Решение задач по алгебре 11 класс мордкович: ГДЗ по алгебре 11 класс учебник, задачник Мордкович, Денищева Решебник Базовый и углубленный уровень

х + 20 3x х / 8 4x 3 = х +

с. «Разделить 28 на две части» означает найти два числа. чья сумма 28. 6. «Процент от» означает умножение. 7. «Есть, было, будет» становится знаком равенства (=) в алгебре. 8. Если 7 превышает 2 на 5, то 7 — 2 = S. «Превышает» становится знак минус (-), а «by» становится знаком равенства (=).9. Не используются такие обозначения единиц измерения, как футы, градусы и доллары. в уравнениях. В этой книге мы убрали эти ярлыки ответы тоже. Просто обратитесь к инструкции «Пусть x = II» найдите ответ на этикетке.

ПРИМЕРЫ, КАК НАЧАТЬ ПРОБЛЕМУ

1. Одно число в два раза больше другого. Пусть x = меньшее число

     2x = большее число  

ix

2. Мужчина на 3 года старше своего сына в два раза. Пусть x = возраст сына

     2x + 3 = возраст мужчины  

3. Представляют два числа, сумма которых равна 72. Пусть x = одно число

     72 - x = другое число  

4. Мужчина вложил 10 000 долларов, часть — 5 процентов, часть — 7 процент. Представляют проценты (доход). Пусть x сумма инвестиций составляет 5 процентов

     10 000 долларов - x сумма инвестиций составляет 7 процентов  

   Тогда
5. 05 x = проценты по первой инвестиции
6. 07 (10,000 — x) = проценты на вторую инвестицию Когда деньги вкладываются, процентная ставка умножается на основная сумма равна сумме процентов в год.
7. Смесь содержит 5% серной кислоты. Представляют количество кислоты (в квартах). Пусть x = количество квартов в смеси

     0,05x = количество квартов серной кислоты  

8. Женщина ехала 5 часов с одинаковой скоростью в час. Представьте пройденное расстояние. Пусть x = скорость в милях в час

     5x = количество пройденных миль  

9. У девушки на два десятицентовика больше, чем на пятак. Представьте, как у нее было много денег в центах.

     Пусть x = количество никелей
      x + 2 = количество десятицентовиков
         5x = количество центов в никелях (5 центов в
            каждый никель)  

   10 (x + 2) = количество центов в десять центов (10 центов в каждая копейка)

ФАКТЫ, ЧТО НЕОБХОДИМО ПОМНИТЬ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ (Это факты, о которых вы уже должны были знать методы решения проблем.)

x

Глава I

Номера

Проблемы с цифрами — это проблемы во взаимоотношениях среди чисел. Неизвестное — это целое число, а не дробь. ции или смешанное число. Это почти всегда положительное число. В некоторых задачах числа называются целыми числами, вы можете помнить положительные числа, отрицательные числа или ноль.

ПРИМЕР I

Есть два числа, сумма которых равна 72. Одно число дважды другой. Какие числа?

Ступени

1. Прочтите проблему.Речь идет о цифрах.
2. Вопрос в конце спрашивает: «Какие числа?» Так мы начинаем с «пусть x = меньшее число». Будь уверен ты всегда начинаются с x (то есть Ix). Никогда не начинайте с «пусть 2x = что-то «, потому что это не имеет никакого значения если вы не знаете, что означает x. Всегда маркируйте x как заботу- полностью как можно. В этой задаче это означает только метку «меньшее число», поскольку в Эта проблема.
3. Прочтите задачу еще раз, по частям.Первая линия говорит, что у вас два числа. Пока у вас есть один номер представлен x. Вы знаете, что должны представлять два неизвестных, потому что проблема просит вас найти два числа берс. Так что читайте дальше. Далее в задаче говорится, что сумма два числа равны 72. В большинстве случаев полезно если можете, сохраните сумму для выражения уравнения. Сумма также может использоваться для обозначения второго неизвестного, поскольку вы Я

3. Обратите внимание на отдельные факты о числах:

(а) Есть два числа.(б) Их сумма или общая сумма равна SO. (c) Три раза первое — это на 5 больше, чем в два раза больше второго. онд. Вы скажете, что это другая проблема. Это точно! Поскольку государство- мент (c) говорит вам что-то делать с числами, вы должны сначала их представить. Итак, давайте посмотрим, как использовать итого или сумма. Пусть x = меньшее число SO — x = большее число Использование суммы минус x для представления второго неизвестного Часто встречается в текстовых задачах. Это все равно, что сказать: сумма двух чисел равна 10. Одно число — 6.Что другое число? »Вы знаете, что второе число — 4 потому что вы сказали себе 10 — 6 = 4. Поэтому, если сумма равна SO, а одно число — x, мы вычитаем x из SO и пусть SO — x представляет второе число или неизвестно. если ты знать сумму (итого), вы можете вычесть одну часть (x), чтобы получить другая часть.

4. Вернемся к проблеме.

(a) «Два числа, сумма которых равна SO» Пусть x = первое число SO — x = второе число (б) «Трижды первый» можно записать как

3x

(c) «Is» можно записать как

(Помните, что «есть, было, будет» — это знак равенства.) d) «Пять больше, чем» —

+

(e) «Дважды в секунду» —

2 (50 — х)

3

5. Теперь сложим:

Уравнение:

3х = +5 + 2 (50 — х) Только лучше сказать

3x = 2 (50 — x) + 5

Если у вас возникла проблема с указанием «на 5 меньше, чем», напишите — 5 справа от выражения. Например, «на 5 меньше, чем x «переводится как x — 5. Хорошо быть последовательным и ставить количества «больше чем» и «меньше чем» справа: x + 5 и х — 5; не +5 + x и -5 + x.

Решение 3х = 2 (50 — х) + 5

3x = 100 — 2x + 5

5x = 105

x = 211 Ответов SO — x = 29

Проверка: сумма чисел равна SO. Следовательно, 21+ 29 = SO и подставив x в уравнение 3x = 2 (50 — х) + 5,

ПРИМЕР 3

3 (21) = 2 (50-21) + 5

63 = 100-42 + 5

63 = 63

Разделите 71 на две части так, чтобы одна часть превышала другой — 7. (Подсказка: «Разделить 71 на две части» означает два числа имеют сумму 71.«Такой, что» означает для того, чтобы есть или около того.)

4

Все три утверждения верны. Мы предпочитаем 8-6 = 2, потому что оно точно «переводит». Слова переводятся в символы в в том же порядке, в котором вы читали заявление.

8 больше 6 на 2

8 6 = 2

Вот одно альтернативное решение. Пусть x = меньшая часть x + 7 = большая часть

Затем

х + (х + 7) = 71

2x + 7 =

2x = 64

x = 321 Ответы х + 7 = 39

Последовательные целочисленные задачи

Есть некоторые особые виды чисел, часто встречающиеся в алгебрах. проблемы с бюстгальтером.Это последовательные целые числа. Они общие союзник квалифицирован как положительный. Их может быть

1. Целые числа подряд. Последовательные целые числа, для например, 21, 22, 23. Разница между последовательными целые числа 1.

     Пример:
      Представьте три последовательных целых числа.
      Пусть x = первое последовательное целое число
         x + 1 = второе целое число подряд
         x + 2 = третье целое число подряд  

2. Последовательные четные числа. Последовательные четные целые числа может быть 2, 4, 6.Разница между последовательными четными целое число равно 2. Первое целое число в последовательности должно быть даже, конечно.

6

Пример: Представьте три последовательных четных целых числа. Пусть x = первое четное целое число x + 2 = второе четное целое число x + 4 = третье четное целое число

3. Последовательные нечетные целые числа. Пример последовательного нечетные целые числа равны 5, 7, 9. Здесь мы видим, что разница также равна 2.

     Но первое целое число нечетное.
      Пример:
      Пусть x = первое подряд нечетное целое число
         x + 2 = второе подряд нечетное целое число
         x + 4 = третье подряд нечетное целое число
      Обратите внимание, что как проблема с четным целым числом, так и с нечетным целым числом
      Гер задачи ставятся точно так же.Разница в том
      что x представляет собой четное целое число от единицы и нечетное целое число
      в другом.  

ПРИМЕР 4

Найдите три последовательных целых числа, сумма которых равна 87.

Решение

Пусть x = первое последовательное целое число (наименьшее число) x + 1 = второе целое число подряд x + 2 = третье подряд целое число

Уравнение:

х + (х + 1) + (х + 2) = 87

3x + 3 = 87

3x = 84

х = 28) х + 1 = 29

х + 2 = 30

ответы

: числа 28, 29 и 30 идут подряд целые числа.Сумма 28, 29 и 30 составляет 87.

7

Бесплатный онлайн-курс алгебры | Справка по алгебре

Дом

11. Алгебраические выражения

Четыре операции и их признаки.
Функция круглых скобок.
Термины в сравнении с факторами .
Полномочия и экспоненты.
Порядок работы.
Вычисление алгебраических выражений.

12. Числа со знаком: положительные и отрицательные

Целые числа.
Алгебраический знак и модуль.
Вычитание большего числа из меньшего.
Номер строки.
Отрицательное значение любого числа.

13. Сложение и вычитание чисел со знаком

«Добавление» отрицательного числа.
Условия наименования. Правило добавления терминов.
Вычитание отрицательного числа.

14. Умножение и деление чисел со знаком

Правило знаков.

15. Некоторые правила алгебры

Правило симметрии.Коммутативные правила. Перевернутые.
Два правила для уравнений.

16. Взаимные и ноль

Определение обратных величин. Определение деления. Правила для 0.

17. Удаление символов группировки

Круглые скобки. Скобки. Подтяжки.
Связь между b — a до a — b .

18. Добавление похожих терминов

19. Линейные уравнения

Закон обратного.
Транспонирование.
Логическая последовательность операторов.
Простые дробные уравнения.

10. Проблемы со словами

11. Неравенство

12. Абсолютное значение

Абсолютные уравнения.
Неравенства по абсолютным значениям.

13. Экспоненты

Полномочия ряда.
Правила экспонент: когда складывать, когда умножать.

14. Умножение: правило распределения

15. Общий множитель

Определение полинома в x .
Факторинговые полиномы.
Факторинг по группировке.
Уравнения, в которых неизвестное является общим фактором.

16. Умножение биномов

Квадратичные трехчлены.

17. Факторинговые трехчлены

Квадраты в разных аргументах.

18. Квадрат двучлена

Трехчлены полного квадрата.
Квадрат трехчлена.
Завершение пл.
Геометрическая алгебра.

19. Разница двух квадратов

Краткое изложение умножения / факторинга.
Факторинг по группировке.
Сумма и разность любых двух степеней: a ⁿ ± b ⁿ .

20. Экспоненты II

Отрицательные показатели. Экспонента 0. Научное обозначение.

21. Алгебраические дроби

Рациональные выражения. Принцип эквивалентных дробей. Сведение к самым низким срокам.

22. Умножение и деление алгебраических дробей

Сложные фракции.

23. Сложение алгебраических дробей

Наименьшее общее кратное (НОК) ряда терминов.

24. Уравнения с дробями

Очистка фракций.

25. Проблемы со словами, приводящие к уравнениям с дробями

Целое равно сумме частей.
В то же время Проблема: вверх-вниз по потоку.
Полная проблема времени. Проблема с работой.

26. Радикалы: рациональные и иррациональные числа

Квадратные корни.
Уравнения x ² = a и главный квадратный корень.
Рационализация знаменателя.
Реальные числа.

27. Упрощающие радикалы

Дробное подкоренное выражение.

28. Умножающие и делящие радикалы

Сопряженные пары.

29. Рациональные показатели

Корни чисел. Индекс радикала.
Дробные показатели.
Отрицательные показатели.

30. Сложные или воображаемые числа

Квадратный корень отрицательного числа.
Реальная и мнимая составляющие.
Сопряженные пары.

31. Прямоугольные координаты

Прямые.

32. Формула расстояния Пифагора

Расстояние точки от начала координат.
Расстояние между любыми двумя точками.
Доказательство теоремы Пифагора.

33. Уравнение и график прямой

Уравнение первой степени и его график.
Вертикальные и горизонтальные линии.

34. Уклон прямой

Форма пересечения наклона уравнения прямой. Общий вид.
Параллельные и перпендикулярные прямые.
Формула «точка-наклон». Двухточечная формула.

35. Одновременные линейные уравнения

Метод сложения. Метод подстановки. Правило Крамера: метод определителей.
Три уравнения с тремя неизвестными.

36. Проблемы со словами, которые приводят к системным уравнениям

Инвестиционные проблемы.Проблемы со смесью.
Проблемы вверх-вниз по течению.

37. Квадратные уравнения

корни квадратичной.
Решение по факторингу.
Завершение пл.
Квадратичная формула.
Дискриминант.
График квадратичной: парабола.

38. Логарифмы

Определение. Три закона логарифмов.
Десятичный логарифм.

39. Вариант

Прямое изменение.Константа пропорциональности.
Зависит от квадрата. Меняется обратно пропорционально. Зависит от обратного квадрата.

Авторские права © 2020 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Решенные проблемы

11.1.5 Решенные проблемы

Пусть $ \ {N (t), t \ in [0, \ infty) \} $ — пуассоновский процесс со скоростью $ \ lambda = 0.5 $.

1. Найдите вероятность не поступлений в $ (3,5] $.{-3}. \ end {align *}

Пусть $ \ {N (t), t \ in [0, \ infty) \} $ — пуассоновский процесс со скоростью $ \ lambda $. Найдите вероятность того, что есть два прибытия в $ (0,2] $ и три прибытия в $ (1,4] $.

• Решение
  • Обратите внимание, что два интервала $ (0,2] $ и $ (1,4] $ не пересекаются. Таким образом, мы не можем умножать вероятности для каждого интервала, чтобы получить желаемую вероятность. В частности, \ begin {align *} (0,2] \ cap (1,4] = (1,2].\ end {выровнять *} Пусть $ X $, $ Y $ и $ Z $ — количество приходов в $ (0,1] $, $ (1,2] $ и $ (2,4] $ соответственно. Тогда $ X $, $ Y $ и $ Z $ независимы, и \ begin {align *} X \ sim Пуассона (\ lambda \ cdot 1), \\ Y \ sim Пуассона (\ lambda \ cdot 1), \\ Z \ sim Пуассона (\ lambda \ cdot 2). 2} {2} \ right).\ end {выровнять *}

Пусть $ \ {N (t), t \ in [0, \ infty) \} $ — процесс Пуассона со скоростью $ \ lambda $. Найдите его ковариационную функцию \ begin {align *} C_N (t_1, t_2) & = \ textrm {Cov} \ big (N (t_1), N (t_2) \ big), \ quad \ textrm {for} t_1, t_2 \ in [0, \ infty) \ end {выровнять *}

• Решение
  • Допустим, $ t_1 \ geq t_2 \ geq 0 $. Тогда, благодаря свойству независимого приращения пуассоновского процесса, две случайные величины $ N (t_1) -N (t_2) $ и $ N (t_2) $ независимы.Мы можем написать \ begin {align *} C_N (t_1, t_2) & = \ textrm {Cov} \ big (N (t_1), N (t_2) \ big) \\ & = \ textrm {Cov} \ big (N (t_1) -N (t_2) + N (t_2), N (t_2) \ big) \\ & = \ textrm {Cov} \ big (N (t_1) -N (t_2), N (t_2) \ big) + \ textrm {Cov} \ big (N (t_2), N (t_2) \ big) \\ & = \ textrm {Cov} \ big (N (t_2), N (t_2) \ big) \\ & = \ textrm {Var} \ big (N (t_2) \ big) \\ & = \ lambda t_2, \ quad \ textrm {поскольку} N (t_2) \ sim Пуассона (\ lambda t_2). \ end {выровнять *} Аналогично, если $ t_2 \ geq t_1 \ geq 0 $, заключаем \ begin {align *} C_N (t_1, t_2) & = \ lambda t_1.\ end {выровнять *} Следовательно, мы можем написать \ begin {align *} C_N (t_1, t_2) & = \ lambda \ min (t_1, t_2), \ quad \ textrm {для} t_1, t_2 \ in [0, \ infty). \ end {выровнять *}

Пусть $ \ {N (t), t \ in [0, \ infty) \} $ — пуассоновский процесс со скоростью $ \ lambda $, а $ X_1 $ — время его первого прибытия. Покажите, что если $ N (t) = 1 $, то $ X_1 $ равномерно распределено в $ (0, t] $. То есть покажите, что \ begin {align *} P (X_1 \ leq x | N (t) = 1) & = \ frac {x} {t}, \ quad \ textrm {for} 0 \ leq x \ leq t.{- \ lambda t}. \ end {выровнять *} Таким образом, \ begin {align *} P (X_1 \ leq x | N (t) = 1) & = \ frac {x} {t}, \ quad \ textrm {for} 0 \ leq x \ leq t. \ end {выровнять *} Примечание: Приведенный выше результат можно обобщить для $ n $ приходов. То есть, учитывая, что $ N (t) = n $, время прихода $ n $ имеет ту же совместную CDF, что и статистика порядка $ n $ независимых $ Uniform (0, t) $ случайных величин. Более подробно этот факт обсуждается в конце главы Проблемы.

Пусть $ N_1 (t) $ и $ N_2 (t) $ — два независимых пуассоновских процесса со скоростью $ \ lambda_1 = 1 $ и $ \ lambda_2 = 2 $ соответственно.Пусть $ N (t) $ — объединенный процесс $ N (t) = N_1 (t) + N_2 (t) $.

1. Найдите вероятность того, что $ N (1) = 2 $ и $ N (2) = 5 $.
2. Учитывая, что $ N (1) = 2 $, найдите вероятность того, что $ N_1 (1) = 1 $.

• Решение
  • $ N (t) $ — это пуассоновский процесс со скоростью $ \ lambda = 1 + 2 = 3 $.
    1. У нас есть \ begin {align *} P (N (1) = 2, N (2) = 5) & = P \ bigg (\ textrm {$ \ underline {two} $ прибытия в $ (0,1] $ и $ \ underline {three} $ прибытия в $ (1,2] $} \ bigg) \\ & = \ left [\ frac {e ^ {- 3} 3 ^ 2} {2!} \ right] \ cdot \ left [\ frac {e ^ {- 3} 3 ^ 3} {3!} \ right] \\ & \ ок.2} {2!} \ Right] \\ & = \ frac {4} {9}. \ end {align *}

Пусть $ N_1 (t) $ и $ N_2 (t) $ — два независимых пуассоновских процесса со скоростью $ \ lambda_1 = 1 $ и $ \ lambda_2 = 2 $ соответственно. Найдите вероятность того, что второе прибытие в $ N_1 (t) $ произойдет раньше третьего прихода в $ N_2 (t) $. Подсказка: Один из способов решения этой проблемы — думать о $ N_1 (t) $ и $ N_2 (t) $ как о двух процессах, полученных в результате разделения пуассоновского процесса.

• Решение
  • Пусть $ N (t) $ — пуассоновский процесс со скоростью $ \ lambda = 1 + 2 = 3 $. Разобьем $ N (t) $ на два процесса $ N_1 (t) $ и $ N_2 (t) $ следующим образом. При каждом прибытии подбрасывается монета с $ P (H) = \ frac {1} {3} $. Если монета выпадает орлом, прибытие отправляется первому процессу ($ N_1 (t) $), в противном случае оно отправляется второму процессу. Подбрасывания монет не зависят друг от друга и не зависят от $ N (t) $. потом
    1. $ N_1 (t) $ — процесс Пуассона со скоростью $ \ lambda p = 1 $;
    2. $ N_2 (t) $ — процесс Пуассона со скоростью $ \ lambda (1-p) = 2 $;
    3. $ N_1 (t) $ и $ N_2 (t) $ независимы.{4-к}. \ end {выровнять *}

CS по алгебре | Code.org

На базе Bootstrap, предпочтительный поставщик для профессионального развития

Code.org в партнерстве с Bootstrap разработал учебную программу, в которой преподаются алгебраические и геометрические концепции посредством компьютерного программирования. Двадцать уроков посвящены таким понятиям, как порядок операций, декартова плоскость, композиция и определение функций, а также решение словесных задач — все в контексте дизайна видеоигр.Переводя классные работы с абстрактных задач на бумаге и карандаше на серию соответствующих задач программирования, Code.org CS по алгебре демонстрирует, как алгебра применяется в реальном мире, используя захватывающий практический подход для создания чего-то классного.

По окончании курса студенты напишут программы для создания составных изображений, анимаций и готовой видеоигры по своему собственному дизайну, все из которых могут использоваться совместно, чтобы продемонстрировать мастерство программирования и алгебры. Для получения дополнительной информации вы можете просмотреть наш Обзор курса и Структура курса.

CS по алгебре соответствует Общим основным стандартам математики, что позволяет легко интегрировать нашу учебную программу в классную комнату. CS в алгебре также является модельной реализацией Common Core Standards for Mathematical Practice, предлагая четкие педагогические рекомендации по всем восьми практическим стандартам. Наша учебная программа также соответствует нескольким стандартам CSTA (Ассоциация учителей информатики) для уровней 1 (классы K-6) и 2 (классы 6-9). Для получения дополнительной информации вы можете просмотреть наше полное согласование стандартов.

Учебные документы

Дополнительные подтверждающие документы

Руководство для учителя
Рабочая тетрадь
Обзор курса
Структура курса
Согласование стандартов

Видео

См. Полную коллекцию из десяти видеороликов «CS в алгебре»

Попробуйте учебник Bootstrap Hour of Code

Курс «Информатика в алгебре» был вдохновлен и разработан в сотрудничестве с Bootstrap.Если вам нравится CS в алгебре и вы хотите пойти дальше со своими учениками, Bootstrap использует WeScheme вместо блочного программирования и позволяет вам и вашим ученикам исследовать более сложные приложения, игры или алгебраические концепции, такие как рекурсия. Если вы хотите попробовать WeScheme или ищете учебник «Час кода» для класса алгебры, мы рекомендуем это короткое 1-часовое руководство, предназначенное для начинающих.

Попробуйте Bootstrap: Введение в программирование

Использование алгебраических операций для решения задач

Ключевые термины

o Порядок работы

o Замена

Цели

o Проверить порядок операций в контексте алгебры

o Научитесь манипулировать выражениями таким образом, чтобы сохранить равенство

o Понять, почему подстановка может использоваться в алгебре

Важным навыком в алгебре является способность выполнять математические манипуляции с выражениями и равенствами.Когда мы имеем дело с простыми числами, такими как 2 + 9 = 11, редко возникает необходимость вносить изменения для упрощения или расширения выражений (2 + 9 и 11 — эквивалентные выражения). Если мы имеем дело с алгебраическим выражением, например 2 + x = 9, то мы должны расширить нашу способность выполнять арифметические операции, чтобы иметь дело с переменными, а также числами.

Порядок работы

Полезно кратко рассмотреть порядок операций в контексте алгебры.Выполняя любую последовательность операций, выраженную в математической форме, выполняйте их в следующем порядке:

1. Любые операции в скобках

2. Экспоненты

3. Умножение / деление

4. Сложение / вычитание

Внутри набора скобок может быть ряд операций — в этом случае просто начните с первого шага для выражения в скобках.

Практическая задача: Вычислите следующее выражение, используя x = 4: 3 x ² — (4 x + 1).

Решение: Используйте правила для порядка операций. Сначала оцените выражение в скобках, используя x = 4:

4 x + 1 = 4 (4) + 1 = 16 + 1 = 17

Затем оцените показатель степени в первом члене:

x ² = (4) ² = 16

Давайте теперь посмотрим на полное выражение:

3 (16) — 17

Теперь оцените произведение 3 и 16, затем вычтите 17.

3 16-17 = 48-17 = 31

Тогда решение равно 31.

Равенства

Во-первых, мы должны признать важность «знака равенства» (=) в математике: если два выражения равны, то они действительно равны и . Хотя этот факт может показаться очевидным, он имеет несколько важных последствий для алгебры. В качестве примера рассмотрим следующее равенство:

Помните, что обе стороны этого равенства равны друг другу.В результате, если мы выполним ту же операцию, , независимо от того, что это , на обе стороны уравнения , результирующие выражения будут по-прежнему равны . Например, если у нас есть два банана слева и два банана справа, то количество бананов с каждой стороны одинаково. Таким образом, если вы возьмете один банан слева и также справа, то у вас все равно будет одинаковое количество с обеих сторон. Действительно, если вы добавите бананы x слева и добавите x бананов справа, у вас все равно будет то же число с каждой стороны, даже если вы не знаете, что такое x .

Итак, давайте рассмотрим наш пример алгебраического выражения выше. Поскольку обе стороны равны, мы можем делать с выражениями все, что захотим, и по-прежнему иметь равенство до тех пор, пока мы выполняем одни и те же операции в той же последовательности с обеих сторон . (Обратите внимание, что последовательность важна — лучший способ приблизиться к этому процессу — выполнить одну и только одну операцию с обеих сторон перед выполнением другой операции.) Что, если мы решим добавить 2 к обеим сторонам?

Полученные выражения по-прежнему одинаковы, потому что мы выполнили одну и ту же операцию с обеих сторон.Мы можем даже упростить результат следующим образом (используя ассоциативность и коммутативность).

Коммутативность

Ассоциативность

Все эти выражения по-прежнему равны. Хотя выражения изменились, равенства нет. Обратите внимание, что в этом случае мы изменили равенство так, чтобы значение постоянного числа появлялось только с правой стороны. Давайте сделаем то же самое для кратных x , вычтя 3 x из обеих частей равенства.Затем мы применим наши правила действительных чисел.

Коммутативность

Ассоциативность

Итак, мы можем выполнять операции по обе стороны от знака равенства независимо от того, связаны ли они только с числами или числами и переменными, и при этом поддерживать равенство. Обратите внимание, что в окончательном результате, приведенном выше, всего три члена: это более простое равенство, чем то, с которого мы начали (в котором было пять членов).

Таким же образом мы можем выполнять операции умножения и деления. Например, рассмотрим следующее равенство.

Поскольку эти выражения представлены в виде дробей, работать с ними может быть сложно. Однако мы можем упростить их, применив то, что мы знаем о равенствах. Давайте сначала умножим обе стороны на 5 x ; равенство по-прежнему сохраняется. Опять же, мы будем использовать наши правила для действительных чисел: ассоциативность, идентичность и распределенность.

Ассоциативность

Идентификационный номер

Распределение

Итак, умножение и деление (обратите внимание, что 5 x , деленное на 5 x — это всего лишь 1) работают для алгебраических выражений, содержащих числа, так же, как и для простых чисел. По мере того, как вы ближе познакомитесь с этими и другими алгебраическими операциями, вы станете более способными выполнять их без необходимости узнавать конкретные правила (например, ассоциативность), которые их оправдывают.

Хотя это может показаться очевидным, а может и не казаться очевидным, есть еще один момент, который нам необходимо учитывать в отношении равенства. Скажем, конкретное равенство содержит переменную x . Значения x , которые удовлетворяют этому равенству , также удовлетворяют другим равенствам, которые выводятся из этого равенства с использованием (большинства) допустимых алгебраических операций. (У этого утверждения есть некоторые ограничения, но обычно их можно решать в каждом конкретном случае.) Рассмотрим пример: 3 + x = 5. Очевидно, что значение x = 2 удовлетворяет этому равенству, поскольку 3 + 2 = 5. Но что, если мы выполним некоторую алгебраическую операцию? Добавим 2 к обеим сторонам, затем умножим обе стороны на 5.

3 + x + 2 = 5 + 2

x + 5 = 7

5 ( x + 5) = 5 (7)

5 x + 25 = 35

Мы знаем, что 10 + 25 = 35, поэтому мы знаем, что 5 x должно быть равно 10.Таким образом, x = 2 еще раз. Мы можем отметить из этого примера, что правильное значение (или значения) для x не меняется, если равенство манипулируется законным образом.

Практическая задача: Обоснуйте обозначенные шаги в следующей последовательности алгебраических манипуляций:

Учитывая

А.?

Равенство

Б.?

С.?

Равенство

Д.?

E.?

Решение: Чтобы решить эту проблему, мы должны вспомнить основные правила, обсужденные в предыдущей главе, и применить их к алгебре. В случае A два члена поменялись местами, так что обоснование коммутативности .Для B коэффициент t распределяется как множитель для каждого члена в скобках, поэтому этот шаг оправдан распределением . В языке C произведение t и равно 1, что является свойством (мультипликативного) обратного . Шаг, соответствующий D, может быть обоснован ассоциативностью , а шаг, соответствующий E, может быть оправдан (аддитивным) обратным .

Замена

Как отмечалось выше, мы можем вносить изменения в равенство и при этом сохранять равенство.Аналогичным образом, мы также можем заменить одной переменной или выражением переменной на другую переменную или выражение переменной. Например, допустим, у нас есть следующее равенство.

Теперь предположим, что мы хотим изменить x на другую форму (по любой причине). Предположим, мы хотим, чтобы x называлось z — итак, x = z . Затем

совпадает с предыдущим выражением.С другой стороны, можно сказать, что x = 3 y , так что

Опять же, это выражение поддерживает равенство. Если конкретное значение y удовлетворяет этому равенству, то соответствующее значение x (используя соотношение x = 3 y ) также удовлетворяет предыдущему выражению.

Практическая задача: Подставьте p = 3 n + 4 в выражение p + 3 — .

Решение : Постановка задачи дает нам новое выражение переменной, которое мы можем подставить в общее выражение следующим образом. Сделайте замену для каждого экземпляра p . (Обратите внимание, однако, что нет ничего принципиально неправильного в том, чтобы сделать замену только для одного экземпляра p ; это оставляет нам новое выражение, содержащее две переменные вместо одной. Поскольку переменные связаны между собой, проще всего иметь окончательное выражение в терминах только одной переменной.)

p + 3- = (3 n + 4) + 3-

Мы можем несколько упростить этот результат, используя наши правила манипуляции:

(3 n + 4) + 3 — = 3 n + (4 + 3) — Ассоциативность

3 n + (4 + 3) — = 3 n + 7-

Это одно из возможных выражений, которое является результатом замены, описанной в задаче.