Решение номера по алгебре 7 класс макарычев: Номер задания №711 — ГДЗ по Алгебре 7 класс: Макарычев Ю.Н.

Содержание

Семинар Обервольфаха по полуопределенной оптимизации

Семинар в Обервольфахе

Полуопределенная оптимизация: теория, алгоритмы и приложения

23-29 мая 2010 г.

В последние десятилетия полуопределенное программирование (SDP) оказалось очень мощным инструментом оптимизации. Его можно рассматривать как естественное расширение линейного программирования, в котором векторные переменные заменяются матрицами, ограниченными положительной полуопределенностью. Поскольку такие матрицы являются базовыми вездесущими объектами, SDP применяется в самых разных областях исследований, включая теорию графов, геометрию, комбинаторную оптимизацию, реальную алгебраическую геометрию, квантовые вычисления, алгоритмы аппроксимации и теорию сложности.

Цель этого семинара — познакомить участников с базовой теорией полуопределенного программирования, алгоритмическими аспектами и аспектами сложности, а также к ряду приложений к ряду других областей чистой и прикладной математики.

Лекции будут основаны на доступных документах: обзорах и последних работах, с особым упором на то, чтобы быть доступными для неспециалистов.

Крайний срок подачи заявок : 1 апреля 2010 г.

Семинар открыт для аспирантов и постдоков.
См. Веб-страница МФО для получения подробной информации о том, как подать заявку — нажмите на «НАУЧНАЯ ПРОГРАММА — Семинары в Обервольфахе» слева.

Обратите внимание на следующее связанное событие которую вы, возможно, захотите совместить с поездкой в Обервольфах:
Миникурс EIDMA на Алгебраическая оптимизация и полуопределенное программирование , Пабло Паррило, CWI, Амстердам, 31 мая — 4 июня 2010 г.

Санджив Арора (Принстонский университет)

Алгоритмы аппроксимации на основе SDP для сложных комбинаторных задач Мы обсудим несколько тем, касающихся использования полуопределенного программирования в теоретической информатике, в частности, для разработки алгоритмов аппроксимации для жестких комбинаторные задачи оптимизации и ссылка на гипотезу об уникальных играх.

Будут затронуты следующие темы:

Алгоритмы разреженного разреза типа ARV.
Прямо-двойственные методы быстрого решения SDP.
Алгоритмы для уникальных игр.
Связи между гипотезой уникальных игр и пробелами в целочисленности для СДП.

Слайды и ссылки:
— Метод мультипликативных весов: Метаалгоритм с приложениями к линейному и полуопределенному программированию . Слайды.
— С. Арора, С. Рао, У. Вазирани, Расширяющие потоки, геометрические вложения и графики Разделение , Связь.
— С. Арора, С. Рао, У. Вазирани, Геометрия, потоки и алгоритмы разделения графов, Связь.
— С. Арора и С. Кале, Комбинаторный, первично-дуальный подход к SDP. Связь.
— М. Чарикар, Ю. Макарычев, Ю. Макарычев, Почти оптимальные алгоритмы для уникальных игр, Связь.
— Конспект лекций Dimacs, Глава 9, Связь.

Моник Лоран (CWI, Амстердамский и Тилбургский университеты)

Основы теории SDP и приложения к комбинаторной оптимизации Мы представим основные свойства полуопределенных программ и объясним, как их можно использовать для построения иерархий программ.

выпуклые релаксации для задач линейного программирования при наличии дополнительных ограничений целочисленности 0/1 и, таким образом, для задач комбинаторной оптимизации. В частности, мы рассмотрим следующие темы:

Лекция 1: Введение в полуопределенное программирование I. Слайды.

Лекция 2: Введение в полуопределенное программирование II. Слайды.

Лекция 3: Иерархии SDP для комбинаторной оптимизации.

Некоторые соответствующие обзорные документы:
— М. Гроетшель, Л. Ловаш и А. Шрайвер, Геометрические алгоритмы и комбинаторная оптимизация, Springer, 1988.
— Д. Кнут, Теорема о сэндвиче, Electronic J. of Combinatorics, 1:1—48, 1994. Файл здесь.
— Л. Ловаш, О шенноновской емкости графа, IEEE Trans. Теория информации, IT-25:1-7, 1979.
— Л. Ловаш, Полуопределенные программы и комбинаторная оптимизация. Файл здесь.
Chapter of Recent Advances in Algorithms and Combinatorics (BR Reed and CLSales, eds.), страницы 137–194, Springer, 2003.
— М. Лоран и Ф. Рендл, Полуопределенное программирование и целочисленное программирование . Файл здесь.
Глава Справочника по дискретной оптимизации (К. Аардал, Г. Немхаузер, Р. Вейсмантель, ред.), стр. 393–514, Elsevier, 2005.

Пабло Паррило (MIT, Кембридж)

Сумма квадратов многочленов, алгебраические/геометрические аспекты выпуклости, и представимость SDP Мы обсудим методы, основанные на суммах квадратов полиномов, подчеркивая алгебраические и геометрические аспекты выпуклости, и приложений в разных доменах.

Сумма квадратов (SOS) разложение многочленов от многих переменных.

Полуопределенные релаксации на основе SOS для полуалгебраических задач.
Методы использования алгебраических (например, разреженность, симметрия) и числовая структура.
SDP представимость выпуклых множеств.

Франц Рендль (Университет Клагенфурта)

Алгоритмы решения полуопределенных программ Мы рассмотрим несколько подходов к решению полуопределенных программ.

Самый элегантный способ решения SDP основан на Метод Ньютона, примененный к слегка модифицированному версия проблемы. Это приводит к классу методы следования по основному двойному пути во внутренней точке. Кратко напомним их сходимость поведение, их практические действия и их ограничения.
Совсем недавно проекция и регуляризация методы в сочетании с классическими аугментированная лагранжева техника успешно применяется к крупномасштабным SDP.

Мы объясняем основные идеи, лежащие в основе этих подходов.
Наконец, задачи комбинаторной оптимизации часто имеют полуопределенные релаксации, которые можно уточнить полиэдральной комбинаторикой, что приводит к СДП с большое количество (линейных) ограничений неравенства. Мы покажем, как с ними можно справиться, используя комбинацию методов внутренней точки и стандартных методов от негладкой оптимизации.

Слайды и ссылки:
— Полуопределенная оптимизация — Алгоритмы — Основы. Слайды.
— Внутренние точки, расслоенные методы и частичный лагражиан. Слайды.
— Проекционные методы для решения SDP. Слайды.
— Обзорная статья: Полуопределенные релаксации для целочисленного программирования. В томе «50 лет целочисленного программирования, 1958–2008» (ред. М. Юнгер и др.), Springer, 2010. Файл.

Франк Валлентин (Технический университет Делфта и CWI, Амстердам)

Полуопределенное программирование, гармонический анализ и приложения в геометрии

В этих лекциях мы объясняем, как расширить полуопределенное программирование из конечномерных матриц к бесконечномерным операторам.

Для этого мы сначала обеспечить необходимую основу для гармонического анализа. Изучаем несколько приложений исходящие из геометрии.

Лекция 1: Число поцелуев в трех измерениях.

Соответствующие ссылки:

Новые верхние границы для чисел целования из полуопределенных программирование,

Полуопределенное программирование, многомерное ортогональное полиномы и коды в сферических колпачках,

, упаковки сфер и некоторые неожиданности Доказательства,

Лекция 2: Инструменты гармонического анализа.

Соответствующие ссылки:

Конспект лекций: Полуопределенное программирование и гармонический анализ.

Симметрия в полуопределенных программах,

Полуопределенное программирование, гармонический анализ и теория кодирования.

Лекции по гармоническому анализу.

Лекция 3: Геометрические задачи упаковки и раскраски.

Dagstuhl-Seminar 15301: Проблема удовлетворения ограничений: сложность и аппроксимация

Проблема удовлетворения ограничений , или сокращенно CSP, обеспечивает объединяющую основу, в которой можно выразить, естественным образом широкий спектр вычислительных задач, связанных с отображениями и назначениями, включая выполнимость, раскрашиваемость графов и системы уравнений. Фреймворк CSP возник 25-30 лет назад независимо друг от друга в области искусственного интеллекта, теории баз данных и теории графов, под тремя разными обличьями, и был реализован только в конце 19 века.90-х, что на самом деле это разные грани одной и той же фундаментальной проблемы. В настоящее время CSP широко используется в теоретической информатике, будучи математическим объектом с очень богатой структурой, который обеспечивает отличную лабораторию как для методов классификации, так и для алгоритмических методов, в то время как в ИИ и более прикладных областях информатики эта структура широко рассматривается как универсальный и эффективный способ моделирования и решения множества реальных проблем, таких как планирование и составление графиков, проверка программного обеспечения и понимание естественного языка, и это лишь некоторые из них.

Экземпляр CSP состоит из набора переменных, набора значений переменных и набора ограничений, ограничивающих комбинации значений, которые могут принимать определенные подмножества переменных. В таком случае возможные вопросы включают в себя (а) принятие решения о том, имеет ли место присвоение значений переменным, чтобы удовлетворялись все ограничения, или оптимизацию таких присвоений различными способами, (б) подсчет удовлетворяющих присвоений, точный или приблизительный, или (c) найти задание, удовлетворяющее как можно большему количеству ограничений. Существует много важных модификаций и расширений этой базовой структуры, например. те, которые имеют дело с оценочными или глобальными ограничениями.

Удовлетворение ограничений всегда играло центральную роль в теории вычислительной сложности; соответствующие версии CSP представляют собой классические полные задачи для большинства стандартных классов сложности. CSP составляют очень богатый и в то же время достаточно управляемый класс проблем, чтобы дать хорошую перспективу. на общие вычислительные явления. Например, они помогают понять, какие математические свойства делают вычислительную задачу разрешимой (в широком смысле, например, разрешимой за полиномиальное время или нетривиально аппроксимируемой, разрешимой с фиксированными параметрами или определимой в слабой логике). Вполне естественно, что CSP играют роль во многих громких гипотезах теории сложности, примерами которых являются гипотеза о дихотомии Федера и Варди и гипотеза об уникальных играх Хота.

Недавний всплеск активности по теме семинара подтверждается тремя предыдущими семинарами Dagstuhl под названием «Сложность ограничений» (06401) и «CSP: сложность и аппроксимируемость» (09441, 12541), которые проводились в 2006, 2009 гг. и 2012 соответственно. Этот семинар стал продолжением семинаров 2009 и 2012 годов. Действительно, обмен идеями на семинарах 2009 и 2012 годов привел к новым амбициозным исследовательским проектам и установлению регулярных каналов связи, и существует очевидный потенциал дальнейшего систематического взаимодействия, которое будет продолжать обогащать области и открывать новые исследования. направления. В семинаре 2015 года приняли участие сорок три исследователя из различных высокоразвитых областей удовлетворения ограничений, а также многие специалисты, использующие универсальные алгебраические, комбинаторные, геометрические и вероятностные методы для изучения алгоритмических задач, связанных с CSP. Участники представили в 28 докладах свои недавние результаты по ряд важных вопросов, касающихся темы семинара. Особенностью этого семинара является значительное увеличение количество докладов, затрагивающих несколько подобластей и подходов в рамках его исследовательского направления, — явный признак растущей синергии, которая является одной из основных целей этой серии семинаров.

Заключительные замечания и планы на будущее. Семинар был хорошо принят, о чем свидетельствует большое количество принятых приглашений и высокая степень вовлеченности участников. Благодаря множеству впечатляющих результатов, представленных на семинаре, и активным дискуссиям между исследователями из разных областей знаний организаторы считают этот семинар большим успехом. С неуклонным ростом взаимодействия между такими исследователями мы предвидим новый семинар, посвященный взаимодействию между различными подходами к изучению сложности и аппроксимируемости CSP. Наконец, организаторы хотели бы выразить благодарность научным руководителям Дагштульского центра за их поддержку. семинара.

Описание тем семинара

Классическая вычислительная сложность CSP. Несмотря на доказуемое существование промежуточных (скажем, между P и NP-полные, предполагающие P (NP) проблемы, исследования вычислительной сложности привели к широко известному неформальному тезису, что «естественные задачи почти всегда полны для стандартных классов сложности». CSP активно использовались для поддержки и уточнения этого тезиса. Точнее, несколько ограниченных форм CSP были тщательно исследованы. Одним из основных видов ограничений является ограничение языка ограничение, т. е. ограничение на доступные типы ограничений. Выбрав подходящий язык ограничений, можно решить многие известные вычислительные задачи из теории графов, логики и алгебры. Изучение языка ограничений ограничение основано на гипотезе CSP о дихотомии Федера и Варди, которая утверждает, что для каждого языка с фиксированными ограничениями соответствующий CSP является либо P-, либо NP-полным. Существуют аналогичные предположения о дихотомии в отношении других классов сложности (например, L и NL). Недавние прорывы в сложности CSP стали возможными благодаря внедрению универсально-алгебраический подход, который извлекает алгебраическую структуру из языка ограничений и использует ее для анализа экземпляров проблемы. Вышеупомянутые гипотезы имеют алгебраические версии, которые также в алгебраических терминах предсказывают, где проходит граница между более сложными и более легкими проблемами. Алгебраический подход был применен для доказательства гипотезы о дихотомии. во многих важных частных случаях (например, теоремы Булатова о дихотомии для трехзначных и консервативных CSP), но общая проблема остается открытой. Барто и Уиллард описали текущее состояние дел в доказательстве этой гипотезы, рассказали об основных камнях преткновения (в частности, о запутанных способах, которыми системы линейных уравнений появляются в задачах с ограничениями) и наметили пути атаки на эти проблемы. препятствия. Козик представил новый упрощенный алгоритм для CSP, решаемых методами локальной согласованности, подтверждая более раннюю гипотезу. Браун-Коэн представил новые результаты, ведущие к более тесному обмену идеями между алгебраическими и вероятностными подходами к CSP.

Valued CSP — это существенное обобщение CSP, которое включает аспекты осуществимости и оптимизации. Сложность языкового ограничения для VCSP рассматривалась в выступлениях Колмогорова, Таппера и Живного. Были получены очень сильные результаты в этом направлении, особенно полное описание разрешимых случаев по модулю CSP, которое замыкает ряд сильных и неожиданных результатов по VCSP, полученных за последние пять лет.

Сложность подсчета решений для CSP с многочисленными результатами исследовалась Голдбергом, Джеррумом и Ричерби.

Наряду с ограничением языка ограничений на CSP другим основным типом являются структурные ограничения (т. е. ограничения на непосредственное взаимодействие между переменными в экземплярах). Структурные ограничения, ведущие к уступчивости, хорошо изучены по результатам Гроэ и Маркса. Так называемая «гибридная» уступчивость в CSP, то есть уступчивость, которая не может быть отнесена только к языковому или структурному ограничению, еще не привлекла большого внимания и является одним из возможных направлений будущей работы. . Ролинек, Скарчелло и Зивны описали недавние результаты гибридной управляемости для CSP и VCSP, включая проблемы со счетом.

Приближимость CSP. Использование алгоритмов аппроксимации является одним из наиболее плодотворных подходов к решению проблемы NP-трудности. Однако сложные задачи оптимизации демонстрируют различное поведение в отношении аппроксимируемости, что делает их захватывающей и к настоящему времени хорошо разработанной, но далеко не полностью изученной областью исследований. CSP всегда играл важную роль в изучении аппроксимируемости. Например, хорошо известно, что знаменитая теорема PCP имеет эквивалентную переформулировку в терминах неприближимости некоторой CSP; более того, недавнее комбинаторное доказательство этой теоремы, проведенное Динуром в 2006 г. , полностью касается CSP. Первые оптимальные результаты неаппроксимации Хастада в 2001 году касались некоторых CSP, и они привели к изучению нового понятия твердости под названием сопротивление аппроксимации (что интуитивно означает, что проблема не может быть аппроксимирована за пределами коэффициента аппроксимации, заданного равномерным случайным выбором задания, даже в почти удовлетворительных случаях). Многие CSP были классифицированы в зависимости от того, устойчивы ли они к аппроксимации, но нет даже разумного предположения для полной классификации. Ли и Тулсиани представили новые результаты по сопротивлению аппроксимации.

Многие алгоритмы аппроксимации CSP основаны на методе суммы квадратов. Линейное программирование и полуопределенное программирование. Последние разработки в области доказательства нижних оценок для таких алгоритмов были представлены Ченом и Штёрером.

Усовершенствованные алгоритмы аппроксимации для некоторых CSP бесконечной области, связанных с корреляционной кластеризацией, были даны К. Макарычевым.

Новые приложения алгебраического подхода к исследованию аппроксимируемости CSP были даны Острином и Далмау.

Параметризованная сложность CSP. Другой способ справиться с NP-сложность обеспечивается параметризованной сложностью, которая ослабляет понятие управляемости как полиномиальной разрешимости, позволяя неполиномиальную зависимость от определенных параметров, специфичных для задачи. Если мы посмотрим на CSP с этой точки зрения, возникнет целый ряд новых интересных вопросов. К большинству вопросов дихотомии CSP можно вернуться, определив параметризованную версию; пока в этом направлении сделано очень мало работ по сравнению с исследованиями в классической сложности. Новое направление исследований (часто называемое «параметризация выше гарантированной границы») привело к неожиданным положительным результатам для Max r-SAT Алона 9.0024 и др. в 2010 году. В этом направлении основные Задача состоит в том, чтобы определить разрешимость с фиксированными параметрами задач следующего типа: если некоторая легко вычислимая оценка гарантирует выполнение не менее E ограничений, найти задание, которое удовлетворяет не менее чем E+k ограничениям. Ю. Макарычев представил последние результаты, включая вопросы аппроксимации, в этом направлении, которые касаются так называемого упорядочивающего CSP. Вальстрем и Йошида описали, как могут быть разработаны алгоритмы для этой задачи, а также для VCSP, когда оценка дается релаксацией линейного программирования.

Логика и сложность CSP. Начиная с более ранней работы Колайтиса ад Варди, концепции и методы из логики обеспечили унифицирующие объяснения многих поддающихся обработке CSP. Это привело к поиску классификаций CSP в отношении дескриптивной сложности , т. е. определимости в заданной логике. Логики, рассматриваемые в этом контексте, включают логику первого порядка и ее расширения, логику конечных переменных, язык логического программирования Datalog и его фрагменты. Казда представил свои недавние результаты по двум наиболее важным открытым проблемам дескриптивной сложности CSP, где он показал, что одна из этих проблем сводится к другой. Эти результаты также связаны с вопросами дихотомии для классов сложности L и NL.

CSP можно переформулировать как проблему определения выполнимости экзистенциальных конъюнктивных формул. Чен описал недавние результаты в этом направлении, которые также включают подсчет и параметризованную сложность. Естественное расширение этой структуры, которое также позволяет использовать универсальные квантификаторы, известно как Quantified CSP (QCSP). Новые результаты по сложности QCSP с языковыми ограничениями были представлены Мартином. Жук представил доказательства алгебраический результат, который имеет прямые сильные последствия для классификации сложности QCSP.

Бодирский и Пинскер представили последние разработки в области CSP бесконечной области, полученные с помощью сочетания теоретико-модельных и алгебраических методов.

Охремяк исследовал CSP конечной области на бесконечных экземплярах, определяемых формулами логики первого порядка.

Creative Commons BY 3.