Задачник по геометрии 11 класс: Скачать бесплатно Геометрия. 11 класс. Задачник. (углубленное и профильное обучение)

Содержание

подборка задач по геометрии 11 класс | Тренажёр по геометрии (11 класс):

Шар. Сфера. Задачи ЕГЭ.

1.Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

2. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .Рис1
РИС1       РИС2    РИС3

3. Около куба с ребром   описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на . РИС2

4. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей. РИС3

5.  Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на .

6.  Вершина  куба  со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку. Найдите площадь  части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

7. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

8. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара. РИС4

 РИС4     РИС5

9. Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба. РИС5

Сам.раб.

10. Радиусы трех шаров равны 2, 12 и 16. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

11. В куб с ребром 21 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

12. Около куба с ребром  описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

13. Радиусы двух шаров равны 21 и 72. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

14. Объем шара равен 18432 . Найдите площадь его поверхности, деленную на .

15. Вершина A куба  со стороной  является центром сферы, проходящей через точку . Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

16. Середина ребра куба со стороной  является центром шара радиуса . Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

17. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 2. Найдите объем шара.

18.  Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.

Банк задач ЕГЭ по геометрии, 11 класс

Шар. Сфера. Задачи ЕГЭ.

1.Ра­ди­у­сы трех шаров равны 6, 8 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

2. В куб с реб­ром 3 впи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на .Рис1
РИС1 РИС2 РИС3

3. Около куба с реб­ром   опи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на . РИС2

4. Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6, 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей их по­верх­но­стей. РИС3

5.  Объем шара равен 288 . Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти, де­лен­ную на .

6.  Вер­ши­на  куба  со сто­ро­ной 1,6 яв­ля­ет­ся цен­тром сферы, про­хо­дя­щей через точку. Най­ди­те пло­щадь  части сферы, со­дер­жа­щей­ся внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те ве­ли­чи­ну .

7. Се­ре­ди­на ребра куба со сто­ро­ной 1,9 яв­ля­ет­ся цен­тром шара ра­ди­у­са 0,95. Най­ди­те пло­щадь части по­верх­но­сти шара, ле­жа­щей внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те .

8. Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем ко­ну­са равен 6. Най­ди­те объем шара. РИС4

РИС4 РИС5

9. Куб впи­сан в шар ра­ди­у­са . Най­ди­те объем куба. РИС5

Сам.раб.

10. Ра­ди­у­сы трех шаров равны 2, 12 и 16. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

11. В куб с реб­ром 21 впи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на .

12. Около куба с реб­ром  опи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на .

13. Ра­ди­у­сы двух шаров равны 21 и 72. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей их по­верх­но­стей.

14. Объем шара равен 18432 . Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти, де­лен­ную на .

15. Вер­ши­на A куба  со сто­ро­ной  яв­ля­ет­ся цен­тром сферы, про­хо­дя­щей через точку . Най­ди­те пло­щадь S части сферы, со­дер­жа­щей­ся внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те ве­ли­чи­ну .

16. Се­ре­ди­на ребра куба со сто­ро­ной  яв­ля­ет­ся цен­тром шара ра­ди­у­са . Най­ди­те пло­щадь S части по­верх­но­сти шара, ле­жа­щей внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те .

17. Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем ко­ну­са равен 2. Най­ди­те объем шара.

18.  Куб впи­сан в шар ра­ди­у­са . Най­ди­те объем куба.

Сборник задач по геометрии по теме "Призмы", 11 класс

Соловьёв В.А.

У

Сборник задач

по геометрии

для 11 класса

Призмы

2007 г.

В настоящем сборнике нашли отражение

задачи по геометрии из учебника

«Геометрия, 7-11» Погорелова А.В., «Просвещение», 1992 г.

и «Сборника задач по геометрии» Н. Рыбкина

«Просвещение», 1974 г.

Ввиду того, что задач из учебника геометрии явно недостаточно для приобретения прочного навыка их решения, наиболее интересные задачи из указанных выше книг нашли отражение в этом сборнике.

85. В прямой треугольной призме стороны оснований равны

4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте

основания. Найдите объём призмы.

Ответ: 48 м.

86. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см,

а площади боковых граней 9 см, 10 см и 17 см.

Найдите объём.

Ответ: 12 см.

87. Основание призмы – треугольник, у которого одна сторона

равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и

составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро

равновеликого куба.

Ответ: 2 см.

88. Основанием наклонной призмы является равносторонний

треугольник со стороной а; одна из боковых граней

перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого

меньшая диагональ равна с. Найдите объём призмы.

Ответ: .

89. Чему равен объём прямой четырёхугольной призмы, если её

высота h, диагонали наклонены к плоскости основания

под углами α и β и острый угол между диагоналями основания

равен γ?

Ответ: .

12

§ 1. Угол прямой линии с плоскостью. Двугранный угол.

Призма.

? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как найти угол прямой линии с плоскостью?

2. Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)?

3. Что такое линейный угол двугранного угла?

4. Зависит ли мера двугранного угла от выбора линейного угла?

5. Объясните, что такое трёхгранный угол

(грани и рёбра трёхгранного угла).

6. Объясните, что такое плоские и двугранные углы

трёхгранного угла.

7. Что такое многогранник?

8. Какой многогранник называется выпуклым?

9. Что такое грань выпуклого многогранника, ребро, вершина?

10. Что такое призма (основания призмы, боковые грани,

рёбра)?

11. Докажите, что у призмы основания лежат в параллельных

плоскостях и равны, боковые рёбра параллельны и равны,

боковые грани – параллелограммы.

12. Что такое высота призмы?

13. Что такое диагональ призмы?

14. Что представляет собой сечение призмы плоскостью,

параллельной боковым рёбрам, в частности, диагональное

сечение?

15. Какая призма называется прямой (наклонной)?

16. Какая призма называется правильной?

17. Что такое боковая поверхность призмы

(полная поверхность призмы)?

18. Чему равна боковая поверхность прямой призмы?

19. Что такое параллелепипед?

20. Каким свойством обладают противолежащие грани

параллелепипеда?

1

21. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

22. Что такое куб?

23. Что такое линейные размеры прямоугольного

параллелепипеда?

24. Назовите свойство диагонали прямоугольного

параллелепипеда.


ЗАДАЧИ

Угол прямой линии

с плоскостью

1. Наклонная равна а. Чему равна

проекция этой наклонной на плоскость,

если наклонная составляет с плоскостью проекции угол,

равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°?

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

2. Точка отстоит от плоскости на h. Найти длину наклонных,

проведённых из неё под следующими углами к плоскости:

1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

3. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость; концы его находятся

на расстоянии 3 см и 2 см от плоскости. Найти угол между данным

отрезком и плоскостью.

Ответ: 30°.

4. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии а, проведены две

наклонные, образующие с плоскостью углы в 45°, а между собой

угол в 60°. Определить расстояние между концами наклонных.

Ответ: .

5. Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две наклонные,

образующие с плоскостью углы в 45° и 30°, а между собой прямой

угол. Определить расстояние между концами наклонных.

Ответ: .

2

77*. Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин

параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2α каждый.

Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: .

78. По стороне основания а и боковому ребру в найдите объём

правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырёхугольной;

3) шестиугольной.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

79. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 3,5 см,

а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объём призмы.

Ответ: 3 см.

80. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а,

боковая поверхность равновелика сумме оснований.

Найдите её объём.

Ответ: .

81. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего

диагонального сечения 4 м, а расстояние между двумя

противоположными боковыми гранями 2 м.

Найдите объём призмы.

Ответ: 6 м.

82. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное

боковым рёбрам и пересекающее все боковые рёбра.

Найдите объём призмы, если площадь сечения Q, а боковые

рёбра равны l.

Ответ: Ql.

83. Боковые рёбра наклонной треугольной призмы равны 15 м,

а расстояния между содержащими их параллельными прямыми

26 м, 25 м и 17 м. Найдите объём призмы.

Ответ: 3060 м.

84. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции

с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м.

Найдите, сколько кубических метров земли приходится

На 1 км насыпи.

Ответ: 35 200 м.

11

Ответ: 30 м.

69. Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см и 5 см. Если

увеличить каждое ребро на х сантиметров, то поверхность

увеличится на 54 см. Как увеличится его объём?

Ответ: Вдвое.

70. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ

которого а и составляет с плоскостью основания угол α,

а с боковой гранью угол β?

Ответ: .

71. В прямом параллелепипеде стороны основания а и в образуют

угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объём.

Ответ: .

72. В прямом параллелепипеде стороны основания 2 см и 5 см

образуют угол 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна

7 см. Найдите его объём.

Ответ: 60 см.

73. Основание прямого параллелепипеда – ромб, площадь которого

1 м. Площади диагональных сечений 3 м и 6 м.

Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: 3 м.

74. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь

ромба Q, а площади диагональных сечений М и N.

Ответ: .

75. Основание наклонного параллелепипеда – квадрат, сторона

которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует

с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°.

Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: м.

76*. Грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: .

10

Двугранный

угол

6. Из точек А и В, лежащих в гранях

двугранного угла, опущены перпендикуляры

АА и ВВ на ребро угла. Найдите: 1) отрезок АВ, если АА = а,

ВВ = в, АВ = с и двугранный угол равен ; 2) двугранный

угол , если АА = 3, ВВ = 4, АВ = 6, АВ = 7.

Ответ: 1) ; 2) 60.

Диагонали

параллелепипеда

7. Сколько диагоналей имеет п-угольная

призма?

Ответ: п (п – 3).

8. Определить диагонали прямоугольного параллелепипеда

по трём его измерениям:

1) 1; 2; 2; 2) 2; 3; 6; 3) 6; 6; 7; 4) 8; 9; 12; 5) 12; 16; 21.

Ответ: 1) 3; 2) 7; 3) 11; 4) 17; 5) 29.

9. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м, стороны

основания равны 6 м и 8 м и одна на диагоналей основания равна

12 м. Определить диагонали параллелепипеда.

Ответ: 13 м и 9 м.

10. В предыдущей задаче заменить данные числа по порядку

следующими: 9 см, 7 см, 11 см и 14 см.

Ответ: ≈16,6 см и 15 см.

11. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см,

а одна из диагоналей основания 4 см. Меньшая диагональ

с плоскостью основания составляет угол в 60°.

