Геометрия 7 класс номер: ГДЗ по Геометрии за 7-9 класс: Атанасян. Решебник с пояснениями

Содержание

Класс 7 Практическая геометрия – основы, задачи и примеры решений

Четырехугольник – это четырехсторонний многоугольник, точно так же, как треугольник – трехсторонний многоугольник, пятиугольник – пятисторонний многоугольник и так далее. Четырехугольник имеет 4 ребра (стороны) и 4 вершины (углы).

Многоугольник можно определить как геометрический объект, состоящий из некоторого количества точек и равного количества отрезков.

Типы многоугольников:
Правильный многоугольник: все углы равны и все стороны имеют одинаковую длину. Правильные многоугольники бывают равноугольными и равносторонними.
Выпуклый многоугольник: прямая, проведенная через выпуклый многоугольник, пересекает не более двух сторон. Каждый внутренний угол меньше 180 градусов.
Вогнутый многоугольник: мы можем провести по крайней мере одну прямую линию через вогнутый многоугольник, который пересекает более двух сторон.

По крайней мере один внутренний угол больше 180 градусов.

Части многоугольника:
Сторона: Один из сегментов линии, составляющих многоугольник.
Вершина: Точка, где сходятся две стороны.
Диагональ: линия, соединяющая две вершины, не являющаяся стороной.
Внешний угол: Внешний угол — это угол между любой стороной фигуры и линией, продолжающейся от следующей стороны. Каждый внешний угол = 360°/N
Внутренний угол: угол, образованный двумя смежными сторонами внутри многоугольника. Внутренний угол и внешний угол в сумме составляют 180 градусов.
Апофема: Линия из центра правильного многоугольника под прямым углом к любому из его
Площадь правильного многоугольника = периметру X апофема/2

Теперь мы научимся находить сумму внешних углов многоугольника с n сторонами.
Мы знаем, что внешний угол + внутренний смежный угол = 180°
Итак, если многоугольник имеет n сторон, то

Сумма всех внешних углов + Сумма всех внутренних углов = n X 180°
Итак, сумма всех внешних углов = n X 180° — сумма всех внутренних углов
= n X 180° — (n-2) X 180°
= n X 180° — (n X 180°) +(2 X 180°)
= 360°

Каждый внешний угол = 360°/n
Количество сторон многоугольника = 360°/(каждый внешний угол)

ПРИМЕР 1: Внешние углы четырехугольника равны (м+1)°, (2м+3)°, (4м+5)°, (5м+6)°. Найдите величину каждого угла.

РЕШЕНИЕ: Мы знаем, что сумма всех внешних углов = 360°
Следовательно, (м+1) + (2м+3) + (4м+5) + (5м+6)= 360°
12м + 15 = 360°
12м = 345
м= 345/12
м= 28,75

(м+1) = (28,75+1) = 29,75°
(2м+3) = (2X28,75+3) = 60,5°
(4м+5) = 120°
(5м+6) = 149,75 °
Следовательно, мера каждого внешнего угла равна 29,75°, 60,5°, 120°, 149,75°.

ПРИМЕР 2: Сумма внутренних углов правильного многоугольника в 3 раза больше суммы его внешних углов. Определить количество сторон многоугольника.

РЕШЕНИЕ: Сумма внутренних углов правильного многоугольника в 3 раза больше суммы внешних углов. [Дано]

Мы знаем, что в правильном многоугольнике сумма всех внешних углов равна 360°

Следовательно, сумма внутренних углов = 3 X 360°= 1080°

Опять же, мы имеем сумму внутренних углов = ( n-2) X 180°, где n — количество сторон многоугольника.
(n-2)180° = 1080°

(n-2)=1080°/180°

n = 6 + 2

n = 8 [Ans]

Параллелограмм: противоположные стороны параллельны и конгруэнтны. Противоположные углы равны. Смежные углы являются дополнительными. Диагонали делят друг друга пополам, и каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы прямые, и параллелограмм становится прямоугольником.

Площадь = длина X высота
Периметр = 2X (длина + ширина)

Прямоугольник: Противоположные стороны параллельны и конгруэнтны. Все углы правильные. Диагонали равны и делят друг друга пополам. Противолежащие углы, образованные в точке пересечения диагоналей, равны. Прямоугольник — это особый вид параллелограмма, у которого углы прямые.
Длина диагонали =

Площадь = Длина X Ширина

Периметр = 2X (Длина+Ширина)

Квадраты: Все стороны и углы равны. Противоположные стороны параллельны друг другу. Диагонали равны. Диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам. Квадрат — это особый тип параллелограмма, у которого все стороны и углы равны.

Длина диагонали = длина
Площадь = (длина) ²

Периметр = 4xдлина Противоположные углы равны. Диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам. Смежные углы являются дополнительными. Ромб – это параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны друг другу.
Площадь = (aXb)/2
Периметр = 4 X длина

Трапеция: Основания трапеции параллельны друг другу. Стороны, углы и диагонали не равны.
Площадь = ½ X h X (Д+Д ₂₎
Периметр = Д + Д ₁ + Д ₂ + Д ₃

ПРИМЕР 1: Вычислите площадь параллелограмма, высота которого 1 м, а основание 2 м.

РЕШЕНИЕ: Площадь= Основание X Высота= 1 X 2= 2 м ²

ПРИМЕР 2: Вычислите площадь трапеции, высота которой 3 м, а длина двух параллельных сторон 4 м и 5 м соответственно.

РЕШЕНИЕ: Площадь = ½ X h X (L1+L2) = ½ X 3 X (4+5) = 0,5 X 3 X 9 = 13,5 м ²

из A нарисуйте дугу.
Шаг 3: С радиусом 5 см отрежьте дугу, нарисованную в шаге 2. Пусть эта точка пересечения будет B. Соедините AB и CB
. Шаг 4: С радиусом 4 см от A нарисуйте дугу к противоположной стороне AC.
Шаг 5: От С возьмите 4,5 см в качестве радиуса и вырежьте дугу, нарисованную в Шаге 4. Пусть точкой пересечения будет D. Соедините AD и CD

PQRS — искомый четырехугольник.

Если даны 4 стороны и один угол:
Постройте трапецию ABCD, в которой AB|| CD, AB=7 см и BC=5 см
CD=3 см и угол B= 60°

В трапеции ABCD, AB||CD,
B + C = 180°
C= 180° — B = 180° — 60° = 120°

Шаг 1: Нарисуйте AB = 7 см
Шаг 2: В точке B начертите = 60°

Шаг 3: От луча BX отрежьте BC = 5 см

Шаг 4: В точке C начертите = 120° Отрежьте CD = 3 см

Step6: соединение D к A.
Step7: ABCD — это необходимый трапециэид

Когда 3 стороны и их включенные углы даны:
. где TR=2,5см, RU=2см, UE=3см, R=75°, U=120°

Шаг 1: Начертите отрезок длиной 3 см и угол 120° в точке U. Поскольку вершина E находится на расстоянии 3 см от вершины U, отрежьте от этого луча отрезок UE=3 см

Шаг 2: Начертите угол 75° в точке R, так как вершина T находится на расстоянии 2,5 см от вершины R, отрежьте от этого луча отрезок RT длиной 2,5 см.

Шаг 3: соедините T с E.

ИСТИНА — это искомый четырехугольник.

Когда даны 2 смежные стороны и три угла:
Построить четырехугольник PQRS, в котором PQ=3,5 см, PQR= 120°, QR=2,8 см, QRS=100°, QPS=60°
Шаг 1: Начертить PQ=3,5 см
Шаг 2: Сделать угол PQX=120°
Шаг 3 : С Q в качестве центра и радиусом 2,8 см нарисуйте дугу, разрезая QX в точке R. Соедините QR.
Шаг 4: Сделать ∠QRY= 100°
Шаг 5: ∠QPZ = 60° так, чтобы PZ и RY пересекались в точке S.

Тогда PQRS — искомый четырехугольник. Q1) Углы четырехугольника относятся как 2:3:4:5. Найдите наименьший и наибольший угол.

Q2) На приведенном рисунке ABCD является четырехугольником, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P. Если угол C = 80° и ⦟D = 50°. Найдите ⦟APB.

Q3) На приведенном рисунке ⦟A= 60°. OE перпендикулярен
к AC, а OD перпендикулярен к AB. Найдите ⦟DOE.

В4) Три угла четырехугольника относятся как 6:7:8. Разница наименьшего и наибольшего из этих углов составляет 51°. Найдите углы четырехугольника.

Q5) Отношение двух сторон параллелограмма равно 9:1, а его периметр равен 23см. Найдите стороны параллелограмма.

Q6) Четыре стороны четырехугольника ABCD, поскольку AB = 5 см, BC = 7 см, CD = 6,5 см, AD = 6 см и одна диагональ AC = 9 см. Построить четырехугольник.

Q7) Постройте четырехугольник ABCD, в котором AB = 5 см, BC = 4 см, ÐA = 60°, ÐB 105° и ÐC = 105°.

Q8) Постройте четырехугольник ABCD, в котором AB = 4,5 см, BC = 3,5 см, CD = 5 см, ÐB = 45° и ÐC = 150°.

Q9) На данном рисунке ABCD — квадрат. Найдите значение х.

Сумма углов четырехугольника равна 360°.
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Диагонали прямоугольника делят друг друга пополам и равны, и наоборот.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом пополам и наоборот.
Диагонали квадрата делятся пополам под прямым углом и равны, и наоборот.
Мы можем построить четырехугольник, если знаем: четыре стороны и диагональ, две смежные стороны и три угла, три стороны и две диагонали, три стороны и два угла между ними.

CBSE Класс 7 Практическая геометрия

На предыдущих занятиях мы узнали о различных геометрических формах и их свойствах.

Также мы научились чертить отрезки заданной длины, углы заданной меры и т. д. Все эти построения мы изучаем по практической геометрии.

Практическая геометрия — раздел геометрии, в котором изучается построение геометрических фигур. Он включает в себя рисование, измерение, построение и т. д.

Тарун пытается создать узор из квадратов и прямоугольников. Давайте посмотрим это видео, чтобы узнать, что это за узор и как он будет сделан.

В видео выше мы увидели, зачем нужна практическая геометрия.

Понятия

Глава «Практическая геометрия» охватывает следующие понятия:

Построение параллельных линий Построение треугольников

Построение параллельных прямых

Этапы построения прямой, параллельной данной прямой, через точку вне этой прямой:

1. Отметить точку вне данной прямой и соединить ее с точкой на данной линия.
2. Постройте копию угла, образованного в этой точке на линии, в точке, отмеченной вне линии, так, чтобы два угла образовывали пару чередующихся внутренних углов.
3. Одно плечо каждого угла будет общим для обоих. Вытяните другую руку скопированного угла, чтобы получить линию.

Эта прямая будет параллельна данной прямой, так как параллельные внутренние углы равны.

Построение треугольников

Что говорит критерий конгруэнтности SSS? В нем говорится, что два треугольника называются конгруэнтными, если три стороны одного треугольника равны соответствующим трем сторонам другого, т. Е. Если мы знаем меры трех сторон обоих треугольников, мы можем решить, конгруэнтны ли треугольники. или не.

Точно так же у нас есть критерии SAS, ASA, AAS и RHS для проверки конгруэнтности двух треугольников.

Итак, следующие наборы измерений определяют конгруэнтность двух треугольников:

1.Три стороны.
2. Две стороны и угол между ними.
3.Два угла и сторона между ними.
4. Гипотенуза и катет в случае прямоугольного треугольника.

Итак, один из этих наборов измерений должен быть известен для построения треугольников.

1. Нарисуйте отрезок одной из заданных длин в качестве основания треугольника.
2. С помощью циркуля, удерживая одну конечную точку отрезка в качестве центра и с радиусом, равным одной из оставшихся длин, начертите дугу.
3.Удерживая другую конечную точку отрезка в качестве центра и с радиусом, равным оставшейся длине, нарисуйте еще одну дугу, пересекающую предыдущую дугу.
4.Соедините точку пересечения дуг с конечными точками отрезка.

Это известно как критерий SSS построения треугольников.

Чтобы построить треугольник, зная размеры двух его сторон и угол между ними:

1. Нарисуйте отрезок одной из заданных длин в качестве основания треугольника.
2. С помощью транспортира в одном из концов отрезка провести луч, образующий заданный угол.
3. С помощью циркуля, придерживаясь той же конечной точки отрезка, что и центр, и с радиусом, равным оставшейся длине, начертите дугу, пересекающую луч.
4.Соедините точку пересечения дуги и луча с другой конечной точкой отрезка.

Это известно как критерий SAS построения треугольников .

Чтобы построить треугольник, зная меры двух его углов и стороны между ними:

1. Нарисуйте отрезок заданной длины в качестве основания треугольника.
2. С помощью транспортира в одном из концов отрезка провести луч, образующий один из заданных углов.
3.В другом конце отрезка провести луч, образующий другой заданный угол.
4.Точка пересечения лучей является одной из вершин искомого треугольника.

Это известно как критерий построения треугольников ASA.

Чтобы построить прямоугольный треугольник, зная меры его гипотенузы и стороны:

1. Нарисуйте отрезок заданной длины одной стороны как основание треугольника.
2.В одной конечной точке отрезка нарисуйте/постройте луч, образующий прямой угол.
3. С помощью циркуля, взяв другой конец отрезка за центр и радиус которого равен длине гипотенузы, начертите дугу, пересекающую луч.
4.Соедините точку пересечения с точкой, из которой проведена дуга.

Это известно как критерий RHS построения треугольников.

Распространенные ошибки

Ниже перечислены темы, в которых учащиеся допускают распространенные ошибки при работе с практической геометрией:

1. Рисование углов
2. Черновые эскизы

Рисование углов

При построении треугольника с заданными размерами (SAS и ASA), чтобы нарисовать угол с помощью транспортира, начало транспортира должно находиться в соответствующей вершине. Пример:

Чтобы построить треугольник ABC с AB = 5 см, ∠A = 60⁰ и ∠B = 48⁰, угол, равный 60⁰, должен быть проведен только в вершине A, а угол, равный 48⁰, должен быть проведен только в вершине B.

Их нельзя менять местами.

Кроме того, рисуя углы, убедитесь, что центр транспортира совпадает с соответствующей вершиной, а базовая линия транспортира проходит вдоль стороны нарисованного треугольника.

Черновые эскизы

Рисуя грубые наброски треугольников перед построением, убедитесь, что вы отмечаете части треугольника в соответствии с размерами, указанными в вопросе. Не меняйте их местами и не маркируйте неправильные детали данными размерами. Пример:

Грубый набросок треугольника ABC с углами ∠A = 60⁰, ∠B = 30⁰ и стороной между ними 5,8 см:

Заключение

Геометрия помогает оживить формы и линии, формируя осмысленные образы. Все вокруг нас построено и имеет измерения. Следовательно, важно знать, как строятся формы, углы и линии.

Практическая геометрия позволяет строить геометрические фигуры с помощью простых инструментов, таких как транспортир, циркуль, линейка и т. д. Вы можете этого не осознавать, но каждый раз, когда вы что-то рисуете, вы используете такие формы и линии.

Итак, теперь вы можете решить эту загадку на основе практической геометрии?

Если через С провести прямую, параллельную АВ, а через А провести прямую, параллельную ВС, какая из следующих фигур получится?

а.Общий четырехугольник

б.Параллелограмм

c. Треугольник

d. Прямоугольник

Арпана

Автор

Арпана — специалист в области образования с многолетним опытом преподавания математики и разработки контента. Ранее она работала внештатным разработчиком контента, разрабатывая планы уроков для известного издателя учебников и контента для различных образовательных компаний. Она увлеченный учитель, который обучал студентов из Индии, Великобритании и Новой Зеландии.