Сборник задач по математике 5 класс виленкин: 5 класс — задания по математике по к учебникам Виленкина, Зубаревой, Мерзляк. Домашние задания для 1, 2, 3 и 4 онлайн, скачать

Содержание

Ооо «тид «Русское слово рс»

1. /5 класс. Математика/Литература.doc
2. /5 класс. Математика/Поурочное планирование.doc
3. /5 класс. Математика/Пояснит записка.doc
5. /5 класс. Математика/содержат характеристики.doc

Сборник задач по математике для учащихся 5 6 кл. М.: Ооо «тид «Русское слово рс»
Цель урока
Пояснительная записка Математическое образование
Название темы

Используемая литература

Для ученика:

Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. – М.: Мнемозина, 2005.
Дидактические материалы по математике для 5 кл. Чесноков А.С., Нешков К.И. – М.: Классикс Стиль, 2008.
Рудницкая В.Н. Математика. 5 класс. Рабочая тетрадь №1, №2. – М.: Мнемозина, 2007.

Для учителя

Жохов В.И. «Преподавание математики в 5 и 6 кл. »: Методические рекомендации для учителя к учеб. Виленкина Н.Я. и др. — Русское слово, 1998.
Жохов В.И., Погодин В.Н. Математический тренажер. 5 кл.: Пособие для учителей и учащихся к учебнику «Математика. 5 кл.» (авт. Н.Я. Виленкин и др.)
Жохов В.И. Математический тренажер: для учащихся 5 – 7 классов: выпуск 2, 3 /В.И. Жохов, В.Н. Погодин.– М.: Новый учебник, 2006.
Жохов В.И., Митяева И.М. Математические диктанты. 5 кл.: Пособие для учителей и учащихся к учебнику «Математика. 5 кл.» (авт. Н.Я. Виленкин и др.)
Жохов В.И., Крайнева Л. Б. «Математика. 5 класс» Пособие для учащихся образовательных учреждений
Жохов В.И. Программа «Математика» 5-6 кл.
Ершова А.П. Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 5 класса.- М.: Илекса, — 2008
Ершова А.П. Голобородько В.В. Устная математика для класс.- М.: Илекса, — 2008
Математика. 5 класс: поурочные планы по учебнику Н.Я.Виленкина и др. Первое полугодие. — / авт.-сост. З.С.Стромова, О.В.Пожарская.- Волгоград: учитель, 2008.
Математика. 5 класс: поурочные планы по учебнику Н.Я.Виленкина и др. Второе полугодие. — / авт.-сост. З.С.Стромова, О.В.Пожарская.- Волгоград: учитель, 2008.
Попова Л.П. Поурочные разработки по математике: 5 класс. –М.: ВАКО, 2008.
Шевкин А.В. Сборник задач по математике для учащихся 5 – 6 кл. – М.: ООО «ТИД «Русское слово – РС», 2001.
20 тестов по математике: 5-6 классы / С.С. Минаева. – М.: Издательство «Экзамен», 2009.
Контрольные работы. 5, 6 кл. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.П. — НПО Образование, 1998.
Фридман Л.М. Изучаем математику. 5-6 кл. — Просвещение, 1995.
Математика. Методические рекомендации. Мельникова Н.Б. (Уровневая дифференциация обучения). — Образование для всех, 1995.
Попов М.А. Контрольные и самостоятельные работы по математике: 5 класс: К учебнику Н. Я. Виленкина и др. «математика. 5 класс» / М.А. Попов – м.: Издательство «Экзамен», 2005.
Тематическое и поурочное планирование по математике: 5-й класс.: К учебнику Н.Я. Виленкина и др. «Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина»: Метод. пособие. / Т.В. Ермилова. – М.: Издательство «Экзамен», 2004. – 159, [1] с.:ил.
Тесты. Математика. 5-11 кл. –сост. Максимовская М.А., Пчелинцев Ф.А., и др. М.: «Олимп», «Издательство АСТ», 2000
Математика: контрольные работы для 5-6 классов общеобразовательных учреждений: кн. для учителя / Л.В.Кузнецова, С.С. Минаева, Л.О.Рослова, Н.В.Сафонова – М.: Просвещение, 2005
Математика. 5-7 классы: таблицы-тренажеры / авт. –сост. С.В. Токарева. – Волгоград: Учитель, 2009.
Гончарова Т.Д. Обучение на основе технологии «полного усвоения» . – М.: Дрофа, 2004. – 256 с. –(Библиотека учителя).
Я иду на урок математики. 5 класс: Книга для учителя. – М.: Издательство «Первое сентября», 2000.
Журнал «Математика в школе» № 6, 10- 2004; № 4 -2005
Газета «Математика», приложение к газете «Первое сентября».
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: Просвещение, 1999.

Цифровые образовательные ресурсы

Математика 5 – 11 класс. Практикум. Электронное издание. Серия 1С: школа, платформа 1С: Образование 3.0, 2006.
Математика 5-11 класс. Учебное электронное издание. НПФК, Издательство «Дрофа» и ООО «ДОС», 2005.
Математика и конструирование. ЭУП. ООО «ДОС», 2005.
Математика 5-11. Практикум. Учебное электронное издание. Новые возможности усвоения курса математики.
Вероятность и статистика. 5-9. Практикум. Электронный практикум предназначен для изучения основ теории вероятностей и математической статистики. На диске представлены 9 виртуальных лабораторий, учебное пособие содержит 200 задач по теории вероятностей и статистике. «Дрофа», 2007.
Математика 5-6 классы. Дидактический и раздаточный материал. Издательство «Учитель», 2009.
Математика. Поурочные планы по учебникам Н.Я.Виленкина, Жохова В.И., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. 5-6 классы. Издательство «Учитель», 2009.
Наглядные пособия. Портреты великих ученых с краткой биографией. Издательство «Учитель», 2008.

Список литературы для подготовки к олимпиадам

Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. «Математические олимпиады Московской области» — М.: Изд-во МФТИ, 2003.
Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Подлипский О.К., Терешин Д.А. Матемаитка: Всеросийские олимпиады. Выпуск первый. М.Просвещение, 2007
Агаханов Н.Х., Терешин Д.А.., Терешин Д.А. Матемаитка: Международные олимпиады. Выпуск первый. М.Просвещение, 2007
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. «Всероссийская олимпиада школьников по математике», изд. АПКиППРО, Москва – 2005.
Агаханов Н.Х., Терешин Д.А., Кузнецова Г.М. «Школьные математические олимпиады» — М.: Дрофа, 1999.
И.Л. Бабинская «Задачи математических олимпиад», М.
Н.Б. Васильев, В.Л. Гутеншахер, Ж.И. Работ, А.Л. Тоом, «Заочные математические олимпиады».
Васильева И.Е., Дольников В.Л. «Математические олимпиады и подготовка к ним»// в печати.
Васильев Н.Б., Егоров А.А. «Задачи Всесоюзных математических олимпиад».
Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады. – М.: Просвещение, 1986.
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В, Ленинградские математические кружки. – Киров: Аса, 1994.
Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.
Канель-Белов А., Ковальджи А. Под редакцией Ю.С. Ильященко, В.М. Тихомирова «Московские математические олимпиады 60 лет спустя».
Леман А.А. Сборник задач Московских математических олимпиад. – М.: Просвещение, 1965.
Спивак А.В. Математический праздник. Ч.III. – М.Бюро Квантум, 2001.
А.В. Семенов, под редакцией А.Д. Блинкова, А.В. Семенова «Школьный интеллектуальный марафон».
Пойя Д. «Математика и правдоподобные рассуждения». – М.: Наука, 1975г.
Козлова Е.Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка. – М.: МЦНМО, 2006.
Олимпиадные задания по математике. 5-6 классы / авт.- сост. Ю.В. Лепёхин. – Волгоград: Учитель, 2009.
Все задачи «Кенгуру». – Санкт-Петербург, 2005.
Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку: Учебное пособие для 5-6 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1996.

Электронные источники для подготовки учащихся к олимпиадам.
https://mccme.ru/olympiads/mmo/ — Московский центр непрерывного математического образования. Московские математические олимпиады. Задачи окружных туров олимпиады для школьников 5-11 классов начиная с 2000 года. Задачи городских туров олимпиады для школьников 8-11 классов начиная с 1999 года. Все задачи с подробными решениями и ответами. Новости олимпиады. Победители и призеры олимпиад. Статистика.
http://olympiads.mccme.ru/regata/ — математические регаты.
http://olympiads.mccme.ru/matboi/ — Математический турнир математических боев.
http://olympiads.mccme.ru/turlom – Турнир имени М.В.Ломоносова.
http://kyat.mccme.ru/ — Научно-популярный физико-математический журнал «Квант».
http://abitu.ru/distance/zftshl.html — Заочная физико-математическая школа при МФТИ.
http://attend.to/dooi — Дистанционные олимпиады.
https://aimakarov.chat.ru/school/school.html — Школьные и районные математические олимпиады в Новосибирске. Задачи для 3-11 классов с 1998 года по настоящее время.

Без решений. Раздел занимательных и веселых задач.
https://zaba.ru/ — Олимпиадные задачи по математике: база данных. Около 8000 задач школьных, региональных, всероссийских и международных конкурсов, олимпиад и турниров по математике. Многие задачи с ответами, указаниями, решениями. До 2001 года (включительно). Возможности поиска.

https://homepages.compuserve.de/chasluebeck/matemat/task_1.htm — Задачи некоторых математических олимпиад и турниров. Задания региональных (Москва, Урал, Луганск, Волгоград и др.) и других (МФТИ, Соросовская и т.д.) олимпиад по математике, а также математических турниров (Ломоносовские игры). Для 6-11 классов. Указания и решения доступны зарегистрированным пользователям.
http://www.shevkin.ru — Проект Shevkin.ru. Задачи школьных математических олимпиад.
Перечень сайтов, полезных учителю математики
http://www.ed.gov.ru – Сайт Министерства образования РФ

https://obrnadzor.gov.ru/attestat/ — Федеральная служба по надзору в сфере образования (государственная итоговая аттестация школьников)

http://www.ipkps.bsu.edu.ru – Белгородский региональный институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки специалистов (см. раздел «Виртуальный методический кабинет»- Математика)
http://www.prosv.ru — сайт издательства «Просвещение» (рубрика «Математика»)
http:/www.mnemozina.ru — сайт издательства Мнемозина (рубрика «Математика»)

http:/www.drofa.ru — сайт издательства Дрофа (рубрика «Математика»)

http://www. profile—edu.ru — Рекомендации и анализ результатов эксперимента по профильной школе. Разработки элективных курсов для профильной подготовки учащихся. Примеры учебно-методических комплектов для организации профильной подготовки учащихся в рамках вариативного компонента.

http://www.edu.ru — Центральный образовательный портал, содержит нормативные документы Министерства, стандарты, информацию о проведение эксперимента.

http://www.ed.gov.ru — На сайте представлена нормативная база: в хронологическом порядке расположены законы, указы, которые касаются как общих вопросов образования так и разных направлений модернизации.

http://www.ege.edu.ru сервер информационной поддержки Единого государственного экзамена.

http://www.internet—scool. ru — сайт Интернет – школы издательства Просвещение. Учебный план разработан на основе федерального базисного учебного плана для общеобразовательных учреждений РФ и представляет область знаний «Математика». На сайте представлены Интернет-уроки по алгебре и началам анализа и геометрии, с включают подготовку сдачи ЕГЭ.

http://www.intellecctntre.ru – сайт издательства «Интеллект — Центр» содержит учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике, сборники тестовых заданий.
http://www.shevkin.ru — Проект Shevkin.ru. Задачи школьных математических олимпиад. Дидактический материал к УМК Никольского.

Домашняя работа к уч. Виленкина Н.Я. (к двум изд.) ФГОС, Попов М.А. . Решебник , СПИШИ.РУ , 9785906767141 2017г. 87,40р.

Попов М.А.

Серия: Решебник

87,40р.

Только в магазинах

В наличии в 11 магазинах

Ангарск, ПродаЛитЪ Вертикаль

Иркутск, ПродаЛитЪ Ангара

Иркутск, ПродаЛитЪ Детский кварталЪ

Иркутск, ПродаЛитЪ Зачетка

Посмотреть все магазины

Цена в магазине может отличаться
от цены, указанной на сайте.

Поделиться ссылкой в:

Издательство:СПИШИ.РУ

ISBN:978-5-906767-14-1

Штрих-код:9785906767141

Страниц:190

Тип обложки:Мягкая

Год:2017

НДС:10%

Код:587393

Описание

.В пособии решены и в большинстве случаев подробно разобраны задачи и упражнения из учебников «Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. организаций / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 33-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2014» и «Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 14-е изд., стереотип. — М. : Мнемозина, 2004». Пособие адресовано родителям, которые смогут проконтролировать правильность решения, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней работы по математике

Смотреть все

185,00р.

-20% после регистрации

Математика.

5 класс: Дидактические материалы к учебнику Виленкина ФГОС (2023 г.)

Попов М.А.

324,00р.

-20% после регистрации

ЕГЭ 2023. Математика. Профильный уровень: 40 тренировочных вариантов ЕГЭ и теоретический справочник (2023 г.)

Лаппо Л.Д., Попов М.А.

157,50р.

-20% после регистрации

Математика. 6 кл.: Дидактические материалы к учеб. Виленкина Н.Я. (к новому ФПУ) (2021 г.)

Попов М.А.

177,00р.

Математика. 5 класс: Контрольные и самостоятельные работы к учебнику Виленкина (к новому ФПУ) (2023 г.

)

Попов М.А.

Магазины

284,00р.

ОГЭ 2023. Математика. Сборник заданий (2023 г.)

Лаппо Л.Д., Попов М.А.

Магазины

321,00р.

ОГЭ 2023. Математика. 40 тренировочных вариантов ЕГЭ и теоретический справочник (2023 г.)

Лаппо Л.Д., Попов М.А.

Магазины

320,00р.

ОГЭ 2023. Математика: Репетитор. Эффективная методика. 38 типовых вариантов экзаменационных заданий (2023 г.)

Лаппо Л.Д., Попов М. А.

Магазины

321,00р.

ЕГЭ 2023. Математика. Профильный уровень: Репетитор (2023 г.)

Лаппо Л.Д., Попов М.А.

Магазины

271,00р.

ЕГЭ 2023. Математика: Базовый и профильный уровни: Экзаменационный тренажер. 20 экзаменационных вариантов (2023 г.)

Лаппо Л.Д., Попов М.А.

Магазины

123,00р.

Математика. 5 кл.: Дидактические материалы к учеб. Виленкина ФГОС (2021 г.)

Попов М.А.

Магазины

160,00р.

Математика. 5 кл.: Контрольные и самостоятельные работы к учебн. Виленкина (2021 г.)

Попов М.А.

Магазины

191,50р.

ОГЭ 2021. Математика: Экзаменационный тренажер. 20 экаменационных вариантов (2021 г.)

Лаппо Л.Д., Попов М.А.

Магазины

125,50р.

Математика. 6 кл.: Контрольные и самостоятельные работы к уч. Виленкина Н. (2019 г.)

Попов М.А.

Магазины

90,10р.

Математика. 5 кл.: Домашняя работа к учеб.

Никольского С.М. и др. (2018 г.)

Попов М.А.

Магазины

152,00р.

Математика. 6 кл.: Дидактические материалы к учеб. Виленкина Н.Я. ФГОС (2018 г.)

Попов М.А.

Магазины

137,20р.

ОГЭ 2018. Математика: Сборник заданий (2018 г.)

Лаппо Л.Д., Попов М.А.

Магазины

144,00р.

Алгебра. 8 кл.: Дидактические материалы к учеб. Мордковича А.Г. ФГОС (2017 г.)

Попов М. А.

Магазины

77,00р.

Алгебра. 7 кл.: Контрольные и самостоят. работы к уч. Мордковича А.Г. ФГОС (2017 г.)

Попов М.А.

Магазины

98,40р.

Математика. 6 кл.: Контрольные и самостоятельные работы к уч. Виленкина Н. (2017 г.)

Попов М.А.

Магазины

151,10р.

ЕГЭ. Математика: Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ (2017 г.)

Лаппо Л.Д., Попов М.А.

Магазины

Смотреть все

82,00р.

-20% после регистрации

Геометрия. 9 кл.: Домашняя работа к раб. тетр. и учеб. Атанасяна Л.С. (2018 г.)

Сапожников А.А.

129,50р.

-20% после регистрации

Математика. 3 кл.: Домашняя работа к раб. тетр. и учеб. Петерсон Л. «Учусь (2018 г.)

Петрова М.И.

75,50р.

-20% после регистрации

Английский язык. 2 кл.: Домашняя работа к учеб. Быковой Н.И. (2018 г.)

Рябинина А.А.

98,00р.

-20% после регистрации

Математика.

4 кл.: Домашняя работа к учеб. Рудницкой + к рабочим тетр ФГОС (2017 г.)

Асриева М.В.

82,00р.

-20% после регистрации

Математика. 2 кл.: Домашняя работа к учебнику В.Н.Рудницкой (2017 г.)

Бахтина С.В.

98,00р.

-20% после регистрации

Математика. 5 кл.: Решение контрольных и самост. работ к пособ. Чеснокова (2017 г.)

Лаппо Л.Д.

98,00р.

-20% после регистрации

Русский язык. 9 кл.: Домаш. работа к учеб. Разумовской М. Вертикаль ФГОС (2017 г.

)

Ерманок А.А.

64,68р.

-20% после регистрации

Русский язык. 6 кл.: Домашняя работа к учеб. Баранова М.Т. (2017 г.)

Кудинова А.В.

41,60р.

-20% после регистрации

Информатика. 6 кл.: к учеб. Л.Л. Босовой + к рабочим тетрадям ФГОС (2016 г.)

Шульцева О.В.

80,40р.

-20% после регистрации

Английский язык. 2 кл.: Домашняя работа к учебнику И.Н. Верещагиной ФГОС (2016 г.)

Бычкова Т.А.

41,60р.

-20% после регистрации

Немецкий язык. 4 кл.: Домашняя работа к учеб. и рабочей тетради Бим И.Л. (2016 г.)

Герасимова Е.Ю.

66,60р.

-20% после регистрации

Литература. 8 кл.: Домашняя работа к учеб. Коровиной В.Я. ФГОС (2016 г.)

Тищенко О.А.

110,00р.

Английский язык. 7 кл.: Домашняя работа к учеб. и раб. тетради Ваулиной Ю. (2018 г.)

Гарист Н.А.

Магазины

90,10р.

Геометрия. 8 кл.: Домашняя работа к уч. Атанасяна + к рабочей тетради ФГОС (2018 г.

)

Прокопович А.Н.

Магазины

75,50р.

Русский язык. 5 кл.: Домашняя работа к учеб. Ладыженской Т.А. ФГОС (2018 г.)

Кудинова А.В.

Магазины

79,00р.

Литература. 7 кл.: Домашняя работа к учеб. Коровиной В. ФГОС к новому учеб. (2018 г.)

Тищенко О.А.

Магазины

87,40р.

Математика. 6 кл.: Домашняя работа к уч. Виленкина Н.Я. ФГОС к новому учеб. (2018 г.)

Панов Н.А.

Магазины

82,00р.

Алгебра. 7 кл.: Домашняя работа к учеб. Макарычева Ю.Н. ФГОС (2018 г.)

Морозов А.В.

Магазины

87,40р.

Математика. 3 кл.: Домашняя работа к учеб. и раб. тетрдям Моро М.И. (2017 г.)

Бахтина С.В.

Магазины

41,60р.

Русский языкк. 2 кл.: Домашняя работа к учеб. В.П. Канакиной ФГОС (2017 г.)

Дьячкова Л.В.

Магазины

Смотреть все

242,50р.

Алгебра. 8 кл.: Дидактические материалы (2020 г.

)

Жохов В.И., Макарычев Ю.Н.

Магазины

766,00р.

Репетитор по биологии для старшеклассников и поступающих в вузы (2022 г.)

Шустанова Татьяна Анатольевна

Магазины

203,00р.

Математика. 7-11 классы: Карманный справочник (2022 г.)

Лысенко Ф.Ф.

Магазины

131,00р.

Математика. 3 класс: Комплексный тренажер (2022 г.)

Барковская Наталья Францевна

Магазины

172,00р.

-20% после регистрации

Математика. 5 класс: Зачетные работы к учебнику Никольского С.М. ФГОС (к новому ФПУ) (2022 г.)

Ахременкова Вера Игоревна

334,00р.

Биология в инфографике (2022 г.)

Мазур О.Ч.

Магазины

122,00р.

Физика. 7-9 кл.: Справочник ФГОС (2018 г.)

Гормцева О.И.

Магазины

419,00р.

-20% после регистрации

Математическая грамотность. Сборник эталонных заданий: Выпуск 1 Часть 1 (2022 г.

)

Ковалева Г.С., Рослова Л.О., Краснянская К.А.

100,00р.

3000 примеров по математике. 1 кл.: Считаем и объясняем. Сложение и вычитание (2021 г.)

Узорова Ольга Васильевна

Магазины

555,00р.

Физика. 10 класс: Базовый уровень. Сборник задач (2022 г.)

Заболотский А.А. Комиссаров В.Ф. Петрова М.А.

Магазины

94,50р.

Тренировочные примеры по математике. 3 кл.: Счет в пределах 1000 ФГОС (2021 г.)

Кузнецова Марта Ивановна

Магазины

179,50р.

Тренажер по математике. 2 класс ФГОС (2021 г.)

Яценко. И.Ф.

Магазины

153,00р.

География. 5-6 класс: Проверочные работы (2020 г.)

Бондарева М.В. Шидловский И.М.

Магазины

94,50р.

Тренировочные примеры по математике. 1 кл.: Счет от 6 до 10 (ФГОС) (2021 г.)

Кузнецова Марта Ивановна

Магазины

216,00р.

-20% после регистрации

Математика. 1-4 классы (2023 г.

)

Узорова Ольга Васильевна, Нефедова Елена Алексеевна

296,50р.

Геометрия. 7-11 кл.: Алгоритмы решения задач (2020 г.)

Виноградова Т.М.

Магазины

322,00р.

Решение задач по химии. 8-11 классы: Решения, методики, советы (2021 г.)

Хомченко И.Г.

Магазины

150,00р.

Математика. 4-й класс (2020 г.)

Сазонова В.А.

Магазины

81,50р.

Запоминаем таблицу умножения (2019 г.

)

Магазины

118,00р.

Таблица умножения за 3 дня (2021 г.)

Узорова Ольга Васильевна

Магазины

Н. Виленкин, “Об одном классе полных ортонормированных систем”, Изв. акад. АН СССР сер. мат., 11:4 (1947), 363–400

	Общая информация
	Последний выпуск
	Предстоящие документы
	Архив
	Импакт-фактор
	Подписка
	Руководство для авторов
	Лицензионное соглашение
	Подать рукопись

	Поисковые документы
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Выпуски архива
	Что такое RSS

Личный кабинет:
Логин:
Пароль:
	Сохранить пароль
	Введите
	Забыли пароль?
	Регистр

Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая, 1947, Том 11, Выпуск 4, Страницы 363–400 (ми им3004)

Эта статья цитируется в 34 научных статьях (всего в 34 статьях)

По классу полной ортонормированные системы

Н. Виленкин

Полный текст PDF (2338 кБ)

Поступила в редакцию: 25.07.1946

Библиографические базы данных:

Язык: Русский

Ссылка: Н. Виленкин, “Об одном классе полных ортонормированные системы”, Изв. акад. АН СССР сер. Мат., 11:4 (1947), 363–400

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Vil47} \by Н.~Виленкин \paper Об одном классе полных ортонормированные системы \jour Изв. акад. АН СССР сер. Мат. \год 1947 \том 11 \выпуск 4 \страниц 363--400 \mathnet{http://mi.mathnet.ru/im3004} \mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet -getitem?mr=22560} \zmath{https://zbmath.org/?q=an:0125.34304|0036.35601}

Варианты соединения:

https://www.mathnet.ru/eng/im3004

https://www.mathnet.ru/eng/im/v11/i4/p363

Эта публикация цитируется в следующих статьях:

А. М. Зубакин, “К теории полных мультипликативных периодических ортонормированных систем”, УМН, 24:6(150) (1969), 187–188
С. Л. Блюмин, Б. Д. Котляр, “Операторы Гильберта–Шмидта и абсолютная сходимость рядов Фурье”, Матем. СССР-Изв., 4:1 (1970), 215–223
Г. А. Акишев, С. Т. Махашев, “Об абсолютной сходимости рядов Фурье по обобщенной системе Хаара”, Изв. (Из. ВУЗ), 44:3 (2000), 6–14
А. И. Рубинштейн, “О наилучшей сходимости”, Матем. Math., 192:2 (2001), 277–297
В. С. Выхованец, В. Д. Малюгин, “Мультипликативная алгебра и ее применение в логической обработке данных”, Пробл. управл., 3 (2004), 67–77
Г. А. Акишев, “О порядках приближения классов функций многочленами по обобщенной системе Хаара”, Изв. (Из. ВУЗ), 2005, вып. 3, 11–20
С. С. Волосивец, “Сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам и модуль непрерывности $p$-флуктуаций”, Сиб. матем. J., 47:2 (2006), 193–208
Г. А. Акишев, “О порядках приближения классов полиномами по общей системе Хаара”, Сиб. электрон. матем. изв., 3 (2006), 92–105
В. С. Выхованец, “Алгебраическое разложение дискретных функций”, Автомат. Пульт дистанционного управления, 67: 3 (2006), 361–39.2
М. Г. Плотников, “О множествах единственности кратных рядов Уолша”, Матем. Notes, 81:2 (2007), 234–246
Г. А. Акишев, “Абсолютная сходимость рядов Фурье суперпозиций функций”, Изв. (Из. ВУЗ), 53:11 (2009), 1–8
Казарян М.Л., “Оптимальное зонное кодирование цифровых липшицевых сигналов посредством класса системы модифицированных преобразований хаара”, Телекоммуникации, 2011, №1. 1, 2–10 9r$ по системе Виленкина”, Изв. (Из. ВУЗ), 57:2 (2013), 25–33
М. Г. Плотников, “Кратные ряды Уолша и множества Зигмунда”, Матем. Notes, 95:5 (2014), 686–696
Волосивец С.С., “Теоремы типа Винера для рядов Фурье–Виленикина с неотрицательными коэффициентами и полнотелыми пространствами”, Матем. Неравный. Appl., 17:4 (2014), 1415–1425
М. С. Беспалов, “Производящий оператор для дискретных функций Крестенсона”, Пробл. Передача, 51:1 (2015), 37–48
В. И. Щербаков, “Расходимость рядов Фурье по обобщенным системам Хаара в точках непрерывности функции”, Изв. (Из. ВУЗ), 60:1 (2016), 42–59
С. А. Саргсян, “О константах Лебега систем Виленкина”, Уч. записки ЕГУ, сер. Физика и математика, 2016, № 1, с. 2, 63–66
В. И. Щербаков, “Признак Дини–Липшица для обобщенных систем Хаара”, Изв. Сарат. ун-та. нояб. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика, 16:4 (2016), 435–448
В. И. Щербаков, “Майоранты ядер Дирихле и поточечные признаки Дини для обобщенных систем Хаара”, Матем. Notes, 101:3 (2017), 542–565
Сагателян Т.М., “О поточечной универсальности частных сумм рядов Фурье классов l-P,P >= 1 по системе Крестенсона — Леви”, Матем. Монтиснигри, 40 (2017), 24–35
Г. Г. Геворкян, К. А. Навасардян, “Теоремы единственности для обобщенных систем Хаара”, Матем. Примечания, 104:1 (2018), 10–21
Григорян М.Г., Саркисян С.А., “Сходимость почти всюду жадного алгоритма по системе Виленкина”, Журн. контемп. Мат. Анал.-Арм. акад., 53:6 (2018), 331–345
Ю. А. Фарков, “Дискретные вейвлет-преобразования в анализе Уолша”, Фундамент. науч. (Нью-Йорк), 257:1 (2021), 127–137
В. И. Щербаков, “Сравнение V- и S-тестов Дини. Контрпримеры на симметричные критерии Дини по системам типа Хаара и Уолша”, Изв. (Из. ВУЗ), 63:9(2019), 63–83
С. М. Воронов, “Некоторые признаки сходимости рядов Фурье по системе Виленкина в случае неограниченного $p_k$”, Вестник Московского государственного университета, 74:5 (2019), 195–197
Холщевникова Н., “Проблема объединения и проблема категорий множеств единственности в теории ортогональных рядов”, Real Anal. Exch., 44:1 (2019), 65–76
С. М. Воронов, “Аналог критерия Харди–Литтлвуда для рядов Фурье по системе Виленкина в случае неограниченного $p_k$”, Вестник Московского университета по математике, 75:2 (2020), 80–82
А. С. Целищев, “Неравенство Литтлвуда–Пэли–Рубио де Франсиа для ограниченных систем Виленкина”, Матем. Math., 212:10 (2021), 1491–1502
Ю. А. Фарков, “Фреймы в анализе Уолша, матрицы Адамара и равномерно распределенные множества”, Материалы 20 Международной Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложений», Саратов, 28 января — 1 февраля 2020 г. Часть 1, Итоги науки и техн. сер. соврем. мат. я ее прил. Темат. обз., 199, ВИНИТИ РАН, М., 2021, 17–30
С. М. Воронов, “Равномерная сходимость рядов Фурье по системе Виленкина в случае неограниченного $p_k$”, Вестник Московского государственного университета, 77:1 (2022), 41–45
Г. Г. Ониани, “О множествах расходимости рядов Фурье по системам характеров компактных абелевых групп”, Матем. Примечания, 112:1 (2022), 100–108
С. М. Воронов, “Об признаке равномерной сходимости рядов Фурье по системе Виленкина в случае неограниченного $p_k$”, Вестник Московского государственного университета, 77:5 (2022), 247–249

Ссылки на статьи в Google Scholar: русские цитаты, английские цитаты
Статьи по теме в Google Scholar: русские статьи, Английские статьи

QR-?

Некоторые неравенства для средних Чезаро двойных рядов Виленкина–Фурье

Список журналов
Открытый выбор Спрингера
PMC6300583

Журнал неравенств и приложений

J Неравное применение 2018; 2018(1): 352.

Опубликовано в Интернете 19 декабря 2018 г. doi: 10.1186/s13660-018-1929-y

^и

мы формулируем и доказываем некоторые новые неравенства, связанные со скоростью аппроксимации Lp средними Чезаро квадратичных частных сумм двойных рядов Виленкина–Фурье функций из Lp.

Ключевые слова: Неравенства, Аппроксимация, Система Виленкина, Ряды Виленкина–Фурье, Средние Чезаро, Сходимость по норме

Пусть N+ обозначает множество натуральных чисел, и пусть N:=N+∪{0}. Пусть m:=(m0,m1,…) — последовательность натуральных чисел не менее 2. Обозначим через Zmk:={0,1,…,mk−1} аддитивную группу целых чисел по модулю mk. Определим группу Gm как полное прямое произведение групп Zmj на произведение дискретных топологий Zmj.

Прямой продукт мер

µk({j}):=1mk(j∈Zmk)

— мера Хаара на Gm с µ(Gm)=1. Если последовательность m ограничена, то Gm называется ограниченной группой Виленкина. В данной работе мы рассматриваем только ограниченные группы Виленкина. Элементы Gm могут быть представлены последовательностями x:=(x0,x1,…,xj,…) (xj∈Zmj). Групповая операция + в Gm задается выражением

x+y=((x0+y0)modm0,…,(xk+yk)modmk,…)

для x:=(x0,…,xk,…) и y:=(y0,…,yk ,…)∈Gm. Обратное + будет обозначаться -.

Легко дать базу для окрестностей Gm:

I0(x):=Gm,In(x):={y∈Gm|y0=x0,…,yn−1=xn−1}

для x∈Gm и n∈N. Определить In:=In(0) для n∈N+. Положим en:=(0,…,0,1,0,…)∈Gm, где n -я координата которого равна 1, а остальные нули (n∈N).

Определим так называемую обобщенную систему счисления, основанную на m , следующим образом: M0:=1, Mk+1:=mkMk (k∈N). Тогда каждое n∈N однозначно выражается как n=∑j=0∞njMj, где nj∈Zmj (j∈N+), и только конечное число nj отличны от нуля. Мы также используем следующие обозначения: |n|:=max{k∈N:nk≠0} (т. е. M|n|≤n

Далее введем на Gm ортонормированную систему, называемую системой Виленкина. Сначала определим комплекснозначные функции rk(x):Gm→C, обобщенные функции Радемахера, следующим образом:

rk(x):=exp2πixkmk(i2=−1,x∈Gm,k∈N).

Теперь определим систему Виленкина ψ:=(ψn:n∈N) на Gm как

ψn(x):=∏k=0∞rknk(x)(n∈N).

В частности, если m=2, то мы называем эту систему системой Уолша–Пэли. Каждый ψn является характером Gm, и все характеры Gm имеют эту норму. Более того, ψn(−x)=ψ¯n(x).

Ядра Дирихле определяются формулой

Dn:=∑k=0n−1ψk(n∈N+).

Напомним, что (см. [20] или [23])

DMn(x)={Mnif x∈In,0if x∉In.

Система Виленкина ортонормирована и полна в L1(Gm) (см. [1]).

Далее введем некоторые обозначения из теории двумерной системы Виленкина. Пусть m̃ будет последовательностью, подобной m . Связь между последовательностями (m˜n) и (M˜n) такая же, как между последовательностями (mn) и (Mn). Группа Gm×Gm˜ называется двумерной группой Виленкина. Нормализованная мера Хаара обозначается μ , как и в одномерном случае. Мы также предполагаем, что m=m˜ и Gm×Gm˜=Gm2.

Норма пространства Lp(Gm2) определяется формулой

∥f∥p:=(∫Gm2|f(x,y)|pdµ(x,y))1/p(1≤p<∞).

Обозначим через C(Gm2) класс непрерывных функций на группе Gm2, снабженных супремум-нормой.

Для краткости обозначений мы пишем L∞(Gm2) вместо C(Gm2).

Двумерные коэффициенты Фурье, прямоугольные частичные суммы рядов Фурье и ядра Дирихле по двумерной системе Виленкина определяются следующим образом:

fˆ(n1,n2):=∫Gm2f(x,y)ψ¯n1(x)ψ¯n2(y)dµ(x,y),Sn1,n2(x,y,f):=∑k1 =0n1−1∑k2=0n2−1fˆ(k1,k2)ψk1(x)ψk2(y),Dn1,n2(x,y):=Dn1(x)Dn2(y),

Обозначим

Sn(1)(x,y,f):=∑l=0n−1fˆ(l,y)ψ¯l(x),Sm(2)(x,y,f):=∑r=0m −1fˆ(x,r)ψ¯r(y),

, где

fˆ(l,y)=∫Gmf(x,y)ψl(x)dµ(x)

fˆ(x,r)=∫Gmf(x,y)ψr(y)dµ(y).

Средние (C,−α) двойного ряда Виленкина–Фурье определяются следующим образом:

σn−α(f,x,y)=1An−1−α∑j=1nAn−j−α−1Sj,j(f,x,y),

где

A0α=1,Anα=(α+1)⋯(α+n)n!.

Хорошо известно, что (см. [28])

Anα=∑k=0nAkα−1,

Anα−An−1α=Anα−1,

c1(α)nα≤Anα≤c2(α)nα,

где положительные константы c1 и c2 зависят от α .

Диадические частичные модули непрерывности функции f∈Lp(Gm2) в Lp-норме определяются соотношениями

ω1(f,1Mn)p=supu∈In∥f(⋅+u,⋅)−f(⋅,⋅)∥p

ω2(f,1Mn)p=supv∈In∥f(⋅,⋅+v)−f(⋅,⋅)∥p,

, тогда как диадический смешанный модуль непрерывности определяется следующим образом:

ω1,2(f,1Mn,1Mm)p=sup(u,v)∈In×Im∥f(⋅+u,⋅+v)−f(⋅+u,⋅)−f(⋅,⋅ +v)+f(⋅,⋅)∥p.

Понятно, что

ω1,2(f,1Mn,1Mm)p≤ω1(f,1Mn)p+ω2(f,1Mm)p.

Диадический полный модуль непрерывности определяется выражением

ω(f,1Mn)p=sup(u,v)∈In×In∥f(⋅+u,⋅+v)−f(⋅,⋅)∥p.

Проблемы суммирования частных сумм и чезаровских средних для рядов Уолша–Фурье изучались в [2, 13–19, 21, 22, 25, 26].

Вопрос сходимости средних Фейера (и Чезаро) на группах Уолша и Виленкина для неограниченного случая изучался в [3–11].

В своей монографии [27] Жижинашвили подробно исследовал поведение чезаровских (C,α)-средних для двойных тригонометрических рядов Фурье. Гогинава [18] изучала аналогичный вопрос в случае системы Уолша. В частности, были доказаны следующие теоремы.

Теорема А

Пусть ф принадлежат Lp(G2) для некоторых p∈[1,∞] и α∈(0,1). Затем , для любого 2k≤n<2k+1 (k,n∈N), имеем неравенство

∥σ2k−α(f)−f∥p≤c(α){2kαω1(f,1/2k−1)p+2kαω2(f,1/2k−1)p+∑r=0k−22r−kω1 (f,1/2r)p+∑s=0k−22s−kω2(f,1/2s)p}.

Теорема B

Пусть ф принадлежат Lp(G2) для некоторых p∈[1,∞] и α∈(0,1). Затем , для любых 2k≤n<2k+1 (k,n∈N), имеем неравенство

∥σn−α(f)−f∥p≤c(α){2kαkω1(f,1/2k−1)p+2kαkω2(f,1/2k−1)p+∑r=0k−22r−kω1 (f,1/2r)p+∑s=0k−22s−kω2(f,1/2s)p}.

В данной работе мы формулируем и доказываем аналогичные результаты для случая двойных рядов Виленкина–Фурье. Нашими основными результатами являются следующие теоремы.

Теорема 1

Пусть ф принадлежат Lp(Gm2) для некоторых p∈[1,∞] и α∈(0,1). Затем , для любого Mk≤n имеем неравенство

∥σMk−α(f)−f∥p≤c(α)(ω1(f,1/Mk−1)pMkα+ω2(f,1/Ml−1)pMkα+∑r=0k−2MrMkω1( f,1/Mr)p+∑s=0k−2MsMkω2(f,1/Ms)p).

Теорема 2

Пусть ф принадлежат Lp(Gm2) для некоторых p∈[1,∞] и α∈(0,1). Затем , для любого Mk≤n имеем неравенство

∥σn−α(f)−f∥p≤c(α)(ω1(f,1/Mk−1)pMkαlogn+ω2(f,1/Ml−1)pMkαlogn+∑r=0k−2MrMkω1(f ,1/Mr)p+∑s=0k−2MsMkω2(f,1/Ms)p).

Чтобы сделать доказательства этих теорем более ясными, мы сформулируем некоторые вспомогательные леммы в разд. 2. Некоторые из этих лемм являются новыми и представляют самостоятельный интерес. Подробные доказательства можно найти в разд. 3.

Для доказательства теорем 1 и 2 нам понадобятся следующие три леммы (см. [1, 12] и [8] соответственно)

Лемма 1

Пусть α1,α2,…,αn — действительные числа . Затем

1n∫G|∑k=1nαkDk(x)|dµ(x)≤cn(∑k=1nαk2)1/2.

Лемма 2

Лет α1,α2,…,αn — действительные числа . Затем

1n∫Gm2|∑k=1nαkDk(x)Dk(y)|dµ(x,y)≤cn(∑k=1nαk2)1/2.

Лемма 3

Пусть 0≤j и 0≤нс<мс. Затем

DnsMs-j=DnsMs-ψnsMs-1D¯j.

Нам также понадобятся следующие новые неммы, представляющие самостоятельный интерес.

Лемма 4

Пусть ф принадлежат Lp(Gm2) для некоторых p∈[1,∞]. Затем , на каждые α∈(0,1), имеем неравенство

I:=1An−α∥∫Gm2∑i=1Mk−1An−i−α−1Di(u)Di(v)[f(⋅−u,⋅−)−f(⋅,⋅)]dµ( u,v)∥p≤∑r=0k−2MrMkω1(f,1/Mr)p+∑s=0k−2MsMkω2(f,1/Ms)p,

где Мк≤n<Мк+1.

Лемма 5

Пусть α∈(0,1) и р=Мк,Мк+1,… . Затем

II:=∫Gm2|∑i=1MkAp−i−α−1Di(u)Di(v)|dµ(u,v)≤c(α)<∞,k=1,2,….

Лемма 6

Имеем неравенство

III:=∫Gm2|∑i=1nAn−i−α−1Di(u)Di(v)|dµ(u,v)≤c(α)logn

Доказательство леммы 3

Применяя преобразование Абеля, из (2) получаем

I≤1An−α∥∫Gm2∑i=1Mk−1−1An−i−α−2∑l=1iDi(u)Di(v)[f(⋅−u,⋅−v)−f(⋅ ,⋅)]dµ(u,v)∥p+1An−α∥∫Gm2An−Mk−1−α−1∑i=1Mk−1Di(u)Di(v)[f(⋅−u,⋅−v )−f(⋅,⋅)]dµ(u,v)∥p:=I1+I2,

где первое и второе слагаемые в правой части неравенства (5) обозначены I1 и I2, соответственно.

Для I2 имеем оценку

I2≤1An−α∥∫Gm2An−Mk−1−α−1∑r=1k−2∑i=MrMr+1−1Di(u)Di(v)×[f(⋅−u,⋅−v )−f(⋅,⋅)]∥pdµ(u,v)≤1An−α∥∫Gm2An−Mk−1−α−1∑r=1k−2∑i=MrMr+1−1Di(u)Di( v)×[f(⋅−u,⋅−v)−SMr,Mr(⋅−u,⋅−v,f)]dµ(u,v)∥p+1An−α∥∫Gm2An−Mk−1− α−1∑r=1k−2∑i=MrMr+1−1Di(u)Di(v)×[SMr,Mr(⋅−u,⋅−v,f)−SMr,Mr(⋅,⋅,f )]dµ(u,v)∥p+1An−α∥∫Gm2An−Mk−1−α−1∑r=1k−2∑i=MrMr+1−1Di(u)Di(v)×[SMr, Mr(⋅,⋅,f)−f(⋅,⋅)]dµ(u,v)∥p:=I21+I22+I23,

где первый, второй и третий члены в правой части неравенства (6) обозначаются I21, I22 и I23 соответственно.

Очевидно, что

∫Gm2∑i=MrMr+1−1Di(u)Di(v)[SMr,Mr(⋅−u,⋅−v,f)−SMr,Mr(⋅,⋅,f)]dµ(u, v)=∑i=MrMr+1−1(∫Gm2Di(u)Di(v)SMr,Mr(⋅−u,⋅−v,f)dµ(u,v)−SMr,Mr(⋅,⋅, f))=∑i=MrMr+1−1(Si(⋅,⋅,SMr,Mr(f))−SMr,Mr(⋅,⋅,f))=∑i=MrMr+1−1(SMr, Mr(⋅,⋅,f)−SMr,Mr(⋅,⋅,f))=0.

Отсюда

I22=0.

Кроме того, в силу обобщенного неравенства Минковского, леммы 2 и в силу (1) и (4) получаем

Оценка I23 аналогична оценке I21:

I23≤c(α)∑r=1k−2MrMk(ω1(f,1/Mr)p+ω2(f,1/Mr)p).

Аналогично можно оценить I1 следующим образом:

I1≤1An−α∑r=1k−2∥∫Gm2∑i=MrMr+1−1An−i−α−2∑l=1iDl(u)Dl(v)×[f(⋅−u,⋅ −v)−SMr,Mr(⋅−u,⋅−v,f)]dµ(u,v)∥p+1An−α∑r=1k−2∥∫Gm2∑i=MrMr+1−1An−i −α−2∑l=1iDl(u)Dl(v)×[SMr,Mr(⋅−u,⋅−v,f)−SMr,Mr(⋅,⋅,f)]∥pdµ(u,v) +1An−α∑r=1k−2∥∫Gm2∑i=MrMr+1−1An−i−α−2∑l=1iDl(u)Dl(v)×[SMr,Mr(⋅,⋅,f) −f(⋅,⋅)]dµ(u,v)∥p≤1An−α∑r=1k−2∫Gm2|∑i=MrMr+1−1An−i−α−2∑l=1iDl(u) Dl(v)|×∥f(⋅−u,⋅−v)−SMr,Mr(⋅−u,⋅−v,f)∥pdµ(u,v)+1An−α∑r=1k−2∫ Gm2|∑i=MrMr+1−1An−i−α−2∑l=1iDl(u)Dl(v)|×∥SMr,Mr(⋅,⋅,f)−f(⋅,⋅)∥pdµ( u,v)≤c(α)Mkα∑r=1k−2∑i=MrMr+1−1(n−i)−α−2i(ω1(f,1/Mr)p+ω2(f,1/ Mr)p)≤c(α)Mkα∑r=1k−2∑i=MrMr+1−1(n−Mr+1−1)−α−2i(ω1(f,1/Mr)p+ω2( f,1/Mr)p)≤c(α)∑r=0k−2MrMk(ω1(f,1/Mr)p+ω2(f,1/Mr)p).

Комбинируя (7)–(9) с (10) для I , мы находим, что

I≤c(α)∑r=0k−2MrMk(ω1(f,1/Mr)p+ω2(f,1/Mr)p).

Лемма 3 доказана. □

Доказательство леммы 4

Очевидно, что

II≤∫Gm2|∑i=1Mk−1Ap−Mk+i−α−1DMk−i(u)DMk−i(v)|dµ(u,v)+|Ap−Mk−α−1|∫ Gm2DMk(u)DMk(v)dµ(u,v):=II1+II2,

где первое и второе слагаемые в правой части неравенства (12) обозначены через II1 и II2 соответственно.

Из (1) через |Ap−Mk−α−1|≤1 получаем, что

II2≤1.

Более того, по лемме 3 имеем

где первое, второе, третье и четвертое слагаемые в правой части неравенства (14) обозначены символами II11, II12, II13 и II14 соответственно.

Из (1) и (4) следует, что

II14≤c(α)∑v=1∞v−α−1<∞.

Применяя преобразование Абеля, с учетом леммы 2 имеем, что

II11≤∫Gm2|∑i=1Mk−2Ap−Mk+i−α−2∑l=1iD¯l(u)D¯l(v)|dµ(u,v)+∫Gm2|Ap−1 −α−1∑i=1Mk−1D¯i(u)D¯i(v)|dµ(u,v)≤c(α){∑v=1Mk−2(p−Mk+i)−α− 2i+(p−1)−α−1Mk}≤c(α){∑i=1∞i−α−1+Mk−α}<∞.

Оценка II12 и II13 аналогична оценке II11. Применяя преобразование Абеля, с учетом леммы 1 находим, что

II12≤∫Gm2DMk(u)|∑i=1Mk−2Ap−Mk+i−α−2∑l=1iD¯l(v)|dµ(u,v)+∫Gm2DMk(u)|Ap−1 −α−1∑i=1Mk−1D¯i(v)|dµ(u,v)≤c(α){∑v=1Mk−2(p−Mk+i)−α−2i+(p−1) −α−1Mk}≤c(α){∑i=1∞i−α−1+Mk−α}<∞

III12≤∫Gm2DMk(v)|∑i=1Mk−2Ap−Mk+i−α−2∑l=1iD¯l(u)|dµ(u,v)+∫Gm2DMk(v)|Ap−1 −α−1∑i=1Mk−1D¯i(u)|dµ(u,v)≤c(α){∑v=1Mk−2(p−Mk+i)−α−2i+(p−1) −α−1Mk}≤c(α){∑i=1∞i−α−1+Mk−α}<∞.

Доказательство завершается комбинацией (12)–(18). □

Доказательство леммы 5

Пусть

n=nk1Mk1+⋯+nksMks,k1>⋯>ks≥0.

Обозначение

n(i)=nkiMki+⋯+nksMks,i=1,2,…,s.

Так как (см. [20])

Dj+nAMA=DnAMA+ψnAMADj,

находим, что

где первое, второе, третье, четвертое и пятое слагаемые в правой части неравенства (20) обозначены символами III1, III2, III3, III4 и III5 соответственно.

По (1) имеем, что

III3≤c(α).

Кроме того, поскольку (см. [24])

|∑i=1nAn−i−α−1Di(u)|=O(|u|α−1),

для III4, получаем, что

III4≤∫Gm2Dnk1Mk1(u)|v|α−1dµ(u,v)≤∫Gm|v|α−1dµ(v)=1α<∞.

Аналогично находим, что

III5≤∫Gm2Dnk1Mk1(v)|u|α−1dµ(u,v)≤∫Gm|u|α−1dµ(v)=1α<∞.

Для r∈{0,…mA−1} и 0≤j

Dj+rMA=(∑q=0r−1ψMAq)DMA+ψMArDj.

Таким образом, мы имеем

∫Gm2∑i=1nk1Mk1−1An−i−α−1Di(u)Di(v)dµ(u,v)≤∫Gm2∑r=0nk1−1∑i=0Mk1−1An−i−rMk1−α −1Di+rMk1(u)Di+rMk1(v)dµ(u,v)≤∫Gm2∑r=0nk1−1∑i=0Mk1−1An−i−rMk1−α−1(∑q=0r−1ψMk1q) DMk1(u)×(∑q=0r−1ψMk1q)DMk1(v)dµ(u,v)+∫Gm2∑r=0nk1−1∑i=0Mk1−1An−i−rMk1−α−1(∑q= 0r−1ψMk1q)DMk1(u)ψMArDi(v)dµ(u,v)+∫Gm2∑r=0nk1−1∑i=0Mk1−1An−i−rMk1−α−1ψMArDi(u)(∑q=0r− 1ψMk1q)DMk1(v)dµ(u,v)+∫Gm2∑r=0nk1−1∑i=0Mk1−1An−i−rMk1−α−1ψMArDi(u)ψMArDi(v)dµ(u,v).

С другой стороны, в силу (1) и (4) получаем, что

∫Gm2An−nk1Mk1−α−1Dnk1Mk1(u)Dnk1Mk1(v)dµ(u,v)≤c(α).

Следовательно, для III1 имеем оценку

где первое, второе, третье и четвертое слагаемые в правой части неравенства (25) обозначены через III11, III12, III13 и III14 соответственно.

Из леммы 4 получаем, что

III14≤c(α).

Оценка III11 аналогична оценке III3, и мы находим, что

III11≤c(α).

Оценка III12 и III13 аналогична оценке III4, и мы получаем, что

III12<∞

III13<∞.

После подстановки (21) и (23)–(29) в (20) заключаем, что

Доказательство завершено. □

Теперь мы готовы доказать основные результаты.

Доказательство теоремы 1

Очевидно, что

∥σMk−α(f)−f∥p≤1AMk−1−α∥∫Gm2∑i=1Mk−1AMk−i−α−1Di(u)Di(v)[f(⋅−u,⋅− v)−f(⋅,⋅)]dµ(u,v)∥p+1AMk−1−α∥∫Gm2∑i=Mk−1+1MkAMk−i−α−1Di(u)Di(v)[f (⋅−u,⋅−v)−f(⋅,⋅)]dµ(u,v)∥p:=I+II.

Из леммы 5 следует, что

I≤c(α)∑r=0k−2MrMk(ω1(f,1/Mr)p+ω2(f,1/Mr)p).

Кроме того, для II , у нас есть оценка

II≤1AMk−1−α∥∫Gm2∑i=Mk−1+1MkAMk−i−α−1Di(u)Di(v)×[f(⋅−u,⋅−v)−SMk−1( 1)(⋅−u,⋅−v,f)]dµ(u,v)∥p+1AMk−1−α∥∫Gm2∑i=Mk−1+1MkAMk−i−α−1Di(u)Di( v)×[SMk−1(1)(⋅−u,⋅−v,f)−f(⋅,⋅)]dµ(u,v)∥p:=II1+II2,

, где первое и второе слагаемые в правой части неравенства (32) обозначены соответственно II1 и II2.

С учетом обобщенного неравенства Минковского в силу (4) и леммы 5 получаем, что

II1≤1AMk−1−α∫Gm2|∑i=Mk−1+1MkAMk−i−α−1Di(u)Di(v)|×∥f(⋅−u,⋅−v)−SMk−1 (1)(⋅−u,⋅−v,f)∥pdµ(u,v)≤c(α)Mkαω1(f,1/Mk−1)p.

Оценка II2 аналогична оценке II1, и мы находим, что

II2≤c(α)Mkαω2(f,1/Mk−1)p.

Объединяя (30)–(34), получаем доказательство теоремы 1. □

Доказательство теоремы 2

Очевидно, что

∥σn−α(f)−f∥p≤1An−1−α∥∫Gm2∑i=1Mk−1An−i−α−1Di(u)Di(v)[f(⋅−u,⋅− v)−f(⋅,⋅)]dµ(u,v)∥p+1An−1−α∥∫Gm2∑i=Mk−1+1MkAn−i−α−1Di(u)Di(v)[f (⋅−u,⋅−v)−f(⋅,⋅)]dµ(u,v)∥p+1An−1−α∥∫Gm2∑i=Mk+1nAn−i−α−1Di(u)Di (v)[f(⋅−u,⋅−v)−f(⋅,⋅)]dµ(u,v)∥p:=I+II+III,

где первый, второй и третий члены в правой части неравенства (35) обозначены I , II и III соответственно.

Из леммы 4 следует, что

I≤c(α)∑r=0k−2MrMk(ω1(f,1/Mr)p+ω2(f,1/Mr)p).

Далее, повторяя рассуждения точно так же, как при доказательстве теоремы 1, получаем, что

II≤c(α)Mkα(ω1(f,1/Mk−1)p+ω2(f,1/Mk−1)p).

С другой стороны, для III имеем

III≤1An−1−α∥∫Gm2∑i=Mk+1nAn−i−α−1Di(u)Di(v)×[f(⋅−u,⋅−v)−f(⋅,⋅) ]∥pdµ(u,v)≤1An−α∥∫Gm2∑i=Mk+1nAn−i−α−1Di(u)Di(v)×[f(⋅−u,⋅−v)−SMk,Mk (⋅−u,⋅−v,f)]dµ(u,v)∥p≤1An−α∥∫Gm2∑i=Mk+1nAn−i−α−1Di(u)Di(v)×[SMk, Mk(⋅−u,⋅−v,f)−SMk,Mk(⋅,⋅,f)]dµ(u,v)∥p≤1An−α∥∫Gm2∑i=Mk+1nAn−i−α− где первое, второе и третье слагаемые в правой части неравенства (38) обозначаются через III1, III2 и III3 соответственно.

Легко показать, что

III2=0.

В силу обобщенного неравенства Минковского и леммы 5 для III1 получаем, что

III1≤1An−α∫Gm2|∑i=Mk+1nAn−i−α−1Di(u)Di(v)|×∥f(⋅−u,⋅−v)−SMr,Mr(⋅−u ,⋅−v,f)∥pdµ(u,v)≤c(α)Mkα(ω1(f,1/Mk−1)p+ω2(f,1/Mk−1)p)×∫Gm2|∑ v=Mk+1nAn−v−α−1Dv(u)Dv(v)|dµ(u,v)≤c(α)Mkαlogn(ω1(f,1/Mk−1)p+ω2(f,1/ Мк-1)р).

Оценка III3 аналогична оценке III2, и мы находим, что

III3≤c(α)Mkαlogn(ω1(f,1/Mk−1)p+ω2(f,1/Mk−1)p).

После подстановки (36)–(37) и (41) в (35) получаем доказательство теоремы 2. □

Авторы благодарят рецензентов за полезные советы.

Авторы внесли одинаковый вклад в написание этой статьи. Оба автора одобрили окончательный вариант рукописи.

Неприменимо.

Конкурирующие интересы

Авторы заявляют, что у них нет конкурирующих интересов.

Примечание издателя

Springer Nature сохраняет нейтралитет в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и институциональной принадлежности.

Т. Тепнадзе, Email: moc.liamg@ezdanfetonist.

Л. Э. Перссон, электронная почта: moc.liamg@srep6kiresral.

1. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах. Баку: Эльм; 1981. [Google Scholar]

2. Файн Н. Дж. Чезаро суммируемость рядов Уолша–Фурье. проц. Натл. акад. науч. США. 1995;41:558–591. [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar]

3. Гат Г. О поточечной сходимости чезаро-средних функций двух переменных по неограниченным системам Виленкина. Дж. Прибл. Теория. 2004;128(1):69–99. doi: 10.1016/j.jat.2004.04.003. [CrossRef] [Google Scholar]

4. Гат Г. Сходимость почти всюду средних Фейера функций L1 на редко неограниченных группах Виленкина. Акта Математика. Грех. англ. сер. 2007;23(12):2269–2294. doi: 10.1007/s10114-007-0961-5. [Перекрестная ссылка] [Академия Google]

5. Гат Г. О сходимости почти всюду рядов Фурье на неограниченных группах Виленкина. Опубл. Мат. (Дебр.) 2009;75(1–2):85–94. [Google Scholar]

6. Гат Г. Некоторые результаты сходимости и расходимости в отношении суммирования рядов Фурье на одномерных и двумерных неограниченных группах Виленкина. Анна. ун-т науч. бп. Роландо Этвёш Nomin., Sect. вычисл. 2010; 33: 157–173. [Google Scholar]

7. Гат Г., Блахота И. Нормовая суммируемость логарифмических средних Нёрлунда на неограниченных группах Виленкина. Анальный. Теория прил. 2008;24(1):1–17. дои: 10.1007/s10496-008-0001-з. [CrossRef] [Google Scholar]

8. Гат Г., Гогинава Ю. Сходимость почти всюду (C,α)-средних квадратичных частичных сумм двойных рядов Виленкина–Фурье. Грузинская математика. Дж. 2006;13(3):447–462. [Google Scholar]

9. Гат Г., Гогинава Ю. Неравенство слабого типа для максимального оператора (C,α)-средних рядов Фурье по системе Уолша–Качмарца. Акта Математика. Висела. 2009; 125(1–2):65–83. doi: 10.1007/s10474-009-8217-8. [CrossRef] [Академия Google]

10. Гат Г., Гогинава Ю. Сходимость по норме двойных рядов Фурье на неограниченных группах Виленкина. Акта Математика. Висела. 2017;152(1):201–216. doi: 10.1007/s10474-017-0703-9. [CrossRef] [Google Scholar]

11. Гат Г., Гогинава Ю. Нормовая сходимость логарифмических средних на неограниченных группах Виленкина. Банах Дж. Матем. Анальный. 2018;12(2):422–438. doi: 10.1215/17358787-2017-0031. [CrossRef] [Google Scholar]

12. Глухов В.А. О суммировании кратных рядов Фурье по мультипликативным системам. Мат. Заметки. 1986;39:665–673. [Google Scholar]

13. Гогинава Ю. О равномерной сходимости рядов Уолша–Фурье. Акта Математика. Висела. 2001;93(1–2):59–70. doi: 10.1023/A:1013865315680. [CrossRef] [Google Scholar]

14. Гогинава Ю. Об аппроксимационных свойствах чезаро-средних отрицательного порядка рядов Уолша–Фурье. Дж. Прибл. Теория. 2002;115(1):9–20. doi: 10.1006/jath.2001.3632. [CrossRef] [Google Scholar]

15. Гогинава Ю. Равномерная сходимость чезаровских средних отрицательного порядка двойных рядов Уолша–Фурье. Дж. Прибл. Теория. 2003;124(1):96–108. doi: 10.1016/S0021-9045(03)00134-5. [CrossRef] [Google Scholar]

16. Гогинава Ю. О средних Чезаро двойных тригонометрических рядов Фурье. Мат. Заметки. 2003;74(4):502–507. doi: 10.4213/mzm285. [CrossRef] [Google Scholar]

17. Гогинава У. Средние Чезаро двойных рядов Уолша–Фурье. Анальный. Мат. 2004;30(4):289–304. doi: 10.1007/s10476-005-0516-x. [CrossRef] [Google Scholar]

18. Гогинава Ю. Аппроксимационные свойства (C,α) средних двойных рядов Уолша–Фурье. Анальный. Теория прил. 2004; 20(1):77–9.8. doi: 10.1007/BF02835261. [CrossRef] [Google Scholar]

19. Гогинава Ю., Надь К. О максимальном операторе средних Уолша–Качмарца–Фейера. Чехослов. Мат. Дж. 2011;61(3):673–686. doi: 10.1007/s10587-011-0038-6. [CrossRef] [Google Scholar]

20. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды Уолша и преобразования. Москва: Наука; 1987. [Google Scholar]

21. Надь К. Аппроксимация средними Чезаро отрицательного порядка рядов Уолша–Качмарца–Фурье. Восток Дж. Прибл. 2010;16(3):297–311. [Google Scholar]

22. Schipp F. Über gewisse Maximaloperatoren. Анна. ун-т науч. бп. Роландо Этвёш Nomin., Sect. Мат. 1975; 18: 189–195. [Google Scholar]

23. Шипп Ф., Уэйд В.Р., Саймон П. Уолш. Серия «Введение в диадический гармонический анализ». Бристоль: Хильгер; 1990. [Google Scholar]

24. Шаварденидзе Г.: О сходимости чезаро-средних отрицательного порядка рядов Виленкина–Фурье. arXiv:1811.08367

25. Саймон П., Вайс Ф. Слабые неравенства для суммирования по Чезаро и Риссу рядов Уолша–Фурье. Дж. Прибл. Теория. 2008; 151(1):1–19. doi: 10.1016/j.jat.2007.05.004. [CrossRef] [Google Scholar]

26. Тевзадзе В.И. Равномерная (C,α)(−1≤α≤0) суммируемость рядов Фурье по системе Уолша–Пэли. Акта Математика. акад. Педагог. Нихази. 2006;22(1):41–61. [Google Scholar]

27. Жижиашвили Л.В. Тригонометрические ряды Фурье и их сопряженные. Дордрехт: Kluwer Academic; 1996. [Google Scholar]

28. Зигмунд А. Тригонометрические ряды.