Определить диагонали параллелепипеда.

Ответ: 8 см и 10 см.

12. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2 см и

5 см; расстояние между меньшими из них 4 см; боковое ребро

равно 2 см. Определять диагональ параллелепипеда.

Ответ: 7 см и 5 см.

13. Определить диагонали прямого параллелепипеда, у которого

каждое ребро равно а, а угол основания равен 60°.

Ответ: аи 2 а.

14. В прямом параллелепипеде стороны основания длиной 3 см и

4 см составляют угол в 60°, а боковое ребро есть средняя

пропорциональная между сторонами основания.

3

Определить диагонали этого параллелепипеда.

Ответ: 5 см и 7 см.

15. В прямом параллелепипеде рёбра, выходящие из одной

вершины, равны 1 м, 2 м и 3 м, причём два меньших образуют

угол в 60°. Определить диагонали этого параллелепипеда.

Ответ: 4 м и ≈ 3,464 (м).

16. Ребро куба равно а. Определять расстояние от вершины куба

до его диагонали.

Ответ:

Сечения

параллелепипеда

17. Постройте сечение четырёхугольной

призмы плоскостью, проходящей через

сторону основания и одну из вершин другого основания.

18. Постройте сечение четырёхугольной призмы плоскостью,

проходящей через три точки на боковых ребрах призмы.

Прямая призма

19. У призмы одно боковое ребро

перпендикулярно плоскости основания.

Докажите, что остальные боковые рёбра тоже

перпендикулярны плоскости основания.

20. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см,

17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите площадь сечения,

проведённого через боковое ребро и меньшую высоту

основания.

Ответ: 144 см.

21. Основанием призмы является правильный шестиугольник

со стороной а, боковые грани – квадраты. Найдите

диагонали призмы и площади её диагональных сечений.

Ответ: , 2а, 2а, .

22. В правильной четырёхугольной призме площадь основания

144 см, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.

Ответ: 22 см.

23. В правильной четырёхугольной призме площадь боковой

грани равна Q. Найдите площадь диагонального сечения.

Ответ: Q.

4

60. (Устно.) Расстояние между боковыми рёбрами наклонной

треугольной призмы: 2 см, 3 см и 4 см; боковая поверхность

равна 45 см. Найти боковое ребро. Ответ: 5 см.

61. В наклонной четырёхугольной призме боковое ребро равно

8 см, а расстояния между последовательными боковыми

рёбрами: 3 си, 6 см, 2 см и 7 см. Определить её боковую

поверхность.

Ответ: 144 см .

62. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно

перпендикулярны; их общее ребро равно 24 см и отстоит от

двух других боковых рёбер на 12 см и 35 см. Определить

боковую поверхность этой призмы.

Ответ: 2016 см.

63. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми

рёбрами равны 37см, 15 см и 26 см, а боковая поверхность

равновелика перпендикулярному сечению. Определить боковое

ребро.

Ответ: 2 см.

64. В наклонной треугольной призме боковые рёбра содержат

по 8 см; стороны перпендикулярного сечения относятся как

9 : 10 : 17, а его площадь равна 144 см. Определить боковую

поверхность этой призмы.

Ответ: 576 см.

65. Основанием параллелепипеда служит квадрат; одна из вершин

верхнего основания одинаково отстоит от всех вершин нижнего

основания. Сторона основания равна а, боковое ребро равно в.

Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

Ответ: .

Объём

призмы

66. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объём увеличится на 98 см. Чему равно ребро куба?

Ответ: 3 см.

67. Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объём

увеличится в 125 раз. Найдите ребро.

Ответ: 25 см.

68. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м.

Найдите ребро равновеликого ему куба.

9

51. (Устно.) Боковая поверхность правильной четырёхугольной

призмы равна 32 м, а полная поверхность 40 м.

Найти высоту. Ответ: 4м.

52. Определить полную поверхность правильной четырёхугольной

призмы, если её диагональ равна 14 см, а диагональ боковой

грани равна 10 см. Ответ: 192 + 32≈ 270 (см).

53. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 9 см,

а полная поверхность её равна 144 см. Определить сторону

основания и боковое ребро.

Ответ: 6 см и 3 см или 4 см и 7 см.

54. Определить полную поверхность прямой треугольной призмы,

если её высота равна 50 см, а стороны основания: 40 см, 13 см,

37 см. Ответ: 4980 см.

55. В прямой треугольной призме стороны основания равны 25 дм,

29 дм и 36 дм, а полная поверхность содержит 1620 дм.

Определить боковую поверхность призмы.

Ответ: 9 м.

56. В прямой треугольной призме стороны основания относятся как

17 : 10 : 9, а боковое ребро равно 16 см; полная поверхность

этой призмы содержит 1440 см.

Определить стороны основания.

Ответ: 34 см, 20 см и 18 см.

57. Основанием прямой призмы служит равнобедренный

треугольник, у которого боковая сторона относится

к основанию как 5 : 6. Высота призмы равна высоте основания,

опущенной на его боковую сторону; полная поверхность

содержит 2520 м. Определить рёбра призмы.

Ответ: 25 см, 25 см, 30 см, 24 см.

58. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция

АВСD со сторонами АВ = СD = 13 см, ВС = 11 см и АD=21 см;

площадь её диагонального сечения равна 180 см . Определить

полную поверхность этой призмы и площадь сечения АВСD.

Ответ: 906 см и 240 см.

59. Площадь наибольшего диагонального сечения правильной

шестиугольной призмы равна 1 м.

Найти боковую поверхность. Ответ: 3 м.

8

24. В прямой треугольной призме все ребра равны.

Боковая поверхность равна 12 м. Найдите высоту.

Ответ: 2 м.

Наклонная

призма

25. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см

и наклонено к плоскости основания под углом 30°.

Найдите высоту призмы.

Ответ: 7,5 см.

26*. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми

рёбрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите расстояние между

большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

Ответ: 12 см.

27. Расстояния между параллельными прямыми, содержащими

боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см,

3 см и 4 см, а боковые ребра 5 см.

Найдите боковую поверхность призмы.

Ответ: 45 см.

Поверхность

призмы

28. По стороне основания а и боковому

ребру в найдите полную поверхность

правильной призмы: 1) треугольной;

2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

29. У параллелепипеда три грани имеют площади 1м, 2 м

и 3 м. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?

Ответ: 12 м.

30. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м

образуют угол 30°, боковое ребро равно 5 м.

Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.

Ответ: 188 м.

31. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см,

угол между ними 60°. Боковая поверхность равна 220 см.

Найдите полную поверхность.

Ответ: ≈ 262 см.

5

32. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см,

а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую

диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ

образует с плоскостью основания угол 60°.

Ответ: 10 см.

33. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое

ребро равно а, а угол основания равен 60°.

Ответ: 2 а, а.

34*. Боковое ребро прямого параллелепипеда 5 м, стороны основания

6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания 12 м.

Найдите диагонали параллелепипеда.

Ответ: 13 м, 9 м.

35. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трём его

измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.

Ответ: 1) 3; 2) 7; 3) 11.

36. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и

24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм.

Найдите площадь диагонального сечения.

Ответ: 2 м.

37. Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трём

его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.

Ответ: 1464 см.

38. Найдите боковую поверхность прямоугольного

параллелепипеда, если его высота h, площадь основания Q,

а площадь диагонального сечения М.

Ответ: .

39. Диагонали трёх граней прямоугольного параллелепипеда,

сходящиеся в одной вершине, равны а, в, с. Найдите линейные

размеры параллелепипеда.

Ответ: , , .

40. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник,

у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см.

Боковые грани образуют с основанием равные двугранные

углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.

Ответ: 3 см.

6

41. (Устно.) Поверхность куба равна 24 м. Найти его ребро. (2 м).

42. Определить ребро куба, если его поверхность равна:

1) 5046 см; 2) 793 см; 3) 47 м.

Ответ: 1) 29 см; 2) 11 см; 3) см.

43. Определять поверхность куба: 1) по его диагонали l;

по данной площади Q его диагонального сечения.

Ответ: 1) 2 l; 2) 3 Q.

44. Определить поверхность прямоугольного параллелепипеда

по трём его измерениям: а = 10 см, в = 22 см и с = 16 см.

Ответ: 1464 см.

45. Рёбра прямоугольного параллелепипеда относятся как 3 : 7 : 8,

а поверхность содержит 808 см. Определить рёбра.

Ответ: 6 см, 14 см, 16 см.

46. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания

относятся как 7 : 24, а площадь диагонального сечения равна

50 дм. Определить боковую поверхность.

Ответ: 124 дм.

47. В прямом параллелепипеде стороны основания равны

10 см и 17 см; одна из диагоналей основания равна 21 см;

большая диагональ параллелепипеда равна 29 см. Определить

полную поверхность параллелепипеда.

Ответ: 1416 см.

48. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб

с диагоналями в 6 см и 8 см; диагональ боковой грани

равна 13 см.

Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

Ответ: 288 см.

49. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, а площади

диагональных сечений М и Q. Определить боковую

поверхность параллелепипеда.

Ответ:

50. (Устно.) В прямой треугольной призме все рёбра равны.

Боковая поверхность равна 12 м. Найти высоту. (2 м).

