Алгебра за 8 класс: Понятие алгебраической дроби. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Как в 8-м, так и в 1-м классе алгебры учащиеся рассуждают об уравнениях, ища и используя математическую структуру. Это основано на понимании, полученном в предыдущие годы, включая работу в 6 и 7 классе по поддержанию равенства в уравнениях с одной переменной или рассуждения об уравнениях, записанных в более простых формах, таких как px + q = r .

В 8 классе учащиеся решают линейные уравнения с переменными по обе стороны от знака равенства. Расширяя свои возможности по работе с алгебраическими уравнениями, учащиеся обнаруживают, что уравнения могут не иметь решений, иметь только одно решение или иметь бесконечно много решений.

В Алгебре 1 учащиеся продолжают изучение структуры уравнений и определяют условия, при которых вам может понадобиться написать уравнение в определенных формах. Им нужно переписать и рассуждать об уравнениях, чтобы найти решения, и обосновать, почему каждое движение сохраняет истинность каждого последующего уравнения и сохраняет решения исходного уравнения.

Как в 8-м классе, так и в 1-м классе работа с уравнениями будет выглядеть одинаково, но наша причина для этого немного отличается. Мы видим это в Разделе 4, Уроке 7. Во время упражнения «Что такое уравнение» учащиеся используют структуру, чтобы доказать, что уравнения, которые всегда верны для любого значения переменной, имеют эквивалентные выражения с каждой стороны.

В Алгебре 1 Раздел 2 учащиеся продолжают переписывать уравнения, используя свое понимание структуры уравнений. В Уроке 6, Упражнении 3, «Что допустимо», учащиеся определяют ходы, которые создают уравнения с одним и тем же решением. Вот часть этого задания:

В задании для 8 класса учащиеся используют знания об эквивалентности для создания эквивалентных выражений. Их просят «интерпретировать решения в контексте, из которого возникли уравнения». В Алгебре 1 учащиеся анализируют, приводит ли алгебраическое движение к уравнениям с одним и тем же решением и почему. Они исследуют «различные способы выражения одних и тех же отношений или ограничений путем анализа и написания эквивалентных уравнений». Идея логического рассуждения о выражениях и написания эквивалентных выражений присутствует в Алгебре 1, потому что она более сложная и больше не ограничивается линейными выражениями. Алгебра 1 предлагает учащимся больше возможностей для применения понятий и навыков, полученных в 8 классе.

Учащиеся 8-го и 1-го классов алгебры изучают разные способы решения систем линейных уравнений. В 8 классе учащимся впервые напоминают, что координаты точки, лежащей на графике линейного уравнения, делают это уравнение верным. Затем они исследуют значение точки пересечения графика двух линейных уравнений. В Алгебре 1 учащиеся пересматривают свое понимание систем линейных уравнений в 8 классе. Они быстро осознают ограничения решения систем путем построения графиков и замены и открывают новую стратегию: исключение. Поскольку замещение является стратегией, которая присутствует в обоих курсах, легко случайно переучить или недоучить ее. Полезно знать роль, которую замещение играет в каждом курсе, чтобы учащиеся Алгебры 1 не чувствовали, что это избыточный опыт обучения.

В 8-м классе, Раздел 4, Урок 13, Задание 1, «Верно или неверно: две линии», учащиеся используют свои знания об эквивалентности, чтобы сделать вывод, что если y=2x+4 и y=-x+10 пересекаются в точке, где y =8, тогда 2x+4=8 и -x+10=8. Поэтому мы также можем сказать, что 2x+4=-x+10. Теперь у учащихся есть новая стратегия поиска решения системы уравнений: подстановка.

В алгебре 1, Раздел 2, Урок 13, Задание 3, «Что теперь?», учащиеся опираются на то, что они знают о решении подстановкой из 8 класса, и изучают другие способы использования подстановки, встречаясь с уравнениями, записанными в более разнообразных формах. .

В системе, в которой учащиеся решают d и f, учащиеся могут использовать свои знания 8-го класса, чтобы заменить 18-4f на 2d в первом уравнении. Применив другой подход к системе, в которой учащиеся решают m и p, учащиеся могут заменить p на 2m+10 в первом уравнении. Оба подхода верны и показывают глубокое понимание того, что означает решение системы.

Концепция подстановки сложна, поскольку требует понимания эквивалентных выражений, а также стратегии использования эквивалентных выражений для перезаписи систем таким образом, чтобы их можно было решить. Поскольку эта концепция объединяет так много больших идей, учащимся полезно использовать ее в обоих курсах с возрастающим уровнем сложности. Знание того, что у учеников будет больше времени для работы с заменой в следующем году, снижает нагрузку на учителей 8-го класса. Это также означает, что студенты, изучающие алгебру 1, не начинают с нуля, поэтому у них есть предварительные знания, на которые можно опираться.

Еще одна тема, которую изучают ученики 8-го и 1-го классов алгебры, — это функции. В 8 классе учащиеся знакомятся с функциями, как с правилом, которое назначает каждому входу ровно один выход. Они интерпретируют графики функций, описывая их как возрастающие или убывающие между определенными точками на графике. В Алгебре 1 учащиеся расширяют свое понимание функций, чтобы интерпретировать и использовать обозначения функций, а также сравнивать ключевые характеристики графиков, включая домен и диапазон.

Мы видим, что основное внимание уделяется пропорциональным отношениям между двумя величинами в 8-м классе, Раздел 5, Урок 8, Задание 2 «Пропорциональные отношения определяют линейные функции». Студенты понимают, что наклон и вертикальная точка пересечения линейной функции являются скоростью изменения и начальным значением функции.

В Алгебре 1, Раздел 4, Урок 10, учащиеся сосредотачиваются на входных и выходных значениях, чтобы изучить термины домен и диапазон , как показано в синтезе деятельности для Упражнения 3 «Что насчет результатов?»

На обоих уроках учащиеся связывают то, что они уже знают о характеристиках линейных уравнений, с новыми отношениями, такими как линейные функции и другие функции. Прочная основа линейных функций с 8-го класса имеет решающее значение, чтобы учащиеся могли устанавливать связи между множеством различных видов функций. Алгебра 1 переходит к абсолютному значению и обратным функциям, а также к экспоненциальным и квадратичным дробям. Алгебра 2 продолжает это путешествие с экспоненциальными, логарифмическими и тригонометрическими функциями. В каждом курсе студенты расширяют свои знания о функциях, но всегда опираются на то, что они уже знают о функциях. Как знание того, как идентифицировать ключевые особенности графиков линейных функций, помогает им изучать другие виды функций? Опять же, мы видим, что существует четкая согласованность концепций, которые строятся, а не отдельные темы, которые начинаются и заканчиваются в рамках одного курса.

8-й класс и 1-й класс — это разные курсы; Алгебра 1 предназначена для обучения с 8-го класса. Мы видим намеренный способ, которым учащиеся продолжают углублять свое концептуальное понимание и имеют множество возможностей для повторного изучения понятий с возрастающим уровнем сложности.

Чем может отличаться инструкция учителя, если развитие этих понятий понимается как часть более длительного путешествия по классам? Что, если бы учителя 8 класса и учителя алгебры 1 вместе изучали единицы и занимались математикой? Как укрепление сотрудничества между преподавателями этих двух курсов может способствовать планированию?

Кортни Ортега

Кортни Ортега является сертифицированным учителем Национального совета и преподавала математику и естественные науки в средних и старших школах по всему заливу, прежде чем перейти к руководству округа.