Способы задания функции 7 класс: Функции, способы задания функций. график функции. — Алгебра — 7 класс

Содержание

Понятие функции. Способы задания функции

Понятие функции является одним из важнейших понятий математики и её приложений. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира.

Пусть X и Y - какие-то множества. Имеет место функция, определённая на множестве X со значениями на множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу xX ставится в соответствие один и только один элемент yY.

Это записывается в виде

y = f(x).

Другими словами, с помощью функции y = f(x) множество X отображается в множество Y. Поэтому функцию называют также отображением.

Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского самолёта

. Пусть X - множество пассажиров, а Y - множество кресел салона. Тогда возникает соответствие f : каждому пассажиру xX сопоставляется то кресло y = f(x), в котором он сидит.

Наблюдается, таким образом, простой пример функции, областью определения которой является множество X пассажиров, а областью значений - множество f(X) занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y, то множество значений функции будет подмножеством Y, не совпадающим со всем множеством Y.

Если, однако, какому-то пассажиру удастся сесть сразу в два кресла и , то нарушится принцип однозначной определённости значений функции, поэтому такая ситуация не является функциональной в смысле данного выше определения функций, поскольку требуется, чтобы каждому значению x аргумента соответствовало бы одно определённое значение y = f(x) функции.

В математическом анализе часто X обозначают как D (область определения функции), а Y как E (область значений функции) и при этом D и E называют подмножествами R (множества действительных чисел). На сайте есть урок Как найти область определения функции.

Как нетрудно догадаться по названию нашего сайта, он назван так в честь функции от икса или f(x). И это неслучайно. Функции составляют бОльшую часть предметов рассмотрения не только математического анализа, но и дискретной математики, а также широко используются в программировании, где от профессионалов требуется выделять однотипные вычисления в функции.

Пример 1. Даны множества A = {abcde} и L = {lmn}.

Можно ли между элементами этих множеств установить такое соответствие, чтобы оно было функцией? Если да, то записать это соответствие, указав стрелками, какой элемент какому соответствует.

Решение. Итак, множество A содержит 5 элементов, а множество L - 3 элемента. Если мы поставим стрелки, ведущие от каждого элемента множества L к элементам множества A, то некоторым элементам L будут соответствовать более одного элемента A. Такое соответствие не является функцией по определению. Но если мы проведём стрелки от элементов A к элементам L, то некоторым элементам A будут соответствовать одни и те же элементы L, но при этом каждому элементу A будет соответствовать не более одного элемента L. Такое соответствие не противоречит определение функции, следовательно, ответ на вопрос задания - положительный.

Можно задать, например, такое соответствите между элементами данных множеств, которое будет функцией:

Пример 2. Даны множества A = {70, 140, 30, 48} и В = {35, 15, 12}. Установить между элементами множеств соответствие, заданное правилом "элемент A можно нацело поделить на элемент В". Будет ли такое соответствие функцией?

Решение. Между элементами множеств A и В устанавливается следующее соответствие:

Это соответствие является функцией, так как каждому элементу из множества A соответствует не более одного элемента из множества В.

Аналитическое задание функции.

Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

При аналитическом задании функции указывают область определения, либо не указывают. В первом случае функция задаётся в виде y = f(x), xD, где D - область определения функции, во втором случае - в виде y = f(x). Во втором случае областью определения функции считается наибольшее множество, на котором имеет смысл формула, которой задана функция, то есть наибольшее множество аргумента, которое приводит к действительным значениям функции.

Важно, что функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана. Например, функции y = x², x∈]-∞,+∞[ и y = x², x∈[2, 4], выраженные одной и той же формулой y = x², так как они имеют разные области определения.

Наоборот, одна и та же функция может быть задана разными формулами на различных участках области определения.

Пусть, например,

Здесь две формулы задают одну функцию, определённую на всей числовой прямой. При x≤0 значения этой функции определяются по первой формуле, а при x>0 - по второй.

Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислить при любых значениях аргумента. Недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность.

Графический способ задания функции

График функции даёт наглядное представление о её свойствах. Например, график линейной функции y = kx + b - прямая линия, график квадратичной функции y = ax² + bx + c - парабола и т. д. При этом строятся графики функций, заданных геометрически, т. е. в виде формул или уравнений. Таким образом, под графиком функции понимается множество точек плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Графический способ задания функции помимо геометрического изображения функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически. Задать функцию графически - это значит построить её график. Это часто делают самопишущие приборы. Например, в медицине электрокардиограф строит электрокардиограмму - кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцы.

Графиком числовой функции y = f(x) называется множество точек плоскости с координатами (xf(x)), абсциссы которых - числа из области определения функции, а ординаты - соответствующие значения функции.

Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задаёт функцию, если любая прямая, параллельная оси 0y, пересекает её не более чем в одной точке.

Пример 4. На рисунке ниже - график параболы, заданной уравнением

y² = 2x. Является ли этот график графиком функции?

Решение. График параболы, заданной уравнением y² = 2x, не является графиком функции, поскольку прямая, параллельная оси 0y, пересекает его в двух точках при всех значениях x, кроме x = 0. Заданное уравнение эквивалентно двум уравнениям , каждое из которых определяет функцию. Графиком функции служит верхняя половина параболы, а графиком функции - её нижняя половина.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента записывается соответствующее значение функции. Широко известных таблицы квадратов и кубов чисел, квадратных корней, то есть таблицы функций , , .

Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.

Если функция y зависит от переменной u, то есть y = f(u), а u, в свою очередь, является какой-либо функцией от независимой переменной x, то есть u = g(x), то переменная y называется функцией от функции или сложной функцией от x.

Это записывается в виде

y = f(u), u = g(x)

или

y = f[g(x)].

Таким образом, сложной называется функция, аргументом которой является не независимая переменная, а некоторая функция от неё.

Область определения сложной функции - это множество тех значений x из X, для которых соответствующие значения u принадлежат области определения U функции y = f(u).

Ни для каких других значений x сложная функция не имеет смысла.

Из определения следует, что сложная функция y = f[g(x)] может быть представлена в виде цепочки простых функций y = f(u), u = g(x). Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной x. Цепочка, составляющая сложную функцию, может состоять не только из двух, но и из большего числа звеньев.

Например, функция состоит из трёх звеньев: , , .

Пример 5. Представить сложную функцию в виде звеньев - простых функций.

Решение. Цепочка, составляющая данную функцию, состоит из следующих звеньев:

Пример 6. Представить сложную функцию в виде звеньев - простых функций.

Решение. Цепочка, составляющая данную функцию, состоит из следующих звеньев:

Если функция y задана уравнением вида f(xy) =0, не разрешённым относительно y, то она называется неявной функцией аргумента x (Что такое разрешить уравнение относительно одной из переменных - в примере 8).

Пусть задана некоторая функция y = f(x), т. е. некоторое соответствие между множествами D(f) (область определения) и E(f) (множество значений). Если обратное соответствие есть функция, т. е. каждому значению yE(f) соответствует одно единственное значение xE(f), то её называют обратной функцией по отношению к функции f(x).

В этом случае уравнение y = f(x) определяет x как неявную функцию от y. Если это уравнение разрешимо относительно x, то получим явное выражение обратной функции: x = g(y).

Пример 7. Будет ли функцией соответствие, обратное функции ? А соответствие, обратное функции ?

Решение. Соответствие, обратное функции, заданной в первом условии, также является функцией:

.

Соответствие, обратное функции, заданной во втором условии, не является функцией, так как , то есть значениям икса, кроме нуля, соответствуют два значения игрека.

Весь раздел "Исследование функций"

Функции и способы задания функций

Определение функции

Существуют множество определений для понятия «функция».

Одними из классических определений понятия «функция» считаются определения на базе соответствий. Приведем ряд таких определений.

Определение 1

Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функцией.

Определение 2

Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Соответствие $f$, которое каждому $x\in X$ сопоставляет один и только один $y\in Y$ Называется функцией ($f:X → Y$).

Определение 3

Пусть $M$ и $N$ - два произвольных числовых множества. Говорят, что на $M$ определена функция $f$, принимающая значения из $N$, если каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие один и только один элемент из $N$.

Следующее определение дается через понятие переменной величины. Переменной величиной называется величина, которая в данном исследовании принимает различные числовые значения.

Определение 4

Пусть $M$ - множество значений переменной величины $x$. Тогда, сели каждому значению $x\in M$ соответствует одно определенное значение другой переменной величины $y$ есть функция величины $x$, определенной на множестве $M$.

Далее рассмотрим теоретико-множественные определения.

Определение 5

Пусть $X$ и $Y$ - некоторые числовые множества. Функцией называется множество $f$ упорядоченных пар чисел $(x,\ y)$ таких, что $x\in X$, $y\in Y$ и каждое $x$ входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое $y$ входит, по крайней мере, в одну пару [15].

Определение 6

Всякое множество $f=\{\left(x,\ y\right)\}$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)$ таких, что для любых пар $\left(x',\ y'\right)\in f$ и $\left(x'',\ y''\right)\in f$ из условия $y'≠ y''$ следует, что $x'≠x''$ называется функцией или отображением [7].

Определение 7

Функция $f:X → Y$ - это множество $f$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$, таких, что для любого элемента $x\in X$ существует единственный элемент $y\in Y$ такой, что $\left(x,\ y\right)\in f$, то есть функция -- кортеж объектов $\left(f,\ X,\ Y\right)$.

В этих определениях

$x$ - независимая переменная.

$y$ - зависимая переменная.

Все возможные значения переменной $x$ называется областью определения функции, а все возможные значения переменной $y$ называется областью значения функции. 2+7x-3$, $y=\frac{x+5}{x+2}$, $y=cos5x$.

Приведем далее преимущества и недостатки данного способа:

Плюсы:

  1. С помощью формул мы можем определить значение функции для любого определенного значения переменной $x$;
  2. Функции, заданные таким способом можно изучать с помощью аппарата математического анализа.

Минусы:

  1. Малая наглядность.
  2. Иногда приходится производить очень громоздкие вычисления.

Табличный способ задания функции

Данный способ задания состоит в том, что для нескольких значений независимой переменной выписываются значения зависимой переменной. Все это вносится в таблицу.

Пример 2

Рисунок 1.

Плюс: Для любого значения независимой переменной $x$, которая внесена в таблицу, сразу узнается соответствующее значение функции $y$.

Минусы:

  1. Чаще всего, нет полного задания функции;
  2. Малая наглядность. 2$. Привести табличный и графический способы задания этой же функции.

    Решение.

    Сначала приведем табличный способ. Так как при возведении в четную степень любого числа получим неотрицательное значение, то получим следующую таблицу:

    Рисунок 3.

    Это и есть табличное задание.

    Перейдем теперь к заданию в виде графика. Для этого отметим в декартовой системе координат точки из таблицы выше. Получим:

    Рисунок 4.

    Статьи. Теоретический материал. 'Математика'

    Делимость чисел

    Сложность: 7 класс

    Основные определения. Свойства. Признаки делимости.

    Читать далее

    Связи между величинами. Функция

    Сложность: 7 класс

    В этом разделе дается определение понятию функция и приводятся примеры.

    Читать далее

    Способы задания функции

    Сложность: 7 класс

    В разделе описываются способы задания функции.

    Читать далее

    Линейное уравнение с двумя переменными

    Сложность: 7 класс

    Основные понятия.

    Читать далее

    График функции

    Сложность: 7 класс

    В разделе дается определение понятию график функции и приводятся несколько примеров.

    Читать далее

    Линейная функция. Её график и свойства

    Сложность: 7 класс

    В разделе дается определение термину линейная функция и рассматривается её график.

    Читать далее

    График линейной функции

    Сложность: 7 класс

    График линейной функции

    Читать далее

    Системы линейных уравнений с двумя переменными

    Сложность: 7 класс

    Системы линейных уравнений с двумя переменными. Основные понятия.

    Читать далее

    Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными (Сайкова А.

    В.)

    Сложность: 7 класс

    Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графический метод, метод подстановки, метод алгебраического сложения.

    Читать далее

    Формулы сокращенного умножения

    Сложность: 7 класс

    Формулы сокращенного умножения. Большакова

    Читать далее

    Способы задания функции

    Из предыдущего параграфа следует, что основным признаком функциональной зависимости между двумя переменными величинами является наличие соответствия между значениями этих величин: каждому (допустимому) значению одной из них соответствует вполне определенное значение другой.

    Как только такое соответствие установлено, то говорят, что задана функция.

    Это соответствие может быть установлено различными способами. Рассмотрим некоторые из них.

    1. Табличный способ. Всего проще установить соответствие между значениями двух переменных так: указать значения аргумента и для каждого из них указать соответствующее значение функции. Такой способ задания функции называется табличным.

    Вообще, всякие таблицы, как например таблицы квадратов чисел, квадратных корней, таблицы синусов и др., являются не чем иным, как табличным заданием функции. Так, в таблице синусов аргументом является угол, а функцией — его синус. Каждому данному в таблице значению угла соответствует в той же таблице определенное значение его синуса.

    2. Графический способ. Табличное значение функции неудобно тем, что дает значения функции только для тех значений аргумента, которые приведены в таблице.

    Если надо иметь значения функции для любых значений аргумента (в тех или иных границах) и если при этом не требуется для значений функции большой точности, то в этих случаях часто применяется графический способ. Он основан на следующем: для каждого значения аргумента на плоскости строится точка, абсцисса которой равна данному значению аргумента, а ордината — соответствующему значению функции.

    При всевозможных изменениях абсциссы (то есть аргумента) соответствующие точки на плоскости образуют некоторую линию, которая называется графиком данной функции. Дав аргументу определенное значение, восставляем в соответствующей точке оси абсцисс перпендикуляр к ней. Ордината точки пересечения с графиком и дает соответствующее значение функции.

    Пример. В § 89 был дан график зависимости y = x2. Здесь любое данное число является значением аргумента, а соответствующая ордината является значением функции этого аргумента, именно его квадратом.

    Из сказанного видно, что если задана некоторая функция, то можно построить ее график; графиком можно пользоваться для нахождения приближенных значений функции. В практике нередко функция задается готовым, начерченным графиком. Так, например, в современном производстве широко применяются самопишущие приборы, которые автоматически вычерчивают графики изменения тех или иных величин (температуры, давления и т. п.).

    3. Аналитический способ. Функция может быть задана формулой, показывающей, как по данному значению аргумента вычислить соответствующее значение функции. Такой способ задания функции называется аналитическим.

    Пример. Функция y = x2 задана формулой, показывающей, как для каждого значения аргумента x вычислить соответствующее значение функции.

    Возможны и другие способы задания функции.

    Выше было сказано, что переменные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита — x, y, z, … При этом обычно аргумент обозначают буквой x, а функцию — буквой y. Такое обозначение связано с тем, что при графическом изображении функциональной зависимости значения аргумента отсчитываются по оси абсцисс (оси «иксов»), а соответствующие значения функции — по оси ординат (оси «игреков»). Выше это показано на примере графика функции y = x2.

    100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

    В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

    — О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

    — По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

    Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

    Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

    — Расскажите поподробнее?

    — В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

    — Система оценивания останется прежней?

    — Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

    Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
    Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

    — А апелляция?

    — Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

    — С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

    — Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

    — Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

    — Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

    — На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

    — База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

    — По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

    — Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

    Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

    — А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

    — ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

    — Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

    — Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

    — Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

    — Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

    Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

    — А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

    — Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

    — По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

    — Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

    Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

    — Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

    Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

    — Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

    — Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

    Технологическая карта урока алгебры в 7 классе по теме "Вычисление значений функции по формуле."

    Организационный момент

     

    1

    Проверка готовности обучающихся, их настроя на работу

    Создать благоприятный психологический настрой на работу

    Здравствуйте, ребята! Проверьте свою готовность к уроку.

    Приветствуют учителя, подготавливаются к уроку.

     

    Актуализация знаний

    7

    Актуализация опорных знаний

     

     

    Организует проверку знаний

     

     

     

     

     

     

     Формулирует тему и цели урока.

     

    Дайте определение функции.

    Что называется областью определения и областью значений функции?

     

    1. Найдите значение функции у=2х-1 для аргумента равного 0; 1; 2; - 1.
    2. Найдите область определения функции:

    у=3х – 7, у= , у = 2х3 – 3х2 – 1; у=;  у=; у=; у=; у=.

     

     

     

     

    Тема урока: «Вычисление значений функции по формуле». Цель нашего урока: формирование умения находить по формуле значение функции по заданному значению аргумента и нахождение значения аргумента по заданному значению аргумента.

    -Зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

    -Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

    -Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значения функции.

    И

     

     

    Ф

    Изучение нового материала

    12

    Анализ учебной ситуации, выдвижение гипотез, опытная проверка гипотез

     

    На предыдущем уроке мы рассматривали различные способы задания функции. Какими способами можно задать функцию?.

    Наиболее распространенным способом является задание функции с помощью формулы. Такой способ задания функции – с помощью формулы, называется аналитический. Этот способ позволяет для любого значения аргумента найти соответствующее значение функции путём вычислений. Чтобы вычислить значение функции  f(x) при x=a, надо в формулу, задающую функцию подставить данное значение аргумента a и выполнить вычисления. Такое значение функции обозначается символом  f(a).

    Пример 1.

    Пусть функция задана формулой у = Зх - 1.

    Найдем значение функции, соответствующее значению аргумента -1; 0: 1.

    Если х = -1, то у = 3 * (-1) -1 = -4;

    если х = 0, то у = 3*0-1=-1;

    если х = 1, то у = 3 * 1-1=2.


    Результаты вычислений удобно записать в виде таблицы, поместив в верхней строке значения аргумента, а в нижней строке - соответствующие значения функции.

     

     

    С помощью формулы, задающей функцию, решают так же задачу нахождения значений аргумента, которым соответствует данное значение функции.

    Пример 2.

    Функция задана формулой    у = 12х – 36. Найдем при каком значении х значение функции равно 24.

    Подставим в формулу у = 12х – 36 вместо у число 24. Получим уравнение с переменной х: 24 = 12х-36,

    12х = 24+36

    12х = 60

    х = 5

    Значит, у = 24 при х = 5.

    Табличным, словесным, графическим, формулой.

     

    Закрепление  

    15

    Совершенствовать умение применять полученные знания на практике

    Организует фронтальную проверку понимания материала

    № 267

    Функция задана формулой у = 2х + 7.Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному: 1; -20; 43

     

     

     

    Дополнительный вопрос :

    Определение линейного уравнения с одной переменной.

     

    № 269 (решает весь класс, с места заполняем таблицу).

    Функция задана формулой у = 12/х. В таблице указаны значения аргумента.

    Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции:


    №273

    Формула у = -5х + 6 задает некоторую функцию. При каком значении аргумента значение функции равно 6; 8; 100 ?

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    №274 (решает ученик у доски)


    Функция задана формулой у = 2/3 х. Заполните пустые клетки таблицы:

     

     

    № 267 Решение:

    у = 2х + 7

    Если х = 1, то у = 2 * 1 +7 = 9;

    если х = - 20, то у = 2 * (-20) + 7 = -33;

    если х = 43, то у = 2 * 43 + 7 = 93

     

    -Уравнение вида ах = в, где х - переменная, а и в - некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

     

     

     

     

     

     

    № 273Решение:

    у = -5х + 6

    Если у =6, то -5х + 6 = 6

                          - 5х = 0

                             х = 0

    у = 6 при х = 0

    Если у = 8, то -5х + 6 = 8

                            -5х = 2

                             х = 2:(-5)

                             х = -0,4

    у = 8 при х = -0,4

    Если у =100, то -5х + 6 = 100

                               -5х = 94

                                х = 94 : (-5)

                                х = -18,8

    у = 100 при х =-18,8.

     

     

    №274 Решение

    Если х = -0,5, то у = 2/3 * (-0,5) = - 2 * 5 / 3 *10 = - 1/3

    Если х = -2, то 2/3 х = -2

    х = -2 : 2/3

    х = -3

    Если у = 0, то 2/3 х = 0 х = 0

    Если х = 4,5, то у = 2/3 * 4,5 = 2 * 45 / 3 * 10 = 3

    Если х = 9, то у = 2/3*9 = 2*9/3*1=6

     

    Самостоятельная работа.

     

    5

    Применять полученные знания на практике

    Организует выполнение самостоятельной работы

    B-I

    1. Функция задана формулой у = 0,2х - 4. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 15 
    2. Функция задана формулой у = 2х - 1. При каком значении аргумента значение функции равно 8.
    3. Функция задана формулой у = 1/2 х. При каком значении аргумента значение функции равно 18.

                                  

    B-2

    1. Функция задана формулой у = 0,5х + 3.

    Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному-12

    1. Функция задана формулой у = 4х + 12.

    При каком значении аргумента значение функции равно 30

    1. Функция задана формулой у = 1/4 х Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 64.

     

     

    1. -1
    2. 4,5
    3. 36

     

     

     

     

     

    1. у =-3.
    2. 4,5.
    3. 16.

     

    Рефлексия
     

    1

    Осмысление новых знаний, критический анализ информации

    Организует рефлексию

    Ребята, я попрошу вас продолжить предложения, начатые мною:

    Сегодня  я узнал…           Было интересно…        Мне понравилось

    Мне не понравилось…      Было трудно…        

    Отвечают на вопросы

    Ф

    Подведение итогов. Постановка домашнего задания

    4

    Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся

    Объясняет домашнее задание

    Какую цель мы себе сегодня на уроке поставили? 

    Достигли ли мы ее?

    а)Я задумала формулу. Вы мне говорите значения аргумента, а я вам значение функции.

    х = 2, у = 4

    х = 10, у = 20 и т. д.

    у = 2х - формула четного числа

    б)Я задумала формулу. Вы мне значения аргумента, а я вам значения функции.

    Х = 2, у = 5
    X = 4, у = 9 и т. д.

    У = 2х + 1 - формула нечетного числа.

     

     Домашнее задание.

    П. 13, № 268, № 270, № 275.

    Оценивают свою работу на уроке. Формулируют выводы о достижении цели урока. Записывают домашнее задание в дневник

    И

    Конспект урока по Математике "Графический способ задания функции"

    Тема: Графический способ задания функции

    Цели:

    1) Совершенствовать навыки построения графиков функций, используя таблицу

    2) Уметь по графику находить соответственные значения аргумента и функции

    3) Развивать внимание, мышление, память

    I м/д по вариантам

    1)f(x)=x²+8x

    Аргумент= -5. Найти значение функции

    2) f(x)=2x-7

    Значение функции = (-4). Найти значение аргумента

    3) f(x)=

    Найти D(x)

    4)Продолжите предложение:

    Графиком функции называется…

    5) Функцией называется…

    IIВ тетрадях число, тему

    III Соревнования между рядами

    1. Конкурс – Архитектурный

    Работа в тетрадях по вариантам (кто больше правильно построит)

    Составить таблицу и построить график функции

    IВIIВ

    Y= x(2-x)

    Составить таблицу для -2 ≤x≤3 с шагом 1

    x

    2 Конкурс: Следопыты

    Работаем на листочках и сдаем проверку

    По графику движения туристов определить ( по вариантам)

    1. Первоначальную ϑ туристов (на ОА)

    2. Найти время, потраченное на отдых

    3. Найти скорость на участках ВС

    4. Найти среднюю скорость движения

    Переписать ответы, самопроверку за доской

    IВ

    1. 4км/ч

    2. 2км/ч

    3. 2км/ч

    3Конкурс: Решение занимательных задач

    У всех детей карточки с цифрами от 1 до 6

    1. 14 детей учились плавать, 5 из них еще не научились, а 3 уже утонули. Сколько детей научились плавать и не утонули? (6)

    2. В доме 12 чашек и 9 блюдечек. Дети разбили половину чашек и 7 блюдечек. Сколько чашек осталось без блюдечек? (4)

    3. Когда младенца Кузю поцарапала кошка, он орал 4 минуты, когда его укусила пчела, он орал на 3 минуты больше. А когда мама стала мыть его с мылом, он орал в 2 раза больше чем после укуса пчелы. Мама мыла Кузю 11 минут. Сколько минут орал уже вымытый Кузя? (3)

    4. У старшего брата 12 конфет, а у младшего 2 конфеты. Сколько конфет должен забрать младший брат у старшего, чтобы справедливость восторжествовала? (5)

    4Конкурс

    В тетради:

    В магазине было 300кг яблок. Продавалиxдней, каждый день продавали по 20кг яблок. В магазине осталось укг яблок. Задайте формулой зависимости у от х.

    Y(x)=300-20x

    Найдите у(7)=300-140=160

    Проверяем у доски.

    Считаем количество правильных ответов по рядам.

    5Конкурс: «Знаток математики»

    Вопрос каждому ряду

    1. Что называют 1%?

    2. Какую часть часа составляют 20 мин? ()

    3. Прибор для построения окружности?

    4. Результат деления? (частное)

    5. Наименьшее четное число? (2)

    6. S квадрата = 49см². Найти Pквадрата. (28)

    7. Что называют хордой окружности?

    8. К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число (11раз)

    9. Найти D(х) функции f(х)=?

    10. Как называется Iкоординаты точки?

    1. Результат вычисления (разность)

    2. Определение натурального числа

    3. Прибор для измерения углов

    4. Найти D(x) функции f(x)=

    5. Какую часть составляют 15 минут? ()

    6. Pпрямоугольника равен 36см. Найти сторону квадрата с таким же Р. (9см)

    7. Как найти длину окружности?