7

ГДЗ по Математике 9‐11 класс сборник задач Сканави часть 1, 2

Решебники, ГДЗ

  • 1 Класс
    • Математика
    • Русский язык
    • Английский язык
    • Информатика
    • Немецкий язык
    • Литература
    • Человек и мир
    • Природоведение
    • Основы здоровья
    • Музыка
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 2 Класс
    • Математика
    • Русский язык
    • Белорусский язык
    • Английский язык
    • Информатика
    • Украинский язык
    • Французский язык
    • Немецкий язык
    • Литература
    • Человек и мир
    • Природоведение
    • Основы здоровья
    • Музыка
    • Окружающий мир
    • Технология
    • Испанский язык
  • 3 Класс
    • Математика
    • Русский язык
    • Белорусский язык

Геометрия 10-11 класс Атанасян стр 1

  • Главная
  • Ошибки пособий Ященко
  • Математика
  • Информатика
  • Физика
  • Русский язык
  • Обществознание
  • ФИПИ 2021
  • Конспекты
  • Формулы

  • Новости
  • Контакты
  •  

  • Реальныe варианты ЕГЭ по математике
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 - 8 классы
  • Подготовка к ОГЭ 9 класс ГИА
  • ОГЭ 2021
  • ОГЭ 2020
  • ОГЭ 2019
  • ОГЭ 2018
  • 10 класс
  • Задания ЕГЭ части 1
  • Задания ЕГЭ части 2
  • ЕГЭ по математике 2021
  • ЕГЭ 2020
  • ЕГЭ 2019
  • ЕГЭ 2018
  • ЕГЭ 2017
  • Ларин варианты
  • Вступительные контрольные работы в ФМШ
  • Дополнительные вступительные испытания в ВУЗы
  • Теория вероятностей в 9-11 классах
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Вектор
  • Тригонометрия
  • МатАнализ
  • Аналитическая Геометрия
  • Задачники Пособия
  • Олимпиада
  • Видео решения
  • Изюминка
  • Ошибки в ответах пособий
  • ГДЗ по математике
  • Найти
  • ВПР по математике 5 класс сентябрь 2020
  • ВПР по математике 6 класс (по программе 5 класса) сентябрь 2020
  • Тренировочная работа в формате ВПР 2019-2020 по математике 6 класс
  • Диагностическая работа по математике по разделу теория вероятностей и статистика 8 класс Сентябрь 2020
  • ВПР по математике 7 класс сентябрь 2020
  • ВПР по математике 8 класс сентябрь 2020
  • Тренировочная работа в формате ВПР по математике 7 класс 28-02-2020 Статград
  • Диагностическая работа по математике 8 класс 27-02-2020
  • Контрольная работа по математике 8 класс за первое полугодие
  • Контрольная работа по математике 7 класс за первое полугодие
  • ВПР по математике 8 класс 2020 демовариант
  • 7 класс Входная мониторинговая контрольная работа 18-09-2019
  • 8 класс  Диагностическая работа по алгебре Статград сентябрь 2019
  • 7 класс ВПР 18-04-2019 по математике
  • 7 класс Статград 4 марта 2019 Тренировочная работа в формате ВПР по математике
  • 7 класс ВПР по математике 2019
  • 7 класс КДР по АЛГЕБРЕ Краснодарский край Январь 2019
  • 8 класс КДР по АЛГЕБРЕ Краснодарский край Январь 2019
  • Задачи 7 ОГЭ
  • Задачи 8 ОГЭ
  • Задачи 9 ОГЭ
  • Задачи 10 ОГЭ
  • Задачи 12 ОГЭ
  • Задачи 13 ОГЭ
  • Задачи 14 ОГЭ
  • Задачи 15 ОГЭ
  • Задачи 16 ОГЭ
  • Задачи 17 ОГЭ
  • Задачи 18 ОГЭ
  • Задачи 19 ОГЭ
  • Задачи 20 ОГЭ
  • Задачи 21 ОГЭ
  • Задачи 22 ОГЭ
  • Задачи 23 ОГЭ
  • Задачи 24 ОГЭ
  • Задачи 25 ОГЭ
  • Задачи 26 ОГЭ
  • Пособия для подготовки к ОГЭ
  • Лысенко ОГЭ 2020 математика 40 тренировочных вариантов
  • 50 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
  • 38 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
  • 36 вариантов ОГЭ 2020 ФИПИ Ященко 
  • 14 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
  • 10 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
  • 50 вариантов математика ОГЭ 2019 Типовые тестовые задания Ященко  Высоцкий
  • 38 вариантов математика ОГЭ 2019 Высоцкий Ященко
  • Ященко ОГЭ 2018 20 вар
  •  36 вариантов ОГЭ 2018 ФИПИ Ященко 
  • Ященко ОГЭ 2017 36 вар
  • Ященко ОГЭ 2016 36 вар
  • Мониторинговая работа за 1 полугодие в 9 классе в формате ОГЭ 19-12-2020
  • Диагностическая работа по геометрии 9 класс Статград 09-12-2020
  • Тренировочная работа №2 по математике 9 класс Статград 25-11-2020
  • Тренировочная работа №1 по математике 9 класс Статград 02-10-2020
  • Диагностическая работа по математике по разделу теория вероятностей и статистика 9 класс Сентябрь 2020
  • Проверочная работа по математике 9 класс (по материалам 8 класса)
  • Демонстрационный вариант ОГЭ 2021 ФИПИ по математике
  • Пробные ОГЭ 2020
  • Статград 9 класс Тренировочная работа №4 по математике 05-03-2020
  • Апробация КИМ ОГЭ математика 9 класс Санкт-Петербург 06-02-2020
  • Статград 9 класс Тренировочная работа №3 по математике 04-02-2020
  • Краевая диагностическая работа по математике 9 класс декабрь 2019
  • Диагностическая работа по алгебре и геометрии 9 класс Статград  12-12-2019  профильный
  • Диагностическая работа по геометрии 9 класс Статград  12-12-2019  по учебнику Атанасяна 
  • Диагностическая работа по геометрии 9 класс Статград  12-12-2019  по учебнику Погорелова
  • Контрольная экзаменационная работа по математике 9 класс 04-12-2019
  • Статград 9 класс Тренировочная работа №2 по математике 12-11-2019
  • Статград 9 класс Тренировочная работа №1 по математике 03-10-2019
  • ОГЭ по математике 06-06-2019 основная волна
  • Досрочный ОГЭ по математике 22-04-2019
  • Пробные ОГЭ 2019
  • Статград 9 класс 15-05-2019 Тренировочная работа №5 по математике 
  • Статград 19-03-2019 Тренировочная работа №4 по математике 9 класс
  • Статград 12-02-2019 Тренировочная работа №3 по МАТЕМАТИКЕ 9 класс
  • Статград  13-12-2018 Диагностическая работа по алгебре и геометрии 9 класс профиль
  • Статград  13-12-2018  по Атанасяну Диагностическая работа по алгебре и геометрии 9 класс
  • Статград  08-11-2018 Тренировочная работа №2 по математике
  • Пробные ОГЭ 2018
  • Пробник ОГЭ Санкт-Петербург 06-04-2018
  • Региональная диагностическая работа Математика 10 класс 2020
  • Тренировочная работа №1 по математике 10 класс Статград 06-02-2020
  • КДР математика 10 класс 19-12-2019
  • Диагностическая работа по математике 10 класс 13-11-2019
  • Стартовая уровневая работа по математике 10 класс  01-10-2019 СтатГрад
  • СтатГрад Тренировочная работа №2 по МАТЕМАТИКЕ 10-11 класс 17-05-2019
  • Итоговая диагностическая работа для 10 математических классов 14-05-2019
  • Итоговая уровневая работа по математике 10 класс 24-04-2019 СтатГрад
  • 10 класс КДР по математике апрель 2019 Демонстрационный вариант
  • Статград 06-02-2019 Тренировочная работа №1 по математике 10 класс
  • Статград  18-12-2018  Диагностическая работа по Математике по теме Тригонометрия
  • Статград  04-12-2018 Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень) Колмогоров
  • Статград  04-12-2018  по учебнику Никольского Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень)
  • Статград  04-12-2018 по учебникам Алимова и Колягина Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень)
  • Задачи 3
  • Задачи 4
  • Задачи 5
  • Задачи 6
  • Задачи 7
  • Задачи 8
  • Задачи 9
  • Задачи 11
  • Задачи 12
  • Задачи 13 с уравнениями
  • Задачи 14 на стереометрию
  • Задачи 15 с неравенствами
  • Задачи 16 на планиметрию
  • Задачи 17
  • Задачи 18 с параметрами
  • Задачи 19
  • Критерии
  • Пробные ЕГЭ 2021
  • Математика 50 вариантов заданий ЕГЭ 2021 Ященко
  • Математика 36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко
  • Математика 37 вариантов заданий 2021 Ященко профильный уровень ЕГЭ
  • Демонстрационный вариант ЕГЭ 2021 ФИПИ по математике
  • Тренировочная работа №2 по математике 11 класс Статград 16-12-2020
  • Тренировочная работа №1 по математике 11 класс Статград 30-09-2020
  • ЕГЭ по математике 2020 резервный день
  • ЕГЭ по математике 10-07-2020
  • Открытые варианты досрочного отменённого ЕГЭ 2020 по математике
  • Пробные ЕГЭ 2020
  • Лысенко ЕГЭ 2020 математика профильный уровень 40 тренировочных вариантов
  • Математика 50 вариантов заданий 2020 Ященко профильный уровень ЕГЭ
  • Математика 36 вариантов заданий 2020 Ященко профильный уровень ЕГЭ
  • Тренировочная работа № 2 по математике 10 - 11 класс СтатГрад 15-05-2020
  • Тренировочная работа № 5 11 класс по математике СтатГрад 22-04-2020
  • Пробный ЕГЭ в Санкт-Петербурге 13-03-2020
  • Тренировочная работа № 4 11 класс по математике СтатГрад 11-03-2020
  • Пробный ЕГЭ по математике 29-02-2020
  • Тренировочная работа № 3 11 класс по математике СтатГрад 29-01-2020
  • Региональные диагностические работы по математике 2020
  • СтатГрад 18-12-2019 Тренировочная работа № 2 11 класс по математике
  • СтатГрад 25-09-2019 Тренировочная работа № 1 11 класс по математике
  • ЕГЭ по математике 24-06-2019 резервный день
  • ЕГЭ по математике 29-05-2019 основная волна
  • Резервный день Досрочного ЕГЭ по математике  10-04-2019
  • Досрочный ЕГЭ 2019 математика профильный уровень 29-03-2019
  • Пробные ЕГЭ 2019
  • Демонстрационный вариант КИМ ФИПИ ЕГЭ 2019
  • ященко егэ 2019 математика профиль 36 вариантов
  • 36 вариантов ФИПИ егэ 2019 математика ященко 
  • 14 вариантов 2019 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
  • 20 вариантов тестов ЕГЭ 2019 Ященко Тематическая рабочая тетрадь
  • ВВ Мирошин АР Pязановский Математика Решение задач ЕГЭ 2019 
  • СтатГрад 19-04-2019 Тренировочная работа № 5 11 класс по математике
  • Пробный ЕГЭ 16-03-2019
  • СтатГрад 13-03-2019 Тренировочная работа № 4 11 класс
  • Пробный ЕГЭ 12-03-2019 Санкт-Петербург
  • СтатГрад 24-01-2019 Диагностическая работа № 3 11 класс
  • СтатГрад 20-12-2018 11 класс Тренировочная работа №2  
  • Тренировочная работа 20_09_2018 СтатГрад 11 класс
  • Диагностическая работа 10_10_2018 Коми 11 класс
  • Тренировочная работа 2 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 3 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 4 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 5 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 6 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 7 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 8 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 9 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 10 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 11 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 12 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 13 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 14 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 15 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 16 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 17 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 18 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 19 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 20 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 21 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 22 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 23 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 24 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 25 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 26 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 27 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 28 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 29 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 30 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 31 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 32 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 33 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 34 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 35 (36 вар 2019)
  • Тренировочная работа 36 (36 вар 2019)
  • Вариант 1 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 5 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 6 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 7 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 8 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 9 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 10 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 11 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 12 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 13 (14 вар 2019 Ященко)
  • Вариант 14 (14 вар 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 1 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 2 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 7 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 8 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 9 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 10 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 11 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 12 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 13 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 14 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 15 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 16 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 17 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 18 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 19 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Диагностическая работа 20 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
  • Резервный день ЕГЭ 2018  профиль 25 июня
  • Реальный ЕГЭ 2018  профиль 1 июня основная волна
  • ДОСРОЧНЫЙ ЕГЭ 2018
  • ДОСРОЧНЫЙ ЕГЭ  резервный день 11-04-2018
  • Пробные ЕГЭ 2018
  • Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2018
  • 30 новых вариантов ЕГЭ 2018 Математика Мирошин В.В. Тренировочные задания
  • 36 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
  • 50 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
  • 2018 Математика профильный уровень Ященко 20 вариантов тестов Тематическая рабочая тетрадь
  • 14 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
  • Тренировочная работа 18_04_2018 СтатГрад 11 класс
  • Пробный ЕГЭ в Санкт-Петербурге 4 апреля 2018
  • Тренировочная работа 06_03_2018 СтатГрад 11 класс
  • Тренировочная работа 25_01_2018 СтатГрад 11 класс
  • Тренировочная работа 21_12_2017 СтатГрад 11 класс
  • Вариант 1
  • Вариант 2
  • Вариант 3
  • Вариант 4
  • Вариант 5
  • Вариант 7
  • Вариант 9
  • Вариант 10
  • Вариант 11
  • Вариант 13
  • Вариант 14
  • Вариант 16
  • Тренировочная работа 6 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 7 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 8 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 9 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 10 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 11 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 13 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 14 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 15 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 16 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 17 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 18 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 19 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 20 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 21 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 22 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 23 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 24 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 25 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 26 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 27 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 28 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 29 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 30 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 31 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 33 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 34 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 35 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 36 (36 вар 2018)
  • Тренировочная работа 1
  • Тренировочная работа 5
  • Тренировочная работа 6
  • Тренировочная работа 7
  • Тренировочная работа 11
  • Тренировочная работа 12
  • Тренировочная работа 13
  • Тренировочная работа 14
  • Тренировочная работа 15
  • Тренировочная работа 16
  • Тренировочная работа 17
  • Тренировочная работа 18
  • Тренировочная работа 19
  • Тренировочная работа 20
  • Тренировочная работа 21
  • Тренировочная работа 22
  • Тренировочная работа 23
  • Тренировочная работа 26
  • Тренировочная работа 27
  • Тренировочная работа 28
  • Тренировочная работа 29
  • Тренировочная работа 30
  • Тренировочная работа 31
  • Тренировочная работа 32
  • Тренировочная работа 33
  • Тренировочная работа 34
  • Тренировочная работа 35
  • Тренировочная работа 36
  • Тренировочная работа 37
  • Тренировочная работа 38
  • Тренировочная работа 39
  • Тренировочная работа 40
  • Тренировочная работа 41
  • Тренировочная работа 42
  • Тренировочная работа 43
  • Тренировочная работа 44
  • Тренировочная работа 45
  • Тренировочная работа 46
  • Тренировочная работа 47
  • Тренировочная работа 48
  • Тренировочная работа 49
  • Тренировочная работа 50
  • Диагностическая работа № 10
  • Диагностическая работа № 11
  • Диагностическая работа № 14
  • Диагностическая работа № 16
  • Диагностическая работа № 17
  • Диагностическая работа № 19
  • Диагностическая работа № 20
  • Вариант 1 (14 вар 2018)
  • Вариант 2 (14 вар 2018)
  • Вариант 3 (14 вар 2018)
  • Вариант 4 (14 вар 2018)
  • Вариант 5 (14 вар 2018)
  • Вариант 7 (14 вар 2018)
  • Вариант 8 (14 вар 2018)
  • Вариант 9 (14 вар 2018)
  • Вариант 10 (14 вар 2018)
  • Вариант 11 (14 вар 2018)
  • Вариант 13 (14 вар 2018)
  • Вариант 14  (14 вар 2018)
  • Ященко ЕГЭ 2017 30 вариантов 
  • Пробные варианты ЕГЭ 2017
  • Реальный ЕГЭ 2017
  • ОГЭ(ГИА) 9 класс Ларин
  • 332 тренировочный вариант от Ларина
  • 331 тренировочный вариант от Ларина
  • 330 тренировочный вариант от Ларина
  • 329 тренировочный вариант от Ларина
  • 328 тренировочный вариант от Ларина
  • 327 тренировочный вариант от Ларина
  • 326 тренировочный вариант от Ларина
  • 325 тренировочный вариант от Ларина
  • 324 тренировочный вариант от Ларина
  • 323 тренировочный вариант от Ларина
  • 322 тренировочный вариант от Ларина
  • 321 тренировочный вариант от Ларина
  • 320 тренировочный вариант от Ларина
  • 319 тренировочный вариант от Ларина
  • 318 тренировочный вариант от Ларина
  • 317 тренировочный вариант от Ларина
  • 316 тренировочный вариант от Ларина
  • 315 тренировочный вариант от Ларина
  • 314 тренировочный вариант от Ларина
  • 313 тренировочный вариант от Ларина
  • 312 тренировочный вариант от Ларина
  • 311 тренировочный вариант от Ларина
  • 310 тренировочный вариант от Ларина
  • 309 тренировочный вариант от Ларина
  • 308 тренировочный вариант от Ларина
  • 307 тренировочный вариант от Ларина
  • 306 тренировочный вариант от Ларина
  • 305 тренировочный вариант от Ларина
  • 304 тренировочный вариант от Ларина
  • 303 тренировочный вариант от Ларина
  • 302 тренировочный вариант от Ларина
  • 301 тренировочный вариант от Ларина
  • 300 тренировочный вариант от Ларина
  • 297 тренировочный вариант от Ларина
  • 296 тренировочный вариант от Ларина
  • 295 тренировочный вариант от Ларина
  • 293 тренировочный вариант от Ларина
  • 292 тренировочный вариант от Ларина
  • 291 тренировочный вариант от Ларина
  • 290 тренировочный вариант от Ларина
  • 286 тренировочный вариант от Ларина
  • 285 тренировочный вариант от Ларина
  • 284 тренировочный вариант от Ларина
  • 283 тренировочный вариант от Ларина
  • 282 тренировочный вариант от Ларина
  • 281 тренировочный вариант от Ларина
  • 280 тренировочный вариант от Ларина
  • 279 тренировочный вариант от Ларина
  • 278 тренировочный вариант от Ларина
  • 277 тренировочный вариант от Ларина
  • 276 тренировочный вариант от Ларина
  • 275 тренировочный вариант от Ларина
  • 274 тренировочный вариант от Ларина
  • 273 тренировочный вариант от Ларина
  • 271 тренировочный вариант от Ларина
  • 270 тренировочный вариант от Ларина
  • 269 тренировочный вариант от Ларина
  • 268 тренировочный вариант от Ларина
  • 267 тренировочный вариант от Ларина
  • 266 тренировочный вариант от Ларина
  • 265 тренировочный вариант от Ларина
  • 264 тренировочный вариант от Ларина
  • 263 тренировочный вариант от Ларина
  • 262 тренировочный вариант от Ларина
  • 261 тренировочный вариант от Ларина
  • 260 тренировочный вариант от Ларина
  • 259 тренировочный вариант от Ларина
  • 258 тренировочный вариант от Ларина
  • 257 тренировочный вариант от Ларина
  • 256 тренировочный вариант от Ларина
  • 255 тренировочный вариант от Ларина
  • 254 тренировочный вариант от Ларина
  • 253 тренировочный вариант от Ларина
  • 252 тренировочный вариант от Ларина
  • 251 тренировочный вариант от Ларина
  • 250 тренировочный вариант от Ларина
  • 249 тренировочный вариант от Ларина
  • 248 тренировочный вариант от Ларина
  • 247 тренировочный вариант от Ларина
  • 246 тренировочный вариант от Ларина
  • 150 тренировочный вариант от Ларина
  • 149 тренировочный вариант от Ларина
  • 130 тренировочный вариант от Ларина
  • 93 тренировочный вариант от Ларина
  • 91 тренировочный вариант от Ларина
  • 89 тренировочный вариант от Ларина
  • 88 тренировочный вариант от Ларина
  • 87 тренировочный вариант от Ларина
  • 86 тренировочный вариант от Ларина
  • 85 тренировочный вариант от Ларина

