Объединение и пересечение множеств 3 класс: Множество.Элементы множества. Подмножество. Пересечение и объединение множеств. Л.Г.Петерсон — 3 класс | Методическая разработка по математике (3 класс) по теме:

• Мне больше всего удалось…
• Для меня было открытием то, что …
• За что ты можешь себя похвалить?
• Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?
• Мои достижения на уроке.

1. Макарычев. Пункт 13. №263, №264, №265, №266, № 271, №272.
2. Составить задачи на применение теории множеств.
3. По группам подготовить презентации по теме « Множества».

«Пересечение и объединение множеств» презентация к уроку по математике (3 класс) на тему. Какое из утверждений неверно

• Множество натуральных чисел – это…
• Множество учащихся 8 класса – это…
• Множество не положительных и неотрицательных чисел – это…

1.Пересечение множеств

А={1,2,3,4,6,8,12,24},

В={1,2,3,6,9,18},

С- множество общих делителей чисел 24 и 18,

Говорят, что множество С является пересечением множеств А и В.

• Множество, составляющее общую часть множеств А и В, называют пересечением этих множеств и обозначают так: А∩В=С.

• Соотношение между множествами А,В и С можно проиллюстрировать с помощью специальных схем, называемых кругами Эйлера.

Фигура, образовавшаяся при пересечении кругов, закрашенная на рисунке, изображает множество С.

Замечание.

Некоторые множества Х и Y не имеют общих элементов. Тогда говорят, что пересечением множеств Х и Y является пустое множество.

Ø — обозначение пустого множества.

И пишут тогда так: Х∩ Y = Ø

Например:

2.Объединение множеств

А- множество натуральных делителей числа 24,

В- множество натуральных делителей числа 18.

А={1,2,3,4,6,8,12,24},

В={1,2,3,6,9,18},

D- множество, которому принадлежат все элементы множества А и все элементы множества В.

Т.е. D ={1,2,3,4,6,8,9,12,18,24}.

Говорят, что множество D является объединением множеств А и В.

Множества А и В изображены на рисунке кругами.

Фигура, закрашенная на рисунке, является объединением множеств А и В.

Например:

Х-множество простых чисел, не превосходящих 25;

Y- множество двузначных чисел, не превосходящих 19.

Найдите пересечение и объединение множеств Х и Y .

X={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};

Y={10,11,12,13,14,15,16,17,18};

Общие элементы: 11,13,17, значит,

X∩ Y ={11,13,17};

X UY ={2, 3, 5, 7,10,11,12,13,14,15, 16,17,18,19,23}.

• Решить в классе
• № 799

• Решить дома
• № 800

Множества. Операции над множествами

МНОЖЕСТВО

НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ

МНОЖЕСТВАМИ

ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»

основатель теории множеств

Георг Кантор

Понятия теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие «множество» можно определить так:

• Множество- совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

НАБОР КАРАНДАШЕЙ

КОЛЛЕКЦИЯ МАРОК

СТАЯ ПТИЦ

СТАДО КОРОВ

ЧАЙНЫЙ СЕРВИЗ

БУКЕТ ЦВЕТОВ

Множество – совокупность объектов, объединенных по какому–нибудь признаку.

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д.

Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

множество

элемент

Трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник

Шар, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр

Натуральные числа

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ..

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Двузначные четные числа

Множество четырехугольников

Пространственные тела

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…

Квадраты чисел

Цифры десятичной системы счисления

10, 12, 14, 16 … 96, 98

множество людей на Солнце

множество прямых углов равностороннего треугольника

множество точек пересечения двух параллельных прямых

Пустое множество- множество, не содержащее ни одного элемента.

Обозначения некоторых числовых множеств:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I — множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

Запишите множества букв слов

КОНИ И КИНО

{ К, О, Н, И }

{ К, И, Н, О }

Равные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

А = {2; 3; 5; 7; 11; 13};

Конечные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

{1; 4; 9; 16; 25; …};

{10; 20; 30; 40; 50; …};

Бесконечные множества

Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества:

а) множество чисел, кратных 13;

б) множество делителей числа 15;

в) множество деревьев в лесу;

г) множество натуральных чисел;

д) множество рек Ростовской области;

е) множество корней уравнения х + 3 = 11;

ж) множество решений неравенства х + 1

Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

Охарактеризуйте множество А:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9};

б) А = {- 2, — 1, 0, 1, 2};

в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};

Даны множества:

М = {5, 4, 6},

Р = {4, 5, 6},

Т = {5, 6, 7},

S = {4, 6}.

Какое из утверждений неверно?

а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = Т

Пусть А — множество простых чисел вида

7n + 2, где n ∈ N.

Верна ли запись -5 ∈ А.

1. В множестве {лев; лисица; гиена; слон; рысь} все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. а) опишите это свойство; б) найдите элемент, не обладающий этим свойством; в) назовите еще два элемента, обладающие этим свойством. 2. Назовите 5 подмножеств в множестве всех цветов радуги. 3. Каким свойством в множестве ромбов выделяется подмножество квадратов?

Пример: 8 и 32

БЛИЦ-ОПРОС

• земноводные, млекопитающие, хладнокровные и т.п.

Какие названия применяются для обозначения множеств животных?

БЛИЦ-ОПРОС

• рота, взвод, полк, дивизия и т. п.

Какие названия применяются для обозначения множеств военно-служащих?

БЛИЦ-ОПРОС

Как называется множество цветов, стоящих в вазе?

БЛИЦ-ОПРОС

Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от обоих полюсов?

БЛИЦ-ОПРОС

• деревня, село, город, посёлок

Как называется множество населённых людьми мест?

БЛИЦ-ОПРОС

• выставка, галерея

Как называется множество картин?

БЛИЦ-ОПРОС

Как называется множество документов?

БЛИЦ-ОПРОС

• флотилия, эскадра

Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей?

А – четные натуральные числа В – двузначные числа

Найти объединение этих множеств.

А В – быть четным натуральным или двузначным числом

Пример: 8 и 32

А – четные натуральные числа В – двузначные числа

Найти пересечение этих множеств.

А В – быть четным натуральным и двузначным числом

Пример: 32

Даны множества:

А = {2; 3; 8},

В = {2; 3; 8; 11},

С = {5; 11}.

Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ.

Даны множества:

А = { a , b , c , d },

B = { c , d , e , f },

C = { c , e , g , k }.

Найдите: (АUВ)UС.

Даны множества:

А – множество всех натуральных чисел, кратных 10,

В = {1; 2; 3;…, 41}.

Найдите А∩В.

Решение задачи

с помощью кругов Эйлера

Леона́рд Э́йлер — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

танцуют 19

17+19=36, всего 30

Решение

Пусть А — это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В — множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём — m = 18. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. — это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k .

Согласно формуле доказанной выше

n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6.

Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.

На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 — немецкий язык, а 23 — оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков?

Немецкий 35

Английский 47

Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

Немецкий 27

Английский 25

Только немецкий

Только английский

Ответ: в классе 34 ученика

Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?

Объединение содержит 9 элементов

Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или

газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей

выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Всего: 14 + 13 + 62 =89

На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го

класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в

планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион — 3; цирк и стадион — 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

МНОЖЕСТВО

НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ

МНОЖЕСТВАМИ

ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА-ВЕННА

РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ

Сенина Г.Н., Сенин В.Г., МБОУ «СОШ №4», г.Корсаков

МНОЖЕСТВА. КОМБИНАТОРИКА.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ.

Метапредмет – Знание

Цель нашего урока

В рассказе Конан Дойля «Пять апельсиновых зернышек» знаменитый сыщик Шерлок Холмс должен был установить название одного парусника. Об этом судне он знал лишь то, что в январе 1883 г. Оно было в Пондишире, в январе 1885 г. – в Данди, а сейчас стояло в Лондоне. Сравнив списки парусников, находившихся в указанное время в указанных местах, Шерлок Холмс установил, что только американское судно «Одинокая звезда» входило в каждый из них. В результате преступление было раскрыто. Сыщик, имея три множества, построил новое, содержащее их общие элементы. Оказалось, что новое множество состоит всего из одного элемента

целеполагание

Проверим домашнее задание

УЧЕБНИК

№ 747

УЧЕБНИК

№ 749

P ⊂ N ⊂ Z ; C ⊂ B ⊂ A; K ⊂ P ⊂ R

Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала.

Пересечение и объединение множеств

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Работаем с текстом

ТРЕНАЖЕР

№ 319

в каждое из данных множеств

Практикум

Работаем с текстом

ТРЕНАЖЕР

№ 320

Практикум

Работаем с моделями

ТРЕНАЖЕР

№ 323

Практикум

Работаем с моделями

ТРЕНАЖЕР

№ 324

Практикум

Операции над множествами

ЗАДАЧНИК

№ 638

ЗАДАЧНИК

№ 639

Практикум

Операции над множествами

ЗАДАЧНИК

№ 641

{-1,0,1}; {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2}

{-1,0}; {-4,-3,-2,-1,0,1}

{1}; {-2,-1,0,1,2,3,4}

{-1,0,1}; {-2,-1,0,1,2}

Практикум

Операции над множествами

УЧЕБНИК

№ 757

Свойства нуля при умножении и сложении чисел: А ⋅ 0 = 0; А + 0 = А.

Практикум

Операции над множествами

УЧЕБНИК

№ 758

Операции над множествами

№ 760

УЧЕБНИК

Проверка полученных результатов. Коррекция

Множества и жизнь

Множество – это фундаментальное понятие не только математики, но и всего окружающего мира.

Возьмите прямо сейчас в руку любой предмет. Вот вам и множество, состоящее из одного элемента.

Возьмите большой пакет и начните наобум складывать в него различные предметы.

В этом нет никакой закономерности, но, тем не менее, речь идёт о множестве предметов.

Домашнее задание У: стр. 228 – 229, фрагмент 1 – читать;

№ 751, 752, 756, 759.

Подведение итогов, рефлексия, домашнее задание.

Презентация по теме «Пересечение и объединение множеств» (факультатив «Наглядная геометрия» (3 класс).

Использование информационных технологий не только оживило учебный процесс (что особенно важно, если учитывать психологические особенности младшего школьного возраста, в частности длительное преобладание наглядно-образного мышления над абстрактно-логическим), но и повысило мотивацию обучения на занятии.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Пересечение и объединение множеств. Кунделева Оксана Евгеньевна Учитель начальных классов МБОУ НОШ № 279 г. Гаджиево, Мурманской области, 2012 г.

Цели занятия формировать представление об объединении и пересечении двух множеств учить находить на «карте множеств» область множества, которое является пересечением или объединением двух множеств учить определять принадлежность элементов множеству, которое является пересечением и объединением двух множеств учить определять характер отношений между двумя заданными множествами (пересечение, не пересекаются, объединение)

Что такое множество? Множество — это группа предметов, объектов или существ.

Назовите элементы множества: “Месяцы года” “Времена года” “Материки” “Летающие бегемоты” Многоугольники

Оса Летучая мышь ворона пингвин Бабочка синица страус воробей Прочитайте названия птиц. Обведите это множество. Сделайте надпись внизу: “Птицы”. ПТИЦЫ Прочитайте названия животных, которые умеют летать. Обведите это множество, сделайте надпись вверху: ”Умеют летать”. умеют летать Сколько элементов оказалось на пересечении двух множеств, т.е. одновременно в двух множествах? Почему?

Пересечение множеств общая часть множеств Если в названии множества есть слово «И» , то каждый его элемент должен находиться на ПЕРЕСЕЧЕНИИ двух множеств – жить одновременно в двух странах. !

Объединение множеств Если в названии множества есть слово «ИЛИ» , то элемент может быть в любом месте на территории двух стран — ОБЪЕДИНЕНИИ — жить хотя бы в одной из них. ! ! ! !

Что такое подмножество? Подмножество – это часть множества, входящее в данное множество.

Физкультминутка Раз – согнуться, разогнуться, Два – нагнуться, потянуться, Три – в ладоши три хлопка, Головою три кивка. На четыре руки шире, Пять, шесть – тихо сесть, Семь, восемь – лень отбросим.

Множество обитателей моря Множество млекопитающих Начерти множества:

Начерти множества: Множество птиц Множество рыб

В квадрате живут чётные числа. В треугольнике живут двузначные числа. Впиши правильно каждое число. Закрась на рисунке область, где живут чётные двузначные числа. 2, 47, 16, 8, 17, 32, 6, 53 2 47 16 8 17 32 53 6

Найди обозначение каждого множества в таблице и закрась круги на рисунке. Множества: прямоугольников четырёхугольников многоугольников квадратов Сколько множеств обозначено кругами? Какое множество самое большое? Каким цветом нужно закрасить самый большой круг? Какое самое большое из оставшихся?

Множества: животных Зверей Рыб Птиц Растений Чайка Лиса Айсберг Жираф Сосна Река Тюльпан Муравей Камбала Найди и расположи элементы множеств в фигурах на рисунке: впиши первую букву каждого слова из списка

Ч К М Т Р С Ж А Л

Запомни! Множества не пересекаются Множества не пересекаются: Одно множество является подмножеством другого Одно множество является подмножеством другого: Множества пересекаются: Множества объединяются:

До встречи на следующем уроке!!!

А.В. Горячев, К.И. Горина и др. Информатика в играх и задачах, 3 класс, Методические рекомендации для учителя, М., « Баллас », 2004 А.В. Горячев, К.И. Горина и др. Учебник «Информатика в играх и задачах», 3 класс, часть 2, М., « Баллас », 2004 http://festival.1september.ru/articles/505635/ Урок информатики по теме «Множество. Подмножество. Пересечение множеств» Щепина Зинаида Николаевна, учитель начальных классов Используемая литература

Пересечение и объединение множеств.

Кунделева Оксана Евгеньевна

Учитель начальных классов МБОУ НОШ №279 г. Гаджиево, Мурманской области,

Цели занятия

• формировать представление об объединении и пересечении двух множеств
• учить находить на «карте множеств» область множества, которое является пересечением или объединением двух множеств
• учить определять принадлежность элементов множеству, которое является пересечением и объединением двух множеств
• учить определять характер отношений между двумя заданными множествами (пересечение, не пересекаются, объединение)

Множество — это группа предметов, объектов или существ.

• “Месяцы года”
• “Времена года”
• “Материки”
• “Летающие бегемоты”
• Многоугольники

Летучая мышь ворона пингвин

Бабочка синица страус

Прочитайте названия птиц. Обведите это множество. Сделайте надпись внизу: “Птицы”.

Прочитайте названия животных, которые умеют летать. Обведите это множество, сделайте надпись вверху: ”Умеют летать”.

умеют летать

Сколько элементов оказалось на пересечении двух множеств , т.е. одновременно в двух множествах? Почему?

«И» ,

то каждый его элемент должен находиться на ПЕРЕСЕЧЕНИИ двух множеств –

жить одновременно в двух странах .

Если в названии множества есть слово «ИЛИ» ,

то элемент может быть в любом месте на территории двух стран — ОБЪЕДИНЕНИИ —

жить хотя бы в одной из них.

Множество обитателей моря

Множество млекопитающих

Начерти множества:

Множество птиц

Множество рыб

В квадрате живут чётные числа. В треугольнике живут двузначные числа. Впиши правильно каждое число. Закрась на рисунке область, где живут чётные двузначные числа.

2, 47, 16, 8, 17, 32, 6, 53

Найди обозначение каждого множества в таблице и закрась круги на рисунке.

Сколько множеств обозначено кругами? Какое множество самое большое? Каким цветом нужно закрасить самый большой круг? Какое самое большое из оставшихся?

Множества:

животных

Растений

Найди и расположи элементы множеств в фигурах на рисунке: впиши первую букву каждого слова из списка

Запомни!

• Множества не пересекаются

Множества не пересекаются:

• Одно множество является подмножеством другого

Одно множество является подмножеством другого:

Множества пересекаются:

Множества объединяются:

До встречи на

следующем уроке!!!

А.В. Горячев, К.И. Горина и др. Информатика в играх и задачах, 3 класс, Методические рекомендации для учителя, М., «Баллас», 2004

• А.В. Горячев, К.И. Горина и др. Информатика в играх и задачах, 3 класс, Методические рекомендации для учителя, М., «Баллас», 2004
• А.В. Горячев, К.И. Горина и др. Учебник «Информатика в играх и задачах», 3 класс, часть 2, М., «Баллас», 2004
• http://festival.1september.ru/articles/505635/ Урок информатики по теме «Множество. Подмножество. Пересечение множеств» Щепина Зинаида Николаевна, учитель начальных классов

Используемая литература

Что такое пересечение, объединение и разность множеств?

☰

Пересечением двух множеств, называется третье множество, сформированное из элементов, которые входят в оба первых множества.

Например, если в одно множество входят числа от 1 до 10, а во второе — от 5 до 20, то пересечением этих множеств будут числа от 5 до 10, так как они входят в оба.

Пересечение множеств записывается так:

A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}

На диаграмме Эйлера-Венна пересечение множеств обозначается общей частью кругов.

Множества могут не пересекаться вообще, одно может полностью включать другое.

Пересечение множеств может использоваться тогда, когда надо найти элементы, которые удовлетворяют нескольким условиям.

Объединением двух множеств, называется третье множество, сформированное из всех элементов обоих первых множеств. При этом если элемент входит в оба множества, то в объединенное он входит один раз. Это и понятно, так как множество по определению включает только разные элементы.

Например, объединением множества натуральных чисел от 1 до 10 и множества натуральных от 5 до 15 будет множество натуральных чисел от 1 до 15.

Объединение множеств описывается так:

A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B}

На диаграмме Эйлера-Венна объединение множеств обозначается всей областью кругов.

Разностью двух множеств, называют третье множество, в которое входят все элементы одного из двух множеств и не входят элементы принадлежащие обоим множествам.

Если результат пересечения и объединения двух множеств не меняется от перестановки множеств при выполнении операции, то результат разности зависит от того, какое множество из какого «вычитают».

Сравните. Даны множества A = {1,2,3,4,5} и B = {4,5,8,9}. Разность множеств обозначается знаком \.
A \ B = {1,2,3}, т. к. 4 и 5 входят в множество B.
В то время как B \ A = {8,9}.

Понятно, что если у множеств нет общих элементов, то их разность будет равна «уменьшаемому», т. е. первому множеству. Если же множества полностью совпадают, то их разностью будет пустое множество.

Если все элементы «вычитаемого» множества B входят в состав «уменьшаемого» A (A \ B), то B называют дополнением некого множества C до A.

свойства, формулы включений и исключений, примеры

Пересечение множеств

Пересечением множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно как в множество A, так и в множество B:

$$ A \cap B = \{x|x \in \Bbb A и x \in \Bbb B \} $$

Если множества не пересекаются, то $A \cap B = \varnothing $ — пустое множество в пересечении. Если $B \subseteq A$ — подмножество, то $A \cap B = B$ – пересечением будет меньшее множество из двух.

Например:

Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A \cap B$ = {3;5}.

Если A = {f|f-прямоугольник}, B = {f|f-ромб}, то $A \cap B$ = {f|f-квадрат}.

Если A = $\{n|n⋮3, n \in \Bbb N \}$ — натуральные числа, кратные 3, B = $\{n|n⋮5, n \in \Bbb N \}$ — натуральные числа, кратные 5, то $A \cap B = {n|n⋮15, n \in \Bbb N}$ — натуральные числа, кратные 15.

Если A = {a│a-слон}, B = {a|a-птица}, то $A \cap B = \varnothing$.

Объединение множеств

Объединением – множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств, A или B:

$$ A \cup B = \{ x|x \in \Bbb A или x \in \Bbb B \} $$

Если $B \subseteq A$ — подмножество, то $A \cap B = A$ – объединением будет большее множество из двух.

Например:

Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A \cup B$ = {1;3;5;7;9;11}.2-4 = 0, x \in \Bbb R\}, B = \{x|x+3 = 2, x \in \Bbb R \}, то A \cup$ B = {-2;-1;2}

Если $A = \{n│n \in \Bbb Z \}$- все целые числа, $B = \{x|x = \frac{a}{b}, a \in \Bbb Z, b \in \Bbb N \}$ — все дроби, то $A \cup B = \{x│x \in \Bbb Q\}$ — множество рациональных чисел. Заметим, что в данном случае $A \subset B$.

Универсум и отрицание

Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.

В литературе универсум обозначают U.

На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:

Примеры универсумов:

При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.

При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.

При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.

Отрицание (абсолютное дополнение) множества A — множество всех элементов универсума, не принадлежащих A:

$$ \bar{A} = \{x|x \notin A \} $$

Читается «не A».

У отрицания есть любопытное свойство: $\bar{\bar{Α}} = Α $(два раза «нет» — это «да»).

Например:

Если U = {1;2;3;4;5;6;7}, A = {3;4;5}, то $\bar{A} = \{1;2;6;7\}$

Если U = $\{x|x \in \Bbb R\}$ — все действительные числа, A = $\{x|x \gt 0, x \in \Bbb R \}$ — все положительные действительные числа, то $ \bar{A} = \{x|x \le 0, x \in \Bbb R\}$.

Свойства операций пересечения и объединения

Коммутативность

Ассоциативность

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

$ (A \cup B) \cup C = A \cup ( B \cup C) $

Дистрибутивность

$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$

$ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) $

Идемпотентность

Взаимодействие с отрицанием, пустым множеством и универсумом

$A \cap \bar{A} = \varnothing $

$A \cap U = A$

$A \cap \varnothing = \varnothing$

$A \cup \bar{A} = U $

$A \cup U = U$

$A \cup \varnothing = A$

Законы де Моргана

$ \overline{(A \cap B)} = \bar{A} \cup \bar{B} $

$ \overline{(A \cup B)} = \bar{A} \cap \bar{B} $

Закон поглощения

$ (A \cup B) \cap A = A $

$ (A \cap B) \cup A = A $

Разность множеств

Разностью двух множеств A и B называют множество, в которое входят все элементы из множества A, не принадлежащие множеству B:

$$ A\B = \{x|x \in \Bbb A , x \notin B\} $$

Читается «A без B».

На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:

Получается, что отрицание – частный случай разности: $ \bar{A} = \{x|x \in \Bbb U, x \notin A \} $= U\A

«Не A» — это «универсум без A».

Формулы включений и исключений

Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.

Пусть число элементов во множествах равно n(A)и n(B) соответственно. А число элементов в пересечении $n(A \cap B)$.

Вопрос: сколько всего элементов в обоих множествах, т.е. чему равно $n(A \cup B)$?

Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:

$$n(A \cup B) = n(A)+ n(B)-n(A \cap B)$$

Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.

Сумма n(A)+ n(B)+n(C) учтёт каждое из парных пересечений по два раза. Поэтому, аналогично задаче с двумя множествами, нужно отнять всё, что попадает в парные пересечения, т.е. отнять сумму $(n(A \cap B)+n(A \cap C)+n(B \cap C) )$. Но после этого получится, что мы лишний раз отняли $n(A \cap B \cap C)$; значит, его нужно «вернуть».

Получаем:

$$ n(A \cup B \cup C) = n(A)+ n(B)+n(C)- $$

$$ -(n(A \cap B)+n(A \cap C)+n(B \cap C) )+n(A \cap B \cap C) $$

Примеры

Пример 1. Найдите пересечение данных множеств:

а) A = {0;5;8;10},

B = {3;6;8;9}

$б) A = \{x|x \lt 3, x \in \Bbb R\}, $

$ B = \{x|x \gt 1, x \in \Bbb R\} $

$A \cap B = \{x|1 \lt x \lt 3, x \in \Bbb R\}$ — отрезок

$в) A = \{x|x \lt 3, x \in \Bbb R\}, $

$ B = \{x|x \gt 1, x \in \Bbb N\} $

$A \cap B = \{x|1 \lt x \lt 3, x \in \Bbb N \} или A \cap B = \{2\}$ — одна точка

г) A = {f|f-правильный многоугольник},

B = {f|f-четырехугольник}

$A \cap B = \{f|f-квадрат\}$

Пример 2. Найдите объединение данных множеств:

а) A = {0;5;8;10}, B = {3;6;8;9}

$A \cup B$ = {0;3;5;6;8;9;10}

б) A = {1;2}, B = {1;2;3;4}

$A \subset B$ – строгое подмножество

$A \cup B $ = B = {1;2;3;4}

$в) A = \{x|x \lt 1, x \in \Bbb R\}, B = \{x|x \gt 1,x \in \Bbb R\} $

$A \cup B = \{x|x \neq 1, x \in \Bbb R \}$

$г) A = \{n│n⋮3, n \in \Bbb Z\}, B = \{n|n⋮9,n \in \Bbb N\} $

$B \subset A$ — строгое подмножество

$ A \cup B = A = \{n│n⋮3, n \in \Bbb Z\} $

Пример 3. Найдите отрицание данного множества на данном универсуме:

а) U = {1;2;3;4;5}, A = {2;3}

б) U = $\{x│x \in \Bbb Q \}$, A = $\{ \frac{4}{5}, \frac{7}{8} \}$

$ \bar{A} = \{x|x \neq \frac{4}{5}, x \neq \frac{7}{8}, x \in \Bbb Q\} $

$в) U = \{x│x \in \Bbb R\}, A = \{x|x \ge 2, x \in \Bbb R\} $

$\bar{A} = \{x|x \lt 2, x \in \Bbb R\}$

Пример 4. Найдите обе разности данных множеств:

а) A = {0;1;2;3;4}, B = {2;4}

A\B = {0;1;3}, $B\A = \{∅\}$

б) A = {0;1;3}, B = {2;4;6}

A\B = {0;1;3}, B\A = {2;4;6}

$в) A = \{x|x \gt 1, x \in \Bbb R\}, $

$ B = \{x|x \lt 3, x \in \Bbb R\} $

A\B $ = \{x|x \ge 3, x \in \Bbb R\}$

B\A $ = \{x|x \le 1,x \in \Bbb R\} $

$ г*) A = \{(x,y)|x \gt 0, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $

$ B = \{(x,y)|x \le 5, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $

A\B $ = \{(x,y)|x \gt 5, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $

B\A $ = \{(x,y)|x \le 0, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $

Пример 5. Из 100 студентов умеют программировать на Python 28 человек, на Java 30 человек, на C# 42 человека, на Python и Java 8 человек, на Python и C# 10 человек, на Java и C# 5 человек. Все три языка знают 3 студента. А сколько студентов не умеют программировать на этих языках?

n(U) = 100

n(A) = 28, n(B) = 30, n(C) = 42

$ n(A \cap B) = 8, n(B \cap C) = 5, n(A \cap C) = 10 $

$n(A \cap B \cap C) = 3$

Всего программистов:

$ n(A \cup B \cup C) = n(A)+n(B)+n(C)- $

$ (n(A \cap B)+n(B \cap C)+n(A \cap C) )+n(A \cap B \cap C) $

$n(A \cup B \cup C) = 28+30+42-(8+5+10)+3 = 100-23+3 = 80$

Число не умеющих программировать:

$n(U)-n(A \cup B \cup C) = 100-80 = 20$

Ответ: 20 человек

Объединение и пересечение двух множеств

Все классы статистики включают вопросы о вероятностях, включающих объединение и пересечение множеств. В английском языке мы используем слова «Or» и «And» для описания этих понятий. Например, «Найдите вероятность того, что студент посещает урок математики или естествознания». Это выражает объединение двух множеств словами. «Какова вероятность того, что медсестра имеет степень бакалавра и более пяти лет опыта работы в больнице.«Это выражение пересечения двух множеств. В этом разделе мы научимся расшифровывать эти типы предложений и узнаем о значении объединений и пересечений.

Объединения

Элемент является объединением двух наборов, если он входит в первый набор, второй набор или оба. Символ, который мы используем для объединения, — \ (\ cup \). Слово, которое вы часто будете видеть, обозначающее союз, — это «или».

Пример \ (\ PageIndex {1} \): объединение двух наборов

Лет:

\ [A = \ left \ {2,5,7,8 \ right \} \ nonumber \]

и

\ [B = \ lbrace1,4,5,7,9 \ rbrace \ nonumber \]

Найдите \ (A \ чашка B \)

Решение

Мы включаем в объединение каждое число, которое находится в A или в B:

\ [A \ чашка B = \ left \ {1,2,4,5,7,8,9 \ right \} \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {2} \): объединение двух наборов

Рассмотрим следующее предложение: «Найдите вероятность того, что в домохозяйстве меньше 6 окон или дюжина окон.»Запишите это в обозначении набора как объединение двух наборов, а затем запишите это объединение.

Решение

Во-первых, пусть A будет набором количества окон, которое представляет «менее 6 окон». В этот набор входят все числа от 0 до 5:

\ [A = \ left \ {0,1,2,3,4,5 \ right \} \ nonumber \]

Далее, пусть B будет набором количества окон, который представляет «имеет дюжину окон». Это просто набор, который содержит единственное число 12:

\ [B = \ left \ {12 \ right \} \ nonumber \]

Теперь мы можем найти объединение этих двух наборов:

\ [A \ чашка B = \ left \ {0,1,2,3,4,5,12 \ right \} \ nonumber \]

Перекрестки

Элемент находится на пересечении двух наборов, если он находится в первом наборе, и он находится во втором наборе.Символ, который мы используем для перекрестка, — \ (\ cap \). Часто встречающееся слово, обозначающее перекресток, — это «и».

Пример \ (\ PageIndex {3} \): пересечение двух множеств

Лет:

\ [A = \ left \ {3,4,5,8,9,10,11,12 \ right \} \ nonumber \]

и

\ [B = \ lbrace5,6,7,8,9 \ rbrace \ nonumber \]

Найдите \ (A \ cap B \).

Решение

Мы включаем в пересечение только те числа, которые находятся в A и B:

\ [A \ cap B = \ left \ {5,8,9 \ right \} \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {4} \): пересечение двух множеств

Рассмотрим следующее предложение: «Найдите вероятность того, что количество единиц, которые издает студент, больше 12 единиц и меньше 18 единиц.»Предполагая, что учащиеся берут только целое количество единиц, запишите это в обозначениях набора как пересечение двух наборов, а затем запишите это пересечение.

Решение

Во-первых, пусть A будет набором чисел единиц, который представляет «более 12 единиц». В этот набор входят все числа от 13 до бесконечности:

\ [A = \ left \ {13, \: 14, \: 15, \: … \ right \} \ nonumber \]

Далее, пусть B будет набором количества единиц, которое представляет «менее 18 единиц».Это набор, содержащий числа от 1 до 17:

\ [B = \ left \ {1, \: 2, \: 3, \: …, \: 17 \ right \} \ nonumber \]

Теперь мы можем найти пересечение этих двух множеств:

\ [A \ cap B = \ left \ {13, \: 14, \: 15, \: 16, \: 17 \ right \} \ nonumber \]

Объединение союзов, пересечений и дополнений

Одна из самых сложных задач в статистике — расшифровать предложение и превратить его в символы. Это может быть особенно сложно, когда есть предложение, в котором нет слов «объединение», «пересечение» или «дополнение», но оно неявно относится к этим словам.Лучший способ овладеть этим навыком — практиковаться, практиковаться и еще больше практиковаться.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Рассмотрим следующее предложение: «Если вы бросаете шестигранный кубик, найдите вероятность того, что он не четный и не 3». Запишите это в обозначениях набора.

Решение

Во-первых, пусть A будет набором четных чисел, а B будет набором, содержащим только 3. Мы можем написать:

\ [A = \ left \ {2,4,6 \ right \}, \: \: \: B \: = \: \ left \ {3 \ right \} \ nonumber \]

Далее, поскольку мы хотим «даже не», нам нужно рассмотреть дополнение A:

\ [A ^ c = \ left \ {1,3,5 \ right \} \ nonumber \]

Точно так же, поскольку мы хотим «не 3», нам нужно рассмотреть дополнение B:

\ [B ^ c = \ left \ {1,2,4,5,6 \ right \} \ nonumber \]

Наконец, мы замечаем ключевое слово «и».c = \: \ left \ {1,3,5 \ right \} \ cap \ left \ {1,2,4,5,6 \ right \} = \ left \ {1,5 \ right \} \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Рассмотрим следующее предложение: «Если вы случайным образом выберете человека, найдите вероятность того, что этот человек старше 8 лет или одновременно моложе 6 лет и не моложе 3». Запишите это в обозначениях набора.

Решение

Во-первых, пусть A будет группой людей старше 8 лет, B будет группой людей младше 6 лет, а C будет группой людей младше 3 лет.c \ right) = \: \ left \ {x \ mid x> 8 \ right \} \ cup \ left \ {x \ mid3 \ le x <6 \ right \} \ nonumber \]

Самый ясный способ отобразить это объединение — на числовой прямой. В числовой строке ниже отображается ответ:

Упражнение

Предположим, что мы выбираем человека наугад и хотим выяснить вероятность того, что месяц его рождения наступил после июля, а не после сентября. Запишите это событие, используя обозначение набора.

Союз наборов | Math Goodies

В предыдущих уроках мы использовали диаграммы Венна для представления отношений между множествами.Давайте посмотрим на пример 1 ниже.

Пример 1: В средней школе Гринвилля два класса будут объединены в один, чтобы сократить расходы. Если учеников Band и Chorus объединить в один новый класс, то какие ученики будут в этом классе?

Дано: Дано = {Сэм, Кеша, Дерек, Лорри, Робин, Рауль, Ширли, Натан, Крис, Дана} , Группа = {Сэм, Лорри, Рауль, Дерек} и Припев = {Робин, Дерек, Кеша}, найдите Band Chorus.

Анализ: Эта проблема просит нас найти союз оркестра и хора.Чтобы решить эту проблему, мы должны перечислить всех студентов, которые участвуют в оркестре, хоре или и том и другом.

Решение:

Пояснение:

Band Припев = {Сэм, Лорри, Рауль, Дерек, Кеша, Робин}

Обратите внимание, что Дерек находится в обоих наборах и, следовательно, на их пересечении. Однако Дерек записан только один раз в союзе.

Определение: Объединение из двух наборов A и B, — это набор элементов, которые находятся в A или в B или в обоих.Он обозначается как A B , и читается как « A, соединение B ».

Сравним объединение и пересечение.

Под союзом часто понимают брак.Мы используем «и» для пересечения и « или» для объединения. Давайте рассмотрим еще несколько примеров объединения двух множеств.

Пример 2: Пусть = {подсчет чисел}, P = {кратное 3 меньше 20} и Q = {четные числа меньше 20}. Нарисуйте и обозначьте диаграмму Венна, чтобы показать объединение P и Q .

Анализ: Элементы оттенка, которые находятся в P или в Q или в обоих. Заштрихованная область на приведенной ниже диаграмме Венна обозначает P Q.

Решение:

Обозначение: P Q = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18}

Обратите внимание, что элементы 6, 12 и 18 находятся в обоих наборах (т.е. на пересечении P и Q ). Однако эти элементы записываются в объединении только один раз.

Пример 3: Пусть = { k | 1 ≤ k ≤ 10}, X = {1, 6, 9} и Y = {1, 3, 5, 6, 8, 9}.Нарисуйте и пометьте диаграмму Венна, чтобы показать X Y.

Анализ: X является подмножеством Y . Таким образом, все элементы в X также содержатся в Y .

Пояснение: X Y = {1, 3, 5, 6, 8, 9}, что равно набору Y.

В примере 3, поскольку X Y , мы получаем, что X Y4Эти отношения определены ниже.

Другой способ определить объединение двух множеств:

A B = {x | x A или x B }

Пример 4: Let = {животные}, A = {10 собак} и B = {20 кошек}. Нарисуйте и обозначьте диаграмму Венна, чтобы показать A B .

Анализ: Эти множества не пересекаются и не имеют общих элементов. Таким образом, A B — это все элементы в A и все элементы в B.

Пояснение: A B = {10 собак, 20 кошек}

Пример 4 представляет собой прямое объединение двух наборов. Непересекающиеся множества не имеют общих элементов. Следовательно, объединение A и B не имеет общих элементов.Поскольку невозможно, чтобы собаки в A были также кошками в B , мы уверены, что количество элементов в объединении является суммой всех собак в A и всех кошек в B . Таким образом, объединение является результатом сложения всех элементов в обоих наборах.

Соединение из двух наборов A и B, — это набор элементов, которые находятся в A или в B или в обоих. Он обозначается A B , и читается как « A, соединение B ».Формальное определение союза показано ниже:

A B = {x | x A или x B }

Упражнения

Указания: нарисуйте и обозначьте диаграмму Венна, чтобы помочь вам ответить на каждый из приведенных ниже вопросов. Выберите свой ответ, нажав соответствующую кнопку. Отзыв на ваш ответ представлен в БЛОКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ.Если вы допустили ошибку, переосмыслите свой ответ, а затем выберите другую кнопку.

проблем на пересечении трех наборов

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

Электронное обучение — это будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!