Урок математики «Понятие о проценте»; 6 класс — К уроку — Математика, алгебра, геометрия
Доброхотова Эльмира Рафаилевна
Учитель математики
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №9»
г Чистополя
План-конспект урока.
Тема: Понятие о проценте.
Цели: сформулировать у учащихся понятие процента, уделить внимание его записи, чтению, установить связь между понятиями «процент» и «обыкновенная дробь», рассмотреть задачи на нахождение процентов данного числа.
Оборудование: мультимедия
Ход урока.
Подготовка к восприятию новой темы.
Устные упражнения :
1) Какая часть фигуры заштрихована?
Ответы:
2)Сократите дробь:
Ответы:
3)Чтобы узнать тему нашего урока, выполните вычисление и выпишите соответствующие буквы в таблицу:
Р – 4+ Н – 3 :4 Е ∙ 1 Ы — —
Т – 1- П – 90 ∙ О – 1 + 2 Ц — :
60 | 4 | 3 | 1 | 1 | |||
Итак,
тема нашего урока «Проценты».
II . Формирование новых знаний.
Определение процента.
Процентом называется сотая часть числа или любой величины. Слово «процент» происходит от латинского «центи», указывающего на уменьшение единицы во сто раз. Для краткости слово «процент» после числа заменяют знаком «%». Проценты можно записать в виде дробей.
1% =, 5%=, 17%=, 50%==, 120%==.
И наоборот, дроби в виде процентов:
=99%; ; ==90%; ==50%; 2==200%;
===%=33%.
Решение №93 и №95 (из учебника)- отработка навыков установления связи между понятиями «процент» и «обыкновенная дробь» (ответы на задания показать в виде таблицы)
Задачи на нахождение процентов данного числа с опорой на определение одного процента
Задача 1 В школе 600 учеников, 15 приняли участие в математической олимпиаде. Сколько человек участвовали в олимпиаде?
Решение: 15 от 600 учеников равен от 600 учеников.
600:100=6 (учеников).
Ответ: 6 учеников.
Задача 2 Из 30 учащихся класса различные кружки посещают 60% детей. Сколько детей посещает кружки.
Решение 30:100=(детей) приходится на 1%.
∙60=18(детей)
Можно решить задачу таким способом: 30:100∙60=18(детей)
Ответ: 18 детей.
III Закрепление:
- Решать
из учебника №99 (1 и 2 столбики по вариантам,
3 столбик сильным учащимся. Ответы
показать на доске)
I вариант | II вариант | ||
1% от 100 | 1 | 1% от 300 | 3 |
7% от 200 | 14 | 20% от 15 | 3 |
100% от 49 | 49 | 1295 от 250 | 300 |
Тест
Процент – это:
а)
тысячная часть числа, б) сотая часть
числа, в) десятая часть числа.
2. Сколько процентов площади фигуры закрашено 1) 2) 3)
а) 50%; б) 70%; в) 25%
а) 1 – а; 2 – б; 3 – в; б) 1 – б; 2 – а; 3 – в; в) 1 – в; 2 – а; 3 – б
6% — это
а) ; б) ; в) ;
4) — это
а) 13%; б) 1300%; в) 130%
5) 5% от 120 – это
а) 60; б) 600; в) 6
Правильные ответы: 1) б; 2) в; 3) б; 4) в; 5) в.
IV. Итог урока:
Что такое процент?
Как установить связь между процентом и обыкновенной дробью?
Как находить проценты от числа?
V. Домашнее задание: рабочая тетрадь стр.18-19, № 43, 347, 348(а-е)
Литература:
Учебник
«Математика 6» С.
Н. Никольский, 2010г.
Рабочая тетрадь «Математика 6» М.К. Потапов, А.В. Шевкин, 2010 г.
Программы общеобразовательных учреждений «Математика 5-6 классы», 2009г. Москва «Просвещение».
ГДЗ по математике 6 класс рабочая тетрадь Ерина к учебнику Никольского
ГДЗ готовые ответы к рабочей тетради по математике 6 класс Ерина часть 1, 2 к учебнику Никольского ФГОС от Путина. Решебник (ответы на вопросы и решения) тетради необходим для проверки правильности домашних заданий без скачивания онлайн
1 Часть
§ 1.1. Отношения чисел и величин
12345678910111213
§ 1.2. Масштаб
123456789101112
§ 1.3. Деление числа в данном отношении
12345678
§ 1.4. Пропорции
12345678910111213
§ 1.5. Прямая и обратная пропорциональность
123456789101112
§ 1.
6. Понятие о проценте123456789
§ 1.7. Задачи на проценты
1234567891011121314
§ 1.8.. Круговые диаграммы
1234567
§ 1.8. Дополнение к главе 1
1. Задачи на перебор всех возможных вариантов
12345678910111213141516
2. Вероятность события
12345678910
3. Занимательные задачи
1234567891011
§ 2.1. Отрицательные целые числа
123456789101112
§ 2.2. Противоположные числа. Модуль числа
12345678910111213141516
§ 2.3. Сравнение целых чисел
1234567891011
§ 2.4. Сложение целых чисел
1234567891011121314151617181920
§ 2.5. Законы сложения целых чисел
1234567
§ 2.
6. Разность целых чисел1234567891011
§ 2.7. Произведение целых чисел
123456789101112
§ 2.8. Частное целых чисел
12345678
§ 2.9. Распределительный закон
123456789101112
§ 2.10. Раскрытие скобок и заключение в скобки
1234567891011
§ 2.11. Действия с суммами нескольких слагаемых
12345678910
§ 2.12.. Представление целых чисел на координатной оси
1234567891011
§ 2.12. Дополнения к главе 2
1. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки
1234567891011
2. Занимательные задачи
1234567
§ 3.1. Отрицательные дроби
12345678910111213141516
§ 3.2.
Рациональные числа1234567891011
§ 3.3. Сравнение рациональных чисел
12345678910
§ 3.4. Сложение и вычитание дробей
1234567891011121314151617181920
§ 3.5. Умножение и деление дробей
123456789101112131415161718
§ 3.6. Законы сложения и умножения
123456789
§ 3.7. Смешанные дроби произвольного знака
1234567891011121314
2 Часть
§ 3.8. Изображение рациональных чисел на координатной оси
1234567891011121314
§ 3.9. Уравнения
1234567891011
§ 3.10.. Решение задач с помощью уравнений
12345678910
§ 3.10. ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3
1. Буквенные выражения
123456789101112131415161718192021
2.
Фигуры на плоскости, симметричные относительно прямой
1234
§ 4.1. Понятие положительной десятичной дроби
23456789
§ 4.2. Сравнение положительных десятичных дробей
1234567891011
§ 4.3. Сложение и вычитание положительных десятичных дробей
123456789
§ 4.4. Перенос запятой в положительной десятичной дроби
123456789101112131415
§ 4.5. Умножение положительных десятичных дробей
12345678910111213
§ 4.6. Деление положительных десятичных дробей
1234567891011121314
§ 4.7. Десятичные дроби и проценты
12345678910
§ 4.8. Сложные задачи на проценты
12345678910
§ 4.9. Десятичные дроби произвольного знака
123456789
§ 4.
10. Приближение десятичных дробей1234567891011
§ 4.11.. Приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел
123456
§ 4.11. ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4
1. Расчеты с помощью микрокалькулятора
1234
2. Процентные расчеты с помощью калькулятора
1234
3. Фигуры в пространстве, симметричные относительно плоскости
12345
§ 5.1. Разложение положительной обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь
1234567891011
§ 5.2. Бесконечные периодические десятичные дроби
1234567
§ 5.3. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби
12345
§ 5.4. Непериодические бесконечные десятичные дроби
123456
§ 5.
5. Действительные числа123456789
§ 5.6. Длина отрезка
12345678910
§ 5.7. Длина окружности. Площадь круга
1234567891011121314151617
§ 5.8. Координатная ось
1234567891011121314
§ 5.9. Декартова система координат на плоскости
123456789
§ 5.10. Столбчатые диаграммы и графики
1234567891011121314
Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 12
Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.
Введение в проценты
Проценты: сколько платят за использование денег (в процентах или в виде суммы)
Деньги нельзя брать взаймы
Люди всегда могут найти применение деньгам, поэтому это стоит занять деньги .
Сколько стоит занять денег?
В разных местах в разное время взимается разная сумма!
Но обычно взимается плата так:
В процентах (годовых) от суммы займа | ||
| ||
Пример: Занять 1000 долларов в банке
Алекс хочет занять 1000 долларов.
Местный банк говорит: « 10% Проценты ». Таким образом, взять взаймы 1000 долларов на 1 год будет стоить:
1000 долларов × 10% = 100 долларов
В этом случае «Проценты» равны 100 долл. США, а «Процентная ставка» равна 10% (но люди часто говорят «10% Процентов», не говоря «Ставка»)
Конечно, Алексу придется вернуть долг. первоначальная 1000 долларов через год, так что получается вот что:
| Алекс занимает 1000 долларов, но должен вернуть 1100 долларов |
Это идея Проценты … платить за использование денег.
| Примечание. Этот пример представляет собой простой годовой кредит, но банки часто требуют, чтобы кредит возвращался ежемесячно, и они также взимают дополнительные сборы! |
Слова
Существуют специальные слова, используемые при заимствовании денег, как показано здесь:
Алекс — заемщик , Банк — Кредитор
Принцип — 1 000 долл.
0005
Процент равен 100 долл. происходит между началом и окончанием кредита.
Больше года…
Что, если бы Алекс захотел одолжить денег на 2 года?
Простые проценты
Если банк взимает «Простые проценты», то Алекс просто платит еще 10% за дополнительный год.
Алекс платит Проценты (1000$ × 10%) x 2 года = 200$
Вот как работают простые проценты… платите одинаковую сумму процентов каждый год.
Пример: Алекс занимает 1000 долларов на 5 лет под 10% простых процентов:
Проценты = 1000 долларов × 10% x 5 лет = 500 долларов
Плюс основная сумма в 1000 долларов означает, что Алекс должен заплатить 1500 долларов через 5 лет
Пример : Алекс занимает 1000 долларов на 7 лет под простые проценты 6%:
Проценты = 1000 долларов × 6% x 7 лет = 420 долларов
Плюс основная сумма в размере 1000 долларов означает, что Алекс должен заплатить 1420 долларов через 7 лет
Существует формула для простых процентов
I = Prt
где
- I = проценты
- P = сумма займа (называемая «Основной»)
- р = процентная ставка
- т = время
Вот так:
Пример: Ян занял 3000 долларов на 4 года под 5% годовых, сколько это процентов?
| я = | Парт. |
| я = | 3000 долларов США × 5% × 4 года |
| я = | 3000 $ × 0,05 × 4 |
| я = | 600 долларов |
Но банки почти НИКОГДА не берут простые проценты, они предпочитают сложные проценты:
Сложные проценты
Но банк говорит: «Если бы вы вернули мне все обратно через год, а затем я снова дал бы вам взаймы, я был бы одалживаю тебе 1100 долларов за второй год !» поэтому я хочу больше процентов:
И Алекс платит 110 долларов проценты за второй год, а не только 100 долларов.
Это может показаться несправедливым… но представьте, что ВЫ одалживаете деньги Алексу. Через год вы думаете «Алекс сейчас должен мне 1100 долларов и все еще использует мои деньги, я должен получить больше процентов!»
И так это обычный способ начисления процентов, он называется рецептура .
С помощью начисляем начисляем проценты за первый период, прибавляем к ним общую сумму, и затем вычисляем проценты за следующий период и так далее.
.., вот так:
Это как выплата процентов по процентам: через год Алекс задолжал 100 долларов процентов, банк считает это еще одним кредитом и тоже взимает проценты по нему.
Через несколько лет он может стать очень большим. Вот что происходит с кредитом на 5 лет:
Год | Кредит на старте | Проценты | Кредит в конце |
|---|---|---|---|
0 (сейчас) | 1000 долларов США | (1000,00 долл. США × 10% = ) | 1100 долларов США |
1 | 1100 долларов США | (1100,00 долл. США × 10% = ) 110,00 долл. США | $1 210,00 |
2 | 1 210,00 $ | (1 210,00 долл. США × 10% = ) 121,00 долл. США | 1 331,00 $ |
3 | 1 331,00 $ | (1 331,00 долл. | 1464,10 $ |
4 | 1464,10 $ | (1464,10 долл. США × 10% = ) 146,41 долл. США | 1 610,51 долл. США |
5 | 1 610,51 долл. США |
США × 10% = ) 133,10 долл. США Итак, через 5 лет Алекс должен вернуть 1 610,51 долларов
Проценты за прошлый год составили 146,41 долларов … они, конечно, быстро росли!
(Сравните это с простыми процентами всего в 100 долларов в год)
Что такое год 0?
Год 0 — это год, который начинается с «Рождения» Займа и заканчивается непосредственно перед 1-м Днем Рождения.
Точно так же, как когда ребенок рождается, ему 9 лет.0011 ноль , и ему не исполнится 1 год до первого дня рождения.
Итак, начало года 1 — это «1-й день рождения».
И начало 5-го года как раз тогда, когда кредиту исполнилось 5 лет.
Вкратце:
Чтобы рассчитать сложные проценты, рассчитайте проценты за первый период, прибавьте их, а затем рассчитайте проценты за следующий период и т. д.
(Есть более быстрые методы, см. Сложные проценты )
Зачем брать взаймы?
Ну… ты можешь купить что-нибудь, что тебе нравится. Однако возврат денег обойдется вам дороже.
Но бизнес может использовать деньги, чтобы сделать еще больше денег.
Пример: Куриный бизнес
Вы занимаете 1000 долларов, чтобы начать птицеводческий бизнес (купить цыплят, корм для цыплят и т. д.).
Через год вы продаете всех выращенных цыплят за 1200 долларов.
Вы возвращаете банку 1100 долларов (исходная 1000 долларов плюс 10% годовых), и у вас остается $100 прибыль .
И вы сделали это на чужие деньги!
Но будьте осторожны! Что, если бы вы продали цыплят всего за 800 долларов? .
.. банк по-прежнему требует 1100 долларов, и вы в конечном итоге получаете убытков в размере 300 долларов.
Инвестиции
Сложный процент может работать на вас !
Инвестиции — это когда вы вкладываете деньги туда, где они могут расти , например, в банке или бизнесе.
Если вы вложите свои деньги под хорошую процентную ставку, они могут очень хорошо вырасти.
Вот что могут сделать 15% годовых на 1000 долларов:
Год | Кредит на старте | Проценты | Кредит в конце |
|---|---|---|---|
0 (сейчас) | 1000 долларов США | (1000,00 долл. США × 15% = ) 150,00 долл. США | 1 150,00 $ |
1 | 1 150,00 $ | (1150,00 долл. США × 15% = ) 172,50 долл. США | 1 322,50 долл. |
2 | 1 322,50 долл. США | (1322,50 долл. США × 15% = ) 198,38 долл. США | 1520,88 $ |
3 | 1520,88 $ | (1520,88 долл. США × 15% = ) 228,13 долл. США | $1749,01 |
4 | 1 749,01 $ | (1749,01 долл. США × 15% = ) 262,35 долл. США | 2 011,36 $ |
5 | 2 011,36 $ |
СШАБолее чем вдвое за 5 лет!
Инвестиции под 15% вряд ли будут безопасными (см. Введение в инвестирование) … но они показывают нам силу сложных процентов.
График этих инвестиций выглядит так:
Может быть, у вас нет 1000 долларов? Вот что можно сделать, экономя 200 долларов каждый год в течение 10 лет под 10% годовых:
3506,23 долларов через 10 лет!
На 10 лет по 200 долларов в год.
Менее одного года …
Проценты не всегда начисляются ежегодно. Его можно заряжать раз в полгода (каждые 6 месяцев), ежемесячно и даже ежедневно!
Но действуют те же правила:
- Для простых процентов: вычислите проценты за один период и умножьте на количество периодов.
- Для сложных процентов: рассчитайте проценты за первый период, прибавьте их, а затем рассчитайте проценты за следующий период и т. д.
Простые и сложные проценты – математика для нашего мира
Результаты обучения
- Расчет единовременных простых процентов и простых процентов с течением времени
- Определение APY с учетом сценария процентных ставок
- Расчет сложных процентов
Мы должны работать с деньгами каждый день. В то время как балансировка чековой книжки или расчет ежемесячных расходов на эспрессо требует только арифметики, когда мы начинаем копить, планировать выход на пенсию или нуждаемся в кредите, нам нужно больше математики.
Простые проценты
Обсуждение процентов начинается с основной суммы или суммы, с которой начинается ваш счет. Это может быть стартовая инвестиция или начальная сумма кредита. Проценты в самой простой форме рассчитываются как процент от основной суммы. Например, если вы одолжили у друга 100 долларов и согласны вернуть их с процентной ставкой 5%, то сумма процентов, которую вы заплатите, составит всего 5% от 100: 100 долларов (0,05) = 5 долларов. Общая сумма, которую вы должны будете вернуть, составит 105 долларов США, первоначальная основная сумма плюс проценты.
Простые единовременные проценты
(1)
Примеры
Друг просит одолжить 300 долларов и соглашается вернуть их в течение 30 дней под 3% годовых. Сколько процентов вы заработаете?
Решение:
(3) = 300 долларов | основной |
| г = 0,03 | 3% ставка |
I = 300 долл. США (0,03) = 9 долл. США. | Вы заработаете $9 процентов. |
В следующем видео подробно рассматривается этот пример.
Единовременные простые проценты характерны только для чрезвычайно краткосрочных кредитов. Для более долгосрочных кредитов проценты обычно выплачиваются ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно. В этом случае проценты будут начисляться регулярно.
Например, облигации — это, по сути, кредит, предоставленный эмитенту облигаций (компании или правительству) вами, держателем облигаций. В обмен на кредит эмитент соглашается платить проценты, часто ежегодно. Облигации имеют срок погашения, когда эмитент выплачивает первоначальную стоимость облигации.
Упражнения
Предположим, ваш город строит новый парк и выпускает облигации, чтобы собрать деньги на его строительство.
Вы получаете облигацию на 1000 долларов, по которой выплачивается 5% годовых и срок погашения которой составляет 5 лет. Сколько процентов вы заработаете?
[reveal-answer q=”14596″]Показать решение[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”14596″]Каждый год вы будете получать 5% годовых: 1000 долларов (0,05) = 50 долларов в виде процентов. Таким образом, в течение пяти лет вы заработаете в общей сложности 250 долларов в виде процентов. Когда срок погашения облигации истекает, вы получите обратно 1000 долларов, которые вы первоначально заплатили, в результате чего у вас останется 1250 долларов.[/hidden-answer]
Дальнейшее объяснение решения этого примера можно увидеть здесь.
Мы можем обобщить эту идею простых процентов во времени.
Простые проценты с течением времени
(4)
Единицы измерения (годы, месяцы и т.
д.) для времени должны соответствовать периоду времени для процентной ставки.
APR – годовая процентная ставка
Процентные ставки обычно указываются в виде годовой процентной ставки (APR) – общая сумма процентов, которые будут выплачены в течение года. Если проценты выплачиваются меньшими временными интервалами, годовая процентная ставка будет разделена.
Например, ежемесячная выплата в размере 6% годовых будет разделена на двенадцать платежей по 0,5%.
Годовая ставка 4%, уплачиваемая ежеквартально, будет разделена на четыре платежа по 1%.
Пример
Казначейские облигации (казначейские облигации) — это облигации, выпущенные федеральным правительством для покрытия его расходов. Предположим, вы получили казначейские облигации на 1000 долларов с годовой ставкой 4%, выплачиваемой раз в полгода, со сроком погашения через 4 года. Сколько процентов вы заработаете?
Решение:
Так как проценты выплачиваются раз в полгода (два раза в год), процентная ставка 4% будет разделена на два платежа по 2%.
(6) = 1000 долларов | основной |
| г = 0,02 | Ставка 2% за полугодие |
| т = 8 | 4 года = 8 полугодий |
| I = 1000 долларов (0,02) (8) = 160 долларов. | Вы заработаете 160 долларов США в виде процентов за четыре года. |
В этом видео объясняется решение.
Попробуйте
Нажмите здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.
Попробуйте
Кредитная компания взимает проценты в размере 30 долларов США за месячный кредит в размере 500 долларов США. Найдите годовую процентную ставку, которую они взимают.
Решение:
I = $30 процентов
= $500 основной суммы
r = неизвестно
t = 1 месяц
Используя , получаем . Решая, получаем r = 0,06, или 6%. Поскольку время было месячным, это ежемесячный процент. Годовая ставка будет в 12 раз больше: 72% годовых.
Попробуйте
Нажмите здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.
Сложные проценты
С простыми процентами мы предполагали, что мы прикарманили проценты, когда получили их. На стандартном банковском счете любые проценты, которые мы зарабатываем, автоматически добавляются к нашему балансу, и мы получаем проценты на эти проценты в последующие годы. Это реинвестирование процентов называется начислением сложных процентов .
Предположим, что мы кладем 1000 долларов на банковский счет с ежемесячной процентной ставкой 3%. Как будут расти наши деньги?
Процентная ставка в размере 3% представляет собой годовую процентную ставку (APR) – общую сумму процентов, подлежащих выплате в течение года. Поскольку проценты выплачиваются ежемесячно, каждый месяц мы будем зарабатывать 3% ÷ 12 = 0,25% в месяц.
В первый месяц
- P 0 = 1000 долларов
- r = 0,0025 (0,25%)
- I = 1000 долл. США (0,0025) = 2,50 долл. США
- A = 1000 долл. США + 2,50 долл. США = 1002,50 долл. США
В первый месяц мы заработаем 2,50 доллара в виде процентов, увеличив баланс нашего счета до 1002,50 доллара.
Во втором месяце
- P 0 = 1002,50 долл. США
- I = 1002,50 долл. США (0,0025) = 2,51 долл. США (округлено)
- A = 1002,50 долл. США + 2,51 долл. США = 1005,01 долл. США
Обратите внимание, что во второй месяц мы заработали больше процентов, чем в первый месяц. Это связано с тем, что мы заработали проценты не только на первоначальные 1000 долларов США, которые мы внесли, но мы также получили проценты на 2,50 доллара США процентов, которые мы заработали в первый месяц. Это ключевое преимущество начисление процентов дает нам проценты.
Подсчет еще нескольких месяцев дает следующее:
| Месяц | Начальный баланс | Полученные проценты | Конечный баланс |
| 1 | 1000.00 | 2,50 | 1002.50 |
| 2 | 1002.50 | 2,51 | 1005.01 |
| 3 | 1005.01 | 2,51 | 1007.52 |
| 4 | 1007.52 | 2,52 | 1010.04 |
| 5 | 1010.04 | 2,53 | 1012.57 |
| 6 | 1012.57 | 2,53 | 1015.10 |
| 7 | 1015.10 | 2,54 | 1017,64 |
| 8 | 1017,64 | 2,54 | 1020.18 |
| 9 | 1020.18 | 2,55 | 1022.73 |
| 10 | 1022. 73 | 2,56 | 1025.29 |
| 11 | 1025.29 | 2,56 | 1027,85 |
| 12 | 1027,85 | 2,57 | 1030.42 |
Мы хотим упростить процесс расчета сложных процентов, поскольку создание таблицы, подобной приведенной выше, требует много времени. К счастью, математика хорошо подсказывает, как срезать путь. Чтобы найти уравнение, представляющее это, если P м представляет собой сумму денег через м месяцев, тогда мы могли бы написать рекурсивное уравнение:
P 0 = 1000 долларов
P м = (1+0,0025) P м-1
Вы, вероятно, знаете, что это рекурсивная форма экспоненциального роста. Если нет, мы проходим шаги, чтобы построить явное уравнение для роста в следующем примере.
Пример
Постройте явное уравнение для роста 1000 долларов, размещенных на банковском счете с процентной ставкой 3%, ежемесячно начисляемой на сложные проценты.
Решение:
- P 0 = 1000 долларов
- P 1 = 1,0025 P 0 = 1,0025 (1000)
- P 2 = 1,0025 P 1 = 1,0025 (1,0025 (1000)) = 1,0025 2(1000)
- P 3 = 1,0025 P 2 = 1,0025 (1,00252(1000)) = 1,00253(1000)
- П 4 = 1,0025 P 3 = 1,0025 (1,00253(1000)) = 1,00254(1000)
Наблюдая закономерность, мы можем сделать вывод:
- P м = (1,0025) м (1000 долларов США)
Обратите внимание, что 1000 долларов в уравнении были P 0 , начальной суммой. Мы нашли 1,0025, прибавив единицу к темпу роста, деленному на 12, поскольку мы начисляли сложные проценты 12 раз в год.
Обобщая наш результат, мы могли бы написать
В этой формуле:
- m — количество периодов начисления процентов (в нашем примере месяцев)
- r это годовая процентная ставка
- k – количество соединений в год.
Посмотрите это видео, чтобы ознакомиться с концепцией сложных процентов.
Хотя эта формула работает нормально, чаще используется формула, включающая количество лет, а не количество периодов начисления сложных процентов. Если N — количество лет, тогда м = N k . Это изменение дает нам стандартную формулу сложных процентов.
Сложные проценты
- P N остаток на счете после N лет.
- P 0 — начальный баланс счета (также называемый начальным депозитом или основной суммой)
- r — годовая процентная ставка в десятичной форме
- k — количество периодов начисления процентов в одном году.
- Если начисление производится ежегодно (раз в год), к = 1.
- Если начисление процентов производится ежеквартально, к = 4.
- Если начисление процентов производится ежемесячно, к = 12.
- Если начисление процентов производится ежедневно, k = 365.
- Если начисление производится ежегодно (раз в год), к = 1.
Самое важное, что нужно помнить об использовании этой формулы, это то, что она предполагает, что мы кладем деньги на счет один раз и оставляем их там, принося проценты.
В следующем примере показано, как использовать формулу сложных процентов для определения остатка по депозитному сертификату через 20 лет.
Пример
Депозитный сертификат (CD) — это сберегательный инструмент, который предлагают многие банки. Обычно это дает более высокую процентную ставку, но вы не можете получить доступ к своим инвестициям в течение определенного периода времени. Предположим, вы вкладываете 3000 долларов в депозитный сертификат с ежемесячной процентной ставкой 6%. Сколько будет у вас на счету через 20 лет?
Решение:
В этом примере
| P 0 = $3000 | первоначальный взнос |
| г = 0,06 | 6% годовых |
| к = 12 | 12 месяцев в 1 году |
| N = 20 | так как мы ищем, сколько у нас будет через 20 лет |
Итак (округлите ответ до копейки)
Ниже представлено видео с решением этой задачи.
Давайте сравним сумму денег, заработанную на сложном проценте, с суммой, которую вы заработаете на простых процентах
| Годы | Простые проценты (15 долларов США в месяц) | 6% ежемесячно начисляется = 0,5% каждый месяц. |
| 5 | $3900 | 4046,55 $ |
| 10 | $4800 | 5458,19 $ |
| 15 | $5700 | 7362,28 $ |
| 20 | 6600 $ | 9930,61 $ |
| 25 | $7500 | 13394,91 $ |
| 30 | $8400 | 18067,73 $ |
| 35 | $9300 | 24370,65 $ |
Как видите, в течение длительного периода времени начисление сложных процентов сильно влияет на баланс счета. Вы можете распознать в этом разницу между линейным ростом и экспоненциальным ростом.
Попробуйте
Нажмите здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.
Оценка степени на калькуляторе Desmos
Когда нам нужно вычислить что-то подобное, достаточно просто умножить. Но когда нам нужно вычислить что-то вроде , было бы очень утомительно вычислять это, умножая на себя раз! Поэтому, чтобы упростить задачу, мы можем использовать возможности наших научных калькуляторов. В этом классе мы используем калькулятор Desmos. Если вы просто хотите возвести число в квадрат, ключ и 2 . Если вы хотите возвести число в другую степень, вы используете клавишу a b в главном меню.
Для оценки мы должны ввести 1,005 a b 240 . Попробуйте — вы должны получить ответ на рисунке ниже:
В большинстве научных калькуляторов есть кнопка для экспоненты. Если вы не используете калькулятор Desmos, он обычно помечен следующим образом:
Пример
Вы знаете, что через 18 лет вам потребуется 40 000 долларов на образование вашего ребенка. Если ваш счет зарабатывает 4% ежеквартально, сколько вам нужно внести сейчас, чтобы достичь своей цели?
Решение:
В этом примере мы ищем P 0 .
| г = 0,04 | 4% |
| к = 4 | 4 квартала в 1 году |
| N = 18 | Так как мы знаем баланс через 18 лет |
| P 18 = 40 000 долларов США | Сумма, которую мы имеем за 18 лет |
В этом случае нам нужно составить уравнение и найти P 0 .
(7)
Таким образом, вам нужно внести 19 539,84 долларов США сейчас, чтобы иметь 40 000 долларов через 18 лет.
Попробуйте
Щелкните здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.
Округление
Если вы не вводите всю формулу в Desmos, а делаете это по частям, важно быть очень осторожным с округлением при расчетах с показателями степени. В общем, вы хотите сохранить как можно больше десятичных знаков во время вычислений. Убедитесь, что содержит не менее 3 значащих цифр (числа после любых начальных нулей). Округление 0,00012345 до 0,000123 обычно дает «достаточно близкий» ответ, но всегда лучше оставить больше цифр.
Пример
Чтобы понять, почему недопустимость чрезмерного округления так важна, если вы решите не вводить сразу всю формулу в Desmos, предположим, что вы инвестируете 1000 долларов США под 5% годовых, начисляемых ежемесячно в течение 30 лет.
| P 0 = 1000 долларов | первоначальный взнос |
| г = 0,05 | 5% |
| к = 12 | 12 месяцев в 1 году |
| Н = 30 | так как ищем сумму через 30 лет |
Если мы сначала вычислим r/k , то получим 0,05/12 = 0,00416666666667
Вот результат округления до различных значений:
| Получается P30 : | Ошибка | |
| 0,004 | 4208,59 $ | 259,15 $ |
| 0,0042 | 4521,45 $ | 53,71 $ |
| 0,00417 | 4473,09 $ | 5,35 $ |
| 0,004167 | 4468,28 $ | 0,54 $ |
| 0,0041667 | 4467,80 $ | 0,06 $ |
| без округления | 4467,74 $ |
Если вы работаете в банке, вы, конечно, вообще не будете округлять. Для наших целей ответ, который мы получили, округлив до 0,00417, трех значащих цифр, достаточно близок — скидка 5 долларов с 4500 долларов не так уж и плоха. Конечно, сохранение этого четвертого знака после запятой не помешало бы.
Просмотрите следующее для демонстрации этого примера.
Использование калькулятора Desmos
Во многих случаях можно полностью избежать округления, вводя данные в калькулятор. Например, в приведенном выше примере нам нужно было вычислить
. Мы можем быстро вычислить это на калькуляторе Desmos, введя формулу сразу:
Чтобы ввести это в калькулятор, введите следующее:
1000 * (1 + .05/12) a b (12 * 30)
. Теперь вы можете округлить свой окончательный ответ до ближайшего цента.