Задачи геометрического слова

Разнообразные геометрические задачи со словами вместе с пошаговыми решениями помогут вам попрактиковаться в геометрии. Проблема со словом # 1 :

Размер одного дополнительного угла в два раза превышает размер второго. Какова мера каждого угла?

Пусть x будет мерой первого угла. Тогда второй угол равен 2x.

Так как углы являются дополнительными, они составляют 180 °

x + 2x = 180 °

3x = 180 °

Так как 3 × 60 = 180, x = 60

Размер первого угла равен 60 °

Измерение секунды составляет 2x = 2 × 60 = 120 °

Проблема со словами # 2 :

Без нанесения точек, скажем, если точки (2, 4), (2, 0) и (2, -6) коллинеарны.

Если координата x или y одинакова для всех точек, то точки коллинеарны.

После внимательного изучения мы видим, что координата x одинакова для всех точек. Следовательно, точки коллинеарны.

Задача со словами № 3 :

Периметр квадрата равен 8 см. Какой район?

Если периметр равен 8 см, то длина одной стороны равна 2 см, так как 2 см + 2 см + 2 см + 2 см = 8 см.

Площадь = 2 см × 2 см = 4 см 2 .

Проблема со словами # 4 :

Прямой треугольник имеет острые углы, размеры которых находятся в соотношении 1: 3

Найдите размер этих острых углов.

Что нужно знать: сумма углов в треугольнике равна 180 °

Значение соотношения 1: 3

Это означает, что второй острый угол в 3 раза больше, чем первый острый угол.

Пусть x будет первым острым углом, тогда второй острый угол будет 3x.

x + 3x + 90 ° = 180 °

4x + 90 ° = 180 °

4x + 90 ° - 90 ° = 180 ° - 90 °

4x = 90 °

Начиная с 4 × 22.5 = 90 °, x = 22,5 °

Второй угол равен 3x = 3 × 22,5 = 67,5

Размеры двух острых углов 22,5 и 67,5

Сложные и интересные задачи по геометрии со словами

Проблема со словом # 5 :

Средняя точка сегмента - (3, 6). Если одна конечная точка (4, 7), какова другая конечная точка?

Предположим, что x 1 - это отсутствующая координата x другой конечной точки.

Чтобы получить координату x средней точки, вам нужно будет выполнить следующие вычисления:


x 1 = 2, поскольку 2 + 4 = 6 и 6, разделенное на 2 = 3

Предположим, y 1 - это отсутствующая координата y другой конечной точки.

Чтобы получить координату y средней точки, вам нужно выполнить следующие математические вычисления:


y 1 = 5, так как 5 + 7 = 12 и 12, разделенное на 2 = 6

Другая конечная точка - (2, 5)

Задача Word # 6 :

Сумма значений углов n-угольник равен 2340 °. Сколько сторон у этого н-угольника?

Чтобы решить эту задачу, вам необходимо знать следующую формулу:

Сумма углов в n-угольнике = (n - 2) × 180 °

n - количество сторон.Так что просто вставьте числа и решайте.

2340 ° = (n - 2) × 180 °

2340 ° = 180 ° n - 360 °

2340 ° + 360 ° = 180 ° n - 360 ° + 360 °

2700 ° = 180 ° n

Разделите обе стороны 180 °

(2700 ° ÷ 180 °) = (180 ° ÷ 180 °) n

15 = n

У n-угольника 15 сторон

Проблема со словами # 7 :

Если две линии перпендикулярны, каков наклон первой линии, если наклон второй линии равен 5.

Когда две линии перпендикулярны, верно следующее уравнение

Пусть m 1 × m 2 = - 1

м 1 - наклон первой линии, а м 2 - наклон второй линии

Таким образом, m 1 × 5 = -1

Разделим обе части этого уравнения на 5

1 × 5 ÷ 5) = (-1 ÷ 5)


Проблема со словами № 8 :

Диаметр пенни равен 0.750 дюймов, а диаметр четверти составляет 0,955 дюйма.

Вы кладете пенни сверху и ровно в середину четверти. Так как монета меньше, она не покроет полностью четверть.

Какая площадь не покрыта? Изменится ли площадь, если монета не по центру?

Мы можем использовать A = πr 2 , поскольку монета имеет форму круга.

Пусть B обозначает площадь не покрытой части.

B = площадь квартала - площадь копейки

r = 0.375 дюймов для пенни и r = 0,4775 для четверти

B = 3,14 × 0,4775 × 0,4775 - 3,14 × 0,375 × 0,375

B = 0,715 - 0,441

B = 0,274 дюйма 2

До длины монеты остается внутри квартала, незакрытая площадь должна оставаться прежней.

Хотите еще задач по геометрии? Проверьте электронную книгу ниже

Электронная книга, представленная выше, покажет вам, как решать многие другие геометрические задачи со словами по мере изучения некоторых важных геометрических формул.

Есть большие проблемы с геометрическими словами?

У вас есть отличная геометрическая задача со словом? Поделитесь этим здесь с решением!

Что говорили другие посетители

Щелкните ниже, чтобы увидеть вклад других посетителей этой страницы ...

  1. Введение в физику

    18 ноя, 20 13:20

    Первоклассное введение в физику.Универсальный ресурс для глубокого понимания важных концепций физики

    Подробнее

Новые уроки математики

Ваша электронная почта в безопасности. Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики.

Перейти к задачам по геометрии Страница 1, 1-50, Школа, Колледж, Онлайн-обучение, Электронное обучение

Задачи по геометрии Go Страница 1

Проблемы открытой геометрии Проблемы
Десять задач геометрии
Визуальный указатель
Параллельные линии
Перпендикулярные линии
Коллинеарные точки
Треугольник
Метрические отношения
Четырехугольник
Треугольник и квадраты
Полигоны
Пентагоны
Шестиугольники
Семиугольники
Восьмиугольники
Круг
Треугольник Центры
Конгруэнтность
Сходство, соотношения, пропорции

Геометрия Проблема 1492.
Прямой треугольник, высота, центры, угол, измерение.

Геометрия Задача 1491.
Циклический четырехугольник, диагональ, вписанная окружность, угол, измерение.

Геометрия Задача 1490.
Треугольник, Цвиан, вписанная окружность, касательная, измерение.

Геометрия Проблема 1489.
Прямой треугольник, биссектриса угла, перпендикуляр, измерение.

Геометрия Задача 1488.
Прямой треугольник, высота, вписанная окружность, касательная, измерение.

Геометрия Задача 1487.
Прямой треугольник, высота, вписанная окружность, касательная, измерение.

Геометрия Задача 1486. ​​
Прямой треугольник, высота, вписанная окружность, касательная, измерение.

Геометрия Задача 1485.
Треугольник, Ортоцентр, Высота, Круг, Диаметр, Касательная, Измерение.

Геометрия Проблема 1484.
Прямой треугольник, высота, окружность, внутренний радиус, измерение.

Геометрия Задача 1483.
Равнобедренный прямоугольный треугольник, эксцентр, перпендикуляр, измерение.

Геометрия Задача 1482.
Прямой треугольник, перпендикуляр, двойной угол, измерение.

Динамическая геометрия 1481.
Пять касательных или описанных четырехугольников, теорема Пито, конгруэнтность, пошаговая иллюстрация. GeoGebra, iPad.

Динамическая геометрия 1480.
Японская теорема для циклического многоугольника, Сангаку, триангуляция, непересекающиеся диагонали, сумма Inradii, инвариант, пошаговая иллюстрация.GeoGebra, iPad.

Динамическая геометрия 1479.
Треугольник, окружность, биссектриса угла, Серединный перпендикуляр, хорда, конциклические точки, параллельные линии, пошаговая иллюстрация. GeoGebra, iPad.

Динамическая геометрия 1478.
Циклоцевиан, теорема Ройшле-Теркема, параллельные чевианы, треугольник, окружность, секущая линия, пошаговая иллюстрация.GeoGebra, iPad.

Динамическая геометрия 1477.
Теорема Микеля о пентаграмме, пятиугольник, треугольник, окружности, конциклические точки, пошаговая иллюстрация. GeoGebra, iPad.

Динамическая геометрия 1476.
Теорема Дроза-Фарни о прямой, треугольник, ортоцентр, перпендикуляр, коллинеарные средние точки, пошаговая иллюстрация.GeoGebra, iPad.

Динамическая геометрия 1475.
Теорема Клиффорда о пересекающихся окружностях, Пошаговая иллюстрация, GeoGebra, iPad.

Динамическая геометрия 1473.
Теорема Косницы, треугольник, четыре центра окружности, параллельная линия, пошаговая иллюстрация.

Динамическая геометрия 1472.
Циклический четырехугольник, перпендикулярные диагонали, прямоугольник, пошаговая иллюстрация.

Динамическая геометрия 1471.
Равносторонний треугольник, внутренняя / внешняя точка, центры начала, точки касания, параллельные линии, пошаговая иллюстрация.

Dynamic Geometry 1470.
Тангенциальный четырехугольник, вписанная окружность, касательная, Параллель, Ромб, Пошаговая иллюстрация.

Динамическая геометрия 1469.
Треугольник, окружной радиус, внутренний радиус, средние точки, дуги, сумма расстояний, пошаговая иллюстрация.

Динамическая геометрия 1468.
Теорема Штейнера, треугольник, окружной радиус, внутренний радиус, сумма эксрадиусов, пошаговая иллюстрация.

Задача геометрии 1467.
Квадрат, прямоугольник, треугольник, площадь.

Проблема геометрии 1466.
Тангенциальный четырехугольник, линия Ньютона, внутренний центр, средняя точка, диагональ, коллинеарные точки. Пошаговая иллюстрация с использованием GeoGebra.

Задача геометрии 1465.
Тангенциальный четырехугольник, внутренний центр, вписанная окружность, равная сумма площадей. Пошаговая иллюстрация с использованием GeoGebra.

Задача геометрии 1464.
Четырехугольник, внутренняя точка, середина сторон, равная сумма площадей. Пошаговая иллюстрация с использованием GeoGebra.

Задача геометрии 1463.
Параллелограмм, внутренняя точка, противоположные треугольники с одинаковой суммой площадей. Пошаговая иллюстрация с использованием GeoGebra.

Проблема геометрии 1462.
Линия Ньютона, линия Ньютона-Гаусса, полный четырехугольник, середины сторон и диагоналей, Коллинеарные точки.

Задача геометрии 1461.
Четырехугольник, треугольник, углы, 30-60 градусов, конгруэнтность, вспомогательные линии.

Динамическая геометрия 1460.
Линия Ньютона-Гаусса, полный четырехугольник, середины диагоналей, Коллинеарные точки, пошаговая иллюстрация с использованием GeoGebra.

Геометрия Задача 1459.
Два треугольника, ортоцентр, средняя точка, перпендикуляр, пошаговое изображение. Иллюстрация с использованием GeoGebra.

Геометрия Проблема 1458.
Треугольник, Incircles, Excircle, Area, Пошаговая иллюстрация с использованием GeoGebra.

Геометрия Задача 1457.
Высота, круги, подобие, Произведение длин Inradii, iPad. Пошаговая иллюстрация с использованием GeoGebra.

Геометрия Проблема 1456.
Высота, Ортический треугольник, Окружность, Параллельные линии, Сходство, Площадь, iPad. Пошаговая иллюстрация с использованием GeoGebra.

Геометрия Задача 1455.
Точка Нагеля, Excircles, Incircle, Конгруэнтные сегменты, iPad. Пошаговая иллюстрация с использованием GeoGebra.

Геометрия Проблема 1454.
Пересекающиеся окружности, перпендикулярные линии, циклический четырехугольник, коллинеарность Точки, iPad. Пошаговая иллюстрация с использованием GeoGebra.

Геометрия Задача 1453.
Два полукруга, циклический четырехугольник, концыклические точки, iPad.

Динамическая геометрия 1452.
Японская теорема, Сангаку, Циклический четырехугольник, центр, прямоугольник, внутренний радиус. Шаг за шагом иллюстрация с использованием GeoGebra.

Динамическая геометрия 1451.
Ортополь прямой. Шаг за шагом иллюстрация с использованием GeoGebra.

Динамическая геометрия 1450.
Ортолин, линия Штейнера, полный четырехугольник, коллинеальные ортоцентры. Шаг за шагом иллюстрация с использованием GeoGebra.

Задача геометрии 1400.
Треугольник с тремя прямоугольниками по бокам, биссектрисы, параллелизм.

Задача геометрии 1391.
Два треугольника, соотношение площадей, окружность.

Задача геометрии 1381.
Параллелограмм, внешняя точка, треугольник, площадь.

Задача геометрии 1371: Equilic Четырехсторонний 5

Задача геометрии 1361.
Треугольник, два круга из девяти точек, круг Фейербаха, круг Эйлера, конгруэнтные углы, эскиз, приложения для iPad.

Задача геометрии 1200
Квадрат, прямоугольный треугольник, перпендикуляр, 90 градусов, равные площади.

Проблема геометрии 900
Пересекающиеся окружности, общий внешний касательный, секущий, угол, конгруэнтность.
GeoGebra, Анимация HTML5 для планшетов.
Решение.

Проблема геометрии 800
Теорема де Гуа, теорема Пифагора в трехмерном пространстве, тетраэдр, кубическая вершина, треугольная пирамида, вершина, высота, площадь прямоугольного треугольника, площадь основания, площадь проекции.
Решение.

Проблема геометрии 700.
Равносторонний треугольник, круг, круговой сегмент, середина стороны, метрические соотношения.
Решение.

Проблема геометрии 600
Круг, площадь, касательная, полукруг, точка касания.
Решение.

Задача геометрии 500.
Круг, диаметр, хорда, перпендикуляр, мера.
Решение.

Задача геометрии 400.
Треугольник, биссектриса угла, окружность, перпендикуляр, конгруэнтность.
Решение.

Задача геометрии 300.
Касательные к окружности, секущие, квадрат.
Решение.

Задача геометрии 200.
Прямой треугольник, вписанная окружность, округлости, точки Касание, Inradius.
Решение.

Задача геометрии 100.
Круг Площадь, Книга лемм Архимеда.
Решение.

Проблема геометрии 1.
Треугольник, срединный, углы, 45 градусов.
Решение

Перейти на страницу: Предыдущая | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | Следующий

Главная | Геометрия | Проблемы | Визуальный указатель | Проблемное искусство | Галерея | Электронная почта
Последнее обновление: 30 декабря, 2020

Задачи GMAT по геометрии - Блог Magoosh - Экзамен GMAT®

Задачи по геометрии GMAT проверьте свои способности к пространственному мышлению .Можете ли вы взглянуть на диаграмму из точек, линий и / или кругов и выделить важные детали, которые приведут к правильному ответу?

Если вы ответили нет , не бойтесь! Прочитав этот пост, выучив фундаментальные геометрические формулы и проработав эти практические вопросы по геометрии, у вас будут инструменты, необходимые для успеха в день теста!

Содержание

Как использовать формулы геометрии

Очень важно понимать, что геометрические формулы - это полезные инструменты, а НЕ волшебные палочки.Формулы геометрии, безусловно, важны! Но может возникнуть соблазн думать, что все, что вам нужно сделать, это запомнить кучу формул. Сами по себе формулы не могут гарантировать вам высокий балл в разделе GMAT Quant. Вам также необходимо знать, когда и как применять формулы.

Более того, редко бывает, что для решения проблемы требуется только одна формула. Чаще всего вам нужно сложить несколько разных формул, как кусочки пазла. Лучшие специалисты по решению проблем используют целенаправленный подход .Другими словами, начните с того, что вам нужно решить. Затем работайте в обратном направлении, определяя, какая информация будет полезна для достижения этой цели. Кроме того, вы должны помнить данную информацию как из диаграммы, так и из постановки вопроса. Используйте это, чтобы построить мост к своей цели.

В этом посте вы познакомитесь с наиболее важными формулами для GMAT Geometry. Цель здесь - просто помочь вам просмотреть, поэтому нажимайте на ссылки, чтобы узнать больше о материале.

Затем вы можете проверить свои навыки, ответив на несколько практических вопросов по геометрии.Подробные решения приведены в самом конце.

Готовы? Поехали!

Линии и углы

Прежде всего, знайте свои термины: параллель, (в том же направлении) против перпендикулярных, (пересекающихся под прямым углом) линий, внутренних углов, против внешних углов, , дополнительных (углы с добавлением 180 °) по сравнению с дополнительным (углы добавляются к 90 °).

Вам следует просмотреть основные геометрические формулы. Например, на этой диаграмме показаны все возможности, в которых линия пересекает две перпендикулярные линии.


Чтобы узнать больше о прямых и углах, ознакомьтесь с нашим сообщением об углах и параллельных линиях в GMAT и в нашем видеоуроке Геометрия: линии и углы .

Треугольники

С треугольниками связано множество формул и огромное количество терминологии! В этой статье мы можем только поверхностно. 2 \), где \ (a, b \) - катеты, а \ (c \) - гипотенуза прямоугольного треугольника.(Но также постарайтесь запомнить наиболее распространенные троек Пифагора : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 и 7-24-25.)

Площадь: \ (A = frac {1} {2} bh \), где \ (b \) - основание, а \ (h \) - высота.

Площадь равностороннего треугольника со стороной \ (s \): \ (A = frac {3} {2} cdot sqrt {3} cdot s \)


Вы можете узнать больше, посмотрев наши видеоуроки, Треугольники - Часть I и Правые треугольники .

И еще больше ресурсов можно найти здесь:

Четырехугольники и другие многоугольники

Основная формула площади для прямоугольников и параллелограммов: \ (A = bh \) (базовое умножение на высоту).Это все, что вам действительно нужно для геометрии GMAT, потому что более сложные формы обычно можно разбить.

Полезно знать следующие формулы углов:

Сумма внутренних углов \ (n \) -стороннего многоугольника = \ (180 (n - 2) \) градусов.

Если многоугольник правильный, (все стороны и углы равны), то любой угол имеет размер \ (frac {180 (n - 2)} {n} \) градусов.


Для дополнительного обзора просмотрите этот видео-урок о регулярных многоугольниках .2 \)

Окружность: \ (A = 2pi r \)

Большинство задач, связанных с кругами, можно решить, не полагаясь на множество причудливых геометрических формул. Вам просто нужно использовать свой математический здравый смысл. Нужно знать площадь сектора? Просто узнайте, какую часть всего круга он представляет!

Дополнительные ресурсы можно найти здесь:

Твердые вещества

Обычно в каждом тесте GMAT задается всего пара вопросов о твердой геометрии.Поэтому мы не будем здесь углубляться в эту тему, но вы можете просмотреть следующие ссылки, чтобы узнать больше.

GMAT Geometry Practice (Вопросы для решения проблем)

Задача 1

Нажмите здесь, чтобы получить ответ


E.

Все три возможны. (На самом деле, если подумать, количество точек пересечения могло иметь , любое из 0, 1, 2, 3, 4, 5, или 6!)

Задача 2

Нажмите здесь, чтобы получить ответ


B.2 = 36 пикселей \).

Задача 3

Нажмите здесь, чтобы получить ответ


C.

Чтобы найти площадь, нам нужно знать основание и высоту. STV треугольника равнобедренный, поэтому мы знаем, что SV = 16 - это основание, но не знаем высоту.

Высота будет представлена ​​перпендикулярным отрезком от вершины T, делит пополам основание SV в точке, которую мы назовем W.

Таким образом, SW = 8. Теперь посмотрим на прямоугольный треугольник STW: у него катет = 8 и гипотенуза = 17.Это избавит вас от огромного количества вычислений, если вы уже запомнили тройку Пифагора 8-15-17. Таким образом, TW = 15, и это высота. Это позволяет вам найти область: \ (frac {1} {2} \) \ (b \) \ (h \) \ (= frac {1} {2} \) \ ((16) \) \ ( (15) \) \ (= 120 \)

Проблема 4

Нажмите здесь, чтобы получить ответ


Используйте формулу для угла правильного многоугольника (с \ (n = 5 \)):

\ (frac {180 (5 - 2)} {5} = 108 \) градусов.

Теперь посмотрим на равнобедренный треугольник ABC с углом 108 ° в точке B.Два других угла равны: назовите каждый \ (x \).

Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180, мы знаем, что \ (108 + x + x = 180 \), что приводит к \ (x = \) 36 °.

Наконец, ∠BCA = ∠ECD. Учитывая, что ∠BCA = \ (x \) = 36 °, то ∠ECD = 36 °. Это означает, что ∠ACE = 108 ° - 36 ° - 36 ° = 36 °

.

Проблема 5

Нажмите здесь, чтобы получить ответ


B.

Поскольку ED параллелен GH, треугольники FED и FHG подобны.Почему? Вертикальные углы равны: ∠GFH = ∠DFE, и пары чередующихся внутренних углов также равны: ∠G = ∠D и ∠H = ∠E.

Давайте начнем с треугольника FED. Угол ∠E охватывает диаметр, поэтому E = 90 °. Таким образом, треугольник FED прав с гипотенузой FD = 13 и катетом ED = 5. Это означает, что FE = 12 (просто вспомните тройку Пифагора 5-12-13).

Затем, поскольку GH = 15 в три раза больше ED, коэффициент масштабирования равен 3. Увеличьте FE на 3, чтобы получить FH = 36. Наконец, найдите площадь, используя знакомую формулу для треугольников: \ (A = frac {1} { 2} (36) (15) = 270 \).2 = 36 пикселей \).

Шаг № 2: Один сектор («кусок пирога») занимает 60 °, что составляет одну шестую круга.

Следовательно, площадь сектора равна: \ (frac {1} {6} (36pi) = 6pi \).

Шаг № 3: Теперь посмотрим на равносторонний треугольник.

Длина его стороны равна \ (s = 6 \), поэтому, используя формулу быстрого доступа, его площадь равностороннего треугольника равна \ (9sqrt {3} \).

Шаг № 4: Найдите площадь круглого сегмента, который является названием для этого небольшого оставшегося фрагмента, части сектора, которая находится за пределами треугольника.

Площадь сегмента = (Площадь сектора) - (Площадь треугольника) = \ (6pi - 9sqrt {3} \).

Шаг № 5: Теперь обратите внимание, что заштрихованная область на диаграмме - это всего лишь два равносторонних треугольника минус два круглых сегмента.

\ (2 (9sqrt {3}) \) - \ (2 (6pi - 9sqrt {3}) \) \ (= 18sqrt {3} - 12pi + 18sqrt {3} = 36sqrt {3} - 12pi \)

Проблема 7

Нажмите здесь, чтобы получить ответ


D.

Так как EGC = 70 °, мы знаем, что ∠A = 70 ° (альтернативные внутренние углы).

Далее, поскольку AB = BC, мы видим, что треугольник ABC равнобедренный, что означает, что ∠ACB = 70 °. Сумма трех углов должна составлять 180 °, поэтому мы получаем B = 40 °.

На этом этапе мы достигаем очень хитрого хода: и ∠B, и areH - это углы, образованные парами параллельных прямых - стороны каждой параллельны соответствующим сторонам других. Это означает, что =B = ∠H = 40 °.

Далее, поскольку EF = FH, треугольник AFH также равнобедренный, что означает ∠GEF = 40 °.Опять же, углы треугольника должны составлять в сумме 180 °, так что это говорит нам, что ∠F = 100 °.

Наконец, ∠F и ∠D - это два угла на одной стороне одной и той же прямой между двумя параллельными прямыми (одинаковые боковые внутренние углы). Эти углы должны быть дополнительными, то есть ∠D = 180 ° - 100 ° = 80 °.

Дополнительная практика GMAT Geoemtry (вопросы о достаточности данных)

Все перечисленные выше 7 проблем относятся к категории Решение проблем .Вы также можете попрактиковаться в ответах на несколько вопросов по геометрии GMAT Data Sucence GMAT, перейдя по этим ссылкам Magoosh:

Заключение

Геометрия

GMAT не требует большого количества сложных формул. Во всяком случае, вам следует больше сосредоточиться на улучшении ваших геометрических стратегий, особенно на том, как использовать диаграммы в ваших интересах.

О чем говорит диаграмма: какие предположения вы можете сделать? Что не следует предполагать? Можете ли вы использовать оценку?

Наши видео-уроки по стратегиям геометрии и оценка помогут вам развить эти навыки!

Если вы дошли до конца этого поста, то престижно! Надеюсь, вы сможете применить то, что узнали здесь, для успешной сдачи экзамена GMAT Quantitative!

Готовы получить отличный результат GMAT? Начало здесь.

Самые популярные ресурсы

IIT JEE Coordinate Geometry - Советы по подготовке к практическому применению!

 

Координатная геометрия - одна из самых интересных и важных тем программы математики JEE Advanced и JEE Main.Это одна из самых простых и результативных тем математики JEE. Приложения координатной геометрии распространены в различных областях математики, таких как тригонометрия, исчисление, размерная геометрия и т. Д., А также применяются в статистике и физике.

Важные темы по координатной геометрии для IIT JEE

Это важная тема, которую можно разделить на важные части, например:

Формула расстояния

Формула сечения

Площадь треугольника

Географическое положение точки

Преобразование оси

Понятия прямой

Круг

Парабола

Эллипс

Гипербола

Пара прямых

Мы дадим краткое введение в каждую из этих подтем вместе с советами по их освоению.Новичкам рекомендуется использовать учебный материал по координатной геометрии.

Важные понятия и формулы


Формула расстояния

Расстояние ‘d’ между любыми двумя точками A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) на оси координат равно

Формула раздела

Координаты точки P, когда она делит линию AB в соотношении m: n

Площадь треугольника

Есть много формул для вычисления площади треугольника.В основном это зависит от того, что мы дали в вопросе.

  • Случай II : Если указаны координаты точек. Скажем, A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) и C (x 3 , y 3 ). Тогда площадь «А» -

Уравнение прямой

Пусть ‘m’ будет наклоном прямой, проходящей через точку A (x 1 , y 1 ).Тогда уравнение линии

Пусть прямая проходит через точки A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ). Тогда уравнение линии

Пусть наклон линии равен «m», а точка пересечения по оси y - «c». Тогда уравнение линии

Пусть линия представляет собой точку пересечения «a» и «b» на оси x и оси y соответственно. Тогда уравнение линии

Пусть расстояние прямой от начала координат равно «p», а угол между ним и началом координат равен.Тогда уравнение линии

Расстояние точки от прямой

Строка: ax + by + c = 0. Пусть точка будет P (x 1 , y 1 ). Тогда расстояние ‘d’ точки P от прямой равно

Расстояние между двумя параллельными линиями

Строка 1: ax + by + c = 0, Строка 2: ax + by + c = 0, тогда расстояние« d »между строками равно

Параллелизм строк

Две линии всегда параллельны, если они не параллельны.Три линии

Строка 1: a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, Строка 2: a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, Строка 3: a 3 x + b 3 y + c 3 = 0 являются параллельными, если


Коллинеарность точек

Три точки A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) и C (x 3 , y 3 ) коллинеарны, если

Угол между двумя линиями

Пусть наклон двух прямых будет m 1 и m 2 .Тогда угол между двумя линиями равен

.


Положение точки относительно линии

Положение точки A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) относительно линии ax + by + c = 0.

Если ax 1 + на 1 + c 1 = 0 и ax 2 + на 2 + c 2 = 0 имеют одинаковый знак, то точки A и B лежат на одинаково. сторона линии, и если они противоположного знака, то они лежат на стороне , противоположной стороне линии.

Локус

Локус - это след от движущейся или переменной точки при определенных условиях. Если мы найдем уравнение для трассируемого пути, тогда уравнение является искомым геометрическим местом. Действия, которые необходимо выполнить:

  • Допустим, точка (h, k), геометрическое место которой нужно найти

  • Используйте данное условие

  • Удалить переменную

  • После удаления переменной останется уравнение с h, k и некоторым фиксированным числом.Наконец, замените «h» на «x» и «k» на «y», чтобы получить требуемый локус.


Коническая секция

Распознавание коников

Общая форма: ax 2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2fy + c = 0

Эксцентриситет

Пусть P - любая движущаяся точка, а S - фокус (неподвижная точка) коники. Пусть PM - перпендикулярное расстояние точки от направляющей (фиксированной линии) коники.Тогда эксцентриситет или сжатие «е» коники определяется как

.

Примечание: «е» никогда не может быть отрицательным.

Круг

Парабола

Эллипс

Гипербола

Некоторые пересекающиеся факты

  • Геометрическое место точки, от которой расстояния двух касательных к окружности равны, составляет коренная ось.

  • Минимальное расстояние между любыми двумя кривыми всегда лежит по нормали.

  • PQ - фокус параболы, а S - фокус параболы. Затем SP, 2a и SQ находятся в гармонической прогрессии.

  • Касательные на концах фокальной хорды пересекаются под прямым углом на директрисе .

  • Если треугольник образован путем соединения оснований нормалей, которые параллельны параболе, то центр тяжести параболы всегда будет лежать на оси параболы.

  • Географическое место всех тех точек, которые делят перпендикуляр, проведенный из любой точки окружности, на любой из фиксированных диаметров с постоянным соотношением, является эллипсом.

  • Вспомогательная окружность - это окружность, концентрическая эллипсу и имеющая диаметр, равный большой оси эллипса.

  • В эллипс можно нарисовать не более четырех нормалей.

  • Если две окружности разных радиусов касаются друг друга снаружи, то геометрическое место центра третьей окружности переменного радиуса, которая касается этих двух окружностей снаружи, будет гипербола .

  • Географическое место всех точек, откуда перпендикулярные касательные проходят к гиперболе, является управляющей окружностью гиперболы.

Является ли координатная геометрия важной частью подготовки IIT - JEE?

Координатная геометрия - важная часть математической статьи JEE. Это действительно может улучшить ваш рейтинг. Каждый год в математике JEE мы получаем от 20% до 25% общих оценок по математике по этой части.Что касается координатной геометрии, почти 50% всего вопроса покрывают прямые и окружности.


Справочные книги


Советы по изучению координатной геометрии

В координатной геометрии учащиеся с меньшей вероятностью совершат ошибку. Однако из-за отсутствия концептуальной ясности и меньшего времени на ввод в темы люди часто совершают глупые ошибки. Это чрезвычайно важная тема в математике JEE, которая может повысить ваш рейтинг в JEE.Вот несколько советов, которым вы должны следовать, чтобы получить высокий балл в этой ветке:

  • Не выполняйте ни одной задачи по координатной геометрии без рисования фигуры.

  • Важные результаты должны быть в ваших подсказках, которые могут оказаться полезными при решении многих объективных проблем.

  • Сделайте другой блокнот для формул. Ежедневно записывайте в блокнот все важные формулы.

  • Постарайтесь запомнить как можно больше формул.

  • Внимательно прочтите вопрос, чтобы понять, чего он на самом деле требует. Это может сэкономить ваше время.

  • Не читайте одну и ту же концепцию из разных книг, это приведет к путанице. Всегда придерживайтесь одного определенного стандартного текста для своих концепций (Классные заметки или SL Loney).

  • Практикуйте как можно больше задач из справочников. Затем попробуйте решить бумажные задачи координатной геометрии JEE предыдущего года.

  • Постарайтесь изо всех сил решить проблему, прежде чем обращаться к ее решению.


Практическое применение координатной геометрии

Координатная геометрия широко используется в повседневных задачах. Вот несколько примеров

  • Координатная геометрия используется в астрономии, в частности, для расчета траекторий небесных тел, таких как планеты, кометы, двойные звездные системы и т. Д.

  • Координатная геометрия используется при изучении траектории полета снаряда, такого как ракета и другое оружие.

  • Координатная геометрия чрезвычайно полезна в авиастроении, особенно при работе с формой фюзеляжа самолета. Конические кривые используются для описания поперечных сечений фюзеляжа, и их кривизна изменяется по длине фюзеляжа, чтобы получить гладкую, но пригодную для изготовления поверхность, которая в то же время должна обеспечивать эффективное внутреннее расположение.

  • Программисты используют координатную геометрию, потому что большая часть написанной ими программы генерирует файлы PDF. А в файле PDF распечатанная страница представляет собой одну большую координатную плоскость. Таким образом, координатная геометрия используется для размещения элементов на странице. Создаваемые PDF-файлы содержат текст, изображения и линейные рисунки, которые размещаются в нужных местах с использованием координат (x, y), расстояний и уклонов.

  • Координатная геометрия также используется при работе с изображениями.Выбранное изображение представляет собой координату большой плоскости с информацией о каждом цвете в виде отдельной точки. Таким образом, когда цвета изображений изменяются, точки меняются.

  • Координатная геометрия также используется в сканерах. Сканер использует координатную геометрию для воспроизведения точного изображения выбранного изображения на компьютере. Он манипулирует точками каждой информации в исходных документах.

Геометрия второго класса

Добро пожаловать на страницу с рабочими листами по математике Саламандры для второго класса по геометрии.

Здесь вы найдете ряд бесплатных распечатываемых рабочих листов по геометрии, которые помогут вашему ребенку выучить свои двухмерные и трехмерные фигуры на уровне второго класса.

На этой веб-странице вы найдете наш ассортимент рабочих листов по геометрии для 2-х классов для детей.

Существует ряд листов с геометрией для печати, включая идентификационные 2d и 3d формы в разных ориентациях.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

  • распознавать ряд треугольников - равносторонний, равнобедренный, тупой и прямоугольный;
  • знайте, что четырехугольник - это четырехугольник;
  • знайте, что многоугольник - это соединенная фигура с прямыми сторонами;
  • распознавать и называть ряд трехмерных фигур - сферы, конусы, кубы, кубоиды и пирамиды;

Все бесплатные листы по математике в этом разделе соответствуют тестам по элементарной математике для 2-го класса.

Рисование трехмерных объектов и придание плоскому двумерному изображению вида трехмерного изображения часто интригуют детей.

Эту бумагу с изометрическими точками можно использовать, чтобы дать детям возможность поэкспериментировать с рисованием трехмерных фигур.

Взгляните на еще несколько наших рабочих листов, похожих на эти.

Вот наша подборка бесплатных распечатываемых листов симметрии для 2-го и 3-го класса.

Все листы отсортированы от самого простого к самому тяжелому.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

  • научитесь отражать простые формы в горизонтальной или вертикальной зеркальной линии;
  • научитесь отражать простые формы в 2 зеркальных линиях.

Все листы в этом разделе поддерживают тесты элементарной математики.

Здесь вы найдете ряд листов с 2- и 3-мерными фигурами, которые помогут помогите своему ребенку понять геометрию в первом классе.

Эти листы более простые и простые, чем те, что представлены на этой странице.

Вот ряд рабочих листов по свободной геометрии для учеников 3-х классов.

Таблицы на этой веб-странице более сложные и более высокого уровня, чем те, на этой странице.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

  • распознавать и идентифицировать ряд двух- и трехмерных фигур;
  • распознавать и определять прямые углы и линии симметрии;
  • распознавать и определять параллельные линии;
  • определять грани, ребра и вершины трехмерных фигур;

Здесь вы найдете подборку листов для печати 2d и 3d форм.

Каждый лист доступен в цветном или черно-белом цвете, с маркировкой или без нее.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

  • распознает и назовет диапазон 2D и 3D фигур;
  • распознает правильные и неправильные формы.

Вот наша подборка измерительных листов для второклассников.

Эти листы включают в себя шкалы для считывания единиц, пятерок, десятков и сотен для определения длины, веса или вместимости жидкости.

Использование этих листов поможет детям закрепить свой счет, а также научиться читать простые весы.

Здесь вы найдете ряд бесплатных распечатываемых рабочих листов для второго класса.

Следующие таблицы включают подсчет разного количества Деньги в пенни, пятаках, десять центов и четвертаки.

В Саламандрах 2-го класса по математике есть более широкий выбор рабочих листов на бесплатные деньги (см. Ниже).Эти листы откроются в новой вкладке.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

  • узнать названия и стоимость монет США;
  • научиться считать различные суммы денег на 1 доллар в монетах.
  • научиться считать до 10 долларов в монетах и ​​долларовых купюрах.

Все бесплатные задания по математике для второго класса в этом разделе проинформированы тестами по элементарной математике для 2-го класса.

Денежные листы

Саламандры по математике надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатанные рабочие листы по математике. и все другие наши математические игры и ресурсы.

Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочие листы в поле комментариев Facebook внизу каждой страницы.


Geometry.ru

Киран Кедлая . Заметки о евклидовой геометрии . (pdf)

Аннотация

"Эта книга представляет собой компиляцию и обобщение моих заметок как участника, а затем как инструктора, из Программы олимпиад по математике (MOP), ежегодной летней программы подготовки к старшим школьники на Международной математической олимпиаде (IMO). Таким образом, он имеет явная и тайная миссия. Открытая миссия - помочь студентам в подготовке к США. Математическая олимпиада (USAMO) и IMO, как исторически сложились американские студенты плохо справлялся с проблемами евклидовой геометрии.Скрытый и, возможно, более важный, миссия - познакомить указанных учеников (и всех, кто прочитает это) с родословной математики с древних времен до наших дней; следовательно, включение дополнительных темы инверсивной и проективной геометрии, которые могут перейти в изучение сложных анализ, алгебраическая геометрия и т.п. Образцом для этой книги послужила тонкая классическая модель Geometry Revisited Х.С.М. Кокстером и С. Грейтцером, с которыми многие американские участники ИМО, включая меня, дополнили свое образование евклидовой геометрией.Мы пошли дальше, включив там пренебрегли некоторыми темами (круг Аполлония, направленные углы, параллельные перпен- diculars) и создавая многочисленные проблемы. Думайте об этой книге как о «Возвращении к геометрии» Повторюсь, если хотите. " Х. С. М. Кокстер, С. Л. Грейцер . Возвращение к геометрии .
Математическая ассоциация Америки, 1967 (djvu)

Аннотация

«На протяжении веков геометрия росла. Новые концепции и были разработаны новые методы процедуры: концепции, которые студент найдет сложным и удивительным.Используя любые средства лучше всего подходит для наших целей, давайте вернемся к Евклиду. Позвольте нам открыть для себя несколько новых результатов. Возможно, нам удастся вернуть некоторые из чудо и трепет, вызванные нашим первым контактом с геометрией. Авторы особенно благодарны доктору Аннели Лакс за ее пациента » Росс Хонсбергер. Эпизоды девятнадцатого и двадцатый век евклидова геометрия. Математическая ассоциация Америки. (djvu)

Аннотация

"Всегда приятно обнаруживать, что это в пределах способности ценить книгу по математике и читать с удовольствием.Мне часто снилось, что за радостью было бы узнать некоторые из элементарных драгоценных камней, которые, несомненно, присутствует во всех разделах математики, только чтобы встревожить литературой, которую я смогли найти. Несомненно, драгоценные камни есть, но они часто лежат похороненными в учебниках или исчерпывающих справочниках. Часто остается с неудачный выбор: предпринять длительные исследования в данной области или отказаться от идея в целом. Хотя чтобы написать что-нибудь из обычный, преданный специалист может увлечься обсуждениями, которые ценить можно только после долгого и серьезного изучения.К сожалению, это делает очень трудным для обычных читателей распутывать элементарные жемчужины желание их сердца. Вдобавок ко всему то, что считается доказательством, часто бывает настолько кратким или схематично, что это легко понять только тому, кто уже знает тема. Было бы очень приятно иметь возможность пообещать, что вы не найдете таких разочарований в настоящей работе. Что я могу пообещать, так это сборник эссе, попытаться охватить большой объем материала и чтобы каждая тема была раскрыта из массы материала, в котором он обычно встречается и дается как элементарный и полное лечение, насколько это возможно.Нет смысла там притворяться каким-либо образом обойти необходимость заложить основы своих доказательств, но выбрав из самых доступных тем надеюсь, что многие читатели смогут порадовать в этих жемчужинах с минимумом предварительной подготовки ». Роджер А. Джонсон. Расширенная евклидова геометрия. Dover Publications. (djvu)

Аннотация

«В этой книге рассматривается геометрия треугольника и кругов, широко разработанная в XIX веке британскими и континентальными авторами.Эта геометрия, полностью основанная на элементарной плоской геометрии Евклида или ее современном эквиваленте, быстро получает должное признание в качестве превосходного материала для курсов в колледже ». Ганс Вальзер. 99 точек пересечения Примеры-Картинки-Доказательства. Математическая ассоциация Америки. (djvu)

Аннотация

«Представленные здесь 99 точек пересечения были собраны в течение года - долгий поиск удивительного совпадения строк. Для каждого примера находим неопровержимое доказательство того иногда поразительного факта, что геометрическая Нарисуйте три прямые линии, а иногда и круги, проходят через одну и та же точка.Конечно, мы знакомы с некоторыми примерами этого из основных элементарная геометрия - пересечение медиан, высот, биссектрис углов, и серединные перпендикулярные сторонам треугольника. Здесь есть еще много примеры - некоторые для фигур кроме треугольников, некоторые даже для других чем три прямые линии проходят через общую точку ". Пол Ю. Заметки по евклидовой геометрии. (pdf) Акопян А., Заславский А. Геометрия коник. (pdf)

Аннотация

"Кривые второй степени, или коники, традиционно рассматриваются как объекты, относящиеся к аналитической геометрии, и изучаются на курсах более низкого уровня в инженерные колледжи. В лучшем случае среди их геометрических свойств упоминаются только оптические свойства коников. Но эти кривые также обладают рядом других хороших свойств, большинство из которых могут быть установлены методами элементарной геометрии, доступными для старшеклассников. Более того, коники помогают решать некоторые геометрические задачи, казалось бы, не связанные с кониками.В этой книге читатель найдет самое интересное о кривых второго порядка, в том числе недавно доказанных ». .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *