyqQxA-oCRbYIerEEe976rUaGvTisd»,»tw»:160 Другие картинки по запросу «гдз по математике макарычев 9 класс с решением» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты ГДЗ решебник по Алгебре 9 класс Макарычев — Love GDZ › Решебники › 9 класс › Алгебра Сохраненная копия Подробный решебник ГДЗ к учебнику по Алгебре 9 класс Макарычев ЮН 2009, с затруднениями, возникающими при решении различных задач гдз для алгебры 9 класс макарычев углубленное изучение — Incibit wwwincibiteu//gdz-dlia-algebry-9-klass-makarychev-uglublennoe-izucheniexml Сохраненная копия 15 нояб 2018 г — гдз для алгебры 9 класс макарычев углубленное изучение не только готовые ответы , но и детальное решение всех заданий Алгебра Решебник По Алгебре За 9 Класс Макарычев — booksequity booksequityweeblycom/blog/reshebnik-po-algebre-za-9-klass-makarichev Сохраненная копия 16 дек 2017 г — ГДЗ ( решебник ) по алгебре 9 класс Макарычев М: 2014 родителям, которые смогут проконтролировать правильность решения , а в ГДЗ — самые качественные решебники на Решебами Сохраненная копия Готовые ответы , пояснение к задачам, подробное решение примеров по тренировок рекомендуем использовать учебник математики за 5 класс и 6 ▷ алгебра 9 класс макарычев миндюк нешков суворова 1990 гдз immanuelenglishcom//algebra-9-klass-makarychev-mindiuk-neshkov-suvorova-19 Сохраненная копия 7 нояб 2018 г — алгебра 9 класс макарычев миндюк нешков суворова 1990 гдз Видео решение к номеру 90 по алгебре за 9 класс , авторов ЮН Пояснения к фильтрации результатов Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше (49) Показать скрытые результаты В ответ на официальный запрос мы удалили некоторые результаты (1) с этой страницы Вы можете ознакомиться с запросом на сайте LumenDatabaseorg В ответ на жалобы, поданные в соответствии с Законом США «Об авторском праве в цифровую эпоху», мы удалили некоторые результаты (2) с этой страницы Вы можете ознакомиться с жалобами на сайте LumenDatabaseorg : Жалоба , Жалоба Вместе с гдз по математике макарычев 9 класс с решением часто ищут гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы гдз по алгебре 9 класс теляковский алгебра 9 класс макарычев учебник гдз по алгебре 9 класс макарычев гитем гдз по алгебре 9 класс дорофеев гдз по алгебре 9 класс мордкович мишустина тульчинская гдз по алгебре 9 класс макарычев 2018 гдз по алгебре 9 класс 2017 Ссылки в нижнем колонтитуле Россия — Подробнее… Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Google+ Переводчик Фото Ещё Покупки Документы Blogger Hangouts Google Keep Jamboard Подборки Другие сервисы Google

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Знатоки Коллекции Музыка Переводчик Диск Почта Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 ГДЗ по Алгебре за 9 класс : Макарычев ЮН Решебник GDZru › class-9/algebra/makarichev-14/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Подробнее о сайте ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по алгебре за 9 класс , решебник ЮН Макарычев , ФГОС, онлайн ответы на GDZRU Используя авторское пособие « ГДЗ по Алгебре 9 класс » автора Макарычева ЮН не только ученикам станет проще изучать новые темы, но и родителям контролировать Читать ещё ГДЗ : Спиши готовые домашние задания по алгебре за 9 класс , решебник ЮН Макарычев , ФГОС, онлайн ответы на GDZRU Используя авторское пособие « ГДЗ по Алгебре 9 класс » автора Макарычева ЮН не только ученикам станет проще изучать новые темы, но и родителям контролировать правильность выполнения заданий Для того чтоб получать хорошие оценки школьнику нужно научиться анализировать информацию, применять логику и выученные формулы, однако не каждый ребенок успевает это сделать за один урок Скрыть 2 Решебник и ГДЗ по Алгебре за 9 класс , авторы gdzputinanet › 9-klass-algebra-makarychev Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ к учебнику Алгебра за 9 класс Макарычев — это составляющая часть приобретаемых знаний Учащийся с легкость заполнит все пробелы по алгебре и подтянет свой уровень даже без учителя Каждый этап решения упражнения, расписан подробно и понятно Ответы к номеру расписаны так, чтобы Читать ещё ГДЗ к учебнику Алгебра за 9 класс Макарычев — это составляющая часть приобретаемых знаний Учащийся с легкость заполнит все пробелы по алгебре и подтянет свой уровень даже без учителя Каждый этап решения упражнения, расписан подробно и понятно Ответы к номеру расписаны так, чтобы упражнение легко воспринималось Таким образом ребенок без проблем переходит от теории к практике, без каких либо усилий со стороны преподавателей Скрыть 3 ГДЗ по алгебре для 9 класса ЮН Макарычев GdzPutinaru › po-algebre/9-klass/makarychev Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Подробнее о сайте Заходите, не пожалеете! Тут отличные гдз по алгебре для 9 класса , ЮН Авторы с легкостью донесут до учеников понятия о высшей математике ГДЗ к дидактическим материалам алгебре за 9 класс Макарычев ЮН можно скачать здесь ГДЗ к тематическим тестам по алгебре за 9 класс Дудницын ЮП Читать ещё Заходите, не пожалеете! Тут отличные гдз по алгебре для 9 класса , ЮН Макарычев , НГ Миндюк, КИ Нешков, СБ Суворова от Путина Очень удобный интерфейс с решениями Авторы с легкостью донесут до учеников понятия о высшей математике Эффективный сборник решений поможет всем девятиклассникам стать отличниками и успешно пройти экзамены Разбираются в этом сборнике ответов не только все упражнения из учебника, но также даются ответы на вопросы после параграфа ГДЗ к дидактическим материалам алгебре за 9 класс Макарычев ЮН можно скачать здесь ГДЗ к тематическим тестам по алгебре за 9 класс Дудницын ЮП можно скачать здесь Скрыть 4 ГДЗ (решебник) по алгебре 9 класс Макарычев , Миндюк reshatorcom › 9-klass/algebra/makarychev/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Открыть ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев и сделать домашнюю работу на «пять с плюсом»! Там можно найти не только ответы на упражнения учебника, но и увидеть построенные графики, разобраться с решением задачи или системы неравенств Решебник станет школьникам настоящим другом, всегда приходящим Читать ещё Открыть ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев и сделать домашнюю работу на «пять с плюсом»! Там можно найти не только ответы на упражнения учебника, но и увидеть построенные графики, разобраться с решением задачи или системы неравенств Решебник станет школьникам настоящим другом, всегда приходящим на помощь в трудную минуту 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 Контрольные вопросы; 55 56 57 58 59 60 61 Скрыть 5 ГДЗ по алгебре за 9 класс Макарычев , Миндюк, Нешков GDZplusru › 9-klass/algebra/makarychev/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Подробнее о сайте Подробный разбор задач из вопросов после параграфа к учебнику по алгебре за 9 класс Макарычева , Миндюка, Нешкова онлайн Бесплатное ГДЗ 6 ГДЗ по Алгебре 9 класс Макарычев , решебник ugdzru › reshebniki/9-klass/algebra/makarychev-2014 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сборник готовых домашних заданий ( ГДЗ ) по Алгебре за 9 класс , решебник ГДЗ к дидактическим материалам алгебре за 9 класс Макарычев ЮН можно скачать Решение данной проблемы очень простое — ГДЗ , которое содержит все ответы на вопросы, поступающие от учеников во время усвоения нового Читать ещё Сборник готовых домашних заданий ( ГДЗ ) по Алгебре за 9 класс , решебник ЮН Макарычев , НГ Миндюк, КИ Нешков, СБ Суворова лучшие ответы от UGDZRU ГДЗ к дидактическим материалам алгебре за 9 класс Макарычев ЮН можно скачать здесь ГДЗ к тематическим тестам по алгебре за 9 класс Дудницын ЮП можно скачать здесь Решение данной проблемы очень простое — ГДЗ , которое содержит все ответы на вопросы, поступающие от учеников во время усвоения нового материала Решебник позволяет ученику не только разобраться в текущей теме предмета и легко решить номер необходимой задачи, но и восполнить пробелы в багаже знаний по предыдущим упражнениям Скрыть 7 Решебник по Алгебре для 9 класса ЮН Макарычев ГДЗ stavcurcom › reshebnik_gdz/9_klass/makarichev… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ ( Готовые домашние задания ) по Алгебре 9 класс ЮН Макарычев , НГ Дополнительно обучаться можно дома, вместе с ГДЗ по алгебре к учебнику Это позволяет лучше вникнуть в суть решения и запомнить последовательность Читать ещё ГДЗ ( Готовые домашние задания ) по Алгебре 9 класс ЮН Макарычев , НГ Миндюк, КИ Нешков, СБ Суворова, решенные задания и онлайн ответы из решебника Дополнительно обучаться можно дома, вместе с ГДЗ по алгебре к учебнику Макарычева Ю Н — необходимым справочником для каждого будущего выпускника Каждый пример в сборнике разбивается на простые пункты и подробно объясняется Это позволяет лучше вникнуть в суть решения и запомнить последовательность действий для применения на практике в дальнейшем Кроме того, решение дополнено теоретическим материалом, прочитав который, школьник сможет грамотно объяснить ход решения упражнения возле доски Скрыть 8 ГДЗ по Алгебре 9 класс : Макарычев Решебник gdzputinainfo › Решебники › 9 класс › Алгебра › Макарычев Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Готовое домашние задание по алгебре за 9 класс : учебник для Эта проблема решается через использование ГДЗ по алгебре для 9 класса Макарычев Они детально рассматривают такие вопросы: Решение уравнении и неравенств с одной и двумя переменными; Формирование арифметической и Читать ещё Готовое домашние задание по алгебре за 9 класс : учебник для общеобразовательных организаций ЮН Макарычев , НГ Миндюк, КИ Нешков, СБ Суворова — 21-е издание — Просвещение, 2014-2017г Эта проблема решается через использование ГДЗ по алгебре для 9 класса Макарычев , ведь именно в этом пособии представлены не только готовые ответы, но и порядок выполнения задач и упражнений Рассматривая их, школьник запомнит, как правильно решать тот или иной пример и воспользуется этими знаниями на экзамене Они детально рассматривают такие вопросы: Решение уравнении и неравенств с одной и двумя переменными; Формирование арифметической и геометрической прогрессии Скрыть 9 Видео по запросу гдз по математике макарычев 9 класс ЯндексВидео › гдз по математике макарычев 9 класс Пожаловаться Информация о сайте 8:37 HD 8:37 HD № 9 — Алгебра 9 класс Макарычев youtubecom 22:23 HD 22:23 HD № 83 — Алгебра 9 класс Макарычев youtubecom 15:43 HD 15:43 HD № 17 — Алгебра 9 класс Макарычев youtubecom 7:19 HD 7:19 HD № 125 — Алгебра 9 класс Макарычев youtubecom 5:40 HD 5:40 HD № 288 — Алгебра 9 класс Макарычев youtubecom 8:12 HD 8:12 HD № 670 — Алгебра 9 класс Макарычев youtubecom 11:23 HD 11:23 HD № 272 — Алгебра 9 класс Макарычев youtubecom 7:19 HD 7:19 HD № 7 — Алгебра 9 класс Макарычев youtubecom 26:35 HD 26:35 HD 376 Алгебра 9 класс Решить Неравенство youtubecom 21:58 HD 21:58 HD 272 Алгебра 9 класс Решите уравнение youtubecom Ещё видео 10 ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев учебник 1999 mirurokovru › гдз/по…9-класс/макарычев/1999…онлайн/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Макарычев 1999 гУчебник Подходит к 2003 г ГДЗ по Алгебре за 9 класс — автор Макарычев ЮН shkololoru › gdz-algebra/9-klass…makarychev Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Это решебник для учебника по Алгебре для 9 класса авторов Макарычев ЮН, Миндюк НГ, Нешков КИ Готовые домашние задания по алгебре помогут проверить себя или быстро узнать решение и списать ответ Читать ещё Это решебник для учебника по Алгебре для 9 класса авторов Макарычев ЮН, Миндюк НГ, Нешков КИ Готовые домашние задания по алгебре помогут проверить себя или быстро узнать решение и списать ответ В решебнике содержится упражнений с ответами — Ученики 9 классов могут бесплатно пользоваться этим ГДЗ , чтобы проверять свою работу на правильность Спиши и поделись с другими! Скрыть Вместе с « гдз по математике макарычев 9 класс с решением » ищут: гдз по математике 6 класс мерзляк гдз по математике 5 класс мерзляк гдз по математике 4 класс моро гдз по математике 6 класс виленкин гдз по математике 3 класс моро 1 часть гдз по математике 5 класс гдз по математике 6 класс никольский гдз по математике 5 класс никольский гдз по математике 6 класс дорофеев гдз по математике 5 класс виленкин 1 2 3 4 5 дальше Bing Google Mailru Нашёлся 1 млн результатов Дать объявление Регистрация Войти Войдите через соцcеть Попробовать ещё раз Москва Настройки Клавиатура Помощь Обратная связь Для бизнеса Директ Метрика Касса Телефония Для души Музыка Погода ТВ онлайн Коллекции Яндекс О компании Вакансии Блог Контакты Мобильный поиск © 1997–2019 ООО «Яндекс» Лицензия на поиск Статистика Поиск защищён технологией Protect Алиса в ЯндексБраузере Слушает и выполняет голосовые команды 0+ Установить Будьте в Плюсе

Алгебра 9 Макарычев Контрольные работы ДМ

Алгебра 9 Макарычев Контрольные работы с ответами (4 варианта). Цитаты из пособия: «Алгебра. Дидактические материалы 9 класс / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева — М.: Просвещение» использованы в учебных целях. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.