    8. Как называется равенство с переменой? (уравнение)

    9. Что называют R окружности?

    10. Определение координатной плоскости

    1. Как называется треугольник, у которого две стороны равны?

    2. Какую часть часа составляют 10 минут?

    3. Результат умножения! (произведение)

    4. Как найти Sкруга?

    5. Аргумент это…

    6. Р квадрата равен 20 см. Найдите его S. (25см²)

    7. Что называют окружности?

    8. Как называется вторая координата точки?

    9. Что называют биссектрисой угла!

    10. Что называют функцией?

    IV Подведение итогов (выставление оценок)

    V Домашнее задание:

    #1310, 1312, 1314 (2,3)

    1) f(x)=3x-5

    Значение функции = (-8). Найти значение аргумента

    2)f(x)=4x-x²

    Аргумент = (-2). Найти значение функции

    3) f(x)=

    Найти D(x)

    4) Продолжите предложение:

    Областью определения функции называется…

    5) Табличный способ задания функции это…

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    y

    -8

    -3

    0

    1

    0

    -3

    У=x(x+4)

    Составить таблицу для -4≤x≤1 с шагом 1

    x

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    y

    0

    -3

    -4

    -3

    0

    5

    II В

    1. 5км/ч

    2. 2,4 км/ч

    1.1: Четыре способа представления функции

    Цели обучения

    • Определите, представляет ли отношение функцию.
    • Найдите значение функции.
    • Определите, является ли функция взаимно однозначной.
    • Используйте тест вертикальной линии для определения функций.
    • Изобразите функции, перечисленные в библиотеке функций.

    Авиалайнер меняет высоту по мере увеличения расстояния от точки старта полета.Вес подрастающего ребенка со временем увеличивается. В каждом случае одно количество зависит от другого. Между двумя величинами существует взаимосвязь, которую мы можем описывать, анализировать и использовать для прогнозирования. В этом разделе мы разберем такие отношения.

    Определение того, представляет ли отношение функцию

    Отношение - это набор упорядоченных пар. Набор первых компонентов каждой упорядоченной пары называется областью, а набор вторых компонентов каждой упорядоченной пары называется диапазоном.Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре - это первые пять натуральных чисел. Второе число в каждой паре вдвое больше первого.

    \ [\ {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10) \} \ tag {1.1.1} \]

    Домен \ (\ {1, 2, 3, 4, 5 \} \). Диапазон равен \ (\ {2, 4, 6, 8, 10 \} \).

    Обратите внимание, что каждое значение в домене также известно как входное значение или независимая переменная и часто обозначается строчной буквой \ (x \).Каждое значение в диапазоне также известно как выходное значение или зависимая переменная и часто обозначается строчной буквой \ (y \).

    Функция \ (f \) - это отношение, которое присваивает одно значение в диапазоне каждому значению в домене. Другими словами, никакие \ (x \) - значения не повторяются. Для нашего примера, который связывает первые пять натуральных чисел с числами, удваивающими их значения, это отношение является функцией, потому что каждый элемент в домене, {1, 2, 3, 4, 5}, связан ровно с одним элементом в диапазон, \ (\ {2, 4, 6, 8, 10 \} \).

    Теперь давайте рассмотрим набор упорядоченных пар, который связывает термины «четный» и «нечетный» с первыми пятью натуральными числами. Он будет выглядеть как

    \ [\ mathrm {\ {(нечетное, 1), (четное, 2), (нечетное, 3), (четное, 4), (нечетное, 5) \}} \ tag {1.1.2} \]

    Обратите внимание, что каждый элемент в домене {четный, нечетный} не связан ровно с одним элементом в диапазоне \ (\ {1, 2, 3, 4, 5 \} \). Например, термин «нечетный» соответствует трем значениям из области \ (\ {1, 3, 5 \} \), а термин «четный» соответствует двум значениям из диапазона \ (\ {2, 4 \} \).Это нарушает определение функции, поэтому это отношение не является функцией.

    На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) сравниваются отношения, которые являются функциями, а не функциями.

    Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): (a) Это отношение является функцией, потому что каждый вход связан с одним выходом. Обратите внимание, что входные \ (q \) и \ (r \) оба дают выход \ (n \). (б) Эта связь также является функцией. В этом случае каждый вход связан с одним выходом. (c) Это отношение не является функцией, потому что вход \ (q \) связан с двумя разными выходами.

    Функция

    Функция - это отношение, в котором каждое возможное входное значение приводит ровно к одному выходному значению. Мы говорим: «Выход - это функция входа».

    Входные значения составляют область , а выходные значения составляют диапазон .

    Как сделать: учитывая связь между двумя величинами, определите, является ли связь функцией

    1. Определите входные значения.
    2. Определите выходные значения.
    3. Если каждое входное значение приводит только к одному выходному значению, классифицируйте отношение как функцию. Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, не классифицируйте отношение как функцию.

      Пример \ (\ PageIndex {1} \): определение того, являются ли прайс-листы меню функциями

      Меню кофейни, показанное на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), состоит из предметов и их цен.

      1. Цена зависит от товара?
      2. Товар зависит от цены?
      Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): меню цен на пончики из кафе, где простой пончик стоит 1 доллар.49, пончик с желе и шоколадный пончик - 1,99 доллара.

      Решение

      1. Начнем с рассмотрения ввода как пунктов меню. Выходные значения - это цены. См. Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).
      Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): меню с ценами на пончики из кафе, где простой пончик стоит 1,49 доллара, а пончик с желе и шоколадный пончик - 1,99 доллара.

      У каждого элемента в меню есть только одна цена, поэтому цена зависит от элемента.

      1. Два пункта меню имеют одинаковую цену.Если мы рассматриваем цены как входные значения, а товары как выходные, то с одним и тем же входным значением может быть связано несколько выходных данных. См. Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).
      Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Связь цен с пончиками.

      Следовательно, товар не зависит от цены.

      Пример \ (\ PageIndex {2} \): определение того, являются ли правила оценки класса функциями

      В конкретном математическом классе общая процентная оценка соответствует среднему баллу.Является ли средний балл функцией процентной оценки? Является ли процентная оценка функцией среднего балла? В таблице \ (\ PageIndex {1} \) показано возможное правило назначения оценок.

      Таблица \ (\ PageIndex {1} \): баллы класса.
      Процентное содержание 0–56 57–61 62–66 67–71 72–77 78–86 87–91 92–100
      Средний балл 0.0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

      Решение

      Для любой процентной оценки существует связанный средний балл, поэтому средний балл является функцией процентной оценки. Другими словами, если мы введем процентную оценку, на выходе получится конкретный средний балл.

      В данной системе оценок существует диапазон процентных оценок, соответствующих одному и тому же среднему баллу. Например, учащиеся, получившие средний балл 3,0, могут иметь различные процентные оценки от 78 до 86. Таким образом, процентная оценка не является функцией среднего балла.

      Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

      Таблица \ (\ PageIndex {2} \) перечисляет пять величайших бейсболистов всех времен в порядке рангов.

      Таблица \ (\ PageIndex {2} \): пять величайших бейсболистов.
      Игрок Рейтинг
      Бэйб Рут 1
      Уилли Мейс 2
      Тай Кобб 3
      Уолтер Джонсон 4
      Хэнк Аарон 5
      1. Является ли ранг функцией имени игрока?
      2. Имя игрока зависит от ранга?
      Ответьте на

      Есть

      Ответ б

      да. (Примечание: если бы два игрока были разделены, скажем, за 4-е место, то имя не зависело бы от ранга.)

      Использование обозначения функций

      Как только мы определим, что отношение является функцией, нам нужно отобразить и определить функциональные отношения, чтобы мы могли понять и использовать их, а иногда также, чтобы мы могли программировать их в компьютерах. Есть разные способы представления функций. Стандартные обозначения функций - это одно из представлений, облегчающих работу с функциями.

      Чтобы представить «рост является функцией возраста», мы начинаем с определения описательных переменных \ (h \) для роста и \ (a \) для возраста. Буквы \ (f \), \ (g \) и \ (h \) часто используются для обозначения функций точно так же, как мы используем \ (x \), \ (y \) и \ (z \) для обозначения числа и \ (A \), \ (B \) и \ (C \) для представления множеств.

      \ [\ begin {array} {ll} h \ text {is} f \ text {of} a \; \; \; \; \; \; & \ text {Назовем функцию} f \ text {; высота является функцией возраста. } \\ h = f (a) & \ text {Мы используем круглые скобки для обозначения ввода функции.} \\ f (a) & \ text {Мы называем функцию} f \ text {; выражение читается как «} f \ text {of} a \ text {.»} \ end {array} \]

      Помните, мы можем использовать любую букву для названия функции; обозначение \ (h (a) \) показывает нам, что \ (h \) зависит от \ (a \). Значение \ (a \) необходимо поместить в функцию \ (h \), чтобы получить результат. Скобки указывают, что возраст вводится в функцию; они не указывают на умножение.

      Мы также можем дать алгебраическое выражение в качестве входных данных для функции.Например, \ (f (a + b) \) означает «сначала сложите \ (a \) и \ (b \), и результат будет входом для функции \ (f \)». Для получения правильного результата операции необходимо выполнять именно в таком порядке.

      Обозначение функций

      Запись \ (y = f (x) \) определяет функцию с именем \ (f \). Это читается как «\ (y \) является функцией \ (x \)». Буква \ (x \) представляет входное значение или независимую переменную. Буква \ (y \) или \ (f (x) \) представляет выходное значение или зависимую переменную.

      Пример \ (\ PageIndex {3} \): использование обозначения функций для дней в месяце

      Используйте обозначение функции для представления функции, вход которой является названием месяца, а выход - количеством дней в этом месяце.

      Решение

      Использование обозначения функций для дней в месяце

      Используйте обозначение функции для представления функции, вход которой является названием месяца, а выход - количеством дней в этом месяце.

      Количество дней в месяце является функцией названия месяца, поэтому, если мы назовем функцию \ (f \), мы напишем \ (\ text {days} = f (\ text {month}) \) или \ (d = f (m) \). Название месяца - это вход в «правило», которое связывает определенное число (выход) с каждым входом.

      Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): функция \ (31 = f (январь) \), где 31 - результат вывода, f - правило, а январь - ввод.

      Например, \ (f (\ text {March}) = 31 \), потому что в марте 31 день. Обозначение \ (d = f (m) \) напоминает нам, что количество дней, \ (d \) (выход), зависит от названия месяца \ (m \) (вход).

      Анализ

      Обратите внимание, что входные данные функции не обязательно должны быть числами; входные данные функции могут быть именами людей, метками геометрических объектов или любым другим элементом, определяющим какой-либо вид вывода.Однако большинство функций, с которыми мы будем работать в этой книге, будут иметь числа как входы и выходы.

      Пример \ (\ PageIndex {3B} \): интерпретация обозначения функции

      Функция \ (N = f (y) \) дает количество полицейских \ (N \) в городе в году \ (y \). Что означает \ (f (2005) = 300 \)?

      Решение

      Когда мы читаем \ (f (2005) = 300 \), мы видим, что входной год - 2005. Выходное значение, количество полицейских \ ((N) \), равно 300.Помните, \ (N = f (y) \). Утверждение \ (f (2005) = 300 \) говорит нам, что в 2005 году в городе было 300 полицейских.

      Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

      Используйте обозначение функций, чтобы выразить вес свиньи в фунтах как функцию ее возраста в днях \ (d \).

      Ответ

      \ (ш = е (г) \)

      Вопросы и ответы

      Вместо обозначения, такого как \ (y = f (x) \), можем ли мы использовать тот же символ для вывода, что и для функции, например, \ (y = y (x) \), означающий «\ (y \) является функцией \ (x \)? »

      Да, это часто делается, особенно по прикладным предметам, использующим высшую математику, например физике и инженерии.Однако, исследуя математику, нам нравится проводить различие между такой функцией, как \ (f \) , которая является правилом или процедурой, и выходом y, который мы получаем, применяя \ (f \) к конкретному ввод \ (x \) . Вот почему мы обычно используем такие обозначения, как \ (y = f (x), P = W (d) \) и т. Д.

      Представление функций с помощью таблиц

      Общий метод представления функций - в виде таблицы. Строки или столбцы таблицы отображают соответствующие входные и выходные значения.В некоторых случаях эти значения представляют все, что мы знаем об отношениях; в других случаях таблица предоставляет несколько избранных примеров из более полных отношений.

      Таблица \ (\ PageIndex {3} \) перечисляет входное число каждого месяца (\ (\ text {Январь} = 1 \), \ (\ text {Февраль} = 2 \) и т. Д.) И вывод значение количества дней в этом месяце. Эта информация представляет все, что мы знаем о месяцах и днях для данного года (который не является високосным). Обратите внимание, что в этой таблице мы определяем функцию дней в месяце \ (f \), где \ (D = f (m) \) идентифицирует месяцы целым числом, а не именем.

      Таблица \ (\ PageIndex {3} \): Месяцы и количество дней в месяце.

      Номер месяца, \ (м \) (ввод)

      1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
      Дней в месяце, \ (D \) (вывод) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

      Таблица \ (\ PageIndex {4} \) определяет функцию \ (Q = g (n) \) Помните, это обозначение говорит нам, что \ (g \) - это имя функции, которая принимает входные данные \ (n \) и дает результат \ (Q \).

      Таблица \ (\ PageIndex {4} \): Функция \ (Q = g (n) \)

      \ (п \)

      1 2 3 4 5
      \ (Q \) 8 6 7 6 8

      Таблица \ (\ PageIndex {5} \) отображает возраст детей в годах и соответствующий им рост.В этой таблице показаны лишь некоторые из имеющихся данных о росте и возрасте детей. Мы сразу видим, что эта таблица не представляет функцию, потому что одно и то же входное значение, 5 лет, имеет два разных выходных значения, 40 дюймов и 42 дюйма.

      Таблица \ (\ PageIndex {5} \): возраст детей и их рост.

      Возраст в годах, \ (a \) (ввод)

      5 5 6 7 8 9 10
      Высота в дюймах, \ (h \) (выход) 40 42 44 47 50 52 54

      Как: по таблице входных и выходных значений определить, представляет ли таблица функцию

      1. Определите входные и выходные значения.
      2. Убедитесь, что каждое входное значение сопряжено только с одним выходным значением. Если это так, таблица представляет функцию.

        Пример \ (\ PageIndex {5} \): определение таблиц, представляющих функции

        Какая таблица, Таблица \ (\ PageIndex {6} \), Таблица \ (\ PageIndex {7} \) или Таблица \ (\ PageIndex {8} \), представляет функцию (если есть)?

        Таблица \ (\ PageIndex {6} \)
        Ввод

        Выход

        2 1
        5 3
        8 6
        Таблица \ (\ PageIndex {7} \)
        Ввод

        Выход

        -3 5
        0 1
        4 5
        Таблица \ (\ PageIndex {8} \)
        Ввод

        Выход

        1 0
        5 2
        5 4

        Решение

        Таблица \ (\ PageIndex {6} \) и Таблица \ (\ PageIndex {7} \) определяют функции. В обоих случаях каждое входное значение соответствует ровно одному выходному значению. Таблица \ (\ PageIndex {8} \) не определяет функцию, потому что входное значение 5 соответствует двум различным выходным значениям.

        Когда таблица представляет функцию, соответствующие входные и выходные значения также могут быть указаны с использованием обозначения функции.

        Функция, представленная таблицей \ (\ PageIndex {6} \), может быть представлена ​​записью

        \ [f (2) = 1 \ text {,} f (5) = 3 \ text {и} f (8) = 6 \ nonumber \]

        Аналогично выписки

        \ [g (−3) = 5 \ text {,} g (0) = 1 \ text {и} g (4) = 5 \ nonumber \]

        представляют функцию в таблице \ (\ PageIndex {7} \).

        Таблица \ (\ PageIndex {8} \) не может быть выражена аналогичным образом, потому что она не представляет функцию.

        Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

        Представляет ли таблица \ (\ PageIndex {9} \) функцию?

        Таблица \ (\ PageIndex {9} \)
        Ввод

        Выход

        1 10
        2 100
        3 1000
        Ответ

        да

        Поиск входных и выходных значений функции

        Когда мы знаем входное значение и хотим определить соответствующее выходное значение для функции, мы оцениваем функцию. Оценка всегда дает один результат, потому что каждое входное значение функции соответствует ровно одному выходному значению.

        Когда мы знаем выходное значение и хотим определить входные значения, которые будут производить это выходное значение, мы устанавливаем выход равным формуле функции и решаем вход. Решение может дать более одного решения, потому что разные входные значения могут давать одно и то же выходное значение.

        Вычисление функций в алгебраических формах

        Когда у нас есть функция в форме формулы, вычислить ее обычно несложно.2 + 2p − 3 = 0 & \ text {Вычтите по 3 с каждой стороны.} \\ (p + 3) (p − 1) = 0 & \ text {Factor.} \ End {array} \ nonumber \]

        Если \ ((p + 3) (p − 1) = 0 \), либо \ ((p + 3) = 0 \), либо \ ((p − 1) = 0 \) (или оба они равны \ (0 \)). Мы установим каждый множитель равным \ (0 \) и решим относительно \ (p \) в каждом случае.

        \ [(p + 3) = 0, \; p = −3 \ nonumber \]

        \ [(p − 1) = 0, \, p = 1 \ nonumber \]

        Это дает нам два решения. Выход \ (h (p) = 3 \), когда вход либо \ (p = 1 \), либо \ (p = −3 \). Мы также можем проверить, построив график, как на рисунке \ (\ PageIndex {6} \).2 + 2п \)

        Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

        Учитывая функцию \ (g (m) = \ sqrt {m − 4} \), решите \ (g (m) = 2 \).

        Ответ

        \ (м = 8 \)

        Вычисление функций, выраженных в формулах

        Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнения . Если можно выразить выход функции с помощью формулы, включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме.Например, уравнение \ (2n + 6p = 12 \) выражает функциональную связь между \ (n \) и \ (p \). Мы можем переписать его, чтобы решить, является ли \ (p \) функцией \ (n \).

        Как: Для данной функции в форме уравнения напишите ее алгебраическую формулу.

        1. Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства, а другую сторону как выражение, которое включает только входную переменную.
        2. Используйте все обычные алгебраические методы для решения уравнений, такие как сложение или вычитание одной и той же величины с обеих сторон или от них, или умножение или деление обеих сторон уравнения на одинаковую величину.

        Пример \ (\ PageIndex {8A} \): поиск уравнения функции

        Выразите отношение \ (2n + 6p = 12 \) как функцию \ (p = f (n) \), если это возможно.

        Решение

        Чтобы выразить отношение в этой форме, нам нужно иметь возможность записать отношение, где \ (p \) является функцией \ (n \), что означает запись его как \ (p = [\ text {выражение с участием} п] \).

        \ [\ begin {align *} 2n + 6p & = 12 \\ 6p & = 12−2n && \ text {Вычтите 2n с обеих сторон.} \\ p & = \ dfrac {12−2n} {6} & & \ text {Разделите обе стороны на 6 и упростите.} \\ p & = \ frac {12} {6} - \ frac {2n} {6} \\ p & = 2− \ frac {1} {3} n \ end {align *} \]

        Следовательно, \ (p \) как функция от \ (n \) записывается как

        \ [p = f (n) = 2− \ frac {1} {3} n \ nonumber \]

        Анализ

        Важно отметить, что не все отношения, выраженные уравнением, также можно выразить как функцию с формулой. 2 = 1 \) функцию с \ (x \) на входе и \ (y \) на выходе? Если это так, выразите отношение как функцию \ (y = f (x) \).y \), если мы хотим выразить y как функцию от x, не существует простой алгебраической формулы, включающей только \ (x \), которая равна \ (y \). Однако каждый \ (x \) определяет уникальное значение для \ (y \), и существуют математические процедуры, с помощью которых \ (y \) можно найти с любой желаемой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для \ (y \) как функции \ (x \), даже если формулу нельзя записать явно.

        Оценка функции, заданной в табличной форме

        Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц.И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев. И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.

        Функция, которая связывает тип питомца с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы (Table \ (\ PageIndex {10} \)).

        Таблица \ (\ PageIndex {10} \)

        Память питомца

        интервал в часах

        Щенок 0,008
        Взрослая собака 0.083
        Кот 3
        Золотая рыбка 2160
        Бета-рыба 3600

        Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений. Здесь вызовем функцию \ (P \). Область функции - это тип домашнего животного, а диапазон - это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память питомца.Мы можем оценить функцию \ (P \) при входном значении «золотая рыбка». Мы бы написали \ (P (золотая рыбка) = 2160 \). Обратите внимание, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции P кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции.

        Как сделать: для функции, представленной в виде таблицы, определить конкретные выходные и входные значения

        1.Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
        2. Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
        3. Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
        4. Определите входные значения, соответствующие заданному выходному значению.

        Пример \ (\ PageIndex {9} \): Вычисление и решение табличной функции

        Использование таблицы \ (\ PageIndex {11} \),

        а. Оцените \ (g (3) \).
        г. Решите \ (g (n) = 6 \).

        Таблица \ (\ PageIndex {11} \)

        \ (п \)

        1 2 3 4 5
        \ (г (п) \) 8 6 7 6 8

        Решение

        а.Вычисление \ (g (3) \) означает определение выходного значения функции \ (g \) для входного значения \ (n = 3 \). Выходное значение таблицы, соответствующее \ (n = 3 \), равно 7, поэтому \ (g (3) = 7 \).
        г. Решение \ (g (n) = 6 \) означает определение входных значений n, которые производят выходное значение 6. Таблица \ (\ PageIndex {12} \) показывает два решения: 2 и 4.

        Таблица \ (\ PageIndex {12} \)

        \ (п \)

        1 2 3 4 5
        \ (г (п) \) 8 6 7 6 8

        Когда мы вводим 2 в функцию \ (g \), на выходе получаем 6.Когда мы вводим 4 в функцию \ (g \), наш результат также равен 6.

        Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

        Используя Table \ (\ PageIndex {12} \), вычислите \ (g (1) \).

        Ответ

        \ (г (1) = 8 \)

        Поиск значений функций из графика

        Оценка функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для данного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график. Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров данного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующими входными значениями.

        Пример \ (\ PageIndex {10} \): чтение значений функций из графика

        Учитывая график на рисунке \ (\ PageIndex {7} \),

        1. Оценить \ (f (2) \).
        2. Решите \ (f (x) = 4 \).
        Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): График положительной параболы с центром в \ ((1, 0) \).

        Решение

        Чтобы оценить \ (f (2) \), найдите точку на кривой, где \ (x = 2 \), затем прочтите координату y этой точки.Точка имеет координаты \ ((2,1) \), поэтому \ (f (2) = 1 \). См. Рисунок \ (\ PageIndex {8} \).

        \ (\ PageIndex {8} \): график положительной параболы с центром в \ ((1, 0) \) с отмеченной точкой \ ((2, 1) \), где \ (f (2) = 1 \) .

        Чтобы решить \ (f (x) = 4 \), мы находим выходное значение 4 на вертикальной оси. Двигаясь горизонтально по прямой \ (y = 4 \), мы обнаруживаем две точки кривой с выходным значением 4: \ ((- 1,4) \) и \ ((3,4) \). Эти точки представляют два решения \ (f (x) = 4 \): −1 или 3. Это означает \ (f (−1) = 4 \) и \ (f (3) = 4 \), или когда вход - -1 или 3, выход - 4.См. Рисунок \ (\ PageIndex {9} \).

        Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): График обращенной вверх параболы с вершиной в \ ((0,1) \) и помеченными точками в \ ((- 1, 4) \) и \ ((3 , 4) \). Прямая в точке \ (y = 4 \) пересекает параболу в отмеченных точках.

        Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

        Учитывая график на рисунке \ (\ PageIndex {7} \), решите \ (f (x) = 1 \).

        Ответ

        \ (x = 0 \) или \ (x = 2 \)

        Определение того, является ли функция однозначной

        Некоторые функции имеют заданное выходное значение, соответствующее двум или более входным значениям.Например, на биржевой диаграмме, показанной на рисунке в начале этой главы, цена акции составляла 1000 долларов в пять разных дат, что означает, что было пять различных входных значений, которые все привели к одному и тому же выходному значению в 1000 долларов.

        Однако некоторые функции имеют только одно входное значение для каждого выходного значения, а также имеют только один выход для каждого входа. Мы называем эти функции взаимно однозначными функциями. В качестве примера рассмотрим школу, в которой используются только буквенные оценки и десятичные эквиваленты, как указано в Таблице \ (\ PageIndex {13} \).

        Таблица \ (\ PageIndex {13} \): буквенные оценки и десятичные эквиваленты.
        Letter Grade Средний балл
        A 4,0
        Б 3,0
        С 2,0
        D 1,0

        Эта система оценок представляет собой функцию «один-к-одному», поскольку каждая вводимая буква дает один конкретный выходной средний балл, а каждый средний балл соответствует одной вводимой букве.

        Чтобы визуализировать эту концепцию, давайте еще раз посмотрим на две простые функции, изображенные на рисунках \ (\ PageIndex {1a} \) и \ (\ PageIndex {1b} \). Функция в части (a) показывает взаимосвязь, которая не является взаимно однозначной, потому что входы \ (q \) и \ (r \) оба дают выход \ (n \). Функция в части (b) показывает взаимосвязь, которая является функцией «один-к-одному», потому что каждый вход связан с одним выходом.

        Индивидуальные функции

        Однозначная функция - это функция, в которой каждое выходное значение соответствует ровно одному входному значению.2 \). Поскольку площади и радиусы являются положительными числами, существует ровно одно решение: \ (\ sqrt {\ frac {A} {\ pi}} \). Таким образом, площадь круга однозначно зависит от радиуса круга.

        Упражнение \ (\ PageIndex {11A} \)

        1. Является ли остаток функцией номера банковского счета?
        2. Является ли номер банковского счета функцией баланса?
        3. Является ли баланс однозначной функцией номера банковского счета?
        Ответ

        а. да, потому что на каждом банковском счете в любой момент времени имеется единый баланс;

        г. нет, потому что несколько номеров банковских счетов могут иметь одинаковый баланс;

        г. нет, потому что один и тот же выход может соответствовать более чем одному входу.

        Упражнение \ (\ PageIndex {11B} \)

        Оцените следующее:

        1. Если каждая процентная оценка, полученная на курсе, соответствует одной буквенной оценке, является ли буквенная оценка функцией процентной оценки?
        2. Если да, то функция взаимно однозначная?
        Ответ

        а.Да, буквенная оценка является функцией процентной оценки;
        г. Нет, не один на один. Мы могли бы получить 100 различных процентных чисел, но только около пяти возможных буквенных оценок, поэтому не может быть только одного процентного числа, соответствующего каждой буквенной оценке.

        Использование теста вертикальной линии

        Как мы видели в некоторых примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика. Графики отображают большое количество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений.Обычно графики строятся с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.

        Наиболее распространенные графики называют входное значение \ (x \) и выходное значение \ (y \), и мы говорим, что \ (y \) является функцией \ (x \), или \ (y = f (x) \), когда функция названа \ (f \). График функции - это совокупность всех точек \ ((x, y) \) на плоскости, которая удовлетворяет уравнению \ (y = f (x) \). Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции представляет собой только несколько точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующим выходным значением.Например, черные точки на графике на рисунке \ (\ PageIndex {10} \) говорят нам, что \ (f (0) = 2 \) и \ (f (6) = 1 \). Однако множество всех точек \ ((x, y) \), удовлетворяющих \ (y = f (x) \), является кривой. Показанная кривая включает \ ((0,2) \) и \ ((6,1) \), потому что кривая проходит через эти точки

        . Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): График многочлена.

        Тест вертикальной линии можно использовать для определения того, представляет ли график функцию. Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию, которая пересекает график более одного раза, то график не определяет функцию, потому что функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.См. Рисунок \ (\ PageIndex {11} \) .

        Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): три графика, наглядно демонстрирующие, что является функцией, а что нет.

        Практическое руководство. Имея график, используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию

        1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная вертикальная линия кривую более одного раза.
        2. Если такая линия есть, определите, что график не представляет функцию.

          Пример \ (\ PageIndex {12} \): Применение теста вертикальной линии

          Какой из графиков на рисунке \ (\ PageIndex {12} \) представляет (ы) функцию \ (y = f (x) \)?

          Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): график полинома (a), наклонной вниз прямой (b) и круга (c).

          Решение

          Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией. Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) рисунка \ (\ PageIndex {12} \). Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что не более чем значений x вертикальная линия пересекает график более чем в одной точке, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {13} \).

          Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): График круга.

          Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

          Представляет ли график на рисунке \ (\ PageIndex {14} \) функцию?

          Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): График функции абсолютного значения.
          Ответ

          да

          Использование теста горизонтальной линии

          После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли функция взаимно однозначной, - это использовать тест горизонтальной линии . Проведите через график горизонтальные линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более одного раза, то график не представляет собой взаимно однозначную функцию.

          Практическое руководство. Имея график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график однозначную функцию

          1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
          2. Если такая строка есть, определите, что функция не является взаимно однозначной.

          Пример \ (\ PageIndex {13} \): применение теста горизонтальной линии

          Рассмотрим функции, показанные на рисунке \ (\ PageIndex {12a} \) и рисунке \ (\ PageIndex {12b} \). Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?

          Решение

          Функция на рисунке \ (\ PageIndex {12a} \) не является взаимно однозначной. Горизонтальная линия, показанная на рисунке \ (\ PageIndex {15} \), пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках. )

          Рисунок \ (\ PageIndex {15} \): График многочлена с горизонтальной линией, пересекающей 2 точки

          Функция на рисунке \ (\ PageIndex {12b} \) взаимно однозначна. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную линию не более одного раза.

          Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

          Является ли график, показанный на рисунке \ (\ PageIndex {13} \), взаимно однозначным?

          Ответ

          Нет, потому что он не проходит тест горизонтальной линии.

          В этом тексте мы будем исследовать функции - формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем.Учимся читать, начинаем с алфавита. Когда мы учимся арифметике, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор основных именованных функций, для которых нам известны график, формула и специальные свойства. 2} \)

        1. Функция квадратного корня \ (f (x) = \ sqrt {x} \)
        2. Кубическая корневая функция \ (f (x) = 3 \ sqrt {x} \)
        3. Ключевые понятия

          • Отношение - это набор упорядоченных пар.Функция - это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу.
          • Функциональная нотация - это сокращенный метод соотнесения ввода и вывода в форме \ (y = f (x) \).
          • В табличной форме функция может быть представлена ​​строками или столбцами, относящимися к входным и выходным значениям.
          • Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением.
          • Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение.
          • Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения.
          • Входные и выходные значения функции можно определить по таблице.
          • Связь входных значений с выходными значениями на графике - еще один способ оценить функцию.
          • Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению.
          • График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.
          • График функции "один к одному" проходит проверку горизонтальной линии.

          Глоссарий

          зависимая переменная
          выходная переменная

          домен
          набор всех возможных входных значений для отношения

          функция
          отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение

          Проверка горизонтальной линии
          Метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза

          независимая переменная
          входная переменная

          ввод
          каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция

          однозначная функция
          функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода

          output
          каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию

          диапазон
          набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении

          связь
          набор заказанных пар

          Проверка вертикальной линии
          Метод проверки того, представляет ли график функцию, путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза

          Авторы и авторство

          Четыре основных математических понятия, которые ваши дети изучают в 7–8 классах | Scholastic

          Учащиеся 6 -го класса закладывают фундамент математики, над которой они будут работать в 7 и 8 классах. Многие из концепций являются продолжением работы 6 -го класса и позволяют глубже погрузиться в понимание и развитие, ведущее к алгебре. Учащиеся 7 -го и 8 -го классов готовятся к работе, которую они будут выполнять в средней школе по алгебре и геометрии. Эти строительные блоки будут иметь решающее значение для их общего понимания и успеха на уровне старшей школы.

          1. Система счисления. В 7 -м классе учащиеся полностью поймут, как интерпретировать и вычислять все рациональные числа.Они могут складывать, вычитать, умножать и делить все десятичные дроби и дроби, а также представлять проценты. Они вычисляют как положительные, так и отрицательные числа, используя все четыре основные операции, и интерпретируют значение абсолютного значения. В 8 -м классе ученики переходят от рациональных чисел к иррациональным числам. Они понимают концепцию десятичного разложения и могут интерпретировать и находить как рациональные, так и иррациональные числа на числовой прямой.

          Поощряйте своего ребенка:

          • Используйте числовые линии при расчетах как с положительными, так и с отрицательными числами.Наличие вертикальной и / или горизонтальной числовой линии при выполнении домашнего задания может быть очень полезным.
          • Мысленно оцените и рассчитайте чаевые, налог с продаж и проценты продаж при покупках и еде вне дома.
          • Интерпретируйте положительные и отрицательные числа в реальной жизни, например, с температурой, долгом / задолженностью, отрицательными и положительными расходами, выигрышем / проигрышем и т. Д.
          • Узнавайте рациональные и иррациональные числа.

          2. Выражения и уравнения. Ожидания учащихся сильно возрастают в 7 и 8 классах, когда они изучают выражения и уравнения. Они начинают использовать переменные и решать многоступенчатые задачи реального мира. Учащиеся интерпретируют неравенство и рисуют соответствующие графики. Они готовятся к алгебре, рассматривая и понимая линейные уравнения и находя наклон таблицы, графика и уравнения.

          Поощряйте своего ребенка:

          • Различайте равенство и неравенство (>, <, > , <) с помощью переменных:
            • равенство: 4s + 20 = 46
            • неравенство: 4s + 20 <46
          • Рассматривайте и решайте многоступенчатые реальные задачи, используя переменные.Например, Как продавец, вам платят 50 долларов в неделю плюс 3 доллара за продажу. На этой неделе вы хотите, чтобы ваша зарплата составляла не менее 100 долларов. Напишите неравенство для количества продаж, которые вам нужно совершить, и опишите решения .
          • Изучите и изучите различные типы графиков и таблиц в Интернете или в газете.
          • Разберитесь в значении наклона и как его найти с помощью графика, таблицы или уравнения:

          3. Геометрия. Студенты уделяют большое внимание лексике по геометрии и точно используют свой словарный запас при письме. Они расширяют свое понимание объема и площади для расчета площади поверхности двух- и трехмерных объектов. Они также изучают формулы площади и окружности круга. В 8 -м классе они изучают теорему Пифагора и применяют ее к реальным и математическим задачам. Студенты также должны знать формулы для определения объема конусов, сфер и цилиндров.

          Поощряйте своего ребенка:

          • Используйте соответствующий словарь при описании различных многоугольников и геометрических свойств.Например: дополнительных угла: два угла, которые в сумме дают 180 °.
          • Создавайте словарные карточки для всего их математического словаря и еженедельно практикуйте их.
          • Найдите разные двухмерные и трехмерные объекты в реальном мире и обсудите разницу между нахождением площади поверхности и объема каждого объекта.
          • Понять теорему Пифагора и как использовать ее в реальном мире:

          Источник изображения: FreeLearningChannel. com

          4. Функции. В 8 -м ученики класса начнут узнавать о функциях. Студенты будут определять, сравнивать и оценивать функции. Они будут использовать функции для моделирования отношений между различными величинами. Они будут сравнивать функции алгебраически, графически, численно в таблицах или с помощью словесных описаний.

          Поощряйте своего ребенка:

          Источник изображения: Slideshare.net

          У вас есть вопросы об этих концепциях или другие вопросы по математике? Отправьте их Дженнифер здесь, чтобы она могла ответить в следующем блоге.Или поделитесь ими с нами на странице Scholastic Parents в Facebook.

          Автор фотографии: © DragonImages / Thinkstock

          Grade 7 Curriculum

          Ниже приведены необходимые навыки со ссылками на ресурсы, которые помогут в освоении этого навыка. Мы также поощряем множество упражнений и работу с книгами. Curriculum Home

          Важно: это только руководство.
          Обратитесь в местный орган управления образованием, чтобы узнать их требования.

          7 класс | Division

          ☐ Понять и уметь использовать Long Division

          7 класс | Числа

          ☐ Различать различные подмножества действительных чисел (подсчет / натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа)

          ☐ Определите разложение на простые множители данного числа и запишите в экспоненциальной форме

          ☐ Упростите выражения, используя порядок операций (Примечание: выражения могут включать абсолютное значение, квадратные корни и / или целые показатели степени больше 0.)

          ☐ Сложить, вычесть, умножить и разделить целые числа

          ☐ Сложить два целых числа (с числовой строкой и без нее)

          ☐ Развить концептуальное понимание отрицательных и нулевых показателей степени с основанием из десяти и относящихся к дробям и десятичным знакам (например, 10 -2 = 0,01 = 1/100)

          ☐ Распознавать и указывать значение квадратного корня из полного квадрата (до 225)

          ☐ Определите квадратный корень из неполных квадратов (или более сложных полных квадратов) с помощью калькулятора

          ☐ Классифицируйте иррациональные числа как неповторяющиеся / не завершающие десятичные дроби

          ☐ Определите два последовательных целых числа, между которыми лежит квадратный корень из неполного квадратного целого числа меньше 225 (с использованием числовой прямой и без нее)

          ☐ Признайте разницу между рациональными и иррациональными числами (например,g. , исследуйте различные приближения числа пи)

          ☐ Разместите рациональные и иррациональные числа (приближения) на числовой прямой и выровняйте расположение.

          ☐ Записывать числа в экспоненциальном представлении

          ☐ Заменить числа, записанные в экспоненциальном представлении, на обычные числа

          ☐ Сравнить числа, записанные в экспоненциальном представлении

          ☐ Найдите общие делители и наибольший общий делитель двух или более чисел

          ☐ Определение кратных и наименьшего общего кратного двух или более чисел

          ☐ Вычтите два целых числа (с числовой строкой и без нее)

          ☐ Сравните и закажите целые числа от -10 до 10

          ☐ Распознавать и указывать значение кубического корня из идеального куба (до 216)

          ☐ Определите кубический корень из несовершенных кубов (или более сложных идеальных кубов) с помощью калькулятора

          ☐ Определите два последовательных целых числа, между которыми лежит кубический корень неполного целого числа куба меньше 216 (с использованием числовой прямой и без нее)

          ☐ Знать и понимать основную теорему арифметики.

          7 класс | Дроби

          ☐ Сложить и вычесть комбинацию из трех или более дробей с разными знаменателями

          7 класс | Проценты

          ☐ Рассчитайте полную сумму (100%), если задан другой процент от той же суммы, например Если вы знаете 25%, что такое 100%?

          7 класс | Передаточные числа

          ☐ Расчет расстояния с использованием масштаба карты или масштаба модели

          ☐ Расчет масштабов карт, масштабных чертежей или моделей как соотношений

          7 класс | Измерение

          ☐ Определите личные рекомендации для метрических единиц массы

          ☐ Обоснование обоснованности массы объекта (метрических единиц)

          ☐ Преобразование мощностей и объемов в метрической системе

          ☐ Определить метрические единицы массы

          ☐ Перевести массу в метрическую систему

          ☐ Нарисуйте центральные углы в данном круге с помощью транспортира (круговые диаграммы)

          ☐ Определить инструменты и методы, необходимые для измерения массы с соответствующим уровнем точности (метрические единицы)

          ☐ Знать метрические единицы площади: квадратный миллиметр, квадратный сантиметр, квадратный метр, гектар и квадратный километр; и как конвертировать между ними.

          ☐ Определите личные рекомендации для стандартных единиц массы США

          ☐ Обоснование обоснованности массы объекта (условных единиц США)

          ☐ Преобразование мощностей и объемов в системе США

          ☐ Определите стандартные единицы массы США

          ☐ Перевести массу в американской системе

          ☐ Определите инструменты и методы, необходимые для измерения массы с соответствующим уровнем точности (стандартные единицы США)

          ☐ Знать стандартные единицы площади США: квадратный дюйм, квадратный фут, квадратный ярд, акр, квадратная миля; и как конвертировать между ними.

          7 класс | Геометрия (плоскость)

          ☐ Постройте шаблон для разработки правила определения суммы внутренних углов многоугольников

          ☐ Вычислить радиус или диаметр по длине окружности или площади круга

          ☐ Найти недостающий угол при заданных углах четырехугольника

          ☐ Поймите, что углы на прямой линии складываются до 180 градусов, а углы вокруг точки складываются до 360 градусов

          ☐ Общие сведения о тесселяции и о том, что подразумевается под регулярной и полурегулярной тесселяцией.

          ☐ Знать названия многоугольников с 5, 6 и 8 сторонами, знать размеры их внутренних углов и знать, что такое правильные, неправильные, вогнутые и выпуклые многоугольники.

          7 класс | Геометрия (твердое тело)

          ☐ Рассчитайте объемы призм и цилиндров по заданным формулам и с помощью калькулятора

          ☐ Определение двухмерных форм, составляющих грани и основания трехмерных фигур (призмы, цилиндры, конусы и пирамиды)

          ☐ Определите площадь поверхности призм и цилиндров с помощью калькулятора и различных методов

          7 класс | Алгебра

          ☐ Сложить и вычесть одночлены с показателем единицы

          ☐ Вычислить формулы для заданных входных значений (площадь поверхности, скорость и задачи плотности)

          ☐ Запишите обратную величину алгебраического выражения

          ☐ Сложить и вычесть простые многочлены с показателями не более 3

          7 класс | Экспоненты

          ☐ Разработайте законы экспонент для умножения и деления

          7 класс | Неравенства

          ☐ Решите одношаговые неравенства (только положительные коэффициенты)

          ☐ Изобразите множество решений неравенства (только с положительными коэффициентами) на числовой прямой.

          7 класс | Линейные уравнения

          ☐ Перевести двухэтапные словесные выражения в алгебраические

          ☐ Решайте многоступенчатые уравнения, комбинируя одинаковые термины, используя свойство распределения или перемещая переменные в одну сторону уравнения

          7 класс | Тригонометрия

          ☐ Определение прямого угла, гипотенузы и катетов прямоугольного треугольника

          ☐ Изучите взаимосвязь между длинами трех сторон прямоугольного треугольника, чтобы развить теорему Пифагора

          ☐ Используйте теорему Пифагора, чтобы определить неизвестную длину стороны прямоугольного треугольника

          ☐ Определите, является ли данный треугольник прямоугольным, применив теорему Пифагора и используя калькулятор.

          7 класс | Многочлены

          ☐ Определить многочлен как алгебраическое выражение, содержащее один или несколько членов

          7 класс | Функции

          ☐ Напишите уравнение для представления функции из таблицы значений

          7 класс | Данные

          ☐ Выявление и сбор данных с использованием различных методов

          ☐ Предсказать исход эксперимента

          ☐ Разработайте и проведите эксперимент для проверки предсказаний

          ☐ Сравнить фактические результаты с прогнозируемыми

          ☐ Отображение данных в виде круговой диаграммы (круговая диаграмма)

          ☐ Преобразование необработанных данных в двойные гистограммы и двойные линейные диаграммы

          ☐ Вычислить диапазон для заданного набора данных

          ☐ Считывание и интерпретация данных, представленных в графическом виде (пиктограмма, гистограмма, гистограмма, линейная диаграмма, двойная линия / гистограмма или круговая диаграмма)

          7 класс | Оценка

          ☐ Оценка площади

          ☐ Обоснуйте обоснованность ответов с помощью оценки

          ☐ Оцените площади плоских форм, подсчитав количество квадратов, необходимых для покрытия формы.

          7 класс | Графики

          ☐ Нарисуйте графическое представление узора из уравнения или из таблицы данных

          7 класс | Вероятность

          ☐ Интерпретировать данные, чтобы обеспечить основу для прогнозов и установить экспериментальные вероятности

          7 класс | Статистика

          ☐ Выберите соответствующий показатель центральной тенденции

          ☐ Определение достоверности методов выборки для прогнозирования результатов

          7 класс | Деньги

          ☐ Рассчитать цену за единицу с использованием пропорций

          ☐ Сравнить цены за единицу

          ☐ Конвертируйте деньги между разными валютами с помощью таблицы обменных курсов и калькулятора

          Функции и взаимосвязи - стало проще

          Введение

          Упорядоченная пара - это набор входов и выходов, представляющий взаимосвязь между двумя значениями.Отношение - это набор входов и выходов, а функция - это отношение с одним выходом для каждого входа.

          Что такое функция?

          Некоторые отношения имеют смысл, а другие - нет. Функции - это отношения, которые имеют смысл. Все функции являются отношениями , но не все отношения являются функциями.

          Функция - это отношение, в котором для каждого входа существует только один выход.

          Вот отображение функций.Домен - это вход или x-значение , а диапазон - это выход или y-значение .

          Каждое значение x связано только с одним значением y.

          Хотя входы, равные -1 и 1, имеют одинаковый выход, это отношение по-прежнему является функцией, потому что каждый вход имеет только один выход.

          Это отображение не является функцией. Вход для -2 имеет более одного выхода.

          Графические функции

          Использование входов и выходов, перечисленных в таблицах, картах и ​​списках, позволяет легко нанести точек на координатную сетку . Используя график точек данных, вы можете определить, является ли отношение функцией, с помощью теста с вертикальной линией . Если вы можете провести вертикальную линию через график и коснуться только одной точки, отношение является функцией.

          Взгляните на график этой карты отношений. Если бы вы провели вертикальную линию через каждую точку на графике, каждая линия касалась бы только одной точки, так что это отношение является функцией.

          Специальные функции

          Специальные функции и их уравнения имеют узнаваемые характеристики.

          Постоянная функция

          $ f (x) = c $

          Значение c может быть любым числом, поэтому график постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Вот график $ f (x) = 4 $

          .

          Функция идентификации

          долл. США f (x) = x

          долл. США

          Для функции идентичности значение x совпадает с значением y. График представляет собой диагональную линию, проходящую через начало координат.

          Линейная функция

          долл. США f (x) = mx + b

          долл. США

          Уравнение, записанное в форме углового пересечения , является уравнением линейной функции , а график функции представляет собой прямую линию.

          Вот график $ f (x) = 3x + 4 $

          Функция абсолютного значения

          долл. США f (x) = | x |

          долл. США

          Функция абсолютного значения легко узнать по V-образному графику. График состоит из двух частей и представляет собой одну из кусочных функций.

          Это лишь некоторые из наиболее часто используемых специальных функций.

          Обратные функции

          Инверсная функция меняет местами входы и выходы.{-1} (x) = \ frac {x + 4} {3} $.

          Не каждая инверсия функции является функцией, поэтому для проверки используйте тест вертикальной линии.

          Функциональные операции

          Вы можете складывать, вычитать, умножать и делить функции .

          • $ f (x) + g (x) = (f + g) (x)
          • долларов США
          • $ f (x) - g (x) = (f - g) (x)
          • долларов
          • $ f (x) \ times g (x) = (f \ times g) (x)
          • долларов США
          • $ \ frac {f (x)} {g (x)} = \ frac {f} {g} (x)
          • долларов США

          Посмотрите на два примера операций функции:

          Какова сумма этих двух функций? Просто добавьте выражения.{2} + 11x + 28 \ end {align}

          долл. США

          7 класс | UCL Human Resources

          Вспомогательные индикаторы и шаги к развитию

          Вспомогательные индикаторы и шаги к развитию предоставляют примеры типичного поведения, которое поддерживает или препятствует Способы работы и идеи для развития.

          Используйте их для поддержки таких действий, как набор, аттестация и личное / профессиональное развитие. См. Дополнительную информацию ниже или загрузите документ в формате pdf.

          Личное мастерство - вспомогательные показатели

          Щелкните здесь, чтобы найти шаги по развитию.

          Поддержка, уважение и доброта к окружающим.

          Примеры поведения, которое может мешать Личное превосходство:

          Шаги к развитию:

          • Насколько вы осведомлены о том, как вы взаимодействуете с другими? Вы относитесь к людям справедливо и уважительно в различных группах людей и командах, с которыми вы работаете? Какие отзывы поддерживают эту точку зрения?

          • Как бы они вас описали? Откуда вы знаете? Как это повлияет на вашу способность работать с ними? Если обратная связь говорит о том, что вас не воспринимают как поддерживающего, найдите способы активно предлагать свою помощь коллегам.

          • Хотя вы хотите быть отзывчивым коллегой, подумайте, сколько вы тратите на решение и поддержку проблем других людей? Иногда это кажется слишком сильным?

          • Может быть полезно найти способы дать им возможность и возможности стать более самодостаточными. Используйте коучинговый подход и задавайте вопросы, чтобы помочь другим найти свои собственные решения, а не решать проблемы за них.

          Мы стремимся предоставлять оперативные и полезные услуги.

          Примеры поведения, которое может помешать Личное превосходство:

          • Слишком быстрое решение, что некоторые вещи невозможно сделать без полного учета потенциальных преимуществ.

          • Тратить время на решение отдельных проблем пользователей за счет более широкой доставки.

          Шаги к развитию:

          • Имейте согласованный, согласованный процесс проверки для обеспечения надлежащего баланса между согласованностью и оперативностью.Подойдите ближе к заинтересованным сторонам и коллегам, чтобы понять их потребности и движущие силы, чтобы лучше понять ситуации и запросы по мере их возникновения.

          • Используйте подход сбалансированной системы показателей, чтобы гарантировать, что вы предоставляете единообразные услуги различным группам, пользователям и отдельным лицам, вместо того, чтобы быть привлеченным к тем, кто может кричать громче всех.

          Умение конструктивно отвечать.

          Примеры поведения, которое может мешать Личное превосходство:

          Шаги к развитию:

          • Найдите творческие способы управления своей рабочей нагрузкой, которые все же дают вам некоторое время и пространство, чтобы уделять приоритетное внимание прислушиванию к другим, признавая их достижения и обсуждение проблем.Обратите внимание, где ваше первое желание - сказать «нет» и бросить вызов своему мышлению.

          • Подтверждение вашего решения пониманием вашего процесса принятия решений важно и демонстрирует вашу заботу о потребностях других и ваше признание их вклада, особенно если ответ отрицательный. Убедитесь, что ваше общение четко отражает ваше мышление в ответ на вопросы или предложения.

          • Сосредоточьтесь на том, как сделать позитивное общение приоритетом даже в часы пик.Телефонный звонок часто оказывается самым быстрым способом.

          Сделать передовую практику абсолютным приоритетом.

          Примеры поведения, которое может помешать Личное превосходство:

          • Неуверенность в том, как лучше всего выглядит в этом контексте

          • Переоснащение вещей сверх точки необходимости, когда бизнес-потребность должна быть завершена и перейти к чему-то новому.

          Шаги к развитию:

          • Убедитесь, что у вас есть четкое представление о передовой практике в UCL и других учреждениях и организациях.Узнайте, что делают другие, и сравните свои практики. Регулярно обсуждайте передовой опыт со своим руководителем и коллегами.

          • Убедитесь, что стандарты передовой практики вашей команды достижимы при наличии времени и ресурсов. Если нет, обсудите со своим менеджером, какие изменения можно внести, чтобы определить приоритетность передовых методов.

          Легкое переключение между задачами для разных групп и заинтересованных сторон.

          Примеры поведения, которое может мешать Личное совершенство:

          • Выбор определенных типов задач или групп для работы в зависимости от отношений или личных предпочтений

          • Выполнение множества задач для разных групп, но не обязательно все по одному стандарту.

          Шаги к развитию:

          • Укажите группы заинтересованных сторон и способы взаимодействия с ними. Дайте каждой группе баллы, чтобы отразить время, проведенное с ними, качество и глубину работы и т. Д. Уверены ли вы, что соблюдаете правильный баланс?

          • Получите отзывы от вашей группы заинтересованных сторон. Это можно сделать неформально, задавая вопросы, или, более формально, с помощью опроса об удовлетворенности. Обдумайте результаты и то, как вы могли бы отреагировать.

          Стремление к борьбе с запугиванием, преследованием и дискриминационным поведением в командах.

          Примеры поведения, которое может помешать Личное превосходство:

          • Не бороться с потенциально запугиванием, преследованием и дискриминационным поведением.

          • Рассказывать об издевательствах, домогательствах и дискриминационном поведении, но не способствовать принятию решений вопросы? Если нет - узнайте об обучении, поговорите со своим специалистом по персоналу или воспользуйтесь такими каналами UCL, как «Отчет + поддержка» и «Полная остановка».Быть подготовленным означает, что вы обнаружите проблемы на ранней стадии и сможете отреагировать соответствующим образом в данный момент.

          • Распознавать модели поведения, которые ставят в невыгодное положение определенные группы коллег, сотрудников, студентов и партнеров. Запугивание, преследование и дискриминационное поведение могут быть очень тонкими в команде и с партнерами. Достаточно ли вы настроены, чтобы заметить? Как создать среду, в которой риск такого поведения сведен к минимуму?
          Сделать инклюзивность, разнообразие и (меж) культурную осведомленность основой действий и принятия решений для себя и команды.

          Примеры поведения, которое может мешать Личное превосходство:

          • Теоретически поддерживает инклюзивность, но не полностью учитывает, как она трансформируется в действия трудовая жизнь и принятие решений.

          Шаги к развитию:

          • UCL - Лондонский глобальный университет. Наши коллеги, студенты и партнеры приезжают со всего мира.Опираясь на наши коллективные знания и опыт, мы все должны относиться друг к другу с уважением и справедливостью. Это гарантирует, что мы все сможем внести свои лучшие идеи и преуспеть в работе. Чтобы достичь этого, каждый из нас должен развивать наше понимание и приверженность (меж) культурной чувствительности и ловкости.

          • Узнайте, что означает UCL под включением. Рассмотрите ключевые области, в которых инклюзивность и (меж) культурная восприимчивость имеют прямое отношение к вашей сфере работы / команды - это повлияет на все сферы жизни сотрудников, от найма и продвижения по службе до того, как вы составляете повестку дня встреч.Потратьте некоторое время на то, чтобы узнать о стремлении UCL к вовлечению, и, если сомневаетесь, поговорите со своим специалистом по персоналу.

          • Подумайте о том, как вы и члены вашей команды понимаете вовлеченность. Обратите внимание на модели поведения, которые не соответствуют обязательствам UCL.

          • Сообщайте о любых проблемах и вносите предложения в тех случаях, когда, по вашему мнению, ваша команда может улучшить свое реагирование на проблемы, связанные с вовлечением или благополучием. Используйте каналы UCL, такие как «Report + Support» и «Full Stop», если ваши проблемы не решаются.

          Разработка стратегий устойчивости и поддержка здоровой устойчивости в более широкой команде

          Примеры поведения, которое может мешать Личное превосходство:

          • Невозможность распознавать признаки стресса и реагировать на них, несмотря на обратную связь
          • Несоблюдение политики UCL по управлению стрессом на работе

          Шаги к развитию:

          • Реакция на стресс и изменения, а также эффективные методы противодействия могут сильно различаться между людьми.Повышение осведомленности о ваших личных реакциях на стресс и подходы к сопротивлению помогут вам распознать и более эффективно реагировать, если в этом возникнет необходимость.
          • Частью личной устойчивости является распознавание ранних признаков стресса и поиск поддержки. Поощряйте такой подход для себя, своей команды или коллег. Обсудите свои стратегии со своим менеджером и ознакомьтесь с политикой UCL по управлению стрессом на работе. Используйте возможности обучения в LinkedIn или обучения устойчивости, чтобы понять, как различные методы могут повысить вашу устойчивость.

          Совместная работа - вспомогательные индикаторы

          Щелкните, чтобы найти шаги по развитию.

          Слушать других и поддерживать их с состраданием.

          Примеры поведения, которое может мешать совместной работе:

          • Незнание точки зрения или потребностей других

          • Желание предложить поддержку, но поиск решений вместо эффективного слушания

          Шаги к development:

          • UCL - это организация, которая ценит отношение к другим с состраданием - добротой, заботой и готовностью помогать другим.

          • Сострадание часто начинается с того, чтобы выслушать и оценить проблемы, с которыми сталкиваются люди. Насколько вы осведомлены о том, как вы слушаете других. Вы предлагаете им возможность открыться вам? Вы обнаруживаете, что более склонны прислушиваться к мнению одних людей или групп, а не к мнению других?

          • Когда вы слушаете, вы внимательно слушаете и задаете полезные вопросы или сразу же предлагаете решения, не осознавая проблему?

          • Посмотрите на LinkedIn Learning советы по активному слушанию.Помогите человеку работать с вами над поиском решений или поддержки, которые соответствуют его потребностям.

          Делегирование с соответствующим руководством и поощрительной инициативой.

          Примеры поведения, которое может помешать совместной работе:

          Шаги к развитию:

          • Делегирование - это возложение какой-либо ответственности на другое лицо для выполнения определенных действий. Делегирование может быть отличным инструментом для ускорения работы и поддержки развития других, но может быть неэффективным, если человек недостаточно подготовлен к этому.Как вы обеспечиваете достаточное руководство по делегированным задачам? Разным людям может потребоваться разное руководство. Можете ли вы составить письменное руководство для часто делегируемых задач?

          • Ответственность за выполнение задач нельзя делегировать, вы по-прежнему несете ответственность за то, что относится к вашей сфере. Как без микроменеджмента следить за деятельностью и обеспечивать выполнение более широких планов?

          Предоставление и получение своевременных, действенных и конструктивных отзывов.

          Примеры поведения, которое может мешать совместной работе:

          Шаги к развитию:

          • Обратная связь - ключевой инструмент для развития самосознания, когда она доставляется и принимается конструктивно. Неконструктивная или агрессивная обратная связь часто возникает неожиданно из-за разочарования в командах, где частая обратная связь не является нормой и неприемлема.

          • Помогите повысить самосознание, внося свой вклад в культуру частой обратной связи.Как обычно доставляется обратная связь в вашем районе? Это работает? Подумайте, как вы можете использовать положительные отзывы и признание, чтобы мотивировать команду. Конструктивно моделируйте поиск и получение обратной связи от других и поощряйте других делать то же самое.

          Содействие личному и профессиональному развитию.

          Примеры поведения, которое может мешать совместной работе:

          Шаги к развитию:

          • Развитие себя и своей команды является важной частью вашей работы.Без времени для размышлений и развития, заложенного в ваши планы, ваши результаты будут иметь негативное влияние. Разговоры о разработке должны быть ключевой частью ваших оценочных дискуссий и индивидуально с вашим руководителем и теми, которыми вы руководите.

          • Развитие в UCL рассматривается по модели 70:20:10, где 70% обучения происходит «на рабочем месте», 20% - через «взаимодействие с другими» и 10% - в «формальном обучении». Убедитесь, что у вас есть план развития, который охватывает все эти три области и связан с вашими планами дальнейшего развития.Посетите сайт Career Pathways на сайте UCL, чтобы узнать о карьерных принципах. Назначать цели. Запишите свои цели и найдите способы их решения с помощью обучения LinkedIn, формального обучения, наставничества и т. Д. Посетите страницы организационного развития UCL, чтобы найти идеи.

          Документирование и совместное использование решений.

          Примеры поведения, которое может мешать совместной работе:

          Шаги к развитию:

          • «Обучающаяся организация» полагается на отдельных сотрудников, которые делятся своими идеями, подходами и решениями на благо всех.

          • Если у вас есть умные решения общих проблем или информация, которая будет полезна для поддержки других в их работе, подумайте, как вы могли бы поделиться ими с другими. Это могут быть групповые встречи, обеды и уроки, общие онлайн-пространства, ссылки на полезные веб-сайты и т. Д.

          • Подумайте о том, как ваши идеи могут поддержать других, и найдите способы поделиться с ними должным образом. Это может включать наставничество или сотрудничество с другими учреждениями или внешними организациями в качестве возможности для создания сетей и обмена знаниями.

          Достижение нашей миссии - вспомогательные показатели

          Щелкните здесь, чтобы узнать о шагах по развитию.

          Использование доказательств и качественных данных для поддержки подходов.

          Примеры поведения, которое может помешать Достижению нашей миссии:

          • Зацикливаться на деталях, а не сосредотачиваться на более широких целях.

          • Отказ от подхода, основанного на фактах и ​​данных для определения лучших подходов

          Шаги к развитию:

          • Как вы можете получить представление о своей работе? Вы думаете не только о рутинной постановке задач, но и о более широких целях работы? Какие качественные данные доступны вам для подтверждения вашего мышления и принятия решений? Как это может изменить способ вашей организации и достижения отличных результатов? Уделите время тому, чтобы заставить себя думать за пределами повседневной жизни и подумать, нужен ли новый подход в ваших процессах или приоритетах.

          • Обсудите со своим руководителем, заинтересованными сторонами или коллегами, чтобы проанализировать ваши источники данных и придумать несколько свежих идей.

          Готовы опробовать новые идеи, которые могут улучшить результаты.

          Примеры поведения, которое может помешать Достижению нашей миссии:

          • Нежелание рискнуть нарушить что-то, что работает относительно гладко, несмотря на свидетельства, указывающие на потенциал для улучшения

          • Отвлечение людей от работы путем внесения изменений которые не управляются данными или чрезмерно усложняют.

          Шаги к развитию:

          • Что вам нужно, чтобы принять новые идеи? Вы готовы к изменениям или не хотите корректировать системы, которые хорошо работали в прошлом? Подумайте о том, как вы оцениваете новые идеи относительно возможностей и рисков. Какие критерии вы могли бы использовать для принятия решения? Как сработали предыдущие изменения? Как вы оцениваете успех? Поработайте над тем, чтобы получить более четкое представление о том, какие данные вам нужны, чтобы подтвердить необходимость изменения, и подумайте о том, чтобы проанализировать потенциальные изменения, спросив, упрощает ли оно и делает ли это более последовательным для пользователей.

          Четкое понимание того, как ваша работа и работа вашей команды соответствуют общим целям UCL.

          Примеры поведения, которое может помешать Достижению нашей миссии:

          Шаги к развитию:

          • UCL - крупная и динамично развивающаяся организация, основанная на долгосрочной миссии и наборе стратегических целей. Вся деятельность должна быть связана с этими центральными целями. Насколько хорошо вы можете сформулировать их и позиционировать работу, проделанную в ваших командах, как вклад в их выполнение?

          • Потратьте некоторое время на ознакомление с веб-сайтом UCL, уделяя особое внимание миссии и стратегии UCL.Поговорите с окружающими о том, как работа, выполненная в вашем районе, соотносится с этими целями и способствует их достижению. Подумайте шире о более широком ландшафте высшего образования и читайте в целом о британских и мировых разработках. Найдите хорошие источники информации, чтобы держать вас в курсе ситуации в сфере высшего образования в вашем районе.

          Предвидение проблем и корректировка подходов при необходимости

          Примеры поведения, которое может помешать Достижению нашей миссии:

          • Не менять подход или приоритеты, даже когда это необходимо.
          • Изменение приоритетов и значительное влияние на рабочий процесс.

          Шаги к развитию:

          • Планы могут меняться по мере того, как в игру вступают новые факторы, и сканирование горизонта для прогнозирования проблем может быть важным для успеха. Подумайте, как вы можете предугадывать проблемы и ключевые проблемы. Вы на шаг впереди или всегда последним, кто узнает об изменениях в проекте, команде или учреждении?
          • Подумайте о том, как вы взаимодействуете, и получите информацию о внутренних и внешних разработках в вашей области и о том, как вы могли бы использовать это.Обдумайте свою реакцию на изменения и то, как часто вы меняете направление или меняете приоритеты. Это кажется уместным? Как вы можете проанализировать и получить представление о своем подходе?

          Создание и поддержка простых и последовательных рабочих процессов

          Примеры поведения, которое может помешать Достижению нашей миссии:

          • Следование существующим процессам, несмотря на то, что они признаны слишком сложными
          • Наличие несогласованных или нечетких процессов в разместить так, чтобы пользователи запутались.

          Шаги к развитию:

          • Каков ваш подход к анализу процессов? Понимаете ли вы путь пользователя через процессы, которыми вы управляете или поддерживаете? Удовлетворены ли вы тем, что количество шагов до завершения обеспечивает максимальную эффективность? Обсудите эти проблемы со своей командой и менеджером и посмотрите, что вы можете сделать, чтобы их улучшить. Если процессы разделены на области, которыми управляют другие, стремятся собрать рабочую группу для совместной работы.
          Поиск способов успешной работы с расширенным сообществом UCL над межведомственными проектами

          Примеры поведения, которое может помешать Достижению нашей миссии:

          • Отказ от запросов о поддержке со стороны расширенного сообщества UCL.
          • Принятие дополнительных обязательств, которые противоречат основным обязательствам.

          Шаги к развитию:

          • UCL постоянно демонстрирует преимущества сотрудничества на всех уровнях и продолжает рассматривать интеграцию как ключевой элемент миссии 2034 года. Работа с другими частями сообщества UCL дает очевидные возможности стать частью этого более широкого намерения, и мы все должны искать и максимально использовать способы участия в межведомственных проектах.Работа за пределами наших обычных ролей требует навыков, терпения и практики. Это особенно верно в отношении рабочих и культурных норм наших партнеров, отличных от наших собственных.
          • Подумайте, как вы рассматриваете запросы на участие от других частей сообщества. Вы проявляете позитив или цинизм? Подумайте о способах обручения. Весьма вероятно, что участие в успешном сотрудничестве, большом или маленьком, откроет большие возможности для налаживания контактов и принесет взаимную выгоду вам и вашей команде.
          Знание того, как индивидуальные цели и обязанности будут соответствовать планам

          Примеры поведения, которое может помешать Достижению нашей миссии:

          • Сосредоточение внимания на выполнении отдельных задач без полного понимания того, как они подходят друг другу
          • информированы, поэтому им трудно понять, насколько цели совпадают.

          Шаги к развитию:

          • Разработайте план проекта, который показывает четкие этапы достижения желаемых результатов, обязанности команды и взаимозависимости.Предложите способы регулярно обсуждать прогресс в этом вопросе с вашим руководителем и / или коллегами, чтобы все понимали, как продвигается ваша работа и как она соответствует общим целям. Это может происходить путем сочетания таких мероприятий, как регулярные групповые встречи или выступления, а также обмена документами в Интернете. План следует регулярно пересматривать, чтобы гарантировать, что он по-прежнему находится на пути к достижению ключевых результатов и что все команды могут достичь своих целей. Это должно дать ранний сигнал, если есть проблемы с соблюдением сроков, и убедиться, что все в курсе прогресса.Поищите тренинги по управлению проектами или поищите советы по развитию через LinkedIn Learning.

          Преподавание абсолютного значения числа в математике

          Урок 2: Разработка концепции

          Материалы: Каталожные карточки или цифровые «карточки», которые могут быть распределены среди класса

          .

          Стандарты:

          • Под абсолютным значением рационального числа понимается его расстояние от 0 на числовой прямой. (6.NS.C.7.C)

          Подготовка: Сделайте карточки для У меня есть… у кого есть?

          Итоговая и оценочная игра

          • Попросите учащихся написать и поделиться своими определениями и примерами из реальной жизни ситуаций абсолютной ценности.
          • Играть У меня есть ... у кого есть? Составьте набор из 15 учетных карточек с уравнениями абсолютных значений и 15 учетных карточек, содержащих значения переменной. Если учетные карточки недоступны или вы адаптируете это для дистанционного обучения, создайте способ, чтобы 30 приведенных ниже уравнений были распределены среди ваших учеников как можно более равномерно.
          Карты абсолютного значения Карты переменного значения
          | x + 5 | = 20 x = 15
          | 5 - x | = 30 x = –25
          | x + 6 | = 41 x = 35
          | –27 - x | = 20 x = –47
          –7 + | x | = 0 x = –7
          | 25 - x | = 18 x = 7
          | x + –5 | = 38 x = 43
          | 37 - x | = 70 x = –33
          114 - | x | = 7 x = 107
          | - x + 100 | = 21 x = 121
          - | 1 + x | = -80 x = 79
          | x | = 81 x = –81
          | x + 3 | = 84 x = 81
          | 25 + x | = 62 x = –87
          | x - 26 | = 11 x = 37

          Каждая указанная карта абсолютного значения имеет два значения: x .Эти значения перекрываются, так что каждая карта значений переменных удовлетворяет двум из заданных уравнений абсолютного значения (первое и второе значения удовлетворяют первому уравнению, второе и третье значения удовлетворяют второму уравнению и т. Д., Пока последнее и первое значения не удовлетворяют требованиям последнее уравнение).

          Распределите карточки или уравнения поровну. Убедитесь, что все они были розданы. Выберите ученика, который скажет «У меня есть», а затем прочтите значение или уравнение на его карточке. Затем попросите учащегося сказать: «У кого есть совпадение для моей карты?» Любой ученик, у которого есть совпадение, должен сказать: «У меня есть… у кого есть…», и игра продолжается до тех пор, пока не будут прочитаны все карточки.Вы можете попросить учеников встать, когда игра начинается, и сесть, когда они предлагают ответ. Чтобы заинтересовать всех, предложите награду за успешное прохождение игры, поощряя вызовы к подозрительным ответам.

          ***

          Ищете другие бесплатные уроки математики и мероприятия для учеников средней школы? Обязательно ознакомьтесь с нашим центром бесплатных учебных ресурсов.

          Бесплатные задания по математике для 7-го класса

          Вы здесь: Главная → Рабочие листы → 7-й класс

          Это исчерпывающая коллекция бесплатных распечатываемых рабочих листов по математике для 7 класса и для предварительной алгебры, организованных по таким темам, как выражения, целые числа, одношаговые уравнения, рациональные числа, многоступенчатые уравнения, неравенства, скорость, время и расстояние, графики, наклон, соотношения, пропорции, процент, геометрия и пи.Они генерируются случайным образом, печатаются в вашем браузере и содержат ключ ответа. Рабочие листы подходят для любой математической программы для седьмого класса, но особенно хорошо подходят для математической программы IXL для 7-го класса.

          Рабочие листы генерируются случайным образом каждый раз, когда вы нажимаете на ссылки ниже. Вы также можете получить новый, другой, просто обновив страницу в своем браузере (нажмите F5).

          Вы можете распечатать их прямо из окна браузера, но сначала проверьте, как это выглядит в «Предварительном просмотре».Если рабочий лист не умещается на странице, отрегулируйте поля, верхний и нижний колонтитулы в настройках страницы вашего браузера. Другой вариант - настроить «масштаб» на 95% или 90% в предварительном просмотре печати. В некоторых браузерах и принтерах есть опция «Печатать по размеру», которая автоматически масштабирует рабочий лист по размеру области печати.

          Все рабочие листы содержат ключ ответа на 2-й странице файла.

          В седьмом классе ученики будут изучать предалгебраические темы, такие как целочисленная арифметика, упрощение выражений, свойство распределения и решение уравнений и неравенств.Они продолжают изучать соотношение и проценты и узнают о пропорциях. Обратите внимание, что эти бесплатные рабочие листы не охватывают все темы 7-го класса; в первую очередь, они не включают решение проблем.


          Введение в алгебру

          Рабочие листы в этом вводном разделе соответствуют главе 1 по математике «Мамонт 7 класс» и не содержат отрицательных чисел.

          Порядок работы

          Выражения

          Уравнения


          Целые числа

          Числовые линейные графики и простые неравенства с целыми числами

          Сложение и вычитание

          Умножение и деление


          Математика для начальных классов Эдвард Заккаро

          Хорошая книга по решению проблем с очень разнообразными текстовыми задачами и стратегиями решения проблем.Включает главы по следующим темам: последовательности, решение задач, деньги, проценты, алгебраическое мышление, отрицательные числа, логика, отношения, вероятность, измерения, дроби, деление. Вопросы в каждой главе разбиты на четыре уровня: легкий, несколько сложный, сложный и очень сложный.

          Многие операции и т. Д.


          Одношаговые уравнения


          Рациональные числа

          Преобразование десятичных знаков в дроби и наоборот

          Сложение и вычитание десятичных чисел

          Десятичное умножение и деление


          Ключ к книгам с десятичными знаками

          Это серия учебных пособий компании Key Curriculum Press, которая начинается с основных понятий и операций с десятичными знаками.Затем книги охватывают реальное использование десятичных дробей в ценообразовании, спорте, метриках, калькуляторах и науке.

          В комплекте книги 1-4.

          => Узнать больше


          Сложение и вычитание фракций

          Умножение и деление на дроби


          Ключ к рабочим тетрадям дробей

          Эти рабочие тетради от Key Curriculum Press содержат ряд упражнений, которые помогут вашему ребенку узнать о дробях.Книга 1 учит понятиям дробей, Книга 2 учит умножению и делению, Книга 3 учит сложению и вычитанию, а Книга 4 учит смешанным числам. В конце каждой книги есть практический тест.

          => Узнать больше

          Научная запись

          Сложные фракции


          Уравнения и неравенства


          Ключ к учебным пособиям по алгебре

          Key to Algebra предлагает уникальный проверенный способ познакомить студентов с алгеброй.Новые концепции объясняются простым языком, а примеры легко следовать. Задачи со словами связывают алгебру с знакомыми ситуациями, помогая учащимся понять абстрактные концепции. Учащиеся развивают понимание, интуитивно решая уравнения и неравенства, прежде чем будут представлены формальные решения. Студенты начинают изучение алгебры с книг 1–4, используя только целые числа. Книги 5-7 вводят рациональные числа и выражения. Книги 8-10 охватывают реальную систему счисления.

          => Узнать больше

          Постоянная скорость, время и расстояние


          График и наклон

          Алгебра реального мира Эдвард Заккаро

          Алгебра часто преподается абстрактно, практически без акцента на том, что такое алгебра и как ее можно использовать для решения реальных задач.Подобно тому, как английский можно переводить на другие языки, текстовые задачи можно «переводить» на математический язык алгебры и легко решать. Алгебра реального мира объясняет этот процесс в удобном для понимания формате с использованием мультфильмов и рисунков. Это упрощает самообучение как для ученика, так и для любого учителя, который никогда не понимал алгебру. Включает главы по алгебре и деньгам, алгебре и геометрии, алгебре и физике, алгебре и рычагам и многому другому. Предназначен для детей 4–9 классов с более высокими математическими способностями и интересами, но может использоваться также учениками старшего возраста и взрослыми.Содержит 22 главы с инструкциями и задачами трех уровней сложности.

          => Узнать больше


          Передаточное отношение


          Пропорции


          Процент

          Ключ к рабочим тетрадям с процентами

          Key to Percents сначала подчеркивает умственные навыки вычисления и оценки, поскольку большая часть работы с процентами выполняется без карандаша и бумаги. Затем учеников учат решать процентные задачи, используя равные дроби и десятичное умножение.Наконец, проценты используются для решения текстовых задач в различных приложениях. Ключ к процентам предполагает только знание дробных и десятичных вычислений. Книга 1 охватывает процентные концепции. Книга 2 охватывает проценты и дроби. Книга 3 охватывает проценты и десятичные дроби.

          => Узнать больше

          Геометрия

          Область - эти рабочие листы выполняются в координатной сетке.

          Объем и площадь поверхности

          Поскольку эти листы ниже содержат изображения различных размеров, сначала проверьте как выглядит рабочий лист в предварительном просмотре перед печатью.Если это не так подходит, вы можете либо распечатать его в масштабе (например, 90%), либо сделать еще один, обновляйте страницу рабочего листа (F5), пока не получите подходящую.


          Ключ к тетрадям по геометрии

          Вот простой способ подготовить студентов к формальной геометрии. Ключ к геометрии Рабочие тетради знакомят учащихся с широким спектром геометрических открытий, поскольку они делают пошаговые построения. Используя только карандаш, циркуль и линейку, учащиеся начинают с рисования линий, деления углов пополам и воспроизведения сегментов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *