Категории: 7 класс.

Примеры по алгебре за 7 класс: Алгебра: уроки, тесты, задания.

 Комментировать

Содержание

Алгебра: уроки, тесты, задания.

Алгебра: уроки, тесты, задания.

  1. Информация о разделе

    1. Числовые и алгебраические выражения
    2. Что такое математический язык
    3. Что такое математическая модель
    4. Линейное уравнение с одной переменной
    5. Координатная прямая
    1. Координатная плоскость
    2. Линейное уравнение с двумя переменными и его график
    3. Линейная функция y = kx + m и её график
    4. Линейная функция y = kx
    5. Взаимное расположение графиков линейных функций
    1. Основные понятия
    2. Метод подстановки
    3. Метод алгебраического сложения
    4. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными как математические модели реальных ситуаций
    1. Что такое степень с натуральным показателем
    2. Таблица основных степеней
    3. Свойства степени с натуральным показателем
    4. Умножение и деление степеней с одинаковым показателем
    5. Степень с нулевым показателем
    1. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
    2. Сложение и вычитание одночленов
    3. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень
    4. Деление одночлена на одночлен
    1. Основные понятия
    2. Сложение и вычитание многочленов
    3. Умножение многочлена на одночлен
    4. Умножение многочлена на многочлен
    5. Формулы сокращённого умножения
    6. Деление многочлена на одночлен
    1. Что такое разложение на множители
    2. Вынесение общего множителя за скобки
    3. Способ группировки
    4. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения
    5. Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов
    6. Сокращение алгебраических дробей
    7. Тождества
    1. Квадратичная функция и её график
    2. Графическое решение уравнений
    3. Что означает в математике запись у = f(x)
    1. Основные понятия
    2. Основное свойство алгебраической дроби
    3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с равными знаменателями
    4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
    5. Умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей
    6. Преобразование рациональных выражений
    7. Первые представления о решении рациональных уравнений
    1. Функция y = kx², её свойства и график
    2. Функция y = k/x, её свойства и график
    3. Как построить график функции у = f(x + l), если известен график функции у = f(x)
    4. Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)
    5. Как построить график функции y = f(x + l) + m, если известен график функции y = f(x)
    6. Функция y = ax² + bx + c, её свойства и график
    7. Графическое решение квадратных уравнений
    1. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа
    2. Функция квадратного корня, его свойства и график
    3. Рациональные числа
    4. Свойства квадратных корней
    5. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня
    1. Основные понятия
    2. Формулы корней квадратного уравнения
    3. Рациональные уравнения
    4. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций
    5. Ещё одна формула корней квадратного уравнения
    6. Теорема Виета
    7. Иррациональные уравнения
    1. Основные понятия
    2. Иррациональные числа
    3. Множество действительных чисел
    4. Модуль действительного числа
    5. Приближённые значения действительных чисел
    6. Степень с отрицательным целым показателем
    7. Стандартный вид числа
    1. Числовые промежутки
    2. Свойства числовых неравенств
    3. Решение линейных неравенств
    4. Решение квадратных неравенств
    5. Исследование функций на монотонность

  7. Международная оценка образовательных достижений учащихся (PISA)

    1. Линейные и квадратные неравенства
    2. Рациональные неравенства
    3. Множества и операции над ними
    4. Системы рациональных неравенств
    1. Основные понятия
    2. Методы решения систем уравнений
    3. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций
    1. Определение числовой функции и способы её задания
    2. Свойства функций
    3. Чётные и нечётные функции
    4. Степенная функция с натуральным показателем
    5. Степенная функция с отрицательным целым показателем
    6. Функция кубического корня
    1. Числовые последовательности
    2. Арифметическая прогрессия
    3. Геометрическая прогрессия
    1. Комбинаторные задачи
    2. Статистика — дизайн информации
    3. Простейшие вероятностные задачи
    4. Экспериментальные данные и вероятности событий
    1. Натуральные числа
    2. Рациональные числа
    3. Иррациональные числа
    1. Обратная функция
    2. Периодические функции (профильный)
    1. Числовая окружность
    2. Синус и косинус. Тангенс и котангенс
    3. Тригонометрические функции числового аргумента
    4. Тригонометрические функции углового аргумента
    5. Свойства функции y = sinx и её график
    6. Свойства функции y = cosx и её график
    7. Периодичность тригонометрических функций, чётность, нечётность
    8. График гармонического колебания (профильный)
    9. Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и график
    10. Обратные тригонометрические функции (профильный)
    1. Арккосинус и решение уравнения cos х = a
    2. Арксинус и решение уравнения sin x = a
    3. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнения tg x = a, ctg x = a
    4. Методы решения тригонометрических уравнений
    1. Синус и косинус суммы и разности аргументов
    2. Тангенс суммы и разности аргументов
    3. Формулы приведения
    4. Формулы двойного аргумента
    5. Формулы понижения степени (профильный)
    6. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение
    7. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы
    8. Преобразование выражения A sin x + B cos x к виду C sin (x + t) (профильный)
    1. Числовые последовательности и их свойства
    2. Предел числовой последовательности
    3. Cумма бесконечной геометрической прогрессии
    4. Предел функции
    5. Определение производной
    6. Вычисление производных
    7. Уравнение касательной к графику функции
    8. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
    9. Построение графиков функции
    10. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин
    1. Понятие корня n-й степени из действительного числа
    2. Функция корня n-й степени
    3. Свойства корня n-ой степени
    4. Преобразование выражений, содержащих радикалы
    5. Понятие степени с любым рациональным показателем
    6. Степенные функции, их свойства и графики
    1. Показательная функция, её свойства и график
    2. Показательные уравнения
    3. Показательные неравенства
    4. Понятие логарифма
    5. Логарифмическая функция
    6. Свойства логарифмов
    7. Логарифмические уравнения
    8. Логарифмические неравенства
    9. Переход к новому основанию
    10. Системы показательных и логарифмических уравнений
    11. Системы логарифмических и показательных неравенств
    12. Дифференцирование показательной и логарифмической функции
    1. Первообразная
    2. Интеграл
    3. Вычисление площадей с помощью интегралов
    1. Правило суммы
    2. Правило произведения
    3. Перестановки
    4. Размещения
    5. Сочетания и их свойства
    6. Бином Ньютона
    1. События
    2. Комбинации событий. Противоположные события
    3. Вероятность события
    4. Сложение вероятностей
    5. Независимые события. Умножение вероятностей
    6. Статистическая вероятность
    1. Случайные величины
    2. Центральные тенденции
    3. Меры разброса
    4. Гаусcова кривая. Закон больших чисел
    1. Равносильность уравнений
    2. Общие методы решения уравнений
    3. Решение неравенств с одной переменной
    4. Уравнения и неравенства с двумя переменными
    5. Системы уравнений
    6. Уравнения и неравенства с параметрами

  1. Коллекция интерактивных моделей

Числовые и алгебраические выражения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1. Определение суммы и разности чисел

Сложность: лёгкое

1
2. Прочитай выражение

Сложность: лёгкое

2
3. Использование свойств действий

Сложность: лёгкое

1
4. Найди значение выражения (десятичные дроби)

Сложность: лёгкое

2
5. Выполни действия (десятичные дроби)

Сложность: лёгкое

1
6. Найди значение выражения (с десятичными дробями)

Сложность: лёгкое

1
7. Выполни действия (обыкновенные дроби)

Сложность: лёгкое

1
8. Выполни действие (разные знаки)

Сложность: лёгкое

1
9. Значение числового выражения

Сложность: среднее

2
10. Вычисли рациональным способом

Сложность: среднее

2
11. Значение алгебраического выражения

Сложность: среднее

2
12. Определение допустимых значений переменных

Сложность: сложное

2
13. Имеет ли смысл выражение

Сложность: сложное

4
14. Расставить скобки в выражении

Сложность: сложное

3

тренажер с тестами по алгебре от Skills4u

7 класс — Тестирование

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Числовые и алгебраические выражения, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Значение переменной, при которой выражение не имеет смысла

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение линейных уравнений с одной переменной, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение линейных уравнений с модулем, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение задач с помощью линейных уравнений, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Степень с натуральным показателем, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Степень с нулевым показателем

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Деление степеней с одинаковыми основаниями

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Умножение степеней с одинаковыми показателями

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Деление степеней с одинаковыми показателями

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Свойства степени с натуральным показателем

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Приведение одночлена к стандартному виду, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Умножение одночленов

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Возведение одночлена в натуральную степень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Приведение одночлена к стандартному виду, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Сложение одночленов, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Вычитание одночленов, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Сложение и вычитание одночленов, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Деление одночленов, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Различные задачи по теме «одночлены»

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Приведение многочлена к стандартному виду

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Сложение многочленов, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Вычитание многочленов, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Сложение и вычитание многочленов, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Умножение многочлена на одночлен, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Деление многочлена на одночлен, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Умножение и деление многочлена на одночлен, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Умножение многочлена на многочлен, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Умножение многочлена на многочлен, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Итоговый тест по теме «многочлены».

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Разложение многочлена на множители. вынесение минуса за скобки, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Разложение многочленов на множители. вынесение общего множителя за скобку, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Разложение многочлена на множители, вынесение общего множителя за скобки. средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Разложение многочлена на множители. метод группировки, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Разложение многочлена на множители. метод группировки. средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Разложение квадратного трехчлена на множители.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Итоговый тест по теме «разложение на множители».

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, базовый уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Формулы сокращенного умножения. разность квадратов, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Формулы сокращенного умножения. квадрат суммы, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Формулы сокращенного умножения. квадрат разности, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Формулы сокращенного умножения. квадрат суммы и разности, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Формулы сокращенного умножения. куб суммы, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Формулы сокращенного умножения. куб разности, базовый уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Формулы сокращенного умножения. куб суммы и куб разности, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Формулы сокращенного умножения. сумма кубов, базовый уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Формулы сокращенного умножения. разность кубов, базовый уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Сумма и разность кубов. средний уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Итоговый тест по теме «формулы сокращенного умножения».

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Различные способы разложения на множители. базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Различные способы разложения на множители. средний уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Способы задания функции. базовый уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Способы задания функции. средний уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Область определения функции

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — График функции, базовый уровень, часть 1.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — График функции, базовый уровень, часть 2.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — График функции, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Анализ графиков функций, прикладные задачи

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Итоговый тест по теме «функции и их графики»

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — График линейной функции вида y=x+m, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — График линейной функции вида y=kx, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — График линейной функции, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Свойства линейной функции

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Определение линейной функции по её графику

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Уравнение с двумя переменными

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — График линейного уравнения с двумя переменными: ax+by+c=0

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение систем уравнений методом подстановки

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение систем линейных уравнений методом подстановки. средний уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение систем линейных уравнений методом подстановки. профильный уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение систем уравнений методом сложения, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение систем двух линейных уравнений методом сложения. средний уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение систем двух линейных уравнений методом сложения. профильный уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Системы линейных уравнений с тремя переменными.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Различные задачи, сводящиеся к решению систем линейных уравнений.

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение текстовых задач с помощью систем линейных уравнений, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение текстовых задач с помощью систем линейных уравнений. средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Решение текстовых задач с помощью систем линейных уравнений. профильный уровень

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Нахождение медианы ряда чисел

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Нахождение моды ряда чисел

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Нахождение размаха ряда чисел

Время прохождения ~5-10 мин

7 класс — Итоговый тест за 7 класс, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Формулы сокращенного умножения, повторение

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Разложение на множители, повторение

Время прохождения ~5-10 мин

9 класс — Упрощение выражений с помощью свойств n-го арифметического корня

Время прохождения ~5-10 мин

9 класс — Нахождение абсциссы вершины параболы

Время прохождения ~5-10 мин

9 класс — Определение знака коэффициента `a` для параболы `y = ax^2 + bx + c`

Время прохождения ~5-10 мин

9 класс — Влияние знака коэффициента `a` на вид параболы `y = ax^2 + bx + c`

Время прохождения ~5-10 мин

9 класс — Влияние знака коэффициента `a` на вид параболы `y = ax^2 + bx + c`

Время прохождения ~5-10 мин

ЕГЭ — Все формулы для ЕГЭ по алгебре

Время прохождения ~5-10 мин

ОГЭ — Все формулы для ОГЭ по алгебре

Время прохождения ~5-10 мин

Показать список

8 класс — Рациональные дроби, значение выражения

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Допустимое значение переменной в рациональной дроби, часть 1

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Допустимое значение переменной в рациональной дроби, часть 2

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Основное свойство дроби

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Нахождение общего множителя числителя и знаменателя дроби

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Сокращение дробей, часть 1, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Сокращение дробей, часть 2, базовый уровень

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Представление частного в виде дроби и сокращение этой дроби

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Приведение дроби к заданному знаменателю

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Сокращение дробей, средний уровень

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Сложение алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Приведение алгебраической дроби к заданному знаменателю. Часть 2.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Нахождение наименьшего общего знаменателя алгебраических дробей

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Сложение алгебраических дробей с разными знаменателями

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Умножение алгебраических дробей

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Возведение алгебраической дроби в степень

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Деление алгебраических дробей

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Преобразование дробно — рациональных выражений. базовый уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

Показать список

8 класс — Нахождение приблизительного значения арифметического квадратного корня из рационального числа.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Нахождение значения квадратного корня.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Квадратный корень из произведения и дроби. 1 уровень.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Квадратный корень из степени.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Вынесение множителя из под знака корня

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Внесение множителя под знак корня.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Решение уравнения `x^2 = a`

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Квадратный корень из х = а.2 + c = 0`.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Нахождение дискриминанта полного квадратного уравнения.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Нахождение корней полного квадратного уравнения с помощью дискриминанта.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Нахождение корней приведенного квадратного уравнения по теореме обратной теореме Виета.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Решение всех видов неполных квадратных уравнений.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Комплексное решение любых квадратных уравнений. (базовый уровень)

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Решение простейших дробно — рациональных уравнений.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Отработка навыка работы с теоремой виета и теоремой обратной теореме виета.

Время прохождения ~5-10 мин

Показать список

8 класс — Свойства числовых неравенств (базовый уровень)

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Решение линейных неравенств. (базовый уровень)

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Решение систем линейных неравенств.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Решение квадратных неравенств.

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Решение рациональных неравенст методом интервалов. (базовый уровень)

Время прохождения ~5-10 мин

Показать список

8 класс — Понятие степени с целым отрицательным показателем

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Свойства степени с целым показателем 1 уровень

Время прохождения ~5-10 мин

8 класс — Стандартный вид числа.2 + n`.

Время прохождения ~5-10 мин

Алгебра 7 класс. Тесты и Тренажеры

 

Тесты и тренажеры по алгебре

 

 

Контрольные работы по алгебре с ОТВЕТАМИ

УМК МЕРЗЛЯК: Дидактические материалы: КОНТРОЛЬНЫЕ работы (8 КР по 2 варианта)
УМК МЕРЗЛЯК: Дидактические материалы: САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ работы (210 упр. по 3 варианта)
УМК МЕРЗЛЯК (угл.): Мерзляк, Поляков (КиСР) — КОНТРОЛЬНЫЕ работы (9 КР по 2 варианта)

УМК МАКАРЫЧЕВ: Звавич. Дидактические материалы: КОНТРОЛЬНЫЕ работы (10 КР по 4 варианта)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Звавич. Дидактические материалы: САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ работы (50 СР по 2 варианта)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Глазков (КиСР) — КОНТРОЛЬНЫЕ работы (10 КР по 2 варианта)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Мартышова. Контрольно-измерительные материалы. (9 КР по 2 варианта)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Рурукин. Поурочные разработки: КОНТРОЛЬНЫЕ работы (10 КР по 6 вариантов)
УМК МАКАРЫЧЕВ (угл.): Феоктистов. Дидактические материалы: КОНТРОЛЬНЫЕ (9 КР по 4 варианта).

УМК МОРДКОВИЧ: Александрова. Контрольные работы по алгебре в 7 классе (8 КР).
УМК МОРДКОВИЧ: Алгебра 7 класс. Задачник (ч.2) 2018-2020. Решебник к новому задачнику.

УМК НИКОЛЬСКИЙ: Потапов. Дидактические материалы: КОНТРОЛЬНЫЕ работы (7 КР по 2 варианта)

УМК ДОРОФЕЕВ: Кузнецова. Контрольные работы по алгебре (11 КР по 4 варианта)

К любому УМК (базовому): Ершова. СиКР по алгебре и геометрии: ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ работа
К любому УМК (базовому): Входная контрольная в 2-х вариантах (Журавлев С.Г.)

 

Электронные версии учебников и конспекты

Конспекты по математике 5-6 классы и алгебре 7-9 классы

Онлайн-учебник: Алгебра 7 (углубленное изучение). Мерзляк, Поляков (2019)

Онлайн-учебник: Алгебра. 7 класс. В 2 частях/Мордкович М.: Мнемозина (2019).

Онлайн-учебник: Алгебра. 7 кл. / Макарычев и др. М.: Просвещение (2018).

 

Рекомендуемые материалы для очного контроля знаний
по предмету «Алгебра» в 7 классе:

Алгебра. 7 класс. Самостоятельные и контрольные работы. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Рабинович Е.М. (2017, 96с.)
Дидактические материалы. Алгебра: 7  класс. Мерзляк, Рабинович, Полонский (2019, 112с.)
Алгебра. Контрольные работы. 7 класс. Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О., Суворова С.Б. (2016, 96с.)
Алгебра в 7 классе. Тематические тесты. Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. (2014, 128с.)
Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс. Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. (2012, 127с.)
Алгебра. 7 класс. Контрольно-измерительные материалы. ФГОС — М.: ВАКО
Самостоятельные и контрольные работы по алгебре. 7 класс. Глазков Ю.А., Гаиашвили М.Я. (2015, 192с.)
Алгебра в 7 классе. Тестовые материалы для оценки качества обучения. Гусева И.Л., Пушкин С.А. и др. (2013, 104с.)
Алгебра. Тематические тесты. 7 класс. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. (2011, 96с.)
Контрольные и самостоятельные работы по алгебре. 7 класс. К учебнику Мордковича А.Г. Попов М.А. (2017, 64с.)
Дидактические материалы по алгебре к учебнику Мордковича А.Г. 7 класс,  — Попов М.А. (2014, 176с.)
Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс. Потапов М.К., Шевкин А.В. (2017, 96с.)
Дидактические материалы по алгебре для 7 класса. Зив Б.Г., Гольдич В.А. (2013, 136с.)
Контрольные и самостоятельные работы по алгебре и геометрии. 7 класс. Журавлев С.Г. и др. (2014, 224с.)

Вы смотрели «Тесты по алгебре 7 класс. Контрольные работы по алгебре 7 класс». Вернуться 

Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 7 класс

Содержание

Раздел I. АЛГЕБРА

§ 1. Определение степени с натуральным показателем ………………………….. 1

§ 2. Свойства степени с натуральным показателем …………………..……………1

§ 3. Степень с целым показателем…………………………………………………..1

§ 4. Умножение многочлена на одночлен .………………………………………….2

§ 5. Умножение многочлена на многочлен .………………………………………..2

§ 6. Формулы сокращённого умножения ………..…………………………………2

§ 7. Деление многочлена на одночлен …………………………………….……….3

§ 8. Деление многочлена на многочлен ……………………………………………3

§ 9. Разложение многочлена на множители………………………………………..3

§ 10. Алгебраические дроби ………………………………………………………..5

§ 11. Основное свойство дроби. Сокращение дроби .…………… ………………..5

§ 12. Приведение алгебраических дробей к НОЗ …………………………………5

§ 13. Сложение и вычитание алгебраических дробей ……..……………………..6

§ 14. Умножение и деление алгебраических дробей ……………………………..6

§ 15. Стандартный вид числа ………..……………………………………………..6

§ 16. Функция и её график…………………………………………………..7

§ 17. Абсолютная погрешность приближения …………………………………….8

§ 18. Относительная погрешность ………………………………………………….8

Раздел II. ГЕОМЕТРИЯ

§ 19. Точка, прямая, плоскость …….………………………………………………9

§ 20. Смежные углы ……………………………………………………………….10

§ 21. Вертикальные углы ………..………………………………….………….….11

§ 22. Признаки параллельности прямых ……………………………….…………11

§ 23. Виды треугольников …………..…………………………………………….11

§ 24. Признаки равенства треугольников…………………………………………12

§ 25. Высота, биссектриса и медиана треугольника ……………….……………12

§ 26. Свойство медианы равнобедренного треугольника .………………………12

§ 27. Сумма углов треугольника……………………………………………………………13

§ 28. Внешние углы треугольника …………………………………………………13

§ 29. Признаки равенства прямоугольного треугольника………………………13

§ 30. Свойство медианы треугольника……………………………………………14

§ 31. Соотношения между сторонами и углами треугольника …………………14

§ 32. Свойство катета, лежащего против угла 30° ………………………………14

§ 33. Окружность и её элементы …………………………………………………14

§ 34. Касательная к окружности ………………………………………………….15

§ 35. Окружность, описанная около треугольника ……………………………..15

§ 36. Окружность, вписанная в треугольник ……..……………………………..15

Соловьёв В.А.

Справочник

7 класс

Математика. Готовься к экзаменам

Справочные материалы

по курсу математики 7 класса

2010 г.

Данное пособие поможет вам, ребята, повторить

теоретические основы курса математики 7 класса.

Цель пособия: привести ваши знания в систему, устранить

пробелы в теоретических сведениях курса математики 7 класса.

Не забывай: математику нужно изучать последовательно и

с большим вниманием. Не выучив материала даже одного урока,

ты уже можешь не понять последующей темы.

Запомни простую истину: математику надо изучать

«с карандашом в руке», при необходимости делай для себя

пометки в отдельной тетради.

Буду доволен, если тебе данное пособие поможет привести

знания по математике за курс 7 класса в систему, ликвидировать

отставание, устранить пробелы в знаниях.

Если ты станешь глубже понимать математику, успешнее

учиться – значит, мой труд не пропал даром.

Твой учитель математики.

Ребята!

Отзывы и пожелания по материалам справочного пособия по курсу математики

7 класса вы можете высказать учителю математики.

Желаю Вам успехов в учёбе!!!

16

Раздел I. АЛГЕБРА

§ 1. Определение степени с натуральным показателем

Определение. Нахождение произведения нескольких одинаковых множителей называют возведением в степень.

Произведение 4 ∙ 4 обозначают 4 , а 4 ∙ 4 ∙ 4 обозначают 4. Произведение п

( п – натуральное число, большее 1) множителей, каждый из которых равен а, называют а в степени п. Записывают: , где а – основание степени; число п, которое показывает, в какую степень надо возвести, называют показателем степени.

Степенью любого числа а с показателем 1 называется само число:

Например: 1) ;

2) ; ; ;

3) ; .

§ 2. Свойства степени с натуральным показателем

Свойство 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели

степеней складываются, а основание остаётся прежним: а ∙ а= а .

Например, .

Свойство 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели

степеней вычитаются, а основание остаётся прежним: .

Например, .

Свойство 3. При возведении степени в степень показатели степеней

перемножаются, а основание остаётся прежним: .

Например, .

Свойство 4. При возведении произведения в степень в эту степень возводится

каждый множитель: (ав)

Например, .

Свойство 5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель

и знаменатель: . Например, .

§ 3. Степень с целым показателем

Если а ≠ 0 и п – натуральное число, то:

Примеры: 1) ; 2) .

1

Если а ≠ 0, то:

Например: 1) ; 2); 3) .

§ 4. Умножение многочлена на одночлен

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена умножить на одночлен и сложить полученные произведения.

Пример: (а – 3в)∙ (– 3с) = а ∙ (– 3с) – 3в∙ (– 3с) = – 3ас + 3вс.

§ 5. Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножать многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные результаты.

Пример: (2а – 3в)∙ (а + 3в) =2 а ∙ а – 3в ∙ а + 2а ∙ 3в – 3в ∙ 3в = 2а – 3ав + 6ав –

– 9в = 2а + 3ав – 9в.

§ 6. Формулы сокращённого умножения

1)

Произведение разности двух чисел на их сумму равно разности квадратов этих чисел.

2)

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

3)

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

4)

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа.

5)

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа.

6)

Произведение разности двух чисел и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих чисел.

7).

2

§ 34. Касательная к окружности

Рис. 13

Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания.

На рисунке 13 прямая а проведена через точку окружности А перпендикулярно к радиусу ОА. Прямая а является касательной к окружности. Точка А является точкой касания. Можно сказать также, что окружность касается прямой а в точке А.

§ 35. Окружность, описанная около треугольника

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

На рис. 14 окружность описана около треугольника АВС.

Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (серединных перпендикуляров).

Рис. 14

§ 36. Окружность, вписанная в треугольник

Рис. 15

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

На рис. 15 окружность вписана в треугольник АВС.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

15

2) по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

3) по катету и противолежащему углу: Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

§ 30. Свойство медианы треугольника

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Точка пересечения медиан треугольника, отсекает от медианы её, считая от соответствующей стороны.

§ 31. Соотношения между сторонами и углами треугольника

1) Против бόльшей стороны треугольника лежит бόльший угол.

2) В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

3) В треугольнике против бόльшего угла лежит бόльшая сторона.

4) Сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Следствие: Разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны.

§ 32. Свойство катета, лежащего против угла 30°

Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

§ 33. Окружность и её элементы

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром (рис. 11).

Рис. 11

Рис. 12

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. На рисунке 12 ВС – хорда, АВ – диаметр.

Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

14

Произведение суммы двух чисел и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих чисел.

§ 7. Деление многочлена на одночлен

Чтобы разделить многочлен на одночлен нужно разделить каждый член многочлена на одночлен и полученные результаты сложить.

Чтобы проверить правильность результата деления многочлена на одночлен, нужно частное умножить на одночлен.

Например,.

Деление выполнено правильно, т.к. .

При делении многочлена на одночлен каждый его член должен нацело делиться на этот одночлен. Например, многочлен ав + ас не делится на одночлен ав, т.к. одночлен ас не делится на одночлен ав. При делении многочлена на одночлен значение выражения, являющегося делителем, не должно равняться нулю.

§ 8. Деление многочлена на многочлен

Пример 1. Выполнить деление:

Пример 2. Выполнить деление:

Пример 3. Выполнить деление:

Теорема Безу: Целый корень целого многочлена с целыми коэффициентами

равен делителю свободного члена.

§ 9. Разложение многочлена на множители

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов (среди них могут быть и одночлены) называют разложением многочлена на множители. 3

1) Вынесение общего множителя за скобку

Если каждый член многочлена содержит общий множитель (числовой или буквенный), то его можно вынести за скобку.

Для того, чтобы найти многочлен, который останется в скобках, нужно каждый член данного многочлена разделить на этот множитель.

Например, разложим на множители многочлен 6ав + 3в – 12вс. Все члены данного многочлена содержат общий множитель 3в. Следовательно, 6ав + 3в – 12вс = = 3в (2а + 1 – 4с).

Члены многочлена, стоящего в скобках, получаются при делении каждого члена данного многочлена на общий множитель 3в.

2) Способ группировки

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

1) члены многочлена, имеющие одинаковые множители, объединить в группы;

2) вынести за скобку общие множители в каждой группе;

3) упростить выражение, оставшееся в скобках.

Примеры: 1) ;

2) ;

3)

.

3) Разложение на множители по формулам сокращённого умножения

I. Применение формулы разности квадратов: .

1) ;

2) ;

3) .

II. Применение формулы квадрата суммы или разности:

или.

1);

2) .

III. Применение формулы разности или суммы кубов:

; .

1) ;

2) .

IV. Применение формулы куба разности или суммы:

;

.

4

§ 27. Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°.

Задача. В треугольнике углы пропорциональны числам 2, 3, 5. Найти его углы.

Решение: Если даётся отношение, то это задача на части. Пусть 1 часть равна х°, тогда 1 = 2х°, 2 = 3х°, 3 = 5х°. 1 + 2 + 3 = 180° – свойство углов треугольника, значит 2х + 3х + 5х = 180°, 10 х = 180, х = 18° – 1 часть.

Тогда 1 = 2х = 2 ∙ 18 = 36°, 2 = 3х = = 3 ∙ 18 = 54°, 3 = 5х = 5 ∙ 18 = 90°.

Ответ: 36°, 54°, 90°.

§ 28. Внешние углы треугольника

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 8).

Чтобы не путать угол треугольника при данной вершине с внешним углом при этой же вершине, его иногда называют внутренним углом.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных.

§ 29. Признаки равенства прямоугольного треугольника

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180° – 90° = 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами (рис. 9).

Рис. 9 Рис. 10

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1) по гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 10).

13

Треугольник, у которого один угол прямой, называется прямоугольным.

Треугольник, у которого все углы острые называются остроугольным.

Треугольник, у которого один угол тупой называется тупоугольным.

§ 24. Признаки равенства треугольников

1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3) Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

§ 25. Высота, биссектриса и медиана треугольника

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к противолежащей стороне треугольника.

На рисунке 7 вы видите два треугольника, у которых проведены высоты из вершин В и В. На рисунке 7,а основание высоты лежит на стороне треугольника, на рисунке 7,б – на продолжении стороны треугольника.

Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 7, в).

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 7, г).

а) б) в) г)

Рис. 7

§ 26. Свойство медианы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

12

1) ;

2) ;

3).

§ 10. Алгебраические дроби

Если в рациональном выражении отсутствует деление на буквенное выражение, то оно является целым, если имеется деление на буквенное выражение, то является дробным.

Таким образом, выражения вида ,,,, и т. д. называют алгебраическими дробями.

§ 11. Основное свойство дроби. Сокращение дроби

Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, при этом получим дробь, равную данной.

Это правило выражает два основных свойства алгебраической дроби. Это свойство дроби используется при сокращении числителя и знаменателя дроби на общий множитель.

Пример 1. , мы сократили дробь на 9 – наибольший общий множитель её числителя и знаменателя.

Пример 2. Разделив числитель и знаменатель дроби на 5тп – их наибольший общий множитель, находим, что

Пример 3. Сократим дробь .

Следовательно, чтобы сократить дробь, надо разделить её числитель и знаменатель на наибольший их общий множитель.

§ 12. Приведение алгебраических дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы привести алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю надо:

1) разложить знаменатели дробей на множители;

2) найти наименьший общий знаменатель дробей;

3) найти дополнительный множитель для каждой дроби;

4) умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель;

4) записать найденный числитель и общий знаменатель каждой дроби.

5

§ 13. Сложение и вычитание алгебраических дробей

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями складывают (вычитают друг из друга) их числители и оставляют прежними их знаменатели.

Пример 1. .

Пример 2. .

При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями приводят их к общему знаменателю и складывают (вычитают) так же как дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример 3. Вычтем дроби:

=.

Пример 4. Упростим выражение: =

=.

§ 14. Умножение и деление алгебраических дробей

Умножение и деление алгебраических дробей выполняются по правилам умножения и деления обыкновенных дробей: , .

Чтобы возвести дробь в степень, используется формула: .

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3.

=.

§ 15. Стандартный вид числа

6

§ 21. Вертикальные углы

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Вертикальные углы равны.

Задача. Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите эти углы.

Решение. Два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные. Данные углы не могут быть смежными, так как их сумма равна 50°, а сумма смежных углов равна 180°. Значит, они вертикальные. Так как вертикальные углы равны и по условию их сумма 50°, то каждый из углов равен 25°.

Ответ: 25°.

§ 22. Признаки параллельности прямых

Прямая, пересекающая две прямые, называется секущей по отношению к этим прямым.

На рис. 6(а) прямая с является секущей прямых а и в.

Секущая образует с прямыми различные углы, которые имеют специальные названия.

а) б)

Рис.6

На рис. 6 (б) 1 и 2, а также 3 и 4 называются односторонними углами.

1 и 4, а также 2 и 3, называются накрест лежащими углами.

1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, а также 4 и 8, называются соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

1) Если при пересечении двух прямых секущей образуются равные накрест лежащие углы, то прямые параллельны.

2) Если при пересечении двух прямых секущей образуются равные соответственные углы, то прямые параллельны.

3) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

§ 23. Виды треугольников

Если две стороны треугольника равны между собой, то треугольник называется равнобедренным. Треугольник, у которого все стороны равны между собой, называется равносторонним или правильным. Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

11

На рис. 4 изображены прямая а и точки А, В, С, D, Е, F, К, причём точки А, В, К лежат на прямой а, точки же С, D, Е, F не лежат на этой прямой а. В этом случае также говорят:

1) точки А, В и К принадлежат прямой а, точки С, D, Е, F не принадлежат прямой а;

2) прямая проходит через точки А, К и В, но не проходит через точки С, D, Е, F;

3) прямая а проведена через точки А и В;

4) точки А и В – точки прямой а, точки С, D, Е, F не являются точками прямой а.

Рис. 4

Если точка А лежит на прямой а, то пишут: Аа. В этой записи символом обозначено отношение принадлежности. Если же точка Е не принадлежит прямой а, то пользуются такой записью: Е а.

Основное свойство взаимного расположения точек и прямых:

Через любые две точки можно провести только одну прямую.

Две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекаться.

Если прямые а и в пересекаются в точке М, то пишут: а в = М.

Читают: «прямые а и в пересекаются в точке М», «М – точка пересечения прямых а и в».

Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

Пишут: ав. Читают: «прямая а перпендикулярна прямой в».

Две прямые, не имеющие общих точек, называются параллельными.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

§ 20. Смежные углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Рис.5

Если угол АОВ развёрнутый (рис. 5) и луч ОС делит его на два угла АОС и ВОС, то эти углы смежные.

Угол называется прямым, если он равен смежному углу. Угол называется острым, если он меньше прямого угла и тупым, если он больше прямого угла.

Сумма смежных углов равна 180°. Прямой угол равен 90°, острый угол меньше 90°, а тупой угол больше 90°. Угол смежный с острым углом будет тупым, а угол смежный с тупым – острым.

Задача. Один из смежных углов в 2 раза больше другого. Найти углы.

Решение: Пусть2 = х, тогда 1 = 2х. Сумма смежных углов равна 180°, значит 1 +2 = 180°, 2х + х = 180, 3х = 180, х = 60°, 2х = 120°.

Ответ: 120° и 60°.

10

Большие и малые числа принято записывать в компактном стандартном виде. При этом число представляют в виде где , п – порядок числа. Например, числа ; ; имеют порядок соответственно 2; –3; 0.

Прежде, чем записывать числа в стандартном виде, введём понятие «значащие цифры» числа. Значащей цифрой числа называют все его цифры, кроме нулей, стоящих перед остальными цифрами этого числа.

Число Значащие цифры числа

0,0065 6 и 5

0,504 5; 0 и 4

21,40 2; 1; 4.

Рассмотрим примеры записи числа в стандартном виде.

Пример 1. Запишем число 1 045 000 000 000 в стандартном виде, для этого в числе поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна значащая цифра. Тогда получим 1,045. Отделив запятой 12 цифр справа, мы уменьшим число в 12 раз. Поэтому 1 045 000 000 000 = 1,045 ∙ .

Пример 2. Запишем в стандартном виде диаметр молекулы d = 0,0000000003 м. Переставим в числе d запятую так, чтобы в целой части оказалась одна значащая цифра. Переставив запятую на10 знаков вправо, мы увеличим число в раз. Поэтому число

d меньше числа 3 в раз. Отсюда: d = 0,0000000003 = 3 ∙ (м).

§ 16. Функция и её график

Функция, выраженная формулой у = kx называется линейной.

Она указывает на прямо пропорциональную зависимость между переменными х и у. Графиком прямо пропорциональной зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат.

Функция, которую можно задавать формулой вида, где х – независимая переменная, k – число, не равное нулю; называют обратной пропорциональностью. Областью определения этой функции являются все, отличные от нуля, числа.

Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

Рис. 1

Рис. 2

7

Теперь рассмотрим свойства этой функции:

1) Область определения функции – промежуток (– ∞; 0) (0; + ∞).

2) Значения функции также лежат в промежутке (– ∞; 0) (0; + ∞).

3) При k > 0 функция является убывающей, график её расположен в I и III четвертях (рис. 1), а при k < 0 функция является возрастающей, график её расположен во II и IV четвертях (рис. 2).

4) График функции располагается симметрично относительно начала координат.

§ 17. Абсолютная погрешность приближения

При решении практических задач приходится иметь дело с приближёнными значениями различных величин.

Во многих случаях, кроме счёта предметов незначительного количества, фиксированной стоимости или заработной платы, берут приближённые значения величин. Например, число деревьев в лесу, значения различных величин, полученные измерением с помощью приборов. При округлении значений таких величин как масса, длина, температура, время и других берут их приближённые значения:

Модуль разности точного и приближённого значений величины называют абсолютной погрешностью приближения.

Если обозначим точное значение величины через х, приближённое значение через а и абсолютную погрешность через ∆ (дельта), то ∆ = |х – а|.

Пример 1. При измерении с помощью транспортира сумма углов четырёхугольника оказалась равной 357°. Чему равна абсолютная погрешность приближения, если известно, что сумма углов четырёхугольника равна 360°?

∆ = |х – а| = |360° – 357° | = |3°| = 3°.

Пример 2. Чему равна абсолютная погрешность приближения, если при вычислении дробь заменили десятичной дробью 0,42?

∆ = |х – а| = | – 0,42 | = | –| = | | =| | = .

§ 18. Относительная погрешность

Качество измерения определяется не только нахождением его абсолютной погрешности. Например, при измерении толщины стекла (d) и длины книжной полки (l) получены следующие результаты:

d = (0,4 ± 0,1) см; l = (100,0 ± 0,1) см.

В обоих случаях результаты получены с точностью до 0,1 см. Число 0,1 является значительной частью числа 0,4, но составляет незначительную часть числа 100. Это показывает, что качество второго измерения по сравнению с качеством первого намного выше, для оценки качества измерения используют не только абсолютную погрешность, но и относительную погрешность.

8

Отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения называют относительной погрешностью этого приближённого значения.

В записи х = а ± h число а является приближённым значением величины и h верхней границей абсолютной погрешности (|х – а| ≤ h).

Относительная погрешность преимущественно выражается в процентах. Обозначим относительную погрешность буквой ε. Тогда ε =% =.

Теперь определим относительную погрешность измерения толщины стекла и длины книжной полки, рассмотренных выше.

Относительная погрешность, допущенная при измерении толщины стекла, составляет ε =∙100 % =0,25∙100 % = 25 %.

Относительная погрешность, допущенная при измерении длины полки, равна

ε =∙100 % =0,001∙100 % = 0,1 %.

Большую относительную погрешность, допущенную в первом случае, нужно понимать следующим образом: при измерении толщины стекла не использован соответствующий для подобных измерений прибор.

Раздел II. ГЕОМЕТРИЯ

§ 19. Точка, прямая, плоскость

В планиметрии (геометрии на плоскости) основными понятиями являются понятия точки, прямой и их взаимного расположения.

След, оставляемый остриём карандаша или ручки при прикосновении к листу бумаги является изображением точки. Представление о прямой можно получить рассматривая натянутую нить или луч света, выходящий из очень малого отверстия. След, оставляемый на листе бумаги остриём карандаша или ручки при перемещении вдоль линейки любых размеров является изображением прямой. Таким перемещением мы получим только часть прямой, прямая бесконечна.

Точки обозначают большими буквами латинского алфавита А, В, С,…, прямые – малыми буквами а, в, с или двумя заглавными: АВ, ВС, МК.

Представление о плоскости даёт нам поверхность оконного стекла, поверхность тихого озера, поверхность книги. В этих примерах плоскость предстаёт как ограниченная поверхность, однако плоскость следует представлять простирающейся в бесконечность по всем на ней направлениям. На рисунке же плоскость изображают параллелограммом или в виде некоторых замкнутых линий (рис. 3). Плоскость обозначают греческими буквами α, β, γ.

Рис. 3 9

Алгебра. Опорные конспекты по алгебре на сайте Учитель PRO

Конспекты по предмету «Алгебра»

Изучение Алгебры шаг за шагом. Онлайн-учебник.

Кодификатор ОГЭ   ТЕСТЫ по АЛГЕБРЕ   Справочник для ОГЭ

Глава 1. Математика до алгебры

Математика 5 и 6 классов
Дорофеев 5 кл. Контрольные с ответами

Глава 2. Алгебра 7 класс

(остальные материалы готовятся к публикации)

Макарычев 7 кл. Контрольные с ответами

Глава 3. Алгебра 8 класс

(остальные материалы готовятся к публикации)

Макарычев 8 кл. Контрольные с ответами   Макарычев 8 кл. Поурочные планы

Глава 4. Алгебра 9 класс

(остальные материалы готовятся к публикации)

Макарычев 9 кл. Контрольные с ответами

Глава 5. Материалы для подготовки к ОГЭ

  • Задание 1 ОГЭ по математике
  • Задание 2 ОГЭ по математике

Глава 6. Алгоритмы решения задач по алгебре

Материалы для УМК Мерзляк

Электронные формы учебников для 6-9 классов (ссылки):

 

Алгебра (от араб. الْجَبْر‎, «аль-джабр» — восполнение) — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебpа» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Алгeбра как раздел математики традиционно включает следующие категории: Элементарная, Общая, Универсальная, Линейная (включая матрицы) и Алгебраическая комбинаторика.

Элементарная алгебpа, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгeбpа содержит правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием aлгебра.

Кодификатор ОГЭ   ТЕСТЫ по АЛГЕБРЕ   Подобрать репетитора

Учебные пособия для подготовки к ОГЭ

Источники идей и цитат для конспектов по Алгебре:
  1. Макарычев Ю.Н. Учебники по Алгебре для 7, 8, 9 классов. — М.: Мнемозина.
  2. Лахова Н.В. Алгебрa за 7 занятий. 7 класс: учебное пособие — М.: Просвещение, 2016.
  3. Томилина М.Е. Справочник по математике. 5-9 классы — СПб.: Издательский дом «Литера».
  4. ОГЭ. Математика : универсальный справочник / И.В. Третьяк. — М.: Эксмо, 2016
  5. Мерзляк А.Г. Учебники по Алгебре для 7, 8, 9 классов. — М.: Вентана-Граф.
  6. ОГЭ. Математика. Справочник с комментариями ведущих экспертов / Л.В. Кузнецова — М.: Просвещение.

(с) Цитаты из вышеуказанных учебных пособий использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). 

рабочих примеров, алгебра и предалгебра для детей

Веселые игры для практики алгебры

Алгебра — это весело. Эти игры помогут детям увлекательно заниматься алгеброй. Дети очень хорошо относятся к играм. Некоторые темы алгебры рассматриваются в форме интерактивных игр и включают следующие:

  • Игры для отработки линейных уравнений, неравенств, десятичных чисел, дробей, показателей, построения графиков линейных уравнений, биномиальной теоремы, теоремы Пифагора, квадратных уравнений, алгебраических выражений, факторизации, соотношений, геометрии, целых чисел, операций порядка, углов, простых уравнений, наклона , арифметическая прогрессия, LCM и HCF, коэффициенты и др.

Среди прочих игр: игры на запоминание, Прогулка по доске, Fling the Teacher, En Garde Duel, Basketball Game, Penalty Shoot и многое другое — для первого, второго, третьего, четвертого, пятого, шестого и восьми классов. оценка — Алгебра — это весело.

Рабочие листы и печатные формы по алгебре

Эти рабочие листы представляют собой упражнения в формате PDF высочайшего качества для печати. Письмо укрепляет изученную математику. Эти рабочие листы содержат упражнения по предварительной алгебре и алгебре, подходящие для дошкольных учреждений, детских садов, от первого до восьмиклассников уровней. Среди прочего рассматриваются следующие темы алгебры:

  • линейные уравнения, неравенства, десятичные дроби, дроби, показатели степени, построение графиков линейных уравнений, биномиальная теорема, теорема Пифагора, квадратные уравнения, алгебраические выражения, факторизация, отношения, геометрия, целые числа, операции порядка, углы, простые уравнения, наклон, арифметическая прогрессия , LCM и HCF, коэффициенты, квадратные уравнения, квадратные корни и др. —

Рабочие примеры и формулы алгебры

В этом разделе собраны проработанные примеры задач и жизненно важные формулы алгебры, которые необходимы на протяжении всей темы.Очень важно научиться пользоваться этими формулами, хотя иногда юным ученикам необходимо представлять их в наиболее упрощенной форме. Этот раздел представляет собой пошаговую презентацию того, как использовать формулы алгебры во всех темах, затронутых на этом сайте, включая формулы для — линейных уравнений, неравенств, десятичных дробей, дробей, показателей степени, построения графиков линейных уравнений, теоремы бинома, теоремы Пифагора , квадратные уравнения, алгебраические выражения, факторизация, отношения, геометрия, целые числа, порядковые операции, углы, простые уравнения, наклон, арифметическая прогрессия, LCM и HCF, коэффициенты, квадратные уравнения, квадратные корни и многое другое —

Тесты по алгебре и онлайн-тесты

онлайн-викторин по алгебре — линейных уравнений, неравенств, десятичных знаков, дробей, показателей, построения графиков линейных уравнений, биномиальной теоремы, теоремы Пифагора, квадратных уравнений, алгебраических выражений, факторизации, соотношений, геометрии, целых чисел, операций порядка, углов, простых уравнений, наклона , арифметическая прогрессия, LCM и HCF, коэффициенты, квадратные уравнения, квадратные корни и многое другое —

Эти викторины варьируются от викторин по алгебре с несколькими вариантами ответов, викторин по заполнению пробелов, упражнений на сопоставление, викторин с графикой. и многого другого для интерактивной практики алгебры и предварительной алгебры.- для первого, второго, третьего, четвертого, пятого, шестого и восьмого классов.

Веб-сайт Общее содержание:

Этот сайт посвящен следующему: упражнения по алгебре для детей, алгебра и предалгебра для детей, дети, занятия по алгебре для детей онлайн, игры по алгебре для детей, элементарная алгебра, алгебра для первого класса, игры по алгебре, рабочие листы, печатные издания, упражнения, бесплатные онлайн-упражнения, бесплатные загрузки по алгебре, PDF-файл для печати, линейных уравнений, неравенства, десятичные дроби, дроби, показатели, построение графиков линейных уравнений, биномиальная теорема, теорема Пифагора, квадратные уравнения, алгебраические выражения, факторизация, отношения, геометрия, целые числа, порядок операции, углы, простые уравнения, наклон, арифметическая прогрессия, LCM и HCF, коэффициенты, квадратные уравнения, квадратные корни и многое другое —


Продукты по математике: электронные книги по математике, книги по математике, компакт-диск с математическими играми Только по математике для детей.

Основы алгебры: Учебное пособие по алгебраическим выражениям

Алгебраические выражения

Давайте приступим к делу. Выражение состоит из терминов. Термины — это отдельные значения в выражении. Каждый член может быть переменной, числом и переменной, числом и множеством переменных с показателями или без них, пока все умножается вместе в один крупный математический самородок. Вот некоторые из наших любимых терминов:

7
7 x
7 x 2 y
x 6 y 11 z 2

Все это имеет значение как единый термин.

Число рядом с переменной означает, что число и переменная умножаются. То же самое верно и для двух переменных рядом друг с другом: это означает, что они умножаются. Поскольку ×, который мы использовали для умножения в прошлом, очень похож на переменную x , мы вообще откажемся от использования символа для умножения. Некоторые называют это ленивым; мы называем это эффективным.

Некоторые термины являются только числами. Они называются константами или числами, которые не меняются. Другие имеют переменных (буквы, которые представляют неизвестное или изменяющееся число), а некоторые имеют переменные и числа, смешанные вместе, и в этом случае числа называются коэффициентами .

Иногда кажется, что в членах, таких как последний из приведенных выше, отсутствует коэффициент. Вот в чем дело: у них действительно коэффициент 1. Просто лень показываться. Поскольку 1 умножить на что угодно — это просто что угодно, мы обычно не пишем 1 как коэффициент, но он всегда присутствует.

Пример: x — это то же самое, что 1 x , а x 3 y 2 m — то же самое, что 1 x 3 y 2 м .

Переменная : неизвестный или изменяющийся номер. Часто представлен в формате x .
Константа : число, которое не меняется.
Коэффициент : число, умноженное на переменную.

Нам нравятся термины, и нам особенно нравится , как терминов. Сходные термины — это термины с одинаковыми переменными, включая показатели степени, которые соответствуют этим переменным. Переменные могут быть в разном порядке и иметь разные коэффициенты, но все они должны присутствовать.

Примеры:
3 xy и -5 xy — это -подобные термины (те же переменные).
3 xy и -5 xym не являются терминами, подобными (второй член имеет переменную, которой нет у первого).

-2 m 2 xh и 4 m 2 hx — это -подобные термины (те же переменные и показатели, только в другом порядке).
-2 m 3 xh и 4 m 2 xh не являются -подобными терминами (переменная m имеет разные показатели в каждом члене).

Если имеется более одного термина, разделенного знаками плюс или минус, то у нас есть выражение . Например:

5 x 2 y — 3 xy + y + 5

Это выражение состоит из четырех членов: 5 x 2 y , -3 xy , y (или 1 y ) и 5.

Имена для алгебраических выражений

мономиальные 1 член xy
биномиал 235 9023 xy 235 — 2 x
трехчленный 3 члена xy — 2 x + 3 y
четырехчленный 4 члена xy — 2 y — 1

Вот таблица распространенных фраз.

Общие слова и фразы для:
Добавить Вычесть Умножить Разделить Равно
плюс
добавить
сумма
более
в дополнение к
более
всего
и		 разница
вычесть
менее
забрать		 товар
из
раз
дважды (× 2)
коэффициент		 деленный на
частное
сплит
акция
распространять		 равно

В этих переводах мы будем использовать букву x для представления переменной, хотя подойдет любая буква, символ или смайлик.Смайлики и сердечки, кто-нибудь?

+ 634
Выражение в словах Выражение в символах
число, увеличенное на двенадцать x + 12
сумма двойного числа и шести
восемьдесят меньше, чем число x -80
двадцать восемь разделить пополам 28 ÷ 2
произведение числа на семь 7 x
частное числа и четырех x ÷ 4
пять больше, чем три числа 3 x + 5
число, равномерно распределенное между шестью x ÷ 6
всего сорок и число 40 + x
три раза больше всего числа и пяти 3 ( x + 5)
Уравнение в словах Уравнение в символах
Число отрицательное десять. x = -10
Число плюс два равно восьми. x + 2 = 8
Разница между числом и семеркой отрицательная тройка. x — 7 = -3
Одно меньшее двойное число — семнадцать. 2 x — 1 = 17
Двенадцать — это произведение числа и трех. 12 = 3 x
Половина числа равна двадцати. ½ x = 20
Число равно сумме удвоенного числа и отрицательной тройки. x = 2 x + (-3)

Осторожно: будьте очень осторожны с «меньше чем». Три меньше числа переводится как « x — 3». Обратное этому, «3 — x » будет числом меньше 3.

Алгебра — приложения линейных уравнений

Онлайн-заметки Павла

Ноты Быстрая навигация Скачать

  • Перейти к
  • Ноты
  • Проблемы с практикой
  • Проблемы с назначением
  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Секции
  • Линейные уравнения
  • Уравнения с более чем одной переменной
  • Разделы
  • Предварительные испытания
  • Графики и функции
  • Классы
  • Алгебра
  • Исчисление I
  • Исчисление II
  • Исчисление III
  • Дифференциальные уравнения
  • Дополнительно
  • Алгебра и триггерный обзор
  • Распространенные математические ошибки
  • Праймер для комплексных чисел
  • Как изучать математику
  • Шпаргалки и таблицы
  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои студенты
  • Заметки Загрузки
  • Полная книга
  • Текущая Глава
  • Текущий раздел
  • Practice Problems Загрузок
  • Полная книга — Только проблемы
  • Полная книга — Решения
  • Текущая глава — Только проблемы

Упрощающие радикалы — Полный курс алгебры

27

Простейшая форма

Аналогичные радикалы

2-й уровень

Упрощение квадратных корней из степеней

Дробное подкоренное выражение

МЫ ГОВОРИМ, ЧТО КВАДРАТНЫЙ КОРНЕВОЙ РАДИКАЛ упрощен или в его простейшей форме, когда подкоренное выражение не имеет квадратных множителей.

Радикал также находится в простейшей форме, когда подкоренное выражение не является дробью.

В примере 1. 33, например, нет квадратных множителей. Его множители равны 3 · 11, ни одно из которых не является квадратным числом. Поэтому находится в простейшем виде.

Пример 2. Извлечение квадратного корня. 18 имеет квадратный фактор 9.

18 = 9 · 2.

Следовательно, не в простейшем виде.Имеем,

=

Теперь мы можем извлечь квадратный корень из 9:

.

= = 3.

теперь упрощен. Подкоренное выражение больше не имеет квадратных множителей.

Основанием для извлечения квадратного корня из 9 является следующая теорема:

Квадратный корень из произведения
равен произведению квадратных корней
каждого множителя.

Мы докажем это, когда перейдем к рациональным показателям, Урок 29. Вот простая иллюстрация:

Что касается, тогда оно равно квадратному корню из 9, умноженному на квадратный корень из 2, что является иррациональным. 3.

Пример 3 Упростить.

Решение . = = 5.

75 имеет квадратный множитель 25. И квадратный корень (25 умноженный на 3)
равен квадратному корню 25 умноженному на квадратный корень из 3.

теперь упрощен.

Пример 4. Упростить.

Решение . Мы должны разложить 42 на множители и посмотреть, есть ли у него квадратные множители. Мы можем начать факторинг любым способом. Например,

42 = 6 · 7

Мы можем продолжать множить 6 как 2 · 3, но мы не можем продолжать множить 7, потому что 7 — простое число. Следовательно,

42 = 2 · 3 · 7

Теперь мы видим, что 42 не имеет квадратных множителей, потому что множители не повторяются.Сравните пример 1 и задачу 2 предыдущего урока.

Таким образом,

имеет простейшую форму.

2 · 3 · 7 — разложение на простые множители 42.

2, 3 и 7 — простые числа.

Пример 5. Упростить.

Решение. Мы должны искать квадратные множители, которые будут множителями, которые будут повторяться.

180 = 2 · 90 = 2 · 2 · 45 = 2 · 2 · 9 · 5 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5

Следовательно,

= 2 · 3 = 6.

Проблема 1. Почему мы ищем квадратные множители, чтобы упростить радикал?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Чтобы извлечь квадратный корень из корня.

Проблема 2. Что правильно?

Проблема 3.Упростите следующее. Сделайте это, проверив каждое подкоренное выражение на квадратный коэффициент: 4, 9, 16, 25 и т. Д.

а) =

б) = = = 5

в) = = = 3

г) = = 7

е) = = 4

е) = = 10

г) = = 5

ч) = = 4

Проблема 4.Снизьте до самых низких сроков.

а)
2		 =
2		 =
2		 =
б)
3		 =
3		 =
3		 = 2
в)
2		 = Радикал в своей простейшей форме.Дробь не может быть уменьшена.

Аналогичные радикалы

Подобные радикалы имеют одинаковое подкоренное выражение. Мы добавляем их как похожие термины.

2 и 6 похожи, как 5 и -. Мы объединяем их, складывая их коэффициенты.

На практике нет необходимости изменять порядок терминов. Студент должен просто увидеть , радикалы которых имеют такое же подкоренное выражение.

Что касается 7, то она ни к какому радикалу не «принадлежит».

Задача 5. Упростите каждый радикал, затем добавьте аналогичные радикалы.

а) + = 3 + 2 = 5

Проблема 6. Упростите следующее.

а)
2		 =
2		 = 2 -,
о делении каждого члена в числителе на 2.

Сравните Пример 4 здесь.

Чтобы увидеть, что 2 была множителем радикала, сначала нужно упростить радикальный. Сравните с задачей 4.

б)
5		 =
5		 = 2 +
в)
6		 =
6		 =
3		 о делении каждого члена на 2.

2-й уровень

Первый урок радикалов

Следующий урок: радикалы умножения и деления

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Авторские права © 2020 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]


Примеры линейной алгебры

Примеры

Теперь мы готовы увидеть, как матричная алгебра может быть полезна при анализе данных.Мы начнем с нескольких простых примеров и в конце концов перейдем к основному: как писать линейные модели с обозначениями матричной алгебры и решать задачу наименьших квадратов.

Среднее

Для вычисления выборочного среднего и дисперсии наших данных мы используем эти формулы и. Мы можем представить их с помощью матричного умножения. Сначала определите эту матрицу, состоящую из единиц:

Это означает, что:

Обратите внимание, что мы умножаем на скаляр. В R мы умножаем матрицу на % *% :

 Библиотека  (UsingR)
y <- отец.сын $ рост
печать (означает (у))
  
  N <- длина (y)
Y <- матрица (y, N, 1)
A <- матрица (1, N, 1)
barY = t (A)% *% Да / Нет

печать (barY)
Разница

Как мы увидим позже, умножение транспонированной матрицы на другую очень часто встречается в статистике. На самом деле это настолько распространено, что в R:

есть функция
  barY = crossprod (A, Y) / N
печать (barY)

Для дисперсии отметим, что если:

В R, если вы отправляете только одну матрицу в crossprod , он вычисляет: поэтому мы можем просто ввести:

  г <- у - barY
crossprod (r) / N

Что почти эквивалентно:

 Библиотека  (рафалиб)
попвар (у)
Линейные модели

Теперь мы готовы использовать все это.Начнем с примера Гальтона. Если мы определим эти матрицы:

Тогда мы можем написать модель:

как:

или просто:

, что намного проще.

Уравнение наименьших квадратов также упрощается, поскольку оно представляет собой следующее перекрестное произведение:

Итак, теперь мы готовы определить, какие значения минимизировать вышеуказанное, что мы можем сделать, используя исчисление, чтобы найти минимум.

Продвинутый уровень: поиск минимума с помощью исчисления

Существует ряд правил, которые позволяют нам вычислять уравнения в частных производных в матричной записи.Приравняв производную к 0 и решив для, мы получим наше решение. Единственное, что нам здесь нужно, говорит нам, что производная приведенного выше уравнения равна:

, и у нас есть решение. Обычно мы стараемся решить эту проблему, поскольку это оценка «реальных» данных, сгенерировавших данные.

Помните, что наименьшие квадраты подобны квадрату (умножьте что-нибудь на себя) и что эта формула подобна производной бытия.

Поиск LSE в R

Давайте посмотрим, как это работает в R:

 Библиотека  (UsingR)
х = отец.сын $ fheight
y = отец. сын $ высота
X <- cbind (1, х)
betahat <- решить (t (X)% *% X)% *% t (X)% *% y
###или же
betahat <- решить (crossprod (X))% *% crossprod (X, y)

Теперь мы можем увидеть результаты этого, вычислив оценку для любого значения:

  новый x <- seq (min (x), max (x), len = 100)
X <- cbind (1, новыйx)
приспособлено <- X% *% betahat
plot (x, y, xlab = "Рост отца", ylab = "Рост сына")
строки (newx, fit, col = 2)

Это один из наиболее широко используемых результатов при анализе данных.2) приспособлено <- X% *% betahat plot (tt, y, xlab = "Time", ylab = "Height") строки (newtt, fit, col = 2)

И полученные оценки соответствуют нашим ожиданиям:

  ## [, 1]
## 56.5317368
## tt 0.5013565
## -5.0386455

Высота Пизанской башни составляет около 56 метров. Поскольку мы просто роняем объект, начальная скорость отсутствует, а половина постоянной силы тяжести равна 9,8 / 2 = 4,9 метра в секунду в квадрате.

лм Функция

R имеет очень удобную функцию, которая подходит для этих моделей.2) соответствовать = lm (y ~ X) резюме (подходит) 

  ##
## Вызов:
## lm (формула = y ~ X)
##
## Остатки:
## Мин. 1 квартал Медиана 3 квартал Макс.
## -2,5295 -0,4882 0,2537 0,6560 1,5455
##
## Коэффициенты:
## Estimate Std. Ошибка t значение Pr (> | t |)
## (Перехват) 56,5317 0,5451 103,701 <2e-16 ***
## Xtt 0,5014 0,7426 0,675 0,507
## X -5,0386 0,2110 -23,884 <2e-16 ***
## ---
## Signif. коды: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0,05 '.' 0,1 дюйма 1
##
## Остаточная стандартная ошибка: 0,9822 при 22 степенях свободы
## Множественный R-квадрат: 0,9973, Скорректированный R-квадрат: 0,997
## F-статистика: 4025 для 2 и 22 DF, p-значение: <2.2e-16

Обратите внимание, что мы получаем те же значения, что и выше.

Сводка

Мы показали, как писать линейные модели, используя линейную алгебру. Мы собираемся сделать это для нескольких примеров, многие из которых связаны с запланированными экспериментами. Мы также продемонстрировали, как получить оценки методом наименьших квадратов.Тем не менее, важно помнить, что, поскольку это случайная величина, эти оценки также являются случайными. В следующем разделе мы узнаем, как вычислить стандартную ошибку для этих оценок и использовать это для выполнения вывода.

Список уроков по алгебре

| Ресурсы Wyzant

Ниже приведен список всех наших уроков алгебры. После прочтения этих уроков по-прежнему нужна помощь? В Wyzant пообщайтесь с репетиторами по алгебре и математике поблизости. Предпочитаете встречаться онлайн? Найдите онлайн-репетиторов по алгебре или онлайн-репетиторов по математике за пару кликов.

Основы алгебры

Первый урок посвящен уравнению и его связи с балансом. Вы узнаете о различных символах, используемых в уравнениях, и научитесь думать о балансе, когда решаете уравнения.

Здесь вы узнаете об ассоциативном свойстве, которое становится важным, потому что оно позволяет математику, вам, с легкостью складывать или умножать числа.

Этот урок научит вас решать основные пропорции, которые представляют собой особую форму алгебры.Они используются для сравнения двух соотношений или получения эквивалентных дробей.

Этот урок знакомит с методами решения задач с целыми числами с помощью уравнений.

Пример задачи Какие два последовательных четных целых числа в сумме равны 26?
Решение 12 и 14

Вы должны быть знакомы с этими основными алгебраическими свойствами, когда начнете свои уроки алгебры.Эти свойства применяются ко всем действительным числам и включают кумулятивное свойство, свойство коммутативности и многое другое. Прежде чем пытаться решать задачи по алгебре, изучите их!


Упрощение

Введение в упрощение концепций.

Самый простой способ упростить выражение или уравнение - удалить несколько отрицательных знаков.

Сжатие уравнений и выражений путем объединения одинаковых терминов.

Пример задачи 2x + 7x + 4y
Решение 9x + 4лет

Как умножить два и более члена. (Два монома)

Пример задачи 2x * 7лет
Решение 14xy

Как использовать свойство дистрибутива для умножения скобок.(Умножение одночлена на бином)

Пример задачи 5u * (3 + u)
Решение 15u + 5u 2

Использование метода FOIL для умножения двух или более скобок. (Умножение двух биномов или двух многочленов)

Пример задачи (4x + 5) (7x + 3)
Решение 28x 2 + 47x + 15

Узнайте, что такое показатель степени и как его упростить.

Пример задачи 2 4
Решение 16

Узнайте, как упростить переменную в круглых скобках с показателем степени.

Пример задачи (х 2 у) 3
Решение х 6 у 3

Узнайте, как упростить показатель степени многочлена или два или более членов в круглых скобках.

Пример задачи (х + у) 2
Решение х 2 + 2xy + у 2

Узнайте, как использовать порядок операций для упрощения выражений, содержащих более одной операции.

Пример задачи 2 + (3 - 1) * 3 2
Решение 20

Введение в значение отрицательных показателей.

Пример задачи 5 -2
Решение 0,04

Используйте дроби для преобразования отрицательных показателей в положительные показатели.

Пример задачи 5 -2
Решение 0.04

Упростите отрицательные показатели в дробях, переместив части члена на другую сторону дроби.

Пример задачи а 2 б -2 / б
Решение а 2 / б 3

Замена

Введение в замену переменных в выражении числами или другими выражениями.


Графики и графики

Графики обеспечивают визуальное представление взаимосвязи между двумя переменными. В этом уроке вы научитесь строить графики и решать уравнения с двумя переменными, а также научитесь пользоваться координатными плоскостями, упорядоченными парами и многим другим.

Неравенства, такие как «больше чем» (>) и «меньше чем» (

После решения основных неравенств вы готовы перейти к решению и построению графиков двух переменных неравенств.На этом уроке вы узнаете, как решить линейное неравенство, изобразить линейное неравенство на графике и (что наиболее важно!) Проверить свою работу, чтобы убедиться, что вы усвоили концепцию.

Наклон прямой - важное понятие во многих областях математики, включая алгебру. Как рассчитать уклон? Каких распространенных ошибок следует избегать? В этом уроке вы узнаете все о «подъеме через бег».

Функции выражают взаимосвязь между двумя переменными.Хорошо, что это значит? Прочтите простое определение и объяснение функций. Не знаете о тесте вертикальной линии? Не уверены, в чем разница между четной функцией и нечетной функцией? Здесь вы найдете ответы.


Факторинг

Объясняет основные принципы факторинга.

Факторинг чисел - навык, необходимый для следующих уроков.

Пример задачи Найти все множители 18
Решение 1, 2, 3, 6, 9, 18

Найдите наибольшие общие множители для чисел и алгебраических терминов.

Пример задачи Найдите GCF 14x и 21x 2
Решение 7x

Выложите за скобки наибольший общий множитель многочлена.

Пример задачи Разложите GCF на множители 3x 3 + 27x 2 + 9x
Решение 3x (x 2 + 9x + 3)

Разложите на множители выражение формы a 2 - b 2 .

Пример задачи Множитель x 2 - 4
Решение (х + 2) (х - 2)

Разложите на множители выражение вида ax 2 + bx + c.

Пример задачи Фактор 3x 2 + 2x - 8
Решение (х + 2) (3x - 4)

Комбинируйте методы разложения GCF, разницы между двумя квадратами и трехчлена, чтобы определить наиболее факторизованную форму более сложных выражений.

Пример задачи 12x 4 - 3x 2 - 54
Решение 3 (2x + 3) (2x - 3) (x 2 + 2)

Уравнения - расширенное решение

Решите уравнения, переместив члены в левую часть, разложив на множители и решив несколько подзадач.

Пример задачи х 2 + 3x = 8x - 6
Решение х = 2, 3

Когда у вас есть полиномиальная функция степени два, у вас есть квадратичная функция. Когда квадратичная функция приравнивается к нулю, вы получаете то, что называется квадратным уравнением.Этот урок представляет собой введение в квадратное уравнение. Как они сформированы, как они изображены на графиках и кратко рассмотрим, как они решаются.

Решите уравнения, которые нельзя разложить на множители, заполнив квадрат.

Пример задачи 10x 2 + 22x + 12,1 = 0
Решение х = -1.1 (двойной корень)

Этот урок - более глубокий взгляд на квадратную формулу. Решите уравнения второй степени без факторизации или дополнения квадрата, используя формулу корней квадратного уравнения.

Пример задачи х 2 + х + -3,75 = 0
Решение х = -2.5, 1,5

Что происходит, когда вы объединяете действительные числа и мнимые числа? Получается комплексное число. В этом уроке вы узнаете, как решать уравнения с комплексными числами. Нужна дополнительная информация о мнимых числах? Этот урок тоже охватывает это.

Факторная теорема - это алгебраическая тема, которая включает в себя нахождение корней (или нулей) полиномиальной функции.

Теорема об остатке может быть использована для быстрого факторизации многочлена любой степени.Вы можете решать сложные проблемы с помощью этой полезной теоремы. Прочтите этот урок, чтобы узнать, откуда взялась теорема об остатке и как ее использовать, с подробными примерами.

Вы можете думать о логарифме как о противоположности экспоненты: это операция по отмене экспоненты. В этом уроке определяются логарифмы и рассматриваются несколько примеров задач.

Квадратный корень - это число, которое при умножении на себя дает квадрат. Знаете ли вы, что у каждого квадрата есть два квадратных корня? Как определить кубический корень? Этот урок отвечает на эти вопросы и объясняет многие концепции, связанные с квадратными корнями и радикалами.

Рационализация - это процесс превращения фракции в рациональную. Когда нужно делать дробь рациональной? Конечно, когда это нерационально. Прочтите этот урок, чтобы увидеть примеры рационализации и практический тест.

Рациональное выражение, также известное как рациональные функции, включает в себя многочлены в числителе и знаменателе. Можете ли вы найти область рационального выражения? Вы знаете, как упростить рациональное выражение? Этот урок проведет вас через процесс.

Конические секции формируются путем разрезания трехмерного кругового конуса. Четыре вида конических сечений - это круги, эллипсы, параболы и гиперболы. В этом уроке вы узнаете, как представить все четыре конических сечения уравнениями и графиками.

.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *