Математика 5 класс в: ГДЗ по Математике 5 класс от Путина: решебники

Репетиторы по математике для школьников 5 класса в Москве

14032

Популярные категории репетиторов математики: Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ (ГИА) Школьный курс Репетиторы на дом Занятия по скайпу Высшая математика

Найдено 14032 репетитора

Сбросить фильтры

Екатерина Юрьевна

Частный преподаватель Стаж 10 лет

от 2 000 руб / час

свободен

Михаил Сергеевич

Частный преподаватель Стаж 9 лет

от 3 000 руб / час

свободен

Алексей Викторович

Частный преподаватель Стаж 17 лет

от 3 000 руб / час

свободен

Василий Григорьевич

Частный преподаватель Стаж 39 лет

от 1 700 руб / час

свободен

Евгений Игоревич

Частный преподаватель Стаж 13 лет

У репетитора есть видеопрезентация смотреть видеопрезентация

от 4 000 руб / час

свободен

Ирина Алексеевна

Школьный преподаватель Стаж 35 лет

от 2 000 руб / час

свободен

Юлия Дмитриевна

Школьный преподаватель Стаж 8 лет

от 4 000 руб / час

свободен

Ирина Михайловна

Частный преподаватель Стаж 41 год

от 2 000 руб / час

свободен

Ирина Борисовна

Частный преподаватель Стаж 23 года

от 1 600 руб / час

свободен

Николай Вячеславович

Частный преподаватель Стаж 12 лет

У репетитора есть видеопрезентация смотреть видеопрезентация

от 3 200 руб / час

свободен

Math Focus Document, 5 класс

Начало области основного содержимого

PA Core Standards

2020–21 учебный год представляет собой уникальный набор возможностей и проблем из-за перерыва в обучении весной 2020 года, а также неопределенности в ходе учебного года. Педагоги знают, что каждый учебный год есть учащиеся, которым требуется помощь в решении незаконченных задач в предыдущих классах; вызов, который будет ощущаться более заметно в 2020–2021 учебном году. Жизненно важно, чтобы преподаватели получали поддержку в осознанном выборе методов обучения, позволяющем всем учащимся эффективно участвовать в работе на уровне своего класса.

Самый эффективный и справедливый способ помочь учащимся в их обучении — обеспечить, чтобы подавляющее большинство времени тратилось на изучение контента на уровне класса, точное исправление и ускорение по мере необходимости. Вполне возможно возлагать большие надежды на всех учащихся, обращаясь к незавершенному обучению в контексте работы на уровне класса. Поскольку время в классах является дефицитным ресурсом, который стал еще более ограниченным из-за ожидаемого закрытия и моделей дистанционного или гибридного обучения осенью 2020 года, необходимо сделать стратегический учебный выбор в отношении того, какой контент должен быть приоритетным. ¹

Оценка учащихся в начале года выявит пробелы в обучении и предоставит данные для обучения на уровне класса, а также включит как исправление, так и ускорение на этом пути. Диагностические оценки определяют сильные и слабые стороны учащихся, их знания и навыки. Проведение диагностических оценок позволяет преподавателю вмешиваться в тот момент, когда учащиеся начинают испытывать затруднения или когда их успеваемость ниже ожидаемой (учетные записи, неформальные оценки чтения, опросы, начальные подсказки по письму, диагностические тесты в классе [CDT]). Диагностические оценки позволяют учителям корректировать учебную программу в соответствии с уникальными потребностями всех учащихся. В то время как некоторым концепциям уделяется большее внимание в определенный год, все стандарты заслуживают определенного уровня обучения. Пренебрежение понятиями может привести к пробелам в обучении учащихся в навыках и понимании и может оставить учащихся неподготовленными к проблемам более позднего класса.

Это руководство предназначено для выявления и определения областей, требующих особого внимания в преподавании математики, поддерживаемых ключевыми академическими стандартами PA. Обратите внимание, что, хотя все стандарты заслуживают определенного уровня обучения, игнорирование ключевых понятий может привести к пробелам в обучении учащихся в навыках и понимании и может оставить учащихся неподготовленными к задачам более позднего класса. Не все содержание данного класса одинаково подчеркивается в стандартах. Некоторые области требуют большего внимания, чем другие, в зависимости от глубины идей, времени, необходимого для освоения, и / или их важности для будущих уровней математики. Студентам также необходимо больше времени в этих областях, чтобы соответствовать Стандартам математической практики (MP).

¹ Взято из 2020–21 Приоритетные учебные материалы по английскому языку / грамотности и математике, партнеры по успеваемости учащихся / Achieve the Core.

Май 2020 г.

Дорожная карта для лидеров образования: внимание к преподаванию (2020–2021 гг.)

Этот руководящий документ предназначен для выявления и определения областей, требующих особого внимания в обучении математике, поддерживаемых ключевыми академическими стандартами штата Пенсильвания. Обратите внимание, что, хотя все стандарты заслуживают определенного уровня обучения, игнорирование ключевых понятий может привести к пробелам в обучении и пониманию и может оставить учащихся неподготовленными к задачам более поздних классов.

Числа и операции Разрядное значение,   Свойства операций и десятичных дробей:  Продемонстрировать понимание округления применительно к целым числам и десятичным дробям. Читать, писать и сравнивать десятичные дроби. Используйте целые числа и десятичные дроби для точных вычислений. Дроби:  Складывать, вычитать, умножать и делить дроби для решения задач. Объясните действия применительно к дробям.   Алгебраические понятия Числовое выражение, порядок операций и шаблоны:  Написать и интерпретировать числовые выражения. Вычисляйте выражения, используя порядок операций. Генерируйте, анализируйте и сравнивайте шаблоны.   Геометрия Координатный план:  Нанесите точки в квадранте I. Опишите и интерпретируйте точки, заданные упорядоченной парой. Определите части координатной сетки.   Измерение, данные и вероятность Измерение, отображение данных и объем:  Решайте проблемы с помощью простых преобразований. Представляйте и интерпретируйте данные, используя соответствующий масштаб. Применяйте понятия объема для решения задач. Соотнесите громкость с умножением и сложением.

CC.2.1.5.B.1 Применяйте концепции разрядных значений, чтобы продемонстрировать понимание операций и округления, поскольку они относятся к целым числам и десятичным числам. СС.2.1.5.В.2 Расширьте понимание операций с целыми числами, чтобы выполнять операции, включая десятичные дроби. СС.2.1.5.С.1 Используйте понятие эквивалентности для сложения и вычитания дробей . СС.2.1.5.С.2 Применение и расширение предыдущего понимания умножения и деления для умножения и деления дробей. СС.2.2.5.А.1 Интерпретируйте и оценивайте числовые выражения, используя порядок операций. СС.2.2.5.А.4 Анализ шаблонов и взаимосвязей с использованием двух правил. СС.2.3.5.А.1 Отображение точек в первом квадранте координатной плоскости и интерпретация этих точек при решении реальных и математических задач. СС.2.4.5.А.1 Решайте задачи, используя преобразования в заданной системе измерения. СС.2.4.5.А.2 Представление и интерпретация данных с использованием соответствующего масштаба. СС.2.4.5.А.5 Применяйте понятия объема для решения задач и связывайте объем с умножением и сложением.   Стандарты математических упражнений   MP1: Разбираться в проблемах и настойчиво решать их. Создавайте сообщество, предоставляя групповые задания для развития понимания и решения проблем, а также углубляя активное участие учащихся.   MP3: Придумывать жизнеспособные аргументы и критиковать рассуждения других . Соберите точки зрения учащихся путем письменных или устных размышлений, чтобы учащиеся учитывали свое обучение, успеваемость и рост в качестве учащихся. MP7: Ищите и используйте структуру. Позиционируйте учащихся как математически компетентных, поощряя различные точки входа и улучшая различные способы, которыми учащиеся видят и используют структуру в задачах.

Математические задания и игры 5-го класса

Как математические игры и занятия повышают уровень знаний учащихся 5-го класса

Математические игры и занятия могут стать отличным дополнением и дополнением к обучению математике. Использование математических игр в классе позволяет учащимся практиковать математику не только весело, но и эффективно. Ученики любят игры, потому что они увлекательны и увлекательны, а учителя любят игры, потому что они помогают учащимся практиковать то, чему они научились.

В 5 классе учащиеся умеют вычислять суммы и разности дробей и делать их разумные оценки. Учащиеся также могут умножать и делить дроби, объяснять числовые выражения, углублять свое понимание геометрических принципов и разрабатывать стратегии решения задач. Они будут практиковать эти навыки, используя модели, балансирующие уравнения, понимание пропорций и использование прямоугольных массивов.

Балансировка уравнения

Конкретные представления — это мощные инструменты, помогающие учащимся понять абстрактные концепции. Вот почему весы являются эффективным инструментом, помогающим учащимся понять концепцию уравнений и способы их решения. Не отвлекаясь на буквы и символы, учащиеся видят ситуации, когда две величины находятся «в равновесии» или равны друг другу. Все, что делается для изменения состава одной стороны, должно быть сделано для обеих сторон, чтобы сохранить баланс.

 

 

Отобразите весы, как показано выше, и поставьте чашки с песком, как показано. (Большая чашка должна вмещать вдвое больше, чем маленькая чашка.) Направляйте обсуждение, задавая такие вопросы, как: Если вы знаете вес большой чашки с песком, можете ли вы найти вес маленькой чашки? Если большая чашка песка весит 8 унций, то каков вес маленькой чашки?

Попросите учащихся поэкспериментировать с добавлением или удалением больших или маленьких чашек с этих весов. Если они уберут большую чашу песка с правой стороны, весы разбалансируются. Чтобы сохранить равновесие, они должны убрать большую чашку с песком с левой стороны. Удаление одной большой чашки с каждой стороны показывает, что одна большая чашка равна двум маленьким чашкам. Они могут сделать вывод, что маленькая чашка весит 4 унции.

Вы можете задавать много разных вопросов, чтобы закрепить понимание учащихся во время этого процесса, изменяя предоставленную информацию и предлагая учащимся объяснить стратегии, которые они использовали для решения.

Вводя символы, используемые в уравнении для представления чашек на весах, вы можете перейти к более абстрактному представлению.

 

 

Процесс тот же. Снимите по одной большой чашке с каждой стороны.

 

 

Теперь у вас есть:

 

 

Если маленькая чашка весит 4 унции, вес большой чашки равен 4 + 4, или 8 унций. Чтобы приблизить представление к формальной алгебре, вы можете заменить фигуры буквами (переменными) и предложить учащимся решить снова.

Сравнение периметра и площади

Поскольку учащиеся часто путают форумы периметра и площади, им нужно много возможностей, чтобы применить их и провести различие между ними. Напомните учащимся, что периметр многоугольника – это расстояние вокруг фигуры. Площадь фигуры – это количество квадратных единиц, покрывающих ее поверхность. Квадрат измеряет 1 единицу с каждой стороны.

Ниже приведено упражнение, которое может помочь учащимся сравнить периметр и площадь. Предоставьте бумагу с сеткой и попросите учащихся начертить все возможные прямоугольники с периметром 36 единиц. Попросите учащихся найти площадь каждого прямоугольника, а затем свести результаты в таблицу. Задайте вопросы, чтобы помочь учащимся задуматься о процессах, которые они используют:

• Что вы можете сделать, чтобы найти длину и ширину каждого прямоугольника? [Пример ответа: поскольку я знаю, что P = 2 l + 2 w , я могу найти различные длины и ширины, равные 36 единицам. ]
• Как убедиться, что вы нашли все возможные прямоугольники? [Пример ответа: я могу систематически перечислить все длины и ширины, равные 36.]
• Какой должна быть сумма 1 l + 1 w ? Объяснять. [Сумма должна быть 18, потому что 2 l + 2 w равно 36 единицам.
• Все ли площади равны? [Нет] Значит, фигуры с одинаковым периметром могут иметь разную площадь. Что вы заметили в форме фигуры с наибольшей площадью? [Это квадрат.]

 

Подводя итог, подчеркнем, что периметр сложных фигур остается неизменным независимо от того, как фигура делится на более мелкие фигуры. Помогите учащимся нарисовать свои фигуры на бумаге с сеткой и сосчитать, а затем пересчитать длины сторон. Учащиеся могут использовать мелок, чтобы обвести каждую сторону, чтобы показать, что они посчитали ее. Чтобы расширить задание, предложите учащимся сделать из бумаги с сеткой все возможные прямоугольники площадью 40 см ² . Попросите их поделиться своими методами поиска решений.

Моделирование вероятности

В пятом классе понимание учащимися событий, которые являются равновероятными и более или менее вероятными, является основой для приобретения ими более формальных навыков и процедур в области вероятности. Различение между этими основными идеями может быть выполнено с помощью задания с числовыми кубиками.

Сначала учащиеся должны указать возможные исходы и вероятность каждого из них при подбрасывании одного кубика с числами.

 

 

Помогите учащимся увидеть, что каждый результат имеет одинаковую вероятность возникновения.

Затем добавьте к операции еще один куб. Попросите учеников назвать все возможные суммы, когда кубики будут брошены вместе. Учащиеся могут перечислить суммы в таблице сложения.

 

 

Затем учащиеся могут подсчитать количество благоприятных исходов для каждой суммы, общее количество возможных исходов и записать результаты в таблицу или итоговую диаграмму.

 

Количество возможных результатов

 

Задайте вопросы, подобные следующим, чтобы помочь учащимся понять:

• Имеет ли вероятность возникновения каждой суммы одинаковую вероятность?
• Какая сумма наиболее вероятна?
• Какие суммы наименее вероятны?
• Что более вероятно, что выпадет сумма 9 или сумма 7?
• Менее вероятно, что выпадет сумма 12 или сумма 10?

Если позволяет время, попросите учащихся провести эксперимент, в котором они фактически бросают два кубика 100 раз, записывают результаты и сравнивают их фактические результаты с ожидаемыми.

Понимание пропорций

Понимание пропорций — это навык, предшествующий пониманию пропорций. Связь понятий соотношения с ранее изученными понятиями дробей обеспечивает плавный переход между двумя областями. Уроки по отношениям, равным отношениям и нормам подготавливают учащихся к понятиям и применению пропорций.

Введение пропорций в контекстную структуру календаря позволяет учащимся использовать то, что они уже знают о пропорциях, чтобы помочь им понять пропорциональные отношения. Студенты знают, что в одной неделе 7 дней, и могут легко продолжить следующую таблицу.

 

В таблице подчеркивается мультипликативное отношение между неделями и днями. Эта связь также может быть выражена в виде различных соотношений в форме фракции, например, ¹ ⁄ ₇ , ² ⁄ ₁₄ , ³ ⁄ ₂₁ и ⁴ ⁄ ₂₈ .

Поскольку в пропорции используются разные числа, но при этом поддерживается одно и то же мультипликативное отношение, утверждение, что любое из этих двух отношений равно, является пропорцией. Другими словами, отношение недель к дням одинаково для всех соотношений в этих пропорциях.

¹ ⁄ ₇ = ² ⁄ ₁₄  ; ¹ ⁄ ₇ = ³ ⁄ ₂₁  ; ¹ ⁄ ₇ = ⁿ ⁄ ₂₈  ; ¹ ⁄ ₇ = ⁵ ⁄ _n

Каждая из этих пропорций создается путем понимания первичной взаимосвязи,

Учащиеся, которым трудно понять понятие пропорции как двух эквивалентных соотношений, могут использовать двухцветные счетчики, чтобы показать отношение недель к дням. Они также могут распознать закономерность в таблице и использовать ее для определения недостающего количества.

Интерпретация и работа с отношениями и пропорциями в этой главе подготавливает учащихся к новым применениям процентов, с которыми они столкнутся в старших классах и в повседневной жизни. Понимание учащимися понятий отношения и пропорции является необходимым условием для понимания приложений в области вероятностей и статистики, геометрии и алгебры.

Номер строки

Числовая линия — эффективный инструмент, помогающий учащимся визуализировать отношения между числами.

Приведенная ниже числовая строка является примером использования этого инструмента для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) чисел 4 и 5. Числа в верхней части числовой строки представляют числа, кратные 4; числа в нижней части числовой строки представляют собой числа, кратные 5. Число (20), где линии пересекаются в первый раз, является наименьшим общим кратным 4 и 5. наименьшее общее кратное сможет понять концепцию нахождения наименьшего общего знаменателя (LCD) и будет готов складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.

Числовой ряд может помочь учащимся, которым трудно отделить правила для целых чисел от правил для дробей. Например, некоторые учащиеся думают, что ³ ⁄ ₈ больше ¹ ⁄ ₂ , потому что 3 больше 1, а 8 больше 2. ¹ Числовые строки ниже не только демонстрируют, что дроби могут рассматривать как числа между целыми числами, но показать, что ¹ ⁄ ₂ действительно больше ³ ⁄ ₈  .

 

 

Та же пара числовых линий может быть использована для демонстрации того, что ¹ ⁄ ₂ и ⁴ ⁄ _{6 эквивалентны 90 дробям3.}

Учащиеся, понимающие относительную величину дробей, смогут легко сравнивать и упорядочивать наборы дробей с одинаковыми или разными знаменателями.

 

_{¹ Бер, Мерлин Дж. и др. 19 марта85. «Построить сумму: показатель понимания детьми размера дроби». Журнал исследований в области математического образования, vol. 16, № 2: 120-131}

Модели с десятичным числом

для деления

На этом уровне можно использовать десятичные модели, чтобы освежить понимание учащимися значения деления. Модели также могут помочь учащимся связать деление многозначного дивиденда на однозначное число с алгоритмом.

Предложите учащимся начать с делимого и делителя, которые дадут частное без остатка.

Используйте сотни, десятки и единицы для моделирования  6 192

Отобразите следующее:

 

Поскольку цель состоит в том, чтобы сформировать 6 равных групп, учащиеся должны понимать, что сначала они должны разделить сотни. Равные группы не могут быть сформированы до тех пор, пока сотня плоских не будет обменена на 10 десяти стержней.

 

Теперь 19 десятков можно поровну разделить на 6 равных групп. Одна десятка останется.

 

Следующий шаг — разделить каждую десятку на единицы. Одна десятка обменивается на 10 единиц. Затем 12 единиц поровну распределяются между 6 равными группами по 3 десятка.

Важно, чтобы учащиеся установили связи между моделированием и символической формой алгоритма.

• Сначала учащиеся должны обобщить шаги, используемые для моделирования деления: Решите, можно ли разделить сотни. Если нет, обменяйте сотни на десятки. Разделите десятки. Меняйте десятки на единицы. Разделите единицы. Частное — это число в каждой группе, 32,
• Затем пусть учащиеся символически запишут шаги в домике деления, обозначив каждый шаг деления.

После завершения этого трехэтапного процесса деления без остатка учащиеся могут использовать тот же процесс для моделирования деления с остатком.

 

_{Ссылки
Van de Walle, J. A. (1998). Математика в начальной и средней школе: обучение с развитием, 55, 401 New York, NY}

Бумага с сантиметровой сеткой

Сложение и вычитание десятичных знаков

Простую в изготовлении и понятную десятичную модель можно построить из бумаги с сантиметровой сеткой или, если предпочтительнее модели меньшего размера, из миллиметровой бумаги. Затем модели можно заштриховать, раскрасить или разрезать, чтобы показать сложение и вычитание.

Первый шаг — создать представление 1 в качестве референта. Учащиеся намечают квадрат 10×10 и вырезают его. Пусть они перевернут квадрат на пустую сторону и запишут десятичные эквиваленты 1 в десятых и сотых долях: 1 = 1,0 или 1,00. Попросите учащихся вспомнить, что каждый маленький квадрат или единица представляет 0,01 или ¹ ⁄ ₁₀₀  . Столбец или строка из 10 единиц соответствует 0,1, или ¹ ⁄ ₁₀  .

Затем учащиеся разрезают сетку на две части и пишут уравнение сложения для этого представления. Учащиеся могут добавить эталонные числа, например 0,40 + 0,60 = 1,00, 0,50 + 0,50 = 1,00, или числа, не являющиеся эталонными, например 0,37 + 0,63 = 1,00.

 

 

Вы можете предложить учащимся использовать цвет для обозначения двух десятичных знаков, составляющих и разлагающих 1,00, вместо того, чтобы вырезать сетки.

Работая с сотыми, учащиеся должны составить или сложить части числа (или сложить), а также разложить или разделить число на части (или вычесть) много раз. Предложите учащимся показать различные способы представления сложения и вычитания до и от 1,00, прежде чем они начнут работать с тысячными.

После многократного опыта с 1,00 учащиеся могут выполнять аналогичную композицию и декомпозицию с десятичными знаками больше (или меньше) 1,00, например 1,25 − 0,35.

Для начала учащиеся создают модель для 1,25, очерчивая квадрат 10 × 10 для представления 1, столбцы с 2 десятыми для представления 0,2 и квадраты с 5 сотыми для представления 0,05 на бумаге с сеткой. Раскрасьте сотые доли красным цветом и зачеркните их, чтобы показать вычитание сотых. Закрасьте 3 столбца десятых долей желтым цветом, чтобы показать вычитание десятых. Но прежде чем они раскрасят, помогите учащимся понять, что, вычитая 3 десятых, они «перегруппировывают» 1 как 10 десятых. Затем учащиеся раскрашивают десятые и зачеркивают, чтобы показать вычитание. Учащиеся считают оставшиеся десятые, чтобы найти разницу.

 

Полосы дробей

для сложения и вычитания дробей

Дроби можно складывать и вычитать, только если знаменатели совпадают. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, одну или несколько дробей необходимо переименовать в эквивалентные дроби со знаменателями.

Для следующего задания вы можете попросить учащихся подготовить наборы полосок.

Попросите учеников найти сумму ³ ⁄ ₄ + ⁵ ⁄ ₆  , согласно остальной части примера.

Сначала отобразите полосу для каждой фракции.

 

 

Найдите полосу, которая представляет общий знаменатель двух дробей. Помогите учащимся использовать рассуждения, чтобы решить, что общий знаменатель равен 12, поэтому они должны использовать полосу для двенадцатых. Предложите учащимся смоделировать, как показано на рисунке.

 

 

Они могут записывать символически по мере того, как они моделируют, или они могут суммировать:

 

Чтобы показать, что для вычитания применяется тот же принцип переименования, попросите учащихся найти разность ² ⁄ ₃ − ¹ ⁄ ₂  . Отметьте, что когда они используют дроби для вычитания, они сопоставляют число равных частей в вычитаемом и число в уменьшаемом, а разница составляет несопоставленную часть.

Показать полосу для каждой фракции.

 

 

Вместе найдите полоску, представляющую общий знаменатель двух дробей.

 

 

Действия, подобные приведенным выше, помогут учащимся понять, почему необходимо находить общий знаменатель перед сложением или вычитанием дробей с разными знаменателями.

Модели для деления дробей

Часто, когда учащиеся учатся делить дробями, они просто запоминают шаги «перевернуть и умножить», не понимая значения этой процедуры. И хотя они также узнают, что два числа с произведением 1 являются обратными или мультипликативными инверсиями, это тоже часто не понимают. Вы можете предоставить учащимся возможность углубить свое понимание, используя шаблоны и модели, а также предварительные знания учащихся о делении целых чисел.

Во-первых, представьте образец, который показывает учащимся, как умножение придает смысл термину «взаимное».

 

 

Затем свяжите деление с поиском недостающего множителя. Например, попросите учащихся вспомнить, что для 63 ÷ 9 = 90 108 n 90 109 они могут подумать: «В 9 раз сколько будет 63?» Обратите внимание, что это может быть выражено символически как 9 × n = 63. Теперь помогите учащимся распознать то же соотношение в задаче на дробь:

Помогите учащимся сделать вывод, что числитель n должен быть равен 1, а знаменатель должен быть равен 2. потому что 4 × 2 = 8, и в этом случае недостающий множитель равен ¹ ⁄ ₂ . Using the check step— ¹ ⁄ ₄  ×  ¹ ⁄ ₂  =  ¹ ⁄ ₈ —and relating it to ¹ ⁄ ₈  ×  ⁴ ⁄ ₁  =  ¹ ⁄ ₂ , учащиеся начнут понимать, почему работает шаг «обратить и умножить».

Наконец, опирайтесь на ранее полученные учащимися знания о делении целых чисел, распространяя значение деления на дроби. Используйте единичный квадрат для модели ⁸ ⁄ ₁₀ ÷ ² ⁄ ₁₀ = n . Учащиеся должны выразить это следующим образом: «Сколько ² ⁄ ₁₀ в ⁸ ⁄ ₁₀  ?»

 

Бумажные фигурки

Нахождение суммы углов

Использование бумаги для вырезания и соединения углов плоских геометрических фигур — это очень наглядный и практический способ для учащихся изучить и найти сумму внутренних углов треугольников и четырехугольников.

Вы можете использовать каталожные карточки 3 × 5 или 4 × 6 для этого эксперимента с углами треугольника.

Учащиеся вырезают треугольник из своих каталожных карточек. Они обозначают внутренние точки углов буквами.

 

 

Помогите учащимся оторвать, а не отрезать три угла треугольников.

 

 

Используя лист тетради в качестве прямого угла, учащиеся выравнивают три гладких острых угла на краю, образуя прямую линию. Пусть они подтвердят, что сумма мер трех углов треугольника всегда равна 180°.

 

 

Учащиеся должны использовать свои каталожные карточки, чтобы повторить эту процедуру с различными типами и размерами треугольников. Это обеспечивает несколько представлений константы (180°), которую они исследуют. Кроме того, он закладывает основу для определения суммы углов других фигур.

Это упражнение также можно использовать для подтверждения того, что сумма четырех углов каждого четырехугольника всегда равна 360°. Учащиеся обозначают, а затем отрывают углы от любого четырехугольника. Они помещают углы в две группы, как показано ниже, чтобы сформировать два прямых угла. Студенты должны признать, что 2 × 180 = 360, поэтому четыре угла вместе равны 360°.

 

Модели с разрядной стоимостью

Блоки с основанием 10 — это четкие и недвусмысленные представления того, как наша десятичная система счисления строит каждое место слева.

 

 

Чтобы расширить приведенную выше таблицу за пределы тысяч, используйте концепцию группировки по десяткам, чтобы помочь учащимся сформировать мысленную картину каждого последующего места. Сначала поработайте с таблицей, попросив учеников сказать вам, сколько кубов единиц необходимо для построения стержня десятков. Студент-добровольец может сгруппировать десять кубов единиц, чтобы сформировать палочку десятков, или может нарисовать диаграмму для демонстрации. Затем спросите, сколько десятков стержней нужно, чтобы составить сотню. Пусть доброволец продолжает демонстрировать либо с десятками стержней, либо со схемами. Продолжите демонстрацию построения куба тысяч, объединив десять сотен плоскостей. Для следующих чисел в последовательности попросите учащихся мысленно представить, как будет выглядеть каждая модель. Используя и расширяя последовательность куб, стержень, плоскость, куб и т. д., учащиеся могут понять, что десять тысяч можно представить в виде стержня, состоящего из 10 тысяч блоков; сто тысяч можно представить как плоскость, состоящую из 10 десятков тысяч стержней, и так далее.

Посредством вербализации и построения диаграмм учащиеся закрепляют повторяющийся образец, соответствующий точкам в числе.

 

 

Чтобы смоделировать число, дети должны определить цифру в разряде десятков и разложить столько палочек десятков. Они определяют цифру в разряде единиц и выкладывают столько же кубиков единиц.

Чтобы определить число, представленное моделью, дети считают количество палочек с десятками, чтобы найти разряд десятков. Количество кубиков с единицами показывает цифру в разряде единиц. Дети также могут подсчитать общее количество кубов с единицами во всей модели, но этот метод грубой силы требует много времени и игнорирует достоинства концепций позиционного значения.

 

_{Ссылки
Van de Walle, J. A. (1998). Математика в начальной и средней школе: обучение с развитием, 55, 401 New York, NY}

Прямоугольные массивы

в умножении

Прямоугольные массивы и диаграммы помогают учащимся разбить многозначное умножение, например, на сотни, десятки и единицы. Помогите учащимся связать модели со значением каждой части процесса умножения. Это поможет им избежать механических ошибок, таких как запись цифр в неправильном столбце частичного произведения или забывание добавить перегруппированную цифру.

Учащиеся могут использовать группы десятичных блоков, расположенных в виде массивов, для представления частичных произведений в задаче на умножение. В качестве альтернативы учащиеся могут использовать диаграмму с областями для представления частичных продуктов. На приведенных ниже рисунках показано, как оба метода можно использовать для моделирования 15 x 35. Для обоих подходов учащиеся должны начать с разбиения выражения на части, используя Распределительное свойство умножения над сложением.

 

 

Затем смоделируйте с основанием десять блоков и запишите результаты:

 

Для демонстрации того же умножения можно использовать модель площади:

 

 

Как показывают исследования, учащиеся развивают эффективное математическое мышление, когда понимают отношения между различными представлениями одного и того же понятия. ¹ Использование описанных выше подходов позволит учащимся увидеть отношения между конкретными моделями, диаграммами и символическими представлениями. Студенты поймут, что все три представления показывают один и тот же продукт.

 

_{¹ Голдин, Джеральд и Нина Шайтинголд. «Системы представления и развитие математических понятий». В The Roles of Representation in School Mathematics, Yearbook 2001. Eds Albert A. Cuoco and Francis R. Curcio, National Council of Teachers of Mathematics, Reston, VA, 9.}

Ссылки на расчетную длину

В учебной программе по элементарной математике оценивание представлено как предшествующая нахождению фактических результатов и как средство выработки суждений о числах, процессах и концепциях. В измерении оценка развивается по-разному, например, как референт, по которому можно судить о размере, или как процедура, помогающая предсказать приблизительные ответы.

Чтобы помочь учащимся развить чувство меры, попросите их выбрать и использовать эталоны для оценки длины. (Вы можете использовать аналогичное упражнение для вместимости и веса.)

Раздайте набор предметов, знакомых учащимся, которые они могут использовать в качестве ориентиров.

 

 

Попросите учащихся установить приблизительную длину каждого референта. Затем попросите их использовать референты для оценки длины объектов или расстояний в классе. Например, они могут увидеть, что ноутбук занимает примерно треть расстояния между их столами. Если длина одного ноутбука составляет около 1 фута, то расстояние поперек стола составляет около 3 футов.

Во время выполнения упражнения важно, чтобы учащиеся не считали свои оценки правильными или неправильными. Предложите учащимся уточнить свои оценки, используя референты для фактического измерения. Затем попросите их использовать линейку для измерения. Учащиеся могут сравнить свою первоначальную оценку, референтную меру и фактическую меру, чтобы увидеть, насколько близка оценка к другой.

Для расширения деятельности раздайте учащимся каталожные карточки и папки с двумя карманами. Попросите учащихся назвать наиболее подходящую единицу измерения длины каждого предмета. Попросите учащихся описать, почему они выбрали ту единицу, которую выбрали.

 

_{Ссылки
Роберт Э. Рейс, Мэри М. Линдквист, Дайана В. Ламбдин, Нэнси Л. Смит и Мэрилин Н. Суйдам, Помощь детям в изучении математики (Нью-Джерси: John Wiley & Sons, 2004)}

Числовая строка

для умножения и деления десятичных дробей

В предыдущей главе учащиеся использовали десятичные числа для сложения и вычитания. Они также столкнулись с числовой линией как опорой для умножения и деления целых чисел.

Как словесное моделирование, так и числовую прямую можно использовать для закрепления значения десятичного умножения и десятичного деления. Вспомните идею о том, что десятичную дробь можно представить в виде дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Это закрепит у учащихся представление о том, что десятичное число всегда меньше 1. Покажите выражение умножения, например 7 × 0,2, и направьте обсуждение следующим образом:

• Сколько групп? [7 групп]
• Что будет в каждой группе? [2 десятых, или 0,2]

Пока вы демонстрируете умножение на числовой прямой, объясните, что вы провели линию до 2,0 с интервалом 0,1. Помогите учащимся понять, что произведение будет больше 1,0, но меньше 2,0. Попросите добровольца нарисовать стрелки над группами из двух десятых, а затем сформулируйте произведение: 1.4.

 

 

Продолжайте аналогичным образом, чтобы показать деление десятичных дробей. Отобразите выражение деления 0,12 ÷ 0,04. Чтобы понять значение выражения, задайте такие вопросы, как следующие:

• Что такое делимое или целое? [0,12 или 12 сотых]
• Делимое больше или меньше 1? [меньше 1]
• Что нужно выяснить, чтобы получить частное? [Сколько групп 0,04 в 0,12?]

Нарисуйте следующую числовую линию и, как и раньше, попросите добровольца нарисовать стрелки, показывающие группы по 0,04.