Распределительное свойство умножения 5 класс: Свойства умножения и деления. Распределительное и переместительное свойство

Свойства умножения и деления. Распределительное и переместительное свойство

​ ​

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

На уроках математики в 5 классе мы тренируемся умножать, делить, складывать и вычитать. Самое интересное — это хитрить и упрощать выражения. В этом помогают свойства умножения и деления, про которые мы сейчас расскажем.

Свойства умножения

Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.

Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.

Переместительное свойство умножения

От перестановки мест множителей произведение не меняется.

То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.

Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.

Примеры:

• 6 * 5 = 5 * 6 = 30;
• 4 * 2 * 3 = 3 * 2 * 4 = 24.

Сочетательное свойство умножения

Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).

Пример:

• 3 * 2 * 5 = 3 * (2 * 5) = 3 * 10 = 30

или

• 3 * 2 * 5 = (3 * 2) * 5 = 6 * 5 = 30.

Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.

Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

То есть, для любых чисел

a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.

Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.

С учетом переместительного свойства умножения можно переформулировать правило так:

Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.

С учетом переместительного свойства умножения можно переформулировать правило так:

Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Свойство нуля при умножении

Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство:
0 * a * b * c = 0.

Свойство единицы при умножении

Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число.

То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число:

a * 1 = a.

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Свойства деления

Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.

Основные свойства деления целых чисел Деление на нуль невозможно. Деление нуля на число: 0 : a = 0. Деление равных чисел: a : a = 1. Деление на единицу: a : 1 = a. Для деления переместительное свойства не выполняется: a : b ≠ b : a. Деление суммы и разности на число: (a ± b) : c = (a : c) ± (b : c). Деление произведения на число: (a * b) : c = (a : c) * b, если a делится на c; (a * b) : c = a * (b : с), если b делится на c; (a * b) : c = a * (b : с) = (a : c) * b, если a и b делятся на c. Деление числа на произведение: a : (b * c) = (a : b) : c = (a : c) : b.

И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:

Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.

В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.

Применим свойства деления на практике.

Пример 1

Вычислить: 500 * (100 : 5).

Как решаем: 500 * (100 : 5) = (500 * 100) : 5 = 50000 : 5 = 10000.

Ответ: 500 * (100 : 5) = 10000.

Пример 2

Упростить выражение: 27a – 16a.

Как решаем: 27a – 16a = a * 27 – a * 16 = a * (27 — 16) = a * 11 = 11a.

Ответ: 11a.

Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.

Шпаргалки по математике родителей

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Сравнение десятичных дробей

К следующей статье

Свойства сложения и вычитания

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Переместительное свойство умножения – определение (5 класс, математика)

4. 6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 84.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 84.

Переместительное свойство умножения очень похоже по своей сути на такое же свойство умножения. Тем не менее, часто ученики 5 класса, которые полностью овладели свойствами сложения, допускают ошибку в таких же по сложности законах умножения. Чтобы избежать этого разберемся подробнее в теме вопроса.

Что такое умножение?

Умножение это сокращенное сложение, базовые элементы которого принято знать наизусть. Под базовыми элементами понимается таблица умножения. Под упрощенным сложением имеется в виду то, что первый множитель показывает число, а второй сколько раз это число было сложено с самим собой.

В математике 3 ступени подобных упрощений. На первой стоит сложение, на второй умножение, а третьей возведение в степень. Возведение в степень это умножение числа на себя самого какое-то количество раз. Сколько раз нужно повторить умножение отражает показатель степени.

Закон или свойство?

Для того, чтобы не путаться, нужно разобраться, как правильно называть законы умножения. Законами или все же свойствами?

Проблема в том, что закон это непреложное правило, а свойство это некоторая особенность действия. И то, и другое верно для свойств умножения. Поэтому никакой разницы в названиях нет. Но принято говорить свойства сложения и законы умножения. Однако ошибкой не будет назвать свойства сложения законами сложения и наоборот.

Свойства умножения

Распределительное свойство может применяться и относительно вычитания или деления. С помощью этого свойства раскрывают скобки в примерах при необходимости.

Переместительное свойство

Правильное использование определения переместительного свойства умножения может увеличить скорость счета. К сожалению, специальных правил группировки нет. Нужно полагаться только на собственный опыт и логику. Рассмотрим небольшой пример, чтобы показать применение свойства на практике:

((15*25*7*3:125)-3):12 – в этом примере упростить можно только правильно сгруппировав произведение в скобках для ускорения деления. Для этого представим число 15 в виде произведения 3*5

((15*25*7*3:125)-3):12=((5*3*25*7*3:125)-3):12 теперь перемножим 5 и 25, выполним деление произведения на число. Для этого можно только один из множителей разделить на это число, а потом результат использовать, как один из множителей.

(((5*25)*3*7*3:125)-3):12=((125*3*7*3:125)-3):12=(3*3*7-3):12=(9*7-3):12=(63-3):12=60:12=5

Без переместительного свойства не удалось бы правильно сгруппировать множители, а значит пришлось бы считать пример полностью, что отняло бы большое количество времени.

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое умножение. Решили, что понятия свойств и законов умножения одинаковы. Выделили свойства умножения и рассмотрели примеры переместительного свойства умножения. Сказали об особенностях этого свойства и его практическом значении.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 84.

---

А какая ваша оценка?

Свойства умножения. Элементарная математика

Умножение имеет следующие свойства: распределительное, коммутативное, ассоциативное, удаление общего множителя и нейтрального элемента.

Мы посвящаем этот пост изучению свойств умножения, а именно:

• Распределительное свойство: Умножение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое из суммы, которые необходимо добавить.

Возьмем, к примеру: 2 x (3 + 5)

Согласно распределительному свойству 2 x (3 + 5) будет равно 2 x 3 + 2 x 5.

Проверим, так ли это .

2 х (3 + 5) = 2 х 8 = 16

2 х 3 + 2 х 5 = 6 + 10 = 16

Оба дают в результате 16, что показывает, что распределительное свойство умножения работает.

• Переместительное свойство: Порядок множителей не меняет произведение.

Рассмотрим на примере свойство коммутативности:

Результат умножения 10 х 3 будет равен умножению 3 х 10. Хотя мы меняем порядок множителей, результат по-прежнему равен 30.

• Ассоциативное свойство: Способ группировки множителей не изменяет результат умножения.

Давайте рассмотрим пример ассоциативного свойства умножения:

В этом случае, как показано на рисунке, мы получим тот же результат, если умножим 3 x 2, а затем умножим результат на 5, как если бы мы умножьте 2 x 5, а затем умножьте результат на 3.

• Удаление общего множителя: Это свойство, обратное распределительному свойству. Если различные слагаемые имеют общий множитель, мы можем преобразовать сумму в произведение, вычитая этот множитель.

Рассмотрим пример удаления общего множителя. Если у нас есть операция (2 х 7) + (3 х 7), которая имеет 7 в качестве общего делителя, мы можем преобразовать эту операцию в 7 х (2 + 3).

Проверим, что удаление общего множителя дает тот же результат:

(2 x 7) + (3 x 7) = 14 + 21 = 35

7 x (2 + 3) = 7 x 5 = 35

Это показывает, что это свойство умножения работает.

• Нейтральный элемент: 1 называется тождеством умножения, потому что каждое число, умноженное само на себя, является одним и тем же числом.

В примере, который мы показываем на изображении, мы видим, что если мы умножаем 5 или 7 на 1, мы получаем в результате 5 или 7. Таким образом, любое число, которое мы умножаем на 1, дает нам в результате тот же номер.

Это пять свойств умножения. Если вы хотите узнать больше об элементарной математике, зарегистрируйтесь бесплатно на Smartick.

Подробнее:

• Автор
• Последние сообщения

Smartick

Команда создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Последние сообщения от Smartick (посмотреть все)

Что такое распределительная собственность: 5 эффективных примеров использования в классе

Что такое распределительная собственность ? Также известный как распределительный закон умножения, это одно из наиболее часто используемых свойств в математике.

Когда вы что-то распространяете, вы делите это на части. В математике свойство дистрибутивности помогает упростить сложные задачи, поскольку оно разбивает выражения на сумму или разность двух чисел.

В соответствии с этим принципом умножение суммы двух слагаемых на число даст нам точно такой же результат, как и умножение каждого слагаемого по отдельности на число, а затем их сложение.

Понимание распределительного свойства

Для выражений в форме a(b+c) распределительное свойство показывает нам, как их решать:

• внутри
• Добавление продуктов вместе

Что насчет PEMDAS? Что случилось с первой оценкой того, что находится внутри скобок?

Если ваши ученики задаются вопросом, почему вы не следуете тому порядку операций, которому их учили в прошлом, они не ошибаются.

Однако, когда алгебраические выражения имеют круглые скобки, содержащие переменные — количество, которое может измениться в контексте математической задачи, обычно представленное одной буквой — выполнение этой операции невозможно.

Распределительное свойство умножения над сложением

Независимо от того, используете ли вы распределительное свойство или следуете порядку операций, вы получите один и тот же ответ. В первом примере ниже мы просто оцениваем выражение в соответствии с порядком операций, упрощая сначала то, что было в скобках.

Используя закон распределения, мы:

1. Умножаем или распределяем внешний член на внутренние члены.
2. Объедините похожие термины.
3. Решите уравнение.

Давайте используем сценарий из реальной жизни в качестве примера распределительного свойства.

Представьте, что у одной ученицы и двух ее друзей есть по семь ягод клубники и четыре клементина. Сколько всего фруктов у всех трех учеников?

В пакетах для завтрака — или, в скобках — у каждого из них по 7 клубник и 4 клементина. Чтобы узнать общее количество кусочков фруктов, им нужно умножить все это на 3.

Разбивая его, вы умножаете 7 ягод клубники и 4 клементина на 3 учащихся. Итак, у вас получится 21 клубника и 12 клементинов, всего 33 фрукта.

Распределительное свойство умножения над вычитанием

Подобно предыдущей операции, выполнение распределительного свойства с вычитанием следует тем же правилам, за исключением того, что вы находите разность вместо суммы.

Примечание : Не имеет значения, положительная или отрицательная операция. Оставьте то, что в скобках.

Распределительное свойство с переменными

Помните, что мы говорили об алгебраических выражениях и переменных? Распределительное свойство позволяет нам упростить уравнения при работе с неизвестными значениями.

Используя закон распределения с задействованными переменными, мы можем изолировать x :

1. Умножить или распределить внешний член на внутренние члены.
2. Объедините похожие термины.
3. Расположите термины так, чтобы константы и переменные находились по разные стороны от знака равенства.
4. Решите уравнение и при необходимости упростите его.

Примечание : При изоляции переменных (см. третий шаг) то, что вы делаете с одной стороной, вы должны делать и с другой. Чтобы исключить 12 с левой стороны, вы должны добавить по двенадцать и к левой, и к правой стороне. То же самое касается умножения и деления: чтобы изолировать x , разделите каждую сторону на 4.

Распределительное свойство с показателями

Показатель степени — это сокращенная запись, показывающая, сколько раз число умножается само на себя. Когда скобки и степени, использование дистрибутивного свойства может значительно упростить выражение.

1. Расширьте уравнение.
2. Умножьте (распределите) первые числа каждого набора, внешние числа каждого набора, внутренние числа каждого набора и последние числа каждого набора.
3. Объедините похожие термины.
4. Решите уравнение и при необходимости упростите его.

Примечание . На втором этапе используйте метод FOIL (первое, внешнее, внутреннее, последнее) для распределения каждого выражения.

Распределительное свойство с дробями

Решение алгебраических выражений с дробями выглядит сложнее, чем есть на самом деле. Выполните шаги, описанные ниже, чтобы увидеть, как это делается.

Надеюсь, этот пошаговый процесс поможет вашим учащимся понять, как и почему свойство дистрибутивности может пригодиться при упрощении дробей и комплексных чисел.

1. Определите дроби. Используя свойство распределения, вы в конечном итоге превратите их в целые числа.
2. Для всех дробей найдите наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее число, которому могут соответствовать оба знаменателя. Это позволит вам добавлять дроби.
3. Умножьте каждый член уравнения на НОК.
4. Изолировать переменные, добавляя или вычитая одинаковые термины по обе стороны от знака равенства.
5. Объедините похожие термины.
6. Решите уравнение и при необходимости упростите его.

Примечание : На шагах два и три мы находим НОК и используем его для умножения дробей, чтобы упростить их и избавиться от них. Нужна быстрая переподготовка? См. статью в нашем блоге о том, как умножать дроби.

Разнообразные свойства

Помимо распределительного свойства, существуют и другие часто используемые свойства, такие как ассоциативное свойство и коммутативное свойство.

Давайте посмотрим на ассоциативное свойство:

Ассоциативное свойство относится к группированию элементов вместе. Это правило гласит, что то, как числа (или целые числа) сгруппированы в математической задаче, не изменит результат.

Дополнительный пример:

a + (b +c) = (a + b) + c или 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

Пример умножения:

5×4×2 = ( 5 x 4) x 2 = 20 x 2 = 40

Это свойство работает с умножением, сложением, вычитанием и делением.

Различные способы изучения дистрибутивной собственности

1. Prodigy

Prodigy — это адаптивная игровая обучающая математическая платформа, которую любят более миллиона учителей и 150 миллионов учащихся по всему миру! Он предлагает материалы, соответствующие учебной программе, по всем основным математическим темам в 1–8 классах, в том числе инструкции:

• Использование свойства распределения для раскрытия и решения выражений
• Заполнение пропущенных чисел в эквивалентных выражениях с помощью свойства распределения

Использование Prodigy Math Game может помочь учащимся изучать и практиковать математику за пределами беглости фактов и до второго и третьего уровней DoK . Ответив на такие вопросы, как приведенный выше, учащиеся получат массу удовольствия, пока будут практиковать распределительное свойство.

Хотите дополнить уроки математики увлекательной игровой платформой для обучения и мощными инструментами для учителей?

Зарегистрируйтесь сейчас, чтобы получить бесплатную учетную запись учителя

2. Словесные задачи

Распределяющее свойство может быть неприменимо к повседневной жизни, но давайте посмотрим на это в действии через некоторые словесные задачи!

У Лиама разносторонний музыкальный вкус. Просматривая музыку на своем телефоне, друзья Лиама находят песни трех разных жанров: поп, металл и кантри. Металлических песен в шесть раз больше, чем поп-песен, и кантри-песен в 11 раз больше, чем поп-песен. Если x представляет собой количество поп-песен, сколько всего песен у Лиама в телефоне? Напишите выражение. Упрощать.

Чтобы получить количество металлических песен, умножьте количество поп-песен на пять — 5x . Чтобы получить количество кантри-песен, умножьте количество поп-песен на 11 — 11x . Поскольку вы знаете, что x — это количество поп-песен, вы можете написать выражение как:

Школьный тренер по футболу снабжает свою команду новой формой: майкой, парой шорт и щитками для голеней. Одна футболка стоит 15 долларов, пара шорт — 11 долларов, а комплект щитков — 8 долларов.

Сколько стоит форма на одного товарища по команде? Напишите выражение и упростите.

Сколько всего будет стоить, если в команде 11 игроков? Напишите выражение и упростите.

3. Массивы

Визуальные или практические манипуляции помогают учащимся разобраться в математике и конкретизировать абстрактные понятия. Они особенно полезны для углубления понимания вашими учащимися свойства распределения.

Используйте предметы, картинки, цифры — что угодно! — в строках и столбцах как полезный способ представления математических выражений, таких как 4×5 и 5×9.