Нажмите на необходимую вам тему контрольной работы. В начале указана цитата (материал контрольной работы) из вышеуказанного учебного пособия. Каждая цитата представлена в форме удобной для проверки знаний (на одной странице). Затем представлены ответы на задания контрольной. При постоянном использовании данных контрольных работ рекомендуем КУПИТЬ книгу: Алгебра. Дидактические материалы 9 класс / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева — М.: Просвещение

 (переход по ссылке в интернет-магазин «Лабиринт.Ру»). Вопросы и ответы представлены в учебных целях, а также для ознакомления и покупки учебного пособия.

Алгебра 9 Макарычев Контрольные работы:

 

Контрольная работа № 1 + Ответы Контрольная работа № 2 + Ответы Контрольная работа № 3 + Ответы Контрольная работа № 4 + Ответы Контрольная работа № 5 + Ответы Контрольная работа № 6 + Ответы Контрольная работа № 7 + Ответы Контрольная работа № 8 + Ответы Итоговая контрольная работа + Ответы

 

Вы смотрели страницу Алгебра 9 Макарычев Контрольные работы. Цитаты контрольных работ и ответы на задачи контрольных работ из учебного пособия: «Алгебра. Дидактические материалы 9 класс / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева — М.: Просвещение». Вернуться на страницу «Алгебра 9 класс».

Если Вы считаете, что какой-то пример решен неправильно обязательно напишите нам в поле для Комментариев (ниже) с указанием № контрольной работы, № варианта и № задачи.

 


Другие контрольные работы по алгебре в 9 классе:

УМК Мерзляк, Полонский, Якир — Дидактические материалы (только контрольные работы)

УМК Мордкович — Попов М.А. Дидактические материалы по алгебре 9 кл.
УМК Мордкович — Александрова Л.А. Контрольные работы по алгебре в 9 классе

УМК Никольский (МГУ — школе) — Потапов и др. Дидактические материалы по алгебре 9 кл.

 

ГДЗ По Алгебре 9 Класс Редакция Теляковского – Telegraph


➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

ГДЗ По Алгебре 9 Класс Редакция Теляковского

ГДЗ : готовые ответы по алгебре за 9 класс, решебник Макарычев, ФГОС, онлайн решения на GDZ . RU .  На сегодняшний день актуальным является уникальный сборник по алгебре для 9 класса от Макарычева . Этот решебник поможет не только школьникам, но и учителям . 

ГДЗ по алгебре для 9 класса .  Алгебра является серьезным предметом, который является обязательным экзаменом для всех учащихся . 

ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков Просвещение . Алгебра является доступным предметом для тех, кто занимался ею  Пособие по алгебре не является простой шпаргалкой . Правильный ответ еще не означает полного решения . К нему следует идти, выполняя действие . . 

ГДЗ Алгебра за 9 класс , онлайн решебник, посмотри ответы на домашние задания Ю .Н . Макарычев на gdz .ninja .  Чтобы перестраховаться, ученики прибегают к ГДЗ по алгебре для 9 класса Макарычев Ю .Н ., Нешков К .И . Под ред . Теляковского С .А ., – г . Именно . . 

ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев учебник 1999 г (подходит к 2003 г) онлайн . Блок рекомендуемого контента . 

Алгебра 9 класс Ю .Н .Макарычев и др . под редакцией Теляковского . № . п/п . § учебн .  Контрольная работа №7 по алгебре в 9 классе по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятности» Вариант 1 • 1 . Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне . . 

ГДЗ по алгебре , 9 класс от Ю . Н . Макарычева содержит все разделы и параграфы из оригинального учебника (от квадратичных функций и их свойств, уравнений и неравенств с одной или несколькими переменными до комбинаторики и теории вероятности) . 

Готовое домашние задание по алгебре за 9 класс : учебник для общеобразовательных организаций Ю .Н . Макарычев, Н .Г . Миндюк  Эта проблема решается через использование ГДЗ по алгебре для 9 класса Макарычев, ведь именно в этом пособии представлены не только . . 

Самый полный ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс по алгебре поможет вам в решении домашнего задания и сделает вашу учебу намного легче .  Учебник по алгебре Макарычева Миндюк 9 класс вызывает большие сложности у девятиклассников и поэтому им приходится прибегать к .

ГДЗ . Алгебра 9 класс . Макарычев Ю .Н . 2007 Предложенное ГДЗ по Алгебре для 9 класса станет тем самым решением, благодаря которому можно сэкономить существенное время, избавить себя от необходимости тратить все ресурсы на выполнение домашних заданий . 

Видеоуроки, тесты и тренажёры по предмету Алгебра за 9 класс по учебнику Макарычев Ю .Н . 

ГДЗ идет к рабочей тетради по алгебре за 9 класс Миндюк Н .Г . Школьник может решать упражнения , кропотливо прорабатывая  Особенно актуален такой подход к ГДЗ для тех, у кого возникают сложности с алгеброй . Каждый учащийся, начиная с первого класса , мог бы . . 

ГДЗ — Алгебра 9 класс Контрольные работы . Дудницын Ю .П ., Тульчинская Е .Е . — 8-е изд . — М .: Мнемозина, 2006 . СМОТРЕТЬ РЕШЕБНИК .  ГДЗ — Алгебра 9 класс Макарычев Ю .Н ., Н .Г . Миндюк, К .И . Нешков, С .Б . Суворова под ред . С .А . Теляковского . — 17-е изд . 

Алгебра 9 класс Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школ .   1997 год под редакции Теляковского .  Подписаться на новые лоты по зосу «Алгебра . 9 класс . Под ред . С . А . Теляковского . 

Многие подростки ищут ГДЗ по алгебре, поэтому на нашем сайте можно отыскать все упражнения из книги . В пособие входят темы, которые проходит девятиклассник на уроке, нимер, функции . Каждый этап задачи разбирается так, что у ребенка не возникнет никаких . . 

ГДЗ : готовые ответы по алгебре за 9 класс, решебник Макарычев, ФГОС, онлайн решения на GDZ .RU .  На сегодняшний день актуальным является уникальный сборник по алгебре для 9 класса от Макарычева . Этот решебник поможет не только школьникам, но и учителям . 

ГДЗ по алгебре для 9 класса .  Алгебра является серьезным предметом, который является обязательным экзаменом для всех учащихся . 

ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков Просвещение . Алгебра является доступным предметом для тех, кто занимался ею  Пособие по алгебре не является простой шпаргалкой . Правильный ответ еще не означает полного решения . К нему следует идти, выполняя действие . . 

ГДЗ Алгебра за 9 класс , онлайн решебник, посмотри ответы на домашние задания Ю .Н . Макарычев на gdz .ninja .  Чтобы перестраховаться, ученики прибегают к ГДЗ по алгебре для 9 класса Макарычев Ю .Н ., Нешков К .И . Под ред . Теляковского С .А ., – г . Именно . . 

ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев учебник 1999 г (подходит к 2003 г) онлайн . Блок рекомендуемого контента . 

Алгебра 9 класс Ю .Н .Макарычев и др . под редакцией Теляковского . № . п/п . § учебн .  Контрольная работа №7 по алгебре в 9 классе по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятности» Вариант 1 • 1 . Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне . . 

ГДЗ по алгебре , 9 класс от Ю . Н . Макарычева содержит все разделы и параграфы из оригинального учебника (от квадратичных функций и их свойств, уравнений и неравенств с одной или несколькими переменными до комбинаторики и теории вероятности) . 

Готовое домашние задание по алгебре за 9 класс : учебник для общеобразовательных организаций Ю . Н . Макарычев, Н .Г . Миндюк  Эта проблема решается через использование ГДЗ по алгебре для 9 класса Макарычев, ведь именно в этом пособии представлены не только . . 

Самый полный ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс по алгебре поможет вам в решении домашнего задания и сделает вашу учебу намного легче .  Учебник по алгебре Макарычева Миндюк 9 класс вызывает большие сложности у девятиклассников и поэтому им приходится прибегать к . . 

ГДЗ . Алгебра 9 класс . Макарычев Ю .Н . 2007 Предложенное ГДЗ по Алгебре для 9 класса станет тем самым решением, благодаря которому можно сэкономить существенное время, избавить себя от необходимости тратить все ресурсы на выполнение домашних заданий . 

Видеоуроки, тесты и тренажёры по предмету Алгебра за 9 класс по учебнику Макарычев Ю .Н . 

ГДЗ идет к рабочей тетради по алгебре за 9 класс Миндюк Н .Г . Школьник может решать упражнения , кропотливо прорабатывая  Особенно актуален такой подход к ГДЗ для тех, у кого возникают сложности с алгеброй . Каждый учащийся, начиная с первого класса , мог бы . . 

ГДЗ — Алгебра 9 класс Контрольные работы . Дудницын Ю .П ., Тульчинская Е .Е . — 8-е изд . — М .: Мнемозина, 2006 . СМОТРЕТЬ РЕШЕБНИК .  ГДЗ — Алгебра 9 класс Макарычев Ю .Н ., Н .Г . Миндюк, К .И . Нешков, С .Б . Суворова под ред . С .А . Теляковского . — 17-е изд . 

Алгебра 9 класс Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школ .  1997 год под редакции Теляковского .  Подписаться на новые лоты по зосу «Алгебра . 9 класс . Под ред . С . А . Теляковского . 

Многие подростки ищут ГДЗ по алгебре, поэтому на нашем сайте можно отыскать все упражнения из книги . В пособие входят темы, которые проходит девятиклассник на уроке, нимер, функции . Каждый этап задачи разбирается так, что у ребенка не возникнет никаких . . 

ГДЗ По Русскому 4 Класс Э
ГДЗ 5 Класс Автор Мерзляк
ГДЗ По Дидактическим Материалом 8
ГДЗ Восьмой Класс Перышкин
ГДЗ Алгебра 7 Класс Решетникова
ГДЗ Математика 2 Класс Страница 67
ГДЗ По Иностранному Языку 7 Класс Учебник
Решебник Алимов 10 11 Класс Алгебра
ГДЗ По Биологии 9 Класс Захарова
ГДЗ По Географии 9 Класс Дронов 2008
ГДЗ По Информатике 7 Класс 2
ГДЗ По Английскому Языку Форвард 3 Класс
ГДЗ По Математике Тетрадь Истомина Редько
ГДЗ По Rainbow English 10 Класс Афанасьева
ГДЗ По Математике 4 Миракова Тетрадь
ГДЗ По Алгебре 8 Н
ГДЗ Тесты Окружающий 3 Класс
Скачать ГДЗ По Физике 8 Класс Перышкин
ГДЗ Комаров 5 Класс Учебник Без Регистрации
История России 10 Класс Горинов Данилов ГДЗ
ГДЗ По Математике Моро Часть Первая
ГДЗ По Английскому 11 Класс Рэинбов Инглиш
ГДЗ По Английскому 8 Кауфман
Решебник Математика 2 Класс Моро Рабочая Тетрадь
Английский Язык 8 Класс Ваулина Дули ГДЗ
Английский Язык Седьмой Класс Эванс Учебник ГДЗ
ГДЗ По Английскому 7 Класс Баранов Михеева
Решебник По Биологии Пятый Класс
Т М Чеботаревская Математика 4 Класс Решебник
Рамзаева 3 Класс 1 Часть Учебник ГДЗ
ГДЗ По Алгебре 8 Класс Дидактический
Решебник По Чтению Бунеева
Русский 10 Чешко Решебник
ГДЗ Англ Яз Ваулин
ГДЗ Босова 9 Учебник
ГДЗ По Английскому 9 2013
ГДЗ По Белорусской Литературе 7 Класс Лазарук
ГДЗ По Математике 3 Класс Байкова
Решебник По Геометрии 7 Мерзляков Якир
ГДЗ По Географии 8 Класс От Путина
ГДЗ Дидактические Материалы Мерзляк Полонский Якир
ГДЗ По Английскому 11 Класс Сити Стар
Решебник По Белорусскому 1
ГДЗ По Русс 6 Класс Разумовская
Биболетова 11 Класс Обновленная Версия ГДЗ
ГДЗ 4кл Окр Мир Учебник Плешаков
ГДЗ По Математике 6 Класс Виленкин 57
ГДЗ По История России 7 Класс Учебник
ГДЗ По Химии 9 Кузнецова Учебник
ГДЗ Климанова 7кл

ГДЗ По Математике 4 Класс П

ГДЗ 6 Класс Смирнов

ГДЗ Геометрия 7 9 Класс Кадомцев

ГДЗ Глазкова 5 Класс

ГДЗ Форвард 8


Алгебра.

Дополнительные главы. 9 класс. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. 1997

По кнопке выше «Купить бумажную книгу» можно купить эту книгу с доставкой по всей России и похожие книги по самой лучшей цене в бумажном виде на сайтах официальных интернет магазинов Лабиринт, Озон, Буквоед, Читай-город, Литрес, My-shop, Book24, Books.ru.

По кнопке «Купить и скачать электронную книгу» можно купить эту книгу в электронном виде в официальном интернет магазине «ЛитРес», и потом ее скачать на сайте Литреса.

По кнопке «Найти похожие материалы на других сайтах» можно искать похожие материалы на других сайтах.

On the buttons above you can buy the book in official online stores Labirint, Ozon and others. Also you can search related and similar materials on other sites.


Название: Алгебра. Дополнительные главы. 9 класс.

Автор: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
1997

В данном учебном пособии излагается материал, который соответствует программе углубленного изучения математики, строится он по принципам модульного дополнения действующих учебников алгебры для 9 класса, естественным образом примыкает к курсу, углубляет и расширяет его. Книга может быть использована в обычных классах для индивидуальной работы с учащимися, проявляющими интерес к математике.

   МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
На рисунке 3 изображен график функции, область определения которой — промежуток |—3; 5|. На множестве [ —3; 2] с возрастанием значений аргумента значения функции возрастают, а на множестве [2; 5] с возрастанием значений аргумента значения функции убывают. На графике это проявляется так: на множестве [ — 3; 2| каждая точка с большей абсциссой имеет большую ординату, т. е. если х2>х1, то у2>y на множестве [2; 5] каждая точка с большей абсциссой имеет меньшую ординату, т. е. если хг>х, то y2
Определение. Функция f называется возрастающей на множестве X, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.
Функция f называется убывающей на множестве X, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.
Иначе эти определения можно сформулировать так: функция f называется возрастающей на множестве X, если для любых двух значений аргумента х1 и х2 множества X, таких, что х>х, выполняется неравенство f(x2)>f(х).

Функция f называется убывающей на множестве X, если для любых двух значений аргумента х2 и х2 множества X, таких, что х>х, выполняется неравенство f(х2)

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

§ 1. Свойства функций 3
1. Четные и нечетные функции —
2. Монотонные функции 7
3. Ограниченные и неограниченные функции 14
§ 2. Исследование функций и построение их графиков 19
4. Исследование функций элементарными способами —
5. Построение графиков функций 24
6. Графики функций y = [x] и y= {x} 30
§ 3. Преобразования графиков функций 37
7. Графики функций y = -f(x), y = f( — x), y = -f(-x)
8. Графики функций y=\f{x)\ и y = f(\x\) 41
ГЛАВА II. РАВНОСИЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 4. Отношения следования и равносильности 45

9. Высказывания и предложения с переменными —
10. Понятие о следовании и равносильности 51
§ 5. Условия равносильности уравнений, неравенств и их систем 55
11. Равносильные уравнения и уравнения-следствия —
12. Равносильные системы уравнений 62
13. Равносильные неравенства и неравенства-следствия 67
ГЛАВА III. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 6. Рациональные уравнения и неравенства 75
14. Целые уравнения и способы их решения —
15. Решение дробно-рациональных уравнений 82
16. Решение рациональных неравенств 87
§ 7. Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля 93
17. Расстояние между точками координатной прямой —
18. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля 95
19. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля 99
§ 8. Иррациональные уравнения и неравенства 102
20. Решение иррациональных уравнений —
21. Решение иррациональных неравенств 107
ГЛАВА IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ
§ 9. Уравнение с двумя переменными 114
22. Уравнение с двумя переменными и его степень —
23. Уравнение с двумя переменными и его график 118
§ 10. Системы уравнений с двумя переменными 123
24. Графическая интерпретация решения систем уравнений —
25. Способы решения систем уравнений с двумя переменными 129
ГЛАВА V. НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ
§ 11. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы 136
26. Линейные неравенства с двумя переменными —
27. Системы линейных неравенств с двумя переменными 140
§ 12. Более сложные примеры неравенств с двумя переменными и их систем 147
28. Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными —
29. Неравенства и системы неравенств с переменными под знаком модуля 154
ГЛАВА VI. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 13. Понятие числовой последовательности 163
30. Числовые последовательности. Способы задания последовательностей —
31. Арифметическая и геометрическая прогрессии 169
32. Метод математической индукции и его применение в задачах на последовательности 177
§ 14. Виды последовательностей 181
33. Возрастающие и убывающие последовательности —
34. Ограниченные и неограниченные последовательности 187
35. Сходящиеся последовательности 191
Приложения
Методический комментарий 197
Ответы 213

Купить книгу Алгебра. Дополнительные главы. 9 класс. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. 1997

Купить книгу Алгебра. Дополнительные главы. 9 класс. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. 1997

Дата публикации:





Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Макарычев :: Миндюк :: 9 класс


Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:

Следующие учебники и книги:

Предыдущие статьи:


Гдз по алгебре 9 класс теляковский 2004

ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев учебник 1999 г (подходит к 2003

Помогают самостоятельно подготовиться к сдаче ОГЭ ученикам, которые используют решебник без траты денег на репетиторов. Заблуждаются те, кто считает, что , гДЗ по алгебре 9 класс, макарычев используются только тогда, когда нет времени сделать домашнюю работу. Для этого выберите номер необходимого примера и перепишите полностью ход решения. Блок рекомендуемого контента, понравился сайт поделись с друзьями и добавь в закладки, нажми, ctrl. Поэтому смело заходите на сайт, чтобы смотреть заданные номера, повышать свои знания и получать хорошие отметки! Вы его можете проверить у нас на сайте. Родители ответственны за успеваемость своего ребенка в той же степени, что и учителя, однако не всегда есть возможность помочь, в особенности, если это касается точных наук.

Выберите номер задания:


кв ур.

Квадратные уравнения. Решение полных квадратных уравнений. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Надеюсь, изучив эту статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения; другие методы используются для решения неполных квадратных уравнений, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие квадратные уравнения называются полными? Это уравнений вида ax 2 + b x + c = 0 , где коэффициенты a, b и c не равны нулю.Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, вам нужно вычислить дискриминант D.

D = b 2 — 4ac.

В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, запишем ответ.

Если дискриминант отрицательный (D

Если дискриминант равен нулю, то x = (-b) / 2a. Когда дискриминант — положительное число (D> 0),

, то x 1 = (-b — √D) / 2a, а x 2 = (-b + √D) / 2a.

Например. Решите уравнение x 2 — 4x + 4 = 0.

D = 4 2 — 4 4 = 0

х = (- (-4)) / 2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2 x 2 + х + 3 = 0.

D = 1 2 — 4 2 3 = — 23

Ответ: без корней .

Решить уравнение 2 x 2 + 5x — 7 = 0 .

D = 5 2 — 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81) / (2 2) = (-5 — 9) / 4 = — 3.5

х 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Ответ: — 3,5; 1 .

Итак, представим решение полных квадратных уравнений по схеме на Рисунке 1.

С помощью этих формул можно решить любое полное квадратное уравнение. Вам просто нужно быть осторожным, чтобы убедиться, что уравнение было записано как стандартный полином

и x 2 + bx + c, иначе можно ошибиться.Например, записывая уравнение x + 3 + 2x 2 = 0, можно ошибочно решить, что

а = 1, b = 3 и c = 2. Тогда

D = 3 2 — 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неправда. (См. Решение примера 2 выше).

Следовательно, если уравнение не записывается как многочлен стандартной формы, сначала полное квадратное уравнение должно быть записано как многочлен стандартной формы (в первую очередь должен быть одночлен с наибольшим показателем, то есть и х 2 , то с менее bx , а затем бесплатный член от.

При решении сокращенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором члене можно также использовать другие формулы. Давайте также познакомимся с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении со вторым членом коэффициент четный (b = 2k), то уравнение можно решить по формулам, приведенным на схеме на рисунке 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при x 2 равно единице и уравнение принимает вид x 2 + px + q = 0 … Такое уравнение может быть дано для решения, или оно получается делением всех коэффициентов уравнения на коэффициент и , стоящий в x 2 .

На рисунке 3 показана схема решения приведенных квадратных уравнений
. Давайте посмотрим на пример применения формул, обсуждаемых в этой статье.

Пример. Решите уравнение

3 x 2 + 6х — 6 = 0.

Давайте решим это уравнение, используя формулы, показанные на диаграмме на рисунке 1.

D = 6 2 — 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √ (363) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = –1 — √3

х 2 = (-6 + 6√3) / (2 3) = (6 (-1+ √ (3))) / 6 = –1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3

Можно отметить, что коэффициент при x в этом уравнении — четное число, то есть b = 6 или b = 2k, откуда k = 3.Затем попробуем решить уравнение по формулам, показанным на схеме фигуры D 1 = 3 2 — 3 · (- 6) = 9 + 18 = 27

√ (D 1) = √27 = √ (9 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3) / 3 = (3 (-1 — √ (3))) / 3 = — 1 — √3

х 2 = (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = — 1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3 . .. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполняя деление, получаем сокращенное квадратное уравнение x 2 + 2x — 2 = 0 Решите это уравнение, используя формулы для приведенное квадратное уравнение
рисунок 3.

D 2 = 2 2 — 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√ (D 2) = √12 = √ (4 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3) / 2 = (2 (-1 — √ (3))) / 2 = — 1 — √3

х 2 = (-2 + 2√3) / 2 = (2 (-1+ √ (3))) / 2 = — 1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3.

Как видите, решая это уравнение по разным формулам, мы получили один и тот же ответ. Следовательно, хорошо усвоив формулы, представленные на диаграмме на рисунке 1, вы всегда можете решить любое полное квадратное уравнение.

Сайт

, при полном или частичном копировании материала ссылка на источник обязательна.

Продолжаем изучать тему « решений уравнений ». Мы уже познакомились с линейными уравнениями и переходим к знакомству с квадратными уравнениями .

Сначала мы проанализируем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим соответствующие определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения.Затем мы переходим к решению полных уравнений, получаем формулу для корней, знакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассматриваем решения типичных примеров. Наконец, давайте проследим связь между корнями и коэффициентами.

Навигация по страницам.

Что такое квадратное уравнение? Их виды

Для начала нужно четко понять, что такое квадратное уравнение. Поэтому логично начать разговор о квадратных уравнениях с определения квадратного уравнения, а также с определениями, связанными с ним.После этого можно будет рассматривать основные типы квадратных уравнений: приведенные и неприведенные, а также полные и неполные уравнения.

Определение и примеры квадратных уравнений

Определение.

Квадратное уравнение Представляет собой уравнение вида a x 2 + b x + c = 0 , где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, а a — ненулевое значение.

Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени.Это потому, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. Итак, 2 х 2 + 6 х + 1 = 0, 0,2 х 2 + 2,5 х + 0,03 = 0 и т. Д. Являются квадратными уравнениями.

Определение.

Числа a, b и c называются коэффициентами квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, а коэффициент a называется первым, или наибольшим, или коэффициент при x 2, b — вторым коэффициент или коэффициент при x, а c — свободный член.

Например, возьмем квадратное уравнение вида 5 x 2 −2 x — 3 = 0, здесь старший коэффициент равен 5, второй коэффициент равен −2, а точка пересечения равна −3. Обратите внимание, что когда коэффициенты b и / или c отрицательны, как в только что приведенном примере, тогда краткая форма квадратного уравнения равна 5 x 2 −2 x — 3 = 0, а не 5 x 2 + (- 2) Х + (- 3) = 0,

Следует отметить, что когда коэффициенты a и / или b равны 1 или −1, то они обычно не присутствуют в явном виде в квадратном уравнении, что связано с особенностями их записи.Например, в квадратном уравнении y 2 −y + 3 = 0 старший коэффициент равен единице, а коэффициент при y равен −1.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Квадратичное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1, называется сокращенным квадратным уравнением … В противном случае квадратное уравнение будет нередуцированным .

Согласно этому определению, квадратные уравнения x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x — 2/3 = 0 и т. Д. — даны, в каждом из них первый коэффициент равен единице. А 5 x 2 −x — 1 = 0 и т. Д. — неприведенные квадратные уравнения, их старшие коэффициенты отличны от 1.

Из любого неприведенного квадратного уравнения, разделив обе его части на старший коэффициент, можно перейти к сокращенному. Это действие является эквивалентным преобразованием, то есть полученное таким образом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, как и оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как происходит переход от неприведенного квадратного уравнения к сокращенному.

Пример.

Из уравнения 3 x 2 + 12 x — 7 = 0 перейти к соответствующему приведенному квадратному уравнению.

Решение.

Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3, он не равен нулю, поэтому мы можем выполнить это действие. Имеем (3 х 2 + 12 х — 7): 3 = 0: 3, что то же самое, (3 х 2): 3+ (12 х): 3-7: 3 = 0, и далее ( 3: 3) х 2 + (12: 3) х — 7: 3 = 0, откуда.Итак, мы получили сокращенное квадратное уравнение, которое эквивалентно исходному.

Ответ:

Полные и неполные квадратные уравнения

Определение квадратного уравнения содержит условие a ≠ 0. Это условие необходимо для того, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было точно квадратичным, так как при a = 0 оно фактически становится линейным уравнением вида Ьх + с = 0,

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю как по отдельности, так и вместе.В этих случаях квадратное уравнение называется неполным.

Определение.

Квадратное уравнение a x 2 + b x + c = 0 называется неполным , если хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.

В свою очередь

Определение.

Полное квадратное уравнение Уравнение, в котором все коэффициенты отличны от нуля.

Эти имена даны не случайно. Это станет ясно из следующих соображений.

Если коэффициент b равен нулю, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0 x + c = 0, и оно эквивалентно уравнению ax 2 + c = 0. Если c = 0, то то есть квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + 0 = 0, тогда его можно переписать как ax 2 + bx = 0. А при b = 0 и c = 0 получаем квадратное уравнение a · X 2 = 0. Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат ни члена с переменной x, ни свободного члена, ни того и другого.Отсюда их название — неполные квадратные уравнения.

Итак, уравнения x 2 + x + 1 = 0 и −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 являются примерами полных квадратных уравнений, а x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, −x 2 −5 · x = 0 — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Из информации в предыдущем абзаце следует, что существует трех видов неполных квадратных уравнений :

  • ax 2 = 0, коэффициенты b = 0 и c = 0 соответствуют Это;
  • a x 2 + c = 0 при b = 0;
  • и a x 2 + b x = 0 при c = 0.

Разберем по порядку, как решаются неполные квадратные уравнения каждого из этих типов.

а х 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть с уравнениями вида a · x 2 = 0. Уравнение a · x 2 = 0 эквивалентно уравнению x 2 = 0, который получается из оригинала делением обеих его частей на ненулевое число a. Очевидно, что корень уравнения x 2 = 0 равен нулю, так как 0 2 = 0.Других корней это уравнение не имеет, что объясняется, ведь при любом ненулевом числе p выполняется неравенство p 2> 0, откуда следует, что при p ≠ 0 равенство p 2 = 0 никогда не достигается.

Итак, неполное квадратное уравнение a · x 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

В качестве примера приведем решение неполного квадратного уравнения −4 · x 2 = 0. Уравнение x 2 = 0 ему эквивалентно, его единственный корень — x = 0, следовательно, и исходное уравнение имеет единственный корень ноль.

Краткое решение в этом случае можно сформулировать так:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

а х 2 + с = 0

Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c ≠ 0, то есть уравнения вида a · x 2 + c = 0. Мы знаем, что перенос члена переход от одной части уравнения к другой с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на ненулевое число дает эквивалентное уравнение.Следовательно, мы можем провести следующие эквивалентные преобразования неполного квадратного уравнения a x 2 + c = 0:

  • переместим c в правую часть, что дает уравнение max 2 = −c,
  • и разделив обе части на a, получим.

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях. В зависимости от значений a и c значение выражения может быть отрицательным (например, если a = 1 и c = 2, то) или положительным, (например, если a = −2 и c = 6, то), он не равен нулю, так как по условию c ≠ 0.Разберем отдельно случаи и.

Если, то уравнение не имеет корней. Это утверждение следует из того факта, что квадрат любого числа является неотрицательным числом. Из этого следует, что когда, то для любого числа p равенство выполняться не может.

Если, то иная ситуация с корнями уравнения. В этом случае, если вспомнить про, то сразу становится очевидным корень уравнения, это число, т.к. Несложно догадаться, что число действительно является корнем уравнения.Других корней это уравнение не имеет, что можно показать, например, от противного. Давай сделаем это.

Обозначим корни только что озвученного уравнения как x 1 и −x 1. Предположим, что уравнение имеет еще один корень x 2, отличный от указанных корней x 1 и −x 1. Известно, что подстановка его корней в уравнение вместо x превращает уравнение в истинное числовое равенство. Для x 1 и −x 1 имеем, а для x 2 имеем. Свойства числовых равенств позволяют выполнять почленное вычитание истинных числовых равенств, поэтому вычитание соответствующих частей равенств дает x 1 2 — x 2 2 = 0.Свойства действий с числами позволяют переписать полученное равенство как (x 1 — x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда при хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, из полученного равенства следует, что x 1 — x 2 = 0 и / или x 1 + x 2 = 0, что то же самое, x 2 = x 1 и / или x 2 = −x 1 Таким образом мы пришли к противоречию, поскольку в начале мы сказали, что корень уравнения x 2 отличен от x 1 и −x 1.Это доказывает, что уравнение не имеет корней, кроме и.

Подведем итог по этому пункту. Неполное квадратное уравнение а х 2 + с = 0 эквивалентно уравнению, что

  • не имеет корней, если,
  • имеет два корня и, если.

Рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений вида a · x 2 + c = 0.

Начнем с квадратного уравнения 9 x 2 + 7 = 0. После переноса свободного члена в правую часть уравнения он примет вид 9 · x 2 = −7.Разделив обе части полученного уравнения на 9, получим. Поскольку в правой части стоит отрицательное число, это уравнение не имеет корней, следовательно, исходное неполное квадратное уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 не имеет корней.

Решите еще одно неполное квадратное уравнение −x 2 + 9 = 0. Переместите девятку вправо: −x 2 = −9. Теперь делим обе части на −1, получаем x 2 = 9. В правой части стоит положительное число, из которого делаем вывод, что или. Затем записываем окончательный ответ: неполное квадратное уравнение −x 2 + 9 = 0 имеет два корня x = 3 или x = −3.

а х 2 + б х = 0

Осталось разобраться с решением последнего типа неполных квадратных уравнений при c = 0. Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0 позволяют решить методом факторизации … Очевидно, мы можем , расположенный в левой части уравнения, для которого достаточно вынести общий множитель x. Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к эквивалентному уравнению вида x · (a · x + b) = 0.И это уравнение эквивалентно комбинации двух уравнений x = 0 и a x + b = 0, последнее из которых является линейным и имеет корень x = −b / a.

Итак, неполное квадратное уравнение a x 2 + b x = 0 имеет два корня x = 0 и x = −b / a.

Для закрепления материала разберем решение на конкретном примере.

Пример.

Решите уравнение.

Решение.

Вынимая x из скобок, получаем уравнение.Это эквивалентно двум уравнениям x = 0 и. Решаем полученное линейное уравнение:, и разделив смешанное число на обыкновенную дробь, находим. Следовательно, корни исходного уравнения — x = 0 и.

После получения необходимой практики решения таких уравнений можно записать вкратце:

Ответ:

х = 0 ,.

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Существует формула корня для решения квадратных уравнений.Запишем квадратичную формулу :, где D = b 2 −4 a c — так называемый квадратичный дискриминант … Обозначение по сути означает то.

Полезно знать, как была получена формула корней и как она применяется при нахождении корней квадратных уравнений. Давайте разберемся.

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Допустим, нам нужно решить квадратное уравнение a x 2 + b x + c = 0.Выполним несколько эквивалентных преобразований:

  • Мы можем разделить обе части этого уравнения на ненулевое число a, в результате мы получим сокращенное квадратное уравнение.
  • Теперь выберите полный квадрат с левой стороны :. После этого уравнение примет вид.
  • На данном этапе можно осуществить перенос двух последних членов в правую часть с противоположным знаком, как у нас.
  • А еще трансформируем выражение в правой части :.

В результате мы приходим к уравнению, которое эквивалентно исходному квадратному уравнению a x 2 + b x + c = 0.

Мы уже решали уравнения, аналогичные по форме в предыдущих параграфах, когда мы их анализировали. Это позволяет сделать следующие выводы относительно корней уравнения:

  • если, то уравнение не имеет реальных решений;
  • если, то уравнение имеет вид, следовательно, откуда виден его единственный корень;
  • если, то или, что одно и то же, или, то есть уравнение имеет два корня.

Таким образом, наличие или отсутствие корней уравнения, а значит и исходного квадратного уравнения, зависит от знака выражения в правой части. В свою очередь, знак этого выражения определяется знаком числителя, поскольку знаменатель 4 · a 2 всегда положительный, то есть знак выражения b 2 −4 · a · c. Это выражение b 2 −4 a c было названо дискриминантом квадратного уравнения и обозначено буквой D … Отсюда понятна суть дискриминанта — по его значению и знаку делается вывод, имеет ли квадратное уравнение действительные корни, и если да, то каково их количество — один или два.

Возвращаясь к уравнению, перепишем его, используя дискриминантную запись :. И делаем выводы:

  • если D
  • если D = 0, то это уравнение имеет единственный корень;
  • наконец, если D> 0, то уравнение имеет два корня или, которые в силу этого можно переписать в виде или, а после разложения и сведения дробей к общему знаменателю получим.

Итак, мы вывели формулы для корней квадратного уравнения, они имеют вид, где дискриминант D вычисляется по формуле D = b 2 −4 · a · c.

С их помощью с положительным дискриминантом можно вычислить оба действительных корня квадратного уравнения. Когда дискриминант равен нулю, обе формулы дают одно и то же значение корня, соответствующее единственному решению квадратного уравнения. А с отрицательным дискриминантом, пытаясь использовать формулу для корней квадратного уравнения, мы сталкиваемся с извлечением квадратного корня из отрицательного числа, что выводит нас за рамки школьной программы… С отрицательным дискриминантом квадратное уравнение не имеет действительных корней, но имеет пару комплексно сопряженных корней , которые можно найти, используя те же формулы корней, которые мы получили.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнений можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой можно вычислить их значения. Но это больше о поиске сложных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о вещественных корнях квадратного уравнения.В этом случае желательно сначала найти дискриминант перед использованием формул для корней квадратного уравнения, убедиться в его неотрицательности (в противном случае можно сделать вывод, что уравнение не имеет действительных корней) и только после которые вычисляют значения корней.

Приведенное выше рассуждение позволяет написать решатель квадратного уравнения … Для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 необходимо:

  • по дискриминантной формуле D = b 2 −4 · a · C рассчитать его стоимость;
  • заключают, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
  • вычислить единственный корень уравнения по формуле, если D = 0;
  • найти два действительных корня квадратного уравнения, используя формулу корня, если дискриминант положительный.

Здесь просто отметим, что если дискриминант равен нулю, формула также может быть использована, она даст то же значение, что и.

Можно перейти к примерам использования алгоритма решения квадратных уравнений.

Примеры решения квадратных уравнений

Рассмотрим решения трех квадратных уравнений с положительным, отрицательным и нулевым дискриминантами. Разобравшись с их решением, по аналогии можно будет решить любое другое квадратное уравнение.Давайте начнем.

Пример.

Найдите корни уравнения x 2 + 2 x — 6 = 0.

Решение.

В данном случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a = 1, b = 2 и c = −6. По алгоритму сначала нужно вычислить дискриминант, для этого подставляем указанные a, b и c в формулу дискриминанта, у нас D = b 2 −4 ac = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28 … Поскольку 28> 0, то есть дискриминант больше нуля, квадратное уравнение имеет два действительных корня.Находим их по формуле корня, получаем, здесь можно упростить полученные выражения, выполнив , вычитая знак корня с последующим уменьшением дроби:

Ответ:

Перейдем к следующему типичному примеру.

Пример.

Решите квадратное уравнение −4×2 + 28x — 49 = 0.

Решение.

Начнем с нахождения дискриминанта: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0… Следовательно, это квадратное уравнение имеет единственный корень, который мы находим как

Ответ:

х = 3,5.

Осталось рассмотреть решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример.

Решите уравнение 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.

Решение.

Вот коэффициенты квадратного уравнения: a = 5, b = 6 и c = 2. Подставляя эти значения в дискриминантную формулу, имеем D = b 2 −4 ac = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4… Дискриминант отрицательный, следовательно, это квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если нужно указать комплексные корни, то применяем известную формулу для корней квадратного уравнения и выполняем операций с комплексными числами :

Ответ:

настоящих корней нет, сложные корни выглядят следующим образом :.

Еще раз отметим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то в школе обычно сразу записывают ответ, в котором указывают, что реальных корней нет, а комплексные корни не найдены.

Формула корня для четных вторых коэффициентов

Формула корней квадратного уравнения, где D = b 2 −4 ac, позволяет получить формулу более компактного вида, позволяющую решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x (или просто с коэффициентом вида 2 n, например, или 14 ln5 = 2 7 ln5). Возьмем это.

Допустим, нам нужно решить квадратное уравнение вида a x 2 + 2 n x + c = 0. Найдем его корни по известной нам формуле.Для этого вычисляем дискриминант D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), а затем используем формулу корня:

Обозначим выражение n 2 — a · c как D 1 (иногда его обозначают D «). Тогда формула для корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 n принимает вид, где D 1 \ u003d n 2 — a · c.

Легко видеть, что D = 4 · D 1, или D 1 = D / 4. Иными словами, D 1 — это четвертая часть дискриминанта.Понятно, что знак D 1 совпадает со знаком D. То есть знак D 1 также является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Итак, чтобы решить квадратное уравнение со вторым коэффициентом 2 n, вам нужно

  • Вычислить D 1 = n 2 −a · c;
  • Если D 1
  • Если D 1 = 0, то вычислить единственный корень уравнения по формуле;
  • Если D 1> 0, то найти два действительных корня по формуле.

Рассмотрим решение примера с использованием формулы корня, полученной в этом абзаце.

Пример.

Решите квадратное уравнение 5×2 −6x — 32 = 0.

Решение.

Второй коэффициент этого уравнения может быть представлен как 2 · (−3). То есть можно переписать исходное квадратное уравнение в виде 5 x 2 + 2 (−3) x — 32 = 0, здесь a = 5, n = −3 и c = −32, и вычислить четвертая часть дискриминанта: D 1 = n 2 −ac = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169… Поскольку его значение положительное, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя соответствующую формулу корня:

Обратите внимание, что можно было использовать обычную формулу для корней квадратного уравнения, но в этом случае потребуется больше вычислительной работы.

Ответ:

Упрощение квадратных уравнений

Иногда, прежде чем приступить к вычислению корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задать вопрос: «Можно ли упростить вид этого уравнения»? Согласитесь, что в плане расчетов решить квадратное уравнение 11 x 2 −4 x — 6 = 0 будет проще, чем 1100 x 2 −400 x — 600 = 0.

Обычно упрощение формы квадратного уравнения достигается умножением или делением обеих его частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце нам удалось упростить уравнение 1100×2 −400x — 600 = 0, разделив обе части на 100.

Аналогичное преобразование проводится с квадратными уравнениями, коэффициенты которых нет. В этом случае обе части уравнения обычно делятся на абсолютные значения его коэффициентов. Например, возьмем квадратное уравнение 12 x 2 −42 x + 48 = 0.абсолютные значения его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = НОД (НОД (12, 42), 48) = НОД (6, 48) = 6. Деление обеих сторон исходной квадратичной уравнение на 6, приходим к эквивалентному квадратному уравнению 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно делается, чтобы избавиться от дробных коэффициентов. В этом случае умножение производится на знаменатели его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4 x — 18 = 0.

В заключение этого абзаца отметим, что мы почти всегда избавляемся от минуса в главном коэффициенте квадратного уравнения, меняя знаки всех членов, что соответствует умножению (или делению) обеих частей на −1. Например, обычно от квадратного уравнения −2×2 −3x + 7 = 0 переходит к решению 2×2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Формула для корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты.На основе формулы корня можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Самые известные и применимые формулы взяты из теоремы Виета о форме и. В частности, для данного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Например, по виду квадратного уравнения 3 x 2 −7 x + 22 = 0 сразу можно сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Используя уже написанные формулы, можно получить ряд других соотношений между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, вы можете выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Список использованной литературы.

  • Алгебра: уч. за 8 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд.- М .: Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.
  • А.Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 11-е изд., Стер. — М .: Мнемозина, 2009. — 215 с .: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Just. По формулам и понятным простым правилам. На первом этапе

необходимо привести данное уравнение к стандартному виду, т.е. посмотреть:

Если уравнение уже дано вам в этой форме, вам не нужно делать первый шаг.Самое главное правильно

определяют все коэффициенты, и , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения.

Выражение под знаком корня называется дискриминант … Как видите, чтобы найти x, мы

используйте только a, b и c . Тех. коэффициенты из квадратного уравнения … Просто аккуратно подставьте

означает a, b и c в эту формулу и посчитайте.Замените на их знаки !

например , в уравнении:

и = 1; b = 3; с = -4.

Подставляем значения и пишем:

Пример почти решен:

Это ответ.

Самая распространенная ошибка — путаница со значащими знаками. a, b и из … Вернее, с заменой

отрицательных значения в формулу вычисления корней.Здесь подробное обозначение формулы спасает

с конкретными номерами. Если у вас есть вычислительные проблемы, сделайте это!

Предположим, вам нужно решить этот пример:

Здесь a = -6; b = -5; с = -1

Расписываем все подробно, тщательно, ничего не упускаем со всеми знаками и скобками:

Квадратные уравнения часто выглядят немного иначе.Например, так:

А теперь обратите внимание на передовые методы, которые значительно уменьшат количество ошибок.

Первый прием … Не поленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.

Что это значит?

Допустим, после любых преобразований вы получили следующее уравнение:

Не торопитесь писать формулу корня! Вы почти наверняка перепутаете шансы. а, б и в.

Постройте пример правильно. Сначала X возводится в квадрат, затем без квадрата, затем свободный член. Как это:

Избавьтесь от минуса. Как? Вы должны умножить все уравнение на -1. Получаем:

Но теперь вы можете спокойно записать формулу для корней, вычислить дискриминант и завершить пример.

Сделай сам. У вас должны быть корни 2 и -1.

Прием второй. Проверь корни! По теореме vieta .

Для решения данных квадратных уравнений, т.е. если коэффициент

х 2 + bx + c = 0,

, затем x 1 x 2 = c

х 1 + х 2 = — б

Для полного квадратного уравнения, в котором a ≠ 1 :

x 2 + b x + c = 0,

разделите все уравнение на и:

→ →

, где x 1, и x 2 — корни уравнения.

Прием третий … Если ваше уравнение содержит дробные коэффициенты, избавьтесь от дробей! Умножить

уравнение с общим знаменателем.

Выход. Практический совет:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, строим его вправо .

2. Если перед x в квадрате стоит отрицательный коэффициент, мы исключаем его, умножая сумму

.

уравнений на -1.

3. Если коэффициенты дробные, мы исключаем дроби, умножая все уравнение на соответствующее

Фактор

.

4. Если квадрат x чистый, коэффициент равен единице, решение можно легко проверить с помощью

.

Квадратные уравнения … Общие сведения.

IN квадратичный x должен присутствовать в квадрате (поэтому он называется

«Квадрат»). Помимо него в уравнении могут (а может и не быть!) Просто x (в первой степени) и

просто номер ( бесплатный член ). И не должно быть x в степени больше двух.

Общее алгебраическое уравнение.

где x — свободная переменная, a , b , c — коэффициенты, а a 0 .

например :

Выражение, называемое квадратным трехчленом .

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия:

Называется первым или наивысшим коэффициентом,

Называется второй или коэффициент при,

· Вызывается свободным участником.

Полное квадратное уравнение.

Эти квадратные уравнения содержат полный набор членов слева. X в квадрате с

коэффициент а, x в первой степени с коэффициентом b и свободный член от. IN все коэффициенты

должно быть ненулевым.

Неполное называется квадратным уравнением, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме

наивысший из них (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

Предположим, что b = 0, — x исчезает в первой степени. Получается, например:

2х 2 -6х = 0,

и т.д. И если оба коэффициента, b и c равны нулю, то все еще проще, например:

2х 2 = 0,

Обратите внимание, что квадрат x присутствует во всех уравнениях.

Почему и не могут быть равны нулю? Затем квадрат x исчезает, и уравнение становится линейным .

И решено совсем иначе …

Неполное квадратное уравнение отличается от классических (полных) уравнений тем, что его множители или точка пересечения равны нулю. График таких функций — параболы. В зависимости от общего вида они делятся на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.

Нет ничего сложного в определении типа неполного многочлена. Лучше всего рассмотреть основные отличия на наглядных примерах:

  1. Если b = 0, то уравнение имеет вид ax 2 + c = 0.
  2. Если c = 0, то следует решить выражение ax 2 + bx = 0.
  3. Если b = 0 и c = 0, то многочлен становится равенством типа ax 2 = 0.

Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в задачах проверки знаний, поскольку единственное допустимое значение переменной x в выражении равно нулю. В дальнейшем будут рассмотрены методы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) типов.

Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением

Независимо от типа уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:

  1. Приведите выражение к форме, удобной для поиска корней.
  2. Выполните вычисления.
  3. Запишите свой ответ.

Самый простой способ решить неполные уравнения — это факторизовать левую часть и оставить ноль справа. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для нахождения корней сводится к вычислению значения x для каждого из факторов.

Можно только научиться решать его на практике, поэтому давайте рассмотрим конкретный пример нахождения корней неполного уравнения:

Как видите, в данном случае b = 0. Факторизуем левую часть и получаем выражение:

4 (х — 0,5) ⋅ (х + 0,5) = 0.

Очевидно, что произведение равно нулю, если хотя бы один из факторов равен нулю. Этим требованиям соответствуют значения переменной x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.

Чтобы легко и быстро справиться с задачей разложения трехчлена квадрата на множители, вы должны запомнить следующую формулу:

Если в выражении нет свободного члена, задача значительно упрощается.Достаточно просто найти и вынести общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример решения неполных квадратных уравнений вида ax2 + bx = 0.

Возьмем переменную x за скобки и получим следующее выражение:

х ⋅ (х + 3) = 0.

Руководствуясь логикой, приходим к выводу, что x1 = 0, а x2 = -3.

Традиционное решение и неполные квадратные уравнения

Что произойдет, если вы примените дискриминантную формулу и попытаетесь найти корни многочлена с коэффициентами, равными нулю? Возьмем пример из сборника типовых заданий к ЕГЭ в 2017 году, решим его по стандартным формулам и методом факторинга.

7х 2 — 3х = 0.

Рассчитаем значение дискриминанта: D = (-3) 2-4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Получается, что у полинома два корня:

Теперь давайте решим уравнение на множители и сравним результаты.

Х ⋅ (7х + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Как видите, оба метода дают одинаковый результат, но решение уравнения вторым методом оказалось намного проще и быстрее.

Теорема Виета

А что делать с любимой теоремой Виета? Можно ли использовать этот метод с неполным трехчленом? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.

Фактически, в этом случае можно применить теорему Виета. Нужно только привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены на ноль.

Например, при b = 0 и a = 1, чтобы исключить вероятность путаницы, задание следует записать в виде: ax2 + 0 + c = 0.Тогда отношение суммы и произведения корней и множителей многочлена можно выразить следующим образом:

Теоретические расчеты помогают познакомиться с сутью вопроса и всегда требуют практических навыков решения конкретных задач. Обратимся еще раз к справочнику типовых заданий к ЕГЭ и найдем подходящий пример:

Запишем выражение в форме, удобной для применения теоремы Виета:

х 2 + 0-16 = 0.

Следующим шагом будет создание системы условий:

Очевидно, что корни квадратного многочлена будут x 1 = 4 и x 2 = -4.

А теперь попрактикуемся в приведении уравнения к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4 × x 2-1 = 0

Чтобы применить теорему Виета к выражению, необходимо избавиться от дроби. Умножьте левую и правую части на 4 и посмотрите на результат: x2– 4 = 0. Полученное равенство готово к решению по теореме Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ, просто передав c \ u003d 4 в правую часть уравнения: x2 = 4.

Подводя итоги, следует сказать, что лучший способ решения неполных уравнений — это факторизация, которая является самым простым и быстрым методом. Если вы столкнулись с трудностями в процессе поиска корней, можете обратиться к традиционному методу поиска корней через дискриминант.

Math-Net.Ru

RUS ENG AMSBIB

В вашем браузере отключен JavaScript.Пожалуйста, включите его, чтобы активировать полную функциональность веб-сайта




RSS
RSS



, г.
URL [email protected]

:
math-net2021_05 [at] mi-ras ru
© . . . , 2021

Графический метод решения систем уравнений. Графическое решение решения уравнений

Муниципальное государственное казенное учреждение

Поповская общеобразовательная школа

Герой СССР Н.К. Горбанев

Открытый урок

учителя математики

Воронина Верра Владимировна,

по математике в 9 классе

на тему: «Графический метод решения систем уравнений»

Тип урока: урок с изучением нового материала.

2017/2018 учебный год

Графический метод решения систем уравнений. 9 класс

Воронина Вера Владимировна, учитель математики.

lee урок:

дидактический:

открыть совместное использование нового способа решения систем уравнений;

вывести алгоритм решения систем уравнений с графическим;

умеет определять, сколько решений имеет система уравнений;

научит находить решения системы уравнений в графическом виде;

повторить построение графиков элементарных функций;

создать условия для контроля (самоконтроля) студентов:

образовательных:

воспитания ответственного отношения к работе,

правильности учета.

Во время занятий.

I. Организационный момент.

Что такое функция? (слайд 3-11)

Что называется графиком функции?

Какие типы функций вам известны?

Какая формула является линейной функцией? Что такое линейный функциональный график?

Какая формула является прямой пропорциональностью? Какой у нее график?

Какая формула обратной пропорциональности? Какой у нее график?

Какая формула является квадратичной функцией? Какой у нее график?

Какое уравнение представляет собой уравнение окружности?

То, что называют графиком уравнения с двумя переменными; (Слайд 12)

Организовано знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике, и их диаграммами (Stroofoid, Lemncate Bernoulli, Astroid, Cardioid).(слайд 13-16)

Рассказ учителя сопровождается слайд-шоу с диаграммами данных.

Выразите переменную y через переменную x:
a) y — x² = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x — y + 3 = 0
d) x = -12

Представляет собой пару чисел (1; 0) путем решения уравнения
а) x² + y = 1;
б) х + 3 = х;
c) y (x +2) = 0.

Каково решение системы уравнений с двумя переменными?

Какие пары чисел являются решением системы уравнений
a) (6; 3)
b) (- 3; — 6)
at 21)
d) (3; 0)

Из каких уравнений вы можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 1)
a) 2x — y = 3
b) 3x — 2ow = 5
c) x² + u² = 4
г) х = 2

III.Актуализация знаний студентов по изученному материалу . (Слайд 20, 21)

Сегодня мы повторим и закрепим один из способов решения систем уравнений. Закрепление изученного материала осуществляется с помощью визуального восприятия (графическое решение системы уравнений представлено на слайде):

График уравнения с двумя переменными — это совокупность точек координатной плоскости, координаты которых превращают уравнение в точное равенство.Графики уравнений с двумя неизвестными очень разнообразны.

Вопросы на этом слайде:

Что такое график уравнения x² + y² = 25?

Что представляет собой график уравнения y = — x² + 2x +5?

Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению X² + Y² = 25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = — x² + 2x +5.

В каких точках будут выполняться координаты и первое и второе уравнения?

Сколько точек пересечения на этих графиках?

Сколько решений есть в этой системе?

Назовите эти решения?

Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?

Предлагается слайд, на котором представлен алгоритм графического метода решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Графический метод Применяется к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приблизительно найти системные решения. Только некоторые из найденных решений могут быть точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнение системы.

IV. Использование исследуемого метода для решения систем уравнений.

1. Решите графически систему уравнений (слайд 23)

Каков график уравнения Ху = 3?

Что представляет собой график уравнения 3x — y = 0?

2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями, и ее решение. (Слайд 24)

Изложение основных проблем:

Неправильная система, определенная этими уравнениями?

Сколько точек пересечения имеют эти графики?

Сколько решений имеет эта система уравнений?

Назовите решения этой системы уравнений?

3. Выполните задание ГИА (слайд 25).

4. Решите графически систему уравнений (слайд 26)

Задание выполняют студенты в тетрадях.Решение проверено.

V. Итоги урока.

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

С каким методом решения систем уравнений с двумя переменными вы встречались?

В чем его суть?

Дает ли этот метод точные результаты?

Действительно, у системы уравнений не будет решений?

Vi. Домашнее задание.

стр. 18, №№ 420 (237), 425 (240)

Видеоурок «Графический метод решения систем уравнений» представляет собой учебный материал для развития данной темы.Материал содержит общую концепцию решения системы уравнений, а также подробное объяснение на примере того, как система уравнений собирается графически.

Визуальное пособие использует анимацию для более удобного и понятного выполнения построения, а также различные приемы Выделение важных понятий и деталей для более глубокого понимания материала, его лучшего запоминания.

Видео язык начинается с изложения темы.Напоминаем школьникам, что с такой системой уравнений, и с какими системами уравнений им уже приходилось знакомиться с 7-го класса. Раньше школьникам приходилось решать системы уравнений вида ah + на = c. Раскапывая концепцию решения систем уравнений и формируя умение решать их на этом видеоязыке, рассматривается решение, состоящее из двух уравнений второй степени, а также из одного уравнения второй степени, а второе является первая степень.Напомнил, что такое решение системы уравнений. Определение решения системы в виде пары переменных переменных, которые при подстановке обращают ее уравнение вправо, равенство отображается на экране. В соответствии с определением системного решения конкретизируется задача. Экран отображается для запоминания, что разгадывать систему означает найти подходящие решения или доказать их отсутствие.

Предлагается освоить графический метод решения некоторой системы уравнений.Использование этого метода рассмотрено на примере решения системы, состоящей из уравнений x 2 + в 2 = 16 и y = -x 2 + 2x + 4. Графическое решение системы начинается с построения графа. каждого из этих уравнений. Очевидно, график уравнения X 2 + в 2 = 16 будет окружностью. Точки, принадлежащие этой окружности, являются решением уравнения. Рядом с уравнением на координатной плоскости строится окружность радиусом 4 с центром O в начале координат.График второго уравнения представляет собой параболу, ветви которой опущены вниз. На координатной плоскости строилась заданная парабола, соответствующая графику уравнения. Любая точка, принадлежащая Параболе, является решением уравнения y = -x 2 + 2x + 4. Объясняется, что решение системы уравнений — точки на графиках, принадлежащие обоим графикам обоих уравнений одновременно. Это означает, что точки пересечения построенных карт будут решениями системы уравнений.

Отмечается, что графический метод заключается в нахождении приблизительного значения координат точек, находящихся на пересечении двух графиков, отражающих заданные решения каждого уравнения системы. На рисунке показаны координаты найденных точек пересечения двух графиков: a, b, c, d [-2; -3,5]. Точки данных — решения системы уравнений, найденные графически. Вы можете проверить их правильность, подставив в уравнение и получить справедливое равенство.После подстановки точек в уравнение видно, что часть точек дает точное значение решения, а часть представляет собой приближенное значение решения уравнения: x 1 = 0, in 1 = 4; х 2 = 2, в 2 ≈3,5; х 3 ≈3,5, в 3 = -2; х 4 = -2, в 4 ≈ -3,5.

Видеоязык подробно объясняет суть и применение графического метода решения системы уравнений. Это дает возможность использовать его как видеообразование на уроке алгебры в школе при изучении данной темы.Также материал будет полезен при самостоятельном обучении студентам и поможет разъяснить тему при дистанционном обучении.

В этом уроке мы рассмотрим решение систем двух уравнений с двумя переменными. Сначала рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решаем несколько систем графическим методом.

Тема: Системы уравнений

Урок: Система решения уравнений графическим методом

Рассмотрим систему

Пара чисел, которая одновременно является решением и первым и вторым уравнениями системы, называется путем решения системы уравнений .

Решить систему уравнений — это найти все ее решения или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдем к рассмотрению систем.

Пример 1. Решить систему

Решение:

это линейные уравнения, расписание каждого из которых прямое. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0).Прямые пересечения в точке (-1; 0), это решение системы уравнений (рис. 1).

Решение системы — пара чисел, подставив эту пару чисел в каждое уравнение, мы получим точное равенство.

Получилась единственная линейная система решений.

Напомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:

система имеет единственное решение — прямые пересечения,

система не имеет решений — прямая параллель,

система имеет бесчисленное множество решений — прям совпадают.

Мы рассмотрели частный случай, когда P (x; y) и q (x; y) являются линейными выражениями от x и y.

Пример 2. Решите систему уравнений

Решение:

График первого уравнения прямой, график второго уравнения — круг. Построим первое расписание в точках (рис. 2).

Центр окружности в точке O (0; 0), радиус 1.

Графики пересекаются по t. A (0; 1) и так далее (-1; 0).

Пример 3. Решить систему графически

Решение: Строим график первого уравнения — это круг с центром в T.OO (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения — Парабола. Он смещен относительно начала координат на 2 вверх, т.е. его вершина — точка (0; 2) (рис. 3).

Графики имеют одну общую точку — т.е. А (0; 2). Это решение системы. Подставляем в уравнение пару чисел, чтобы проверить правильность.

Пример 4. Решить систему

Решение: Строим график первого уравнения — это круг с центром в T.OO (0; 0) и радиусом 1 (рис. 4).

Строим график функции ломаной (рис. 5).

Теперь перемещаю его на 1 вниз по оси Oy. Это будет график функции.

Поместим оба графика в одну систему координат (рис. 6).

Получаем три точки пересечения — t.А (1; 0), т. В (-1; 0) и так далее (0; -1).

Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если вы можете построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода вполне достаточно.

Но часто графический метод позволяет найти только приблизительное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений. Поэтому нам нужны другие методы, более точные, и они будут касаться следующих уроков.

1.Мордкович А.Г. и другие. Алгебра 9 кл: учеб. Для общего образования. Учреждения. — 4-е изд. — М .: Мнемозина, 2002.-192 с .: Ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл .: Задание для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М .: Мнемозина, 2002.-143 с .: Ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: этюд. Для школьников, общеобразовательных. Учреждения / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктисты.- 7-е изд., Акт. и добавить. — М .: Мнемозина, 2008.

.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16 изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 сорт. По 2 ч. Л. 1. Учебное пособие для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., Чед. — М .: 2010 — 224 с .: Ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2т. Эд. А.Г. Мордкович. — 12-е изд., Акт. — М .: 2010.-223 с .: Ил.

1. Раздел College.ru по математике ().

2. Интернет-проект «Задачи» ().

3. Образовательный портал «Решу еге» ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл .: Задание для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М .: Мнемозина, 2002.-143 с .: Ил. № 105, 107, 114, 115.

Графический метод решения систем уравнений

(9 класс)

Учебник: Алгебра, 9 класс, под ред. Теляковского С.А.

Тип урока: урок по комплексному применению знаний, умений, навыков.

Задачи урока:

Образовательная: Развивать умение самостоятельно применять знания в комплексе, переносить их в новые условия, в том числе работать с компьютерной программой для построения графиков функции и нахождения количества корней в заданных уравнениях.

Развитие : Формирование у учащихся умения выделять основные признаки, устанавливать сходства и различия.Пополняйте словарный запас. Развивайте вопрос, усложняя его смысловую функцию. Развивать логическое мышление, познавательный интерес, культуру графического построения, память, любознательность.

Образовательная : Воспитать чувство ответственности за результат своей работы. Научитесь сопереживать и неудачам одноклассников.

Средства обучения : Компьютер, мультимедийный проектор, раздаточные материалы.

План урока:

    Организация времени.Домашнее задание — 2 мин.

    Актуализация, повторение, корректировка знаний — 8 мин.

    Изучение нового материала — 10 мин.

    Практическая работа — 20 мин.

    Подведение итогов — 4 мин.

    Отражение — 1 мин.

ВО ВРЕМЯ КЛАССОВ

    Организационный момент — 2 мин.

Привет, ребята! Сегодня урок по важной теме: «Решение систем уравнений».

В точных науках нет таких областей знаний, где бы эта тема ни применялась.Эпиграфом к нашему уроку служат следующие слова : «Разум заключается не только в знаниях, но и в умении применять знания на практике . »(Аристотель)

Постановка темы, целей и задач урока.

Учитель сообщает классу, что урок будет изучаться, и ставит задачу научиться решать систему уравнений с двумя переменными графиками.

Задание на дом (п.18 №416, 418, 419 а).

    Повтор теоретического материала — 8 мин.

НО) Учитель математики: По готовым чертежам ответьте на вопросы и обоснуйте свой ответ.

1). Найдите диаграмму квадратичной функции D = 0. (Учащиеся отвечают на вопрос и называют расписание 3Б).

2). Найдите график обратно — пропорциональная функция при k> 0 (Студенты отвечают на вопрос, звоните на график 3 a. ).

3). Найдите круговую диаграмму с центром O (-1; -5). (Студенты отвечают на вопрос, звоните по расписанию 1Б).

4). Найдите график функции y = 3x -2. (Студенты отвечают на вопрос и звонят по расписанию 3Б).

5). Найдите график квадратичной функции d> 0, a> 0. (Студенты отвечают на вопрос и называют график 1 a. ).

Учитель математики: Для успешного решения системы уравнений запомним:

единица).Что называется системой уравнений? (Системой уравнений называется несколько уравнений, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих всем этим уравнениям одновременно).

2). Что значит решить систему уравнений? (Решить систему уравнений, то есть найти все решения или доказать, что решений нет).

3). Что называется решением системы уравнений? (Решение системы уравнений называется парой чисел (x; y), в которой все уравнения системы относятся к точному равенству).

4) Узнайте, является ли решение системы уравнений
Пара чисел: а) x = 1, y = 2; (-) б) х = 2, у = 4; (+) в) х = — 2, у = — 4? (+)

III Новый материал — 10 мин.

П.18 учебника изложен беседой .

Учитель математики: В курсе алгебры 7 класса мы рассматривали систему уравнений первой степени.Теперь займемся решениями систем, составленных из уравнений первой и второй степени.

1. Как называется система уравнений?

2. Что значит решить систему уравнений?

Мы знаем, что алгебраический метод позволяет находить точные решения системы, а графический метод позволяет наглядно увидеть, сколько корней имеет система, и приблизительно их найти. Поэтому обучение решению системы уравнений второй степени мы продолжим на следующих уроках, и сегодня основной целью урока будет практическое использование компьютерной программы для построения графиков функции и нахождения количества корней систем уравнений.

IV . Практическая работа — 20 мин. Графическое решение систем уравнений. Определение корней уравнений. (Составление расписания на компьютере.)

Задания студенты выполняют на компьютерах. Решения проверяются в процессе эксплуатации.

y = 2x 2 + 5x +3

y = 4.

y = -2x 2 + 5x + 3

y = -3x + 4

y = -2x 2-5x- 3

y = -4 + 2x

y = 4x 2 + 5x +3

y = 2.

г. = -4 Икс. 2 + 5x + 3

y = -3x + 2

y = -4x 2 -5x-3

y = -2 + 2x

y. = 4 Икс. 2 + 5 х. + 5

y = 3.

y = -4x 2 + 5x + 5

y = -x + 3

y = -4x 2 -5x-5

y = -2 + 3x

Перед вами графика двух уравнений. Запишите систему, определяемую этими уравнениями, и ее решение.

— Какая из перечисленных систем Могу я решить с помощью этого изображения?

— дано 4 системы, их нужно было соотнести с графиками.Теперь задача обратная: да графика Их нужно соотнести с системой.

    1. Подведение итогов урока. Ориентировочная оценка — 4 мин.

* Решение систем уравнений. ( Заданий со звездами * .)

Уравнения для 1-й группы студентов:

Уравнения для 2-й группы студентов:

Уравнения для 3-й группы студентов:

х.у. = 6

х. 2 + у. = 4

x 2 + y = 3

x — Y + 1 = 0

x 2 — y = 3

Графики тригонометрических функций нескольких углов. Графики тригонометрических функций кратных углов формулы работы синусов, косинуса и синуса на косинусе

Теперь рассмотрим вопрос, как построить графики тригонометрических функций с несколькими углами ωx где ω — Некоторое положительное число.

Для построения графика функция y = sin. ωx Сравните эту функцию с уже изученной нами функцией. у = sin x . Предположим, что при x = X. 0 функция y = sin x Принимает значение равное 0. Тогда

0 = sin х. 0 .

Преобразуем это соотношение следующим образом:

Следовательно, функция y = sin. ωx на ч. = х. 0 / ω принимает то же значение Вт. 0 , что функция y = sin x для x = x. 0 . А это значит, что функция y = sin. ωx повторяет ваши значения в ω В раз чаще, чем функция y = sin x . Следовательно, функция представляет собой функцию y = sin. ωx Получается по графической функции «сжатия» y = sin x в ω Один раз по оси x.

Например, график функции y = sin 2x Получается путем «сжатия» синусоид y = sin x , разделенных пополам по оси абсцисс.

Функция расписания y = sin x / 2 Получается путем «растягивания» синусоид y = sin x в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раз) по оси x.

Так как функция y = sin. ωx повторяет ваши значения в ω В раз чаще, чем функция
y = sin x , чем период ее в ω раз меньше периода функции y = sin x . Например, функция функции y = sin 2x Raven 2π / 2. = π и период функции y = sin x / 2 Ворон π / Х / 2 = 4π..

Интересно изучить поведение функции y = sin ax на примере анимации, которую очень легко создать в программе Maple. :

Аналогичным образом строятся графики и другие тригонометрические функции нескольких углов. На рисунке показан график функции. y = cos 2x что получается «сжатием» косинуса y = cos x вдвое по оси абсцисс.

График функции y = cos x / 2 Получается путем «растягивания» косинуса y = cos x вдвое по оси x.

На рисунке вы видите график функции y = tg 2x , полученный путем «сжатия» тангентоида y = tg x , разделенного пополам по оси абсцисс.

График функции г = тг. Х / 2 получено «растягиванием» тангентоидов y = tg x вдвое по оси x.

И напоследок анимация, выполненная программой Maple:

Упражнения

1. Постройте графики этих функций и укажите координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определите периоды этих функций.

а). у = грех. 4x / 3 г). Г = ТГ. 5x / 6 г). у = cos. 2x / 3

б). у = cos. 5x / 3 е). у = Ctg. 5x / 3 ч). у = Ctg. Х / 3

дюйма). Г = ТГ. 4x / 3 е). у = грех. 2x / 3

2. Определите периоды функций y = sin (π) и y = tg. ( πh / 2. ).

3. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и периодически изменяются с периодом 10.

4 * Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и периодически изменяются с периодом π / 2..

5. Приведите два примера функций, которые принимают все допустимые значения и периодически изменяются с периодом 1.

6 * Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и ноль, но не принимают положительные значения и периодически меняются с периодом 5.

В тригонометрии многие формулы легче вывести, чем управлять. Cosuine dual corner — чудесная формула! Это позволяет получить формулы для понижения градуса и формулу половинного угла.

Итак, нам нужен двойной угловой косинус и тригонометрическая единица:

Они даже похожи: в формуле косинуса двойного угла — разность квадратов косинуса и синуса, а в тригонометрической единице — их количество. Если выразить косинус из тригонометрической единицы:

и подставив его в косинус двойного угла, получим:

Это еще одна формула двойного углового косинуса:

Эта формула является ключом к получению формулы уменьшения степени:

Итак, формула понижения степени синуса:

Если угол альфа заменить на половину угла альфа пополам, а двойной угол Два альфа — на угол альфа, то получим формулу половинного угла для синуса:

Теперь из тригонометрической единицы выразим синус:

Мы подставим это выражение в формулу двойного углового косинуса:

Получена еще одна формула косинуса двойного угла:

Эта формула является ключом к нахождению формулы для понижения степени косинуса и половинного угла для косинуса.

Таким образом, формула понижения степени косинуса:

Если его заменить на α на α / 2, а 2α — на α, то получим формулу половинного аргумента для косинуса:

Так как тангенс — это отношение синуса к косинусу, формула для тангенса:

Котангены — отношение косинуса к пазухе. Следовательно, формула для котангенов:

Конечно, в процессе упрощения тригонометрических выражений формулы полуугла или уменьшения градуса не имеет смысла каждый раз выводить.Намного проще поставить листик с формулами. И упрощение пойдет быстрее, и зрительная память включится на запоминание.

Но несколько раз убрать эти формулы все равно стоит. Тогда вы будете абсолютно уверены, что на экзамене, когда нет возможности использовать кроватку, вы легко сможете их достать при необходимости.

Соотношения между основными тригонометрическими функциями — синусом, косинусом, тангенсом и катангенсом — задают тригонометрических формул . А поскольку между тригонометрическими функциями существует множество связей, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул.Одни формулы связывают тригонометрические функции одного и того же угла, другие — функции кратного угла, третья — позволяет уменьшить градус, четвертая — выражает все функции через тангенс половинного угла и т. Д.

В этой статье мы перечисляем все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования мы специально сгруппируем их и войдем в таблицу.

Страница навигации.

Основные тригонометрические тождества

Техническое обслуживание тригонометрических идентификаторов Установите соотношение между синусом, косинусом, тангенсом и катангенсом одного угла.Они возникают из определения синуса, косинуса, тангенса и катангенса, а также из понятий единственной окружности. Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье.

Формулы отливки


Формулы приведения следуют свойствам синуса, косинуса, тангенса и катангенса. То есть они отражают свойства частоты тригонометрических функций, свойство симметрии, а также свойство сдвига для этого угла.Эти тригонометрические формулы позволяют работать с произвольными углами, чтобы переключиться на работу с углами от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье.

Сложение формул

Тригонометрические формулы Дополнения Покажите, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов, выражаются через тригонометрические функции этих углов.Эти формулы служат основой для вывода следующих тригонометрических формул.

Формулы двойные, тройные и т. Д. Угол



Формулы двойного, тройного и т. Д. Углы (их также называют формулами множественных углов) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т. Д. Углы () выражаются через тригонометрические функции единственного угла. Их вывод основан на формулах сложения.

Более подробная информация собрана в статье.формулы двойные, тройные и др. Угол.

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла Покажите, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинеус целого угла. Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их заключение и примеры применения можно посмотреть в статье.

Формулы понижения степени


Формулы приведения тригонометрических степеней Они призваны способствовать переходу от естественных степеней тригонометрических функций к синусу и косинусу первой степени, но с несколькими углами.Другими словами, они позволяют снизить степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций


основное назначение формулы суммы и разности тригонометрических функций Это переход к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Эти формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, поскольку они позволяют нам разложить сумму и разность в синусах и косинусе.

Формулы произведения синусов, косинуса и синуса на косинус


Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется по формулам для произведения синусов, косинуса и синуса на косинус.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии Дополнен формулами, выражающими тригонометрические функции через касательную половину угла. Такая замена получила название универсальная тригонометрическая замена .Его удобство в том, что все тригонометрические функции рационально выражаются через касательную половину угла без корней.

Библиография.

  • Алгебра: Занятия. Для 9 кл. среды Шк. / u. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворов; Эд. С. А. Теликовский. — М .: Просвещение, 1990. — 272 с .: Ил. — ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М.И. Алгебра и начальный анализ: учеб. за 10-11 кл. среды шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с .: Ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и стартовый анализ: учеб. за 10-11 кл. общее образование. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др .; Эд. Колмогорова А.Н. — 14-е изд. — М .: Просвещение, 2004. — 384 с .: Ил. — ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): учеб. выгода. — м .; Выше. Шк., 1984.-351 с., Ил.

Авторские права принадлежат Cleverstudents.

Все права защищены.
Защищает авторское право. Никакая часть сайта, включая внутренние материалы и внешний дизайн, не может быть воспроизведена в какой-либо форме или использована без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Дети и учеба — Информационный портал

В этой статье мы разберем, во-первых, что понимают значения выражений или значений функций, а, во-вторых, как оцениваются значения выражений и функций.Сначала введем необходимые определения и понятия. После этого мы подробно опишем основные методы получения оценок. Попутно будем решать характерные примеры.

Что значит оценить значение выражения?

Мы не смогли найти в школьных учебниках четкого ответа на вопрос, который понимается под оценкой значения выражения. Попробуем разобраться с этим, вытеснив из круговорота информации по этой теме, которая до сих пор содержится в учебниках и сборниках заданий по подготовке к ЕГЭ и поступлению в вузы.

Посмотрим, что можно найти в книгах по интересующей нас теме. Приведем несколько цитат:

В первых двух примерах появляются оценки чисел и числовые выражения. Здесь мы имеем дело с оценкой одного-единственного выражения. В остальных примерах появляются оценки, относящиеся к выражениям с переменными. Каждому значению переменной из ОТЗ для выражения или из некоторых из интересующих нас множеств (что понятно, представляет собой подмножество области допустимых значений) соответствует значению выражения.То есть, если … или set x) не состоит из одного числа, многие значения выражения соответствуют выражению с переменной. В этом случае следует говорить об оценке не одного отдельного значения, а об оценке всех значений выражения на ОТЗ (или множестве x). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего определенному значению переменной из OTZ (или множества X).

Для рассуждений мы немного отвлеклись от поиска ответа на вопрос, а значит, для оценки значения выражения.Приведенные выше примеры продвигают нас в этом вопросе и позволяют использовать следующие два определения:

Определение

Оценить значение числового выражения — Это означает указание числового набора, содержащего оценочное значение. В этом случае указанный числовой набор будет оценкой значения числового выражения.

Определение

Вычислить значения выражения из переменной Это означает указание числового набора, содержащего все значения, которые принимают выражение на OTZ (или на множестве X).В этом случае указанный набор будет оценкой значений выражений.

Легко убедиться, что для одного выражения можно указать не единственную оценку. Например, числовое выражение можно оценить как, или, или, или и т. Д. То же самое относится к выражениям с переменными. Например, выражение OTZ может быть оценено как, или, или и т. Д. В связи с этим в записанные определения стоит добавить уточнение в отношении указанного числового набора, который является оценкой: оценка не должна быть абубированной тем, что она должен соответствовать целям, для которых он создан.Например, для решения уравнения Подходит рейтинг. Но эта оценка уже не подходит для решения уравнения, вот значения выражения Надо оценивать иначе, например так:.

Стоит отдельно отметить, что одна из оценок значений выражения f (x) — это диапазон значений соответствующей функции y = f (x) .

В заключение этого пункта обратите внимание на форму оценки.Обычно оценки записываются с использованием неравенств. Вы, наверное, заметили это.

Оценка значений выражений и оценка значений функций

По аналогии с оценкой значений выражения можно говорить об оценке значений функции. Это выглядит довольно естественно, особенно если вы имеете в виду функции, заданные формулами, потому что оценка значений выражения f (x) и оценка значений функции y = f (x) по существу есть одно и то же, что и очевидное.Более того, процесс получения оценок часто удобно описывать в терминах значений значений функций. В частности, в определенных случаях получение оценки выражения осуществляется через нахождение наибольшего и наименьшего значений соответствующей функции.

О точности оценок

В первом абзаце этой статьи мы сказали, что может быть много оценок его значений для выражения.Некоторые из них лучше других? Это зависит от решаемой задачи. Поясним на примере.

Например, используя методы оценки значений выражений, которые описаны в следующих параграфах, можно получить две оценки значений выражений. : Первое есть, второе есть. Основные затраты на получение этих оценок существенно различаются. Первый из них почти очевиден, и получение второй оценки — это сопряжение наименее значимого прямого выражения и дальнейшего использования свойств функции монотонности извлечения квадратного корня.В некоторых случаях с решением задачи справится любая из оценок. Например, любая из наших оценок позволяет решить уравнение. Понятно, что в этом случае мы ограничились бы поиском первой очевидной оценки, и, конечно, не будем напрягаться в поиске второй оценки. Но в других случаях может оказаться, что одна из оценок не подходит для решения задачи. Например, наша первая оценка не решает уравнения, а оценка позволяет вам это сделать. То есть в этом случае нам будет недостаточно первой очевидной оценки, и нам придется искать вторую оценку.

Итак, мы подошли к вопросу о точности оценок. Можно детально определить, в чем понимать точность оценки. Но для наших нужд особой необходимости нет, у нас будет достаточно упрощенное представление о точности оценки. Условимся воспринимать точность оценки как некий аналог приближения точности . То есть возьмем из двух оценок значений некоторого выражения F (x), чтобы рассмотреть более точную, которая «ближе» к полю значений функции y = f (x).В этом смысле оценка является наиболее точной из всех возможных оценок выраженности значений. так как совпадает с областью значений соответствующей функции. Понятно, что оценка точнее оценка. Другими словами, оценка Приблизительная оценка.

Имеет ли смысл постоянно искать наиболее точные оценки? Нет. И дело в том, что для решения задач зачастую достаточно относительно валовых оценок. И главное преимущество таких оценок перед точными в том, что зачастую их получить намного проще.

Основные методы получения сметы

Оценки значений основных элементарных функций

Оценка значений функции y = | х |

Помимо основных элементарных функций, хорошо изученных и полезных с точки зрения получения оценок есть функция y = | х | . Нам известна область значений этой функции :; Эд. С. А. Теликовский. — 16-е изд. — М .: Просвещение, 2008.- 271 с. : IL. — ISBN 978-5-09-019243-9.

  • Алгебра И начало математического анализа. 10 класс: этюд. Для общего образования. Учреждения: базовые и профильные. Уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; Эд. Жизченко А.Б. — 3-е изд. — М .: Просвещение, 2010. — 368 с .: Ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Математика. Повышенный уровень ЕГЭ-2012 (С1, С3). Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы / под ред. Ф. Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. — 112 с. — (Подготовка к ЕГЭ) ISBN 978-5-

    -094-7
  • Сборник Задания по математике для поступающих в вузы (с решениями). В 2-кН. Kn. 1. Алгебра: учеб. пособие / В. К. Ехегерс, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др .; Эд. М. И. Сканави. — 8-е изд., Акт. — М .: Высшее. Шк., 1998. — 528 с .: Ил. ISBN 5-06-003524-7
  • 35 соединяет знаки чисел 3 и 5. Тройка резонирует с вибрациями вдохновения и радости, энтузиазма и самовыражения.Это троица прошлого, настоящего и будущего; Тело, разум и дух. Мужчина под знаком Тройки энергичный, талантливый, честный, гордый и независимый.

    Пятерка добавляет в копилку общей вибрации долю эмоциональности и свободы выбора. Среди минусов — избыточная чувствительность и частые перепады настроения, негативный эффект которых компенсируется оптимизмом тройки. 35 Б. Общее выражение Обеспечивает творческую энергию, благоприятные возможности, желание поменяться местами.

    Связь числа с символом

    Что означает цифра 35 в судьбе человека, если ее определяют по дате рождения? Это придает ему особую харизму, которая привлекает к нему друзей и последователей. Таких людей всегда окружают поклонники, которые выбирают их на роль общественного деятеля или неформального лидера.

    Отрицательная сторона этой числовой комбинации состоит в том, что человек использует свой авторитет для личного обогащения. Представителей 35 — это слабо развитая духовная сфера.Заражая прагматизмом и тщеславием, они способны, несмотря на морду, «идти по головам» к намеченной цели.

    Магические свойства

    Мистическое значение 35 связано с тем, что предсказывает встречу со смертельным искушением. Избежать серьезных ошибок такого испытания можно, только сохраняя спокойствие и рассудительность.

    Священные сравнения числа можно найти в Библии, где оно упоминается 5 раз. Именно на тридцать пятый день поста в пустыне Люцифер подошел к Иисусу, чтобы соблазнить его.

    Что означает число 35, если встречается часто

    Если ангелы-хранители заставляют вас видеть 35 все время, они показывают, что вы не достигли своих целей. Вы честны и старательны, но удача вас распространила.

    Вы сталкиваетесь с бесчисленными препятствиями и озадачены нашим будущим. Такое влияние оказывает на вашу жизнь управитель числа 35 — Планета Сатурн. Его скрытое действие проявляется в цифре 8, которая получается сложением 3 и 5. Вы можете уклоняться от пункта назначения и играть чужую роль.Чтобы найти истинное призвание, прислушивайтесь к тому, что просит душа, и следуйте ей с помощью обмана.

    М .: 2014 — 288С. М .: 2012 — 256С.

    Решебник содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; Подробно разобраны методы и способы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учеников, для проверки выполнения домашних заданий и помощи в решении задач. За короткое время родители смогут стать достаточно эффективным домашним репетиторством.

    Формат: PDF. ( 201 4 , 28 8с., Ерин В.К.)

    Размер: 3,5 Мб

    Часы, скачать: drive.google

    Формат: PDF. ( 2012 г. , 256 с., Морозов А.В.)

    Размер: 2.1 Мб

    Часы, скачать: ссылки удаляются (см. Примечание !!)

    Формат: PDF. ( 2005 г. 224С., Федоскина Н.С.)

    Размер: 1.7 МБ.

    Часы, скачать: drive.google

    Содержание
    Самостоятельная работа 4
    Вариант 1 4.

    в полиноме (повторение) 4
    С-2. Дисплеи для множителей (повтор) 5
    C-3. Целые и дробные выражения 6
    C-4. Главное свойство фракции. Сокращающие фракции 7.
    С-5. Сокращение дробей (продолжение) 9

    с одинаковыми знаменателями 10

    с разными знаменателями 12

    Dannels (продолжение) 14
    C-9.Умножение дробей 16.
    C-10. Разделение фракций 17.
    С-11. Все действия с дробями 18
    С-12. Функция 19.
    C-13. Рациональные I. иррациональные числа 22
    С-14. Корень квадратный арифметический 23
    C-15. Решение уравнений вида X2 = A 27

    Корень квадратный 29.
    C-17. Функция y = \ x 30

    Производство корней 31.

    Частные корни 33.
    C-20. Корень квадратный из степени 34

    Получение множителя под знаком корня 37

    Квадратный корень, содержащий 39
    C-23.Уравнения и их корни 42

    Неполные квадратные уравнения 43
    C-25. Решающие квадратные уравнения 45

    (продолжение) 47
    C-27. Теорема Виета 49.

    Квадратные уравнения 50.

    множители. Уравнения Бикетта 51.
    C-30. Дробные рациональные уравнения 53

    Рациональные уравнения 58.
    C-32. Сравнение номеров (повтор) 59
    С-33. Свойства числовых неравенств 60
    C-34. Сложение и умножение неравенств 62
    C-35.Доказательство неравенств 63.
    C-36. Оценка значений экспрессии 65
    С-37. Оценка погрешности приближения 66
    С-38. Числа округления 67.
    C-39. Относительная ошибка 68.
    С-40. Комплекты для скрещивания и комбинирования 68
    C-41. Числовые пробелы 69.
    C-42. Решение неравенств 74.
    C-43. Решение неравенств (продолжение) 76
    C-44. Решение системы неравенств 78
    C-45. Решение неравенств 81.

    переменная под знаком модуля 83
    C-47.Степень с целым числом 87

    градусов с целым числом 88
    S-49. Стандартный номер 91
    С-50. Запись примерных значений 92
    С-51. Статистические элементы 93.

    (повторение) 95
    C-53. Определение квадратичной функции 99
    C-54. Функция y = ah3 100
    C-55. График функции y = ah3 + bzh + 101
    C-56. Решающие квадратные неравенства 102
    C-57. Интервальный метод 105.
    Вариант 2 108.
    C-1. Преобразование всего выражения
    в полином (повторение) 108
    C-2.Дисплеи для множителей (повтор) 109
    С-3. Целые и дробные выражения
    C-4. Главное свойство фракции.
    Фракции восстановительные 111.
    С-5. Сокращение фракций (продолжение) 112
    С-6. Сложение и вычитание дробей
    С теми же знаменателями 114
    C-7. Сложение и вычитание дробей
    с разными знаменателями 116
    C-8. Сложение и вычитание дробей с разными
    Даннеля (продолжение) 117
    C-9. Умножение дробей 118.
    С-10. Разделение на дроби 119.
    C-11. Все ступени с дробями 120
    С-12. Функция 121.
    C-13. Рациональные и иррациональные числа 123
    С-14. Корень квадратный арифметический 124
    C-15. Решение уравнений вида X2 = A 127
    C-16. Нахождение приблизительных значений
    Квадратный корень 129.
    C-17. Функция Y = VX 130
    C-18. Корень квадратный из работы.
    Производство корнеплодов 131.
    C-19. Корень квадратный из дроби.
    Частные корни 133.
    С-20. Корень квадратный из степени 134
    C-21. Множитель от корневого знака
    Делаем множитель под корневым знаком 137
    C-22. Преобразование выражений
    , содержащих квадратные корни 138
    C-23. Уравнения и их корни 141
    C-24. Определение квадратного уравнения.
    Неполные квадратные уравнения 142
    C-25. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ 144
    C-26. Решение квадратных уравнений
    (продолжение) 146
    C-27. Виета 148 Теорема
    C-28.Решение задач с помощью
    Квадратных уравнений 149.
    C-29. Разложение квадратов трех решений на
    множителей. Уравнения Бикетта 150.
    C-30. Дробные рациональные уравнения 152
    C-31. Решение задач с помощью
    Rational Equations 157.
    C-32. Сравнение номеров (повтор) 158
    С-33. Свойства числовых неравенств 160
    C-34. Сложение и умножение неравенств 161
    C-35. Доказательство неравенств 162.
    C-36. Оценка значений экспрессии 163
    С-37.Оценка аппроксимации 165
    C-38. Округление чисел 165.
    C-39. Относительная ошибка 166.
    С-40. Скрещивание и сборка комплектов 166
    С-41. Числовые пробелы 167.
    C-42. Решение неравенств 172.
    C-43. Решение неравенств (продолжение) 174
    C-44. Решение систем неравенства 176
    C-45. Решение неравенства 179.
    C-46. Уравнения и неравенства, содержащие переменную
    под знаком модуля 181
    C-47. Степень с целым числом 185
    С-48.Преобразование выражений, содержащих
    градусов, в целое число 187
    S-49. Стандартный вид 189
    С-50. Запись примерных значений 190
    С-51. Элементы статистики 192.
    C-52. Понятие функции. Функция расписания
    (повторение) 193
    C-53. Определение квадратичной функции 197
    C-54. Функция y = ah3 199
    C-55. График функции Y = AX2 + TXR + C 200
    C-56. Решение квадратных неравенств 201
    C-57. Интервальный метод 203.
    Обследование 206.
    Вариант 1 206.
    К-1 206
    К-2 208
    К-3 212
    К-4 215
    К-5218
    К-6 221
    К-7 223
    К-8 226
    K-9 229
    K-10 (окончательный) 232
    Вариант 2 236.
    K-1A 236
    K-2A 238
    K-для 242
    K-4A 243
    K-5A 246
    K-6A 249
    К-7А 252
    К-8А 255
    К-9А (финал) 257
    Финальное повторение по темам 263
    Осенняя олимпиада 274.
    Весенняя олимпиада 275.

    Наш «Решебник» содержит ответы на все задания и упражнения из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; Подробно разобраны методы и способы их решения.«Решебник» адресован исключительно родителям учеников, для проверки выполнения домашних заданий и помощи в решении задач.
    За короткое время родители смогут стать достаточно эффективным домашним репетитором.

    Вариант 1 4.

    в полиноме (повторение) 4

    С-2. Дисплеи для множителей (повтор) 5

    С-3. Целые и дробные выражения 6

    С-4. Главное свойство фракции. Уменьшение фракций. 7.

    С-5; Сокращение фракций (продолжение) 9

    с теми же знаменателями 10

    с разными знаменателями 12

    даннел (продолжение) 14

    С-9.Умножение дробей 16.

    С-10. Деление дробей 17.

    С-11. Все действия с дробями 18

    С-12. Функция 19.

    С-13. Рациональные и иррациональные числа 22

    С-14. Корень квадратный арифметический 23

    С-15. Решение уравнений вида X2 = A 27

    С-16. Нахождение приблизительных значений

    корень квадратный 29.

    С-17. Функция y = d / x 30

    Производство корнеплодов 31.

    Частные корни 33.

    С-20. Корень квадратный из степени 34

    С-21. Множитель от корневого знака Множитель под корневым знаком 37

    С-23. Уравнения и их корни 42

    Неполные квадратные уравнения 43

    С-25. Решение квадратных уравнений 45

    (продолжение) 47

    С-27. Теорема Виета 49.

    С-28. Решение задач с

    квадратных уравнений 50.

    множителя. Уравнения Бикетта 51.

    С-30. Дробные рациональные уравнения 53

    С-31.Решение задач с

    рациональные уравнения 58.

    С-32. Сравнение номеров (повтор) 59

    С-33. Свойства числовых неравенств 60

    С-34. Сложение и умножение неравенств 62

    С-35. Доказательство неравенств 63.

    С-36. Оценка значений экспрессии 65

    С-37. Оценка погрешности приближения 66

    С-38. Числа округления 67.

    С-39. Относительная ошибка 68.

    С-40.Комплекты для скрещивания и комбинирования 68

    С-41. Числовые пробелы 69.

    С-42. Решение неравенств 74.

    С-43. Решение неравенств (продолжение) 76

    С-44. Решение системы неравенств 78

    С-45. Решение неравенств 81.

    переменная под знаком модуля 83

    С-47. Степень с целым числом 87


    градусов с целым числом 88

    С-49. Стандартный номер 91

    С-50.Запись примерных значений 92

    С-51. Статистические элементы 93.

    (повтор) 95

    С-53. Определение квадратичной функции 99

    С-54. Функция y = ah3 100

    С-55. График функции y = ah3 + bzh + 101

    С-56. Решение квадратных неравенств 102

    С-57. Интервальный метод 105.

    Вариант 2 108.

    С-1. Преобразование целого выражения

    в полиноме (повторение) 108

    С-2.Дисплеи для множителей (повтор) 109

    С-3. Целые и дробные выражения 110

    С-4. Главное свойство фракции.

    Редукционные 111.

    С-5. Сокращение фракций (продолжение) 112

    С-6. Сложение и вычитание дробей

    с теми же знаменателями 114

    С-7. Сложение и вычитание дробей

    e с разными знаменателями 116

    С-8. Сложение и вычитание дробей с разными

    даннел (продолжение) 117

    С-9.Умножение дробей, 118

    С-10. Деление на дроби 119.

    С-11. Все ступени с дробями 120

    С-12. Функция 121.

    С-13. Рациональные и иррациональные числа 123

    С-14. Корень квадратный арифметический 124

    С-15. Решение уравнений вида X2-A 127

    С-16. Нахождение примерных значений квадратного корня 129
    С-17. Функция y = \\ / x «130

    С-18. Корень квадратный из работы.

    Производство корнеплодов 131.

    С-19. Корень квадратный из дроби.

    Частные корни 133.

    С-20. Корень квадратный из степени 134

    С-21. Множитель от корневого знака

    Делаем множитель под знаком корня 137

    С-22. Преобразование выражений

    С-23. Уравнения и их корни 141

    С-24. Определение квадратного уравнения.

    Неполные квадратные уравнения 142

    С-25. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ 144

    С-26.Решение квадратных уравнений

    (продолжение) 146

    С-27. Виета 148 Теорема

    С-28. Решение задач с

    квадратных уравнений 149.

    С-29. Разложение квадрата трех решений на

    множителя. Уравнения Бикетта 150.

    С-30. Дробные рациональные уравнения 152

    С-31. Решение задач с

    рациональные уравнения 157.

    С-32. Сравнение номеров (повтор) 158

    С-33. Свойства числовых неравенств 160

    С-34.Сложение и умножение неравенств 161

    С-35. Доказательство неравенств 162.

    С-36. Оценка значений экспрессии 163

    С-37. Оценочная оценка приближения 165

    С-38. Округление чисел 165.

    С-39. Относительная ошибка 166.

    С-40. Скрещивание и интеграция наборов 166

    С-41. Числовые пробелы 167.
    C-42. Решение неравенств 172.

    С-43. Решение неравенств (продолжение) 174

    С-44.Решение систем неравенства 176

    С-45. Решение неравенства 179.

    С-46. Уравнения и неравенства, содержащие

    переменная под знаком модуля 181

    С-47. Степень с целым числом 185

    С-48. Преобразование выражений, содержащих

    градуса с целым числом 187

    С-49. Стандартный вид 189

    С-50. Запись примерных значений 190

    С-51. Элементы статистики 192.

    С-52.Понятие функции. Функция расписания

    (повтор) 193

    С-53. Определение квадратичной функции 197

    С-54. Функция y = ah3 199

    С-55. График функции y = ah34-bzh + с 200

    С-56. Решение квадратных неравенств 201

    С-57. Интервальный метод 203.

    Экзамен 206.

    Вариант 1 206.

    К-10 (финал) 232

    Вариант 2 236.

    К-2А 238
    К-для 242

    К-9А (финал) 257

    Финальный повтор по темам 263

    Осенняя олимпиада 274.

    Весенняя олимпиада 275.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *